2013年南京市高三数学二模及答案

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南京二模数学

南京、淮安市2013届高三模拟考试（南京二模、淮安三模）数学2013．3参考公式：锥体的体积公式为13V Sh =，其中S 是锥体的底面面积，h 是锥体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．1．已知集合A={2a ,3}，B={2,3}．若A B={1,2,3}，则实数a 的值为____． 2．函数()sin cos f x x x =的最小正周期是__________． 3．若复数12miz i-=+(i 是虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为____． 4．盒子中有大小相同的3只白球、2只黑球，若从中随机地摸出两只球，则两只球颜色相同的概率是______．5．根据2012年初我国发布的《环境空气质量指数AQI 技术规定（试行）》，AQI 共分为六级：(0,50]为优，(50,100]为良，(100,150]为轻度污染，(150,200]为中度污染，(200,300]为重度污染，300以上为严重污染．2012年12月1日出版的《A 市早报》对A 市2012年11月份中30天的AQI 进行了统计，频率分布直方图如图所示，根据频率分布直方图，可以看出A 市该月环境空气质量优、良的总天数为____．6．右图是一个算法流程图，其输出的n 的值是_____．7．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3cm ，圆心角为23π的扇形，则此圆锥的高为___cm ．8．在平面直角坐标系xOy 中，设过原点的直线l 与圆C ：22(3)(1)4x y -+-=交于M 、N 两点，若MN 23≥，则直线l 的斜率k 的取值范围是______． 9．设数列{n a }是公差不为0的等差数列，Sn为其前n 项和，若22221234a a a a +=+，55S =，则7a 的值为_____．10．若函数()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x >时，1()23x f x -=-，则不等式()1f x >的解集为______________．11．在ABC ∆中，已知AB=2，BC=3，60ABC ∠=︒，BD ⊥AC ，D 为垂足，则BD BC ⋅的值为____．12．关于x 的不等式(21)ln 0ax x -≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的值为_____．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：22143x y -=．设过点M(0,1)的直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点，若2AM MB =，则直线l 的斜率为_____．14．已知数列{n a }的通项公式为72n a n =+，数列{n b }的通项公式为2n b n =．若将数列{n a }，{n b }中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列{n c }，则9c 的值为_____．二、解答题：本大题共6小题，共90分．15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，且cos 2cos C a cB b-=，（1）求B ；（2）若tan()74A π+=，求cos C 的值．16，（本小题满分14分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AD//BC ，PB ⊥平面ABCD ，CD ⊥BD ，PB=AB=AD=1，点E 在线段PA 上，且满足PE=2EA ．（1）求三棱锥E-BAD 的体积；（2）求证：PC//平面BDE ．17．（本小题满分16分）如图，某广场中间有一块扇形绿地OAB ，其中O 为扇形所在圆的圆心，60AOB ∠=︒，广场管理部门欲在绿地上修建观光小路：在AB 上选一点C ，过C 修建与OB 平行的小路CD ，与OA 平行的小路CE ，问C 应选在何处，才能使得修建的道路CD 与CE 的总长最大，并说明理由．18．（本小题满分16分）已知数列{}n a 的各项都为正数，且对任意*n N ∈，都有212n n n a a a k ++=+(k 为常数)．（1）若221()k a a =-，求证：123,,a a a 成等差数列；（2）若k=0，且245,,a a a 成等差数列，求21a a 的值；（3）已知12,a a ab ==(,a b 为常数)，是否存在常数λ，使得21n n n a a a λ+++=对任意*n N ∈都成立？若存在．求出λ；若不存在，说明理由．19．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点(,),(3,1)22a aA B ．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知点00(,)P x y 在椭圆C 上，F 为椭圆的左焦点，直线l 的方程为00360x x y y +-=．①求证：直线l 与椭圆C 有唯一的公共点；②若点F 关于直线l 的对称点为Q ，求证：当点P 在椭圆C 上运动时，直线PQ 恒过定点，并求出此定点的坐标．20．（本小题满分16分）设函数2()(2)ln f x x a x a x =---．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数a 的值；（3）若方程()f x c =有两个不相等的实数根12,x x ，求证：12()02x x f +'>．。

2013届南京市高三数学最后综合题

2013届南京市高三数学最后的综合题一、填空题1．设抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，准线为l ．点A (0，2)，线段AF 交抛物线于点B ，过点B 作l 垂线，垂足为M ，若AM ⊥MF ，则p ＝．2．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线C 2：x 2－y 24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点，若C 1恰好将线段AB 三等分，则b 2＝．则S n 取到最小正数时的n ＝．6．已知函数f (x )＝x 3－3ax (a ∈R )，若直线x ＋y ＋m ＝0对任意的m ∈R 都不是曲线y ＝f (x )的切线，则a 的取值范围是． 7．已知函数f (x )＝ax 2＋2x ＋b 的值域为[0，＋∞)，则a ＋2ba 3＋12b的最大值为．▲8．已知xy －z ＝0，且0＜y z ＜12，则xz 2－4yz x 2z 2＋16y 2的最大值为__________．▲9．若关于x 的不等式ax 2＋x －2a ＜0的解集中仅有4个整数解，则实数a 的取值范围为．▲10．在平面直角坐标系xOy 中，对任意的实数m ，集合A 中的点(x ，y )都不在直线2mx＋(1－m 2)y －4m －2＝0上，则集合A 所对应的平面图形面积的最大值为．▲11．已知数列{a n }满足a n＋1≤a n ＋2＋a n2，a 1＝1，a 403＝2011，则a 5的最大值为．A 1二、解答题1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ．（1）设向量x ＝(sin B ，sin C )，向量y ＝(cos B ，cos C )，向量z ＝(cos B ，– cos C )，若z //(x ＋y )，求tan B ＋tan C 的值；（2）已知a 2－c 2＝8b ，且sin A cos C ＋ 3cos A sin C ＝0，求b ．2．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A cos B ＝ba ＝3．（1）求C ；（2）如图，设半径为R 的圆O 过A ，B ，C 三点，点P 位于劣弧⌒AC 上，∠P AB ＝θ，求四边形APCB 面积S (θ)的解析式及最大值．3．设△ABC 中，→AB ＝c ，→BC ＝a ，→CA ＝b ，且a ⋅b ＝b ⋅c ＝－2，b 与c －b 的夹角为150︒．（1）求∣b ∣；（2）求△ABC 的面积．4．如图①，直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，将△ADE 沿着DE 折起到△A 1DE 的位置，如图②，连结A 1B ，A 1C ．（1）若F 为A 1B 的中点，求证：DF ∥平面A 1EC ；（2）求证：平面A 1BC ⊥平面A 1BD ．ACBD E图①ED CA 1FB图②ACBEDGPABC O5．某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为50的学生成绩样本，得频率分布表如下：（1）写出表中①②位置的数据；（2）为了选拔出更优秀的学生，高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮考核，分别求第三、四、五各组参加考核人数；（3）在（2）的前提下，高校决定在这6名学生中录取2名学生，求2人中至少有1名是第四组的概率．6．在南海的渔政管理中，我海监船C在我作业渔船A的北20︒东方向上，渔政船310在A 的北40︒西方向上的B处，测得渔政船310距C为62海里．上级指示，海监船原地监测，渔政船310紧急前往A处，走了40海里后，到达D处，此时测得渔政船310距C为42海里，问我渔政船310还要航行多少海里才能到达A处？7．某种角钢部件是由如图1所示的矩形状钢板ABCD 按下列要求制作而成． ①制作角钢部件的矩形钢板的长AB ＝15cm ，宽AD ＝10cm ；②在矩形钢板的长边CD 上选一点E (异于C ，D )，将钢板沿着AE 折起，使得△ADE 、梯形ABCE 所在的平面互相垂直．当ABCDE 为顶点的四棱锥的体积最大时，这个角钢部件“最标准”．设∠DAE ＝θ，DE ＝x cm ，四棱锥D －ABCE 的体积为V cm 3，（1）分别求:①V 关于θ的函数关系式V (θ)；②V 关于x 的函数关系式V (x )；（2）试确定点E 的位置，使得角钢部件“最标准”．8．某电子器件厂兼营生产和销售某种电子器件，流水线启动后每天生产300个产品，可销售p ＝200个产品，未售出的产品存入库房，每个产品在库房内每过一夜将支出存储费用r ＝0．2元，该流水线在开机生产一段时间后停机销售，待所有库房产品售完后再开机生产，流水线启动的费用为c ＝1200元（与产品数量无关）．这样开机生产－－停机销售－－产品售完构成了一个产销周期．为管理方便，流水线的生产和停机的时间均以天为单位安排．（1）若开机生产时间为m 天，停机销售时间为n 天，最后一天卖出a 个产品，写出m ，n ，a 的关系，并写出a 的取值范围；▲（2）若停机销售的最后一天卖出100个产品，请你设计一个产销周期，即开机生产多少天，停机销售多少天，使得平均每个产品用于流水线启动和存储的费用最少？C DBAE图1CE BAD图29．已知椭圆x 2m 2＋m ＋y 2m ＝1的右焦点F ，右准线为l ，且直线y ＝x 与l 相交于A 点．（1）若⊙C 经过点O （O 为坐标原点），F 、A 三点，求⊙C 的方程；（2）当m 变化时，求证：⊙C 经过除原点O 外的另一个定点B ；（3）若AF →•AB →＜5，求椭圆离心率e 的范围．10．过点C （0，1）的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的离心率为32，椭圆与x 轴交于两点A （a ，0）、B （－a ，0），过点C 的直线l 与椭圆交于另一点D ，并与x 轴交于点P ，直线AC 与直线BD 交于点Q ．（1）当直线l 过椭圆右焦点时，求线段CD 的长；（2）当点P 异于点B 时，求证：OP →•OQ →为定值．11．某人欲设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中AC ,BD 是过抛物线焦点F 且互相垂直的两条弦，该抛物线的对称轴为EF ，通径长为4．记∠EF A = α,α为锐角．（1）用α表示AF 的长;（2）试建立“蝴蝶形图案”的面积S关于α的函数关系S (α)；▲（3）为使“蝴蝶形图案”的面积最小，应如何设计α的大小？第10题图第11题图12．已知数列{a n }的各项都为正数，S n ＝1a 1＋a 2＋1a 2＋a 3＋…＋1a n ＋a n ＋1(n ∈N *)．（1）若数列{a n }是首项为1，公差为32的等差数列，求S 67；（2）若S n ＝na 1＋a n ＋1，求证：数列{a n }是等差数列．13．对于任意的n ∈N *（n 不超过数列的项数），若数列的前n 项之和等于该数列的前n 项之积，则称该数列为S 型数列．（1）若数列{a n }是首项a 1＝2的S 型数列，求a 3的值；▲（2）证明：任何项数不小于3的递增的正整数数列都不是S 型数列；▲（3）若数列{1a n}是S 型数列，且0＜a 1＜1，试求a n +1与a n 的递推关系，并证明0＜a n＜1 对n ∈N *恒成立．14．已知数列{a n }的各项均为正数，数列{b n }，{c n }满足b n ＝a n +2a n，c n ＝a n a 2n +1．（1）若数列{a n }为等比数列，求证：数列{c n }为等比数列；▲（2）若数列{c n }为等比数列，且b n +1≥b n ，求证：数列{a n }为等比数列．15．数列{a n }的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，公差与公比均为2，并且a 2＋a 4＝a 1＋a 5，a 4＋a 7＝a 6＋a 3．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）求使得a m ·a m +1·a m +2＝a m ＋a m +1＋a m +2成立的所有正整数m 的值；▲（3）在数列{a n }的奇数项中任取s 项，偶数项中任取t 项（s ，t ∈N *，s ＞1，t ＞1），按照某一顺序排列后成等差数列，求s ＋t 的最大值．16．已知函数f (x )＝x 2－ax ，g (x )＝ln x ．（1）若对任意的正数x ，f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围；（2）设h (x )＝f (x )＋g (x )有两个极值点x 1，x 2，且x 1∈(0，12)，求证h (x 1)－h (x 2)＞34－ln 2．17．已知函数f (x )＝e λx +(1–λ)a –λe x ，其中a ，λ是常数，且0＜λ＜1．（1）求函数f (x )的极值；▲（2）设λ1，λ2∈(0，1)，且λ1＋λ2＝1，证明：对任意的正数a 1，a 2，都有a 1λ1a 2λ2≤λ1a 1＋λ2a 2．18．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝1x －1．（1）设h (x )＝f (x )＋kg (x )，k 为常数，k ≠0．若曲线y ＝h (x )在点(2，h (2))处的切线平行于x 轴，求k 的值；（2）求函数y ＝h (x )的单调增区间；▲（3）对任意x ＞0且x ≠1，求证：f (x )g (x )＜1x ．19．对于函数y ＝f (x )，若存在x ＝x 0，使f (x 0)＝x 0，则称实数x 0是函数y ＝f (x )的一个不动点．（1）设f (x )＝a ln(1＋x )(a ∈R )恰有两个相异的不动点，求实数a 的取值范围；（2）g (x )＝12x 2＋x ＋3，证明：函数y ＝g (g (x ))没有不动点；▲（3）若定义在R 上的函数h (x )有且只有一个不动点x 0，且满足：h (h (x )－x 3－x )＝h (x )－x 3－x ，求函数h (x )的解析式．20．某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量（件）0 1 2 3 频数1595试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充．．至3件，否则不．进货．．，将频率视为概率．（1）求当天商品不进货．．．的概率；（2）记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列和数学期望．21．在一档娱乐节目中，主办方提供了如图所示的圆形射击靶，嘉宾射击时，若击中区域A ，则获得10分；若击中B 区域，则获得9分；若击中C 区域，则获得8分．设某嘉宾击中A 、B 、C 区域的概率依次为16，13，12．（1）节目中该嘉宾连续射击3次，求该嘉宾获得28分的概率；（2）节目中该嘉宾只射击1次，为了提高娱乐性，节目组要求嘉宾需先随意指定一个目标区域射击，若击中指定的区域，则除了取得击中区域对应的分数，还给予奖励加分；若击中指定的区域外的区域，取得击中区域对应的分数，再罚除一定的分数．规则如下：若事先指定区域为A ，则击中奖励3分，否则罚除1分．若事先指定区域为B ，则击中奖励2分，否则，若击中区域A ，则罚除3分；若击中区域C ，则罚除1分．若事先指定区域为C ，则击中奖励1分，否则罚除3分．假设嘉宾选择三个区域中的任意一个都是等可能的，记该嘉宾射击1次后的得分为ξ，求随机变量ξ的概率分布列及数学期望．ABC。

江苏省南京市江宁高中2012-2013学年高三数学上学期12月迎市统测试卷(含解析)

