小学奥数专题之-数论专题典型结论汇总
小学奥数知识点梳理1——数论
小学奥数知识点梳理1——数论数论是研究整数及其性质的学科。
其中包括奇偶、整除、余数、质数合数、约数倍数、平方、进制和位值等方面的内容。
首先，奇偶性是整数的基本属性之一，一个整数要么是奇数，要么是偶数。
对于奇偶数的运算性质，有以下规律：（1）奇数加减奇数得偶数，偶数加减偶数得偶数，奇数加减偶数得奇数，偶数加减奇数得奇数；（2）奇数个奇数的和或差为奇数，偶数个奇数的和或差为偶数，任意多个偶数的和或差总是偶数；（3）奇数乘奇数得奇数，偶数乘偶数得偶数，奇数乘偶数得偶数；（4）若干个整数相乘，其中有一个因数是偶数，则积是偶数；如果所有的因数都是奇数，则积是奇数；（5）偶数的平方能被4整除，奇数的平方被4除余1.总之，几个整数相加减，运算结果的奇偶性由算式中奇数的个数所确定。
其次，整除是数论中的重要概念。
要掌握能被30以下质数整除的数的特征。
例如，被2整除的数的特征为它的个位数字之和可以被2整除，被3或9整除的数的特征为它的各位数字之和可以被3或9整除，被5整除的数的特征为它的个位数字之和可以被5整除。
而对于被7、11、13整除的数的特征，可以使用关键性式子7×11×13=1001.判定一个数能否被7或11或13整除，只需把这个数的末三位与前面隔开，分成两个独立的数，取它们的差（大减小），看它是否被7或11或13整除。
此法则可以连续使用。
最后，还有进制和位值等方面的内容。
其中，进制是指计数的基数，如十进制、二进制、八进制和十六进制等。
而位值则是指数位所代表的数值大小，如十进制数中的个位、十位、百位等。
掌握进制和位值的概念，可以更好地理解数的表示和计算方法。
总之，数论是一门重要的数学学科，涉及到整数及其性质的多个方面。
掌握数论的基本概念和规律，可以更好地理解和应用数学知识。
N=xxxxxxxx，判断N能否被17整除。
由于429=25×17+4，所以N不能被17整除。
N=xxxxxxx，判断N能否被17整除。
202X年小学奥数知识点梳理数论
千里之行，始于足下。
202X年小学奥数知识点梳理数论202X年小学奥数知识点梳理数论数论是数学中的一个重要分支，研究整数的性质与关系。
在小学奥数竞赛中，数论常常是一个重要的考点。
下面是202X年小学奥数的数论知识点梳理。
1. 基本概念- 整数：正整数、负整数和零的总称。
- 偶数与奇数：能被2整除的整数称为偶数，不能被2整除的整数称为奇数。
- 素数与合数：除了1和自身外，没有其他因数的整数称为素数，否则称为合数。
- 因数与倍数：如果a能够整除b，那么称a是b的因数，b是a的倍数。
2. 最大公约数与最小公倍数- 最大公约数（GCD）：两个数公有的最大因数称为最大公约数。
- 最小公倍数（LCM）：两个数公有的最小倍数称为最小公倍数。
3. 质因数分解- 质因数：一个整数如果除了1和它本身外没有其他因数，那么它是一个质数，否则它是合数。
将一个合数分解成质因数的乘积的形式，称为质因数分解。
- 质因数分解算法：从最小的质数2开始，依次判断是否为这个数的因数，如果是，则除以这个数，继续判断剩下的数是否能被这个质数整除，直到无法整除为止。
第1页/共3页锲而不舍，金石可镂。
4. 奇数数列与偶数数列- 一个数列中，从第一个数开始，每个数都比前一个数大2，这个数列称为奇数数列- 一个数列中，从第一个数开始，每个数都比前一个数大2，这个数列称为偶数数列5. 数组与数列- 数组是有序数的集合。
- 数列是数按一定顺序排列起来的表现形式。
6. 公式与规律- 两个偶数的和是偶数，两个奇数的和是偶数，一个偶数和一个奇数的和是奇数。
- 奇数个奇数的积是奇数，偶数个奇数的积是偶数。
- 一组数的和与这组数里所有的数的奇偶性有关。
- 奇数个奇数的和与这组奇数的个数的奇偶性有关，偶数个奇数的和与所有奇数的奇偶性有关。
- 相邻两个数之间的差是固定的。
7. 排列组合- 排列：从n个不同元素中取r个元素（r≤n）按一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取r个元素的一个排列。
小升初数学-数论-奥数篇-最大公因数与最小公倍数专题解析 必考知识点
最大公因数与最小公倍数1. 一个数的最大公因数与最小公倍数的关系一一个数的最大公因数与最小公倍数的关系两数a ，b与它们的最大公因数，最小公倍数的关系例1.判断：a=2×2×5,b=2×3×5,a和b 的最小公倍数是120.（）1. 数a分解质因数是a=2×2×3，数b分解质因数是b=2×3×5,数a 和数b的最大公因数是（）最小公倍数是（）A 2B 2×2=4C 2×3=6 D2×2×3×5=602. a=2×2×3×5,b=2×3×5×5,a与b的最小公倍数是（）。
A 300B 600C 150D 603. a=2×3×5，b=2×3×3，a,b的最大公因数是（），最小公倍数是（）4. 把自然数a和b分解质因数得到a=2×5×7×m，b=3×5×m。
如果a 和b的最小公倍数是2730，那么m=（）。
5.如果甲数=2×2×3×5×A，乙数=2×5×7×A（甲乙A 都是大于1的自然数），那么甲乙两数的最小公倍数是（）例2.两个数的最大公因数是6，最小公倍数是84，其中一个数是12，另一个数是（）。
1. 两个数的最大因数是12，最小倍数也是180，且知其中一个数是60，另一个数是（）。
2.甲乙两数的最大公因数是3，最小公倍数是30，已知甲数是6，那么乙数是（）。
3. 两个数的积是96，他们的最大公因数是4，这两个数分别是（）和（）例3.两个数的最大公因数是12，最小公倍数是60，这两个数分别是（）。
A 1和12B 1和60 C12和60 D 12和7201. 两个自然数的最大公因数是6，最小公倍数是240，符合条件的自然数有（）组 A 1 B 2 C3 D42.两个数的最大公因数是1，最小公倍数是221，这两个数是（）和（）或（）和（）3.两个正整数的最大公因数为7，最小公倍数为105，这两个整数的和为（）。
小学奥数专题之-数论专题典型结论汇总
