足球中的数学问题

足球中的数学问题

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众所周知，足球是世界第一大体育运动，全世界有将近30亿人参与足球运动或关心足球的发展。它的最高水平的赛事——世界杯足球赛，是只有奥运会才能比拟的最大赛事。

足球是一项综合性的体育运动，它不仅考验队员们的身体素质，包括速度、体力、柔韧、技术等，还要求队员有良好的心理素质，更包括球员和教练对足球的理解，以至训练水平，甚至一个地区的经济状况和文化背景。但有很多人都认为足球只是一种体力运动，很少能和脑力劳动，甚至自然科学联系起来。这也正是我在本文中要向大家说明的。

1．退离距离的问题

足球比赛中，有一项规则是：在进攻方主罚定位球的时候，如果离球门的距离足够大，防守一方都要退到离球9．15米以外。这不仅因为为保证球能顺利发出，其实也是为了保护防守的球员。在较高水平的比赛中，最矮球员大概是1．65米。设足球的半径为1Ocm 。人在用脚踢球时，脚面与触球部位所在的大圆是不能垂直的，经过实践体验，其夹角大约为78°到80°。假设人就按照这样的角度将球踢出，且力量足够大，使球能按照直线运动。为了让球不能踢到人的身上，球员必须退到一定的距离之外。

设人与球的距离为xm ，则有

80cos 165.1≤+x ，

x ≥1．65／cos80°－O ．1=9．13m 。

如果按照78°进行计算，就能够得到9．15m 的结论。当然，如果个子越高就越需要有一段较长的距离。可见，如果没有这项规则，也许有的球员就会换一个脑袋了。

这个问题主要应用了平面几何的知识。

2．阵型和阵容问题

将10名队员分配到场上的十个位置，往往是教练员最头疼的问题。这不仅是安排哪些球员上场的问题，也因为需要选择一个合适的阵型。足球场上到底有多少可能的阵型呢？我们不妨数一数，有如下的66种：（分别为后卫、前卫、前锋的人数）10-0-0，9-0-1，9-1-0，8-0-2，8-1-1，8-2-0，7-0-3，7-1-2，7-2-1，7-3-0，6-0-4，6-1-3，6-2-2，6-3-1，6-4-0，5-0-5，5-1-4，5-2-3，5-3-2，5-4-1，5-5-0，4-0-6，4-1-5，4-2-4，4-3-3，4-4-2，4-5-1，4-6-0，3-0-7，3-1-6，3-2-5，3-3-4，3-4-3，3-5-2，3-6-1，3-7-0，2-0-8，2-1-7，2-2-6，2-3-5，2-4-4，2-5-3，2-6-2，2-7-1，2-8-0，1-0-9，1-1-8，1-2-7，1-3-6，1-4-5，1-5-4，1-6-3，1-7-2，1-8-1，1-9-0，0-0-10，0-1-9，0-2-8，0-3-7，0-4-6，0-5-5，0-6-4，0-7-3，0-8-2，0-9-1，0-10-0，

能否不用一一列举出来呢？我们在12个位置中，选出两个，那么就可以把剩下

的十个位置分成三段，代表三条线上的人数。所以共有

66212 C 种。 当然其中大多数是不可行的。其中只有九种在比赛中比较常见，即5-2-3，5-3-2，5-4-1，4-3-3，4-4-2，4-5-1，3-4-3，3-5-2，3-6-1。怎样能得到这九种阵型呢？我们发现在后卫线上最多布置五个人，最少须布置三个人，在前锋线上最多布置三个人，最少为一人，在前卫线上最多为六人。我们先假设已经选出了五名后卫，六名前卫，三名前锋。这样，已选出14个人。这就需要在他们中间挑出四人。在这四人中，可以选后卫0、1、2名，前锋0、1、2名，剩下的就从前卫线上找了。这样，显然就有3×3=9种选法了。

在今年的甲A 比赛中，每支队伍允许注册30名球员，为了保证能够顺利的完成比赛，每个位置都至少应配备两人，即有22人已经固定，在余下的8人中，可以根据需要选定。

同上理，有311C =165种配备方式。

如果要求安排出场阵容，就需要根据所有的要求，进行排列。比如，有些队员不宜同时出场，有些队员相互之间配合很好，有些队员可以在多种位置出现等。情况会很复杂，但也是一定能够求出来的。

这个问题主要是应用了排列组合的知识。

3．积分问题

在现代足球比赛中，球队的成绩是非常重要的，而它就体现在球队的得分上。对积分的研究可以给球队带来目标和希望。

在本届世界杯赛上，由于有32支队伍的参加，使得比赛会空前的激烈、精彩。一个重要原因就是赛程使得球队在前两轮小组赛后出线的几率大大减小。在以前的比赛中，24支球队分为六个小组，每组进行循环赛，每个小组的前两名和成绩较好的四个第三名进入十六强。

而在今年法国的比赛中，32支球队将会分成八个组进行撕杀，只有每个小组的前两名才能进入复赛。大家都知道，胜一场得3分，平一场得1分，输一场不得分。因此在以前的比赛中，理论上即使积六分也是可能被淘汰的。但是这种情况出现的机会是很小的。这至少需要有五个小组同时出现三个队同积6分，另一支队得0分的情况。每个小

组出现该情况的概率为632

4

，而五个小组同时出现的概率是它的五次方，结果为1．6×10-16。即近似于不可能。但事实上通常只要得到4分就可以出了。而在前两轮四场比赛中就有队伍达到4分以上的可能性为78／81，其中有两支队伍不少于4分的概率为10／27，仍然不小。当然不可能出现三支队伍同时积得4分的情况。因为4场比赛最多有12分，如果有平局出现就连12分也没有，又哪里出来三个4分呢？如果按照现在的赛程，在前两轮出现的概率就小得多。因为很可能出现在两轮之后出现6-3-3-0的情况。如果最后一轮是由积6分的队同积3分的队比赛，那么，就有可能在三轮比赛后出现6-6-6-0的情况。当然也有可能是由积6分的球队同积0分的球队进行比塞，那么原来积6分的球队仍然肯定出现。也还有其他几种可能出现6分的时候，比如说有6-4-1-0，6-3-1-1，6-2-1-1，6-6-0-0等，它们也都确保积6分的球队能够顺利出现。这六种情况的概率分别为8/84，4/81，4／81，8／81，4／81，2／81。其中有8／729的比率使得积6分的队伍被淘汰。类似的，还可以分析很多其他问题，比如在北京市首届应用数学知识竞赛中的最后一道题，是在去年甲B比赛还剩下三轮时，给出各队的积分情况，问当时处于第一名的武汉雅琪是否肯定升入甲A（去年有四个名额升组）。

在这种问题中，逻辑推理和概率问题是主要的解决方法。

4．点球的进球范围

在前几天进行的亚洲俱乐部冠军杯赛中，我国的冠军大连万达队点球不敌韩国