《对数型复合函数单调性》专题
【2018新课标 高考必考知识点 教学计划 教学安排 教案设计】高一数学：专题突破对数型复合函数单调性
专题突破对数型复合函数单调性 高秀丽 一校 程文军 二校 黄楠 审核 隋冬梅
1. 对数型复合函数的形式： ） y log a f ( x) （可以看成是两个简单函数 y log a u ， u f ( x) 复合而成的。 2. 对数函数 y log a x 单调性的判断： 当 a 1 时， y log a x 为增函数； 当 0 a 1 时， y log a x 为减函数。 3. 求对数型复合函数单调性步骤 （1）确定复合函数的定义域，即看内外函数对自变量 x 的限制，然后解不等式，求并 集； （2）将原函数分解为初等函数 y log a u ， u f ( x) 的形式； （3）分别求 y log a u ， u f ( x) 的单调区间； （4）根据“同增异减”给出原函数的单调区间。
令 u 1
f ( x) f ( x) ， 1 ax 1 ax x 1 log 1 log 1 log 1 。 2 x 1 2 x 1 2 1 ax 1 ax x 1 ， x 1 1 ax 即 (1 ax)(1 ax) ( x 1)( x 1) ，
∴当 0 a 1 时， log a ( x x 2 ) log a 函数的定义域。
1
例题 2
ylog 2a x 在 ) 0,1 上是 x 的减函数，求 a 的取值范围。 a (
当 a 1 时， 函数 t 2 a x 0 是减函数， 由 y log a (2 a x ) 在 0,1 上是 x 的减函数，
解析：∵ a 0 且 a 1
1 a 2
知 y log a t 是 增 函 数 ，
a 1 ， 由 x [ 0 , 1] 时， 2a 0 a 1。 2 1 0 ， 0 a 1
对数型复合函数的单调性精品PPT课件
(1) y log0.3 (x2 2x 8)
解：由 x2 2x 8 0, 解得x 4或x 2
函数的定义域为 ,2 4, 令u x2 2x 8 x 12 9 在 ,2上单调递减，在4,上单调递增 而函数y log0.3 u在0,上单调递减
所以，由复合函数的单调性可知，
函数y log0.3 (x2 2x 8)的单调递增区间为 ,2 单调递减区间为4,
自主学习 合作探究
例1.求下列函数的单调区间
(1) y log2 (x 1) (2) y log2 (3 2x) (3) y log 1 x2
2
小结：
对于 y loga f (x)(a 0,且a 1)单调性
(1)先求函数的定义域 即首先应求使 f (x) 0 的 x 的范围
(2)确定u f (x) 的单调区间
(3) y loga (2x 1) a 0,且a 1
解：由 2x 1 0, 解得x 1 2
函数的定义域为 1 , 2
令 u 2x 1, 在区间 1 , 上为增函数 2
当 0 a 1时，函数y loga u在区间0,上是减函数 当 a 1时，函数y loga u在区间0,上是增函数
对数型复合函数的单调性
濮阳市一高 一级部 王 芳
学习目标：
▪ 会求对数型复合函数的单调性 ▪ 会求对数型复合函数的值域
回顾复习：
复合函数：
1.定义：
形如 y f g(x)的形式，是由u g(x)和y f (u)复合而成的
其中，u g(x)是内函数，y f (u)是外函数
2.单调性：
同增异减
u g(x)在M上有意义，y f (u)在N上有意义，x M时，u N,
(1)若u g(x)在M上为增函数，y f (u)在N上为增函数，则y f g(x)在M上也为增函数 (2)若u g(x)在M上为减函数，y f (u)在N上为减函数，则y f g(x)在M上也为增函数 (3)若u g(x)在M上为增函数，y f (u)在N上为减函数，则y f g(x)在M上也为减函数 (4)若u g(x)在M上为减函数，y f (u)在N上为增函数，则y f g(x)在M上也为减函数
复合函数单调性(专题训练)
复合函数单调性一．选择题1．函数f（x）=的图象大致为（）A．B．C．D．2．函数y=（）的单调递增区间是（）A．[﹣1，]B．（﹣∞，）C．[，+∞）D．[，2]3．函数f（x）=的单调减区间为（）A．（）B．（）C．D．（1，+∞）4．已知函数在[1，+∞）上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．[2，+∞）C．D．5．设函数，则使得f（x）≤f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．[1，+∞）C．D．6．已知函数f（x）=log a（﹣x2﹣2x+3），若f（0）＜0，则此函数的单调递增区间是（）A．（﹣∞，﹣1]B．[﹣1，+∞）C．[﹣1，1）D．（﹣3，﹣1]7．函数y=|log2x|在区间（k﹣1，k+1）内有意义且不单调，则k的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（0，1）C．[1，2）D．（0，2）8．函数在[0，1]上是减函数，则实数a的取值范围是（）A．0＜a＜1B．1＜a＜2C．1＜a D．a＜29．若函数有最大值，则a的取值范围为（）A．B．C．D．（1，2）10．设函数f（x）在R上为增函数，则下列结论一定正确的是（）A．y=在R上为减函数B．y=|f（x）|在R上为增函数C．y=2﹣f（x）在R上为减函数D．y=﹣[f（x）]3在R上为增函数11．函数f（x）=log0.5（2﹣x）+log0.5（2+x）的单调递增区间是（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）C．（0，2）D．（﹣2，0）12．函数y=|log2|x﹣2||的单调递增区间（）A．（2，3）B．（3，+∞）C．（1，2）和（3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）和（2，3）二．填空题13．已知f（x）=（a2﹣2a﹣2）x是增函数，则实数a的取值范围是．14．函数y=（）|x|﹣1的单调增区间为．15．函数f（x）=lgx2的单调递减区间是．16．函数f（x）=（x2﹣6x+5）的单调递减区间是．17．已知函数y=log a（ax2﹣x）在区间[2，4]上是增函数，则实数a的取值范围是．18．函数y=（m2﹣m﹣1）是幂函数且在（0，+∞）上单调递减，则实数m的值为．19．设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=2x．若对任意的x∈[t，t+1]，不等式f（x+t）≥f3（x）恒成立，则实数t的取值范围是．20．已知函数f（x）与函数的图象关于直线y=x对称，则函数f（x2+2x）的单调递增区间是．复合函数单调性一．选择题（共12小题）1．函数f（x）=的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】利用函数的定义域与函数的单调性排除A、B，C，推出结果即可．【解答】解：令g（x）=lnx﹣1，则g′（x）=＞0，由g'（x）＞0，得x＞0，即函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，所以当x=e时，函数g（x）=0，函数f（x）=对任意的x∈（0，e），（e，+∞），有f（x）是减函数，故排除A、B、C，故选：D．2．函数y=（）的单调递增区间是（）A．[﹣1，]B．（﹣∞，）C．[，+∞）D．[，2]【分析】令t=﹣x2+x+2，则y=（）t，本题即求函数t的减区间，再利用二次函数的性质可得结论．【解答】解：y=（），令t=﹣x2+x+2=﹣（x﹣）2+，则y=（）t，本题即求函数t的减区间．再利用二次函数的性质可得t的减区间为[，+∞），故选：C．3．函数f（x）=的单调减区间为（）A．（）B．（）C．D．（1，+∞）【分析】令t=x2﹣x＞0，求得函数的定义域，本题即求t在定义域内的增区间．再利用二次函数的性质可得t在定义域内的增区间．【解答】解：令t=x2﹣x＞0，求得x＜0，或x＞1，故函数的定义域为{x|x＜0，或x＞1}，本题即求t在{x|x＜0，或x＞1}内的增区间．利用二次函数的性质可得t在{x|x＜0，或x＞1}内的增区间为（1，+∞），即函数f（x）=的单调减区间为（1，+∞），故选：D．4．已知函数在[1，+∞）上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．[2，+∞）C．D．【分析】可看出该函数是由t=x2﹣ax+3a和y=log0.5t复合而成的复合函数，这样根据二次函数、对数函数和复合函数的单调性及对数函数的定义域便可建立关于a的不等式组，解出a的取值范围即可．【解答】解：设y=f（x），令x2﹣ax+3a=t，则y=log0.5t单调递减；∵f（x）在[1，+∞）上单调递减；∴t=x2﹣ax+3a在[1，+∞）上单调递增，且满足t＞0；∴；解得，﹣＜a≤2；∴实数a的取值范围是（﹣，2]．故选：D．5．设函数，则使得f（x）≤f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．[1，+∞）C．D．【分析】根据题意，分析可得函数f（x）为偶函数且在（0，+∞）上为减函数，进而可以将f（x）≤f（2x﹣1）转化为|x|≥|2x﹣1|，变形可得x2≥4x2﹣4x+1，解可得x的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数，分析可得f（﹣x）=[1+（﹣x）2]+=（1+x2）+=f（x），则函数f（x）为偶函数，分析易得：f（x）在（0，+∞）上为减函数，若f（x）≤f（2x﹣1），则有f（|x|）≤f（|2x﹣1|），即有|x|≥|2x﹣1|，变形可得x2≥4x2﹣4x+1，解可得：≤x≤1，即x的取值范围是[，1]；故选：C．6．已知函数f（x）=log a（﹣x2﹣2x+3），若f（0）＜0，则此函数的单调递增区间是（）A．（﹣∞，﹣1]B．[﹣1，+∞）C．[﹣1，1）D．（﹣3，﹣1]【分析】令t=﹣x2+2x﹣3＞0，求得函数的定义域，根据f（0）=log a3＜0，可得0＜a＜1，f（x）=g（t）=log a t，本题即求函数t在定义域内的减区间，再利用二次函数的性质得出结论．【解答】解：令t=﹣x2﹣2x+3＞0，可得﹣3＜x＜1，故函数的定义域为{x|﹣3＜x＜1}．根据f（0）=log a3＜0，可得0＜a＜1，f（x）=g（t）=log a t，本题即求函数t在定义域内的减区间．再利用二次函数的性质求得函数t在定义域内的减区间为[﹣1，1），故选：C．7．函数y=|log2x|在区间（k﹣1，k+1）内有意义且不单调，则k的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（0，1）C．[1，2）D．（0，2）【分析】由题意可得1＞k﹣1≥0，且k+1＞1，由此求得k的取值范围．【解答】解：∵函数y=|log2x|在区间（k﹣1，k+1）内有意义且不单调，可得k﹣1≥0，且1∈（k ﹣1，k+1），∴1＞k﹣1≥0，且k+1＞1．解得1≤k＜2，故选：C．8．函数在[0，1]上是减函数，则实数a的取值范围是（）A．0＜a＜1B．1＜a＜2C．1＜a D．a＜2【分析】利用对数函数的底数，求出a的范围，利用复合函数的单调性求解即可．【解答】解：函数在[0，1]上是减函数，可得a＞0并且a≠1，y=1﹣在[0，1]上是减函数，所以a＞1，并且1，解得a∈（1，2）．故选：B．9．若函数有最大值，则a的取值范围为（）A．B．C．D．（1，2）【分析】由题意可得内层函数t=要有最小正值，且为减函数，可得外层函数y=log a t 为减函数，可知0＜a＜1．再由二次函数t=的判别式小于0求得x的范围，取交集得答案．【解答】解：令t=，要使函数有最大值，则内层函数t=要有最小正值，且为减函数，则外层函数y=log a t为减函数，可知0＜a＜1．要使内层函数t=要有最小正值，则，解得．取交集可得：a的取值范围为（）．故选：B．10．设函数f（x）在R上为增函数，则下列结论一定正确的是（）A．y=在R上为减函数B．y=|f（x）|在R上为增函数C．y=2﹣f（x）在R上为减函数D．y=﹣[f（x）]3在R上为增函数【分析】根据题意，依次分析选项：对于A、B、D，举出反例分析可得其错误，对于C，结合复合函数的单调性判定方法，分析可得C正确，即可得答案【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，对于函数f（x）=x，y==，在R上不是减函数，A错误；对于B，对于函数f（x）=x，y=|f（x）|=|x|，在R上不是减函数，B错误；对于C，令t=f（x），则y=2﹣f（x）=（）f（x）=（）t，t=f（x）在R上为增函数，y=（）t在R上为减函数，则y=2﹣f（x）在R上为减函数，C正确；对于D，对于函数f（x）=x，y=﹣[f（x）]3=﹣x3，在R上是减函数，D错误；故选：C．11．函数f（x）=log0.5（2﹣x）+log0.5（2+x）的单调递增区间是（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）C．（0，2）D．（﹣2，0）【分析】先求出函数的定义域，结合复合函数单调性的性质进行求解即可．【解答】解：要使函数有意义，则得，即﹣2＜x＜2，即函数的定义域为（﹣2，2），f（x）=log0.5（2﹣x）+log0.5（2+x）=log0.5（2﹣x）（2+x）=log0.5（4﹣x2），设t=4﹣x2，则y=log0.5t是减函数，要求函数f（x）的单调递增区间，等价为求函数t=4﹣x2，的单调递减区间，∵函数t=4﹣x2，的单调递减区间为[0，2），∴f（x）的单调递增区间为（0，2），故选：C．12．函数y=|log2|x﹣2||的单调递增区间（）A．（2，3）B．（3，+∞）C．（1，2）和（3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）和（2，3）【分析】先求得函数的定义域，然后分情况去掉绝对值符号，根据根据复合函数单调性的判断方法及基本函数的单调性可得函数的单调区间．【解答】解：由x﹣2≠0得函数的定义域为（﹣∞，2）∪（2，+∞），当2＜x≤3时，y=﹣log2（x﹣2），单调递减；当x＞3时，y=log2（x﹣2），单调递增；当1≤x＜2时，y=﹣log2（2﹣x），单调递增；当x＜1时，y=log2（2﹣x），单调递减；综上，函数y=|log2|x﹣2||的单调递增区间为：（3，+∞）和（1，2），故选：C．二．填空题（共8小题）13．已知f（x）=（a2﹣2a﹣2）x是增函数，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．【分析】利用指数函数的性质，列出不等式求解即可．【解答】解：f（x）=（a2﹣2a﹣2）x是增函数，可得a2﹣2a﹣2＞1，解得a∈（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．14．函数y=（）|x|﹣1的单调增区间为（﹣∞，0）（亦可写成（﹣∞，0]）．【分析】利用换元法，结合复合函数单调性之间的关系进行求解即可．【解答】解：设t=|x|﹣1，则y═（）t为减函数，要求函数y=（）|x|﹣1的单调增区间，根据复合函数单调性之间的关系，等价求函数t=|x|﹣1的减区间，∵当x≤0时，函数t=|x|﹣1是减函数，∴函数t=|x|﹣1的单调递减区间为（﹣∞，0），则函数y=（）|x|﹣1的单调增区间为（﹣∞，0），故答案为：（﹣∞，0）．15．函数f（x）=lgx2的单调递减区间是（﹣∞，0）．【分析】先将f（x）化简，注意到x≠0，即f（x）=2lg|x|，再讨论其单调性，从而确定其减区间；也可以函数看成由复合而成，再分别讨论内层函数和外层函数的单调性，根据“同増异减”再来判断．【解答】解：方法一：y=lgx2=2lg|x|，∴当x＞0时，f（x）=2lgx在（0，+∞）上是增函数；当x＜0时，f（x）=2lg（﹣x）在（﹣∞，0）上是减函数．∴函数f（x）=lgx2的单调递减区间是（﹣∞，0）．故答案为：（﹣∞，0）．方法二：原函数是由复合而成，∵t=x2在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）为增函数；又y=lgt在其定义域上为增函数，∴f（x）=lgx2在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）为增函数，∴函数f（x）=lgx2的单调递减区间是（﹣∞，0）．故答案为：（﹣∞，0）．16．函数f（x）=（x2﹣6x+5）的单调递减区间是（5，+∞）．【分析】先求出fx）的定义域，在利用复合函数的单调性得出答案．【解答】解：有函数f（x）有意义得x2﹣6x+5＞0，解得x＜1或x＞5．令g（x）=x2﹣6x+5，则g（x）在（﹣∞，1）上单调递减，在（5，+∞）上单调递增，∴f（x）=log（x2﹣6x+5）在（﹣∞，1）上单调递增，在（5，+∞）上单调递减．故答案为（5，+∞）17．已知函数y=log a（ax2﹣x）在区间[2，4]上是增函数，则实数a的取值范围是（1，+∞）．【分析】先根据复合函数的单调性确定函数g（x）=ax2﹣x的单调性，进而分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论．【解答】解：令g（x）=ax2﹣x（a＞0，且a≠1），当a＞1时，g（x）在[2，4]上单调递增，∴∴a＞1当0＜a＜1时，g（x）在[2，4]上单调递减，∴∴a∈∅综上所述：a＞1故答案为：（1，+∞）18．函数y=（m2﹣m﹣1）是幂函数且在（0，+∞）上单调递减，则实数m的值为2．【分析】根据幂函数的系数一定为1可先确定参数m的值，再根据单调性进行排除，可得答案．【解答】解：∵函数y=（m2﹣m﹣1）是幂函数∴可得m2﹣m﹣1=1 解得m=﹣1或2当m=﹣1时，函数为y=x5在区间（0，+∞）上单调递增，不满足题意当m=2时，函数为y=x﹣13在（0，+∞）上单调递减满足条件故答案为：2．19．设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=2x．若对任意的x∈[t，t+1]，不等式f（x+t）≥f3（x）恒成立，则实数t的取值范围是（﹣∞，﹣2] ．【分析】由当x＞0时，f（x）=2x．函数是奇函数，可得当x=0时，f（x）=0，当x＜0时，f（x）=﹣2﹣x，从而f（x）在R上是单调递增函数，且满足f3（x）=f（3x），再根据不等式f（x+t）≥f3（x）=f（3x）在[t，t+1]恒成立，可得x+t≥3x在[t，t+1]恒成立，即可得出答案．【解答】解：当x＞0时，f（x）=2x．∵函数是奇函数∴当x＜0时，f（x）=﹣2﹣x∴f（x）=，∴f（x）在R上是单调递增函数，且满足f3（x）=f（3x），∵不不等式f（x+t）≥f3（x）=f（3x）在[t，t+1]恒成立，∴x+t≥3x在[t，t+1]恒成立，即：x≤t在[t，t+1]恒成立，∴t+1≤t解得：t≤﹣2，故答案为：（﹣∞，﹣2]．20．已知函数f（x）与函数的图象关于直线y=x对称，则函数f（x2+2x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1] ．【分析】先求出函数f（x）的解析式，确定内外函数的单调性，即可求得函数f（x2+2x）的单调递增区间．【解答】解：∵函数f（x）与函数的图象关于直线y=x对称，∴f（x）=∴函数f（x）在R上单调递减∵t=x2+2x=（x+1）2﹣1，∴t=x2+2x在（﹣∞，﹣1]上单调递减∴函数f（x2+2x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1]故答案为：（﹣∞，﹣1]．。
复合函数单调性(专题训练)
复合函数单调性(专题训练)1.选择题1.函数f(x)的图象大致为（B）。
2.函数y=2x-1的单调递增区间是（B）。
3.函数f(x)=1/x的单调减区间为（D）。
4.已知函数在[1,+∞)上单调递减，则实数a的取值范围是（A）。
5.设函数f(x)=log2(x-a)+log2(x+a)，则使得f(x)≤f(2x-1)成立的x的取值范围是（A）。
6.已知函数f(x)=loga(3-x)，若f(-2)<f(0)，则此函数的单调递增区间是（C）。
7.函数y=|log2x|在区间(k-1,k+1)内有意义且不单调，则k的取值范围是（D）。
8.函数y=x-1在[0,1]上是减函数，则实数a的取值范围是（C）。
9.若函数y=x^2-2x+a有最大值，则a的取值范围为（A）。
10.设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论一定正确的是（B）。
11.函数f(x)=log0.5(2-x)+log0.5(2+x)的单调递增区间是（B）。
12.函数y=|log2|x-2||的单调递增区间为（C）。
2.填空题13.已知f(x)=(a^2-2a-2)x是增函数，则实数a的取值范围是(-∞,-1)或(2,+∞)。
14.函数y=(|x|-1)^-1的单调增区间为(-∞,-1)和(1,∞)。
15.函数f(x)=lg(x^2)的单调递减区间是(0,1)。
16.函数f(x)=(x-1)(x-5)的单调递减区间是(1,5)。
17.已知函数y=loga(ax^2-x)在区间[2,4]上是增函数，则实数a的取值范围是(0.5,1)。
18.函数y=(m^2-m-1)是幂函数且在(1,∞)上单调递减，则实数m的值为(φ-1)，其中φ为黄金比例。
19.设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=2x。
