4.1 一元二次方程 课件2(苏科版九年级上)
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苏科版九年级数学上册《认识一元二次方程》课件
常用于一元二次方程 来建模的问题有：
• 圆形的面积 • 增长(利润)率 • 行程问题 • 工程问题等
感悟新知
建立一元二次方程模型的一般步骤：
知4－讲
(1)审题，认真阅读题目，弄清未知量和已知量之
间的关系；
(2)设出合适的未知数，一般设为x；
(3)确定等量关系；
(4)根据等量关系列出一元二次方程，有时要化为
二次项 一次项
知2－讲
指出方程各项的 系数时要带上前
面的符号.
常数项
感悟新知
例2
将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一 知2－练
般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数
和常数项． 解：去括号，得3x2－3x＝5x＋10.
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式
二次项
3x2－8x－10＝0.
课堂小结
使方程两边 一
相等的未知
元 二
数的值
次 方
程
的
根
一元二次方程
1.整式 2.一个未知数 3.最高次数为2
一元二次方程的定义 一元二次方程
建立一元二次方程的模型
一 元
二 a x²+b x+ c =0
次 方 程 的 一 般 形 式
课堂小结
一元二次方程
判别一元二次方程的“两方法”： (1) 根据定义要把握三点：一是整式方程；二是含
系数所以二次项系数为3，一次项系数为常－数8项， 常数项为－一1次0. 项系数
感悟新知
总结
知2－讲
(1) ax2＋bx＋c＝0，当a≠0时，方程才是一元二次方程，
但b，c可以是0.
(2) 将一个一元二次方程化成一般形式，可以通过去分
4.3 用一元二次方程解决问题(2) 课件(苏科版九年级上)
某企业成立3年来，累
年平均增长率.
1、某厂1月份生产零件2万个,一季度共生产零件
7.98万个,若每月的增长率相同,求每月的增长率.
2.某公司计划两年内把产量翻两番,如果每年比 上一年提高的百分数相同,求这个百分数。
1、王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄 存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其 中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定 期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利 率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求 第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）
例题讲解
如图，一块长方形铁皮的长是宽的2倍，四角 各截去一个相等的小正方形，制成高是5cm，容积 是500cm3的长方体容器，求这块铁皮的长和宽.
1.一块长方形菜地的面积是150m2,如果它的长减少 5m,那么菜地就变成正方形.求原菜地的长和宽.
2.如图,在一幅长70cm,宽50cm的风景画四周镶上 一条宽度相同的金色纸边,制成一幅挂画.如果要使 金色纸边的面积是1300cm2,求金色纸边的宽度.
情景引入
某商店6月份的利润是2500元，要使8月份的利 润达到3600元，平均每月增长的百分率是多少？
归纳小结
1. 若原来为a,平均增长率是x,增长后的量为b 则 第1次增长后的量是 a(1+x) =b 第2次增长后的量是 a(1+x)2=b …… 第n次增长后的量是 a(1+x)n=b
2.同理，第n次下降后的量是： a(1-x)n=b
2、一个容器盛满纯药液63L，第一次倒出一部分纯 药液后，用水加满，第二次又倒出同样多的药液，这 时容器内剩下的纯药液是28L，问每次倒出的液体是 多少？
3.平均增长(下降)两次 公式
年平均增长率.
1、某厂1月份生产零件2万个,一季度共生产零件
7.98万个,若每月的增长率相同,求每月的增长率.
2.某公司计划两年内把产量翻两番,如果每年比 上一年提高的百分数相同,求这个百分数。
1、王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄 存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其 中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定 期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利 率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求 第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）
例题讲解
如图，一块长方形铁皮的长是宽的2倍，四角 各截去一个相等的小正方形，制成高是5cm，容积 是500cm3的长方体容器，求这块铁皮的长和宽.
1.一块长方形菜地的面积是150m2,如果它的长减少 5m,那么菜地就变成正方形.求原菜地的长和宽.
2.如图,在一幅长70cm,宽50cm的风景画四周镶上 一条宽度相同的金色纸边,制成一幅挂画.如果要使 金色纸边的面积是1300cm2,求金色纸边的宽度.
