2020年12月23日四川省内江市高中2021届第一次模拟考试题文科数学试题参考答案内江一模
四川省内江市2021届新高考第一次模拟数学试题含解析
四川省内江市2021届新高考第一次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．相传黄帝时代，在制定乐律时，用“三分损益”的方法得到不同的竹管，吹出不同的音调．如图的程序是与“三分损益”结合的计算过程，若输入的x的值为1，输出的x的值为（）A．6481B．3227C．89D．1627【答案】B【解析】【分析】根据循环语句，输入1x=，执行循环语句即可计算出结果. 【详解】输入1x=，由题意执行循环结构程序框图，可得：第1次循环：23x=，24i=<，不满足判断条件；第2次循环：89x=，34i=<，不满足判断条件；第4次循环：3227x=，44i=≥，满足判断条件；输出结果3227x=.故选：B【点睛】本题考查了循环语句的程序框图，求输出的结果，解答此类题目时结合循环的条件进行计算，需要注意跳出循环的判定语句，本题较为基础.2．为计算23991223242...100(2)S =-⨯+⨯-⨯++⨯-， 设计了如图所示的程序框图，则空白框中应填入（ ）A ．100i <B ．100i >C ．100i ≤D ．100i ≥【答案】A 【解析】 【分析】根据程序框图输出的S 的值即可得到空白框中应填入的内容． 【详解】由程序框图的运行，可得：S ＝0，i ＝0满足判断框内的条件，执行循环体，a ＝1，S ＝1，i ＝1满足判断框内的条件，执行循环体，a ＝2×（﹣2），S ＝1+2×（﹣2），i ＝2满足判断框内的条件，执行循环体，a ＝3×（﹣2）2，S ＝1+2×（﹣2）+3×（﹣2）2，i ＝3 …观察规律可知：满足判断框内的条件，执行循环体，a ＝99×（﹣2）99，S ＝1+2×（﹣2）+3×（﹣2）2+…+1×（﹣2）99，i ＝1，此时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出S 的值，所以判断框中的条件应是i ＜1． 故选：A ． 【点睛】本题考查了当型循环结构，当型循环是先判断后执行，满足条件执行循环，不满足条件时算法结束，属于基础题． 3．在101()2x x-的展开式中，4x 的系数为( ) A ．-120 B ．120C ．-15D ．15【答案】C 【解析】【分析】 写出101()2x x -展开式的通项公式1021101()2r r r r T C x -+=-，令1024r -=，即3r =，则可求系数． 【详解】101()2x x -的展开式的通项公式为101021101011()()22r r r r r r r T C x C x x --+=-=-，令1024r -=，即3r =时，系数为33101()152C -=-．故选C【点睛】本题考查二项式展开的通项公式，属基础题． 4．若i 为虚数单位，则复数112iz i+=+在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算，化简得到3155z i =-，再结合复数的表示，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，根据复数的运算，可得()()()()1121331121212555i i i i z i i i i +-+-====-++-， 所对应的点为31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭位于第四象限. 故选D. 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何意义，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简复数为代数形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5．对于函数()f x ，定义满足()00f x x =的实数0x 为()f x 的不动点，设()log a f x x =，其中0a >且1a ≠，若()f x 有且仅有一个不动点，则a 的取值范围是（ ）A ．01a <<或a =B ．1a <<C ．01a <<或1e a e = D ．01a <<【答案】C 【解析】 【分析】根据不动点的定义，利用换底公式分离参数可得ln ln xa x =；构造函数()ln x g x x=，并讨论()g x 的单调性与最值，画出函数图象，即可确定a 的取值范围. 【详解】由log a x x =得，ln ln xa x=. 令()ln xg x x =， 则()21ln xg x x -'=， 令()0g x '=，解得x e =，所以当()0,x e ∈时，()0g x '>，则()g x 在()0,e 内单调递增； 当(),x e ∈+∞时，()0g x '<，则()g x 在(),e +∞内单调递减； 所以()g x 在x e =处取得极大值，即最大值为()ln 1e g e e e==， 则()ln xg x x=的图象如下图所示：由()f x 有且仅有一个不动点，可得得ln 0a <或1ln a e=， 解得01a <<或1e a e =. 故选：C 【点睛】本题考查了函数新定义的应用，由导数确定函数的单调性与最值，分离参数法与构造函数方法的应用，属于中档题.6．已知函数()1xf x xe-=，若对于任意的0(0,]x e ∈，函数()20()ln 1g x x x ax f x =-+-+在(0,]e 内都有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(1,]e B ．2(,]e e e-C ．22(,]e e e e-+ D ．2(1,]e e-【答案】D 【解析】 【分析】将原题等价转化为方程()20ln 1x x ax f x -++=在(0,]e 内都有两个不同的根，先求导()'f x ，可判断()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 是增函数；当()1,x e ∈时，()0f x '<，()f x 是减函数.因此()01f x <≤，再令2()ln 1F x x x ax =-++，求导得221()x ax F x x'--=-，结合韦达定理可知，要满足题意，只能是存在零点1x ，使得()0F x '=在()0,e 有解，通过导数可判断当()10,x x ∈时()0F x '>，()F x 在()10,x 上是增函数；当()1,x x e ∈时()0F x '<，()F x 在()1,x e 上是减函数；则应满足()()1max 1F x F x =>，再结合211210x ax --=，构造函数()2ln 1m x x x =+-，求导即可求解；【详解】函数()20()ln 1g x x x ax f x =-+-+在(0,]e 内都有两个不同的零点，等价于方程()20ln 1x x ax f x -++=在(0,]e 内都有两个不同的根.111()(1)x x x f x e xe x e '---=-=-，所以当()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 是增函数；当()1,x e ∈时，()0f x '<，()f x 是减函数.因此()01f x <≤.设2()ln 1F x x x ax =-++，2121()2x ax F x x a x x'--=-+=-，若()0F x '=在()0,e 无解，则()F x 在(0,]e 上是单调函数，不合题意；所以()0F x '=在()0,e 有解，且易知只能有一个解.设其解为1x ，当()10,x x ∈时()0F x '>，()F x 在()10,x 上是增函数； 当()1,x x e ∈时()0F x '<，()F x 在()1,x e 上是减函数.因为0(0,]x e ∀∈，方程()20ln 1x x ax f x -++=在(0,]e 内有两个不同的根，所以()()1max 1F x F x =>，且()0F e ≤.由()0F e ≤，即2ln 10e e ae -++≤，解得2a e e≤-. 由()()1max 1F x F x =>，即2111ln 11x x ax -++>，所以2111ln 0x x ax -+>.因为211210x ax --=，所以1112a x x =-，代入2111ln 0x x ax -+>，得211ln 10x x +->. 设()2ln 1m x x x =+-，()120m x x x'=+>，所以()m x 在()0,e 上是增函数， 而()1ln1110m =+-=，由211ln 10x x +->可得()()11m x m >，得11x e <<.由1112a xx =-在()1,e 上是增函数，得112a e e<<-. 综上所述21a e e<≤-， 故选：D. 【点睛】本题考查由函数零点个数求解参数取值范围问题，构造函数法，导数法研究函数增减性与最值关系，转化与化归能力，属于难题7．一个空间几何体的正视图是长为4，宽为3的长方形，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A 43B ．3C 23D ．23【答案】B 【解析】 【分析】由三视图确定原几何体是正三棱柱，由此可求得体积． 【详解】由题意原几何体是正三棱柱，1234432V =⨯=． 故选：B ． 【点睛】本题考查三视图，考查棱柱的体积．解题关键是由三视图不愿出原几何体．8．已知函数()21x f x x-＝，则不等式121()()x x f e f e ﹣﹣＞的解集是（ ）A ．2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(,0)-∞D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】由导数确定函数的单调性，利用函数单调性解不等式即可. 【详解】函数211()x f x x x x -==-，可得21()1f x x '=+， 0()x ∈+∞，时，()0f x '＞，()f x 单调递增，∵12100x x e e -->>，， 故不等式121(())xx f ef e >﹣﹣的解集等价于不等式121x x e e >﹣﹣的解集． 121x x ->-．∴23x <． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了利用导数判定函数的单调性，根据单调性解不等式，属于中档题. 9．已知33a b ==，且(2)(4)a b a b -⊥+，则2a b -在a 方向上的投影为（ ） A ．73B ．14C ．203D ．7【答案】C 【解析】 【分析】由向量垂直的向量表示求出a b ⋅，再由投影的定义计算． 【详解】由(2)(4)a b a b -⊥+可得22(2)(4)2740a b a b a a b b -⋅+=+⋅-=，因为||3||3a b ==，所以2a b ⋅=-．故2a b -在a 方向上的投影为2(2)218220||||33a b a a a b a a -⋅-⋅+===．故选：C ． 【点睛】本题考查向量的数量积与投影．掌握向量垂直与数量积的关系是解题关键． 10．关于函数11()4sin 4cos 2323f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，有下述三个结论：①函数()f x 的一个周期为2π； ②函数()f x 在423,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；③函数()f x 的值域为.其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①② B ．②C ．②③D ．③【答案】C 【解析】 【分析】①用周期函数的定义验证.②当3,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，1717,231224x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1()212π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f x x ，再利用单调性判断.③根据平移变换，函数11()4sin 4cos 2323f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域等价于函数11()4sin 4cos 22g x x x =+的值域，而()()g x g x π+=，当[0,]x π∈时，1()23π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭g x x 再求值域. 【详解】 因为1717114sin 4cos 4cos 4sin ()2212212212212f x x x x x f x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=+++≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故①错误；当3,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，1717,231224x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以111()4sin 4cos 2323212f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，111,212324πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦x 所以()f x 在423,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故②正确； 函数11()4sin 4cos 2323f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域等价于函数11()4sin 4cos 22g x x x =+的值域，易知()()g x g x π+=，故当[0,]x π∈时，1()23g x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，故③正确.故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的性质，还考查推理论证能力以及分类讨论思想，属于中档题.11．甲、乙、丙、丁四人通过抓阄的方式选出一人周末值班（抓到“值”字的人值班）.抓完阄后，甲说：“我没抓到.”乙说：“丙抓到了.”丙说：“丁抓到了”丁说：“我没抓到."已知他们四人中只有一人说了真话，根据他们的说法，可以断定值班的人是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】A 【解析】 【分析】可采用假设法进行讨论推理，即可得到结论. 【详解】由题意，假设甲：我没有抓到是真的，乙：丙抓到了，则丙：丁抓到了是假的， 丁：我没有抓到就是真的，与他们四人中只有一个人抓到是矛盾的； 假设甲：我没有抓到是假的，那么丁：我没有抓到就是真的， 乙：丙抓到了，丙：丁抓到了是假的，成立， 所以可以断定值班人是甲. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了合情推理及其应用，其中解答中合理采用假设法进行讨论推理是解答的关键，着重考查了推理与分析判断能力，属于基础题.12．设双曲线22221x y a b-=（a>0,b>0）的右焦点为F ，右顶点为A,过F 作AF 的垂线与双曲线交于B,C 两点，过B,C 分别作AC ，AB 的垂线交于点D ．若D 到直线BC 的距离小于22a a b ++，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是 （ ） A ．(1,0)(0,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(2,0)(0,2)-D ．(,2)(2,)-∞-+∞【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】 由题意,根据双曲线的对称性知D 在x 轴上，设,0)Dx （，则由BD AB ⊥得：，因为D 到直线BC 的距离小于22a a b ++，所以，即01b a<<，所以双曲线渐近线斜率1,0)(0,1)bk a =±∈-⋃（，故选A ． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年12月23日四川省内江市高中2021届第一次模拟考试题文科数学试题内江一模
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内江一模 高三一模考试数学（文科）试卷第 ２ 页（共４ 页）
１４． 已知数列｛ａｎ｝是等差数列，Ｓｎ 是其前ｎ 项和． 若ａ１ ＋ ａ２ ＝ ， － ５ Ｓ５ ＝ ，则 １０ ａ９ 的值是
１５．
在 ． △ＡＢＣ
中，角Ａ、Ｂ、Ｃ
的对边分别为ａ、ｂ、ｃ，且ｂ ＋
２ｃ
＝
， ２ａｃｏｓＢ ａ
答，字体工整，笔迹清楚；不能答在试题卷上。
３． 考试结束后，监考人将答题卡收回。
第Ⅰ卷（选择题，共６０ 分）
一、选择题（本大题共１２ 小题，每小题５ 分，共６０ 分． 在每个小题所给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置． ）
设集合 ｛ （ ）｝， ｛ ｝，则 １．
内江市高中 ２０２１ 届第一次模拟考试题
数 学（文科）
１． 本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共４ 页。全卷满分１５０ 分，
考试时间１２０ 分钟。
２． 答第Ⅰ卷时，用２Ｂ 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其它答案标号；答第Ⅱ卷时，用０． ５ 毫米的黑色签字笔在答题卡规定的区域内作
Ｂ． Ｄ．
ｆｆ（（ｃｂ））＜＜
ｆｆ（（ａａ））＜＜
ｆｆ（（ｂｃ））
＝
， ｌｎ２ ｃ
＝
－
，则 ２０． １
已知函数（） ，则（ ） （ ） … （ ） （ ） １１．
ｆｘ
＝
２ ２０２０ ｘ
＋
１
＋
ｓｉｎｘ
ｆ ｌｎ２ ＋ ｆ ｌｎ３ ＋
＋ ｆ ｌｎ２０２０
＋ｆ
ｌｎ
１ ２
＋
（ ） … （ ） ｆ
2020年四川省第一次高考模拟考试文科数学试题与答案
2020年四川省第一次高考模拟考试文科数学试题与答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
|﹣1＜x＜5}，集合A＝{1，3}，则集合∁U A的子集的个数是（）1. 设全集U＝{x NA. 16B. 8C. 7D. 42. 下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A. i（1+i）2B. i2（1﹣i）C. （1+i）2D. i（1+i）3. 为比较甲、以两名篮球运动员的近期竞技状态,选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图,有以下结论：①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定。
