量纲分析与相似理论
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4
什么是量纲，什么是单位，二者之间有什么 区别和联系？
5
答：量纲是表示各种物理量的类别；单位是度量各 种物理量数值大小的标准。单位和量纲都是关于度 量的概念，单位决定量度的数量，而量纲则指量度
的性质。
6
量纲分析方法提出的根据是什么，它有何作用？
答：1.提出根据 （1）自然界一切物理现象的内在规律，都可以用 完整的物理方法来表示。 （2）任何完整物理方程，必须满足量纲和谐性原理。 2.作用 可用来推导各物理量的量纲；简化物理方程； 检验物理方程、经验公式的正确性与完善性，为科学 地组织实验过程、整理实验成果提供理论指导。
量纲分析与相似理论
1
量纲、量纲和谐性原理
2
• 量纲分析和相似原理，为科学地组织实验 及整理实验成果提供了理论指导。对于复 杂的流动问题，还可借助量纲分析和相似 原理来建立物理量之间的联系。显然，量 纲分析与相似原理是发展流体力学理论， 解决实际工程问题的有力工具。
3
在工程界至今还有一些由实验和观测资料整理成的经验公 式，不满足量纲和谐 (既经验公式)。这种情况表明，人们 对这一部分流动的认识尚不充分。这样的公式将逐步被修 正或被正确完整的公式(即理论公式)所代替。
31
解题步骤
解： 1. 列出上述影响因素的函数关系式
f (D,V , ,l, , , p) 0
2. 在函数式中n＝7；选取3个基本物理量，依次为 几何学量D、运动学量V和动力学量ρ，三个基本物 理量的量纲是
dim D L1T 0M 0 dimV L1T 1M 0
dim L3T 0 M 1
2. 将q写成H，ρ，g的指数乘积形式，即
q kH a b g c
12
解题步骤
3. 写出量纲表达式
dim q dim(H a b gc )
4. 选L、T、M作为基本量纲，表示各物理量的量 纲为
[L2T 1] [L]a[ML3 ]b[LT 2 ]c
5. 由量纲和谐性原理求各量纲指数
由量纲和谐原理可引申出以下两点：
(1)凡正确反映客观规律的物理方程，一定能表示成由无 量项组成的无量纲方程。因为方程中各项的量纲相同，只需 用其中的一项遍除各项。便得到一个由无量纲项组成的无量 纲式，仍保持原方程的性质。
(2)量纲和谐原理规定了—个物理过程中有关物理量之间 的关系。因为一个正确完整的物理方程中各物理量量纲之 间的联系是确定的，按物理量量纲之间的这一确定性，就 可建立该物理过程各物理量的关系式。量纲分析法就是根 据这一原理发展起来的，它是本世纪初在力学上的重要发 现之一。
1
D Q a1 b1 c1
1
2
D2
D Q a2 b2 c2 1
3
p
D Q a3 b3 c3 1
其中ai、bi、ci 为待定指数。
27
解题步骤
4. 根据量纲和谐性原理，确定各π 项的指数 对于π1，其量纲式为：
L1T 1M La1 (L3T 1)b1 (L3M )c1
32
解题步骤
其量纲指数行列式为
1 00 1 1 0 1 0 3 0 1 故说明基本物理量的量纲是相互独立的。 可写出n－3＝7－3＝4个无量纲π项。
33
解题步骤
3. 列出无量纲π值
1
l
D V a1 b1 c1
3
D V a3 b3 c3
2
D V a2 b2 c2
V
38
d
解题步骤
解：一、瑞利法求解
1. 已知与阻力FD有关的物理量为d，V，ρ，μ，即
FD f (D,V , , )
2. 将阻力写成d，V， ρ， μ的指数乘积形式，即
FD kDaV b c e
3. 写出量纲表达式
DimFD k Dim(DaV b c e )
39
根据题意可知，压强差△p与通过的流量Q，流 体的密度ρ，液体的粘度η 以及大小直径D1,D2有关，
用函数关系式表示为：
f (D1,Q, ,, D2 ,p) 0
可以看出函数中的变量个数 n＝6
25
解题步骤
2. 选取基本物理量