小学奥数专题之-数论专题典型结论汇总整除一、常见数字的整除判定方法1.一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；2.一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；3.如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.4.如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.5.如果一个数能被99整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有两个数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是99的倍数，这个数一定是99的倍数。
【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）二、整除性质性质1如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c 整除．即如果c︱a，c︱b，那么c︱(a±b)．性质2如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c 整除．即如果b∣a，c∣b，那么c∣a．用同样的方法，我们还可以得出：性质3如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那么b∣a，c∣a．性质4如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a．例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3某4)∣12．性质5如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）；性质6如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除．如果b｜a，且d｜c，那么bd｜ac；质数合数一、判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于p的质数q(均为整数)，使得q能够整除p，那么p就不是质数，所以我们只要拿所有小于p的质数去除p就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p，我们可以先找一个大于且接近p的平方数K2，再列出所有不大于K的质数，用这些质数去除p，如没有能够除尽的那么p就为质数.例如：149很接近1441212，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数.二、唯一分解定理a3aka1a2np1p2p3pk任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即：其中为质数，a1a2ak为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n的质因子分解式.例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.分析：∵210=2某3某5某7，∴可知这三个数是5、6和7.三、部分特殊数的分解111337；100171113；1111141271；1000173137；199535719；1998233337；200733223；2022222251；10101371337.约数倍数一、求最大公约数的方法①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来．例如：2313711，25222327，所以(231,252)3721；21812②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：396，所以(12,18)236；32③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)．例如，求600和1515的最大公约数：151********；6003151285；315285130；28530915；301520；所以1515和600的最大公约数是15．二、最大公约数的性质①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；③几个数都乘以一个自然数n，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n．三、求一组分数的最大公约数先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a；求出各b个分数的分子的最大公约数b；即为所求．a四、约数、公约数最大公约数的关系（1）约数是对一个数说的；（2）公约数是最大公约数的约数，最大公约数是公约数的倍数五、求最小公倍数的方法①分解质因数的方法；例如：2313711，25222327，所以231,25222327112772；②短除法求最小公倍数；21812例如：396，所以18,12233236；32ab③[a,b]．(a,b)六、最小公倍数的性质①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数．②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积．③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数．七、求一组分数的最小公倍数方法步骤先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数a；求出各个分数分母的最35[3,5]15b大公约数b；即为所求．例如：[,]412(4,12)4a注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数.例如：141,42,32,34八、倍数、公倍数、最小公倍数的关系（1）倍数是对一个数说的；（2）最小公倍数是公倍数的约数，公倍数是最小公倍数的倍数九、最大公约数与最小公倍数的常用性质1．两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。
