2020版新课标·名师导学·高考第一轮总复习理科数学(课件 学案 考点集训 ) (3)

x0＝1， 解得y0＝－4，
r＝2 2. 因此所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
【点评】(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求 出圆心坐标和半径，进而写出方程．
(2)待定系数法 ①若已知条件与圆心(a，b)和半径 r 有关，则设圆 的标准方程，依据已知条件列出关于 a，b，r 的方程 组，从而求出 a，b，r 的值； ②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择 圆的一般方程，依据已知条件列出关于 D、E、F 的方 程组，进而求出 D、E、F 的值．
b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；②形如 t＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问 题；③形如(x－a)2＋(y－b)2 型的最值问题，可转化为 动点到定点(a，b)的距离平方的最值问题．
考点 3 与圆有关的综合问题
例4已知圆 C 过点 P(1，1)，且与圆 M：(x＋2)2＋ (y＋2)2＝r2(r＞0)关于直线 x＋y＋2＝0 对称．
(3)由题意知，直线 PA 和直线 PB 的斜率存在，且 互为相反数，故可设 PA：y－1＝k(x－1)，
则 PB：y－1＝－k(x－1)，由yx－2＋1y＝2＝k（2 x－1）， 得(1＋k2)x2＋2k(1－k)x＋(1－k)2－2＝0， 因为点 P 的横坐标 x＝1 一定是该方程的解， 故可得 xA＝k2－1＋2kk－2 1，同理，xB＝k2＋1＋2kk－2 1，
【解析】因为 x2＋y2＋2x＋2ky＋2k2＝0，所以(x
＋1)2＋(y＋k)2＝1－k2，因此圆面积为(1－k2)π，∴k
＝0 时圆面积最大，此时圆心坐标为(－1，0)．
【答案】B
2．若点(2a，a＋1)在以(0，1)为圆心，半径为 5的
圆内，则实数 a 的取值范围是( ) A．(－1，1) B．(0，1)
(2)圆的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 可变形为 x＋D2 2＋y＋E2 2＝__D2＋E42－4F __.
故有：①当 D2＋E2－4F>0 时,方程表示以 －__D2 ，－E2__为圆心,以__D2＋2E2－4F__为半径的圆；
②当 D2＋E2－4F＝0 时,方程表示一个点_－_ D2 ，_ －E2_ ； ③当 D2＋E2－4F<0 时,方程不表示任何图形.
36＋4＋6D＋2E＝0， E＝－2. 所以三角形的外接圆的方程为 x2＋y2－6x－2y＝0.
【答案】x2＋y2－6x－2y＝0
【知识要点】
1.圆的定义 平面内与定点的距离等于定长的点的集合,其中定 点是圆心,定长为半径. 2.圆的方程 (1)圆的标准方程 圆心是(a,b),半径是 r 的圆的标准方程是 _(x－a)2＋(y－_b)2＝r2__. 当圆心在(0,0)时,方程为__x2＋y2＝r2 __.
1．在求圆的方程时，应根据题意，合理选择圆的 方程形式．圆的标准方程突出了圆心坐标和半径，便 于作图使用；圆的一般方程是二元二次方程的形式， 便于代数运算；而圆的参数方程在求范围和最值时应 用广泛．同时，在选择方程形式时，应熟悉它们的互 化．如果问题中给出了圆心与圆上的点两坐标之间的 关系或圆心的特殊位置时，一般用标准方程；如果给 出圆上的三个点的坐标，一般用一般方程．
C.－1，15
D.－15，1
【解析】由题意，4a2＋a2＜5， 即 a2＜1， 解之得：－1＜a＜1.
