等边三角形性质判定
等边三角形性质与判定
等边三角形性质与判定等边三角形是指三条边都相等的三角形。
在几何中，等边三角形具有一些特殊的性质和判定方法。
本文将介绍等边三角形的性质以及如何判定一个三角形是等边三角形。
一、等边三角形的性质1.三边相等：等边三角形的三条边长度相等，即AB=AC=BC。
2.内角相等：等边三角形的三个内角都相等，每个角都是60度。
3.内角和为180度：等边三角形的三个内角和为180度，因为三个角都是60度，所以它们的和为180度。
4.等边三角形是等腰三角形：等腰三角形是指两边长度相等的三角形。
等边三角形的三边都相等，因此也是等腰三角形。
5.等边三角形是等角三角形：等角三角形是指三个角度都相等的三角形。
等边三角形的三个内角都是60度，因此也是等角三角形。
二、判定一个三角形是否为等边三角形判定一个三角形是否为等边三角形可以通过以下方法进行：1.测量三条边的长度：通过使用测量仪器（例如尺子）或计算方法，测量三条边的长度，如果它们长度相等，则可以判定为等边三角形。
2.判定三个角度是否相等：通过使用角度测量器或计算方法，测量三个角度的大小，如果它们都是60度，则可以判定为等边三角形。
3.判定两边是否相等：通过测量任意两条边的长度，如果它们长度相等，则可以判定为等边三角形。
需要注意的是，在实际应用中，我们常常会结合多种判定方法来确定一个三角形是否为等边三角形，以增加判定结果的准确性。
三、等边三角形的应用等边三角形在几何学中有广泛的应用，下面列举了其中一些常见的应用：1.建筑与设计：等边三角形在建筑和设计中常常作为参考图形，用于规划和设计各种建筑结构。
2.三角函数：等边三角形是三角函数的重要基础。
在三角函数中，等边三角形通常用作基本的参考图形，用于推导和分析各种三角函数的性质和关系。
3.几何证明：等边三角形作为一种特殊的三角形，常常被用于几何证明中。
通过研究等边三角形的性质，可以推导和证明各种几何定理和命题。
4.图形构造：等边三角形是一种基本的图形构造元素，可以用于构造其他形状和图形。
等边三角形的性质和判定
等边三角形的中线、高线 和角平分线重合
相等
等边三角形的三个内角相等，每 个角都是60度。
等边三角形的中位线与底边平行， 且等于底边的一半。
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等边三角形的外角和等于360度， 每个外角都是120度。
等边三角形的高、中线、角平分 线三线合一，且都等于底边的一 半。
对称性
等边三角形的高、中线、角 平分线三线合一，且都垂直 于底边。
等边三角形三边相等，三个 角相等，具有轴对称性。
等边三角形的重心、内心、 外心、垂心四心合一，且都
位于等边三角形的内部。
等边三角形是特殊的等腰三 角形，具有等腰三角形的所
有性质。
高等性质
边长相等：三边 长度相等
内角相等：三个 内角均为60度
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中世纪：阿拉伯数学家开始对等边三角形进行更深入 的研究，进一步发展了相关理论
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近现代：随着数学的发展，等边三角形在各个领域的 应用越来越广泛，如物理学、工程学和计算机科学等
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古希腊时期：欧几里德在《几何原本》中详细阐述了 等边三角形的性质和定理，为后续研究奠定了基础
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文艺复兴时期：欧洲数学家如笛卡尔和费马开始使用 解析几何方法研究等边三角形，推动了三角学的发展
轴对称：具有三 条对称轴
重心、内心、外 心重合：重心、 内心、外心三点 共线
等边三角形的判定
边判定法
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定义：三边相等的三角形是等边三角形
判定定理：如果一个三角形的三边长度相等，则这个三角形是等边三角 形。
证明：由三角形的性质，任意两边之和大于第三边，如果三边长度相等， 则三边之和都等于第三边，满足三角形的定义。
等边三角形的性质与判定(3种题型)-2023年新八年级数学(苏科版)(解析版)
等边三角形的性质与判定（3种题型）了解等边三角形的有关概念，探索并掌握性质及判定方法。
一．等边三角形的性质（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．二．等边三角形的判定（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明．三．等边三角形的判定与性质（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．一．等边三角形的性质（共9小题）1．（2022秋•崇川区校级月考）如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC 于点E，且CE＝1.5，则AB的长为（）A．3B．4.5C．6D．7.5【分析】由在等边三角形ABC中，DE⊥BC，可求得∠CDE＝30°，则可求得CD的长，又由BD平分∠ABC 交AC于点D，由三线合一的知识，即可求得答案．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC，∵DE⊥BC，∴∠CDE＝30°，∵EC＝1.5，∴CD＝2EC＝3，∵BD平分∠ABC交AC于点D，∴AD＝CD＝3，∴AB＝AC＝AD+CD＝6．故选：C．【点评】此题考查了等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．2．（2022秋•姜堰区月考）如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且∠E＝30°，则CE的长是（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【分析】根据等边三角形的性质解答即可．【解答】解：∵等边△ABC的边长AB＝4cm，BD平分∠ABC，∴∠ACB＝60°，DC＝AD＝2cm，∵∠E＝30°，∠E+∠EDC＝∠ACB，∴∠EDC＝60°﹣30°＝30°＝∠E，∴CD＝CE＝2cm，故选：B．【点评】此题考查等边三角形的性质，关键是根据等边三角形的三线合一解答．3．（2022秋•常州期中）如图，△ABC是等边三角形，P为BC上一点，在AC上取一点D，使AD＝AP，且∠APD＝70°，则∠PAB的度数是（）A．10°B．15°C．20°D．25°【分析】由已知条件AD＝AP可知∠ADP＝∠APD，结合∠APD＝70°可得∠ADP的度数，从而得到∠P AD 的度数；根据等边三角形的性质，可以得到∠BAC＝60°，结合∠PAB＝∠BAC﹣∠PAD即可解答此题．【解答】解：∵AD＝AP，∴∠ADP＝∠APD．∵∠ADP＝∠APD，∠APD＝70°，∴∠ADP＝70°，∠PAD＝40°．∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∴∠PAB＝60°﹣40°＝20°．故选：C．【点评】本题主要考查等边三角形与等腰三角形的性质，可以结合等边三角形的性质进行解答．4．（2022秋•海门市期末）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD，DF⊥BE，垂足为点F．（1）求证：CE＝2CF；（2）若CF＝2，求△ABC的周长．【分析】（1）根据等边三角形的性质可知∠ACB＝60°，再由DF⊥BE可知∠DFC＝90°，∠FDC＝90°﹣∠C＝30°，由直角三角形的性质即可得出结论；（2）由CF＝2可得出CD＝4，故可得出AC的长，进而可得出结论．【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵DF⊥BE，∴∠DFC＝90°，∠FDC＝90°﹣∠C＝30°，∴DC＝2CF．∵CE＝CD∴CE＝2CF；（2）解：∵CF＝2，由（1）知CE＝2CF，∴DC＝2CF＝4．∵△ABC为等边三角形，BD是中线，∴AB＝BC＝AC＝2DC＝8，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝8+8+8＝24．【点评】本题考查的是等边三角形的性质，熟知边三角形的三个内角都相等，且都等于60°是解题的关键．5．（2022秋•启东市期末）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，点E在AD上，且DE＝BC，则∠AFE＝（）A．100°B．105°C．110°D．115°【分析】根据等边三角形的性质得到∠BAC＝60°，∠BAD＝BAC＝30°，AD⊥BC，BD＝CD＝BC，根据等腰直角三角形的性质得到∠DEC＝∠DCE＝45°，根据三角形的内角和定理即可得到答案．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AD是BC边上的中线，∴∠BAD＝BAC＝30°，AD⊥BC，BD＝CD＝BC，∴∠CDE＝90°，∵DE＝BC，∴DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE＝45°，∴∠AEF＝∠DEC＝45°，∴∠AFE＝180°﹣∠BAD﹣∠AEF＝180°﹣30°﹣45°＝105°，故选：B．