第华罗庚杯赛决赛初一组试题及答案
第十六届“华杯赛”初一组决赛试题C(含答案)
内
线
封
密
-1-
5
7
(2010) 2011
5
7
(2009) 2011
5
7 (1) 2011
5 7 1
2011
5
7 2
2011Biblioteka 5 73 2011
其中 n, m 为非负整数, 则这两串单项式中共有多少对同类项？
10. 求所有满足方程组 ab c 13, a bc 23的正整数解 (a, b, c) .
11. 如图, M、N 分别为四边形 ABCD 对角线 AC、BD 的 中点, 过 M、N 的直线分别交 CD、AB 于 E、F . 如 果三角形 ABE 的面积为 45, 求三角形 CDF 的面积.
-3-
第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛
决赛试题 C 参考答案（初中组）
一、 填空题 (每小题 10 分，共 80 分)
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
答案 11 25721 57
1
420
6
2010 10
2
二、解答下列各题 (每题 10 分，共 40 分, 要求写出简要过程)
9. 答案：402. 理由：依照同类项之定义，若3n 1 5m 2 ，自然会有3n 2 5m 3，则 x3n1 y3n2
12. 答案：9 解：第一次从前向后加注红圈时，设加红圈的页面号码为 m，则 m 1 1 1k , k 1 , 2 , 3 , m 2 0 1 1（1）
第二十二届“华杯赛”决赛初一组试题.pdf
第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题（初中一年级组）（时间: 2017 年 3 月11 日10:00～11:30）一、填空题（每小题10 分, 共80 分）1.数轴上10个点所表示的数分别为a1, a2, , a10, 且当i 为奇数时,a i +1-ai=2 , 当i 为偶数时, ai +1-ai=1, 那么a10-a6= ．2.如右图, △ABC, △AEF 和△BDF 均为正三角形, 且△ABC, △AEF 的边长分别为3和4, 则线段DF 长度的最大值等于．3.如下的代数和-1⨯2016+2⨯2015- + (-1)m m ⨯ (2016-m +1) + +1010⨯1007的个位数字是, 其中m 是正整数.4.已知2015<x <2016. 设[x]表示不大于x 的最大整数, 定义{x}=x -[x].如果{x}⨯[x]是整数, 则满足条件的所有x 的和等于.5.设x, y, z 是自然数, 则满足x2+y2+z2+xy =36的x, y, z 有组.6.设p , q , 3p-1,qq -1都是正整数, 则p2+q2的最大值等于.p7.右图是A, B, C, D, E 五个防区和连接这些防区的10条公路的示意图. 已知每一个防区驻有一支部队. 现在这五支部队都要换防, 且换防时, 每一支部队只能经过一条公路, 换防后每一个防区仍然只驻有一支部队, 则共有种不同的换防方式．8.下面两串单项式各有2017个单项式:(1)(2) xy2, x4y5, x7y8, , x3n-2y3n -1, , x6046y6047, x6049y6050; x2y3, x7y8, x12y13, , x5m-3y5m-2, , x10077y10078, x10082y10083,其中n, m 为正整数, 则这两串单项式中共有对同类项.二、解答下列各题（每题10 分, 共40 分, 要求写出简要过程）9.是否存在长方体, 其十二条棱的长度之和、体积、表面积的数值均相等？如果存在, 请给出一个例子; 如果不存在, 请说明理由.10.如右图, 已知正方形ABDF 的边长为6 厘米, △EBC 的面积为6 平方厘米, 点C 在线段FD 的延长线上, 点E 为线段BD 和线段AC 的交点. 求线段DC 的长度.11.如右图, 先将一个菱形纸片沿对角线AC 折叠,使顶点B 和D 重合. 再沿过A, B (D) 和C 其中一点的直线剪开折叠后的纸片, 然后将纸片展开. 这些纸片中菱形最多有几个? 请说明理由.12.证明: 任意5个整数中, 至少有两个整数的平方差是7的倍数.三、解答下列各题（每小题15 分，共30 分，要求写出详细过程）13.直线a 平行于直线b, a 上有10个点A1, A2, , A10, b 上有11个点B1, B2, ,B 11, 用线段连接Ai和Bj( i=1, ,10 , j=1, ,11), 所得到的图形中一条边在a 上或者在b 上的三角形有多少个？14.已知关于x, y 的方程x2-y2+k求k 的最大值.=2017有且只有六组正整数解, 且x ≥y ,。
第十九届“华杯赛”决赛初一组试题A与答案
顶点在格点的三角形的面积= 1 L N 1.
2
如果三角形的边上与内部共有 20 个格点, 则这个三角形的面积最大等
于
, 最小等于
.
3. 长为 4 的线段 AB 上有一动点 C , 等腰三角形 ACD和等腰三角形 BEC 在过
AB的直线同侧, AD DC , CE EB, 则线段 DE 的长度最小为
第1页 共1页
.
EF
A
E FD
B
C
6. 方程 x3 Ax2 Bx C 0 的系数 A,B,C 为整数, | A | 5, | B | 5, | C | 5, 且 1
是方程的一个根, 那么这种方程总共有
个.
7. 一辆公交快车和一辆公交慢车沿某环路顺时针运行, 它们的起点分别在 A 站
和 B 站, 快车每次回到 A 站休息 4 分钟, 慢车每次回到 B 站休息 5 分钟, 两 车在其他车站停留的时间不计. 已知沿顺时针方向 A 站到 B 站的路程是环路 全程的 2 , 两车环行一次各需 45 分钟和 51 分钟（不包括休息时间）, 那么
三、解答下列各题（每小题 15 分, 共 30 分, 要求写出详细过程）
13. 求质数 a,b,c使得15a 7ab bc abc.
14. 如果有理数 a1, a2, a3, , a10 满足条件: a1 a2 a3 a10 0, a1 a2 10, a3 a4 a9 a10 10,
第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛
决赛试题（初一组）
一、填空题（每小题 10 分, 共 80 分）
1.
计算:
33
(5)
16
(2)3 | 4
华杯初一决赛试题及答案
华杯初一决赛试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B2. 一个等腰三角形的两个底角相等，如果顶角为60度，那么底角的度数是多少？A. 30度B. 45度C. 60度D. 90度答案：C3. 如果一个数的平方等于9，那么这个数是多少？A. 3B. -3C. 3或-3D. 9答案：C4. 一个数除以-1等于它本身，这个数是多少？A. 0B. 1C. -1D. 任何数答案：A5. 一个圆的直径是10厘米，那么它的半径是多少？A. 5厘米B. 10厘米C. 15厘米D. 20厘米答案：A6. 下列哪个分数是最简分数？A. 3/6B. 4/8C. 5/10D. 7/14答案：A二、填空题（每题5分，共30分）7. 一个数的相反数是-5，那么这个数是________。
答案：58. 如果一个数的绝对值是4，那么这个数可能是________或________。
答案：4或-49. 一个直角三角形的两个直角边长分别是3和4，那么斜边的长度是________。
答案：510. 一个数的立方等于-8，那么这个数是________。
答案：-211. 一个数的平方根是2，那么这个数是________。
答案：412. 一个数除以它本身等于1，这个数是________。
答案：非零数三、解答题（每题20分，共40分）13. 一个长方体的长、宽、高分别是10厘米、8厘米和6厘米，求这个长方体的体积。
答案：长方体的体积 = 长 ×宽 ×高 = 10厘米 × 8厘米 × 6厘米= 480立方厘米。
14. 一个数列的前三项是1、3、5，从第四项开始，每一项都是前三项的和。
求这个数列的第10项。
答案：数列的前几项是：1、3、5、9（1+3+5）、17（3+5+9）、33（5+9+17）、65（9+17+33）、129（17+33+65）、257（33+65+129）、513（65+129+257）。
第华罗庚杯赛决赛初一组试题及答案
x 2 n⎪第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题（初一组） （时间: 2016 年 3 月 12 日 10:00～11:30）一、填空题（每小题 10 分, 共 80 分）1. 已知 n 个数 x 1, x 2 , , x n , 每个数只能取 0, 1, -1中的一个. 若x 1 + x 2 + + x n = 2016 , 则 2015 1 + x 2015 + + x 2015 的值为 .2. 某停车场白天和夜间两个不同时段的停车费用的单价不同．张明 2 月份白天 的停车时间比夜间要多 40% , 3 月份白天的停车时间比夜间要少 40% . 若 3 月 份的总停车时间比 2 月份多 20% , 但停车费用却少了 20% , 那么该停车场白 天时段与夜间时段停车费用的单价之比是 .3. 在 9⨯ 9 的格子纸上, 1⨯1 小方格的顶点叫做格点. 如右图, 三角形 ABC 的三个顶点都是格点. 若一个格点 P 使得三角 形 PAB 与三角形 PAC 的面积相等, 就称 P 点为“好点”. 那 么在这张格子纸上共有 个“好点”.4. 设正整数 x , y 满足 xy - 9x - 9y = 20, 则 x 2 + y 2 = .5. 甲、乙两队修建一条水渠．甲先完成工程的三分之一, 乙后完成工程的三分 之二, 两队所用的天数为 A ; 甲先完成工程的三分之二, 乙后完成工程的三分 之一, 两队所用天数为 B ; 甲、乙两队同时工作完成的天数为 C . 已知 A 比 B 多 5, A 是 C 的 2 倍多 4. 那么甲单独完成此项工程需要 天.6. 已知 x + y + z = 5 , 1 + 1 + 1 = 5 , xyz = 1, 则 x 2 + y 2 + z 2 = . x y z7. 关于 x , y 的方程组⎧ 1 x + y = a ⎨ 2 ⎪⎩| x | - y = 1只有唯一的一组解, 那么 a 的取值为 .总分 密封线内请勿答题学校____________姓名_________参赛证号8.右图是一个骰子的展开图, 每个面是一个单位正方形. 用 四个骰子粘成一个 2⨯ 2⨯1的长方体放到桌面上, 要求每 两个粘在一起的面上的“点数”相同．长方体放到桌面上 的六个面分别记为上、下、左、右、前、后六个面, 两个 长方体不同是指对应六个面的“点”的拼图不同. 不考虑长方体的旋转, 共 可以粘出种不同的长方体二、解答下列各题（每题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程）9. 在恰有三条边相等的四边形中, 有两条等长的边所夹的内角为直角. 若从 该直角顶点引出的对角线恰好把这个四边形分成两个等腰三角形, 求该直 角所对的角的度数.10. 围着一张可以转动的圆桌, 均匀地放着 8 把椅子, 在桌子上对着椅子放有 8个人的名片. 这 8 个人入座后, 将圆桌顺时针转动, 第一次转 45︒ , 从第二 次开始, 每次转动比上一次多转 45︒ . 每转动一次, 当某人对着自己的名片 时, 取走自己的名片. 如果入座时谁都没有对着自己的名片, 那么桌子至少 转多少度才能保证所有入座可能的情况下 8 个人都拿到了自己的名片?11. 两张 8 ⨯12 的长方形纸片重叠地放置, 有一个顶点重合, 尺寸如右图所示. 问图中阴影部分的面积是多少？12. 证明: 对任何非零自然数 n , 1212323-++n n n ，都是整数, 并用 3 除余 2。
