曲线与曲面积分习题参考答案

十 曲线积分与曲面积分习题 (一) 对弧长的曲线积分

1. 计算ds y x L ⎰+)(22，其中L 为圆周t a y t a x sin ,cos == )20(π≤≤t . 解

320

32

2

2

2

20

2

2

2

2

2

2

2cos sin )sin cos ()(a dt a dt t a t a t a t a ds y x

L

ππ

π==++=+⎰⎰⎰.

2. 计算ds x L ⎰，其中L 为由直线x y =及抛物线2x y =所围成的区域的整个边界.

解 )12655(12

1

4121

021

0-+=

++=⎰⎰⎰dx x x dx x ds x L . 3．计算⎰L yds ,其中L 是抛物线x y 42=上从)0,0(O 到)2,1(A 的一段弧. 解 ⎰L yds ＝dy y y dy y y ⎰⎰+=+2

22

2421)2(1

)122(3

4)4(4412202-=++=

⎰y d y . 4．计算⎰+L ds y x )(，其中L 为从点)0,0(O 到)1,1(A 的直线段. 解 ⎰+L ds y x )(＝23

2

11)(1

0=

++⎰x x . 5．计算⎰L xyzds ，其中L 是曲线232

1

,232,t z t y t x ==

=)10(≤≤t 的一段. 解 ⎰L xyzds ＝⎰⎰+=++1

31

02223)1(232

)2(121232dt t t t dt t t t t t

＝143

216.

6．计算22

x y L

e

ds +⎰，其中L 为圆周222x y a +=,直线y x =及x 轴在第

一象限所围成的扇形的整个边界.

解22

x y L

e

ds +⎰＝⎰

1

L ＋⎰2

L ＋⎰3

L

＝dx e dt t a t a e dx e

a

x a a x

⎰⎰⎰+++++0

240

222

2

20

201)sin ()cos (11π

＝(2)14

a e a π

+-

7．设在xoy 面内有一分布着质量的曲线L ,在点(),x y 处它的线密度

为(),x y μ,试用对弧长的曲线积分分别表达 (1)这条曲线弧对x 轴,y 轴的转动惯量,x y I I ； (2) 这条曲线弧的质心坐标,x y .

解 （1）⎰=L x dS y I 2μ ⎰=L y dS x I 2μ

（2）⎰⎰=L

L

dS y x dS y x x x ),(),(μμ ⎰⎰=L

L

dS

y x dS y x y y ),(),(μμ

(二) 对坐标的曲线积分

1．计算⎰+L xdy ydx ，其中L 为圆周t R y t R x sin ,cos ==上对应t 从0到2

π的一段弧.

解 ⎰+L xdy ydx ＝0]cos cos )sin (sin [20=+-⎰dt t tR R t R t R π

2．计算⎰+L ydx xdy ，其中L 分别为

（1）沿抛物线22x y =从)0,0(O 到)2,1(B 的一段； （2）沿从)0,0(O 到)2,1(B 的直线段.； （3）沿封闭曲线OABO ，其中)0,1(A ,)2,1(B . 解 （1）⎰=+=1

022)24(dx x x x I .

（2）2)22(1

=+=⎰dx x x I .

（3）⎰+L ydx xdy ＝⎰⎰⎰++BO AB OA ＝2

010(22)0dy x x dx +++=⎰⎰.

3．计算⎰-+++L dz y x zdy xdx )1(，其中Γ是从点)1,1,1(到点)4,3,2(的一段直线.

解 直线方程为

3

1

2111-=

-=-z y x ，其参数方程为13,12,1+=+=+=t z t y t x ，t 从0

变到1.

13])13(3)12(2)1[(1

0=+++++=⎰dt t t t I .

4．计算2()L xydx x y dy x dz +-+⎰，其中L 是螺旋线bt z t a y t a x ===,sin ,cos 从0=t 到π=t 上的一段.

解 dt t b a t a t a t a t a t a t a I ⎰+-+-•=π

22]cos cos )sin cos ()sin (sin cos [

)(2

22b a a +=π

.

5．设Γ为曲线23,,x t y t z t ===上相应于t 从0变到1的曲线弧.把对坐标的曲线积分Pdx Qdy Rdz Γ++⎰化成对弧长的曲线积分. 解 由于)3,2,1()3,2,1(),,(

2y x t t dt

dz

dt dy dt dx ==，故2

2

9411cos y

x ++=α，

2

2

9412cos y

x x ++=

β，2

2

9413cos y

x y ++=

γ.

(cos cos cos )Pdx Qdy Rdz P Q R dS αβγΓ

Γ

++=++⎰

⎰

＝ dS y

x yR xQ P ⎰Γ

++++2

2

94132.

(三) 格林公式及应用

1．计算⎰-L ydy x dx xy 22，其中L 为圆周222a y x =+，取逆时针方向.