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数论知识点整除定义及特征判断1、数的整除性：整数a除以整数b（b≠0），所得的商是整数而没有余数，则称a能被b整除，或b整除a，记作：b｜a．2、整除的性质：性质1. 如果c｜a，c｜b，则c｜（a±b）性质2. 如果bc｜a，则b｜a，c｜a性质3. 如果c｜b，b｜a，则c｜a3、整除问题的解决方法：整除特征法；补9、补0试除法。
4、涉及极值的整除问题：贪心法、弃倍法、逐步调整法。
5、数的整除特征：a.一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；b.一个数各位数字之和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数字之和能被9整除，这个数就能被9整除；c.如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除；d.一个数从个位到高位，每三位进行分段，将形成的奇位之和与偶位之和以大减小，如果差可以被7、11、13整除，则此数也可被7、11、13整除；如果一个整数的末三位与末三位之前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除；e.如果逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除，那么这个数能被7整除；如果逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除，那么这个数能被11整除；如果逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除，那么这个数能被13整除；f.一个数从个位到高位，每两位分成一段，将每段上的数相加。
如果相加的和能被99所整除，那么这个数就能被99所整除。
奇数、偶数与奇偶性的应用一、奇数和偶数的概念：1)整数可以分成奇数和偶数两大类。
2)能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。
3)因为偶数是2的倍数，所以通常用2k这个式子来表示偶数(这里k是整数)，因为任何奇数除以2其余数总是1，所以通常用式子2k＋1来表示奇数(这里k是整数)。
小升初数学-数论-奥数篇-整除专题解析 必考知识点
整除1.被一个数整除2. 被两个数整除3. 被三个数整除4. 整除与生活应用一被一个数整除10÷2＝5四种说法：看末几位末一位末两位末三位被2，5整除的数被4，25整除的数被8，125整除的数看各个数位数字之和被3，9整除的数的特征：取隔断三位隔断（求差）两位隔断（求和）一位隔断（求差）被7，11，13整除的数被99整除的数被11整除的数被2 5 4 25 8 125 整除例1.在（）里填入适当的数使所组成的数能被2整除使所组成的数能被5整除292（）328（）（）785（）96（）51. 用5，7，8，0组成一个四位数，使它是2的倍数，这个数是（）；使它是5的倍数，这个数是（）例2. 下列哪些书能被4整除？哪些数能被25整除？12456 2350 37212 7800 5408 653251. 在（）里填入适当的数使所组成的数能被4整除65（）4 ，1235（），78（）4 ，7653（）使所组成的数能被25整除2785（），96（）5 ，98（）5 ，667（）例3.在（）里填入适当的数使所组成的数能被8整除2210（），427（）6 ，23（）6使所组成的数能被125整除662（），887（）0 ，4525（）（），6673（）（）被3 9 整除例1.下面12个自然数，哪些能被3整除，哪些能被9整除？864 650 432 3675 9064 22125 5748 3108 96311125 2950 72901. 在89 121 135 480 157 483 中，是3的倍数的有（）个。
2. 有一个四位数7AA1 是9的倍数，那么A是（）3. 1024至少减去（）就是3的倍数，1708至少加上（）就是5的倍数。
4. 判断：个位上是3，6，9的数都是3的倍数。
（）对于两个不相等的自然数，它们的和、差、积中必有一个是3的倍数。
（）5. 已知x+2y（其中x y都是正整数）能被9整除，则2（5x-8y-4）被9除的余数为（）被7 11 13 整除例1. 下面5个自然数中：128114 94146 64152 6139 4913678哪些能被7整除?哪些能被11整除？哪些能被13整除？1. 小月写了一个两位数59，冬冬写了一个两位数89 ，他们让小白写一个一位数放在59和89之间组成一个五位数59（）89，使这个五位数能被7整除，小白写的数字是多少？被99 整除例1.2007a12b2既是9的倍数，又是11的倍数，那么这个数是多少？1. 已知七位数92AB427能被99整除，那么AB=2. 若1A219B7能被99整除，那么两位数A+B=（）3. 六位数（）2008（）能同时被9和11整除。
小奥数论整除和余数知识点总结及经典例题
1.数论——数的整除和余数基本概念和基本性质定义整数a除以整数b（b≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b 整除，或者说b能整除a。
表达式和读法b∣a，读着b能整除a;或a能被b整除；b a，不能整除；基本性质①传递性：如果a|b,b|c,那么a|c;即b是a的倍数，c是b的倍数，则c肯定是a的倍数；②加减性：如果a|b、a|c，那么a|(b c);③因数性：如果ab|c，那么a|c，b|c;即如果ab的积能整除c,则a或b皆能整除c;④互质性，如果a|c，b|c，且（a,b）=1,那么ab|c,即如果a能整除c,b能整除c，且ab互质，则ab的积能整除c;⑤a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。
数的整除的判别法末位判别法数字和判别法（用以判别能否被3或9整除）各数位上数字的和是3或9的倍数，则能被3或9整除。
