2020-2021青岛市高三数学上期末一模试题附答案

2
2
b ，由不等式的平方法则， a b ，即 a b ．选 D.
2．B
解析：B 【解析】
【分析】
【详解】
先作可行域，而 y 4 表示两点 P（x,y）与 A（-6,-4）连线的斜率，所以 y 4 的取值范围
x6
x6
是[kAD , kAC ] [3,1] ，选 B.
点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还 是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜 率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.
本不等式的定值，从而用基本不等式求得最小值．
5．C
解析：C
【解析】
记公元 1984 年为第一年，公元 2047 年为第 64 年，即天干循环了十次，第四个为“丁”，
地支循环了五次，第四个为“卯”,所以公元 2047 年农历为丁卯年.
故选 C.
6．D
解析：D 【解析】 【分析】
三角形的面积公式为 SABC
x y 0
x6
A．[3, 3] 7
B．[3,1]
C．[4,1]
D． (, 3][1, )
3． ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知 b 2 ， B ， C
6
则 ABC 的面积为（ ）
， 4
A． 2 2 3
B． 3 1
C． 2 3 2
D． 3 1
甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、癸等十个符号叫天干，子、丑、寅、卯、辰、巳、
午、未、申、酉、戌、亥等十二个符号叫地支，如公元 1984 年农历为甲子年，公元 1985
年农历为乙丑年，公元 1986 年农历为丙寅年，则公元 2047 年农历为
A．乙丑年
B．丙寅年
C．丁卯年
D．戊辰年
6．在 ABC 中， a ， b ， c 分别是角 A ， B ， C 的对边，若 b 2c ， a 6 ，
4
0
得：
A
4,
4
zmax 4 2 4 12
故选： C
【点睛】
本题考查线性规划中最值问题的求解，关键是能够将问题转化为直线在 y 轴截距最值问题
的求解，属于常考题型.
10．A
解析：A
【解析】
【分析】
利用数列递推式求出前几项，可得数列 an 是以 4 为周期的周期数列，即可得出答案.
【详解】
在 ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ， b c 6， a 2 6 ， .
求 ABC 的面积.
22．已知数列 中，
，
.
（1）求证：
是等比数列，并求 的通项公式 ；
（2）数列 满足
，求数列 的前 项和 .
23．在△ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c, 向量 m 2a 3b, 3c ，向量
n (cos B,cosC) ，且 m / /n . （1）求角 C 的大小； （2）求 y sinA 3sin(B ) 的最大值.
3
24．已知函数 f x x 1 x 1 ．
（1）解不等式 f x 2 ；
（2）设函数 f x 的最小值为 m ，若 a ， b 均为正数，且 1 4 m ，求 a b 的最小
等腰三角形；③若 acosB bcos A c ，则 ABC —定为直角三角形.以上结论中正确的
个数有（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
二、填空题
(x 4)( y 2)
13．设 x＞0，y＞0，x＋2y＝4，则
的最小值为_________.
xy
14．已知 a 0 ， b 0 ，当 a 4b2 1 取得最小值时， b __________．
3．B
解析：B 【解析】
试题分析：根据正弦定理，
，解得
，
，并且
，所以
考点：1．正弦定理；2．面积公式．
4．B
解析：B 【解析】 【分析】 作出可行域，求出 m ，然后用“1”的代换配凑出基本不等式的定值，从而用基本不等式 求得最小值． 【详解】
作出可行域，如图 ABC 内部（含边界），作直线 l : 2x y 0 ，平移该直线，当直线 l 过点 A(3, 0) 时， 2x y 取得最大值 6，所以 m 6 ．
1 4 1 (a b)( 1 4) 1 (5 b 4a ) 1 (5 2 b 4a ) 3 ，当且仅当 b 4a ，
ab 6
ab 6 a b 6
ab 2
ab
即 a 1 ,b 2 时等号成立，即 1 4 的最小值为 3 ．
33
ab
2
故选：B.
【点睛】
本题考查简单的线性规划，考查用基本不等式求最值，解题关键是用“1”的代换凑配出基
1 bcsinA ，故需要求出边 b 2
与c
，由余弦定理可以解得 b
与c
.
【详解】
解：在 ABC 中， cosA b2 c2 a2 7
2bc
8
将 b 2c ， a 解得： c 2
6
代入上式得
4c2
c2 4c2
6
7 8
，
由 cosA 7 得 sinA 8
1
7 8
2
15 8
所以， SABC
化目标函数为 y 2x z ，
联立
x x
y 7 0 3y 1 0
，解得
A（5,
2）.
由图象可知，当直线过点 A 时，直线在 y 轴上截距最小， z 有最大值 25- 2 8 .
【点睛】
本题主要考查了简单的线性规划，数形结合的思想，属于中档题.
9．C
解析：C
【解析】
【分析】
由约束条件可得可行域，将问题变成 y 1 x 1 z 在 y 轴截距最大问题的求解；通过平 22
）.
3x y 5 0，
A．10
B．8
C．3
D．2
x y 0, 9．设 x, y 满足约束条件 x y 2 0, 则 z x 2y 的最大值为（ ）
2x y 4 0,
A．2
B．3
C．12
D．13
10．已知数列 {an } 满足
an1
2an , 0
an
1 2
,
2an
1,
1 2
an
x y 2 0,
20．已知等比数列
an
的公比为 2,前
n
项和为
S
n
,则
S4 a2
=______.
三、解答题
21．在条件① (a b)(sin A sin B) (c b)sin C ，② asin B bcos(A ) ， 6
③ bsin B C a sin B 中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答. 2
a)n 1, n
6 ，若对任意 n N*
都有 an
an1 ，则实数
an5, n 6
a 的取值范围是_________.