【点评】本题考查了等边三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．6．（2022秋•大丰区期中）如图，在等边△ABC中，D为BC边上的中点，以A为圆心，AD为半径画弧，与AC边交点为E，则∠ADE的度数为（）A．60°B．105°C．75°D．15°【分析】根据等边三角形三线合一的性质可求出∠DAC＝30°，结合AD等于AE求出∠ADE的度数即可．【解答】解：在等边△ABC中，D为BC边上的中点，∴∠DAC＝30°（三线合一），在△ADE中，AD＝AE，∴∠AED＝∠ADE＝（180°﹣30°）＝75°，故选：C．【点评】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，解题关键在于能够熟练掌握该知识并进行合理运用．7．（2022秋•如皋市期中）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC，AB于点E，F，连接CF，若△AFC是等边三角形，则∠B的度数是（）A．60°B．45°C．30°D．15°【分析】根据垂直平分线的性质得到∠B＝∠BCF，再利用等边三角形的性质得到∠AFC＝60°，从而可得∠B的度数．【解答】解：∵EF垂直平分BC，∴BF＝CF，∴∠B＝∠BCF，∵△ACF为等边三角形，∴∠AFC＝60°，∴∠B＝∠BCF＝30°．故选：C．【点评】本题考查了垂直平分线的性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质，解题的关键是利用垂直平分线的性质得到∠B＝∠BCF．8．（2022秋•秦淮区校级月考）如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是AC，BC上的点，若AE＝AD，∠CED＝25°，则∠BAE＝°．【分析】利用等边三角形的性质可得∠C＝∠BAC＝60°，从而利用三角形的外角性质可得∠ADE＝85°，然后利用等腰三角形的性质可得∠AED＝∠ADE＝85°，从而利用三角形的内角和定理可得∠DAE＝10°，最后利用角的和差关系进行计算即可解答．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠C＝∠BAC＝60°，∵∠CED＝25°，∴∠ADE＝∠CED+∠C＝85°，∵AE＝AD，∴∠AED＝∠ADE＝85°，∴∠DAE＝180°﹣∠AED﹣∠ADE＝10°，∴∠BAE＝∠BAC﹣∠DAE＝60°﹣10°＝50°，故答案为：50．9．（2022秋•工业园区校级月考）阅读材料：如图，△ABC中，AB＝AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP＝S△ABC，即：，∴r1+r2＝h（定值）．（1）类比与推理如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，等边△ABC的高为h，试证明r1+r2+r3＝h（定值）．（2）理解与应用△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，△ABC内部是否存在一点O，点O到各边的距离相等？（填“存在”或“不存在”），若存在，请直接写出这个距离r的值，r＝．若不存在，请说明理由．【分析】（1）连接AP，BP，CP．根据三角形ABC的面积的两种计算方法进行证明；（2）根据角平分线上的点到角两边的距离相等进行求作．【解答】证明：（1）连接AP，BP，CP．则S△ABP+S△BCP+S△ACP＝S△ABC，即，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∴r1+r2+r3＝h（定值）；（2）存在．r＝2．【点评】此题主要是考查了等边三角形的性质、角平分线的性质以及三角形的面积公式．注意：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．二．等边三角形的判定（共6小题）10．（2022秋•吴江区校级月考）若一个三角形有两条边相等，且有一内角为60°，那么这个三角形一定为（）A．钝角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．正三角形【分析】根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形求解．【解答】解：根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得到该三角形一定为正三角形．【点评】此题考查学生对有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形的运用．11．（2022秋•梁溪区期中）如图所示，在等腰△ABC中，AB＝AC，AF为BC的中线，D为AF上的一点，且BD的垂直平分线过点C并交BD于E．求证：△BCD是等边三角形．【分析】根据等腰三角形的性质得出AF⊥BC，根据线段垂直平分线性质求出BD＝DC，BC＝CD，推出BD ＝DC＝BC，根据等边三角形的判定得出即可．【解答】证明：∵AB＝AC，AF为BC的中线，∴AF⊥BC，∴BD＝DC，∵CE是BD的垂直平分线，∴BC＝CD，∴BD＝DC＝BC，∴△BCD是等边三角形．【点评】本题考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质的应用，能正确运用定理进行推理是解此题的关键．12．（2021秋•淮安期末）三角形的三边长a，b，c满足（a﹣b）4+（b﹣c）2+|c﹣a|＝0，那么这个三角形一定是（）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰非等边三角形D．钝角三角形【分析】利用偶次方及绝对值的非负性可得出a﹣b＝0，b﹣c＝0，c﹣a＝0，进而可得出a＝b＝c，再结合a，b，c是三角形的三边长，即可得出这个三角形是等边三角形．【解答】解：∵（a﹣b）4+（b﹣c）2+|c﹣a|＝0，∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，c﹣a＝0，又∵a，b，c是三角形的三边长，∴这个三角形是等边三角形．故选：B．【点评】本题考查了等边三角形的判定、偶次方及绝对值的非负性，牢记三条边都相等的三角形是等边三角形是解题的关键．13．（2022秋•吴江区校级月考）在边长为9的等边三角形ABC中，点Q是BC上一点，点P是AB上一动点，以每秒1个单位的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒．（1）如图1，若BQ＝6，PQ∥AC，求t的值；（2）如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，△APQ为等边三角形？【分析】（1）由平行线的性质得∠BQP＝∠C＝60°，∠BPQ＝∠A＝60°，从而得出△BPQ是等边三角形，列方程求解即可；（2 ）根据点Q所在的位置不同，分类讨论△APQ是否为等边三角形，再根据等边三角形的性质得到等量关系，列方程求解即可．【解答】解：（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，PQ∥AC，∴∠BQP＝∠C＝60°，∠BPQ＝∠A＝60°，又∠B＝60°，∴∠B＝∠BQP＝∠BPQ，∴△BPQ是等边三角形，∴BP＝BQ，由题意可知：AP＝t，则BP＝9﹣t，∴9﹣t＝6，解得：t＝3，∴当t的值为3时，PQ∥AC；（2）如图2，①当点Q在边BC上时，此时△APQ不可能为等边三角形；②当点Q在边AC上时，若△APQ为等边三角形，则AP＝AQ，由题意可知，AP＝t，BC+CQ＝2t，∴AQ＝BC+AC﹣（BC+CQ）＝9+9﹣2t＝18﹣2t，即：18﹣2t＝t，解得：t＝6，∴当t＝6时，△APQ为等边三角形．题为背景，根据等边三角形、等腰三角形以及全等三角形的性质寻找等量关系，再列方程求解，能根据题目要求进行分类讨论是解题的关键．14．（2022秋•常州期中）如图，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC，AE⊥AB．（1）求∠C的度数；（2）求证：△ADE是等边三角形．【分析】（1）因为AB＝AC，根据等腰三角形的性质，等腰三角形的两个底角相等，又∠BAC＝120°，根据三角形内角和，可求出∠C的度数为30°．（2）AD⊥AC，AE⊥AB，∠ADE＝∠AED＝60°，三个角是60°的三角形是等边三角形．【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，故答案为：30°．（2）证明：∵∠B＝∠C＝30°，AD⊥AC，AE⊥AB．∴∠ADC＝∠AEB＝60°，∴∠ADC＝∠AEB＝∠EAD＝60°，∴△ADE是等边三角形．【点评】本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形的底角相等，以及等边三角形的判定定理，三个角是60°的三角形，是等边三角形．15．（2022秋•江都区校级月考）等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．