第3讲 函数的奇偶性与周期性专题
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第三讲 函数的奇偶性与周期性
考点分析:
1.判断函数的奇偶性.
2.利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值.
3.考查函数的单调性与奇偶性的综合应用.
复习指导:
复习时应结合具体实例和函数的图象,理解函数的奇偶性、周期性的概念,明确它们在研究函数中的作用和功能.重点解决综合利用函数的性质解决有关问题.
知识梳理:、
1、奇、偶函数的概念
一般地,如果对于函数f(x)的定义域关于原点对称,且定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数.
一般地,如果对于函数f(x)的定义域关于原点对称,且定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.
奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于y轴对称.
2.奇、偶函数的性质
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.
(2)在公共定义域内
①两个奇函数的和(差)是奇函数,两个奇函数的积(商)是偶函数;
②两个偶函数的和(差)、积(商)都是偶函数;
③一个奇函数,一个偶函数的积(商)是奇函数.一个奇函数,偶函数的和(差)是非奇非偶函数
▲奇奇=奇,奇×奇=偶,偶偶=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.3.周期性
(1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
关于周期函数的常用结论:
1、若对于函数f(x)定义域内的任意一个x都有:
(1),则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的一个周期;
(2),则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的一个周期;
2、如果T是函数y=f(x)的周期,则
(1)kT(k∈Z,k≠0)也是函数y=f(x)的周期,即f(x+kT)=f(x);
(2)若已知区间[m,n](m 3、若对于R上的任意的x都有f(2a-x)=f(x)或f(-x)=f(2a+x),则y =f(x)的图象关于直线x=a对称. 四、例题讲解 (一)函数奇偶性的判定 1、利用定义判断函数奇偶性的一般步骤 , (1)首先确定函数的定义域,看它是否关于原点对称。若不对称,则既不是奇函数又不是偶函数。 (2)若定义域关于原点对称,再判定f(-x)与f(x)之间的关系 ①若f(-x)=-f(x)(或f(-x) +f(x)=0),则为奇函数; ②若f(-x)=f(x)(或 f(-x) -f(x)=0),则f(x)为偶函数; ③若f(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x),则f(x)既是奇函数又是偶函数; ④若f(-x) ≠f(x)且f(-x)≠- f(x),则f(x)既不是奇函数也不是偶函数。 <2>图象法: <3>性质法: 例1、讨论的奇偶性 解:(1)函数定义域为R, , ∴f(x)为偶函数; (另解)先化简: ,显然 为偶函数;从这可以看出,化简后再解决要容易得多。 练习1、判断函数的奇偶性 2、分段函数的奇偶性 分段函数奇偶性的判定步骤 (1)分析定义域是否关于原点对称; (2)对x的值进行分段讨论,寻求f(X)与f(-X)在各段上的关系;(3)综合(2)在定义域内f(X)与f(-X)的关系,从而判断f(X)的奇偶性。 注:奇偶性是函数的一个整体性质,不能说函数在定义域的某一段上是奇函数或偶函数。 例2、已知函数试判断的奇偶性 确定定义域判断每一段上与的关系判断整个定义域上与的关系结论。解答:由题设可知函数的定义域关于原点对称。 当时, 练习2、判断函数 的奇偶性 3、抽象函数的奇偶性 (1)判断(或证明)抽象函数的奇偶性的步骤 (2)利用函数奇偶性的定义,找准方向(想办法出现f(x),f(-x));(3)巧妙赋值,合理、灵活变形配凑; (4)找出f(X)与f(-X)关系,得出结论。 例3、已知函数f(x)对一切x、y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y), (1)判断函数f(x)的奇偶性; (2)若f(-3)=a,用a表示f(12). 分析:判断函数奇偶性的一般思路是利用定义,看f(-x)与f(x)的关系,进而得出函数的奇偶性;解决本题的关键是在f(x+y)=f(x)+f(y)中如何出现f(-x);用a表示f(12)实际上是如何用f(-3)表示f(12),解决该问题的关键是寻找f(12)与f(-3)的关系. 解答: 例4、已知函数f(x)对任意的实数x满足:且当x∈[-1,1]时, f(x)=x2. 求f(2012) 【解析】(1)∵对任意x∈R,都有 ∴f(x)是以2为周期的函数, ∴f(2 012)=f(2×1 006+0)=f(0)=02=0. 例5、已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,且f(x)的图象关于x=1对称,当x∈[0,1]时,f(x)=2x-1, (1)求证:f(x)是周期函数; (2)当x∈[1,2]时,求f(x)的解析式; (3)计算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2013)的值. (1)只需证明f(x+T)=f(x),即可说明f(x)为周期函数; (2)由f(x)在[0,1]上的解析式及f(x)图象关于x=1对称求得f(x)在[1,2]上的解析式; (3)由周期性求和的值. (1)证明:函数f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x),函数f(x)的图象关于x=1对称,则f(2+x)=f(-x)=-f(x),所以f(4+x)=f[(2+x)+2]=-f(2+x)=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数.