情景引入
某商店6月份的利润是2500元，要使8月份的利 润达到3600元，平均每月增长的百分率是多少？
归纳小结
1. 若原来为a,平均增长率是x,增长后的量为b 则 第1次增长后的量是 a(1+x) =b 第2次增长后的量是 a(1+x)2=b …… 第n次增长后的量是 a(1+x)n=b
2.同理，第n次下降后的量是： a(1-x)n=b
2、一个容器盛满纯药液63L，第一次倒出一部分纯 药液后，用水加满，第二次又倒出同样多的药液，这 时容器内剩下的纯药液是28L，问每次倒出的液体是 多少？
3.平均增长(下降)两次 公式
苏科版九上数学课件1.2一元二次方程的解法(4)
x b b2 4ac . 2a
这个公式叫做一元二次方程的求根2-4ac<0,方程的解的情况怎样？
例题讲解
解下列方程：
1 x2 3x 2 0； 2 2x2 7x 4.
：用公式法解一元二次方程时,先把方程化为一般 形式，再确定a、b、c的值，在b2-4ac≧0的前提 下用公式法求解.
初中数学课件
金戈铁骑整理制作
回顾与思考
1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？
2、解下列方程：
（1）x2 x 2 0；（2）2x2 4x 5 0
如何解方程？ax2 bx c 0a 0
归纳小结
一般地，对于一元二次方程ax2 +bx+c=0(a 0)， 当b2 4ac 0时，它的根是：
书本：P.90练习1 书本：P.90练习2
1、已知AB=1，点C是线段AB的黄金分割点，试 用一元二次方程求根公式验证黄金比 AC = 5-1.
AB 2
2、解关于x的方程x2 3mx 2m2 mn n2 0.
这个公式叫做一元二次方程的求根2-4ac<0,方程的解的情况怎样？
例题讲解
解下列方程：
1 x2 3x 2 0； 2 2x2 7x 4.
：用公式法解一元二次方程时,先把方程化为一般 形式，再确定a、b、c的值，在b2-4ac≧0的前提 下用公式法求解.
初中数学课件
金戈铁骑整理制作
回顾与思考
1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？
2、解下列方程：
（1）x2 x 2 0；（2）2x2 4x 5 0
如何解方程？ax2 bx c 0a 0
归纳小结
一般地，对于一元二次方程ax2 +bx+c=0(a 0)， 当b2 4ac 0时，它的根是：
书本：P.90练习1 书本：P.90练习2
1、已知AB=1，点C是线段AB的黄金分割点，试 用一元二次方程求根公式验证黄金比 AC = 5-1.
AB 2
2、解关于x的方程x2 3mx 2m2 mn n2 0.
苏科版九年级上一元二次方程的解法复习课件
2
5.开平方，求解
★一除、二移、三配、四化、五解.
用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程:
ax2+bx+c=0(a≠0).
2.b2-4ac≥0.
b b 4ac 2 x .b 4ac 0 . 2a
2
1.用因式分解法的条件是:方程左边能够 分解,而右边等于零; 2.理论依据是:如果两个因式的积等于零 那么至少有一个因式等于零. 因式分解法解一元二次方程的一般步骤: 一移-----方程的右边=0; 二分-----方程的左边因式分解; 三化-----方程化为两个一元一次方程;
2 2
49 6 x(2x 7) 8 2x
7(2x 1) (3x 1) 8 (x 1)(x 1) 2
1、
ax2+c=0 ax2+bx=0
====> 直接开平方法 ====> 因式分解法 因式分解法
ax2+bx+c=0 ====> 公式法（配方法） 2、公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用， 但不一定 是最简单的，因此在解方程时我们首先考 虑能否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简 单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方 法） 3、方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单 方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为 一般形式再选取合理的方法。
A x 2 y 1
3 C x 8 x
2
B x
2
5 0
D 3x 8 6x 2
3.若x=2是方程x2+ax-8=0的解，则a= 2
4.下面是某同学在一次数学测验中解答的填空题， 其中答对的是（ C ） A、若x2=4，则x=2
5.开平方，求解
★一除、二移、三配、四化、五解.
用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程:
ax2+bx+c=0(a≠0).