173652÷9:1+7+3+6+5+2的和除以3或9；简便算法，利用整除的加减性，可以去掉1个或多个9，剩下数字的和x再除以3或9；如果x﹥9,则余数为x-9;如果x﹤9,则余数为x。
奇偶数位判别法（用以判别能否被11整除）从右往左编号，编号为奇数的为奇数位，编号为偶数的为偶数位，看奇数位上的数字的和与偶数位上的数字的和的两者之差是否能被11整除；÷11:奇数位和为6，偶数位和为27；如果奇数位和比偶数位和小，则奇数位和加1个或多个11，直到够减。
余数的判断法与整数位的判断法一致。
三位一截判别法（用以判别能否被7/11/13整除）基本用法从右往左三位一截并编号，编号为奇数的为奇数段，编号为偶数的为偶数段，看奇数段的数字的和与偶数段的数字的和的两者之差是否能被7、11、13整除；如，，奇数段的和为（548+86），偶数段的和为372，求两者差看能否被7整除，同样，不够减前面加1个或多个7，直到够减，余数位的判断法与整数位的判断法一致。
特殊用法①一般求空格数如果中间有空格，则利用加减性加或减除数7的倍数，分别从右边和左边抵消缩减位数，到最后看7的哪个倍数与缩减后的末位数相同，并看7的哪个倍数与缩减后的首位数相同，则前一个倍数的十位数和后一个倍数的个位数的和即为空格中应填的数。
小升初数学-数论-奥数篇- 余数专题解析 必考知识点
a1. 2.例2. 20080808除以9的余数是多少？除以8和25的余数是多少？除以11的余数是多少？例2. 有一个整数，用它去除160 ，110 ，70 得到的三个余数之和是50，则这个整数是多少？1.用自然数n去除63 ，91 ，129，得到的三个余数之和是25，那么n 是多少？2.一个自然数用它分别去除63 ，90 ，130都有余数，三个余数的和是25.这三个余数中最小的一个是多少？3. 把63个苹果，90个橘子，130个梨平均分给一些同学，最后一共剩下25个水果，没有分出去，请问：剩下个数最多的水果剩下多少个？二余数定理1. 余数加法定理a与b的和除以c的余数，等于①23和16除以5②23和19除以5例1. 两个数被13除分别余7和10，那么这两个数的和被13除余（）1. 4个运动员进行乒乓球比赛，他们的号码分别是101,126,173,193，规定每两人间比赛的盘数是他们号码的和除以3所得的余数。
请问：他们各比赛了多少盘？2. 余数乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于①23和16除以5②23和19除以5例1. 418×814×1616除以13所得的余数是多少？1. 15×38×412×541除以13所得的余数是多少？2. 31453×68765×987657的积，除以4的余数是多少？例2.某工厂有128名工人生产零件，他们每个月工作23天，在工作期间每人每天可以生产300个零件，月底将这些零件按17个一包的规格打包，发现最后一包不够17个，请问：最后一包有多少个零件？1. 一年有365天，轮船制造厂每天可以生产零件1234个，年终将这些零件按19个一包的规格打包，最后一包不够19个。
问？最后一包有多少个零件？3.同余定理若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同则a，b的差例1. 100和84除以同一个数，得到的余数相同，但是余数不为0，这个除数可能是多少？例1.用一个大于0的自然数，分别去除35 ，59和123，所得的余数相同，则这个数是多少？1.三个数23 ，51 ，72分别除以同一个大于1的数，得到同一个余数，这个余数是多少？2.一个大于1的自然数去除300 ，243 ，205 时，得到相同的余数，则这个自然数是（）3.有一个大于1的整数，除45，59，101所得的余数相同，求这个数。
小学奥数关于数论知识点的总结
小学奥数关于数论知识点的总结数论是纯粹数学的分支之一，主要研究整数的性质。
整数可以是方程式的解（丢番图方程）。
有些解析函数（像黎曼ζ函数）中包括了一些整数、质数的性质，透过这些函数也可以了解一些数论的问题。
透过数论也可以建立实数和有理数之间的关系，并且用有理数来逼近实数（丢番图逼近）。
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【篇一】1. 奇偶性问题奇+奇=偶奇×奇=奇奇+偶=奇奇×偶=偶偶+偶=偶偶×偶=偶2. 位值原则形如：abc =100a+10b+c3. 数的整除特征：整除数特征2 末尾是0、2、4、6、83 各数位上数字的和是3的倍数5 末尾是0或59 各数位上数字的和是9的倍数11 奇数位上数字的和与偶数位上数字的和，两者之差是11的倍数4和25 末两位数是4(或25)的倍数8和125 末三位数是8(或125)的倍数7、11、13 末三位数与前几位数的差是7(或11或13)的倍数4. 整除性质①如果c|a、c|b，那么c|(a b)。
②如果bc|a，那么b|a，c|a。
③如果b|a，c|a，且(b,c)=1,那么bc|a。
④如果c|b,b|a,那么c|a.⑤a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。
5. 带余除法一般地，如果a是整数，b是整数(b≠0),那么一定有另外两个整数q和r，0≤r当r=0时，我们称a能被b整除。
当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q 为a除以b的不完全商(亦简称为商)。
用带余数除式又可以表示为a ÷b=q……r, 0≤r【篇二】分解定理任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即n= p1 ×p2 ×...×pk约数个数与约数和定理设自然数n的质因子分解式如n= p1 ×p2 ×...×pk 那么：n的约数个数：d(n)=(a1+1)(a2+1)....(ak+1)n的所有约数和：(1+P1+P1 +…p1 )(1+P2+P2 +…p2 )…(1+Pk+Pk +…pk )同余定理①同余定义：若两个整数a，b被自然数m除有相同的余数，那么称a，b对于模m同余，用式子表示为a≡b(mod m)②若两个数a，b除以同一个数c得到的余数相同，则a，b的差一定能被c整除。
六年级奥数-数论专题