第十届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛初一组决赛试卷与解答
第十届全国”华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试题:初一组一. 填空(每题10分,共80分)1.①计算: 22111134413(12)(0.5)(2)22412433⎡⎤-⨯-÷-÷⨯-⨯--=⎣⎦ . ②已知: 0abc ≠且0a b c ++=,则a b b c c a a b b c c a++= . 2.m 和n 均不为零, 233x y 和2235m nx y ++-是同类项,则322332233395369m m n mn n m m n mn n -++=+-+ . 3.由于浮力的作用,金放在水里秤量和它的重量比较,在水中的”重量”会减少119;银放在水里秤量和它的重量相比较,在水中的”重量”会减少110.某个只含有金银成分的古文物,重量是150克,在水中秤量,”重量”是141克,则古文物中金占 %.(精确到1%)4.图1是几何学中非常著名的美丽的轴对称的图形,它有 条对称轴.5.甲加工一种零件,乙加工另一种零件.甲用A 型机器需要6小时才能完成任务,用B 型机器效率降低60%;乙用B 型机器需要10小时才能完成任务,用A 型机器效率提高20%.如果甲用A 型机器,乙用B 型机器同时开始工作,中途某一时刻交换使用机器,甲和乙同时完成任务.则甲完成任务所用的时间是 小时.6.一个直角三角形三条边的长度是3,4,5.如果分别以各边为轴旋转一周,得到三个立体,那么三个立体中最大的体积和最小的体积的比是 .7.一列自然数0,1,2,3……，2005，……，2024.第一个数是0,从第二个数开始,每一个都比它前一个大1,最后一个是2004.现在将这列自然数排成以下数表:3 8 15 (1)2 7 14 (4)5 6 13 …… 9 10 11 12 ………… …… …… …… ……规定横排为行，竖排为列，则2005在数表中位于第 行和第 列。
8。
(31)635m x x -=-是关于x 的方程，为确保该方程的解是负整数，m 能取的最大 值 。
第21届华杯赛决赛答案_初一
第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题参考答案 （初一组）一、填空题（每小题 10 分, 共80分）二、解答下列各题（每小题 10 分, 共40分, 要求写出简要过程）9. 【答案】︒135, ︒45【解答】在恰有三条边相等的四边形中, 三条相等的边相邻, 不妨设为AD BC AB ==. 若直角顶点引出的对角线恰好把四边形分成两个等腰三角形,则有两种情况.图9-1 图9-2（1） 如图9-1所示, 直角顶点A 引出的对角线AC 分成的两个等腰三角形中,BC AB =, AC AD =.在等腰三角形ABC 中, 因为AC BC AB ==, 所以三角形ABC 为等边三角形. 进而︒=∠=∠60CAB BCA , ︒=∠30DAC .在等腰三角形ACD 中,()︒=∠-︒=∠7518021DAC ACD , 所以︒=∠135BCD .（2） 如图9-2所示, 直角顶点A 引出的对角线AC 分成的两个等腰三角形中,BC AB =, CD AC =.取AD 的中点E , 连接CE , 则AD CE ⊥. 所以CE AB //.过B 作CE BF ⊥于F , 则四边形ABFE 为矩形. 所以BC AD BF 2121==. 在直角三角形BCF 中, 因为BF BC 2=, 所以︒=∠30BCE . 因为BC AB =, 所以ACE BCA ∠=∠. 得︒=∠=∠15ACE BCA . 最终, ︒=∠45BCD .10. 【答案】1260【解答】按照题目的设定, 第一次转︒45, 从第二次开始, 每次转动比上一次多转︒45, 所以从第1次到第k 次共转了︒⨯+⨯45)1(21k k . 要想保证每个人都拿到自己的名片, 则需要每个人至少与桌子上的卡片位置对上一次．从某个人名片开始顺时针记每张名片对应的椅子位置为第0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7号. 第k 次转动后, 0位置的名片对应的椅子位置的号数为)1(214545)1(21+⨯=⨯+⨯k k k k除以8的余数．可以看出, 前7次旋转, 第0号名片所处的位置各不相同, 并且都不在0卡片的起始位置, 因此由抽屉原则, 0卡片的主人一定可以拿到自己的卡片．由对称性,旋转七次, 所有的人都拿到了卡片．当旋转次数小于7时, 第0号名片在第4号位置上没有停留过, 如果第0号的名片上的人正好坐在第4号位置上, 则这个人就拿不到自己的名片．所以旋转的度数为12604528=⨯．11. 【答案】54【解答】如右图将重叠部分标上字母, 连接AC . 由于12=AD , 178=-=CD , 所以ACD ∆的面积6=, 145112222=+=AC .又8=AB , 所以81641458222=-=-=AC BC , 9=BC .因此ABC ∆的面积369821=⨯⨯.所以四边形ABCD 的面积42366=+=.因此阴影部分面积5442128=-⨯.12. 【证明】首先，有().1)12)(1(2111)1(2211)132(211)32(211212322323-++=-+++=-++=-++=-++n n n n n n n n n n n n n n n n 因为 )1(+n n 是偶数, 所以1212323-++n n n 是整数. 又 238)22)(12(218)22)(12(21)12)(1(21+-++=-++=-++n n n n n n n n n ,而)22)(12(2++n n n 是三个相继的整数的乘积, 是3的倍数, 是3和8的公倍数. 所以, 1212323-++n n n 被3除余2. 三、解答下列各题（每小题 15分, 共30分, 要求写出详细过程）13. 【答案】40【解答】设正方形ABCD 的面积是a , 连接EF, 见右图, 则三角形BCF 的面积=三角形DFC 的面积4a =, 三角形BEF 的面积12214aa =⨯=, 三角形ECF 的面积6a =, 三角形BED 的面积6a =, 三角形FED 面积=三角形BED 的面积-三角形BEF 的面积12a =. 由共边定理,GF CFDFG DFC EGF ECF =∆∆=∆∆的面积的面积的面积的面积, 242126aa a =-, 得到: 40=a . 14. 【答案】125, 4【解答】设原来有N 人, 原来的队伍从左到右编号, 1, 2, , N , 则第一次报1的有132+-N 人, 他们的编号是, 132,,2,1,0,13+-=+N k k ; 第二次报1的有11+-mN 人, 他们的编号是 11,,2,1,0,1+-=+mN l ml .两次都报1的人满足条件: 113+=+ml k .因为1),3(=m , 所以t l 3=, ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=m N t 31,,2,1,0 . 两次都报1的人的编号是 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+m N t mt 31,,2,1,0,13 , 共计有131+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-m N 人． 首先让第一次报1的人出列, 出列132+-N 人, 留下的人成2人相邻一组共有32-N 组和最右边一个一人组; 让第二次报1而第一次不报1的人出列, 出来 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-m N m N m N m N 31113111 (人). 另一方面, 第二次出列的除了最右边一人外, 都是由一部分第一次留下的二人组中出来一人, 所以, 最后留下的一人组数就是第二次出列的人数减1, 即1311-⎥⎦⎤⎢⎣⎡---m N m N . 由题设得201311=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡---m N m N . ① 第一次留下的32-N 个二人组中有⎥⎦⎤⎢⎣⎡---m N m N 311个组在第二次每组出列一人变成了一人组, 所以留下二人组的个数212032=--N , 即125=N .代入①得213124124=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-m m . 所以213124324831243124124=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-m m m m m . 因为21324820≤<m, 所以134.49.3>≤m .所以4=m .。
(整理)第十一届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛华杯赛初一组试卷附答案1