2.b2-4ac≥0.
b b 4ac 2 x .b 4ac 0 . 2a
2
1.用因式分解法的条件是:方程左边能够 分解,而右边等于零; 2.理论依据是:如果两个因式的积等于零 那么至少有一个因式等于零. 因式分解法解一元二次方程的一般步骤: 一移-----方程的右边=0; 二分-----方程的左边因式分解; 三化-----方程化为两个一元一次方程;
2 2
49 6 x(2x 7) 8 2x
7(2x 1) (3x 1) 8 (x 1)(x 1) 2
1、
ax2+c=0 ax2+bx=0
====> 直接开平方法 ====> 因式分解法 因式分解法
ax2+bx+c=0 ====> 公式法（配方法） 2、公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用， 但不一定 是最简单的，因此在解方程时我们首先考 虑能否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简 单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方 法） 3、方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单 方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为 一般形式再选取合理的方法。
A x 2 y 1
3 C x 8 x
2
B x
2
5 0
D 3x 8 6x 2
3.若x=2是方程x2+ax-8=0的解，则a= 2
4.下面是某同学在一次数学测验中解答的填空题， 其中答对的是（ C ） A、若x2=4，则x=2
苏教版九年级数学上册《一元二次方程》课件(共19张PPT)
x
根据题意，得 x(192x)24
问题情境 （3）我校图书馆的藏书在两年内从5万册增加 到7.2万册，平均每年增长的百分率是多少？
解： 设平均每年增长的率 百是 分x.
根据题意，得 5(1x)2 7.2
问题情境
（4）长5米的梯子斜靠在墙上，梯子的底端到墙面 的距离比梯子的顶端到地面的距离多1m。设梯子的 底端到墙面的距离是xm，怎样用方程来描述其中的 数量关系？
5(1x)2 7.2
(x1)2x2 52
x2 20
2x21x9 2 40
5x21x02.20
2x22x240
例题例讲题解讲解二 一 常次 数次项 项项、、都二一是次次包项项括系系符数数号、、的
?
[例1] 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二 次项、一次项和常数项及它们的系数：
(1) 3 x (x 1 ) 5 (x 2 )
解：根据勾股定理，得
x2(x1)2 52
x2 2
x(192x)24
5(1x)2 7.2
x2(x1)2 52 这四个方程是不是一元一次方程？有何特点？
?
x2 2
?
整理得：
2x21x924
5x210x2.2
2x22x24
特点:
①都是整式方程; ②只含一个未知数; ③未知数的最高次数是2.
x2 2
常数项。
(1).x2 x2 (2)4x1x2
(3)2.x23x1 (4)x.(x3)2
走进中考
p2x3xp2p0
1、（苏州）若
C
是关x
于A 、 的p 为 一元二任 次方,B 程、 ，p 意 则0 ,（C 、 实 p ）0 ,D 、 数 p 0 或 1
根据题意，得 x(192x)24
问题情境 （3）我校图书馆的藏书在两年内从5万册增加 到7.2万册，平均每年增长的百分率是多少？
解： 设平均每年增长的率 百是 分x.
根据题意，得 5(1x)2 7.2
问题情境
（4）长5米的梯子斜靠在墙上，梯子的底端到墙面 的距离比梯子的顶端到地面的距离多1m。设梯子的 底端到墙面的距离是xm，怎样用方程来描述其中的 数量关系？
5(1x)2 7.2
(x1)2x2 52
x2 20
2x21x9 2 40
5x21x02.20
2x22x240
例题例讲题解讲解二 一 常次 数次项 项项、、都二一是次次包项项括系系符数数号、、的
?
[例1] 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二 次项、一次项和常数项及它们的系数：
(1) 3 x (x 1 ) 5 (x 2 )
解：根据勾股定理，得
x2(x1)2 52
x2 2
x(192x)24
5(1x)2 7.2
x2(x1)2 52 这四个方程是不是一元一次方程？有何特点？
?
x2 2
?
整理得：
2x21x924
5x210x2.2
2x22x24
特点:
①都是整式方程; ②只含一个未知数; ③未知数的最高次数是2.
x2 2
常数项。
(1).x2 x2 (2)4x1x2
(3)2.x23x1 (4)x.(x3)2
走进中考
p2x3xp2p0
1、（苏州）若
C
是关x
于A 、 的p 为 一元二任 次方,B 程、 ，p 意 则0 ,（C 、 实 p ）0 ,D 、 数 p 0 或 1
《一元二次方程》课件2(11页)(苏科版九年级上)
求衫应（降1）价若多商少X场元平？均每天要赢利1200元，每件（衬2） 要使商场平均每天赢利最多Y，元请你帮助设计方案。
（1）（20+2x）（40-x）=1200
（2）y=（20+2x）（40-x）
你有一些收获吗？
选择适当的方法解下列方程:
1x(3x7)2x 2(2x7)2 x2x70 3(2x1)2 (3x1)2 4(x1)(x1)2 2x
则此三角形的周长为________.