若对任意的x∈[t,t+1]，不等式f(t)f(t+1)<0成立，则t的取值范围是(-∞,0)。
题目：已知函数f(x)与函数g(x)的图像关于直线y=x对称，且f(x+t)≥g^3(x)恒成立，则实数t的取值范围是什么？解答：根据题目条件，可以得到f(x)与g(x)的图像在y=x这条直线上对称，即f(x)在y=x处的函数值等于g(x)在y=x处的函数值。
对数型复合函数的单调区间解答题(2)
1．设()log (1)log (3)(0,1)a a f x x x a a =++->≠，且(1)2f =．(1)求a 的值及()f x 的定义域；(2)求()f x 在区间答案：解答：(1)∵(1)2f =，∴log 42(0,1)a a a =>≠，∴2a =． 由10,30,x x +>⎧⎨->⎩得(1,3)x ∈-，∴函数()f x 的定义域为(1,3)-． (2)22222()log (1)log (3)log (1)(3)log [(1)4]f x x x x x x =++-=+-=--+， ∴当(1,1]x ∈-时，()f x 是增函数；当(1,3)x ∈时，()f x 是减函数．函数()f x 在上的最大值是2(1)log 42f ==，函数()f x 在 ∴()f x 在区间2(1)当5a =时，求函数()f x 的定义域； (2)当函数()f x 的定义域为R 时，求实数a 的取值范围．答案：11,2⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎭⎝⎭(2)(),4-∞.解答：(1)当5a =时，要使函数()f x 有意义，当1x ≤时，不等式①等价于210x -+>，即 当15x <≤时，不等式①等价于10->，∴无解；当5x >时，不等式①等价于2110x ->，即 综上，函数()f x 的定义域为11,2⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎭⎝⎭(2)∵函数()f x 的定义域为R ，∴不等式1x -+当且仅当()()150x x --≥时取等号)a 的取值范围是(),4-∞.考点：1.含绝对值不等式的解法；2.不等式的恒成立的问题.3，且当(],1x ∈-∞时()f x 有意义，求实数a 的取值范围． 答案：解答：欲使(),1x ∈-∞时，()f x 有意义，需1240x x a ++>恒成立，(1x ≤)恒成立． 在(),1-∞上是增函数， ∴当1x =时，时，满足题意，即a 的取值范围为 4(0a >且1a ≠)在()1,+∞上的单调性，并予以证明． 答案：当1a >时，()f x 在()1,+∞上为减函数；当01a <<时，()f x 在(1,)+∞上为增函数． 解答：，任取211x x >>，则∵11x >，21x >，∴110x ->，210x ->， 又∵12x x <，∴120x x -<．，即21u u <． 当1a >时，log a y x =是增函数，∴21log log a a u u <，即21()()f x f x <；当01a <<时，函数log a y x =是减函数，∴21log log a a u u >，即21()()f x f x >． 当01a <<时， 5．已知函数()log (3)a f x ax =-(0a >且1a ≠).(1)当[0,2]x ∈时，函数()f x 恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数()f x 在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由.答案：3(0,1)(1,)2； (2)不存在实数a ，使()f x 在[1,2]上为减函数且最大值为1.解答：(1)由于3y ax =-为减函数，所以要使函数()f x 在[0,2]上恒有意义，因此a 的取值范围是3(0,1)(1,)2； (2)由于3y ax =-为减函数，要使()f x 在[1,2]为减函数且最大值为1，则1a >，且max ()(1)log (3)1a f x f a ==-=，又3y ax =-在[1,2]上需恒大于零，故不存在实数a ，使()f x 在[1,2]上为减函数且最大值为1.6 (1) (2)对于[2,4]x ∈，恒成立，求m 的取值范围. 答案：(1))证明见解答；(2)(0,15)(45,)+∞. 解答：(1)，解得1x <-或1x >， ∴函数的定义域为(,1)(1,)-∞-+∞. 当(,1)(1,)x ∈-∞-+∞时，(2)由[2,4]x ∈时， ①当1a >时，∴对[2,4]x ∈恒成立， ∴0(1)(1)(7)m x x x <<+--在[2,4]x ∈恒成立.设()(1)(1)(7)g x x x x =+--，[2,4]x ∈ 则32()77g x x x x =-++-，∴当[2,4]x ∈时，'()0g x >， ∴()y g x =在区间[2,4]上是增函数，min ()(2)15g x g ==. ∴015m <<. ②当01a <<时，由[2,4]x ∈时，对[2,4]x ∈恒成立. ∴(1)(1)(7)m x x x >+--在[2,4]x ∈恒成立. 设()(1)(1)(7)g x x x x =+--，[2,4]x ∈， 由①可知()y g x =在区间[2,4]上是增函数，max ()(4)45g x g ==，∴45m >. ∴m 的取值范围是(0,15)(45,)+∞.7．已知函数()()24log 23f x ax x =++. (1)已知()11f =,求()f x 单调递增区间;(2)是否存在实数a ,使()f x 的最小值为0？若存在, 求出a 的值; 若不存在, 说明理由. 答案：(1)()1,1-；解答：(1)()()24log 23f x ax x =++且()()2411,log 12131,54,1f a a a =∴+⨯+=∴+=∴=-,可得函数()()24log 23f x x x =-++, 2230,x x -++>∴函数的定义域为()1,3-， 令()222314t x x x =-++=--+可得,当()1,1x ∈-时,t 为关于x 的增函数,底数为41,>∴函数()()24log 23f x x x =-++单调递增区间为()1,1-. (2)设存在实数a ,使()f x 最小值为0. 由于底数为41>,可得真数2231t ax x =++≥恒成立, 且真数t 最小值恰好是1.8．已知函数()()()22lg 32215f x m m x m x ⎡⎤=-++-+⎣⎦，如果函数()f x 的值域为R ，求实数m 的取值范围.答案：解答：令()()()2232215g x m m x m x =-++-+， 如果函数()f x 的值域为R ，则()g x 能取到任意的正数,当2320m m -+=时，即1m =或2.经验证当2m =时适合当2320m m -+≠时据二次函数知识知要使的函数值取得所有正在值只需23200m m ⎧-+>⎨∆≥⎩解之得综上可知满足题意的m 的取值范围是 9．已知函数mx x f x ++=)14(log )(2．(1)若)(x f 是偶函数，求实数m 的值；(2)当0>m 时，关于x 的方程上恰有两个不同的实数解，求m 的范围．答案：解答： (1)若)(x f 是偶函数，则有)()(x f x f =-恒成立，即mx mx x x ++=-+-)14(log )14(log 22，即是x mx 22-=对R x ∈恒成立，故1-=m ；(2)当0>m 时，)14(log 2+=x y ，在R 上单增，mx y =在R 上也单增，所以mx x f x ++=)14(log )(2在R 上单增，且1)0(=f ；又)(x f 单增，得令4222++-=t t y ，又0>m ，故10(1)当7m =时，求函数()f x 的定义域；(2)若关于x 的不等式()2f x ≥的解集是R ，求m 的取值范围．答案： (1) ),4()3,(+∞⋃--∞； (2) ]1-,(-∞解答：(1)不等式的解集是以下不等式组解集的并集：⎩⎨⎧>-++≥7212x x x ，或⎩⎨⎧>+-+<≤72121x x x ，或⎩⎨⎧>+---<7211x x x 解得函数)(x f 的定义域为),4()3,(+∞⋃--∞；(2)不等式2)(≥x f 即R x ∈ 时，恒有R ，m m ,34≤+∴的取值范围是 ]1-,(-∞11．已知a ∈R ，函数 (1)当5a =时，解不等式()0f x >；(2)若关于x 的方程2()log [(4)25]0f x a x a --+-=的解集中恰好有一个元素，求a 的取值范围；(3)设0a >，函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.答案：()0,⎫+∞⎪⎭； (2)(]{}1,23,4；解答：(1)()0,⎫+∞⎪⎭． ，()()24510a x a x -+--=， 当3a =时，121x x ==-，经检验，满足题意．当3a ≠且4a ≠时，，21x =-，12x x ≠． 1x 是原方程的解当且仅当，即2a >； 2x 是原方程的解当且仅当，即1a >． 于是满足题意的(]1,2a ∈．综上，a 的取值范围为(]{}1,23,4．(3)当120x x <<时， 所以()f x 在()0,+∞上单调递减．函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值分别为()f t ，()1f t +．即()2110at a t ++-≥，对任意因为0a >，所以函数()211y at a t =++-在区间时，y故a 的取值范围为12(1)若函数内单调递增，求a 的取值范围；(2)求函数在区间[1，2]上的最小值．答案：(1)[)1,+∞；(2) 当1a ≥时，()min 0f x =.解答：(1)由已知，得上恒成立，即 又当 (2)当时，在(1，2)上恒成立， 这时在[1，2]上为增函数(1，2)上恒成立，这时在[1，2]上为减函数),1[)(+∞在区间x f )(x f ),1[0)(+∞≥'在x f 1≥a 0)(>'x f )(x f 0)1()(min ==∴f x f )(x f综上，在[1，2]上的最小值为③当13．已知函数22()lg (32)(1)1f x m m x m x ⎡⎤=-++-+⎣⎦的定义域为R ，求实数m 的取值范围．答案： 1m ≤或解答：∵函数()f x 的定义域为R ，∴对于任意x R ∈，恒有22(32)(1)10m m x m x -++-+>①若2320m m -+=，则2m =或1，当1m =时，不等式即为10>，符合题意，当2m =时，不等式即为210x +>，不恒成立，∴2m =不合题意，舍去．②若2320m m -+≠，由题意得 222320(1)4(32)0m m m m m ⎧-+>⎨∆=---+<⎩，解得，即1m <或综上可得，m 的取值范围是1m ≤或 14．已知函数)1,0(log )(≠>=a a x x f a ，且1)2()3(=-f f ．(1)若)52()23(+<-m f m f ，求实数m 的取值范围；(2)成立的x 的值． 答案：)(x f 0)(,1min =≥x f a 时解答：定义域0+∞（，）上单调递增，所以可得： 3202503225m m m m ->⎧⎪+>⎨⎪-<+⎩，解得(2)15 (1)求函数)(x f 的定义域；(2)求函数)(x f 的值域.答案：(1)(p ,1)；(2)见解答：.解答：(1)要使求函数)(x f 有意义，则得1>x 且p x <， 又因为函数的定义域为非空数集，所以1>p ，所以函数)(x f 的定义域是(p ,1)；，其中p x <<1，，即31≤<p 时， 因为)(x h 在],1[p 上单调递减，且0)1(2)1(>-=p h ，0)(=p h ， 所以)1(log 1)1(2log )(22-+=-<p p x f ； ，即3>p 时， ，0)(=p h ， 所以当p x <<1时，时，即1-<p ，这与1>p 矛盾. 综上所述当31≤<p 时，函数)(x f 的值域是()()1log 1,2-+∞-p ；当3>p 时，函数)(x f 的值域是()]21log 2,(2-+-∞p .16 (1)判断()f x 的奇偶性并证明；(2)若对于[2,4]x ∈，恒有成立，求m 的取值范围． 答案：(1)详见解答；(2)当1>a 时，150<<m ； 当10<<a 时，16>m ．解答：(1)解得11x x <->或所以函数()f x 的定义域为(,1)(1,)-∞-+∞ 函数()f x 为奇函数，证明如下：由(I)知函数()f x 的定义域关于原点对称，又因为所以函数()f x 为奇函数(2) 对[2,4]x ∈恒成立 当10<<a 时，对[2,4]x ∈成立．即(1)(7)x x m +⋅->成立，所以015m << 同理当10<<a 时，，解得16m > 综上所述：当1>a 时，150<<m ,当10<<a 时，16>m17．已知函数2()lg(2)f x ax ax =++ (∈a R )．(1)若1a =-，求()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围．答案：(1) ()f x 的单调增区间为(2) 08a ≤<．解答：(1)当1a =-时，2()lg(2)f x x x =--+ 220x x --+>，即220x x +-<，解得：21x -<< 所以函数()f x 的定义域为(2,1)-设2()2,(2,1)t x x x x =--+∈-，则()lg f x t =关于t 在(0,)t ∈+∞为增函数． 由复合函数的单调性，()f x 的单调区间与2()2,(2,1)t x x x x =--+∈-的单调区间一致．二次函数2()2,(2,1)t x x x x =--+∈-的对称轴为所以()t x 在所以()f x 的单调增区间为(2)当0a =时，()lg 2f x =为常数函数，定义域为R ，满足条件． 当0a ≠时，()f x 的定义域为R 等价于220ax ax ++>恒成立． 于是有2080a a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得：08a << 综上所述，实数a 的取值范围是08a ≤<．18．已知函数()ln(3)ln(3)f x x x =++-．(1)求函数()y f x =的定义域；(2)判断函数()y f x =的奇偶性；(3)若(21)()f m f m -<，求m 的取值范围．答案： (1)()3,3-；(2)函数()f x 为偶函数； 或12m <<． 解答：(1)303330x x x +>⎧⇒-<<⎨->⎩，所以定义域为()3,3-； (2))()3ln()3ln()(x f x x x f =++-=-)(x f ∴为偶函数；(3)因为()()()()2ln 3ln 3ln 9f x x x x=++-=- 可知)(x f 在]3,0[上为减函数，又为偶函数则原不等式可化为⎪⎩⎪⎨⎧>-<<-<-<-|||12|333123m m m m 解得或12m <<．。
对数型复合函数的单调区间解答题(3)
1．已知20.5()log ()f x x mx m =--．(1)若函数()f x 的值域为R ，求实数m 的取值范围；(2)若函数()f x 在区间上是增函数，求实数m 的取值范围． 答案：(1)0m ≥或4m ≤-；解答：(1)∵()f x 值域为R ，令2()g x x mx m =--，则()g x 取遍所有的正数，240,0m m m ∴∆=+≥∴≥或4m ≤-；(2)2．已知函数9()log (91)()xf x kx k R =++∈是偶函数.(1)求k 的值；(2)的图象与()f x 的图象有且只有一个公共点，求a 的取值范围.答案： (2){3}(1,)-+∞.解答：令3x t =，则(0,)t ∈+∞，有且只有一个正实根t ，当10a -≠时，若0∆=，则3a =-或 时，根20t =-<，舍去.3a =-时，根为 若0∆>，则120t t <，解得1a >， 从而所求a 的范围是{3}(1,)-+∞.考点：函数的奇偶性，换元法，一元二次方程根的分布．3. (1)求m 的值，并求f (x)的定义域； (2)判断函数)(x f 的单调性，不需要证明；(3)是否存在实数λ,使得不等式若存在,求出实数λ的取值范围;若不存在,请说明理由. 答案： (1))1,1(-；(2))(x f 在定义域内单调递增；(3)解答：(1)为奇函数，)()(x f x f -=-∴在定义域内恒成立，111-==-=∴m m m （舍去），即或，故函数的定义域是)1,1(-； ，任取1121<<<-x x ，∵1121<<<-x x ，0)()(21<-x u x u ，∴)(lg )(lg 21x u x u >，),()(21x f x f <∴即)(x f 在定义域内单调递增；由(1)，(2)知当θ=0时成立； sinθ=t,4(1)若的定义域为，求实数的取值范围； (2)当时，求函数的最小值；(3)是否存在非负实数m 、n,的定义域为[]n m ,，值域为[]n m 2,2，若存在，求出、的值；若不存在，则说明理由．答案：(3)2,0==n m ．2(2)g mx x m ++R m []1,1x ∈-[]2()2()3y f x af x =-+)(a h m n解答：令 ,当,的定义域为，不成立； 当，R ，∴，解得，综上所述，，对称轴为，当 时，a t =时，()2min 3a y a h -==； 当2>a 时，2=t 时，()a y a h 47min -==．由题意，知⎩⎨⎧==n n m m 2222解得⎩⎨⎧==20n m ，∴存在2,0==n m ，使得函数的定义域为，值域为．m x mx u ++=22时0=m x u 2=），（∞+0时0≠m ⎩⎨⎧<-=∆>04402m m 1>m 1>m ]1,1[-∈x a t =]2,0[]4,0[5(0>a ，1≠a )． (1)当1>a 时，讨论()f x 的奇偶性，并证明函数()f x 在()1,+∞上为单调递减； (2)当(),2∈-x n a 时，是否存在实数a 和n ，使得函数()f x 的值域为()1,+∞，若存在，求出实数a 与n 的值，若不存在，说明理由． 答案：(1)奇函数，证明见解答：；解答：(1)()f x 的定义域为{}|11x x x ><-或关于原点对称， ，∴()f x 为奇函数， 法1：当1a >时，设121x x <<，则()(()(1111x x +-又1a >，，()()12f x f x ∴>，∴函数()f x 在(1,)+∞上为减函数 法2：当1a >时，设121x x <<，令，所以12log log a a t t >，∴函数()f x 在(1,)+∞上为减函数 (2)，(),2∈-x n a①当1a >时，要使()f x 的值域为(1,)+∞，则须(,)t a ∈+∞，②当01a <<时，(0,)t a ∈，则，当(),2∈-x n a 时，函数()f x 的值域为()1,+∞．6．已知函数()2log 1f x x =-的定义域为[]1,16，函数()()()222g x f x af x =++⎡⎤⎣⎦． (1)求函数()y g x =的定义域； (2)求函数()y g x =的最小值；(3)若函数()y g x =的图象恒在x 轴的上方，求实数a 的取值范围． 答案： (1)[]1,4；(2)()2min3-,12,1133,1a a g x a a a a a ≥⎧⎪=-++-<<⎨⎪+≤-⎩； (3)()1,3a ∈-． 解答：(1)2116116x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩，14x ∴≤≤，即函数()y g x =的定义域为[]1,4． (2)()()()()222222log 22log 3g x f x af x x a x a =++=+--+⎡⎤⎣⎦．令[]2log ,0,2t x t =∈，则()()22222212y t a t a t a a a =+--+=---++⎡⎤⎣⎦．当1a ≥时，y 在[]0,2上是增函数，所有min 0,3t y a ==-； 当-11a <<时，y 在[]0,1a -上是减函数，[]1,2a -上是增函数，所有2min 1,2t a y a a =-=-++；当1a ≤-时，y 在[]0,2上是减函数，所有min 2,33t y a ==+．综上，()2min3-,12,1133,1a a g x a a a a a ≥⎧⎪=-++-<<⎨⎪+≤-⎩． (3)由题知，()0g x >恒成立，即()min 0g x >()min 0g x >． 当1a ≥时， min 30,13y a a =->∴≤<；当-11a <<时， 2min 20,11y a a a =-++>∴-<<；当1a ≤-时， min 330,y a a =+>∴无解 综上，()1,3a ∈-．7．已知函数)0(1)1()(2>++=-a a x g x 的图象恒过定点A ，且点A 又在函数(1)求实数a 的值； (2)(3)的图象与直线b y 2=有两个不同的交点时，求b 的取值范围． 答案：(1)1a =；解答：(1)函数()g x 的图像恒过定点A ，A 点的坐标为(2，2)，又因为A 点在()f x 上，图象与直线b y 2=021b << ，故b 的取值范围为8．已知函数2()log (1)f x x =+，当点(,)x y 在函数()y f x =的图象上运动时，函数()y g x =(的图象上运动． (1)求函数()y g x =的解析式； (2)求函数()()()F x f x g x =-的零点．(3)函数()F x 在(0,1)x ∈上是否有最大值、最小值；若有，求出最大值、最小值；若没有请说明理由． 