第十一届全国"华罗庚金杯"少年数学邀请赛决赛试卷(初一组) （红色字为参考答案）(时间2006年4月22日10:00~l l :30〉一、.填空 1、计算：243331(0.25)(2)3()5(2)168⎧⎫⎡⎤⎡⎤---⨯-÷⨯-+÷-=⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭（ 47 ）2、当2m π=时，多项式31am bm ++的值是0，则多项式31452a b ππ++=（ 5 ）3、将若干本书分给几名小朋友,如果每人分4本书,就还余下20本书,如果每人分8本书,就剩有1名小朋友虽然分到了一些书,但是不足8本,则共有( 6 )名小朋友4、图l 中的长方形ABCD 是由四个等腰直角三角形和一 个正方形EFGH 拼成.己知长方形ABCD 的面积为120平方厘米,则正方形EFGH 的面积等于( 10 )平方厘米5、满足方程|||x-2006|-1|+8|=2006的所有x 的和为( 4012 )6、一个存有一些水的水池,有一个进水口和若干个口径相同的山水口,进水口每分钟进水3立方米.若同时打开进水口和三个出水口,池中水16分钟放完;若同时 打开进水口与五个出水口,池中水9分钟放完.池中原有水( 288 )立方米7、已知120052006123420052006(1)24816222k k k S +=-+-++-++-，则小于S 的最大的整数是( 0 )8.如图2,数轴上标有2n+1个点,它们对应的整数是:,(1),,2,1,0,1,2,,1,n n n n ------为了确保从这些点中可以取出2006个,其中任何两个点之间的距离都不等于4,则n 的最小值是( 2005 )图1图2n n-10-1-2-(n-1)-n二.解答下列各题,要求写出简要过程9、如图3,ABCD 是矩形,BC=6cm,AB =10cm,AC 和BD 是对角线.图中的阴影部分以CD 为轴旋转一周,则阴影 部分扫过的立体的体积是多少立方厘米?(z 取3.14) 解: ①设三角形BCO 以CD 为轴旋转一周所得到的立体的体积是S,S 等于高为10厘米,底面半径是6厘米的 圆锥的体积减去2个高为5厘米,底面半径是3厘米的圆 锥的体积. ②即:S=13×26×10×π-2×13×23×5×π=90π, 2S=180π=565.2(立方厘米).答:体积是565.2立方厘米. 10、将21个整数10,9,8,,3,2,1,0,1,2,3,,8,9,10------分为个数不相等的六组数,分别计算各组的平均值,那么这六个平均值的和最大是多少? 解:①分为个数不相等的6组,整数的个数分别为1、2、3、4、5、6. ②应当将数值大的分在整数个数少的组中.所以,可以如下分组:第一组10 第二组9 8 第三组7 6 5 第四组4 3 2 1 第五组0 -1 -2 -3 -4 第六组-5 -6 -7 -8 -9 -10③计算它们的平均值的和:109876543210123456789101171234562++++++----------+++++= 答:最大的和是1172。
第九届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试题及参考答案(初一组)
第九届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试题参考答案 （初一组）第九届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试题参考答案（初一组）一、 填空题（每题10分，如果一道题中有两个答案，则每个5分）二、 解答下列各题，要求写出简要过程（每题１０分）７、解答：.13922=+n m①解方程⎩⎨⎧-=+-=+965543y x y x 得到ｘ=－３，ｙ=１；②代入原方程中后两个方程，得到⎩⎨⎧=+=-3568n m n m 再解上面关于ｍ和ｎ的方程，得到.,136139-==n m ③计算.13916911722==+n m８、解答：李家养牛300头，王家养牛221头。
算术方法：（见小学解答） 代数解法：① 李家的牛群中有67%是母牛，67是质数，可以设李家养牛头数为100x ，王家的牛群中仅有131是母牛，13是质数，可以设王家养牛数是13y ，列出方程100x+13y=521。
…………………………（*）② x 和y 是整数，分别取x=1，2，3，4，5。
可以得到x=3，y=13。
或者解同余方程（*）。
（*）式两边除13，)13(14Mod x ≡-…………………………（**）x=3是（**）式的解，得到y=17。
9、解答：71=∆∆的面积的面积ABC G H I ① 如图(A)，连接BG ，用Ｓ记△ABC 的面积，X 和Y 分别记第九届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试题参考答案 （初一组）△DCG 和△BGF 的面积。
② 由已知条件：,331S Y X =+ （1） S Y X 3232=+ 解方程组（１），得到.,214211S Y S X ==同样方法可以得到△EAH 的面积＝△FBI 的面积=.211S③ 从△ADC 的面积＝△BEA ＝,31S ，得到， 四边形GCEH 的面积＝四边形HAFI 的面积＝（.)521S S =-所以，我们得到 △GHI 的面积＝,)(71211211032S S =-- 即71=∆∆的面积的面积ABC GHI10、解答：12⨯[34⨯5－6÷（7－８）－９]＝12⨯167=2004和12⨯[34×5－6⨯（7－８）－９]＝12⨯167=200411、解答：42圈。
第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题(初一组)
- 1 -第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A （初一组）一、填空题 (每题10分, 共80分)1.互不相等的有理数a , b , c 在数轴上的对应点分别为A , B , C . 如果||||||c b a c b a -=-+-,那么在点A , B , C 中, 居中的是点 .2.右图所示的立体图形由9个棱长为1的正方体木块搭成, 这个立体图形的表面积为 .3.汽车A 从甲站出发开往乙站, 同时汽车B 、C 从乙站出发与A 相向而行开往甲站, 途中A 与B 相遇后15分钟再与C 相遇. 已知 A 、B 、C 的速度分别是每小时90km, 80km, 70km, 那么甲乙两站的路程是 km.4.把自然数 2010~1 分组, 要求每组内任意3个数的最大公约数为1, 则至少需要分成 组.5.已知正n 边形的内角度数的两倍为整数, 那么这样的正整数n 有 个.6.已知3252372a c c b b a -=-=+, 则cb a cb a 65223+--+的值等于 . 7.六人参加乒乓球比赛, 每两人赛一场, 分胜负, 无平局. 最终他们胜的场数分别是a , b , b ,c ,d , d , 且d c b a >>>, 那么a 等于 .8.某中学新建游泳池开启使用, 先用一天时间匀速将空游泳池注满, 经两天的处理后同速将水放光; 然后开始同速注水, 注满一半时, 将注水速度加倍直到注满. 请在下图中用图表示游泳池中水量随时间的变化关系.二、解答下列各题 (每题10分, 共40分, 要求写出简要过程)9.能否找到7个整数, 使得这7个整数沿圆周排成一圈后, 任3个相邻数的和都等29 ? 如果能, 请举一例. 如果不能, 请简述理由.10.已知k 是满足 20101910<<k 的整数, 并且使二元一次方程组⎩⎨⎧=+=-ky x y x 54745 有整数解. 问: 这样的整数k 有多少个?11.所有以质数p 为分母的最简真分数的和记为m , 所有以质数 q 为分母的最简真分数的和记为n . 若48=mn , 求n m +的可能值.- 2 -12.解方程80][=x x ,其中 [x ] 表示不大于x 的最大整数.三、解答下列各题 (每题15分, 共30分, 要求写出详细过程)13.右图中, ∆ABC , ∆BCD , ∆CDE , ∆DEF , ∆EF A , ∆F AB 的面积之和等于六边形ABCDEF 的面积. 又图中的6个阴影三角形面积之和等于六边形ABCDEF 的面积的31. 求六边形111111F E D C B A 的面积与六边形ABCDEF 的面积之比.14.一个单项式加上多项式 52)1(92---x x 后等于一个整式的平方, 试求所有 这样的单项式.第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A 参考答案（初一组）一、填空 (每题10分, 共80分)8. 解答.二、解答下列各题 (每题10分, 共40分, 要求写出简要过程)9. 答案: 不能.解答. 假设存在7个整数7654321,,,,,,a a a a a a a 排成一圈后, 满足任3个相邻数的和都等于29. 则29321=++a a a , 29432=++a a a , 29543=++a a a , 29654=++a a a ,29765=++a a a , 29176=++a a a , 29217=++a a a .将上述7式相加, 得729)(37654321⨯=++++++⨯a a a a a a a .所以326737297654321=⨯=++++++a a a a a a a , 与7654321a a a a a a a ++++++为整数矛盾! 所以不存在满足题设要求的7个整数.10. 答案: 2.解答. 直接解方程组,⎪⎩⎪⎨⎧-=+=4128541435k y k x . 当⎩⎨⎧=-=+nk mk 4152841435 (其中m 和n 是整数) (1) 时方程组有整数解. 消去上面方程中的k , 得到745=+n m . (2)从(2)解得⎩⎨⎧--=+=ln lm 5243 (其中l 是整数). (3) 将(3)代入(1)中一个方程l k 164123435+=+, l k 4122+=.解不等式201041221910<+<l ,411988411888<<l , 41204841246<<l . 因此共有2个k 值使原方程有整数解.11. 答案: 49, 14. 96.5（96.5可答可不答）解答. 因为p 为质数, 所以p p p p 1,,2,1- 为最简真分数, 所以 21)1(21-=-+++=p p p m .同理可得21-=q n . 所以6(1)(1)23p q --=⨯.首先, 因为上式右端3的因子只有一个, 所以 p 和 q 不可能相等, 不妨设p q >. 因为6232964488241612326⨯=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯=643⨯,所以p 和 q 可以是以下情形:3,97==q p , 对应的49=+n m ; 13,17==q p , 对应的14=+n m .12. 