选取三个基本物理量，它们分别是几何学量D1， 运动学量Q以及动力学量ρ 。
23
文丘里流量计是用来测 量有压管路的流量，如右 图所示，已知1-1断面和2-2 断面之间的压强差△p随流 量Q，流体密度ρ，液体粘 度η 以及大小直径D1，D2变 化。试用π定律求出的压强 降落△p表示的流量公式。
1
Q 1
2
D2 D1
2
h=ρ
p g
文丘里流量计
24
解题步骤
解： 1. 分析影响因素，列出函数方程
8
解：量纲和谐性原理是已被无数事实证明的客观真 理。因为只有两个同类型的物理量才能相加减，否 则没有物理意义的。而一些经验公式是在没有理论 分析的情况下，根据部分实验资料或实测数据统计 而得，这类公式经常是量纲是不和谐的。这说明人 们对客观事物的认识还不够全面和充分，只能用不 完全的经验关系式来表示局部的规律性。这些公式 随着人们对流体本质的深刻认识，将逐步被修正或 被正确完整的公式所替代。
4. 满足π为无量纲相，由量纲和谐性原理定出各π 项基本物理量的指数a、b、c。
5. 写出描述现象的关系式。
f (1, 2 ,, nm ) 0
22
在用布金汉π定理时，要选取3个相互基本物理 量，如何合理的选择这3个基本物理量呢？
答：（1）基本物理量与基本量纲相对应。即若基本量纲选 （M，L，T）为三个，那么基本物理量也选择三个；倘若基 本量纲只出现两个，则基本物理量同样只须选择两个。 （2）选择基本物理量时，应选择重要的物理量。换句话说， 不要选择次要的物理量作为基本物理量，否则次要的物理量 在大多数项中出现，往往使问题复杂化，甚至要重新求解。 （3）为保证三个基本物理量相互独立，其量纲的指数行列 式应满足不等于零的条件。一般是从几何学量、运动学量、 动力学量中各选一个，即可满足要求。
2.确定基本物理量。从n个物理量中选取所包含的 m个基本物理量作为基本量纲的代表，一般取m=3。 使基本量纲的行列式不等于零，即保障基本无论量 相互独立。
21
解题步骤
3. 确定基本物理量依次与其余物理量组成的π表达
式。
i
x x x x ai bi ci 1 23i
(i 1, 2,n m)
N k aQbH c
17
解题步骤
3. 写出量纲表达式
dim N dim( aQbH c )
4. 选L、T、M作为基本量纲，表示各物理量的量 纲为
[L2T 3M ] [L2T 2M ]a[L3T 1]b[L]c
5. 由量纲和谐性原理求各量纲指数
L：2=-2a+3b+c
a=1
T：-3=-2a-b
a1 1 b1 0 c1 0
所以：
1
l D
35
解题步骤
同理可得
2
DV
3
D
4
p
V 2
5. 写出无量纲量方程，其中π2项根据需要取其倒数， 但不会改变其无量纲性质，所以
f
(
l D
,
DV
,
D
,
p
V 2
)
0
36
解题步骤
求压差Δp 时， / g, Re DV / v DV / v
由量纲公式：
量纲指数行列式
dim D1 L1T 0M 0 dim Q L3T 1M 0
dim L3T 0M 1
10 0 3 1 0 1 0 3 0 1
故上述所选的三个基本物理量式相互独立的。
26
解题步骤
3. 列出无量纲π值
列出 n 3 6 3 3 个无量纲的π值。
b=1
M：1=a
c=1
18
解题步骤
6. 代入指数乘积式，得
N k QH
其中，k为无量纲系数，通过实验来确定。
19
π定理
20
题目
简述布金汉π定理的运用步骤？ 答：1.确定关系式。根据对所研究现象的认识，确 定影响这个现象的各个物理量及其关系式。
f (x1, x2 ,, xn ) 0
以
， 代入，可得
hf
p
f1
(Re,
D
)
l D
V2 2g
令
f1(Re, D )
，最后可得沿程水头损失公式为
hf
l V2 D 2g
上式就是沿程损失的一般表达式。
37
题目
试用瑞利法和π定理（布金汉定理）推导圆 柱绕流的阻力FD的表达式，并说明瑞利法和布 金汉π定理各适用于何种情况？已知圆柱绕流 阻力FD与圆柱的直径D、流体的流速V、流体的 密度和流体的动力粘滞系数有关。