答案：解答：解得0x =或1x =，∴函数()F x 的零点0x =或1x =； (3)设31m x =+，由(0,1)x ∈得(1,4)m ∈，函数在(1,2]上递减，在[2,4)上递增，当2m =时有最小值4，无最大值，∴t 有最小值∴函数()F x 在(0,1)x ∈内有最小值9 (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若对于任意的[)()()1,,1x f x a x ∈+∞≥-恒成立，求a 的范围． 答案：(1)()f x 在()0,1上递减,在()1,+∞上递增； (2)2a ≤． 解答：， ()f x 在()1,+∞上递增；()()'0,1f x 在递增,()()()()''120,0,1f x f f x <=-<在上递减，所以()f x 在()0,1上递减,在()1,+∞上递增．(2) ()()()()()()1,1ln ,11ln 10x f x x x f x a x x x a x ≥=+≥-⇔+--≥由(1)知,()()'1,g x +∞在上递增,()()''12g x g a ≥=- 若20,2a a -≥≤即,()()[)'01,g x g x ≥+∞，在上递增,()()10,g x g ∴≥=所以不等式成立2a >若,存在()()001,,'0x g x ∈+∞=使得,当0[1,)x x ∈时,综上所述，2a ≤．10(1)当4=a 时，求函数)(x f 的定义域；(2)若对任意的R x ∈，都有2)(≥x f 成立，求实数a 的取值范围． 答案：(1){}11|>-<x x x 或；解答： (1)，即2-<x，即1>x 综上所述，函数()x f 的定义域为{}11|>-<x x x 或 (2)11(1)(2)若关于x 的不等式()()2520f x ax f x a -++++<对任意实数[]2,3x ∈恒成立，求实数a 的取值范围．答案： (1)7m =；解答：(1)由()f x 是奇函数得：()()f x f x -=-，所以 即227m =，7m =±； 得定义域为()7,7-．∴7m =． 是增函数，∴()f x 在()7,7-是增函数．又()f x 为奇函数，∴()()252f x ax f x a -->+，∴27257x a x ax -<+<--<对任意实数 []2,3x ∈恒成立；对于225x a x ax +<--，即()252x x a x -->+，20x +>，∴(23x ≤≤)， 设2t x =+，则2x t =-，且45t ≤≤，对于72x a -<+，()2h x x a =+在[]2,3上递增，∴()()min 2227h x h a ==+>-，则对于257x ax --<，即()2F 120x x ax =--<，∴()()F 2280F 3330a a =--<⎧⎪⎨=--<⎪⎩，则1a >-； 综上，a 的取值范围是 12．定义在D 上的函数()f x ，如果满足：对任意x D ∈，存在常数0M ≥，都有|()|f x M ≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x的一个上界．已知函数(1)若函数()g x 为奇函数，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，求函数()g x 在区间(3)若函数()f x 在[0,)+∞上是以5为上界的有界函数，求实数a 的取值范围． 答案： (1)1a =-； (2)[3,)+∞； (3)[7,3]-．解答：(1)因为函数()g x 为奇函数， 所以()()g x g x -=-，即 ，得1a =±，而当1a =时不合题意，故1a =-．(2)由(1)，易知()g x 在区间(1,)+∞上单调递增，上的值域为[3,1]--，所以|()|3g x ≤，故函数()g x 在区间上的所有上界构成集合为[3,)+∞．(3)由题意知，|()|5f x ≤在[0,)+∞上恒成立， ，得1t ≥． 易知()P t 在[1,)+∞上递增，设121t t ≤<， 所以()h t 在[1,)+∞上递减， ()h t 在[1,)+∞上的最大值为(1)7h =-，()p t 在[1,)+∞上的最小值为(1)3p =， 所以实数a 的取值范围为[7,3]-．。
高一数学复习知识讲解课件45 对数函数的图象和性质(第3课时) 对数型复合函数的单调性
4.4.2对数函数的图高一数学复习知对数型复合函数的数的图象和性质(第3课时)复习知识讲解课件函数的单调性、奇偶性探究1 (1)复合函数单调性：同增异减(2)形如f (x )＝log a g (x )(a >0，且a ≠1)的函①先求g (x )>0的解集(也就是函数f (x ②当底数a >1时，在g (x )>0这一前提下增区间，g (x )的单调递减区间是f (x )的单调递③当底数0<a <1时，在g (x )>0这一前提递减区间，g (x )的单调递减区间是f (x )的单调(3)①最后一定要写成区间形式．②增、减区间一定要明确．增异减．的函数的单调区间的求法： )的定义域)．提下，g (x )的单调递增区间是f (x )的单调递单调递减区间．一前提下，g (x )的单调递增区间是f (x )的单调的单调递增区间．思考题1 (1)已知函数f (x )＝log a (递增区间是( )A ．(－∞，－3) C ．(－∞，－1) D 【解析解析】】 ∵f (2)＝log a 5>0＝log a 1，∴由x 2＋2x －3>0得函数f (x )的定义域为设u ＝x 2＋2x －3，则此函数在(1，＋∞又∵y ＝log a u (a >1)在(1，＋∞)上也为增∴函数f (x )的单调递增区间是(1，＋∞x 2＋2x －3)，若f (2)>0，则此函数的单调B ．(－∞，－3)∪(1，＋∞) D ．(1，＋∞)∴a >1.(－∞，－3)∪(1，＋∞)． ∞)上为增函数．为增函数，∞)．故选D.(2)y ＝(log 2x )2－2log 2x ＋2的单调递减区 【解析解析】】 定义域为(0，＋∞)．令t ＝log 2x ，则y ＝t 2－2t ＋2＝(t －1)2y ＝(t －1)2＋1在(－∞，1]上单调递减≤1得0<x ≤2，∵t ＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增，∴t 在x ∈(0，2]上也单调递增．∴y ＝(log 2x )2－2log 2x ＋2的单调递减区递减区间是________．(0，2]＋1.递减，在[1，＋∞)上单调递增，令t ＝log 2x ，递减区间为(0，2]．探究2 利用复合函数的单调性求参数(1)复合函数的单调性：复合函数在某区调区间的子区间．(2)定义域：复合函数在某区间上单调求参数，需用到两条信息：在某区间上单调，则该区间是内层函数单单调，则复合函数在该区间上有意义．(2)若函数y ＝log a (2－ax )在[0，1]上是减【解析解析】】 首先a 作为底数满足a >0且令t ＝2－ax ，则t ＝2－ax 为减函数，∵y ＝log a (2－ax )在[0，1]上是减函数，∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，又t ＝2∴2－a ·1>0，∴a <2.综上，1<a <2.上是减函数，则a 的取值范围为________．(1，2)a ≠1，，－ax 在x ∈[0，1]时需大于0，思考题3 已知函数f (x )＝ln(3＋x (1)求函数y ＝f (x )的定义域；(2)判断函数y ＝f (x )的奇偶性；(3)若f (2m －1)<f (m )，求m 的取值范围【 解析】 (1)要使函数有意义，则的定义域为(－3，3)．(2)由(1)可知，函数y ＝f (x )的定义域为对任意x ∈(－3，3)，则－x ∈(－3，3∵f (－x )＝ln(3－x )＋ln(3＋x )＝f (x )， ∴函数y ＝f (x )为偶函数．)＋ln(3－x )．范围．3＋x >0， 3－x >0，解得－3<x <3，故函数y ＝f (x )域为(－3，3)，关于原点对称． 3)．课 后 巩 固2．设f(x)是奇函数，当x>0时，f(x) A．－log2xC．log x2解析解析 当x<0时，－x>0，f(－x)＝＝－f(x)，所以f(x)＝－log2(－x)．＝log2x，则当x<0时，f(x)＝()B．log2(－x)D．－log2(－x)Dlog2(－x)，又因为f(x)为奇函数，所以f(－x)。
对数型复合函数的单调区间填空题(3)
1．给出下列四个命题：(1)函数1)12(log )(--=x x f a 的图象过定点(1，0)；(2)函数x y 2log =与函数x y 2=互为反函数；(3)已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，当0≤x 时，)1()(+=x x x f ，则)(x f 的解析(4)，则a 的取值范围是 (5)函数)5(log ax y a -=在区间)3,1[-上单调递减，则a 的范围是其中所有正确命题的序号是_______．答案：(2)、(3)、(5)解答：(1)函数图像恒过(1，-1)；(2)显然正确；(3)x>0时，-x<0，()()()()221,f x x x x x f x f x x x -=--=-∴=-=-， 则)(x f 的解析式为 (4)1log 2a>0<a<1时，a 的取值范围是 (5)易知a>1，50ax ->在区间)3,1[-上恒成立，所以 则a 的范围是(2)、(3)、(5) 2．设已知函数()2log f x x = ，正实数m ，n 满足m n < ，且()()f m f n = ，若在区间2,m n ⎡⎤⎣⎦ 上的最大值为2，则 m n +=_______．解答：根据对数的性质可得01m n <<<，因为()()f m f n =，所以22log log m n -=，即1mn =，因为在区间2,m n ⎡⎤⎣⎦上的最大值为2，又因为()()f m f n =，()()22f m f m =， 所以()22f m =，即此时2n =，所以3．函数2()log (2x 1),(a 0,a 1)a a f x x =+->≠且的图象必过的定点坐标为_____.答案：()f x ()f x(1,1)解答：过定点即自变量为一定值时,函数值也为一个与a 无关的定值 因为2()log (2x 1)a a f x x =+-定义域为上过定点(1,1) 上过定点(1,0) 所以2()log (2x 1)a a f x x =+-过定点(1,1)4．定义：区间)](,[2121x x x x <长度为12x x -.已知函数|log |5.0xy =定义域为],[ba ，值域为]2,0[，则区间],[b a 长度的最小值为_______.答案：解答：或4x =，令0y =，即，得1x =，在定义域[],a b 上的值域为[]0,2，则必有或4b =， (1)时，则14b ≤≤，此时区间],[b a 长度的最小值为 (2)当4b =时，则，此时区间],[b a 长度的最小值为413-=； 综上所述，区间],[b a 长度的最小值为5x ∈[2,4]恒成立，则m 的取值范围为 . 4(45,)+∞解答：x ∈[2,4]恒成立，即32max (77)m x x x >-++-， 令3277y x x x =-++-，∴'231410y x x =-++>，∴函数y 在[2,4]单调递增， ∴当4x =时，max 45y =，∴45m >.6．若函数()()y f x x R =∈满足()()2f x f x +=，且[]1,1x ∈-时，()21f x x =-；函()y f x =与()y g x =的图象在区间[]6,6-内的交点个数共有______个.答案：10.解答：由题意知，函数()f x 是以2为周期的周期函数，且当[]1,1x ∈-时，()21f x x =-，()lg ,0lg ,0x x x x >⎧=⎨-<⎩，作出函数()y f x =与()y g x =在区间[]6,6-内的图象如下图所示，由图象可知，个函数的图象在区间[]6,6-有10个公共点.7，()|||1|g x x k x =-+-，若对任意的12,R x x ∈，都有12()()f x g x ≤成立，则实数k 的取值范围为 _______解答：对任意的12,R x x ∈，都有12()()f x g x ≤成立，即max min ()()f x g x ≤.观察因为()|||1||(1)||1|g x x k x x k x k =-+-≥---=-，所以min ()|1|,g x k =-8．设函数的定义域为,值域为,若的最小值为,则实数a 的值为________答案： 解答：函数的图像如图.由于值域为[0,1]所以定义域有三种情况.第一种1,1m n <=..第二种1,1m n =>.第三种1,1m n <>.由第一种可得log 1,a m m a =∴=.由的最小值为13.可得23a =.由第二种情况可得1log 1,a n n a -=∴=.再由的最小值为13.解得34a =.第三种情况f(x)的最大值要只能是f(m),f(n)中一个.所以解出来的a 值只能是23或34.。
对数型复合函数相关问题 ppt课件
1，先求出函数定义域
2，求出内函数t值域
3,求出复合函数值域
复合函数单调性求解
复合函数单调性求解
函数定义域
增
减
减
减
减
增
同增异减
02
part two
4.求出Hale Waihona Puke 合函数单调性定义域综上
练习
1
2
定义域
定义域
4.求复合函数值域与单调性
定义域
课堂小结
对数型复合函数相关问题
致远高中 高一（四）班
函数 底数
图象
y = log a x ( a＞0 且 a≠1 )
a＞1
0＜a＜1
y
o
1
x
y
1
o
x
定义域
(0,+∞)
奇偶性
非奇非偶函数
值域
R
定点
(1,0)
单调性 在 ( 0 , + ∞ ) 上是增函数 在 ( 0 , + ∞ ) 上是减函数
函数值
当 x＞1 时，y＞0 当 0＜x ＜1 时， y＜0
01
02
03
复合函数定义域求解 复合函数值域求解 复合函数单调性求解
求函数的定义域 01
令 t=x-3 t>0 ∴x>3
02
t=(1-x)(3+x)
练习 求定义域
求下列函数的值域
例题02 求下列函数值域 1，先求出函数定义域
2，求出内函数t值域
3,求出复合函数值域
当堂小练习
当 x＞1 时，y＜0 当 0＜x＜1 时，y＞0
精品资料
• 你怎么称呼老师？ • 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你
对数型复合函数的单调性
对数型复合函数的单调性高考数学左老师2017-08-27 07:31有一类所谓的复合函数问题，尤其令人挠头.示例如下：你听过复合材料，复合型人才，什么叫“复合函数”呢？以本题为例，函数f(x)是对数函数吗？不是，只是有点像.是二次函数吗？也不是.我们无法把它归为学过的基本函数之一.但是，它和我们学过的对数函数、二次函数有部分相似的地方.通俗地讲，u是一座桥梁，或者说是一个中间人，通过它，y和x建立了对应关系.把一个复杂的函数看成由两个简单函数复合而成（本题对数函数和二次函数都是我们熟悉的，方便研究它们的性质），体现了数学的转化与化归思想----即把一个陌生的问题转化为熟悉的问题来处理.下面给出复合函数的高大上的定义.比如，上面这个例子童鞋们比较困惑的可能是内层函数、外层函数、复合函数的自变量、函数值是一样的吗？细心的读者一定会发现：u充当了外层函数的自变量，也充当了内层函数的函数值.为了解决本题，需要说说复合函数的单调性规律，这就是大家熟知的“同增异减”规律.也就是说，如果外层函数和内层函数单调性相同，则原函数单调递增；如果外层函数和内层函数单调性相反，则原函数单调递减.(为表述简洁，单调性的描述没有说“在某某区间上”，童鞋们自己要体会到)我把这个规律概括为“家和万事兴”--------内层、外层都是家庭的成员，不在乎它们自个儿是升迁还是降职，只要意见一致，保持团结，这个家庭就是蒸蒸日上的.回到本题.外层函数是对数函数，单调性由a确定，a与1的大小关系未知，需要分类讨论.内层函数是二次函数，单调性由开口方向、对称轴和定义域共同决定，也需要分类讨论.画出内层函数的草图，研究其为增函数的条件.仅仅这样还是不够的.这里的易错点在于，容易忽略外层函数定义域的要求，即必须保证u>0.再次强调，不要忽略真数部分恒为正数的前提条件.下面讨论0<a<1的情况.答案选B.小结：对数型复合函数单调性处理办法把复合函数拆为常见函数，熟悉常见函数的单调性规律；单调性规律：同增异减，也称为“家和万事兴”；必须确保真数部分始终为正数.。
复合函数的单调性专题含答案
复合函数的单调性专题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 函数y =log 13(−x 2+2x +3)的单调增区间是( ) A.(−1, 1]B.(−∞, 1)C.[1, 3)D.(1, +∞)2. 函数y =ln (x 2−3x −4)的单调递减区间是( )A.(−1,1]B.(−∞,−1)C.(−1,4)D.(4,+∞)3. 函数y =log 0.5(2x 2−3x +1)的单调递减区间是 （ ）A.(−∞,34]B.[34,+∞）C.(−∞,12)D.(1,+∞)4. 已知f(x)=ax 2+bx 是定义在[a −1, 2a]上的偶函数，那么y =f(a n +b)的最大值是（ ）A.1B.13C.√33D.4275. 已知函数f(x)=√ax 2−2x −5a +8对任意两个不相等的实数x 1,x 2∈[2, +∞)，都有不等式f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1>0成立，则实数a 的取值范围是( )A.(0,+∞)B.[12,+∞)C.(0,12]D.[12,2] 6. 函数f(x)=lg (6x −x 2)的单调递减区间为（ ）A.(0,6)B.(0,3]C.[3,+∞)D.[3,6)7. 函数f(x)=12x 2−ln x ，则f(x)的单调减区间是( )A.[1, +∞)B.(−∞, −1]C.(0, 1]D.[−1, 1]8. 函数f (x )=ln (x 2−4x −21)的单调递减区间为（ ）A.(−∞,2)B.(−∞,−3)C.(2,+∞)D.(7,+∞)9. 函数f (x )=log 3(x 2+2x −3)的单调递增区间是( )A.[−1,+∞)B.(1,+∞)C.(0,+∞)D.(3,+∞)10. 函数f(x)=log a(ax−3)在[1, 3]上单调递增，则a的取值范围是( )) D.(3, +∞)A.(1, +∞)B.(0, 1)C.(0, 1311. 已知函数y=log2(ax+2)在(1, 3)上单调递减，则a的取值范围是________．12. 函数f(x)=log a(6−ax)在[0, 2]上为减函数，则a的取值范围是________.13. 函数y=log2(x2+2x−3)的单调递减区间为________．14. 函数y=log3(x2+2x−8)的单调增区间是________.15. 函数y=2x2−2x+3的单调增区间为________．16. 函数y=√−x2+2x+3的单调减区间为________．17. 函数的值域是________，的值域是________.18. 写出函数f(x)=−x2+2|x|的单调递增区间________.19. 已知函数f(x)＝log(x+），a>0．（1）当a＝2时，求函数f(x)在区间[1, +∞)上的值域；（2）若函数f(x)在区间[1, +∞)上是减函数，求a的取值范围．20. 已知幂函数的图象经过点．（1）求函数的解析式；（2）设函数，试判断函数在区间上的单调性，并求函数在区间上的值域．(x2−2ax+3)．21. 已知函数f(x)=log13（1）若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围；（2）若函数f(x)在(−∞, 1)上为增函数，求实数a的取值范围．(x2−2ax+3)．22. 已知函数f(x)=log12(1)当a=2时，求f(x)的定义域和单调区间；(2)若f(x)在[1,2]内为单调函数，求实数a的取值范围．23. 已知函数f(x)=ln[ax2+(2a−1)x−2],a∈R.(1)若x=1是函数f(x)的零点，求a的值；(2)讨论函数f(x)的单调性．24. 已知函数f(x)=log a(ax2−x).(1)若a=1，求f(x)的单调区间；2(2)若f(x)在区间[2,4]上是增函数，求实数a的取值范围．25.(x2−4x+3)，求f(x)的单调区间；(1)已知函数f(x)=log3(2)若g(x)=2ax2−4x+3的最小值为1，求实数a的值；226. 设函数f(x)=log2(x+m)(m∈R).(1)当m=2时，解不等式f(1)<1；x)x+λ在[−2, 6]上有实数解，求实数λ的取值(2)若m=10，且关于x的方程f(x)=(√2范围.参考答案与试题解析复合函数的单调性专题含答案一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】C【考点】复合函数的单调性对数函数的单调性与特殊点二次函数的性质【解析】由真数大于0求出函数的定义域，进一步求出内函数在定义域内的减区间，再由复合函数的单调性得答案．【解答】解：由题意可知，−x2+2x+3>0，得−1<x<3．令t=−x2+2x+3，∵函数t=−x2+2x+3的对称轴方程为x=1，∴二次函数t=−x2+2x+3在[1, 3)上为减函数，∵函数y =log1t为定义域内的减函数，3∴函数y =log1(−x2+2x+3)的单调增区间是[1, 3)．3故选C.2.【答案】B【考点】复合函数的单调性【解析】利用复合函数的单调性的“同增异减”法则求解即可.【解答】解：令t=x2−3x−4，则函数y=ln(x2−3x−4)是由函数y=ln t，t=x2−3x−4复合而成的.又y=ln t是增函数，所以y=ln(x2−3x−4)的单调递减区间是函数t=x2−3x−4的单调递减区间，但需保证t=x2−3x−4>0，可得x<−1或x>4，当x<−1时，t=x2−3x−4单调递减，所以函数y=ln(x2−3x−4)的单调递减区间为(−∞,−1).