数列章末检测
章末检测试卷(二)
章末检测试卷（二）解析①中，总体容量较大，抽取的样本容量较大，用系统抽样比较恰当；②中，考试成绩在不同分数段之间的同学有明显的差异，用分层抽样比较恰当；③中，总体包含的个体较少，用简单随机抽样比较恰当．2．某中学从高三甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图(单位：分)，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x ＋y的值为()A．7 B．8 C．9 D．10答案 B解析由茎叶图及甲班学生成绩的众数是85，可知x＝5，而乙班学生成绩的中位数是83，所以y ＝3，所以x＋y＝5＋3＝8.故选B.3．若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是()A．91.5和91.5 B．91.5和92C．91和91.5 D．92和92答案 A解析将这组数据从小到大排列，得87,89,90,91,92,93,94,96.故中位数为91＋922＝91.5.平均数为x＝91＋－4－2－1＋0＋1＋2＋3＋58＝91.5.4．在抽查产品的尺寸过程中，将其尺寸分成若干组，[a，b)是其中的一组，抽查出的个体在该组上的频率为m，直方图中该组对应的小长方形的高为h，则|a－b|等于()A．hm B.m hC.hm D．h＋m 答案 B解析频率组距＝h，∴|a－b|＝组距＝频率h＝mh.5．在样本频率分布直方图中，共有9个小长方形．若中间一个小长方形的面积等于其他8个小长方形面积和的25，且样本容量为140，则中间一组的频数为()A．28 B．40 C．56 D．60答案 B解析频率分布直方图中，所有小长方形的面积和为1.设中间小长方形的面积为x，则有x＋52x＝1，解得x＝27.因为样本容量为140，所以中间一组的频数为140×27＝40.故选B.6．一个容量为80的样本中，数据的最大值是140，最小值是50，组距是10，则应该将样本数据分为( )A ．10组B ．9组C ．8组D ．7组答案 B解析 组数＝极差组距＝140－5010＝9. 7．若数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，方差为s 2，则3x 1＋5,3x 2＋5，…，3x n ＋5的平均数和标准差分别为( )A.x ，sB ．3x ＋5，sC ．3x ＋5,3sD ．3x ＋5，9s 2＋30s ＋25 答案 C解析 ∵x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ， ∴3x 1＋5,3x 2＋5，…，3x n ＋5的平均数为3x ＋5，s′2＝1n[(3x1＋5－3x－5)2＋…＋(3x n＋5－3x－5)2]＝1n×32[(x1－x)2＋…＋(x n－x)2]＝9s2.∴s′＝3s.8．如图为某个容量为100的样本的频率分布直方图，分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]，则在区间[98,100)上的频数为()A．0.100 B．0.200C．20 D．0.010答案 C解析区间[98,100)上小矩形的面积为0.100×2＝0.200，所以区间[98,100)上的频数为100×0.200＝20，故选C.9．甲、乙两名同学在5次数学考试中，成绩统计图用茎叶图表示如图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别用x甲、x乙表示，则下列结论正确的是()A.x甲＞x乙，且甲比乙成绩稳定B.x甲＞x乙，且乙比甲成绩稳定C.x甲＜x乙，且甲比乙成绩稳定D.x甲＜x乙，且乙比甲成绩稳定答案 A解析x甲＝90，x乙＝88，∴x甲＞x乙，甲的成绩的方差是15×(4＋1＋0＋1＋4)＝2，乙的成绩的方差是15×(25＋0＋1＋1＋9)＝7.2，故甲成绩稳定．10．某校为了对初三学生的体重进行摸底调查，随机抽取了50名学生的体重(kg)，将所得数据整理后，画出了频率分布直方图如图所示，体重在[45,50)内适合跑步训练，体重在[50,55)内适合跳远训练，体重在[55,60)内适合投掷相关方面训练，估计该校初三学生适合参加跑步、跳远、投掷三项训练的集训人数之比为()A．4∶3∶1 B．5∶3∶1C．5∶3∶2 D．3∶2∶1答案 B解析体重在[45,50)内的频率为0.1×5＝0.5，体重在[50,55)内的频率为0.06×5＝0.30，体重在[55,60)内的频率为0.02×5＝0.1，∵0.5∶0.3∶0.1＝5∶3∶1，∴可估计该校初三学生适合参加跑步、跳远、投掷三项训练的集训人数之比为5∶3∶1，故选B. 11．下列关于线性回归的判断，正确的个数为()①若散点图中所有的点都在一条直线附近，则这条直线为回归直线；②散点图中的绝大多数点都线性相关，个别特殊点不影响线性回归，如图中的点A，B，C；③已知回归直线方程y^＝0.50x－0.81，则当x＝25时，y的估计值为11.69；④回归直线方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势．A．0 B．1 C．2 D．3答案 D解析能使所有数据点都在它附近的直线不止一条，而据回归直线的定义，知只有按最小二乘法求得回归系数a^，b^，得到的直线y^＝b^x＋a^才是回归直线，所以①不对；②正确；将x＝25代入y^＝0.50x－0.81，解得y^＝11.69，所以③正确；④正确，所以选D.12．在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各项中，一定符合上述指标的是()①平均数x≤3；②标准差s≤2；③平均数x≤3且标准差s≤2；④平均数x≤3且极差小于或等于2；⑤众数等于1且极差小于或等于1. A．①②B．③④C．③④⑤D．④⑤答案 D解析①②③不符合，④符合，若极差等于0或1，在x≤3的条件下，显然符合指标；若极差等于2且x≤3，则每天新增感染人数的最小值与最大值有下列可能：(1)0,2，(2)1,3，(3)2,4，符合指标．⑤符合，若众数等于1且极差小于或等于4，则最大值不超过5，符合指标，故选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学只参加一个小组)(单位：人)：篮球组 书画组 乐器组 高一45 30 a 高二 15 10 20 学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层抽样，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则a 的值为________．答案 30解析 由题意知，1245＋15＝30120＋a，解得a ＝30. 14．从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中各抽取8件产品，对其使用寿命(单位：年)跟踪调查结果如下：甲：3,4,5,6,8,8,8,10；乙：4,6,6,6,8,9,12,13；丙：3,3,4,7,9,10,11,12.三个厂家在广告中都称该产品的使用寿命是8年，请根据结果判断厂家在广告中分别运用了平均数、众数、中位数中的哪一种集中趋势的特征数：甲______，乙______，丙________． 答案 众数 平均数 中位数解析 甲、乙、丙三个厂家从不同角度描述了一组数据的特征．甲：该组数据8出现的次数最多；乙：该组数据的平均数x ＝4＋6×3＋8＋9＋12＋138＝8；丙：该组数据的中位数是7＋92＝8. 15．抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：运动员第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙8990918892则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为________．答案 2解析由表中数据计算可得x甲＝90，x乙＝90，且s2甲＝15[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]＝4，s2乙＝15[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]＝2，由于s2甲＞s2乙，故乙的成绩较为稳定，其方差为2.16．某产品的广告费用x(万元)与销售额y(万元)的统计数据如下表：广告费用x(万元)345 6销售额y(万元)253445根据上表可得回归直线方程y＝b x＋a中的b^为7.据此模型预测广告费用为10万元时销售额为________万元．答案73.5解析由题表可知，x＝4.5，y＝35，代入回归直线方程y^＝7x＋a^，得a^＝3.5，所以回归直线方程为y^＝7x＋3.5，所以当x＝10时，y^＝7×10＋3.5＝73.5(万元)．三、解答题(本大题共6小题，共70分) 17．(10分)某市化工厂三个车间共有工人1 000名，各车间男、女工人数如下表：第一车间第二车间第三车间女工173100y男工177x z已知在全厂工人中随机抽取1名，抽到第二车间男工的可能性是0.15.(1)求x的值；(2)现用分层抽样的方法在全厂抽取50名工人，则应在第三车间抽取多少名工人？解(1)依题意有x1 000＝0.15，解得x＝150. (2)∵第一车间的工人数是173＋177＝350，第二车间的工人数是100＋150＝250，∴第三车间的工人数是1 000－350－250＝400.设应从第三车间抽取m名工人，则有m＝40050，1 000解得m＝20，∴应在第三车间抽取20名工人．18．(12分)有关部门要了解甲型H1N1流感预防知识在学校的普及情况，特制了一份有10道题的问卷到各学校进行问卷调查．某中学A，B两个班各被随机抽取了5名学生接受问卷调查．A 班5名学生得分为：5,8,9,9,9；B班5名学生得分为：6,7,8,9,10(单位：分)．请你估计A，B两个班中哪个班的问卷得分要稳定一些．解A班的5名学生的平均得分为(5＋8＋9＋9＋9)÷5＝8，方差s21＝12＋(8－8)2＋(9－8)2＋(9－8)2 5×[(5－8)＋(9－8)2]＝2.4；B班的5名学生的平均得分为(6＋7＋8＋9＋10)÷5＝8，方差s22＝12＋(7－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2 5×[(6－8)＋(10－8)2]＝2.∴s21＞s22，∴B班的预防知识的问卷得分要稳定一些．19．(12分)抽样调查30个工人家庭的人均月收入，得到如下数据(单位：元)：404444556430380420500430 420384420404424340424412388472 358476376396428444366436364438 330426(1)取组距为60，起点为320，列出样本的频率分布表；(2)画出频率分布直方图；(3)根据频率分布直方图估计人均月收入在[440,560]上的家庭所占的百分比．解(1)频率分布表如下：分组频数频率[320,380)60.2[380,440)180.6[440,500)40.13[500,560]20.07合计30 1.00 (2)频率分布直方图如图：(3)人均月收入落在[440,560]上的家庭所占的频率为0.13＋0.07＝0.2＝20%.所以估计人均月收入在[440,560]上的家庭所占的百分比为20%. 20．(12分)从全校参加科技知识竞赛的学生试卷中，抽取一个样本，考察竞赛的成绩分布．将样本分成5组，绘成频率分布直方图(如图)，图中从左到右各小组的小长方形的高的比是1∶3∶6∶4∶2，最后一组的频数是6.请结合频率分布直方图提供的信息，解答下列问题：(1)样本的容量是多少？(2)列出频率分布表；(3)成绩落在哪个范围内的人数最多？并求该小组的频数、频率；(4)估计这次竞赛中，成绩不低于60分的学生占总人数的百分比．解(1)由于各组的组距相等，所以各组的频率与各小长方形的高成正比且各组频率的和等于1，那么各组的频率分别为116，316，616，416，216.设该样本容量为n ，则6n ＝216，所以样本容量n ＝48. (2)由(1)及已知得频率分布表如下： 成绩频数 频率 [50.5,60.5)3 116 [60.5,70.5)9 316 [70.5,80.5)18 38 [80.5,90.5)12 14 [90.5,100.5] 6 18合计 48 1(3)成绩落在区间[70.5,80.5)内的人数最多，该组的频数和频率分别是18和38. (4)不低于60分的学生占总人数的百分比约为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－116×100%＝93.75%. 21．(12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A 药、B 药)的疗效，随机地选取20位患者服用A 药，20位患者服用B 药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：服用A 药的20位患者日平均增加的睡眠时间： 0．6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.23．5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.12．3 2.4服用B 药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3．2 1.7 1.90.80.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1．4 1.60.5 1.80.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2．70.5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？(2)根据两组数据完成如图所示的茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？解(1)设A药观测数据的平均数为x，B药观测数据的平均数为y.由观测结果可得：x＝120×(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3，y＝120×(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6，由以上计算结果可得x＞y，因此可看出A药的疗效更好．(2)由观测结果可绘制茎叶图如图．从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有7的叶集中在茎“2.”，“3.”上，而B药疗效10的叶集中在茎“0.”，“1.”上，的试验结果有710由此可看出A药的疗效更好．22．(12分)某地区2019年至2019年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下表：年份2019201920192019201920192019年份代号t1234567 人均纯收入y2.93.3 3.64.4 4.85.2 5.9 (1)已知两变量线性相关，求y关于t的回归直线方程；(2)利用(1)中的回归直线方程，分析2019年至2019年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2019年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ^＝∑i ＝1n (t i －t )(y i －y )∑i ＝1n (t i －t )2，a ^＝y －b ^t . 解 (1)由所给数据计算得t ＝17(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4， y ＝17(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3， ∑i ＝1n(t i －t )2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28， ∑i ＝1n(t i －t )(y i －y )＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，b ^＝∑i ＝1n (t i －t )(y i －y )∑i ＝1n (t i －t )2＝1428＝0.5， a ^＝y －b ^t ＝4.3－0.5×4＝2.3，故所求回归直线方程为y ^＝0.5t ＋2.3.(2)由(1)知，b ^＝0.5＞0，故2019年至2019年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2019年的年份代号t ＝9代入(1)中的回归直线方程，得y ^＝0.5×9＋2.3＝6.8，故预测该地区2019年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．。
章末检测
章末检测一、填空题1． 下列语句中，是命题的是________(填序号)．①|x ＋2|；②－5∈Z ；③π∉R ；④{0}∈N .2． 命题“若a >b ，则2a >2b －1”的否命题为_____________________________________.3． 已知命题p ：∀x ∈R ，x 2＋2x －a >0.若p 为真命题，则实数a 的取值范围是__________．4． 等比数列{a n }的公比为q ，则“a 1>0且q >1”是“∀n ∈N ＋，都有a n ＋1>a n ”的 ____________条件．5． 与命题“若x ∈A ，则y ∉A ”等价的命题是____________________________(填序号)． ①若x ∉A ，则y ∉A ；②若y ∉A ，则x ∈A ；③若x ∉A ，则y ∈A ；④若y ∈A ，则x ∉A .6． 已知p ：x ＝3或x ＝2，q ：x －3＝3－x ，则p 是q ______________条件．7． 已知α、β、γ为互不重合的三个平面，命题p ：若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；命题q ：若α上不共线的三点到β的距离相等，则α∥β.对以上两个命题，下列结论中正确的是________(填序号)．①命题“p 且q ”为真②命题“p 或綈q ”为真③命题“p 或q ”为假④命题“綈p 且綈q ”为假8． 下列命题，其中说法正确的序号为____________．①命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”； ②“x 2－3x －4＝0”是“x ＝4”的必要不充分条件；③若p ∧q 是假命题，则p ，q 都是假命题；④命题p ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，都有x 2＋x ＋1≥0.9． 设n ∈N ＋，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数．．根的充要条件是n ＝________. 10．一元二次方程ax 2＋4x ＋3＝0 (a ≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是________．11．在下列四个命题中，真命题的个数是________．①∀x ∈R ，x 2＋x ＋3>0；②∀x ∈Q ，13x 2＋12x ＋1是有理数； ③∃α，β∈R ，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β；④∃x 0，y 0∈Z ，使3x 0－2y 0＝10.12．在下列四个结论中，正确的有________(填序号)．①若A 是B 的必要不充分条件，则非B 也是非A 的必要不充分条件；②已知a 、b ∈R ，则“|a ＋b |＝|a |＋|b |”的充要条件为ab >0；③“⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝b 2－4ac ≤0”是“一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集是R ”的充要条件；④“x≠1”是“x2≠1”的充分不必要条件；⑤“x≠0”是“x＋|x|>0”的必要不充分条件．二、解答题13．写出命题“若x－2＋(y＋1)2＝0，则x＝2且y＝－1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．14．写出下列命题的“綈p”命题，并判断它们的真假．(1)p：∀x，x2＋4x＋4≥0；(2)p：∃x，x2－4＝0.15．求证：“a＋2b＝0”是“直线ax＋2y＋3＝0和直线x＋by＋2＝0互相垂直”的充要条件．16．设p：关于x的不等式a x>1 (a>0且a≠1)的解集为{x|x<0}，q：函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R.如果p和q有且仅有一个正确，求a的取值范围．17．(1)设集合M＝{x|x>2}，P＝{x|x<3}，则“x∈M或x∈P”是“x∈(M∩P)”的什么条件？(2)求使不等式4mx2－2mx－1<0恒成立的充要条件．18．命题：在等比数列{a n}中，前n项和为S n，若S m，S m＋2，S m＋1成等差数列，则a m，a m＋2，a m＋1成等差数列．(1)写出该命题的逆命题；(2)判断逆命题是否为真，并给出证明．答案1． ②③④ 2.若a ≤b ，则2a ≤2b －1 3．a <－1 4．充分不必要5．④ 6.必要不充分 7．②③ 8．①②④ 9．3或410．a <0 11.4 12．①③⑤13．解 逆命题：若x ＝2且y ＝－1， 则x －2＋(y ＋1)2＝0，真命题． 否命题：若x －2＋(y ＋1)2≠0，则x ≠2或y ≠－1，真命题．逆否命题：若x ≠2或y ≠－1， 则x －2＋(y ＋1)2≠0，真命题．14．解 (1)綈p ：∃x ，x 2＋4x ＋4<0是假命题．(2)綈p ：∀x ，x 2－4≠0是假命题．15．证明 充分性：当b ＝0时，如果a ＋2b ＝0，那么a ＝0，此时直线ax ＋2y ＋3＝0平行于x 轴，直线x ＋by ＋2＝0平行于y 轴，它们互相垂直；当b ≠0时，直线ax ＋2y ＋3＝0的斜率k 1＝－a 2，直线x ＋by ＋2＝0的斜率k 2＝－1b，如果a ＋2b ＝0，那么k 1k 2＝⎝⎛⎭⎫－a 2×⎝⎛⎭⎫－1b ＝－1，两直线互相垂直．必要性：如果两条直线互相垂直且斜率都存在，那么k 1k 2＝⎝⎛⎭⎫－a 2×⎝⎛⎭⎫－1b ＝－1，所以a ＋2b ＝0； 若两直线中有直线的斜率不存在，且互相垂直，则b ＝0，且a ＝0.所以，a ＋2b ＝0. 综上，“a ＋2b ＝0”是“直线ax ＋2y ＋3＝0和直线x ＋by ＋2＝0互相垂直”的充要条件．”16．解 当p 真时，0<a <1，当q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1－4a 2<0，即a >12， ∴p 假时，a >1，q 假时，a ≤12. 又p 和q 有且仅有一个正确．当p 真q 假时，0<a ≤12，当p 假q 真时，a >1. 综上得，a ∈⎝⎛⎦⎤0，12∪(1，＋∞)． 17．解 (1)“x ∈M 或x ∈P ”⇒x ∈R ，x ∈(M ∩P )⇔x ∈(2,3)．因为“x ∈M 或x ∈P ”D ⇒/x ∈(M ∩P )，但x ∈(M ∩P )⇒x ∈M 或x ∈P .故“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈(M ∩P )”的必要不充分条件．(2)当m ≠0时，不等式4mx 2－2mx －1<0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧4m <0Δ＝4m 2＋16m <0⇔－4<m <0.又m ＝0时，不等式4mx 2－2mx －1<0对x ∈R 恒成立．故使不等式4mx 2－2mx －1<0恒成立的充要条件是－4<m ≤0.18．解 (1)逆命题：在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列，则S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列．(2)命题当q ＝1时为假，当q ＝－12时为真．证明如下： 设数列{a n }的首项为a ，公比为q ，由已知，得2a m ＋2＝a m ＋a m ＋1，∴2a 1q m ＋1＝a 1q m －1＋a 1q m . ∵a 1≠0，q ≠0，∴2q 2－q －1＝0，∴q ＝1或q ＝－12. ①当q ＝1时，∵S m ＝ma 1，S m ＋2＝(m ＋2)a 1，S m ＋1＝(m ＋1)a 1，∴S m ＋S m ＋1≠2S m ＋2，∴S m ，S m ＋2，S m ＋1不成等差数列．②当q ＝－12时， ∵S m ＋S m ＋1＝a 1⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12m 1＋12＋a 1⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12m ＋11＋12＝43a 1⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12m ＋2， 而2S m ＋2＝2a 1⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12m ＋21＋12＝43a 1⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12m ＋2， ∴S m ＋S m ＋1＝2S m ＋2，∴S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列．综上可得：当公比q ＝1时，逆命题为假命题，当公比q ＝－12时，逆命题为真命题．。
高三数学数列章末检测题及答案
高三数学数列章末检测题及答案高三数学数列章末检测题及答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知{an}为等差数列，若a3＋a4＋a8＝9，则S9＝( )A．24 B．27C．15 D．54解析 B 由a3＋a4＋a8＝9，得3(a1＋4d)＝9，即a5＝3.则S9＝9a1＋a92＝9a5＝27.2．在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－13a11的值为( )A．14 B．15C．16 D．17解析C ∵a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，∴5a8＝120，a8＝24，∴a9－13a11＝(a8＋d)－13(a8＋3d)＝23a8＝16.3．已知{an}是由正数组成的等比数列，Sn表示{an}的前n项的和，若a1＝3，a2a4＝144，则S5的值是( )A.692 B．69C．93 D．189解析 C 由a2a4＝a23＝144得a3＝12(a3＝－12舍去)，又a1＝3，各项均为正数，则q＝2.所以S5＝a11－q51－q＝3×1－321－2＝93.4．在数列1,2，7，10，13，4，…中，219是这个数列的第几项( )A．16 B．24C．26 D．28解析C 因为a1＝1＝1，a2＝2＝4，a3＝7，a4＝10，a5＝13，a6＝4＝16，…，所以an＝3n－2.令an＝3n－2＝219＝76，得n＝26.故选C.5．已知等差数列的前n项和为Sn，若S13<0，s12>0，则在数列中绝对值最小的项为( )A．第5项 B．第6项C．第7项 D．第8项解析C ∵S13<0，∴a1＋a13＝2a7<0，又s12>0，∴a1＋a12＝a6＋a7>0，∴a6>0，且|a6|>|a7|.故选C.6.122－1＋132－1＋142－1＋…＋1n＋12－1的值为( )A.n＋12n＋2B.34－n＋12n＋2C.34－121n＋1＋1n＋2D.32－1n＋1＋1n＋2解析C ∵1n＋12－1＝1n2＋2n＝1nn＋2＝121n－1n＋2，∴Sn＝121－13＋12－14＋13－15＋…＋1n－1n＋2＝1232－1n＋1－1n＋2＝34－121n＋1＋1n＋2.7．正项等比数列{an}中，若log2(a2a98)＝4，则a40a60等于( ) A．－16 B．10C．16 D．256解析 C 由log2(a2a98)＝4，得a2a98＝24＝16，则a40a60＝a2a98＝16.8．设f(n)＝2＋24＋27＋210＋…＋23n＋10(n∈N)，则f(n)＝( )A.27(8n－1)B.27(8n＋1－1)C.27(8n＋3－1)D.27(8n＋4－1)解析D ∵数列1,4,7,10，…，3n＋10共有n＋4项，∴f(n)＝2[1－23n＋4]1－23＝27(8n＋4－1)．9．△ABC中，tan A是以－4为第三项，－1为第七项的等差数列的公差，tan B是以12为第三项，4为第六项的等比数列的公比，则该三角形的形状是( ) A．钝角三角形 B．锐角三角形C．等腰直角三角形 D．以上均错解析 B 由题意知，tan A＝－1－－47－3＝34＞0.又∵tan3B＝412＝8，∴tan B＝2＞0，∴A、B均为锐角．又∵tan(A＋B)＝34＋21－34×2＝－112＜0，∴A＋B为钝角，即C为锐角，∴△ABC为锐角三角形．10．在等差数列{an}中，前n项和为Sn＝nm，前m项和Sm＝mn，其中m≠n，则Sm＋n的值( )A．大于4 B．等于4C．小于4 D．大于2且小于4解析 A 由题意可设Sk＝ak2＋bk(其中k为正整数)，则an2＋bn＝nm，am2＋bm＝mn，解得a＝1mn，b＝0，∴Sk ＝k2mn，∴Sm＋n＝m＋n2mn>4mnmn＝4.11．等差数列{an}的前n项和为Sn(n＝1，2,3，…)，若当首项a1 和公差d变化时，a5＋a8＋ a11是一个定值，则下列选项中为定值的是( )A．S17 B．S18C．S15 D．S14解析 C 由a5＋a8＋a11＝3a1＋21d＝3(a1＋7d)＝3a8是定值，可知a8是定值．所以S15＝15a1＋a152＝15a8是定值．12．数列{an}的通项公式an＝1nn＋1，其前n项和为910，则在平面直角坐标系中，直线(n＋1)x＋y＋n＝0在y轴上的截距为( )A．－10 B．－9C．10 D．9解析B ∵an＝1n－1n＋1，∴Sn＝1－12＋12－13＋…＋1n－1n ＋1＝nn＋1，由nn＋1＝910，得n＝9，∴直线方程为10x＋y＋9＝0，其在y 轴上的截距为－9.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．设Sn是等差数列{an}(n∈N*)的前n项和，且a1＝1，a4＝7，则S5＝________.解析∵a1＝1，a4＝7，∴d＝7－14－1＝2.∴S5＝5a1＋5×5－12d＝5×1＋5×42×2＝25.【答案】 2514．若数列{an}满足关系a1＝3，an＋1＝2an＋1，则该数列的通项公式为________．解析∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)，∴数列{an＋1}是首项为4，公比为2的等比数列，∴an＋1＝42n－1，∴an＝2n＋1－1.【答案】 an＝2n＋1－115．(20 11北京高考)在等比数列{an}中，若a1＝12，a4＝－4，则公比q＝________；|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝________.解析∵数列{an}为等比数列，∴a4＝12q3＝－4，q＝－2；an＝12(－2)n－1， |an|＝122n－1，由等比数列前n项和公式得|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝121－2n1－2＝－12＋122n＝2n－1－12.【答案】－2 2n－1－1216．给定：an＝logn＋1(n＋2)(n∈N*)，定义使a1a2…ak为整数的数k(k∈N*)叫做数列{an}的“ 企盼数”，则区间[1,2 013]内所有“企盼数”的和M＝________.解析设a1a2…ak＝log23log34…logk(k＋1)logk＋1(k＋2)＝log2(k＋2)为整数m，则k＋2＝2m，∴k＝2m－2.又1≤k≤2 013，∴1≤2m－2≤2 013，∴2≤m≤10.∴区间[1,2 013]内所有“企盼数”的和为M＝(22－2)＋(23－2)＋…＋(210－2)＝(22＋23＋…＋210)－18＝22×1－291－2－18＝2 026.