三棱锥外接球问题
三棱锥的外接球
三棱锥的外接球空间几何体的外接球和内切球问题一直是立体几何中的高频考点，尤其以三棱锥的外接球问题考察频率最高.本文主要对三棱锥的外接球半径求法进行了总结归纳，为高三立体几何复习提供帮助.1补形法【原理】若长方体的长、宽、高分别为，则其外接球半径.1.1共端点的三条棱两两垂直（墙角模型）例1．（2019全国卷Ⅰ）已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为2的正三角形，、分别是、的中点，，则球的体积为（）A． B． C． D．1.2三组对棱相等的三棱锥例2.在四面体中，，，，则其外接球的表面积为.1.3两组垂直棱首尾相连例3.直角梯形满足，，，将其沿折叠成三棱锥，当三棱锥体积最大时，其外接球的体积为 .1.4有公共斜边的两个直角三角形组成的三棱锥例4.在四面体中，，，，则四面体的外接球的体积为（）A. B. C. D.2轴截面法【原理】球心与球的截面圆心的连线垂直于这个截面.2.1有一条侧棱垂直于底面的三棱锥例5．三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，其中，是正三角形，，则该球的表面积为________．2.2有一个侧面垂直于底面的三棱锥例6.（2019·广州模拟）三棱锥中，，，，，则三棱锥的外接球的表面积为( )A. B. C. D.2.3侧棱与侧面都不垂直于底面的三棱锥例7.三棱锥中，，二面角的大小为，则三棱锥的表面积是（）A、 B、 C、 D、【总结】求解三棱锥外接球半径可以采用轴截面法：①先找到底面三角形外接圆的圆心；②过底面圆心作垂直于底面的轴；③根据球心到各顶点距离相等求出外接球半径.【特殊结论】：若正四面体的棱长为，则其外接球的半径 .。
高中数学三棱锥外接球万能公式
高中数学三棱锥外接球万能公式
高中数学中，三棱锥外接球是一个非常重要的概念。
它不仅在几何学中有着广泛的应用，而且在实际生活中也有着许多的应用。
在本文中，我们将讨论三棱锥外接球的万能公式以及其应用。
我们需要了解什么是三棱锥和外接球。
三棱锥是一个四面体，其中三个面是三角形，另一个面是三角形的顶点。
外接球是通过三棱锥四个顶点的球，即球的表面刚好接触三棱锥的四个顶点。
接下来，我们来看三棱锥外接球的万能公式。
它是这样的：
V = 1/3 * π * r^3
其中，V表示三棱锥的体积，r表示外接球的半径。
这个公式是如何得出的呢？我们可以通过以下步骤来证明它：
我们需要知道一个定理：如果一个三棱锥的底面是一个正三角形，那么它的高等于底边长度的根号3/2倍。
这个定理可以通过勾股定理来证明。
然后，我们可以求出三棱锥的高，以及外接球的半径。
三棱锥的高可以通过勾股定理求得，外接球的半径可以通过勾股定理和勾股定理的逆定理求得。
我们可以将三棱锥的体积和外接球的半径代入公式中，就可以得到
三棱锥外接球的万能公式了。
除了上面提到的正三角形底面的三棱锥，这个公式也适用于其他形状的三棱锥。
只需要将底面的面积代入公式中即可。
三棱锥外接球的万能公式在实际应用中有着广泛的运用。
例如，它可以用来计算水塔的容量，也可以用来计算建筑物的体积。
在工程学中，三棱锥外接球的公式也是非常重要的。
在数学学习中，三棱锥外接球的万能公式是我们必须要掌握的一个重要概念。
只有通过深入理解和掌握这个公式，我们才能更好地应用它，解决实际问题。
三棱锥外接球问题
三棱锥外接球专题引理1：每个三角形都有唯一一个外接圆，设ABC D 外接圆圆心为1O ，半径为2sin 2sin 2sin a b Cr A B C ===（正弦定理）正三角形的外接圆心在中心，r=3（a 为边长），直角三角形的外接圆心在斜边中点，2cr =（c 为斜边长），等腰三角形的外接圆圆心在底边的高上，22a r h =（a 为腰长，h 为底边的高）外接球的处理方式-----先确定一三角形设ABC D （以等边和直角居多），找出圆心为1O 和半径r设外接球球心为O,半径为R.在1AO O D内易证1O O =下面对P 点定位，如图设P 在面ABC D 的射影为1P ，高为h，设射影与小圆的距离为11m PO =，我们摘出平面11PO OP，如下图在OPE D，由勾股定理得222(R m h =+-解得2222222m h r R r h+-=+注：如果PABC 都在同一个半球，上述公式有平方，公式仍然不变。
所以我们努力的方向是找到这个截面（截面一般会包含三棱锥的一个顶点）后面就是水到成渠。
如果非要记公式的话可以努力找到h，m 套公式即可。
高中阶段都会有特殊的三角形特殊位置下面简单归类第一类;有线面垂直的---如图PA ABC^面此时m=r，h=PA.22222222h+r 22m h r R r h+-=+=，由此引出补形法，有线面垂直即可补成直三棱柱求解如上右图。
三棱柱不熟也可以用补成长方体（不过要求底面有直角）1.已知ABC △中，90,B DC ∠=︒⊥平面,4,5,3ABC AB BC CD ===，则三棱锥D ABC -的外接球表面积为()A.50π3B.25πC.50πD.1252π3解析：由已知条件可构造一个长方体，长方体的外接球过,,,A B C D 四点，所以长方体的外接球即三棱锥D ABC -的外接球，得外接球直径250R AD ==,外接球表面积为24π50πR =，故选：C.法二：三棱柱中，22222114522350()24r AC R r ==+=+=2.在四面体S ABC -中,SA ⊥平面,120,4,ABC BAC BC SA ∠=︒==则该四面体的外接球的表面积为.(底面无直角补成三棱柱)3.在三棱锥ABC P -中，222==AB AC ，10=BC ，90=∠APC ，平面⊥ABC 平面PAC ，则三棱锥ABC P -外接球的表面积为()找线面垂直补形即可，跟上面一样A.4πB.5πC.8πD.10π3.所以PC ⊥平面PAB ,所以90CPB ∠=︒，故该外接球的半径等于||22BC =，所以球的表面积为224πR 4π(10π2S ==⋅=，故选D。