故选B.3.【答案】D【考点】复合函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：∵ 函数y =log 0.5(2x 2−3x +1)，∴ 2x 2−3x +1>0，解得x <12，或x >1，∵ t =2x 2−3x +1是开口向上，对称轴为x =34的抛物线，∴ 由复合函数的性质知函数y =log 0.5(2x 2−3x +1)的单调递减区间是(1, +∞)． 故选D ．4.【答案】D【考点】函数奇偶性的性质与判断复合函数的单调性【解析】根据题意，由函数奇偶性的定义分析a 、b 的值，即可得y =f(a n +b)的解析式，由复合函数单调性的判断方法分析y =f(a n +b)的单调性，据此分析可得答案．【解答】根据题意，f(x)是定义在[a −1, 2a]上的偶函数，则有(a −1)+2a =3a −1=0，则a =13， 同时f(−x)=f(x)，即ax 2+bx =a(−x)2+b(−x)，则有bx =0，必有b =0， 则f(x)=13x 2，其定义域为[−23, 23]， 则y =f(a n +b)=f[(13)n ]，设t =(13)n ，若−23≤(13)n ≤23，则有n ≥−log 323>0， 在区间[−log 323, +∞)上，t >0且为减函数， f(x)=13x 2在区间(0, 23]上为增函数，则y =f[(13)n ]在[−log 323, +∞)上为减函数，其最大值为f(23)=427，5.【答案】D【考点】复合函数的单调性【解析】根据题意，设t =√ax 2−2x −10a +8，则y ＝lg t ，分析可得f(x)在区间[3, +∞)上为增函数，由复合函数的单调性的判断方法分析可得t =√ax 2−2x −10a +8在[3, +∞)上为增函数且t>0恒成立，则有{a0 1a≤39a−6−10a+80，解可得a的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f(x)在[2,+∞)上单调递增，当a=0时，不符合题意，需要{f(2)=a×22−2×2−5a+6≥0，−−22a≤2，解得12≤a≤2.故选D.6.【答案】D【考点】复合函数的单调性对数函数的图象与性质【解析】此题暂无解析【解答】解：由题可得6x−x2>0，即0<x<6，所以函数f(x)的定义域为(0.6) .又函数y=6x−x2在[3,+∞）上单调递减，根据复合函数的单调性可知，函数f(x)=lg(6x−x2)的单调递减区间为[3.6）.故选D．7.【答案】C【考点】复合函数的单调性【解析】求出原函数的定义域，并求导函数，由导函数小于0求得x的范围得答案．【解答】解：由题意，得函数f(x)=12x2−ln x的定义域为(0, +∞)，则f′(x)=x−1x =x2−1x=(x+1)(x−1)x，令f′(x)<0，解得0<x<1，又函数定义域为(0, +∞)，所以函数f(x)=12x2−ln x的单调减区间为(0, 1]．故选C.8.B【考点】复合函数的单调性【解析】先求函数的定义域，再根据复合函数同增异减的性质即可求解 .【解答】解：由题可知，x2−4x−21>0⇒(x−7)(x+3)>0⇒x>7或x<−3，f(x)=ln(x2−4x−21)可看作f(t)=ln t,t=x2−4x−21，则f(t)为增函数，t=x2−4x−21，当x∈(−∞,−3)时，t单调递减，当x∈(7,+∞)时，t单调递增，根据复合函数的增减性，当x∈(−∞,−3)时，f(x)=ln(x2−4x−21)为减函数，故选B .9.【答案】B【考点】复合函数的单调性【解析】暂无【解答】解：由x2+2x−3>0，得x<−3或x>1，则f(x)的定义域为(−∞,−3)∪(1,+∞).设t=x2+2x−3，则t=x2+2x−3在(−∞,−3)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增.因为y=log3t在(0,+∞)上单调递增，故f(x)在(1,+∞)上单调递增.故选B.10.【答案】D【考点】对数函数的单调性与特殊点复合函数的单调性【解析】由题意可得可得a>1，且a−3>0，由此求得a的范围．【解答】解：∵函数f(x)=loga(ax−3)在[1, 3]上单调递增，而函数t=ax−3在[1, 3]上单调递增，根据复合函数的单调性可得a>1，且a−3>0，求得a>3.故选D．二、填空题（本题共计 8 小题，每题 3 分，共计24分）11.【答案】[−23,0)复合函数的单调性【解析】依题意，一次函数y＝ax+2为减函数，且当x∈(1, 3)时，y＝ax+2>0恒成立，由此可得到a的取值范围．【解答】解：由复合函数的单调性可知，一次函数y=ax+2为减函数，则a<0.当x∈(1, 3)时，y=ax+2>0恒成立，则只需3a+2≥0，即a≥−23，所以−23≤a<0．故答案为：[−23,0).12.【答案】1<a<3【考点】复合函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：设u=6−ax，a>0，由题意得该函数是减函数，且u>0在[0,2]上恒成立，∴{a>1,6−2a>0,∴1<a<3.故答案为：1<a<3.13.【答案】(−∞,−3)【考点】复合函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：函数的定义域为(−∞,−3)∪(1,+∞)，原函数可看作由y=log2t，t=x2+2x−3复合而成，其中函数y=log2t是增函数，而t=x2+2x−3在区间(−∞,−3)上是减函数，所以原函数的单调递减区间为(−∞,−3)．故答案为：(−∞,−3)．14.【答案】【考点】对数函数的单调性与特殊点复合函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】(x2+2x−8)的定义域为(−∞,−4)∪(2,+∞)．解：由题意，函数y=log3令函数g(x)=x2+2x−8，则函数g(x)在(−∞,−4)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增，(x2+2x−8)的单调递减区间为(−∞,−4)．再根据复合函数的单调性，可得函数y=log3单调递增区间为(2,+∞).故答案为：(2,+∞)．15.【答案】[1, +∞)【考点】复合函数的单调性【解析】设t＝x2−2x+3，利用指数函数和一元二次函数的单调性之间的关系即可得到函数的增区间．【解答】设t＝x2−2x+3，则函数的对称轴为x＝1，则函数t＝x2−2x+3在x≥1时，单调递增，在x≤1时函数单调递减，∵函数y＝2t，在R上为增函数，∴根据复合函数的单调性的性质可知，当x≥1时，函数y=2x2−2x+3单调递增，故函数的递增区间为[1, +∞)，16.【答案】[1, 3]【考点】复合函数的单调性【解析】令t=−x2+2x+3≥0，求得函数的定义域为[−1, 3]，本题即求函数t在定义域内的减区间，再利用二次函数的性质可得函数t在定义域内的减区间．【解答】解：对于函数y=√−x2+2x+3，令t=−x2+2x+3≥0，求得−1≤x≤3，故函数的定义域为[−1, 3]，y=√t，故本题即求函数t在定义域内的减区间．利用二次函数的性质可得函数t在定义域内的减区间为[1, 3]，故答案为：[1, 3]．17.【答案】[0．+∞),(∼m．4]【考点】函数的值域及其求法对数函数的值域与最值复合函数的单调性【解析】根据偶次方根为非负数求得f(x)的值域，根据g(x)的定义域和单调性求得g(x)的值域．【解答】对于f(x)=√1−x≥0对任意x≤1成立，故f(x)的值域是[0,+∞)对于g(x)=x−2√1−x+3，由于函数g(x)在(−∞,1]上为增函数，且g(1)=4，故g(x)∈(−∞,4]故填：（1）[0,+∞)；(2)(−∞,1)18.【答案】(−∞,−1),(0,1)【考点】函数的单调性及单调区间复合函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题（本题共计 8 小题，每题 10 分，共计80分）19.【答案】根据题意，a＝2时(x+），又由x≥5，则x+--＝，则y≤log＝-，则函数f(x)的值域为(−∞，-]；函数f(x)＝log(x+），则y＝log t，若函数f(x)在区间[1, +∞)上是减函数，则t＝x+在[3，即有，解可得，即a的取值范围为（−1．【考点】复合函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答20.【答案】（1）f(x)=1x(x≠0)（2）增函数，[−3,−1]【考点】复合函数的单调性【解析】（1）设f(x)=x2，再求出a=−1即得解；（2）求出g(x)=1−2x ，易得函数g(x)在区间[12,1]上为增函数，再求函数的值域．【解答】（1）设f(x)=x a，则3a=13=3−1，则a=−1所以f(x)=x−1=1x(x≠0)（2）因为g(x)=(x−2)⋅f(x)=x−2x =1−2x所以函数g(x)在区间[12,1]上为增函数，所以x=1时，g(x)有最大值−1x=12时，g(x)有最小值−3．所以函数g(x)在[12,1]上的值域为[−3,−1]21.【答案】根据题意，函数f(x)=log13(x2−2ax+3)，设t＝x2−2ax+3，则y=log13t，若函数f(x)的值域为R，对于t＝x2−2ax+3，必有△＝(−2a)2−12≥0，解可得：a≥√3或a≤−√3，设t＝x2−2ax+3，则y=log13t，函数y=log13t为减函数，若函数f(x)在(−∞, 1)上为增函数，则函数t＝x2−2ax+3在(−∞, 1)上为减函数，且t＝x2−2ax+3>0在(−∞, 1)上恒成立，即{a≥14−2a≥0，解可得1≤a≤2，即a的取值范围为[1, 2]．【考点】复合函数的单调性【解析】（1）根据题意，设t＝x2−2ax+3，则y=log13t，若函数f(x)的值域为R，结合对数函数的性质分析可得：对于t＝x2−2ax+3，必有△＝(−2a)2−12≥0，解可得a的取值范围，即可得答案；（2）由复合函数以及对数函数、二次函数的性质分析可得{a≥14−2a≥0，解可得a的取值范围，即可得答案．【解答】根据题意，函数f(x)=log13(x2−2ax+3)，设t＝x2−2ax+3，则y=log13t，若函数f(x)的值域为R，对于t＝x2−2ax+3，必有△＝(−2a)2−12≥0，解可得：a≥√3或a≤−√3，设t＝x2−2ax+3，则y=log13t，函数y=log13t为减函数，若函数f(x)在(−∞, 1)上为增函数，则函数t＝x2−2ax+3在(−∞, 1)上为减函数，且t＝x2−2ax+3>0在(−∞, 1)上恒成立，即{a≥14−2a≥0，解可得1≤a≤2，即a的取值范围为[1, 2]．22.【答案】解：(1)令u=x2−2ax+3，y=log12u．当a=2时，u=x2−4x+3，由u>0，得x>3或x<1.故f(x)的定义域为(−∞,1)∪(3,+∞)．因为y=log12u单调递减，u=x2−4x+3的图象开口向上，所以f(x)=log12(x2−4x+3)的单调递增区间为(−∞,1)，单调递减区间为(3,+∞)．(2)u=x2−2ax+3=(x−a)2+3−a2，①当f(x)在[1,2]内为单调增函数，则{a≥2，4−4a+3>0无解，舍去．②当f(x)在[1,2]内为单调减函数，则{a≤1，1−2a+3>0，得a≤1．综上，a的取值范围是a≤1．【考点】复合函数的单调性已知函数的单调性求参数问题【解析】【解答】解：(1)令u=x2−2ax+3，y=log12u．当a=2时，u=x2−4x+3，由u>0，得x>3或x<1.故f(x)的定义域为(−∞,1)∪(3,+∞)．因为y=log12u单调递减，u=x2−4x+3的图象开口向上，所以f(x)=log12(x2−4x+3)的单调递增区间为(−∞,1)，单调递减区间为(3,+∞)．(2)u=x2−2ax+3=(x−a)2+3−a2，①当f(x)在[1,2]内为单调增函数，则{a≥2，4−4a+3>0无解，舍去．②当f(x)在[1,2]内为单调减函数，则{a≤1，1−2a+3>0，得a≤1．综上，a的取值范围是a≤1．23.【答案】解：(1)要使x=1为函数f(x)的零点，即有f(1)=ln(3a−3)=0，解得a=43.(2)令g(x)=ax2+(2a−1)x−2=(ax−1)(x+2)，①当a=0时，函数f(x)的定义域为(−∞，−2)，f(x)=ln(−x−2)，因为g(x)=−x−2在(−∞，−2)上单调递减，由复合函数的单调性知f(x)在(−∞，−2)上单调递减；②当a≠0时，由g(x)=0解得x1=1a，x2=−2，(i)当−12<a<0时，函数f(x)的定义域为(1a，−2)，因为g (x )在(1a ，12a −1)上单调递增，在(12a −1，−2)上单调递减， 由复合函数的单调性知，f (x )在(1a ，12a −1)上单调递增，在(12a −1，−2)上单调递减； (ii)当a <−12时，函数f (x )的定义域为(−2，1a )，因为g (x )在(−2，12a−1)上单调递增，在(12a −1，1a)上单调递减，由复合函数的单调性知，f (x )在(−2，12a −1)上单调递增，在(12a −1，1a )上单调递减； (iii)当a =−12时，g (x )≤0，不满足题意，f (x )无意义； (iv)当a >0时，函数f (x )的定义域为(−∞，−2)∪(1a ，+∞)，因为g (x )在(−∞，−2)上单调递减，在(1a，+∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f (x )在(−∞，−2)上单调递减，在(1a ，+∞)上单调递增．【考点】利用导数研究函数的单调性 函数的零点 复合函数的单调性【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)要使x =1为函数f (x )的零点， 即有f (1)=ln (3a −3)=0， 解得a =43.(2)令g (x )=ax 2+(2a −1)x −2 =(ax −1)(x +2)，①当a =0时，函数f (x )的定义域为(−∞，−2)，f (x )=ln (−x −2)， 因为g (x )=−x −2在(−∞，−2)上单调递减，由复合函数的单调性知f (x )在(−∞，−2)上单调递减； ②当a ≠0时，由g (x )=0解得x 1=1a ，x 2=−2，(i)当−12<a <0时，函数f (x )的定义域为(1a ，−2)，因为g (x )在(1a ，12a −1)上单调递增，在(12a −1，−2)上单调递减， 由复合函数的单调性知，f (x )在(1a ，12a −1)上单调递增，在(12a −1，−2)上单调递减；(ii)当a <−12时，函数f (x )的定义域为(−2，1a )， 因为g (x )在(−2，12a−1)上单调递增，在(12a −1，1a)上单调递减， 由复合函数的单调性知， f (x )在(−2，12a−1)上单调递增，在(12a −1，1a)上单调递减； (iii)当a =−12时，g (x )≤0，不满足题意，f (x )无意义； (iv)当a >0时，函数f (x )的定义域为(−∞，−2)∪(1a ，+∞)， 因为g (x )在(−∞，−2)上单调递减，在(1a ，+∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f (x )在(−∞，−2)上单调递减，在(1a ，+∞)上单调递增．24. 【答案】解：(1)当a =12时，易知函数f (x )的定义域为(−∞,0)∪(2,+∞)． 易知y =12x 2−x 在(−∞,0)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增．故函数f (x )=log a (ax 2−x )=log 12(12x 2−x)在(−∞,0)上单调递增，在(2,+∞)上单调递减．(2)令g (x )=ax 2−x ，则g (x )图象的对称轴为x =12a ． 又f (x )在[2,4]上是增函数，则①当a >1时， ∴ 12a ≤2，∴ a >1． 又g (x )在[2,4]上恒大于0， ∴ g(2)>0，g(4)>0， ∴ {4a −2>0,16a −4>0,解得a >12，∴ a >1；②当0<a <1时， ∴12a ≥4，∴ 0<a ≤18．又∵ g (x )在[2,4]上恒大于0， ∴ g (2)>0，g (4)>0，∴ {4a −2>0,16a −4>0,解得a >12，与0<a ≤18矛盾．综上所述a >1． 【考点】复合函数的单调性对数函数、指数函数与幂函数的衰减差异已知函数的单调性求参数问题【解析】无无【解答】解：(1)当a=12时，易知函数f(x)的定义域为(−∞,0)∪(2,+∞)．易知y=12x2−x在(−∞,0)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增．故函数f(x)=loga (ax2−x)=log12(12x2−x)在(−∞,0)上单调递增，在(2,+∞)上单调递减．(2)令g(x)=ax2−x，则g(x)图象的对称轴为x=12a．又f(x)在[2,4]上是增函数，则①当a>1时，∴12a≤2，∴a>1．又g(x)在[2,4]上恒大于0，∴g(2)>0，g(4)>0，∴{4a−2>0,16a−4>0,解得a>12，∴a>1；②当0<a<1时，∴12a ≥4，∴0<a≤18．又∵g(x)在[2,4]上恒大于0，∴g(2)>0，g(4)>0，∴{4a−2>0,16a−4>0,解得a>12，与0<a≤18矛盾．综上所述a>1．25.【答案】解：(1)令u(x)=x2−4x+3，且u>0，所以x<1或x>3.由于u(x)在(−∞,1)上单调递减，在(3,+∞)单调递增，而y=log3u为增函数，所以f(x)在(−∞,1)上单调递减，在(3,+∞)上单调递增.即函数f(x)的单调递减区间是(−∞,1)，单调递增区间是(3,+∞) .(2)令u(x)=ax2−4x+3，则f(x)=2u(x)，因为f(x)的最小值为12，所以u(x)的最小值为−1，当a=0时，f(x)无最大值；当a≠0时，有{a>0，3a−4a=−1，解得a=1，所以实数a的值为1.【考点】复合函数的单调性对数函数、指数函数与幂函数的增长差异函数的最值及其几何意义【解析】（1）令u(x)=x2−4x+3，且u>0，∴x<1或x>3，由于u(x)在(−∞,1)上单调递减，在(3,+∞)单调递增，而y=log3u为增函数，所以f(x)在(−∞,1)上单调递减，在(3,+∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递减区间是(−∞,1)，单调递增区间是(3,+∞) .（2）令u(x)=ax2−4x+3，则f(x)=2u(x)，因为f(x)的最小值为12，所以u(x)的最小值为−1，当a=0时，f(x)，无最大值；当a≠0时，有{a>03a−4a=−1，解得a=1，所以．实数a的值为1 .【解答】解：(1)令u(x)=x2−4x+3，且u>0，所以x<1或x>3.由于u(x)在(−∞,1)上单调递减，在(3,+∞)单调递增，而y=log3u为增函数，所以f(x)在(−∞,1)上单调递减，在(3,+∞)上单调递增.即函数f(x)的单调递减区间是(−∞,1)，单调递增区间是(3,+∞) .(2)令u(x)=ax2−4x+3，则f(x)=2u(x)，因为f(x)的最小值为12，所以u(x)的最小值为−1，当a=0时，f(x)无最大值；当a≠0时，有{a>0，3a−4a=−1，解得a=1，所以实数a的值为1.26.【答案】解：(1)由题意可知，log2(1x+2)<1，则{1x +2>0，1x+2<2，解得{x <−12或x >0，x <0，故x <−12，则原不等式的解集为(−∞, −12). (2)log 2(x +10)=(√2)x +λ，即λ=log 2(x +10)−(√2)x .设g(x)=log 2(x +10)−(√2)x ，∵ log 2(x +10)在[−2, 6]上单调递增，−(√2)x 也在[−2, 6]上单调递增，∴ 函数g(x)=log 2(x +10)−(√2)x 在[−2, 6]上单调递增.当x =−2时，λmin =1；当x =6时，λmax =318，∴ 关于x 的方程f(x)=(√2)x +λ在[−2, 6]上有实数解的实数λ的取值范围是[1, 318]. 【考点】分式不等式的解法函数的零点与方程根的关系 复合函数的单调性 【解析】(1)取m =2，求解对数不等式log 2(1x +2)<1即可；(2)取m =10，把关于x 的方程f(x)=(√2)x +λ在[−2, 6]上有实数解转化为求函数g(x)=log 2(x +10)−(√2)x 在[−2, 6]上的值域问题.【解答】解：(1)由题意可知，log 2(1x +2)<1，则{1x +2>0，1x+2<2，解得{x <−12或x >0，x <0，故x <−12，则原不等式的解集为(−∞, −12).(2)log 2(x +10)=(√2)x +λ，即λ=log 2(x +10)−(√2)x .设g(x)=log 2(x +10)−(√2)x ，∵ log 2(x +10)在[−2, 6]上单调递增，−(√2)x 也在[−2, 6]上单调递增，∴ 函数g(x)=log 2(x +10)−(√2)x 在[−2, 6]上单调递增.当x =−2时，λmin =1；当x =6时，λmax =318，∴ 关于x 的方程f(x)=(√2)x +λ在[−2, 6]上有实数解的实数λ的取值范围是[1, 318].。
对数型复合函数的单调区间选择题(1)