数论（一）奇数与偶数【知识点概述】1.奇数和偶数的定义：整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。
通常偶数可以用2k（k为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k为整数）表示。
特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。
2.奇数与偶数的运算性质：性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数性质2：偶数±奇数=奇数性质3：偶数个奇数的和或差是偶数性质4：奇数个奇数的和或差是奇数性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数性质6：在加减法中偶数不改变运算结果奇偶性，奇数改变运算结果的奇偶性性质7：对于任意2个整数a,b ,有a+b与a-b同奇或同偶性质8：奇数的平方可以写作4k+1 ，偶数的平方可以写作4k【习题精讲】【例1】下列算式的得数是奇数还是偶数？(1) 29＋30＋31＋……＋87＋88(2) （200＋201＋202＋......＋288）－（151＋152＋153＋ (233)(3) 35＋37＋39＋41＋……＋97＋99【例2】能否在下式的“□”内填入加号或减号，使等式成立，若能请填入符号，不能请说明理由。
(1) 1□ 2 □ 3 □ 4 □ 5 □ 6 □ 7 □ 8 □ 9＝10(2) 1□ 2 □ 3 □ 4 □ 5 □ 6 □ 7 □ 8 □ 9＝27【例3】能否从四个3，三个5，两个7中选出5个数，使这5个数的和等于22 【例4】是否存在自然数a和b，使得ab(a＋b)=115?【例5】是否存在自然数a、b、c，使得(a-b)(b-c)(a-c)=45327？【例6】你能不能将自然数1到9分别填入3×3的方格表中，使得每一行中的三个数之和都是偶数?【例7】任意交换某个三位数的数字顺序，得到一个新的三位数，原三位数与新三位数之和能否等于999？【例8】两个四位数相加，第一个四位数每个数码都小于5，第二个四位数仅仅是第一个四位数的四个数码调换了位置，两个数的和可能是7356吗？为什么？【例9】元旦前夕，同学们相互送贺年卡.每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺年卡，那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数，还是偶数？为什么？【例10】a、b、c三个数的和与它们的积的和为奇数，问这三个数中有几个奇数？【例11】沿着河岸长着8丛植物，相邻两丛植物上所结的浆果数目相差1个．问：8丛植物上能否一共结有225个浆果?说明理由．【例12】在ll张卡片上各写有一个不超过4的数字．将这些卡片排成一行，得到一个1l位数；再将它们按另一种顺序排成一行，又得到一个1l位数．证明：这两个11位数的和至少有一位数字是偶数．【例13】圆桌旁坐着2k个人，其中有k个物理学家和k个化学家，并且其中有些人总说真话，有些人则总说假话．今知物理学家中说假话的人同化学家中说假话的人一样多．又当问及：“你的右邻是什么人”时，大家全部回答：“是化学家．”证明：k为偶数．【作业】1、是否可在下列各数之间添加加号或者减号，使得等式成立？1 2 3 4 5 6 7 8 9 10＝36若可以，请写出符合条件的等式；若不可以，请说明理由。
小学奥数——数论专题
名校真题测试卷10 （数论篇一）1、（05年人大附中考题）有_____个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除它本身。
2、（05年101中学考题）如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的9倍，问这个两位数是_____。
3 （05年首师附中考题）1 21+2022121+5051313131321212121212121=________。
4 （04年人大附中考题）甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲最小是____。
(02年人大附中考题)下列数不是八进制数的是( )A、125B、126C、127D、128【附答案】1 【解】：62 【解】：设原来数为ab，这样后来的数为a0b,把数字展开我们可得：100a+b=9×(10a+b),所以我们可以知道5a=4b,所以a=4,b=5,所以原来的两位数为45。
3 【解】：周期性数字，每个数约分后为121+221+521+1321=14 【解】：题中要求丙与135的乘积为甲的平方数，而且是个偶数（乙+乙），这样我们分解135=5×3×3×3，所以丙最小应该是2×2×5×3，所以甲最小是：2×3×3×5=90。
5 【解】：八进制数是由除以8的余数得来的，不可能出现8，所以答案是D。
第十讲小升初专项训练数论篇（一）一、小升初考试热点及命题方向数论是历年小升初的考试难点，各学校都把数论当压轴题处理。
由于行程题的类型较多，题型多样，变化众多，所以对学生来说处理起来很头疼。
数论内容包括：整数的整除性，同余,奇数与偶数,质数与合数,约数与倍数,整数的分解与分拆等。
作为一个理论性比较强的专题，数论在各种杯赛中都会占不小的比重，而且数论还和数字谜,不定方程等内容有着密切的联系,其重要性是不言而喻的。
奥数六大板块-第2讲-数论板块