2012-2013学年江苏省南京市江宁高中高三（上）12月迎市统测数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．（5分）已知，其中n∈R，i是虚数单位，则n= 1 ．考点：复数相等的充要条件．专题：计算题．分析：化简原式可得2=1+n+（n﹣1）i，由复数相等可得，解之即可．解答：解：∵，∴2=（1﹣i）（1+ni），化简可得2=1+n+（n﹣1）i，由复数相等可得，解得n=1，故答案为：1点评：本题考查复数相等的充要条件，属基础题．2．（5分）命题p：∀x∈R，2x2+1＞0的否定是∃x0∈R，．．考点：命题的否定．专题：证明题．分析：根据全称命题“∀x∈M，p（x）”的否定￢p为“∃x0∈M，￢p（x）”．即可求出．解答：解：根据全称命题的否定是特称命题，∴命题p：∀x∈R，2x2+1＞0的否定是“∃x0∈R，”．故答案为“∃x0∈R，”．点评：掌握全称命题的否定是特称命题是解题的关键．3．（5分）用1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中奇数共有36 个．（用数字作答）考点：排列、组合及简单计数问题．专题：概率与统计．分析：如果一个数为奇数，且只能取1，2，3，4，5这五个数字，则个位数只能取1，3，5，进而根据分步原理，可得答案．解答：解：用1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中奇数必满足：个位数只能取1，3，5中一个，百位数和十位数没有限制故共有3×4×3=36个故答案为：36点评：本题考查的知识点是排列组合及简单计数问题，其中分析解决问题需要多少步骤，每个步骤分别有几种情况是解答的关键．4．（5分）若根据5名儿童的年龄x（岁）和体重y（kg）的数据，用最小二乘法得到用年龄预报体重的线性回归方程是，已知这5名儿童的年龄分别是3，4，5，6，7，则这5名儿童的平均体重是17 kg．考点：回归分析的初步应用．专题：计算题；概率与统计．分析：根据所给的5名儿童的年龄做出平均年龄，这是样本中心点的横标，把横标代入线性回归方程求出纵标，就是要求的平均体重．解答：解：∵5名儿童的年龄分别是3，4，5，6，7，∴这5名儿童的平均年龄是=5，∵用年龄预报体重的回归方程是，∴这5名儿童的平均体重是y=2×5+7=17（kg）．故答案为：17．点评：本题考查线性回归方程的应用，本题解题的关键是知道样本中心点满足线性回归直线的方程，代入求解即可．5．（5分）定义=x（x+1）（x+2）…（x+n﹣1），其中x∈R，n∈N*，例如=（﹣4）（﹣3）（﹣2）（﹣1）=24，则函数f（x）=的奇偶性为奇函数．考点：函数奇偶性的判断．专计算题．题：分析：由于f（x）==（x﹣1004）（x﹣1003）…（x﹣1）•x•（x+1）…（x+1004），可判断f（﹣x）=﹣f（x），从而可得答案．解答：解：∵f（x）==（x﹣1004）（x﹣1003）…（x﹣1）•x•（x+1）…（x+1004），∴f（﹣x）=（﹣x﹣1004）（﹣x﹣1003）…（﹣x﹣1）•（﹣x）•（﹣x+1）…（﹣x+1004）=（﹣1）2009•（x+1004）（x+1003）…（x+1）•x•（x﹣1）…（x﹣1004=﹣f（x），∴f（x）为奇函数．故答案为：奇函数．点评：本题考查函数奇偶性的判断，分析得到f（x）=（x﹣1004）（x﹣1003）…（x﹣1）•x•（x+1）…（x+1004）是判断的关键，考查分析与转化的能力，属于中档题．6．（5分）曲线y=﹣x2+6x，则过坐标原点且与此曲线相切的直线方程为y=6x ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：由y=﹣x2+6x，知y′=﹣2x+6，由曲线y=﹣x2+6x过坐标原点，能求出过坐标原点且与此曲线相切的直线方程．解答：解：∵y=﹣x2+6x，∴y′=﹣2x+6，∵曲线y=﹣x2+6x过坐标原点，∴k=y′|x=0=6，∴过坐标原点且与此曲线相切的直线方程为y=6x．故答案为：y=6x．点评：本题考查曲线的切线方程的求法，是基础题．解题时要认真审题，注意导数的几何意义的合理运用．7．（5分）已知复数z=x+yi，且，则的最大值．考点：复数求模．专题：计算题；数形结合．分析：由题意求出x，y的关系，利用的几何意义点与原点连线的斜率，求出它的最大值．解答：解：，即（x﹣2）2+y2=3就是以（2，0）为圆心以为半径的圆，的几何意义点与原点连线的斜率，易得的最大值是：故答案为：．点评：本题考查复数的基本概念，复数求模，简单线性规划，考查计算能力，是中档题．8．（5分）用反证法证明命题：“如果a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为a，b都不能被5整除．考点：反证法．专题：阅读型．分析：反设是一种对立性假设，即想证明一个命题成立时，可以证明其否定不成立，由此得出此命题是成立的．解答：解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．”的否定是“a，b都不能被5整除”．故答案为：a，b都不能被5整除．点评：反证法是命题的否定的一个重要运用，用反证法证明问题大大拓展了解决证明问题的技巧．9．（5分）给出下面类比推理命题（其中R为实数集，C为复数集）：①“若a，b∈R，则a﹣b=0⇒a=b”类比推出“若a，b∈C，则a﹣b=0⇒a=b”；②“若a，b∈R，则ab=0⇒a=0或b=0”类比推出“若a，b∈C，则ab=0⇒a=0或b=0”；③“若a，b∈R，则a﹣b＞0⇒a＞b”类比推出“若a，b∈C，则a﹣b＞0⇒a＞b”；④“若a，b∈R，则a2+b2≥0”类比推出“若a，b∈C，则a2+b2≥0”．所有命题中类比结论正确的序号是①②．考点：类比推理．专规律型．题：分析：在数集的扩展过程中，有些性质是可以传递的，但有些性质不能传递，因此，要判断类比的结果是否正确，关键是要在新的数集里进行论证，当然要想证明一个结论是错误的，也可直接举一个反例，要想得到本题的正确答案，可对4个结论逐一进行分析，不难解答．解答：解：①在复数集C中，若两个复数满足a﹣b=0，则它们的实部和虚部均相等，则a，b相等．故①正确；②在复数集C中，若两个复数满足ab=0，则它们的中必有一个为零．故②正确；③若a，b∈C，当a=1+i，b=i时，a﹣b=1＞0，但a，b 是两个虚数，不能比较大小．故③错误④若a，b∈C，当a=i，b=i时，a2+b2=﹣2＜0，不能得出a2+b2≥0，故④错．故所有命题中类比结论正确的序号是①②．故答案为：①②．点评：类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．但类比推理的结论不一定正确，还需要经过证明．10．（5分）对于R上的可导函数f（x），若满足（x﹣2）f′（x）≥0，则f（0）+f（3）与2f（2）的大小关系为不小于．（填“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”）考点：函数的单调性与导数的关系．专题：导数的概念及应用．分析：借助导数知识，根据（x﹣2）f'（x）≥0，判断函数的单调性，再利用单调性，比较函数值的大小即可．解答：解：∵对于R上可导的任意函数f（x），满足（x﹣2）f'（x）≥0∴有或，即当x∈[2，+∞）时，f（x）为增函数，当x∈（﹣∞，2]时，f（x）为减函数，∴f（0）≥f（2），f（3）≥f（2）∴f（0）+f（3）≥2f（2）故答案为：不小于．点评：本题考查了利用导数判断抽象函数单调性，以及利用函数的单调性比较函数值的大小．11．（5分）从装有n+1个球（其中n个白球，1个黑球）的口袋中取出m个球（0＜m≤n，m，n∈N），共有C n+1m种取法．在这C n+1m种取法中，可以分成两类：一类是取出的m个球全部为白球，共有C10•C n m+C11•C n m﹣1=C10•C n+1m，即有等式：C n m+C n m﹣1=C n+1m成立．试根据上述思想化简下列式子：C n m+C k1•C n m﹣1+C k2•C n m﹣2+…+C k k•C n m﹣k= C n+k m．（1≤k＜m≤n，k，m，m∈N）．考点：归纳推理．专题：压轴题；规律型．分析：从装有n+1个球（其中n个白球，1个黑球）的口袋中取出m个球（0＜m≤n，m，n∈N），共有C n+1m种取法．在这C n+1m种取法中，可以分成两类：一类是取出的m个球全部为白球，另一类是，取出1个黑球，m﹣1个白球，则C n m+C n m﹣1=C n+1m根据上述思想，在式子：C n m+C k1•C n m﹣1+C k2•C n m﹣2+…+C k k•C n m﹣k中，从第一项到最后一项分别表示：从装有n个白球，k个黑球的袋子里，取出m个球的所有情况取法总数的和，故答案应为：从从装有n+k 球中取出m个球的不同取法数，根据排列组合公式，易得答案．解答：解：在C n m+C k1•C n m﹣1+C k2•C n m﹣2+…+C k k•C n m﹣k中，从第一项到最后一项分别表示：从装有n个白球，k个黑球的袋子里，取出m个球的所有情况取法总数的和，故答案应为：从从装有n+k球中取出m个球的不同取法数C n+k m故选C n+k m点评：这个题结合考查了推理和排列组合，处理本题的关键是熟练掌握排列组合公式，明白每一项所表示的含义，再结合已知条件进行分析，最后给出正确的答案．12．（5分）已知x∈（0，1]，，则f（x）的值域是[0，2）．考点：微积分基本定理；函数的值域．专题：导数的综合应用．分析：利用微积分基本定理先求出函数f（x）的解析式，再利用一次函数的单调性即可求出其值域．解答：解：∵==2﹣2x，即f（x）=﹣2x+2．∵x∈（0，1]，∴f（1）≤f（x）＜f（0），即0≤f（x）＜2．∴函数f（x）的值域是[0，2）．故答案为[0，2）．点评：熟练微积分基本定理和一次函数的单调性是解题的关键．13．（5分）某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用的时间的数据如下表：阅读时间（小时）0 0.5 1 1.5 2人数 5 20 10 10 5由此可以估计该校学生在这一天平均每人的课外的阅读时间为0.9 小时．考点：众数、中位数、平均数．专计算题；图表型．题：分析：根据通过样本去估计总体的统计思想：可用这50名学生平均课外阅读时间，估计该校学生平均课外阅读时间．结合已知中的数据，我们可以根据不同阅读时间段的大小及相应的学生人数，求出学生总人数和阅读总时间，代入平均数公式，即可得到答案．解答：解：50名学生总的阅读时间为：0.5×20+1×10+1.5×10+2×5=45小时故校学生在这一天平均每人的课外的阅读时间约为45÷50=0.9（小时）．故答案为：0.9点评：本题考查了平均数的定义和从图表中获取信息的能力．同时考查了用样本估计总体的统计思想的运用．14．（5分）下列四个命题：①“a＞b”是“2a＞2b”成立的充要条件；②“a=b”是“lga=lgb”成立的充分不必要条件；③函数f（x）=ax2+bx（x∈R）为奇函数的充要条件是“a=0”④定义在R上的函数y=f（x）是偶函数的必要条件是．其中真命题的序号是①③．（把真命题的序号都填上）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数y=2x是R上的增函数可得①正确．通过举反例可得②不正确．根据奇函数的定义可得③正确．由偶函数的定义不能推出，但由能推出函数y=f（x）是偶函数，可得④不正确．解答：解：由于函数y=2x是R上的增函数，故由“a＞b”能推出“2a＞2b”，而且由“2a＞2b”成立能推出“a＞b”成立，故①“a＞b”是“2a＞2b”成立的充要条件，故①正确．由②“a=b”成立不能推出“lga=lgb”成立，如a=b=﹣1时，“lga=lgb”不成立．但由“lga=lgb”成立，能推出“a=b”成立，故“a=b”是“lga=lgb”成立的充分不必要条件，故②不正确．函数f（x）=ax2+bx（x∈R）为奇函数，等价于f（﹣x）=﹣f（x），即 ax2 ﹣bx=﹣（ax2+bx），等价于 a=0，故函数f（x）=ax2+bx（x∈R）为奇函数的充要条件是“a=0”，故③正确．由函数y=f（x）是偶函数可得 f（﹣x）=f（x），但不能推出成立，（如f（x）=0时）．但由可得 f（﹣x）=f（x），即函数y=f （x）是偶函数，故定义在R上的函数y=f（x）是偶函数的充分条件是，故④不正确．点评：本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，函数的奇偶性可单调性，属于基础题．二、解答题（共5小题，满分70分）15．（14分）试求使不等式对一切正整数n都成立的最小自然数t的值，并用数学归纳法加以证明．考点：数学归纳法．专题：综合题；点列、递归数列与数学归纳法．分析：设，确定函数的单调性，求出最小值，即可得到最小自然数t的值，在解答：解：设∵=∴f（n）递增，∴f（n）最小为∵f（n）＞5﹣2t对一切正整数n都成立，∴，∴自然数t≥2∴自然数t的最小值为2 …（7分）下面用数学归纳法证明（1）当n=1时，左边=，∴n=1时成立（2）假设当n=k时成立，即那么当n=k+1时，左边==∴n=k+1时也成立根据（1）（2）可知成立…（14分）注：第（1）小题也可归纳猜想得出自然数t的最小值为2点评：本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．16．（14分）已知等腰梯形PDCB 中（如图1），PB=3，DC=1，PB=BC=，A为PB 边上一点，且PA=1，将△PAD 沿AD 折起，使面PAD⊥面ABCD （如图2）（I ）证明：平面PAD⊥PCD；（II ）试在棱PB 上确定一点M ，使截面AMC 把几何体分成的两部分V PDCMA ：V MACB =2：1；（III ）在M 满足（Ⅱ）的情况下，判断直线AM 是否平行面PCD ．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：计算题；证明题．分析：（I ）由已知中CD⊥AD 及面PAD⊥面ABCD ，我们根据面面垂直的性质定理得到CD⊥平面PAD ，再由面面垂直的判定定理得到平面PAD⊥PCD；（II ）根据（I ）的结论，平面PAB⊥平面ABCD ，在PB 上取一点M ，作MN⊥AB，则MN⊥平面ABCD ，利用体积公式，分别计算V PDCMA ，V MACB ，再根据V PDCMA ：V MACB =2：1，即可求出满足条件的M 为PB 的中点；（III ）以A 为原点，AD 、AB 、AP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如如图所示的空间直角坐标系，求出相关顶点的坐标，进而求出直线AM 的方向向量及平面PCD 的法向量，判定两个向量是否垂直，即可判断直线AM 是否平行面PCD ．解答：解：（I ）证明：依题意知：CD⊥AD．又∵面PAD⊥面ABCD∴DC⊥平面PAD ．（2分） ∴平面PAD⊥PCD；（II ）由（I ）知PA⊥平面ABCD ∴平面PAB⊥平面ABCD ．（4分）在PB 上取一点M ，作MN⊥AB，则MN⊥平面ABCD ，设MN=h 则（6分）要使即M 为PB 的中点；（III ）以A 为原点，AD 、AB 、AP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如如图所示的空间直角坐标系则A （0，0，0），B （0，2，0）， C （1，1，0），D （1，0，0）， P （0，0，1），M （0，1，）由（I ）知平面PAD⊥平面PCD ，作AQ⊥PD，则的法向量．（10分）又∵△PAD 为等腰Rt△∴因为所以AM 与平面PCD 不平行．（13分）点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，熟练掌握空间直线、平面间平行与垂直的判定定理、性质定理、定义及几何特征是解答此类问题的关键．17．（14分）已知二次函数f （x ）=ax 2+bx+c ，（a ，b ，c ∈R ）满足：对任意实数x ，都有f （x ）≥x，且当x ∈（1，3）时，有成立．（1）证明：f （2）=2；（2）若f （﹣2）=0，f （x ）的表达式；（3）设，x ∈[0，+∞），若g （x ）图上的点都位于直线的上方，求实数m 的取值范围．考点：函数恒成立问题；函数解析式的求解及常用方法．专题：综合题；转化思想；数形结合法．分析：（1）由已知f （2）≥2恒成立，又由成立得（2）≤，由此两种情况可得f （2）=2．（2）f（﹣2）=0，由（1）证明知f（2）=2，f（x）的表达式中有三个未知数，由两函数值只能得出两个方程，再对任意实数x，都有f（x）≥x，这一恒成立的关系得到一0，由此可以得到a=，将此三方程联立可解出三个参数的值，求出f（x）的表达式；（3）方法一：由题f（x）图象（在y轴右侧）总在直线上方即可，也就是直线的斜率小于直线与抛物线相切时的斜率位置，由于f（x）图象与y轴交点在直线与y轴交点上方，在与y轴相交点处的切线斜率为，故在直线与二次函数相切的切点处一定有切线的斜率大于直线的斜率，且＞，将两个方程联立，用判别式为0求m的最大值．方法二：必须恒成立，即x2+4（1﹣m）x+2＞0在x∈[0，+∞）恒成立．转化为二次函数图象与x轴在x∈[0，+∞）无交点的问题，由于g（x）的单调性不确定，故本题要分两种情况讨论，一种是对称轴在y轴右侧，此时需要判别式小于0，一类是判别式大于0，对称轴小于0，且x=0处的函数值大于等于0，转化出相应的不等式求解．解答：解：（1）由条件知f（2）=4a+2b+c≥2恒成立又∵取x=2时，与恒成立，∴f（2）=2．（2）∵∴4a+c=2b=1，∴b=，c=1﹣4a又f（x）≥x恒成立，即ax2+（b﹣1）x+c≥0恒成立．∴，整理得0故可以解出：，∴．（3）解法1：由分析条件知道，只要f（x）图象（在y轴右侧）总在直线上方即可，也就是直线的斜率小于直线与抛物线相切时的斜率位置，于是：∴．解法2：必须恒成立，即x2+4（1﹣m）x+2＞0在x∈[0，+∞）恒成立．①△＜0，即[4（1﹣m）]2﹣8＜0，解得：；②解出：．又时，经验证不合题意总之，．点评：本题是二次函数的一道综合题，考查到了分类讨论的思想，对分析转化的推理能力要求较高．18．（14分）（2010•攀枝花二模）已知定义在R上的函数f（x）=x2（ax﹣3），其中a为常数．（1）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求a的值；（2）若函数f（x）在区间（﹣1，0）上是增函数，求a的取值范围；（3）若函数g（x）=f（x）+f′（x），x∈[0，2]，在x=0处取得最大值，求正数a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题．分析：（1）由x=1是函数f（x）的一个极值点则知f'（1）=0，代入导函数即可；（2）要求函数f（x）在区间（﹣1，0）上是增函数，则要求导函数f'（x）在区间（﹣1，0）大于等于零即可，另外要注意对a的讨论；（3）要求函数g（x）=f（x）+f'（x），x∈[0，2]，在x=0处取得最大值，即求函数g（x）的极值并将之与函数端点值g（0），g（2）进行比较大小，得出在函数g（x）[0，2]上的最大值只能为g（0）或g（2），再根据条件在x=0处取得最大值，得到g（0）≥g（2）即可解答：解：（1）∵f（x）=ax3﹣3x2∴f'（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2）．∵x=1是f（x）的一个极值点，∴f'（1）=0，∴a=2（2）①当a=0时，f（x）=﹣3x2在区间（﹣1，0）上是增函数，∴a=0符合题意；②当a≠0时，f'（x）=3ax，令f'（x）=0得：x1=0，x2=当a＞0时，对任意x∈（﹣1，0），f'（x）＞0，∴a＞0 （符合题意）当a＜0时，当时，f'（x）＞0，∴，∴﹣2≤a＜0（符合题意）综上所述，a≥﹣2．（3）a＞0，g（x）=ax3+（3a﹣3）x2﹣6x，x∈[0，2]．g'（x）=3ax2+2（3a﹣3）x﹣6=3[ax2+2（a﹣1）x﹣2]，令g'（x）=0，即ax2+2（a﹣1）x﹣2=0（*），显然有△=4a2+4＞0．设方程（*）的两个根为x1，x2，由（*）式得，不妨设x1＜0＜x2．当0＜x2＜2时，g（x2）为极小值所以g（x）在[0，2]上的最大值只能为g（0）或g（2）当x2≥2时，由于g（x）在[0，2]上是单调递减函数所以最大值为g（0），所以在[0，2]上的最大值只能为g（0）或g（2）又已知g（x）在x=0处取得最大值所以g（0）≥g（2）即0≥20a﹣24，解得a≤，又因为a＞0，所以．故答案为：（1）a=2；（2）a≥﹣2；（3）点评：本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，关键在于比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b）的大小，从而得到函数的最值，另外还有分类讨论的思想，属于基础题．19．（14分）（2008•杨浦区二模）（理）在平面直角坐标系xoy中，若在曲线C1的方程F（x，y）=0中，以（λx，λy）（λ为正实数）代替（x，y）得到曲线C2的方程F（λx，λy）=0，则称曲线C1、C2关于原点“伸缩”，变换（x，y）→（λx，λy）称为“伸缩变换”，λ称为伸缩比．（1）已知曲线C1的方程为，伸缩比λ=2，求C1关于原点“伸缩变换”后所得曲线C2的方程；（2）射线l的方程，如果椭圆C1：经“伸缩变换”后得到椭圆C2，若射线l与椭圆C1、C2分别交于两点A、B，且，求椭圆C2的方程；（3）对抛物线C1：y2=2p1x，作变换（x，y）→（λ1x，λ1y），得抛物线C2：y2=2p2x；对C2作变换（x，y）→（λ2x，λ2y）得抛物线C3：y2=2p3x，如此进行下去，对抛物线C n：y2=2p n x作变换（x ，y ）→（λn x ，λn y ），得抛物线C n+1：y 2=2p n+1x ，…．若，求数列{p n }的通项公式p n ．考点：数列与解析几何的综合；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；抛物线的简单性质；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质．专题：新定义．分析：（1）由“伸缩变换”的伸缩比得，从而即得曲线C 2的方程；（2）根据C 2、C 1关于原点“伸缩变换”，对C 1作变换（x ，y ）→（λx ，λy ）（λ＞0），得到C 2分别解方程组得点A ，B 两点的坐标，最后利用两点的距离公式得到关于λ的方程求出λ的值，即可写出椭圆C 2的方程；（3）先对C n ：y 2=2p n x 作变换（x ，y ）→（λn x ，λn y ）得抛物线C n+1：（λn y ）2=2p n λn x ，结合y 2=2p n+1x 得到：，从而求得数列{p n }的通项公式p n ．解答：解（1）由条件得，得C 2：；（4分）（2）∵C 2、C 1关于原点“伸缩变换”，对C 1作变换（x ，y ）→（λx ，λy ）（λ＞0），得到C 2，（5分）解方程组得点A 的坐标为；（7分）解方程组得点B 的坐标为；（8分） ==，化简后得3λ2﹣8λ+4=0，解得，因此椭圆C 2的方程为或．（12分）（漏写一个方程扣2分）（3）（理）对C n ：y 2=2p n x 作变换（x ，y ）→（λn x ，λn y ）得抛物线C n+1：（λn y ）2=2p n λn x ，得，又∵y 2=2p n+1x ，∴，即，（14分）=2•22•23•…•2n ﹣1，则，（16分）（或解：）p 1=1， ∴．（18分）点评：本小题主要考查圆锥曲线的标准方程、圆锥曲线简单性质、数列与解析几何的综合等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．。

江苏省南京市2013届高三3月第二次模拟考试数学试卷(南京、淮安)

南京市2013届高三第二次模拟考试数学2013．3参考公式：锥体的体积公式为13V Sh =，其中S 是锥体的底面面积，h 是锥体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．已知集合A={2a ,3}，B={2,3}．若AB={1,2,3}，则实数a 的值为____．2．函数()sin cos f x x x =的最小正周期是__________． 3．若复数12miz i-=+(i 是虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为____． 4．盒子中有大小相同的3只白球、2只黑球，若从中随机地摸出两只球，则两只球颜色相同的概率是______． 5．根据2012年初我国发布的《环境空气质量指数AQI 技术规定（试行）》，AQI 共分为六级：(0,50]为优，(50,100]为良，(100,150]为轻度污染，(150,200]为中度污染，(200,300]为重度污染，300以上为严重污染．2012年12月1日出版的《A 市早报》对A 市2012年11月份中30天的AQI 进行了统计，频率分布直方图如图所示，根据频率分布直方图，可以看出A 市该月环境空气质量优、良的总天数为____．6．右图是一个算法流程图，其输出的n 的值是_____．7．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3cm ，圆心角为23π的扇形，则此圆锥的高为___cm ．8．在平面直角坐标系xOy 中，设过原点的直线l 与圆C ：22(3)(1)4x y -+-=交于M 、N 两点，若MN ≥l 的斜率k 的取值范围是______． 9．设数列{n a }是公差不为0的等差数列，Sn为其前n 项和，若22221234a a a a +=+，55S =，则7a 的值为_____．10．若函数()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x >时，1()23x f x -=-，则不等式()1f x >的解集为______________．11．在ABC ∆中，已知AB=2，BC=3，60ABC ∠=︒，BD ⊥AC ，D 为垂足，则BD BC ⋅的值为____．12．关于x 的不等式(21)ln 0ax x -≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的值为_____．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：22143x y -=．设过点M(0,1)的直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点，若2AM MB =，则直线l 的斜率为_____．14．已知数列{n a }的通项公式为72n a n =+，数列{n b }的通项公式为2n b n =．若将数列{n a }，{n b }中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列{n c }，则9c 的值为_____．二、解答题：本大题共6小题，共90分．15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，且cos 2cos C a cB b-=，（1）求B ；（2）若tan()74A π+=，求cos C 的值．16，（本小题满分14分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AD//BC ，PB ⊥平面ABCD ，CD ⊥BD ，PB=AB=AD=1，点E 在线段PA 上，且满足PE=2EA ．（1）求三棱锥E-BAD 的体积；（2）求证：PC//平面BDE ．17．（本小题满分16分）如图，某广场中间有一块扇形绿地OAB ，其中O 为扇形所在圆的圆心，60AOB ∠=︒，广场管理部门欲在绿地上修建观光小路：在AB 上选一点C ，过C 修建与OB 平行的小路CD ，与OA 平行的小路CE ，问C 应选在何处，才能使得修建的道路CD 与CE 的总长最大，并说明理由．18．（本小题满分16分）已知数列{}n a 的各项都为正数，且对任意*n N ∈，都有212n n n a a a k ++=+(k 为常数)．（1）若221()k a a =-，求证：123,,a a a 成等差数列；（2）若k=0，且245,,a a a 成等差数列，求21a a 的值；（3）已知12,a a ab ==(,a b 为常数)，是否存在常数λ，使得21n n n a a a λ+++=对任意*n N ∈都成立？若存在．求出λ；若不存在，说明理由．19．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>过点(,),22a aA B ．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知点00(,)P x y 在椭圆C 上，F 为椭圆的左焦点，直线l 的方程为00360x x y y +-=．①求证：直线l 与椭圆C 有唯一的公共点；②若点F 关于直线l 的对称点为Q ，求证：当点P 在椭圆C 上运动时，直线PQ 恒过定点，并求出此定点的坐标．20．（本小题满分16分）设函数2()(2)ln f x x a x a x =---．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数a 的值；（3）若方程()f x c =有两个不相等的实数根12,x x ，求证：12()02x x f +'>．。

2013江苏高考数学模拟试卷3-参考答案

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２０１３×２０１２２０１３×２０１２） vw ， ×犱＝２ ×４＝６０３９．犛０１３犪０１３× （－４０２１＋２０１３＝２１＋２２，】 (÷ø# ４ + ±２， vw ω＝， ! 狓）犃＝２，【 1~^w3ö 犳（ π （２狓＋４π）２１１３ π，， 1Ùùt®^3 １ × π ＋ y φ＝３ vw 犳（狓）＝２ｓｉｎ（狓＋＝π，狓）＝２ｓｉｎ（狓＋ π）．犳（ φ）４２２２ φ ２４８．狓）＝２ｓｉｎ犳（１３１
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江苏省南京市联合体2013年中考二模数学试题