请用四种方法解下列方程: 4(x＋1)2 = (2x－5)2
先考虑开平方法, 再用因式分解法; 最后才用公式法和配方法;
例1.选择适当的方法解下列方程：
• ①(x 2)2 9
• ② t2 4t 5
• ③9(2m 3)2 4(2m 5)2 0
基础题
1.一元二次方程(1 3x)(x 3) 2化为一般 形式是 __________.二次项系数是_____, 一次项系数是____,常数项是________.
2.关于x的方程(m2 9) x2 (m 3)x 3m 1 0,
当m ___时为一元一次方程;当m ___时为一元二次方程.
3.方程2 x2 3x 4 0的根的情况是__________. 4.解方程2(x1)2 3(x 1)最适当的方法是______.
5.关于x的方程 x2 2x 8 0的一个根是2,则另一个根是__ . 6.若一个等腰三角形的三边均满足方程x2 6x 8 0,
(c b) x2 2(b a)x (a b) 0有两个相等的实数根 ,则
ABC是等腰三角形 .
证明：[（2 ba）]2 （4 c b）（a b）
（1）（20+2x）（40-x）=1200
（2）y=（20+2x）（40-x）
你有一些收获吗？
选择适当的方法解下列方程:
1x(3x7)2x 2(2x7)2 x2x70 3(2x1)2 (3x1)2 4(x1)(x1)2 2x
则此三角形的周长为________.
请用四种方法解下列方程: 4(x＋1)2 = (2x－5)2
先考虑开平方法, 再用因式分解法; 最后才用公式法和配方法;
例1.选择适当的方法解下列方程：
• ①(x 2)2 9
• ② t2 4t 5
• ③9(2m 3)2 4(2m 5)2 0
基础题
1.一元二次方程(1 3x)(x 3) 2化为一般 形式是 __________.二次项系数是_____, 一次项系数是____,常数项是________.
2.关于x的方程(m2 9) x2 (m 3)x 3m 1 0,
当m ___时为一元一次方程;当m ___时为一元二次方程.
3.方程2 x2 3x 4 0的根的情况是__________. 4.解方程2(x1)2 3(x 1)最适当的方法是______.
5.关于x的方程 x2 2x 8 0的一个根是2,则另一个根是__ . 6.若一个等腰三角形的三边均满足方程x2 6x 8 0,
(c b) x2 2(b a)x (a b) 0有两个相等的实数根 ,则
ABC是等腰三角形 .
证明：[（2 ba）]2 （4 c b）（a b）
《一元二次方程的解法》课件PPT 苏科版
方式的结构特征，当二次项系数为1时， 常数 项是一次项系数一半的平方．
感悟新知
归纳
知1－讲
1. 当二次项系数为 1 时， 已知一次项的系数， 则常数项为一次项系数一半的平方；已知常 数项，则一次项系数为常数项的平方根的两 倍．注意有两个．
2. 当二次项系数不为1时，则先化二次项系数 为1，然后再配方．
由此可得
x 4 15,
x1 4 15, x2 4 15.
知2－练
感悟新知
(2) 移项，得 2x2－3x＝－1.
二次项系数化为1，得 x2 3 x 1 .
配方，得
x2
3 2
x
3 4
2
2
1 2
322
4
.
x
3 4
2
=
1 16
.
由此可得
x3 1, 44
x1
1,
x2
1 2
知2－练
知2－练
(2)2x2＋1＝3x；
分析：(1) 方程的二次项系数为1，直接运用配方法．
(2) 先把方程化成2x2－3x＋1＝0.它的二次项系数
为2，为了便于配方，需将二次项系数化为1，
为此方程的两边都除以2.
感悟新知
解： (1) 移项，得 x2－8x＝－1.
配方，得 x2－8x＋42＝－1＋42， (x－4)2＝15.