【答案】A
3．方程 ax2＋ay2－4(a－1)x＋4y＝0 表示圆，则 a
的取值范围是( )
A．a∈R
B．a≠1 且 a∈R
C．a≠0 且 a∈R D．a∈(0，4]
【解析】∵a≠0 时，方程为x－2（aa－1）2＋ y＋2a2＝4（a2－a22a＋2），由 a2－2a＋2＞0 恒成立， ∴a≠0 且 a∈R 时方程表示圆．
(1)求圆 C 的方程； (2)设 Q 为圆 C 上的一个动点，求P→Q·M→Q的最小 值； (3)过点 P 作两条相异直线分别与圆 C 相交于 A， B，且直线 PA 和直线 PB 的倾斜角互补，O 为坐标原 点，试判断直线 OP 和 AB 是否平行？请说明理由．
【解析】(1)设圆心 C(a，b)，
【答案】C
4．圆 C 是以直线 l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＋2m＝0 的定点为圆心，半径 r＝4 的圆，则圆 C 的方程为( )
A．(x＋2)2＋(y－2)2＝16 B．(x－2)2＋(y－2)2＝16 C．(x－2)2＋(y＋2)2＝16 D．(x＋2)2＋(y＋2)2＝16
【解析】由(2m＋1)x＋(m＋1)y＋2m＝0 有(2x＋y ＋2)m＋(x＋y)＝0，所以直线过定点(－2，2)，则所求 圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝16.
又|QC|＝ （2＋2）2＋（7－3）2＝4 2>2 2，即 点 Q 在圆 C 外，
所以|MQ|max＝4 2＋2 2＝6 2，
|MQ|min＝4 2－2 2＝2 2.
(2)可知mn－＋32表示直线 MQ 的斜率， 设直线 MQ 的方程为 y－3＝k(x＋2)， 即 kx－y＋2k＋3＝0，则mn－＋32＝k. 由直线 MQ 与圆 C 有交点， 所以|2k－71＋＋2kk2＋3|≤2 2，
第64讲 圆的方程
【学习目标】 1．掌握圆的标准方程和一般方程，会用圆的方程 及其几何性质解题． 2．能根据所给条件选取适当的方程形式，利用待 定系数法求出圆的方程，解决与圆有关的问题．
来自百度文库
【基础检测】 1．当圆 x2＋y2＋2x＋2ky＋2k2＝0 的面积最大时， 圆心坐标是( ) A．(0，－1) B．(－1，0) C．(1，－1) D．(－1，1)
即 x1x2－4x1＋x2＋y1y2＋2y1＋y2＋20＝0. 由(1)可得 y1y2＝－4，x1x2＝4， 所以 2m2－m－1＝0， 解得 m＝1 或 m＝－12.
当 m＝1 时，直线 l 的方程为 x－y－2＝0，圆心 M 的坐标为(3，1)，圆 M 的半径为 10，圆 M 的方程
【解析】由题意知圆过(4，0)，(0，2)，(0，－2) 三点，(4，0)，(0，－2)两点的垂直平分线方程为 y＋1 ＝－2(x－2)，
令 y＝0，解得 x＝32，圆心为32，0，半径为52.
【答案】x－322＋y2＝245
例2根据下列条件，求圆的方程．
(1)经过 P(－2，4)、Q(3，－1)两点，并且在 x 轴 上截得的弦长等于 6；
为x－32＋y－12＝10. 当 m＝－12时，直线 l 的方程为 2x＋y－4＝0，圆
心 M 的坐标为94，－12，圆 M 的半径为 485，圆 M 的 方程为x－942＋y＋122＝8156.
(2)由(1)可得 y1＋y2＝2m，x1＋x2＝my1＋y2＋4＝ 2m2＋4.
故圆心 M 的坐标为m2＋2，m，圆 M 的半径 r＝
m2＋22＋m2， 由于圆 M 过点 P(4，－2)，因此A→P·B→P＝0， 故x1－4x2－4＋y1＋2y2＋2＝0，
(2)圆心在直线 y＝－4x 上，且与直线 l：x＋y－1 ＝0 相切于点 P(3，－2)．
【解析】(1)设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 将 P，Q 两点的坐标分别代入得
2D－4E－F＝20， ① 3D－E＋F＝－10. ②
又令 y＝0，得 x2＋Dx＋F＝0.③ 设 x1，x2 是方程③的两根， 由|x1－x2|＝6 有 D2－4F＝36，④ 由①、②、④解得 D＝－2，E＝－4，F＝－8， 或 D＝－6，E＝－8，F＝0. 故所求圆的方程为 x2＋y2－2x－4y－8＝0，或 x2＋y2－6x－8y＝0.
