第4章 时变电磁场与电磁波(时变电磁场)

(c) 分界面上的边界条件不是独立的， 对时变电磁场，只要电场强度和磁场 强度的切向分量边界条件满足表4-2-1 的式1和式3，则磁感应强度和电位移 法向分量边界条件必定满足表4-2-1的 式2和式4。
4.2.2 理想介质分界面之间的边界条件
在两种理想介质的分界面上没有面电流密度和 自由电荷密度，即Js=0，ρs=0。故分界面上的边 界条件为 1）电场E的切向方向连续：E1t= E2t， 2）磁场H的切向方向连续：H1t= H2t； 3）电位移矢量D的法向方向连续：D1n= D2n； 4）磁感应强度B的法向方向连续：B1n= B2n。

上式表明，磁场强度沿任意闭合路径的 积分等于该路径所包围曲面上的全电流。
位移电流
D / t的量纲是A/m2，即此因子具有 电流密度的量纲，故称为位移电流密度 Jd，即
D 极化强度的变化引 Jd t 起的，称为极化电流 D 0E P D E P 0 t t t

aH 0 D( x, y,0, t ) a z sin ax[cos(t ay ) cos( ay )]

由分界面上的电流连续性方程，可得
s t J s t s (a x a y ) [a y H 0 sin ax cos(t ay )] t x y [ H 0 sin ax cos(t ay )] y aH 0 sin ax sin( t ay ) s aH 0
麦克斯韦方程组
D 全电流定律 第1方程 H J t B 法拉第电磁感应定律 第2方程 E t 磁通连续性原理 第3方程 B 0 第4方程 D

高斯定理
麦克斯韦方程组

积分形式 D l H dl s ( J t ) ds B l E dl s t ds s B ds 0 s D ds V dV
物质方程
1）辅助方程——本构方程 D 0E P B 0 ( H M ) J E 2）对于各向同性的线性媒质，有 D E B H J E
媒质可分为均匀与不均匀、线性与非线性、各向同性与 各向异性之分。 1)若描述电磁特性的参数(ε、μ、σ)与空间坐标无关，则 是均匀媒质，否则是不均匀媒质； 2)若描述电磁特性的参数(ε、μ、σ)与场量（E或H）的大 小无关，则是线性媒质，否则是非线性媒质； 3)若描述电磁特性的参数(ε、μ、σ)与场量的方向无关， 则是各向同性媒质，否则是各向异性媒质。 对于线性（Linear）、均匀(Homogeneous)、各向同性 （Isotropic）媒质被称为L.H.I媒质。除非另外说明,这里 涉及的媒质是线性、均匀、各向同性媒质。 在真空（或空气）中，ε＝ε0，μ＝μ0，σ＝0。 理想介质指的是电导率σ＝0的情况； 理想导体是指电导率σ→∞的媒质。
表4-2-1 时变电磁场边界条件的数学形式
序 号 1 2 3 4 5 6
场量
电场强度切向 电位移矢量法向 磁场强度切向 磁感应强度法向 电流密度的法向 电流密度的切向
标量表达式
矢量形式
E1t E2 t
D1n D2 n S
H 1t H 2 t J S
B1n B2 n
ˆ n ( E1 E 2 ) 0
ˆ n ( D1 D2 ) S
ˆ n ( H1 H 2 ) J S
ˆ n ( B1 B2 ) 0
ˆ n (J1 J2 ) s t
ˆ n( J 1t J 2t )0
J1 n J 2 n s t
1
J 1t
1
J 2t
法拉第电磁感应定律
1)法拉第电磁感应定律的微分形式 d B l E dl dt s B ds s t ds 利用斯托克斯定理，得 B l E dl s ( E ) ds s t ds B 所以可得 E t

sin ax cos(t ay ) c( x, y )

假设t=0时，ρs=0，
t 0, s 0 s
aH 0 sin ax cos(t ay ) c( x, y )