奥孚培优小学奥数思维训练（数论板块）目录1、奇偶性分析2、整除问题3、质数与合数4、约数与倍数5、余数问题奇偶性分析知识点说明:● 奇数与偶数的运算规律:⏹ 偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数 ⏹ 偶数±奇数=奇数⏹ 偶数个奇数的和或差是偶数 ⏹ 奇数个奇数的和或差是奇数⏹ 偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数⏹ 在加减法中偶数不改变运算结果奇偶性,奇数改变运算结果的奇偶性 ⏹ 对于任意2个整数a 、b 有a b +与a b -奇偶性相同典型题讲解:例1. 有一个数列:1、1、2、3、5、8、13、21、34后面每一个数都等于它前面两个数的和，那么这个数列前2011项有多少个奇数?例2. 是否存在自然数a 和b ，使得()115ab a b +=？例3.桌子上有6只开口向上的杯子，每次同时翻动其中的4只杯子，问能否经过若干次翻动，使得全部杯子的开口全都向下？（拓展）桌子上有6只开口向上的杯子，每次同时翻动其中的5只杯子，问能否经过若干次翻动，使得全部杯子的开口全都向下？（拓展）桌子上有5个开口向上的杯子，现在允许每次同时翻动其中的3个，问能否经过若干次翻动，使得5个杯子的开口全都向下？（拓展）桌子上有5个开口向上的杯子,现在允许每次同时翻动其中的4个，问能否经过若干次翻动，使得5个杯子的开口全都向下?例4.（拓展）在一次聚会中，朋友们陆续来到，见面时，有些人互相握手问好，主人很高兴,笑着说：“不管你们怎么握手,你们之中握过奇数次手的人肯定有偶数个”。
请你想一想,主人说的对吗？为什么?整除问题知识点说明：● 带余除法基本关系式:=⨯+被除数除数商余数，余数小于被除数● 位值原理：通俗地讲就是，一个多位数可以用它每一位上的数字来表示.例:10000100010010abcde a b c d e =⨯+⨯+⨯+⨯+● 特殊数的整除判定：⏹ 一个数的末位能被2（或5)整除，这个数就能被2（或5）整除 ⏹ 一个数的末两位能被4（或25)整除,这个数就能被4（或25）整除 ⏹ 一个数的末三位能被8（或125）整除，这个数就能被8(或125）整除 ⏹ 一个数的各位数字之和能被3（或9）整除,这个数就能被3（或9)整除⏹ 一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，这个数就能被11整除 ⏹ 一个数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，这个数就能被7、11或13整除 ⏹ 一个数从右向左，每两位一截得到若干个两位数（若该数由奇数个数字组成，会有一个一位数），若这些数之和能被99整除，这个数就能被99整除 ● 简单的整除性质:⏹ 性质1：如果c a ，c b ，那么()c a b ± ⏹ 性质2：如果b a ,c b ，那么c a⏹ 性质3:如果bc a ,那么b a ，c a典型题讲解：例1. 在一个除法算式中，如果商是16，余数是8，那么被除数与除数之和最小是多少？例2. 如果70ab a b ⨯=，那么ab 等于多少？例3. 已知九位数2007122A B 既是9的倍数，又是11的倍数,那么这个九位数是多少?例4. 已知四十一位数205209555999个个能被7整除，那么中间方格内的数字是多少？例5. 已知：23!2582067388849766000D C AB =，则四位数ABCD 是多少？质数与合数知识点说明：●质数与合数的概念：⏹特殊的质数与合数◆0和1既不是质数也不是合数，因此,我们可以说，自然数可以分成三部分，即:0和1,质数，合数◆最小的质数是2，最小的合数是4◆常用的100以内的质数:2，3，5，7，11，13，17,19，23，29，31，37,41，43，47，53,59，61,67，71，73，79，83,89，97⏹质数的判定：“连续小质数试除法”●质因数分解:⏹质因数分解：把一个合数写成几个质数相乘的形式，叫做分解质因数。
小学奥数-数论专题知识总结
小学奥数-数论专题知识总结数论基础知识小学数论问题,起因于除法算式：被除数÷除数＝商……余数1.能整除：整除,因数与倍数,奇数与偶数,质数与合数,公因数与公倍数,分解质因数等；2.不能整除：余数,余数的性质与计算（余数）,同余问题（除数）,物不知数问题（被除数）。
一、因数与倍数1、因数与倍数（1）定义：定义1：若整数a能够被b整除,a叫做b的倍数,b就叫做a的因数。
定义2：如果非零自然数a、b、c之间存在a×b＝c,或者c÷a＝b,那么称a、b是c的因数,c是a、b 的倍数。
注意：倍数与因数是相互依存关系,缺一不可。
（a、b是因数,c是倍数）一个数的因数个数是有限的,最小的因数是1,最大的因数是它本身。
一个数的倍数个数是无限的,最小的倍数是它本身,没有最大的倍数。
（2）一个数的因数的特点：①最小的因数是1,第二小的因数一定是质数；②最大的因数是它本身,第二大的因数是：原数÷第二小的因数（3）完全平方数的因数特征：①完全平方数的因数个数是奇数个,有奇数个因数的数是完全平方数。
②完全平方数的质因数出现次数都是偶数次；③1000以内的完全平方数的个数是31个,2000以内的完全平方数的个数是44个,3000以内的完全平方数的个数是54个。
（312=961,442=1936,542=2916）2、数的整除（数的倍数）（1）定义：定义1：一般地,三个整数a、b、c,且b≠0,如有a÷b＝c,则我们就说,a能被b整除,或b能整除a,或a能整除以b。
定义2：如果一个整数a,除以一个整数b（b≠0）,得到一个整数商c,而且没有余数,那么叫做a能被b 整除或b能整除a,记作b|a。
（a≥b）（2）整除的性质：如果a、b能被c整除,那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。
如果a能被b整除,c是整数,那么a×c也能被b整除。
如果a能被b整除,b又能被c整除,那么a也能被c整除。
小学奥数数论问题分类总结汇总版(题型全,知识点详细)
奥数讲义数论专题：数论综合
华杯赛数论专题：数论综合例1.小于2000又与2000互质的数有800个，这800个数相加的和是多少？【答案】800000【解答】如果a是小于2000且与2000互质的数，则（2000－a）也是这种数。
因为1000不与2000互质，所以a≠2000－a。
又因为a与（2000－a）之和是2000，所以800个小于2000且与2000互质的数可以分为400组，每组的和都是2000，这800个数的和是2000×400＝800000。
例2.有四个不同的非零自然数，其中任意两个数的和是2的倍数，任意三个数的和是3的倍数。
为使这四个数的和尽可能小，这四个数应分别是几？【答案】1，7，13，19【解答】任意两（或三）个数的和是2（或3）的倍数，说明四个数除以2（或3）的余数相同，所以四个数除以6的余数相同。
最小是1，7，13，19。
例3.有些三位数，如果它本身增加3，那么新的三位数的各位数字的和就减少到原来三位数的。
