第4.1章 数字控制器连续化设计.ppt

该式即为控制量的递推控制算法，也称为位置型控制算法
其增量型控制算法为：
u(k) u(k) u(k 1) T {e(k) e(k 1)} 2
其中，u(k)，e(k)分别是kT时刻D(z)的输出量和输入量。
第四步：设计由计算机实现的控制算法
r(t) + e(t)
e(k)
-
T
D(z)
第一步：设计期望的连续控制器D(s)
r(t) + e(t)
e(k)
-
T
D(z)
u(k) T
来自百度文库u(t)
y(t)
H(s)
G(s)
r(t) + e(t)
u(t)
y(t)
D(s)
G(s)
-
根据用户对输出响应的性能指标要求，利用连 续系统的频率特性法、根轨迹等方法设计上图 中期望的连续控制器D(s)。
设计举例：
u(k) T
u(t)
y(t)
H(s)
G(s)
在计算机控制系统结构图中，设数字控制器D(z)的一 般形式为：
D(
z)

U (z) E(z)

b0 b1z1 ... bm zm 1 a1z1 ... an zn
其中，n≥m，ai ， bi为实数，有n个极点和m个零点。 则上式可写为：
dt
1）双线性变化法(梯形积分法)
(4－1)
对式(4－1)在0－kT和0－ (k－1)T积分
kT
kT
y(k ) y(0) a0 y(t)dt a0 x(t)dt
(k 1)T
(k 1)T
y(k 1) y(0) a0 y(t)dt a0 x(t)dt
kT
kT
y(k ) y(0) a0 y(t)dt a0 x(t)dt
设计问题：根据已知的性能指标和G(s)来设计数字控制器D(z)。
D(z)的设计方法常见有两种：
（1）连续化设计方法－－间接设计方法
思想：先设计控制器的传递函数D(s)，然后采用 某种离散化方法，将它变成计算机算法。
（2）离散化设计方法－－直接设计方法
思想：已知被控对象的Z传递函数G(Z) ，根据所 要求的性能指标，设计数字控制器。
z esT 1 sT 得：s z 1
Tz
则有： D( z) D(s) s z1 Tz
从上面离散化方法看出，采样周期与离散化方法对 离散化后的数字调节器D(z)有很大影响，通过实验 比较，总结出以下几个结论： • 前向差分变换法易使系统不稳定，不宜采用； • 后向差分变换法会使D(z)的频率特性发生畸变； • 双线性变换法最好； • 所有离散化方法采样周期的选择必须满足 s 10c
§4.1.1 数字控制器的连续化设计方法
定义：将连续控制器 D(s离) 散化为数字控制器 D(z) 的方法称为数字控制器的连续化设计。
设计思想：忽略控制回路中所有的零阶保持器和
采样器，在s域中按连续系统进行初步设计，求出 连续控制器 D(s，) 然后通过某种离散化近似，将 连续控制器离散化为数字控制器 D(z，) 并由计算
(1 a1z1 a2 z2 ... an z n )U (z) (b0 b1z1 ... bm zm )E(z)
(1 a1z1 a2 z2 ... an z n )U (z) (b0 b1z1 ... bm zm )E(z) U (z) (a1z1 a2 z 2 ... an zn )U (z) (b0 b1z1 ... bm zm )E(z) U (z) a1z1U (z) a2z2U (z) ... an znU (z) b0E(z) b1z1E(z) ... bm zmE(z)
G(s)
R(s) E(s)
Y (s)
+-
D(s)
G0 (s)
上图中，已知对象传递函数G0 (s)

1 s(s
2)
,
设计 D(s)
使系统的输出响应满足下列性能指标：
(1)当斜坡输入时，稳态误差 ess 0.1
(2)阶跃响应为二阶最佳响应。
解：
G0 (s)

1 s(s
2)

0.5 s(0.5s 1)
设计举例
例题：用双线性变换法将模拟积分控制器 D(s) U (s) 1 离散化
E(s) s
为数字控制器，并分别写出位置型和增量型控制算法。 解：双线性变换公式为： s 2 z 1
T z 1
设计举例
例题：用双线性变换法将模拟积分控制器 D(s) U (s) 1 离散化
E(s) s
2、已知模拟调节器的传递函数为
D(s) U (s) 1 0.17s E(s) 1 0.08s
试写出相应数字控制器的位置型和增量型的控制算式，设采 样周期T＝0.2s。
§4.1.2 标准数字PID控制器的设计
PID控制原理及特点 PID的离散形式(数字PID)
§4.1.2.1 PID控制原理
s( 1 s 1)
20
故，控制器
D(s)

G(s)

20
1 2
s
1
G(s)
1 s 1
20
第二步： 选择采样周期T
香农（Shannon）采样定理 如果对一个具有有限频谱的连续
信号f(t)进行连续采样，当采样频率满足：
s 2max
，其中：
max ——连续信号f(t)的最高频率，
机实现。
r(t) + e(t)
e(k)
-
T
D(z)
u(k) T
u(t)
y(t)
H(s)
G(s)
设计步骤：
数字控制器的连续化设计方法一般按五步进行：
第1步：用连续系统的理论确定期望的连续控制器 D(s)； 第2步：选择合适的采样周期；
第3步：用合适的离散化方法将D(s)转化为D(z) ； 第4步：将D(z)变为差分方程，并编制计算机程序； 第5步：仿真检验，检查系统的设计与程序编制是否 正确。
T
3）后向差分法
dy(t )
①由微分后向定义 dt
tk

y(k) y(k T
1)
将上式代入(4-1),并对两边z变换得
D(z) y(z)
a
x(z) z 1 a
Tz
则: s z 1
Tz
D(z) D(s) sz1 T
②由Z变换的定义z esT ，利用级数展开可得，
一、原理
1、原理
PID控制是根据偏差的比例(P)、积分(I)、微分(D)进 行调整的一种控制规律。数学表达式如下：
u(t)