【分析】先证△ABP≌△ACQ得AP＝AQ，再证∠P AQ＝60°，从而得出△APQ是等边三角形．【解答】解：△APQ证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC．在△ABP与△ACQ中，∵，∴△ABP≌△ACQ（SAS）．∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ．∵∠BAC＝∠BAP+∠PAC＝60°，∴∠PAQ＝∠CAQ+∠PAC＝60°，∴△APQ是等边三角形．【点评】考查了等边三角形的判定及全等三角形的判定方法．三．等边三角形的判定与性质（共9小题）16．（2022秋•梁溪区期中）一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶100海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶100海里到达C地，则A，C两地相距（）A．100海里B．80海里C．60海里D．40海里【分析】先求得∠CBA＝60°，然后可判断△ABC为等边三角形，从而可求得AC的长．【解答】解：如图所示：连接AC．∵点B在点A的南偏西40°方向，点C在点B的北偏西20°方向，∴∠ABD＝40°，∠CBD＝20°，∴∠CBA＝∠ABD+∠CBD＝60°．又∵BC＝BA，∴△ABC为等边三角形．∴AC＝BC＝AB＝100海里．故选：A．【点评】本题主要考查的是方向角、等边三角形的性质和判定，证得△ABC为等边三角形是解题的关键．17．（2022秋•玄武区期中）如图，△ABC为等边三角形，BD⊥AC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E．（1）求证：△ADE是等边三角形．（2）求证：AE＝AB．【分析】（1）根据等边三角形的性质和平行线的性质证明即可．（2）根据等边三角形的性质解答即可．【解答】证明：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°．∵DE∥BC，∴∠AED＝∠ABC＝60°，∠ADE＝∠C＝60°．∴△ADE是等边三角形．（2）∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC．∵BD平分∠ABC，∴AD＝AC．∵△ADE是等边三角形，∴AE＝AD．∴AE＝AB．【点评】此题考查等边三角形的判定和性质，关键是根据等边三角形的性质和平行线的性质解答．18．（2022秋•姑苏区期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠A＝60°，点E为AD上一点，连接BD，CE交于点F，CE∥AB．（1）判断△DEF的形状，并说明理由；（2）若AD＝12，CE＝8，求CF的长．【分析】（1）先证明△ABD是等边三角形，可得∠ABD＝∠ADB＝60°，由平行线的性质可得∠CED＝∠ADB＝∠DFE＝60°，可得结论；（2）由等边三角形的性质和平行线的性质可求AE＝CE＝8，即可求解．【解答】解：（1）△DEF是等边三角形，理由如下：∵AB＝AD，∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠ABD＝∠ADB＝60°，∵CE∥AB，∴∠CED＝∠A＝60°，∠DFE＝∠ABD＝60°，∴∠CED＝∠ADB＝∠DFE，∴△DEF是等边三角形；（2）连接AC交BD于点O，∵AB＝AD，CB＝CD，∴AC是BD的垂直平分线，即AC⊥BD，∵AB＝AD，∠BAD＝60°，∴∠BAC＝∠DAC＝30°，∵CE∥AB，∴∠BAC＝∠ACE＝∠CAD＝30°，∴AE＝CE＝8，∴DE＝AD﹣AE＝12﹣8＝4，∵△DEF是等边三角形，∴EF＝DE＝4，∴CF＝CE﹣EF＝8﹣4＝4．【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，证明AE＝CE是解题的关键．19．（2022秋•南通期末）已知等边△ABC的边长为5，点D为直线BC上一点，BD＝1，DE∥AB交直线AC于点E，则DE的长为．【分析】分D在线段BC上，和D在线段CB的延长线上，两种情况，讨论求解即可．【解答】解：①当D在线段BC上，如图：∵等边△ABC的边长为5，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC＝5，∵BD＝1，∴CD＝BC﹣BD＝4，∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°，∠DEA＝∠A＝60°，∴△DEC为等边三角形，∴DE＝CD＝4；②当D在线段CB的延长线上，如图：同法可得：△DEC为等边三角形，∴DE＝CD＝BC+BD＝6；综上：DE的长为：4或6；故答案为：4或6．【点评】本题考查等边三角形的判定和性质．熟练掌握，两直线平行，同位角相等，证明三角形是等边三角形，是解题的关键．注意，分类讨论．20．（2022秋•鼓楼区校级月考）如图所示，在等边△ABC中，AB＝9cm，点P从点C出发沿CB边向点B 以2cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BA边向点A以5cm/s的速度移动．P，Q两点同时出发，它们移动的时间为ts．（1）你能用含的式子表示BP和BQ的长度吗？请你表示出来．（2）请问几秒后，△PBQ第一次为等边三角形？（3）若P，Q两点分别从C，B两点同时出发，并且按顺时针方向沿△ABC三边运动，请问经过几秒后点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？【分析】（1）由等边三角形的性质可求得BC的长，用t可表示出BP和BQ的长；（2）由等边三角形的性质可知BQ＝BP，可得到关于t的方程，可求得t的值；（3）设经过t秒后第一次相遇，由条件可得到关于t的方程，可求得t的值，可求得点P走过的路程，可确定出P点的位置．【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形，∴BC＝AB＝9cm，∵点P的运动速度为2cm/s，运动时间为ts，∴BP＝BC﹣CP＝（9﹣2t）cm，∵点Q的运动速度为5cm/s，运动时间为ts，∴BQ＝5t（cm）；（2）若△PBQ为等边三角形，则有BQ＝BP，即9﹣2t＝5t，解得t＝，∴s时，△PBQ第一次为等边三角形；（3）设ts时，Q与P第一次相遇，根据题意得5t﹣2t＝18，解得t＝6，即6s时，两点第一次相遇．当t＝6s时，P走过的路程为2×6＝12cm，而9＜12＜18，即此时P在AB边上，∴经过6秒后点P与点Q在AB上第一次相遇．【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定、方程思想等知识．该题为运动型题目，解决这类问题的关键是化“动”为“静”，即用时间和速度表示出线段的长．21．（2022秋•泰州月考）如图，已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE．（1）求证：BD＝CE；（2）若AD＝BD＝DE＝CE，求∠BAE的度数．【分析】（1）作AF⊥BC于点F，利用等腰三角形三线合一的性质得到BF＝CF，DF＝EF，相减后即可得到正确的结论．（2）根据等边三角形的判定得到△ADE是等边三角形，根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及角的和差关系即可求解．【解答】（1）证明：如图，过点A作AF⊥BC于F．∵AB＝AC，AD＝AE．∴BF＝CF，DF＝EF，∴BD＝CE．（2）∵AD＝DE＝AE，∴△ADE是等边三角形，∴∠DAE＝∠ADE＝60°．∵AD＝BD，∴∠DAB＝∠DBA．∴∠DAB＝∠ADE＝30°．∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝90°．【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键．22．（2022秋•沭阳县期中）已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN 交MC于点E，BM交CN于点F．（1）求证：AN＝BM；（2）求证：△CEF为等边三角形．【分析】（1）由等边三角形可得其对应线段相等，对应角相等，进而可由SAS得到△ACN≌△MCB，结论得证；（2）由（1）中的全等可得∠CAN＝∠CMB，进而得出∠MCF＝∠ACE，由ASA得出△CAE≌△CMF，即CE＝CF，又ECF＝60°，所以△CEF为等边三角形．【解答】证明：（1）∵△ACM，△CBN是等边三角形，∴AC＝MC，BC＝NC，∠ACM＝∠NCB＝60°，∴∠ACM+∠MCN＝∠NCB+∠MCN，即∠ACN＝∠MCB，在△ACN和△MCB中，∵，∴△ACN≌△MCB（SAS），∴AN＝BM．（2）∵△CAN≌△CMB，∴∠CAN＝∠CMB，又∵∠MCF＝180°﹣∠ACM﹣∠NCB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠MCF＝∠ACE，在△CAE和△CMF中，∵，∴△CAE≌△CMF（ASA），∴CE＝CF，∴△CEF为等腰三角形，又∵∠ECF＝60°，∴△CEF为等边三角形．