小波分析及其在地球物理学中的应用

f x L2 0,2 ， f x
其中

k
c e
k
ikx
ck
1 2

2
0
f x e ikx dx
然而， 被分析函数的性质并不能完整地由傅里叶系数来刻划， 这里有一个例子来说明[3]： 从任一个平方可和的函数 f ( x ) 出发，为了得到一个连续函数 g ( x) ，只需或者增大 f(x)的傅 里叶系数的模，或者保持它不变并适当地改变系数的位相。因此，不可能仅根据傅里叶系数 大小的阶就预知函数的性质（如大小、正则性） 。 傅里叶变换的定义：
小波基——Daubechies 基,，为小波的应用研究增添了催化剂。同年，Daubechies I.在美国主 办的小波专题讨论会上进行了次演讲, 引起了广大数学家、 物理学家甚至某些企业家的重视, 由此将小波的理论和实际应用推向了一个高潮。 2 、小波分析原理 “小波” 就是小的波形，所谓 “小”是指它具有衰减性, 如局部非零的; 而称之为 “波” 则是指它的波动性, 即振幅呈正负相间的城荡形式。小波分析（Wavelet Analysis）是一种具 有自适应性窗口函数可对信号进行时频两域局部化分析的方法。 小波分析是 Fourier 分析划时代发展的结果， 1822 年法国数学家傅里叶 (J. Fourier 1768-1830)发表的研究热传导理论的“热的力学分析” ，提出并证明了将周期函数展开为正 [1] 弦级数的原理，奠定了傅里叶级数理论的基础 。傅里叶级数理论研究的是把函数在三角函 数系下的展开， 使得对信号和系统的研究归结为对简单的三角函数的研究。 傅里叶级数与傅 里叶变换共同组成了平常所说的傅里叶分析。 傅里叶级数用于分析周期性的函数或分布， 理 论分析时经常假定周期是 2 ， 定义下式
小波分析及其在地球物理学中的应用
一、引言 曾经听过刘光鼎先生说过，地球物理学是地球科学中高科技，上天入地无所不能。当时 我就在想， 这高科技到底体现在哪呢？难道只能说是其本身专业的优势吗， 应该不止如此吧。 之所以能称之为高科技，就是相当多的高深的数学与物理的知识，还有计算机的引入。记得 近代物理课的老师曾经说过， 我们学物理课的最初动机， 就是能把最先进的物理知识应用到 专业课的学习中，数学的学习也应该是这样的吧。 地球物理方法是研究地壳深部构造有力且可靠的工具 , 其中重磁方法所取得的位场资 料是研究地质构造、岩石圈结构和矿产勘查的重要基础性资料川。多年来, 位场资料处理的 主要工具仍是 Fourier 分析, 而面对非平稳的位场资料时,Fourier 分析已突显其局限性。近年 来引人位场的小波分析是源于 Fourier 分析而又胜于 Fourier 分析, 有 “ 数学显微镜”之称。 小波分析因其具有自适应性和多尺度分析特性成为位场数据处理的有力工具。 位场领域的小 波方法研究经历十余年, 且取得了诸多研究成果,主要应用于位场多尺度分解、 重磁异常奇异 性检测、位场反演等方面[1]。 本文先介绍最近 20 年才发展起来的数学分支——小波分析，接着介绍小波分析在地球 物理学中的应用， 把最先进的数学方法引入地球物理学中， 这才是地球物理学的高科技之处。 二、小波简介 1、小波发展历史 众所周知, 傅里叶分析从 19 世纪初、中期到今, 在数理科学一直享有盛誉, 它为信号 分析、量子力学、声学、电学、数理方程、图像处理、地球物理等许多学科领域提供了科学 的分析方法和强有力的工具。然而, 在应用中人们不断地发现了它的不足之处, 它不能刻划 函数所在的空间L , 即e 并不是L 的无条件基，它只能获得 f 的整体频谱, 而不能获得信 号的局部特性, 即它不能用于局部分[1]。近几年来, 一种被称为小波变换的数学理论和方法 正在科学技术界引起一场轩然大波，小波变换综合了三角函数系与 Haar 系两者的优点, 用 小波基来分解任意函数, 它具有优良的“变焦”性能; 小波分析是一个新的现代分析学如泛 函分析、数值分析、Fourier 分析、样条分析等的完善结晶, 被誉称为“数学显微镜”, 它是 一种窗口大小不变但形状可变的时频局部化分析方法。小波变换克服了上述 Fourier 变换存 在的问题， 能将各种交织在一起的不同频率的混合信号分解成不同频率的块信号, 因而能有 效地用于如信噪分离、编码解码、奇异性检测、压缩数据、识别模式以及将非线性问题线性 化、非平稳过程平稳化等问[2]，这已成为应用数学的新趋势。 小波变换的思想来源于伸缩与平移方法。 小波分析方法的提出, 最早应属 1910 年 Haar 提出的规范正交基, 但当时并没有出现“ 小波”这个词。1936 年 Littlewood 和 Paley 对傅立 叶级数建立了二进制频率分量分组理论, 对频率按二进制进行划分, 其傅立叶变换的相位变 化并不影响函数的大小, 这是多尺度分析思想的最早来源。 1946 年 Gabor 提出的加窗傅立叶 变换或称短时傅立叶变换对弥补傅立叶变换的不足起到了一定的作用。后来,Calderon 、 Zgymund、 Stem 等将 L 一 P 理论推广到高维, 并建立了奇异积分算子理论。 1965 年 Calderon 发现了再生核公式, 它的离散形式已接近小波展开 , 只是还无法得到一个正交系的结论。 1981 年, Stormberg 对 haar 系进行了改进, 证明了小波函数的存在性。1982 年 Battle 在构造 量子场论中采用了再生核公式的展开形式。 1984 年, 法国地球物理学家 J.Morlet 在分析地震数据时提出将地震波按一个确定函数 的伸缩、平移系展开, 他与 A.Grossman 共同研究, 发展了连续小波变换的几何体系。1985 年, 法国的大数学家 Meyer 首先提出了光滑的小波正交基。1985 年,Meyer 及其学生提出了 多尺度分析的思想。1987 年 Mallat 将计算机视觉领域内的多尺度分析思想引人到小波分析 中, 提出了多分辨分析的概念，统一了在此之前的所有正交小波基的构造，并提出了相应的 分解与重构快速算法。1988 年, 年轻的女数学家 Daubechies I.提出了具有紧支集的光滑正交
使
A c j ,k
2 l
2