2011年江苏省南通市中考数学试题解读及点评一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．如果60m表示“向北走60m”，那么“向南走40m”可以表示为【】A．－20m B．－40m C．20m D．40m【答案】B．向北与向南是相反意义的两个量，若定义向北为正，则向南为负．本题中，根据具有相反意义的量的表示方式，“向南走40m”应该表示为－40m．【点评】本题属于基础题，主要考查了正负数的表示，考查知识点单一，信度高．2．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是【】【答案】C．由轴对称图形和中心对称图形的定义可知，A是中心对称图形而不是轴对称图形；B也是中心对称图形而不是轴对称图形；C既是轴对称图形又是中心对称图形；D是轴对称图形而不是中心对称图形．【点评】本题属于基础题，主要考查了轴对称图形和中心对称图形的判别，考查知识点清晰，需要学生对两种图形的定义会理解、会判别．3．计算327的结果是【】A．±3 3 B．3 3 C．±3 D．3【答案】D．由立方根的定义可知，3273=．．【点评】本题属于基础题，主要考查了立方根的定义，粗心的同学可能会混淆平方根和立方根的定义，错选成A或B．．4．下列长度的三条线段，不能组成三角形的是【】A．3，8，4 B．4，9，6C．15，20，8 D．9，15，8【答案】A．根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”这一性质可知，A中3+4<8，故A的三条线段不能组成三角形，而其他均满足题意．【点评】本题属于基础题，主要考查了三角形三边之间的关系，此类题目通常采用排除法．5．如图，AB∥CD，∠DCE＝80°，则∠BEF＝【】A．120°B．110°C．100°D．80°【答案】C．根据“两直线平行，同旁内角互补”这一性质，由于AB∥CD，∠DCE和∠BEF是同旁内角，从而∠BEF＝00018080100-=．【点评】本题属于基础题，主要考查了平行线的性质，考查点单一，正确率高．6．下列水平放置的几何体中，俯视图是矩形的为【】A．B．C．D．DA E BCF A．B．C．D．圆柱长方体三棱柱圆锥【答案】B ．根据几何体的俯视图的知识可知，A 和D 的俯视图是圆，B 的俯视图是矩形，C 的俯视图是三角形．【点评】本题属于基础题，主要考查了几何体的三视图．7．若3是关于方程x 2－5x ＋c ＝0的一个根，则这个方程的另一个根是【】A ．－2B ．2C ．－5D ．5【答案】B ．根据一元二次方程根与系数的关系：两根之和等于一次项系数与二次项系数商的相反数，所以有22352x x +=⇒=．【点评】本题属于基础题，主要考查了一元二次方程根与系数的关系．但在解答过程中也有可能被学生复杂化，如可以将根代入方程求出c ，再解方程求出另一根等等．不同的学生可能会在方法上有所不同，但均能体现学生对一元二次方程的掌握和理解【别解】把x = 3代入方程，则23530c -⨯+=，解得c =6，再解方程x 2－5x ＋6＝0，得方程另一个根为2.8．如图，⊙O 的弦AB ＝8，M 是AB 的中点，且OM ＝3，则⊙O 的半径等于【】 A ．8 B ．4 C ．10 D ．5【答案】根据圆的直径垂直平分弦的定理，∆OAM 是直角三角形，在Rt∆OAM 中运用勾股定理有，2222223455OA OM AM OA =+=+=⇒=．【点评】本题属于中档题，主要考查了圆的直径垂直平分弦及勾股定理两个知识点．相对于前7题的一步到位，本题的难度比前面几题稍大，需要学生会添作辅助线构造直角三角形，并运用勾股定理进行计算．9．甲、乙两人沿相同的路线由A 地到B 地匀速前进，A 、B 两地间的路程为20km ．他们前进的路程为s (km)，甲出发后的时间为t (h)，甲、乙前进的路程与时间的函数图象如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是【】A ．甲的速度是5km/hB ．乙的速度是10km/hC ．乙比甲晚出发1hD ．甲比乙晚到B 地3h 【答案】A ．根据所给的一次函数图象有：A.甲的速度是205/4km h =；B. 乙的速度是2020/1km h =；C ．乙比甲晚出发101h -=； D ．甲比乙晚到B 地422h -=．【点评】本题属于中档题，主要考查了一次函数的图象、图像的识别能力及分析推理能力．问题不难，但需要进行图表信息的提取及提炼，有一定的难度． 10．设m ＞n ＞0，m 2＋n 2＝4mn ，则 m 2－n 2mn＝【】A ．2 3B ． 3C ． 6D ．3【答案】A ．由m 2＋n 2＝4mn 有()()2262m n mn m n mn +=-= ，，因为m ＞n ＞0，所以62m n mn m n mn +=-= ，，则()()22621223m n m n m n mn mnmn mn mn+--⋅====．【点评】本题属于较难题，主要考查了代数式变换、完全平方公式、平方差公式、根式计算O t s 甲乙 1 2 3 4 2010 A B OMAC D B等．解题思路单一，综合性强，常常出现在中考试卷选择题的最后一题，具有一定的区分度．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）11．已知α∠＝20°，则α∠的余角等于．【答案】700．根据余角的定义，直接得出结果：900-200=700．【点评】本题属于基础题，主要考查了学生对余角的定义的掌握，比第5题的通过同旁内角来求补角更直接．12．计算：8－2＝．【答案】2．利用根式计算法则，直接给出结果：822222-=-=．【点评】本题属于基础题，主要考查了二次根式的计算，化简与计算难度均不大．13．函数y ＝x ＋2x －1中，自变量x 的取值范围是．【答案】1x ≠．根据分式定义，分母不能为0，从而得出结论．【点评】本题属于基础题，主要考查了学生对函数定义域的理解，此类问题有分式型、根式型、整式型三类，通常结合二次根式、不等式等知识点进行考查，难度一般很小．14．七位女生的体重(单位：kg)分别为36、42、38、42、35、45、40，则这七位女生的体重的中位数为 kg ．【答案】40．根据的中位数定义，中位数是指将数据按大小顺序排列起来，形成一个数列，居于数列中间位置的那个数据．故应先将七位女生的体重重新排列：35，36，38，40，42，42，45，从而得到中位数为40．【点评】本题属于基础题，主要考查了中位数的定义，但有学生可能会因为忽略重新排列这一重要环节而出错．15．如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝2cm ，点E 在BC 上，且AE ＝CE ．若将纸片沿AE 折叠，点B 恰好与AC 上的点B 1重合，则AC ＝ cm ．【答案】4．由矩形性质知，∠B=900，又由折叠知∠BAC=∠EAC ．根据等腰三角形等边对等角的性质，由AE ＝CE 得∠EAC=∠ECA ．而根据直角三角形两锐角互余的性质，可以得到∠ECA=300．因此根据300角直角三角形中，300角所对直角边是斜边一半的性质有，Rt∆ABC 中AC=2,AB=4．【点评】本题属于中档题，主要考查了矩形的性质，图形的折叠，等腰三角形性质，直角三角形性质，300角直角三角形的性质等知识，综合性强，难度适中． 16．分解因式：3m (2x ―y )2―3mn 2＝．【答案】()()322m x y n x y n -+--．具体过程是()()()()222232332322m x y mn m x y n m x y n x y n ⎡⎤--=--=-+--⎣⎦【点评】本题属于中档题，主要考查了提取公因式法和应用公式法因式分解，这在新课标中属于需要加强的内容，达到D 级要求．学生解题中的问题主要有两个，一是公因式的选取不完整，二是分解不彻底． 17．如图，为了测量河宽AB (假设河的两岸平行)，测得∠ACB ＝30°， ∠ADB ＝60°，CD ＝60m ，则河宽AB 为 m(结果保留根号)．AB B 1 CDE【答案】A ．在Rt∆ABD 和Rt∆ABC 中tan tan AB AB ADB ACB DB CB== ，0033tan 60 tan303 6060360333603260330 3.AB AB AB AB AB AB DB DB DB DB AB AB AB AB ⎛⎫⇒==⇒==⇒=+ ⎪++⎝⎭⇒=+⇒=⇒= ，，【点评】本题属于中档题，综合考查了解直角三角形、特殊锐角三角函数及二次根式计算等知识．解决此类问题的关键是找准直角三角形，运用三角函数模型建立方程．18．如图，三个半圆依次相外切，它们的圆心都在x 轴上，并与直线y ＝33x 相切．设三个半圆的半径依次为r 1、r 2、r 3，则当r 1＝1时，r 3＝．【答案】解：设直线y ＝33x 与三个半圆分别切于A ， B ，C ，作AE ⊥x 轴于E ，则在Rt∆AEO 1中，易得∠AOE=∠EAO 1=300，由r 1＝1得EO=12， AE=132，OE=32，OO 1=2． 1112222221233r OO R AOO R BOO r r OO r r ∆∆⇒=⇒=⇒=+∽t t 同理，1113333331299r OO R AOO R COO r r OO r r ∆∆⇒=⇒=⇒=+∽t t ．【点评】本题属于较难题，综合考查了一次函数、直角三角形的性质、相似三角形等知识点，考点多，思路窄，有一定的难度．由于问题求解需要对图形进行转化，通过添加辅助线来构造直角三角形，因此题目又有一定的区分度．解决本题的关键是连接半径建立直角三角形，通过相似模型建立方程来求解．三、解答题（本大题共10小题，满分96分）19．(10分)(1)计算：22＋(－1)4＋(5－2)0－|－3|；(2)先化简，再求值：(4ab 3－8a 2b 2)÷4ab ＋(2a ＋b )(2a －b )，其中a ＝2，b ＝1．【答案】解：(1)原式＝4＋1＋1－3＝3．(2)原式＝4ab (b 2－2ab )÷4ab ＋4a 2－b 2＝b 2－2ab ＋4a 2－b 2＝4a 2－2ab 当a ＝2，b ＝1时，原式＝4×22－2×2×1＝16－4＝12．【点评】本题属于基础题，主要考查了正、负数的偶次幂、实数的0次幂、绝对值、代数式化简、平方差公式、合并同类项法则等知识．虽然知识点众多，但总体题目不难，能力要求O O 1 O 2O 3xy · ··低，属于基础题．20．(8分)求不等式组⎩⎨⎧3x －6≥x －42x ＋1＞3(x －1)的解集，并写出它的整数解．【答案】解：由①得，x ≥1，由②得，x<4．所以不等式组的解集为14x ≤<，不等式组的整数解有1，2，3．【点评】本题属于中档题，主要考查了－元一次不等式组解集的求法及表示．学生可能会遗忘后面的整数解的表示．另外，由于这一内容也属于课程标准的D 级要求，大部分考题可能还会结合数轴来表示不等式组的解集．21．(9分)某中学学生为了解该校学生喜欢球类活动的情况，随机抽取了若干名学生进行问卷调查(要求每位学生只能填写一种自己喜欢的球类)，并将调查的结果绘制成如下的两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下面的问题：(1)参加调查的学生共有人，在扇形图中，表示“其他球类”的扇形的圆心角为度；(2)将条形图补充完整；(3)若该校有2000名学生，则估计喜欢“篮球”的学生共有人．【答案】解：(1)300，36．(2)喜欢足球的有300－120－60－30＝90人，所以据此将条形图补充完整（如右图）．(3)在参加调查的学生中，喜欢篮球的有120人，占 120÷300＝40%，所以该校2000名学生中，估计喜欢“篮球”的学生共有2000×40%=800（人）．【点评】本题属于基础题，主要考查了扇形统计图，条形统计图，频率，频数等知识．作为是近年来各地中考必考知识点之一，统计题主要考查学生统计意识和统计技能等，同时也要求学生有一定的推理和估算．22．(8分)如图，AM 切⊙O 于点A ，BD ⊥AM 于点D ，BD 交⊙O 于点C ，OC 平分∠AOB ．求∠B 的度数．【答案】解：∵OC 平分∠AOB ，∴∠AOC ＝∠COB ， ∵AM 切⊙O 于点A ，即OA ⊥AM ，又BD ⊥AM ， ∴OA ∥BD ，∴∠AOC ＝∠OCB 又∵OC ＝OB ，∴∠OCB ＝∠B ，∴∠B ＝∠OCB ＝∠COB＝600．【点评】本题属于中档题，主要考查了圆的切线，角平分线，直线平行，三角形的内角和等人数 120 90 60 30 0篮球乒乓球足球其他球类项目1206030乒乓球 20%足球其他球类篮球O A D MC B ①②知识．圆这一部分的考试难度在新课标中有较大幅度的减小，有“重计算、轻证明”这一趋势，重点考查的知识点集中在圆心角与圆周角、垂径定理、圆与直线、圆与圆的位置关系以及的有关圆的计算等方面，考查难度中等．23．(8分)在社区全民健身活动中，父子俩参加跳绳比赛．相同时间内父亲跳180个，儿子跳210个．已知儿子每分钟比父亲多跳20个，父亲、儿子每分钟各跳多少个？【答案】解：设父亲每分钟跳x 个，儿子每分钟跳(x ＋20)个．依题意有18021020x x =+．解之，得x ＝120．经检验，x ＝120是方程的根．当x ＝120时，x ＋20＝140．答：父亲每分钟跳120个，儿子每分钟跳140个．【点评】本题属于中档题，主要考查了列方程解应用题和解分式方程等知识．列方程解应用题的关键是找出等量关系建立方程，而解分式方程要注意检验．近几年来，南通中考题对学生分析能力、应用能力的考查正逐步加强．24．(8分)比较正五边形与正六边形，可以发现它们的相同点和不同点．例如：它们的一个相同点：正五边形的各边相等，正六边形的各边也相等．它们的一个不同点：正五边形不是中心对称图形，正六边形是中心对称图形．请你再写出它们的两个相同点和不同点：相同点：① ； ② ．不同点：① ； ② ．【答案】解：相同点：①正五边形的和正六边形都是轴对称图形． ②正五边形的和正六边形内角都相等．不同点：①正五边形的所有对角线都相等；正六边形对角线不一定都相等． ②正五边形的对角线不交于同一点；正六边形对角线过中心的三条交于同一点．【点评】本题属于中档题，主要考查了正五边形的和正六边形的相关知识．题目开放，起点低，入手宽，大部分学生各写两点还是比较容易的，但需要注意的是不能重复写．【别解】相同点：① 正五边形的对角线与两条邻边构成的三角形都是全等的；正六边形中也有类似的全等三角形．② 正五边形的五个外角相等，正六边形的六个外角也相等． ③ 正五边形和正六边形的外角和都是360度．不同点：① 正五边形有五条对称轴，正六边形六条对称轴；② 正五边形每个内角都是1080；正六边形每个内角都是1200；正五边形正六边形正五边形正六边形③ 正五边形不是中心对称图形，而正六边形是中心对称图形④ 正五边形绕中心最少旋转72度可与原图形重合，正六边形绕中心最少旋转60度就可与原图形重合；25．(9分)光明中学十分重视中学生的用眼卫生，并定期进行视力检测．某次检测设有A 、B 两处检测点，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一处检测视力．(1)求甲、乙、丙三名学生在同一处检测视力的概率；(2)求甲、乙、丙三名学生中至少有两人在B 处检测视力的概率．【答案】画树形图为试验共有8种等可能结果，分别是（AAA ）（AAB ）（ABA ）（ABB ）（BAA ）（BAB ）（BBA ）（BBB ），（1）其中三名学生在同一处检测视力（记作事件M ）有两种结果，分别是（AAA ）和（BBB ），所以()2184M P ==；（2）至少有两人在B 处检测视力（记作事件N ）有4种结果，分别是（ABB ）（BAB ）（BBA ）（BBB ），所以()4182N P ==．【点评】本题属于中档题，题目设置合理，简单而常规，既能考查学生对概率基础的认知达成，又考查了学生对列举法求概率的掌握情况．但不少学生对概率题目的解题要求及规范有着明显的问题，语言词不达意，解法生搬硬凑，列举杂乱无章等问题均比较突出．【别解1】：甲、乙、丙三人到检测地点共有8种等可能结果，分别是AAA 、AAB 、ABA 、ABB 、BAA 、BAB 、BBA 、BBB ，（1）其中三名学生在同一处检测视力（记作事件M ）有两种结果，分别是（AAA ）和（BBB ），所以()2184M P ==；（2）至少有两人在B 处检测视力（记作事件N ）有4种结果，分别是（ABB ）（BAB ）（BBA ）（BBB ），所以()4182N P ==．【别解2】：甲、乙、丙三人到检测点A 共有8种可能，具体是A A A A A A A A 甲乙丙甲乙乙丙丙甲甲乙丙空、、、、、、、，此时对应的B 处检测人员是B B B B B B B B 乙丙丙甲甲乙丙甲乙空甲乙丙、、、、、、、，所以三人检测共有8种可能结果，（1）其中三名学生在同一处检测视力（记作事件M ）有两种结果，分别是B A A 甲乙丙空甲乙丙和（即），所以()2184M P ==；（2）至少有两人在B 处检测视力（记作事件N ）有4种结果，分别是B B B B 乙丙丙甲甲乙甲乙丙、、、，所以()4182N P ==．【别解3】：甲、乙、丙三人到检测点A 、B 共有8种可能，分别是（甲，乙丙）（乙，甲丙）（丙，甲乙）（甲乙，丙）（乙丙，甲）（甲丙，乙）（甲乙丙，无）（无，甲乙丙），丙乙甲B A B A B A A B A B A B B A（1）其中三名学生在同一处检测视力（记作事件M ）有两种结果，分别是（甲乙丙，无）和（无，甲乙丙），所以()2184M P ==；（2）至少有两人在B 处检测视力（记作事件N ）有4种结果，分别是（甲，乙丙）（乙，甲丙）（丙，甲乙）（无，甲乙丙），所以()4182N P ==．【别解4、5、6、7】：列表为如表，试验共有8种等可能结果，（1）其中三名学生在同一处检测视力（记作事件M ）有两种结果，所以()2184M P ==；（2）至少有两人在B 处检测视力（记作事件N ）有4种结果，所以()4182N P ==． 26．(10分)如图1，O 为正方形ABCD 的中心，分别延长OA 、OD 到点F 、E ，使OF ＝2OA ， OE ＝2OD ，连接EF ．将△EOF 绕点O 逆时针旋转α角得到△E 1OF 1(如图2)．(1)探究AE 1与BF 1的数量关系，并给予证明； (2)当α＝30°时，求证：△AOE 1为直角三角形．【答案】解（1）：四边形ABCD 为正方形 ∴OA=OB=OC=OD ， ∠AOD= ∠AOB= ∠EOF=90 OF=2OA ，OE=2OD甲乙丙 A A A A A B A B A A B B B B B B B A B A B B A A A B 甲乙丙甲乙丙丙甲乙甲乙丙甲丙乙乙丙甲甲乙丙空空甲乙丙 A 甲乙丙甲乙甲丙乙丙甲乙丙空 B 乙丙甲丙甲乙丙乙甲空甲乙丙 A B ABABABABA B A B AB甲 √ √ √ √√√ √ √ 乙 √ √ √ √ √ √ √ √ 丙√ √ √ √ √ √ √ √∴OE=OFO E '= OE ，O F '=OF ∴ O E '=O F '∠AO F '=∠DO E '= α，∠AOD=∠AOB ∴∠AO E '=∠BO F ' ∴△AO E '≌△BO F ' ∴ A E '= B F '解（2）：证明：取O E '的中点G ，连接AGO E '=2OA∴OA=OG=G E ' α=30， ∠AOD=90 ∴∠AO E '=60 ∴△AOG 为正三角形 ∴OA=AG =OG =G E '∴AG=12O E ' ∴△AO E '为直角三角形.【点评】本题属于较难题，主要考查了正方形的性质和判定，旋转，全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定等知识，知识点多，综合性强．不少考生在解答第一问时，证明了OE=OF 就不再证明O E '=O F '，从而导致失分．第二问对学生提出了较高的要求，区分度大，虽然解法不少，但都不容易想到，得分率只有0.3左右．【别解1】：（用同一法证明）证明：过点E '作E 'H ⊥OA ，垂足为H ∠AO E '=60 ∴OH=12 O E ' AO=12O E '∴OH=AO ∴H 、A 重合∴△AO E '为直角三角形【别解2】：（利用勾股定理的逆定理证明）证明：过点A 作AH ⊥O E '，垂足为H ，设OH=a ∠AO E '=60 ∴∠OAH=30α'E 'F DOCB AGα'E 'F DOCB AHα'E 'F DAH∴OA=2OH=2 a AH=3a O E '=2OA=4 a ∴E 'H=3 a在直角△AH E '中，A E '=22AH E H '+=23 a∴222OA AE OE ''+=∴△AO E '为直角三角形【别解3】：（借助相似三角形证明）证明：过点D 作DG ⊥OD ，交O E '于点G α=30∴OG=2DG ， ∠OGD=60 O E '=2OA ， ∠AO E '=60∴12GD OA OG OE =='，∠OGD=∠AO E '=60 ∴△AO E '∽△DGO∴∠OA E '=∠ODG=90∴△AO E '为直角三角形【别解4】：（利用矩形知识证明）证明：过点E '作E 'M ⊥OD ，垂足为M α=30∴O E ' =2E 'M ， O E '=2OA ∴E 'M= OA∠AOD=90，∠E 'MO=90 ∴AO ∥E 'M∴四边形AOM E '为平行四边形 ∠AOD=90∴四边形AOM E '为矩形α'E 'F DOCB AGα'E 'F DOCB AG∴∠OA E '=90∴△AO E '为直角三角形（说明：此种图形也可证明△MO E '≌△B F 'O ，即用E 'M=AO=OB ， ∠O E 'M= ∠BO F '=60，O E '=O F '证明，再得出所求）．27．(12分)已知A (1，0)、B (0，－1)、C (－1，2)、D (2，－1)、E (4，2)五个点，抛物线y ＝a (x －1)2＋k (a ＞0)经过其中的三个点．(1)求证：C 、E 两点不可能同时在抛物线y ＝a (x －1)2＋k (a ＞0)上； (2)点A 在抛物线y ＝a (x －1)2＋k (a ＞0)上吗？为什么？ (3)求a 和k 的值．【答案】（1）证明：用反证法．假设C (－1，2)和E (4，2)都在抛物线y ＝a (x －1)2＋k 将C ，E 两点的坐标代入y ＝a (x －1)2＋k （a ＞0）得， 4292a k a k +=⎧⎨+=⎩，解得a ＝0，这与条件a ＞0不符， ∴C ，E 两点不可能同时在抛物线y ＝a (x －1)2＋k （a ＞0）上. （2）∵A 、C 、D 三点共线（如下图），∴A 、C 、D 三点也不可能同时在抛物线y ＝a (x －1)2＋k （a ＞0）上. ∴同时在抛物线上的三点有如下六种可能： ①A 、B 、C ； ②A 、B 、E ； ③A 、B 、D ； ④A 、D 、E ； ⑤B 、C 、D ； ⑥B 、D 、E .将①、②、③、④四种情况（都含A 点）的三点坐标分别代入y ＝a (x －1)2＋k （a ＞0），解得：①无解；②无解；③a ＝－1，与条件不符，舍去；④无解. 所以A 点不可能在抛物线y ＝a (x －1)2＋k （a ＞0）上. （3）Ⅰ.当抛物线经过（2）中⑤B 、C 、D 三点时，则142a k a k +=-⎧⎨+=⎩，解得12a k =⎧⎨=-⎩Ⅱ. 当抛物线经过（2）中⑥B 、D 、E 三点时，同法可求：38118a k ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.∴12a k =⎧⎨=-⎩或38118a k ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.【点评】本题属于中档题，主要考查了点与函数关系、二次函数图象性质、二元一次方程组、反证法等知识．二次函数是中考中的高频考点，题目以点与函数的关系为背景，根在教材，考在方法，新颖别致，活而不难,形散而神不散，集开放性、推理性、知识性、技巧性于一体，是一首难得的好题．28．(14分)如图，已知直线l 经过点A (1，0)，与双曲线y ＝mx(x ＞0)交于点B (2，1)．过点P (p ，p －1)(p ＞1)作x 轴的平行线分别交双曲线y ＝m x (x ＞0)和y ＝－mx(x ＜0)于点M 、N ．(1)求m 的值和直线l 的解析式；(2)若点P 在直线y ＝2上，求证：△PMB ∽△PNA ；(3)是否存在实数p ，使得S △AMN ＝4S △AMP ？若存在，请求出所有满足条件的p 的值；若不存在，请说明理由．【答案】解：(1)由点B (2，1)在y ＝m x 上，有2＝1m，即m ＝2．设直线l 的解析式为y kx b =+，由点A (1，0)，点B (2，1)在y kx b =+上，得021k b k b +=⎧⎨+=⎩，解之，得1=1k b =-，∴所求直线l 的解析式为 1y x =-．(2)∵点P (p ，p －1)在直线y ＝2上，∴P 在直线l 上，是直线y ＝2和l 的交点，见图（1）． ∴根据条件得各点坐标为N （－1，2），M （1，2），P （3，2）．∴NP ＝3－（－1）＝4，MP ＝3－1＝2，AP ＝2222822+==， BP ＝22112+= ∴在△PMB 和△PNA 中，∠MPB ＝∠NPA ，2NP APMP BP==． ∴△PMB ∽△PNA ．(3)∵点P (p ，p －1)在直线y ＝x-1上，直线l 1与双曲线y ＝mx(xO x Bly＞0)和y ＝－mx(x ＜0)于点M 、N ，∴,211M p p ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，,211N p p ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭∵直线l 1平行x 轴，S △AMN ＝4S △AMP , ∴MN=4PM(Ⅰ)如图2，当点P 在点B 上方时，41MN p =-，21PM p p =--∴42411p p p ⎛⎫=⨯- ⎪--⎝⎭，解得1132p +=（根据题意，另一根从舍去） (Ⅱ)如图3，当点P 在点B 下方时，41MN p =-，21PM p p =-- ∴42411p p p ⎛⎫=⨯- ⎪--⎝⎭，解得152p +=（根据题意，另一根从舍去）经检验，存在实数1132p +=和152p +=，使得S △AMN ＝4S △AMP ．【点评】本题属于较难题，主要考查了反比例函数性质、一次函数性质、待定系数法、二元一次方程组、勾股定理计算、相似三角形的判定与应用、一元二次方程解法等知识．题目以反比例和一次函数为背景，巧妙地将运动多解、相似判定等问题融入到面积计算之中．题目给人起点低，入手宽的感觉，层次清楚，环环相扣，既注重基础知识、基本思想方法的考查，又注重学生思维和能力的训练，作为压轴题，学生得分率控制在0.4-0.5之间，非常的不容易．O A Bl x y N MP 图2 l 1 xylOAB M NP 图3l 1。