【答案】 2 026三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知等差数列{an}的前三项为a,4,3a，前k项的和Sk ＝2 550，求通项公式an及k的值．解析法一：由题意知，a1＝a，a2＝4，a3＝3a，Sk＝2 550.∵数列{an}是等差数列，∴a＋3a＝2×4，∴a1＝a＝2，公差d＝a2－a1＝2，∴an＝2＋2(n－1)＝2n.又∵Sk＝ka1＋kk－12d，即k2＋kk－122＝2 550，整理，得k2＋k－2 550＝0，解得k1＝50， k2＝－51(舍去)，∴an＝2n，k＝50.法二：由法一，得a1＝a＝2，d＝2，∴an＝2＋2(n－1)＝2n，∴Sn＝na1＋an2＝n2＋2n2＝n 2＋n.又∵Sk＝2 550，∴k2＋k＝2 550，即k2＋k－2 550＝0，解得k＝50(k＝－51舍去)．∴an＝2n，k＝50.18．(12分)(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n，求数列{an}的通项公式；新课标(2)已知数列{an}的前n项和为Sn＝3＋2n，求an.解析 (1)n＝1时，a1＝S1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n－3(n－1)2＋2(n－1)＝ 6n－5，因为a1也适合上式，所以通项公式为an＝6n－5.(2)当n＝1时，a1＝S1＝3＋2＝5.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3＋2n－(3＋2n－1)＝2n－2n－1＝2n－1.因为n＝1时，不符合an＝2n－1，所以数列{an}的通项公式为an＝5， n＝1，2n－1，n≥2.19．(12分)有10台型号相同的联合收割机，收割一片土地上的庄稼．若同时投入至收割完毕需用24小时，但现在它们是每隔相同的`时间依次投入工作的，每一台投入工作后都一直工作到庄稼收割完毕．如果第一台收割机工作的时间是最后一台的5倍．求用这种收割方法收割完这片土地上的庄稼需用多长时间？解析设从第一台投入工作起，这10台收割机工作的时间依次为a1，a2，a3，…，a10小时，依题意，{an}组成一个等差数列，每台收割机每小时工作效率是1240，且有a1240＋a2240＋…＋a10240＝1，①a1＝5a10，②由①得，a1＋a2＋…＋a10＝240.∵数列{an}是等差数列，∴a1＋a10×102＝240，即a1＋a10＝48.③将②③联立，解得a1＝40(小时)，即用这种方法收割完这片土地上的庄稼共需40小时．20．(12分)已知数列{an}满足a1＝5，a2＝5，an＋1＝an＋6an －1.(1)求证：{an＋1＋2an}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式；(3)设3nbn＝n(3n－an)，求|b1|＋|b2|＋…＋|bn|.解析(1)∵an＋1＝an＋6an－1，∴an＋1＋2an＝3an＋6an－1＝3(an＋2an－1)．又a1＝5，a2＝5，∴a2＋2a1＝15，∴an＋an＋1≠0，∴an＋1＋2anan＋2an－1＝3，∴数列{an＋1＋2an}是以15为首项，3为公比的等比数列．(2)由(1)得an＋1＋2an＝15×3n－1＝5×3n，即an＋1＝－2an＋5×3n，∴an＋1－3n＋1＝－2(an－3n)．又∵a1－3＝2，∴an－3n≠0，∴{an－3n}是以2为首项，－2为公比的等比数列．∴an－3n＝2×(－2)n－1，即an＝2×(－2)n－1＋3n(n∈N*)．(3)由(2)及3nbn＝ n(3n－an)，可得3nbn＝－n(an－3n)＝－n[2×(－2)n－1]＝n(－2)n，∴bn＝n－23n，∴|bn|＝n23n.∴Tn＝|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＝23＋2×232＋…＋n×23n，①①×23，得23Tn＝232＋2×233＋…＋(n－1)×23n＋n×23n＋1，②①－②得13Tn＝23＋232＋…＋23n－n×23n＋1＝2－3×23n＋1－n23n＋1＝2－(n＋3)23n＋1，∴Tn＝6－2(n＋3)23n.21．(12分)已知函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)f(y)且f(1)＝12.(1)当n∈N*时，求f(n)的表达式；(2)设an＝nf(n)，n∈N*，求证：a1＋a2＋a3＋…＋an<2；(3)设bn＝(9－n)fn＋1fn，n∈N*，Sn为{bn}的前n项和，当Sn 最大时，求n的值．解析 (1)令x＝n，y＝1，得f(n＋1)＝f(n)f(1)＝12f(n)，∴{f(n)}是首项为12，公比为12的等比数列，即f(n)＝12n.(2)设Tn为{an}的前n项和，∵an＝nf(n)＝n12n，∴Tn＝12＋2×122＋3×123＋…＋n×12n，12Tn＝122＋2×123＋3×124＋…＋(n－1)×12n＋n×12n＋1，两式相减得12Tn＝12＋122＋…＋12n－n×12n＋1，整理，得Tn＝2－12n－1－n×12n<2.(3)∵f(n)＝12n，∴bn＝(9－n)fn＋1fn＝(9－n)12n＋112n＝9－n2，∴当n≤8时，bn>0；当n＝9时，bn＝0；当n>9时，bn<0.∴当n＝8或9时，Sn取到最大值．22．(12分)设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝n3(n∈N*) ．(1)求数列{an}的通项；(2)设bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.解析(1)∵a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝n3，①∴a1＝13，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝n－13(n≥2)，②①－②得3n－1an＝n3－n－13＝13(n≥2)，化简得an＝13n(n≥2)．显然a1＝13也满足上式，故an＝13n(n∈N*)．(2)由①得bn＝n3n.于是Sn＝13＋232＋333＋…＋n3n，③3Sn＝132＋233＋334＋…＋n3n＋1，④③－④得－2Sn＝3＋32＋33＋…＋3n－n3n＋1，即－2Sn＝3－3n＋11－3－n3n＋1，Sn＝n23n＋1－143n＋1＋34.【高三数学数列章末检测题及答案】。
2015届高考数学第一轮复习 第六章 数列章末检测(新人教A版)
第六章 章末检测(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．(2013·茂名月考)已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是 ( ) A ．15 B ．30 C ．31 D ．642．各项均不为零的等差数列{a n }中，若a 2n －a n －1－a n ＋1＝0 (n ∈N *，n ≥2)，则S 2 010等( ) A ．0 B ．2 C ．2 009 D ．4 0203．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－4n ＋2，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|等于 ( ) A ．66 B ．65 C ．61 D ．56 4．(2013·南阳模拟)等比数列{a n }中，T n 表示前n 项的积，若T 5＝1，则 ( ) A ．a 1＝1 B ．a 3＝1 C ．a 4＝1 D ．a 5＝15．(2013·东北师大附中高三月考)由a 1＝1，a n ＋1＝a n3a n ＋1给出的数列{a n }的第34项( )A.34103 B ．100 C.1100 D.1104 6．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k 等于 ( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．67．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n－12n ，其前n 项和S n ＝32164，则项数n 等于 ( )A ．13B ．10C ．9D ．6 8．(2013·福建)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于 ( )A ．6B ．7C ．8D ．99．在如图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么x ＋y ＋z 的值为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．410．(2013·衡水月考)某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n 年的累计产量为f (n )＝12n (n ＋1)(2n ＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是 ( )A ．5年B ．6年C ．7年D ．8年 11．在△ABC 中，tan A ，tan B ，tan C 依次成等差数列，则B 的取值范围是 ( )A.⎝⎛⎦⎤0，π3∪⎝⎛⎦⎤π2，2π3B.⎝⎛⎦⎤0，π6∪⎝⎛⎦⎤π2，5π6C.⎣⎡⎭⎫π6，π2D.⎣⎡⎭⎫π3，π2 12．(2013·安徽)设{a n }是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为X ，Y ，Z ，则下列等式中恒成立的是 ( )A ．X ＋Z ＝2YB ．Y (Y －X )＝Z (Z －X )213．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1，若{a n }的前n 项和为24，则n ＝________.14．(2013·海口调研)在等差数列{a n }中，已知log 2(a 5＋a 9)＝3，则等差数列{a n }的前13项的和S 13＝________.15．将数列{3n －1}按“第n 组有n 个数”的规则分组如下：(1)，(3,9)，(27,81,243)，…，则第100组中的第一个数是________．16．(2013·哈师大附中高三月考)已知S n 是等差数列{a n } (n ∈N *)的前n 项和，且S 6>S 7>S 5，有下列四个命题：①d <0；②S 11>0；③S 12<0；④数列{S n }中的最大项为S 11.其中正确的命题是________．(将所有正确的命题序号填在横线上) 三、解答题(本大题共6小题，共70分) 17．(10分)(2013·德州模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 4－a 2＝8，S 10＝190. (1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)设p ，q ∈N *，试判断a p ·a q 是否仍为数列{a n }中的项并说明理由．18．(12分)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 8＋a 13＝12，a 3a 8a 13＝28，求数列{a n }的通项公式．19．(12分)(2013·武汉月考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且向量a ＝(n ，S n )，b ＝(4，n ＋3)共线．(1)求证：数列{a n }是等差数列；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1na n 的前n 项和T n .20．(12分)(2013·唐山月考)已知f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，设f (a 1)，f (a 2)，…，f (a n ) (n ∈N *)是首项为4，公差为2的等差数列．(1)设a 为常数，求证：{a n }成等比数列；(2)若b n ＝a n f (a n )，{b n }的前n 项和是S n ，当a ＝2时，求S n .21．(12分)(2013·周口月考)已知数列{a n }的前三项与数列{b n }的前三项相同，且a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝8n 对任意n ∈N *都成立，数列{b n ＋1－b n }是等差数列．(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)是否存在k ∈N *，使得(b k －a k )∈(0,1)？请说明理由．22．(12分)为了治理“沙尘暴”，西部某地区政府经过多年努力，到2013年底，将当地沙漠绿化了40%，从2013年开始，每年将出现这种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，即改造为绿洲(被绿化的部分叫绿洲)，同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠，问至少经过几年的绿化，才能使该地区的绿洲面积超过50%？(可参考数据lg 2＝0.3，最后结果精确到整数)答案 1．A [由{a n }是等差数列知a 7＋a 9＝2a 8＝16，∴a 8＝8.又a 4＝1，∴a 12＝2a 8－a 4＝15.]2．D [a 2n ＝a n －1＋a n ＋1＝2a n ，a n ≠0，∴a n ＝2. ∴S n ＝2n ，S 2 010＝2×2 010＝4 020.] 3．A [当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－4n ＋2－[(n －1)2－4(n －1)＋2]＝2n －5， ∴a 2＝－1，a 3＝1，a 4＝3，…，a 10＝15， ∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝1＋1＋8(1＋15)2＝2＋64＝66.]4．B [因为{a n }是等比数列，所以a 1·a 5＝a 2·a 4＝a 23，代入已知式T 5＝1，得a 53＝1，所以a 3＝1.]5．C [由a n ＋1＝a n 3a n ＋1知，1a n ＋1＝1a n＋3，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，公差为3的等差数列． ∴1a n＝1＋(n －1)×3＝3n －2. ∴a n ＝13n －2，a 34＝13×34－2＝1100.]6．B [∵S n ＝n 2－9n ，∴n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －10， a 1＝S 1＝－8适合上式， ∴a n ＝2n －10 (n ∈N *)，∴5<2k －10<8，得7.5<k <9.∴k ＝8.]7．D [∵a n ＝1－12n ，∴S n ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫1－14＋⎝⎛⎭⎫1－18＋…＋⎝⎛⎭⎫1－12n ＝n －⎝⎛⎭⎫12＋14＋18＋…＋12n ＝n －12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝n －1＋12n .∵S n ＝32164，∴n －1＋12n ＝32164＝5＋164.∴n ＝6.]8．A [设该数列的公差为d ， 则由a 4＋a 6＝－6得2a 5＝－6， ∴a 5＝－3.又∵a 1＝－11， ∴－3＝－11＋4d ，∴d ＝2，∴S n ＝－11n ＋n (n －1)2×2＝n 2－12n ＝(n －6)2－36，故当n ＝6时S n 取最小值．]9．B [由表格知，第三列为首项为4，第二项为2的等比数列，∴x ＝1.根据每行成等差数列得第四列前两个数字分别为5，52，故该数列所成等比数列的公比为12，∴y ＝5×⎝⎛⎭⎫123＝58，同理z ＝6×⎝⎛⎭⎫124＝38.故x ＋y ＋z ＝2.] 10．C [由题意知第一年产量为a 1＝12×1×2×3＝3；以后各年产量分别为a n ＝f (n )－f (n－1)＝12n (n ＋1)·(2n ＋1)－12n (n －1)(2n －1)＝3n 2 (n ∈N *)，令3n 2≤150，∴1≤n ≤52，∴1≤n ≤7.故生产期限最大为7年．]11．D [由已知得2tan B ＝tan A ＋tan C >0(显然tan B ≠0，若tan B <0，因为tan A >0且tan C >0，tan A ＋tan C >0，这与tan B <0矛盾)，又tan B ＝－tan(A ＋C )＝－tan A ＋tan C1－tan A tan C＝－2tan B1－tan A tan C≠0，所以tan A tan C ＝3.又∵tan A ＋tan C ≥2tan A tan C ＝23， ∴tan B ≥3，∵B ∈(0，π)∴B 的取值范围是⎣⎡⎭⎫π3，π2.]12．D [由题意知S n ＝X ，S 2n ＝Y ，S 3n ＝Z . 又∵{a n }是等比数列，∴S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 为等比数列， 即X ，Y －X ，Z －Y 为等比数列， ∴(Y －X )2＝X ·(Z －Y )，即Y 2－2XY ＋X 2＝ZX －XY ， ∴Y 2－XY ＝ZX －X 2， 即Y (Y －X )＝X (Z －X )．] 13．624解析 a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .∴(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n )＝24， ∴n ＋1＝25，∴n ＝624. 14．52解析 ∵log 2(a 5＋a 9)＝3，∴a 5＋a 9＝23＝8.∴S 13＝13×(a 1＋a 13)2＝13×(a 5＋a 9)2＝13×82＝52.15．34 950解析 由“第n 组有n 个数”的规则分组中，各组数的个数构成一个以1为首项，1为公差的等差数列，前99组数的个数共有(1＋99)×992＝4 950个，故第100组中的第1个数是34 950.16．①②解析 由S 6>S 7得a 7<0， 由S 6>S 5得a 6>0， 由S 7>S 5得a 6＋a 7>0.因为d ＝a 7－a 6，∴d <0；S 11＝a 1＋a 2＋…＋a 11＝(a 1＋a 11)＋(a 2＋a 10)＋…＋a 6＝11a 6>0，S 12＝a 1＋a 2＋…＋a 12＝(a 1＋a 12)＋(a 2＋a 11)＋…＋(a 6＋a 7)＝6(a 6＋a 7)>0；∵a 6>0，a 7<0，∴{S n }中S 6最大． 故正确的命题为①②.17．解 (1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧2d ＝810a 1＋10×92d ＝190，………………………………………………………………(4分) 解得a 1＝1，d ＝4，∴a n ＝4n －3.………………………………………………………(6分) (2)a p a q ＝(4p －3)(4q －3)＝16pq －12(p ＋q )＋9 ＝4[4pq －3(p ＋q )＋3]－3，∵4pq －3(p ＋q )＋3∈N *，………………………………………………………………(8分) ∴a p ·a q 为数列{a n }中的项．……………………………………………………………(10分) 18．解 ∵a 3＋a 13＝2a 8，a 3＋a 8＋a 13＝12， ∴a 8＝4，…………………………………………………………………………………(2分)则由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 13＝8，a 3a 13＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝1，a 13＝7，或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝7，a 13＝1.…………………………………………………………(7分)由a 3＝1，a 13＝7，可知d ＝a 13－a 313－3＝7－110＝35.故a n ＝a 3＋(n －3)·35＝35n －45；……………………………………………………………(9分)由a 3＝7，a 13＝1，可知d ＝a 13－a 313－3＝1－710＝－35.故a n ＝a 3＋(n －3)·⎝⎛⎭⎫－35 ＝－35n ＋445.……………………………………………………………………………(11分)综上可得，a n ＝35n －45，或a n ＝－35n ＋445.……………………………………………(12分)19．(1)证明 ∵a ＝(n ，S n )，b ＝(4，n ＋3)共线，∴n (n ＋3)－4S n ＝0，∴S n ＝n (n ＋3)4.……………………………………………………(3分)∴a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n ＋12，……………………………………………………(5分)又a 1＝1满足此式，∴a n ＝n ＋12.………………………………………………………(6分)∴a n ＋1－a n ＝12为常数，∴数列{a n }为首项为1，公差为12的等差数列．………………………………………(7分)(2)解 ∵1na n ＝2n (n ＋1)＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，…………………………………………………(9分) ∴T n ＝1a 1＋12a 2＋…＋1na n.＝2⎝⎛⎭⎫1－12＋2⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝2n n ＋1.……………………………………(12分)20．(1)证明 f (a n )＝4＋(n －1)×2＝2n ＋2，…………………………………………(2分)即log a a n ＝2n ＋2，可得a n ＝a 2n ＋2.∴a na n －1＝a 2n ＋2a 2(n －1)＋2＝a 2n ＋2a 2n ＝a 2 (n ≥2)为定值．………………………………………………………………………(4分)∴{a n }为以a 2为公比的等比数列．……………………………………………………(5分)(2)解 b n ＝a n f (a n )＝a 2n ＋2log a a 2n ＋2＝(2n ＋2)a 2n ＋2.…………………………………………………………………………(7分)当a ＝2时，b n ＝(2n ＋2)(2)2n ＋2＝(n ＋1)2n ＋2.S n ＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋(n ＋1)·2n ＋2，①2S n ＝2·24＋3·25＋4·26＋…＋n ·2n ＋2＋(n ＋1)·2n ＋3，② ①－②，得－S n ＝2·23＋24＋25＋…＋2n ＋2－(n ＋1)·2n ＋3 …………………………………………(9分)＝16＋24(1－2n －1)1－2－(n ＋1)·2n ＋3＝16＋2n ＋3－24－n ·2n ＋3－2n ＋3＝－n ·2n ＋3.∴S n ＝n ·2n ＋3.……………………………………………………………………………(12分)21．解 (1)已知得a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝8n (n ∈N *)，①当n ≥2时，a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －2a n －1＝8(n －1)．②由①－②，得2n －1a n ＝8.∴a n ＝24－n .……………………………………………………(3分)在①中，令n ＝1，得a 1＝8＝24－1，∴a n ＝24－n (n ∈N *)．由题意知b 1＝8，b 2＝4，b 3＝2， ∴b 2－b 1＝－4，b 3－b 2＝－2，∴数列{b n ＋1－b n }的公差为－2－(－4)＝2.∴b n ＋1－b n ＝－4＋(n －1)×2＝2n －6.…………………………………………………(5分) ∴b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1) ＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n －8)＝n 2－7n ＋14(n ∈N *)．…………………………………………………………………(7分)(2)∵b k －a k ＝k 2－7k ＋14－24－k ，设f (k )＝k 2－7k ＋14－24－k ，当k ≥4时，f (k )＝(k －72)2＋74－24－k ，单调递增，且f (4)＝1.∴k ≥4时，f (k )＝k 2－7k ＋4－24－k ≥1.…………………………………………………(10分) 又f (1)＝f (2)＝f (3)＝0，…………………………………………………………………(11分)∴不存在k ∈N *，使得(b k －a k )∈(0,1)．………………………………………………(12分)22．解 设该地区总面积为1,2013年底绿化面积为a 1＝25，经过n 年后绿洲面积为a n ＋1，设2013年底沙漠面积为b 1，经过n 年后沙漠面积为b n ＋1，则a 1＋b 1＝1，a n ＋b n ＝1.…(3分)依题意a n ＋1由两部分组成：一部分是原有绿洲a n 减去被侵蚀的部分8%·a n 的剩余面积92%·a n ，另一部分是新绿化的12%·b n ，∴a n ＋1＝92%·a n ＋12%(1－a n ) ＝45a n ＋325，………………………………………………………………………………(6分) 即a n ＋1－35＝45(a n －35)．∴{a n －35}是以－15为首项，45为公比的等比数列，则a n ＋1＝35－15·(45)n.………………………………………………………………………(9分)∵a n ＋1>50%，∴35－15·(45)n >12.∴(45)n <12，n >451log 2＝lg 21－3lg 2≈3.……………………………………………………(11分) 则当n ≥4时，不等式(45)n <12恒成立．∴至少需要4年才能使绿化面积超过50%.…………………………………………(12分)。
章末检测11：章末检测
章末检测一、选择题1．一个等差数列的第5项等于10，前3项的和等于3，那么( )A ．它的首项是－2，公差是3B ．它的首项是2，公差是－3C ．它的首项是－3，公差是2D ．它的首项是3，公差是－2答案 A解析 ⎩⎪⎨⎪⎧a 5＝10S 3＝3，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝10，3a 1＋3×22·d ＝3⇒a 1＝－2，d ＝3.2．等比数列{a n }中，T n 表示前n 项的积，若T 5＝1，则( )A ．a 1＝1B ．a 3＝1C ．a 4＝1D ．a 5＝1答案 B解析 ∵T 5＝a 1a 2a 3a 4a 5＝a 23·a 23·a 3＝1，∴a 3＝1.3．在单调递减的等比数列{a n }中，若a 3＝1，a 2＋a 4＝52，则a 1等于() A ．2 B ．4 C. 2 D ．2 2答案 B解析 由已知得：a 1q 2＝1，a 1q ＋a 1q 3＝52，∴q ＋q 3q 2＝52，q 2－52q ＋1＝0，∴q ＝12或q ＝2(舍)，∴a 1＝4.4．数列{a n }的通项公式是a n ＝(n ＋2)⎝⎛⎭⎫910n，那么在此数列中( )A ．a 7＝a 8最大B ．a 8＝a 9最大C ．有唯一项a 8最大D ．有唯一项a 7最大答案 A解析 a n ＝(n ＋2)⎝⎛⎭⎫910n ，a n ＋1＝(n ＋3)⎝⎛⎭⎫910n ＋1，所以a n ＋1a n ＝n ＋3n ＋2·910，令a n ＋1a n ≥1，即n ＋3n ＋2·910≥1，解得n ≤7，即n ≤7时数列{a n }递增，n ＞7时数列{a n }递减，所以a 1＜a 2＜a 3＜…＜a 7＝a 8＞a 9＞…，所以a 7＝a 8最大．5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －2，则a 2等于( )A ．4B ．2C ．1D ．－2答案 A解析 S 1＝2a 1－2＝a 1，∴a 1＝2，S 2＝2a 2－2＝a 1＋a 2，∴a 2＝4.6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于() A ．6 B ．7C ．8D ．9答案 A解析 设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 4＋a 6＝－6，∴a 5＝－3，∴d ＝a 5－a 15－1＝2，∴a 6＝－1＜0，a 7＝1＞0，故当等差数列{a n }的前n 项和S n 取得最小值时，n 等于6.7．如果数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a n ·a n －1a n －1－a n ＝a n ·a n ＋1a n －a n ＋1，那么此数列的第10项为() A.1210 B.129C.110D.15答案 D解析 ∵a n ·a n －1a n －1－a n ＝a n ·a n＋1a n －a n ＋1， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ·a n －1a n －1－a n 为常数列． ∴a n ·a n －1a n －1－a n ＝a 2·a 1a 1－a 2＝2， ∴a n ·a n －1＝2a n －1－2a n .∴1a n －1a n －1＝12，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列，1a 1＝12，d ＝12. ∴1a n ＝12＋(n －1)·12＝n 2， ∴a n ＝2n ，∴a 10＝15. 8．某工厂去年产值为a ，计划今后5年内每年比上年产值增加10%，则从今年起到第5年，这个厂的总产值为( )A ．1.14aB ．1.15aC ．11×(1.15－1)aD ．10(1.16－1)a答案 C解析 设从去年开始，每年产值构成数列{a n }，则a 1＝a ，a n ＝a (1＋10%)n －1(1≤n ≤6)，从今年起到第5年是求该数列a 2到a 6的和，应为S 6－a 1＝a （1.16－1）1.1－1－a ＝11×(1.15－1)a . 9．设f (x )是定义在R 上的恒不为零的函数，且对任意的实数x 、y ∈R ，都有f (x )·f (y )＝f (x ＋y )，若a 1＝12，a n ＝f (n )(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围为( ) A ．[12，2) B ．[12，2] C ．[12，1) D ．[12，1] 答案 C解析 依题意得f (n ＋1)＝f (n )·f (1)，即a n ＋1＝a n ·a 1＝12a n ， 所以数列{a n }是以12为首项，12为公比的等比数列， 所以S n ＝12（1－12n ）1－12＝1－12n ， 所以S n ∈[12，1)． 10．将数列{3n －1}按“第n 组有n 个数”的规则分组如下：(1)，(3，9)，(27，81，243)，…，则第100组中的第一个数是( )A ．34 950B ．35 000C ．35 010D ．35 050答案 A解析 在“第n 组有n 个数”的规则分组中，各组数的个数构成一个以1为首项，1为公差的等差数列．因前99组数的个数共有（1＋99）×992＝4 950个，故第100组中的第1个数是34 950.二、填空题11．已知数列{a n }中，a 1＝3，a 2＝6，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 2 015＝________．答案 －6解析 由条件a n ＋2＝a n ＋1－a n 可得：a n ＋6＝a n ＋5－a n ＋4＝(a n ＋4－a n ＋3)－a n ＋4＝－a n ＋3＝－(a n ＋2－a n ＋1)＝－[(a n ＋1－a n )－a n ＋1]＝a n ，于是可知数列{a n }的周期为6，∴a 2 015＝a 5，又a 1＝3，a 2＝6，∴a 3＝a 2－a 1＝3，a 4＝a 3－a 2＝－3，a 5＝a 4－a 3＝－6.