向量题型归纳(全)

平面向量部分常见的题型

类型（一）：向量共线问题

1. 设向量），（），，（3212==b a 若向量b a +λ与向量)74(--=，c 共线，则=λ

2．已知）

，（），，（），，（73231x C B A --，设a AB =，b BC =且a ∥b ，则x 的值为 （ ）

(A) 0 (B) 3 (C) 15 (D) 18

3．已知a ，c 是同一平面内的两个向量，其中a =（1，252=，且a ∥c ，求c 的坐标

4.n 为何值时，向量），（1n a =与),4(n b =共线且方向相同？

5.已知b a ,不共线，b a d b a k c -=+=,，如果c ∥d ，那么k= ,c 与d 的方向关系是

类型（二）: 向量的垂直问题

1．已知向量=--==b b a n b n a 垂直，则与），若，（），，（211

242==，且b a 与的夹角为3

π，若的值垂直，求与k b a k b a k 22-+。 3.已知单位向量m m n n m ⊥-），求证：（的夹角为和23

π

4.已知,24），（=a 求与a 垂直的单位向量的坐标。

5. ）

满足于（，若向量），（a c c b a +-==)3,2(,21∥b ，___=+⊥c b a c ），则（

类型（三）：向量的夹角问题

1.平面向量b a ,41==且满足

2.=b a ，则b a 与的夹角为

2.已知非零向量b a ,）（a b b 2-⊥=，则b a 与的夹角为

3.已知平面向量b a ,满足

424)2.(==-=+-b a b a ）（且，则b a 与的夹角为 4.设非零向量a 、b 、c 满足c b a c b a =+==|,|||||，则>=

5.的夹角。与求b a ,732=+==

6.若非零向量b a ,,0).2(=+=b b a 则b a 与的夹角为

类型（四）求向量的模的问题

1. 已知零向量==+==b a a ，则），（2510.,12

2. 已知向量b a ,====221

3. 已知向量

a )3,1(=，=+-=

b )0,2(

4．已知向量b a -==),cos ,1(),sin ,1(θθ的最大值为

5. 设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，

（）

=-=+=BC 162 (A) 8 (B) 4 (C) 2 (D) 1

6. 设向量a ，b 则a b a a +-⊥==2),2(,21

类型（五）投影问题

1． ，45==，b a 与的夹角3

2πθ=，则向量b 在向量a 上的投影为 2已知点()1,1A -.()1,2B .()2,1C --.()3,4D ,则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ）

A B C ．D ． 3在Rt △ABC 中，===

∠AC AB AC C .,4,2则π

4关于c a b a ..=且0≠a ，有下列几种说法：

① )(c b a -⊥； ② b ⊥c ；③0).(=-c b a ④b 在a 方向上的投影等于c 在a 方向上的投影 ；⑤a b λ=；⑥c b =

其中正确的个数是 （ ）

（A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个

类型（五）平面向量基本定理的应用问题

1在下列向量组中，可以把向量()2,3=a 表示出来的是（ ） A.)2,1(),0,0(21==e e B .)2,5(),2,1(21-=-=e e

C.)10,6(),5,3(21==e e

D.)3,2(),3,2(21-=-=e e

2设D 为ABC ∆所在平面内一点3BC CD =，则（ ）

（A ）1433AD AB AC =-+ (B)1433

AD AB AC =- （C ）4133AD AB AC =+ (D)4133

AD AB AC =- 3 中，边的高为，若，，，，，则

（A ） （B ） （C ） （D ） 4设E D ，分别是ABC ∆的边BC AB ，上的点,AB AD 21=

,BC BE 32=,若AC AB DE 21λλ+= (21λλ，为实数),则21λλ+的值为__________.

5向量a ,b ,c 在正方形网格中的位置如图所示.若c =λa +μb (λ,μ∈R),则λμ

=_________.

题型六 向量定值

1在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM=3，BC=10，则=________.

2己知正方形ABCD 的边长为l ，点E 是AB 边上的动点.则的值为 ，ABC ∆AB CD CB a =CA b =0a b ⋅=||1a =||2b =AD =1

133a b -2233a b -3355a b -4455

a b -AB AC ⋅DE CB ⋅

的最大值为_________.

3如图在平行四边形ABCD 中 ，AP⊥BD，垂足为P ，且

= . 4 如图，在矩形中，，点是的中点，点在边上，若，则的值是

5.如图，在ΔABC 中，，，，

则=（ ）

（A ） （B ） （C ） （D ） 6如图所示，在平行四边形ABCD 中，已知8AB =，5AD =，

3CP PD =，2AP BP ⋅=，则AB AD ⋅的值是 ．

DE DC ⋅3AP =AP AC ABCD 2,2AB BC ==E BC F CD 2AB AF ⋅=

AE BF ⋅AD AB ⊥3BC =BD 1AD =AC AD ⋅233233

3A B C

D E

F