其中所有正确结论的编号为（）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④4. 已知直线，直线为，若则( )A．或 B．C ．D ．或5. 已知,条件甲：；条件乙：,则甲是乙的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 轴截面为正方形的圆柱的外接球的体积与该圆柱的体积的比值为（ ） A ． B ．C ．D ．7. 在中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，，则角B=（ ）A.B. C.D.8. 执行如图所示的程序框图，输出的S=（ ）A. 25B. 9C. 17D. 209. 设直线1:210l x y -+=与直线A 的交点为A ；,P Q 分别为12,l l 上任意两点，点M 为,P Q 的中点，若12AM PQ =，则m 的值为（ ） A. 2B. 2-C. 3D. 3-10.在V ABC 中，sin B A =，BC =4C π=，则=AB （ ）B. 5C. D.11. 已知函数，若，且函数存在最小值，则实数的取值范围为（ ） A.B.C. D. 12.已知三棱锥的底面的顶点都在球的表面上，且，，，且三棱锥的体积为，则球的体积为（ ） A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年12月23日四川省内江市高中2021届第一次模拟考试题数学试题及答案内江一模
答，字体工整，笔迹清楚；不能答在试题卷上。
３． 考试结束后，监考人将答题卡收回。８
第Ⅰ卷（选择题，共６０ 分）
一、选择题（本大题共１２ 小题，每小题５ 分，共６０ 分． 在每个小题所给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置． ）
设集合 ｛ （ ）｝， ｛ ｝，则 １．
二、填空题（本大题共４ 小题，每小题５ 分，满分２０ 分． ）
{ 已知实数， 满足约束条件 １３．
ｘｙ
３ｘ － ｙ － ３ ≤ ０ ｘ － ２ｙ ＋ ４ ≥ ０
，则ｚ ＝ ２ｘ － ｙ 的最大值是
３ｘ ＋ ４ｙ ＋ １２ ≥ ０
．
１４． 已知数列｛ａｎ｝是等差数列，Ｓｎ 是其前ｎ 项和． 若ａ１ ＋ ａ２２ ＝ ， － ３ Ｓ５ ＝ ，则 １０ ａ９ 的值是
５．
若向量Ａ→Ｂ
＝
（１ ２
，槡２３），Ｂ→Ｃ
＝
（槡３，１），则△ＡＢＣ
的面积为
Ａ． １ ２
槡 Ｂ． ３
Ｃ． １
２
槡 Ｄ． ３
内江一模 高三一模考试数学（理科）试卷第 １ 页（共４ 页）
６． 已知（１ ＋ ）ｘ ｎ 的展开式中第４ 项与第８ 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为ຫໍສະໝຸດ Ａ． ２１２＋π ６
），现将ｙ ＝
ｆ（ｘ）的图象向左平移１π２
个单位，再将所得图
象上各点的横坐标缩短为原来的１ ２
倍，纵坐标不变，得到函数ｙ
＝
ｇ（ｘ）的图象，则ｇ（ｘ）在
［０，５２π４ ］的值域为 ［ ，］ Ａ． － １ ２
Ｂ． ［０，１］
［ ］ Ｃ． ０． ２
［ ］ Ｄ． － １． ０
四川省内江市2021届新高考第一次适应性考试数学试题含解析
四川省内江市2021届新高考第一次适应性考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若函数()2x f x e mx =-有且只有4个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．2,4e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．2,4e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．2,4e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【答案】B【解析】【分析】 由()2x f x e mx =-是偶函数，则只需()2x f x e mx =-在()0,x ∈+∞上有且只有两个零点即可. 【详解】解：显然()2x f x e mx =-是偶函数 所以只需()0,x ∈+∞时，()22x x f e x e mx mx ==--有且只有2个零点即可 令20x e mx -=，则2xe m x = 令()2xe g x x =，()()32x e x g x x-'= ()()()0,2,0,x g x g x '∈<递减，且()0,x g x +→→+∞()()()2,+,0,x g x g x '∈∞>递增，且(),x g x →+∞→+∞()()224e g x g ≥= ()0,x ∈+∞时，()22x xf e x e mx mx ==--有且只有2个零点， 只需24e m > 故选：B【点睛】考查函数性质的应用以及根据零点个数确定参数的取值范围，基础题.2．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为（ ）A ．8B ．83C ．822+D ．842+【答案】D【解析】【分析】 根据三视图还原几何体为四棱锥，即可求出几何体的表面积．【详解】由三视图知几何体是四棱锥，如图，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，四棱锥的底面是正方形,边长为2,棱锥的高为2，所以1122222222284222S =⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+， 故选：D【点睛】本题主要考查了由三视图还原几何体，棱锥表面积的计算，考查了学生的运算能力，属于中档题. 3．已知1F ，2F 是双曲线222:1x C y a -=()0a >的两个焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与C 相交于A ，B 两点，若2AB =△2ABF 的内切圆的半径为（ ） A ．23 B ．3C ．23 D ．33【答案】B【解析】【分析】设左焦点1F 的坐标， 由AB 的弦长可得a 的值，进而可得双曲线的方程，及左右焦点的坐标，进而求出三角形ABF 2的面积，再由三角形被内切圆的圆心分割3个三角形的面积之和可得内切圆的半径.【详解】由双曲线的方程可设左焦点1(,0)F c -，由题意可得22b AB a==，由1b =，可得a =所以双曲线的方程为: 2212x y -=所以12(F F ，所以2121122ABF S AB F F =⋅⋅==V 三角形ABF 2的周长为()()22112242C AB AF BF AB a AF a BF a AB =++=++++=+==设内切圆的半径为r ，所以三角形的面积1122S C r r =⋅⋅=⋅=，所以=解得r =故选：B【点睛】 本题考查求双曲线的方程和双曲线的性质及三角形的面积的求法，内切圆的半径与三角形长周长的一半之积等于三角形的面积可得半径的应用，属于中档题.4．在三棱锥D ABC -中，1AB BC CD DA ====，且,,,AB BC CD DA M N ⊥⊥分别是棱BC ，CD 的中点，下面四个结论：①AC BD ⊥；②//MN 平面ABD ；③三棱锥A CMN -； ④AD 与BC 一定不垂直.其中所有正确命题的序号是（ ）A ．①②③B ．②③④C ．①④D ．①②④ 【答案】D【解析】【分析】①通过证明AC ⊥平面OBD ，证得AC BD ⊥；②通过证明//MN BD ，证得//MN 平面ABD ；③求得三棱锥A CMN -体积的最大值，由此判断③的正确性；④利用反证法证得AD 与BC 一定不垂直.【详解】设AC 的中点为O ，连接,OB OD ，则AC OB ⊥，AC OD ⊥，又OB OD O =I ，所以AC ⊥平面OBD ，所以AC BD ⊥，故①正确；因为//MN BD ，所以//MN 平面ABD ，故②正确；当平面DAC 与平面ABC 垂直时，A CMN V -最大，最大值为112234448A CMN N ACM V V --=⨯⨯==，故③错误；若AD 与BC 垂直，又因为AB BC ⊥，所以BC ⊥平面ABD ，所以BC BD ⊥，又BD AC ⊥，所以BD ⊥平面ABC ，所以BD OB ⊥，因为OB OD =，所以显然BD 与OB 不可能垂直，故④正确.故选：D【点睛】本小题主要考查空间线线垂直、线面平行、几何体体积有关命题真假性的判断，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.5．若实数x 、y 满足21y x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值是（ ）A ．6B ．5C ．2D ．32【答案】D【解析】【分析】根据约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案【详解】作出不等式组21y x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩所表示的可行域如下图所示：联立1y x x y =⎧⎨+=⎩，得12x y ==，可得点11,22A ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由2z x y =+得12y x z =-+，平移直线12y x z =-+， 当该直线经过可行域的顶点A 时，该直线在y 轴上的截距最小， 此时z 取最小值，即min 1132222z =+⨯=. 故选：D.【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．6．在空间直角坐标系O xyz -中，四面体OABC 各顶点坐标分别为：22(0,0,0),(0,0,2),3,0,0,3,033O A B C ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎭⎝⎭．假设蚂蚁窝在O 点，一只蚂蚁从O 点出发，需要在AB ，AC 上分别任意选择一点留下信息，然后再返回O 点．那么完成这个工作所需要走的最短路径长度是（ ）A ．2B ．1121-C 521+D ．23【答案】C【解析】【分析】将四面体OABC 沿着OA 劈开，展开后最短路径就是AOO '△的边OO '，在AOO '△中，利用余弦定理即可求解.【详解】将四面体OABC 沿着OA 劈开，展开后如下图所示：最短路径就是AOO '△的边OO '．易求得30OAB O AC '∠=∠=︒，由2AO =，233OB =433AB = 433AC =，22263BC OB OC =+=222cos 2AB AC BC BAC AB AC+-⇒∠=⋅ 161683333444233+-== 由余弦定理知2222cos OO AO AO AO AO OAO ''''=+-⋅⋅∠其中2AO AO '==，()321cos cos 608OAO BAC -'∠=︒+∠=∴2521,521OO OO ''=⇒=+故选：C【点睛】本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理的内容，考查了学生的空间想象能力，属于中档题. 7．1x <是12x x+<-的（ ）条件 A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要 【答案】B【解析】【分析】利用充分条件、必要条件与集合包含关系之间的等价关系，即可得出。
四川省内江市高三数学第一次模拟考试试题文
1高三数学第一次模拟考试试题文本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共4页. 全卷满分150分．考试时间120分钟．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．考试结束后，将答题卡交回．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.已知集合}0|{??xxA，}11|{????xxB，则?BA?A.),0(??B. ),1(???C. )1,0(D. )1,1(?2.设i为虚数单位，Ra?，若)1)(1(aii??是纯虚数，则?aA.2B.2?C. 1D. 1?3.??0000140sin20cos40cos20sinA.23?B.23C. 21?D. 214.下列说法中正确的是A. 先把高三年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为m，然后抽取编号为?150,100,50???mmm的学生，这样的抽样方法是分层抽样法B. 线性回归直线axby?????不一定过样本中心点),(yxC. 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1D.若一组数据1、a、3的平均数是2，则该组数据的方差是325.执行如图所示的程序框图，若输入的a为2，则输出的a值是A. 2B. 1C.21D.1?6.已知数列}{n a满足)(2*1Nnaa nn???，231??aa，则??75aaA.8B. 16C. 32D. 647.已知实数yx,满足??????????????06302023yxxyyx，则xyz2??的最小值是A. 5B.2?C.3?D.5?8. 从集合}4,3,2{中随机抽取两数yx,，则满足21log?y x的概率是2C. oy-22xB. oy-22x A.oy-22x D.o y-22x A.32 B.21C. 31D.619.函数x xx f2)(2??的图象大致是10.已知函数xxxxf cos sin3sin)(2??，则A.)(xf的最小正周期为?2B.)(xf的最大值为2C.)(xf 在)65,3(??上单调递减D.)(xf的图象关于直线6??x对称11.设0?a，当0?x时，不等式22232ln)1(21aaxaxax?????恒成立，则a的取值范围是A.),1()1,0(??B.),0(??C.),1(??D.)1,0(12.设*Nn?，函数x xexf?)(1，)()(12xfxf??，)()(23xfxf??，…，)()(1xfxf nn???，曲线)(xfy n?的最低点为n P，则A.存在*Nn?，使21???nnn PPP为等腰三角形B. 存在*Nn?，使21???nnn PPP为锐角三角形C. 存在*Nn?，使21???nnn PPP为直角三角形D. 对任意*Nn?，21???nnn PPP为钝角三角形第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知正方形ABCD的边长为2，则???)(ADACAB .14.甲、乙、丙三位同学中有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时，甲说：丙没有申请；乙说：甲申请了；丙说：甲说对了.如果这三位同学中只有一人说的是假话，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是 . 15.设函数?????????0),(20),1()(xxfxxxxf，则满足2)(?xf的x的取值范围是 .16.已知n S是等差数列}{n a的前n项和，3813,1aaa??，则3???????11434323212nnn SSaSSaSSaSSa .三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小题满分12分）设n S是数列}{n a的前n项和.已知11?a，122???nn aS. （Ⅰ）求数列}{n a的通项公式；（Ⅱ）设nnn ab)1(??，求数列}{n b的前n项和.18.（本小题满分12分）ABC?的内角CBA,,的对边分别为cba,,，已知0sincos??BcCb.（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若10,5??ba，BC的中垂线交AB于点D，求BD的长.19.（本小题满分12分）某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在)120,100[内，则为合格品，否则为不合.图1：乙套设备的样本的频率分布直方图（Ⅰ）将频率视为概率. 若乙套设备生产了5000件产品，则其中的不合格品约有多少件；（Ⅱ）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；甲套设备乙套设备合计合格品不合格品合计（Ⅲ）根据表1和图1，对两套设备的优劣进行比较.4P(K2≥k0)0.15 0.10 0.050 0.025 0.010 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635))()()(()(22dbcadcbabcadnK??????.20.（本小题满分12分）已知函数),(cossin)(Rbaxbxaxf???，曲线)(xfy?在点))3(,3(??f处的切线方程为：3???xy. （Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求函数xxfxg)3()(???在]2,0(?上的最小值. 21.（本小题满分12分）已知函数)(1)(Raaxexf x????. （Ⅰ）讨论)(xf的单调性；（Ⅱ）设1?a，是否存在正实数x，使得0)(?x f？若存在，请求出一个符合条件的x，若不存在，请说明理由.请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．（本题满分10分）[选修4-4：极坐标与参数方程]在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为??????????tytx212332（t为参数），曲线C的参数方程为??????????sin3cos33yx（?为参数）. 以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求直线l和曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线l上一点M的极坐标为),2(?，其中)2,0(???. 射线OM与曲线C交于不同于极点的点N，求MN的值.23．（本题满分10分）[选修4-5：不等式选讲] 已知函数213)(????xxxf的最小值为m. （Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）设实数ba,满足mba??222，证明：52??ba.数学（文史类）参考答案及评分意见5一．选择题（每小题5分，共12题，共60分）1.B2. C3. B4.D5. A6. C7. D8. D9. B 10. C 11.A 12.D 二．填空题（每小题5分，共4小题，共20分）13.4 14. 乙 15. ),2()0,1(???16. 2)1(11??n三．解答题（共6小题，共70分）17.解：（Ⅰ）∵122???nn aS，11?a∴当1?n时，2122aS??，得212121112?????aSa..........................2分当2?n时，nn aS221???∴当2?n时，122???nnn aaa，即nn aa211?? (5)分又1221aa?∴}{n a是以11?a为首项，21为公比的等比数列..................................6分∴数列}{n a的通项公式121??nn a..............................................7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，12)1(???nnn b∴当2?n时，211???nn bb∴}{n b是以11??b为首项，21?为公比的等比数列..............................10分∴数列}{n b的前n项和为322132211])21(1[??????????????nn........................12分18.解：（Ⅰ）∵0sincos??BcCb∴由正弦定理知，0sinsincossin??BCCB (2)分∵???B0∴0sin?B，于是0sincos??CC，即1tan??C..............................4分∵???C0∴43??C (6)分（Ⅱ）由（Ⅰ）和余弦定理知，????25)22(5102105cos222222???????????C ab bac6∴5?c (8)分∴552552102552cos222?????????ac bcaB........................................ 10分设BC的中垂线交BC于点E∵在BCDRt?