感悟新知
1 填空：
(1)x2＋10x＋_2_5__＝(x＋__5__)2；
知1－练
(2)x2－12x＋_3_6__＝(x－__6__)2；
(3)x2＋5x＋____＝(x＋____)2； 2
(4)x2－ 3 x＋____＝(x－____)2.
2 将代数式a2＋4a－5变形，结果正确的是( D )
感悟新知
归纳
知1－讲
1. 当二次项系数为 1 时， 已知一次项的系数， 则常数项为一次项系数一半的平方；已知常 数项，则一次项系数为常数项的平方根的两 倍．注意有两个．
2. 当二次项系数不为1时，则先化二次项系数 为1，然后再配方．
由此可得
x 4 15,
x1 4 15, x2 4 15.
知2－练
感悟新知
(2) 移项，得 2x2－3x＝－1.
二次项系数化为1，得 x2 3 x 1 .
配方，得
x2
3 2
x
3 4
2
2
1 2
322
4
.
x
3 4
2
=
1 16
.
由此可得
x3 1, 44
x1
1,
x2
1 2
知2－练
知2－练
(2)2x2＋1＝3x；
分析：(1) 方程的二次项系数为1，直接运用配方法．
(2) 先把方程化成2x2－3x＋1＝0.它的二次项系数
为2，为了便于配方，需将二次项系数化为1，
为此方程的两边都除以2.
感悟新知
解： (1) 移项，得 x2－8x＝－1.
配方，得 x2－8x＋42＝－1＋42， (x－4)2＝15.
感悟新知
1 填空：
(1)x2＋10x＋_2_5__＝(x＋__5__)2；
知1－练
(2)x2－12x＋_3_6__＝(x－__6__)2；
(3)x2＋5x＋____＝(x＋____)2； 2
(4)x2－ 3 x＋____＝(x－____)2.
2 将代数式a2＋4a－5变形，结果正确的是( D )
最新苏科版数学九年级上册《1.0第1章 一元二次方程》精品课堂教学课件 (2)
两边都除以4，得 x2= 1 4
即x1=
1 2
，x2=
1 2
(2)移项，得12（3-2x）2=3 两边都除以12，得（3-2x）2=0.25
∴3-2x=±0.5
即3-2x=0.5,3-2x=-0.5
∴x1= 5 x，2= 7
4
4
（3）2x-1= (x 2)2 即 2x-1=±（x-2） ∴2x-1=x-2或2x-1=-x+2
• 课堂作业：P19、1（4）（5）
•
2（4）（5）
•
P20、3（4）（5）
中小学精品教学资源 中小学精品教学资源
中小学精品教学资源 中小学精品教学资源
中小学精品教学资源 中小学精品教学资源
• 一次项为 、常数项为 次项系数分别为 、 。
，二次项系数、一
•3、如果一元二次方程具有（x h)2 k(h、k为常数， k ____)的形式，那么就可以用_____________ 法求解， 这种解法的一般步骤为_________________________
____________ . 4、把一个一元二次方程变形为（x h)2 k(h、k为常 数）的形式，当k ______时，运用________法求出方 程的解，这种解一元二次方程的方法叫做_________ 法，其一般步骤为_____________________________
二次项、二次项系数、
例题讲解一常次数项项、都一 是次 包项 括系 符数 号、 的
• 1、下列方程是是否是一元二次方程？如果是，化为
一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常
数项及它们的系数；如果不是，说明理由。
• (1) 3x(x 1) 5(x 2)
苏科版九年级数学上册1.1一元二次方程课件
设应邀请x个队参赛，每个队要与其他（x-1） 个队各赛一场，
因为甲队对乙对和乙队对甲队是同一场
比赛，所以全部比赛共 21x（x-1）场.
根据题意，得
1 2
x（x-1）=28
化简，得 x2-x-56=0
课程讲授
2 根据题意列一元二次方程
练一练：为增强学生身体素养，提高学生足球运动竞 技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环情 势（每两队之间赛一场）.现计划安排21场比赛，应邀 请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意可 列方程为__21_x_（__x_-_1_）__=_2_1__.
解: x(x-1)=420化为一般情势为x2-x-420=0，其中二次项 系数为1，一次项系数为-1，常数项为-420.