答案: 980-=x . 解答. 当0>≥b a 时, 有][][b b a a ≥. 当b a ≥>0时, 有][][b b a a ≤. 由于]9[9818064]8[8=<<=,可以断言, 如果方程有正数解 x , 则}{8x x +=. 因此808}){8(=⨯+x , 2}{=x 是不可能的.另一方面,]9[9818064]8[8--=<<=--,可以断言, 如果方程有负数解 x , 则}{9x x +-=. 因此80)9(}){9(=-⨯+-x , 1}{9=x , 91}{=x , 980-=x . 故原方程的解为980-=x . 三、解答下列各题 (每题15分, 共30分, 要求写出详细过程)13. 答案:31. 解答. 记六边形111111F E D C B A 的面积为S , 图中阴影部分的面积为S 1; 记 △ABC , △BCD , △CDE , △DEF , △EF A , △F AB 的面积之和为S 2, 由这六个三角形组成的图形除去阴影部分的面积为S 3, 由题设条件可知S 2 =ABCDEF S , S 1 =31ABCDEFS. 在计算S 2时, 加了两次S 3, 所以 3122S S S +=, 从而得ABCDEF S S 313=. 又31S S S S ABCD EF --=,所以ABCDEF S S 31=. 故31=ABCDEFS S .14. 答案: 216x , 或8x , 或32x , 或649. 解答. 设所求的单项式是 max , 0≥m .52)1(92---x x 共有3个不为同类项的单项式, 如果 3m ≥, 则多项式52)1(92---x x +m ax中不为同类项的单项式有4项, 不可能写为两个不为同类项的单项式和的平方, 如果写成至少有3项不为同类项的单项式和的平方, 则展开后, 至少有5个不为同类项的单项式, 所以, 得到2m ≤.()()()222291251691620452;x x x x x x ---+=+-+=-()()()()22222291258912432;912532912432;x x x x x x x x x x x x ---+=-+=----+=++=+()222641001091259203;993x x x x x ⎫⎛---+=-+=- ⎪⎝⎭所求的单项式为216x , 或8x , 或32x , 或649, 再无其他解答.。
华杯赛初一组试题及答案
华杯赛初一组试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个选项是正确的？A. 2+2=5B. 3+3=6C. 4+4=8D. 5+5=10答案：D2. 以下哪个图形是正方形？A. 一个四边形，对角线相等且互相垂直B. 一个四边形，对边相等且互相平行C. 一个四边形，对角线相等D. 一个四边形，对边相等答案：A3. 计算下列哪个式子的结果为正数？A. (-3) + (-2)B. (-3) × (-2)C. (-3) ÷ (-2)D. (-3) - (-2)答案：B4. 以下哪个选项是质数？A. 4B. 6C. 9D. 11答案：D二、填空题（每题5分，共20分）1. 一个数的平方是36，这个数是______。
答案：±62. 一个数的立方是-27，这个数是______。
答案：-33. 一个数的倒数是1/2，这个数是______。
答案：24. 一个数的绝对值是5，这个数可以是______。
答案：±5三、解答题（每题10分，共40分）1. 计算下列表达式的值：(3x - 2) / (x + 1)，其中x = 2。
答案：将x = 2代入表达式，得到(3*2 - 2) / (2 + 1) = (6 - 2) / 3 = 4 / 3。
2. 一个长方体的长、宽、高分别是2cm、3cm和4cm，求它的体积。
答案：体积 = 长× 宽× 高= 2cm × 3cm × 4cm = 24cm³。
3. 一个圆的直径是10cm，求它的半径和面积。
答案：半径 = 直径 / 2 = 10cm / 2 = 5cm。
面积= π × 半径² = π × (5cm)² = 25π cm²。
4. 一个数列的前三项是2, 4, 6，每一项是前一项加上一个常数。
求这个常数，并写出数列的第四项。
答案：常数 = 4 - 2 = 2，第四项 = 6 + 2 = 8。
初一华罗庚杯试题及答案
初一华罗庚杯试题及答案1. 题目：计算下列表达式的值：\[ (3x - 5) + (2x + 1) \]答案：首先合并同类项，得到 \(5x - 4\)。
2. 题目：解方程 \( 2x - 3 = 7 \)。
答案：将方程两边同时加3，得到 \(2x = 10\)，然后两边同时除以2，得到 \(x = 5\)。
3. 题目：一个数的3倍加上4等于20，求这个数。
答案：设这个数为 \(x\)，则有 \(3x + 4 = 20\)。
解这个方程，首先将4移到等式右边，得到 \(3x = 16\)，然后除以3，得到 \(x = \frac{16}{3}\)。
4. 题目：一个两位数，十位数字是 \(a\)，个位数字是 \(b\)，这个数可以表示为 \(10a + b\)。
如果这个数是 \(ab\) 的两倍，求 \(a\) 和 \(b\) 的值。
答案：设这个数为 \(N\)，则有 \(N = 10a + b\)。
根据题意，\(N = 2ab\)。
将 \(N\) 的表达式代入，得到 \(10a + b = 2ab\)。
解这个方程，我们可以得到 \(a = 2\)，\(b = 1\)。
5. 题目：一个等腰三角形的底边长为 \(6\) 厘米，两腰长为 \(x\)厘米，求这个三角形的周长。
答案：等腰三角形的周长等于底边长加上两倍的腰长，即 \(6 +2x\)。
因此，周长为 \(6 + 2x\) 厘米。
6. 题目：计算 \( (2^3)^2 \) 的值。
答案：根据幂的乘法法则，\( (2^3)^2 = 2^{3 \times 2} = 2^6= 64 \)。
7. 题目：一个正整数，它的平方减去它的一半等于 \(35\)，求这个数。
答案：设这个数为 \(n\)，则有 \(n^2 - \frac{1}{2}n = 35\)。
解这个方程，我们可以得到 \(n = 10\)。
8. 题目：一个数的 \(\frac{1}{3}\) 加上 \(\frac{1}{4}\) 等于\(\frac{1}{2}\)，求这个数。
第九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛总决赛,初一组一试试题及解答
第九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛总决赛初一组一试试题及解答1． 下面的等式成立：1110110110010099433221=======x x x x x x x x x x x x ，求10110021 , , , ,x x x x 的值解：由已知：10199531x x x x x ===== ，10098642x x x x x ===== 。
又1001x x =，所以10110099321x x x x x x ====== 。
因此，110110099321=======x x x x x x或110110099321-=======x x x x x x2．滚柱轴承（如图），外圈大圆是外轴瓦，内圈小圆是内轴瓦，中间是滚柱。
内轴瓦固定，转动时没有相对滑动。
若外轴瓦的直径是内轴瓦的直径的1.5倍，当外轴瓦转动一周时，滚柱自转了几周？解。
滚柱的半径=2r R -，其中R 是外轴瓦的半径，r 是内轴瓦的半径。
外轴瓦转动一周，它上面的每一个点的运动路程为R π2，由于没有滑动，滚柱上的每一个点相对于小球求心的运动路程也是R π2，滚柱自转一周，它上面的点的路程是)(r R -π，所以，滚柱自转了65.0312)(2==-=-r r Rr R R ππ（周）。
3．已知z y x ,,满足：)3(3.1][}{)2(2.0}{][)1(9.0}{][=++=++-=++z y x z y x z y x 其中记号：对于数a ，][a 表示不大于a 的最大整数，][}{a a a -=。
求z y x ,,的值。
解：首先注意到，.0}{,][,≥≤a a a a 所以，对于任意有理数 （1）＋（2）＋（3）得到6.0222=++z y x 即 3.0=++z y x (4)（4）－（1）得到 2.1][}{=+z y 从而 1][,2.0}{==z y 。
（4）－（2）得到 1.0][}{=+y x从而 0][,1.0}{==y x ，（4）－（3）得到 1}{][-=+z x 因此， 0}{1][=-=z x故 9.0-=x ，2.0=y ，1=z 。
第十一届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试题解答(初一组)
第十一届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试题解答（初一组）一. 填空1 计算：()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-÷+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯÷⎭⎬⎫⎩⎨⎧-⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡---342)2(5833225.01631=( ).答：47解：原式(){}235130254388.⎡⎤⎛⎫⎡⎤=---⨯÷⨯-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦()144187⎛⎫=-÷-= ⎪⎝⎭.2 当2m π=时，多项式31am bm ++的值是0，则多项式31452a b ππ++＝（ ）.答：5.解：根据 38210a b ππ++=，即()3311458215522a b a b ππππ++=+++=，故原式的值为5.3 将若干本书籍分给几名小朋友，如果每人分4本书，就还余下20本书，如果每人分8本书，就有1名小朋友虽然分到了一些书，但是不足8本, 则共有（ ）名小朋友. 答：6.解：设共有x 名小朋友，由题意，04208(1)8x x <+--<，02848x <-<推出75<<x ，得6=x .4 图16中的长方形ABCD 是由四个等腰直角三角形和一个正方形EFGH 拼成. 已知长方形ABCD 的面积是120平方厘米，则正方形EFGH 的面积等于（ ）平方厘米. 答：10.