初二数学 几何证明初步经典练习题 含答案

初二数学几何证明初步经典练习题含答案

集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN]

几何证明初步练习题

1、三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°．

推理过程：

○1 作CM ∥AB ，则∠A= ，∠B= ，∵∠ACB +∠1+∠2=1800

（ ，∴∠A+∠B+∠ACB=1800．

○2 作MN ∥BC ，则∠2= ，∠3= ，∵∠1+∠2+∠3=1800

，∴∠BAC+∠B+∠C=1800．

2．求证：在一个三角形中，至少有一个内角大于或者等于60°。

3、.如图，在△ABC 中，∠C ＞∠B,求证：AB ＞AC 。

4. 已知，如图，AE

5. 已知：如图，EF ∥AD ，∠1 =∠2. 求证：∠AGD ＋∠BAC =

180°.

反证法经典例题

6.求证:两条直线相交有且只有一个交点.

7.如图，在平面内，AB 是L 的斜线，CD 是L 的垂线。

求证：AB 与CD 必定相交。

8.2

一．角平分线－－轴对称

9、已知在ΔABC 中，Ｅ为ＢＣ的中点，AD 平分BAC ∠，BD ⊥AD 于D ．AB ＝9，ＡＣ＝

13求ＤＥ的长

第9题图 第10题图 第11题图

分析：延长ＢＤ交ＡＣ于Ｆ．可得ΔABD ≌ΔAFD ．则BD ＝DF ．又BE ＝EC ，即D Ｅ为ΔBCF 的中位线．∴DE=12FC=12

(AC-AB)=2． 10、已知在ΔABC 中，108A ∠=，AB ＝AC ，BD 平分ABC ∠．求证：BC ＝AB ＋CD ． 分析：在ＢＣ上截取ＢＥ＝ＢＡ，连接ＤＥ．可得ΔBAD ≌ΔBED ．由已知可得：

18ABD DBE ∠=∠=，108A BED ∠=∠=，36C ABC ∠=∠=．∴72DEC EDC ∠=∠=，∴

CD ＝CE ，∴BC ＝AB ＋CD ．

11、如图，ΔABC 中，Ｅ是BC 边上的中点，DE ⊥BC 于E ，交BAC ∠的平分线AD 于

D ，过D 作DM ⊥AB 于Ｍ，作DN ⊥ＡC 于N ．求证：BM ＝CN ．

分析：连接DB 与DC ．∵DE 垂直平分BC ，∴DB ＝DC ．易证ΔAMD ≌ΔAND ．

∴有DM ＝DN ．∴ΔBMD ≌ΔCND （ＨＬ）．∴BM ＝CN ．

二、旋转

12、如图，已知在正方形ABCD 中，Ｅ在BC 上，Ｆ在DC 上，BE ＋DF

＝EF ．

求证：45EAF ∠=． C B A D E F D A B C B A E D N M B D A C

分析：将ΔADF 绕Ａ顺时针旋转90得ABG ．∴GAB FAD ∠=∠．易证

ΔAGE ≌ΔAFE ．

∴ 1452FAE GAE FAG ∠=∠=∠= 13、如图，点E 在ΔABC 外部，D 在边BC 上，DE 交AC 于F ．若

123∠=∠=∠，

ＡＣ＝ＡＥ．求证：ΔABC ≌ΔADE ．

分析：若ΔABC ≌ΔADE ，则ΔADE 可视为ΔABC 绕Ａ逆时针旋转1∠所得．则有

B ADE ∠=∠．

∵12B ADE ∠+∠=∠+∠，且12∠=∠．∴B ADE ∠=∠．又∵13∠=∠．

∴BAC DAE ∠=∠．再∵ＡＣ＝ＡＥ．∴ΔABC ≌ΔADE ．

14、如图，点Ｅ为正方形ＡＢＣＤ的边ＣＤ上一点，点Ｆ为ＣＢ的延长线上的一点，

且ＥＡ⊥ＡＦ．求证：ＤＥ＝ＢＦ．

转90即可．

分析：将ΔABF 视为ΔADE 绕Ａ顺时针旋∵

90FAB BAE EAD BAE ∠+∠=∠+∠=．∴

FBA EDA ∠=∠． 又∵90FBA EDA ∠=∠=，ＡＢ＝ＡＤ．∴ΔABF ≌Δ

ADE ．（ＡＳＡ）∴ＤＥ＝ＤＦ．

平移

第14题图 第15题图 第16题图 第17题图

三、平移

15、如图，在梯形ABCD 中，BD ⊥AC ，AC ＝８，BD ＝１５．求梯形ABCD 的中位线长． 分析：延长ＤＣ到Ｅ使得ＣＥ＝ＡＢ．连接ＢＥ．可得ACEB ．可视为将ＡＣ平移

到ＢＥ．ＡＢ平移到ＣＥ．由勾股定理可得ＤＥ＝１７．∴梯形ＡＢＣＤ中位线长为

８．５．

16、已知在ΔABC 中，AB ＝AC ，D 为AB 上一点，Ｅ为AC 延长线一点，且BD ＝CE ．求

证：DM ＝EM 分析：作ＤＦ∥ＡＣ交ＢＣ于Ｆ．易证ＤＦ＝ＢＤ＝Ｃ

Ｅ．则ＤＦ可视为ＣＥ平移所得．

∴四边形ＤＣＥＦ为DCEF ．∴ＤＭ＝ＥＭ．线段中点的常见技巧 --

倍长

四、倍长

17、已知，ＡＤ为ABC 的中线．求证：ＡＢ＋ＡＣ>２ＡＤ．

分析：延长ＡＤ到Ｅ使得ＡＥ＝２ＡＤ．连接ＢＥ易证ΔBDE ≌ΔCDA ．

∴ＢＥ＝ＡＣ．∴ＡＢ＋ＡＣ>２ＡＤ．

18、如图，AD 为ΔABC 的角平分线且BD ＝CD ．求证：AB ＝AC ． 分析：延长ＡＤ到Ｅ使得ＡＤ＝ＥＤ．易证ΔABD ≌ΔECD ．∴ＥＣ＝ＡＢ． ∵BAD CAD ∠=∠．∴E CAD ∠=∠．∴ＡＣ＝ＥＣ＝ＡＢ． 19、已知在等边三角形ＡＢＣ中，Ｄ和Ｅ分别为ＢＣ与ＡＣ上的点，且ＡＥ

＝ＣＤ．连接ＡＤ与ＢＥ交于点Ｐ，作ＢＱ⊥ＡＤ于Ｑ．求证：ＢＰ＝２ＰＱ．

分析：延长ＰＤ到Ｆ使得ＦＱ＝ＰＱ．在等边三角形ＡＢＣ中ＡＢ＝ＢＣ＝ＡＣ，

60ABD C ∠=∠=．又∵ＡＥ＝ＣＤ，∴ＢＤ＝ＣＥ．∴ΔABD ≌ΔBCE ．