j ,k
2

j k
c
j,k
2
B c j ,k
2 l2
对所有二重双无限平方可和序列 c j ,k 成立，即对于 c j , k 成立。


2 l2


2

j k

c j,k
的 c j ,k
f t
j k

f , j ,k
j ,k
j ,k
t
特别地，若 重构公式为：

j ,k
j , kZ
构成 L R 的规范正交基时，有 j ,k
2
f t


j k

f , j , k j , k t



t b f t dt , a
a0
WT f a, b f , a ,b
式中 a ,b t a
1 / 2
t b a
要使逆变换存在， t 要满足允许性条件：
ˆ C d
k 1 , a j ; j, k Z ， j 2 2
a,b t
常简写为：
j ,k
1 k , 2j 2j来自t 2 j / 2 2 j t k
t 。
1 k , j f , j , k j 2 2
变换形式为： WT f
为了能重构信号 f t ，要求



t dt
ˆ 是 R 中的一个连续函数。由式(8.2-3)可得 ˆ 在原点必定为零，即 故
ˆ 0 t dt 0

从式(8.2-5)可以发现小波函数必然具有振荡性。 连续小波变换的离散化： 由于连续小波变换存在冗余，因而有必要搞清楚，为了重构信号，需针对变换域的变量 a ，b 进行何种离散化，以消除变换中的冗余，在实际中，常取 b 这时
假定 是一个 R 函数，那么存在 L2 R 的一个唯一的 Riesz 基

j ,k
j , kZ
，它在意义
j , k , l ,m j ,l k ,m ,
上与
2
j ,k
j, k , l , m Z
对偶。这时，每个 f t L R 有如式(8.2-6)的唯一级数表示：
需要强调的是， 离散小波所分析的信号仍然是连续时间信号， 只是尺度参数和时间平移 参数离散化而已， 这和离散傅立叶变换是不同的， 希望不要因为名称上的类似而产生概念上 的混淆。 另外也不要因为正交展开式在数学形式上的类似， 把离散小波变换和傅立叶级数在 物理上混淆起来。 傅立叶级数是对周期性信号的频谱分析， 而离散小波变换并不要求信号是 周期性的。 三、小波分析在地球物理学中应用 研究地球的内部构造,求取上地幔物性参数是目前最重要的地球物理问题之一，而有效 可靠的方法主要有地震、 重力和大地电磁法等。 重力方法提供了地壳和地幔中质量分布的概 念,能够推断出地球内部的组成成分，但重力异常是由不同密度、形态以及埋藏深度不同的 复杂物质共同作用形成的。如果不采用有效的分解方法,我们就无法从杂乱无章的数据中找 到有用的信息。 所以探求各种重力异常的分解方法， 把实测的重力数据分解成不同的因素所 引起的异常， 为刻画地球内部的结构有重要意义。 小波变换可以将信号分解成各种不同的频 率成分或尺度成分， 利用其数学显微镜的特点进行伸缩、 平移聚焦到信号的任一细节加以分 析， 小波分析的这些特点决定了它是地球物理数值分析的有效工具。 利用小波对重力异常进 行划分,可以得到各种尺意义下的异常分解。 应用小波技术对重力异常进行分析,可采用具有正则性和紧支撑的正交小波以及二维多 尺度分析方法对布格重力异常进行分解，从中划分出有意义的剩余重力异常。候遵泽、杨文 采等运用小波技术对中国布格重力异常进行分解， 反演各种尺度意义下中国大陆地壳密度差 异,给出其空间分布，并利用小波变换分解重力异常的细节，依据小波细节功率谱确定场源 的埋采用二进小波变换，可以构造了位场小波，建立小波变换的理论模型，进而分析位场信 号小波分解与重构的物理实质。我们还可利用小波来分解磁场,研究重磁异常沿不同尺度的 小波展开，分析所得结果的物理特性，利用小波变换可以对重磁异常进行高精度的分离。 地震观测信号是了解地球内部最重要的手段之一。由于地震信号不可避免的含有噪声， 并且由于地震强度的原因,我们获得的信号可能非常微弱、不清晰。提高地震信号的信噪比