1．若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间]2[a a ，上的最大值是最小值的3倍，则a 等于( )A B C D 答案：A解答：因10<<a ,故函数)10(log )(<<=a x x f a 是单调递减函数, 所以a a f x f a f x f a 2log )2()(,1)()(min max ====,即a a =3)2(,应选A.2( ) A ．]2,(--∞ B ．),2[+∞- C ．]2,(-∞ D ．),2[+∞ 答案： A解答：当且仅当11=-x ,即2=x 时取等号), 故应选A. 3 A C 答案： A解答：令()()2231211x x x x t -+=--=，则函数．令t 1，故函数y x>1}．本题即求t=(2x -1)(x -1)在区间(-∞∪(1，+∞)上的增区间．利用二次函数的性质可得，函数t 在函数y 的定义域内的增区间为(1，+∞)， 4．8log 4log 2log 1)(32x x x x f +++=，则使0)(<x f 的x 的取值范围是( ) A ．BC ．)1,0(D ．),1(+∞ 答案： A解答：5A 答案：A解答：所以不等式6．已知函数()()20.5log 3f x x ax a =-+在[)2,+∞单调递减，则a 的取值范围是( )A ．(]4,4-B ．[)4,+∞C ．[]4,4-D ．(],4-∞ 答案：C解答：对数的底0.5∈(0，1)，得相应的对数函数是减函数，由此得23t x ax a =-+是区间[2，+∞)上的增函数，且在[2，+∞)上t>0总成立，建立关于a 的不等式并解之，可得a 的取值范围．令23t x ax a =-+，∵0.5∈(0，1)，∴函数y=log0.5t 是关于t 的减函数结合题意，得23t x ax a =-+是区间[2，+∞)上的增函数，又∵在(2，+∞)上t>0总成立，C. 7．函数()20.5log 65y x x =-+- 在区间(),1m m +上递减，则实数m 的取值范围是( )A ．[]3,5B ．[]2,4C ．[]1,2D ．[]1,4 答案： C解答：令2650t x x =-+->，解得15x <<， 故函数的定义域为()1,5，且0.5log y t =，利用二次函数的性质求得函数2265(3)4t x x x =-+-=--+ 在定义域()1,5是的增区间为()1,3，故函数()20.5log 65y x x =-+-在区间()1,3上单调递减，根据函数()20.5log 65y x x =-+-在区间(,1)m m +上单调递减， 故有113m m ≥⎧⎨+≤⎩，解得12m ≤≤，故选C ．8．函数()()ax x f a -=6log 在[]2,0上为减函数，则a 的取值范围是( ) A ．()1,0 B ．()3,1 C ．(]3,1 D ．[)+∞,3 答案：B 解答：函数由u y a log =，ax u -=6构成，因为0>a ，所以ax u -=6是减函数， 那么外层函数u y a log =就是增函数，所以1>a ，因为[]2,0为定义域的子集，所以当2=x 时，ax u -=6取得最小值， 所以02-6>a ，即3<a ，所以31<<a ．9．已知函数()f x =2(2)3,1log ,1a x a x x x -+<⎧⎨≥⎩的值域为R ,则实数a 的取值范围是 A ．(1,2)- B ．[1,2)- C ．(,1]-∞- D ． {1}- 答案：B 解答：当1x ≥时2log 0y x =≥,所以要使()f x 的的值域为R ,需满足()()23g x a x a =-+在1x <时的值域中包含所有负数,所以()2010a g -<⎧⎨≥⎩ ,解得12a -≤<,故选B.10．函数的单调递减区间为( )A. B. C.(),1-∞- D. 答案： C解答：由题意可得：求函数()()2ln 23f x x x =--的单调递减区间应满足：⎩⎨⎧<>--10322x x x 即⇒⎩⎨⎧<-<>113x x x 或1-<x ，所以应选C 11．已知函数()2log ,0f x x m n =<<，且()()f m f n = ，若函数()f x 在区间2[m ,n]上的最大值为2，则2m =( ) A ．14 B C ．32 D ．12答案： A解答：由题设知 因为2m m <且函数在()0,1上为减函数， 所以()()()2f mf m f n >=，所以，()2f m =2，所以，22log2m -= 故选A.11(,m n 为正整数)，值域为[0,2]，则满足条件的整数对(,)m n 共有( )A ．1个B ．7个C ．8个D ．16个 答案： B解答：得，1x =；由得，4x =或()()2ln 23f x x x =--(),1-∞()1,+∞()3,+∞域为[0,2]，由于,m n 为正数对(,)m n 有7个，选.B12．已知函数()()ax x f a-=3log 在[]20，上是减函数，则a 的取值范围是 ()答案：A解答：因为0a >，所以()3u x ax =-为减函数，由复合函数单调性要求()log a f x u =在[]20，上为增函数，所以需要满足1a >，且当02x ≤≤时()30u x ax =->，即320a ->， 13( )A ．]1,-(∞B ．),1[+∞C D答案： C解答：C 正确. 14．不等式1)2(log 22>++-x x 的解集为( )A.()0,2-B.()1,1-C.()1,0D.()2,1 答案：C 解答：要使原式有意义需满足：220x x -++>，解得12x -<<原式可化为222log (2)log 2x x -++>函数2log y x =在[0,)+∞是单调递增函数∴222x x -++>01x ∴<<12x -<<∴不等式22log (2)1x x -++>的解集为(0,1)故选C15，若0)(>-a af ,则实数a 的取值范围是 ( )A.）（）（1,00,1⋃-B.），（），（∞+⋃-∞-11C.），（）（∞+⋃-10,1D.）（），（1,01⋃-∞-答案：A解答： 若0a >，则若0a <，则22()log ()0log ()00110af a a a a a a -=->⇒-<⇒<-<⇒-<<； 综上得，选A16．已知函数20.5()log (4)f x x ax a =-+在),2[+∞单调递减，则的取值范围( )A.]4,(-∞B.),4[+∞C. [2,4]-D. (2,4]- 答案：D 解答：令24t x ax a =-+，则函数24t x ax a =-+在区间[2，+∞)内单调递增，且恒大于0，由此可得不等式，从而可求a 的取值范围. 故选D.17得到在()0,∞-，()+∞,0上是减函数，类比上述作法，研究xx y =()0>x 的单调性，则其单调增区间为( )A.()1,0B.()+∞,1 答案： C解答：a ()x f设()ln ln x h x x x x ==，因为 单调递增，所以函数xx y =()0>x 的单调增区间为18[0，1]，则a =( )D.2 答案： A解答：因为x x =1 19( )A ．(－∞，1)B ．(2，+∞)C ．(－∞D ．+∞) 答案： A解答：由232>0x x -+得：2x x ><或1，20．函数2234log ()y x x =--的单调增区间是( )A. (4,)+∞B. (,1)-∞-C.D. 答案： A解答： 因为函数2234log ()y x x =--，那么定义域x >4,x <-1,因此结合复合函数的性质可知，外层是增函数，内层的增区间为(4,)+∞，故选A 21．函数()()lg 13y x x ⎡⎤=+-⎣⎦的单调减区间为( )A.B. C. D. 答案： C解答：因为函数()()lg 13y x x ⎡⎤=+-⎣⎦的定义域-1<x<3,根据复合函数的单调性可孩子，单调减区间(1,3)，选C.22．若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间[]a a 2,上的最大值是最小值的3倍，则a答案：A解答：由题意知)10(log )(<<=a x x f a 在区间[]a a 2,上是减函数，所以max min ()()1,()(2)log 21a f x f a f x f a ====+,]1,1(-]1,(-∞)3,1[),1[+∞。
专题强化二 与指数函数、对数函数有关的复合函数(解析版)
强化专题二 与指数函数、对数函数有关的复合函数【题型目录】一、判断复合函数的单调性 二、已知复合函数单调性求参数范围 三、求复合函数的值域 四、求复合函数的最值五、与复合函数有关的不等式问题 六、判断复合函数的奇偶性【例题详解】一、判断复合函数的单调性1．设()13xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，x ∈R ，则()f x 是（ ）A ．奇函数且在(,0)-∞上单调递减B ．偶函数且在(,0)-∞上单调递减C ．奇函数且在(0,)+∞上单调递减D ．偶函数且在(0,)+∞上单调递减2．函数()ln(2)ln(4)f x x x =++-的单调递减区间是（ ）． A ．[1,)+∞ B ．(1,4)C ．(,1]-∞D ．(2,1)-【答案】B【分析】先确定函数的定义域，再根据复合函数的单调性的判定即可确定函数的单调区间.【详解】由题意知()ln(2)ln(4)f x x x =++-的定义域为(2,4)-， 又2()ln(2)ln(4)ln(28)f x x x x x =++-=-++，而函数228y x x =-++图象的对称轴为1x =，当1x >时，函数递减， 故当14x <<时，2()ln(28)f x x x =-++单调递减， 即2()ln(28)f x x x =-++的单调递减区间是(1,4)， 故选：B3．函数y ＝log 5(x 2＋2x －3)的单调递增区间是______． 【答案】(1，＋∞)【分析】根据复合函数的单调性“同增异减”法则计算即可.【详解】由题意，函数()25log 23y x x =+-满足2230x x +->，解得3x <-或1x >， 即函数()25log 23y x x =+-的定义域为()(),31,-∞-⋃+∞，令()223g x x x =+-，则函数()g x 在(－∞，－3)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，再根据复合函数的单调性“同增异减”法则，可得函数()25log 23y x x =+- 的单调递增区间是()1,+∞ ；故答案为：()1,+∞ . 4．求下列函数的单调区间： (1)232(1)xx y a a -++=>；(2)y ＝2|x －1|.（2）当[)1,x ∞∈+时，函数y ＝2x －1，因为t ＝x －1为增函数，y ＝2t 为增函数，∴y ＝2x －1为增函数；当x ∈(－∞，1)时，函数y ＝21－x .而t ＝1－x 为减函数，y ＝2t 为增函数，∴y ＝21－x 为减函数． 故函数y ＝2|x －1|在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．5．求函数223x x y a ＋－＝（a >0，且a ≠1）的单调区间． 【答案】答案见解析【分析】根据指数复合函数的单调性的性质，运用分类讨论法，结合二次函数的单调性、指数函数的单调性进行求解即可.【详解】设y ＝au ，u ＝x 2＋2x －3，由u ＝x 2＋2x －3＝（x ＋1）2－4，得u 在（－∞，－1]上为减函数，在[－1，＋∞）上为增函数． 当a >1时，y 关于u 为增函数； 当0<a <1时，y 关于u 为减函数，∴当a >1时，原函数的增区间为[－1，＋∞），减区间为（－∞，－1]； 当0<a <1时，原函数的增区间为（－∞，－1]，减区间为[－1，＋∞）．二、已知复合函数单调性求参数范围 1．若函数221()x ax f x a -+=(0a >且1a ≠)在区间(1,3)上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(1,2)B ．(0,1)C ．(1,4]D ．(,4]-∞2．已知函数()22log f x x ax =-在区间(]0,1上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),0∞-B ．(][),02,-∞⋃+∞C ．()2,+∞D ．()(),01,2-∞()log f μ=2x μ∴=-①当0a <∴当(0,1x ∈3．已知函数()()log 6a f x ax =-在()0,2上为减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(]1,3 B ．()1,3C ．()0,1D ．()1,+∞【答案】A【分析】根据对数函数的性质得到不等式组，解得即可.【详解】解：因为0a >，所以()6t x ax =-为减函数．又由函数()()log 6a f x ax =-在()0,2上为减函数，可得函数()6t x ax =-在()0,2上大于零，且1a >，故有1620a a >⎧⎨-≥⎩，解得13a ．故选：A ．4．若函数241()3x axf x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间()1,2上单调递增，则a 的取值范围为_________．5．若函数()()22133x a x f x +-+=在(),1-∞上单调递减，则实数a 的取值范围是______．6．对于函数()()212log 24f x ax x =-+，解答下列问题： (1)若函数定义域为R ，求实数a 的取值范围；(2)若函数在(],3-∞内为增函数，求实数a 的取值范围．2193a，故实数三、求复合函数的值域1．函数212log (610)y x x =-+的值域是________.2．求下列函数的定义域、值域：(1)y=(2)2231.2x xy--⎛⎫= ⎪⎝⎭3．求函数11()()142x xy=++的值域．4．已知函数()24313x x f x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭.(1)求()f x 的单调区间； (2)若[]1,4x ∈，求()f x 的值域.5．求下列函数的值域：(1)()22log 1y x =+；(2)()212log 2y x x =-．(1)211x +≥()22log 1x +2x -，则10u u >．，∴在()0+∞，12log 0u ≥．四、求复合函数的最值1．设函数()2212,0()log 2,0x x x f x x x ⎧--<⎪=⎨+≥⎪⎩，求()f x 的最大值为（ ）A ．12 B ．14C ．1D ．22．函数)04y x =≤≤的最大值是______．3．函数()12log 2y x =+，[]2,6x ∈的最大值为______.【答案】-24．函数()()224log log 44xf x x =⋅的最小值为___________.5．已知函数113x y +⎛⎫= ⎪⎝⎭|.(1)作出图象；(2)由图象指出其单调区间；(3)由图象指出当x 取什么值时函数有最值.图象（下图中虚线），再将函数||13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭图象向左平移1个单位得到函数|1|13x y +⎛⎫= ⎪⎝⎭图象，函数图象如下图所示：(2)解：由图象知函数在(,1]-∞-上是增函数，在(1,)-+∞上是减函数，即函数的单调递增区间为(,1]-∞-，单调递减区间为(1,)-+∞；(3)解：由图象知当1x =-时，函数有最大值1，无最小值.五、与复合函数有关的不等式问题1．已知函数||2()2log ||x f x x =+，且2(log )(2)f m f >，则实数m 的取值范围为（ ）A ．1(,4)4B ．(4,)+∞C ．1(,)(4,)4-∞+∞ D ．1(0,)(4,)4⋃+∞ 【答案】D【分析】判断出函数的奇偶性和单调性，则可将2(log )(2)f m f >化为2|log |2m >，根据对数函数的单调性解不等式，可得答案.【详解】根据题意，||2()2log ||x f x x =+，则||2()2log ||()x f x x f x --=+-=，故||2()2log ||x f x x =+为偶函数；且当0x >时，()22log x f x x =+为单调增函数，故2(log )(2)f m f >即2(|log |)(2)f m f >，则2|log |2m >，所以2log 2m >或2log 2m <-，解得4m >或104m <<， 故实数m 的取值范围为1(0,)(4,)4⋃+∞， 故选：D2．已知函数()()2log 4,4041,0x x x f x x ⎧+-<<=⎨-≥⎩，若()()3f f a >，则a 点的取值范围是______.12,0)(,)2+∞．3．不等式23124x x -≥的解集为__________. [2,)+∞【分析】先将原不等式变形为4．已知()f x 是在定义域()0,∞+上的单调函数，且对任意()0,x ∈+∞都满足：()()22log 4f f x x -=，则满足不等式()()22log 3f x x -<的x 的取值范围是________.【答案】(0,3)【分析】由换元法求出()f x 的解析式，再解原不等式【详解】由题意得()22log f x x -为正常数，令()22log ,0f x x t t -=>，则22l )o (g x t f x =+， 且2()2log 4f t t t =+=，解得2t =，原不等式为222log log (3)x x <，可得203x x x >⎧⎨<⎩，解得03x <<， 故答案为：(0,3)5．已知函数()()222log log 2f x x x =--.(1)若()0f x ， 求x 的取值范围; (2)当184x ≤≤时， 求函数()f x 的值域.6．已知函数()31x f x a +=，()521x g x a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中0a >，且1a ≠.(1)求f （x ）在[1，2]上的取值范围；(2)求不等式()()f x g x ≥的解集.【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析.【分析】(1)对a 的取值分类讨论，利用指数函数的单调性求出函数的最大、小值即可；(2)根据题意可得3125x x a a +-≥，对a 的取值分类讨论，利用指数函数的单调性解不等式即可.【详解】（1）当01a <<时，()31x f x a +=在[1，2]上是减函数，所以()()4max 1f x f a ==，()()7min 2f x f a ==，此时f （x ）在[1，2]上的取值范围是74a a ⎡⎤⎣⎦，.当1a >时，()31x f x a +=在[1，2]上是增函数，所以()()7max 2f x f a ==，()()4min 1f x f a ==，六、判断复合函数的奇偶性1．已知函数()()()1122log 4log 4f x x x =--+ (1)求函数()f x 的定义域；(2)判断并证明函数()f x 的奇偶性；(3)求不等式()0f x <的解集.2．已知函数()e e e ex xx x f x ---=+. (1)判断函数()f x 的奇偶性，并进行证明；(2)若实数a 满足()()2122log log 10f a f a f ⎛⎫++-≤ ⎪⎝⎭，求实数a 的取值范围. ()f x 定义域为()f x ∴为定义在(2)()e e f x =2e 1x y =+由（1）知：12log a =。
函数专题：指数型与对数型复合函数的单调性与值域-【题型分类归纳】高一数学上学期同步讲与练(解析版)
函数专题：指数型与对数型复合函数的单调性与值域一、复合函数的概念如果函数()=y f t 的定义域为A ，函数()=t g x 的定义域为D ，值域为C ， 则当⊆C A 时，函数()()=y f g x 为()f t 与()g x 在D 上的复合函数， 其中()=t g x 叫做内层函数，()=y f t 叫做外层函数 二、复合函数的单调性1、复合函数单调性的规律：“同增异减”若内外两层函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数； 若内外两层函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数 2、具体判断步骤（1）求出原函数的定义域；（2）将复合函数分解为内层函数和外层函数； （3）分析内层函数和外层函数的单调性； （4）利用复合函数法“同增异减”可得出结论. 三、指数型复合函数值域的求法1、形如()=x y f a （0>a ，且1≠a ）的函数求值域借助换元法：令=x a t ，将求原函数的值域转化为求()f t 的值域， 但要注意“新元t ”的范围2、形如()=f x y a （0>a ，且1≠a ）的函数求值域 借助换元法：令()=f x μ，先求出()=f x μ的值域， 再利用=y a μ的单调性求出()=f x y a 的值域。
四、对数型复合函数值域的求法1、形如(log )=a y f x （0>a ，且1≠a ）的函数求值域 借助换元法：令log =a x t ，先求出log =a x t 的值域M ， 再利用()=y f t 在M 上的单调性，再求出()=y f t 的值域。
2、形如()log =a y f x （0>a ，且1≠a ）的函数的值域 借助换元法：令()=f x μ，先求出()=f x μ的值域， 再利用log =a y μ的单调性求出()log =a y f x 的值域。