解法1：如图16a ，延长BF 交DC 于N 点，延长EH 交BC 于M 点，图16由已知条件可知1122CE CM CN CB ===，DA DE CB CN ===，所以 CM=MB ＝CE=EN =ND . 将长方形ABCD 的长边3等分，短边2等分，如图1a 所示，连接对应的等分点，分成网格图形， 数一数，长方形ABCD 恰好等于12个正方形EFGH 的面积，由于长方形ABCD 的面积为120平方厘米，所以正方EFGH 的面积等于10平方厘米.解法 2：设正方形EFGH 的边长为x ，根据题意，图1中的四个三角形为等腰直角三角形，则三角形EHC 的直角边长为x ，三角形CGB 的直角边长为x 2， 三角形ABF 的直角边长为x 3，三角形ADE 的斜边长为x 4.并且，正方形EFGH 的面积＝2x ，三角形EHC 的面积＝22x ，三角形CGB 的面积＝2222)2(x x =，三角形ABF 的面积＝292)3(22x x =， 三角形ADE 的面积＝2⨯三角形CGB 的面积＝24x .因此120=2222221242922x x x x x x =+++， 故102=x ，即正方形EFGH 的面积等于10平方厘米.5 满足方程2006182006|x |--+=的所有x 的和为（ ）. 答： 4012.解：根据绝对值的性质，逐步去除等式2006182006|x |--+=绝对值符号，得到2006120068x --=-，2006120068x -=+-，()2006120068x =++-，或()2006120068x =-+-由表达式可以看到，x 有2个不同的解，它们的和是：()2006120068++-＋()20061200684012-+-=.图2图16a6 一个存有一些水的水池，有一个进水口和若干个口径相同的出水口, 进水口每分钟进水3立方米.若同时打开进水口和三个出水口, 池中水16分钟放完; 若同时打开进水口与五个出水口, 池中水9分钟放完. 池中原有水（ ）立方米. 答: 288.解: 设每个出水口每分钟放出水x 立方米, 池中原有水y 立方米， 则3163165939x yx y⨯⨯=⨯+⎧⎨⨯⨯=⨯+⎩， 解上面二元一次方程组，()4845482721x -=-=，7x =（立方米），316748288y =⨯⨯-=（立方米）.7 已知20062005122006220052)1(164834221-++-++-+-=+ k k k S ，小于S 的最大的整数是（ ）. 解答：因为，2005200620052006123420052006248162212342005200602481622S =-+-++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2005200620042005200620052006123420052006248162212345200420052006248163222211320032006 1.283222S =-+-++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-------- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭<-----< 因此小于S 的最大的整数是0.8 如图17，数轴上标有21n +个点，它们对应的整数是:(),1,,2,1,0,1,2,,1,n n n n ------.为了确保从这些点中可以取出2006个，其中任何两个点之间的距离都不等于4，则n 的最小值是（ ）.图17答： 2005.解：① 将数轴上的21n +个点，自左端开始，连续8个点为一组，每组仅取右边4个点，这样就可以确保所取出的点，其中任意两点之间的距离不等于 4. 从多少组中才能取出2006个点？既然，200645012=⨯+，即从501组可以取出2004个点，另外，再从第502组中取出2个点，就得到2006个点. 所以，850124010⨯+=.即数轴上至少有4010个点，就能够确保从这4010个点中取出2006个，其中任意两点之间的距离不等于4.214010n +≥，2005n ≥.当n =2005时，可以取 -2005，-2004，-2003，-2002，-1997，-1996，-1995，-1994，，-2005+8k ，-2004+8k ，-2003+8k ，-2002+8k ，，1995，1996，1997，1998，2003，2004,共2006个，其中任何两个数所代表的两个点之间的距离都不等于4.② 当2004=n 时，数轴上连续点的个数是214009n +=. 此时，将距离是4的2个点配对，共有2004对，另外还有单独的一个点，从每个配对中只取一个点，否则一定有2个点的距离是4, 连同单独的一个点，一共可以取出2005个点，但是要求取出2006个点，不得不将某个配对的两个点都取出，它们的距离是 4. 所以，当2004=n 时，任取2006个点，一定有2个点，距离是4. 当2004<n 时，补足至4009个点，就可以说明n 的最小值是2005.二. 解答下列各题（要求写出简要过程）9 图18中，ABCD 是矩形，6BC cm =，10AB cm =，AC 和BD 是对角线.图3中的阴影部分以CD 为轴旋转一周，则阴影部分扫过的立体的体积是多少立方厘米？（π 取3.14） 解: （见小学组决赛第11题解答） 10 将21个整数：图18109832101238910,,,,,,,,,,,,,------分为个数不相等的六组数，分别计算各组的平均值，那么这六个平均值的和最大是多少？ 解: 将21个整数分为个数不相等的6组，各组的个数分别为1、2、3、4、5、6个. 既然是求六组个平均值的和的最大值，应当将数值大的分在整数个数少的组中. 所以，可以如下分组：10第一组第二组98第三组765第四组4321第五组－1－2－3－4第六组－5－6－7－8－9－10计算上述六组整数的平均值的和：1098765432101567891012345611110862272221172.+--=＋＋＋＋＋＋－－2－3－4－－－－－－＋＋＋＋＋＝＋＋ 答：最大的和是1172.评注和说明：下面说明理由.六组数分别为{}{}{}{}{}{}112123123412345123456,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b b c c c d d d d e e e e e f f f f f f ，则各组数平均数的和为()()()()()12123126111212312341234512345623660302015121060b bc c c f f f a a b b c c cd d d de e e e ef f f f f f ++++++++++++++++++++++++++++++=我们要使得这个分数最大，只要使得分子最大. 先考虑让那一个字母取10，显然是1a ，这样能使总和最大；同理，让12,b b 取8，9对总和的贡献是最大的……以此类推，{}{}{}{}{}{}10,8,9,5,6,7,1,2,3,4,4,3,2,1,0,10,9,8,7,6,5----------是我们得到的分组结果.这一过程无非就是把我们的解题过程用代数式翻译了一遍.为了同学们能多体会字母代表数的抽象性，这里再介绍一种更为一般一些的方法.()()()()()()()()61121231234123451234561091019100;S a b b c c c d d d d e e e e e f f f f f f =++++++++++++++++++++=+++++-++-+-=()()()()()()51121231234123451093445S a b b c c c d d d d e e e e e =++++++++++++++≤+++-+-=；()()()411212312341092155S a b b c c c d d d d =+++++++++≤++++=；()()3112123109640S a b b c c c =+++++≤+++=；()2112109827S a b b =++≤++=； 1110S a =≤因而有()()()()()1212312611121231234123451234561234562366030201512106030105321060b bc c c f f f a a b b c c cd d d de e e e ef f f f f f S S S S S S ++++++++++++++++++++++++++++++=+++++=()11240102251659060300270225165906035,2a b b +++++≤++++≤= 该不等式在{}{}{}{}{}{}112123123412345123456,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b b c c c d d d d e e e e e f f f f f f 分别取{}{}{}{}{}{}10,8,9,5,6,7,1,2,3,4,4,3,2,1,0,10,9,8,7,6,5----------时恰好能取到等号，因此最大值为352. 11 当5431013231241000m ,,,,,,,,,=----时，从等式()()2123150m x m y m ++-+-=可以得到10个关于x 和y 的二元一次方程，问这10个方程有没有公共解？如果有，求出这些公共解？解：分别取0m =和1m =，我们得到两个方程：210340x y x y ++=⎧⎨--=⎩ 先求两个方程的公共解，把它们看作二元一次方程组，解得：1,1-==y x .把1,1-==y x 代入()()212315m x m y m ++-+-，值恒为0. 此即意味着：当5431013231241000m ,,,,,,,,,=----时，()()212315m x m y m ++-+-＝0成立.所以，1,1-==y x 是对应的10个方程的的公共解.答：这些方程的公共解是 1,1-==y x .12 平面上有5条直线，其中任意两条都不平行，则在这5条直线两两相交所成的角中，至少有一个角不超过36度. 说明理由.解：在平面上任取一点O ，过O 点作已知的5条直线的平行线12345,,,,l l l l l . 将以O 为中心的周角分为10个彼此依次相邻的小的角，记为12910,,,,θθθθ.每个小角iθ（1,2,,9,10i =）都等于这5条直线相交的一个交角.这10个小角的和恰等于360，即.12910360θθθθ++++=，根据抽屉原理，至少有一个小角不超过36.