中，BDBEB?cos∴455522cos???aBBEBD又BDCD?∴45?CD (12)分19.解：（Ⅰ）由图1知，乙套设备生产的不合格品率约为507......................2分∴乙套设备生产的5000件产品中不合格品约为7005075000??（件）..............3分（Ⅱ）由表1和图1得到列联表甲套设备乙套设备合计合格品 48 43 91 不合格品 2 7 9 合计 5050100 ........................................................................... 5分将列联表中的数据代入公式计算得05.39915050)432748(100))()()(()(222???????????????dbcadcbabcadn K................8分∵706.205.3?∴有90%的把握认为产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关 (9)分（Ⅲ）由表1和图1知，甲套设备生产的合格品的概率约为5048，乙套设备生产的合格品的概率约为5043，甲套设备生产的产品的质量指标值主要集中在[105,115）之间，乙套设备生产的产品的质量指标值与甲套设备相比较为分散.因此，可以认为甲套设备生产的合格品的概率更高，且质量指标值更稳定，从而甲套设备优于乙套设备.....................12分20.解：（Ⅰ）由切线方程知，当3??x时，0?y7∴02123)3(???baf? (1)分∵xbxaxfsincos)(??? (3)分∴由切线方程知，12321)3(????baf? (4)分∴23,21???ba..........................................................5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，)3sin(cos23sin21)(?????xxxxf (6)分∴函数)20(sin)(????xxxxg2sincos)(xxxxxg???............................. ..........................8分设)20(sincos)(?????xxxxxu则0sin)(????xxxu，故)(xu在]2,0(?上单调递减∴0)0()(??uxu∴)(xg在]2,0(?上单调递减.................................................11分∴函数)(xg在]2,0(?上的最小值为??2)2(?g..................................12分21.解：（Ⅰ）)(xf的定义域为R，aexf x???)( (1)分当0?a时，0)(??xf，故)(xf在R上单调递增 (2)分当0?a时，令0)(??xf，得axln?当axln?时，0)(??xf，故)(xf单调递减当axln?时，0)(??xf，故)(xf单调递增 (5)分综上所述，当0?a时，)(xf在R上单调递增；当0?a时，)(xf在)ln,(a??上单调递减，在),(ln??a上单调递增 (6)分（Ⅱ）存在正数axln2?，使得0)(?xf (8)分8即01ln2)ln2(2????aaaaf，其中1?a. 证明如下：设)1(1ln2)(2????xxxxxg，则2ln22)(????xxxg设)1(1ln)(????xxxxu，则011)(????xxu，故)(xu在),1(??上单调递增∴0)1()(??uxu，故0)(22ln22)(??????xuxxxg∴)(xg在),1(??上单调递增，故0)1()(??gxg∴当1?a时，01ln22???aaa∴01ln2)ln2(2????aaaaf (12)分22.解：（Ⅰ）直线l的普通方程为323??yx，极坐标方程为32sin3cos??????曲线C的普通方程为??3322???yx，极坐标方程为??cos32?..............5分（Ⅱ）∵点M在直线l上，且点M的极坐标为),2(?∴32sin32cos2????∵)2,0(???∴6???∴射线OM的极坐标方程为6???联立???????????cos326，解得3??∴1???MN MN??.....................................................10分23.解：（Ⅰ）∵??????????????????31,34231,122,34)(xxxxxxxf∴)(xf在),31[??上单调递增，在)31,(??上单调递减9∴)(xf的最小值为35)31(?f.................................................5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，35222??ba∵222baab??∴??5)2(3)(24442222222222???????????bababaabbaba，当ba?时取等∴52??ba.............................................................10分。
2024届四川省内江市高三上学期一模文数试题及答案
内江市高中2024届第一次模拟考试题数 学（文科）1．本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页．全卷满分150分；考试时间120分钟．2．答第Ⅰ卷时，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；答第Ⅱ卷时，用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡规定的区域内作答，字体工整，笔迹清楚；不能答在试题卷上．3．考试结束后，监考员将答题卡收回．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置．）1．复数43i 2i z -=+（其中i 为虚数单位）的虚部为（ ）A ．2B ．1C ．1-D ．2-2．设全集{260U x Z x x =∈-<，集合M 满足{1,2}U M =ð，则（ ）A ．2M ∈B ．3M ∈C ．4M ∉D ．5M∉3．如图是一个电子元件在处理数据时的流程图：则下列正确的是（）A ．(3)1f -=B ．(1)3f =C ．若()16f x =，则2x =D ．若()16f x =，则2x =或4．若不等式组5002x y y a x -+≥⎧⎪≥⎨⎪≤≤⎩表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（ ）A ．5a <B ．7a ≥C ．57a ≤<D ．5a <或7a ≥5．函数()y f x =在点(1,(1))f 处的切线如图所示，则(1)(1)f f '+=（）A ．0B ．12C ．32D ．12-6．设x R ∈，向量(,1)a x = ，(1,2)b =- ，且a b ⊥ ，则cos ,a b b += （ ）A B C D 7．在ABC △中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若2cos22A b c c+=，则ABC △的形状为（ ）A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形8．已知(0,)απ∈，且3cos 28cos 5αα-=，则sin α=（ ）A B ．23C ．13D 9．随着生活水平的提高，私家车已成为许多人的代步工具．某驾照培训机构仿照北京奥运会会徽设计了科目三路考的行驶路线，即从A 点出发沿曲线段B →曲线段C →曲线段D ，最后到达E 点．某观察者站在点M 处观察练车场上匀速行驶的小车P 的运动情况，设观察者从点A 开始随车子运动变化的视角为θ，即(0)AMP θθ=∠>，练车时间为ι，则函数()f θι=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．10．在关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=中，若a 是从区间[0,3]任取的一个数，b 是从区间[0,2]任取的一个数，则上述方程有实根的概率为（）A ．13B ．23C ．14D ．3411．已知定义域为R 的函数()f x 在[1,)+∞上单调递增，且(1)f x +为偶函数，若(3)1f =，则不等式(21)1f x +<的解集为（ ）A ．(1,1)-B ．(1,)-+∞C ．(,1)-∞D ．(,1)(1,)-∞-+∞ 12．已知函数2()(2)(1)x f x x e a x =-+-有两个零点，则a 的最小整数值为（）A ．3B ．2C ．1D ．0第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．数列{}n a 中，12a =，m n m n a a a +=，若11024k a +=，则k =__________．14．设函数()f x =M ，最小值为m ，则M m +=__________．15．某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试．现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值为__________千米．16．设函数()sin (0)5f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，已知()f x 在[0,2]π有且仅有5个零点，下述三个结论：①()f x 在(0,2)π有且仅有3个极大值点；②()f x 在(0,2)π有且仅有2个极小值点；③ω的取值范围是1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭．其中所有正确结论的编号是__________．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分．17．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，23a =，5330S a +=．（1）求n a 及n S ；（2）若11n n n n a b S S ++=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（本小题满分12分）某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备加大研发资金投入，为了解年研发资金投入额x （单位：亿元）对年盈利额y （单位：亿元）的影响，通过对“十二五”和“十三五”规划发展10年期间年研发资金投入额i x 和年盈利额(1,2,,10)i y i = 数据进行分析，建立了两个函数模型：2y x αβ=+；x t y e λ+=，其中α、β、λ、t 均为常数，e 为自然对数的底数，令2i i u x =，ln (1,2,,10)i i v y i == ，经计算得如下数据：（1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合度更好？（2）根据（1）的选择及表中数据，建立y 关于x 的回归方程．（系数精确到0.01）附：相关系数nx x y y r --=回归直线ˆˆˆy bx a =+中：()()()121ˆni ii n i i x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-．19．（本小题满分12分）已知函数21()ln 2f x ax x =-．（1）当1a =时，求()f x 的极值；（2）若不等式()f x x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．20．（本小题满分12分）ABC △的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，6a =，sinsin 2B C b a B +=．（1）求角A 的大小；（2）M 为ABC △的重心，AM 的延长线交BC 于点D ，且AM =，求ABC △的面积．21．（本小题满分12分）已知函数21()sin cos 2f x x x x ax =⋅++，[0,]x π∈．（1）当0a =时，求()f x （2）当0a >时，求函数()f x 的零点个数．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分．如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）在直角坐标xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OP OM ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为2,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭，点B 在曲线2C 上，求OAB △面积的最大值．23．（本小题满分10分）已知3a b c ++=，且a ，b ，c 都是正数．（1）求证：11132a b b c a c ++≥+++；（2）是否存在实数m ，使得关于x 的不等式22222x mx a b c -++≤++对所有满足题设条件的正实数a ，b ，c 恒成立？如果存在，求出m 的取值范围；如果不存在，请说明理由．。
四川省内江市高中2020届高三数学上学期第一次模拟考试试题文
４
５
２０ ．
１３． ２ １４． １１５６ １５． ９ １６． ②③④
三、解答题（本大题共６ 个小题，共７０ 分． ）
解：（）由已知得 分 １７． １
ｓｉｎ２Ｂ ＋ ｓｉｎ２Ｃ － ｓｉｎ２Ａ ＝ ｓｉｎＢｓｉｎＣ ２
故由正弦定理得ｂ２ ＋ ｃ２ － ａ２ ＝ ｂｃ．
s:y〓 -',贝
P(2,2)可 s引 ,其
A。 1
B。 2
C。 3
D。 0
第 Ⅱ 卷 H卜 选 择 题 ,共 90分 )
二、填空题(本大题共4小 题,每小题5分 ,满分⒛分。) 13.函 数 y〓 lo勘 (盯 工1)的 零点为
⒕ 设函数丑θ =忮2《 L万 J1测 只方芳 )的值为
1s。 已知各项均为正数的等 比数列 {@乃 }’ %@2@3=3,G90:G9 〓27,贝 刂@4%o6=∷____ˉˉ·
ｎ ∈ Ｎ
Ｓｎ
＜
ｍ －４ ３
∴
ｍ
－ ３
４
≥
２
ｍ ≥ １０．
故满足条件的 的范围为［ ， ） 分 ｍ
１０ ＋ ∞ １２
⒗。已知 函数 只 o〓
{「 遒j∶ ∵
凡
0’
若幻
<跖2(幻
( 气,且 只幻)〓 只饧)=灭 幻)
△③ 〓只%),则 下列结论:① 艿I+饧 〓-1,② 幻‰ =
0<钩 +另2+幻 +多4(÷ ,
④ 0<幻 另2跖3钅4(1,其 中正确的序号为
(把你认为正确 的结论都填上 ),
高三一模考试数学(文科)试卷第 2页 (共 4页 )
ｆ ′ － ２ ＝ ｆ ′ １ ＝ ０ ４
四川省内江市高考数学一诊试卷(文科)解析版
高考数学一诊试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={1，2，m }，B ={3，4}，A ∪B ={1，2，3，4}则m =（ ）A. 0B. 3C. 4D. 3或4 2. 已知复数z =（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知向量、满足||=1，||=4，且•=2，则与夹角为（ ）A. B. C. D.4. 割圆术是估算圆周率的科学方法由三国时期数学家刘徽创立，他用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积，从而得出圆周率为3.1416．在半径为1的圆内任取一点，则该点取自其内接正十二边形的概率为（ ）A. B. C. D.5. 函数f （x ）=x 2-2ln x 的单调减区间是（ ）A. （0，1]B. [1，+∞）C. （-∞，-1]∪（0，1]D. [-1，0）∪（0，1]6. 已知等比数列{a n }是递增数列，a 2=2，S 3=7，则数列{}的前5项和为（ ）A. 31B. 31或C.D. 或7. 函数f （x ）=x 2-2|x |的图象为（ ）A.B.C.D.8. 已知cos （α+）=-（α为锐角），则sinα=（ ）A.B.C.D.9.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n=（）A. 5B. 4C. 3D. 210.将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，则第20行从左向右的第3个数为（）A. 193B. 192C. 174D. 17311.定义在R上的偶函数f（x）满足：对x＞0总有f′（x）＜0，则（）A. f（）＜f（-）＜f（log3）B. f（-）＜f（log3）＜f（）C. f（log3）＜f（-）＜f（）D. f（）＜f（log3）＜f（-）12.已知曲线S：y=3x-x3，则过点P（2，2）可向S引切线，其切线条数为（）A. 1B. 2C. 3D. 0二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数y=log2（x-1）的零点是______．14.设函数f（x）=，则f（）的值为_________15.已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3=3，a7a8a9=27，则a4a5a6=______．16.已知函数f（x）=，若x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），则下列结论：①x1+x2=-1，②x3x4=1，③0＜x1+x2+x3+x4＜，④0＜x1x2x3x4＜1，其中正确的序号为______（把你认为正确的结论都填上）．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，设（sin B-sin C）2=sin2A-sin B sin C．（1）求A；（2）当a=6时，求其面积的最大值，并判断此时△ABC的形状．18.某校为提高课堂教学效果，最近立项了市级课题《高效课堂教学模式及其运用》，其中王老师是该课题的主研人之一，为获得第一手数据，她分别在甲、乙两个平行班采用“传统教学”和“高效课堂”两种不同的教学模式进行教学实验．为了解教改实效，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出如图所示的茎叶图，成绩大于70分为“成绩优良”．（1）由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？（2）从甲、乙两班40个样本中，成绩在60分以下（不含60分）的学生中任意选取2人，求这2人来自不同班级的概率．附：K2=（其中n=a+b+c+d），2.7063.8415.0246.63519.设函数f（x）=x2e x-1+ax3+bx2，已知x=-2和x=1为f（x）的极值点．（1）求a和b的值；（2）讨论f（x）的单调性．20.已知数列{log2（a n-1）}（n∈N*）为等差数列，且a1=3，a3=9．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，S n为数列{b n}的前n项和，若对任意n∈N*，总有S n＜，求m 的取值范围．21.已知函数f（x）=．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）证明：对一切x∈（0，+∞），都有ln x＜成立．22.已知直线l经过点P（1，1），倾斜角．（1）写出直线l的参数方程；（2）设l与圆x2+y2=4相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．