∴a 2 015＝－6.12．数列{a n }中的前n 项和S n ＝n 2－2n ＋2，则通项公式a n ＝________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －3，n ≥2 解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2－2n ＋2)－[(n －1)2－2(n －1)＋2]＝2n －3.又n ＝1时，2n －3≠a 1，所以有a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －3，n ≥2. 13．设y ＝f (x )是一次函数，f (0)＝1，且f (1)，f (4)，f (13)成等比数列，则f (2)＋f (4)＋…＋f (2n )＝________．答案 2n 2＋3n解析 设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，又f (0)＝1，则b ＝1，所以f (x )＝kx ＋1(k ≠0)．又f 2(4)＝f (1)f (13)，所以(4k ＋1)2＝(k ＋1)(13k ＋1)，解得k ＝2.所以f (x )＝2x ＋1，则f (2n )＝4n ＋1.所以{f (2n )}是公差为4的等差数列．所以f (2)＋f (4)＋…＋f (2n )＝n （5＋4n ＋1）2＝2n 2＋3n . 14．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，则a 1＋a 2＋…＋a 51＝________．答案 676解析 利用分组求和法求解．当n 为正奇数时，a n ＋2－a n ＝0，又a 1＝1，则所有奇数项都是1；当n 为正偶数时，a n ＋2－a n ＝2，又a 2＝2，则所有偶数项是首项和公差都是2的等差数列，所以a 1＋a 2＋…＋a 51＝(a 1＋a 3＋…a 51)＋(a 2＋a 4＋…＋a 50)＝26a 1＋25a 2＋25×242×2＝676. 15．某房地产开发商在销售一幢23层的商品楼之前按下列方法确定房价：由于首层与顶层均为复式结构，因此首层价格为a 1元/m 2，顶层由于景观好价格为a 2元/m 2，第二层价格为a 元/m 2，从第三层开始每层在前一层价格上加价a 100元/m 2，则该商品房各层的平均价格为______________．答案 123(a 1＋a 2＋23.1a )元/m 2 解析 设第二层的价格到第二十二层的价格构成数列{b n }，则{b n }是等差数列，b 1＝a ，公差d ＝a 100，共21项，所以其和为S 21＝21a ＋21×202·a 100＝23.1a ， 故平均价格为123(a 1＋a 2＋23.1a )元/m 2. 三、解答题16．S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，S 7＝28.记b n ＝[lg a n ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.(1)求b 1，b 11，b 101；(2)求数列{b n }的前1 000项和．解 (1)设{a n }的公差为d ，据已知有7＋21d ＝28，解得d ＝1.所以{a n }的通项公式为a n ＝n . b 1＝[lg 1]＝0，b 11＝[lg 11]＝1，b 101＝[lg 101]＝2.(2)因为b n＝⎩⎪⎨⎪⎧0，1≤n <10，1，10≤n <100，2，100≤n <1 000，3，n ＝1 000， 所以数列{b n }的前1 000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1 893.17．设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n }的前n 项和为T n ，满足T n ＝2S n －n 2，n ∈N *.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式．解 (1)当n ＝1时，T 1＝2S 1－1，∵T 1＝S 1＝a 1，所以a 1＝2a 1－1，求得a 1＝1.(2)当n ≥2时，S n ＝T n －T n －1＝2S n －n 2－[2S n －1－(n －1)2]＝2S n －2S n －1－2n ＋1，∴S n ＝2S n －1＋2n －1，①∴S n ＋1＝2S n ＋2n ＋1，②②－①得a n ＋1＝2a n ＋2，∴a n ＋1＋2＝2(a n ＋2)，求得a 1＋2＝3，a 2＋2＝6，∴a n ＋2≠0.∴a n ＋1＋2a n ＋2＝2(n ≥2)． 又a 2＋2a 1＋2＝2，也满足上式， ∴{a n ＋2}是以3为首项，2为公比的等比数列．∴a n ＋2＝3·2n －1，∴a n ＝3·2n －1－2，n ∈N *.18．已知{a n }是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的n ∈N *，b n 是a n 和a n ＋1的等比中项．(1)设c n ＝b 2n ＋1－b 2n ，n ∈N *，求证：数列{c n }是等差数列；(2)设a 1＝d ，T n ＝∑2n k ＝1 (－1)k b 2k ，n ∈N *，求证：∑n k ＝1 1T k <12d 2. 证明 (1)由题意得b 2n ＝a n a n ＋1，c n ＝b 2n ＋1－b 2n ＝a n ＋1a n ＋2－a n a n ＋1＝2da n ＋1.因此c n ＋1－c n ＝2d (a n ＋2－a n ＋1)＝2d 2，所以{c n }是等差数列．(2)T n ＝(－b 21＋b 22)＋(－b 23＋b 24)＋…＋(－b 22n －1＋b 22n )＝2d (a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝2d ·n （a 2＋a 2n ）2＝2d 2n (n ＋1)．所以∑nk ＝1 1T k ＝12d 2∑n k ＝1 1k （k ＋1）＝12d 2∑n k ＝1 ⎝⎛⎭⎫1k －1k ＋1＝12d 2·⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1<12d 2. 19．已知数列{a n }各项均为正数，其前n 项和为S n ，且满足4S n ＝(a n ＋1)2.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n ·a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n 的最小值． 解 (1)∵(a n ＋1)2＝4S n ，∴S n ＝（a n ＋1）24，S n ＋1＝（a n ＋1＋1）24. ∴S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝（a n ＋1＋1）2－（a n ＋1）24，即4a n ＋1＝a 2n ＋1－a 2n ＋2a n ＋1－2a n ，∴2(a n ＋1＋a n )＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )．∵a n ＋1＋a n ≠0，∴a n ＋1－a n ＝2，即{a n }为公差等于2的等差数列．由(a 1＋1)2＝4a 1，解得a 1＝1，∴a n ＝2n －1.(2)由(1)知b n ＝1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1 ＝12－12（2n ＋1）. ∵T n ＋1－T n ＝12－12（2n ＋3）－⎣⎡⎦⎤12－12（2n ＋1） ＝12（2n ＋1）－12（2n ＋3） ＝1（2n ＋1）（2n ＋3）＞0， ∴T n ＋1＞T n ，∴数列{T n }为递增数列，∴T n 的最小值为T 1＝12－16＝13. 20．某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ，M 的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M 的价值为上年初的75%.(1)求第n 年初M 的价值a n 的表达式；(2)设A n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n.若A n 大于80万元，则M 继续使用，否则须在第n 年初对M 更新．证明：须在第9年初对M 更新．(1)解 当n ≤6时，数列{a n }是首项为120，公差为－10的等差数列，此时a n ＝120－10(n －1)＝130－10n ；当n ≥7时，数列{a n }是以a 6为首项，公比为34的等比数列，又a 6＝70，所以a n ＝70×⎝⎛⎭⎫34n －6. 因此第n 年初，M 的价值a n 的表达式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧130－10n ，n ≤6，70×⎝⎛⎭⎫34n －6，n ≥7. (2)证明 设S n 表示数列{a n }的前n 项和，由等差及等比数列的求和公式，得当1≤n ≤6时，S n ＝120n －5n (n －1)，A n ＝S n n＝120－5(n －1)＝125－5n ；当n ≥7时，由于S 6＝570，故S n ＝S 6＋(a 7＋a 8＋…＋a n )＝570＋70×34×4×[1－(34)n －6] ＝780－210×(34)n －6. A n ＝S n n ＝780－210×（34）n －6n， 易知{A n }是递减数列．又A 8＝780－210×（34）28＝824764＞80， A 9＝780－210×（34）39＝767996＜80， 所以需在第9年初对M 更新．21．已知单调递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，对任意正整数n ，S n ＋(n ＋m )a n ＋1＜0恒成立，试求m 的取值范围．解 (1)设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q .依题意有2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，代入a 2＋a 3＋a 4＝28，得a 3＝8，因此a 2＋a 4＝20，即有⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 3＝a 1q 2＝8. 解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝32.又数列{a n }单调递增，则⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2.故a n ＝2n . (2)∵b n ＝2n ·log 122n ＝－n ·2n ，∴－S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，① －2S n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1.② ①－②，得S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1 ＝2（1－2n ）1－2－n ·2n ＋1＝2n ＋1－n ·2n ＋1－2. ∵S n ＋(n ＋m )a n ＋1＜0，∴2n ＋1－n ·2n ＋1－2＋n ·2n ＋1＋m ·2n ＋1＜0 对任意正整数n 恒成立．∴m ·2n ＋1＜2－2n ＋1对任意正整数n 恒成立，即m ＜12n －1恒成立． ∴12n －1＞－1，∴m ≤－1， 即m 的取值范围是(－∞，－1]．。
高中数学《数列章末检测卷(一)》专题突破含解析
章末检测卷(一)(时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求)1.已知{a n}是首项为1，公差为3的等差数列，如果a n＝2 023，则序号n等于( )A.667B.668C.669D.675解析 由2 023＝1＋3(n－1)，解得n＝675.答案 D2.在等差数列{a n}中，a3＋a5＝12－a7，则a1＋a9＝( )A.8B.12C.16D.20解析 由a3＋a5＝12－a7，得a3＋a5＋a7＝12＝3a5，即a5＝4，故a1＋a9＝2a5＝8.答案 A3.已知数列{a n}是等差数列，a1＝2，其公差d≠0.若a5是a3和a8的等比中项，则S18＝( )A.398B.388C.189D.199解析 由题可得a25＝a3a8，即(2＋4d)2＝(2＋2d)(2＋7d)，整理得d2－d＝0，由d≠0，所以d＝1.故S18＝18×2＋12×18×17×1＝189.答案 C4.等比数列{a n}中，a2＝9，a5＝243，则{a n}的前4项和是( )A.81B.120C.168D.192解析 由a5＝a2q3得q＝3.∴a1＝a2q＝3，S4＝a1（1－q4）1－q＝3（1－34）1－3＝120.答案 B5.已知数列{a n}满足递推关系：a n＋1＝a na n＋1，a1＝12，则a2 020＝( )A.12 019B.12 020C.12 021D.12 022解析 由a n＋1＝a na n＋1得1a n＋1＝1a n＋1，所以数列{1a n}是等差数列，首项1a1＝2，公差为1，所以1a2 020＝2＋(2 020－1)×1＝2 021，则a2 020＝12 021.答案 C6.已知两个等差数列{a n}与{b n}的前n项和分别为A n和B n，且A nB n＝7n＋45n＋3，则使得a nb n为整数的正整数n的个数是( )A.2B.3C.4D.5解析 设数列{a n}的首项为a1，数列{b n}的首项为b1.∵数列{a n}和{b n}均为等差数列，且其前n项和A n和B n满足A nB n＝7n＋45n＋3，∴a nb n＝2a n2b n＝（2n－1）（a1＋a2n－1）2（2n－1）（b1＋b2n－1）2＝A2n－1B2n－1＝14n＋382n＋2＝7（2n＋2）＋242n＋2＝7＋242n＋2＝7＋12 n＋1.经验证知，当n＝1，2，3，5，11时，a nb n为整数.故选D.答案 D7.已知数列{a n}的前n项和S n＝3n(λ－n)－6，若数列{a n}单调递减，则λ的取值范围是( )A.(－∞，2)B.(－∞，3)C.(－∞，4)D.(－∞，5)解析 ∵S n＝3n(λ－n)－6，①∴S n－1＝3n－1(λ－n＋1)－6，n＞1，②①－②得a n＝3n－1(2λ－2n－1)(n＞1，n∈N*)，又{a n}为单调递减数列，∴a n＞a n＋1，且a1＞a2.∴3n－1(2λ－2n－1)＞3n(2λ－2n－3)，化为λ＜n＋2(n＞1)，且λ＜2，∴λ＜2，∴λ的取值范围是(－∞，2).故选A.答案 A8.从2017年起，某人每年的5月1日到银行存入a元的定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并约定每年到期，存款的本息均自动转为新的一年的定期，到2021年的5月1日将所有存款及利息全部取出，则可取出钱(元)的总数为( )A.a(1＋p)4B.a(1＋p)5C.ap[(1＋p)4－(1＋p)] D.ap[(1＋p)5－(1＋p)]解析 设自2018年起每年到5月1日存款本息合计为a1，a2，a3，a4.则a1＝a＋a·p＝a(1＋p)，a2＝a(1＋p)(1＋p)＋a(1＋p)＝a(1＋p)2＋a(1＋p)，a3＝a2(1＋p)＋a(1＋p)＝a(1＋p)3＋a(1＋p)2＋a(1＋p)，a4＝a3(1＋p)＋a(1＋p)＝a[(1＋p)4＋(1＋p)3＋(1＋p)2＋(1＋p)]＝a·（1＋p）[1－（1＋p）4] 1－（1＋p）＝ap[(1＋p)5－(1＋p)].答案 D二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的不得分)9.若S n为数列{a n}的前n项和，且S n＝2a n＋1(n∈N*)，则下列结论正确的是( )A.a5＝－16B.S5＝－31C.数列{a n}是等比数列D.数列{S n＋1}是等比数列解析 因为S n为数列{a n}的前n项和，且S n＝2a n＋1(n∈N*)，所以S1＝2a1＋1，因此a1＝－1.当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2a n－2a n－1，即a n＝2a n－1，所以数列{a n}是以－1为首项，以2为公比的等比数列，故C正确；因此a5＝－1×24＝－16，故A正确；又S n＝2a n＋1＝－2n＋1，所以S5＝－25＋1＝－31，故B正确；因为S1＋1＝0，所以数列{S n＋1}不是等比数列，故D错误.故选ABC.答案 ABC10.已知数列{a n}是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是( )A.{1a n}B.log2(a n)2C.{a n＋a n＋1}D.{a n＋a n＋1＋a n＋2}解析 当a n＝1时，log2(a n)2＝0，所以数列{log2(a n)2}不一定是等比数列；当q＝－1时，a n＋a n＋1＝0，所以数列{a n＋a n＋1}不一定是等比数列；由等比数列的定义知{1a n}和{a n＋a n＋1＋a n＋2}都是等比数列.故选AD.答案 AD11.记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 1＋3a 5＝S 7，则以下结论一定正确的是( )A.a 4＝0 B.S n 的最大值为S 3C.S 1＝S 6D.|a 3|<|a 5|解析 设等差数列{a n }的公差为d ，则a 1＋3(a 1＋4d )＝7a 1＋21d ，解得a 1＝－3d ，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝(n －4)d ，所以a 4＝0，故A 正确；因为S 6－S 1＝5a 4＝0，所以S 1＝S 6，故C 正确；由于d 的正负不清楚，故S 3可能为最大值或最小值，故B 不正确；因为a 3＋a 5＝2a 4＝0，所以a 3＝－a 5，即|a 3|＝|a 5|，故D 不正确.故选AC.答案 AC12.将n 2个数排成n 行n 列的一个数阵，如下图：a 11 a 12 a 13 …… a 1n a 21 a 22 a 23 …… a 2n a 31 a 32 a 33 …… a 3n……a n 1 a n 2 a n 3 …… a nn该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列(其中m >0).已知a 11＝2，a 13＝a 61＋1，记这n 2个数的和为S .下列结论正确的有( )A.m ＝3B.a 67＝17×37C.a ij ＝(3i －1)×3j －1D.S ＝14n (3n ＋1)(3n －1)解析 由a 11＝2，a 13＝a 61＋1，可得a 13＝a 11m 2＝2m 2，a 61＝a 11＋5m ＝2＋5m ，所以2m 2＝2＋5m ＋1，解得m ＝3或m ＝－12(舍去)，所以选项A 是正确的；又由a 67＝a 61m 6＝(2＋5×3)×36＝17×36，所以选项B 不正确；又由a ij ＝a i 1m j －1＝[a 11＋(i －1)·m ]·m j －1＝[2＋(i －1)×3]×3j －1＝(3i －1)×3j －1，所以选项C 是正确的；又由这n 2个数的和为S ，则S ＝(a 11＋a 12＋…＋a 1n )＋(a 21＋a 22＋…＋a 2n )＋…＋(a n 1＋a n 2＋…＋a nn ) ＝a 11（1－3n ）1－3＋a 21（1－3n ）1－3＋…＋a n 1（1－3n ）1－3＝12(3n －1)×（2＋3n －1）n 2＝14n(3n＋1)(3n－1)，所以选项D是正确的，故选ACD.答案 ACD三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13.若数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝2a n(n∈N*)，则a4＝________，前8项的和S8＝________.(本题第一空2分，第二空3分)解析 由a1＝1，a n＋1＝2a n(n∈N*)，可知数列{a n}为等比数列，故a4＝8，S8＝255.答案 8 25514.已知等比数列{a n}是递增数列，S n是{a n}的前n项和.若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，则S6＝________.解析 ∵a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两根，且q＞1，∴a1＝1，a3＝4，则公比q＝2，因此S6＝1×（1－26）1－2＝63.答案 6315.“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2020这2020个数中，能被3除余1且被5整除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{a n}，则此数列的项数为________.解析 因为能被3除余1且被5除余1的数就是能被15除余1的数，故a n＝15n－14≤2 020，解得n≤13535，数列{a n}共有135项.答案 13516.将数列{3n－1}按“第n组有n个数”的规则分组如下：(1)，(3，9)，(27，81，243)，…，则第100组中的第一个数是________.解析 在“第n组有n个数”的规则分组中，各组数的个数构成一个以1为首项，1为公差的等差数列.因为前99组中数的个数共有（1＋99）×992＝4 950个，且第1个数为30，故第100组中的第1个数是34 950.答案 34 950四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.(1)求{a n}的通项公式；(2)求S n，并求S n的最小值.解 (1)设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1＋3d ＝－15.由a 1＝－7得d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －9.(2)由(1)得S n ＝n 2－8n ＝(n －4)2－16.所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16.18.(本小题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝78，且a n ＋1＝12a n ＋13，n ∈N *.(1)求证：{a n －23}是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式.(1)证明 由已知得a n ＋1－23＝12a n －13＝12(a n －23).因为a 1＝78，所以a 1－23＝524，所以{a n －23}是以524为首项，12为公比的等比数列.(2)解 由(1)知{a n －23}是以524为首项，12为公比的等比数列，所以a n －23＝524×(12)n －1，所以a n ＝524×(12)n －1＋23.19.(本小题满分12分)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝13n －2，n ∈N *.(1)求数列{a n ＋2a n }的前n 项和S n ；(2)设b n ＝a n a n ＋1，求{b n}的前n 项和T n .解 (1)∵2a n ＝6n －4，∴a n ＋2a n ＝1＋2an ＝6n －3，所以{a n ＋2a n }是首项为3，公差为6的等差数列，所以S n ＝3n ＋n （n －1）2×6＝3n 2.(2)∵b n ＝a n a n ＋1＝13n －2×13n ＋1＝13(13n －2－13n ＋1)，∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n －1＋b n＝13[(1－14)＋(14－17)＋…＋(13n －5－13n －2)＋(13n －2－13n ＋1)]＝13(1－13n ＋1)＝n3n ＋1.20.(本小题满分12分)设{a n }是等差数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)；{b n }是等比数列，公比大于0，其前n项和为T n(n∈N*).已知b1＝1，b3＝b2＋2，b4＝a3＋a5，b5＝a4＋2a6.(1)求S n和T n；(2)若S n＋(T1＋T2＋…＋T n)＝a n＋4b n，求正整数n的值.解 (1)设等比数列{b n}的公比为q(q>0).由b1＝1，b3＝b2＋2，可得q2－q－2＝0.因为q>0，可得q＝2，故b n＝2n－1.所以，T n＝1－2n1－2＝2n－1.设等差数列{a n}的公差为d.由b4＝a3＋a5，可得a1＋3d＝4.由b5＝a4＋2a6，可得3a1＋13d＝16，从而a1＝1，d＝1，故a n＝n.所以，S n＝n（n＋1）2.(2)由(1)，有T1＋T2＋…＋T n＝(21＋22＋…＋2n)－n＝2×（1－2n）1－2－n＝2n＋1－n－2.由S n＋(T1＋T2＋…＋T n)＝a n＋4b n可得n（n＋1）2＋2n＋1－n－2＝n＋2n＋1，整理得n2－3n－4＝0，解得n＝－1(舍)或n＝4.所以，n的值为4.21.(本小题满分12分)2015年推出一种新型家用轿车，购买时费用为16.9万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共1.2万元，汽车的维修费为：第一年无维修费用，第二年为0.2万元，从第三年起，每年的维修费均比上一年增加0.2万元.(1)设该辆轿车使用n年的总费用(包括购买费用、保险费、养路费、汽油费及维修费)为f(n)，求f(n)的表达式；(2)这种汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年，年平均费用最少)?解 (1)由题意，每年的维修费构成一等差数列，n年的维修总费用为n[0＋0.2(n－1)]2＝0.1n2－0.1n(万元)，所以f(n)＝16.9＋1.2n＋(0.1n2－0.1n) ＝0.1n2＋1.1n＋16.9(万元)，n∈N*.(2)该辆轿车使用n年的年平均费用为f（n）n＝0.1n2＋1.1n＋16.9n＝0.1n＋16.9n＋1.1 ≥20.1n·16.9n＋1.1＝3.7(万元).当且仅当0.1n＝16.9n时取等号，此时n＝13.故这种汽车使用13年报废最合算.22.(本小题满分12分)若数列{a n}是公差为2的等差数列，数列{b n}满足b1＝1，b2＝2，且a n b n ＋b n＝nb n＋1.(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)设数列{c n}满足c n＝a n＋1b n＋1，数列{c n}的前n项和为T n，若不等式(－1)nλ<T n＋n2n－1对一切n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围.解 (1)∵数列{b n}满足b1＝1，b2＝2，且a n b n＋b n＝nb n＋1.∴a1＋1＝2，解得a1＝1.又∵数列{a n}是公差为2的等差数列，∴a n＝1＋2(n－1)＝2n－1.∴2nb n＝nb n＋1，2b n＝b n＋1，∴数列{b n}是以1为首项，2为公比的等比数列，即b n＝2n－1.(2)数列{c n}满足c n＝a n＋1b n＋1＝2n2n＝n2n－1，数列{c n}的前n项和T n＝1＋22＋322＋…＋n2n－1，∴12T n＝12＋222＋…＋n－12n－1＋n2n，两式相减得12T n＝1＋12＋122＋…＋12n－1－n2n＝1－12n1－12－n2n＝2－n＋22n，∴T n＝4－n＋22n－1，不等式(－1)nλ<T n＋n2n－1，即(－1)nλ<4－22n－1恒成立，当n＝2k(k∈N*)时，λ<4－22n－1，∴λ<3；当n＝2k－1(k∈N*)时，－λ<4－22n－1，∴λ>－2.综上可得，实数λ的取值范围是(－2，3).。
人教版高中数学选择性必修第一册-第4章 数列 章末测试卷(含解析)