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及等边三角形的判定问题，能够掌握并熟练运用．23．（2022秋•启东市校级月考）数学课上，张老师举了下面的例题：例1：等腰三角形ABC中，∠A＝110°，求∠B的度数．（答案：35°）例2：等腰三角形ABC中，∠A＝40°，求∠B的度数．（答案：40°或70°或100°）张老师启发同学们进行变式，小敏编的题目如下：变式题：等腰三角形ABC中，∠A＝80°，求∠B的度数．（1）请你解答上面的变式题．（2）请继续探索，完成下面问题：等腰三角形ABC中，∠A＝60°，则∠B的度数为．（3）根据以上探索，我们发现，∠A的度数不同，得到的∠B度数的个数也可能不同．请你直接写出当∠A 满足什么条件时，∠B能得到三个不同的度数．【分析】（1）∠A是顶角，则∠B是底角，根据等腰三角形的两个底角相等即可求解；∠B是顶角，则∠A 是底角，则根据等腰三角形的两个底角相等，以及三角形的内角和定理即可求解；∠C是顶角，则∠B与∠A都是底角，根据等腰三角形的两个底角相等即可求解；（2）分两种情况：①90≤x＜180；0＜x＜90，结合三角形内角和定理求解即可．【解答】解：（1）当∠A＝80°为顶角时，∠B＝＝50°；当∠B是顶角，则∠A是底角，则∠B＝180°﹣80°﹣80°＝20°；当∠C是顶角，则∠B与∠A都是底角，则∠B＝∠A＝80°，综上所述，∠B的度数为50°或20°或80°；（2）因为有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形，所以∠B＝60°，故答案为：60°．（3）分两种情况：设∠A＝x°，①当90≤x＜180时，∠A只能为顶角，∴∠B的度数只有一个；②当0＜x＜90时，若∠A为顶角，则∠B＝（）°；若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝（180﹣2x）°；若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝x°．当≠180﹣2x且180﹣2x≠x且≠x，即x≠60时，∠B有三个不同的度数．综上所述，可知当0°＜∠A＜90°且x≠60°时，∠B有三个不同的度数．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，进行分类讨论是解题的关键．24．（2022秋•铜山区校级月考）已知：如图，△DAC、△EBC均是等边三角形，点A、C、B在同一条直线上，且AE、BD分别与CD、CE交于点M、N．求证：（1）AE＝DB；（2）△CMN为等边三角形．【分析】（1）根据△DAC、△EBC均是等边三角形，求证△ACE≌△DCB（SAS）即可得出结论．（2）由（1）可知：△ACE≌△DCB，和△DAC、△EBC均是等边三角形，求证△ACM≌△DCN（ASA）即可得出结论．【解答】证明：（1）∵△DAC、△EBC均是等边三角形，∴AC＝DC，EC＝BC，∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，即∠ACE＝∠DCB．在△ACE和△DCB中，∴△ACE≌△DCB（SAS）．∴AE＝DB．（2）由（1）可知：△ACE≌△DCB，∴∠CAE＝∠CDB，即∠CAM＝∠CDN．∵△DAC、△EBC均是等边三角形，∴AC＝DC，∠ACM＝∠BCE＝60°．又点A、C、B在同一条直线上，∴∠DCE＝180°﹣∠ACD﹣∠BCE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，即∠DCN＝60°．∴∠ACM＝∠DCN．在△ACM和△DCN中，∴△ACM≌△DCN（ASA）．∴CM＝CN．又∠DCN＝60°，∴△CMN为等边三角形．【点评】此题主要考查学生对等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识点的理解和掌握，此题难度不大，但是步骤繁琐，属于中档题．一．选择题（共5小题）1．（2022秋•梁溪区期中）下列命题不正确的是（）A．等腰三角形的底角不能是钝角B．等腰三角形不能是直角三角形C．若一个三角形有三条对称轴，那么它一定是等边三角形D．两个全等的且有一个锐角为30°的直角三角形可以拼成一个等边三角形【分析】利用等腰三角形的性质和等边三角形的判定的知识，对各选项逐项分析，即可得出结果．【解答】解：本题可采用排除法；A、利用等腰三角形的性质，等腰三角形的两底角相等，若两底角均为钝角，不能构成三角形，故这种说法错误，故不选A；B、举反例：等腰直角三角形，故B不正确．即答案选B．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质和等边三角形的判定，要求学生在学习过程中要对所学过的知识进行总结和复习，以便灵活的运用所学的知识．2．（2022秋•鼓楼区校级月考）如图，∠AOB＝60°，OA＝OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边△ACD，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是（）A．平行B．相交C．垂直D．平行、相交或垂直【分析】先判断出OA＝OB，∠OAB＝∠ABO，分两种情况判断出∠ABD＝∠AOB＝60°，进而判断出△AOC ≌△ABD，即可得出结论．【解答】解：∵∠AOB＝60°，OA＝OB，∴△OAB是等边三角形，∴OA＝AB，∠OAB＝∠ABO＝60°①当点C在线段OB上时，如图1，∵△ACD是等边三角形，∴AC＝AD，∠CAD＝60°，∴∠OAC＝∠BAD，在△AOC和△ABD中，，∴△AOC≌△ABD（SAS），∴∠ABD＝∠AOC＝60°，∴∠DBE＝180°﹣∠ABO﹣∠ABD＝60°＝∠AOB，∴BD∥OA，②当点C在OB的延长线上时，如图2，同①的方法得出OA∥BD，∵△ACD是等边三角形，∴AC＝AD，∠CAD＝60°，∴∠OAC＝∠BAD，在△AOC和△ABD中，，∴△AOC≌△ABD（SAS），∴∠ABD＝∠AOC＝60°，∴∠DBE＝180°﹣∠ABO﹣∠ABD＝60°＝∠AOB，∴BD∥OA，故选：A．【点评】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，求出∠ABD＝60°是解本题的关键．3．（2022秋•射阳县校级月考）如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始、按顺时针方向、取与三角形外箭头方向一致的一侧序号），如点A的坐标可表示为（1，2，5），点B的坐标可表示为（4，3，1），按此方法，若点C的坐标为（2，m，m﹣2），则m＝（）A．2B．3C．4D．6【分析】根据点A的坐标可表示为（1，2，5），点B的坐标可表示为（4，3，1），得到经过该点的三条直线对应着等边三角形三边上的三个数，依次为左，上，下，即可解答．【解答】解：由题意得：点C的坐标为（2，4，2），∴m＝4，故选：C．【点评】本题考查了等边三角形的性质，规律型：数字的变化类，找出题中的规律是解题的关键．4．（2022秋•扬州期中）在下列结论中：（1）有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形（2）有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形（3）有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形（4）三个外角都相等的三角形是等边三角形其中正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】根据等边三角形的性质和定义，可得：有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；三个内角都相等的三角形为等边三角形；再由中线的性质和三角形内角和的定义可解答本题．【解答】解：（1）：因为外角和与其对应的内角的和是180°，已知有一个外角是120°，即是有一个内角是60°，有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形．该结论正确．（2）：两个外角相等说明该三角形中两个内角相等，而等腰三角形的两个底角是相等的，故不能确定该三角形是等边三角形．该结论错误．（3）：等腰三角形的底边上的高和中线本来就是重合的，“有一边”可能是底边，故不能保证该三角形是等边三角形．该结论错误．（4）：三个外角都相等的三角形是等边三角形．正确；故选：C．【点评】本题考查等边三角形的判定，解题的关键是灵活运用的等边三角形的判定方法解决问题．5．（2022秋•邗江区月考）如图，直线m∥n，△ABC是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交AB 于点E，交AC于点F，若∠1＝140°，则∠2的度数是（）A．80°B．100°C．120°D．140°【分析】先根据等边三角形的性质可得∠A＝∠B＝∠C＝60°，由三角形外角的性质可得∠AEF的度数，由平行线的性质可得同旁内角互补，可得结论．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°．