23.设函数f（x）=|x+a|+|x-2|．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≤5的解集；（Ⅱ）若f（x）≥4恒成立，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵A={1，2，m}，B={3，4}，A∪B={1，2，3，4}，∴m=3或m=4，故选D．由两集合的并集为{1，2，3，4}，可得出m=3或m=4，即可求出m的值．此题考查了并集及其运算，以及集合间的包含关系，是一道基本题型．2.【答案】A【解析】解：∵z==，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（），位于第一象限．故选：A．利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】C【解析】解：∵向量a、b满足，且，设与的夹角为θ，则cosθ==，∵θ∈【0π】，∴θ=，故选C．本题是对向量数量积的考查，根据两个向量的夹角和模之间的关系，用数量积列出等式，变化出夹角的余弦表示式，代入给出的数值，求出余弦值，注意向量夹角的范围，求出适合的角．两个向量的数量积是一个数量，它的值是两个向量的模与两向量夹角余弦的乘积，夹角、模长、数量积可做到知二求一，数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直4.【答案】B【解析】解：半径为1的圆内接正十二边形，可分割为12个顶角为，腰为1的等腰三角形，∴该正十二边形的面积为S=12××=3，根据几何概型公式，该点取自其内接正十二边求出圆内接正十二边形的面积和圆的面积，再用几何概型公式求出即可．考查几何概型求概率问题，基础题．5.【答案】A【解析】解：f′（x）=2x-=，（x＞0），令f′（x）≤0，解得：0＜x≤1，故选：A．先求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的递减区间．本题考查了函数的单调性，考查导数的应用，是一道基础题．6.【答案】C【解析】解：等比数列{a n}是递增数列，且公比设为q，a2=2，S3=7，可得a1q=2，a1+a1q+a1q2=7，解得a1=1．q=2，或a1=4，q=（舍去），则=，数列{}的前5项和为1++…+==．故选：C．等比数列{a n}是递增数列，且公比设为q，运用等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，再由等比数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：函数f（x）=x2-2|x|满足f（x）=f（-x），所以函数是偶函数，图象关于y轴对称，排除B、D，又当x=0时，y=-1，所以C正确．故选：C．直接利用函数的奇偶性，以及特殊点，即可判断正确选项．本题考查函数的奇偶性，函数的图象经过的特殊点，考查分析判断能力．8.【答案】C【解析】解：∵cos（α+）=-（α为锐角），∴=，则sinα=sin[（）-]=，=，=故选：C．由sinα=sin[（）-]，结合已知及两角差的正弦公式即可求解．【解析】解：当n=1时，a=，b=4，满足进行循环的条件，当n=2时，a=，b=8满足进行循环的条件，当n=3时，a=，b=16满足进行循环的条件，当n=4时，a=，b=32不满足进行循环的条件，故输出的n值为4，故选：B．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．10.【答案】A【解析】解：根据题意，由数表可得：每一行的第一个数字依次为1、2、4、7、……，则第n行的第一个数字为+1，则第20行的第一个数字为191，故第20行从左向右的第3个数为193；故选：A．根据题意，分析可得第n行的第一个数字为+1，进而可得第20行的第一个数字，据此分析可得答案．本题考查归纳推理的应用，关键是分析每一行数字的变化规律，属于基础题．11.【答案】D【解析】解：由题意可知，偶函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，故在（-∞，0）上单调递增，距离对称轴越远，函数值越小，∵f（）=f（3），f（-log2）=f（1），f（log）=f（-2）=f（2），∵f（3）＜f（2）＜f（1），∴f（）＜f（log3）＜f（-log2）．故选：D．根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．12.【答案】C【解析】解：由y=3x-x3，得y′=3-3x2，设切点为（），则，∴在切点处的切线方程为，代入P（2，2），得，整理得：．解得x0=1或．∴过点P（2，2）可向S引3条切线．故选：C．求出原函数的导函数，设出切点坐标，求出在切点处的切线方程，代入P点坐标求解切点坐标，则答案可求．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是区分在点处与过点处的不同，是中档题．13.【答案】2【解析】解：令y=log2（x-1）=0，则x-1=1，解得：x=2，故函数y=log2（x-1）的零点是2，故答案为：2．令y=log2（x-1）=0，解得答案．本题考查的知识点是函数的零点，对数方程的解法，难度中档．14.【答案】【解析】【分析】本题考点是求函数的值，本题是一个分段复合型函数，此类题易出错，错因在解析式选用不当．规律是先内而外逐层求值，先求f（2）值，再根据的取值范围判断应该用那一段上的函数解析式，代入求值即为的值．【解答】解：由于2＞1，当x>1时，f(x)=x2+x-2,故f（2）=22+2-2=4故=≤1，当x≤1时,f(x)=1-x2,故=1-=故答案为．15.【答案】9【解析】解：依题意，a1a2a3==3，得a2=，a7a8a9==27，得a8=3，∴a4a5a6=====32=9．故答案为：9．根据等比中项的性质计算即可．本题考查了等比中项的性质，考查了指数幂的运算，考查计算能力，属于基础题．【解析】解：作出函数f（x）=的图象如图，则x1+x2=-2，故①错误；由f（x3）=f（x4），得|log2x3|=|log2x4|，∴-log2x3=log2x4，则log2（x3x4）=0，即x3x4=1，故②正确；x1+x2+x3+x4=-2+x3+x4=，由log2x=-1，得x=，则＜x3＜1，∴∈（0，），即0＜x1+x2+x3+x4＜，故③正确；x1x2x3x4=x1x2=x1（-2-x1）=，∵-2＜x1＜1，∴∈（0，1），即0＜x1x2x3x4＜1，故④正确．∴正确命题的序号是②③④．故答案为：②③④．由题意画出图形，可得x1+x2=-2，x3x4=1，把x1+x2+x3+x4与x1x2x3x4转化为含有一个变量的函数求解范围．本题考查命题的真假判断与应用，考查分段函数的应用，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．17.【答案】解：（1）根据题意，（sin B-sin C）2=sin2A-sin B sin C，由正弦定理可得：（b-c）2=a2-bc，变形可得：b2+c2-a2=bc，则cos A==，又由0＜A＜π，则A=；（2）根据题意，若a=6，则a2=b2+c2-2bc cos A=b2+c2-bc=36，变形可得：bc≤36，则有S=bc sin A=bc≤9，当且仅当b=c时等号成立，此时△ABC为等边三角形．【解析】（1）根据题意，由正弦定理可得（b-c）2=a2-bc，变形可得b2+c2-a2=bc，由余（2）根据题意，由余弦定理可得a2=b2+c2-2bc cos A=b2+c2-bc=36，结合基本不等式的性质分析可得bc≤36，进而由三角形面积公式分析可得答案．本题考查正弦、余弦定理的应用，关键是掌握正弦、余弦定理的应用，属于基础题．2×2列联表如下；由表中数据，计算K2=≈3.956＞3.841，所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“成绩优良与教学方式有关”；（2）样本中成绩在60分以下（不含60分）的学生中甲班有4人，分别记为a、b、c、d，乙班有2人，分别记为E、F，从这6人中任意选取2人，基本事件为：ab、ac、ad、aE、aF、bc、bd、bE、bF、cd、cE、cF、dE、dF、EF共15个；设事件A表示“这2人来自不同班级”，则A的所有可能情况为：aE、aF、bE、bF、cE、cF、dE、dF共8种；故所求的概率为P=．【解析】（1）根据茎叶图中数据填写列联表，计算K2，对照数表得出结论；（2）利用列举法求出基本事件数，再计算所求的概率值．本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了列举法求基本事件数和古典概型的概率问题，是基础题．19.【答案】解：显然f（x）的定义域为R．（1）f'（x）=2xe x-1+x2e x-1+3ax2+2bx=xe x-1（x+2）+x（3ax+2b），（2分）由x=-2和x=1为f（x）的极值点，得（4分）即（5分）解得（7分）（2）由（1）得f'（x）=x（x+2）（e x-1-1）．（8分）令f'（x）=0，得x1=-2，x2=0，x3=1．（10分）f'（x）、f（x）随x的变化情况如下表：13从上表可知：函数（）在（，）和（，）上是单调递增的，在（，）和（，1）上是单调递减的．（14分）【解析】（1）根据极值点处的导函数值为零建立方程组，解之即可；（2）求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，列出f'（x）、f（x）随x的变化情况，从而求出函数的单调性．本题是一道关于函数的综合题，主要考查函数的单调性、极值等基础知识，应熟练掌握利用导数求解函数单调的方法步骤等问题．20.【答案】解：（1）数列{log2（a n-1）}（n∈N*）为等差数列，设公差为d，a1=3，a3=9，可得log2（9-1）=log2（3-1）+2d，即3=1+2d，解得d=1，则log2（a n-1）=1+n-1=n，即a n=1+2n；（2）b n===（）n-1，S n==2（1-）＜2，对任意n∈N*，总有S n＜，可得≥2，解得m≥10，可得m的取值范围是[10，+∞）．【解析】（1）设数列{log2（a n-1）}（n∈N*）的公差为d，运用等差数列的通项公式，可得d=1，进而得到所求通项公式；（2）求得b n，运用等比数列的求和公式可得S n，再由不等式的性质和恒成立思想，解不等式可得m的范围．本题考查等差数列的通项公式和等比数列的求和公式的运用，考查不等式恒成立问题解法，化简运算能力和推理能力，属于中档题．21.【答案】解：（1）函数的定义域为（0，+∞），，令f′（x）＞0，解得0＜x＜e，令f′（x）＜0，解x＞e，∴函数f（x）的增区间为（0，e），减区间为（e，+∞）；（2）证明：等价于，即证，由（1）知，，当x=e时取等号，令，则，易知函数m（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，∴，当x=1时取等号，∴f（x）＜m（x）对一切x∈（0，+∞）都成立，则对一切x∈（0，+∞），都有ln x＜成立．【解析】（1）求导，令导大于0的解集即为增区间，令导小于0的解集即为减区间；（2）原问题即证，而，令，求导可得，从而得证．本题考查利用导数研究函数的单调性及证明不等式，考查运算求解能力及逻辑推理能力，属于中档题．22.【答案】解：（1）因为直线l经过点P（1，1），倾斜角所以直线l的参数方程为，即（t为参数）（2）将直线l的参数方程代入圆的方程得：，即，则t1t2=-2，所以|t1t2|=2，即P到A，B两点的距离之积为2．【解析】（1）根据题意，由直线过点P的坐标以及倾斜角，结合直线参数方程的定义可得答案；（2）将直线l的参数方程代入圆的方程，可得关于t的方程，由根与系数的关系可得t1t2的值，结合t的实际意义即可得答案．本题考查直线的参数方程以及应用，关键是根据题意求出直线的参数方程．23.【答案】解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=|x+1|+|x-2|≤5，故或或，解得：-2≤x≤3，故不等式的解集是[-2，3]；（Ⅱ）|x+a|+|x-2|≥|x+a-x+2|=|a+2|≥4，故a+2≥4或a+2≤-4，解得：a≥2或a≤-6，故a∈（-∞，-6]∪[2，+∞）．【解析】（Ⅰ）代入a的值，通过讨论x的范围求出不等式的解集即可；（Ⅱ）根据绝对值不等式的性质得到关于a的不等式，解出即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．。
2021年四川省内江市高考数学一模试卷（文科）
2021年四川省内江市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x＞0}，B={x|﹣1＜x＜1}，则A∪B=（）A．（0，+∞） B．（﹣1，+∞）C．（0，1）D．（﹣1，1）2．（5分）设i为虚数单位，a∈R，若（1+i）（1+ai）是纯虚数，则a=（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣13．（5分）sin20°cos40°+cos20°sin140°=（）A．B．C． D．4．（5分）下列说法中正确的是（）A．先把高三年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为m，然后抽取编号为m+50，m+100，m+150…的学生，这样的抽样方式是分层抽样法B．线性回归直线不必然过样本中心（，）C．若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1D．若一组数据一、a、3的平均数是2，则该组数据的方差是5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的a为2，则输出的a值是（）A．2 B．1 C．D．﹣16．（5分）已知数列{a n}知足a n+1=2a n（n∈N*），a1+a3=2，则a5+a7=（）A．8 B．16 C．32 D．647．（5分）已知实数x，y知足，则z=y﹣2x的最小值是（）A．5 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣58．（5分）从集合{2，3，4}中随机抽取两数x，y，则知足的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）函数f（x）=x2﹣2|x|的图象大致是（）A．B．C．D．10．（5分）已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx，则（）A．f（x）的最小正周期为2πB．f（x）的最大值为2C．f（x）在（，）上单调递减D．f（x）的图象关于直线对称11．（5分）设a＞0，当x＞0时，不等式恒成立，则a的取值范围是（）A．（0，1）∪（1，+∞）B．（0，+∞）C．（1，+∞）D．（0，1）12．（5分）设n∈N*，函数f1（x）=xe x，f2（x）=f1′（x），f3（x）=f2′（x），…，f n+1（x）=f n′（x），曲线y=f n（x）的最低点为P n，则（）A．存在n∈N*，使△P n P n+1P n+2为等腰三角形B．存在n∈N*，使△P n P n+1P n+2为锐角三角形C．存在n∈N*，使△P n P n+1P n+2为直角三角形D．对任意n∈N*，△P n P n+1P n+2为钝角三角形二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，则=．14．（5分）甲、乙、丙三位同窗中有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时，甲说：丙没有申请；乙说：甲申请了；丙说：甲说对了．若是这三位同窗中只有一人说的是谎话，那么申请了北京大学的自主招生考试的同窗是．15．（5分）设函数f（x）=，则知足f（x）＞2的x的取值范围是．16．（5分）已知S n是等差数列{a n}的前n项和，a1=1，a8=3a3，则+++…+=．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解承诺写出文字说明、证明进程或演算步骤．17．（12分）设S n是数列{a n}的前n项和．已知a1=1，S n=2﹣2a n+1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=（﹣1）n a n，求数列{b n}的前n项和．18．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边别离为a，b，c，已知bcosC+csinB=0．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若，BC的中垂线交AB于点D，求BD的长．19．（12分）某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[100，120）内，则为合格品，不然为不合格品．表1是甲套设备的样本的频数散布表，图1是乙套设备的样本的频率散布直方图．表1：甲套设备的样本的频数散布表质量指标值[95，100）[100，105）[105，110）[110，115）[115，120）[120，125]频数15181961图1：乙套设备的样本的频率散布直方图（Ⅰ）将频率视为概率．若乙套设备生产了5000件产品，则其中的不合格品约有多少件；（Ⅱ）填写下面列联表，并按照列联表判断是不是有90%的把握以为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；甲套设备乙套设备合计合格品不合格品合计（Ⅲ）按照表1和图1，对两套设备的好坏进行比较．附：P（K2≥k0）0.150.100.0500.0250.010 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635．20．（12分）已知函数f（x）=asinx+bcosx（a，b∈R），曲线y=f（x）在点（，f（））处的切线方程为：y=x﹣．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求函数g（x）=在上的最小值．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1（a∈R）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设a＞1，是不是存在正实数x，使得f（x）＞0？若存在，请求出一个符合条件的x，若不存在，请说明理由．[选修4-4：极坐标与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（α为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴成立极坐标系．（Ⅰ）求直线l和曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线l上一点M的极坐标为（2，θ），其中．射线OM 与曲线C交于不同于极点的点N，求|MN|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|3x﹣1|+|x﹣2|的最小值为m．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）设实数a，b知足2a2+b2=m，证明：2a+b≤．2021年四川省内江市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x＞0}，B={x|﹣1＜x＜1}，则A∪B=（）A．（0，+∞）B．（﹣1，+∞）C．（0，1） D．（﹣1，1）【解答】解：集合A={x|x＞0}，B={x|﹣1＜x＜1}，则A∪B={x|x＞﹣1}=（﹣1，+∞），故选B．