L : 1 a1 3b1 3c1 T : 1 b1 M :1 c1
a1 1 b1 1 c1 1
所以：
1
D11Q
28
解题步骤
对于π2，其量纲式为： 对于π3 ，其量纲式为：
L La2 (L3T ) 1 b2 (L3M )c2
L1T 2M La3 (L3T 1)b3 (L3M )c3
9
瑞利法
10
题目
试用瑞利法分析溢 流堰过流时单宽流量q H
q
的表达式。已知q 与堰 顶水头H、水的密度ρ和 重力加速度g 有关。
11
解题步骤
解： 1. 分析影响因素，列出函数方程
根据题意可知，溢流堰过流时单宽流量q 与堰顶 水头H、水的密度ρ和重力加速度g 有关，用函数关
系式表示为
q f (H, , g)
4
p
D V a4 b4 c4
其中，ai、bi、ci 为待定指数。
34
解题步骤
4. 根据量纲和谐性原理，各π项中的指数分别确定 如下（以π1为例）
L La1 (LT ) 1 b1 (L3M )c1
L :1 a1 b1 3c1 T : 0 b1 M : 0 c1
功率N 与单位体积水的重量 g 、流量Q、
扬程H有关。
16
解题步骤
解： 1. 分析影响因素，列出函数方程
根据题意可知，水泵的输出功率N 与单位体积水
的重量 g 、流量Q、扬程H 有关,用函数关系
式表示为
f (N, ,Q, H ) 0
2. 将N写成γ ，Q，H的指数乘积形式，即
解题步骤
4. 选L、T、M作基本量纲，表示各物理量的量纲 LMT 2 L M T ab3ce ce be
5. 由量纲和谐性原理，求各量纲的指数 L：1= a+b-3c-e M：1= c+e T：-2=-b-e
因为上面的三个方程式中有四个未知数，所以 不能全部解出。我们保留其中的e，待实验中去确定， 并用它表示其余的指数
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题目
凡是正确反映客观规律的物理方程，其方程各项 的量纲都必须是一致的，这被之为量纲和谐性原理。 但是在曼宁公式 C 1 R1/6 中，谢齐系数C的量纲
n
为 L1/2T 1 ，R的量纲为L，n为无量纲量，很明显量纲 是不和谐的，所以可能有人认为量纲和谐性原理是错 误的，你是如何认识这个问题的，并阐述你的理由。
a=2-e，b=2-e，c=1-e
40
解题步骤
6. 带入指数乘积式，得
FD kD2eV 2e 1e e
k D2V 2 ( )e k D2V 2 ( )e
DV
DV
即
FD k D2V 2 Ree
a2 1 b2 0 c2 0
2
D2 D1
a3 4 b3 2 c3 1
3
p
D14Q2
29
解题步骤
5. 写出无量纲量方程
f
(1, 2 , 3 )
f
( D11Q
,
D2 D1
,
p D14Q 2
)
0
上式中的数可根据需要取其倒数，而不会改变 它的无量纲性质。即：
D14Q2 f ( D11Q , D2 )
p
D1
Q D12
p
f1
(Re,
D2 D1
)
30
题目
流体在水平圆管中作恒定流动，管道截面沿 程不变，管径为D，由于阻力的作用，压强将沿 流程下降，通过观察，已知两个相距为 l 的断面 间的压强差Δp与断面平均流速V，流体密度ρ，动 力粘性系数μ以及管壁表面的平均粗糙度δ等因素 有关。假设管道很长，管道进出口的影响不计。 试用布金汉π定理求Δp 的一般表达式。
L：2=a-3b+c
a=3/2
T：-1=-2c
b=0
M：0=b
c=1/2
13
解题步骤
6. 代入指数乘积式，得
q kH 3/20g1/2 k g H3/2
即
q k1 gH3/2 m 2gH3/2
其中，k1为无量纲系数，即流量系数m，由实验
来确定。
14
瑞利法
15
题目
求水泵输出功率的表达式。已知水泵的输出
什么是量纲，什么是单位，二者之间有什么 区别和联系？
5