对于△AEF，∵∠1＝∠A+∠AEF＝140°，∴∠AEF＝140°﹣60°＝80°，∴∠DEB＝∠AEF＝80°，∵m∥n，∴∠2+∠DEB＝180°，∴∠2＝180°﹣80°＝100°，故选：B．【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，题目比较基础，熟练掌握性质是解题的关键．二．填空题（共13小题）6．（2022秋•江阴市期中）已知△ABC中，AB＝AC＝6，∠C＝60°，则BC＝6．【分析】先利用等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝60°，则可判断△ABC为等边三角形，然后根据等边三角形的性质得到BC＝AB．【解答】解：∵AB＝AC＝6，∴∠B＝∠C＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴BC＝AB＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三条边都相等，三个内角都相等，且都等于60°．7．（2022秋•建邺区校级月考）如图，已知△ABC是等边三角形，AD是中线，E在AC上，AE＝AD，则∠EDC＝．【分析】由AD是等边△ABC的中线，根据等边三角形中：三线合一的性质，即可求得AD⊥BC，∠CAD ＝30°，又由AD＝AE，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠ADE的度数，继而求得答案．【解答】解：∵AD是等边△ABC的中线，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝×60°＝30°，∴∠ADC＝90°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣∠CAD）＝75°，∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣75°＝15°．故答案为：15°．【点评】此题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．8．（2022秋•崇川区校级月考）如图，已知△ABC中，∠A＝60°，D为AB上一点，且AC＝2AD+BD，∠B＝4∠ACD，则∠DCB的度数是．。
等边三角形的性质
等边三角形的性质等边三角形是指所有边的长度相等的三角形。
它具有一些特殊的性质，下面将对等边三角形的性质进行详细论述。
1. 边长性质：等边三角形的三条边长度相等。
设等边三角形的边长为a，则三边长度均为a。
2. 角度性质：等边三角形的三个角均为60度。
由于三角形内角和等于180度，而等边三角形中的三个角相等，因此每个角为60度。
3. 对称性：等边三角形具有对称性。
对于等边三角形ABC，以A 点为中心，将三角形旋转180度，即可得到另外两个顶点B和C。
同样地，以B或C点为中心旋转180度，也能得到等边三角形。
4. 中线重合性：等边三角形的三条中线重合。
每条边的中线连接对边的中点形成三个等边三角形，由于这些三角形的边长相等，因此三条中线重合于一个点，即重心。
5. 高线重合性：等边三角形的三条高线重合。
由于等边三角形的三个角均为60度，所以每条边的垂直平分线也是高线。
这些垂直平分线交于一个点，即垂心。
6. 角平分线性质：等边三角形的三条角平分线重合。
等边三角形的每个角的角平分线也是中线和高线，因此三条角平分线交于一个点，即内心。
7. 外心性质：等边三角形的外心与三个顶点重合。
由于等边三角形的每个角都为60度，所以它的外接圆半径等于边长的一半，即外心与三个顶点重合。
8. 内切圆性质：等边三角形的内切圆与三角形三边相切。
等边三角形的内切圆半径等于边长的1/3，且与三角形的三条边相切。
以上是等边三角形的一些主要性质。
等边三角形作为特殊的三角形，具有独特的几何特征。
在解决几何问题时，我们可以利用这些性质来简化计算和推理，快速得出结论。
总而言之，等边三角形的性质包括边长相等、角度相等、对称性、重心、垂心、内心、外心以及内切圆等特点。
在几何学和数学中的应用中，这些性质为我们提供了重要的助力。
等边三角形的性质和判定
等边三角形的性质和判定
等边三角形也称为等腰三角形，是三角形中最基本的一种形状，
它的三个边都是等长的。
因为只有三条边，一般只需要判断三个边长
是否相等就可以是否是等边三角形。
等边三角形有着独特的性质，其中最重要的是它的三个内角都是
相等的，这代表等边三角形的三条边的本质是等边的，即它的三个角
都是相等的。
另外，等边三角形只有两个外角是相等的，而另外一个
外角则是一个直角。
根据上述性质，可以通过测量等边三角形的3边长度，来判断它
是否是一个等边三角形。
如果三边形长度都相等，则这个三角形就是
一个等边三角形。
同时，我们可以求出等边三角形的其它性质，比如它的三角形角
度和周长。
此外，我们还可以通过以上方法计算出等边三角形的面积：将三角形三边长度分别记为a，b，c，那么根据海伦-克拉斯定理可以
得出等边三角形的面积为：面积=〖△〗√=〖a*b*c〗√，3s其中s为三边的一半周长。
由以上性质可以看出，等边三角形的相关性质十分简单，只需要
测量三边长度就可以判断它是否是一个等边三角形，同时也可以计算
出它的其它性质，如内外角和周长面积等，用来研究三角形在实际应
用中的特性和特点。
等边三角形的判定
等边三角形的判定三角形是几何学中最基础的图形之一。
在三角形的种类中，等边三角形是其中一种特殊而独特的形式。
等边三角形有着特殊的属性和性质，在几何学和实际生活中都有重要的应用。
本文将探讨等边三角形的判定方法和其特点。
一、等边三角形的定义和性质等边三角形是指三条边长度完全相等的三角形。
根据等边三角形的定义，它具有以下几个性质：1. 三条边长相等：等边三角形的三条边长度完全相等，记作AB=BC=CA。
2. 三个内角相等：等边三角形的三个内角也相等，每个内角都为60度，记作∠A=∠B=∠C=60°。
3. 具有三个对称轴：等边三角形有三个对称轴，通过顶点A、B、C 和中心点O。
二、判定等边三角形的方法为了判定一个三角形是否为等边三角形，我们可以使用以下几种方法：1. 观察边长：最直观的方法是观察三角形的三条边是否完全相等。
如果三条边长度完全相等，那么这个三角形就是等边三角形。
2. 观察角度：等边三角形的每个内角都为60度。
因此，我们可以通过测量三个内角是否相等来判断是否为等边三角形。
如果三个内角都等于60度，那么这个三角形就是等边三角形。
3. 观察对称性：等边三角形具有三个对称轴，通过顶点和中心点。
所以，我们可以通过观察三角形是否具有对称性来判定是否为等边三角形。
请注意，在进行判定时，至少需要满足以上任意一种方法。
三、等边三角形的应用等边三角形在几何学和实际应用中具有重要的作用。
以下是一些等边三角形的应用示例：1. 建筑设计：等边三角形的稳定性和对称性使其成为建筑设计中常见的元素。
许多建筑物的构造和外观设计中都使用了等边三角形的形状。
2. 工程测量：等边三角形常用于工程测量和土木工程中的设计。
例如，等边三角形的特性可以用于测量物体的高度、长度和角度等。
3. 黄金比例：等边三角形和黄金比例之间有着紧密的联系。
黄金比例是指两个长度之比等于这两个长度之和与较长长度之比的关系。
等边三角形是黄金比例的基本构成元素之一。
等边三角形的性质
等边三角形的性质等边三角形是一种特殊的三角形，它具有独特的性质和特点。
在本文中，我们将深入探讨等边三角形的性质，包括它的定义、特点以及相关的角度和边长关系。
一、等边三角形的定义和特点等边三角形是指三条边的长度相等的三角形。
具体来说，一个三角形的三条边都相等时，它就是等边三角形。
等边三角形的特点包括：1. 三条边相等：等边三角形的三条边长度相等，分别记为a，所以等边三角形的边长都为a。
2. 三个内角相等：等边三角形的三个内角都相等，每个内角都为60度。
3. 对称性：等边三角形具有轴对称性，即以三角形中心为对称中心，可以将三角形分成三个完全相同的部分。
二、等边三角形的角度性质1. 内角度数：等边三角形的每个内角都是60度。
因此，等边三角形的三个内角之和为180度，符合三角形内角和定理。
2. 外角度数：等边三角形的每个外角都是120度。
外角和内角之和等于180度，也满足三角形的性质。
三、等边三角形的边长性质等边三角形的三条边长度相等，记为a。
由于等边三角形具有对称性，可以利用三角形的性质来推导出等边三角形的边长关系。
1. 周长：等边三角形的周长等于三条边的和，即P = 3a。
2. 高度：等边三角形的高度等于边长乘以根号3的一半，即h =a√3/2。
3. 面积：等边三角形的面积等于边长平方乘以根号3的一半，即A = a^2√3/4。
四、等边三角形的应用领域等边三角形在现实生活中具有广泛的应用。
以下列举几个常见的应用领域：1. 建筑设计：等边三角形常被用于建筑设计中，如平面图纸、地块规划等。
2. 航空工程：在航空工程中，等边三角形可以用于飞机的设计和结构分析。
3. 数学推导：等边三角形是许多数学推导和证明中的基本元素，它们可以用于推导其他几何性质和定理。
4. 游戏设计：在游戏设计中，等边三角形可以用于制作图形和界面设计。
五、总结在本文中，我们深入探讨了等边三角形的性质。
等边三角形的定义和特点使其在各个领域具有广泛的应用。
人教版八年级上册 第八讲 等边三角形的性质与判定 讲义(Word版,无答案)