数学-江苏省2013届高三二模适应性考试试题(含附加)

江苏省2013届高三二模适应性考试试题一、填空题(本题共14小题,每小题5分,共计70分)1.已知复数2012201320132012iz i+=-的虚部为 .2.已知集合211{|},{|340,}3A xB x x x x Z x =≤=--≤∈,则A B = .3.从甲、乙、丙、丁四人中任选两名代表,甲被选中的概率为 .4.根据图中的伪代码,输出的结果I 为 .5.若12320122013,,,,,x x x x x 的方差为3,则12201220133(2),3(2),,3(2),3(2)x x x x ---- 的方差为 .6.一个底面边长为2cm ,高为3cm 的正三棱锥,其顶点位于球心,底面三个顶点位于球面上,则该球的体积为 3cm . 7.已知1,0()1,0x f x x ≥⎧=⎨-<⎩,则不等式(2)(2)5x x f x +++≤的解集是 .8.已知两点(3,2)A 和(1,4)B -到直线:30l mx y ++=的距离相等,则实数m 的值为 . 9.已知动圆M 的圆心在抛物线2:2012x y Γ=上,且与直线503y =-相切,则动圆M 过定点 . 10.已知,αβ为锐角,且满足sin sin sin cos cos sin cos cos αβαβαβαβ=++,则cos()αβ+= . 11.在闭区间[1,1]-上任取两个实数,则它们的和不大于1的概率是 . 12.已知,(0,1]x y ∈,的最大值为 .13.任取三个互不相等的正整数,,a b c ,若100a b c ++<,则由这三个数构成的不同的等差数列共有个. 14.如果对任意一个三角形,只要它的三边长,,a b c 都在函数()f x 的定义域内,就有(),(),()f a f b f c 也是某个三角形的三边长,则称()f x 为“保三角形函数”,若函数()ln ()h x x x M =≥是保三角形函数,则M 的最小值为 .二、解答题(本题共6小题,共计90分)15.在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ,1sin 5ac B AB AC bc +⋅= .(1)求tan 2A的值;(2)若a =求ABC ∆面积的最大值.16.如图,在四棱锥P ABCD -中,PD ⊥平面ABCD ,//AB CD ,AD DC ⊥,,E F 分别为,BC PA 的中点. (1)求证:AD PC ⊥;(2)求证://EF 平面PCD .17.某个公园有个池塘,其形状为直角ABC ∆,90C ∠= ,200AB =米,100BC =米.(1)现在准备养一批供游客观赏的鱼,分别在,,AB BC CA 上取点,,D E F ,如图(1),使得//,EF AB EF ED ⊥, 游客在DEF ∆内喂食,求DEF ∆面积S 的最大值;(2)现在准备新建造一个荷塘,分别在,,AB BC CA 上取点,,D E F ,如图(2),建造DEF ∆连廊(不考虑宽度)供游客休憩,且使DEF ∆为正三角形,求DEF ∆边长的最小值.18.椭圆22122:1(0)x y a b a b Γ+=>>的左右焦点分别为12,F F ,左右顶点分别为,A B ,离心率为23,且 225AF F B ⋅=.(1)求椭圆Γ的方程;(2)点00(,)M x y (002,0x y ≠>)是圆2222:x y a Γ+=上的任意一点,连结AM ,交椭圆1Γ于P ,记直线2,MF PB 的斜率分别为12,k k ,求12k k 的取值范围.19.已知函数32()23(1)6()f x x a x ax a R =-++∈(1)若函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递增,求实数a 的取值集合; (2)当[1,3]x ∈时,()f x 的最小值为4,求实数a 的值.20.已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,若11a =,且221(1)(1)()n m n m S S S a a +=++--,其中m ,n 为任意正整数.(1)求23,a a 的值;(2)求数列{}n a 的通项公式;(3)数列{}n b 满足3(1)nnnb a -=,且,,(110,,,*)x y z b b b x y z x y z N ≤<<≤∈能构成等差数列,求x y z ++的取值集合.江苏省2013届高三二模适应性考试试题（理科附加）21. （选做题）本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在．．．．．．．．．．答题卡．．．相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A. 选修4－1：几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 外一点，且AC AB =，BC 交⊙O 于点D ．已知BC ＝4，AD ＝6，AC 交⊙O 于点E ，求四边形ABDE 的周长．变换1T 是逆时针旋转2π的旋转变换，对应的变换矩阵是1M ；变换2T 对应用的变换矩阵是21101M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦。

江苏省2013届高三最新数学(精选试题26套)分类汇编2：函数 Word版含答案.pdf

江苏省2013届高三最新数学（精选试题26套）分类汇编2：函数一、填空题．（江苏省2013届高三高考模拟卷（二）（数学））定义在R上的奇函数f(x),当x∈(-∞,0)时,f(x)=x2+2x-1,则不等式f(x)<-1的解集是______. 【答案】(-2,0)∪(1+,+∞) ．（南京师大附中2013届高三模拟考试5月卷）设函数f(x)的定义域为D,如果(x∈D,(y∈D,使=C(C为常数)成立,则称函数f(x)在D上的“均值”为C. 已知四个函数:①y=x3 (x∈R);②y=()x (x∈R);③y=lnx (x∈(0,+∞));④y=2sinx+1 (x∈R). 上述四个函数中,满足所在定义域上“均值”为1的函数是_____.(填满足要求的所有的函数的序号) 【答案】①③④ ．（江苏省常州市西夏墅中学2013年高考冲刺模拟试卷）某同学为研究函数的性质,构造了如右图所示的两个边长为1的正方形和,点是边上的一个动点,设,则. 请你参考这些信息,推知函数的零点的个数是_______. 【答案】2个．（江苏省大港中学2013届高三教学情况调研测试）定义在上的函数 ;当若;则的大小关系为______________. 【答案】．（江苏省2013届高三高考压轴数学试题）(),如果 (),那么的值是______. 【答案】 . ．（江苏省启东中学2013届高三综合训练（1））若方程仅有一个实根,那么的取值范围是____ 【答案】或; ．（江苏省启东中学2013届高三综合训练（2））已知为奇函数,_____ 【答案】．（江苏省扬州中学2013届高三最后一次模拟考试数学试题）已知奇函数的图像关于直线对称,当时,,则=________._ 【答案】．（江苏省扬州中学2013届高三最后一次模拟考试数学试题）已知函数,若在任意长度为2的闭区间上总存在两点,使得成立,则的最小值为_____________. 【答案】．（武进区湟里高中2013高三数学模拟试卷）给出四个函数:①;②;③;④,则下列甲、乙、丙、丁四个函数图象对应上述四个函数分别是_____________(只需填序号). 甲乙丙丁【答案】解析:④,①,②,③ ．（江苏省启东中学2013届高三综合训练（3））设且若定义在区间内的函数是奇函数,则的取值范围是_______. 【答案】．（江苏省常州市金坛市第一中学2013年高考冲刺模拟试卷）设函数,则方程的实数解的个数为_________. 【答案】 3 ．（江苏省启东中学2013届高三综合训练（2））设定义域为R的函数若关于的方程有8个不同的实数根,则实数b的取值范围是_______.【答案】．（江苏省扬州市2013届高三下学期5月考前适应性考试数学（理）试题）从轴上一点A分别向函数与函数引不是水平方向的切线和,两切线、分别与轴相交于点B和点C,O为坐标原点,记△OAB的面积为,△OAC的面积为,则+的最小值为______. 【答案】8 提示:,设两切点分别为,,(,),:,即,令,得;令,得.:,即,令,得;令,得.依题意, ,得, +===,=,可得当时,有最小值8.．（江苏省南通市通州区姜灶中学2013届高三5月高考模拟数学试题）函数的单调减区间是________. 【答案】．（江苏省常州市横山桥中学2013年高考数学冲刺模拟试卷doc）已知定义在实数集R上的偶函数f(x)在区间[0,+∞)上是单调增函数.若f(1)<f(lnx),则x的取值范围是_____. 【答案】(0, )∪(e, +∞) ．（江苏省常州市金坛四中2013年高考数学冲刺模拟试卷doc）设实数,若仅有一个常数c使得对于任意的,都有满足方程,这时,实数的取值的集合为_________ 【答案】．（江苏省大港中学2013届高三教学情况调研测试）设函数是定义在上的奇函数,且对任意都有,当时,,则的值为______________. 【答案】．（江苏省常州市第五中学2013年高考数学文科）冲刺模拟试卷）已知函数,若,则的取值范围是____. 【答案】．（江苏省常州市武进高级中学2013年高考数学文科）冲刺模拟试卷doc）对任意两个实数,定义若,,则的最小值为____. 【答案】-1 ．（江苏省常州市西夏墅中学2013年高考冲刺模拟试卷）若关于x的方程2-|x|-x2+a=0有两个不相等的实数解,则实数a的取值范围是_______【答案】．（江苏省大港中学2013届高三教学情况调研测试）已知函数(其中,为常数),若的图象如右图所示,则函数在区间[-1,1]上的最大值是__________. 【答案】．（江苏省大港中学2013届高三教学情况调研测试）设是定义在R上的偶函数,对任意,都有,且当时,,若在区间内关于的方程恰有三个不同的实数根,则的取值范围为______________. 【答案】．（江苏省2013届高三高考模拟卷（二）（数学））定义在R上的函数f(x)满足f(x)=则f(2013)=________. 【答案】- ．（江苏省启东中学2013届高三综合训练（1））函数对于任意实数满足条件,若,则______. 【答案】.; ．（江苏省常州市第五中学2013年高考数学文科）冲刺模拟试卷）函数的定义域为,若满足①在内是单调函数,②存在,使在上的值域为,那么叫做对称函数,现有是对称函数, 那么的取值范围是_____________. 【答案】．（南京师大附中2013届高三模拟考试5月卷）设实数a,x,y,满足则xy的取值范围是_____. 【答案】[-,+] ．（武进区湟里高中2013高三数学模拟试卷）已知,,,若为偶函数,则的零点为________. 【答案】解析:根据函数的图像,有,所以或(舍去),所以的零点为. ．（江苏省大港中学2013届高三教学情况调研测试）设的奇函数,则使的X的取值范围是______________. 【答案】(一1. 0) ．（江苏省常州市第二中学2013年高考数学（文科）冲刺模拟试卷doc）已知函数若函数有3个零点,则实数m的取值范围是_____________. 【答案】 (0,1) ．（江苏省启东中学2013届高三综合训练（1））已知函数f(x)=是R上的增函数,则实数k的取值范围是_______. 【答案】[,1); ．（2013年江苏省高考数学押题试卷）函数f(x)=lg(x2ax1)在区间(1,+∞)上单调增函数,则a的取值范围是________. 【答案】填(-∞,0]. g(x)=x2ax1的对称轴x=≤1,且 g(1)=a≥0, 所以a≤0. 二、解答题．（江苏省常州市第五中学2013年高考数学文科）冲刺模拟试卷）某公司有价值万元的一条流水线,要提高该流水线的生产能力,就要对其进行技术改造,从而提高产品附加值,改造需要投入,假设附加值万元与技术改造投入万元之间的关系满足:①与和的乘积成正比;②时,; ③,其中t为常数,且. 求:(1)设,求表达式,并求的定义域;(2)求出附加值的最大值,并求出此时的技术改造投入.【答案】解:(1)设,当时,,可得:,∴ ∴定义域为,为常数,且 (2) 当时,即,时,当,即,在上为增函数∴当时, ∴当,投入时,附加值y最大,为万元;当,投入时,附加值y最大,为万元14分．（江苏省常州市奔牛高级中学2013年高考数学冲刺模拟试卷）某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后,发现一天中环境综合污染指数f(x)与时间x(小时)的关系为,其中a为与气象有关的参数,且,若用每天f(x)的最大值为当天的综合污染指数,并记作M(a).(1)令,求t的取值范围.(2)求函数M(a)的表达式;(3)市政府规定,每天的综合污染指数不得超过2,试问目前市中心的完全污染指数是多少?是否超标?【答案】．（江苏省大港中学2013届高三教学情况调研测试）设函数是定义域为的奇函数. (1)求值; (2)若,试判断函数单调性并求使不等式恒成立的的取值范围; (3)若,且,在上的最小值为,求的值. 【答案】解:(1)∵f(x)是定义域为R的奇函数,∴f(0)=0, ∴1-(k-1)=0,∴k=2, (2) 单调递减,单调递增,故f(x)在R上单调递减. 不等式化为恒成立, ,解得 (3)∵f(1)=,,即 ∴g(x)=22x+2-2x-2m(2x-2-x)=(2x-2-x)2-2m(2x-2-x)+2. 令t=f(x)=2x-2-x,由(1)可知f(x)=2x-2-x为增函数,∵x≥1,∴t≥f(1)=, 令h(t)=t2-2mt+2=(t-m)2+2-m2 (t≥) 若m≥,当t=m时,h(t)min=2-m2=-2,∴m=2 若m,舍去综上可知m=2. ．（江苏省徐州市2013届高三考前模拟数学试题）某人年底花万元买了一套住房,其中首付万元,万元采用商业贷款.贷款的月利率为‰,按复利计算,每月等额还贷一次,年还清,并从贷款后的次月开始还贷. ⑴这个人每月应还贷多少元? ⑵为了抑制高房价,国家出台“国五条”,要求卖房时按照差额的20%缴税.如果这个人现在将住房万元卖出,并且差额税由卖房人承担,问:卖房人将获利约多少元? (参考数据:) 【答案】⑴设每月应还贷元,共付款次,则有 , 所以(元) 答:每月应还贷元 ⑵卖房人共付给银行元, 利息(元), 缴纳差额税(元), (元). 答:卖房人将获利约元．（江苏省大港中学2013届高三教学情况调研测试）已知函数. (1)若,求不等式的解集;(2)当方程恰有两个实数根时,求的值;(3)若对于一切,不等式恒成立,求的取值范围. 【答案】解:(1)由得当时,恒成立 ∴ 当时,得或又 ∴ 所以不等式的解集为 (2)由得令由函数图象知两函数图象在y轴右边只有一个交点时满足题意,即由得由图知时方程恰有两个实数根(3) 当时,,,, 所以当时 ①当时,,即,令时,,所以时,,所以, 所以 ②当时,,即所以, 综上,的取值范围是．（江苏省大港中学2013届高三教学情况调研测试）已知函数()在区间上有最大值和最小值.设.(1)求、的值;(2)若不等式在上有解,求实数的取值范围;【答案】解:(1),因为,所以在区间上是增函数,故,解得. (2)由已知可得,所以可化为,化为,令,则,因,故,记,因为,故, 所以的取值范围是. ．（武进区湟里高中2013高三数学模拟试卷）省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后,发现一天中环境综合放射性污染指数与时刻(时)的关系为,其中是与气象有关的参数,且,若用每天的最大值为当天的综合放射性污染指数,并记作. (1)令,,求t的取值范围; (2)省政府规定,每天的综合放射性污染指数不得超过2,试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标?【答案】解析:(1)当时,t=0; 当时,(当时取等号),∴,即t的取值范围是. (2)当时,记,则,∵在上单调递减,在上单调递增,且.故. ∴当且仅当时,. 故当时不超标,当时超标. y x 0 y x 0 y x 0 y x 0。

2013届江苏省高三数学二轮专题训练解答题(20)