【答案】A
5．在平面直角坐标系中，三点 O(0，0)，A(2，4)， B(6，2)，则三角形 OAB 的外接圆方程是________．
【解析】设三角形 OAB 的外接圆方程是 x2＋y2＋ Dx＋Ey＋F＝0，
由点 O(0，0)，A(2，4)，B(6，2)在圆上， 可得4F＋＝106，＋2D＋4E＝0，解得FD＝＝0－，6，
2．在二元二次方程中 x2 和 y2 的系数相等并且没 有 xy 项，只是表示圆的必要条件而不是充分条件．
3．在解决与圆有关的问题时，要充分利用圆的几 何性质，这样会使问题简化．涉及与圆有关的最值问 题或范围问题时应灵活、恰当运用参数方程．
1．(2017·全国卷Ⅲ)已知抛物线 C：y2＝2x，过点 (2，0)的直线 l 交 C 于 A，B 两点，圆 M 是以线段 AB 为直径的圆．
(3)点 P(x0,y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置 关系：
①若(x0－a)2＋(y0－b)2>r2,则点 P 在圆外； ②若(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2,则点 P 在圆上； ③若(x0－a)2＋(y0－b)2<r2,则点 P 在圆内.
考点 1 求圆的方程
例1一个圆经过椭圆1x62＋y42＝1 的三个顶点，且圆心在 x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为_________________．
可得 2－ 3≤k≤2＋ 3，
所以mn－＋32的最大值为 2＋ 3，最小值为 2－ 3.
【点评】与圆有关的最值问题的常见类型及解题 策略
(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一 般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数 形结合求解．
(2)与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及
解法．①形如 u＝yx－－ba型的最值问题，可转化为过点(a，
(2)法一：如图，设圆心(x0，－4x0)， 依题意得43x－0－x02＝1，
∴x0＝1，即圆心坐标为(1，－4)，半径 r＝2 2， 故圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
法二：设所求方程为(x－x0)2＋ (y－y0)2＝r2， 根据已知条件得
y0＝－4x0， （3－x0）2＋（－2－y0）2＝r2， |x0＋y20－1|＝r，
则baa－＋＋2 222＋＝b1－，2 2＋2＝0，解得ab＝＝00，，
又点 P(1，1)在圆 C 上， 故圆 C 的方程为 x2＋y2＝2. (2)设 Q(x，y)，则 x2＋y2＝2， P→Q·M→Q＝(x－1，y－1)·(x＋2，y＋2) ＝x2＋y2＋x＋y－4＝x＋y－2. 所以P→Q·M→Q的最小值为－4(可由线性规划或三角 代换求得)．
考点 2 与圆有关的最值问题、范围问题
例3已知 M 为圆 C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0 上任 意一点，且点 Q(－2，3)．
(1)求|MQ|的最大值和最小值； (2)若 M(m，n)，求mn－＋32的最大值和最小值．
【解析】(1)由圆 C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0， 可得(x－2)2＋(y－7)2＝8， 所以圆心 C 的坐标为(2，7)，半径 r＝2 2.
所以 kAB＝yxBB－－yxAA＝－k（xB－1x）B－－xAk（xA－1）
＝2k－kx（B－xBx＋A xA）＝1＝kOP， 所以直线 AB 和 OP 一定平行．
【点评】(1)两圆关于某直线对称，其圆心对称， 半径相等．
(2)通过坐标计算数量积，等价转化为求函数最值． (3)通过“设而不求”的思想处理．
(1)证明：坐标原点 O 在圆 M 上； (2)设圆 M 过点 P(4，－2)，求直线 l 与圆 M 的方 程．
【解析】(1)设 Ax1，y1，Bx2，y2，l：x＝my＋2，
由xy＝2＝m2xy＋2， 可得 y2－2my－4＝0，则 y1y2＝－4.
又 x1＝y221，x2＝y222，故 x1x2＝y1y422＝4. 因此 OA 的斜率与 OB 的斜率之积为yx11·yx22＝－44＝ －1， 所以 OA⊥OB. 故坐标原点 O 在圆 M 上．