高三复习题型：三棱锥外接球半径问题(含答案)
数学一对一辅导教案授课教师 上课时间 2020年 月 日 第（ ）次课 2小时教学课题 高考探究专题1：三棱锥最值问题【法一：补形法】外接球半径等于长方体体对角线的一半ππ64262===R S R ，注意：图中三棱锥的外接球与长方体外接球是同一个球。
【法二：轴截面法（确定球心法）】1、寻找底面△PBC 的外心；2、过底面的外心作底面的垂线；3、外接球的球心必在该垂线上，利用轴截面计算出球心的位置。
【题型分析】【利用轴截面法1】例1.在三棱锥ABC P -中，︒=∠===⊥120,BAC AC AB PA ABC PA 2，底面，求其外接球的半径【变式1】已知在三棱锥ABC P -，222===⊥⊥⊥PC PB PA PA PC PC PB PB PA ，且,,，求该三棱锥外接球的表面积与体积。
【变式2】在四面体S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，90ABC ∠=°，2SA AC ==，1AB =，则该四面体的外接球的表面积为【变式3】三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面,,1,3ABC AC BC AC BC PA ⊥===，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A ．5π B ．2π C ．20π D ．4π【变式4】如图，已知点A、B、C、D是球O的球面上四点，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=3，则球O 的表面积等于_________.【利用轴截面法2】例2.三棱锥P-ABC 内接于半径为2的球中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC=90°，BC=22，则三棱锥P-ABC 的体积最大值是【变式1】三棱锥P-ABC 内接于半径为4的球中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC=45°，BC=22，则三棱锥P-ABC 的体积最大值是【变式2】已知球的直径4SC =，A 、B 是该球球面上的两点，30ASC BSC ∠=∠=︒，则棱锥S ABC -的体积最大为（ ） A ．2 B ．83C ．3D ．23 【答案】A【解析】如图所示，∵线段SC 是球的直径且4SC =，30ASC BSC ∠=∠=︒， ∴2AC =，=2BC ，23AS =，=23BS ，13A SBC SBC V S h -=⨯⋅△， （其中h 为点A 到底面SBC 的距离），故当h 最大时，A SBC V -的体积最大，由图可得当面ASC ⊥面BSC 时，h 最大且满足4223h =⋅，即3h =，此时112233232A SBC V -=⨯⨯⨯⨯=，故选A ．【变式3】在三棱锥BCD A -中，BD AB DB AB DC DB AC AB ⊥=+==,4,,，则三棱锥BCD A -外接球的体积的最小值为（ ） A ．3264π B ．332πC ．328πD ．34π【利用图形的特殊性】例3.已知在三棱锥ABC P -，222===⊥⊥⊥PC PB PA PA PC PC PB PB PA ，且,,，求该三棱锥外接球的表面积与体积。
三棱锥外接球的半径常见解法
利用代数法求解
总结词
代数法是通过建立代数方程来求解三棱锥外接球半径的方法。
详细描述
首先，根据三棱锥的尺寸和已知条件，列出关于外接球半径的方程，然后通过 代数方法求解这个方程，得出外接球的半径。这种方法需要掌握代数方程的建 立和求解技巧。
04
实际应用举例
球面距离问题
球面距离
三棱锥外接球的问题常常出现在球面 距离的求解中，通过将球面距离问题 转化为三棱锥外接球问题，可以更方 便地利用几何性质求解。
球心到三棱锥任一面的距离等于球的半径。
02
三棱锥外接球的半径公 式
三棱锥外接球的半径公式
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三棱锥外接球的半径公式
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几何体外接球常用结论及方法(如何求几何体的外接球半径)
几何体外接球常用结论及方法(如何求几何体的外接球半径)几何体的外接球是一个常见的问题，其中有一些常用的结论和方法：1.对于三棱锥P-ABC，如果PA垂直于PB和PC，则该三棱锥的外接球半径2R可以用公式2R=PA²+PB²+PC²求得。
2.对于等边三角形，其外接圆的半径等于连长的1/3倍。
3.直角三角形的外接圆半径等于斜边的一半。
4.对于一般的三角形ABC，可以用正弦定理求得外接圆半径R，而内切圆的半径r可以用海龙公式S=Cr求得。
5.如果已知三棱锥P-ABC中PA=a，且△ABC的外接圆半径为r，则该三棱锥的外接球半径2R可以用公式2R=2r+a²求得。
6.正方体的外接球、内切球和棱切球的直径分别为正方体的体对角线长2R=3a、棱长2R=a和面对角线长2R=2√2a。
7.对于四面体P-ABC，如果∠APC=90°且∠ABC=90°，则该四面体的外接球直径为AC。
8.对于正三棱锥V-ABC，可以用射影定理求得其外接球半径，即VA²=h(2R-h)。
9.对于正四面体，其高h=2/3√2a，外接球半径和内切球半径均为a。
10.对于有内切球的多面体，其内切球半径可以用公式V=Sr/3求得。