江苏省2013届高三数学二轮专题训练：解答题（20）本大题共6小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1. (本题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，已知点,sin ,cos ),0,56(）（ααP A 其中20πα<<．（1）若,65cos =α求证：;PQ PA ⊥ （2)42sin(πα+的值．2. (本题满分14分)设集合{}32|≤≤-=x x A ,函数)34(log)(26+++=k x kx x f (1)当1-=k 时, 求函数)(x f 的值域.(2)若 B 为函数)(x f 的定义域,当A B ⊆时,求实数k 的取值范围.3. (本题满分14分)已知函数2()2cos cos f x x x x =+.（1）求函数()f x 在区间[,]63ππ-上的值域；（2）在△ABC 中，若()2f C =,2sin cos()cos()B A C A C =--+,求tan A 的值.BP4. (本题满分14分)已知函数()23x x f x a b =⋅+⋅，其中常数,a b 满足0a b ⋅≠（1）若0a b ⋅>，判断函数()f x 的单调性；（2）若b a 3-=，求(1)()f x f x +>时的x 的取值范围．5. (本题满分16分)如图△ABC 为正三角形，边长为2，以点A 为圆心，1为半径作圆，PQ 为圆A 的任意一条直径．⑴若12CDDB =，求||AD ； ⑵求CP BQ ⋅的最小值．⑶判断CQ BP ⋅＋CP BQ ⋅的值是否会随点P 的变化而变化，请说明理由．6. (本题满分18分)已知函数||()2x m f x -=和函数()||28g x x x m m =-+-．（1）若2m =，写出函数)(x f 的对称轴方程、并求函数()g x 的单调区间；（2）若对任意1(,4]x ∈-∞，均存在2[4,)x ∈+∞，使得12()()f x g x =成立，求实数m 的取值范围．1. 解：（1）（方法一）由题设知).sin ,cos (),sin ,cos 56(a a PO a a PA --=--=所以2sin ()cos )(cos 56(）a a a POPA -+--=⋅ .1cos 56sin cos cos 5622+-=++-=a a a a ……………………6分因为,65cos =a 所以.0=⋅PO PA 故.PO PA ⊥……………………7分（方法二）因为,65cos =a ,20π<<a 所以611sin =a ，故.611,65(）P 因此).611,65(),611,3011(--=-=PO PA 因为.0)611()65(30112=-+-⨯=⋅PO PA所以.PO PA ⊥（2）因为，PO PA ⊥所以,22PO PA =即.sin cos sin )56cos 2222a a a a +=+-（解得.53cos =a ……………………9分因为,20π<<a 所以.54sin =a因此.2571cos 22cos ,2524cos sin 22sin 2-=-===a a a a a ……………………12分从而.50217)257(222524222cos 222sin 2242sin(=-⨯+⨯=+=+a a a ）π……………14分2. 解:(1) 当1-=k 时, 66)2(3422≤+--=+++x k x kx ……………2分 ∴26log)(6=≤x f ……………4分∴函数)(x f 的值域为]2,(-∞……………5分(2)设g (x)=kx 2+4x+k+3,则B={x|g(x)>0}.①当k=0时,B=(-,+∞)⊈A,不合题意,故舍去. ……………7分②当k>0时,注意到g(x)的图象开口向上,显然B ⊈A,故舍去. ……………9分 ③当k<0时,由A B ⊆知解得-4<k ≤-.综上知k ∈(-4,-]. ……………14分3. 解：（1）f (x )＝1＋cos2x ＋3sin2x ＝2sin(2x ＋π6)＋1． ………………………………3分因为－π6≤x ≤π3，所以－π6≤2x ＋π6≤5π6．……………………………………………5分所以－12≤sin(2x ＋π6)≤1．所以－1≤2sin(2x ＋π6)≤2所以f (x )∈[0，3]．即函数f (x )在[－π6，π3]上的值域为[0，3]．………………………7分（2）由f (C )＝3得，2sin(2C ＋π6)＋1＝2，所以sin(2C ＋π6)＝12．在△ABC 中，因为0＜C ＜π，所以π6＜2C ＋π6＜13π6．所以2C ＋π6＝5π6．所以C ＝π3，所以A ＋B ＝2π3． ………………………………………9分因为2sin B ＝cos(A －C )－cos(A ＋C )．所以2sin B ＝2sin A sin C ． …………………11分因为B ＝2π3－A ， C ＝π3．所以2sin(2π3－A )＝3sin A ．即3cos A ＋sin A ＝3sin A ．即(3－1)sin A ＝3cos A ．所以tan A ＝sin A cos A ＝33－1＝3＋32．………………14分4. 解：⑴ 当0,0a b >>时，任意1212,,x x R x x ∈<，则121212()()(22)(33)x x x x f x f x a b -=-+-∵121222,0(22)0x x x x a a <>⇒-<，121233,0(33)0x x x x b b <>⇒-<，∴12()()0f x f x -<，函数()f x 在R 上是增函数……………6分当0,0a b <<时，同理函数()f x 在R 上是减函数。

江苏省南京市江宁高中2013届高三迎市统测模拟考试数学试题(含详解)

2012-2013年南京市江宁高级中学迎市统测高三模拟试卷2012-12-16姓名班级成绩一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．已知ni i+=-112，其中R n ∈，i 是虚数单位，则n = 1 ．２．命题p ：∀x ∈R ，2x 2+1>0的否定是____∃x ∈R ，2x 2+1≤0 __________.3．用1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中奇数共有 36 个.(用数字作答)4．若根据5名儿童的年龄x （岁）和体重y (kg)的数据，用最小二乘法得到用年龄预报体重的线性回归方程是ˆ27yx =+，已知这5名儿童的年龄分别是3，4，5，6，7，则这5名儿童的平均体重是 17 kg ．5．定义nx M =x(x+1)(x+2)…(x+n-1)，其中x ∈R ，n ∈N *，例如 4-4M =(-4)(-3)(-2)(-1)=24，则函数f(x)= 2007x-1003M 的奇偶性为____奇函数__________.6．曲线y=x x 62+-,则过坐标原点且与此曲线相切的直线方程为 x y 6= ．7．已知复数(,)z x yi x y R =+∈，且|2|z -=，则yx8．用反证法证明命题：“如果,a b N ∈，ab 可被3整除，那么,a b 中至少有一个能被3整除”时，假设的内容应为假设,a b 都不能被3整除． 9．给出下面类比推理命题（其中R 为实数集，C 为复数集）：①“若,,a b R ∈则0a b a b -=⇒=”类比推出“若,,a b C ∈则0a b a b -=⇒=”； ②“若,,a b R ∈则0ab =0a ⇒=或0b =”类比推出“若,,a b C ∈则0ab =0a ⇒= 或0b =”；③“若,,a b R ∈则0a b a b ->⇒>” 类比推出“若,,a b C ∈则0a b a b ->⇒>”； ④“若,,a b R ∈则220a b +≥”类比推出“若,,a b C ∈则220a b +≥” 所有命题中类比结论正确的序号是 ①② ．10．对于R 上的可导函数()f x ，若满足(2)'()0x f x -≥，则(0)(3)f f +与2(2)f 的大小关系为不小于．（填“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”）11．从装有1n +个球（其中n 个白球，1个黑球）的口袋中取出m 个球(0,,,m n m n <≤)N *∈，共有1m n C +种取法。

【解析版】江苏省扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三3月第二次调研测试数学试题

2013年江苏省南通、扬州、泰州、宿迁四市高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷卡的相应位置上．1．（5分）（2013•南通二模）在平面直角坐标系中，已知向量=（2，1），向量=（3，5），则向量的坐标为（1，4）．考点：平面向量的坐标运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：由=，代入坐标即可运算．解答：解：∵=（2，1），=（3，5），∴==（3，5）﹣（2，1）=（1，4）故答案为：（1，4）点评：本题主要考查了向量的坐标运算，属于基础试题2．（5分）（2013•南通二模）设集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|x2﹣5x≥0}，则A∩（∁R B）=（0，3]．考点：交、并、补集的混合运算．分析：由题意，可先解一元二次不等式，化简集合A，B，再求出B的补集，再由交的运算规则解出A∩（∁R B）即可得出正确答案．解答：解：由题意B={x|x2﹣5x≥0}={x|x≤0或x≥5}，故∁R B={x|0＜x＜5}，又集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}，∴A∩（∁R B）=（0，3]．故答案为（0，3]．点评：本题考查交、并、补的混合运算，属于集合中的基本计算题，熟练掌握运算规则是解解题的关键．3．（5分）（2013•南通二模）设复数z满足|z|=|z﹣1|=1，则复数z的实部为．考点：复数求模．专题：计算题．分析：利用复数的运算法则和模的计算公式即可得出．解答：解：设z=a+bi（a，b∈R）．∵复数z满足|z|=|z﹣1|=1，∴，解得．∴复数z的实部为．故答案为．点评：熟练掌握复数的运算法则和模的计算公式是解题的关键．4．（5分）（2013•南通二模）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f （x）=x+e x（e为自然对数的底数），则f（ln6）的值为ln6﹣6．考点：函数奇偶性的性质；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由x＜0时的解析式，先求出f（﹣ln6），再由f （x）是定义在R上的奇函数，f（﹣x）=﹣f （x），得到答案．解答：解：∵当x＜0时，f （x）=x+e x，∴f（﹣ln6）=﹣ln6+e ln6=6﹣ln6又∵f （x）是定义在R上的奇函数，∴f（ln6）=﹣f（﹣ln6）=ln6﹣6故答案为：ln6﹣6点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数的值，其中熟练掌握奇函数的定义f（﹣x）=﹣f（x），是解答的关键．5．（5分）（2013•南通二模）某篮球运动员在7天中进行投篮训练的时间（单位：分钟）用茎叶图表示（如图），图中左列表示训练时间的十位数，右列表示训练时间的个位数，则该运动员这7天的平均训练时间为72分钟．考点：茎叶图；众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：先由茎叶图写出所有的数据，求出所有数据和，再利用和除以数据的个数，得到该运动员的平均训练时间．解答：解：有茎叶图知，天中进行投篮训练的时间的数据为64，65，67，72，75，80，81；∴该运动员的平均训练时间为：=72．故答案为：72．点评：解决茎叶图问题，关键是能由茎叶图得到各个数据，再利用公式求出所求的值．6．（5分）（2013•南通二模）根据如图所示的伪代码，最后输出的S的值为145．考点：伪代码．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出满足条件S=1+4+7+10+13+…+28时，S的值．解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出满足条件S=1+4+7+10+13+…+28值．∵S=1+4+7+10+13+…+28=145，故输出的S值为145．故答案为：145．点评：本题考查的知识点是伪代码，其中根据已知分析出循环的循环变量的初值，终值及步长，是解答的关键．7．（5分）（2013•南通二模）在平面直角坐标系xOy中，设椭圆与双曲线y2﹣3x2=3共焦点，且经过点，则该椭圆的离心率为．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据题意，双曲线y2﹣3x2=3焦点坐标为F1（﹣2，0），F2（2，0）．然后根据椭圆的定义，结合两点的距离公式得2a=|AF1|+|AF2|=4，从而a=2，可得c，可得该椭圆的离心率．解答：解：∵双曲线y2﹣3x2=3，即，∴双曲线的焦距为4，∴c=2，焦点坐标为F1（0，﹣2），F2（0，2），∵椭圆经过点A，∴根据椭圆的定义，得2a=|AF1|+|AF2|=+=4，可得a=2，所以离心率e===．故答案为：．点评：本题给出椭圆的焦点和椭圆上一点的坐标，求椭圆的基本量，着重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质，属于基础题．8．（5分）（2013•南通二模）若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为2cm的半圆，则该圆锥的高为cm．考点：点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离．分析：根据半圆的周长等于圆锥底面圆的周长求出底面圆的半径，再根据圆锥的轴截面图形求高即可．解答：解：设圆锥的底面圆半径为r，则2πr=2π⇒r=1cm，∴h==cm．故答案是．点评：本题考查圆锥的侧面展开图及圆锥的轴截面．9．（5分）（2013•南通二模）将函数的图象上每一点向右平移1个单位，再将所得图象上每一点的横坐标扩大为原来的倍（纵坐标保持不变），得函数y=f（x）的图象，则f（x）的一个解析式为．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：由左加右减上加下减的原则，可确定函数平移后的函数解析式，利用伸缩变换推出所求函数解析式．解答：解：图象上的每一点向右平移1个单位，得到函数，再将所得图象上每一点的横坐标扩大为原来的倍（纵坐标保持不变），得到函数的图象，函数y=f（x）的图象，则f（x）的一个解析式为．故答案为：．点评：本题主要考查三角函数的平移与伸缩变换．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．10．（5分）（2013•南通二模）函数f（x）=（x﹣1）sinπx﹣1（﹣1＜x＜3）的所有零点之和为4．考点：数列的求和；函数的零点．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：画出图象，可看出交点的个数，并利用对称性即可求出．解答：解：由（x）=（x﹣1）sinπx﹣1=0（﹣1＜x＜3）可得sinπx=令g（x）=sinπx，h（x）=，（﹣a＜x＜3）则g（x），h（x）都是关于（1，0）点对称的函数故交点关于（1，0）对称又根据函数图象可知，函数g（x）与h（x）有4个交点，分别记为A，B，C，D则x A+x B+x C+x D=4故答案为：4点评：熟练掌握数形结合的思想方法和函数的对称性是解题的关键11．（5分）（2013•南通二模）设α，β∈（0，π），且，．则cosβ的值为﹣．考点：二倍角的正切；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：由tan的值，利用二倍角的正切函数公式求出tanα的值大于1，确定出α的范围，进而sinα与cosα的值，再由sin（α+β）的值范围求出α+β的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cos（α+β）的值，所求式子的角β=α+β﹣α，利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．解答：解：∵tan=，∴tanα==＞1，∴α∈（，），∴cosα==，sinα==，∵sin（α+β）=＜，∴α+β∈（，π），∴cos（α+β）=﹣，则cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=﹣×+×=﹣．故答案为：﹣点评：此考查了二倍角的正切函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．12．（5分）（2013•南通二模）设数列{a n}满足：，则a1的值大于20的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．专题：计算题．分析：由给出的等式得到数列递推式，说明数列是等差数列或等比数列，求出a3=8时对应的a1的值，则a1的值大于20的概率可求．解答：解：∵（a n+1﹣a n﹣2）（2a n+1﹣a n）=0，∴a n+1﹣a n﹣2=0或2a n+1﹣a n=0，分别取n=1，2．则a3﹣a2=2，a2﹣a1=2或a2=2a3，a1=2a2．当a3=8时，a2=6或a2=16，当a2=6时，a1=4或a1=12，当a2=12时，a1=10或a1=24，∴a1的值大于20的概率为．故答案为．点评：本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了古典概型及其概率计算公式，解答此题的关键是不能把数列看做等差数列或等比数列独立的求解，此题虽是基础题但容易出错．13．（5分）（2013•南通二模）设实数x1，x2，x3，x4，x5均不小于1，且x1•x2•x3•x4•x5=729，则max{x1x2，x2x3，x3x4，x4x5}的最小值是9．考点：进行简单的合情推理；函数的值．专题：新定义．分析：先根据基本不等式得x1x2+x3x4≥2，即取定一个x5后，x1x2，x3x4不会都小于，及x2x3+x4x5≥2+≥2，再研究使三个不等式等号都成立的条件，即可得出max{x1x2，x2x3，x3x4，x4x5}的最小值．解答：解：∵x1x2+x3x4≥2，即取定一个x5后，x1x2，x3x4不会都小于，同样x2x3+x4x5≥2，+≥2，使三个不等式等号都成立，则x1x2=x3x4=，x2x3=x4x5=，x1=x5即x1=x3=x5，x2=x4 x1x2=x2x3=x3x4=x4x5所以729=x13×x22=，（x1x2）3=729×x2x2最小为1，所以x1x2最小值为9，此时x1=x3=x5=9 x2=x4=1．故答案为：9．点评：本题主要考查了进行简单的合情推理及基本不等式的应用，属于中档题．14．（5分）（2013•南通二模）在平面直角坐标系xOy中，设A（﹣1，1），B，C是函数图象上的两点，且△ABC为正三角形，则△ABC的高为2．考点：点到直线的距离公式．专题：综合题．分析：设B、C为直线y=kx+b（k＜0，b＞0）与y=的交点，联立方程组⇒kx2+bx﹣1=0．设B（x1，y1），C（x2，y2），利用韦达定理，结合△ABC为正三角形，可求得k及|AD|，从而可得答案．解答：解：设B、C为直线y=kx+b（k＜0，b＞0）与y=的交点，由得kx2+bx﹣1=0．设B（x1，y1），C（x2，y2），则x1+x2=﹣，y1+y2=+==b，设BC的中点为D，则D（﹣，）．因为A（﹣1，1），依题意，k AD•k BC=﹣1，即•k=﹣1，由于k＜0，故1﹣k≠0，∴b=（b＞0）．∵|BC|=|x1﹣x2|=•=•=•∴d A﹣BC=|BC|，即=×|BC|=×2•，即=×•，解得：k=．∵b=＞0，∴k=，k2=，∴d A﹣BC======2．故△ABC的高为2．故答案为：2．点评：本题考查韦达定理与点到直线的距离公式，考查方程思想与等价转化思想的综合运用，属于难题．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请把答案写在答题卡相应的位置上.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）（2013•南通二模）已知△ABC的内角A的大小为120°，面积为．（1）若AB=，求△ABC的另外两条边长；（2）设O为△ABC的外心，当时，求的值．考点：余弦定理；平面向量数量积的运算；正弦定理．专题：计算题；解三角形；平面向量及应用．分析：（1）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，由三角形的面积公式及已知AB，可求b，c，然后再利用余弦定理可求（2）由（1）可知BC，利用余弦定理可求b，设BC的中点为D，则，结合O为△ABC的外心，可得，从而可求解答：解：（1）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，于是，所以bc=4．…（3分）因为，所以．由余弦定理得．…（6分）（2）由得b2+c2+4=21，即，解得b=1或4．…（8分）设BC的中点为D，则，因为O为△ABC的外心，所以，于是．…（12分）所以当b=1时，c=4，；当b=4时，c=1，．…（14分）点评：本题主要考查了三角形的面积公式及余弦定理的应用．还考查了向量的基本运算及性质的应用．16．（14分）（2013•南通二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，BC∥平面PAD，∠PBC=90°，∠PBA≠90°．求证：（1）AD∥平面PBC；（2）平面PBC⊥平面PAB．考点：直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）由BC ∥平面PAD ，利用线面平行的性质定理即可得到BC ∥AD ，再利用线面平行的判定定理即可证明AD ∥平面PBC ；（2）自P 作PH ⊥AB 于H ，由平面PAB ⊥平面ABCD ，可得PH ⊥平面ABCD ．于是BC ⊥PH ．又BC ⊥PB ，可得BC ⊥平面PAB ，进而得到面面垂直．解答：证明：（1）因为BC ∥平面PAD ，而BC ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面PAD=AD ，所以BC ∥AD ．因为AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以AD ∥平面PBC ．（2）自P 作PH ⊥AB 于H ，因为平面PAB ⊥平面ABCD ，且平面PAB ∩平面ABCD=AB ，所以PH ⊥平面ABCD ．因为BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥PH ．因为∠PBC=90°，所以BC ⊥PB ，而∠PBA ≠90°，于是点H 与B 不重合，即PB ∩PH=H ．因为PB ，PH ⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB ．因为BC ⊂平面PBC ，故平面PBC ⊥平面PAB ．点评：本题综合考查了线面、面面垂直的判定与性质定理，线面平行的判定与性质定理，需要较强的推理能力和空间想象能力． 17．（14分）（2013•南通二模）为稳定房价，某地政府决定建造一批保障房供给社会．计划用1 600万元购得一块土地，在该土地上建造10幢楼房的住宅小区，每幢楼的楼层数相同，且每层建筑面积均为1 000平方米，每平方米的建筑费用与楼层有关，第x 层楼房每平方米的建筑费用为（kx+800）元（其中k 为常数）．经测算，若每幢楼为5层，则该小区每平方米的平均综合费用为1 270元．（每平方米平均综合费用=）．（1）求k 的值；（2）问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低，应将这10幢楼房建成多少层？此时每平方米的平均综合费用为多少元？考点：函数模型的选择与应用．分析：（1）求出每幢楼为5层时的所有建筑面积，算出所有建筑费，直接由每平方米平均综合费用=列式求出k 的值；（2）设小区每幢为n （n ∈N*）层时，每平方米平均综合费用为f （n ），同样利用题目给出的每平方米平均综合费用的关系式列出f （n ）的表达式，然后利用基本不等式求出f （n ）的最小值，并求出层数．解答：解：（1）如果每幢楼为5层，那么所有建筑面积为10×1000×5平方米，所有建筑费用为[（k+800）+（2k+800）+（3k+800）+（4k+800）+（5k+800）]×1000×10，所以，1270=，解之得：k=50．（2）设小区每幢为n （n ∈N*）层时，每平方米平均综合费用为f （n ），由题设可知 f （n ）==+25n+825≥2+825=1 225（元）．当且仅当=25n ，即n=8时等号成立．答：该小区每幢建8层时，每平方米平均综合费用最低，此时每平方米平均综合费用为1225元．点评：本题考查了函数模型的选择及应用，考查了学生的数学建模能力和计算能力，是中档题．18．（16分）（2013•南通二模）已知函数f （x ）=（m ﹣3）x 3+9x ．（1）若函数f （x ）在区间（﹣∞，+∞）上是单调函数，求m 的取值范围；（2）若函数f （x ）在区间[1，2]上的最大值为4，求m 的值．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；综合题；导数的综合应用．分析：（1）函数f （x ）在R 上是单调函数，说明y=f'（x ）在（﹣∞，+∞）上恒大于等于0或恒小于等于0，根据f'（x ）=3（m ﹣3）x 2+9得f'（0）=9＞0，从而得到只有f'（x ）≥0在R 上恒成立，由此建立关于m 的不等式即可解出实数m 的取值范围．（2）根据（1）的结论，当m ≥3时f （x ）在R 上为增函数，当m ＜3时在区间，上单调递减，在区间单调递增．再根据m 的取值结合函数的单调性建立关于m 的方程，解得m=﹣2符合题意，得到本题答案．解答：解：（1）求导数，得f'（x ）=3（m ﹣3）x 2+9∵f'（0）=9＞0，∴f （x ）在区间（﹣∞，+∞）上只能是单调增函数． …（3分）又∵f'（x ）=3（m ﹣3）x 2+9≥0在区间（﹣∞，+∞）上恒成立，∴，解之可得m ≥3，即m 的取值范围是[3，+∞）． …（6分）（2）由（1）的结论，得当m ≥3时，f （x ）在[1，2]上是增函数，所以[f （x）]max=f （2）=8（m﹣3）+18=4，解得m=＜3，不合题意舍去．…（8分）当m＜3时，f'（x）=3（m﹣3）x2+9=0，解之得．所以f （x）的单调区间为：在区间，上单调递减，在区间单调递增．…（10分）①当，即时，得，∴f （x）在区间[1，2]上单调增，可得[f （x）]max=f（2）=8（m﹣3）+18=4，m=，不满足题设要求．②当，即0＜m＜时，可得[f （x）]max=舍去．③当，即m≤0时，则，∴f （x）在区间[1，2]上单调减，可得[f （x）]max=f （1）=m+6=4，m=﹣2，符合题意综上所述，m的值为﹣2．…（16分）点评：本题给出三次多项式函数，讨论了函数的单调性，已知函数在区间[1，2]上的最大值为4的情况下求参数m的值．着重考查了利用导数研究函数的单调性、三次多项式函数在闭区间上最值的求法等知识，属于中档题．19．（16分）（2013•南通二模）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2=r2和直线l：x=a（其中r和a均为常数，且0＜r＜a），M为l上一动点，A1，A2为圆C与x轴的两个交点，直线MA1，MA2与圆C的另一个交点分别为P、Q．（1）若r=2，M点的坐标为（4，2），求直线PQ方程；（2）求证：直线PQ过定点，并求定点的坐标．考点：直线与圆的位置关系；恒过定点的直线．专题：计算题；直线与圆．分析：（1）通过r=2，M点的坐标为（4，2），求出A1（﹣2，0），A2（2，0）．然后推出P、Q坐标，即可求直线PQ方程；（2）证明法一：设A1（﹣r，0），A2（r，0）．设M（a，t），求出直线MA1的方程，直线MA1的方程，通过直线与圆的方程联立，求出直线PQ的方程，然后说明经过定点，求定点的坐标．法二：设得A1（﹣r，0），A2（r，0）．设M（a，t），求出直线MA1的方程，与圆C的交点P设为P（x1，y1）．求出直线MA2的方程，与圆C的交点Q设为Q（x2，y2）．点P（x1，y1），Q（x2，y2）在曲线[（a+r）y﹣t（x+r）][（a﹣r）y﹣t（x﹣r）]=0上，有P（x1，y1），Q（x2，y2）在圆C上，求出公共弦方程，说明经过定点，求定点的坐标．解答：解：（1）当r=2，M（4，2），则A1（﹣2，0），A2（2，0）．直线MA1的方程：x﹣3y+2=0，解得．…（2分）直线MA2的方程：x﹣y﹣2=0，解得Q（0，﹣2）．…（4分）由两点式，得直线PQ方程为：2x﹣y﹣2=0．…（6分）（2）证法一：由题设得A1（﹣r，0），A2（r，0）．设M（a，t），直线MA1的方程是：y=（x+r），直线MA1的方程是：y=（x﹣r）．…（8分）解得．…（10分）解得．…（12分）于是直线PQ的斜率k PQ=，直线PQ的方程为．…（14分）上式中令y=0，得x=，是一个与t无关的常数．故直线PQ过定点．…（16分）证法二：由题设得A1（﹣r，0），A2（r，0）．设M（a，t），直线MA1的方程是：y=（x+r），与圆C的交点P设为P（x1，y1）．直线MA2的方程是：y=（x﹣r）；与圆C的交点Q设为Q（x2，y2）．则点P（x1，y1），Q（x2，y2）在曲线[（a+r）y﹣t（x+r）][（a﹣r）y﹣t（x﹣r）]=0上，…（10分）化简得（a2﹣r2）y2﹣2ty（ax﹣r2）+t2（x2﹣r2）=0．①又有P（x1，y1），Q（x2，y2）在圆C上，圆C：x2+y2﹣r2=0．②①﹣t2×②得（a2﹣r2）y2﹣2ty（ax﹣r2）﹣t2（x2﹣r2）﹣t2（x2+y2﹣r2）=0，化简得：（a2﹣r2）y﹣2t（ax﹣r2）﹣t2 y=0．所以直线PQ的方程为（a2﹣r2）y﹣2t（ax﹣r2）﹣t2 y=0．③…（14分）在③中令y=0得x=，故直线PQ过定点．…（16分）点评：不考查直线与圆的位置关系，直线系方程的应用，考查计算能力与转化思想．20．（16分）（2013•南通二模）设无穷数列{a n}满足：∀n∈N*，a n＜a n+1，．记．（1）若，求证：a1=2，并求c1的值；（2）若{c n}是公差为1的等差数列，问{a n}是否为等差数列，证明你的结论．考点：等差数列与等比数列的综合；等差关系的确定．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）根据已知条件排除a1=1、a1≥3即可证得a1=2，，通过计算可得a2=3，故=b2，代入数值可求得；（2）由a n+1＞a n⇒n≥2时，a n＞a n﹣1，由此可推得a n≥a m+（n﹣m）（m＜n），从而，即c n+1﹣c n≥a n+1﹣a n，又{c n}是公差为1的等差数列，所以1≥a n+1﹣a n，又a n+1﹣a n≥1，故a n+1﹣a n=1，由此可判断{a n}是否为等差数列；解答：（1）因为，所以若a1=1，则矛盾，若，可得1≥a1≥3矛盾，所以a1=2．于是，从而．（2）{a n}是公差为1的等差数列，证明如下：a n+1＞a n⇒n≥2时，a n＞a n﹣1，所以a n≥a n﹣1+1⇒a n≥a m+（n﹣m），（m＜n），即c n+1﹣c n≥a n+1﹣a n，由题设，1≥a n+1﹣a n，又a n+1﹣a n≥1，所以a n+1﹣a n=1，即{a n}是等差数列．点评：本题考查等差数列的判定及通项公式，考查学生的逻辑推理能力，难度较大．选做题：本大题包括A，B，C，D共4小题，请从这4题中选做2小题．每小题0分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．（10分）（2013•南通二模）如图，AB是⊙O的直径，C，F是⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F 作⊙O的切线FD交AB的延长线于点D．连接CF交AB于点E．求证：DE2=DB•DA．考点：与圆有关的比例线段．专题：证明题．分析：欲证DE2=DB•DA，由于由切割线定理得DF2=DB•DA，故只须证：DF=DE，也就是要证：∠CFD=∠DEF，这个等式利用垂直关系通过互余角的转换即得．解答：证明：连接OF．因为DF切⊙O于F，所以∠OFD=90°．所以∠OFC+∠CFD=90°．因为OC=OF，所以∠OCF=∠OFC．因为CO⊥AB于O，所以∠OCF+∠CEO=90°．（5分）所以∠CFD=∠CEO=∠DEF，所以DF=DE．因为DF是⊙O的切线，所以DF2=DB•DA．所以DE2=DB•DA．（10分）点评：本题考查的与圆有关的比例线段、切线的性质、切割线定理的运用．属于基础题．22．（10分）（2013•南通二模）选修4﹣2：矩阵与变换设曲线2x2+2xy+y2=1在矩阵（m＞0）对应的变换作用下得到的曲线为x2+y2=1，求矩阵M 的逆矩阵M﹣1．考点：逆变换与逆矩阵．专题：计算题．分析：确定点在矩阵对应的变换作用下得到点坐标之间的关系，利用变换前后的方程，即可求得矩阵M；再求出对应行列式的值，即可得到M的逆矩阵．解答：解：设曲线2x2+2xy+y2=1上任一点P（x，y）在矩阵M对应的变换下的像是P'（x'，y'），由，得因为P'（x'，y'）在圆x2+y2=1上，所以（mx）2+（nx+y）2=1，化简可得（m2+n2）x2+2nxy+y2=1．…（3分）依题意可得m2+n2=2，2n=2，m=1，n=1或m=﹣1，n=1，而由m＞0可得m=1，n=1．…（6分）故，故矩阵M的逆矩阵M﹣1=．…（10分）点评：本题考查矩阵与变换，考查逆矩阵的求法，确定变换前后坐标之间的关系是解题的关键．23．（2013•南通二模）选修4﹣4：坐标系与参数方程在平面直角坐标xOy中，已知圆，圆．（1）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别求圆C1，C2的极坐标方程及这两个圆的交点的极坐标；（2）求圆C1与C2的公共弦的参数方程．考点：简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：直线与圆．分析：（1）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，以及x2+y2=ρ2，直接写出圆C1，C2的极坐标方程，求出圆C1，C2的交点极坐标；（2）求出两个圆的直角坐标，直接写出圆C1与C2的公共弦的参数方程．解答：解：（1）圆C1的极坐标方程为ρ=2，圆C2的极坐标方程为ρ=4cosθ，由得，故圆C1，C2交点坐标为圆．…（5分）（2）由（1）得，圆C1，C2交点直角坐标为，故圆C1与C2的公共弦的参数方程为…（10分）注：第（1）小题中交点的极坐标表示不唯一；第（2）小题的结果中，若未注明参数范围，扣（2分）．点评：本题考查简单曲线的极坐标方程，直线的参数方程的求法，极坐标与直角坐标的互化，考查计算能力．24．（2013•南通二模）选修4﹣5：不等式选讲若正数a，b，c满足a+b+c=1，求的最小值．考点：一般形式的柯西不等式．专题：计算题．分析：利用柯西不等式，即可求得的最小值．解答：解：∵正数a，b，c满足a+b+c=1，∴（）[（3a+2）+（3b+2）+（3c+2）]≥（1+1+1）2，即当且仅当a=b=c=时，取等号∴当a=b=c=时，的最小值为1．点评：本题考查求最小值，解题的关键是利用柯西不等式进行求解，属于中档题．必做题：本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．（10分）（2013•南通二模）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B⊥平面ABC，AB⊥AC，且AB=AC=A1B=2．（1）求棱AA1与BC所成的角的大小；（2）在棱B1C1上确定一点P，使二面角P﹣AB﹣A1的平面角的余弦值为．考点：用空间向量求平面间的夹角；异面直线及其所成的角；二面角的平面角及求法．专题：空间角．分析：（1）因为AB⊥AC，A1B⊥平面ABC，所以以A为坐标原点，分别以AC、AB所在直线分别为x轴和y轴，以过A，且平行于BA1的直线为z轴建立空间直角坐标系，由AB=AC=A1B=2求出所要用到的点的坐标，求出棱AA1与BC上的两个向量，由向量的夹角求棱AA1与BC 所成的角的大小；（2）设棱B1C1上的一点P，由向量共线得到P点的坐标，然后求出两个平面PAB与平面ABA1的一个法向量，把二面角P﹣AB﹣A1的平面角的余弦值为转化为它们法向量所成角的余弦值，由此确定出P点的坐标．解答：解：（1）如图，以A为原点，AC、AB所在直线分别为x轴和y轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），C（2，0，0），B（0，2，0），A1（0，2，2），B1（0，4，2），，．所以==，所以向量与所成的角为，故AA1与棱BC所成的角是．（2）设P为棱B1C1上的点，由，得P（2λ，4﹣2λ，2）．设平面PAB的法向量为=（x，y，z），，，由，得，取x=1，得z=﹣λ，故=（1，0，﹣λ）．而平面ABA1的一个法向量是=（1，0，0），则=，解得，即P为棱B1C1中点，其坐标为P（1，3，2）．点评：本题考查了异面直线所成的角，考查了二面角的平面角的求法，解答的关键是首先建立正确的空间右手系，然后准确计算出一些点的坐标，此题是中档题．26．（10分）（2013•南通二模）设b＞0，函数，记F（x）=f′（x）（f′（x）是函数f（x）的导函数），且当x=1时，F（x）取得极小值2．（1）求函数F（x）的单调增区间；（2）证明|[F（x）]n|﹣|F（x n）|≥2n﹣2（n∈N*）．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；二项式定理的应用．专题：计算题；综合题；导数的综合应用．分析：（1）将f'（x ）求导数并化简得，然后再求F （x ）的导数得，由F'（1）=0并结合a ＞0建立关于a 、b 的方程组，解之即可得到a=b=1，进而可得F （x ）的单调增区间为（1，+∞）．（2）利用二项式定理将不等式左边展开合并，得|[F （x ）]n|﹣|F （x n）|=，利用基本不等式证出，由此即可证出原不等式对任意的n ∈N *恒成立．解答：解：（1）根据题意，得．于是，若a ＜0，则F'（x ）＜0，与F （x ）有极小值矛盾，所以a ＞0．令F'（x ）=0，并考虑到x ＞0，可知仅当时，F （x ）取得极小值．所以解得a=b=1．…（4分）故，由F'（x ）＞0，得x ＞1，所以F （x ）的单调增区间为（1，+∞）．（2）因为x ＞0，所以记得g （x ）=根据基本不等式，得，∴将此式代入g （x ）表达式，可得，因此，|[F （x ）]n|﹣|F （x n）|≥2n﹣2（n ∈N *）．…（10分）点评：本题给出基本初等函数，在已知当x=1时函数取得极小值2的情况下求函数F （x ）的单调增区间，并依此证明不等式恒成立．着重考查了基本初等函数的性质、利用导数研究函数的单调性、二项式定理和不等式的证明等知识，属于中档题．。