求所有这样的三位数。
【答案】117，108，207【解答】一个三位数，如果这本身增加3，得到的新三位数的各位数字之和就减少到原来三位数的。
则增加3时，计算中有进位。
我们知道：如果进行加法计算时，有进位，每进位一次，则和的各位数字之和比各个加数的数字之和的总和减少9。
设原来三位数的数字之和是x。
因增加3，得到的仍是一个三位数，则最多有两次进位。
如果有一次进位，则新三位数的各位数字之和是x＋3－9＝x－6。
得到方程：（x－6）×3＝x。
解得：x＝9。
如果有两次进位，则新三位数的各位数字之和是x＋3－9×2＝x－15。
得到方程：（x－15）×3=x。
此方程无整数解。
所以原三位数的各位数字之和是9。
原三位数的百位数字最小是1，个位数字最小是7。
这样的三位数有三个：117，108，207。
验证：117＋3＝120。
117的各位数字之和是9，120的各位数字之和是3，3＝9×。
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数论专题典型结论汇总整除一、常见数字的整除判定方法1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.5.如果一个数能被99整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有两个数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是99的倍数，这个数一定是99的倍数。
【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）二、整除性质性质1 如果数a 和数b 都能被数c 整除，那么它们的和或差也能被c 整除．即如果c ︱a ，c ︱b ，那么c ︱(a ±b )．性质2 如果数a 能被数b 整除，b 又能被数c 整除，那么a 也能被c 整除．即如果b ∣a ，c ∣b ，那么c ∣a ．用同样的方法，我们还可以得出：性质3 如果数a 能被数b 与数c 的积整除，那么a 也能被b 或c 整除．即如果bc ∣a ，那么b ∣a ，c ∣a ．性质4 如果数a 能被数b 整除，也能被数c 整除，且数b 和数c 互质，那么a 一定能被b与c 的乘积整除．即如果b ∣a ，c ∣a ，且(b ，c )=1，那么bc ∣a ．例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12．性质5 如果数a 能被数b 整除，那么am 也能被bm 整除．如果 b ｜a ，那么bm ｜am （m 为非0整数）；性质6 如果数a 能被数b 整除，且数c 能被数d 整除，那么ac 也能被bd 整除．如果 b ｜a ，且d ｜c ，那么bd ｜ac ；质数合数一、判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于p 的质数q (均为整数)，使得q 能够整除p ，那么p 就不是质数，所以我们只要拿所有小于p 的质数去除p 就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p ，我们可以先找一个大于且接近p 的平方数2K ，再列出所有不大于K 的质数，用这些质数去除p ，如没有能够除尽的那么p 就为质数.例如：149很接近1441212=⨯，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数.二、唯一分解定理任何一个大于1的自然数n 都可以写成质数的连乘积，即：312123k a a a a kn p p p p =⨯⨯⨯⨯其中为质数，12k a a a <<<为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n 的质因子分解式. 例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是5、6和7.三、部分特殊数的分解111337=⨯；100171113=⨯⨯；1111141271=⨯；1000173137=⨯；199535719=⨯⨯⨯；1998233337=⨯⨯⨯⨯；200733223=⨯⨯；2008222251=⨯⨯⨯；10101371337=⨯⨯⨯. 约数倍数一、求最大公约数的方法①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来．例如：2313711=⨯⨯，22252237=⨯⨯，所以(231,252)3721=⨯=；②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：2181239632，所以(12,18)236=⨯=；③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)．例如，求600和1515的最大公约数：151********÷=；6003151285÷=；315285130÷=；28530915÷=；301520÷=；所以1515和600的最大公约数是15． 二、最大公约数的性质①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；③几个数都乘以一个自然数n ，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n ．三、求一组分数的最大公约数先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a ；求出各个分数的分子的最大公约数b ；b a即为所求． 四 、约数、公约数最大公约数的关系（1）约数是对一个数说的；（2）公约数是最大公约数的约数，最大公约数是公约数的倍数五、求最小公倍数的方法①分解质因数的方法；例如：2313711=⨯⨯，22252237=⨯⨯，所以[]22231,252237112772=⨯⨯⨯=； ②短除法求最小公倍数；例如：2181239632 ，所以[]18,12233236=⨯⨯⨯=；③[,](,)a b a b a b ⨯=． 