第4.1章 数字控制器连续化设计.ppt

(k 1)T
2
(4-2) (4-3)
将式(4-3)代入(4-2)消除积分,并对两边取z变换，整理可得
D(z)
y(z) x(z)

(aT 2)(1 z 1 ) (1 z 1 ) (aT 2)(1 z 1 )

a 2 1 z 1 T 1 z 1
a
比较 D(s) y(s) a 和
(1 a1z1 a2 z2 ... an z n )U (z) (b0 b1z1 ... bm zm )E(z)
(1 a1z1 a2 z2 ... an z n )U (z) (b0 b1z1 ... bm zm )E(z) U (z) (a1z1 a2 z 2 ... an zn )U (z) (b0 b1z1 ... bm zm )E(z) U (z) a1z1U (z) a2z2U (z) ... an znU (z) b0E(z) b1z1E(z) ... bm zmE(z)
用时域表示为：
u(k) a1u(k 1) a2u(k 2) ... anu(k n) b0e(k) b1e(k 1) ... bme(k m)
上式即可实现计算机编程，称之为数字控制器D(z)的控制算法。
第五步：校验
控制器D(z)设计完并求出控制算法后，用计算机控制系统的 数字仿真来验证，是否满足设计要求。不满足，需要进行修 改。
z 1 z 1
U (z)(1 z1) T (1 z1)E(z) 2
U (z)(1 z1) T (1 z1)E(z) 2
U (z) z1U (z) T (1 z1)E(z) 2
由上式得差分方程 u(k),
u(k) u(k 1) T {e(k) e(k 1)} 2
由上式得：s z 1
T
则有： D(z) D(s) sz1 T
②利用微分前向差分定义dy(t) y(k 1) y(k )
dt tk
T
将上式代入(4-1),并对两边z变换得
D(z)
y(z) x(z)

aT z 1 aT

a z 1 a 则有：D(z)
D(s) s z1 T
§4.1.1 数字控制器的连续化设计方法
定义：将连续控制器 D(s离) 散化为数字控制器 D(z) 的方法称为数字控制器的连续化设计。
设计思想：忽略控制回路中所有的零阶保持器和
采样器，在s域中按连续系统进行初步设计，求出 连续控制器 D(s，) 然后通过某种离散化近似，将 连续控制器离散化为数字控制器 D(z，) 并由计算
为数字控制器，并分别写出位置型和增量型控制算法。
解：双线性变换公式为： s 2 z 1
T z 1
所以
D(z)

U (z) E(z)

D(s)
s 2 T
z 1 z 1
1 s s 2 z1
T z1

1 2 1 z1
T 1 z1

D(z)

U (z) E(z)

T 2
1 1
设计举例
例题：用双线性变换法将模拟积分控制器 D(s) U (s) 1 离散化
E(s) s
为数字控制器，并分别写出位置型和增量型控制算法。 解：双线性变换公式为： s 2 z 1
T z 1
设计举例
例题：用双线性变换法将模拟积分控制器 D(s) U (s) 1 离散化
E(s) s
4.1 数字控制器的设计方法
数字控制器是计算机控制系统的核心组成部分，是在 被控对象数学模型或操作人员的经验基础上进行 设计，并用计算机软件实现的某种控制算法。
r(t) + e(t)
e(k)
-
T
D(z)
u(k) T
u(t)
y(t)
H(s)
G(s)
在图示计算机控制系统中， G(s)是被控对象的传递函数； H(s)是零阶保持器，将离散信号转换为连续信号； D(z)是数字控制器。
一、原理
1、原理
PID控制是根据偏差的比例(P)、积分(I)、微分(D)进 行调整的一种控制规律。数学表达式如下：
u(t)

KP
e(t )

1 Ti
t
0 e(t)dt Td
de(t)
dt

其中：u(t)为控制器输出， e(t)为控制器输入，Kp为
控制器的比例系数，Ti为积分时间常数，Td为微分时 间常数
2 n

2

k
s(s 2n ) s( 1 s 1) s( 1 s 1)
2n
2n
由自控原理知：当 2 时， 二阶系统达到最
佳响应。
2
由指标(1)知，ess

1 k
0.1 k
n 2
10

2 2
n

20
10
2
从而得理想开环传递函数G(s) 10
s( 1 s 1)
20
故，控制器
D(s)

