高一数学试题及答案解析

高一数学

试卷

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.

第Ⅰ卷（选择题，满分

50分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的,把正确的答案填在指定位置上.） 1. 若角αβ、满足9090αβ-<<<，则

2

βα

-是（ ）

A ．第一象限角

B ．第二象限角

C ．第三象限角

D ．第四象限角

2. 若点(3,)P y 是角α终边上的一点，且满足3

0,cos 5

y α<=，则tan α=（ ）

A ．34-

B ．34

C ．43

D ．4

3

-

3. 设()cos30()1f x g x =-，且1

(30)2

f =，则()

g x 可以是（ ）

A ．1cos 2x

B ．1

sin 2

x C ．2cos x D ．2sin x

4. 满足tan cot αα≥的一个取值区间为（ ）

A ．(0,

]4

π

B ．[0,

]4π

C ．[,)42ππ

D ． [,]42

ππ

5. 已知1sin 3x =-，则用反正弦表示出区间[,]2π

π--中的角x 为（ ） A ．1arcsin 3 B ．1arcsin 3π-+ C ．1arcsin 3- D ． 1

arcsin 3

π+

6. 设0||4

π

α

<<

，则下列不等式中一定成立的是：( ）

A ．sin 2sin αα>

B ．cos2cos αα<

C ．tan 2tan αα>

D ．cot 2cot αα< 7. ABC ∆中，若cot cot 1A B >，则ABC ∆一定是（ ）

A ．钝角三角形

B ． 直角三角形

C ．锐角三角形

D ．以上均有可能

8. 发电厂发出的电是三相交流电，它的三根导线上的电流分别是关于时间t 的函数：

2sin sin()sin()3

A B C I I t

I I t I I t πωωωϕ==+

=+且0,02A B C I I I ϕπ++=≤<，

则ϕ

=（ ）

A ．3π

B ．23π

C ．43π

D ．2

π

9. 当(0,)x π∈时，函数21cos 23sin ()sin x x

f x x

++=的最小值为（ ）

A ．

B ．3

C ．

D ．4

10.在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点. 若函数()y f x =的图象恰好经过

k 个格点，则称函数()f x 为k 阶格点函数. 下列函数中为一阶格点函数的是 （ ）

A ．sin y x =

B ．cos()6

y x π

=+

C ．lg y x =

D ．2y x =

第Ⅱ卷（非选择题，共计100分）

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把正确的答案填在指定位置上.） 11．已知3

cos 25

θ=，则44sin cos θθ-的值为 12．若3

x π=

是方程2cos()1x α+=的解，其中(0,2)απ∈，则α=

13．函数13

()tan(2)3

f x lo

g x π

=+

的单调递减区间为

14．函数2cos x

y x

=

-的值域是

15．设集合{}(,)M

a b =平面内的点, {}()|()cos3sin3N f x f x a x b x ==+. 给出M 到

N 的映射:(,)()cos3sin3f a b f x a x b x →=+. 关于点(的象()f x 有下列命

题： ①

3()2sin(3)4

f x x π=-

； ②其图象可由2sin3y x =向左平移4

π

个单位得到； ③点3(

,0)4

π

是其图象的一个对称中心 ④其最小正周期是23

π

⑤在53[,]124

x ππ

∈上为减函数

其中正确的有

三．解答题（本大题共5个小题，共计75分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. （本题满分12分）已知3,(,)4παβπ∈，tan()24πα-=-，3sin()5

αβ+=-. （1）求sin 2α的值； （2）求tan()4

π

β+

的值.

17. （本题满分12分） 已知函数2

()cos 2cos f x x x x m =++. （1）求函数()f x 在[0,]π上的单调递增区间；

（2）当[0,

]6

x π

∈时，|()|4f x <恒成立，求实数m 的取值范围.

18. （本题满分12分）已知函数426cos 5sin 4

()cos 2x x f x x

+-=

（1）求()f x 的定义域并判断它的奇偶性； （2）求()f x 的值域.

19. （本题满分12分）已知某海滨浴场的海浪高度()y m 是时间t （时）(024)t ≤≤的函数，记作()y f t =.下表是某日各时的浪高数据：

经长期观察，

()y f t =的曲线可近似的看成函数cos (0)y A t b ωω=+>.

（1）根据表中数据，求出函数

cos y A t b ω=+的最小正周期T 、振幅A 及函数表达式；

（2）依据规定，当海浪高度高于1m 时才对冲浪者开放，请根据（1）中的结论，判断一天中的上午8：00到晚上20：00之间，有多少时间可供冲浪者运动？ 20．（本题满分13分）关于函数()f x 的性质叙述如下：①(2)()f x f x π+=；②()f x 没有

最大值；③()f x 在区间(0,)2

π

上单调递增；④()f x 的图象关于原点对称.问：

（1）函数

()sin f x x x =⋅符合上述那几条性质？请对照以上四条性质逐一说明理由.

（2）是否存在同时符合上述四个性质的函数？若存在，请写出一个这样的函数；若不存在，请说明理由.

21. （本题满分14分）（甲题）已知定义在(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数()f x 满足(1)0f =，

且在(0,)+∞上是增函数. 又函数2

()sin cos 2(0)2

g m m π

θθθθ=+-≤≤其中

（1）证明：

()f x 在(,0)-∞上也是增函数；

（2）若0m ≤，分别求出函数()g θ的最大值和最小值； （3）若记集合{}|()0M

m g θ=<恒有，{}|[()]0N m f g θ=<恒有，求M

N .

（乙题）已知,αβ是方程2

4410()x tx t R --=∈的两个不等实根，函数2

2()1

x t

f x x -=

+的定义域为[,]αβ.