答：量纲是表示各种物理量的类别；单位是度量各 种物理量数值大小的标准。单位和量纲都是关于度 量的概念，单位决定量度的数量，而量纲则指量度
的性质。
6
量纲分析方法提出的根据是什么，它有何作用？
答：1.提出根据 （1）自然界一切物理现象的内在规律，都可以用 完整的物理方法来表示。 （2）任何完整物理方程，必须满足量纲和谐性原理。 2.作用 可用来推导各物理量的量纲；简化物理方程； 检验物理方程、经验公式的正确性与完善性，为科学 地组织实验过程、整理实验成果提供理论指导。
量纲分析与相似理论
1
量纲、量纲和谐性原理
2
• 量纲分析和相似原理，为科学地组织实验 及整理实验成果提供了理论指导。对于复 杂的流动问题，还可借助量纲分析和相似 原理来建立物理量之间的联系。显然，量 纲分析与相似原理是发展流体力学理论， 解决实际工程问题的有力工具。
3
在工程界至今还有一些由实验和观测资料整理成的经验公 式，不满足量纲和谐 (既经验公式)。这种情况表明，人们 对这一部分流动的认识尚不充分。这样的公式将逐步被修 正或被正确完整的公式(即理论公式)所代替。
31
解题步骤
解： 1. 列出上述影响因素的函数关系式
f (D,V , ,l, , , p) 0
2. 在函数式中n＝7；选取3个基本物理量，依次为 几何学量D、运动学量V和动力学量ρ，三个基本物 理量的量纲是
dim D L1T 0M 0 dimV L1T 1M 0
dim L3T 0 M 1
2. 将q写成H，ρ，g的指数乘积形式，即
q kH a b g c
12
解题步骤
3. 写出量纲表达式
dim q dim(H a b gc )
4. 选L、T、M作为基本量纲，表示各物理量的量 纲为
[L2T 1] [L]a[ML3 ]b[LT 2 ]c
5. 由量纲和谐性原理求各量纲指数
由量纲和谐原理可引申出以下两点：
(1)凡正确反映客观规律的物理方程，一定能表示成由无 量项组成的无量纲方程。因为方程中各项的量纲相同，只需 用其中的一项遍除各项。便得到一个由无量纲项组成的无量 纲式，仍保持原方程的性质。
(2)量纲和谐原理规定了—个物理过程中有关物理量之间 的关系。因为一个正确完整的物理方程中各物理量量纲之 间的联系是确定的，按物理量量纲之间的这一确定性，就 可建立该物理过程各物理量的关系式。量纲分析法就是根 据这一原理发展起来的，它是本世纪初在力学上的重要发 现之一。
1
D Q a1 b1 c1
1
2
D2
D Q a2 b2 c2 1
3
p
D Q a3 b3 c3 1
其中ai、bi、ci 为待定指数。
27
解题步骤
4. 根据量纲和谐性原理，确定各π 项的指数 对于π1，其量纲式为：
L1T 1M La1 (L3T 1)b1 (L3M )c1
32
解题步骤
其量纲指数行列式为
1 00 1 1 0 1 0 3 0 1 故说明基本物理量的量纲是相互独立的。 可写出n－3＝7－3＝4个无量纲π项。
33
解题步骤
3. 列出无量纲π值
1
l
D V a1 b1 c1
3
D V a3 b3 c3
2
D V a2 b2 c2
V
38
d
解题步骤
解：一、瑞利法求解
1. 已知与阻力FD有关的物理量为d，V，ρ，μ，即
FD f (D,V , , )
2. 将阻力写成d，V， ρ， μ的指数乘积形式，即
FD kDaV b c e
3. 写出量纲表达式
DimFD k Dim(DaV b c e )
39
根据题意可知，压强差△p与通过的流量Q，流 体的密度ρ，液体的粘度η 以及大小直径D1,D2有关，
用函数关系式表示为：
f (D1,Q, ,, D2 ,p) 0
可以看出函数中的变量个数 n＝6
25
解题步骤
2. 选取基本物理量
选取三个基本物理量，它们分别是几何学量D1， 运动学量Q以及动力学量ρ 。
23
文丘里流量计是用来测 量有压管路的流量，如右 图所示，已知1-1断面和2-2 断面之间的压强差△p随流 量Q，流体密度ρ，液体粘 度η 以及大小直径D1，D2变 化。试用π定律求出的压强 降落△p表示的流量公式。