11.如果三棱锥A-BCD中的面ABD和面BCD互相垂直且其外接圆半径分别为r1和r2，公共棱BD的长度为a，则该三棱锥的外接球半径2R可以用公式2R=2r1+2r2-a²/2√(r1²+r2²)求得。
的公共弦AD和BC的垂线，分别交于点E和F。
连接OE和OF，则OE=OF=R，且OE和OF分别是三棱锥P-ABC 和A-BCD的外接球的直径。
由于三棱锥P-ABC和A-BCD的外接球是重合的，因此它们的直径相等，即2R=2r1+2r2-a。
对于三棱锥P-ABC，已知面PAC与ABC所形成的二面角为θ（θ<θ≤90°），且已知ΔPAC和ΔABC的外接圆的半径分别为r1，r2，AC=a，则该棱锥的外接球半径R满足：left(2R+2\cos\theta\right)\left(R-r_1\right)\left(R-r_2\right)=2\left(r_1+r_2\right)^2-4\left(r_1-r_2\right)^2\cos^2\frac{\theta}{2}$这个公式可以通过对三棱锥P-ABC和A-BCD的共面直角投影，推导出它们的公共弦长等于$\sqrt{a^2+\left(r_1+r_2\right)^2-2r_1r_2\cos\theta}$。
三棱锥外接球公式
三棱锥外接球公式三棱锥外接球公式，是描述三棱锥与外接球之间的关系的数学公式。
在几何学中，三棱锥是一种四面体，它有三个侧面和一个底面，底面是一个三角形。
外接球是一个与三棱锥的四个顶点都相切的球。
三棱锥外接球公式可以用来计算外接球的半径。
在了解三棱锥外接球公式之前，我们先来了解一下三棱锥和外接球的基本概念。
三棱锥是一个四面体，它有一个底面和三个侧面。
底面是一个三角形，侧面是连接底面顶点和一个共同顶点的三个三角形。
外接球是一个与三棱锥的四个顶点都相切的球，也就是说，外接球的球心正好在三棱锥的顶点上。
根据三棱锥外接球公式，我们可以计算外接球的半径。
这个公式的表达式为：R = a / (2 * √3)，其中R代表外接球的半径，a代表三棱锥的边长。
通过这个公式，我们可以根据三棱锥的边长来计算外接球的半径。
三棱锥外接球公式的推导过程比较复杂，这里不做详细介绍。
但是我们可以通过一些几何性质来理解这个公式的原理。
首先，我们知道三棱锥的底面是一个三角形，而外接球与三角形的三个顶点都相切。
根据几何性质，三角形的外接圆的圆心和三角形的三个顶点所在直线的交点是共线的。
所以，外接球的球心必须在三棱锥的顶点所在的直线上。
而且，由于外接球与三棱锥的四个顶点都相切，所以外接球的球心和顶点之间的距离必须相等。
根据几何性质，这个距离正好等于三棱锥的高。
而三棱锥的高可以通过边长和底面的面积计算得到。
通过这些几何性质，我们可以推导出三棱锥外接球公式。
首先，我们根据三棱锥的边长和底面的面积计算出三棱锥的高。
然后，根据三棱锥的高和顶点到球心的距离相等的性质，我们可以计算出外接球的半径。
三棱锥外接球公式的应用范围非常广泛。
在几何学和工程学中，我们经常需要计算三棱锥的各种属性，比如体积、表面积等。
而外接球的半径是三棱锥的一个重要属性，它可以帮助我们计算其他与三棱锥相关的量。
所以，掌握三棱锥外接球公式对于理解和应用几何学和工程学知识非常重要。
总结起来，三棱锥外接球公式是描述三棱锥与外接球之间关系的数学公式。
三棱锥外接球半径常见解法(含答案解析)(1)
特殊三棱锥外接球半径的常见求法【法一：补形法】
外接球半径等于长方体体对角线的一半
注意：图中三棱锥的外接球与长方体外接球是同一个球。
【法二：轴截面法】
1、寻找底面厶PBC的外心；
2、过底面的外心作底面的垂线；
外接球的球心必在该垂线上，利用轴截面计算出球心的
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3、位置。
【法三：向量法】
【练习巩固】
练习1 （陕西，2010）如图，在三棱锥P-ABC 中，朋丄平^ABC^CBLPB.CB丄加•且E4二2加二2BC二2 , 求其外接球的体积。
P
练习2 （全国卷，2010）已知三棱锥的各条 棱长均为求其外接球的表面积。
练习3 （河北，2012）如图，在四面体ABCD 中,AB 二DC 二逐,AD 二BC 二&BD 二AC 二屈,
求其外接球的表面积。
【参考答案】
练习1【补形法】
【轴截面法】
0A 二OB 二
0C 二OP
晶兀
练习2 【补形法】
R = -------- 、 S = A-TT R 2
= 14?r 2
D A A 【轴截面法】
D A。
空间几何体的外接球内切球问题
Ｐ ＤS ＣAＯ空间几何体的外接球、内切球问题外接球问题一.棱锥的外接球三棱锥都有外接球；底面有外接圆的任意棱锥都有外接球。
1.确定棱锥外接球球心的通法先找到棱锥底面的外接圆的圆心D ，过D 作底面的垂线ＤＰ交一侧棱的中垂面于O ，点O 即为外接球的球心。
练习：1.三棱锥S-ABC 的各顶点都在同一球面上，若SB ⊥平面ABC ,SB=6，AB=AC=2120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于 。
2. 点A 、B 、C 、D 均在同一球面上，其中△ ABC 是正三角形，AD ⊥平面ABC ，AD=2AB=6则该球的体积为 。
3.四面体ABCD 的四个顶点在同一球面上，AB=BC=CD=DA=3，32=AC ，6=BD ，则该球的表面积为 （ ）A ． π14 B.π15 C.π16 D.π182.补成长方体或正方体，再利用体对角线是外接球直径这一结论求解。