KP
e(t )

1 Ti
t
0 e(t)dt Td
de(t)
dt

其中：u(t)为控制器输出， e(t)为控制器输入，Kp为
控制器的比例系数，Ti为积分时间常数，Td为微分时 间常数
1 s sG0 (s)
又K v

lim
s0
sG0 (s)

lim
s0
s
0.5 s(0.5s 1)

0.5
ess

1 Kv

1 0.5
2
求满足要求的期望开环传递函数
设由性能指标确定的系统所期望的开环传递函数 为G ( s )。
由指标(2)知，系统期望的开环传递函数为
n
G(s)

2 n

2

k
s(s 2n ) s( 1 s 1) s( 1 s 1)
2n
2n
由自控原理知：当 2 时， 二阶系统达到最
佳响应。
2
由指标(1)知，ess

1 k
0.1 k
n 2
10

2 2
n

20
10
2
从而得理想开环传递函数G(s) 10
分析原对象：该对象为典型的I型系统，开环放大系数 为0.5。该系统的稳态误差为：
1
ess

lim
s0
sE(s)

lim
s0
se (s)R(s)

lim
s0
s 1 G0 (s)
R(s)
当输入为斜坡信号时，
ess
lim s 1 . 1 s0 1 G0 (s) s 2
lim s0
其传递函数为
D(s)

U (s) E(s)

K
p 1
1 Ti s
Td
s
s

2
T
——采样频率，
则采样信号f*(t)能无失真地复现原来的连续信号f(t)。
第三步：将模拟控制器D(s)离散化为数字控制器D(z)
有很多种方法：双线性变换法、后向差分法、前向差分法、 冲击响应不变法、零极点匹配法、零阶保持法等等。
为方便讨论，设
D(s)

y(s) x(s)

a sa
相应微分方程为 dy(t) ay(t) ax(t)
4.1 数字控制器的设计方法
数字控制器是计算机控制系统的核心组成部分，是在 被控对象数学模型或操作人员的经验基础上进行 设计，并用计算机软件实现的某种控制算法。
r(t) + e(t)
e(k)
-
T
D(z)
u(k) T
u(t)
y(t)
H(s)
G(s)
在图示计算机控制系统中， G(s)是被控对象的传递函数； H(s)是零阶保持器，将离散信号转换为连续信号； D(z)是数字控制器。
由上式得：s z 1
T
则有： D(z) D(s) sz1 T
②利用微分前向差分定义dy(t) y(k 1) y(k )
dt tk
T
将上式代入(4-1),并对两边z变换得
D(z)
y(z) x(z)

aT z 1 aT

a z 1 a 则有：D(z)
D(s) s z1 T
1 sT (sT )2 ... 2 22 2!
1 sT

1
2 sT
2
由上式得：s
2 T
z z
1 1
则有： D(z) D(s) s2 z1
T z1
2）前向差分法
①由Z变换的定义z esT，利用级数展开可得，
z esT 1 sT ... 1 sT
z 1 z 1
U (z)(1 z1) T (1 z1)E(z) 2
U (z)(1 z1) T (1 z1)E(z) 2
U (z) z1U (z) T (1 z1)E(z) 2
由上式得差分方程 u(k),
u(k) u(k 1) T {e(k) e(k 1)} 2
为数字控制器，并分别写出位置型和增量型控制算法。
解：双线性变换公式为： s 2 z 1
T z 1
所以
D(z)

U (z) E(z)

D(s)
s 2 T
z 1 z 1
1 s s 2 z1
T z1

1 2 1 z1
T 1 z1

D(z)

U (z) E(z)

T 2
1 1
x(s) s a
D(z) y(z)
a
x(z) 2 1 z 1 a
T 1 z 1
若令 s 2 z 1 ，则两式右边相等
T z 1
称 s 2 z 1 为s到z平面的双线性变换。
T z 1
书上：由定义 z esT
sT
e2 sT
e2
1 sT (sT )2 ... 2 22 2!
(k 1)T
(k 1)T
y(k 1) y(0) a0 y(t)dt a0 x(t)dt
将以上两式相减得
kT
kT
y(k) y(k 1) a y(t)dt a x(t)dt
(k 1)T
(k 1)T
梯形积分公式
kT y(t)dt y(k) y(k 1)T
用时域表示为：
u(k) a1u(k 1) a2u(k 2) ... anu(k n) b0e(k) b1e(k 1) ... bme(k m)
上式即可实现计算机编程，称之为数字控制器D(z)的控制算法。
第五步：校验
控制器D(z)设计完并求出控制算法后，用计算机控制系统的 数字仿真来验证，是否满足设计要求。不满足，需要进行修 改。
(k 1)T
2
(4-2) (4-3)
将式(4-3)代入(4-2)消除积分,并对两边取z变换，整理可得
D(z)
y(z) x(z)

(aT 2)(1 z 1 ) (1 z 1 ) (aT 2)(1 z 1 )

a 2 1 z 1 T 1 z 1
a
比较 D(s) y(s) a 和
特点：由于绝大部分工程技术人员对s平面比z平面更为熟悉， 因此数字控制器的连续化设计技术被广泛使用。
作业:
P144 4.2 4.4
1、某系统的连续控制器设计为
D(s) U (s) 1 T1s E(s) 1 T2s
试用双线性变换法、前向差分法、后向差分法分别求出数字 控制器D(z)，并分别给出三种方法的递推控制算法。