1
Q 1
2
D2 D1
2
h=ρ
p g
文丘里流量计
24
解题步骤
解： 1. 分析影响因素，列出函数方程
8
解：量纲和谐性原理是已被无数事实证明的客观真 理。因为只有两个同类型的物理量才能相加减，否 则没有物理意义的。而一些经验公式是在没有理论 分析的情况下，根据部分实验资料或实测数据统计 而得，这类公式经常是量纲是不和谐的。这说明人 们对客观事物的认识还不够全面和充分，只能用不 完全的经验关系式来表示局部的规律性。这些公式 随着人们对流体本质的深刻认识，将逐步被修正或 被正确完整的公式所替代。
4. 满足π为无量纲相，由量纲和谐性原理定出各π 项基本物理量的指数a、b、c。
5. 写出描述现象的关系式。
f (1, 2 ,, nm ) 0
22
在用布金汉π定理时，要选取3个相互基本物理 量，如何合理的选择这3个基本物理量呢？
答：（1）基本物理量与基本量纲相对应。即若基本量纲选 （M，L，T）为三个，那么基本物理量也选择三个；倘若基 本量纲只出现两个，则基本物理量同样只须选择两个。 （2）选择基本物理量时，应选择重要的物理量。换句话说， 不要选择次要的物理量作为基本物理量，否则次要的物理量 在大多数项中出现，往往使问题复杂化，甚至要重新求解。 （3）为保证三个基本物理量相互独立，其量纲的指数行列 式应满足不等于零的条件。一般是从几何学量、运动学量、 动力学量中各选一个，即可满足要求。
2.确定基本物理量。从n个物理量中选取所包含的 m个基本物理量作为基本量纲的代表，一般取m=3。 使基本量纲的行列式不等于零，即保障基本无论量 相互独立。
21
解题步骤
3. 确定基本物理量依次与其余物理量组成的π表达
式。
i
x x x x ai bi ci 1 23i
(i 1, 2,n m)
N k aQbH c
17
解题步骤
3. 写出量纲表达式
dim N dim( aQbH c )
4. 选L、T、M作为基本量纲，表示各物理量的量 纲为
[L2T 3M ] [L2T 2M ]a[L3T 1]b[L]c
5. 由量纲和谐性原理求各量纲指数
L：2=-2a+3b+c
a=1
T：-3=-2a-b
a1 1 b1 0 c1 0
所以：
1
l D
35
解题步骤
同理可得
2
DV
3
D
4
p
V 2
5. 写出无量纲量方程，其中π2项根据需要取其倒数， 但不会改变其无量纲性质，所以
f
(
l D
,
DV
,
D
,
p
V 2
)
0
36
解题步骤
求压差Δp 时， / g, Re DV / v DV / v
由量纲公式：
量纲指数行列式
dim D1 L1T 0M 0 dim Q L3T 1M 0
dim L3T 0M 1
10 0 3 1 0 1 0 3 0 1
故上述所选的三个基本物理量式相互独立的。
26
解题步骤
3. 列出无量纲π值
列出 n 3 6 3 3 个无量纲的π值。
b=1
M：1=a
c=1
18
解题步骤
6. 代入指数乘积式，得
N k QH
其中，k为无量纲系数，通过实验来确定。
19
π定理
20
题目
简述布金汉π定理的运用步骤？ 答：1.确定关系式。根据对所研究现象的认识，确 定影响这个现象的各个物理量及其关系式。
f (x1, x2 ,, xn ) 0
以
， 代入，可得
hf
p
f1
(Re,
D
)
l D
V2 2g
令
f1(Re, D )
，最后可得沿程水头损失公式为
hf
l V2 D 2g
上式就是沿程损失的一般表达式。
37
题目
试用瑞利法和π定理（布金汉定理）推导圆 柱绕流的阻力FD的表达式，并说明瑞利法和布 金汉π定理各适用于何种情况？已知圆柱绕流 阻力FD与圆柱的直径D、流体的流速V、流体的 密度和流体的动力粘滞系数有关。
L : 1 a1 3b1 3c1 T : 1 b1 M :1 c1
a1 1 b1 1 c1 1
所以：
1
D11Q
28
解题步骤