第四章数列章末检测（原卷版）(时间：120分钟，满分150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2021年郑州模拟)已知数列1，3，5，7，…，2n－1，若35是这个数列的第n项，则n＝()A．20B．21C．22D．232．已知3，a＋2，b＋4成等比数列，1，a＋1，b＋1成等差数列，则等差数列的公差为()A．4或－2B．－4或2C．4D．－43．用数学归纳法证明1＋12＋14＋…＋12n－1>12764(n∈N*)成立，某初始值至少应取()A．7B．8C．9D．104．公差不为0的等差数列{a n}，其前23项和等于其前10项和，a8＋a k＝0，则正整数k ＝()A．24B．25C．26D．275．(2021年长春模拟)已知等比数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，若a2＝2，S6－S4＝6a4，则a5＝()A．10B．16C．24D．326．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a8＝6＋a11，则S9＝()A．54B．45C．36D．277．已知各项都为正数的等比数列{a n}中，a2a4＝4，a1＋a2＋a3＝14，则满足a n·a n＋1·a n＋2＞19的最大正整数n的值为()A．3B．4C ．5D ．68．已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n 满足n (n ＋1)S 2n ＋(n 2＋n －1)S n －1＝0(n ∈N *)，则S 1＋S 2＋…＋S 2021＝()A ．12021B ．12022C ．20202021D ．20212022二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知n ∈N *，则下列表达式能作为数列0，1，0，1，0，1，0，1，…的通项公式的是()A ．a n ，n 为奇数，，n 为偶数B ．a n ＝1＋(－1)n2C ．a n ＝1＋cos n π2D ．a n ＝|sinn π2|10．(2022年宿迁期末)设等差数列{a n }前n 项和为S n ，公差d >0，若S 9＝S 20，则下列结论中正确的有()A ．S 30＝0B ．当n ＝15时，S n 取得最小值C ．a 10＋a 22>0D ．当S n >0时，n 的最小值为2911．已知等比数列{a n }的公比为q ，满足a 1＝1，q ＝2，则()A ．数列{a 2n }是等比数列B C ．数列{log 2a n }是等差数列D ．数列{a n }中，S 10，S 20，S 30仍成等比数列12．设等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项和为S n ，前n 项积为T n ，并满足条件a 1>1，a 2019a 2020>1，a 2019－1a 2020－1<0，下列结论正确的是()A ．S 2019<S 2020B．a2019a2021－1<0C．T2020是数列{T n}中的最大值D．数列{T n}无最大值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝2a n(n∈N*)，S n为{a n}的前n项和，则S8＝________．14．(2022年北京一模)中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”，将上述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列{a n}，则a1＝________，a n＝________(注：三三数之余二是指此数被3除余2，例如“5”，五五数之余三是指此数被5除余3，例如“8”)．15．(2021年淮北期末)已知数列{a n}的通项公式为a n＝[lg n]([x]表示不超过x的最大整数)，T n为数列{a n}的前n项和，若存在k∈N*满足T k＝k，则k的值为__________．16．(2022年武汉模拟)对任一实数序列A＝(a1，a2，a3，…)，定义新序列△A＝(a2－a1，a3－a2，a4－a3，…)，它的第n项为a n＋1－a n.假定序列△(△A)的所有项都是1，且a12＝a22＝0，则a2＝________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)(2022年北京二模)已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，________．是否存在正整数k(k＞1)，使得a1，a k，S k＋2成等比数列？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．－2a n＝0；②S n＝S n－1＋n(n≥2)；③S n＝n2这三个条件中任选一个，补充在上面从①a n＋1问题中并作答．18．(12分)(2022年平顶山期末)在等差数列{a n}中，设前n项和为S n，已知a1＝2，S4＝26.(1)求{a n}的通项公式；}的前n项和T n.(2)令b n＝1a n a n＋1，求数列{b n19．(12分)设a>0，函数f(x)＝ax＝1，a n＋1＝f(a n)，n∈N*.a＋x，令a1(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想数列{a n}的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的结论．20．(12分)(2022年潍坊模拟)若数列{a n}的前n项和S n满足S n＝2a n－λ(λ>0，n∈N*)．(1)求证：数列{a n}为等比数列，并求a n；(2)若λ＝4，b n n ，n 为奇数，2a n ，n 为偶数(n ∈N *)，求数列{b n }的前2n 项和T 2n .21．(12分)已知等比数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝9·2n －1，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n .22．(12分)数列{a n }是公比为12的等比数列且1－a 2是a 1与1＋a 3的等比中项，前n 项和为S n ；数列{b n }是等差数列，b 1＝8，其前n 项和T n 满足T n ＝nλ·b n ＋1(λ为常数且λ≠1)．(1)求数列{a n }的通项公式及λ的值；(2)比较1T 1＋1T 2＋1T 3＋…＋1T n 与12S n 的大小．第四章数列章末检测（解析版）(时间：120分钟，满分150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2021年郑州模拟)已知数列1，3，5，7，…，2n －1，若35是这个数列的第n 项，则n ＝()A ．20B ．21C ．22D ．23【答案】D【解析】由2n －1＝35＝45，得2n －1＝45，即2n ＝46，解得n ＝23.2．已知3，a ＋2，b ＋4成等比数列，1，a ＋1，b ＋1成等差数列，则等差数列的公差为()A ．4或－2B ．－4或2C ．4D ．－4【答案】C【解析】∵3，a ＋2，b ＋4成等比数列，1，a ＋1，b ＋1成等差数列，∴(a＋2)2＝3(b ＋4)，2(a ＋1)＝1＋b ＋1＝－2，4＝4，＝8.＝－2，＝－4时，a ＋2＝0与3，a ＋2，b ＋4＝4，＝8时，等差数列的公差为(a ＋1)－1＝a＝4.3．用数学归纳法证明1＋12＋14＋…＋12n －1>12764(n ∈N *)成立，某初始值至少应取()A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】B 【解析】1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n1－12>12764，整理得2n >128，解得n >7，所以初始值至少应取8.4．公差不为0的等差数列{a n }，其前23项和等于其前10项和，a 8＋a k ＝0，则正整数k ＝()A ．24B ．25C ．26D ．27【答案】C【解析】由题意设等差数列{a n }的公差为d ，d ≠0，∵其前23项和等于其前10项和，∴23a 1＋23×222d ＝10a 1＋10×92d ，变形可得13(a 1＋16d )＝0，∴a 17＝a 1＋16d ＝0.由等差数列的性质可得a 8＋a 26＝2a 17＝0，∴k ＝26.5．(2021年长春模拟)已知等比数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，若a 2＝2，S 6－S 4＝6a 4，则a 5＝()A ．10B ．16C ．24D ．32【答案】B【解析】设公比为q (q >0)，S 6－S 4＝a 5＋a 6＝6a 4.因为a 2＝2，所以2q 3＋2q 4＝12q 2，即q 2＋q －6＝0，解得q ＝2，则a 5＝2×23＝16.6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 8＝6＋a 11，则S 9＝()A ．54B ．45C ．36D ．27【答案】A【解析】∵2a 8＝a 5＋a 11，2a 8＝6＋a 11，∴a 5＝6，∴S 9＝9a 5＝54.7．已知各项都为正数的等比数列{a n }中，a 2a 4＝4，a 1＋a 2＋a 3＝14，则满足a n ·a n ＋1·a n ＋2＞19的最大正整数n 的值为()A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】∵a 2a 4＝4，a n ＞0，∴a 3＝2，∴a 1＋a 2＝12，1＋a 1q ＝12，1q 2＝2，消去a 1，得1＋q q2＝6.∵q ＞0，∴q ＝12，∴a 1＝8，∴a n ＝8－1＝24－n ，∴不等式a n a n ＋1a n ＋2＞19化为29－3n ＞19，当n ＝4时，29－3×4＝18＞19，当n ＝5时，29－3×5＝164＜19，∴最大正整数n ＝4.8．已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n 满足n (n ＋1)S 2n ＋(n 2＋n －1)S n －1＝0(n ∈N *)，则S 1＋S 2＋…＋S 2021＝()A ．12021B ．12022C ．20202021D ．20212022【答案】D【解析】∵n (n ＋1)S 2n ＋(n 2＋n －1)S n －1＝0(n ∈N *)，∴(S n ＋1)[n (n ＋1)S n －1]＝0.又∵S n >0，∴n (n ＋1)S n －1＝0，∴S n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴S 1＋S 2＋…＋S 2021…20212022.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知n ∈N *，则下列表达式能作为数列0，1，0，1，0，1，0，1，…的通项公式的是()A ．a n ，n 为奇数，，n 为偶数B ．a n ＝1＋(－1)n2C ．a n ＝1＋cos n π2D ．a n ＝|sinn π2|【答案】ABC 【解析】检验知A ，B ，C 都是所给数列的通项公式．10．(2022年宿迁期末)设等差数列{a n }前n 项和为S n ，公差d >0，若S 9＝S 20，则下列结论中正确的有()A ．S 30＝0B ．当n ＝15时，S n 取得最小值C ．a 10＋a 22>0D ．当S n >0时，n 的最小值为29【答案】BC 【解析】由S 9＝S 20⇒9a 1＋12×9×8d ＝20a 1＋12×20×19d ⇒a 1＋14d ＝0⇒a 15＝0.因为d >0，所以有S 30＝30a 1＋12×30×29d ＝30·(－14d )＋435d ＝15d ＞0，故A 不正确；因为d >0，所以该等差数列是单调递增数列，因为a 15＝0，所以当n ＝15或n ＝14时，S n 取得最小值，故B 正确；因为d >0，所以该等差数列是单调递增数列，因为a 15＝0，所以a 10＋a 22＝2a 16＝2(a 15＋d )＝2d >0，故C 正确；因为d >0，n ∈N *，所以由S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝n (－14d )＋12n (n －1)d ＝12dn (n －29)>0，可得n >29，n ∈N *，因此n 的最小值为30，故D 不正确．故选BC ．11．已知等比数列{a n }的公比为q ，满足a 1＝1，q ＝2，则()A ．数列{a 2n }是等比数列BC ．数列{log 2a n }是等差数列D ．数列{a n }中，S 10，S 20，S 30仍成等比数列【答案】AC【解析】等比数列{a n }中，由a 1＝1，q ＝2，得a n ＝2n －1，∴a 2n ＝22n －1，∴数列{a 2n }是等比数列，故A B 不正确；∵log 2a n ＝n －1，故数列{log 2a n }是等差数列，故C 正确；数列{a n }中，S 10＝1－2101－2＝210－1，同理可得S 20＝220－1，S 30＝230－1，不成等比数列，故D 错误．12．设等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项和为S n ，前n 项积为T n ，并满足条件a 1>1，a 2019a 2020>1，a 2019－1a 2020－1<0，下列结论正确的是()A ．S 2019<S 2020B ．a 2019a 2021－1<0C ．T 2020是数列{T n }中的最大值D ．数列{T n }无最大值【答案】AB 【解析】若a 2019a 2020>1，则a 1q 2018×a 1q 2019＝a 21q 4037>1.又由a 1>1，必有q >0，则数列{a n }各项均为正值．又由a 2019－1a 2020－1<0，即(a 2019－1)(a 2020－1)<0，则有2019<1，2020>1或2019>1，2020<1，又由a 1>1，必有0<q <1，2019>1，2020<1.有S 2020－S 2019＝a 2020>0，即S 2019<S 2020，则A正确；有a 2020<1，则a 2019a 2021＝a 22020<1，则B 2019>1，2020<1，则T 2019是数列{T n }中的最大值，C ，D 错误．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，S n 为{a n }的前n 项和，则S 8＝________．【答案】255【解析】由a 1＝1，a n ＋1＝2a n 知{a n }是以1为首项、2为公比的等比数列，所以S 8＝a 1(1－q 8)1－q ＝1·(1－28)1－2＝255.14．(2022年北京一模)中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”，将上述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列{a n }，则a 1＝________，a n ＝________(注：三三数之余二是指此数被3除余2，例如“5”，五五数之余三是指此数被5除余3，例如“8”)．【答案】815n －7【解析】被3除余2的正整数可表示为3x ＋2，被5除余3的正整数可表示为5y ＋3，其中x ，y ∈N *，∴数列{a n }为等差数列，公差为15，首项为8，∴a 1＝8，a n ＝8＋15(n －1)＝15n －7.15．(2021年淮北期末)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝[lg n ]([x ]表示不超过x 的最大整数)，T n 为数列{a n }的前n 项和，若存在k ∈N *满足T k ＝k ，则k 的值为__________．【答案】108【解析】a n，1≤n ＜10，，10≤n ＜100，，10k ≤n ＜10k ＋1.当1≤k ＜10时，T k ＝0，显然不存在；当10≤k ＜100时，T k ＝k －9＝k ，显然不存在；当100≤k ＜1000时，T k ＝99－9＋(k －99)×2＝k ，解得k ＝108.16．(2022年武汉模拟)对任一实数序列A ＝(a 1，a 2，a 3，…)，定义新序列△A ＝(a 2－a 1，a 3－a 2，a 4－a 3，…)，它的第n 项为a n ＋1－a n .假定序列△(△A )的所有项都是1，且a 12＝a 22＝0，则a 2＝________．【答案】100【解析】令b n ＝a n ＋1－a n ，依题意知数列{b n }为等差数列，且公差为1，所以b n ＝b 1＋(n －1)×1，a 1＝a 1，a 2－a 1＝b 1，a 3－a 2＝b 2，…，a n －a n －1＝b n －1，累加得a n ＝a 1＋b 1＋…＋b n －1＝a 1＋(n －1)b 1＋(n －1)(n －2)2.分别令n ＝12，n ＝22，得a 2－10a 1＋55＝0①，a 2－20a 1＋210＝0②，①×2－②，得a 2＝100.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)(2022年北京二模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，________．是否存在正整数k (k ＞1)，使得a 1，a k ，S k ＋2成等比数列？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．从①a n ＋1－2a n ＝0；②S n ＝S n －1＋n (n ≥2)；③S n ＝n 2这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．解：若选①a n ＋1－2a n ＝0，则a 2－2a 1＝0，说明数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，∴a 1＝1，a k ＝2k －1，S k ＋2＝1－2k ＋21－2＝2k ＋2－1.若a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，则(2k －1)2＝1×(2k ＋2－1)＝2k ＋2－1.左边为偶数，右边为奇数，即不存在正整数k (k ＞1)，使得a 1，a k ，S k ＋2成等比数列．若选②S n ＝S n －1＋n (n ≥2)，即S n －S n －1＝n ⇒a n ＝n (n ≥2)且a 1＝1也适合此式，∴{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，∴a k ＝k ，S k ＋2＝(k ＋2)(k ＋3)2.若a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，则k 2＝1×(k ＋2)(k ＋3)2⇒k 2－5k －6＝0⇒k ＝6(k ＝－1舍去)，即存在正整数k ＝6，使得a 1，a k ，S k ＋2成等比数列．若选③S n ＝n 2，∴a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1(n ≥2)，且a 1＝1适合上式．若a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，则(2k －1)2＝1×(k ＋2)2⇒3k 2－8k －3＝0⇒k ＝＝－13舍去即存在正整数k ＝3，使得a 1，a k ，S k ＋2成等比数列．18．(12分)(2022年平顶山期末)在等差数列{a n }中，设前n 项和为S n ，已知a 1＝2，S 4＝26.(1)求{a n }的通项公式；(2)令b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)设{a n }的公差为d ，由已知得4×2＋4×32d ＝26，解得d ＝3，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋3(n －1)＝3n －1.(2)b n ＝1a n a n ＋1＝1(3n －1)(3n ＋2)＝所以T n…＝16－13(3n ＋2)＝n 6n ＋4.19．(12分)设a >0，函数f (x )＝axa ＋x，令a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )，n ∈N *.(1)写出a 2，a 3，a 4的值，并猜想数列{a n }的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的结论．(1)解：∵a 1＝1，∴a 2＝f (a 1)＝f (1)＝a 1＋a，a 3＝f (a 2)＝a 2＋a ，a 4＝f (a 3)＝a3＋a ，猜想a n ＝a(n －1)＋a.(2)证明：①易知n ＝1时，猜想正确；②假设n ＝k 时，a k ＝a (k －1)＋a成立，则a k ＋1＝f (a k )＝a ·a k a ＋a k ＝a ·a (k －1)＋a a ＋a (k －1)＋a＝a (k －1)＋a ＋1＝a [(k ＋1)－1]＋a ，∴n ＝k ＋1时成立．由①②知，对任何n ∈N *，都有a n ＝a (n －1)＋a.20．(12分)(2022年潍坊模拟)若数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －λ(λ>0，n ∈N *)．(1)求证：数列{a n }为等比数列，并求a n ；(2)若λ＝4，b nn ，n 为奇数，2a n ，n 为偶数(n ∈N *)，求数列{b n }的前2n 项和T 2n .(1)证明：∵S n ＝2a n －λ，当n ＝1时，得a 1＝λ.当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－λ，∴S n －S n －1＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －2a n －1，∴a n ＝2a n －1，∴数列{a n }是以λ为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＝λ·2n －1.(2)解：∵λ＝4，∴a n ＝4·2n －1＝2n ＋1，∴b nn ＋1，n 为奇数，＋1，n 为偶数，∴T 2n ＝22＋3＋24＋5＋26＋7＋…＋22n ＋2n ＋1＝(22＋24＋…＋22n )＋(3＋5＋…＋2n ＋1)＝4－4n ·41－4＋n (3＋2n ＋1)2＝4n ＋1－43＋n (n ＋2)，∴T 2n ＝4n ＋13＋n 2＋2n －43.21．(12分)已知等比数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝9·2n －1，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)设等比数列{a n }的公比为q .∵a n ＋1＋a n ＝9·2n －1，∴a 2＋a 1＝9，a 3＋a 2＝18，∴q ＝a 3＋a 2a 2＋a 1＝189＝2.又∵2a 1＋a 1＝9，∴a 1＝3，∴a n ＝3·2n －1，n ∈N *.(2)∵b n ＝na n ＝3n ·2n －1，∴13S n ＝1×20＋2×21＋…＋(n －1)×2n －2＋n ×2n －1①，∴23S n ＝1×21＋2×22＋…＋(n －1)×2n －1＋n ×2n ②，①－②，得－13S n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ×2n ＝1－2n 1－2－n ×2n ＝(1－n )2n －1，∴S n ＝3(n －1)2n ＋3.22．(12分)数列{a n }是公比为12的等比数列且1－a 2是a 1与1＋a 3的等比中项，前n 项和为S n ；数列{b n }是等差数列，b 1＝8，其前n 项和T n 满足T n ＝nλ·b n ＋1(λ为常数且λ≠1)．(1)求数列{a n }的通项公式及λ的值；(2)比较1T 1＋1T 2＋1T 3＋…＋1T n 与12S n 的大小．解：(1)由题意，得(1－a 2)2＝a 1(1＋a 3)，∴(1－a 1q )2＝a 1(1＋a 1q 2)．∵q ＝12，∴a 1＝12，∴a n.1＝λb 2，2＝2λb 3，＝λ(8＋d )，＋d ＝2λ(8＋2d )，∴λ＝12，d ＝8.(2)由(1)得b n ＝8n ，∴T n ＝4n (n ＋1)，∴1T n ＝令C n ＝1T 1＋1T 2＋…＋1T n ＝…∴18≤C n ＜14.∵S n ＝21－12＝1，∴12S n ＝121∴14≤12S n ＜12，∴C n ＜12S n 即1T 1＋1T 2＋1T 3＋…＋1T n ＜12S n .。
高中数学章末检测试卷(一)
章末检测试卷(一)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．设集合A ＝{x |x ＋2＝0}，集合B ＝{x |x 2－4＝0}，则A ∩B 等于( ) A ．{－2} B ．{2} C ．{－2,2} D ．∅ 答案 A解析 ∵A ＝{x |x ＋2＝0}，∴A ＝{－2}． ∵B ＝{x |x 2－4＝0}，∴B ＝{－2,2}． ∴A ∩B ＝{－2}．故选A.2．已知集合A ＝{x |x ≤10}，a ＝2＋3，则a 与集合A 的关系是( ) A ．a ∈A B ．a ∉A C ．a ＝A D ．{a }∈A 答案 A解析 因为a ＝2＋3≤10，故a ∈A .3．“三角形的三条边相等”是“三角形为等边三角形”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 答案 C解析 三角形的三条边相等，则三角形为等边三角形，即充分性成立，三角形为等边三角形，则三角形的三条边相等，即必要性成立，则“三角形的三条边相等”是“三角形为等边三角形”的充要条件，故选C.4．设集合A ＝{1,2,6}，B ＝{2,4}，C ＝{x ∈R |－1≤x ≤5}，则(A ∪B )∩C 等于( ) A ．{2} B ．{1,2,4}C ．{1,2,4,6}D ．{x ∈R |－1≤x ≤5}答案 B解析 A ∪B ＝{1,2,4,6}，(A ∪B )∩C ＝{1,2,4}，故选项B 符合． 5．已知集合A ＝{x |x <2}，B ＝{x |3－2x >0}，则( )A ．A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <32B ．A ∩B ＝∅C ．A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <32D ．A ∪B ＝R考点 并集、交集的综合运算题点 并集、交集的综合运算 答案 A解析 因为B ＝{x |3－2x >0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <32， A ＝{x |x <2}，所以A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <32，A ∪B ＝{x |x <2}． 故选A.6．全称量词命题：∀x ∈R ，x 2＋5x ＝4的否定是( ) A ．∃x ∈R ，x 2＋5x ＝4 B ．∀x ∈R ，x 2＋5x ≠4 C ．∃x ∈R ，x 2＋5x ≠4 D ．以上都不正确 答案 C解析 ∵全称量词命题的否定是存在量词命题，∴∀x ∈R ，x 2＋5x ＝4的否定是：∃x ∈R ，x 2＋5x ≠4.故选C.7．设集合U ＝{－1,1,2,3}，M ＝{x |x 2－5x ＋p ＝0}，若∁U M ＝{－1,1}，则实数p 的值为( ) A ．－6 B ．－4 C ．4 D ．6 答案 D解析 由题意M ＝{2,3}，∴2×3＝p ，∴p ＝6.8．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的( ) A ．必要条件 B ．充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案 A解析 由题意可知：“返回家乡”则可推出“攻破楼兰”，故“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件，故选A.9．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，且B ≠∅，若A ∪B ＝A ，则m 的取值范围为( ) A ．－3≤m ≤4 B ．－3<m <4 C ．2<m <4 D ．2<m ≤4 答案 D解析 ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .又B ≠∅.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1<2m －1，即2<m ≤4. 10．设m 为给定的一个实常数，命题p ：∀x ∈R ，x 2－4x ＋2m ≥0，则“m ≥3”是“命题p 为真命题”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件答案 A解析 当命题p 为真时，则∀x ∈R ，x 2－4x ＋2m ≥0恒成立，即Δ＝16－8m ≤0，即m ≥2. 因为“m ≥3”是“m ≥2”充分不必要条件，即“m ≥3”是“命题p 为真命题”的充分不必要条件， 故选A.11．给出下列四个结论：①{0}是空集；②若a ∈N ，则－a ∉N ；③集合A ＝{x |x 2－2x ＋1＝0}中有两个元素；④集合B＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈Q ⎪⎪6x ∈N 是有限集．其中正确结论的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 A解析 对于①，{0}中含有元素0，不是空集，故①错误；对于②，比如0∈N ，－0∈N ，故②错误；对于③，集合A ＝{x |x 2－2x ＋1＝0}＝{1}中有一个元素，故③错误；对于④，当x ∈Q且6x ∈N 时，6x 可以取无数个值，所以集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈Q ⎪⎪6x ∈N 是无限集，故④错误．综上可知，正确结论的个数是0.故选A.12．已知命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋3>0.若命题p 为假命题，则实数a 的取值范围是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪a <13 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪0<a ≤13 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪ a ≤13D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪a ≥13 答案 C解析 若a ＝0，则不等式等价为2x ＋3>0，对于∀x ∈R 不成立，若a ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4－12a <0，解得a >13，∴命题p 为真命题的a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪ a >13， ∴使命题p 为假命题的a 的范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪ a ≤13.故选C.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知集合A ＝{7,2m －1}，B ＝{7，m 2}，且A ＝B ，则实数m ＝________. 答案 1解析 若A ＝B ，则m 2＝2m －1，即m 2－2m ＋1＝0，即m ＝1.14．设集合A ＝{x |－1≤x <2}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ≠∅，则a 的取值范围是________． 答案 {a |a >－1}解析 因为A ∩B ≠∅，所以集合A ，B 有公共元素，作出数轴，如图所示，易知a >－1.15．设集合S ＝{x |x >－2}，T ＝{x |x 2＋3x －4＝0}，则(∁R S )∪T ＝________. 答案 {x |x ≤－2或x ＝1}解析 ∁R S ＝{x |x ≤－2}，T ＝{x |x 2＋3x －4＝0} ＝{－4,1}．所以(∁R S )∪T ＝{x |x ≤－2或x ＝1}．16．已知集合A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |－1<x <m ＋1}，若x ∈A 是x ∈B 成立的一个充分不必要条件，则实数m 的取值范围是__________． 答案 {m |m >1}解析 由x ∈A 是x ∈B 成立的一个充分不必要条件，得A B ，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1>－1，m ＋1>2，即m >1. 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出它们的否定： (1)p ：对任意的x ∈R ，x 2＋x ＋1＝0都成立； (2)p ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋5>0.解 (1)由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称量词命题；又由于“任意的”的否定为“存在一个”，因此，綈p ：存在一个x ∈R ，使x 2＋x ＋1≠0成立，即“∃x ∈R ，使x 2＋x ＋1≠0成立”； (2)由于“∃x ∈R ”表示存在一个实数x ，即命题中含有存在量词“存在一个”， 因而是存在量词命题；又由于“存在一个”的否定为“任意一个”，因此，綈p ：对任意一个x 都有x 2＋2x ＋5≤0，即“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋5≤0”．18．(12分)已知p ：－1<x <3，q ：k －2≤x ≤k ＋5，若p 是q 的充分不必要条件，求实数k 的取值范围．解 ∵p 是q 的充分不必要条件， ∴p ⇒q ，q ⇏p ，∴⎩⎪⎨⎪⎧k －2≤－1，k ＋5≥3即－2≤k ≤1， 所以k 的取值范围为{k |－2≤k ≤1}．19．(12分)已知集合P ＝{2，x ，y }，Q ＝{2x,2，y 2}，且P ＝Q ，求x ，y 的值．解 ∵P ＝Q ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2x ，y ＝y 2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y 2，y ＝2x ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝14，y ＝12.由元素的互异性可知x ≠y ， 故x ＝0，y ＝1或x ＝14，y ＝12.20．(12分)已知集合A ＝{x |2≤x ≤8}，B ＝{x |1<x <6}，C ＝{x |x >a }，U ＝R . (1)求A ∪B ，(∁U A )∩B ；(2)若A ∩C ≠∅，求a 的取值范围． 解 (1)A ∪B ＝{x |2≤x ≤8}∪{x |1<x <6} ＝{x |1<x ≤8}．∵∁U A ＝{x |x <2或x >8}， ∴(∁U A )∩B ＝{x |1<x <2}．(2)∵A ∩C ≠∅，作图易知，只要a 在8的左边即可， ∴a <8.∴a 的取值范围为{a |a <8}．21．(12分)已知集合P ＝{x |－2≤x ≤10}，Q ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }． (1)求集合∁R P ；(2)若P ⊆Q ，求实数m 的取值范围； (3)若P ∩Q ＝Q ，求实数m 的取值范围． 解 (1)∁R P ＝{x |x <－2或x >10}．(2)由P ⊆Q ，需⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m ≥10，得m ≥9，即实数m 的取值范围为{m |m ≥9}．(3)由P ∩Q ＝Q 得，Q ⊆P ，①当1－m >1＋m ，即m <0时，Q ＝∅，符合题意；②当1－m ≤1＋m ，即m ≥0时，需⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，1－m ≥－2，1＋m ≤10，得0≤m ≤3；综上得m ≤3，即实数m 的取值范围为{m |m ≤3}．22．(12分)已知非空集合P ＝{x |a ＋1≤x ≤2a ＋1}，Q ＝{x |－2≤x ≤5}． (1)若a ＝3，求(∁R P )∩Q ；(2)若“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 解 因为P 是非空集合，所以2a ＋1≥a ＋1，即a ≥0. (1)当a ＝3时，P ＝{x |4≤x ≤7}，(∁R P )＝{x |x <4或x >7}， Q ＝{x |－2≤x ≤5}，所以(∁R P )∩Q ＝{x |－2≤x <4}．(2)若“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，即P Q ， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥－2，2a ＋1≤5，a ≥0，且a ＋1≥－2和2a ＋1≤5的等号不能同时取得，解得0≤a ≤2，即实数a 的取值范围为{a |0≤a ≤2}．高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