1560数学-南京九中2013届高三下学期二模模拟数学试题

南京九中2013届高三第二学期二模模拟数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1、若122,34z a i z i =+=-，且12z z 为纯虚数，则实数a = ．解析：122(2)(34)(38)(46)34(34)(34)25z a i a i i a a iz i i i +++-++===--+为纯虚数，故得83a =． 2、设集合}02{},012{2<-=<-+=x x B x x x A ，则=⋂B A ．（2,3）3、某市高三数学抽样考试中，对90分及其以上的成绩情况进行统计，其频率分布直方图如右下图所示，若(130,140] 分数段的人数为90人，则(90,100]分数段的人数为．解析：根据直方图，组距为10，在(130,140]内的0.005=频率组距，所以频率为0.05，因为此区间上的频数为90，所以这次抽考的总人数为1800人．因为(90,100]内的0.045=频率组距，所以频率为0.45，设该区间的人数为x ，则由0.451800x=，得810x =，即(90,100]分数段的人数为810．4、已知在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥+a x y x y x 040表示的平面区域面积是9，则常数a 的值为_________．15、已知一颗骰子的两面刻有数字1，两面刻有数字2，另两面刻有数字3，现将骰子连续抛掷3次，则三次的点数和为3的倍数的概率为______． 136、已知某算法的流程图如右图所示，则输出的最后一个数组为_________． ()81,8-分数频率组距90 100 110 120 130 140 0.0050.010 0.015 0.025 0.045NMED CBA7、圆柱形容器的内壁底半径是10cm ，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了53cm ，则这个铁球的表面积为 ▲ 2cm .100π. 8、若方程()lg 2lg 1kx x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是 ▲ .0k <或4k =9、若实数x 、y 满足114422x y x y +++=+，则22x y S =+的最大值是 ▲ ．410、若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，线段12F F 被抛物线22y bx =的焦点分成53：两段，则此椭圆的离心率为．解析：根据题意，可得2223()5()22bb c c a b c ⎧+=-⎪⎨⎪=+⎩，解得255c e a ==． 11.已知变量,a R θ∈，则22(2cos )(522sin )a a θθ-+--的最小值为 ▲ . 912、当210≤≤x 时，21|2|3≤-x ax 恒成立，则实数a 的取值为． 1322a -≤≤13．如图，两射线,AM AN 互相垂直，在射线AN 上取一点B 使AB 的长为定值2a ，在射线AN 的左侧以AB 为斜边作一等腰直角三角形ABC ．在射线,AM AN 上各有一个动点,D E 满足ADE ∆与ABC ∆的面积之比为3:2，则CD ED ⋅的取值范围为________________．)25,a ⎡+∞⎣14．已知定义在R 上的函数()f x 和()g x 满足''()0,()()()()g x f x g x f x g x ≠⋅<⋅，()()x f x a g x =⋅，(1)(1)5(1)(1)2f f g g -+=-．令()()n f n a g n =，则使数列{}n a 的前n 项和n S 超过15/16的最小自然数n 的值为．5解题探究：本题主要考查函数与导数以及等比数列的定义、通项公式与前n 项和公式等基础知识，考查运算能力以及灵活地运用所学知识分析问题、解决问题的能力．求解本题，关键在于根据题设条件求出a 的值，从而得到数列{}n a 的通项公式．解析：∵()()x f x a g x =⋅，且()0g x ≠，∴()()xf x ag x =，从而有(1)(1)15(1)(1)2f f ag g a -+=+=-，又''2()()()()()0()x f x g x f x g x a g x -=<，知()()xf x ag x =为减函数，于是得12a =，1()2n n a =，由于2341234111115()()()222216a a a a +++=+++=，故得使数列{}n a 的前n 项和n S 超过1516的最小自然数5n =．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分14分）已知函数231()sin 2cos ,22f x x x x R =--∈．（1）求函数()f x 的最小值和最小正周期；（2）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且3c =，()0f C =，若sin 2sin B A =，求a ，b 的值． 15. 解：（1）31cos 21()sin 2sin(2)12226x f x x x π+=--=--，…………3分则()f x 的最小值是－2， …………5分最小正周期是22T ππ==； …………7分（2）()sin(2)106f C C π=--=，则sin(2)16C π-=，0C π<<Q 022C π∴<< 112666C πππ∴-<-<，262C ππ∴-=，3C π∴=， …………10分sin 2sin B A =Q ，由正弦定理，得12a b =，① …………11分由余弦定理，得2222cos 3c a b ab π=+-，即223a b ab +-=， ②由①②解得1,2a b ==． …………14分 16．（本小题满分14分）在直三棱柱111C B A ABC -中，AC=4,CB=2,AA 1=2，60=∠ACB ，E 、F 分别是BC C A ,11 的中点．（1）证明：平面⊥AEB 平面C C BB 11；（2）证明：//1F C 平面ABE ；（3）设P 是BE 的中点，求三棱锥F C B P 11-的体积．ACE F P1A 1B 1C16.（1）证明：在中ABC ∆，∵AC =2BC =4,060=∠ACB∴32=AB ，∴222AC BC AB =+，∴BC AB ⊥由已知1BB AB ⊥， ∴C C BB AB 11面⊥又∵C C BB ABE ABE AB 11面，故面⊥⊂ …………5分（2）证明：取AC 的中点M ，连结FM M C ,1在AB FM ABC //中，∆, 而FM ABE ⊄平面，∴直线FM //平面ABE在矩形11A ACC 中，E 、M 都是中点，∴AE M C //1而1C M ABE ⊄平面，∴直线ABE M C 面//1 又∵M FM M C =⋂1 ∴1//FMC ABE 面面故AEB F C 面//1 …………………………10分（或解：取AB 的中点G ，连结FG ，EG ，证明1//C F EG ，从而得证）（3）取11B C 的中点H ，连结EH ，则//EH AB 且132EH AB ==，由（1）C C BB AB 11面⊥，∴11EH BB C C ⊥面， ∵P 是BE 的中点，∴1111111113223P B C F E B C F B C F V V S EH --∆==⨯⋅=…………………………………14分17、（本小题满分14分）某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率P 与日产量x （万件）之间大体满足关系：1,1,62,3x c xP x c ⎧≤≤⎪⎪-=⎨⎪>⎪⎩（其中c 为小于6的正常数）（注：次品率=次品数/生产量，如0.1P =表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量.（1）试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T （万元）表示为日产量x （万件）的函数；（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？解：（1）当x c >时，23P =，1221033T x x ∴=⋅-⋅=当1x c ≤≤时，16P x =-，21192(1)2()1666x x T x x x x x-∴=-⋅⋅-⋅⋅=---综上，日盈利额T （万元）与日产量x （万件）的函数关系为：292,160,x x x c T xx c ⎧-≤≤⎪=-⎨⎪>⎩------------------------- 6 HGB（2）由（1）知，当x c >时，每天的盈利额为0当1x c ≤≤时，2926x x T x-=-9152[(6)]6x x =--+-15123≤-= 当且仅当3x =时取等号所以()i 当36c ≤<时，max 3T =，此时3x =()ii 当13c ≤<时，由222224542(3)(9)(6)(6)x x x x T x x -+--'==--知函数2926x x T x -=-在[1,3]上递增，2max 926c c T c-∴=-，此时x c =综上，若36c ≤<，则当日产量为3万件时，可获得最大利润若13c ≤<，则当日产量为c 万件时，可获得最大利润 -------------------------14 18．（本小题满分16分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为22，一条准线:2l x =．（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，M 是l 上的点，F 为椭圆C 的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆D 交于,P Q 两点． ①若6PQ =，求圆D 的方程；②若M 是l 上的动点，求证点P 在定圆上，并求该定圆的方程．18. 解：（1）由题设：2222c a a c⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，21a c ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩，2221b a c ∴=-=， ∴椭圆C 的方程为：2212x y += ………………………… 4分（2）①由（1）知：(1,0)F ，设(2,)M t ，则圆D 的方程：222(1)()124t t x y -+-=+， ………………………… 6分直线PQ 的方程：220x ty +-=， ………………………… 8分6PQ ∴=，22222222(1)()644t t t+-∴+-=+， ………………………… 10分24t ∴=，2t ∴=±∴圆D 的方程：22(1)(1)2x y -+-=或22(1)(1)2x y -++= …………… 12分②解法（一）：设00(,)P x y ，由①知：2220000(1)()124220t t x y x ty ⎧-+-=+⎪⎨⎪+-=⎩，即：2200000020220x y x ty x ty ⎧+--=⎪⎨+-=⎪⎩， ………………………… 14分消去t 得：2200x y +=2∴点P 在定圆22x y +=2上． ………………………… 16分解法（二）：设00(,)P x y ，则直线FP 的斜率为001FP yk x =-，∵FP ⊥OM ，∴直线OM 的斜率为001OM x k y -=-， ∴直线OM 的方程为：001x y x y -=-，点M 的坐标为002(1)(2,)x M y --． …………………………14 分 ∵MP ⊥OP ，∴0OP MP ⋅=,∴000002(1)(2)[]0x x x y y y ∂--++= ∴2200x y +=2,∴点P 在定圆22x y +=2上． …………………………16 分19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 是各项均不为0的等差数列，公差为d ，n S 为其前 n 项和，且满足221n n a S -=，n *N ∈．数列{}n b 满足11n n n b a a +=⋅，n T 为数列{}n b 的前n 项和．（1）求数列{}n a 的通项公式n a 和数列{}n b 的前n 项和n T ；（2）若对任意的n *N ∈，不等式8(1)n n T n λ<+⋅-恒成立，求实数λ的取值范围；（3）是否存在正整数,m n (1)m n <<，使得1,,m n T T T 成等比数列？若存在，求出所有,m n 的值；若不存在，请说明理由．19.解：（1）（法一）在221n n a S -=中，令1=n ，2=n ，得⎪⎩⎪⎨⎧==,,322121S a S a 即⎪⎩⎪⎨⎧+=+=,33)(,121121d a d a a a ………………………2分解得11=a ，2=d ，21n a n ∴=-又21n a n =- 时，2n S n =满足221n n a S -=，21n a n ∴=- ………………3分111111()(21)(21)22121n n n b a a n n n n +===--+-+ ， 111111(1)2335212121n n T n n n ∴=-+-++-=-++ ． ………………5分（法二） {}n a 是等差数列， n n a a a =+∴-2121)12(212112-+=∴--n a a S n n n a n )12(-=． …………………………2分由221n n a S -=，得 n n a n a )12(2-=，又0n a ≠ ，21n a n ∴=-，则11,2a d ==． ………………………3分 (n T 求法同法一)（2）①当n 为偶数时，要使不等式8(1)nn T n λ<+⋅-恒成立，即需不等式(8)(21)8217n n n n n λ++<=++恒成立． …………………………………6分828n n+≥ ，等号在2n =时取得．∴此时λ 需满足25λ<． …………………………………………7分 ②当n 为奇数时，要使不等式8(1)n n T n λ<+⋅-恒成立，即需不等式(8)(21)8215n n n n n λ-+<=--恒成立． …………………………………8分82n n - 是随n 的增大而增大， 1n ∴=时82n n-取得最小值6-．∴此时λ 需满足21λ<-． …………………………………………9分综合①、②可得λ的取值范围是21λ<-． ………………………………………10分（3）11,,32121m n m nT T T m n ===++，若1,,m n T T T 成等比数列，则21()()21321m nm n =++，即2244163m nm m n =+++． ………………………12分由2244163m n m m n =+++，可得2232410m m n m-++=>，即22410m m -++>， ∴661122m -<<+． ……………………………………14分又m ∈N ，且1m >，所以2m =，此时12n =．因此，当且仅当2m =， 12n =时，数列{}n T 中的1,,m n T T T 成等比数列．…16分[另解：因为1136366n n n=<++，故2214416m m m <++，即22410m m --<， ∴661122m -<<+，（以下同上）． ……………………………………14分] 20．(本小题满分16分)已知函数|21|||112(),(),x a x a f x e f x e x R -+-+==∈.( I )若2=a , 求)(x f =)(1x f +)(2x f 在∈x [2，3]上的最小值； ( II)若[,)x a ∈+∞时, 21()()f x f x ≥, 求a 的取值范围； (III)求函数1212()()|()()|()22f x f x f x f x g x +-=-在∈x [1，6]上的最小值.解:(1)因为2=a ,且∈x [2，3],所以33|3||2|131()22x xx x xx x x e e e e f x e e e e e e e e e--+--=+=+=+≥⨯=,当且仅当x =2时取等号,所以()f x 在∈x [2，3]上的最小值为3e(2)由题意知,当[,)x a ∈+∞时,|21|||1x a x a ee -+-+≤,即|21|||1x a x a -+≤-+恒成立所以|21|1x a x a -+≤-+,即2232ax a a ≥-对[,)x a ∈+∞恒成立,则由2220232a a a a≥⎧⎨≥-⎩,得所求a 的取值范围是02a ≤≤(3) 记12()|(21)|,()||1h x x a h x x a =--=-+,则12(),()h x h x 的图象分别是以(2a -1,0)和(a ,1)为顶点开口向上的V 型线,且射线的斜率均为1±.①当1216a ≤-≤,即712a ≤≤时,易知()g x 在∈x [1，6]上的最小值为01(21)1f a e -==②当a <1时,可知2a －1<a ,所以(ⅰ)当12(1)(1)h h ≤,得|1|1a -≤,即01a ≤<时,()g x 在∈x [1，6]上的最小值为221(1)a f e -=(ⅱ)当12(1)(1)h h >,得|1|1a ->,即0a <时,()g x 在∈x [1，6]上的最小值为22(1)a f e -=③当72a >时,因为2a －1>a ,可知216a ->, (ⅰ)当1(6)1h ≤,得|27|1a -≤,即742a <≤时,()g x 在∈x [1，6]上的最小值为271(6)a f e -=(ⅱ)当1(6)1h >且6a ≤时,即46a <≤,()g x 在∈x [1，6]上的最小值为12()f a e e ==(ⅲ)当6a >时,因为12(6)275(6)h a a h =->-=,所以()g x 在∈x [1，6]上的最小值为52(6)a f e -=综上所述, 函数()g x 在∈x [1，6]上的最小值为2222750017112742466a a a a e a e a a e a e a a e----⎧<⎪≤<⎪⎪≤≤⎪⎪⎨⎪<≤⎪⎪<≤⎪⎪>⎩。