人教版八年级上册 第八讲 等边三角形的性质与判定 讲义（Word 版，无答案）1 / 7第八讲 等边三角形的性质与判定一、知识精讲1.等边三角形性质： 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于 60°．2.等边三角形的判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形．3.在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半．二、典例解析构造 30°的直角三角形【例 1】 如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC = 120°，AC 的垂直平分线 EF 交 AC 于点 E ，交 BC 于点 F .求证：BF =2CF .【练 1】 如图，在等边△ABC 中，D 、E 分别是 BC 、AC 上的点，且 AE =CD ，AD与 BE 相交于点 F ，CF ⊥BE .求 AF ：BF 的值.人教版八年级上册 第八讲 等边三角形的性质与判定 讲义（Word 版，无答案）2 / 7【练 2】 如图，在△ABC 中，∠BAC = 90°，D 为三角形内一点，AB =AC =BD ，∠ABD = 30°，求证：AD =CD.120°角常补形构造等边三角形【例 2】 如图，∠BAD =120°，BD =DC ，AB +AD =AC .求证：AC 平分∠BAD .【练 3】 如图，O 是等边△ABC 内一点，已知∠AOB =115°，∠BOC =125°，求 以 OA 、OB 、OC 为边所构成三角形各内角的度数.【练 4】 如图，在四边形 ABCD 中，AD =4，BC =1，∠A =30°，∠B =90°，∠ADC =120°. 求 CD 的长.人教版八年级上册 第八讲 等边三角形的性质与判定 讲义（Word 版，无答案）3 / 7作平行线构造等边三角形【例 3】 如图，△ABC 为等边三角形，D 为 BC 上任一点，∠ADE =60°，边 DE 与∠ACB 的外角平分线相交于点 E .（1）求证：AD =DE.（2）若点 D 在 CB 的延长线上，(1)的结论是否仍然成立？若成立请给予证 明；若不成立，请说明理由.【练 5】 （1）如图，在等边△ABC 中，在 BC 边上任取一点 P ．过点 P 作 AC 的平行线，过点 C 作 AB 的平行线，两线交于点 Q ，求证：AP =BQ .（2）在上面的条件下，点 P 在 BC 边上任意运动，延长 AP 交 BQ 于 D ，请画 出图形．问 AD 与 BD +CD 之间是否存在确定关系？若存在，请指明这个关系，并 证明你的结论，若不存在，请说明理由．【练 6】如图，△AOB和△ACD是等边三角形，其中AB⊥x轴于E点，点E坐标为(3，0)，点C(5，0).（1）如图①，求BD的长；（2）如图②，设BD交x轴于F点，求证：∠OFA=∠DFA;（3）如图③，若点P为OB上一个动点（不与 0、B重合），PM⊥OA于M，PN⊥AB于N.当P在OB上运动时，下列两个结论：①PM+PN的值不变；②PM-PN 的值不变．其中只有一个是正确的，请找出这个结论，并求出其值.共顶点的等边三角形与全等【例 4】如图，已知C点为线段AB上一点，△ACM和△BCN都为等边三角形.（1）求证：AN=BM.（2）求∠NOB的度数.4 / 7【练 7】如图，已知C点为线段AB上一点，△ACM和△BCN为等边三角形.（1）连接ED，证明△CDE是等边三角形.（2）若点P为AN的中点，点Q为BM的中点，求∠CQP的度数.三、课后练习.1.如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥AC交BC于点D,求证:BC=3AD2.已知六边形ABCDEF的每个内角都相等，且AB=1，BC=CD=DE=9．求这个六边形的周长.5 / 76 / 73.如图，△ABC 中，AB =7，AC =11，点 M 是 BC 中点，AD 平分∠BAC ，MF ∥AD 交AC 于 F ．求 FC 的长.4.如图，已知△ABC 是等边三角形，D 、E 分别在 BA 、BC 的延长线上，且 AD =BE ，求证：DC =DE .E5.如图，点 E 是等边△ABC 内一点，且 EA =EB ，△ABC 外一点 D 满足 BD =AC ，且BE 平分∠DBC ，求∠BDE 的度数．（提示：连接 CE ）7 / 76.如图，△ABC 是边长为 1 的等边三角形，BD =CD ，∠BDC =120°，E 、F 分别在AB 、AC 上，且∠EDF =60°，求△AEF 的周长．7.如图，D 是等边△ABC 内一点，DB =DA ，BP =AB ，∠P = 30°． 求证：BD 平分∠PBC .8.如图△ABC 、△CDE 、△EHK 都是等边三角形，且 A 、D 、K 在一条直线上，AD =DK ． 求证：△HBD 也是等边三角形。
等边三角形的性质与判定
等边三角形的性质与判定等边三角形是一种特殊的三角形，具备特定的性质和判定方法。
本文将介绍等边三角形的性质，并探讨如何判定一个三角形是否为等边三角形。
一、等边三角形的性质等边三角形具有以下几个显著的性质：1. 边长相等：等边三角形的三条边长度完全相等。
2. 角度相等：等边三角形的三个内角均为60度。
3. 对称性：等边三角形具有三条对称轴，每条轴都经过一个顶点和对边的中点。
4. 高度、中线、角平分线重合：等边三角形的高度、中线和角平分线都重合于一条直线。
二、判断三角形是否为等边三角形判定一个三角形是否为等边三角形有以下几种方法：1. 边长判定法：若一个三角形的三边长度均相等，则该三角形为等边三角形。
2. 角度判定法：若一个三角形的三个内角均为60度，则该三角形为等边三角形。
3. 对称性判定法：若一个三角形具有三条对称轴，每条轴都经过一个顶点和对边的中点，则该三角形为等边三角形。
4. 高度、中线、角平分线重合判定法：若一个三角形的高度、中线和角平分线都重合于一条直线，则该三角形为等边三角形。
请注意，这些判定方法不仅可以单独使用，也可以结合使用，以得出更准确的结果。
三、等边三角形的应用等边三角形在几何学和工程学中具有广泛的应用。
1. 建筑设计：等边三角形常用于设计正六边形的楼柱或柱子，使得建筑物更加稳定和均衡。
2. 航空航天：等边三角形的稳定性使得它在设计和制造飞行器的翼型中得到广泛应用。
3. 测量和定位：等边三角形在测量和定位领域也起到重要的作用，例如通过测量等边三角形的边长来判断距离等。
四、总结等边三角形是一种特殊的三角形，具有边长相等、角度相等、对称性以及高度、中线、角平分线重合等性质。
我们可以通过边长判定、角度判定、对称性判定和高度、中线、角平分线重合判定等方法来判断一个三角形是否为等边三角形。
此外，等边三角形在建筑设计、航空航天、测量和定位等领域有着广泛的应用。
通过了解等边三角形的性质和判定方法，我们能够更好地理解和应用这一特殊的几何形状，为相关领域的研究和实践提供帮助。
等边三角形的性质及判定
探究：如图,等边三角形ABC,以下三种方法分别 得到的三角形ADE都是等边三角形吗？为什么？ （1）在边AB，AC，分别截取AD=AE （2）∠ADE=60°，D，E分别在边AB，AC上 （3）过边AB上D点，作DE∥BC，交 A
A
你还能用其他
方法证明吗?
B
C
D
在直角三角形中,如果一个锐角等于30° 则它所对的直角边等于斜边的一半.
A
30°
在直角△ABC中
∵∠A＝30°
B┓
C ∴AC＝2BC
下图是屋架设计图的一部分,点D是 斜梁AB的中点,立柱BC、 DE垂直于 横梁AC,AB＝7.4m,∠A＝30°立柱 BC 、 DE要多长
资料整理
• 仅供参考,用药方面谨遵医嘱
A
B
C
等边三角形的性质
1 .三条边相等
2.等边三角形的内角都相等,且等于60 ° 3.等边三角形各边上中线,高和所对角的平 分线都三线合一. 4.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.
探索星空：探究判定一
1、三个内角都等于60°的三角形是等边三角形
∵ ∠A=∠B=∠C=60° ∴ AB=AC=BC (在同一个 三角形中等角对等边) ∴ △ABC是等边三角形
三角形中等边对等角)
B
C
∵ ∠A+∠B+∠C=180° ∴ ∠A=∠B=∠C=60°
探索星空：探究性质二
2、等边三角形有“三线合一”的性质吗为什么
A
B
C
结论:等边三角形每条边上的中线,高和所对角的 平分线都三线合一。（ 所有的高线，角平分线， 中线的长度相等。）
探索星空：探究性质三
3、等边三角形是轴对称图形吗有几条对称轴
等边三角形的性质与判定课件
∵∠A= ∠ B=∠C
∴△ABC是等边三角形
判定3：有一个角是60。的等腰三角形是
等边三角形 已知： AB=AC ∠A=60。
A
求证：△ABC是等边三角形
B
几何语言:
C
∵AB=AC ∠A=60。
∴△ABC是等边三角形
1、已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3cm， 则△ABC的周长___9_c_m___
(2) 等边三角形的判定:
1.三边相等的三角形是等边三角形. 2.三个角都相等的三角形是等边三角形。 3.有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三
角形。
有二条边相等
底边＝腰长
一般三角形
等腰三角形
等边三角形
等边三角形的定义
三边都相等的三角形叫等边三
角形。等边三角形是一种特殊的
A
等腰三角形。也叫正三角形。
B
C
等腰边三角形有什么性质？
名 图 形 边 角 重要线段 对称性
称
等
A
腰 三 角
形 B） .
