三棱锥外接球问题

三棱锥外接球问题

1.有公共斜边的直角三角形组成的三棱锥，球心在公共斜边的中点处。

2.等腰四面体的外接球：补成长方体

3.按照定义，球心到四个顶点的距离为半径

4.平面截球的截面是圆，设球心到平面的距离为d ，球的半径为R ，截面圆（三角形外接圆）的半径为r ，则有222d r R +=

5.补成直棱柱，球心在上下底面中心连线中点

(2011年全国高考题)（11）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =；则此棱锥的体积为

()A 6 ()B ()C 3 ()D 2

【解析】选A

ABC ∆的外接圆的半径r =O 到面ABC 的距离d ==

SC 为球O 的直径⇒点S 到面ABC 的距离为2d =

此棱锥的体积为11233436

ABC V S d ∆=⨯=⨯= 此解法充分利用了球当中的性质：每一个截面圆的圆心与球心的连线垂直于截面圆所在平面。下面就几个例题简单总结一下三棱锥外接球问题。

1.(2010辽宁11)已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，

1SA AB ==，2BC =，则球O 表面积等于 选A

（A ）4π （B ）3π （C ）2π （D ）π

【解析】该椎体可以补成一个长方体，而长方体的体对角线就是外接圆的直径，所以可轻松得解。 解：14

2112=++=R ππ442==R S 球 练一练：将边长为2的正ABC ∆沿BC 边上的高AD 折成直二面角B AD C --，则三棱锥B ACD -的外接球的表面积为 ．

答案：5π

说明：对于直角四面体和双垂四面体，都可以补成长方体或正方体，再利用体对角线是外接球直径这一性质求解。

2. 点A 、B 、C 、D 均在同一球面上，其中△ ABC 是正三角形，AD ⊥平面ABC ，AD=2AB=6则该球的体积为 。

解析：由于有一条棱垂直于底面，所以该棱柱可以补成一个直三棱柱，而直三棱柱的外接球的球心正好是三棱柱中截面的外接圆圆心。

答案：π332

说明：对于能补成直三棱柱的三棱锥外接球问题皆可用此法解。

3.正四面体BCD A -的边长为2，求该四面体外接球的表面积 。

解析：正四面体可以看成是有一个正方体的四条对角线构成的，所以它的外接球与正方体的外接球是同一个，从而轻松得解。

解：若对角线为2，则边长为2，体对角线为6，球

半径为2

6，表面积为π6。 另解： 33

2=ED ,3

62344=-=AE

=

⇒-+=OD OD AE ED OD 22)(2

6 =∴球S π6 此法对于顶点在底面的射影是地面三角形的外心的三棱锥外接球问题皆可用。