三. 解答下列各题（要求写出详细过程）13 如图19，A 、B 和C 是圆周的三等分点，甲、乙、丙三只蚂蚁分别从A 、B 、C 三个点同时出发，甲和乙沿圆周逆时针爬行，丙顺时针爬行. 已知甲、乙、丙三只蚂蚁爬行的速度之比是8:6:5，求出三只蚂蚁所有的会合地点. 解：① 设圆周的周长为3L ，甲的速度为v 8，乙的速度为v 6，丙的速度为v 5；甲第一次追上乙时，爬行的时间和爬行的路程分别是：甲爬行的时间＝862L L v v v =-, 甲爬行的路程＝842Lv L v=，因为圆周的周长为3L ，即甲在Ｂ处追上乙.甲第k+1(k 是整数)次追上乙时，甲爬行的时间＝322L kL v v+， ABAC A图19甲爬行的路程＝3822L kL v v v ⎛⎫+⨯= ⎪⎝⎭()412314L kL L k L +=+⨯+因为()314k L ⨯+是圆周周长的整数倍，所以，甲在B 点追上乙. ② 在时刻322L kL v v+，( 丙爬行的路程＝3315362222L kL k v L kL L v v ⎛⎫⎛⎫+⨯=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当k ＝1时，上式是35922L kL v L L v v ⎛⎫+⨯=+ ⎪⎝⎭因为丙是从C 出发顺时针爬行，所以，丙爬行至B 处，意味着甲、乙、丙能够在B 点会合.答；甲、乙、丙仅仅在B 处汇合. 14 已知m, n 都是正整数，并且),11)(11()311)(311)(211)(211(m m A +-+-+-=),11)(11()311)(311)(211)(211(nn B +-+-+-=① 证明：A = m m 21+, n n B 21+=； ② 若,261=-B A 求 m 和n 的值. 解：①111111(1-)(1+)(1-)(1+)(1-)(1+)2233111111(1-)(1-)(1-)(1+)(1+)(1+)23231213411 ;23232A m m m m m m m m m m==-++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=同样，nn B 21+=②由题设，11111222226m n A B m n m n ++-=-=-=，11113m n -=111131313nm n n+=+=， 所以，1313nm ,n=+ ()13131313131313131313n n m ,n n n+-⨯===-+++ 即13+n 是1313⨯的因数，1313⨯只有3个因数：1，13，132. 所以，13+n=132，n =132 –13=156, m =12.）评注和说明：另一方法可以求出正整数m,n ，使11113m n -=. 设()1m Ka,n Kb,a,b ===，代入上式，11113b a Ka Kb Kab --==. ()b a -和a,b 都互质，一定整除K .记Kd b a=-是正整数，b a >则有 1113dab =. 由上式和b a >，1311b ,a ,d ===. 所以，K ＝12，m 和n 有唯一解，12156m ,n ==.。
华罗庚金杯数学邀请赛决赛初一组练习题含答案
第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题(初中一年级组) 总分第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题（初中一年级组·练习用）一、填空题（每小题10 分, 共 80 分）1. 点O为线段AB 上一点， AOC 10 ， COD 50 ，A O B则 BOD 或．2018 12k2.已知m＞0 ，且对任意整数k，均为整数，则m 的最大值为．3m3. [x]表示不超过x 的最大整数，如[ 1.3] 2 ，[1.3] 1．1 2 9[a ] [a ] K [a ] =4已知，则a 的取值范围是．10 10 104. 使 2n 1和 11n 121 都是平方数的最小正整数n 为．5. 在3 3 的“九宫格”中填数，使每行每列及每条对角线上的三数之和都相等．如图，有 3 个方格已经填的数分别为 3，10，2018，则“九宫格”中其余 6 个方格所填数之和等于．6. 已知某三角形的三条高线长a，b，c 为互不相等的整数，则a b c 的最小值为．7. 16 张卡片上分别写着 1~16 这 16 个自然数，把这 16 张卡片分成 4 组，使得每组卡片张数一样，每组卡片上所写数的和相等，且每组有两张卡片上的数的和为 17，共有种分法．(说明：不考虑组的顺序，也不考虑组内数字的顺序．例如将 1~16 分为四组后，保持各组内数字不变，只改变组的顺序或组内数字的顺序，视为相同的分法．)abc8. a ，b ，c 是三个不同的非零整数，则的最小值为．4ab 2bc 3ca第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题(初中一年级组)二、解答下列各题（每题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程）9. 现有两种理财方式供王老师选择．方案一：购买一款分红产品，前三年每年年初交 10 万元，第 6 年年初返 6 万元，以后每年处返 1.5 万元；方案二：购买一款年利率5%，满一年计息的储蓄产品，第一年初存款10 万元，接下来两年每年年初追加本金 10 万元，并将之前的本息全部续存．请问哪个选择更划算？请说明理由．（参考数据：1.054 1.053 1.052 =3.47563125）10. 如图，考古发现一块正多边形的瓷砖残片（如图），瓷砖上已不能找到完整的一个“角”，考古专家判定D ，E 两点是该正多边形相邻的两个顶点，C ，D 两个顶点之间隔有一个顶点．经过测量 CDE 135 ，DE 13厘米．原正多边形的周长是多少厘米？11. 一筐苹果，若分给全班同学每人 3 个，则还剩下 25 个；若全班同学一起吃，其中 5 个同学每人每天吃 1 个，其他同学每人每天吃 2 个，则恰好用若干天吃完．问筐里最多共有多少个苹果？12. 给定一个 5×5 方格网，规定如下操作：每次可以把某行（或列）中的连续 3 个小方格改变颜色（把白格变黑格，把黑格变白格）．如果开始时所有25 个小方格均为白色，请问：能否经过8 次这样的操作，使得5×5 方格网恰好变为黑白相间（如图所示），且任何一个小方格在前 4 次操作中至多变色 1 次？如果能，请给出一种操作方案（直接画出第 4，5，6，7 次操作后的方格网颜色）；如果不能，请给出证明．三、解答下列各题（每小题15 分, 共 30 分, 要求写出详细过程）13. 求证：不存在 3 个有理数的平方和等于 15．14. 如图，一个由 41 个小方格组成的棋盘．先将其中的任意 8 个方格染黑，然后按照以下规则继续染色：如果某个方格至少与 2 个黑格都有恰好 1 个公共顶点，那么就将这个方格染黑．这样操作下去能否将整个棋盘都染成黑色？第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题·练习用参考答案（初中一年级组）一、填空题（每小题10 分, 共 80 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 80.5≤a＜ 0.41202答案或或者264 11040 9 10531400.4≤a＜0.5二、解答下列各题（每小题10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程）9. 【答案】：方案二更划算.解：方案二，第 4，5 年年初将之前的本息全部续存，到第 6 年年初时，共有本息10 (1 5%)5 10 (1 5%)4 10 (1 5%)3 ≈10.5 3.4756≈36.5（万元），提取 6 万元后仍有约36.5 6 30.5（万元）可不断续存，以后每年可提取利息约30.5 5% 1.525 （万元）．在前期投入及回报一致的情况下，显然比方案一以后每年返1.5万元划算．而且方案二还可以随时提取或部分提取30.5万元储蓄用于应急或者选择其它更理想的理财方式，而方案一无此选择权．综上所述，方案二更划算．10. 【答案】156 厘米【解答】如图，设原图是正n 边形，其中C ，D 间的顶点为 F ，连接CF ，DF ，则(n 2 )CFD FDE 180 ，n因为 C F F D，1 8 0 C F D 1 8所以 C D F F C D ，2 n- 1 -n 3C D E F D E F D C 1 80 1 3，所以n解得n 12 ．所以原本多边形是正 12 边形，周长为13 12=156（厘米）．11. 【答案】130.【解答】解答1：设全班同学有n 人，根据题意，3n 25是2n 5的倍数，则30n2n5数．为整n n30 1 2 5 65 1 65又 1∵，2 5 2 2 5 2 2 5n n n65∴是奇数，2n 5∴ 2n 5最大为 65，n 最大为 35，∴筐里最多共有3 35 25 130个苹果．解答2：设全班同学有n 人，根据题意，3n 25是2n 5的倍数，则30n2n5数．为整记n 302n 5k ，k 为正整数，则n 30 k(2n 5) ，两边同乘2，得到2n 60 2k(2n 5) ，2n 60 2n 5 65， 2n 5 65 2k(2n 5) ，(2k 1)(2n 5) 65 5 13．2k 1 1时，2n 5 65，n 35，2k 1 5时，2n 5 13，n 9 ，2k 1 13时，2n 5 5，n 5，2k 1 65时，2n 5 1，n 3，n 为 35 时，苹果数最多，此时筐里的苹果数为35 3 25 130．12. 【答案】可以【解答】操作如下：（1）经过 4 次操作可染成如下：- 2 -第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题参考答案(初中一年级组)，（2）继续操作第 5次 第 6次 第 7次 第 8次三、解答下列各题（每题 15 分, 共 30 分, 要求写出详细过程）13. 证明：注意到( x )2 x 2 ，只需考虑非负有理数的平方和．假设存在 3 个有理数n m ， q p ， t k ，其中 m ，n ，p ，q ，k ，t 是自然数， 且(m ，n ) 1，( p ，q ) 1，(k ，t ) 1，使得15 ( n )2 ( q )2 ( t )2，m p k那么15m 2n 2 p 2 (npk )2 (mqk )2 (mpt )2 ，即15d 2 a 2 b 2 c 2 ，其中 a ，b ，c ，d 是自然数．（1）如果 d 为偶数，那么经过有限次如下步骤，可使得 d 为奇数．假设 d 2d ，若 a ，b ，c 两奇一偶，则 a 2 b 2 c 2 被 4 除余 2，而15d 2 被 41整除，矛盾！所以 a ，b ，c 都是偶数，故令 a 2a ，b 2b ，c 2c （11 1 a ，b ，c1 1 1 都是自然数），所以15d2 a 2 b 2 c 2（其中 1 1 1 1a b c ab c ）．如果 d 还 1 1 1 1是偶数，类似上述讨论，经过有限次后可得到奇数．（2）如果 d 为奇数，即 d 2r 1（ r 是自然数），那么15d 2 15(2r 1)215 4r (r 1) 1 ，即15d 2 被 8 除余 7． 另一方面，若 a ，b ，c 为三个奇数，那么 a 2 b 2 c 2 被 8 除余 3；若a ，b ，c 为两偶一奇，那么 a 2 b 2 c 2 被 8 除余 1 或 5；- 3 -。