练习：1.三棱锥O ABC -中，,,OA OB OC 两两垂直，且22OA OB OC a ===，则三棱锥O ABC -外接球的表面积为（ ）A ．26a πB ．29a πC ．212a πD ．224a π2.已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，1SA AB ==，BC =O 表面积等于（A ）4π （B ）3π （C ）2π （D ）π3.,四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为( )A.3πB.4πD.6π4.3.公共边所对的两个角为直角确定球心法 练习1.在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B ACD --，则四面体ABCD 的外接球的体积为 A.12512π B.1259π C.1256π D.1253π2.空间四边形ABCD中，1,AB BC AD DC ====ABCD 的外接球的表面积为4.利用轴截面截球为大圆确定球半径正四、六、八棱锥的外接球的一个轴截面为大圆，该圆的半径等于外接球的半径. 练习：1.正四棱锥S ABCD -S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 .2.正六棱锥EF S ABCD -的底面边长为1S A B C D 、、、、、E 、F 都在同一球面上，则此球的表面积为 .3.表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为_ C_ A_ O_ D _ BA．3B．13π C．23π D．3二.棱柱的外接球底面有外接圆的直棱柱才有外接球。
三棱锥外接球半径常见解法含答案解析
三棱锥外接球半径常见解法含答案解析在立体几何中，求三棱锥外接球半径是一个常见且重要的问题。
掌握有效的解法不仅能够帮助我们解决具体的数学题目，还能加深对空间几何关系的理解。
下面将为大家介绍几种常见的求解三棱锥外接球半径的方法，并通过具体的例子进行答案解析。
一、补形法补形法是一种常用的技巧，通过将三棱锥补成一个特殊的几何体，如长方体、正方体等，然后利用这些特殊几何体的外接球半径与原三棱锥外接球半径的关系来求解。
例如，对于墙角三棱锥（三条侧棱两两垂直的三棱锥），我们可以将其补成长方体。
设三棱锥的三条侧棱长分别为＼（a\）、＼（b\）、＼（c\），则长方体的体对角线就是三棱锥外接球的直径＼（2R\），根据长方体体对角线公式可得：＼＼begin{align}2R&＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2 ＋ c^2}＼＼R&＝＼frac{＼sqrt{a^2 ＋ b^2 ＋ c^2}｝｛2}＼end{align}＼例 1：已知三棱锥＼（P ABC\）中，＼（PA\perp PB\），＼（PB\perp PC\），＼（PC\perp PA\），且＼（PA ＝ 3\），＼（PB ＝4\），＼（PC ＝ 5\），求其外接球半径。
解：将三棱锥＼（P ABC\）补成长方体，长方体的体对角线就是外接球的直径。
＼＼begin{align}2R&＝＼sqrt{3^2 ＋ 4^2 ＋ 5^2}＼＼＆＝＼sqrt{9 ＋ 16 ＋ 25}＼＼＆＝＼sqrt{50}＼＼＆＝5\sqrt{2}＼end{align}＼所以，外接球半径＼（R ＝＼frac{5\sqrt{2}｝｛2}＼）二、确定球心位置法通过寻找三棱锥外接球的球心位置，利用球心到各顶点的距离等于外接球半径来求解。
对于正三棱锥，球心通常在高线上。
设正三棱锥底面边长为＼（a\），高为＼（h\），底面外接圆半径为＼（r\）（可由正弦定理求得＼（r ＝＼frac{＼sqrt{3}｝｛3}a\）），球心到底面距离为＼（d\），则根据勾股定理有：＼＼begin{align}R^2&＝d^2 ＋ r^2\＼d&＝h R＼end{align}＼联立可得＼（R\）的表达式。
三棱锥的外接球问题
多面体的外接球问题多面体的外接球问题是一类重要的题型，学生往往感到困难，本文从常见的题型出发，进行归类总结，提高解决这类题的能力。
题型一有公共斜边的两个直角三角形组成的三棱锥 ，球心在公共斜边的中点处C1. 在矩形 ABCD 中， AB ＝ 4， BC ＝ 3，沿 AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角 B ACD ，则四面体 ABCD 的外接球的体积为A. 125B.125 C. 125D.125 12963B2. 三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的球面上， 且 SAACSB BC 2 2，SC 4 ，则该球的体积为256 B32 C16 D64A33解析：．在四面体 S ABC 中， AB BC, AB BC2, SA SC 2，二面角 S AC B 的余弦值是D33 ，则该四面体外接球的表面积是（）3A ．86 B ．6 C ．24D ．6A4. 在平面四边形 ABCD 中， AB ADCD 1，BD2 ， BDCD ，将其沿对角线 BD 折成四面体 A ' BCD ，使平面 A ' BD平面 BCD ，若四面体 A 'BCD 顶点都在同一个球面上，则该球的体积为A3 B3C2 D223225．平行四边形 ABCD 中， AB · BD =0，沿 BD 将四边形折起成直二面角A 一 BD －C ，且 2 ABBD4，则三棱锥 A － BCD 的外接球的表面积为（ ）A ．B． C． 4D．224试题分析：AB BD 0, 所以 AB BD , 因为 ABCD 为平行四边形 , 所以 CD BD, AB CD .因为A BD C 为直二面角 , 所以 面 ABD 面 CBD , 因为 面 ABD 面 CBD=BD , AB 面 ABD , ABBD ,所以AB 面 CBD . 