18．已知 Sn 为数列 an 的前 n 项和，且 a1 3， an1 3Sn 1 ， n N* ，则 S5 ______.
2x y 2 0, 19．设 x ， y 满足则 x 2 y 2 0, 则 z x 3y 的最小值是______.
2020-2021 青岛市高三数学上期末一模试题附答案
一、选择题
1．下列结论正确的是（ ）
A．若 a b ，则 ac2 bc2 C．若 a b, c 0 ，则 a c b c
B．若 a2 b2 ，则 a b D．若 a b ，则 a b
x y 2 0
2．设 x, y 满足约束条件 2x y 3 0 ，则 y 4 的取值范围是
等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、
“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
8．B
解析：B
【解析】
【分析】
作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最 优解的坐标，代入目标函数即可求解. 【详解】 作出可行域如图：
1,
若
a1
3 5
，则数列的第
2018
项为
（）
A． 1 5
B． 2 5
C． 3 5
D． 4 5
11．一个递增的等差数列an ，前三项的和 a1 a2 a3 12 ，且 a2 , a3, a4 1成等比数
列，则数列an的公差为 ( )
Aห้องสมุดไป่ตู้ 2
B．3
C．2
D．1
12． ABC 中有：①若 A B ，则 sinA>sinB ；②若 sin2A sin2B ，则 ABC —定为
【详解】
因为直线 x y 1a 0,b 0 过点 1,1 ,所以 1 + 1 1 ,因此
ab
ab
(4a b)( 1 + 1) 5 b + 4a 5 2 b 4a 9 ,当且仅当 b 2a 3时取等号,所以选
ab
ab
ab
C.
点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不
an1
2an , 0
2an 1,
1 2
an an
1 2 ，a1 1
3 5
a2
2a1
1
1 5
，
a3
2a2
2 5
， a4
2a3
4 5
，
a5
2a4
1
3 5
a1
数列
an
是以
4
为周期的周期数列，则 a2018
a45042
a2
1 5
.
故选 A .
【点睛】
本题考查数列的递推公式和周期数列的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.
ab
15．已知递增等比数列
an
的前 n 项和为 Sn ，且满足： a1
1， a4 a2
a5 a3
4 ，则
S1 S4 a4
______．
16．设 Sn 是等差数列 an 的前 n 项和，若 S5 10 ， S10 5 ，则公差 d （___）．
17．已知数列{an}满足 an
( 1 2
11．C
解析：C
【解析】
【分析】
【详解】
解：∵ a2 , a3, a4 1成等比数列，
∴
，
∵数列an为递增的等差数列，设公差为 d，
∴
，
即
，
又数列 an 前三项的和
，
∴
，即
，
即 d＝2 或 d＝−2（舍去）， 则公差 d＝2． 故选：C．
12．C
解析：C 【解析】
【分析】
①根据正弦定理可得到结果；②根据 A B 或 A B , 可得到结论不正确；③可由余弦 2
移直线可确定最大值取得的点，代入可得结果. 【详解】 由约束条件可得可行域如下图所示：
当 z x 2y 取最大值时， y 1 x 1 z 在 y 轴截距最大 22
平移直线 y 1 x ，可知当直线 y 1 x 1 z 过图中 A 点时，在 y 轴截距最大
2
22
由
y x 2x y
定理推得 a2 b2 c2 ，三角形为直角三角形.
【详解】
①根据大角对大边得到 a>b,再由正弦定理 a b 知 sinA sinB，①正确； sin A sin B
② sin2A sin2B ，则 A B 或 A B , ABC 是直角三角形或等腰三角形；所以②错 2
ab
值．
25．设递增等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a2＝3，S3＝13，数列{bn}满足 b1＝a1，点 P （bn，bn+1）在直线 x﹣y+2＝0 上，n∈N*. （1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）设 cn
bn an
，求数列{cn}的前
n 项和
Tn.
26．已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且 2a2 a4 20 ， S3 2a1 8 ．
（1）求数列 an 的通项公式；
（2）当 n 为何值时，数列an的前 n 项和最大？
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一、选择题
1．D
解析：D 【解析】
选项 A 中，当 c=0 时不符，所以 A 错．选项 B 中，当 a 2,b 1时，符合 a2 b2 ，不
满足 a b ，B 错．选项 C 中, a c b c ,所以 C 错．选项 D 中，因为 0 a
1 bcsinA 2
1 24 2
15 8
15 2
故选 D.
【点睛】
三角形的面积公式常见形式有两种：一是 1 （底 高），二是 1 bcsinA .借助 1 （底
2
2
2
高）时，需要将斜三角形的高与相应的底求出来；借助 1 bcsinA 时，需要求出三角形两边 2
及其夹角的正弦值.
7．C
解析：C 【解析】
x 2y 3 0
4．已知
x，y
满足
x
3
y
3
0
，z＝2x+y
的最大值为
m，若正数
a，b
满足
a+b＝m，则
y 1
1 4 的最小值为（ ） ab
A．3
B． 3
C．2
2
D． 5 2
5．“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总
称，把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”
cos A 7 ，则 ABC 的面积为（ ） 8
A． 17
B．3
C． 15
D． 15 2
7．若直线 x y 1a 0,b 0 过点(1,1)，则 4a b 的最小值为（ ）
ab
A．6
B．8
C．9
D．10
x y 7 0，
8．设
x，y
满足约束条件
x
3
y
1
0, 则 z 2x y 的最大值为（