2013届苏、锡、常、镇、徐、连六市高三数学第二次模拟考试试卷及答案2013[1].3.20解析

2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)数学I 试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1 •已知全集 U ・ 1,2,3,4,5,6 A 」1,3,5?, B 」1,2,3,51，则 g (A“ B)二 ▲2亠ai2•若实数a 满足2i ，其中i 是虚数单位，则▲•1 -i3.已知 m 为实数，直线 h : mx y 3 = 0 , l 2 ：(3m -2)x my 2 = 0 ,则“ m =1”是“ h 〃 l 2 ”的▲ 条件(请在“充要、充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要”中选择一个天空)4•根据右图的伪代码，输出的结果T 为 ▲①若丨二，，且「_ 1 ,贝U l _ ：「②若l _ 一：，且〉/ ［，贝U l _「； ③若 l _ ［，且 31 】，则 l // ：•；④若:-n 二 m ，且 l // m ，则 l // ：• • 则所有正确命题的序号是▲•6•正四面体的四个面上分别写有数字 0, 1, 2, 3,把两个这样的四面体抛在桌面上，则露在外面的6个数字恰好是2, 0, 1, 3, 0, 3的概率为 ▲.17•已知 cos(750 •:) ，则 cos(3C ° -2>)的值为 ▲•3片片 0 呻呻呻」— 勺 &已知向量 a , b 的夹角为45 ,且a =1 , 2a —b = 710，贝U b =▲S 2n +12013.3「 1k 3While I :: 20 「TI k I 2End While Print T5.已知l , m 是两条不同的直线, :-,:是两个不同的平面，有下列四个命题:9•设S n, T n分别是等差数列「a」,IbJ的前n项和，已知n, N*T n 4n - 2则a10. a11= ▲4+08 b6+bi510•已知F1, F2是双曲线的两个焦点，以线段F j F2为边作正.■:MRF2，若边MR的中点在此双曲线上，则此双曲线的离心率为▲X11.在平面直角坐标系xOy中，A(1,0)，函数y=e的图像与y轴的交点为B，P为函数y二e x图像上的任意一点，则OpAB的最小值k12•若对于给定的正实数k,函数f(x) 的图像上总存在点C，使得以C为圆心，1为x半径的圆上有两个不同的点到原点O的距离为2,则k的取值范围是▲.13 .已知函数f (x) x x 2 - 3,则f(-5 f (-5㊁)=x+1 x + 2 x + 3 x + 4 2 2▲.14•设函数f (x) =ln x的定义域为M , •：：，且M • 0 ,对于任意a , b , c (M「：), 若a , b , c是直角三角形的三条边长，且f(a), f (b), f (c)也能成为三角形的三条边长，那么M的最小值为▲.、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明, 请把答案写在答题纸的指定区域内.证明过程或演算步骤,15.(本小题满分14分)在ABC中，角A , B , C的对边分别是a ,(1 )若BA.BC =3 , b = -、3，求a c的值；2c,且A , B , C成等差数列.(2)求2sin A「sinC的取值范围.16.(本小题满分14分)如图，在三棱柱ARG - ABC中，已知E ,F , G分别为棱AB , AC , AO的中点,ACB =900, AF _ 平面ABC CH _ BG , H为垂足.求证：(1) AE〃平面GBC ；C1 G(2) BG _ 平面ACH i叶VC H* ”4 一 V Y17. （本小题满分14分）已知实数a , b , c • R，函数f （x）=ax3- bx2ex满足f （1）= 0 ,设f （x）的导函数为f （x），满足f （0） f （1） .0 .c（1）求一的取值范围；a（2）设a为常数，且a . 0，已知函数f （x）的两个极值点为x1，x2，A（x1, f （x1）），2 a aB（X2, f（X2）），求证：直线AB的斜率k ，-.9 618. （本小题满分16分）某部门要设计一种如图所示的灯架，用来安装球心为O，半径为R （米）的球形灯泡.该灯架由灯托、灯杆、灯脚三个部件组成，其中圆弧形灯托EA, EB , EC , ED所在圆的圆心都是O、半径都是R （米）、圆弧的圆心角都是二（弧度）；灯杆EF垂直于地面，杆顶E到地面的距离为h （米）,且h R ;灯脚FA , FB1, FG , FD1是正四棱锥F — ABGU的四条侧棱，正方形AB1C1D1的外接圆半径为R （米），四条灯脚与灯杆所在直线的夹角都为二（弧度）.已知灯杆、灯脚的造价都是每米a（元），灯托造价是每米a（元）,3其中R, h , a都为常数.设该灯架的总造价为y（元）.（1 ）求y关于二的函数关系式；（2 ）当二取何值时，y取得最小值？A B119. （本小题满分16分）2已知椭圆E : — y^1的左、右顶点分别为A , B，圆x2y^4上有一动点P , P 4在x轴的上方，C(1,0)，直线PA交椭圆E于点D，连结DC , PB .(1) 若.ADC =90°，求ADC 的面积S ；(2) 设直线PB，DC的斜率存在且分别为k1，k2，若k1 = k2，求•的取值范围. 20. (本小题满分16分)设数列订鳥的各项均为正数，其前n项的和为S n，对于任意正整数m , n ,Sm n _ 2a2m(1 S2n) -1 恒成立.(1)若a1 =1，求还,a3, a4及数列的通项公式;(2)若a^a2(a1 a21)，求证：数列ia n?成等比数列.2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)数学II （附加题）21. 【选做题】本题包括 A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分•解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A •（选修4 — 1 几何证明选讲）（本小题满分10分）如图，已知CB 是O O 的一条弦，A 是O O 上任意一点，过点A 作O O 的切线交直线CB 于点P , D 为O O 上一点，且 ABD =/ABP . 求证：AB 2 =BP BD .B .（选修4—2：矩阵与变换）（本小题满分10分）C .（选修4 — 4:坐标系与参数方程）（本小题满分10分）I x = 2 _t 、, —已知直线I 的参数方程！、一（t 为参数），圆C 的极坐标方程：“ ■ 2sin v - 0 .j y =1 +J 3t（1）将直线I 的参数方程化为普通方程，圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）在圆C 上求一点P ，使得点P 到直线I 的距离最小.D.（选修4—5:不等式选讲）（本小题满分10分）已知a , b , c 都是正数，且a 2b 3^ 6，求•. a V . 2b V . 3c 1的最大值.［必做题］第22、23题海小题10分，计20分•请把答案写在答题纸的指定区域内 22. （本小题满分10分）已知矩阵A =『a |tc 0 的一个特征值为 r =-1，其对应的一个特征向量为P（第21-A 题）如图，圆锥的高P0 =4 ,底面半径0B = 2 , D 为PO 的中点，E 为母线PB 的中点,F 为底面圆周上一点，满足 EF _ DE .23. (本小题满分10分)(1) 山水城市镇江有“三山”一一金山、焦山、北固山，一位游客游览这三个景点的概率都是0.5，且该游客是否游览这三个景点相互独立，用 '表示这位游客游览的景点数和没有游览的景点数差的绝对值，求的分布列和数学期望；(2)某城市有n ( n 为奇数，n _3)个景点，一位游客游览每个景点的概率都是0.5 ,且该游客是否游览这 n 个景点相互独立，用•表示这位游客游览的景点数和没有游览的景点数差的绝对值，求的分布列和数学期望.答案:(1)求异面直线EF 与BD 所成角的余弦值; (2)求二面角 0 — DF -E 的正弦值.P右：村^一 •舛耳C| - ABC 中■ G.F 分别为4GMC 中点，・4G = FC 且4G 〃FC …・・四边形AFCG 为平行四边形■ ••・AF 〃 CG ・分 •丄平面的c,・•・CG 丄平面MC.[ACu 平面"PC, .•. CG 丄/C. •“•••1° 分• CD 丄"C\CG,C8u 平面GC8, CGf]CB = C ,・・・NC 丄平血ECG ,11分.又・•• BG u 平面BCG ,・•・ AC1BG. ••••••12分 •••CZZ 丄 CG ・且 ACcCH = C, AC,CH u 平面 ACH 、奴 BG 丄平面/1CH ・ •••14 分17•解：⑴・・・/(l) = a + 6 + c = 0,・・・b = -(a + c)・...... 】分••• f \x) = 3ax 2 + 2bx + c /X0) = c , /f (l) = 3a + 2Z> + c. Ac (3a + 2Z> + c) = c(a-c) = ac-c 2 >0 • ••・OH 0,CH 0 ・ .•.£-(£)2 >o, a a /•0< —<1.a(2)令/\x) = 3ax 2 +2/>x + c = 0>2b. _ c•T+X2"寿，"厂矿s a(x ： + “I + x ：) + b(x 2 + X|) + c刊[Q+讦-"J + bE+xJ + cf(x 2) - /(%,) _ (唱‘ + bx ； + cx<) - (ax, - bx ； + crjk=% f =士-旺•；豐篇严是平行四边形，••・・••5分 ■ 面GBC. GMu 面GBC. ：•人E 〃面GBC ・ ..... 7 分3分・4分••5分 ••6分・・・7分岛二数学符案第2页（共10贝）网亦厂詡+"-务*"诰煜£-务七]浑（耳+知令2^'则=» 虫（0，1）. 则 k = ¥〔-（】+ O 2 + 3/]=^-（ -r 1 +/-1）, ……14分 D 18・解：（1）延长EF 与地面交于0「由题意：勺FO 严“且F°产孟• …f 、、从而吩-磊，代爲， f \畤"侖+篇）_ O 1 （注：每写对一个部件造价得2分）、40 4-cosO —“⑵2（亍飞矿）+以40 4-cos0 设/如亍盂厂 4sin 2 9 + 3-12cos£ 令广⑹二3^0 Q-2cos0）（7 + 2cos&）一 °12分 13分 11分3 sin 2 0•••“亍当处（O 申时,/<0：吨昴时,小••••••''分设处佩冷），其中tan 恥*1' •••%<「” ••”"分 ,玉（0冷，"气时，曲小*3 2」12分15分16分答：当0峙时，灯架造价取得械小低心学桃笫3呱（共〔°贝）19.解：⑴设 D^y). V ZADC = 9(T , A A D 2 + DC 2 = AC 2 ・即 F + 4y 2 -4 = 0 t 得,+4x ——(x + 2)2 -4 = 0. (勺+2)/ x 02 + y 02 = 4 , ••• x 2 +4x-_ (x+ 2『-4 = 0 •+ 2將理得(10-3x 0)x 2 + (32 -16x 0)x + 24 - 20心=0 ・(注：消去X.可得方程(x 02 + 4x 0 + 4 + 4y 02)y 2 -4(x 0 + 2)y^Q 9 也得 8 分) 此方程有-根为-2,设*,川则护幣芦代M 线审方程，得心冷4必ky 则(X + 2)2+F+(X ・1)2*2=9・即 x 2+y 2• ••点D 在椭圆E 上，・••令+ b ；联立①，②，消去y,得 3x 2 + 4x-4 = 0,2*•* -2 < x < 2 > x = — •3代入椭圆方程.得丁二年一 • (4)分A A ADC 的面积 S = |x3x^ = >/2 .•••••• 6(2)设P(x 0,y 0),直线M(x + 2),代入椭10分则何沽,他诒■直I 丁圧気10-3x 012分 D• • E —Jb- • j k 、X Q ^21 1— 221 4 禺—4儿 4 X Q _24 Xo-2 八13x 0-22 22V -2<x 0<2, x o*—• A 久的取值范西为(Y ),0)U (0,3)• •20.尿（I ）由条件，得1+S+如（7）.①在①中，令/M = l,得1 + S*]=血2（1 + $2』•②则数列｛1 + SJ （心2/wN*）是公比为g 的等比数列.•••l + Sgl + S?)严(心2, nsN*).④心3时，1 + 5^=(1 + 52)/'3.⑤④-⑤，得勺=(l + S2)g"J(g-l) (/i^3 • zieN*). (*) 在①中，令加="=1,得 1 + S 2 = y/2a 2(l + S 2).• • (1+ S 2)2 =2a 2(l + S 2).贝ij 1 + S 2 = 2a 2 ••: a 2-\ + a }：• q = 1 ・•：伽=2 • ...... 6 分在①中，令心,”2,得l + SjuQ^O + SJ.则(4 + 勺尸=4(4 + 6+©).⑥在①中•令^ = 2^ = 1,御 1 + Sj=72q(l + S2)• 则（4 +勺）2=险・⑦岛三数学猝案第5 U [（共10页）).=j••• 14分16分剣厂2,山陽=(1 + $2)严(—[)(“N・)・做朴2“(2T)才(心十NJ “亠•心2也适合上式，g计庆“ 井@中，令心,”2,得1 + S「酝隔.即抵=加4・••1 + ®=%10分12分在①中•令^ = 1,« = 2,得1 + S严宓(1 + sj.W1 + S厂血2(1 + $3+兔)，•:爲二風X 2為U (♦),得4=(1 + $2)2"(心3,处2). (*) 14分由条件fl4=a2(a1+a2+l),得+a2 +1 = 4.•fl2 = l + fll> .\fll=l,A02=2 •则％=4x2" = 2 小(诊3, “wNJ5 J •••坷“也适合上式…••陽=2门(weN*).16分•谶列他｝是等比数列.朋神枠第汰陳师-1 + 4 = 1,Ja = 2,c = 1» |c = 1.4的特征多项式为/(2) = (A-l)A-2 = A 2-A-2=0.则入》以=2・]■ *2* ■.•.才0 =才(-2 [ +3 ] ) = (-2)x(-l)5 ；21C •解：（1）宜线/的晋通方程为尸-5 + 1 + 2的・……:圆C 的肾通方程为：? + / + 2^ = 0..・・..・.⑵在圆C 上任取-点p （8如+sin 砒（0打0,2＜））,卩到直教的距助:d = ©cos® tsin 0 ■ 2 - 2 巧 | 12 sin （0 + 彳）■ 2 - 2巧 |■ 2高二数学楸第7贾（共io 臾）数学II （附加题）2IA.证明："打8相切丁•点八肋为3的弦，则例〃=厶"'在00中・ ZACB = "DB, ・・"DB = mAB. 乂在ZiDB/l 和5ABP 中・ ZDBA = "BP・：・厶 DBAs'ABP 、岂二型，即 AB 2^BPBD.BP AB・2分•5分 •8分 10分21B.解：由題意的{当入=2,特征方稈二:鳥属于特征值石=2的一个轩征向掀为冬彳］3分•7分2,0*：心♦如.心心耐“吋“心丫W (】• ▼】■*•】• w (\A7TT\,亠,Ai.匕■寺且仅当故所求式没平(fl! DEF 法向ft 为”；=(岭.......... .......... 9分10分22. M ：(1)以<sin” =斗二・Of23.解：(2)设平面OM PE =2*+1)=ci…(|)° * a-护 “+琛;(护“ x (i-l )->=2x (护・u , A ^=(2Ar +T0X G“ + 1X C ；“+2X C ；“+...+心J}命•散学舀案=2 x{[(2k + l)xC：：：； + 2k x C ；：t,十(2— 1)x C：：；： + …+ (11)x」.......7・••• ^ = 2x(l)w*«{(2A + l)x[C；：+C；f,+- + C；J-(2A + l)x[C；4+Cj A+- + Ci i，D-8 分= 2x(》”“x(2jt + i)x[(c；；+c；： '+・・+U)-(U+G+…+c「)) = 2x(l)M*'x(2Jt4.1)xCi.10分答：§的数学期望砖为為占.乙岛三数学答案第10页（共10页）。