课堂小结
定义
等号两边都是整式，只含有一个未 知数(一元)，并且未知数的最高次数是 2(二次)的方程，叫做一元二次方程．
解：设花圃的宽是 xm, 则花圃
墙
的长是 (19 2x)m.
根据题意，得 x(19 2x) 24
课程讲授
1 一元二次方程的定义及一般情势
问题2：我校图书馆的藏书在两年内从5万册增加到9.8 万册，平均每年增长的百分率是多少？
解：设平均每年增长的百分 率是x. 根据题意，得 5(1 x)2 9.8
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般情势 3x2-8x-10=0.
其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10.
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1 一元二次方程的定义及一般情势
练一练：一元二次方程2x2-3x-1=0的二次项系数是2，
则一次项系数是（ C）
A.3 B.2 C.-3 D.-1
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2 根据题意列一元二次方程
苏科版九年级上册第1章一元二次方程(第2课时)课件
形挂图，如图所示．如果要使整个挂图的面积是 5400cm2 ，设金色纸边的宽为 xcm ，那么 x 满足的方
程是 (
)
A． x2 65x 350 0
B． x2 130x 1400 0
C． x2 65x 350 0
D． x2 130x 1400 0
题目 2：如图，把一块长为 40cm，宽为 30cm 的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的
（1）如果 P 、 Q 同时出发，几秒钟后，可使 PBQ 的面积等于 8 平方厘米？
（2）点 P 、Q 在移动过程中，是否存在某一时刻，使得 PBQ 的面积等于 ABC 的面积的一半，若存
在，求出运动时间；若不存在，说明理由．
例 1 2022 年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱，象征着冬奥会运动员强壮
点也随之停止移动．
（2）如图 2，设 CD 为△ACB 的中线，那么在运动的过程中，PQ 与 CD 有可能互相垂直吗？若有
可能，求出运动的时间；若没有可能，请说明理由．
列一元二次方程解应用题的“六字诀”
四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为 600cm2，设剪去小正
方形的边长为 xcm，则可列方程为
（2）平均增长率问题
题目 3：某厂一月份生产某大型机器 20 台，计划二、三月份共生产 90 台，设二、三月份每月的平均
增长率为 x，根据题意列出的方程是（
）
A．20（1+x）2＝90
列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）面积问题
（2）平均增长率问题
（3）市场营销问题（此消彼长问题）
程是 (
)
A． x2 65x 350 0
B． x2 130x 1400 0
C． x2 65x 350 0
D． x2 130x 1400 0
题目 2：如图，把一块长为 40cm，宽为 30cm 的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的
（1）如果 P 、 Q 同时出发，几秒钟后，可使 PBQ 的面积等于 8 平方厘米？
（2）点 P 、Q 在移动过程中，是否存在某一时刻，使得 PBQ 的面积等于 ABC 的面积的一半，若存
在，求出运动时间；若不存在，说明理由．
例 1 2022 年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱，象征着冬奥会运动员强壮
点也随之停止移动．
（2）如图 2，设 CD 为△ACB 的中线，那么在运动的过程中，PQ 与 CD 有可能互相垂直吗？若有
可能，求出运动的时间；若没有可能，请说明理由．
列一元二次方程解应用题的“六字诀”
四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为 600cm2，设剪去小正
方形的边长为 xcm，则可列方程为
（2）平均增长率问题
题目 3：某厂一月份生产某大型机器 20 台，计划二、三月份共生产 90 台，设二、三月份每月的平均
增长率为 x，根据题意列出的方程是（
）
A．20（1+x）2＝90
列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）面积问题
（2）平均增长率问题
（3）市场营销问题（此消彼长问题）
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x m
整理,得 x2 -x =0 ．
x 2；
2
2
x(19 2 x) 24；
2 2 2
5(1 x) 7.2； (4 x) (3 x) 5 .
这四个方程是不是一元一次方程？有何特点？ ①都是整式方程; ②只含一个未知数; ③未知数的最高次数是2.
得出概念
一元二次方程的概念
1、把下列方程化成一元二次方程的一 般形式，并写出它的二次项系数、一次 项系数和常数项。
(2)4 x 1 x 2 (3).2x 3x 1
2
(1).x x 2
2
(4).x( x 3) 2
2.根据题意列出方程： （1）剪出一张面积是240平方厘米的长方形彩纸， 使它的长比宽多8厘米，这张彩纸的长是多少？ 1 1厘米的 （2）一枚圆形古钱币的中间是一个边长为 正方形孔。已知正方形面积是圆面积的 9 ，求圆的 半径。
x+x+ (x+4) =19.