2．（5分）设i为虚数单位，a∈R，若（1+i）（1+ai）是纯虚数，则a=（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1【解答】解：∵（1+i）（1+ai）=（1﹣a）+（1+a）是纯虚数，∴，解得：a=1．故选：C．3．（5分）sin20°cos40°+cos20°sin140°=（）A．B．C．D．【解答】解：sin20°cos40°+cos20°sin140°=sin20°cos40°+cos20°sin40°=sin（20°+40°）=sin60°=．故选：B．4．（5分）下列说法中正确的是（）A．先把高三年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为m，然后抽取编号为m+50，m+100，m+150…的学生，这样的抽样方式是分层抽样法B．线性回归直线不必然过样本中心（，）C．若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1D．若一组数据一、a、3的平均数是2，则该组数据的方差是【解答】解：对于A，按照抽样方式特征是数据多，抽样距离相等，是系统抽样，A错误；对于B，线性回归直线必然过样本中心点（，），B错误；对于C，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数|r|的值越接近于1，B错误；对于D，一组数据一、a、3的平均数是2，∴a=2；∴该组数据的方差是s2=×[（1﹣2）2+（2﹣2）2+（3﹣2）2]=，D正确．故选：D．5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的a为2，则输出的a值是（）A．2 B．1 C．D．﹣1【解答】解：当a=2，k=0时，执行循环a=﹣1，知足继续循环的条件，k=1；执行循环a=，知足继续循环的条件，k=2；执行循环a=2，知足继续循环的条件，k=3；执行循环a=﹣1，知足继续循环的条件，k=4；执行循环a=，知足继续循环的条件，k=5；执行循环a=2，不知足继续循环的条件，故输出的结果为2，故选：A6．（5分）已知数列{a n}知足a n+1=2a n（n∈N*），a1+a3=2，则a5+a7=（）A．8 B．16 C．32 D．64【解答】解：∵数列{a n}知足a n+1=2a n（n∈N*），∴此数列是等比数列，公比为2．则a5+a7=24（a1+a3）=24×2=32．故选：C．7．（5分）已知实数x，y知足，则z=y﹣2x的最小值是（）A．5 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣5【解答】解：由z=y﹣2x，则y=2x+z作出实数x，y知足对应的平面区域如图：平移直线y=2x+z，由图象知当直线y=2x+z，通过点A时，直线y=2x+z的截距最小，此时z最小，由，得A（3，1），此时z=1﹣2×3=﹣5，即z=y﹣2x的最小值﹣5，故选：D．8．（5分）从集合{2，3，4}中随机抽取两数x，y，则知足的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：集合{2，3，4}中随机抽取两数x，y，则有log23，log24，log32，log34，log42，log43＞共6个，知足的只有1个，是log42=；∴所求的概率是P=．故选：D．9．（5分）函数f（x）=x2﹣2|x|的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣2|x|，∴f（3）=9﹣8=1＞0，故排除C，D，∵f（0）=﹣1，f（）=﹣2=0.25﹣＜﹣1，故排除A，故选：B当x＞0时，f（x）=x2﹣2x，∴f′（x）=2x﹣2x ln2，故选：B10．（5分）已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx，则（）A．f（x）的最小正周期为2πB．f（x）的最大值为2C．f（x）在（，）上单调递减D．f（x）的图象关于直线对称【解答】解：f（x）=sin2x+sinxcosx=+sin2x=sin（2x﹣）+，由T==π，故A错误，f（x）的最大值为1+=，故B错误；令2kπ+＜2x﹣＜2kπ+，解得：kπ+＜x＜kπ+，k∈Z，当k=0时，则f（x）在（，）上单调递减，故C正确，令2x﹣=kπ+，解得：x=+，故D错误，故选C．11．（5分）设a＞0，当x＞0时，不等式恒成立，则a的取值范围是（）A．（0，1）∪（1，+∞）B．（0，+∞）C．（1，+∞）D．（0，1）【解答】解：由题意，令f（x）=，则f′（x）=，令f′（x）=0，可得（x﹣a）（x+1）=0，当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，即f（x）在（0，a）上单调递减，当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，即f（x）在（0，a）上单调递增，∴f（x）min=f（a）=，∴令g（a）=a2﹣a﹣alna＞0，（a＞0）∴g（a）=a﹣lna﹣1＞0．则g′（a）=1﹣，令g′（a）=0可得：a=1．当a∈（0，1）时，g（a）递减，（1，+∞）时，g（a）递增，∴当a=1时，g（a）min=0．由函数y=a﹣1和函数y=lna可得，y=a﹣1的图象在y=lna的上方．∴a＞0且a≠1．故选：A12．（5分）设n∈N*，函数f1（x）=xe x，f2（x）=f1′（x），f3（x）=f2′（x），…，f n+1（x）=f n′（x），曲线y=f n（x）的最低点为P n，则（）A．存在n∈N*，使△P n P n+1P n+2为等腰三角形B．存在n∈N*，使△P n P n+1P n+2为锐角三角形C．存在n∈N*，使△P n P n+1P n+2为直角三角形D．对任意n∈N*，△P n P n+1P n+2为钝角三角形【解答】解：按照题意，函数f1（x）=xe x，其导数f1′（x）=（x）′e x+x（e x）′=（x+1）e x，分析可得在（﹣∞，﹣1）上，f1′（x）＜0，f1（x）为减函数，在（﹣1，+∞）上，f1′（x）＞0，f1（x）为增函数，曲线y=f1（x）的最低点P1，（﹣1，﹣），对于函数f2（x）=f1′（x）=（x+1）e x，其导数f2′（x）=（x+1）′e x+（x+1）（e x）′=（x+2）e x，分析可得在（﹣∞，﹣2）上，f1′（x）＜0，f1（x）为减函数，在（﹣2，+∞）上，f1′（x）＞0，f1（x）为增函数，曲线y=f1（x）的最低点P1，（﹣2，﹣），…分析可得曲线y=f n（x）的最低点P n，其坐标为（﹣n，﹣）；（﹣n﹣1，﹣），P n+2（﹣n﹣2，﹣）；则P n+1有==，同理=，分析可得：＞，即△P n P n+1P n+2为钝角三角形；则对任意n∈N*，△P n P n+1P n+2为钝角三角形；故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，则=4．【解答】解：正方形ABCD的边长为2，=•=+2•=4．故答案为：4．14．（5分）甲、乙、丙三位同窗中有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时，甲说：丙没有申请；乙说：甲申请了；丙说：甲说对了．若是这三位同窗中只有一人说的是谎话，那么申请了北京大学的自主招生考试的同窗是乙．【解答】解：假设申请了北京大学的自主招生考试的同窗是甲，则甲和丙说的都是谎话，乙说的是实话，不知足题意；假设申请了北京大学的自主招生考试的同窗是乙，则甲和丙说的都是实话，乙说的是谎话，知足题意；假设申请了北京大学的自主招生考试的同窗是丙，则甲、乙、丙说的都是谎话，不知足题意．故申请了北京大学的自主招生考试的同窗是乙．故答案为：乙．15．（5分）设函数f（x）=，则知足f（x）＞2的x的取值范围是（﹣1，0）∪（2，+∞）．【解答】解：函数f（x）=，当x≥0时，f（x）＞2即为x2﹣x﹣2＞0，解得x＞2；当x＜0时，f（x）＞2即为2﹣x2﹣x﹣2＞0，解得﹣1＜x＜0．则知足f（x）＞2的x的取值范围为（﹣1，0）∪（2，+∞）．故答案为：（﹣1，0）∪（2，+∞）．16．（5分）已知S n是等差数列{a n}的前n项和，a1=1，a8=3a3，则+++…+=．【解答】解：由a1=1，a8=3a3，得a1+7d=3（a1+2d），即1+7d=3+6d，得d=2，==﹣，则+++…+=﹣+﹣+…+﹣=﹣=1﹣=，故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共70分，解承诺写出文字说明、证明进程或演算步骤．17．（12分）设S n是数列{a n}的前n项和．已知a1=1，S n=2﹣2a n+1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=（﹣1）n a n，求数列{b n}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）∵S n=2﹣2a n+1，a1=1∴当n=1时，S1=2﹣2a2，得…（2分）=2﹣2a n当n≥2时，S n﹣1∴当n≥2时，a n=2a n﹣2a n+1，即…（5分）又∴{a n}是以a1=1为首项，为公比的等比数列…（6分）∴数列{a n}的通项公式…（7分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴当n≥2时，∴{b n}是以b1=﹣1为首项，为公比的等比数列…（10分）∴数列{b n}的前n项和为…（12分）18．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边别离为a，b，c，已知bcosC+csinB=0．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若，BC的中垂线交AB于点D，求BD的长．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）在△ABC中，∵bcosC+csinB=0，∴由正弦定理知，sinBcosC+sinCsinB=0…（2分）∵0＜B＜π，∴sinB＞0，于是cosC+sinC=0，即tanC=﹣1…（4分）∵0＜C＜π∴．…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）和余弦定理知，，∴c=5，…（8分）∴，…（10分）设BC的中垂线交BC于点E，∵在Rt△BCD 中，，∴==．…（12分）19．（12分）某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[100，120）内，则为合格品，不然为不合格品．表1是甲套设备的样本的频数散布表，图1是乙套设备的样本的频率散布直方图．表1：甲套设备的样本的频数散布表质量指标值[95，100）[100，105）[105，110）[110，115）[115，120）[120，125]频数15181961图1：乙套设备的样本的频率散布直方图（Ⅰ）将频率视为概率．若乙套设备生产了5000件产品，则其中的不合格品约有多少件；（Ⅱ）填写下面列联表，并按照列联表判断是不是有90%的把握以为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；甲套设备乙套设备合计合格品不合格品合计（Ⅲ）按照表1和图1，对两套设备的好坏进行比较．附：P（K2≥k0）0.150.100.0500.0250.010 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635．【解答】解：（Ⅰ）由图1知，乙套设备生产的不合格品率约为…（2分）∴乙套设备生产的5000件产品中不合格品约为（件）…（3分）（Ⅱ）由表1和图1取得列联表：甲套设备乙套设备合计合格品484391不合格品279合计5050100…（5分）将列联表中的数据代入公式计算得…（8分）∵3.05＞2.706∴有90%的把握以为产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关…（9分）（Ⅲ）由表1和图1知，甲套设备生产的合格品的概率约为，乙套设备生产的合格品的概率约为，甲套设备生产的产品的质量指标值主要集中在[105，115）之间，乙套设备生产的产品的质量指标值与甲套设备相较较为分散．因此，可以以为甲套设备生产的合格品的概率更高，且质量指标值更稳定，从而甲套设备优于乙套设备…（12分）20．（12分）已知函数f（x）=asinx+bcosx（a，b∈R），曲线y=f（x）在点（，f（））处的切线方程为：y=x﹣．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求函数g（x）=在上的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由切线方程知，当时，y=0∴…（1分）∵f'（x）=acosx﹣bsinx…（3分）∴由切线方程知，…（4分）∴…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=sinx cosx=sin（x﹣）…（6分）∴函数，…（8分）设则u'（x）=﹣xsinx＜0，故u（x）在上单调递减∴u（x）＜u（0）=0，∴g（x）在上单调递减…（11分）∴函数g（x）在上的最小值为g（）=…（12分）21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1（a∈R）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设a＞1，是不是存在正实数x，使得f（x）＞0？若存在，请求出一个符合条件的x，若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的概念域为R，f'（x）=e x﹣a…（1分）当a≤0时，f'（x）＞0，故f（x）在R上单调递增…（2分）当a＞0时，令f'（x）=0，得x=lna当x＜lna时，f'（x）＜0，故f（x）单调递减当x＞lna时，f'（x）＞0，故f（x）单调递增…（5分）综上所述，当a≤0时，f（x）在R上单调递增；当a＞0时，f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增…（6分）（Ⅱ）存在正数x=2lna，使得f（x）＞0…（8分）即f（2lna）=a2﹣2alna﹣1＞0，其中a＞1．证明如下：设g（x）=x2﹣2xlnx﹣1（x＞1），则g'（x）=2x﹣2lnx﹣2设u（x）=x﹣lnx﹣1（x＞1），则，故u（x）在（1，+∞）上单调递增∴u（x）＞u（1）=0，故g'（x）=2x﹣2lnx﹣2=2u（x）＞0∴g（x）在（1，+∞）上单调递增，故g（x）＞g（1）=0∴当a＞1时，a2﹣2alna﹣1＞0∴f（2lna）=a2﹣2alna﹣1＞0…（12分）[选修4-4：极坐标与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（α为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴成立极坐标系．（Ⅰ）求直线l和曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线l上一点M的极坐标为（2，θ），其中．射线OM与曲线C交于不同于极点的点N，求|MN|的值．【解答】解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），直线的普通方程为，极坐标方程为．曲线C的普通方程为，极坐标方程为…（5分）（Ⅱ）∵点M在直线l上，且点M的极坐标为（2，θ）∴，∵∴，∴射线OM的极坐标方程为．联立，解得ρ=3．∴|MN|=|ρN﹣ρM|=1．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|3x﹣1|+|x﹣2|的最小值为m．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）设实数a，b知足2a2+b2=m，证明：2a+b≤．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=|3x﹣1|+|x﹣2|=，∴f（x）在[）上单调递增，在（）上单调递减∴f（x）的最小值为f（）=…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2a2+b2=，∵2ab≤a2+b2，∴（2a+b）2=4a2+b2+4ab≤4（a2+b2）+2（a2+b2）=3（2a2+b2）=5，当a=b时取等∴2a+b≤…（10分）。
四川省内江市2020-2021学年高二上学期期末考试数学(文)试题(pdf版)
· 槡 槡 分 ∴
Ｓ△ＡＢＣ
＝
１ ２
｜ ＢＣ ｜
ｄ
＝
１ ２
×４
２ ×２
２ ＝ ８ １２
解：（）由表格中数据可得， ， ， 分 １９． １
ｘ珋＝ １２． ４ ｙ珋＝ １２２ ２
ｎ
分 ∴
∧
ｂ＝
ｉ∑＝ １ｘｉ ｙｙ
ｎ
－
ｎｘ珋ｙ珋 ＝
ｉ∑＝ １ｘ２ｉ － ｎｘ珋２
Ａ． ０
Ｂ．
π ２
Ｃ． π
Ｄ． 不存在
２． 某班有６４ 名学生，其中男生有２４ 人，现将男、女学生用分层抽样法抽取１６ 人进行一项
问卷调查，则该班中被抽取的女生人数为
Ａ． ６
Ｂ． ８
Ｃ． １０
Ｄ． １２
３． 圆心坐标为（２，１）且和ｘ 轴相切的圆的方程是
（ ） （ ） Ａ． ｘ － ２ ２ ＋ ｙ － １ ２ ＝ １
（ ） （ ） Ｂ． ｘ ＋ ２ ２ ＋ ｙ ＋ １ ２ ＝ １
（ ） （ ） Ｃ． ｘ － ２ ２ ＋ ｙ － １ ２ ＝ ５
（ ） （ ） Ｄ． ｘ ＋ ２ ２ ＋ ｙ ＋ １ ２ ＝ ５
４． ＰＭ２． ５ 是衡量空气质量的重要指标，我国采用世卫组织的最宽值限定值，即ＰＭ２． ５ 日
均值在３５μｇ／ ｍ３ 以下空气质量为一级，在３５ － ７５μｇ／ ｍ３ 空气质量为二级，超过７５μｇ／ ｍ３ 为超
参考数据： ， ４２ ＋ １２２ ＋ １９２ ＋ ２７２ ＝ １２５０ ４ × １３２ ＋ １２ × １３０ ＋ １９ × １０４ ＋ ２７ × ９４ ＝ ６６０２．
ｎ
参考公式： ， ∧ ｂ＝
ｉ∑＝ １ｘｉ ｙｙ
ｎ
－ ｎｘ珋ｙ珋 ∧ ａ
2020-2021学年四川省内江市威远中学高二下学期第一次月考数学(文)试题 Word版