G(s)

20
1 2
s
1
G(s)
1 s 1
20
第二步： 选择采样周期T
香农（Shannon）采样定理 如果对一个具有有限频谱的连续
信号f(t)进行连续采样，当采样频率满足：
s 2max
，其中：
max ——连续信号f(t)的最高频率，
2、已知模拟调节器的传递函数为
D(s) U (s) 1 0.17s E(s) 1 0.08s
试写出相应数字控制器的位置型和增量型的控制算式，设采 样周期T＝0.2s。
§4.1.2 标准数字PID控制器的设计
PID控制原理及特点 PID的离散形式(数字PID)
§4.1.2.1 PID控制原理
(k 1)T
(k 1)T
y(k 1) y(0) a0 y(t)dt a0 x(t)dt
Hale Waihona Puke 将以上两式相减得kT
kT
y(k) y(k 1) a y(t)dt a x(t)dt
(k 1)T
(k 1)T
梯形积分公式
kT y(t)dt y(k) y(k 1)T
s

2
T
——采样频率，
则采样信号f*(t)能无失真地复现原来的连续信号f(t)。
第三步：将模拟控制器D(s)离散化为数字控制器D(z)
有很多种方法：双线性变换法、后向差分法、前向差分法、 冲击响应不变法、零极点匹配法、零阶保持法等等。
为方便讨论，设
D(s)

y(s) x(s)

a sa
相应微分方程为 dy(t) ay(t) ax(t)
分析原对象：该对象为典型的I型系统，开环放大系数 为0.5。该系统的稳态误差为：
1
ess

lim
s0
sE(s)

lim
s0
se (s)R(s)

lim
s0
s 1 G0 (s)
R(s)
当输入为斜坡信号时，
ess
lim s 1 . 1 s0 1 G0 (s) s 2
lim s0
特点：由于绝大部分工程技术人员对s平面比z平面更为熟悉， 因此数字控制器的连续化设计技术被广泛使用。
作业:
P144 4.2 4.4
1、某系统的连续控制器设计为
D(s) U (s) 1 T1s E(s) 1 T2s
试用双线性变换法、前向差分法、后向差分法分别求出数字 控制器D(z)，并分别给出三种方法的递推控制算法。
T
3）后向差分法
dy(t )
①由微分后向定义 dt
tk

y(k) y(k T
1)
将上式代入(4-1),并对两边z变换得
D(z) y(z)
a
x(z) z 1 a
Tz
则: s z 1
Tz
D(z) D(s) sz1 T
②由Z变换的定义z esT ，利用级数展开可得，
z esT 1 sT 得：s z 1
Tz
则有： D( z) D(s) s z1 Tz
从上面离散化方法看出，采样周期与离散化方法对 离散化后的数字调节器D(z)有很大影响，通过实验 比较，总结出以下几个结论： • 前向差分变换法易使系统不稳定，不宜采用； • 后向差分变换法会使D(z)的频率特性发生畸变； • 双线性变换法最好； • 所有离散化方法采样周期的选择必须满足 s 10c
G(s)
R(s) E(s)
Y (s)
+-
D(s)
G0 (s)
上图中，已知对象传递函数G0 (s)

1 s(s
2)
,
设计 D(s)
使系统的输出响应满足下列性能指标：
(1)当斜坡输入时，稳态误差 ess 0.1
(2)阶跃响应为二阶最佳响应。
解：
G0 (s)

1 s(s
2)

0.5 s(0.5s 1)
dt
1）双线性变化法(梯形积分法)
(4－1)
对式(4－1)在0－kT和0－ (k－1)T积分
kT
kT
y(k ) y(0) a0 y(t)dt a0 x(t)dt
(k 1)T
(k 1)T
y(k 1) y(0) a0 y(t)dt a0 x(t)dt
kT
kT
y(k ) y(0) a0 y(t)dt a0 x(t)dt