高中数学 章末检测(一)北师大版高二选修1-1数学试题
章末检测(一)(时间90分钟满分100分)第Ⅰ卷(选择题，共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．给出下列语句：①三角函数难道不是函数吗？②和为有理数的两个数均为有理数．③一条直线与一个平面不是平行就是相交．④作△A′B′C′≌△ABC.⑤这是一棵大树．⑥求证3是无理数．⑦二次函数的图像太美啦！⑧4是集合{1,2,3,4}中的元素．其中命题的个数为( )A．3 B．4C．6 D．7解析：命题是指可以判断真假的陈述句，所以②③⑧是命题；①是反问句，不是命题；④⑥是祈使句，不是命题；⑤“大树”没有界定标准，不能判断真假，不是命题；⑦是感叹句，不是命题．答案：A2．给出下列4个命题：①设a，b为非零向量，如果a⊥b，则a·b＝0；②如果－2<x<3，则(x＋2)(x－3)<0；③如果b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根；④内接于圆的四边形是等腰梯形．下列说法中正确的是( )A．①的逆命题是假命题B．②的否命题是假命题C．③的逆否命题是真命题D．④的逆命题是假命题解析：①的逆命题为：设a，b为非零向量，如果a·b＝0，则a⊥b，是真命题；②的否命题的真假可通过判断它的逆否命题即原命题的逆命题的真假来获得，易知原命题的逆命题为真命题，故否命题为真命题；③的逆否命题的真假可通过判断原命题的真假来获得，由于Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b≥4，故原命题为真命题，所以③的逆否命题为真命题；④的逆命题为：等腰梯形内接于圆，真命题．答案：C3．下列命题中是全称命题且为真命题的是( ) A ．对任意的x ∈R ，x 2＋3x －3≠0 B ．存在两个相交的平面垂直于同一平面 C ．对任意的整数x ，其平方的个位数字不等于3 D ．存在x ∈Z ，x ≠5k (k ∈Z )解析：B ，D 为特称命题．A 中，当x 2＋3x －3＝0时，Δ＝9＋12>0，所以此方程有解，故A 为假命题．答案：C4．有下列命题：①2004年10月1日是国庆节，又是中秋节；②9的倍数一定是3的倍数；③方程x 2＝1的解是x ＝±1.其中使用逻辑联结词的命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个解析：①中有“且”，②中没有，③中有“或”． 答案：B5．“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的( )A ．充分非必要条件B ．充分必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件解析：若一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解，则Δ＝1－4m ≥0，因此m ≤14.故m <14是方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解的充分非必要条件．答案：A6．已知命题p ：任意x ∈R ，x 2－x ＋14<0；命题q ：存在x ∈R ，sin x ＋cos x ＝ 2.则下列命题正确的是( )A ．p 或q 真B ．p 且q 真C ．綈q 真D ．p 真解析：易知p 假，q 真，故p 或q 为真． 答案：A7．下列命题中的假命题是( ) A ．任意x ∈R,2x －1>0B ．任意x ∈N ＋，(x －1)2>0 C ．存在x ∈R ，lg x <1 D ．存在x ∈R ，tan x ＝2解析：A 项，∵x ∈R ，∴x －1∈R ，由指数函数性质得2x －1>0，A 正确；B 项，∵x ∈N ＋，∴当x ＝1时，(x －1)2＝0与(x －1)2>0矛盾，B 错误；C 项，当x ＝110时，lg 110＝－1<1，C 正确；D 项，由正切函数的图像和性质知D 正确．故选B.答案：B8．已知a >0，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若x 0满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )A ．存在x ∈R ，f (x )≤f (x 0)B ．存在x ∈R ，f (x )≥f (x 0)C ．对任意x ∈R ，f (x )≤f (x 0)D ．对任意x ∈R ，f (x )≥f (x 0)解析：由题知：x 0＝－b2a 为函数f (x )图像的对称轴方程，所以f (x 0)为函数的最小值，即对所有的实数x ，都有f (x )≥f (x 0)，因此对任意x ∈R ，f (x )≤f (x 0)是错误的，故选C.答案：C9．已知数列{a n }，那么“对任意的n ∈N ＋，点P n (n ，a n )都在直线y ＝2x ＋1上”是“{a n }为等差数列”的( )A ．必要而不充分条件B ．充分而不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：原命题：“若对任意的n ∈N ＋，点P n (n ，a n )都在直线y ＝2x ＋1上，则{a n }为等差数列”为真命题．其逆命题：“若{a n }为等差数列，则对任意的n ∈N ＋，点P n (n ，a n )都在直线y ＝2x ＋1上”．此命题为假，所以“对任意的n ∈N ＋，点P n (n ，a n )都在直线y ＝2x ＋1上”是“{a n }为等差数列”的充分而不必要条件.答案：B10．已知p ：2x －1≤1，q ：(x －a )[x －(a ＋1)]≤0，若q 是p 的必要不充分条件，则实数a 的取值X 围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C ．(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ D ．(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞解析：由2x －1≤1，得12≤x ≤1.由(x －a )[x －(a ＋1)]≤0，得a ≤x ≤a ＋1.又q 是p 的必要不充分条件，1－12≠a ＋1－a ，所以a ≤12且a ＋1≥1，所以0≤a ≤12.答案：A第Ⅱ卷(非选择题，共60分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上) 11．在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是________．(把符合要求的命题序号都填上)解析：①的逆命题是：若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面，显然不正确． ②的逆命题是：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点，为真命题． 答案：②12．已知p ：3×3＝6，q ：3＋3＝6，判断下列复合命题的真假：p 或q ________，p 且q ________，綈p ________.解析：因为p 假，q 真，所以“p 或q ”真，“p 且q ”假，“綈p ”真． 答案：真 假 真13．命题：“存在x ∈R ，x 2＋1<0”的否定是________________． 解析：特称命题的否定是全称命题． 答案：对任意x ∈R ，x 2＋1≥014．已知命题p ：关于x 的方程x 2＋2x ＋a ＝0有实数根，命题q ：函数f (x )＝(a 2－a )x 在R 上是增函数．若p 且q 为真命题，某某数a 的取值X 围是__________．解析：当p 是真命题时，Δ＝4－4a ≥0，解得a ≤1. 当q 是真命题时，a 2－a >0，解得a <0或a >1.由题意，得p ，q 都是真命题，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1a <0或a >1，解得a <0，所以实数a 的取值X 围是(－∞，0)．答案：(－∞，0)三、解答题(本大题共4小题，共44分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(10分)把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并写出它们的逆命题，否命题与逆否命题．(1)实数的平方是非负数；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧．解析：(1)原命题：若一个数是实数，则这个数的平方是非负数． 逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数． 否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数． 逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．(2)原命题：若一条直线是弦的垂直平分线，则这条直线经过圆心，且平分弦所对的弧． 逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线．否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧． 逆否命题：若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线．16．(10分)写出下列各命题的否定形式及否命题． (1)面积相等的三角形是全等三角形；(2)若m 2＋n 2＋a 2＋b 2＝0，则实数m ，n ，a ，b 全为零； (3)若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0.解析：(1)否定形式：存在面积相等的三角形不是全等三角形． 否命题：存在面积不相等的三角形不是全等三角形．(2)否定形式：若m 2＋n 2＋a 2＋b 2＝0，则实数m ，n ，a ，b 不全为零． 否命题：若m 2＋n 2＋a 2＋b 2≠0，则实数m ，n ，a ，b 不全为零． (3)否定形式：若xy ＝0，则x ≠0且y ≠0. 否命题：若xy ≠0，则x ≠0且y ≠0.17．(12分)(1)是否存在实数m ，使2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的充分条件？ (2)是否存在实数m ，使2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的必要条件？解析：(1)欲使2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的充分条件，则只要{x |x <－m2}⊆{x |x <－1或x >3}，则只要－m2≤－1，即m ≥2.故存在实数m ≥2，使2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的充分条件．(2)欲使2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的必要条件，则只要{x |x <－m2}⊇{x |x <－1或x >3}，这是不可能的，故不存在实数m ，使2x ＋m <0是x 2－2x －3>0的必要条件．18．(12分)已知命题p ：存在x 0∈[0,2]，log 2(x 0＋2)<2m ；命题q ：关于x 的方程3x 2－2x ＋m 2＝0有两个不相等的实数根．(1)若(非p )且q 为真命题，某某数m 的取值X 围；(2)若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，某某数m 的取值X 围． 解析：(1)令f (x )＝log 2(x ＋2)，则f (x )在[0,2]上是增函数， 所以当x ∈[0,2]时，f (x )的最小值为f (0)＝1， 所以若p 为真，则2m >1，解得m >12.由关于x 的方程3x 2－2x ＋m 2＝0有两个不相等的实数根， 得Δ＝4－12m 2>0，解得－33<m <33.若(綈p )且q 为真命题，则⎩⎪⎨⎪⎧m ≤12－33<m <33，所以－33<m ≤12， 即实数m 的取值X 围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－33，12. (2)若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，则p ，q 一真一假， 若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧ m >12m ≤－33或m ≥33，解得m ≥33； 若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧m ≤12－33<m <33，解得－33<m ≤12. 综上所述，实数m 的取值X 围为⎝⎛⎦⎥⎤－33，12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，＋∞.。
必修五第二章数列导学案加章末检测
【自学评价】
1．数列的定义：___________________叫做数列(sequence of number).
【例 3】在数列 {an } 中，a1=2,a17=66，通项公式是项数 n 的一次函数. （1）求数列 {an } 的通项公式； （2）88 是否是数列 {an } 中的项.
叫做这个数列的通项公式（the formula of general term）. 注意： （1）并不是所有数列都能写出其通项公式，如数列 1，1.4，1.41， 1.414，…； （2）一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是 a n 也可以是 a n | cos
第二章
数列的概念及其通项公式 【学习导航】
数列也可根据其通项公式画出其对应图象． 6．数列的表示形式：_______________________________________.
【精典范例】
【例1】 已知数列的第 n 项 an 为 2n 1 ，写出这个数列的首项、第 2 项和第 3 项． 【例 2】根据下面数列 an 的通项公式，写出它的前 5 项，并作出它的图象：
n为奇数 1， 1，n为偶数
）
【注意】⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不
同的数列； ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. 思考:简述数列与数集的区别.______________________________. 2．数列的项：________都叫做这个数列的项(term). 各项依次叫做这个数列的第 1 项（或首项） ，第 2 项，…，第 n 项，…. 3．数列的分类： 按项分类：有穷数列（项数有限） ；无穷数列（项数无限）. 4．数列的通项公式：如果数列 an 的第 n 项与 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就
第四章 数列 章末检测试卷一(第四章)(含解析)高中数学人教A版选择性必修第二册
章末检测试卷一(第四章)［时间：120分钟分值：150分］一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.已知数列1，3，5，7，…，2n―1，则35是这个数列的第（ ）A.20项B.21项C.22项D.23项2.设等差数列｛a n｝的前n项和为S n，若a4=8，S3=18，则S5等于（ ）A.34B.35C.36D.383.已知等比数列｛a n｝的各项均为正数，若log3a1+log3a2+…+log3a12=12，则a6a7等于（ ）A.1B.3C.6D.94.等差数列｛a n｝的前n项和为S n.若a1011+a1012+a1013+a1014=8，则S2024等于（ ）A.8096B.4048C.4046D.20245.已知圆O的半径为5，|OP|=3，过点P的2024条弦的长度组成一个等差数列｛a n｝，圆O的最短弦长为a1，最长弦长为a2024，则其公差为（ ）A.12 023B.22 023C.31 011D.15056.已知等差数列｛a n｝的前n项和为S n，若a6+a7>0，a6+a8<0，则S n最大时n的值为（ ）A.4B.5C.6D.77.已知数列｛a n｝中的项都是整数，且满足a n+1={a n2,a n为偶数,3a n+1,a n为奇数,若a8=1，a1的所有可能取值构成集合M，则M中的元素的个数是（ ）A.7B.6C.5D.48.若数列｛a n｝的前n项和为S n，b n=S nn，则称数列｛b n｝是数列｛a n｝的“均值数列”.已知数列｛b n｝是数列｛a n｝的“均值数列”且通项公式为b n=n，设数列{1a n a n+1}的前n项和为T n，若T n<12m2-m-1对一切n∈N*恒成立，则实数m的取值范围为（ ）A.（-1，3）B.［-1，3］C.（-∞，-1）∪（3，+∞）D.（-∞，-1］∪［3，+∞）二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知数列｛a n ｝的通项公式为a n =（n +2）·(67)n，则下列说法正确的是（ ）A.a 1是数列｛a n ｝的最小项B.a 4是数列｛a n ｝的最大项C.a 5是数列｛a n ｝的最大项D.当n ≥5时，数列｛a n ｝为递减数列10.设d ，S n 分别为等差数列｛a n ｝的公差与前n 项和，若S 10=S 20，则下列说法中正确的是（ ）A.当n =15时，S n 取最大值B.当n =30时，S n =0C.当d >0时，a 10+a 22>0D.当d <0时，|a 10|>|a 22|11.已知两个等差数列｛a n ｝和｛b n ｝的前n 项和分别为S n 和T n ，且S n T n=3n +39n +3，则使得a n b n 为整数的正整数n的值为（ ）A.2 B.3C.4D.14三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，a 1=1，a n +a n +1=4×3n -1，则S 2 024= .13.在等差数列｛a n ｝中，前m （m 为奇数）项和为135，其中偶数项之和为63，且a m -a 1=14，则a 100的值为 .14.已知函数f （x ）=（x +1）3+1，正项等比数列｛a n ｝满足a 1 013=110，则2 025Σk =1f （lg a k ）= . 四、解答题（本题共5小题，共77分）15.（13分）在数列｛a n ｝中，a 1=1，a n +1=3a n .（1）求｛a n ｝的通项公式；（6分）（2）数列｛b n ｝是等差数列，S n 为｛b n ｝的前n 项和，若b 1=a 1+a 2+a 3，b 3=a 3，求S n .（7分）16.（15分）已知等差数列｛a n ｝中，a 5-a 2=6，且a 1，a 6，a 21依次成等比数列.（1）求数列｛a n ｝的通项公式；（6分）（2）设b n =1a n a n +1，数列｛b n ｝的前n 项和为S n ，若S n =335，求n 的值.（9分）17.（15分）在数列｛a n ｝中，前n 项和S n =1+ka n （k ≠0，k ≠1）.（1）证明：数列｛a n ｝为等比数列；（5分）（2）求数列｛a n ｝的通项公式；（4分）（3）当k =-1时，求a 21+a 22+…+a 2n .（6分）18.（17分）某公司计划今年年初用196万元引进一条永磁电机生产线，第一年需要安装、人工等费用24万元，从第二年起，包括人工、维修等费用每年所需费用比上一年增加8万元，该生产线每年年产值保持在100万元.（1）引进该生产线几年后总盈利最大，最大是多少万元？（8分）（2）引进该生产线几年后平均盈利最多，最多是多少万元？（9分）19.（17分）在如图所示的三角形数阵中，第n 行有n 个数，a ij 表示第i 行第j 个数，例如，a 43表示第4行第3个数.该数阵中每一行的第一个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，从第三行起每一行的数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中m >0）.已知a 11=2，a 41=12a 32+2，a 22a 21=m .（1）求m 及a 53；（7分）（2）记T n =a 11+a 22+a 33+…+a nn ，求T n .（10分）答案精析1.D ［已知数列1，3，5，7，…，2n ―1，则该数列的通项公式为a n =2n ―1，若2n ―1=35=45，即2n -1=45，解得n =23，则35是这个数列的第23项.］2.B ［因为｛a n ｝是等差数列，设其公差为d ，因为S 3=a 1+a 2+a 3=3a 2=18，则a 2=6，所以2d =a 4-a 2=2，则d =1，所以a 5=9，S 5=S 3+a 4+a 5=18+8+9=35.］3.D ［因为等比数列｛a n ｝的各项均为正数，且log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 12=12，即log 3(a 1·a 2·…·a 12)=12，所以a 1·a 2·…·a 12=312，所以(a 6a 7)6=312，所以a 6a 7=32=9.］4.B ［由等差数列的性质可得a 1 011+a 1 012+a 1 013+a 1 014=2(a 1 012+a 1 013)=8，所以a 1 012+a 1 013=4，所以S 2 024=2 024(a 1+a 2 024)2=2 024(a 1 012+a 1 013)2=4 048，故B 正确.］5.B ［由题意，知最长弦长为直径，即a 2 024=10，最短弦长和最长弦长垂直，由弦长公式得a 1=252―32=8，所以d =a 2 024―a 12 024―1=22 023.］6.C ［∵等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，a 6+a 7>0，a 6+a 8<0，∴a 6+a 8=2a 7<0，∴a 6>0，a 7<0，∴S n 最大时n 的值为6.］7.B ［a n +1={a n2,a n 为偶数,3a n +1,a n 为奇数,若a 8=1，可得a 7=2，a 6=4，所以a 5=8或a 5=1.①若a 5=8，则a 4=16，a 3=32或a 3=5，当a 3=32时，a 2=64，a 1=128或a 1=21；当a 3=5时，a 2=10，a 1=20或a 1=3； ②若a 5=1，则a 4=2，a 3=4，a 2=8或a 2=1，当a 2=8时，a 1=16；当a 2=1时，a 1=2，故当a 8=1时，a 1的所有可能的取值集合M =｛2，3，16，20，21，128｝，即集合M 中含有6个元素.］8.D ［由题意，得数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，由“均值数列”的定义可得S nn =n ，所以S n =n 2，当n =1时，a 1=S 1=1；当n ≥2时，a n =S n -S n -1=n 2-(n -1)2=2n -1，a 1=1也满足a n =2n -1，所以a n =2n -1，所以1a n a n +1=1(2n ―1)(2n +1)=12(12n ―1―12n +1)，所以T n =12(1―13+13―15+…+12n ―1―12n +1)=12(1―12n +1)<12，又T n <12m 2-m -1对一切n ∈N *恒成立，所以12m 2-m -1≥12，整理得m 2-2m -3≥0，解得m ≤-1或m ≥3.即实数m 的取值范围为(-∞，-1］∪［3，+∞).］9.BCD ［假设第n 项为｛a n ｝的最大项，则{a n ≥a n―1,a n ≥a n +1,即{(n +2)·(67)n≥(n +1)·(67)n―1,(n +2)·(67)n≥(n +3)·(67)n +1,所以{n ≤5,n ≥4,又n ∈N *，所以n =4或n =5，故数列｛a n ｝中a 4与a 5均为最大项，且a 4=a 5=6574，故B ，C 正确；当n ≥5时，数列｛a n ｝为递减数列，故A 错误，D 正确.］10.BC ［因为S 10=S 20，所以10a 1+10×92d =20a 1+20×192d ，解得a 1=-292d.所以S n =-292dn +n (n ―1)2d =d 2n 2-15nd =d 2［(n -15)2-225］.对于选项A ，因为d 的正负不确定，S n 不一定有最大值，故A 错误；对于选项B ，S 30=30a 1+30×292d =30×(―292d )+15×29d =0，故B 正确；对于选项C ，a 10+a 22=2a 16=2(a 1+15d )=2(―292d +15d )=d >0，故C 正确；对于选项D ，a 10=a 1+9d =-292d +182d =-112d ，a 22=a 1+21d =-292d +422d =132d ，因为d <0，所以|a 10|=-112d ，|a 22|=-132d ，|a 10|<|a 22|，故D 错误.］11.ACD ［由题意可得S 2n―1T 2n―1=(2n ―1)(a 1+a 2n―1)2(2n ―1)(b 1+b 2n―1)2=(2n ―1)a n (2n ―1)b n =a n b n ，则a n b n =S 2n―1T 2n―1=3(2n ―1)+39(2n ―1)+3=3n +18n +1=3+15n +1，由于a nb n 为整数，则n +1为15的正约数，则n +1的可能取值有3，5，15，因此，正整数n 的可能取值有2，4，14.］12.32 024―12解析 根据题意，可得a 1+a 2=4×30=4，a 3+a 4=4×32，…，a 2 023+a 2 024=4×32 022，所以S 2 024=4×30+4×32+…+4×32 022=4×(30+32+…+32 022)=4×1―(32)1 0121―32=32 024―12.13.101解析 ∵在前m 项中偶数项之和为S 偶=63，∴奇数项之和为S 奇=135-63=72，设等差数列｛a n ｝的公差为d ，则S 奇-S 偶=2a 1+(m ―1)d2=72-63=9.又a m =a 1+d (m -1)，∴a 1+a m2=9，∵a m -a 1=14，∴a 1=2，a m =16.∵m (a 1+a m )2=135，∴m =15，∴d =a m ―a 1m ―1=1，∴a 100=a 1+99d =101.14.2 025解析 函数f (x )=(x +1)3+1的图象可看成由y =x 3的图象向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，因为y =x 3的对称中心为(0，0)，所以f (x )=(x +1)3+1的对称中心为(-1，1)，所以f (x )+f (-2-x )=2，因为正项等比数列｛a n ｝满足a 1 013=110，所以a 1·a 2 025=a 2·a 2 024=…=a 21 013=1100，所以lg a 1+lg a 2 025=lg a 2+lg a 2 024=...=2lg a 1 013=-2，所以f (lg a 1)+f (lg a 2 025)=f (lg a 2)+f (lg a 2 024)= (2)2 025Σk =1f （lg a k ）=f （lg a 1）+f （lg a 2）+f （lg a 3）+…+f （lg a 2 025），①2 025Σk =1f （lg a k ）=f （lg a 2 025）+f （lg a 2 024）+f （lg a 2 023）+…+f （lg a 1），②则①②相加得22 025Σk =1f （lg a k ）=［f （lg a 1）+f （lg a 2 025）］+［f （lg a 2）+f （lg a 2 024）］+…+［f （lg a 2 025）+f （lg a 1）］=2 025×2，所以2 025Σk =1f （lg a k ）=2 025.15.解 (1)因为a 1=1，a n +1=3a n ，所以数列｛a n ｝是首项为1，公比为3的等比数列，所以a n =3n -1.(2)由(1)得，b 1=a 1+a 2+a 3=1+3+9=13，b 3=9，则b 3-b 1=2d =-4，解得d =-2，所以S n =13n +n (n ―1)2×(-2)=-n 2+14n.16.解 (1)设数列｛a n ｝的公差为d ，因为a 5-a 2=6，所以3d =6，解得d =2.因为a 1，a 6，a 21依次成等比数列，所以a 26=a 1a 21，即(a 1+5×2)2=a 1(a 1+20×2)，解得a 1=5，所以a n =2n +3.(2)由(1)知b n =1a n a n +1=1(2n +3)(2n +5)，所以b n =12(12n +3―12n +5)，所以S n =12[(15―17)+(17―19)+…+(12n +3―12n +5)]=n5(2n +5)，由n5(2n +5)=335，得n =15.17.(1)证明 因为S n =1+ka n ，①S n -1=1+ka n -1(n ≥2)，②由①-②，得S n -S n -1=ka n -ka n -1(n ≥2)，所以a n =kk ―1a n -1.当n =1时，S 1=a 1=1+ka 1，所以a 1=11―k .所以｛a n ｝是首项为11―k ，公比为kk ―1的等比数列.(2)解 因为a 1=11―k ，q =kk ―1，所以a n =11―k ·(k k ―1)n―1=-k n―1(k ―1)n .(3)解 因为在数列｛a n ｝中，a 1=11―k ，公比q =kk ―1，所以数列｛a 2n ｝是首项为(1k ―1)2，公比为(k k ―1)2的等比数列.当k =-1时，等比数列｛a 2n ｝的首项为14，公比为14，所以a 21+a 22+…+a 2n=14×[1―(14)n ]1―14=13×[1―(14)n ].18.解 (1)设引进设备n 年后总盈利为f (n )万元，设除去设备引进费用，第n 年的成本为a n ，构成一等差数列，前n 年成本之和为[24n +n (n ―1)2×8]万元，所以f (n )=100n -［24n +4n (n -1)+196］=-4n 2+80n -196=-4(n ―10)2+204，n ∈N *，所以当n =10时，f (n )max =204(万元)，即引进生产线10年后总盈利最大，为204万元.(2)设n 年后平均盈利为g (n )万元，则g (n )=f (n )n=-4n -196n +80，n ∈N *，因为g (n )=-4(n +49n)+80，当n ∈N *时，n +49n ≥2n·49n=14，当且仅当n =49n ，即n =7时取等号，故当n =7时，g(n)max=g(7)=24(万元)，即引进生产线7年后平均盈利最多，为24万元.19.解 (1)由已知得a31=a11+(3-1)×m=2m+2，a32=a31×m=(2m+2)×m=2m2+2m，a41=a11+(4-1)×m=3m+2，a32+2，∵a41=12(2m2+2m)+2，∴3m+2=12即m2-2m=0.又m>0，∴m=2，∴a51=a11+4×2=10，∴a53=a51×22=40.(2)由(1)得a n1=a11+(n-1)×2=2n.当n≥3时，a nn=a n1·2n-1=n·2n.(*)又a21=a11+2=4，a22=ma21=2×4=8.a11=2，a22=8符合(*)式，∴a nn=n·2n.∵T n=a11+a22+a33+…+a nn，∴T n=1×21+2×22+3×23+4×24+…+n·2n，①2T n=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)·2n+n·2n+1，②由①-②得，-T n=21+22+23+24+…+2n-n·2n+1-n·2n+1=2×(1―2n)1―2=2n+1-2-n·2n+1=(1-n)·2n+1-2，∴T n=(n-1)·2n+1+2.。