因为 BC 面 CBD , 所以 ABBC . 分析可知三棱锥 ABCD 的外接球的球心为AC 的中2 2 22 2222点 .因 为 A CABBCA (BCD ) B2DAB 4CD则三棱锥,所以AC 2.A BCD 的外接球的半径为1, 表面积为 4 .故 C 正确.6 已知直角梯形ABCD ， ABAD ，CDAD ，AB 2 AD 2CD2 ，沿 AC 折叠成三棱锥 ，当三棱锥体积最大时，三棱锥外接球的体积为．4解：如图，2， AD ，13∴ AC2，BC 2， BC AC .取 AC 的中点 E ，AB 的中点 O ，连结 DE ， OE ， ∵当三棱锥体积最大，∴平面 DCA平面 ACB ，OB OA OC OD ， OB1即为外接球的半径. 此时三棱锥外接球的体积： 4R 34．33题型二 等腰四面体的外接球 补成长方体， 长方体相对面的对角线为等腰四面体的相对棱1. 在三棱锥 A BCD 中， AB CD 6, AC BD AD BC 5 ，则该三棱锥的外接球的表面积为科____________ 432 A ， B ， C ， D 四点在半径为5 2的球面上，且 AC BD5， ADBC41 ， AB CD ，则三2棱锥 DABC 的体积是 ____________． [来源 :学 ,科 ,网 ]【答案】 20试题分析：根据题意构造长方体，其面上的对角线构成三棱锥D ABC ，如图所示，设长方体的长、宽、a 2b 2 25高分别为 a ， b ， c ，则有 a 2c 2 41，解得 a 4， b3 ， c 5 ，所以三棱锥的体积为5a 2b 2c 250－ 4114 3 5＝20．3 2题型三 直角四面体的外接球补成长方体，长方体对角线长为球的直径1. 已知正三棱锥 P ABC ，点 P, A, B,C 都在半径为 3 的球面上，若 PA, PB, PC 两两互相垂直，则球心到截面 ABC3的距离为 ________3→ → → → → →2．设 A ，B ， C ， D 是半径为 2 的球面上的四个不同点，且满足 AB ·AC ＝ 0， AD ·AC ＝ 0，AB ·AD ＝ 0，用 S 1、 S 2、S 3 分别表示△ ABC 、△ ACD 、△ ABD 的面积，则 S 1 ＋S 2＋ S 3 的最大值是 ________．答案 8→ → → → → → →→→→→→解析 由AB ·AC ＝ 0，AD ·AC ＝ 0， AB ·AD ＝ 0， ∴ AB ⊥ AC ， AD ⊥ AC ，AB⊥AD ，由点 A ， B ，C ，D 构成的2 2三棱锥，可以补形成一个长方体， 该长方体的外接球半径为2222AB ＋AC2，∴ AB ＋ AC ＋ AD ＝ (2＋ 2) ＝ 16，即 2AB 2 ＋AD 22＋ AC 2＋ ＋ AD 1 1 2 ＝ 16≥ AB ·AC ＋ AB ·AD ＋ AC ·AD ， ∴S 1＋ S 2＋ S 3 ＝ (AB ·AC ＋ AB ·AD ＋ AC ·AD)≤2 2 2× 16，当且仅当 AB ＝ AC ＝ AD ＝43时， S ＋S ＋S 取得最大值 8.31233．三棱锥 P ABC 中， ABC 为等边三角形，PA PBPC 2， PAPB ，三棱锥 PABC 的外接球的表面积为（）A ． 48B ． 12C． 4 3D．32 3解析 :由题意得： PA, PB , PC 两两相互垂直，以 PA, PB, PC 为边补成一个正方体，其外接球就为三棱锥P ABC 的外接球，半径为 3 ，表面积为 4 ( 3) 2 12 ，选 B ．C4. 在正三棱锥 A BCD 中， E, F 分别是 AB, BC 的中点， EF DE ，若 BC2 ，则 A BCD 外接球的表面积为AB2C3D4C5. 在正三棱锥 S ABC 中， M , N 分别是 SC, BC 的中点，且 MN AM ，若侧棱 SA2 3 ，则正三棱锥 S ABC 外接球的表面积为A 12B32C36D487．已知正方形APP P的边长为4，点 B,C 分别是边PP , P P的中点，沿 AB, BC ,CA 折叠成一个三棱1 2 31 22 3锥 P ABC （使 P , P , P 重合于点 P ），则三棱锥 P ABC 的外接球的体积为（）123A.24B.86C.46D. 4解析：折成的三棱锥 P ABC 如图所示.由题意可知 PA,PB,PC 两两互相垂直且PA PB PC 4,AB AC 2 5,BC 2 2.设此棱锥外接球的半径 r , 则 r2224 r 326 . 则外接球的体积为 V8 6 . 故 B 正确.38. 已知 P, A, B,C, D 在球 O 的表面上， PA ABCD ， PA2 6 ， ABCD 是边长为 23 的正方形，则 OAB 的面积为 ____________ 3 3 题型四 过底面外心做垂线，球心有垂线上1.已知四面体 P ABC ,其中 ABC 是边长为 6 的等边三角形 , PA 平面 ABC , PA 4 ,则四 面体P ABC 外接球的表面积为 ________．【答案】 64π．【解析】根据已知中底面 ABC 是边长为 6 的等边三角形 , PA 平面 ABC ,可得此三棱锥外接球 ,即以ABC 为底面以 PA 为高的正三棱柱的外接球．因为 ABC 是边长为 6 的正三角形 ,所以 ABC 的外接圆半径为 r2 3 ,所以球心到 ABC 的外接圆圆心的距离为 d 2 ,所以球的半径为R r2d 2 12 4 4 所以四面体 P ABC外接球的表面积为 S 4πR 264π故应填．,,64π2.已知三棱锥 A BCD 中， ABACBD CD 2 , BC 2 AD ,直线 AD 底面 BCD 所成的角是，3则此时三棱锥外接球的体积是()A82 4 28 2BC3D33选 D3. