矿大(徐州)数理统计历年试题

数 理 统 计

时间：120分钟 2006-12-24

一、简要回答下列问题（本大题共2小题，每小题6分，共12分） 1．12,,

,n X X X 是来自正态总体()

2,N μσ的样本，其中参数μ和2σ均未知，对于参

数μ的置信度为1α-的置信区间，试问当α减少时该置信区间的长度如何变化？

答：则μ的置信度为1－ α的置信区间)]1([2-±

n t n

S

X α 置信区间的长度)1(2-=

n t n

S L α，当样本容量给定时，减小α的值会增大)1(2-n t α的

值，相应地)1(22-=

n t n

S L α变长。

2．基于小概率事件原理的显著性假设检验不免可能会犯两类错误：

α：第一类错误 β：第二类错误

（1）解释这两类错误；（2）说明α和β如何相互影响以及样本容量n 对它们的影响。 答1.P{第一类错误}=P{拒绝H0|H0为真}， P{第二类错误}=P{接受H0|H0为假} 2. 当样本容量固定时，一类错误概率的减少导致另一类错误概率的增；要同时降低 ， ，需要增加样本容量. 二、（12分）设12,,,n X X X 是正态总体2~(,)X N μσ的样本，

1．试问

22

1

1

()n

i

i X

μσ

=-∑服从什么分布（指明自由度）？

)1,0(~N X i σ

μ

-且独立，

)(~)(

)(1

21

21

2

2

n X X n

i i n

i i χσ

μ

μσ∑∑==-=-

2．证明12X X +和12X X -相互独立；

)2,2(~2

21σμN X X +,)2,0(~2

21σN X X -，（12X X +，12X X -）服从二维正态分布二者的协方差为

)(00)(),(),()

,(),(),2

2

21221221112121=-=-+-=-+-=-+σσX D X D X X COV X X COV X X COV X X COV X X X X COV （

故12X X +和12X X -不相关, 而（12X X +，12X X -）服从二维正态分布不相关和独立是等价的，故12X X +和12X X -相互独立。

3．假定0μ=，求2

122

12()()

X X X X +-的分布。 )2,0(~221σN X X +,)2,0(~221σN X X -

)1,0(~22

1N X X σ

+,

)1,0(~22

1N X X σ

-)1(~)2(

22

1χσ

X X +,)1(~)2(

22

1χσ

X X -

又2

2

1)2(

σ

X X +和2

2

1)2(

σ

X X -相互独立，故212212()()X X X X +-＝

)1,1(~1

/)2(1

/)2(

22122

1F X X X X σ

σ++ 三、（12分）设总体X 服从(0,1)上的均匀分布，12,,,n X X X 是来自总体X 的一个样

本，最小顺序统计量(1)12min(,,,)n X X X X =，

1．求随机变量(1)X 的概率密度；

⎩⎨⎧<<=其它,010,1)(~x x f X ，其分布函数为⎪⎩

⎪

⎨⎧≥<<≤=1

,110,0

,0)(x x x x x F

而

}

)),,,{min(}{)(21)1()1(z X X X P z X P z F n X ≤=≤= })),,,{m in(121z X X X P n >-= }),,,{121z X z X z X P n >>>-= )]

(1[)](1[)](1[121z F z F z F n X X X ----= n z F )](1[1--=

()()z F z f X

X )1()1('=()[]{}

n z F dz

d

--=11()[]()z f z F n n 11--= 1)1(--=n z n ，)10(<

2．设12,,

,n Y Y Y 是来自总体(1)X 的一个样本，求样本方差2

21

1()1n

i i S Y Y n ==--∑的期望。 而11)

1()(1

1

)1(+=

-=

-⎰n dz z n z X E n ，)2)(1(2)1()(1

1

22)1(++=-=-⎰n n dz z n z X E n ， )

2()1()11()2)(1(2][][)()(222)1(2

)1()1(2++=+-++=

-==n n n

n n n EX X E X D S E

四、（12分）设总体X 的概率密度为

.

,

,0,)()(其它θθ≥⎩⎨⎧=--x e x f x

θ是未知参数,n X X X ,,,21 是来自X 的样本，

1．求θ的矩估计量1θ∧

；

矩估计法:1)(-==

⎰

∞

--θθ

θdx xe EX x ，令X EX =-=1θ, => 1ˆ1+=X θ 2．求θ的最大似然估计量2θ∧

；

最大似然估计法：设n x x x ,,21 为样本的观察值，则 似然函数为∑==

=-

--=∏

n

i i

i x n x n

i e

e

L 1

)

(1

)(θθθ，

θ

θ≥=≥≤≤i n

i i x n i x 1min ,,1,即

按似然估计的思想，当 似然函数关于θ

是增函数，故

i

x min ˆ2=θ。

θ的最大似然估计量为i

X min ˆ2＝θ。

3．1θ∧

和2θ∧

是不是θ的无偏估计量（说明原因）？

θθθ=+-=+=+=+=111)(1)()1(]ˆ[1X E X E X E E ,1

θ∧

是θ的无偏估计量. X 的分布函数为.,

,0,1)()(其它θθ≥⎩

⎨

⎧-=--x e x F x