题型一 复合函数的单调性判断【例1】（多选）函数2(65)1()()2x x f x -+-=在下列哪些区间内单调递减（ ）A ．(3),-∞B ．(3,5)C ．(1,3)D ．(2,3) 【答案】ACD【解析】由题意，函数1()2xy =在R 上单调递减，又由函数265y x x =-+-在(3),-∞上单调递增，在(3,)+∞上单调递减， 由复合函数的单调性可知，函数()f x 在(3),-∞上单调递减， 结合选项，可得选项ACD 符合题意. 故选：ACD.【变式1-1】求函数21181722xxy ⎛⎫⎛⎫=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的单调区间___________.【答案】增区间为[2,)-+∞，减区间为(,2)-∞-【解析】设t ＝12x⎛⎫⎪⎝⎭>0，又22817(4)1y t t t =-+=-+在(0,4]上单调递减，在(4,)+∞上单调递增.令12x⎛⎫ ⎪⎝⎭≤4，得x ≥－2，令12x⎛⎫⎪⎝⎭>4，得x <－2. 而函数t ＝12x⎛⎫⎪⎝⎭在R 上单调递减，所以函数21181722x xy ⎛⎫⎛⎫=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的增区间为[2,)-+∞，减区间为(,2)-∞-.故答案为：增区间为[2,)-+∞，减区间为(,2)-∞-【变式1-2】函数()()212log 32f x x x =-+-的单调递减区间为（ ） A ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．31,2⎛⎫⎪⎝⎭ C ．3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由2320x x -+->得：12x <<，即()f x 定义域为()1,2；令232t x x =-+-，则t 在31,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减； 又12log y t=在()0,∞+上单调递减，()()212log 32f x x x ∴=-+-的单调递减区间为31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：B.【变式1-3】函数()()2ln 4f x x =-的单调增区间是______．【答案】(2,0]-【解析】由240x ->，得22x -<<，所以函数的定义域为(2,2)-， 令24t x =-，则ln y t =，因为24t x =-在(2,0]-上递增，在[0,2)上递减，而ln y t =在(0,)+∞上为增函数， 所以()f x 在(2,0]-上递增，在[0,2)上递减， 故答案为：(2,0]-题型二 根据复合函数的单调性求参数【例2】若函数()215x axf x +⎛⎫= ⎪⎝⎭在[]1,2单调递减，则a 的取值范围（ ）A ．4a ≤-B ．2a ≤-C ．2a ≥-D ．4a ≥- 【答案】C【解析】依题意函数()215x axf x +⎛⎫= ⎪⎝⎭在[]1,2单调递减，15xy =在R 上递减， 2y x ax =+的开口向上，对称轴为2ax =-，根据复合函数单调性同增异减可知，122a a -≤⇒≥-.故选：C【变式2-1】若函数22113x mx y +-⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间[]1,1-上为增函数，则实数m 的取值范围为______.【答案】1m ≤-【解析】由复合函数的同增异减性质可得，221y x mx =+-在[1,1]-上严格单调递减，二次函数开口向上，对称轴为x m =- 所以1m -≥，即1m ≤- 故答案为：1m ≤-【变式2-2】已知f （x ）＝()212log 3x ax a -+在区间[2，＋∞）上为减函数，则实数a 的取值范围是________． 【答案】](4,4-【解析】二次函数23=-+y x ax a 的对称轴为2=a x ， 由已知，应有22≤a，且满足当x ≥2时y ＝x 2－ax ＋3a >0， 即224230⎧≤⎪⎨⎪-+>⎩a a a ，解得44-<≤a ．故答案为：](4,4-【变式2-3】若函数()f x =312⎛⎫⎪⎝⎭，单调递减，则a 的取值范围是（ ） A ．32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，B ．32⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， C ．3724⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D ．3724⎛⎫ ⎪⎝⎭， 【答案】C【解析】因为()f x =312⎛⎫⎪⎝⎭，单调递减， 所以，函数()212log 22y x ax =-+-在312⎛⎫⎪⎝⎭，单调递减，且函数值非负， 所以函数222t x ax =-+-在312⎛⎫ ⎪⎝⎭，是单调递增且01t <≤， 故2232332121220a a a ⎧≥⎪⎪⎪⎛⎫-+-≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-+-≥⎪⎩，解得3724a ≤≤，故选：C【变式2-4】已知()()2log 3(0a f x x ax a =-+>且1)a ≠，对任意12,(,]2a x x ∈-∞且12x x ≠，不等式()()12120f x f x x x -<-恒成立，则a 的取值范围是__________．【答案】(【解析】因为对任意12,(,]2a x x ∈-∞且12x x ≠，不等式()()12120f x f x x x -<-恒成立，所以()f x 在(,]2a-∞上单调递减，因为23y x ax =-+在(,]2a-∞上单调递减，由复合函数的单调性知1a >，又由对数函数的定义域知，当(,]2a x ∈-∞时，230x ax -+>恒成立，可得2()3022a a a -⨯+>，解得a -<<综上可得；1a <<a 的取值范围为(.【变式2-5】已知函数()log a f x x =，记()()()()21g x f x f x f ⎡⎤=⋅+-⎣⎦，若()g x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦ B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．()()0,11,2UD ．[)2,+∞【答案】A【解析】()()()()()21log log log 21a a a g x f x f x f x x ⎡⎤=⋅+-=+⎣-⎦， 则()()22lg lg lg 21lg lg lg 2lg lg lg lg lg 1x x g x x a x a a a a ⎛⎫-⎡⎤=+=-- ⎪⎣⎦⎝⎭， 令lg t x =，由1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，所以[]lg 2,lg 2t ∈-，令()()221lg lg 2lg M t t a t a⎡⎤=--⎣⎦， 因为()g x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数， 所以()M t 在[]lg 2,lg 2t ∈-也是增函数， 所以lg lg 21lg 2lg lg 2lg 22a a -≤-⇒≤-=， 则102a <≤，即10,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故选：A.题型三 复合函数的值域求解【例3】函数()2212x xf x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为（ ）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦ C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D ．[)2,+∞【答案】C【解析】令22t x x =-+，则2(1)11t x =--+≤，因为1()2ty =在R 上单调递减，所以12y ≥，故函数()2212x xf x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，故选：C【变式3-1】函数113()934x xf x --⎛⎫=++ ⎪⎝⎭在[1,)-+∞上的值域为___________.【答案】375,44⎛⎤⎥⎝⎦【解析】2113113()9334334x x xx f x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+⎝⎭∵[1,)x ∈-+∞则令(],3130xt ⎛⎫⎪⎭∈= ⎝，2334y t t =++在(]0,3递增∴375,44y ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【变式3-2】已知函数2()421x x f x +=--，[0,2]x ∈则其值域为___________. 【答案】[]5,1--【解析】令2x t =，∵[0,2]x ∈，∴14t ≤≤，∴22()41(2)5f t t t t =--=--， 又()y f t =关于2t =对称，2t ∴=即1x =时，函数取得最小值，即min ()5f x =-，4t =即2x =时，函数取得最大值，即max ()1f x =-， ()[5f x ∴∈-,1]-.【变式3-3】已知函数()()()44log 1log 3f x x x =++-，求()f x 的单调区间及最大值． 【答案】单调递增区间为()1,1-，单调递减区间为()1,3；()max 1=f x【解析】由1030x x +>⎧⎨->⎩得：13x -<<，()f x ∴的定义域为()1,3-；()()()()()224444log 1log 3log 23log 14f x x x x x x ⎡⎤=++-=-++=--+⎣⎦， 令()()214t x x =--+，则()t x 在()1,1-上单调递增，在()1,3上单调递减，又4log y t =在定义域内单调递增，由复合函数单调性可知：()f x 的单调递增区间为()1,1-，单调递减区间为()1,3； 由单调性可知：()()4max 1log 41f x f ===.【变式3-4】已知()222()log 2log 4,[2,4]f x x x x =-+∈．（1）设2log ,[2,4]t x x =∈，求t 的最大值与最小值；（2）求()f x 的值域．【答案】（1）2t =最大，1t =最小；（2）[3，4].【解析】（1）因为函数2log t x =在区间[2，4]上是单调递增的，所以当4x =时，2log 42t ==最大， 当2x =时，2log 21t ==最小．（2）令2log t x =，则()()()222413f x g t t t t ==-+=-+，由（1）得[]1,2t ∈，因为函数()g t 在[]1,2上是单调增函数，所以当1t =，即2x =时，()min 3f x =；当2t =，即4x =时，()max 4f x =， 故()f x 的值域为[]3,4.【变式3-5】已知函数()2421x xf x a =⋅-⋅+，求函数()f x 在[]0,1上的最小值．【答案】()2min3,41,48892,8a a a f x a a a -≤⎧⎪⎪=-<≤⎨⎪-≥⎪⎩【解析】设2x t =，由[0,1]x ∈得[1,2]t ∈，2()()21f x g t t at ==-+，222()212()148a a g t t at t =-+=-+-，当14a ≤，即4a ≤时，min ()(1)3g t g a ==-， 当124a <≤，即48a <≤时，2min ()()148a a g t g ==-， 当，即8a >时，min ()(2)92g t g a ==-， 综上()2min3,41,48892,8a a a f x a a a -≤⎧⎪⎪=-<≤⎨⎪-≥⎪⎩．【变式3-6】已知函数()1423x x f x a +=⋅--，若0a >，求()f x 在区间[]1,2上的最大值()g a ．【答案】()147,0311611,3a a g a a a ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩.【解析】令[]22,4x t =∈，即求()223h t at t =--在区间[]2,4上的最大值．当0a >时，二次函数()223h t at t =--的图象开口向上，对称轴为直线1t a=.①当12a ≤时，即当12a ≥时，函数()h t 在区间[]2,4上单调递增，则()()41611g a h a ==-； ②当123a<≤时，即当1132a ≤<时，函数()h t 在区间12,a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在区间1,4a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，因为()247h a =-，()41611h a =-，()()421240h h a -=-≥， 则()()41611g a h a ==-； ③当134a<<时，即当1143a <<时，函数()h t 在区间12,a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在区间1,4a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，此时，()()42h h <，则()()247g a h a ==-；④当14a ≥时，即当104a <≤时，函数()h t 在区间[]2,4上单调递减， 所以，()()247g a h a ==-.综上所述，()147,0311611,3a a g a a a ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩.题型四 根据复合函数的值域求解【例4】若函数()22312ax x f x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的最大值是2，则=a （ ）A ．14B ．14-C ．12 D ．12- 【答案】A【解析】由1()2uy =在定义域上递减，要使()f x 有最大值，则223u ax x =-+在定义域上先减后增， 当max ()2f x =，则223u ax x =-+的最小值为1-，所以0131a a>⎧⎪⎨-=-⎪⎩，可得14a =.故选：A【变式4-1】已知函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为10,16⎛⎤ ⎥⎝⎦，若不等式()()log 4log 2x a xa t t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立，则t 的取值范围是（ ）A ．2,25⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(,2)-∞D ．()0,2【答案】A【解析】由题意，函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为10,16⎛⎤ ⎥⎝⎦，可得函数y 的最大值为116， 当0a =时，函数2414x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭显然不存在最大值；当0a >时，函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭在1,x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， 当1x a =时，函数y 有最大值，即12411416a a -+⎛⎫=⎪⎝⎭，解得12a =； 当0a <时，22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭在1,x a⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，此时函数y 无最大值，所以()()1122log 4log 2x xt t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立， 即402042x xx x t t t t ⎧⋅>⎪->⎨⎪⋅>-⎩在[]1,2x ∈上恒成立， 由40x t ⋅>在[]1,2x ∈上恒成立，可得0t >；由20x t ->在[]1,2x ∈上恒成立，即2x t <在[]1,2上恒成立，可得2t <；由42x x t t ⋅>-在[]1,2x ∈上恒成立，即2114122x x x xt >=++在[]1,2上恒成立，令()122xxf x =+，可得函数()f x 在[]1,2上单调递增，所以()()min512f x f ==，即25t >， 综上可得225t <<，即实数t 的取值范围是2,25⎛⎫⎪⎝⎭.故选：A.【变式4-2】已知函数()()2log 41x f x ax =++是偶函数，函数()()22222f x x x g x m -=++⋅的最小值为3-，则实数m 的值为（ ）A ．3B ．52-C ．2-D ．43【答案】B【解析】因为函数()()2log 41x f x ax =++是偶函数，所以()()f x f x -=，即()()22log 41log 41x x ax ax -+-=++，所以()()222log 41log 410x x ax -++-+=， 其中()()()()()22222241441441log 41log 41log log log log 424141414x x x x x x x x x x x x x ---+⋅+⋅++-+=====+++⋅， 所以220ax x +=，解得1a =-，所以()()2log 41x f x x =+-，所以()()2log 414122222x x x f x x x x +--+===+， 故函数()()222222x x x x g x m --=+++的最小值为3-．令22x x t -+=，则2t ≥，故函数()()222222x x x x g x m --=+++的最小值为3-等价于()()222h t t mt t =+-≥的最小值为3-， 等价于()2? 22223m h m ⎧-≤⎪⎨⎪=+=-⎩或22? 22324m m m h ⎧->⎪⎪⎨⎛⎫⎪-=--=- ⎪⎪⎝⎭⎩， 解得52m =-．故A ，C ，D 错误.故选：B ．【变式4-3】函数()22lg 34a f x ax x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭没有最小值， 则a 的取值范围是______． 【答案】22,33⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】令()2234a t x ax x =++，则外函数为()lg f t t =， 因为lg y t =在定义域上单调递增，要使函数()22lg 34a f x ax x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭没有最小值， 即()2234a t x ax x =++的值域能够取到0，且不恒小于等于0，当0a =时()23t x x =，符合题意，当0a <时()2234a t x ax x =++开口向下， 只需224034a a ⎛⎫∆=-⨯⨯> ⎪⎝⎭，解得2233-<<a ，即203a -<<； 当0a >时()2234a t x ax x =++开口向上， 只需224034a a ⎛⎫∆=-⨯⨯≥ ⎪⎝⎭，解得2233a -≤≤，即203a <≤； 综上可得2233a -<≤，即22,33a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦.【变式4-4】已知函数()()213log 25f x x mx =-+，若()f x 的值域为R ，求实数m 的取值范围.【答案】(),-∞⋃+∞ 【解析】由()f x 的值域为R ，可得225u x mx =-+能取()0,∞+内的一切值，故函数225u x mx =-+的图象与x 轴有公共点， 所以24200m -≥，解得m ≤m ≥故实数m 的取值范围为(),-∞⋃+∞．。
与对数函数有关的复合函数单调性
与对数函数有关的复合函数单调性1.适用对象分析：明确适用该“微课”资源的教师（学生）应具备和相关联的知识或技能。
从知识储备方面，首先，学生已经学习了对数函数的基本概念、图像及性质，为本节课的进一步学习准备好了必要的知识基础；其次，学生已经学习了指数函数及其性质，已经具备了研究基本初等函数的初步经验，而构造指数函数，利用指数函数性质解决问题的方法也为本节课提供了很好的研究问题的思路。
另外，由于学生初学对数函数，对对数的应用并不是非常得心应手，因此在课堂上需要多给学生思考及动手操作的时间，适当的时候也需要老师加以引导。
2．学习内容分析：明确该“微课”资源的学习内容或知识点，以及该知识点在学科课程知识中的作用与地位。
（1）对数的发明是17世纪数学的重大成果之一，它的重要性在于大大提高了数字计算的速度，直到计算机与计算器普及之前，对数表和对数计算尺还在计算中发挥着重要的作用。
恩格斯曾把对数的发明与解析几何的创始、微积分学的建立并称为17世纪数学的三大成就。
（2）应用广泛：对数是指数的逆运算，对数函数是指数函数的反函数，它们都来源于生产实际，并且有着广泛的应用，如细胞分裂、国民生产总值的预测、利率问题的计算等等。
（3）对数知识是培养学生应用数学意识的良好题材，学习对数要注意抓住指数与对数的关系这一关键，学习对数函数关键是抓住对数函数是指数函数的反函数这一要领。