初中竞赛数学第十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试题及答案(初一)
第十二届全国“华罗庚”少年数学邀请赛决赛试卷（初一组）（时间2018年4月21日10：00～11：30）一、填空（每题10分，共80分） 1、计算：=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯-3553134217685.17 。
2、“b 的相反数与a 的差的一半的平方”的代数表达式为 。
3、规定符号“⊕”为选择两数中较大者，规定符号“⊙”为选择两数中较小者，例如：3⊕5=5，3⊙5=3，则4、已知 5-=-n m ，1322=+n m ，那么 44n m += 。
5、用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体，从上向下看这个立体，如图1，从正面看这个立体，如图2，则这个立体的表面积最多是 。
图1（从上向下看） 图2（从正面看） 6、满足不等式|13|22|1|3+>--n n n 的整数n 的个数是 。
7、某年级原有学生280人，被分为人数相同的若干个班。
新学年时，该年级人数增加到585人，仍被分为人数相同的若干个班，但是多了6个班，则这个年级原有 个班。
8、如果锐角三角形的三个内角的度数均为整数，并且最大角是最小角的5倍，那么这个三角形的最大角的度数是 。
∶∶∶∶∶∶∶∶∶装∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶订∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶线∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶二、简答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9、已知a ，b ，c 都是整数，当代数式 c b a 327++ 的值能被13整除时，那么代数式 c b a 2275-+的值是否一定能被13整除，为什么？ 10、如图3所示，在四边形ABCD 中，ND MN AM ==，FC EF BE ==，四边形ABEM ，MEFN ，NFCD 的面积分别记为1S ，2S 和3S ，求312S S S +=？（提示：连接AE 、EN 、NC 和AC ）11、图4是一个9×9的方格图，由粗线隔为9个横竖各有3个格的“小九宫”格，其中，有一些方格填有1至9的数字，小鸣在第九行的空格中各填入了一个不大于9的正整数，使每行、每列和每个“小九宫”格内的数字都不重复，然后小鸣将第九行的数字从左向右写成一个9位数。
华杯赛初一试题及答案
华杯赛初一试题及答案华罗庚金杯少年数学邀请赛（简称“华杯赛”）是一项面向中学生的数学竞赛，旨在激发学生对数学的兴趣，提高他们的数学素养。
以下是一份为初一学生设计的华杯赛试题及答案。
# 华杯赛初一试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是最小的正整数？- A. 0- B. 1- C. 2- D. 3答案：B2. 如果一个数除以3的余数是2，那么这个数加1后除以3的余数是多少？- A. 0- B. 1- C. 2- D. 3答案：B3. 哪个数学公式可以用来计算一个长方形的面积？- A. 周长- B. 长 + 宽- C. 长× 宽- D. 长× 长答案：C4. 下列哪个选项不是质数？- A. 2- B. 3- C. 4- D. 5答案：C5. 一个数的60%加上它的40%等于这个数的多少？- A. 100%- B. 80%- C. 120%- D. 160%答案：A6. 一个长方体的长、宽、高分别是8cm、6cm和5cm，它的体积是多少立方厘米？- A. 240- B. 180- C. 120- D. 100答案：A7. 一个数的1/4加上它的1/2等于这个数的多少？- A. 3/4- B. 5/6- C. 9/12- D. 1答案：D8. 下列哪个选项是2的倍数？- A. 17- B. 23- C. 38- D. 47答案：C9. 一个数的3/4比它的1/2多1，这个数是多少？- A. 4- B. 8- C. 12- D. 16答案：A10. 一个班级有40名学生，其中1/5是女生，那么这个班级有多少名女生？- A. 8- B. 10- C. 15- D. 20答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 一个数的75%是150，那么这个数是______。
答案：20012. 一本书的价格是35元，打8折后的价格是______元。
13. 一个长方体的体积是120立方厘米，长是10厘米，宽是6厘米，那么它的高是______厘米。
第十三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试题及答案(初一组)
第十三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（初一组）（建议考试时间：2008年4月19日10:00～11:30）一、填空（每题10分，共80分）1. 某地区2008年2月21日至28日的平均气温为-1℃，2月22日至29日的平均气温为-0.5℃，2月21日的平均气温为-3℃，则2月29日的平均气温为 .2. 已知新北京×(新+奥+运)=2008，其中每个汉字都代表0到9的数字，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，则算式)(1)(运奥新京新北+⨯++= . 3. 代数和－1×2008+2×2007－3×2006＋4×2005＋…－1003×1006＋1004×1005的个位数字是 .4. 用一个平面去截一个长方体,裁面是一个多边形, 这个多边形的边数最多有 条.5. 一列数1,3,6,10,15,21,…中,从第二个数开始,每一个数都是这个数的序号加上前一个数的和,那么第2008个数是 .6. 当x 取相反数时,代数式ax +bx 2对应的值也为相反数,则ab 等于 .7. 已知06)3()9(22=+---x m x m 是以x 为未知数的一元一次方程,如果m a ≤,那么m a m a -++的值为 .8. 在3×4方格网的每个小方格中心都放有一枚围棋子,至少要去掉 枚围棋子,才能使得剩下的棋子中任意四枚都不构成正方形的四个顶点.二、解答下列各题(第题10分,共40分,要求写出简要过程)9. 如果一个锐角三角形的三个角的度数都是正整数,且最大角是最小角的4倍，那么这个三角形的最小角的度数可能是哪些值？10. 小明将164个桃子分给猴子,余下的几个留给了自己,每只猴子得到了数目相同的桃子,小明留给自己的桃子数是一只猴子的四分之一,问共有多少只猴子?11. 下图中,E,F 为三角形ABC 边上的点,CE 与BF 相交于P. 已知三角形PBC 的面积为12, 并且三角形EBP, 三角形FPC 及四边形AEPF 的面积都相同,求三角形EBP 的面积.12. 现有代数式x +y , x -y , xy 和 yx,当x 和y 取哪些值时,能使其中的三个代数式的值相等?三、解答下列各题(每题15分,共30分,要求写出详细过程)13. 对于某些自然数n , 可以用n 个大小相同的等边三角形拼成内角都为120°的六边形. 例如, n =10时就可以拼出这样的六边形,见右图,请从小到大,求出前10个这样的n .14. 对于有理数x ,用[x ]表示不大于x 的最大整数, 请解方程025********=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+y y第十三届“华罗庚金杯”少年数字邀请赛决赛试题参考答案（初一组）一、填空（每题10分，共80分）二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9. 答案:20,21,22.解答: 设最小角为x , 最大角为4x , 另一个角为y . 则由题目的条件得1804=++x y x , x y x 4≤≤, 904 x ①由①的前两个式子得到: x x y x x 918046≤=++≤, 解得3020≤≤x ; 又由①的第三个式子得到5.22 x , 所以2220≤≤x .评分参考: 1) 给出三个关系①给4分; 2)得出范围给4分; 3)给出答案给2分.10. 答案:10.解答: 设有n 只猴子, 小明留给自己p 个桃子. 每只猴子分到了4p 个桃子. 则pn p 4164=-, 所以p 是4的倍数, 令14p p =, 则n p p 11441=-, 141p -是4的倍数.令141+=k p , 则n k k )14(4440+=-, kkn 4110+-=, 因为n 是正整数, 所以0=k . 当0=k 时, 10=n .评分参考: 1)给出p , n 的关系给3分; 2)得到n, k 的最终关系给4分; 3)得到答案给3分.11. 答案: 4解答: 设三角形EBP 的面积为X , 连接AP .若令三角形APF 的面积为Y , 则三角形AEP 的面积为Y X -. 因为Y X S S S S APF FPC BFA BCF :::==∆∆∆∆, )(:::Y X X S S S S AEP EBP AEC BCE -==∆∆∆∆ 而BCF BCE S S ∆∆=, X X X S S AEC BFA 2=+==∆∆, 所以有)(::Y X X Y X -=, 解得2X Y =, 即1:22:2:)12(:==+=∆∆XX X X S S BFA BCF , 所以X =4. 三角形EBP 的面积为4. 