章末综合测评1 统计
章末综合测评(一)统计(总分值：150分时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1．为了调查全国人口的寿命，抽查了十一个省(市)的2 500名城镇居民，这个问题中“2 500名城镇居民的寿命的全体〞是()A．总体B．个体C．样本D．样本容量C[每个人的寿命是个体，抽出的2 500名城镇居民的寿命的全体是从总体中抽取的一个样本．]2.变量x，y之间具有线性相关关系，其散点图如图1所示，那么其回归方程可能为()图1A．y＝1.5x＋2B．y＝－1.5x＋2C．y＝1.5x－2D．y＝－1.5x－2B[由散点图知，变量x，y之间负相关，回归直线在y轴上的截距为正数，故只有B选项符合．]3．一个容量为80的样本中数据的最大值是140，最小值是51，组距是10，那么应将样本数据分为()A．10组B．9组C．8组D．7组B[根据频率分布表的步骤，极差组距＝140－5110＝8.9，所以分成9组．]4．为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，x n，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是()A．x1，x2，…，x n的平均数B．x1，x2，…，x n的标准差C．x1，x2，…，x n的最大值D．x1，x2，…，x n的中位数B[因为可以用极差、方差或标准差来描绘数据的离散程度，所以要评估亩产量稳定程度，应该用样本数据的极差、方差或标准差．]5．甲、乙两名篮球运发动在某几场比赛中得分的茎叶图如图2所示，那么甲、乙两人在这几场比赛中得分的中位数之和是()图2A．63 B．64C．65 D．66A[由茎叶图知甲比赛得分的中位数为36，乙比赛得分的中位数为27，故甲、乙两人得分的中位数之和为27＋36＝63.]6．甲、乙两支女子曲棍球队在去年的国际联赛中，甲队平均每场进球数为3.2，全年比赛进球个数的标准差为3；乙队平均每场进球数为1.8，全年比赛进球数的标准差为0.3.以下说法中，正确的个数为()①甲队的进球技术比乙队好；②乙队发挥比甲队稳定；③乙队几乎每场都进球；④甲队的表现时好时坏．A．1 B．2C．3 D．4D[因为甲队的平均进球数比乙队多，所以甲队技术较好，①正确；乙队的标准差比甲队小，标准差越小越稳定，所以乙队发挥稳定，②也正确；乙队平均每场进球数为1.8，所以乙队几乎每场都进球，③正确；由于s甲＝3，s乙＝0.3，所以甲队与乙队相比，不稳定，所以甲队的表现时好时坏，④正确，应选D.] 7．王伟、张城、赵磊三名同学6次数学测试成绩及班级平均分关系图如图3所示．图3以下说法错误的选项是()A．王伟同学的数学学习成绩高于班级平均程度，且较稳定B．张城同学的数学学习成绩波动较大C．赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均程度D．在6次测验中，每一次成绩都是王伟第1，张城第2，赵磊第3D[从图看出王伟同学的数学学习成绩始终高于班级平均程度，学习情况比拟稳定而且成绩优秀．张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均程度上下波动，而且波动幅度较大．赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均程度，但他的成绩曲线呈上升趋势，说明他的数学成绩在稳步进步．第6次考试张城没有赵磊的成绩好．应选D.]8．从800件产品中抽取60件进展质检，利用随机数表法抽取样本时，先将800件产品按001,002，…，800进展编号．假如从随机数表第8行第8列的数6开场往右读数(随机数表第7行至第9行的数如下)，那么抽取的第4件产品的编号是()810501080545571824053530342814 88799074392340309732832697760202051656926855574818 73053852471862388579635733213505325470489055857518 28468287098340125624A．602 B．020C．516 D．569D[找到第8行第8列的数6，并开场向右读，每次读取三位，凡不在001～800中的数跳过去不读，前面已经读过的也跳过去不读，从而最先抽取的4件产品的编号依次是602,020,516,569.故抽取的第4件产品的编号是569.] 9．对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据(x i，y i)(i＝1,2，…，8)，其回归直线方程是：y＝16x＋a，且x1＋x2＋x3＋…＋x8＝3，y1＋y2＋y3＋…＋y8＝6，那么a＝()A ．116B ．18C ．14D ．1116D [因为x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 8＝3，y 1＋y 2＋y 3＋…＋y 8＝6， 所以x ＝38，y ＝34，所以样本中心点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫38，34，代入回归直线方程得34＝16×38＋a ，所以a ＝1116.]10．假设样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为8，那么数据2x 1－1,2x 2－1，…，2x 10－1的标准差为( )A ．8B ．15C ．16D ．32C [样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为s ＝8，那么s 2＝64，数据2x 1－1,2x 2－1，…，2x 10－1的方差为22s 2＝22×64，所以其标准差为22×64＝2×8＝16，应选C ．]11．为理解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程y ＝bx ＋a ，其中b ＝0.76，a ＝y －b x .据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元B [由题意知，x ＝8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.95＝10，y ＝6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.85＝8，∴a ＝8－0.76×10＝0.4，∴y ＝0.76x ＋0.4， ∴当x ＝15时，y ＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)．]12．样本(x 1，x 2，…，x n )的平均数为x ，样本(y 1，y 2，…，y m )的平均数为y (x ≠y )．假设样本(x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y m )的平均数z ＝ax ＋(1－a )y ，其中0<a <12，那么n ，m 的大小关系为( )A ．n <mB ．n >mC ．n ＝mD ．不能确定A [由题意知，样本(x 1，…，x n ，y 1，…，y m )的平均数为z ＝nx ＋my m ＋n＝n n ＋mx ＋m n ＋m y ，且z ＝ax ＋(1－a )y ，所以a ＝n n ＋m ，1－a ＝m n ＋m .又因为0<a <12，所以0<n n ＋m<12，解得n <m .]二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．一组数据4,6,5,8,7,6，那么这组数据的平均数为______． 6 [x －＝4＋6＋5＋8＋7＋66＝6.]14．甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下(单位：t/hm 2)：甲 [由题意，需比拟s 2甲与s 2乙的大小．由于x 甲＝x 乙＝10，s 2甲＝0.02，s 2乙＝0.244，那么s 2甲＜s 2乙，因此甲的产量比拟稳定．]15．某电子商务公司对10 000名网络购物者2021年度的消费情况进展统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图4所示．(1)直方图中的a＝________；(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为________．图4(1)3(2)6 000[(1)由0.1×1.5＋0.1×2.5＋0.1a＋0.1×2.0＋0.1×0.8＋0.1×0.2＝1，解得a＝3.(2)区间[0.3,0.5)内的频率为0.1×1.5＋0.1×2.5＝0.4，故[0.5,0.9]内的频率为1－0.4＝0.6.因此，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为0.6×10 000＝6 000.] 16．为了研究某药品的疗效，选取假设干名志愿者进展临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]．将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，图5是根据试验数据制成的频率分布直方图，第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，那么第三组中有疗效的人数为________．图512[因为第一组与第二组共有20人，并且根据图像知第一组与第二组的频＝12.又因为第一组与第率之比是0.24∶0.16＝3∶2，所以第一组的人数为20×35＝18人．因为第三组三组的频率之比是0.24∶0.36＝2∶3，所以第三组有12÷23中没有疗效的人数为6，所以第三组中有疗效的人数是18－6＝12.]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题总分值10分)下表提供了某厂节能降耗技术改良后消费甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的消费能耗y(吨)的几组对照数据：(1)(2)请根据上表提供的数据，求出y 关于x 的回归直线． [解] (1)散点图如图： (2)x ＝3＋4＋5＋64＝4.5，y ＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5，∑i ＝14x i y i ＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，∑i ＝14x 2i ＝32＋42＋52＋62＝86，所以b ＝∑i ＝14x i y i －4x y∑i ＝14x 2i －4x 2＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝0.7，a ＝y －b x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35. 所以所求的线性回归方程为y ＝0.7x ＋0.35.18．(本小题总分值12分)两台机床同时消费一种零件，在10天中，两台机床每天的次品数如下：甲：1,0,2,0,2,3,0,4,1,2； 乙：1,3,2,1,0,2,1,1,0,1.(1)哪台机床次品数的平均数较小？ (2)哪台机床的消费状况比拟稳定？[解](1)x甲＝(1＋0＋2＋0＋2＋3＋0＋4＋1＋2)×110＝1.5，x乙＝(1＋3＋2＋1＋0＋2＋1＋1＋0＋1)×110＝1.2.∵x甲＞x乙，∴乙车床次品数的平均数较小．(2)s2甲＝110[(1－1.5)2＋(0－1.5)2＋(2－1.5)2＋(0－1.5)2＋(2－1.5)2＋(3－1.5)2＋(0－1.5)2＋(4－1.5)2＋(1－1.5)2＋(2－1.5)2]＝1.65，同理s2乙＝0.76，∵s2甲＞s2乙，∴乙车床的消费状况比拟稳定．19．(本小题总分值12分)为了理解小学生的体能情况，抽取了某校一个年级的局部学生进展一分钟跳绳次数测试，将获得的数据整理后，画出频率分布直方图(如图6)．图中从左到右前三个小组频率分别为0.1,0.3,0.4，第一小组的频数为5.图6(1)求第四小组的频率；(2)参加这次测试的学生有多少人；(3)假设次数在75次以上(含75次)为达标，试估计该年级学生跳绳测试的达标率是多少．[解](1)由累积频率为1知，第四小组的频率为1－0.1－0.3－0.4＝0.2.(2)设参加这次测试的学生有x人，那么0.1x＝5，所以x＝50.即参加这次测试的学生有50人．(3)达标率为0.3＋0.4＋0.2＝0.9，所以估计该年级学生跳绳测试的达标率为90%.20．(本小题总分值12分)为了理解中学生的身体发育情况，对某一中学同年龄的50名男生的身高进展了测量，结果如下：[157,161)3人；[161,165)4人；[165,169)12人；[169,173)13人；[173,177)12人；[177,181]6人．(1)列出频率分布表；(2)画出频率分布直方图；(3)估计总体在[165,177)间的比例．[解](1)列出频率分布表：(2)画出频率分布直方图如图：(3)因为0.24＋0.26＋0.24＝0.74，所以估计总体在[165,177)间的比例为74%.21．(本小题总分值12分)某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民．根据这50位市民对这两部门的评分(评分越高说明市民的评价越高)，绘制茎叶图如图6所示.图6(1)分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；(2)分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率； (3)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．[解] (1)由所给茎叶图知，将50位市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第25,26位的是75,75，故样本的中位数为75，所以该市的市民对甲部门评分的中位数是75.50位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第25,26位的是66,68，故样本中位数为66＋682＝67，所以该市的市民对乙部门评分的中位数是67.(2)由所给茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为550＝0.1，850＝0.16，故该市的市民对甲、乙部门的评分高于90的概率的估计值分别为0.1,0.16.(3)由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大．22．(本小题总分值12分)某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如图7.图7(1)求直方图中x 的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数；(3)在月平均用电量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，那么月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户？[解] (1)由(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x ＋0.005＋0.002 5)×20＝1得x＝0.007 5，所以直方图中x的值为0.007 5.(2)月平均用电量的众数是220＋2402＝230.∵(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.45<0.5，∴月平均用电量的中位数在[220,240)内，设中位数为a，那么(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＋0.012 5×(a－220)＝0.5，解得a＝224，即中位数为224.(3)月平均用电量在[220,240)的用户有0.012 5×20×100＝25(户)，同理可求月平均用电量为[240,260)，[260,280)，[280,300]的用户分别有15户、10户、5户，故抽取比例为1125＋15＋10＋5＝15，25×15＝5(户)，所以从月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取5户．第 11 页。
2021-2022人教A版必修5数学【课时作业与单元检测】第2章 数列 章末检测(A)
其次章 章末检测 （A ）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．{a n }是首项为1，公差为3的等差数列，假如a n ＝2 011，则序号n 等于( ) A ．667 B ．668 C ．669 D ．671 答案 D解析 由2 011＝1＋3(n －1)解得n ＝671.2．已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是( ) A ．15 B ．30 C ．31 D ．64 答案 A解析 在等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝a 4＋a 12，∴a 12＝16－1＝15.3．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( ) A ．81 B ．120 C ．168 D ．192 答案 B解析 由a 5＝a 2q 3得q ＝3.∴a 1＝a 2q ＝3，S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝3(1－34)1－3＝120.4．等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列前20项和等于( ) A ．160 B ．180 C ．200 D ．220 答案 B解析 ∵(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 18＋a 19＋a 20) ＝(a 1＋a 20)＋(a 2＋a 19)＋(a 3＋a 18) ＝3(a 1＋a 20)＝－24＋78＝54， ∴a 1＋a 20＝18.∴S 20＝20(a 1＋a 20)2＝180.5．数列{a n }中，a n ＝3n －7 (n ∈N ＋)，数列{b n }满足b 1＝13，b n －1＝27b n (n ≥2且n ∈N ＋)，若a n ＋log k b n 为常数，则满足条件的k 值( )A ．唯一存在，且为13B ．唯一存在，且为3C ．存在且不唯一D ．不肯定存在 答案 B解析 依题意，b n ＝b 1·⎝⎛⎭⎫127n －1＝13·⎝⎛⎭⎫133n －3＝⎝⎛⎭⎫133n －2，∴a n ＋log k b n ＝3n －7＋log k ⎝⎛⎭⎫133n －2＝3n －7＋(3n －2)log k 13＝⎝⎛⎭⎫3＋3log k 13n －7－2log k 13， ∵a n ＋log k b n 是常数，∴3＋3log k 13＝0，即log k 3＝1，∴k ＝3.6．等比数列{a n }中，a 2，a 6是方程x 2－34x ＋64＝0的两根，则a 4等于( ) A ．8 B ．－8 C ．±8 D ．以上都不对 答案 A解析 ∵a 2＋a 6＝34，a 2·a 6＝64，∴a 24＝64，∵a 2>0，a 6>0，∴a 4＝a 2q 2>0，∴a 4＝8.7．若{a n }是等比数列，其公比是q ，且－a 5，a 4，a 6成等差数列，则q 等于( ) A ．1或2 B ．1或－2 C ．－1或2 D ．－1或－2 答案 C解析 依题意有2a 4＝a 6－a 5， 即2a 4＝a 4q 2－a 4q ，而a 4≠0， ∴q 2－q －2＝0，(q －2)(q ＋1)＝0.∴q ＝－1或q ＝2.8．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10∶S 5＝1∶2，则S 15∶S 5等于( ) A ．3∶4 B ．2∶3 C ．1∶2 D ．1∶3 答案 A解析 明显等比数列{a n }的公比q ≠1，则由S 10S 5＝1－q 101－q 5＝1＋q 5＝12⇒q 5＝－12， 故S 15S 5＝1－q 151－q 5＝1－(q 5)31－q 5＝1－⎝⎛⎭⎫－1231－⎝⎛⎭⎫－12＝34. 9．已知等差数列{a n }的公差d ≠0且a 1，a 3，a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10等于( )A.1514B.1213C.1316D.1516 答案 C解析 由于a 23＝a 1·a 9，所以(a 1＋2d )2＝a 1·(a 1＋8d )．所以a 1＝d .所以a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝3a 1＋10d 3a 1＋13d ＝1316.10．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是( )A ．21B ．20C ．19D ．18 答案 B解析 ∵(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋(a 6－a 5)＝3d ， ∴99－105＝3d .∴d ＝－2.又∵a 1＋a 3＋a 5＝3a 1＋6d ＝105，∴a 1＝39.∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－n 2＋40n ＝－(n －20)2＋400.∴当n ＝20时，S n 有最大值．11．设{a n }是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为X ，Y ，Z ，则下列等式中恒成立的是( )A ．X ＋Z ＝2YB ．Y (Y －X )＝Z (Z －X )C ．Y 2＝XZD ．Y (Y －X )＝X (Z －X ) 答案 D解析 由题意知S n ＝X ，S 2n ＝Y ，S 3n ＝Z .。
高中数学：《数列》章末检测(含答案)
章末检测一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知数列{}n a 是等差数列，若12a =，432a a =，则公差d = A ．0B ．2C ．1-D ．2-2．在等比数列{}n a 中，若12a =，416a =，则数列{}n a 的前5项和5S = A ．30B ．31C ．62D ．643．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若58a =，36S =，则9a = A ．8B ．12C ．16D ．244．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =，36S =，则4S = A ．10或8B ．10-或8C ．10-D ．10-或8-5．设等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，若对任意的n ∈*N ，都有231n n S n T n =+A ．23B ．914 C ．2031D ．11176．已知数列{}n a 是等比数列，11a =，且14a ，22a ，3a 成等差数列，则234a a a ++= A ．7B ．12C ．14D ．647．已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，12a =，设其前n 项和为n S ，若1a ，24a +，3a 成等差数列，则6S = A ．728B ．729C ．730D ．7318．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若80S >且90S <，则当n S 最大时n = A ．8B ．5C ．4D ．39．在等差数列{}n a 中，已知22383829a a a a ++=，且0n a <，则数列{}n a 的前10项和10S =A ．9-B ．11-C ．13-D ．15-10．在等差数列{}n a 中，已知3576a a a ++=，118a =n 项和n S =A ．12n n ++ B ．2n n + C ．1nn + D ．21nn + 11．已知数列{}n a 满足11a =-，1|121|n n n a a a +=-++，其前n 项和为n S ，则下列说法正确的个数为①数列{}n a 是等差数列；②数列{}n a 是等比数列；③23n n a -=；④1332n n S --=．A ．0B ．1C ．2D ．312．已知数列{}n a 满足112a =12100k a a a +++<成立的最大正整数k的值为 A ．198B ．199C ．200D ．201二、填空题：请将答案填在题中横线上．13．在等差数列{}n a 中，已知12a =，3510a a +=，则7a =________________．14．已知数列{}n a 的前n 项和21nn S =-，则数列{}n a 的通项公式n a =________________．15．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若10m a =，21110m S -=，则正整数m =________________． 16．用[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[3]3=，[1.2]1=，[ 1.3]2-=-．已知数列{}n a 满足11a =，21n nn a a a +=+，则122018111[]111a a a +++=+++________________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．若数列{}n a 满足11a =，21a =，且21n n n a a a ++=+，则称数列{}n a 为M 数列．小明同学在研究该数列时发现许多有趣的性质，如：由21n n n a a a ++=+可得21n n n a a a ++=-，所以12n a a a +++=324321222()()()1n n n n a a a a a a a a a ++++-+-+-==+--，另外小明还发现下面两条性质，请你给出证明． （1）2462211n n a a a a a +++++=-； （2）22221231n n n a a a a a a +++++=．18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为nS ，且11a =，452S a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设12n n n b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．设等差数列{}n a 的前n 项和为nS ，等比数列{}n b 的前n 项和为nT ，已知11a =-，11b =，223a b +=．（1）若337a b +=，求数列{}n b 的通项公式； （2）若313T =，且0n b >，求n S ．20．已知数列{}n a 的前n 项和为nS ，点(,)n n S 在抛物线23122y x x =+上，各项都为正数的等比数列{}nb4116b =．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）记n n n a a C a b =+，求数列{}n C 的前n 项和n T ．21．已知等比数列{}n a 的前n 项和312n n S -=，等差数列{}n b 的前5项和为30，且714b =． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b 的前n 项和n T ．22．已知公差大于零的等差数列{}n a 的前n 项和为nS ，且34117a a =，2522a a +=．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 是等差数列，且nn S b n c=+，求非零常数c 的值． （3）设11n n n C a a +=，n T 为数列{}n C 的前n 项和，是否存在正整数M ，使得8n M T >对任意的n ∈*N 均成立？若存在，求出M 的最小值；若不存在，请说明理由．【章末检测A 参考答案】1.D2.C3.C4.B5.B6.C7.A8.C9.D10．C 【解析】设数列{}n a 的公差为d ，因为3576a a a ++=，所以536a =，即52a =，又118a =，所以1151115a a d -==-，所以5(5)3n a a n d n =+-=-，因此数列n 11n n++-+C ． 11．B12．C )∈*N ，所以2121a =-=-，3112a =+=5121a =-=-，6112a =+=……故数列{}n a 是周期为3的周期数列，且每个周期内的三个数的和为3，所以当198366k ==⨯时，12319836699100a a a a +++⋅⋅⋅+=⨯=<， 故使12100k a a a +++<成立的最大正整数k 的值为200，故选C ． 13．8 14．12n - 15．616．0【解析】因为21n nn a a a +=+，所以21111(1)n n n n n a a a a a +===++111n n a a -+，即11111n n n a a a +=-+； 所以23201820192011220189121111111111[][()()()][1]111a a a a a a a a a a +++=-+-++-=-+++；因为11a =，210n n n a a a +=+>，所以数列{}n a 单调递增，所以20191a >，所以2019101a <<，所以20191011a <-<，所以12201820191111[][1]0111a a a a +++=-=+++．17．【解析】（1）由21n n n a a a ++=+，可得12n n n a a a ++=-，所以24623153752121()()()()n n n a a a a a a a a a a a a +-++++=-+-+-++-211n a a +-=211n a +=-．（2）由（1）得12n n n a a a ++=-，所以21121n n n n n a a a a a ++++=-，所以2222212312312342311()()()n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a +-++++=+-+-++-21112n n a a a a a +=+- 21111n n a a +=+-⨯1n n a a +=．18．【答案】（1）n a n =；（2）1)12(nn T n -+=．19．【答案】（1）12n n b -=；（220．【答案】（1）31n a n =-，（2【解析】（1）因为点(,)n n S 在抛物线2y x x =+上，所以2122n S n n =+，当2n ≥，所以131n n n a S S n -=-=-，当1n =时，112a S ==，也符合上式； 所以31n a n =-．设等比数列{}n b 的公比为q ，4116b =，所以14q 2=， 又数列{}n b 的各项均为正数，所以12q =，112a =（2）由（1）可得3(31)194n a a n n =--=-，311()2n n a b -=，所以31194()n n n n a a C a b n -=+=-+，21．【答案】（1）13n n a -=，2n b n =；（2）11()322n n T n =-⋅+．