内江市威远中学2020-2021学年高二下学期第一次月考数 学（文科）考试时间：100分钟 满分：150分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷一、选择题 （共12个小题，每题5分，共60分，请将答案转涂到答题卡上）1．下列语句是命题的是（ ） A ．空集是任何集合的子集 B ．这次数学考试难吗？ C ．x >15D ．2x -1<02．已知命题p 与命题q ，若命题：(¬p)∨q 为假命题，则下列说法正确的是（ ） A ．p 真，q 真 B ．p 假，q 真C ．p 真，q 假D ．p 假，q 假3．命题“x R ∀∈，220x x ++>”的否定是（ ）A ．0x R ∃∈，2020x x ++ B ．0x R ∃∈，2020x x ++< C ．0x R ∃∈，2020x x ++> D ．x R ∀∈，220x x ++≤4．已知条件2:12:56p x q x x +>->，，则p 是q 的（ ） A ．充要条件 B ．充分但不必要条件 C ．必要但不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．“2a =-”是“直线()12:30:2140l ax y l x a y -+=-++=与互相平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知双曲线22:194y x C -=，1F ，2F 分別是双曲线C 的两个焦点.点P 在双曲线C 上，且17PF =，则2PF 等于（ ） A ．11B ．3或11C ．13D ．1或137．椭圆x 24+y 23=1的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 2作x 轴的垂线交椭圆于点P ，过P与原点o 的直线交椭圆于另一点Q ，则△F 1PQ 的周长为（ ） A ．4 B ．8 C ．4+√13 D ．2+√138．过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点A 作圆222x y c +=(2c 是椭圆的焦距)两条切线，切点分别为M ，N ，若∠MAN =60°，则该椭圆的离心率为（ ）A ．12B ．C ．2D 9．“46k <<”是“22164x y k k +=--为椭圆方程”是( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知椭圆22:11612x y C +=的右焦点为F ，点(),P x y 在椭圆C 上.若点Q 满足1QF =且0QP QF ⋅=，则PQ 的最小值为( )A ．3B ．125C D ．111．已知椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的左焦点为F ，过点F 的直线0x y -=与椭圆C 相交于不同的两点,A B .若P 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为12-，则椭圆C 的方程为（ ） A ．22132x y +=B ．22143x y +=C ．22152x y +=D ．22163x y +=12．已知双曲线221(0,0)x y m n m n-=>>和椭圆22174x y +=有相同的焦点，则11m n +的最小值为（ ） A ．12B ．32C ．43D ．9二、填空题 （共4个小题，每题5分，共20分，请将答案转写到答题卡上）13．双曲线22145x y -=的焦距为______.14．过椭圆2212x y +=的右焦点作一条斜率为1的直线与椭圆交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则AOB ∆的面积为_______.15．若关于x 的不等式21ax ax >--对任意实数x 都成立，则实数a 的范围是________.16．设椭圆C :22221x y a b+=(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1、F 2,经过点F 1的直线与椭圆C相交于M ，N 两点.若|MF 2|=| F 1F 2|，且7|MF 1|=4| MN |，则椭圆C 的离心率为___________. 三、解答题 （共6个小题，第17题10分，其余每题12分，共70分，请写出必要的解题过程）17．写出适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：（1）过点P (－3，2)，且与椭圆22194x y +=有相同的焦点的椭圆．（2）a 22126x y +=有相同的焦点的双曲线.18．已知椭圆的长轴在x 轴上，短轴长为2 （1）求椭圆的标准方程及长轴长，焦距.（2）直线220x y --=与椭圆交于,A B 两点，求,A B 两点的距离.19．已知命题p ：方程2212x ym+=表示焦点在x 轴上的椭圆，命题q ：x R ∀∈,不等式22230x mx m +++>恒成立.（1）若“q ⌝”是真命题，求实数m 的取值范围；（2）若“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，求实数m 的取值范围.20．已知椭圆的焦点在x 轴上，长轴长为6，焦距为设P 为椭圆上的一点，1F ，2F 是该椭圆的两个焦点，若1260F PF ∠=︒，求： （1）椭圆的标准方程； （2）12PF F △的面积．21．如图，P 为圆B ：()22116x y ++=上一动点，点A 的坐标为()1,0，线段AP 的垂直平分线交直线BP 于点Q . （1）求点Q 的轨迹方程；（2）设点Q 的轨迹为E ，F 为E 的左焦点，O 为坐标原点，M 为E 上任意一点，求·OM FM的最大值.22．已知椭圆焦点在x 轴上，下顶点为D(0，－1)，且离心率e =√63．经过点M(1,0)的直线L 与椭圆交于A ，B 两点. (1)求椭圆的标准方程；(2)求|AM|的最小值.(3)在x轴上是否存在定点P，使△MPA=△MPB。
四川省内江市高中2020-2021学年高三上学期第一次模拟数学(文)试题
四川省内江市高中2020-2021学年高三上学期第一次模拟数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}1,2,A m =，{}3,4B =，若{}1,2,3,4AB =，则实数m 为（ ） A ．1或2B ．2或3C ．1或3D ．3或4 2．已知复数21i z i =+（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．向量a ，b 满足1a =，||4b =且2a b ⋅=，则a 与b 的夹角的大小为（ ）． A ．π6 B ．π4 C ．π3 D ．π24．割圆术是估算圆周率的科学方法，由三国时期数学家刘徽创立，他用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积，从而得出圆周率为3.1416，在半径为1的圆内任取一点，则该点取自其内接正十二边形的概率为（ ）A ．1πB ．3πC ．πD ．2π5．函数2()2ln f x x x =-的单调递增区间是（ ）A ．(0,1]B ．[1,)+∞C ．(,1],(0,1]-∞-D ．[1,0),(0,1]- 6．已知等比数列{}n a 是递增数列，22a =，37S =，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前5项和为（ ） A ．31B ．31或314C ．3116D ．3116或314 7．函数()22x f x x =-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知cos (33παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭为锐角)，则sin α=（ ） ABCD9．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为5，2，则输出的n =（ ）A ．5B ．4C ．3D ．910．将全体正整数排成一个三角形数阵：12345678910按照以上排列的规律，则第20行从左向右的第3个数为（ ）A ．193B ．192C ．174D ．173 11．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对0x >总有()0f x '<，则（ ）A ．()2log 313212log 2log 9f f f ⎛⎫⎛⎫<-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B．()2log 31321log 2log 29f f f ⎛⎫⎛⎫-<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()2log 33121log log 229f f f ⎛⎫⎛⎫<-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．()2log 331212log log 29f f f ⎛⎫⎛⎫<<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12．已知曲线3:3S y x x =-，则过点()2,2P 可向S 引切线，其切线条数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．0二、填空题13．函数()2log 1y x =-的零点为___________. 14．设函数221,1()2,1x x f x x x x ⎧-≤=⎨+->⎩则1()(2)f f 的值为________． 15．已知各项均为正数的等比数列{}n a ，1233a a a =，78927a a a =，则456a a a = _________.16．已知函数()222,0log ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩，若1234x x x x <<<且()()()()1234f x f x f x f x ===，则下列结论：①121x x +=-；②341x x =；③1234102x x x x <+++<；④123401x x x x <<，其中正确的序号为___________（把你认为正确的结论都填上）.三、解答题17．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-.（1）求A ；（2）当6a =时，求其面积的最大值，并判断此时ABC 的形状.18．某校为提高课堂教学效果，最近立项了市级课题《高效课堂教学模式及其运用》，其中王老师是该课题的主研人之一，为获得第一手数据，她分别在甲、乙两个平行班采用“传统教学”和“高效课堂”两种不同的教学模式进行教学实验.为了解教改实效，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出如图所示的茎叶图，成绩大于70分为“成绩优良”.（1）由以上统计数据填写下面22⨯列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？（2）从甲、乙两班40个样本中，成绩在60分以下（不含60分）的学生中任意选取2人，求这2人来自不同班级的概率. 附：()()()()()22d K n ad bc a b c d a c b -=++++，其中n a b c d =+++）19．设函数()2132x f x x eax bx -=++，已知2x =-和1x =为()f x 的极值点.（1）求a 和b 的值； （2）讨论()f x 的单调性.20．已知数列(){}()*2log 1n a n N -∈为等差数列，且13a =，39a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21n n b a =-，n S 为数列{}n b 的前n 项和，若对任意*n N ∈，总有43n m S -<，求m 的取值范围.21．已知函数()ln x f x x=. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）证明对一切()0,x ∈+∞，都有22ln x x x x e e<-成立. 22．已知直线l 经过点P （1，1），倾斜角6πα=．（1）写出直线l 的参数方程；（2）设l 与圆224x y += 相交于两点A ，B ，求点P 到A ，B 两点的距离之积． 23．函数()2f x x a x =++-.（1）当1a =时，求不等式()5f x ≤的解集；（2）若()4f x ≥，求a 的取值范围.参考答案1．D【解析】【分析】根据并集的运算结果可得出实数m 的值.【详解】集合{}1,2,A m =，{}3,4B =，且{}1,2,3,4AB =，3m ∴=或4.故选：D.【点睛】本题考查利用交并集的运算求参数，在处理有限集的计算时，要注意元素互异性这个特征，考查计算能力，属于基础题.2．A【分析】利用复数的除法运算将复数z 表示为一般形式，即可得出复数z 在复平面内对应的点所在的象限.【详解】 ()()()12221211212555i i i i z i i i i -+====+++-， 因此，复数z 在复平面内对应的点位于第一象限. 故选：A. 【点睛】本题考查复数的除法运算，同时也考查了复数的几何意义，解题的关键就是利用复数的四则运算法则将复数化为一般形式，考查计算能力，属于基础题.3．C 【解析】 分析：根据两个向量数量积的定义，求出a 与b 的夹角的余弦值，再根据两个向量夹角的范围，求出两个向量的夹角. 详解：=1=4=2a b a b ⋅，，, 21cos ,142a b a b a b ⋅∴===⨯⋅又,a b 的范围为[0,]π, ,=3a b π∴故选C.点睛：本题主要考查两个向量数量积的定义，再根据三角函数值和两个向量夹角的范围求角，意在考查学生基本概念、基本知识掌握的准确度.4．B 【分析】计算出圆内接正十二边形的面积和圆的面积，然后利用几何概型的概率公式可计算出所求事件的概率.【详解】圆内接正十二边形的每条边在圆内所对的圆心角为2126ππ=， 所以，半径为1的圆的内接正十二边形的面积为21121sin 326π⨯⨯⨯=， 因此，在半径为1的圆内任取一点，则该点取自其内接正十二边形的概率为3π. 故选：B.【点睛】本题考查利用几何概型的概率公式计算概率，解题的关键就是求出相应平面区域的面积，考查计算能力，属于中等题.5．A【分析】先求出函数()y f x =的定义域，求导，然后解不等式()0f x '≥可得出所求的单调递增区间．【详解】 函数()y f x =的定义域为()0,∞+，()()22122x f x x x x -'=-=，0x ，解不等式()0f x '≥，即210x -≥，解得01x <≤，所以，函数()y f x =的单调递增区间为(]0,1，故选A ．【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，解题时注意导数符号与函数单调区间之间的关系，再者就是求出导数不等式的解集后必须与定义域取交集才行，考查计算能力，属于中等题． 6．C【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题意求出1a 和q 的值，并确定出等比数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的首项和公比，然后利用等比数列的求和公式可计算出数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前5项和的值.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意得()21231217a a q S a q q ==⎧⎪⎨=++=⎪⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩或1412a q =⎧⎪⎨=⎪⎩， 由于等比数列{}n a 是递增数列，则11a =，2q ，1111112n n n n a a a q a ++∴===，且111a ， 所以，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以12为公比的等比数列， 因此，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前5项和为511131211612⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=-. 故选：C.【点睛】本题考查等比数列的求和，根据题意求出等比数列的首项和公比是解题的关键，考查方程思想的应用，考查计算能力，属于中等题.7．B【分析】分析函数()y f x =的奇偶性以及()0f 的符号来判断出函数()y f x =的图象.【详解】函数()22xf x x =-的定义域为R ，关于原点对称，且()()()2222x xf x x x f x --=--=-=，该函数为偶函数，排除C 、D 选项. 又()010f =-<，排除A 选项.故选：B.【点睛】本题考查函数图象的识别，一般要结合函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号来进行判断，考查推理能力，属于中等题.8．A【解析】 试题分析：3sin sin sin cos cos sin 33333366ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 考点：三角恒等变换.9．B【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出n ，分析循环中各变量的变化情况，可得答案.【详解】当1n =时，152a =，4b =，满足进行循环的条件； 当2n =时，454a =，8b =，满足进行循环的条件； 当3n =时，1358a =，16b =，满足进行循环的条件； 当4n =时，40516a =，32b =，不满足进行循环的条件； 故选：B【点睛】本题主要考查程序框图，解题的关键是读懂流程图各个变量的变化情况，属于基础题. 10．A【分析】归纳出第n 行最后一个数的表达式，可求出该数阵第19行最后一个数的值，再加上3即为所求的值.【详解】第1行最后一个数为1，第2行最后一个数为312=+，第3行最后一个数为6123=++， 第4行最后一个数为101234=+++， 由上可知，第n 行最后一个数为()11232n n n +++++=， 所以，该数阵第19行最后一个数的值为19201902⨯=， 因此，第20行从左向右的第3个数为1903193+=. 故选：A. 【点睛】本题考查数阵中的归纳推理，解题的关键就是推导出数阵中每一行最后一个数的规律，考查推理能力，属于中等题. 11．D 【分析】由题意知，函数()y f x =为偶函数，且在区间()0,∞+上为减函数，计算出12log 2-、31log 9、2log 32的值，结合偶函数的性质与单调性得出12log 2f ⎛⎫- ⎪⎝⎭、31log 9f ⎛⎫ ⎪⎝⎭、()2log 32f 的大小关系. 【详解】由题意知，函数()y f x =为偶函数，且在区间()0,∞+上为减函数，()12log 21f f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()()31log 229f f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，()()2log 323f f =，则()()()321f f f <<，因此，()2log 331212log log 29f f f ⎛⎫⎛⎫<<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：D. 【点睛】本题考查利用函数的单调性与奇偶性比较函数值的大小，要注意将自变量置于同一单调区间，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 12．C 【分析】设切点为()3,3t t t-，利用导数求出曲线S 在切点()3,3t t t -处的切线方程，再将点P 的坐标代入切线方程，可得出关于t 的方程，解出该方程，得出该方程根的个数，即为所求. 【详解】设在曲线S 上的切点为()3,3t t t -，33y x x =-，则233y x '=-，所以，曲线S 在点()3,3t t t-处的切线方程为()()()32333y t t t x t --=--，将点()2,2P 的坐标代入切线方程得32320t t -+=，即()()21220t t t ---=，解得11t =，21t =31t =因此，过点()2,2P 可向S 引切线，有三条. 故选：C. 【点睛】本题考查过点引曲线的切线的条数，一般转化为切点个数来求解，考查化归与转化思想的应用，属于中等题. 13．2 【分析】解方程0y =，即可得出函数()2log 1y x =-的零点. 【详解】令0y =，即()2log 10x -=，得11x -=，解得2x =， 因此，函数()2log 1y x =-的零点为2. 故答案为：2. 【点睛】本题考查函数零点的求解，熟悉函数零点的定义是解题的关键，考查计算能力，属于基础题. 14．1516【分析】直接利用分段函数解析式，先求出()f 2的值，从而可得()12f f ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭的值. 