同时要结合实际问题引入，通过实际问题的求解，培养运用对数知识解决实际问题的能力。
3．教学目标分析：明确该“微课”资源的教学目的或作用，能帮助教师和学生解决教与学中的什么问题，达到什么目标二、教学目标的确定1、教学重、难点教学重点：对数函数单调性应用教学难点：构造对数函数解决问题2、教学目标：知识与技能进一步理解对数函数性质，利用对数函数的单调性解决比较对数值大小、解不等式等问题;过程与方法通过对数函数性质的应用，感受数形结合与函数思想方法的作用;情感态度价值观通过对对数函数底数的探究,领悟事物从量变到质变的规律.培养学生用辩证的观点，观察问题、分析问题、解决问题的能力．三、教学方法与手段的选择为了实现本节课的教学目标，突出教学重点，突破难点，结合教学内容和学生情况以及我自己的授课特点，采用两端式和启发探究式相结合的教学方法。
对数函数的单调性与特殊点_专题含答案
对数函数的单调性与特殊点专题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 若log12x>1，则x的取值范围是（）A.x<12B.0<x<12C.x>12D.x<02. 已知函数f(x)=|log2x|，正实数m，n满足m<n，且f(m)=f(n)，若f(x)在区间[m, n]上的最大值为2，则m+n=()A.5 2B.94C.√22+√2 D.1743. 如果m>n>0，那么下列不等式成立的是（）A.log3m<log3nB.log0.3m>log0.3nC.3m<3nD.03m<0.3n4. 若全集为实数集R，M={x|log13x≥2}，则∁R M等于（）A.(19，+∞) B.(−∞,0]∪(19，+∞)C.(−∞,0]∪[19，+∞) D.[19，+∞)5. 函数y=log12(1−x)的单调递增区间是（）A.(0, +∞)B.(−∞, 1)C.(1, +∞)D.(0, 1)6. 函数f(x)=log a(4x−3)(a>0，且a≠1)过定点（）A.(1, 0)B.(34, 0) C.(1, 1) D.(34, 1)7. 函数f(x)=log a(2−ax2)在(0, 1)上为减函数，则实数a的取值范围（）A.[12，1) B.(1, 2) C.(1, 2] D.(12，1)>a>b>1则（）8. 已知函数f(x)=|lg x|，若1cA.f(a)>f(b)>f(c)B.f(c)>f(a)>f(b)C.f(c)>f(b)>f(a)D.f(b)>f(a)>f(c)9. 设函数f(x)=lg(x2+ax−a−1)，给出下述命题：①函数f(x)的值域为R；②函数f(x)有最小值；③当a=0时，函数f(x)为偶函数；④若f(x)在区间[2, +∞)上单调递增，则实数a的取值范围a≥−4．正确的命题是（）A.①③B.②③C.②④D.③④10. 如果y=log a2−1x在(0, +∞)内是减函数，则a的取值范围是（）A.|a|>1B.|a|<2C.a<−√2D.1<|a|<√211. 函数f(x)=√−1+2log6x的定义域为_________(x2−3)的单调递减区间为________.12. 函数f(x)=log1813. 函数y=log a(x+1)(a>0且a≠1)恒过定点________．14. 已知函数f(x)=log2(x2+a)，若f(3)=1，则a=________.15. 函数y=log2(1−x2)的单调递增区间为________．|x|的单调增区间是________．16. 函数y=log1217. 函数y=2011+log a(x+2012)(a>0, a≠1)的图象恒过定点________．(x2−2ax+3)在(−∞, 1]内是增函数，则实数a的取值范围是________．18. f(x)=log1220. 函数f(x)=log2(x2+2x)的单调递减区间为________．21. 已知a>0，a≠1，若log a(2x+1)<log a4，求x的取值范围．22. 已知函数f(x)=a sin(πx+a)+b cos(πx+β)+1，且f(2006)=−1，求f(2007)的值．23. 已知a>0且a≠1，指数函数y=a x在(−∞, +∞)上是增函数；如果函数f(x)=log1a x在区间[a, 2a]上的最大值与最小值之差为12，求实数a的值．24. 已知函数f(x)=log a(x+1)是定义在区间[1, 7]上的函数，且最大值与最小值之和是2，求函数f(x)的最大值和最小值．25. 已知函数f(x)=log a(3+x)，g(x)=log a(3−x)(a>0,a≠1).(1)当a=2时，求函数y=f(x)+g(x)的定义域、值域；(2)求使f(x)−g(x)>0成立的x的取值范围．26. 设函数f(x)=(log2x)2+3log2x+2，14≤x≤4.(1)若t=log2x，求t取值范围；(2)求f(x)的最值，并给出函数取最值时对应的x的值．27. 已知函数f(x)=log2(x−3)．（1）求f(x)的定义域；（2）若f(x)≥0，求x的取值范围.28. 已知a>0且满足不等式22a+1>25a−2．（1）求实数a的取值范围．（2）求不等式loga (3x+1)<loga(7−5x)．（3）若函数y=loga(2x−1)在区间[1++,+3]有最小值为−2，求实数a值．29. 解不等式：2log a(x−4)>log a(x−2)．30. 已知函数log0.5(2x−3)>0，求x的取值范围．31. 解关于x的不等式：√4−log a x<log a x−2(a>0,a≠1)．32. 函数log0.5(x2+4x+4)在什么区间上是增函数？33. 判断函数f(x)=log a1+x1−x，(0<a<1)的单调性并证明．34. 已知函数f(x)=log a(x+2)(a>0, a≠1)在区间[0, 6]上的最大值比最小值大12，求a的值．35. 设0<a<1，f(x)=log a(a2x−2a x−2)，解关于x的不等式f(x)<0．36. 已知函数f(x)＝log m(x2+12)+1(m>0, m≠1)的图象恒经过与m无关的定点A．（1）求点A的坐标；（2）若偶函数g(x)=ax2+bx−c，x∈[1−2c, c]的图象过点A，求a、b、c的值．37. 设关于x的不等式log2(|x|+|x−4|)>a（1）当a=3时，解这个不等式；（2）若不等式解集为R，求a的取值范围．38. 已知函数y=log12(−x2+ax+3)在区间(−3, −2]上单调递减，求实数a的取值范围．39. 定义在R上的函数f(x)满足：对任意的实数x，存在非零常数t，都有f(x+t)=−tf(x)成立．（2）当t=2时，若x∈[0, 2]，f(x)=x(2−x)，求函数f(x)在闭区间[−2, 6]上的值域；（3）设函数f(x)的值域为[−a, a]，证明：函数f(x)为周期函数．)> 40. 对于函数f(x)，其定义域为D，若任取x1、x2∈D，且x1≠x2，若f(x1+x221[f(x1)+f(x2)]，则称f(x)为定义域上的凸函数．2（1）设f(x)=ax2(a>0)，试判断f(x)是否为其定义域上的凸函数，并说明原因；x(a>0，且a≠1)为其定义域上的凸函数，试求出实数a的取（2）若函数f(x)=loga值范围．参考答案与试题解析对数函数的单调性与特殊点专题含答案一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】B【考点】对数函数的单调性与特殊点【解析】利用对数函数的单调性结合1对应的对数，从而求出实数x的取值范围．【解答】不等式即：log12x>log1212，结合函数的单调性和函数的定义域可得χ的取值范围是0<x<12故答案为：B2.【答案】D【考点】对数函数的单调性与特殊点【解析】由题意可知0<m<1<n，以及mn=1，再f(x)在区间[m, n]上的最大值为2可得出f(m)=2求出m，故可得m+n的值．【解答】解：由对数函数的性质知∵f(x)=|log2x|正实数m、n满足m<n，且f(m)=f(n)，∴0<m<1<n，以及mn=1，又函数在区间[m, n]上的最大值为2，由于f(m)=f(n)，故可得f(m)=2，即|log2m|=2，即log2m=−2，即m=14，可得n=4，则m+n=174．故选D．3.【答案】D【考点】对数函数的单调性与特殊点【解析】利用对数函数与指数函数的单调性对A，B，C，D四个选项逐一判断即可．【解答】解：∵y=log3x为定义域上的增函数，y=log0.3x为定义域上的减函数，log0.3m<log0.3n，B错误；再令y=3x，则y=3x为增函数，∴当m>n>0时，3m>3n，故C错误；又y=0.3x为减函数，∴当m>n>0时，0.3m<0.3n，故D正确．故选D．4.【答案】B【考点】对数函数的单调性与特殊点【解析】化简集合M为{x|0<x≤19}，根据补集的定义求得∁R M．【解答】解：M={x|log13x≥2}={x|0<x≤19}，故则∁R M={ x|x≤0, 或x>19 }，故选B．5.【答案】B【考点】对数函数的单调性与特殊点【解析】令1−x=t，本题即求t>0时函数t的减区间，由此求得x的范围，即得函数y=log12(1−x)的单调递增区间．【解答】解：令1−x=t，则函数y=log12t，本题即求t>0时函数t的减区间．由于当x<1时，t>0，且函数t是减函数，故函数y=log12(1−x)的单调递增区间是(−∞, 1)，故选：B．6.【答案】A【考点】对数函数的单调性与特殊点【解析】令对数的真数4x−3=1，解得x的值，可得函数经过的定点．【解答】解：令4x−3=1，可得x=1，故函数f(x)=loga(4x−3)(a>0，且a≠1)过定点故选A ． 7.【答案】 C【考点】对数函数的单调性与特殊点 【解析】由对数函数的性质可得，a >0，令g(x)=2−ax 2，g(x)为减函数，由复合函数的性质可知a >1，又2−a ≥0，从而可得答案． 【解答】解：由题意得：a >0，令g(x)=2−ax 2，则g(x)为减函数， 又f(x)=log a (2−ax 2)在(0, 1)上为减函数， ∴ a >1．①又当x ∈(0, 1)时，g(x)=2−ax 2>0， ∴ 当x =1时，g(1)=2−a ≥0， ∴ a ≤2②由①②得：1<a ≤2． 故选C ． 8. 【答案】 B【考点】对数函数的单调性与特殊点 【解析】先把函数f(x)=|lg x|化为分段函数，判断函数在(1, +∞)上的单调性，就可判断f(1c )，f(a)，f(b)的大小关系，再根据函数解析式求出f(c)与f(1c )的关系，就可比较f(c)，f(a)，f(b)的大小． 【解答】解：函数f(x)=|lg x|去绝对值符号，可化为分段函数y ={lg xx >1−lg x0<x <1∴ 当x >1时，函数f(x)为增函数， ∵ 1c >1，∴ f(1c )>f(a)>f(b) ∵ 1c >a >b >1，∴ 0<c <1∴ f(c)=−lg c =lg 1c∴ f(c)>f(a)>f(b) 故选B 9.【答案】 A【考点】对数函数的单调性与特殊点由已知中函数f(x)=lg(x2+ax−a−1)，我们易判断出其真数部分的范围，结合对数函数的性质可判断①与②的真假，由偶函数的定义，可判断③的正误，再由复合函数单调性的判断方法及函数的定义域，可判断④的对错．进而得到结论．【解答】解：∵u=x2+ax−a−1的最小值为−14(a2+4a+4)≤0∴ ①函数f(x)的值域为R为真命题；但函数f(x)无最小值，故②错误；当a=0时，易得f(−x)=f(x)，即③函数f(x)为偶函数正确；若f(x)在区间[2, +∞)上单调递增，则−a2≤2，且4+2a−a−1>0解得a>−3，故④错误；故选A10.【答案】D【考点】对数函数的单调性与特殊点【解析】由条件利用对数函数的单调性和特殊点可得，0<a2−1<1，由此解得a的范围．【解答】解：由于函数y=loga2−1x在(0, +∞)内是减函数，∴0<a2−1<1，解得1<a<√2，或−√2<a<−1，即1<|a|<√2，故选D．二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】[√6, +∞)【考点】对数函数的单调性与特殊点【解析】由题意可得−1+2log6x≥0，即log6x≥12=log6√6，再利用对数函数的单调性求得x的范围．【解答】解：由函数f(x)=√−1+2log6x可得−1+2log6x≥0，即log6x≥12=log6√6，求得x≥√6，故答案为：[√6，+∞)．12.【答案】(√3,+∞)【解析】本题主要考查对数函数的单调性.【解答】解：函数f(x)的定义域为(−∞,−√3)∪(√3,+∞)，因为函数y=log18x在定义域内单调递减，所以要求函数f(x)=log18(x2−3)的单调递减区间，即求函数y=x2−3在(−∞,−√3)∪(√3,+∞)上的单调递增区间，又该函数的单调递增区间为(√3,+∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为(√3,+∞).故答案为(√3,+∞).13.【答案】(0, 0)【考点】对数函数的单调性与特殊点【解析】令x+1=1，可得y=loga (x+1)=loga1=0，即可得到结论．【解答】解：令x+1=1，可得y=loga (x+1)=loga1=0∴函数y=loga(x+1)(a>0且a≠1)恒过定点(0, 0)故答案为：(0, 0)14.【答案】−7【考点】对数函数的单调性与特殊点【解析】此题暂无解析【解答】解：因为f(3)=1，所以log2(32+a)=1=log22，所以32+a=2，解得a=−7.故答案为：−7.15.【答案】(−1, 0)【考点】对数函数的单调性与特殊点【解析】先求原函数的定义域，再将原函数分解成两个简单函数y=log2z、z=1−x2，因为y=log2z单调递增，所以要求原函数的单调递增区间即要求z=1−x2的增区间（根据同增异减的性质），再由定义域即可得到答案．(1−x2)有意义∴1−x2>0⇒(x+1)(x−1)<0⇒−1<x<解：∵函数y=log21∵2>1∴函数y=log(1−x2)的单调递减区间就是g(x)=1−x2的单调递减区间．2对于y=g(x)=1−x2，开口向下，对称轴为x=0，∴g(x)=1−x2的单调递增区间是(−∞, 0)．∵−1<x<1，∴函数y=log(1−x2)的单调递增区间是(−1, 0)2故答案为：(−1, 0)．16.【答案】(−∞, 0)【考点】对数函数的单调性与特殊点【解析】|x|的单调增区间就是|x|>0时的减区间．函数y=log12【解答】|x|的单调增区间就是|x|>0时的减区间，解：函数y=log12∴函数y=log1|x|的单调增区间是(−∞, 0)2故答案为(−∞, 0)．17.【答案】(−2011, 2011)【考点】对数函数的单调性与特殊点【解析】令对数的真数等于1，求得x、y的值，即可求得函数的图象恒过定点的坐标．【解答】解：令x+2012=1，可得x=−2011，y=2011，(x+2012)(a>0, a≠1)的图象恒过定点(−2011, 2011)，故函数y=2011+loga故答案为(−2011, 2011)．18.【答案】[1, 2)【考点】对数函数的单调性与特殊点【解析】t在定义域上是减函数并用复合函数的单调性解决，先令t＝x2−2ax+3，因为y=log12(x2−2ax+3)在(−∞, 1]内是增函数，所以由函数t在(−∞, 1]内是减函且f(x)=log12数且t>0求解即可．【解答】令t＝x2−2ax+3，又∵ f(x)=log 12(x 2−2ax +3)在(−∞, 1]内是增函数∴ 函数t 在(−∞, 1]内是减函数且t >0 ∴ {a ≥11−2a +3>0解得：1≤a <2 19.【答案】 −3【考点】对数函数的单调性与特殊点 【解析】根据对数的运算性质，1的对数恒为0（与底数无关），结合函数y =log a (x +m)+n(a >0，且a ≠1)经过定点(3, −1)，可构造关于m ，n 的方程组，解方程组可得答案． 【解答】解：若函数y =log a (x +m)+n 恒过定点(3, −1)， 即−1=log a (3+m)+n 则{3+m =1n =−1即{m =−2n =−1∴ m +n =−3 故答案为：−3 20.【答案】 (−∞, −2) 【考点】对数函数的单调性与特殊点 【解析】由题意，本题是一个对数型复合函数，外层函数y =log 2t 是一个增函数，内层函数是t =x 2+2x 是一个开口向上的二次函数，由复合函数单调性判断规则，求出层函数在定义域上的单调递减区间即为所求的函数f(x)=log 2(x 2+2x)的单调递减区间，故可先求函数的定义域，令x 2+2x >0，此不等式的解集即为函数的定义域，再研究出内层函数是t =x 2+2x 在定义域上的单调减区间即可得到复合函数的单调减区间 【解答】解：由题意，函数f(x)=log 2(x 2+2x)是一个复合函数，外层函数是y =log 2t ，内层函数是t =x 2+2x令x 2+2x >0解得x >0或x <−2，即函数f(x)=log 2(x 2+2x)的定义域是(−∞, −2)∪(0, +∞)由于外层函数y =log 2t 是增函数，内层函数t =x 2+2x 在(−∞, −2)上是减函数，在(0, +∞)上是增函数故复合函数f(x)=log 2(x 2+2x)在(−∞, −2)上是减函数，在(0, +∞)上是增函数 综上知函数f(x)=log 2(x 2+2x)的单调递减区间为(−∞, −2) 故答案为(−∞, −2)三、 解答题 （本题共计 20 小题 ，每题 10 分 ，共计200分 ） 21.解：对于log a (2x +1)<log a 4，当a >1时，0<2x +1<4，求得−12<<32；当0<a <1时，2x +1>4，求得x >32．【考点】对数函数的单调性与特殊点 【解析】由条件根据对数函数的单调性和特殊点、对数函数的定义域，分类讨论，求得x 的取值范围． 【解答】解：对于log a (2x +1)<log a 4，当a >1时，0<2x +1<4，求得−12<<32； 当0<a <1时，2x +1>4，求得x >32． 22.【答案】解：由题意可得f(2006)=a sin (2006π+a)+b cos (2006π+β)+1=a sin a +b sin b +1=−1，∴ a sin a +b sin b =−2．故f(2007)=a sin (2007π+a)+b cos (2007π+b)+1=−a sin a −b cos b +1=2+1=3．【考点】对数函数的单调性与特殊点 【解析】由条件利用诱导公式求得a sin a +b sin b 的值，再利用诱导公式求得f(2007)的值． 【解答】解：由题意可得f(2006)=a sin (2006π+a)+b cos (2006π+β)+1=a sin a +b sin b +1=−1，∴ a sin a +b sin b =−2．故f(2007)=a sin (2007π+a)+b cos (2007π+b)+1=−a sin a −b cos b +1=2+1=3． 23.【答案】解：因为y =a x 在(−∞, +∞)上是增函数， 所以a >1，…所以f(x)=log 1ax 在[a, 2a]上为减函数，…从而得f(a)−f(2a)=12即log 1aa −log 1a2a =12…所以log 1a2=−12，…所以(1a )−12=2，…解得a =4．… 【考点】对数函数的单调性与特殊点因为y =a x 在(−∞, +∞)上是增函数，所以a >1，所以f(x)=log 1ax 在[a, 2a]上为减函数，结合函数f(x)=log 1ax 在区间[a, 2a]上的最大值与最小值之差为12，构造方程，可得答案． 【解答】解：因为y =a x 在(−∞, +∞)上是增函数， 所以a >1，…所以f(x)=log 1ax 在[a, 2a]上为减函数，…从而得f(a)−f(2a)=12即log 1aa −log 1a2a =12…所以log 1a2=−12，…所以(1a)−12=2，…解得a =4．… 24.【答案】解：∵ 函数f(x)在区间[1, 7]上是单调函数， ∴ f(x)最大值与最小值之和是f(7)+f(1)=2， 即log a 8+log a 2=2，解得a =4，∴ 函数f(x)=log 4(x +1)在区间[1, 7]上单调递增， ∴ f(x)max =f(7)=log 48=32， f(x)min =f(1)=log 42=12．【考点】对数函数的单调性与特殊点 【解析】由对数函数的单调性可得f(7)+f(1)=2，运用对数的运算性质解得a =4，再由对数函数的单调性即可得到最值． 【解答】解：∵ 函数f(x)在区间[1, 7]上是单调函数， ∴ f(x)最大值与最小值之和是f(7)+f(1)=2， 即log a 8+log a 2=2，解得a =4，∴ 函数f(x)=log 4(x +1)在区间[1, 7]上单调递增， ∴ f(x)max =f(7)=log 48=32， f(x)min =f(1)=log 42=12． 25.【答案】解：(1)当a =2时，y =f(x)+g(x)=log 2(3+x)+log 2(3−x)， 3+x >0，所以y =f(x)+g(x)的定义域为(−3,3). y =log 2(3+x)+log 2(3−x)=log 2(3+x)(3−x)=log 2(9−x 2)， 设t =9−x 2，x ∈(−3,3)，可得t 在(−3,0)上单调递增，在(0,3)上单调递减.所以y =log 2t 在(−3,0)上单调递增，在(0,3)上单调递减， 可得y =f(x)+g(x)的值域为(−∞,2log 23). (2)f (x )−g (x )>0成立，即f(x)−g(x)=log a (3+x)−log a (3−x)>0， 得log a (3+x)>log a (3−x)， 当a >1时，∵ y =log a x 为增函数， ∴ 3+x >3−x >0， 解得：0<x <3． 