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的（）A．外接球的半径为B73 1 C．体积为 3 D．外接球的表面积为43．表面积为3解：由三视图可知，这是侧面ACD ⊥ABC ，高 的三棱锥， AC=2 ， BE=1 ，所以三棱锥的体积为，设外接球的圆心为 0，半径为 x ，则，在直角三角形222，即，OEC 中， OE +CE =OC整理得，解得半径，所以外接球的表面积为，所以 A ，C ， D 都不正确，故选 B ．题型五平面截球的截面是圆，设球心到截面的距离是d ，球的半径为 R ，截面圆的半径为r ，则有R 2 d 2 r 21. 已知 A,B,C 三点是某球的一个截面的内接三角形的三个顶点，其中AB 18, BC 24, AC30 ，球心到这个截面的距离为球半径的一半，则该球的表面积为A. 1200B. 1400C. 1600D.18002.已知一个球的球心 O 到过球面上 A 、 B 、 C 三点的截面的距离等于此球半径的一半，若 ABBCCA3，则球的体积为32.33. 已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上， 且 AB 6, BC 2 3,则棱锥 OABCD 的体积为 。
三棱锥外接球问题
教师要善 于利 用游戏 、 比赛等形式来
激 发 学 生 的学 习兴 趣 。
２ ． 帮助学生养成 良好 的学 习习惯。
３ ． 培养记忆 力。 记忆是人们对经验反映 的心理过程 ， 它包括识记 、 保持、 再现和回忆 。 ４ ． 培养思维力。 教师应帮助学生在初中阶段已形成的 思考 ， 经过归纳推理和演绎推理 ， 使他们形 成新的概念。 我相信 ， 随着新的英语教学大纲和教
解 析 ：正 四面 体 可 以
总结一下三棱锥外接球 问题 ．
１ ． （ ２ ０ １ ０辽宁 １ １ ）已知 Ｓ ， Ａ， 曰， Ｃ是
球 。表 面 上 的 点 ， ｓ Ａ上 平 面 Ａ Ｂ Ｃ ， Ａ Ｂ上
看成是 由一个正方体的 四 条对 角线构成的 ，所以它 的外接球与正方体的外接 球是 同一个 ， 从而轻松得解． 解： 若正方形的对角线长为 ２ ， 则边长为
良好 的学 习习惯 是培 养 自学 能力 的
前提 ， 课前主动预 习 ， 课下主动复 习。
Ａ ． ４ １ Ｔ
Ｂ ． ３ １ ｒ Ｃ ． ２ 耵
Ｄ ． 订
解析
选 Ａ ． 该椎体可 以补成一个 长
球 的半 径 Ｒ＝ Ｉ ， ＡＡ Ｂ Ｃ的外 接 圆 的
半径ｒ ＝ 单
、 ／ ＝
， 点０ 到面Ａ Ｂ Ｃ的 距离 ｄ 一
．
方体 ， 而长 方体 的体 对角线就是外接圆的 、 ／ ， 体对角线为、 ／ ， 球半径为 直径 ， 所 以可轻松得解．
能力应 当是 中学英语教学的最终 目的。 交 际能 力是语言 的构成 规则和 语言 的使 用 规则在一定情景 中的具体运用。 二、 培养文化素质 语言、 语言学 习和语 言运用都不可能 脱离文化而单独存在。 语言的得体性离不开文化知识 ， 要使 学生在 交际 中根 据话题 、 语境、 文化背 景 讲出恰当的话 ， 就要注意培养 他们 的文化 素质 ， 尽量减少交际错误。 三、 培养思想素质 在英 语 教 学 中 通过 广 泛 的 教 学 内 容， 借 助 中外 优秀文 化传统 、 杰出人物 的 事迹和精 神去 陶＞ 台学生 的情操 ，使他 们
对棱相等的三棱锥外接球半径公式
对棱相等的三棱锥外接球半径公式对于棱相等的三棱锥，我们可以利用其几何特征来推导其外接球的半径公式。
首先，我们先来了解一下什么是外接球。
外接球是指能够同时接触到三棱锥的每一个顶点的球形体，它是一个球心位于三棱锥外部并和三棱锥顶点连成的线段相切。
要推导外接球的半径公式，我们可以利用欧拉公式来解决。
欧拉公式是指，对于所有的凸多面体，其顶点数、棱数和面数满足以下关系：顶点数+面数=棱数+2现在我们来考虑一个有n个棱边的三棱锥。
根据三棱锥的定义，它有n+1个顶点（其中一个顶点是顶点，其余n个顶点是底面的顶点）。
同时，它有n个面（一个是底面，其余n-1个是三角面）。
由于三棱锥的每个面都是一个三角形，所以它共有3n个棱边（每个三角形有3个边）。
将这些数据代入欧拉公式中，我们可以得到：n+1+n=3n+2化简得：2n+1=3n+2n=1这意味着棱相等的三棱锥只有一个边，也就是说它是一个等边三角形。
在等边三角形中，每个角度都是60度。
接下来，我们来推导等边三角形的外接球半径公式。
为了方便推导，我们假设等边三角形的边长为a。
根据三角形的性质，我们可以知道等边三角形的高等于边长的一半乘以根号3（即h=(a√3)/2）。
外接球的半径可以通过等边三角形的高来计算。
根据立体几何的知识，我们可以知道外接球的半径r等于等边三角形的高的三分之二（即r=(a√3)/3）。
将等边三角形的边长a代入到外接球半径公式中，我们可以得到：r=(a√3)/3所以，棱相等的三棱锥的外接球半径公式就是r=(a√3)/3综上所述，对棱相等的三棱锥来说，其外接球半径公式是r=(a√3)/3，其中a代表等边三角形的边长。
任意三棱锥外接球半径公式
任意三棱锥外接球半径公式设任意三棱锥的底面为三角形ABC，高为h，顶点为O，外接球的圆心为O'，外接球的半径为R。
根据三棱锥的几何特性和圆锥的定义，可以得到以下关系：AO'是O'AC的高线，BO'是O'BC的高线，CO'是O'AB的高线，O'O是O'OBC的高线。
根据直角三角形的性质，可以得到AO'的长度：AO'^2=AO^2-OO'^2由于AO=h，OO'=R，代入上式得到AO'^2=h^2-R^2同理，可以得到BO'^2=h^2-R^2和CO'^2=h^2-R^2因此，AO'^2=BO'^2=CO'^2=h^2-R^2当三角形ABC为等边三角形时，即AB=BC=AC=a，三棱锥为正四棱锥。