【详解】因为函数()221,1,212,1x x f x x x x ⎧-≤=>⎨+->⎩， 所以()222224f =+-=，则()211115124416f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故答案为1516. 【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数解不等式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰. 15．9 【分析】利用等比中项的性质得出312323a a a a ==，3789827a a a a ==，34565a a a a =，再利用等比中项的性质可得出34565a a a a ==456a a a 的值.【详解】由等比中项的性质得出312323a a a a ==，3789827a a a a ==，34565a a a a =，易知，2a 、5a 、8a 成等比数列，则32a 、35a 、38a 成等比数列，345659a a a a ∴====.故答案为：9. 【点睛】本题考查等比数列中项的计算，灵活利用等比中项的性质，可简化计算，考查运算求解能力，属于中等题. 16．②③④ 【分析】作出函数()y f x =图象，并设()()()()1234f x f x f x f x t ====，则直线y t =与函数()y f x =图象的四个交点的横坐标分别为1x 、2x 、3x 、4x ，可得出01t <<，再结合对称性与对数运算可对四个命题的正误进行判断. 【详解】如下图所示，设()()()()1234f x f x f x f x t ====，由图象知01t <<. 则直线y t =与函数()y f x =图象的四个交点的横坐标分别为1x 、2x 、3x 、4x ，二次函数22y x x =--的图象的对称轴为直线1x =-，则点A 、B 关于该直线对称， 所以，122x x +=-，命题①错误；由图象知，301x <<，41x >，由()()34f x f x =，得2324log log x x =，2324log log x x ∴-=，即()2324234log log log 0x x x x +==，解得341x x =，命题②正确；由()()42424log log 0,1f x x x t ===∈，可得412x <<，34441x x x x ∴+=+. 函数1y x x=+在区间()1,2上单调递增，则441522x x <+<，又122x x +=-， 1234102x x x x ∴<+++<，命题③正确； 由图象知，()21,0x ∈-，则()212222222x x x x x x =--⋅=--，函数22y x x =--在区间()1,0-上单调递减，所以，222021x x <--<，即1201x x <<.则123401x x x x <<，命题④正确. 因此，正确命题的序号为②③④. 故答案为：②③④. 【点睛】本题考查函数零点和与积的范围有关的命题的判断，解题时要充分利用函数的对称性以及对数的运算来进行求解，考查函数思想的应用，属于中等题.17．（1）3π；（2），等边三角形. 【分析】（1）利用角为边的思想，由余弦定理求出1cos 2A =，再结合角A 的范围可求出角A 的值. （2）利用余弦定理，结合基本不等式，求出bc 的最大值，即可计算出三角形面积的最大值. 【详解】 （1）22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-，由正弦定理可得：22()b c a bc -=-，222b c a bc ∴+-=，由余弦定理得:2221cos 22b c a A bc +-==， 又0A π<<，3A π∴=，（2）由余弦定理和基本不等式得： 222222cos 2a b c bc A b c bc bc bc bc =+-=+-≥-=，236bc a ∴≤= ，当且仅当6b c a ===时，“=”成立，ABC ∴的面积11sin 3622ABCSbc A =≤⨯=， 此时，由于6b c ==，60A =，则ABC 是等边三角形. 【点睛】本题主要考查了正弦定理、三角形内角和定理、两角和与差的正弦函数公式、余弦定理、基本不等式、三角形面积公式，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题.18．（1）列联表见解析，能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”；（2）815. 【分析】（1）根据茎叶图中的数据结合题中的信息完善22⨯列联表，计算出2K 的观测值，然后比较2K 的观测值与3.841的大小，即可对题中结论的正误进行判断；（2）将甲班成绩在60分以下的4个同学分别记为A 、B 、C 、D ，乙班成绩在60分以下的2各同学分别记为a 、b ，列举出所有的基本事件，并确定事件“所抽取的2人来自不同班级”所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.【详解】（1）由题意可知，22⨯列联表如下：()22401041016 3.956 3.84120202614K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，因此，能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”； （2）将甲班成绩在60分以下的4个同学分别记为A 、B 、C 、D ，乙班成绩在60分以下的2各同学分别记为a 、b ，从这6名同学中任意抽取2人，所有的基本事件为：(),A B 、(),A C 、(),A D 、(),A a 、(),A b 、(),B C 、(),B D 、(),B a 、(),B b 、(),C D 、(),C a 、(),C b 、(),D a 、(),D b 、(),a b ，共15种.其中，事件“所抽取的2人来自不同班级”所包含的基本事件有：(),A a 、(),A b 、(),B a 、(),B b 、(),C a 、(),C b 、(),D a 、(),D b ，共8种.因此，所抽取的2人来自不同班级的概率为815. 【点睛】本题考查独立性检验思想的基本应用，同时也考查了利用古典概型的概率公式计算所求事件的概率，解题的关键就是利用列举法列举出基本事件，考查计算能力，属于中等题. 19．（1）13a =-，1b =-；（2）()f x 在()2,0-和()1,+∞上单调递增；在(),2-∞-和()0,1上单调递减. 【分析】（1）求出函数()y f x =的导数()f x '，由()20f '-=和()10f '=得出关于a 与b 的方程组，即可解出a 和b 的值；（2）分别解出不等式()0f x '>和()0f x '<，即可得出函数()y f x =的单调递增区间和递减区间. 【详解】 （1）()2132x f x x e ax bx -=++，()()212232x f x x x e ax bx -'∴=+++，由题意得()()2124013230f a b f a b ⎧-=-=⎪⎨=++=''⎪⎩，解得131a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩；（2）由（1）可得()()()()()()212211222121x x x f x x x ex x x x e x x e ---'=+--=+-=+-.解不等式()0f x '>，解得20x -<<或1x >； 解不等式()0f x '<，解得2x <-或01x <<.因此，函数()y f x =的单调递增区间为()2,0-和()1,+∞，单调递减区间为(),2-∞-和()0,1.【点睛】本题考查利用极值点求参数，同时也考查了利用导数求函数的单调区间，考查运算求解能力，属于中等题.20．（1）21nn a =+；（2）[)10,+∞.【分析】（1）设等差数列(){}2log 1n a -的公差为d ，利用1a 、3a 求出d 的值，可求出数列(){}2log 1na-的通项公式，再利用对数式化指数式可求出n a ；（2）求出数列{}n b 的通项公式，利用定义判断数列{}n b 为等比数列，确定该数列的首项和公比，利用等比数列的求和公式求出n S ，可求出n S 的取值范围，即可得出关于m 的不等式，解出即可. 【详解】（1）设等差数列(){}2log 1n a -的公差为d ，则()()2321222log 1log 1log 8log 22d a a =---=-=，解得1d =，()212log 1log 21a -==，()()2log 1111n a n n ∴-=+-⨯=，12n n a ∴-=，21n n a ∴=+；（2）1221122n n n n b a -===-，11112121222n n n n n n b b -+-∴===，且11b =， 所以，数列{}n b 是以1为首项，以12为公比的等比数列，则11112211212n n n S ⎛⎫⨯- ⎪⎛⎫⎝⎭==- ⎪⎝⎭-， 由于数列{}n S 单调递增，11S =，12n S ∴≤<， 对任意*n N ∈，总有43n m S -<，423m -∴≥，解得10m ≥. 因此，实数m 的取值范围是[)10,+∞. 【点睛】本题考查数列通项的求解，同时也考查了等比数列前n 项和的计算，涉及对数的运算以及数列不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.21．（1）()f x 的递增区间是()0,e ，递减区间是(),e +∞；（2）证明见解析. 【分析】（1）求出函数()y f x =的定义域和导数，然后分别解不等式()0f x '>和()0f x '<，可得出函数()y f x =的递增区间和递减区间；（2）要证22ln x x x x e e<-，即证ln 2x x x x e e <-，构造函数()2x x g x e e =-，证明出()()max min f x g x ≤，并说明两个函数的最值不在同一处取得即可.【详解】 （1）函数()ln x f x x =的定义域为()0,∞+，且()21ln xf x x-'=. 令()0f x '>，即ln 1x <，解得0x e <<；令()0f x '<，即ln 1x >，解得x e >. 因此，函数()y f x =的递增区间是()0,e ，递减区间是(),e +∞；（2）要证22ln x x x x e e<-，即证ln 2x x x x e e <-，构造函数()2x x g x e e =-，其中0x >. 由（1）知，函数()ln x f x x =在x e =处取得极大值，亦即最大值，即()()max 1f x f e e==. ()2x x g x e e =-，()1x x g x e-'∴=.令()0g x '<，得01x <<；令()0g x '>，得1x >.所以，函数()y g x =的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞. 则函数()y g x =在1x =处取得极小值，亦即最小值，即()()min 11g x g e==. ()()maxmin f x g x ∴≤，所以，ln 2x x x x e e <-，因此，22ln xx x x e e <-.【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，同时也考查了利用导数证明函数不等等式，一般转化为函数的最值来处理，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.22．（1）1,2{(11;2x t y t =+=+是参数）（2）2 【详解】（1）直线的参数方程为1cos6{1sin 6x t y t ππ=+=+，即12{112x y t=+=+(t 为参数) （2）把直线312{112x t y t=+=+代入得2221(1)(1)4,1)202t t t ++=+-= 122t t =-，则点P 到,A B 两点的距离之积为223．（1）[]2,3-；（2）(][),62,-∞-+∞.【分析】（1）将1a =代入函数()y f x =的解析式，然后分1x ≤-、12x -<<、2x ≥三种情况讨论，去绝对值，分别解出不等式()5f x ≤，即可得出该不等式的解集；（2）利用绝对值三角不等式求出函数()2f x x a x =++-的最小值为2a +，由题意可得出24a +≥，解出该不等式即可得出实数a 的取值范围. 【详解】（1）当1a =时，()12f x x x =++-.当1x ≤-时，()()()12215f x x x x =-++-=-+≤，解得2x ≥-，此时21x -≤≤-； 当12x -<<时，()1215f x x x =-+-=≤成立，此时12x -<<； 当2x ≥时，()12215f x x x x =++-=-≤，解得3x ≤，此时23x ≤≤. 综上所述，不等式()5f x ≤的解集为[]2,3-；（2）由于不等式()4f x ≥在R 上恒成立，则()min 4f x ≥.由绝对值三角不等式可得()()()222f x x a x x a x a =++-≥+--=+，24a ∴+≥，即24a +≤-或24a +≥，解得6a ≤-或2a ≥.因此，实数a 的取值范围是(][),62,-∞-+∞.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，同时也考查了绝对值不等式恒成立问题的求解，一般转化为函数的最值来处理，涉及了绝对值三角不等式的应用，考查化归与转化思想以及分类讨论思想的应用，属于中等题.。
四川省内江市2021届高三数学第一次模拟考试试题 文(含解析)
四川省内江市2021届高三数学第一次模拟考试试题(shìtí) 文（含解析）第I卷(选择题，共60分）一、选择题(本大题共12小题(xiǎo tí)，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）1.已知集合(jíhé)，，则（）A. B. C. D.【答案(dá àn)】A【解析(jiě xī)】【分析】先求出集合A，由此能求出A∩B．【详解】∵集合A＝{x|x≤1，x∈N}＝{0，1}，又，∴A∩B＝{0，1}．故选A.【点睛】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意条件．2.设，则（）A. B. 2 C. D. 1【答案】C【解析】【分析】利用复数的运算法则及其性质即可得出．【详解】z2i2i＝﹣1﹣i2i=﹣1+i，则|z|．故选：C．【点睛】本题考查了复数的运算法则及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.如图是民航部门统计的某年春运期间12个城市售出的往返机票的平均价格以及相比上年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（）A. 深圳的变化幅度(fúdù)最小，北京的平均价格最髙B. 深圳和厦门的平均价格同去年(qùnián)相比有所下降C. 平均价格从高到低居于(jūyú)前三位的城市为北京、深圳、广州D. 平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市(chéngshì)为天津、西安、厦门【答案(dá àn)】D【解析】【分析】根据折线的变化率，得到相比去年同期变化幅度、升降趋势，逐一验证即可．【详解】由图可知，选项A、B、C都正确，对于D，因为要判断涨幅从高到低，而不是判断变化幅度，所以错误．故选：D．【点睛】本题考查了条形统计图的应用，从图表中准确获取信息是关键，属于中档题．4.记为等差数列的前项和，若，，则数列的公差为（）A. 1B. -1C. 2D. -2【答案】A【解析】【分析】利用等差数列{a n}的前n项和与通项公式列方程组，求出首项和公差，由此能求出数列{a n}的公差．【详解】∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a3＝3，S6＝21，∴，解得a1＝1，d＝1．∴数列(shùliè){a n}的公差(gōngchā)为1．故选：A．【点睛】本题考查数列的公差的求法，考查等差数列的前n项和公式(gōngshì)等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.若，，，则与的夹角(jiā jiǎo)为（）A. B. C. D.【答案(dá àn)】D【解析】【分析】根据，对两边平方即可求出，从而可求出，这样即可求出与的夹角．【详解】∵；∴；∴；∴；又；∴的夹角为．故选：D．【点睛】考查向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，以及已知三角函数值求角，属于基础题.6.在长方体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案(dá àn)】B【解析(jiě xī)】【分析(fēnxī)】由已知画出图形(túxíng)，连接BC1，由AB∥A1B1，可得∠C1AB为异面直线(zhíxiàn)A1B1与AC1所成角，求解三角形得答案．【详解】如图，连接BC1，由AB∥A1B1，∴∠C1AB为异面直线A1B1与AC1所成角，由已知可得，则．∴cos∠C1AB．即异面直线A1B1与AC1所成角的余弦值为．故选：B．【点睛】本题考查异面直线所成角，考查数学转化思想方法，是基础题．7.函数的图象大致是（）A. B.C. D.【答案(dá àn)】C【解析(jiě xī)】【分析(fēnxī)】分析(fēnxī)四个图象的不同，从而判断函数的性质，利用排除法求解．【详解(xiánɡ jiě)】当x→+∞时，f（x）→﹣∞，故排除D；易知f（x）在R上连续，故排除B；且f（0）＝ln2﹣e﹣1＞0，故排除A，故选：C．【点睛】本题考查了函数的性质的判断与数形结合的思想方法应用．8.已知函数，给出下列四个结论：① 函数的最小正周期是；② 函数在区间上是减函数；③ 函数的图像关于点对称；④ 函数的图像可由函数的图像向右平移个单位，再向下平移1个单位得到.其中正确结论的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，求解函数的周期判断①的正误；利用函数的单调性判断②的正误；利用函数y＝sin x的中心判断③的正误；函数的图象的变换判断④的正误；【详解(xiánɡ jiě)】f（x）＝sin2x﹣2sin2x+1﹣1＝sin 2x+cos 2x﹣1sin（2x）﹣1．①因为(yīn wèi)ω＝2，则f（x）的最小正周期(zhōuqī)T＝π，结论(jiélùn)正确．②当x∈[]时，2x∈[，]，则sin x在[]上是减函数(hánshù)，结论正确．③因为f（）＝﹣1，得到函数f（x）图象的一个对称中心为（，﹣1），结论不正确．④函数f（x）的图象可由函数y sin2x的图象向左平移个单位再向下平移1个单位得到，结论不正确．故正确结论有①②，故选：B．【点睛】本题考查了命题的真假的判断，三角函数的化简以及图象和性质的应用问题，是综合性题目．9.若函数，则曲线在点处的切线的倾斜角是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，设切线的斜率为k，其倾斜角是θ，求出函数f（x）的导数，利用导数的几何意义可得k＝f′（1），即tanθ，结合θ的范围，分析可得答案．【详解】根据题意，设切线的斜率为k，其倾斜角是θ，f（x）lnx﹣x，则f′（x）x21，则有k＝f′（1），则tanθ，又由0≤θ＜π，则θ，故选：B．【点睛】本题考查利用导数分析切线的方程，关键是掌握导数的几何意义，属于基础题．10.设表示不小于实数的最小整数，执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A. 14B. 15C. 16D. 17【答案(dá àn)】A【解析(jiě xī)】【分析(fēnxī)】根据题意，模拟程序框图的运行过程(guòchéng)，依次写出每次循环得到的S，i的值，当i＝8时，退出循环(xúnhuán)，得到输出的S的值．