整理,得 3x+4=19. 问题2．如果把条件“花圃的长比它的宽大4m”改为 “花圃的面积是24m2”，你还能求出花圃的长和宽吗？ 设花圃的宽是xm，根据题意，得 x(19-2x) =24. 整理,得 -2x2 +19x =24 ．
xm
探索研究
问题3．学校图书馆去年年底有图书5万册， 预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年 平均增长率.
2
得出概念
一次项系数 二次项系数
a x 2+ b x + c = 0
(a、b、c为常数且a ≠ 0)
a x 2 叫二次项 b x叫一次项
指出下列方程的二次项系数、一次项系数和常数项：
x 2 0
2
2
2 x 19x 24 0
2
5x 10x 2.2 0
x x0
2
中考链接
1、若 px 3x p p 0 是关于x的一元二次 方程，则（ C ）
2 2
A、p为任意实数
B、p=0
C、p≠0
D、p=0或1
m2 2
2、若方程（ m 2）x
（m 2）x
。
m 2 ____ 则m的值为 是关于x的一元二次方程，
变 式
m2 2
mx 7
一元二次方程是 刻画现实世界的一种 数学模型.
像这样, 只含有一个未知数(一元)，并且未知数 的最高次数是2(二次)的整式方程叫做一元二次方
程.
x 2
2
x 2 0
2
x(19 2 x) 24
2 x 2 19x 24 0
5(1 x) 7.2
2
5x 10x 2.2 0
情景引入
正方形桌面的周长是10m，求它的边长。 设正方形桌面边长是xm，根据题意，得
4x=10．
问题1．正方形桌面的面积是2m2，你能求 出它的边长吗？ 设正方形桌面边长是xm，根据题意，得
x2=2．
情景引入
如图，矩形花圃一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总 长度是19 m，如果花圃的长比它的宽大4 m，试求花圃的 长和宽。 设花圃的宽是xm，根据题意，得
2
2 2
(4 x) (3 x) 5
2
x2 x 0
你能写出一个关于x的一元二次方程的一般形 式吗?不妨试一试.
得出概念
一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以 2 2 ax bx c 0 化为 ax bx 的形式 c 0 ,我们把 (a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形 式。
分析：设这两年的年平均增长率为x，去年年底的图书 数是5万册，则今年年底的图书数是 5(1＋x) 万册；同 样，明年年底的图书数又是今年年底的 (1＋x) 倍，即 5(1＋x)(1＋x)＝5(1＋x)2 万册.
根据题意，得
5(1+x) 2=7.2
整理,得 x2 +2x =0.44
探索研究
问题4．如图，长5m的梯子斜靠在墙上，梯子 的底端与墙的距离为3m。如果梯子底端向右滑 动的距离与梯子顶端向下滑动的距离相等，求 梯子滑动的距离。 设梯子滑动的距离 xm 是x m ，根据题意， 梯子５m 得 (4-x) 2 + (3+x) 2=52. 3m
解：（ 1 ）设这张彩纸的长是 x厘米 根据题意，得： x( x 8) 240
(2)设圆的半径为 x厘米 根据题意，得 x 9
2
小结思考
1.一元二次方程的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数 是2的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以 2 化为 ax2 bx 的形式 , 我们把 ax bx c 0 c 0 (a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形 式。
为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？
(1).x x 1
2
(2).x 1 1 (3).x x 2 (4).x 3 x 2 y 0
2
(5).x 3 ( x 1)(x 2)
2
(6).ax bx c 0
2
(7).m x 0(m为不等于0的常数)
2
mx 7
以－2、3、0三个数作为一ห้องสมุดไป่ตู้一元二次方程 的系数和常数项，请尽可能多的写出满足条 件的不同的一元二次方程？
整理,得 x2 -x =0 ．
x 2；
2
2
x(19 2 x) 24；
2 2 2
5(1 x) 7.2； (4 x) (3 x) 5 .
这四个方程是不是一元一次方程？有何特点？ ①都是整式方程; ②只含一个未知数; ③未知数的最高次数是2.