【解析】（1）当1n =时，1113112a S -===；当2n ≥时，111313()132n n n n n n a S S ------=-==，综上可得13n n a -=．设数列{}n b 的公差为d ，由题意可得1161451030b d b d +=⎧⎨+=⎩，解得12b =，2d =，故2n b n =．（2）由（1）可得123n n n a b n -=⋅，所以01221234363(22)323n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ ①，12313234363(22)323n n n T n n -+=⨯+⨯+⨯+-⨯+⨯ ②，①－②得，1212(13)222323232323(12)3113n n nn n n T n n n ---=+⨯+⨯++⨯-⋅=-⨯=-⨯--，所以11()322nn T n =-⋅+． 22．【答案】（1）43n a n =-；（2）12-；（3）存在，M 的最小值为2．强化训练一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知数列{}n a 是等差数列，若12a =，432a a =，则公差d = A ．0B ．2C ．1-D ．2-2．在等比数列{}n a 中，若12a =，416a =，则数列{}n a 的前5项和5S = A ．30B ．31C ．62D ．643．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若58a =，36S =，则9a = A ．8B ．12C ．16D ．244．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =，36S =，则4S = A ．10或8B ．10-或8C ．10-D ．10-或8-5．设等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，若对任意的n ∈*N ，都有231n n S n T n =+A ．23B ．914 C ．2031D ．11176．已知数列{}n a 是等比数列，11a =，且14a ，22a ，3a 成等差数列，则234a a a ++= A ．7B ．12C ．14D ．647．已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，12a =，设其前n 项和为n S ，若1a ，24a +，3a 成等差数列，则6S = A ．728B ．729C ．730D ．7318．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若80S >且90S <，则当n S 最大时n = A ．8B ．5C ．4D ．39．在等差数列{}n a 中，已知22383829a a a a ++=，且0n a <，则数列{}n a 的前10项和10S =A ．9-B ．11-C ．13-D ．15-10．在等差数列{}n a 中，已知3576a a a ++=，118a =n 项和n S =A ．12n n ++ B ．2n n + C ．1nn + D ．21nn +11．已知数列{}n a 满足11a =-，1|121|n n n a a a +=-++，其前n 项和为n S ，则下列说法正确的个数为①数列{}n a 是等差数列；②数列{}n a 是等比数列；③23n n a -=；④1332n n S --=．A ．0B ．1C ．2D ．312．已知数列{}n a 满足112a =12100k a a a +++<成立的最大正整数k的值为 A ．198B ．199C ．200D ．201二、填空题：请将答案填在题中横线上．13．在等差数列{}n a 中，已知12a =，3510a a +=，则7a =________________．14．已知数列{}n a 的前n 项和21nn S =-，则数列{}n a 的通项公式n a =________________．15．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若10m a =，21110m S -=，则正整数m =________________． 16．用[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[3]3=，[1.2]1=，[ 1.3]2-=-．已知数列{}n a 满足11a =，21n n n a a a +=+，则122018111[]111a a a +++=+++________________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．若数列{}n a 满足11a =，21a =，且21n n n a a a ++=+，则称数列{}n a 为M 数列．小明同学在研究该数列时发现许多有趣的性质，如：由21n n n a a a ++=+可得21n n n a a a ++=-，所以12n a a a +++=324321222()()()1n n n n a a a a a a a a a ++++-+-+-==+--，另外小明还发现下面两条性质，请你给出证明． （1）2462211n n a a a a a +++++=-； （2）22221231n n n a a a a a a +++++=．18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为nS ，且11a =，452S a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设12n n n b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．设等差数列{}n a 的前n 项和为nS ，等比数列{}n b 的前n 项和为nT ，已知11a =-，11b =，223a b +=．（1）若337a b +=，求数列{}n b 的通项公式； （2）若313T =，且0n b >，求n S ．20．已知数列{}n a 的前n 项和为nS ，点(,)n n S 在抛物线23122y x x =+上，各项都为正数的等比数列{}nb4116b =．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）记n n n a a C a b =+，求数列{}n C 的前n 项和n T ．21．已知等比数列{}n a 的前n 项和312n n S -=，等差数列{}n b 的前5项和为30，且714b =． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b 的前n 项和n T ．22．已知公差大于零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且34117a a =，2522a a +=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 是等差数列，且n n S b n c =+，求非零常数c 的值． （3）设11n n n C a a +=，n T 为数列{}n C 的前n 项和，是否存在正整数M ，使得8n M T >对任意的n ∈*N 均成立？若存在，求出M 的最小值；若不存在，请说明理由．。
章末综合测评2 数列
章末综合测评(二)数列满分：150分时间：120分钟一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知数列1，3，5，7，3，11，…，2n－1，…，则21是这个数列的()A．第10项B．第11项C．第12项D．第21项B[观察可知该数列的通项公式为a n＝2n－1(事实上，根号内的数成等差数列，首项为1，公差为2)，令21＝2n－1，解得n＝11，故选B.] 2．一个各项均正的等比数列，其每一项都等于它后面的相邻两项之和，则公比q＝()A．32B． 5C．5－12D．1＋52C[由题意知a n＝a n＋1＋a n＋2＝a n q＋a n q2，即q2＋q－1＝0，解得q＝5－1 2(负值舍去)，故选C.]3．等比数列{a n}中，a2，a6是方程x2－34x＋64＝0的两根，则a4等于() A．8 B．－8C．±8 D．以上选项都不对A[∵a2＋a6＝34，a2·a6＝64，∴a24＝64，且a2>0，a6>0，∴a4＝a2q2>0(q为公比)，∴a4＝8.]4．《张丘建算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中卷上第二十三问：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈．问日益几何？”其意思为“有个女子织布，每天比前一天多织相同量的布，第一天织五尺，一个月(按30天计)共织390尺．问：每天织多少布？”已知1匹＝4丈，1丈＝10尺，估算出每天多织的布约有( )A ．0.55尺B ．0.53尺C ．0.52尺D ．0.5尺A [设每天多织d 尺，由题意a 1＝5，{a n }是等差数列，公差为d ，所以S 30＝30×5＋30×292 d ＝390，解得d ≈0.55.]5．“远望嵬嵬塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几碗灯？”源自明代数学家吴敬所著的《九章詳註比纇算法大全》，通过计算得到的答案是( )A ．2B ．3C ．4D ．5B [由题意设尖头a 盏灯，根据题意由上往下数第n 层有2n －1a 盏灯，所以一共有(1＋2＋4＋8＋16＋32＋64)a ＝381盏灯，解得a ＝3.]6．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，log 2S n ＝n (n ＝1，2，3，…)，则数列{a n }( )A ．是公比为2的等比数列B ．是公差为2的等差数列C ．是公比为12的等比数列D ．既非等差数列，也非等比数列D [∵log 2S n ＝n ，∴S n ＝2n ，则a 1＝2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －2n －1＝2n －1.∵a 1＝2不适合上式，∴{a n }既非等差数列，也非等比数列．]7．已知等差数列{a n }中，a 1>0，前n 项和是S n ，且S 14＝S 8，则当S n 取得最大值时，n 为( )A ．8B ．9C ．10D ．11D [∵S 14＝S 8，∴a 9＋a 10＋a 11＋a 12＋a 13＋a 14＝3(a 11＋a 12)＝0.∵a 1>0，∴d <0，∴a 11>0，a 12<0，∴n ＝11.]8．已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( )A ．a 1d >0，dS 4>0B ．a 1d <0，dS 4<0C ．a 1d >0，dS 4<0D ．a 1d <0，dS 4>0B [依题意a 24＝a 3a 8，所以(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋7d )，解得a 1＝－53d ，所以S 4＝2(a 1＋a 4)＝2(a 1＋a 1＋3d )＝－23d ，所以a 1d ＝－53d 2<0，dS 4＝－23d 2<0.]9．已知公差不为0的等差数列{a n }的前23项的和等于前8项的和．若a 8＋a k ＝0，则k ＝( )A ．22B ．23C ．24D ．25C [等差数列的前n 项和S n 可看做关于n 的二次函数(图象过原点)．由S 23＝S 8，得S n 的图象关于n ＝312对称，所以S 15＝S 16，即a 16＝0，所以a 8＋a 24＝2a 16＝0，所以k ＝24.]10．设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q ＝2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230.那么a 3·a 6·…·a 30等于( )A ．210B ．215C ．220D ．216C [法一：a 1·a 2·a 3·…·a 30＝a 301q (1＋2＋3＋…＋29)＝(a 101q 145)3，a 3·a 6·a 9·…·a 30＝a 101q(2＋5＋8＋…＋29)＝a 101q 155. 所以a 3·a 6·a 9·…·a 30＝(a 1·a 2·a 3·…·a 30)13q 10＝(230)13·210＝220.故选C.法二：a 1·a 4·a 7·…·a 28，a 2·a 5·a 8·…·a 29，a 3·a 6·a 9·…·a 30构成等比数列，公比为210.设a 3·a 6·a 9·…·a 30＝x ，则有a 1·a 2·a 3·…·a 30＝x 220·x 210·x ＝230.所以x 3＝260，故a 3·a 6·a 9·…·a 30＝220.故选C.]11．设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，S 3＝a 22，且S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 10＝( )A ．15B ．19C ．21D ．30B [由S 3＝a 22得3a 2＝a 22，故a 2＝0或a 2＝3.由S 1，S 2，S 4成等比数列可得S 22＝S 1·S 4，又S 1＝a 2－d ，S 2＝2a 2－d ，S 4＝4a 2＋2d ，故(2a 2－d )2＝(a 2－d )(4a 2＋2d )，化简得3d 2＝2a 2d ，又d ≠0，∴a 2＝3，d ＝2，a 1＝1，∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴a 10＝19.]12．设数列{a n }满足a n ＋1＝－2a n ，a 1＝1，数列{|a n |}的前n 项和为S n ，则S 2 015＝( )A ．22 015－1B ．22 016－2C ．22 014－1D ．1－22 015 A [法一：由a n ＋1＝－2a n ，可得a n ＋1a n＝－2，又a 1＝1，所以a n ＝(－2)n －1，所以|a n |＝|(－2)n －1|＝2n －1，所以S 2 015＝1－22 0151－2＝22 015－1.故选A . 法二：由a n ＋1＝－2a n ，可得a n ＋1a n＝－2，又a 1＝1，所以a n ＝(－2)n －1，所以S 2 015＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 2 015|＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 015)－(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2 014)＝1－41 0081－4－（－2）（1－41 007）1－4＝13(22 016－1＋2×22 014－2)＝22 015－1.故选A .]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝________．－6 [S 8＝8×（a 1＋a 8）2＝4(a 3＋a 6)，由于S 8＝4a 3，所以a 6＝0.又a 7＝－2，所以a 8＝－4，a 9＝－6.]14．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6＝________． 768 [由a n ＋1＝3S n ，得S n ＋1－S n ＝3S n ，即S n ＋1＝4S n ，所以数列{S n }是首项为1，公比为4的等比数列，所以S n ＝4n －1，所以a 6＝S 6－S 5＝45－44＝3×44＝768.]15．已知公差不为零的正项等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，lg a 1，lg a 2，lg a 4也成等差数列，若a 5＝10，则S 5＝________.30 [设{a n }的公差为d ，则d ≠0.由lg a 1，lg a 2，lg a 4也成等差数列，得2lg a 2＝lg a 1＋lg a 4，∴a 22＝a 1a 4，即(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，d 2＝a 1d .又d ≠0，故d ＝a 1，a 5＝5a 1＝10，d ＝a 1＝2，S 5＝5a 1＋5×42×d ＝30.]16．已知等差数列{a n }中，a 3＝7，a 6＝16，将此等差数列的各项排成如图所示的三角形数阵：a 1a 2 a 3a 4 a 5 a 6a 7 a 8 a 9 a 10… … … … …则此数阵中第20行从左到右的第10个数是________．598 [第1行有1项，第2行有2项，第3行有3项，故前19行共有19×1＋19×182×1＝190(项)，第20行第10项为数列{a n }中的第200项．又a 3＝7，a 6＝16，∴d ＝a 6－a 36－3＝16－73＝3，∴a n ＝a 3＋(n －3)·d ＝7＋3(n －3)＝3n －2，∴a 200＝3×200－2＝598.]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知数列{a n }为等差数列，且a 3＝5，a 7＝13.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n ＝log 4b n ，求数列{b n }的前n 项和T n .[解] (1)设a n ＝a 1＋(n －1)d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝5，a 1＋6d ＝13，解得a 1＝1，d ＝2. 所以{a n }的通项公式为a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.(2)依题意得b n ＝4a n ＝42n －1，因为b n ＋1b n ＝42n ＋142n －1＝16， 所以{b n }是首项为b 1＝41＝4，公比为16的等比数列，所以{b n }的前n 项和T n ＝4×（1－16n ）1－16＝415(16n －1)． 18．(本小题满分12分)等差数列{a n }中，前三项分别为x ，2x ，5x －4，前n 项和为S n ，且S k ＝2 550.(1)求x 和k 的值；(2)求T ＝1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n的值． [解] (1)由4x ＝x ＋5x －4，得x ＝2，所以a n ＝2n ，S n ＝n (n ＋1)，所以k (k ＋1)＝2 550，得k ＝50.(2)因为S n ＝n (n ＋1)，所以1S n ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1， 所以T ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.19．(本小题满分12分)已知{a n }是首项为19，公差为－2的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和．(1)求通项a n 及S n ；(2)设{b n －a n }是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n }的通项公式及其前n 项和T n .[解] (1)因为{a n }是首项为a 1＝19，公差为d ＝－2的等差数列，所以a n ＝19－2(n －1)＝－2n ＋21，S n ＝19n ＋n （n －1）2·(－2)＝－n 2＋20n . (2)由题意得b n －a n ＝3n －1，所以b n ＝3n －1－2n ＋21，则T n ＝S n ＋(1＋3＋…＋3n －1)＝－n 2＋20n ＋3n －12.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x x ＋1，数列{a n }满足a 1＝1，并且a n ＋1＝f (a n )． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝1n ＋1a n，求数列{b n }的前n 项和S n . [解] (1)由题意得a n ＋1＝a n a n ＋1，∴1a n ＋1＝a n ＋1a n ＝1＋1a n ，即1a n ＋1－1a n ＝1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是一个等差数列，公差为1，首项为1a 1＝1， 从而1a n＝n ，∴a n ＝1n . (2)由(1)得b n ＝1n ＋1a n ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1， ∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.21．(本小题满分12分)已知数列{a n}的通项公式为a n＝3n－1，在等差数列{b n}中，b n>0，且b1＋b2＋b3＝15，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列．(1)求数列{a n b n}的通项公式；(2)求数列{a n b n}的前n项和T n.[解](1)∵a n＝3n－1，∴a1＝1，a2＝3，a3＝9.∵在等差数列{b n}中，b1＋b2＋b3＝15，∴3b2＝15，则b2＝5.设等差数列{b n}的公差为d，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列，∴(1＋5－d)(9＋5＋d)＝64，解得d＝－10或d＝2.∵b n>0，∴d＝－10应舍去，∴d＝2，∴b1＝3，∴b n＝2n＋1.故a n b n＝(2n＋1)·3n－1.(2)由(1)知T n＝3×1＋5×3＋7×32＋…＋(2n－1)3n－2＋(2n＋1)3n－1，①3T n＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n－1)3n－1＋(2n＋1)3n，②①－②，得－2T n＝3×1＋2×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n－1－(2n＋1)3n＝3＋2(3＋32＋33＋…＋3n－1)－(2n＋1)3n＝3＋2×3－3n1－3－(2n＋1)3n＝3n－(2n＋1)3n＝－2n·3n.∴T n＝n·3n.22．(本小题满分12分)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为a n万元．(1)用d表示a1，a2，并写出a n＋1与a n的关系式；(2)若公司希望经过m (m ≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d 的值(用m 表示)．[解] (1)由题意得a 1＝2 000(1＋50%)－d ＝3 000－d ，a 2＝a 1(1＋50%)－d ＝32a 1－d ＝4 500－52d ，a n ＋1＝a n (1＋50%)－d ＝32a n －d .(2)由(1)得a n ＝32a n －1－d ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫32a n －2－d －d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322·a n －2－32d －d ＝… ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1a 1－d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2. 整理得a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1(3 000－d )－2d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1·(3 000－3d )＋2d . 由题意知a m ＝4 000，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫32m －1(3 000－3d )＋2d ＝4 000， 解得d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32m －2×1 000⎝ ⎛⎭⎪⎫32m －1＝1 000（3m －2m ＋1）3m －2m . 故该企业每年上缴资金d 的值为1 000（3m －2m ＋1）3m －2m万元时，经过m (m ≥3)年企业的剩余资金为4 000万元．。
(完整版)数列章末检测卷(含答案)
数列章末检测卷(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.{a n }是首项为1，公差为3的等差数列，如果a n ＝2 014，则序号n 等于( )A.667B.668C.669D.672答案 D解析 由2 014＝1＋3(n －1)，解得n ＝672.2.等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( )A.1B.2C.3D.4答案 B解析 ∵a 1＋a 5＝2a 3＝10，∴a 3＝5，∴d ＝a 4－a 3＝7－5＝2.3.公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3·a 11＝16，则a 5等于( )A.1B.2C.4D.8答案 A解析 ∵a 3·a 11＝a 27＝16，∴a 7＝4，∴a 5＝a 7q 2＝422＝1. 4.等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，当首项a 1和d 变化时，a 2＋a 8＋a 11是一个定值，则下列各数也为定值的是( )A.S 7B.S 8C.S 13D.S 15答案 C解析 ∵a 2＋a 8＋a 11＝(a 1＋d )＋(a 1＋7d )＋(a 1＋10d )＝3a 1＋18d ＝3(a 1＋6d )为常数， ∴a 1＋6d 为常数.∴S 13＝13a 1＋13×122d ＝13(a 1＋6d )也为常数. 5.在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11等于( )A.58B.88C.143D.176答案 B解析 S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(a 4＋a 8)2＝11×162＝88. 6.等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( )A.81B.120C.168D.192答案 B解析 由a 5＝a 2q 3得q ＝3.∴a 1＝a 2q ＝3，S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝3(1－34)1－3＝120.7.数列{(－1)n ·n }的前2 015项的和S 2 015为( )A.－2 013B.－1 008C.2 013D.1 008答案 B解析 S 2 015＝－1＋2－3＋4－5＋…＋2 014－2 015＝(－1)＋(2－3)＋(4－5)＋…＋(2 014－2 015)＝(－1)＋(－1)×1 007＝－1 008.8.若{a n }是等比数列，其公比是q ，且－a 5，a 4，a 6成等差数列，则q 等于( )A.1或2B.1或－2C.－1或2D.－1或－2答案 C解析 依题意有2a 4＝a 6－a 5，即2a 4＝a 4q 2－a 4q ，而a 4≠0，∴q 2－q －2＝0，(q －2)(q ＋1)＝0.∴q ＝－1或q ＝2.9.一个首项为23，公差为整数的等差数列，第7项开始为负数，则它的公差是( )A.－2B.－3C.－4D.－6答案 C解析 由题意，知a 6≥0，a 7<0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋5d ＝23＋5d ≥0，a 1＋6d ＝23＋6d <0，∴－235≤d <－236.∵d ∈Z ，∴d ＝－4.10.设{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和，且S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，则下列结论错误的是() A.d <0B.a 7＝0C.S 9>S 5D.S 6与S 7均为S n 的最大值答案 C解析 由S 5<S 6，得a 6＝S 6－S 5>0.又S 6＝S 7⇒a 7＝0，所以d <0.由S 7>S 8⇒a 8<0，因此，S 9－S 5＝a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝2(a 7＋a 8)<0即S 9<S 5.11.在等比数列{a n }中，a 1＝1,9S 3＝S 6，则数列{1a n }的前5项和为( )A.158和5 B.3116和5 C.3116D.158答案 C解析 若q ＝1，则9S 3＝27a 1，S 6＝6a 1，∵a 1≠0，∴9S 3≠S 6，矛盾，故q ≠1.由9S 3＝S 6得9×a 1(1－q 3)1－q ＝a 1(1－q 6)1－q， 解得q ＝2，故a n ＝a 1q n －1＝2n －1.∴1a n ＝(12)n －1. ∴{1a n }的前5项和S 5＝1－(12)51－12＝3116. 12.某工厂月生产总值的平均增长率为q ，则该工厂的年平均增长率为( )A.qB.12qC.(1＋q )12D.(1＋q )12－1答案 D解析 设第一年第1个月的生产总值为1，公比为1＋q ，该厂第一年的生产总值为 S 1＝1＋(1＋q )＋(1＋q )2＋…＋(1＋q )11.则第2年第1个月的生产总值为(1＋q )12，第2年全年生产总值S 2＝(1＋q )12＋(1＋q )13＋…＋(1＋q )23＝(1＋q )12S 1，∴该厂生产总值的年平均增长率为S 2－S 1S 1＝S 2S 1－1 ＝(1＋q )12－1.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.{a n }是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是________. 答案 2解析 设前三项分别为a －d ，a ，a ＋d ，则a －d ＋a ＋a ＋d ＝12且a (a －d )(a ＋d )＝48，解得a ＝4且d ＝±2，又{a n }递增，∴d >0，即d ＝2，∴a 1＝2.14.已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和.若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝____________.答案 63解析 ∵a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两根，且q ＞1，∴a 1＝1，a 3＝4，则公比q ＝2，因此S 6＝1×(1－26)1－2＝63. 15.如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则此数列的通项公式a n ＝________.答案 2n －1解析 当n ＝1时，S 1＝2a 1－1，∴a 1＝2a 1－1，∴a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2a n －1)－(2a n －1－1)，∴a n ＝2a n －1，经检测n ＝1也符合，∴{a n }是等比数列，∴a n ＝2n －1，n ∈N *.16.一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是________.答案 5－12 解析 设三边为a ，aq ，aq 2(q >1)，则(aq 2)2＝(aq )2＋a 2，∴q 2＝5＋12. 较小锐角记为θ，则sin θ＝1q 2＝5－12. 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17.(10分)已知等差数列{a n }中，a 3a 7＝－16，a 4＋a 6＝0，求{a n }的前n 项和S n .