此时，高度h可以用底边长a来表示，h=a√3/2将上式中的h代入，得到AO'^2=BO'^2=CO'^2=(a√3/2)^2-R^2化简得到AO'^2=BO'^2=CO'^2=3a^2/4-R^2根据等边三角形的性质和底边的长度a可以确定三角形ABC的内接圆的半径r。
根据内接圆的性质，可以得到以下关系：r=a√3/6将上式中的r代入，得到AO'^2=BO'^2=CO'^2=3a^2/4-(a√3/6)^2化简得到AO'^2=BO'^2=CO'^2=3a^2/4-3a^2/36继续化简得到AO'^2=BO'^2=CO'^2=9a^2/12-a^2/12合并同类项得到AO'^2=BO'^2=CO'^2=8a^2/12化简得到AO'^2=BO'^2=CO'^2=2a^2/3根据三角形的外接圆的性质，可以得到以下关系：OO'=R=AO'√3/3将上式中的AO'代入，得到R=(2a^2/3)√3/3继续化简得到R=2a^2√3/9当三角形ABC不是等边三角形时，可以使用类似的方法进行推导，只是需要根据实际情况进行运算和化简。
三棱锥外接球问题
三棱锥外接球问题1.有公共斜边的直角三角形组成的三棱锥，球心在公共斜边的中点处。
2.等腰四面体的外接球：补成长方体3.按照定义，球心到四个顶点的距离为半径4.平面截球的截面是圆，设球心到平面的距离为d ，球的半径为R ，截面圆（三角形外接圆）的半径为r ，则有222d r R +=5.补成直棱柱，球心在上下底面中心连线中点(2011年全国高考题)（11）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =；则此棱锥的体积为()A 6 ()B ()C 3 ()D 2【解析】选AABC ∆的外接圆的半径r =O 到面ABC 的距离d ==SC 为球O 的直径⇒点S 到面ABC 的距离为2d =此棱锥的体积为11233436ABC V S d ∆=⨯=⨯= 此解法充分利用了球当中的性质：每一个截面圆的圆心与球心的连线垂直于截面圆所在平面。
下面就几个例题简单总结一下三棱锥外接球问题。
1.(2010辽宁11)已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，1SA AB ==，2BC =，则球O 表面积等于 选A（A ）4π （B ）3π （C ）2π （D ）π【解析】该椎体可以补成一个长方体，而长方体的体对角线就是外接圆的直径，所以可轻松得解。
解：142112=++=R ππ442==R S 球 练一练：将边长为2的正ABC ∆沿BC 边上的高AD 折成直二面角B AD C --，则三棱锥B ACD -的外接球的表面积为 ．答案：5π说明：对于直角四面体和双垂四面体，都可以补成长方体或正方体，再利用体对角线是外接球直径这一性质求解。
2. 点A 、B 、C 、D 均在同一球面上，其中△ ABC 是正三角形，AD ⊥平面ABC ，AD=2AB=6则该球的体积为 。
解析：由于有一条棱垂直于底面，所以该棱柱可以补成一个直三棱柱，而直三棱柱的外接球的球心正好是三棱柱中截面的外接圆圆心。
补形法解三棱锥外接球问题+课件-2024届高三数学二轮专题复习
补形为直三棱柱
补形为圆柱
例3.已知S、A、B、C是球O表面上不同的四个 点，且SA⊥平面ABC，SA=AB=AC=1,BC=√3，则 球0的体积为 5 5
6
4.侧棱都相等的棱锥 补形为圆锥
P
R2 (h R)2 r 2或R2 （R h)2 r 2
立体问题 平面化
A
C
B
课堂练习之题后反思
补形法只是我们解决某一类几何体外接球问题的一种方法，将 锥体补形为柱体，它的最终目的仍然是为了确定外接球球心的位置. 对于无法补形的几何体，一般需要通过确定球心的位置进行求解.
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结论：对边相等的三棱锥可以补形成长方体
二.圆柱体的再认识
A'
B'
C'
h
2R
A
2r
B
C
h2 (2r)2 (2R)2
A
.h
B
O
C (h R)2 r2 R2
三.常考模型
1.对棱分别相等的三棱锥
补形为长方体
D
特别的，当三棱锥所有
A
棱长都相等（即正四面
C
体）时，可将其补形为
正方体
B
例1.在三棱锥A-BCD中，AB=CD=6，AC=BD=AD=BC=5，则此三棱锥的外接球
二.长方体的再认识
1.长方体的外接球
问题1：长方体或正方体的体对角线和体心与它的外接球有什么关系？ 问题2：边长为2的正方体的外接球的表面积为多少？ 问题3：假如一个正方体的8个顶点都在同一个球的球面上，那任意选 出四个顶点，这四个顶点都在该球的球面上吗？
二.长方体的再认识
2、在长方体的八个顶点中，任取四个不共面的顶点，构成的三棱锥有 什么特点？
任意三棱锥外接球半径公式
任意三棱锥外接球半径公式三棱锥外接球是指一个球正好能够包围住一个任意形状的三棱锥，并且球的球心和三棱锥的顶点在同一个平面上。
求三棱锥外接球的半径需要应用到几何的相关知识和公式。
首先，我们可以得到一个重要的结论：三棱锥外接球的球心与三棱锥底面的重心重合。
这是因为，在三棱锥中，三根高的交点形成一个四面体，而四面体的重心恰好与外接球的球心重合。
因此，我们只需要求出三棱锥底面的重心到底面上一个顶点的距离，即可得到三棱锥外接球的半径。
那么，如何求解三棱锥底面的重心坐标呢？我们可以利用底面三个顶点的坐标(x1,y1,z1)，(x2,y2,z2)，(x3,y3,z3)来求解。
重心的坐标可以通过以下公式获得：重心坐标：Xg=(x1+x2+x3)/3Yg=(y1+y2+y3)/3Zg=(z1+z2+z3)/3有了重心坐标，我们可以进一步计算重心到底面上一个顶点的距离。