评分参考: 1)引出辅助线给2分; 2)得到X 与Y 的关系给4分; 3)得到答案给4分.12. 答案: 21=x , 1-=y , 21-=x , 1-=y . 解答: 首先必须0≠y , 否则yx没有意义. 若y x y x -=+, 则0=y , 矛盾. 所以 y x y x -≠+. 若0=x , 则由xy y x =+, 或xy y x =-都得到0=y , 所以0≠x , 即0≠xy . 因此, 三个相等的式子只有两种可能:(1) yxxy y x ==+. 由后一等式得到, 1=y 或1-=y , 而1=y 是不可能的, 因为此时由第一个等式得到x x =+1, 矛盾. 当1-=y 时, 由第一个等式得到x x -=-1, 即12=x , 所以21=x . (2) yxxy y x ==-. 由后一等式同样得到, 1=y 或1-=y , 同样, 1=y 是不可能的, 而当1-=y 时, 由第一个等式得到12-=x , 所以21-=x .评分参考: 1) (1)之前给2分; 2) (1)和(2)各给4分.三、解答下列各题（每题15分，共30分，要求写出详细过程）13. 答案: 6,10,13,14,16,18,19,22,24,25.解答: 设所用的等边三角形的边长单位为 1. 任何满足条件的六边形的外接三角形一定是一个边长为l 的大等边三角形. 该六边形可以通过切去边长分别为c b a ,,的等国三角形的角而得到, 其中c b a ,,为正整数, 并且满足1≥≥≥c b a , b a l + .又由于用边长为1的等边三角形拼成的一个边长为x (正整数)的等边三角形所需要的个数是2)12(531x x =-++++ . 因此, )(2222c b a l n ++-=, 其中3≥l ,b a l + , 1≥≥≥c b a .(1) 3=l 时, n 可以为639)111(32222=-=++-.(2) 4=l 时, n 可以为10616)112(42222=-=++-. 13316)111(42222=-=++-. (3) 5=l 时, 与上面不同的n 可以为141125)113(52222=-=++-, 16925)122(52222=-=++-. 19625)112(52222=-=++-, 22325)111(52222=-=++-. (4) 6=l 时,与上面不同的n 可以为181836)114(62222=-=++-, 251136)113(62222=-=++-. 241236)222(62222=-=++-, 27936)122(62222=-=++-. 30636)112(62222=-=++-, )111(62222++-=36-3=33. (5) 7=l 时, 与上面不同的n 都比27大. (6) 8≥l 时, 可以证明满足要求的n 都不小于26.由(1)到(6)可得,前10个满足要求的n 为6,10,13,14,16,18,19,22,24,25评分参考: 1)写出10个中的1个给1分; 2)给出足够的理由,例如(1)之前的部分给5分.14. 答案:310-=y 或10=y . 解答: 因为方程左边的第1、3项都是整数, 所以y 3是整数. 注意到⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2512512525222y y y ,代入方程, 得到025********=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+y y , 02510312=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+y y . 所以103y是整数,y 3是10的倍数. 令k y 103=, k 是整数, 代入得⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯-+=94941941259100102222k k k k k k k , 其中, 对于有理数x , {}x =[]x x -. 所以有⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=-+9494122k k k , 094112≤-+-k k . 当k 取不同整数时, 9412k k -+的情况如下表:K 的可能值是1-和3, 相应的3-=y 和y =10. 代入验算得到3-=y 或10=y . 评分参考: 1) 得到103y是整数给3分; 2)得到关于k 的不等式给5人; 3)得到列表的结果给5分; 3)每个答案各给1分.。
初一华杯赛决赛试题及答案
初一华杯赛决赛试题及答案试题一：数学问题题目：某班有40名学生，其中男生人数是女生人数的两倍。
求男生和女生各有多少人？答案：设女生人数为x，则男生人数为2x。
根据题意，x + 2x = 40，解得x = 13.33。
由于人数必须是整数，所以女生人数为13人，男生人数为2 * 13 = 26人。
试题二：语文问题题目：请根据以下成语填空：1. 一（）之长，一（）之短。
2. 一（）之差，一（）之别。
答案：1. 一（技）之长，一（技）之短。
2. 一（毫）之差，一（厘）之别。
试题三：英语问题题目：请将下列句子翻译成英文。
1. 他每天都坚持跑步。
2. 她喜欢在周末去图书馆。
答案：1. He insists on running every day.2. She likes to go to the library on weekends.试题四：科学问题题目：请解释为什么天空是蓝色的。
答案：天空呈现蓝色是因为大气中的分子和微小的悬浮颗粒会散射阳光中的蓝色光线。
蓝色光线的波长较短，因此更容易被散射，而其他颜色的光线波长较长，散射较少，所以我们看到的天空主要是蓝色。
试题五：历史问题题目：请简述秦始皇统一六国的历史意义。
答案：秦始皇统一六国是中国历史上的重要事件，它结束了战国时期的分裂局面，实现了中国历史上的第一次大一统。
秦始皇的统一行动包括政治、经济、文化、军事等多方面的整合，为后世的统一和发展奠定了基础。
结束语：以上就是初一华杯赛决赛的试题及答案，希望同学们能够通过这些题目，不仅检验自己的学习成果，同时也能够激发学习的兴趣和热情，不断进步，追求卓越。
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第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题（初一组） （时间: 2016 年 3 月 12 日 10:00～11:30）
一、填空题（每小题 10 分, 共 80 分）
1. 已知 n 个数 x 1, x 2 , , x n , 每个数只能取 0, 1, -1中的一个. 若
x 1 + x 2 + + x n = 2016 , 则 2015 1 + x 2015 + + x 2015 的值为 .
2. 某停车场白天和夜间两个不同时段的停车费用的单价不同．张明 2 月份白天 的停车时间比夜间要多 40% , 3 月份白天的停车时间比夜间要少 40% . 若 3 月 份的总停车时间比 2 月份多 20% , 但停车费用却少了 20% , 那么该停车场白 天时段与夜间时段停车费用的单价之比是 .
3. 在 9⨯ 9 的格子纸上, 1⨯1 小方格的顶点叫做格点. 如右图, 三角形 ABC 的三个顶点都是格点. 若一个格点 P 使得三角 形 PAB 与三角形 PAC 的面积相等, 就称 P 点为“好点”. 那 么在这张格子纸上共有 个“好点”.
4. 设正整数 x , y 满足 xy - 9x - 9y = 20, 则 x 2 + y 2 = .
5. 甲、乙两队修建一条水渠．甲先完成工程的三分之一, 乙后完成工程的三分 之二, 两队所用的天数为 A ; 甲先完成工程的三分之二, 乙后完成工程的三分 之一, 两队所用天数为 B ; 甲、乙两队同时工作完成的天数为 C . 已知 A 比 B 多 5, A 是 C 的 2 倍多 4. 那么甲单独完成此项工程需要 天.
6. 已知 x + y + z = 5 , 1 + 1 + 1 = 5 , xyz = 1, 则 x 2 + y 2 + z 2 = . x y z
7. 关于 x , y 的方程组
⎧ 1 x + y = a ⎨ 2 ⎪⎩| x | - y = 1
只有唯一的一组解, 那么 a 的取值为 .
总分 密封
线
内
请勿答
题
学
校
_
___
__
__
_
___
姓名____
___
__
参赛证号
8.右图是一个骰子的展开图, 每个面是一个单位正方形. 用 四个骰子粘成
一个 2⨯ 2⨯1的长方体放到桌面上, 要求每 两个粘在一起的
面上的“点数”相同．长方体放到桌面上 的六个面分别记为
上、下、左、右、前、后六个面, 两个 长方体不同是指对应
六个面的“点”的拼图不同. 不考虑长方体的旋转, 共 可以
粘出
种不同的长方体
二、解答下列各题（每题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程）
9. 在恰有三条边相等的四边形中, 有两条等长的边所夹的内角为直角. 若从 该直角顶点引出的对角线恰好把这个四边形分成两个等腰三角形, 求该直 角所对的角的度数.
10. 围着一张可以转动的圆桌, 均匀地放着 8 把椅子, 在桌子上对着椅子放有 8
个人的名片. 这 8 个人入座后, 将圆桌顺时针转动, 第一次转 45︒ , 从第二 次开始, 每次转动比上一次多转 45︒ . 每转动一次, 当某人对着自己的名片 时, 取走自己的名片. 如果入座时谁都没有对着自己的名片, 那么桌子至少 转多少度才能保证所有入座可能的情况下 8 个人都拿
到了自己的名片?
11. 两张 8 ⨯12 的长方形纸片重叠地放置, 有一个顶点重合, 尺寸如
右图所示. 问图中阴影部分的面积是多少？
12. 证明: 对任何非零自然数 n , 12
12323-++n n n ，都是整数, 并用 3 除余 2。
三、解答下列各题（每小题 15 分, 共 30 分, 要求写出详细过程）
13. 如右图, ABCD 是正方形, F 是其两条对角线的交点, E 在
BC 边上, BE : EC = 1: 2 , DE 与对角线 AC 的交点为 G , 三
角形 DFG 的面积等于 2. 求正方形 ABCD 的面积.
14. 排成一行的学生, 从左到右 1 至 3 报数, 最后一个人报 2. 从右到左 1 至 m
报数, 最后一个人报 1, 这里 m 与 3 互质. 现凡报过 1 的学生出列, 其余原
地不动, 共留下
62 名, 其中只有 21 对学生原来相邻. 问原来有多少名学生？ m 的值是多少？。