解 设{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ (a 1＋2d )(a 1＋6d )＝－16，a 1＋3d ＋a 1＋5d ＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ a 21＋8da 1＋12d 2＝－16，a 1＝－4d . 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－8，d ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，d ＝－2. 因此S n ＝－8n ＋n (n －1)＝n (n －9)，或S n ＝8n －n (n －1)＝－n (n －9).18.(12分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *，a 3＝5，S 10＝100.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋2n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝5，10a 1＋10×92d ＝100，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2， 所以a n ＝2n －1.(2)因为b n ＝2a n ＋2n ＝12×4n ＋2n ， 所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12(4＋42＋…＋4n )＋2(1＋2＋…＋n ) ＝4n ＋1－46＋n 2＋n ＝23×4n ＋n 2＋n －23. 19.(12分)已知数列{log 2(a n －1)}(n ∈N *)为等差数列，且a 1＝3，a 3＝9.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n <1. (1)解 设等差数列{log 2(a n －1)}的公差为d .由a 1＝3，a 3＝9，得log 2(9－1)＝log 2(3－1)＋2d ，则d ＝1.所以log 2(a n －1)＝1＋(n －1)×1＝n ，即a n ＝2n ＋1.(2)证明 因为1a n ＋1－a n ＝12n ＋1－2n ＝12n ， 所以1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n＝121＋122＋123＋…＋12n ＝12－12n ×121－12＝1－12n <1. 20.(12分)某商店采用分期付款的方式促销一款价格为每台6 000元的电脑.商店规定，购买时先支付货款的13，剩余部分在三年内按每月底等额还款的方式支付欠款，且结算欠款的利息.已知欠款的月利率为0.5%，到第一个月底，货主在第一次还款之前，他欠商店多少元？假设货主每月还商店a 元，写出在第i (i ＝1,2，…，36)个月末还款后，货主对商店欠款数的表达式.解 (1)因为购买电脑时，货主欠商店23的货款，即6 000×23＝4 000(元)， 又按月利率0.5%，到第一个月底的欠款数应为4 000(1＋0.5%)＝4 020(元).(2)设第i 个月底还款后的欠款数为y i ，则有y 1＝4 000(1＋0.5%)－a ，y 2＝y 1(1＋0.5%)－a＝4 000(1＋0.5 %)2－a (1＋0.5%)－a ，y 3＝y 2(1＋0.5%)－a＝4 000(1＋0.5%)3－a (1＋0.5%)2－a (1＋0.5%)－a ， …y i ＝y i －1(1＋0.5%)－a ＝4 000(1＋0.5%)i －a (1＋0.5%)i －1－a (1＋0.5%)i －2－…－a ， 由等比数列的求和公式，得y i ＝4 000(1＋0.5%)i －a (1＋0.5%)i －10.5%(i ＝1,2，…，36). 21.(12分)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n .(1)设b n ＝a n 2n －1.证明：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .(1)证明 由已知a n ＋1＝2a n ＋2n ，得b n ＋1＝a n ＋12n ＝2a n ＋2n 2n ＝a n 2n －1＋1＝b n ＋1. ∴b n ＋1－b n ＝1，又b 1＝a 1＝1.∴{b n }是首项为1，公差为1的等差数列.(2)解 由(1)知，b n ＝n ，a n 2n －1＝b n ＝n .∴a n ＝n ·2n －1. ∴S n ＝1＋2·21＋3·22＋…＋n ·2n －1，两边同时乘以2得：2S n ＝1·21＋2·22＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n ，两式相减得：－S n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ·2n＝2n －1－n ·2n ＝(1－n )2n －1，∴S n ＝(n －1)·2n ＋1.22.(12分)已知等比数列{a n }满足：|a 2－a 3|＝10，a 1a 2a 3＝125.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a m ≥1？若存在，求m 的最小值；若不存在，请说明理由.解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，则由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 31q 3＝125，|a 1q －a 1q 2|＝10， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝53，q ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，q ＝－1. 故a n ＝53·3n －1或a n ＝－5·(－1)n －1. (2)若a n ＝53·3n －1，则1a n ＝35(13)n －1， 则数列{1a n }是首项为35，公比为13的等比数列. 从而∑n ＝1m 1a n ＝35[1－(13)m ]1－13＝910·[1－(13)m ]<910<1. 若a n ＝－5·(－1)n －1，则1a n ＝－15(－1)n －1， 故数列{1a n }是首项为－15，公比为－1的等比数列， 从而∑n ＝1m 1a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －15，m ＝2k －1(k ∈N *)，0，m ＝2k (k ∈N *)，故∑n ＝1m 1a n <1. 综上，对任何正整数m ，总有∑n ＝1m 1a n <1. 故不存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a m ≥1成立.。
2012年苏教数学必修5：第2章章末综合检测
(时间：120分钟，满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填在题中横线上) 1．数列的通项公式为a n＝2n－1，则2047是这个数列的第________项．解析：由2n－1＝2047，∴2n＝2048，∴n＝11.答案：112．在等差数列{a n}中，已知a2＋a3＋a10＋a11＝36，则a5＋a8＝________.解析：法一：根据题意，有(a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋9d)＋(a1＋10d)＝36，∴4a1＋22d＝36，则2a1＋11d＝18.而a5＋a8＝(a1＋4d)＋(a1＋7d)＝2a1＋11d，因此，a5＋a8＝18.法二：根据等差数列的性质，可得a5＋a8＝a3＋a10＝a2＋a11＝36218.答案：183．各项不为零的等差数列{a n}中，2a3－a27＋2a11＝0，则a7的值为________．解析：由等差数列的性质知：a3＋a11＝2a7，∴2a3－a27＋2a11＝4a7－a27＝0，∴a7＝0或a7＝4，∵a n≠0∴a7＝4.答案：44．在数列{a n}中，a1＝3且对任意大于1的正整数n，点(a n，a n－1)在直线x－y－3＝0上，则a n＝________.解析：∵当n∈N*且n≥2时，点(a n，a n－1)在直线x－y－3＝0上，∴a n－a n－1＝3，即数列{a n}是首项为3，公差为3的等差数列．∴数列的通项公式为a n＝3＋(n－1)3＝3n，∴a n＝3n2.又∵a1＝3符合a n＝3n2，∴a n＝3n2.答案：3n25.数列{a n}的前20项由如图所示的流程图依次输出的a值构成，则数列{a n}的一个通项公式a n＝________.解析：由流程图知a 1＝0＋1＝1， a 2＝a 1＋2＝1＋2，a 3＝a 2＋3＝1＋2＋3，…，a n ＝a n －1＋n ，即a n ＝1＋2＋3＋…＋(n －1)＋n ＝n (n ＋1)2.答案：n (n ＋1)26．(2010年高考福建卷改编)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于________．解析：设等差数列的公差为d ，则由a 4＋a 6＝－6得2a 5＝－6，∴a 5＝－3.又∵a 1＝－11，∴－3＝－11＋4d ，∴d ＝2，∴S n ＝－11n ＋n (n －1)2×2＝n 2－12n ＝(n －6)2－36，故当n ＝6时S n 取最小值．答案：67．(2010年高考湖北卷改编)已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8＝________.解析：设等比数列{a n }的公比为q .∵a 1，12a 3,2a 2成等差数列．∴a 3＝a 1＋2a 2， ∴a 1q 2＝a 1＋2a 1q ， ∴q 2－2q －1＝0， ∴q ＝1±2. ∵各项都是正数， ∴q ＞0， ∴q ＝1＋2，∴a 9＋a 10a 7＋a 8＝q 2＝(1＋2)2＝3＋2 2. 答案：3＋3 28．一个等比数列，它的前4项和为前2项之和的2倍，则此数列的公比为__________． 解析：当q ＝1时，S 4＝2S 2满足题意； 当q ≠1时，a 1(1－q 4)1－q ＝2a 1(1－q 2)1－q，∴1＋q 2＝2.∴q ＝1(舍去)，q ＝－1.答案：－1或19．已知数列{a n }中，a n ≠0，若a 1＝3,2a n ＋1－a n ＝0，则a 6＝________. 解析：∵2a n ＋1－a n ＝0， ∴a n ＋1a n ＝12， ∴数列{a n }是首项a 1＝3，公比q ＝12的等比数列．∴a n ＝a 1q n －1＝3×(12)n －1，∴a 6＝3×(12)5＝332.答案：33210．在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝________. 解析：∵a 1＝1，a 2＝2，∴{a 2n }是以a 1＝1，公比为4的等比数列．∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝a 21(1－q n)1－q＝1－4n 1－4＝13(4n －1)． 答案：13(4n－1)11．已知a ，b ，c ，d 是公比为2的等比数列，则2a ＋b2c ＋d＝________.解析：将b ，c ，d 都用a 表示， 即b ＝2a ，c ＝22a ＝4a ， d ＝23a ＝8a ，∴2a ＋b 2c ＋d ＝2a ＋2a 2×4a ＋8a ＝4a 16a ＝14. 答案：1412．(2010年高考大纲全国卷Ⅰ改编)已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6＝______.解析：∵a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，且{a n }是各项均为正数的等比数列，∴a 2＝35，a 8＝310.∴a 8a 2＝32，即q 6＝32. ∴q 3＝62.∴a 4a 5a 6＝a 35＝(a 2q 3)3＝(35·62)3＝5 2.答案：5 213．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是________． 解析：由a 1＋a 3＋a 5＝105，得3a 3＝105， ∴a 3＝35，由a 2＋a 4＋a 6＝99，得3a 4＝99.∴a 4＝33， ∴d ＝－2，∴a n ＝a 4＋(n －4)×(－2)＝41－2n ，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0a n ＋1≤0得392≤n ≤412，∴n ＝20时，S n 达到最大值． 答案：2014．有限数列A ＝(a 1，a 2，…，a n )，S n 为其前n 项和，定义S 1＋S 2＋…＋S nn为A 的“凯森和”，如有99项的数列(a 1，a 2，…，a 99)的“凯森和”为1000，则有100项的数列(1，a 1，a 2，…，a 99) 的“凯森和”为________．解析：S 1＋S 2＋…＋S 99＝99a 1＋98a 2＋…＋2a 98＋a 99， 又S 1＋S 2＋…＋S 9999＝1000，∴99a 1＋98a 2＋…＋2a 98＋a 99＝99000，对A ＝(1，a 1，a 2，…，a 99)来说，设其“凯森和”为x ，则 100x ＝100×1＋(99a 1＋98a 2＋…＋2a 98＋a 99) ＝100＋99000， ∴x ＝991.答案：991二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分14分)等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝7n ＋14n ＋27求a 11b 11. 解：法一：∵a 11＝a 1＋a 212，b 11＝b 1＋b 212， ∴a 11b 11＝a 1＋a 21b 1＋b 21＝212(a 1＋a 21)212(b 1＋b 21)＝S 21T 21. ∵S n T n ＝7n ＋14n ＋27，∴S 21T 21＝7×21＋14×21＋27＝43.∴a 11b 11＝43. 法二：设S n ＝(7n ＋1)kn ，T n ＝(4n ＋27)kn .由a n ＝S n －S n －1＝(7n ＋1)kn －(7n －6)k (n －1)＝k (14n －6)，b n ＝T n －T n －1＝(4n ＋27)kn －(4n ＋23)k (n －1)＝k (8n ＋23)，可得a 11＝148k ，b 11＝111k .∴a 11b 11＝148k 111k ＝43.17．(本小题满分14分)(2010年高考山东卷)已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n .(1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 3＝7，a 5＋a 7＝26，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝7，2a 1＋10d ＝26，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2.所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，S n ＝3n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋2n . (2)由(1)知a n ＝2n ＋1，所以b n ＝1a 2n －1＝1(2n ＋1)2－1＝14·1n (n ＋1)＝14·(1n －1n ＋1)， 所以T n ＝14(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)＝14·(1－1n ＋1)＝n 4(n ＋1)， 即数列{b n }的前n 项和T n ＝n4(n ＋1).18．(本小题满分16分)数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项a n ； (2)求数列{na n }的前n 项和T n .解：(1)∵a n ＋1＝2S n ， ∴S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝2S n ， ∴S n ＋1S n＝3. 又∵S 1＝a 1＝1，∴数列{S n }是首项为1，公比为3的等比数列． ∴S n ＝3n －1(n ∈N *)． 当n ≥2时，a n ＝2S n －1＝2·3n －2，且a 1＝1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 n ＝12·3n －2 n ≥2.(2)T n ＝a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ， 当n ＝1时，T 1＝1；当n ≥2时，T n ＝1＋4·30＋6·31＋…＋2n ·3n －2①∴3T n ＝3＋4·31＋6·32＋…＋2n ·3n －1② ①－②得－2T n ＝－2＋4＋2(31＋32＋…＋3n －2)－2n ·3n －1＝2＋2·3(1－3n －2)1－3－2n ·3n －1＝－1＋(1－2n )·3n －1，∴T n ＝12＋(n －12)3n －1(n ≥2)，又∵T 1＝a 1＝1也满足上式，∴T n ＝12＋(n －12)3n －1(n ∈N *)．19．(本小题满分16分)某家用电器一件现价2000元，实行分期付款，每期付款数相同，每期为一月，购买后一个月开始付款，每月付款一次，共付12次，购买后一年还清，月利率为0.8%，按复利计算，那么每期应付款多少？(1.00812≈1.1)解：设每期应付款x 元，则第1期付款与到最后一次付款所生利息之和为x (1＋0.008)11；第2期付款与到最后一次付款所生利息之和为x (1＋0.008)10，…，第12期付款没有利息，所以各期付款连同利息之和为：x (1＋0.008)11＋x (1＋0.008)10＋…＋x ＝1.00812－11.008－1x .又所购电器的现价及其利息之和为2000×1.00812，于是有1.00812－11.008－1x ＝2000×1.00812.解得x ＝16×1.008121.00812－1≈175(元)．即每期应付款175元．20．(本小题满分16分)在等比数列{a n }中，a 4＝23，a 3＋a 5＝209.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的公比大于1，且b n ＝log 3a n2，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，则q ≠0，由题意得⎩⎨⎧a 1q 3＝23a 1(q 2＋q 4)＝209，解得q ＝3或13.当q ＝3时，a 1＝281， ∴a n ＝281×3n －1＝2×3n －5； 当q ＝13时，a 1＝18，∴a n ＝18×(13)n －1＝2×33－n .(2)由(1)及数列{a n }的公比大于1，得a n ＝2×3n －5.∴b n ＝log 3a n 2＝log 33n －5＝n －5，∴b n ＋1－b n ＝1(常数)，b 1＝－4，∴{b n }是以－4为首项，以1为公差的等差数列， ∴S n ＝n (b 1＋b n )2＝n 2－9n 2.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数列（二）复习题第I 卷（选择题）一．选择题1.已知{a n }是等比数列，其中|q|＜1，且a 3+a 4=2，a 2a 5=﹣8，则S 3=（ ）A ．12B ．16C ．18D ．242.已知等差数列{a n }中，a 2=2，d=2，则S 10=（ ）A ．200B ．100C ．90D ．803.已知数列{a n }是公差为2的等差数列，且a 1，a 2，a 5成等比数列，则a 2为（ ）A ．﹣2B ．﹣3C ．2D ．34.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2=3，a 6=11，则S 7等于（ ）A ．13B ．35C ．49D ．635.已知等比数列{a n }中，a 5=4，a 7=6，则a 9等于（ ）A ．7B ．8C ．9D ．106.等差数列{a n }中，a 4+a 8=10，a 10=6，则公差d 等于（ ）A ．41 B ．21 C ．2 D ．﹣21 7.已知等比数列{a n }的首项a 1=1，公比q=2，则log 2a 1+log 2a 2+…+log 2a 11=（ ）A ．50B ．35C ．55D ．468.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若95a a 35 ，则59S S=（ ） A ．1 B ．﹣1 C ．2 D ．21 9.等差数列{a n }和{b n }，它们的前n 项之和分别为S n 和T n ，若=，则的值是（ ）A ．B ．C ．D ．10.已知正项数列{a n }中，a 1=1，a 2=2，2a n 2=a n+12+a n ﹣12（n≥2），则a 6等于（ ）A ．16B ．8C ．22D ．411.数列{a n }满足，则a n =（ ） A ．B ．C ．D ．12.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 17＜0，S 18＜0，则11a S ，22a S，…，1515a S 中最大的项为（ ）A ．77a S B ．88a S C ．99a SD ．1010a S第II 卷（非选择题）13.已知数列{a n }中，a n ≠0，a 1=1，2a 1a 1n1n +=+则a 20的值为 ． 14.若数列{a n }满足，则a 2017= ．15.已知{a n }是等比数列，且a n ＞0，a 2a 4+2a 3a 5+a 4a 6=25，那么a 3+a 5的值等于 ． 16.设等比数列{a n }满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2…a n 的最大值为 ． 三．解答题17.已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2=3，b 3=9，a 1=b 1，a 14=b 4． （1）求{a n }的通项公式；（2）设c n =a n +b n ，求数列{c n }的前n 项和．18.（12分）已知等差数列{a n }满足：a 3=7，a 5+a 7=26，{a n }的前n 项和为S n ． （1）求S n ； （2）令 b n =nS 1（n ∈N +），求数列{b n }的前n 项和T n ．19.在等差数列{a n }中，a 10=30，a 20=50． （1）求数列{a n }的通项a n ； （2）令 b n =2，证明数列{b n }为等比数列；（3）求数列{（2n ﹣1）b n }的前n 项和T n ． 20.已知数列a n 的前n 项和为S n ，点（n ，S n ）（n ∈N *）在函数f （x ）=3x 2﹣2x 的图象上， （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设1n n n a a 3b +⋅=，求数列b n 的前n 项和T n ．21.已知数列{a n }满足a n+1=3a n +2（n ∈N *），且a 1=2． （1）求证：数列{a n +1}是等比数列； （2）求数列{a n }的前n 项和S n ． 22.已知等差数列{a n }中，a 1=﹣60，a 17=﹣12． （1）该数列第几项起为正？（2）前多少项和最小？求数列{a n }的前n 项和S n 的最小值 （3）设T n =|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |23.已知数列{}n a 满足112a =，且122n n n a a a +=+.（1）求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； （2）若1n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S . 24.数列}{n a 满足*11),1()1(,1N n n n a n na a n n ∈+++==+.（1）证明：数列}{na n是等差数列； （2）若n n n a a a a a T 14321)1(+-++-+-= ，求20T数列2 试卷答案1.A.2.C【解答】解：等差数列{a n}中，a2=2，d=2，a1+d=2，解得a1=0，则S10=10a1+×10×9d=0+45×2=90．故选：C．3.D【解答】解：a1=a2﹣2，a5=a2+6∴a22=a1a5=（a2﹣2）（a2+6），解得a2=3故选D4.C【解答】解：因为a1+a7=a2+a6=3+11=14，所以故选C．5.C【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，则q2===，∴a9=a7q2=6×=9故选C6.A【解答】解：在等差数列{a n}中，由a4+a8=10，得2a6=10，a6=5．又a10=6，则．故选：A．7.C【解答】解：∵{a n}是等比数列a1=1，公比q=2∴a1a11=a62=a1q5=25∴log2a1+log2a2+…+log2a11=log2（a1a2…a11）=log2（a1a11）5=log2（a6）11=log2255=558.A【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，由等差数列的性质可得a1+a9=2a5，a1+a5=2a3，∴====1，已知等差数列{a n}的前n项和为S n，则有如下关系S2n﹣1=（2n﹣1）a n．9.C【解答】解：由等差数列{a n}与{b n}的性质和前n项和公式可得：===，∵，∴===，故选：C．10.D【解答】解：∵正项数列{a n}中，a1=1，a2=2，2a n2=a n+12+a n﹣12（n≥2），∴a n+12﹣a n2=a n2﹣a n﹣12，∴数列{a n2}为等差数列，首项为1，公差d=a22﹣a12=3，∴a n2=1+3（n﹣1）=3n﹣2，∴=16，∴a6=4，故选D．11.B【解答】解：∵，∴n≥2时，a1+3a2+…+3n﹣2a n﹣1=，∴3n﹣1a n=，可得a n=．n=1时，a1=，上式也成立．则a n=．故选：B．12.C【解答】解：∵等差数列{a n}中，S17＞0，且S18＜0，即S17=17a9＞0，S18=9（a10+a9）＜0，∴a10+a9＜0，a9＞0，∴a10＜0，∴等差数列{a n}为递减数列，故可知a1，a2，…，a9为正，a10，a11…为负；∴S1，S2，…，S17为正，S18，S19，…为负，则＞0，＞0，…，＞0，＜0，＜0，…，＜0，又∵S1＜S2＜…＜S9，a1＞a2＞…＞a9，∴最大，故选：C13.【解答】解：∵，∴数列{}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，∴a20==，故答案为：．14.2【解答】解：数列{a n}满足a1=2，a n=1﹣，可得a2=1﹣=，a3=1﹣2=﹣1，a4=1﹣（﹣1）=2 a5=1﹣=，…，∴a n+3=a n，数列的周期为3．∴a2017=a672×3+1=a1=2．故答案为：215.5【解答】解：∵{a n}是等比数列，且a n＞0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，∴a32+2a3a5+a52=25，∴（a3+a5）2=25，∵a n＞0，∴a3+a5=5．`16.64【解答】解：等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，可得q（a1+a3）=5，解得q=．a1+q2a1=10，解得a1=8．则a1a2…a n=a1n•q1+2+3+…+（n﹣1）=8n•==，当n=3或4时，表达式取得最大值： =26=64．故答案为：64．17.【解答】解：（1）设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列，由b2=3，b3=9，可得q==3，b n=b2q n﹣2=3•3n﹣2=3n﹣1；即有a1=b1=1，a14=b4=27，则d==2，则a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（2）c n=a n+b n=2n﹣1+3n﹣1，则数列{c n}的前n项和为（1+3+…+（2n﹣1））+（1+3+9+…+3n﹣1）=n•2n+=n2+．18.【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3=7，a5+a7=26，∴a1+2d=7，2a1+10d=26，联立解得a1=3，d=2，∴{a n}的前n项和为S n=3n+=n（n+2）．（2）==，∴数列{b n}的前n项和T n=++…++==﹣．19.【解答】解：（1）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由a n=a1+（n﹣1）d，a10=30，a20=50，得，解得．∴a n=12+2（n﹣1）=2n+10；数列{a n}的通项a n=2n+10；（2）证明：∵a n=2n+10，∴b n==22n=4n，∴==4，∴数列{b n}是以首项b1=4，公比为4的等比数列．（3）∵（2n﹣1）b n=（2n﹣1）4n，∴T n=1•4+3•42+…+（2n﹣1）4n，①4T n=1•42+3•43+…+（2n﹣3）4n+（2n﹣1）4n+1，②①﹣②，得﹣3T n=4+2×42+…+2×4n﹣（2n﹣1）4n+1，=﹣4﹣（2n﹣1）4n+1，=（4n+1﹣4）﹣4﹣（2n﹣1）4n+1=×4n+1﹣，T n=×4n+1+，数列{（2n﹣1）b n}的前n项和T n，T n=×4n+1+．20.【解答】解：（1）由题意可知：S n=3n2﹣2n,当n≥2，a n=S n﹣S n﹣1=3n2﹣2n﹣3（n﹣1）2+2（n﹣1）=6n﹣5．又因为a1=S1=1..所以a n=6n﹣5．（2）所以T n=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=．21.【解答】解：（1）证明：∵，a1+1=3，∴{a n+1}是首项为3，公比为3的等比数列．（2）由（1）可得,∴，．22.【解答】解：（1）设等差数列{a}的公差为d，na1=﹣60，a17=﹣12．可得﹣60+16d=﹣12，解得d=3，则a n=﹣60+3（n﹣1）=3n﹣63，n∈N*，由a n＞0，可得n＞21，由于公差d＞0，等差数列{a n}为递增数列，则该数列第22项起为正；（2）由a n=3n﹣63可得n≤21可得a n≤0，n＞21时，a n＞0．则前20或21项和最小．且最小值是×20×（﹣60﹣3）=﹣630；（3）由S n=n（﹣60+3n﹣63）=n（3n﹣123），当n≤21，n∈N*时，T n=|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=﹣S n=n（123﹣3n）；当n≥22，n∈N*时，T n=S n﹣S21﹣S21=n（3n﹣123）﹣2×（﹣630）=．即有T n =．23（1）∵122n n n a a a +=+，∴1212n n n a a a ++=，∴11112n n a a +-=， ∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列. （2）由（1）知()11113122n n n a a +=+-⨯=，所以23n a n =+， ∴()()41143434n b n n n n ⎛⎫==⨯- ⎪++++⎝⎭，1111114455634n S n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦114444n n n ⎛⎫=⨯-= ⎪++⎝⎭ 24（1）由已知可得111+=++n a n a n n ，即111=-++nan a n n ， 所以}{n a n 是以111=a为首项，1为公差的等差数列. （2）由（1）得n na n=，所以2n a n =， n n n a a a a a T 14321)1(+-++-+-= ，210210)393()3973()1920)(1920()34)(34()12)(12()20()19(432122222220-=+-=+++-=-++++-++--=-++-+-=∴ T。