）∟
两 腰 相 C等
两 底 角 相 等
顶角的平分线 底边上的中线 底边上的高线
Байду номын сангаас
角形（定义）
三角形（定义）
方法二：从角看
方法二：
有两个角相等的三角形是等腰 三个角都相等的三角形是等 三角形。（简写成等角对等边） 边三角形
方法三：
有一个角是60°的等腰三角形 是等边三角形
判定2： 三个角都相等的三角形是 A 等边三角形。
已知： ∠A= ∠ B=∠C
求证：△ABC是等边三角
形
B
C 几何语言：
∵ DE∥BC
证明等边三角形的性质
证明等边三角形的性质作文正文如下：证明等边三角形的性质等边三角形是指三条边长度相等的三角形，它具有一些独特的性质。
下面将通过几个方面来证明这些性质。
一、等边三角形的内角在等边三角形中，我们知道三条边的长度都相等，设为a。
假设等边三角形的三个内角分别是A、B、C，我们需要证明A、B、C都是60度。
首先，连接等边三角形的三个顶点，可以得到三条边相等的边长为a的边长三角形。
根据边长三角形的性质，在边长为a的边长三角形中，三个内角分别是60度。
因此，A、B、C都是60度，证明了等边三角形的内角都是60度。
二、等边三角形的外角我们知道，在任意三角形中，三个外角的度数相加等于360度。
由于等边三角形的三个内角都是60度，所以可以推断等边三角形的三个外角度数相加为360度。
三、等边三角形的高和重心等边三角形的高是从一个顶点到对边的垂直线段。
因为等边三角形具有三个等长的边，所以三条高的长度也相等。
此外，等边三角形的高必须经过重心，即三条高的交点。
四、等边三角形的面积我们知道，任意三角形的面积可以通过底边和高来计算，公式为：面积 = 底边长度 ×高 ÷ 2。
在等边三角形中，底边的长度和高的长度都相等，所以可以得到等边三角形的面积公式为：面积 = 边长 ×边长 ×√3 ÷ 4。
五、等边三角形的外接圆和内切圆等边三角形的外接圆指的是可以完全与等边三角形相切的圆。
我们可以证明，等边三角形的外接圆半径等于边长的一半。
同样地，等边三角形的内切圆指的是完全与等边三角形的三条边相切的圆，其半径可以通过等边三角形的边长来计算，公式为：半径 = 边长× √3 ÷ 6。
综上所述，等边三角形的性质主要包括内角为60度、外角之和为360度、高和重心的特点、面积公式以及外接圆和内切圆的性质。
这些性质是等边三角形独特的特点，通过以上的证明可以加深对等边三角形的理解和认识。
等边三角形的判定和性质
【变式】 直线AB,CD相交,求证:AB,CD只有一个交点.用反证法证明时,我们可先
假设AB,CD相交于两个交点O与O′, 那么过O,O′两点就有 两 条直线,这与
“过两点 有且只有一条直线
”矛盾,所以假设不成立,则原命题成立.
1.(2018福建)如图,在等边三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为点D,点E在线段AD 上,∠EBC=45°,则∠ACE等于( A ) (A)15° (B)30° (C)45° (D)60°
等边三角形的判定方法的选择 (1)若已知三边关系,则考虑运用等边三角形的定义进行判定; (2)若已知三角关系,则根据“三个角都相等的三角形是等边三角形”进行判 定; (3)若已知该三角形是等腰三角形,则可再寻找一个内角等于60°即可.
【变式】如图,已知点D是等边三角形ABC的边BC延长线上的一点,∠EBC=∠DAC, CE∥AB. 求证:△CDE是等边三角形.
知识点二 等边三角形的有关性质 【例2】如图,在等边三角形ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且DE∥AB,过点E作 EF ⊥DE,交BC的延长线于点F. (1)求∠F的度数; (2)若CD=2,求DF的长.
解:(1)因为△ABC为等边三角形,所以∠B=60°.因为DE∥AB,所以∠EDC=∠B= 60°.因为EF⊥DE,所以∠DEF=90°,所以∠F=90°-∠EDC=30°. (2)因为∠ACB=60°,∠EDC=60°,所以△EDC为等边三角形.所以ED=DC=2,因 为∠DEF=90°,∠F=30°,所以DF=2DE=4.
等边三角形的性质与计算公式解析
等边三角形的性质与计算公式解析等边三角形是指具有三条边相等的三角形。
在几何学中，等边三角形具有一些独特的性质和特点。
本文将对等边三角形的性质以及与其相关的计算公式进行解析，帮助读者更好地理解和应用等边三角形。
一、等边三角形的性质：1. 三边相等：等边三角形的三条边长度相等，记为a。
2. 三个角度相等：等边三角形的三个角度均相等，且每个角度为60度。
3. 三个角的余弦值等于0.5：等边三角形的每个角的余弦值均为0.5，即cos(60°) = 0.5。
4. 三个角的正弦值等于根号3/2：等边三角形的每个角的正弦值为根号3/2，即sin(60°) = √3/2。
二、等边三角形的计算公式解析：1. 等边三角形的周长：等边三角形的周长可以通过三条边的长度相加来计算，即周长L = 3a。
2. 等边三角形的面积：等边三角形的面积可以通过以下公式来计算，即S = (a^2√3)/4。
3. 等边三角形的高度：等边三角形的高度可以通过以下公式来计算，即h = (a√3)/2。
4. 等边三角形内切圆的半径：等边三角形的内切圆半径可以通过以下公式来计算，即r = (a√3)/6。
三、等边三角形的应用举例：1. 基于等边三角形的面积公式，我们可以计算任意等边三角形的面积。
例如，已知等边三角形的边长为5cm，则可以利用公式S =(a^2√3)/4计算得出面积为(25√3)/4。
这样，我们可以根据等边三角形的边长快速计算其面积。
2. 基于等边三角形的周长公式，我们可以计算任意等边三角形的周长。
例如，已知等边三角形的边长为8cm，则可以利用公式L = 3a计算得出周长为24cm。
这样，我们可以通过等边三角形的边长轻松求得其周长。
3. 等边三角形的性质也可以应用于建筑和工程领域。
例如，在设计正六边形的地砖或者蜂窝状结构时，我们可以利用等边三角形的特性来确定每个等边三角形的边长和角度，从而实现结构的合理设计和布局。
等边三角形的特征与判定
等边三角形的特征与判定等边三角形是指三条边的长度相等的三角形。
在讨论等边三角形的特征与判定之前，我们先来了解一下等边三角形的性质和定义。
定义：等边三角形是指三条边的长度相等的三角形。
性质：1. 三条边的长度相等，即AB=BC=CA。
2. 三个内角均为60度。
3. 三条高、三条角平分线和三条中线重合。
判定等边三角形的方法：1. 通过边的长度判断：三条边的长度都相等，即AB=BC=CA。
2. 通过角的大小判断：三个内角均为60度。
3. 通过高的长度判断：三条高的长度都相等。
4. 通过角平分线的长度判断：三条角平分线的长度都相等。
5. 通过中线的长度判断：三条中线的长度都相等。
等边三角形的特征与判定可以通过以下几个例子来说明：例子1：给定一个三角形ABC，已知AB=BC=CA，我们希望判定该三角形是否是等边三角形。
解：由已知条件可知，三条边的长度相等，即AB=BC=CA。
因此，该三角形是等边三角形。
例子2：给定一个三角形ABC，已知∠A=∠B=∠C=60度，我们希望判定该三角形是否是等边三角形。
解：由已知条件可知，三个内角均为60度。
因此，该三角形是等边三角形。
例子3：给定一个三角形ABC，已知AD、BE、CF分别是三角形ABC的三条高，我们希望判定该三角形是否是等边三角形。
解：我们需要通过高的长度来判断，如果AD=BE=CF，则说明该三角形是等边三角形。
例子4：给定一个三角形ABC，已知AP、BQ、CR分别是三角形ABC的三条角平分线，我们希望判定该三角形是否是等边三角形。
解：我们需要通过角平分线的长度来判断，如果AP=BQ=CR，则说明该三角形是等边三角形。
例子5：给定一个三角形ABC，已知AM、BN、CP分别是三角形ABC的三条中线，我们希望判定该三角形是否是等边三角形。
解：我们需要通过中线的长度来判断，如果AM=BN=CP，则说明该三角形是等边三角形。
综上所述，等边三角形的特征与判定主要通过边的长度、角的大小、高的长度、角平分线的长度以及中线的长度进行判断。
