第3讲 函数的奇偶性与周期性专题

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第三讲 函数的奇偶性与周期性

考点分析:

1.判断函数的奇偶性.

2.利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值.

3.考查函数的单调性与奇偶性的综合应用.

复习指导:

复习时应结合具体实例和函数的图象,理解函数的奇偶性、周期性的概念,明确它们在研究函数中的作用和功能.重点解决综合利用函数的性质解决有关问题.

知识梳理:、

1、奇、偶函数的概念

一般地,如果对于函数f(x)的定义域关于原点对称,且定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数.

一般地,如果对于函数f(x)的定义域关于原点对称,且定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.

奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于y轴对称.

2.奇、偶函数的性质

(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.

(2)在公共定义域内

①两个奇函数的和(差)是奇函数,两个奇函数的积(商)是偶函数;

②两个偶函数的和(差)、积(商)都是偶函数;

③一个奇函数,一个偶函数的积(商)是奇函数.一个奇函数,偶函数的和(差)是非奇非偶函数

▲奇奇=奇,奇×奇=偶,偶偶=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.3.周期性

(1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.

(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.

关于周期函数的常用结论:

1、若对于函数f(x)定义域内的任意一个x都有:

(1),则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的一个周期;

(2),则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的一个周期;

2、如果T是函数y=f(x)的周期,则

(1)kT(k∈Z,k≠0)也是函数y=f(x)的周期,即f(x+kT)=f(x);

(2)若已知区间[m,n](m

3、若对于R上的任意的x都有f(2a-x)=f(x)或f(-x)=f(2a+x),则y =f(x)的图象关于直线x=a对称.

四、例题讲解

(一)函数奇偶性的判定

1、利用定义判断函数奇偶性的一般步骤

(1)首先确定函数的定义域,看它是否关于原点对称。若不对称,则既不是奇函数又不是偶函数。

(2)若定义域关于原点对称,再判定f(-x)与f(x)之间的关系

①若f(-x)=-f(x)(或f(-x) +f(x)=0),则为奇函数;

②若f(-x)=f(x)(或 f(-x) -f(x)=0),则f(x)为偶函数;

③若f(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x),则f(x)既是奇函数又是偶函数;

④若f(-x) ≠f(x)且f(-x)≠- f(x),则f(x)既不是奇函数也不是偶函数。

<2>图象法:

<3>性质法:

例1、讨论的奇偶性

解:(1)函数定义域为R,

∴f(x)为偶函数;

(另解)先化简:

,显然

为偶函数;从这可以看出,化简后再解决要容易得多。

练习1、判断函数的奇偶性

2、分段函数的奇偶性

分段函数奇偶性的判定步骤

(1)分析定义域是否关于原点对称;

(2)对x的值进行分段讨论,寻求f(X)与f(-X)在各段上的关系;(3)综合(2)在定义域内f(X)与f(-X)的关系,从而判断f(X)的奇偶性。

注:奇偶性是函数的一个整体性质,不能说函数在定义域的某一段上是奇函数或偶函数。

例2、已知函数试判断的奇偶性

确定定义域判断每一段上与的关系判断整个定义域上与的关系结论。解答:由题设可知函数的定义域关于原点对称。

当时,

练习2、判断函数

的奇偶性

3、抽象函数的奇偶性

(1)判断(或证明)抽象函数的奇偶性的步骤

(2)利用函数奇偶性的定义,找准方向(想办法出现f(x),f(-x));(3)巧妙赋值,合理、灵活变形配凑;

(4)找出f(X)与f(-X)关系,得出结论。

例3、已知函数f(x)对一切x、y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),

(1)判断函数f(x)的奇偶性;

(2)若f(-3)=a,用a表示f(12).

分析:判断函数奇偶性的一般思路是利用定义,看f(-x)与f(x)的关系,进而得出函数的奇偶性;解决本题的关键是在f(x+y)=f(x)+f(y)中如何出现f(-x);用a表示f(12)实际上是如何用f(-3)表示f(12),解决该问题的关键是寻找f(12)与f(-3)的关系.

解答:

例4、已知函数f(x)对任意的实数x满足:且当x∈[-1,1]时,

f(x)=x2.

求f(2012)

【解析】(1)∵对任意x∈R,都有

∴f(x)是以2为周期的函数,

∴f(2 012)=f(2×1 006+0)=f(0)=02=0.

例5、已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,且f(x)的图象关于x=1对称,当x∈[0,1]时,f(x)=2x-1,

(1)求证:f(x)是周期函数;

(2)当x∈[1,2]时,求f(x)的解析式;

(3)计算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2013)的值.

(1)只需证明f(x+T)=f(x),即可说明f(x)为周期函数;

(2)由f(x)在[0,1]上的解析式及f(x)图象关于x=1对称求得f(x)在[1,2]上的解析式;

(3)由周期性求和的值.

(1)证明:函数f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x),函数f(x)的图象关于x=1对称,则f(2+x)=f(-x)=-f(x),所以f(4+x)=f[(2+x)+2]=-f(2+x)=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数.

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