我们设重心到底面上任意一个顶点的距离为r，则r可以通过以下公式获得：r = sqrt((Xg - x1)^2 + (Yg - y1)^2 + (Zg - z1)^2)在这个公式中，我们使用了三维平面上两点之间的距离公式，即两点的坐标之差的平方套用勾股定理再开平方根。
至此，我们得到了三棱锥外接球的半径公式。
要求三棱锥外接球的半径，只需将刚才获得的r代入即可。
下面我们以一个具体的例子来解释这个公式。
假设一个三棱锥的底面顶点坐标为A(1,2,3)，B(4,5,6)，C(7,8,9)。
那么，我们可以通过计算得到底面的重心坐标为(4,5,6)。
接下来，我们可以根据重心坐标和底面上任意一个顶点的距离公式来计算半径：r = sqrt((4 - 1)^2 + (5 - 2)^2 + (6 - 3)^2)= sqrt(3^2 + 3^2 + 3^2)= sqrt(27)= 3 * sqrt(3)因此，这个三棱锥外接球的半径为3 * sqrt(3)。
需要特别注意的是，这个半径公式只适用于底面为任意形状的三棱锥。
正三棱锥外接球半径万能公式
正三棱锥外接球半径万能公式正三棱锥外接球半径万能公式是一种描述正三棱锥外接球半径的公式，它可以用来计算正三棱锥外接球的半径。
正三棱锥是一种几何形状，由一个三角形的底面和三个相同的锥面组成。
它的特点是：它的底面是一个正三角形，它的三个锥面是平行的，它的三个侧面是平行的，它的三个角都是直角。
外接球是一种几何图形，由一个球体上的点集合组成，使得所有点都距离球心同样的距离。
外接球的半径是指从球心到外接球表面点的距离。
正三棱锥外接球半径万能公式如下：R = (a^2 + ha)/3其中，R 为正三棱锥外接球的半径，a 是正三棱锥的底面的边长，h 是正三棱锥的高。
该公式表明，正三棱锥外接球的半径R与正三棱锥的底面边长a和高h有关，它们之间的关系就是R= (a^2 + ha)/3。
首先，我们考虑正三棱锥的底面边长a。
我们知道，正三棱锥的底面是一个正三角形，它的三个边长是相等的。
因此，正三棱锥的底面边长a可以表示为a=a1=a2=a3。
然后，我们考虑正三棱锥的高h。
正三棱锥的高h指的是从底面到顶点的距离。
我们可以用勾股定理来求出h：h = √(a^2 - (a/2)^2)将a和h代入正三棱锥外接球半径万能公式中，我们就可以得到正三棱锥外接球半径的具体值：R = (a^2 + ha)/3R = (a^2 + √(a^2 - (a/2)^2)*a)/3R = (a^2 + a√(4a^2 - a^2))/3R = (a^2 + 2a^2)/3R = 3a^2/3R = a^2因此，我们就得到了正三棱锥外接球半径的万能公式：R = a^2，其中a是正三棱锥底面边长。
正三棱锥外接球半径万能公式非常实用，可以用来快速计算正三棱锥外接球的半径。
它可以大大减轻数学家的计算量，使用该公式，可以快速准确地计算出正三棱锥外接球的半径。
正三棱锥外接球半径万能公式不仅可以用于计算正三棱锥外接球的半径，也可以用于计算正三棱锥内接球的半径。
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三棱锥外接球问题
1.有公共斜边的直角三角形组成的三棱锥，球心在公共斜边的中点处。
2.等腰四面体的外接球：补成长方体
3.按照定义，球心到四个顶点的距离为半径
4.平面截球的截面是圆，设球心到平面的距离为d ，球的半径为R ，截面圆（三角形外接圆）的半径为r ，则有222d r R +=
5.补成直棱柱，球心在上下底面中心连线中点
(2011年全国高考题)（11）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =；则此棱锥的体积为
()A 6 ()B ()C 3 ()D 2
【解析】选A
ABC ∆的外接圆的半径r =O 到面ABC 的距离d ==
SC 为球O 的直径⇒点S 到面ABC 的距离为2d =
此棱锥的体积为11233436
ABC V S d ∆=⨯=⨯= 此解法充分利用了球当中的性质：每一个截面圆的圆心与球心的连线垂直于截面圆所在平面。
下面就几个例题简单总结一下三棱锥外接球问题。
1.(2010辽宁11)已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，
1SA AB ==，2BC =，则球O 表面积等于 选A
（A ）4π （B ）3π （C ）2π （D ）π
【解析】该椎体可以补成一个长方体，而长方体的体对角线就是外接圆的直径，所以可轻松得解。
解：14
2112=++=R ππ442==R S 球 练一练：将边长为2的正ABC ∆沿BC 边上的高AD 折成直二面角B AD C --，则三棱锥B ACD -的外接球的表面积为 ．
答案：5π
说明：对于直角四面体和双垂四面体，都可以补成长方体或正方体，再利用体对角线是外接球直径这一性质求解。
2. 点A 、B 、C 、D 均在同一球面上，其中△ ABC 是正三角形，AD ⊥平面ABC ，AD=2AB=6则该球的体积为 。
解析：由于有一条棱垂直于底面，所以该棱柱可以补成一个直三棱柱，而直三棱柱的外接球的球心正好是三棱柱中截面的外接圆圆心。
答案：π332
说明：对于能补成直三棱柱的三棱锥外接球问题皆可用此法解。
3.正四面体BCD A -的边长为2，求该四面体外接球的表面积 。
解析：正四面体可以看成是有一个正方体的四条对角线构成的，所以它的外接球与正方体的外接球是同一个，从而轻松得解。
解：若对角线为2，则边长为2，体对角线为6，球
半径为2
6，表面积为π6。
另解： 33
2=ED ,3
62344=-=AE
=
⇒-+=OD OD AE ED OD 22)(2
6 =∴球S π6 此法对于顶点在底面的射影是地面三角形的外心的三棱锥外接球问题皆可用。