等边三角形的性质与判定(共14张PPT)
∴ AB =BC =AC．
证明：∵ △ABC 是等边三角形，
证明：∵ △ABC 是等边三角形， 2．能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证
∴ ∠B =∠D，∠C =∠E．
∴ ∠EAD =∠D =∠E．
∴ BC =AC，BC =AB． ∴ AB =BC =AC．
∴ ∠A =∠B =∠C =60°．
A
∵ ∠A=∠B =∠C ，
∴ ∠A =∠B，∠A =∠C ． 追问 本题还有其他证法吗？
∴ AB =BC =AC．
∴ BC =AC，BC =AB．
∴ ∠A =∠B =∠C ． ∵ DE∥BC，
证明： ∵ △ABC 是等边三角形，
∵ ∠A +∠B +∠C =180°，
∴ ∠A =60°．
B
C
∴ ∠A =∠B =∠C =60°．
等边三角形的性质与判定
课件说明
• 学习目标：
1．探索等边三角形的性质和判定． 2．能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证
明． • 学习重点：
探索等边三角形的性质与判定．
变式1 若点D、E 在边AB、AC 的延长线上，且
图形 ∴ BC =AC，BC =AB．
边
是
∴ ∠A =∠ABC =∠ACB =60°．
A
∵ DE∥BC，
∴ ∠B =∠ADE，∠C =∠AED．
∴ ∠A=∠ADE =∠AED． ∴ △ADE 是等边三角形． D
E
追问 本题还有其他证法吗？ B
C
动脑思考，变式训练
变式1 若点D、E 在边AB、AC 的延长线上，且
DE∥BC，结论还成立吗？
证明：∵ △ABC 是等边三角形，
等边三角形的性质和判定
等边三角形的性质和判定等边三角形是指三条边相等的三角形。
它具有一些独特的性质和判定方法，本文将详细介绍等边三角形的性质以及如何判定一个三角形是否为等边三角形。
一、等边三角形的性质1. 边长相等：等边三角形的三条边长度相等，记为a=a=a。
2. 角度相等：等边三角形的三个内角相等，每个角为60度。
3. 高度、中线、角平分线：等边三角形的高度、中线以及角平分线均相等。
4. 对称性：等边三角形具有对称性，即以任意边为轴进行折叠，三角形的各部分完全重合。
二、等边三角形的判定1. 三边相等判定法：如果一个三角形的三边长度相等，那么它就是等边三角形。
2. 角度相等判定法：如果一个三角形的三个角度均为60度，那么它就是等边三角形。
3. 边长和角度判定法：如果一个三角形的两边边长相等且夹角为60度，那么它就是等边三角形。
三、等边三角形的应用等边三角形作为一种特殊的三角形，在几何学和实际生活中有着广泛的应用。
1. 建筑设计：等边三角形的稳定性和对称性使其成为建筑设计中常用的形状。
例如，蜂窝状的建筑结构常使用等边三角形。
2. 制作模型：等边三角形可以用于制作模型，特别是多面体模型。
例如，立方体的六个面均为等边三角形。
3. 计算几何：等边三角形的性质可用于计算几何中的推导和证明。
例如，通过等边三角形，我们可以推导出正六边形的面积和边长与半径的关系。
四、等边三角形的例题例题1：已知△ABC中，AB=BC=AC，且∠ABC=60度，求证△ABC为等边三角形。
证明：根据等边三角形的判定法，我们需要证明△ABC的三边相等。
已知AB=BC，再根据已知∠ABC=60度，可得到∠BAC=∠BCA=60度。
由此可知，△ABC的三个角度均为60度，即满足等边三角形的定义。
因此，可以得出结论，△ABC为等边三角形。
例题2：已知△PQR是等边三角形，且PR=6cm，求PQ的长度。
解析：由于△PQR是等边三角形，则QR=PR=6cm。
根据等边三角形的定义，三条边的长度均相等。
等边三角形的性质与判定解析
等边三角形的性质与判定解析等边三角形是指三条边的长度相等的三角形。
在本文中，我们将探讨等边三角形的性质以及如何判定一个三角形是否为等边三角形。
一、等边三角形的性质1. 三边相等：等边三角形的最显著特征是其三条边的长度相等。
三边均相等意味着等边三角形的内角也是相等的，每个角都是60度。
2. 内角相等：由于等边三角形的三边相等，根据三角形内角和的性质可知，等边三角形的每个内角都是60度。
3. 对称性：等边三角形具有一定的对称性质。
如果我们以其中一个顶点为中心，以该顶点与另外两个顶点连线的垂直平分线为轴进行旋转，等边三角形将重合于原位置。
二、判定等边三角形1. 通过边长判断：判定一个三角形是否为等边三角形最直观的方法是通过测量三条边的长度。
如果三边的长度均相等，则可以确定该三角形为等边三角形。
2. 通过角度判断：等边三角形的每个内角都是60度，因此我们可以通过测量三个内角来判断一个三角形是否为等边三角形。
如果三个内角的测量结果均为60度，则可以确定该三角形为等边三角形。
3. 通过对称性判断：根据等边三角形的对称性质，我们可以通过观察三角形的对称性来判断其是否为等边三角形。
如果三角形具有明显的对称性，并且边长相等，那么可以确定该三角形为等边三角形。
三、等边三角形的应用1. 建筑设计：等边三角形具有稳定性较好的特点，因此在建筑设计中经常使用等边三角形的原理来构建稳定的结构，如建筑物的支撑结构或者桥梁的支撑墩设计等。
2. 数学几何题：在解决一些数学几何问题时，等边三角形的性质常常被应用。
通过利用等边三角形的特点，可以简化问题的求解过程，提高解题效率。
3. 图形设计：等边三角形具有简洁美观的特点，常出现在图案、LOGO设计等各类艺术设计中，赋予作品一种稳定和和谐的感觉。
四、总结等边三角形是一种特殊的三角形，其三边长度相等，每个内角均为60度。
判断一个三角形是否为等边三角形可以通过测量边长、测量角度以及观察对称性来确定。
等边三角形判定方法
等边三角形判定方法
等边三角形是一种特殊的三角形，它的三条边长度相等，三个内角也相等，每个角都是60度。
在几何学中，我们经常需要判定一个三角形是否为等边三角形，下面将介绍一些判定方法。
1. 通过边长判定。
判定一个三角形是否为等边三角形最直接的方法就是通过其三条边的长度。
如果一个三角形的三条边长度都相等，那么它就是等边三角形。
可以通过测量三条边的长度，如果它们相等，则可以确定这个三角形是等边三角形。
2. 通过角度判定。
除了通过边长判定，我们还可以通过角度来判定一个三角形是否为等边三角形。
因为等边三角形的三个角都是60度，所以我们可以测量三个角度，如果它们都是60度，则可以确定这个三角形是等边三角形。
3. 通过特殊线段判定。
在等边三角形中，高、中线、角平分线、垂直平分线等特殊线段也有特殊的性质。
通过这些特殊线段的性质，我们也可以判定一个三角形是否为等边三角形。
例如，等边三角形的高、中线、角平分线都是重合的，而且它们的长度都相等。
4. 通过面积判定。
在等边三角形中，我们可以利用海伦公式或其他方法计算三角形的面积，如果三角形的三条边长度都相等，那么它的面积也会有特定的计算公式，通过计算三角形的面积，我们也可以判定一个三角形是否为等边三角形。
总结。
等边三角形是一种特殊的三角形，它具有独特的性质，通过以上的判定方法，我们可以准确地判断一个三角形是否为等边三角形。
在实际问题中，判定一个三角形是否为等边三角形有时候会对我们解决问题有一定的帮助，因此掌握这些判定方法对我们来说是非常有益的。
希望本文所介绍的内容能够帮助到大家，谢谢阅读！。
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14.7 等边三角形
【教学目标】
1、理解等边三角形是特殊的等腰三角形，是轴对称性图形；
2、掌握等边三角形的性质和判定，能够利用它进行计算与说理；
3、经历等边三角形判定方法的讨论、发现、归纳、说理过程，初步感悟分类讨论的思想.
【教学重点】
等边三角形的性质和判定的掌握
【教学难点】
用等边三角形的性质和判定进行说理
【教学反思】
1.在等边三角形的性质教学中，没有过多的强调等边三角形具备等腰三角形的所有性质。
2.在问题设计上还需要调动学生更多的积极性。
3.在性质与判定探究的过程中，可以添加更多的学生讨论和互动。