第3讲 函数的奇偶性与周期性专题

第三讲 函数的奇偶性与周期性
考点分析：
1．判断函数的奇偶性．
2．利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值．
3．考查函数的单调性与奇偶性的综合应用．
复习指导：
复习时应结合具体实例和函数的图象，理解函数的奇偶性、周期性的概念，明确它们在研究函数中的作用和功能．重点解决综合利用函数的性质解决有关问题．
知识梳理：、
1、奇、偶函数的概念
一般地，如果对于函数f(x)的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．
一般地，如果对于函数f(x)的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．
奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．
2．奇、偶函数的性质
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．
(2)在公共定义域内
①两个奇函数的和（差）是奇函数，两个奇函数的积（商）是偶函数；
②两个偶函数的和（差）、积（商）都是偶函数；
③一个奇函数，一个偶函数的积（商）是奇函数．一个奇函数，偶函数的和（差）是非奇非偶函数
▲奇奇＝奇，奇×奇＝偶，偶偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．3．周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
关于周期函数的常用结论：
1、若对于函数f(x)定义域内的任意一个x都有：
（1），则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期；
(2)，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期；
2、如果T是函数y=f(x)的周期，则
（1）kT(k∈Z,k≠0)也是函数y=f(x)的周期，即f(x+kT)=f(x)；
（2）若已知区间［m,n］(m<n)上的图象，则可画出区间［m+kT,n+kT］(k∈Z,k≠0)上的图象.
3、若对于R上的任意的x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y ＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
四、例题讲解
（一）函数奇偶性的判定
1、利用定义判断函数奇偶性的一般步骤
，
（1）首先确定函数的定义域，看它是否关于原点对称。

若不对称，则既不是奇函数又不是偶函数。

（2）若定义域关于原点对称，再判定f(-x)与f(x)之间的关系
①若f(-x)=-f(x)（或f(-x) +f(x)=0），则为奇函数；
②若f(-x)=f(x)(或 f(-x) -f(x)=0)，则f(x)为偶函数；
③若f(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数;
④若f(-x) ≠f(x)且f(-x)≠- f(x)，则f(x)既不是奇函数也不是偶函数。

<2>图象法：
<3>性质法：
例1、讨论的奇偶性
解：（1）函数定义域为R，
，
∴f(x)为偶函数；
（另解）先化简：
，显然
为偶函数；从这可以看出，化简后再解决要容易得多。

练习1、判断函数的奇偶性
2、分段函数的奇偶性
分段函数奇偶性的判定步骤
（1）分析定义域是否关于原点对称；
（2）对x的值进行分段讨论，寻求f(X)与f(-X)在各段上的关系；（3）综合（2）在定义域内f(X)与f(-X)的关系，从而判断f(X)的奇偶性。

注：奇偶性是函数的一个整体性质，不能说函数在定义域的某一段上是奇函数或偶函数。

例2、已知函数试判断的奇偶性
确定定义域判断每一段上与的关系判断整个定义域上与的关系结论。

解答：由题设可知函数的定义域关于原点对称。

当时，
练习2、判断函数
的奇偶性
3、抽象函数的奇偶性
（1）判断（或证明）抽象函数的奇偶性的步骤
（2）利用函数奇偶性的定义，找准方向（想办法出现f(x),f(-x)）;（3）巧妙赋值，合理、灵活变形配凑；
（4）找出f(X)与f(-X)关系，得出结论。

例3、已知函数f(x)对一切x、y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)若f(-3)=a，用a表示f(12)．
分析：判断函数奇偶性的一般思路是利用定义，看f(-x)与f(x)的关系，进而得出函数的奇偶性；解决本题的关键是在f(x+y)=f(x)+f(y)中如何出现f(-x)；用a表示f(12)实际上是如何用f(-3)表示f(12)，解决该问题的关键是寻找f(12)与f(-3)的关系．
解答：
例4、已知函数f(x)对任意的实数x满足：且当x∈［-1,1］时，
f(x)=x2.
求f(2012)
【解析】(1)∵对任意x∈R,都有
∴f(x)是以2为周期的函数，
∴f(2 012)=f(2×1 006+0)=f(0)=02=0.
例5、已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于x＝1对称，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)当x∈[1,2]时，求f(x)的解析式；
(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)的值．
(1)只需证明f(x＋T)＝f(x)，即可说明f(x)为周期函数；
(2)由f(x)在[0,1]上的解析式及f(x)图象关于x＝1对称求得f(x)在[1,2]上的解析式；
(3)由周期性求和的值．
(1)证明：函数f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，函数f(x)的图象关于x＝1对称，则f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝f[(2＋x)＋2]＝－f(2＋x)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数．
(2)解　当x∈[1,2]时，2－x∈[0,1]，
又f(x)的图象关于x＝1对称，则f(x)＝f(2－x)＝22－x－1，x∈[1,2]．(3)解　∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，
f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1
又f(x)是以4为周期的周期函数．
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)
＝f(2 012)＋f(2 013)＝f(0)＋f(1)＝1.
练习4、设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x+2)=-f(x).当x∈［0,2］时，f(x)=2x-x2.
(1)求证：f(x)是周期函数;
(2)当x∈［2,4］时，求f(x)的解析式;
(3)计算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 013).
【解析】(1)∵f(x+2)=-f(x),
∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x).
∴f(x)是周期为4的周期函数.
(2)当x∈［-2,0］时，-x∈［0,2］，由已知得
f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2,
又f(x)是奇函数，∴f(-x)=-f(x)=-2x-x2,
∴f(x)=x2+2x.
又当x∈［2,4］时，x-4∈［-2,0］,
∴f(x-4)=(x-4)2+2(x-4).
又f(x)是周期为4的周期函数，
∴f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8.
从而求得x∈［2,4］时，f(x)=x2-6x+8.
(3)f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1.
又f(x)是周期为4的周期函数,
∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)
=…=f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)=0.
∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 013)=f(0)+f(1)=0+1=1.
练习5、已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( )．
A．f(－25)＜f(11)＜f(80) B．f(80)＜f(11)＜f(－25)
C．f(11)＜f(80)＜f(－25) D．f(－25)＜f(80)＜f(11)
[尝试解答]　
由函数f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上是增函数可以推知，f(x)在[－2,2]上递
增，又f(x－4)＝－f(x)⇒f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，故函数f(x)以8为周期，f(－25)＝f(－1)，f(11)＝f(3)＝－f(3－4)＝f(1)，f(80)＝f(0)，故f(－25)＜f(80)＜f(11)．故选D.
答案　D。