【详解】模拟程序框图的运行过程，如下；i＝1，S＝0，不满足条件,执行循环体，S＝0+＝0，i=2,不满足条件i＞7,S＝0+＝1，i=3,不满足条件i＞7,S＝1+＝3，i=4,不满足条件i＞7,S＝3+＝5，i=5,不满足条件i＞7,S＝5+＝8，i=6,不满足条件i＞7,S＝8+＝11，i=7,不满足条件i＞7,S＝11+＝14，i=8,满足条件i＞7，退出循环，输出S的值为14．故选A.．【点睛】本题考查了循环结构的程序框图的应用问题，考查了新概念表示的意义，解题时应模拟程序框图的运行过程，从而得出该程序运行后的结果，属于基础题．11.在中，已知，，点D为BC的三等分点(靠近C)，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案(dá àn)】C【解析(jiě xī)】【分析(fēnxī)】利用向量(xiàngliàng)加法法则把所求数量积转化为向量的数量积，再利用(lìyòng)余弦函数求最值，得解．【详解】如图，＝8﹣1＝7﹣2cos∠BAC∵∠BAC∈（0，π），∴cos∠BAC∈（﹣1，1），∴7﹣2cos∠BAC∈（5，9），故选：C．【点睛】此题考查了数量积，向量加减法法则，三角函数最值等，难度不大．12.设函数在R上存在导数，对任意的，有，且时，．若，则实数a的取值范围为A. B. C. D.【答案】A【解析(jiě xī)】【分析(fēnxī)】构造函数，由可得在上是增函数，在上单调(dāndiào)递减，原不等式等价(děngjià)于，从而(cóng ér)可得结果.【详解】设，则时，，为偶函数，在上是增函数，时单调递减.所以可得，，即，实数的取值范围为，故选A.【点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.若函数满足，且，则 ______.【答案】【解析】【分析】根据题意，有f（x+1）＝﹣f（x）可得f（x+2）＝﹣f（x+1）＝f（x），即可得函数是周期为2的周期函数，则有f（15）＝f（1+14）＝f（1），又由f（x+1）＝﹣f（x）可得f（1）的值，分析可得答案．【详解】根据题意(tí yì)，函数f（x）满足(mǎnzú)f（x+1）＝﹣f（x），则有f（x+2）＝﹣f（x+1）＝f（x），即函数是周期(zhōuqī)为2的周期函数，则f（15）＝f（1+14）＝f（1），又由f（1）＝﹣f（0）＝﹣2；故f（15）＝﹣2；故答案(dá àn)为：﹣2．【点睛】本题考查函数值的计算，涉及(shèjí)函数的周期性，关键是分析函数的周期性．14.设，满足约束条件，则的最小值为______.【答案】【解析】【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【详解】由约束条件作出可行域如图，化目标函数z＝2x+y为y＝﹣2x+z，由图可知，当直线y＝﹣2x+z过A（1，2）时直线在y轴上的截距最小，z最小z＝2×1+2＝4．故答案为4．【点睛】本题考查了简单(jiǎndān)的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15.已知、分别(fēnbié)是椭圆的左、右焦点(jiāodiǎn)，是上一点(yī diǎn)，若，且的面积(miàn jī)为，则椭圆的离心率为______.【答案】【解析】【分析】由已知利用椭圆定义及勾股定理求得，结合△PF1F2的面积为ab，可得a＝2b，则椭圆离心率可求．【详解】如图，∵•0，∴，则，∴，即，得，又△PF1F2的面积为ab，∴，即a＝2b．∴e．故答案为：．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查椭圆定义(dìngyì)及勾股定理的应用，是中档题．16.设数列(shùliè)满足(mǎnzú)，，，，则______.【答案(dá àn)】【解析(jiě xī)】【分析】数列{a n}满足a1＝1，a2＝4，a3＝9，a n＝a n﹣1+a n﹣2﹣a n﹣3（n∈N*，n≥4），即a n+a n﹣3＝a n﹣1+a n（n∈N*，n≥4），a4＝a3+a2﹣a1＝12，同理可得：a5＝17．a6＝20，a7＝25，a8＝28，a9＝﹣233，……．可得数列{a n}的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差都为8,即可得出．【详解】∵数列{a n}满足a1＝1，a2＝4，a3＝9，a n＝a n﹣1+a n﹣2﹣a n﹣3（n∈N*，n≥4），a4＝a3+a2﹣a1＝12，同理可得：a5＝17．a6＝20，a7＝25，a8＝28，a9＝33，……．有a1＝1，a3＝9，a5＝17，a7＝25，a9＝33，……a2＝4，a4＝12；a6＝20，a8＝28，……∴数列{a n}的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差都为8．则a2021＝a2+（1009﹣1）×8＝4+8064＝8068．故答案为：8068．【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题：共60分.17.等比数列的各项均为正数，且求数列的通项公式.设求数列的前n项和.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）设出等比数列的公比q，由，利用等比数列的通项公式化简后得到关于q的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意q的值，然后再根据等比数列的通项公式化简，把求出的q的值代入即可求出等比数列的首项，根据首项和求出的公比q写出数列的通项公式即可；（Ⅱ）把（Ⅰ）求出数列{an}的通项公式代入设b n＝log3a1＋log3a2＋…＋log3a n，利用对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式化简后，即可得到bn的通项公式，求出倒数即为的通项公式，然后根据数列的通项公式列举出数列的各项，抵消后即可得到数列{}的前n项和试题(shìtí)解析：（Ⅰ）设数列{a n}的公比(ɡōnɡ bǐ)为q,由＝9a2a6得＝9,所以(suǒyǐ)q2＝．由条件(tiáojiàn)可知q＞0,故q＝．由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1,所以(suǒyǐ)a1＝．故数列{a n}的通项公式为a n＝．（Ⅱ）b n＝log3a1＋log3a2＋…＋log3a n＝－（1＋2＋…＋n）＝－．故．所以数列的前n项和为考点：等比数列的通项公式；数列的求和18.国家质量监督检验检疫局于2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检验》国家标准．新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升，小于80毫克/百毫升为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升为醉酒驾车．经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”如下：该函数模型如下：根据上述条件(tiáojiàn)，回答以下问题：（1）试计算喝1瓶啤酒(píjiǔ)多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？（2）试计算(jì suàn)喝一瓶啤酒多少小时后才可以驾车？（时间以整小时计算）（参考(cānkǎo)数据：）【答案】（1）喝1瓶啤酒后1.5小时血液中的酒精含量达到最大值44.42毫克/百毫升；（2）喝1瓶啤酒后需6小时后才可以(kěyǐ)合法驾车.【解析】试题分析：（1）由图可知，当函数取得最大值时，，根据函数模型，即可求出最大值；（2））由题意知，当车辆驾驶人员血液中的酒精小于20毫克/百毫升时可以驾车，此时，然后解不等式，即可求出.试题解析：（1）由图可知，当函数取得最大值时，，此时，当，即时，函数取得最大值为.故喝1瓶啤酒后1.5小时血液中的酒精含量达到最大值44.42毫克/百毫升.（2）由题意知，当车辆驾驶人员血液中的酒精小于20毫克/百毫升时可以驾车，此时. 由，得：，两边取自然对数得：即，∴，故喝1瓶啤酒后需6小时后才可以合法驾车.19.如图,是直角斜边上一点,．（Ⅰ）若，求角的大小；（Ⅱ）若，且，求的长．【答案(dá àn)】（I）；（II）2.【解析(jiě xī)】【分析(fēnxī)】（1）先根据正弦(zhèngxián)定理求得，由此得到(dé dào)的值，进而求得，在直角三角形中求得的大小.（2）设，利用表示出，求得的值，利用余弦定理列方程，解方程求出，也即求得的值.【详解】（1）在中，根据正弦定理，有，∵，∴，又，∴，于是，∴.（2）设，则，，，于是，，，在中，由余弦定理，得，即，，故.【点睛】本小题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，考查三角形内角和定理，考查方程的思想，属于基础题.20.某中学为了了解全校情况，在全校采用随机抽样的方法抽取了 40 名学生（其中男女生人数恰好各占一半）进行问卷调查，并进行了统计，按男女分为两组，再将每组次数分为5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图：（1）求的值；（2）求抽取的40名次数不少于15次的人数；（3）再从月上网次数不少于20 次的学生中随机抽取2人，求至少抽到1名女生的概率.【答案(dá àn)】（1）；（2）人；（3）.【解析(jiě xī)】【分析(fēnxī)】（1）根据(gēnjù)频率分布直方图计算a的值即可；（2）根据频率直方图求出女生(nǚshēng)、男生月上网次数不少于15次的频率，计算对应的频数，再求和；（3）利用列举法求基本事件数，计算对应的概率值即可．【详解】解析：（1）由，得.（2）在所抽取的女生中，月上网次数不少于15次的学生频率为，∴在所抽取的女生中，月上网次数不少于15次的学生有人.在所抽取的男生中，月上网次数不少于15次的学生频率为，∴在所抽取的男生中，月上网次数不少于15次的学生有人.故抽取的40名次数不少于15次的人数有人.（3）记“再从月上网次数不少于20次的学生中随机抽取2人，至少抽到1名女生”为事件，在抽取的女生中，月上网次数不少于20次的学生频率为，人数为. 在抽取的男生中,月上网次数不少于20次的学生频率为，人数为. 记两名女生为，，三名男生为，，，则在抽取的40名次数不少于20次的学生中随机抽取2人，所有可能有 10种：即，，,，，，，，，,而事件包含的结果有 7 种：，，，，，，，∴.【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了用列举(lièjǔ)法求古典概型的概率问题，是基础题目．21.已知函数(hánshù).（1）当时，恒成立(chénglì)，求的值；（2）若恒成立(chénglì)，求的最小值.【答案(dá àn)】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最大值，从而求出a的值即可；（2）把f（x）≤0恒成立，转化为lnx≤ax+b恒成立，当a≤0时显然不满足题意；当a＞0时，要使lnx≤ax+b对任意x＞0恒成立，需要直线y＝ax+b与曲线y＝lnx相切，设出切点坐标，把a，b用切点横坐标表示，得到a+b lnx0﹣1（x0＞0），构造函数g（x）lnx﹣1，利用导数求其最小值得答案．【详解】解：（1）由，得，则.∴.若，则，在上递增.又，∴.当时，不符合题意.② 若，则当时，，递增；当时，，递减.∴当时，.欲使恒成立，则需记，则.∴当时，，递减；当时，，递增.∴当时，综上所述，满足题意的.（2）由（1）知，欲使恒成立(chénglì)，则.而恒成立(chénglì)恒成立(chénglì)函数(hánshù)的图象(túxiànɡ)不在函数图象的上方，又需使得的值最小，则需使直线与曲线的图象相切.设切点为，则切线方程为，即..∴ .令，则.∴当时，，递减；当时，，递增.∴.故的最小值为0.【点睛】本题考查导数在最大值与最小值问题中的应用，考查数学转化思想方法，是综合题．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （1）求曲线的普通方程和的直角坐标方程；（2）已知曲线的极坐标方程为，点是曲线与的交点，点是曲线与的交点，且，均异于原点，，求的值.【答案】（1）的普通方程为.的直角坐标方程为；（2）.【解析】【分析】（1）由曲线C1的参数方程消去参数能求出曲线C1的普通方程；曲线C2的极坐标方程化为ρ2＝4ρsinθ，由此能求出C2的直角坐标方程．（2）曲线C1化为极坐标方程为ρ＝4cosθ，设A（ρ1，α1），B（ρ2，α2），从而得到|AB|＝|ρ1﹣ρ2|＝|4sinα﹣4c osα|＝4|sin（）|＝4，进而sin（）＝±1，由此能求出结果．【详解(xiánɡ jiě)】解：（1）由消去参数(cānshù)，得的普通(pǔtōng)方程为.∵，又，∴的直角坐标(zhí jiǎo zuò biāo)方程为.（2）由（1）知曲线(qūxiàn)的普通方程为，∴其极坐标方程为，∴.∴又，∴.【点睛】本题考查曲线的普通方程、直角坐标方程的求法，考查角的求法，涉及到直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．23.已知.（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为实数集，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）当a＝﹣3时，f（x）＝x2+|2x﹣4|﹣3，通过对x的取值范围分类讨论，去掉绝对值符号，即可求得不等式f（x）＞x2+|x|的解集；（2）f（x）≥0的解集为实数集R⇔a≥﹣x2﹣|2x﹣4|，通过对x的取值范围分类讨论，去掉绝对值符号，可求得﹣x2﹣|2x﹣4|的最大值为﹣3，从而可得实数a的取值范围．【详解】解：（1）当时，.∴.或或或或或.∴当时，不等式的解集为.（2）∵的解集为实数(shìshù)集对恒成立(chénglì).又，∴.∴.故的取值范围(fànwéi)是.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，着重考查分类讨论思想(sīxiǎng)的应用，去掉绝对值符号是解不等式的关键，属于中档题．内容总结（1）当时，，递增.∴.故的最小值为0.【点睛】本题考查导数在最大值与最小值问题中的应用，考查数学转化思想方法，是综合题．重点中学试卷可修改欢迎下载（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （1）求曲线的普通方程和的直角坐标方程- 21 -。
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∴ ｆ（ｘ）在（１ｅ ，１）上单调递增，在（１，ｅ）上单调递减， １０ 分
∴
ｆ（ｘ）在［１ ｅ
，ｅ］上的极大值为ｆ（１）＝
－
１ ２
，无极小值．
１２
分
解：（）（） 槡 （ ） 分 １９．
１ｆｘ
＝
２３ｓｉｎ２ｘ ＋
１ ２
ｃｏｓ２ｘ
＋
１
＝ ｓｉｎ
２ｘ ＋
π ６
ｂｎ
＝ ３ｎ＋１
１ １ － ａｎ
１ － ａｎ＋１
＝
１
３ ｎ ＋１
１
－
１ ３ｎ
１
－
１ ３ ｎ ＋１
（ ）（ ） 分 ＝
３ｎ ３ｎ － １ ３ｎ＋１ － １
８
（ ） 分 ＝
１ ２
１ ３ｎ －
１
－
１ ３ｎ＋１ －
１
．
１０
所以 ［（ ） （ ） … （ ）］ Ｓｎ
４５
６５
３０
３５
分 ２
合 计
２５
７５
１００
根据列联表中的数据可得，ｋ ＝ １００ × （２０ × ３０ － ４５ × ）５ ２ ６５ × ３５ × ２５ × ７５
分 ＝
１００ × ３ １３ × ７
≈ ３． ２９７
＞ ２． ７０６
４
所以可以在犯错误的概率不超过０． １０ 的前提下认为网购迷与年龄不超过４０ 岁有关；
＝
１ ２
１ ３１ －
１
－
１ ３２ －
１
＋
３２
１ －
１
－
１ ３３ －
１
＋
＋
１ ３ｎ －
１
－
１ ３ｎ＋１ －
１
（ ） 分 ＝
１ ４
－ ２
１ ３ｎ＋１ － １Fra bibliotek １２
高三一模考试数学（文科）试题答案第 ２ 页（共４ 页）内江一模
解：（） （） ， 分 ２１． １ ｆ′ ｘ ＝ λｅｘ － ２ｘ １ 据题意得ｆ′（ｘ）＝ λｅｘ － ２ｘ ＝ ０ 有两个不同的实数根ｘ１、ｘ２ 当λ ≤ ０ 时，ｆ″（ｘ）＝ λｅｘ － ２ ＜ ０，因此ｆ′（ｘ）在Ｒ 上递减，不合题意，∴ λ ＞ ０ 分 ２
内江市高中 ２０２１ 届第一次模拟考试题
数学（文科）参考答案及评分意见
一、选择题（本大题共１２ 小题，每小题５ 分，共６０ 分． ）
１． Ｂ ２． Ａ ３． Ｂ ４． Ｃ ５． Ａ ６． Ｄ ７． Ｃ ８． Ｄ ９． Ｄ １０． Ａ １１． Ｂ １２． Ｃ
二、填空题（本大题共４ 小题，每小题５ 分，满分２０ 分． ）
， 分 ∵ ０
＜
Ｂ
＜
２π ３
∴Ｂ
＝
π ４
１２
解：（）因为数列｛ ｝满足： … （ ）， ２０． １
ａｎ
ａ１ ＋ ３ａ２ ＋ ３２ ａ３ ＋
＋ ３ｎ－１ ａｎ
＝
ｎ ３
ｎ ∈ Ｎ
所以，当 时， 分 ｎ ＝ １
ａ１
＝
１ ３
令（） ，解得 ， 分 ｆ″ ｘ ＝ ０
ｘ ＝ ｌｎ ２ λ
３
∴
函数ｆ′（ｘ）＝
ｌｎｘ
－
１ ２
ｘ２，定义域为（０，＋
）∞ ．
（） ， ｆ′ ｘ ＝ １ － ｘ ＝ １ － ｘ２
ｘ
ｘ
高三一模考试数学（文科）试题答案第 １ 页（共４ 页）内江一模
令（） ，得 ，令（） ，得 分 ｆ′ ｘ ＞ ０ ０ ＜ ｘ ＜ １ ｆ′ ｘ ＜ ０ ｘ ＞ １． ８
函数ｆ（ｘ）在ｘ ＝
１
处与直线ｙ ＝
－
１ ２
相切，
（） ｆ′ １ ＝ ０
，即 ， 分 ∴
{ （） { ｆ １
＝－
１ ２
ａ － ２ｂ ＝ ０
－ｂ
＝－
１ ２
４
解得{ 分 ａ ＝ １
ｂ
＝
１． ２
６
（２）由（１）得ｆ（ｘ）＝
过４０ 岁的基本事件是ＡＢ、Ａｃ、Ａｄ、Ｂｃ、Ｂｄ 共有种， ５ １０ 分
故所求的概率为 分 Ｐ ＝
５ ６
１２
解：（） （） 分 １８．
１ ｆ′ ｘ
＝
ａ ｘ
－ ２ｂｘ
２
∵
分 ６
（２）由频率分布直方图可知，超级网购迷共有４ 名，记其中年龄超过４０ 岁的２ 名市民为Ａ、
，其余名市民记为、， 分 Ｂ
２
ｃ ｄ ８
现从４ 人中任取２ 人，基本事件是ＡＢ、Ａｃ、Ａｄ、Ｂｃ、Ｂｄ、ｃｄ 共有６ 种，至少有１ 名市民年龄超
＋ １ ２
［， ］， 分 ∵ ｘ ∈
０
π ２
∴
π ６
≤ ２ｘ
＋
π ６
≤
７π ６
４
（ ） ∴
１ ２
≤ ｓｉｎ
２ｘ
＋
π ６
＋ １ ≤２
函数（）的值域为［ ，］ 分 ∴
ｆｘ
１ ２
２
．
６
（） （） （ ） ， （ ） ２ ∵ ｆ Ａ
＝
ｓｉｎ
２Ａ
＋
π ６
＋１ ＝
３ ２
∴ ｓｉｎ
２Ａ
＋
π ６
＝
１ ２
， ， ∵ ０
＜Ａ＜π
∴
π ６
＜ ２Ａ ＋ π ６
＜ １３π ６
，即 分 ∴ ２Ａ ＋
π ６
＝
５π ６
Ａ
＝
π ３
９
由正弦定理， 槡 槡， 槡 槡 ， 槡 ∵ ２ａ ＝ ３ｂ ∴ ２ｓｉｎＡ ＝ ３ｓｉｎＢ ∴ ｓｉｎＢ ＝ ２ ２
２
当 时， … ， ｎ ≥ ２
ａ１ ＋ ３ａ２ ＋
＋ ３ｎ－２ ａｎ－１
＝
ｎ －１ ３
相减可得 ，所以 分 ３ｎ－１ａｎ
＝
１ ３
ａｎ
＝
１ ３ｎ
４
综上可得， （ ） 分 ａｎ
＝
１ ３ｎ
ｎ ∈ Ｎ
６
（）因为 （ ）（ ） （ ）（ ） ２
槡 或 １３． ３ １４． ２０ １５． ４ ５ １６． ③ ④
三、解答题（共７０ 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第１７ ～２１ 题为必考题， 每个试题考生都必须作答，第２２、２３ 题为选考题，考生根据要求作答． ）
１７． 解：（１）由题意可得列联表如下：
网购迷 非网购迷 合计
年龄不超过４０ 岁 ２０ 年龄超过４０ 岁 ５