aH 0

sin ax cos( ay ) c( x, y ) 0 aH 0
c ( x, y ) s
d d N ε ( i ) dt dt i 1
如果定义非保守感应场 Ei沿闭合路径ι的 积分为ι中的感应电动势，即有 d l Ei dl dt
可见，感应电场的环路线积分值不恒为0，与静电场中 由自由电荷激发出的电场不一样。
引起磁通变化的原因分为三类：
(1)导体回路对恒定磁场有相对运动
时变场知识结构框图
4.1 麦克斯韦方程组
4.1.1 法拉第电磁感应定律 当与回路交链的磁通发生变化时，回路中会产生感应
电动势，这就是法拉弟电磁感应定律。
d d ε dt dt
B ds
s
感应电动势的参考方向
式中ε 为感应电动势，Φ 为穿过曲面S和回路c交链的 磁通（磁链）。如果回路有N匝线圈，则感应电动势为
电场随时间变化所引起的， 不代表任何形式的电荷运动。
例：在无源的自由空间中，已知磁场强度
H ey 2.63 105 cos(3 109 t 10 z ) ( A / m)
求位移电流密度 Jd。 解：在无源的自由空间中J=0，故有
D H Jd t ex ey ez H y Jd H ex x y z z 0 Hy 0 ex 2.63 10 4 sin( 3 109 t 10 z ) ( A / m 2 )
例：已知在无源的自由空间中， E ex E0 cos(t z ) 其中E0、β为常数，求H。
ex e y ez H E 0 x y z t Ex 0 0 e y E0 sin(t z ) 0 (ex H x e y H y ez H z ) t
第4章时变电磁场与电磁波
主讲人：毕岗
内容提要
• 在时变电磁场中，电场与磁场都是时间和空间的函数；变化 的磁场会产生电场，变化的电场会产生磁场，电场与磁场相 互依存，构成统一的电磁场。 • 英国科学家麦克斯韦将静态场、恒定场、时变场的电磁基本
特性用统一的电磁场基本方程组高度概括。电磁场基本方程
组是研究宏观电磁场现象的理论基础。
此式表明，随时间变化的磁场将激发电场。时变电场是一有
旋场，随时间变化的磁场是该时变电场的源。称该电场为感 应电场。即：感应电场是非保守场，其电力线是闭合曲线。
法拉第电磁感应定律实验
变化的磁场产生感应电场 变化的磁场产生感应电场
4.1.2 位移电流和全电流定律
麦克斯韦第二定律表明，时变磁场要激发电场，那 么反过来时变电场能不能激发磁场呢？或者静电场 中的性质
4.2.3 理想介质与理想导体分界面的 边界条件
由边界条件可见，电场总是与导体表面 垂直，磁场总是与导体表面相切。
D E Js n B H
σ1=0 σ2=∞
例1. 设在截面矩形的金属波导中的时变电磁场 量H、E，求波导内壁上的电荷及电流
a:宽壁长度，b:窄壁长度来自yb0
z
a
x
例：设z=0的平面为空气与理想导体的分界面， z<0一侧为理想导体，分界面处的磁场强度为
1
1
时变电磁场边界条件概括如下：
①电场强度的切向分量和磁感应强度的法向 分量总是无条件连续的；
②电位移矢量的法向分量在分界面上没有面 分布的自由电荷时是连续的，否则就是不 连续的； ③磁场强度的切向分量在分界面上没有面电 流时是连续的，否则是不连续的。
需要注意以下几点：
(a) 当分界面上的自由面电荷ρs=0时，电位移 矢量D的法向分量连续，即D1n=D2n或 ε1E1n=ε2E2n，但是分界面两侧的电场强度矢量 的法向分量不连续，因为对不同的媒质ε1≠ε2， 所以E1n≠ε2E2n。由于电场强度的切向分量连 续，根据E1t=D1t/ε1，E2t=D2t/ε2，知D1t≠D2t， 所以电位移切向分量是不连续的。

sin ax cos( ay ) aH 0
aH 0

sin ax cos(t ay )

sin ax cos( ay )
aH 0

sin ax[cos(t ay ) cos( ay )]
由边界条件n· ρs以及n的方向，可得 D=
n D s D1n s aH 0 sin ax[cos(t ay ) cos( ay )]
(b) 磁感应强度的法向分量连续，即B1n= B2n (或μ1H1n＝μ2H2n)，但是磁场强度矢量的法向 分量不连续，因为对不同的媒质μ1≠μ2，所 以H1n≠H2n。不过，实际情况是，对于非磁性 媒质，它们的磁导率都近似等于μ0，在不是 很严格的情况下，可认为磁场强度的法向分 量连续。当分界面上没有自由面电流时，磁 场强度的切向分量连续，即H1t= H2t，根据 B1t=μ1H1t，B2t=μ2H2t，可知此时B1t≠B2t，即磁 感应强度的切向分量不连续，当两种媒质的 磁导率都近似为μ0时，可认为连续。
解：所谓无源，就是所研究区域内没有 场源电流和电荷，即J=0，ρ=0。
因此，可得
Hx Hz 0 H y 0 E0 sin(t z ) t E0 Hy cos(t z ) E0 H ey cos(t z )
0
0
4.2 时变电磁场的边界条件