六、 最小公倍数的性质①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数．②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积．③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数．七、求一组分数的最小公倍数方法步骤先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数a ；求出各个分数分母的最大公约数b ；b a即为所求．例如：35[3,5]15[,]412(4,12)4== 注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数.例如：[]()1,414,4232,3⎡⎤==⎢⎥⎣⎦八、倍数、公倍数、最小公倍数的关系（1）倍数是对一个数说的；（2）最小公倍数是公倍数的约数，公倍数是最小公倍数的倍数九、最大公约数与最小公倍数的常用性质1． 两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。
如果m 为A 、B 的最大公约数，且A ma =，B mb =，那么a b 、互质，所以A 、B 的最小公倍数为mab ，所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系：①A B ma mb m mab ⨯=⨯=⨯，即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积；②最大公约数是A 、B 、A B +、A B -及最小公倍数的约数．2． 两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。
即(,)[,]a b a b a b ⨯=⨯，此性质比较简单，学生比较容易掌握。
3． 对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为a )奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数例如：567210⨯⨯=，210就是567的最小公倍数b )偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍例如：678336⨯⨯=，而6,7,8的最小公倍数为3362168÷=性质（3）不是一个常见考点，但是也比较有助于学生理解最小公倍数与数字乘积之间的大小关系，即“几个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大”。
十、求约数个数与所有约数的和1． 求任一整数约数的个数一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积。
如:1400严格分解质因数之后为32257⨯⨯，所以它的约数有(3+1)×(2+1) ×(1+1)=4×3×2=24个。
(包括1和1400本身)约数个数的计算公式是本讲的一个重点和难点，授课时应重点讲解，公式的推导过程是建立在开篇讲过的数字“唯一分解定理”形式基础之上，结合乘法原理推导出来的，不是很复杂，建议给学生推导并要求其掌握。
难点在于公式的逆推，有相当一部分常考的偏难题型考察的就是对这个公式的逆用，即先告诉一个数有多少个约数，然后再结合其他几个条件将原数“还原构造”出来，或者是“构造出可能的最值”。
2． 求任一整数的所有约数的和一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。
如：33210002357=⨯⨯⨯，所以21000所有约数的和为2323(1222)(13)(1555)(17)74880++++++++=此公式没有第一个公式常用，推导过程相对复杂，需要许多步提取公因式，建议帮助学生找规律性的记忆即可。
十一、完全平方数常用性质1.主要性质1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。
不可能是2，3，7，8。
2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。
3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。
4.若质数p 整除完全平方数2a ，则p 能被a 整除。
2.性质性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9．性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数．性质3：自然数N 为完全平方数⇔自然数N 约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次，所以，如果p 是质数，n 是自然数，N是完全平方数，且21|n p N -，则2|n p N ．性质4：完全平方数的个位是6⇔它的十位是奇数．性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个．性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数．3.一些重要的推论1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。
2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。
3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。
4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。
5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。
6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。
7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。