当0<a <1时，∵ y =log a x 为减函数，∴ 0<3+x <3−x ，解得−3<x <0． 综上，当0<a <1时，−3<x <0； 当a >1时，0<x <3. 【考点】复合函数的单调性 对数函数的定义域 对数函数的值域与最值 对数函数的单调性与特殊点【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)当a =2时，y =f(x)+g(x)=log 2(3+x)+log 2(3−x)，即{3+x >0，3−x >0,解得−3<x <3，所以y =f(x)+g(x)的定义域为(−3,3). y =log 2(3+x)+log 2(3−x)=log 2(3+x)(3−x)=log 2(9−x 2)， 设t =9−x 2，x ∈(−3,3)，可得t 在(−3,0)上单调递增，在(0,3)上单调递减.所以y =log 2t 在(−3,0)上单调递增，在(0,3)上单调递减， 可得y =f(x)+g(x)的值域为(−∞,2log 23). (2)f (x )−g (x )>0成立，即f(x)−g(x)=log a (3+x)−log a (3−x)>0， 得log a (3+x)>log a (3−x)， 当a >1时，∵ y =log a x 为增函数， ∴ 3+x >3−x >0， 解得：0<x <3．∵ y =log a x 为减函数，∴ 0<3+x <3−x ，解得−3<x <0． 综上，当0<a <1时，−3<x <0； 当a >1时，0<x <3. 26. 【答案】解：(1)∵ 14≤x ≤4，t =log 2x ， ∴ −2≤t ≤2；(2)令t =log 2x(−2≤t ≤2)， 则y =t 2+3t +2=(t +32)2−14，故当t =−32，即log 2x =−32，x =2−32时，函数f(x)取得最小值−14， 当t =2，log 2x =2，即x =4时，函数f(x)取得最大值12． 【考点】二次函数在闭区间上的最值 函数最值的应用对数函数的单调性与特殊点【解析】（1）利用对数函数的单调性，即可求t 取值范围；（2）配方，利用二次函数的性质求得函数f(x)的最大值和最小值及对应的x 的值． 【解答】解：(1)∵ 14≤x ≤4，t =log 2x ， ∴ −2≤t ≤2；(2)令t =log 2x(−2≤t ≤2)， 则y =t 2+3t +2=(t +32)2−14，故当t =−32，即log 2x =−32，x =2−32时，函数f(x)取得最小值−14， 当t =2，log 2x =2，即x =4时，函数f(x)取得最大值12． 27.【答案】解：∵ f (x )=log 2(x −3)，∴ x −3>0，解得x >3， 因此，函数y =f (x )的定义域为(3,+∞)解：∵ f (x )=log 2(x −3)≥0，得x −3≥1，解得x ≥4， 因此，x 的取值范围是[4,+∞) 【考点】对数函数的单调性与特殊点 对数函数的定义域【解析】（1）由真数大于零可求出函数y =f (x )的定义域；此题暂无解答 28.【答案】解：∵ 22a+1>25a−2，∴ 2a +1>5a −2，即3a <3，∴ a <1， 又∵ a >0，∴ 0<a <1． 解：由（1）知0<a <1，∵ log a (3x +1)<log a (7−5x )．等价于{3x +1>07−5x >03x +1>7−5x ，即{x >−13x <75x >34，∴ 34<x <75，即不等式的解集为(34，75)．解：∵ 0<a <1，∴ 函数y =log a (2x −1)在区间[1,3]上为减函数， ∴ 当x =3时，y 有最小值为−2， 即log a 5=−2， ∴ a −2=1a 2=5， 解得a =√55或a =−√55(舍去)， 所以a =√55． 【考点】对数函数的单调性与特殊点 指数函数单调性的应用【解析】（1）根据指数函数的单调性即可求解；（2）由题意利用指数函数的性质求出α的范围，再利用指数、对数函数的性质，求得log a (3x −1)<log a (7−5x )的解集（3）根据a 的范围，利用对数函数的性质，求出a 的值． 【解答】 此题暂无解答 29. 【答案】解：当a >1时，由2log a (x −4)>log a (x −2)可得{x −4>0x −2>0(x −4)2>x −2，求得x >6，故此时不等式的解集为(6, +∞)．当0<a <1时，由2log a (x −4)>log a (x −2)可得 {x −4>0x −2>0(x −4)2<x −2，求得4<x <6，对数函数的单调性与特殊点【解析】当a>1时，由题意可得{x−4>0x−2>0(x−4)2>x−2，由此求得不等式的解集；当0<a<1时，由题意可得{x−4>0x−2>0(x−4)2<x−2，由此求得不等式的解集．【解答】解：当a>1时，由2loga (x−4)>loga(x−2)可得{x−4>0x−2>0(x−4)2>x−2，求得x>6，故此时不等式的解集为(6, +∞)．当0<a<1时，由2loga (x−4)>loga(x−2)可得{x−4>0x−2>0(x−4)2<x−2，求得4<x<6，故此时不等式的解集为(4, 6)．30.【答案】解：原不等式可化为log0.5(2x−3)>log0.51，∴O<2x−3<1，∴32<x<2.．答案：32<x<2.【考点】对数函数的单调性与特殊点【解析】原不等式可化为log0.5(2x−3)>log0.51根据对数函数的单调性即可解得结果．【解答】解：原不等式可化为log0.5(2x−3)>log0.51，∴O<2x−3<1，∴32<x<2.．答案：32<x<2. 31.【答案】解：原不等式等价于{4−logax≥0 log a x−2>04−loga x<(logax−2)2，等价于{2<logax≤4log a2x−3log a x>0，等价于{2<logax≤4log a x>3或log a x<0，等价于3<logax≤4．∴当a>1时，原不等式的解集为{x|a3<x≤a4}．当0<a<1时，原不等式的解集为{x|a4≤x<a3}．对数函数的单调性与特殊点【解析】把要解的不等式等价转化为3<logax≤4，再利用对数函数的单调性和特殊点求出x 的范围．【解答】解：原不等式等价于{4−logax≥0 log a x−2>04−loga x<(logax−2)2，等价于{2<logax≤4log a2x−3log a x>0，等价于{2<logax≤4log a x>3或log a x<0，等价于3<logax≤4．∴当a>1时，原不等式的解集为{x|a3<x≤a4}．当0<a<1时，原不等式的解集为{x|a4≤x<a3}．32.【答案】函数y=log0.5(x2+4x+4)在(−∞, −2)上是增函数．【考点】对数函数的单调性与特殊点【解析】本题是一个复合函数，故应依据复合函数的单调性来判断其单调性，先求出定义域，判断出外层函数与内层函数的单调性，再依规则来判断即可．【解答】解：令x2+4x+4>0，得x≠−2，由t=x2+4x+4知，其对称轴为x=−2故内层函数在(−∞, −2)上是减函数，在(−2, +∞)上是增函数．因为外层函数的底数0.5<1，故外层是减函数，欲求复合函数的增区间，只须求内层的减区间故函数y=log0.5(x2+4x+4)在(−∞, −2)上是增函数．33.【答案】解：设g(x)=x+11−x>0解得−1<x<1，故函数的定义域为(−1, 1)，则函数f(x)在定义域内是减函数．证明：设−1<x1<x2<1，则g(x1)−g(x2)=1+x11−x1−1+x21−x2=(1+x1)(1−x2)−(1−x1)(1+x2)(1−x1)(1−x2)=2(x1−x2)(1−x1)(1−x2)，再由−1<x1<x2<1可得1−x1>0，1−x2>0，x1−x2<0，∴2(x1−x2)(1−x1)(1−x2)<0，故g(x1)<g(x2)，g(x)在(−1, 1)上是增函数．再由0<a<1，可得loga g(x1)>logag(x2)，故函数f(x)=loga1+x1−x在(−1, 1)上是减函数．【考点】对数函数的单调性与特殊点【解析】x+1g(x2)<0，可得g(x)在(−1, 1)上是增函数．再由0<a<1，可得函数f(x)在定义域内是减函数．【解答】解：设g(x)=x+11−x>0解得−1<x<1，故函数的定义域为(−1, 1)，则函数f(x)在定义域内是减函数．证明：设−1<x1<x2<1，则g(x1)−g(x2)=1+x11−x1−1+x21−x2=(1+x1)(1−x2)−(1−x1)(1+x2)(1−x1)(1−x2)=2(x1−x2)(1−x1)(1−x2)，再由−1<x1<x2<1可得1−x1>0，1−x2>0，x1−x2<0，∴2(x1−x2)(1−x1)(1−x2)<0，故g(x1)<g(x2)，g(x)在(−1, 1)上是增函数．再由0<a<1，可得loga g(x1)>logag(x2)，故函数f(x)=loga1+x1−x在(−1, 1)上是减函数．34.【答案】解：1∘当a>1时，f(x)=loga (x+1)在区间[1, 7]上单调递增∴f(x)max=f(7)=loga 8，f(x)min(1)=loga2，∴loga 8−loga2=loga4=12，所以a=16．2∘当0<a<1时，f(x)=loga (x+1)在区间[1, 7]上单调递增∴f(x)max=f(1)=loga 2，f(x)min(8)=loga8∴loga 2−loga8=loga14=12，所以a=116．∴a=16或116【考点】对数函数的单调性与特殊点【解析】通过对a>1与a∈(0, 1)分别判断函数的单调性，求出函数的最大值与最小值的差，然后求出a的值．【解答】解：1∘当a>1时，f(x)=loga (x+1)在区间[1, 7]上单调递增∴f(x)max=f(7)=loga 8，f(x)min(1)=loga2，∴loga 8−loga2=loga4=12，所以a=16．2∘当0<a<1时，f(x)=loga (x+1)在区间[1, 7]上单调递增∴f(x)max=f(1)=loga 2，f(x)min(8)=loga8∴loga 2−loga8=loga14=12，所以a=116．∴a=16或11635.【答案】解：令t=a x，有t>0，则y=loga(t2−2t−2)，若使f(x)<0，即loga(t2−2t−2)<0，由对数函数的性质，0<a<1，y=logax是减函数，故有t2−2t−2>1，解可得，t>3或t<−1，又因为t=a x，有t>0，故其解为t>3，即a x>3，又有0<a<1，由指数函数的图象，可得不等式f(x)<0的解集为(−∞, loga3)．【考点】对数函数的单调性与特殊点【解析】令t=a x，有t>0，则y=loga(t2+2t−2)，若使f(x)<0，由对数函数的性质，可转化为t2+2t−2>1，解可得t的取值范围，由指数函数的性质，分析可得答案．【解答】解：令t=a x，有t>0，则y=loga(t2−2t−2)，若使f(x)<0，即loga(t2−2t−2)<0，由对数函数的性质，0<a<1，y=logax是减函数，故有t2−2t−2>1，解可得，t>3或t<−1，又因为t=a x，有t>0，故其解为t>3，即a x>3，又有0<a<1，由指数函数的图象，可得不等式f(x)<0的解集为(−∞, loga3)．36.【答案】令x2+12=1，可得x=1，y=1，可得函数f(x)＝log m(x2+12)+1(m>0, m≠1)的图象恒经过A(1, 1)．∵g(x)=ax2+bx−c，x∈[1−2c, c]，是偶函数，∴g(−x)=g(x)，∴b=0．且有1−2c=−c，求得c=1，故g(x)=ax2−1．再根据它的图象经过定点A(1, 1)，可得1=a−1，∴a=2．综上可得，a=2，b=0，c=1．【考点】对数函数的单调性与特殊点【解析】（1）令对数的真数等于1，求得x、y的值，可得函数的图象恒经过定点的坐标．（2）由题意利用偶函数的性质求得b、c的值，再根据函数图象经过定点A(1, 1)，可得a的值．【解答】令x2+12=1，可得x=1，y=1，可得函数f(x)＝log m(x2+12)+1(m>0, m≠1)的图象恒经过A(1, 1)．∵g(x)=ax2+bx−c，x∈[1−2c, c]，是偶函数，∴g(−x)=g(x)，∴b=0．且有1−2c=−c，求得c=1，故g(x)=ax2−1．再根据它的图象经过定点A(1, 1)，可得1=a−1，∴a=2．综上可得，a=2，b=0，c=1．37.【答案】解：（1）a=3，log2(|x|+|x−4|)>3⇒log2(|x|+|x−4|)>log28∴|x|+|x−4|>8当x≥4x+x−4>8得：x>6当0<x<4x+4−x>8不成立当x≤0−x+4−x>8得：x<−2∴不等式解集为x|x<−2或x>6（2）|x|+|x−4|≥|x+4−x|=4∴log2(|x|+|x−4|)≥log24=2∴若原不等式解集为R，则a<2【考点】对数函数的单调性与特殊点【解析】（1）把a=3代入不等式可得，log2(|x|+|x−4|)>3，结合对数函数的单调性可得|x|+|x−4|>8，解绝对值不等式即可．（2）结合绝对值不等式|x|+|y|≥|x+y|可得|x|+|x−4|=|x|+|4−x|≥|x+4−x|=4，从而可得a的取值范围【解答】解：（1）a=3，log2(|x|+|x−4|)>3⇒log2(|x|+|x−4|)>log28∴|x|+|x−4|>8当x≥4x+x−4>8得：x>6当0<x<4x+4−x>8不成立当x≤0−x+4−x>8得：x<−2∴不等式解集为x|x<−2或x>6（2）|x|+|x−4|≥|x+4−x|=4∴log2(|x|+|x−4|)≥log24=2∴若原不等式解集为R，则a<2 38.【答案】解：令t=−x2+ax+3，则y=log12t．∵y=log12t是减函数，∴要使题设函数在区间(−3, −2]上单调递减，只要t=−x2+ax+3在区间(−3, −2]上单调递增，故有a2≥−2①．又单调区间必须使函数有意义，∴−x2+ax+3>0在(−3, −2]上恒成立．又t=−x2+ax+3在(−3, −2]上单调递增，∴−(−3)2+a(−3)+3≥0②，由①②可得，−4≤a≤−2，即a的范围是[−4, −2]．【考点】对数函数的单调性与特殊点【解析】令t=−x2+ax+3，则y=log12t，由函数y在区间(−3, −2]上单调递减，可得a2≥−2，且−(−3)2+a(−3)+3≥0，由此求得实数a的取值范围．【解答】解：令t=−x2+ax+3，则y=log12t．∵y=log12t是减函数，∴要使题设函数在区间(−3, −2]上单调递减，只要t=−x2+ax+3在区间(−3, −2]上单调递增，故有a2≥−2①．又单调区间必须使函数有意义，∴−x2+ax+3>0在(−3, −2]上恒成立．又t=−x2+ax+3在(−3, −2]上单调递增，∴−(−3)2+a(−3)+3≥0②，由①②可得，−4≤a≤−2，即a的范围是[−4, −2]．39.【答案】对任意的实数x，存在非零常数t，都有f(x+t)=−tf(x)成立，可得k(x+t)+3=−t(kx+3)，即有kt+k=0，kt+3t+3=0，解得k=0，t=−1；f(x+2)=−2f(x)，若x∈[0, 2]，f(x)=x(2−x)=−(x−1)2+1，作出函数f(x)在闭区间[−2, 6]上的图象，由图象可知f(3)=−2最小，f(5)=4最大，可得值域[−2, 4]；证明：定义在R上的函数f(x)满足对任意的实数x，存在非零常数t，都有f(x+t)=−tf(x)成立，当t=−1时，f(x−1)=f(x)，即f(x+1)=f(x)，f(x)为最小正周期是1的函数，且满足函数f(x)的值域为[−a, a]；当t=1时，f(x+1)=−f(x)，可得f(x+2)=−f(x+1)=f(x)，f(x)为最小正周期是2的函数，且满足函数f(x)的值域为[−a, a]；当t≠1且t≠−1时，由f(x+t)=−tf(x)，可得f(x)的值域不满足数f(x)的值域为[−a, a]，当函数f(x)的值域为[−a, a]，函数f(x)为周期函数．【考点】对数函数的单调性与特殊点【解析】（1）由新定义可得k(x+t)+3=−t(kx+3)，即有k，t的方程组，解方程可得k，t 的值；（2）由f(x)在[0, 2]的解析式，结合新定义，作出f(x)在[−2, 6]的图象，即可得到所求最值；（3）讨论t=−1，t=1，结合周期函数的定义，可得f(x)的周期，当t≠1且t≠−1时，f(x)的值域不关于原点对称，即可得证．【解答】对任意的实数x，存在非零常数t，都有f(x+t)=−tf(x)成立，可得k(x+t)+3=−t(kx+3)，即有kt+k=0，kt+3t+3=0，解得k=0，t=−1；f(x+2)=−2f(x)，若x∈[0, 2]，f(x)=x(2−x)=−(x−1)2+1，作出函数f(x)在闭区间[−2, 6]上的图象，由图象可知f(3)=−2最小，f(5)=4最大，可得值域[−2, 4]；证明：定义在R上的函数f(x)满足对任意的实数x，存在非零常数t，都有f(x+t)=−tf(x)成立，当t=−1时，f(x−1)=f(x)，即f(x+1)=f(x)，f(x)为最小正周期是1的函数，且满足函数f(x)的值域为[−a, a]；当t=1时，f(x+1)=−f(x)，可得f(x+2)=−f(x+1)=f(x)，f(x)为最小正周期是2的函数，且满足函数f(x)的值域为[−a, a]；当t≠1且t≠−1时，由f(x+t)=−tf(x)，可得f(x)的值域不满足数f(x)的值域为[−a, a]，当函数f(x)的值域为[−a, a]，函数f(x)为周期函数．40.【答案】解：（1）f(x)不是其定义域上的凸函数．f(x)的定义域为R，设x1≠x2，则f(x1+x22)−12[f(x1)+f(x2)]=a(x1+x22)2−12(ax12−ax22)=−a(x1−x2)24<0，…2分∴f(x1+x22)<12[f(x1)+f(x2)]，…4分∴f(x)不是其定义域上的凸函数…6分（2）∵f(x)的定义域为(0, +∞)，且f(x)在(0, +∞)内是凸函数，∴f(x1+x22)>12[f(x1)+f(x2)]，…8分即loga x1+x22>12(logax1+logax2)=loga√x1x2①…10分∵x1、x2∈(0, +∞)，且x1≠x2，∴(x1+x22)2−x1x2=(x1−x2)24>0，即x1+x22>√x1x2...12分故要①成立，则a>1．∴实数a的取值范围是(1, +∞)…14分【考点】对数函数的单调性与特殊点【解析】（1）根据凸函数的定义，作差f(x1+x22)−12[f(x1)+f(x2)]判断即可；（2）依题意，f(x1+x22)>12[f(x1)+f(x2)]⇔logax1+x22>loga√x1x2，通过比较其真数的大小即可求得实数a的取值范围．【解答】解：（1）f(x)不是其定义域上的凸函数．f(x)的定义域为R，设x1≠x2，则f(x1+x22)−12[f(x1)+f(x2)]=a(x1+x22)2−12(ax12−ax22)=−a(x1−x2)24<0，…2分∴f(x1+x22)<12[f(x1)+f(x2)]，…4分∴f(x)不是其定义域上的凸函数…6分（2）∵f(x)的定义域为(0, +∞)，且f(x)在(0, +∞)内是凸函数，∴f(x1+x22)>12[f(x1)+f(x2)]，…8分即loga x1+x22>12(logax1+logax2)=loga√x1x2①…10分∵x1、x2∈(0, +∞)，且x1≠x2，∴(x1+x22)2−x1x2=(x1−x2)24>0，即x1+x22>√x1x2...12分故要①成立，则a>1．∴实数a的取值范围是(1, +∞)…14分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《对数型复合函数单调性》专题
2014年（ ）月（ ）日 班级： 姓名 不经三思不求教，不动笔墨不读书。
定义
)10(log ≠>=a a x y a 且 底数
1>a 10<<a
图象
定义域 值域
单调性
在),0(+∞上 在),0(+∞上 共点性
图象过点 ，即01log =a 函数值
特征
当x >1时y 当0<x <1时y 当x >1时y 当0< x <1时y 对称性 函数x y a log =与x y a
1log =的图象关于x 轴对称
【对数函数奇偶性】判断函数22()log (1f x x x =+的奇偶性
【探究复合函数单调性】求函数22log y x =的单调区间。
我们发现：22log y x =可以看做：2log y u =且2u x =复合而成，我们把这种函数称为
复合函数
【规律】当内外函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；
当内外函数的单调性不相同时，其复合函数是减函数。
“同增异减”
例1 ⑴证明函数22()log f x x =在),0(+∞上是增函数
⑵函数22()log f x x =在)0,(-∞上是减函数还是增函数？
例2 ⑴证明函数)1(log )(22+=x x f 在),0(+∞上是增函数
⑵函数)1(log )(22+=x x f 在)0,(-∞上是减函数还是增函数？
例3 求函数)32(log 2
2
1--=x x y 的单调区间，并用单调定义给予证明
【当堂训练】
1.求y=3.0log (2x -2x)的单调递减区间
2.求函数y=2log (2x -4x)的单调递增区间
3.已知y=a log (2-x a )在［0，1］上是x 的减函数，求a 的取值范围.
4.已知实数x 满足1213log 2x -≤≤-，求函数22log log 24x x y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭的值域
5.求函数221144
log log 5y x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在24x ≤≤时的最大值与最小值。