得出概念
一元二次方程的概念
1、把下列方程化成一元二次方程的一 般形式，并写出它的二次项系数、一次 项系数和常数项。
(2)4 x 1 x 2 (3).2x 3x 1
2
(1).x x 2
2
(4).x( x 3) 2
2.根据题意列出方程： （1）剪出一张面积是240平方厘米的长方形彩纸， 使它的长比宽多8厘米，这张彩纸的长是多少？ 1 1厘米的 （2）一枚圆形古钱币的中间是一个边长为 正方形孔。已知正方形面积是圆面积的 9 ，求圆的 半径。
x+x+ (x+4) =19.
整理,得 3x+4=19. 问题2．如果把条件“花圃的长比它的宽大4m”改为 “花圃的面积是24m2”，你还能求出花圃的长和宽吗？ 设花圃的宽是xm，根据题意，得 x(19-2x) =24. 整理,得 -2x2 +19x =24 ．
xm
探索研究
问题3．学校图书馆去年年底有图书5万册， 预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年 平均增长率.
2
得出概念
一次项系数 二次项系数
a x 2+ b x + c = 0
(a、b、c为常数且a ≠ 0)
a x 2 叫二次项 b x叫一次项
指出下列方程的二次项系数、一次项系数和常数项：
x 2 0
2
2
2 x 19x 24 0
2
5x 10x 2.2 0
x x0
2
中考链接
1、若 px 3x p p 0 是关于x的一元二次 方程，则（ C ）
2 2
A、p为任意实数
B、p=0
C、p≠0
D、p=0或1
m2 2
2、若方程（ m 2）x
（m 2）x
。
m 2 ____ 则m的值为 是关于x的一元二次方程，
变 式
m2 2
mx 7
一元二次方程是 刻画现实世界的一种 数学模型.
像这样, 只含有一个未知数(一元)，并且未知数 的最高次数是2(二次)的整式方程叫做一元二次方
程.
x 2
2
x 2 0
2
x(19 2 x) 24
2 x 2 19x 24 0
5(1 x) 7.2
2
5x 10x 2.2 0
情景引入
正方形桌面的周长是10m，求它的边长。 设正方形桌面边长是xm，根据题意，得
4x=10．
问题1．正方形桌面的面积是2m2，你能求 出它的边长吗？ 设正方形桌面边长是xm，根据题意，得
x2=2．
情景引入
如图，矩形花圃一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总 长度是19 m，如果花圃的长比它的宽大4 m，试求花圃的 长和宽。 设花圃的宽是xm，根据题意，得
2
2 2
(4 x) (3 x) 5
2
x2 x 0
你能写出一个关于x的一元二次方程的一般形 式吗?不妨试一试.
得出概念
一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以 2 2 ax bx c 0 化为 ax bx 的形式 c 0 ,我们把 (a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形 式。
分析：设这两年的年平均增长率为x，去年年底的图书 数是5万册，则今年年底的图书数是 5(1＋x) 万册；同 样，明年年底的图书数又是今年年底的 (1＋x) 倍，即 5(1＋x)(1＋x)＝5(1＋x)2 万册.
根据题意，得
5(1+x) 2=7.2
整理,得 x2 +2x =0.44
探索研究
问题4．如图，长5m的梯子斜靠在墙上，梯子 的底端与墙的距离为3m。如果梯子底端向右滑 动的距离与梯子顶端向下滑动的距离相等，求 梯子滑动的距离。 设梯子滑动的距离 xm 是x m ，根据题意， 梯子５m 得 (4-x) 2 + (3+x) 2=52. 3m
解：（ 1 ）设这张彩纸的长是 x厘米 根据题意，得： x( x 8) 240
(2)设圆的半径为 x厘米 根据题意，得 x 9
2
小结思考
1.一元二次方程的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数 是2的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以 2 化为 ax2 bx 的形式 , 我们把 ax bx c 0 c 0 (a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形 式。
为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？
(1).x x 1
2
(2).x 1 1 (3).x x 2 (4).x 3 x 2 y 0
2
(5).x 3 ( x 1)(x 2)
2
(6).ax bx c 0
2
(7).m x 0(m为不等于0的常数)
2
mx 7
以－2、3、0三个数作为一ห้องสมุดไป่ตู้一元二次方程 的系数和常数项，请尽可能多的写出满足条 件的不同的一元二次方程？