对于π2，其量纲式为： 对于π3 ，其量纲式为：
L La2 (L3T ) 1 b2 (L3M )c2
L1T 2M La3 (L3T 1)b3 (L3M )c3
9
瑞利法
10
题目
试用瑞利法分析溢 流堰过流时单宽流量q H
q
的表达式。已知q 与堰 顶水头H、水的密度ρ和 重力加速度g 有关。
11
解题步骤
解： 1. 分析影响因素，列出函数方程
根据题意可知，溢流堰过流时单宽流量q 与堰顶 水头H、水的密度ρ和重力加速度g 有关，用函数关
系式表示为
q f (H, , g)
4
p
D V a4 b4 c4
其中，ai、bi、ci 为待定指数。
34
解题步骤
4. 根据量纲和谐性原理，各π项中的指数分别确定 如下（以π1为例）
L La1 (LT ) 1 b1 (L3M )c1
L :1 a1 b1 3c1 T : 0 b1 M : 0 c1
功率N 与单位体积水的重量 g 、流量Q、
扬程H有关。
16
解题步骤
解： 1. 分析影响因素，列出函数方程
根据题意可知，水泵的输出功率N 与单位体积水
的重量 g 、流量Q、扬程H 有关,用函数关系
式表示为
f (N, ,Q, H ) 0
2. 将N写成γ ，Q，H的指数乘积形式，即
解题步骤
4. 选L、T、M作基本量纲，表示各物理量的量纲 LMT 2 L M T ab3ce ce be
5. 由量纲和谐性原理，求各量纲的指数 L：1= a+b-3c-e M：1= c+e T：-2=-b-e
因为上面的三个方程式中有四个未知数，所以 不能全部解出。我们保留其中的e，待实验中去确定， 并用它表示其余的指数
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题目
凡是正确反映客观规律的物理方程，其方程各项 的量纲都必须是一致的，这被之为量纲和谐性原理。 但是在曼宁公式 C 1 R1/6 中，谢齐系数C的量纲
n
为 L1/2T 1 ，R的量纲为L，n为无量纲量，很明显量纲 是不和谐的，所以可能有人认为量纲和谐性原理是错 误的，你是如何认识这个问题的，并阐述你的理由。
a=2-e，b=2-e，c=1-e
40
解题步骤
6. 带入指数乘积式，得
FD kD2eV 2e 1e e
k D2V 2 ( )e k D2V 2 ( )e
DV
DV
即
FD k D2V 2 Ree
a2 1 b2 0 c2 0
2
D2 D1
a3 4 b3 2 c3 1
3
p
D14Q2
29
解题步骤
5. 写出无量纲量方程
f
(1, 2 , 3 )
f
( D11Q
,
D2 D1
,
p D14Q 2
)
0
上式中的数可根据需要取其倒数，而不会改变 它的无量纲性质。即：
D14Q2 f ( D11Q , D2 )
p
D1
Q D12
p
f1
(Re,
D2 D1
)
30
题目
流体在水平圆管中作恒定流动，管道截面沿 程不变，管径为D，由于阻力的作用，压强将沿 流程下降，通过观察，已知两个相距为 l 的断面 间的压强差Δp与断面平均流速V，流体密度ρ，动 力粘性系数μ以及管壁表面的平均粗糙度δ等因素 有关。假设管道很长，管道进出口的影响不计。 试用布金汉π定理求Δp 的一般表达式。
L：2=a-3b+c
a=3/2
T：-1=-2c
b=0
M：0=b
c=1/2
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解题步骤
6. 代入指数乘积式，得
q kH 3/20g1/2 k g H3/2
即
q k1 gH3/2 m 2gH3/2
其中，k1为无量纲系数，即流量系数m，由实验
来确定。
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瑞利法
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题目
求水泵输出功率的表达式。已知水泵的输出