【解析版】江苏省南京市建邺区2013年高考数学模拟试卷

江苏省南京市建邺区2013年高考数学模拟试卷一、选择题：本大题共14小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.1．（5分）（2013•建邺区模拟）已知映射f：A→B，其中A=B=R，对应法则：f：x→y=x25333．（5分）（2013•建邺区模拟）等差数列{a n}中，若a4+a6+a8+a10+a12=120，则a9﹣的﹣（（（=164．（5分）（2013•建邺区模拟）已知，则sin2x的值为（）B：令的值为，把两边平方得，求得：令，则．5．（5分）（2013•建邺区模拟）设地球半径为R，若甲地位于北纬45°东经120°，乙地位于R BR R R，就是大圆周的则甲、乙两地球面距离为：6．（5分）（2013•建邺区模拟）若a、b、c是常数，则“a＞0且b2﹣4ac＜0”是“对任意x∈R，27．（5分）（2013•建邺区模拟）双曲线x2﹣y2=2012的左、右顶点分别为A1、A2，P为其，（∴∴，∴，∴8．（5分）（2013•建邺区模拟）已知直线ax+by﹣1=0（a，b不全为0）与圆x2+y2=50有公9．（5分）（2013•建邺区模拟）从8名女生，4名男生选出6名学生组成课外小组，如果按B××10．（2013•建邺区模拟）为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如下图，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0之间的学生数为b，则a，b的值分别为（）d=87（﹣11．（2013•建邺区模拟）+=（）解：∵+=12．（5分）（2013•建邺区模拟）如图，函数y=f（x）的图象是中心在原点、焦点在x轴上的椭圆的两段弧，则不等式f（x）＜f（﹣x）+x的解集为（）＜或＜﹣或或）＜，把包含这两段弧的椭圆方程y=）＜．由图象易知，包含这两段弧的椭圆方程为y=联立得+±＜14．（5分（2013•建邺区模拟））半径为4的球面上有A、B、C、D四点，AB，AC，AD．二、填空题：本大题共5小题，每小题0分，共16分．把答案填在答题卡相应位置．15．（2013•建邺区模拟）=．，所以，由此能够求出的值．=．16．（4分）（2013•建邺区模拟）命题“若a，b都是偶数，则a+b是偶数”的否命题是若a，b不都是偶数，则a+b不是偶数．17．（4分）（2013•建邺区模拟）函数y=lg的定义域是（lg2，+∞）．18．（4分）（2013•建邺区模拟）定义一种运算“*”对于正整数满足以下运算性质：（1）2*2006=1；（2）（2n+2）*2006=3•[（2n）*2006]，则2008*2006的值是31003．19．（4分）（2013•建邺区模拟）如果直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my﹣4=0相交于M、N 两点，且点M、N关于直线x+y=0对称，则不等式组所表示的平面区域的面积为．，又圆心在直线∴原不等式组变为，）×|=．故答案为：．三、解答题：本大题共7小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 20．（12分）（2013•建邺区模拟）已知函数．（1）求f（x）的定义域；（2）求该函数的反函数f﹣1（x）；（3）判断f﹣1（x）的奇偶性．=））由，得==21．（12分）（2013•建邺区模拟）某港口水的深度y（米）是时间t（0≤t≤24，单位：时）经长期观察，y=f（t）的曲线可以近似地看成函数y=Asinωt+b的图象．（Ⅰ）试根据以上数据，求出函数y=f（t）的近似表达式；（Ⅱ）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可），某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米．如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需的时间）．=，得振幅∴∴∴，解得，22．（12分）（2013•建邺区模拟）已知某种从太空飞船中带回的植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽实验，每次实验种一粒种子，假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的．（1）第一小组做了三次实验，求至少两次实验成功的概率；（2）第二小组进行试验，到成功了4次为止，求在第四次成功之前共有三次失败，且恰有两次连续失败的概率．．每一种情况的概率为：因此所求的概率为23．（2013•建邺区模拟）某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值．（Ⅰ）求ξ的分布及数学期望；（Ⅱ）记“函数f（x）=x2﹣3ξx+1在区间[2，+∞）上单调递增”为事件A，求事件A的概率．））因为所以函数24．（12分）（2013•建邺区模拟）如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B⊥底面ABC，侧棱AA1与底面ABC成600的角，AA1=2．底面ABC是边长为2的正三角形，其重心为G点．E是线段BC1上一点，且BE=BC1．（1）求证：GE∥侧面AA1B1B；（2）求平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的大小．BE=BE=BC三点共线，且=，∴H==TH=arctan25．（14分）（2013•建邺区模拟）设函数f（x）=ax3﹣2bx2+cx+4d（a、b、c、d∈R）图象关于原点对称，且x=1时，f（x）取极小值．（1）求a、b、c、d的值；（2）当x∈[﹣1，1]时，图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论；（3）若x1，x2∈[﹣1，1]时，求证：．，，∴，知两点处的切线斜率分别为，∴，∴上，26．（12分）（2013•建邺区模拟）过抛物线y2=2px（p＞0）的对称轴上的定点M（m，0）（m＞0），作直线AB与抛物线相交于A，B两点．（1）试证明A，B两点的纵坐标之积为定值；（2）若点N是定直线l：x=﹣m上的任一点，试探索三条直线AN，MN，BN的斜率之间的关系，并给出证明．的斜率为的斜率为的斜率为∴=的斜率为，。

2013届南京高三数学一模试卷

2013年南京市高三数学第一次调研考试一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在相应的位置上）1.已知复数i z -=，则z i-1的虚部为2.设集合(){}1,22=+y x y x ，(){}x y y x ln ,=，则A ∩B 的子集的个数是3.已知点A 和点B 分别为椭圆C:)0(1222>=+a ay x 的左顶点和上顶点，若直线AB 的倾斜④.若m,n 是两条异面直线，且m,n 都平行于平面α和平面β，则α和β相互平行； ⑤.若在平面α内有不共线的四点到平面β的距离相等，则α∥β；其中所有真命题的序号是10.已知AB 、MN 为圆C ：()9222=+-y x 的两条相互垂直的弦，垂足为R ()a ,3，若四边形ABMN 的面积的最大值为14，则a=11.O 是△ABC 外接圆的圆心，AB=1，AC=2，且()0,84≠∈-+=→→→x R x AC x AB x AO 且，则△ABC 的边长BC=12.设a,b 是正实数，记⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≥++≤=33233332249,4949,ab a b a ab a b ab a b a a G ，则G 的最大值是13.若有20παβγ<<<<，则()22tan 3tan )sin(tan cos cos 4tan γαβααβαα-+-+的最小值是14.数15.f （（E （（17.（本小题满分14分）已知某品牌汽车的市场需求量1y （万辆），市场供应量2y （万辆），与市场价格x （万元∕辆）之间分别近似地满足下列的关系：)324(log 21021--=x y 和 1222-=x y ；当21y y =时的市场价格称为市场平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量。

（1）求平衡价格和平衡需求量；（2）科学研究表明，汽车尾气的排放不但污染环境，加速全球变暖，而且过多的私家车增加了城市交通的压力，加大了能源的消耗；某政府为倡导低碳型生活方式，决定对该品牌18.）,（（求（l19.（本小题满分16分）已知函数cxe bx ax x xf ⋅+++=)3()(23，其中R c b a ∈、、。

江苏省南京市2013届高三数学上学期期中联考试题苏教版

2012-2013学年度第一学期期中考试高三数学试卷注意事项：1．本试卷由填空题和解答题两部分组成．满分160分，考试时间为120分钟． 2．答题前请您务必将自己的学校，姓名，考试号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上规定的地方． 3．答题时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的规定位置，在其他位置做大一律无效．第I 卷（填空题）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1. 已知i 是虚数单位，复数z =12i34i+-，则 | z | = ．2. 若函数()f x =a 的值为 ________．3. 已知集合{}m P ,1-=，⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-=431x x Q ，若∅≠Q P ，则整数=m ．4. 已知向量a 的模为2，向量e 为单位向量，)(e a e -⊥，则向量a 与e 的夹角大小为．5. 若命题“R x ∈∀，02≥+-a ax x ”为真命题，则实数a 的取值范围是． 6. 已知三角形的一边长为5，所对角为60，则另两边长之和的取值范围是________．7. 已知数列{a n }为等差数列，若561a a <-，则数列{|a n |}的最小项是第_____项． 8. 已知θ是第二象限角，且4sin 5θ=，则tan()24θπ-的值为________． 9. 已知函数()y f x =在点(2,(2))f 处的切线为由y =2x -1，则函数2()()g x x f x =+在点(2,(2))g 处的切线方程为．10. 等差数列{}n a 中，已知158≥a ，139≤a ，则12a 的取值范围是 .11. 在锐角△ABC 中，tan A = t + 1，tan B = t - 1，则t 的取值范围是． 12. 在平面直角坐标系xOy 中，点P 是第一象限内曲线y =x 3 1上的一个动点，以点P 为切点作切线与两个坐标轴交于A ，B 两点，则△AOB 的面积的最小值为．13. 已知等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为n S 和n T ，若7453n n S n T n +=+，且2n nab 是整数，则n 的值为．14. 若关于x 的方程3x e x kx -=有四个实数根，则实数k 的取值范围是．第II 卷（解答题）二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、求证过程或演算步骤． 15. （本小题满分14分）已知π2sin()410A +=，ππ(,)42A ∈．（Ⅰ）求cos A 的值；（Ⅱ）求函数5()cos 2sin sin 2f x x A x =+的值域．16. （本小题满分14分）设(,1)a x =，(2,1)b =-，(,1)c x m m =--（,x m ∈∈R R ）．（Ⅰ）若a 与b 的夹角为钝角，求x 的取值范围；（Ⅱ）解关于x 的不等式a c a c +<-．17. （本小题满分15分）随着机构改革开作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员2a 人（140＜2a ＜420，且a 为偶数)，每人每年可创利b 万元. 据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员．．．1人，则留岗职员每人每年．．．．多创利0.01b 万元，但公司需付下岗职员每人每年0.4b 万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的43，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？18. （本小题满分15分）已知函数()ln f x x x =．（I ）求函数()f x 的单调递减区间；（II ）若2()6f x x ax ≥-+-在(0,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围；（III ）过点2(,0)A e --作函数()y f x =图像的切线，求切线方程．19. （本小题满分16分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差,50,053=+≠S S d 且1341,,a a a 成等比数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a b 是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T .20. （本小题满分16分）已知函数2()(1)xf x e x ax =++．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线与x 轴平行，求a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的极值．2012-2013学年度第一学期期中考试高三数学附加卷21. （本小题满分10分）已知a 为整数，a 2是偶数，求证：a 也是偶数．22. （本小题满分10分）已知曲线()21ln 2222x y x x =++++在点A 处的切线与曲线()sin 2,22y x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭在点B 处的切线相同,求ϕ的值.23. （本小题满分10分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，存在常数A ，B ，C ，使得2n n a S An Bn C +=++对任意正整数n 都成立．若数列{}n a 为等差数列，求证：3A －B ＋C ＝０．24. （本小题满分10分）已知函数x x x x x f 2)1ln()1(2)(2--++=，[)+∞∈,0x ，求)(x f 的最大值.2012-2013学年度第一学期期中考试高三数学附加答题纸(理科类)21、 22、学校：班级姓名考试号座位号23．24、参考答案1. 5 ；2.2 ；3. 0 ；4.3π； 5.[0,4]； 6.(]10,5 ； 7.6 ； 8.31； 9. 6x -y -5=0 ； 10.(]7,∞- ； 11.()+∞,2 ； 12.4233 ；13. 15 ； 14．()0,3e - ；15. 解：（Ⅰ）因为ππ42A <<，且πsin()410A +=，所以ππ3π244A <+<，πcos()410A +=-．因为ππππππcos cos[()]cos()cos sin()sin 444444A A A A =+-=+++31021025=-⋅+⋅=．所以3cos 5A =． …………6 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得4sin 5A =．所以5()cos 2sin sin 2f x x A x =+212sin 2sin x x =-+2132(sin )22x =--+，x ∈R ．因为sin [1,1]x ∈-，所以，当1sin 2x =时，()f x 取最大值32；当sin 1x =-时，()f x 取最小值3-．所以函数()f x 的值域为3[3,]2-． ……………………14分16. （1）由题知：210a b x ⋅=-<，解得12x <；又当2x =-时，a 与b 的夹角为π，所以当a 与b 的夹角为钝角时， x的取值范围为1(,2)(2,)2-∞-⋃-．…………………6分（2）由a c a c +<-知，0a c ⋅<，即(1)[(1)]0x x m ---<；……………………8分当2m <时，解集为{11}x m x -<<；………………………………10分当2m =时，解集为空集；………………………………12分当2m >时，解集为{11}x x m <<-．………………………………14分17. 解答：设裁员x 人，可获得的经济效益为y 万元，则ab x a x bbx bx b x a y 2])70(2[1004.0)01.0)(2(2+---=-+-= ……7分依题意 .21070,4202140.202432<<<<≤<∴⋅≥-a a ax a x a 又（1）当y a x a aa ,70,14070,2700-=≤<≤-<时即取到最大值；（2）当y ax a a a ,2,210140,270=<<>-时即取到最大值；……………13分答：当70<a<140，公司应裁员为a 70,经济效益取到最大值当140a 210,公司应裁员为a,2经济效益取到最大值……………14分18. 解答：（Ⅰ）'()ln 1f x x =+'()0f x ∴<得ln 1x <-2分10x e ∴<<∴函数()f x 的单调递减区间是1(0,)e；4分（Ⅱ）2()6f x x ax ≥-+-即6ln a x x x≤++设6()ln g x x x x=++则2226(3)(2)'()x x x x g x x x +-+-==7分当(0,2)x ∈时'()0g x <，函数()g x 单调递减；当(2,)x ∈+∞时'()0g x >，函数()g x 单调递增；∴()g x 最小值(2)5ln 2g =+∴实数a 的取值范围是(,5ln 2]-∞+；10分（Ⅲ）设切点00(,)T x y 则0'()AT k f x =∴00002ln ln 11x x x x e=++即200ln 10e x x ++= 设2()ln 1h x e x x =++，当0x >时'()0h x >∴()h x 是单调递增函数13分∴()0h x =最多只有一个根，又2222111()ln 10h e e e e =⨯++=∴021x e = 由0'()1f x =-得切线方程是210x y e++=. 15分19. 解：（Ⅰ）依题意得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=⨯++⨯+)12()3(5025452233112111d a a d a d a d a …………………………………………3分解得⎩⎨⎧==231d a ， …………………………………………5分1212)1(23)1(1+=+=-+=-+=∴n a n n d n a a n n 即，．……………………………7分（Ⅱ）13-=n nna b ，113)12(3--⋅+=⋅=n n n n n a b …………………………………………8分 123)12(37353-⋅+++⋅+⋅+=n n n T n n n n n T 3)12(3)12(3735333132⋅++⋅-++⋅+⋅+⋅=- ……………………10分n n n n T 3)12(3232323212+-⋅++⋅+⋅+=--nnn n n 323)12(31)31(3231⋅-=+---⋅+=- ∴nn n T 3⋅= . ……………………………16分20. 解析：（1）22()(12)[(2)1]xxf x e x ax x a e x a x a '=++++=++++．因为曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线与x 轴平行，所以 (2)0f '=，即2(2)[42(2)1]0f e a a '=++++= 所以 3a =-． ……………4分（2）()(1)(1)xf x e x a x '=+++,令()0f x '=,则1--=a x 或1-=x ……5分①当11a +=，即0a =时，2()(1)0x f x e x '=+≥，函数()y f x =在()-∞+∞，上为增函数，函数无极值点； …………7分②当(1)1a -+<-，即0a >时．所以当1x a =--时，函数有极大值是1(2)a e a --+，当1x =-时，函数有极小值是2ae-； ………11分 ③当(1)1a -+>-，即0a <时．所以当1x =-时，函数有极大值是e，当1x a =--时，函数有极小值是1(2)a ea --+． ………15分综上所述，当0a =时函数无极值；当0a >时，当1x a =--时，函数有极大值是1(2)a e a --+，当1x =-时，函数有极小值是2a e -；当0a <时，当1x =-时，函数有极大值是2ae-，当1x a =--时，函数有极小值是1(2)a e a --+． ………16分21.假设a 是奇数，设a=2k+1(k ∈Z),则a 2=4k 2+4k+1,………………6分∵k ∈Z ，∴4k 2为偶数，4k 为偶数，∴4k 2+4k+1为奇数， ……8分从而a 2为奇数，这与a 2为偶数矛盾，∴假设不成立． ……………10分22.k 切=y ’=2221≥+++x x ,当且仅当x+2=1x+2,即x+2=1,x=-1时，取等号…2分又k 切=y ’=2)2cos(2≤+ϕx ，∴k 切=2，此时切点A(-1,-1),切线l ：y=2x+1…5分由)2cos(2ϕ+x =2得)2cos(ϕ+x =1，∴)2sin(ϕ+x =0，从而B(21-,0) …7分∴)1sin(ϕ+-=0, ϕ+-1=k π,Z k ∈,∴ϕ=k π+1,Z k ∈ …………………9分又22πϕπ<<-，∴ϕ= 123. 因为{}n a 为等差数列，设公差为d ，由2n n a S An Bn C +=++，得2111(1)(1)2a n d na n n d An Bn C +-++-=++，…………2分即2111()()()022dd A n a B n a d C -++-+--=对任意正整数n 都成立．…4分所以1110,210,20,d A a d B a d C ⎧-=⎪⎪⎪+-=⎨⎪--=⎪⎪⎩所以30A B C -+=． …………10分24. 证明：由2()2(1)ln(1)2f x x x x x =++--得()2ln(1)2f x x x '=+-，………2分令()2ln(1)2g x x x =+-，则22()211x g x x x -'=-=++，当10x -<<时，()0g x '>，()g x 在(1 0)-，上为增函数；当x ＞0时，()0g x '<，()g x 在(0)+∞，上为减函数，所以()g x 在x=0处取得极大值，且(0)0g =， ………6分故()0f x '≤（当且仅当0x =时取等号），所以函数()f x 为[)0+∞，上的减函数， ………8分则()(0)0f x f =≤，即()f x 的最大值为0． ………10分。

2013南京市玄武区数学二模(含答案)

2013 年南京市玄武数学调研测试二
数
学
一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分．） 1．一位“粗心”的同学在做加减运算时，将“－5”错写成“＋5”进行运算，这样他得到的结果比正确答案 A．少 5 B．少 10 C．多 5 D．多 10
x＋2＜1， 2．不等式组的解集在数轴上表示为 2(x－1)≥－6
x2－1 x－1 18．（8 分）先化简代数式 ÷ ，再判断它与代数式 3x＋2 的大小关系． x＋2 x2＋4x＋4
19．（8 分）中学生骑电动车上学的现象越来越受到社会的关注．某市记者随机调查了一些家长对这种现象的态度（A：无所谓；B：反对；C：赞成），并将调査结果绘制成图①和图②的统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）在图①中，C 部分所占扇形的圆心角度数为计的优点是（2）将图②补充完整；（3）根据抽样调查结果，请你估计该市 50000 名中学生家长中有多少名家长持赞成态度？
25．（9 分）已知二次函数 y＝x2＋bx＋c 图像的顶点坐标为（1，－4），与 y 轴交点为 A．（1）求该二次函数的关系式及点 A 坐标；（2）将该二次函数的图像沿 x 轴翻折后对应的函数关系式是求 m＋n 的值．（4）若该二次函数与 x 轴负半轴交于点 B，C 为函数图像上的一点，D 为 x 轴上一点，当以 A、B、C、D 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出该平行四边形的面积． ▲ ；（3）若坐标分别为（m，n）、（n，m）的两个不重合的点均在该二次函数图像上，
22．（7 分）下图是一个专用车位的指示牌，其侧面示意图可看成由一个半圆和一个等腰梯形 ABCD 组成．已知等腰梯形 ABCD 的上底 AD＝18 cm，腰 AB＝50 cm， ∠B＝70° ，求这个指示牌的高（参考数据：sin70° ≈0.94，cos70° ≈0.34，tan70° ≈2.75）．