2013年南京市高三数学二模及答案

南京市2013届高三第二次模拟考试 数 学 2013．3（满分：160分，时间：120分钟） 参考公式：锥体的体积公式为13

V Sh =，其中S 是锥体的底面面积，h 是锥体的高． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．

上． 1．已知集合A={2a ,3}，B={2,3}．若A B={1,2,3}，则实数a 的值为____．

2．函数()sin cos f x x x =的最小正周期是__________．

3．若复数12mi z i

-=+(i 是虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为____． 4．盒子中有大小相同的3只白球、2只黑球，若从中随机地摸出两只球，则两只球颜色相同的概率是______．

5．根据2012年初我国发布的《环境空气质量指数AQI 技术

规定（试行）》，AQI 共分为六级：(0,50]为优，(50,100]为

良，(100,150]为轻度污染，(150,200]为中度污染，

(200,300]为重度污染，300以上为严重污染．2012年12月

1日出版的《A 市早报》对A 市2012年11月份中30天的

AQI 进行了统计，频率分布直方图如图所示，根据频率分布

直方图，可以看出A 市该月环境空气质量优、良的总天数为

____．

6．右图是一个算法流程图，其输出的n 的值是_____．

7．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3cm ，圆心角为

23

π的扇形，则此圆锥的高为___cm ．

8．在平面直角坐标系xOy 中，设过原点的直线l 与圆C ：

22(3)(1)4x y -+-=交于M 、N 两点，若MN ≥l 的斜率k 的取值范围是______．

9．设数列{n a }是公差不为0的等差数列，S n 为其前n 项和，若

22221234

a a a a +=+，55S =，则7a 的值为_____．

10．若函数()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x >时，1()23x f x -=-，则不等式()1f x >的解集为______________．

11．在ABC ∆中，已知AB=2，BC=3，60ABC ∠=︒，BD ⊥AC ，D 为垂足，则BD BC ⋅ 的

值为____．

12．关于x 的不等式(21)ln 0ax x -≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的值为_____．

13．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：22

143

x y -=．设过点M(0,1)的直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点，若2AM MB = ，则直线l 的斜率为_____．

14．已知数列{n a }的通项公式为72n a n =+，数列{n b }的通项公式为2n b n =．若将数列{n a }，{n b }中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列{n c }，则9c 的值为_____．

二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．

作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）

在ABC ∆中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，且

cos 2cos C a c B b -=， （1）求B ；

（2）若tan()74A π+

=，求cos C 的值．

如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AD//BC ，PB ⊥平面ABCD ，CD ⊥BD ，PB=AB=AD=1，点E 在线段PA 上，且满足PE=2EA ．

（1）求三棱锥E-BAD 的体积；

（2）求证：PC//平面BDE ．

17．（本小题满分16分）如图，某广场中间有一块扇形绿地OAB ，其中O 为扇形所在圆的圆心，60AOB ∠=︒，广场管理部门欲在绿地上修建观光小路：在 AB 上选一点C ，过C 修建与OB 平行的小路CD ，与OA 平行的小路CE ，问C 应选在何处，才能使得修建的道路CD 与CE 的总长最大，并说明理由．

已知数列{}n a 的各项都为正数，且对任意*n N ∈，都有212n n n a a a k ++=+(k 为常数)．

（1）若221()k a a =-，求证：123,,a a a 成等差数列；

（2）若k=0，且245,,a a a 成等差数列，求21

a a 的值； （3）已知12,a a a

b ==(,a b 为常数)，是否存在常数λ，使得21n n n a a a λ+++=对任意*n N ∈都成立？若存在．求出λ；若不存在，说明理由．

在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>过点(,),22a a A B ． （1）求椭圆C 的方程；

（2）已知点00(,)P x y 在椭圆C 上，F 为椭圆的左焦点，直线l 的方程为00360x x y y +-=． ①求证：直线l 与椭圆C 有唯一的公共点；

②若点F 关于直线l 的对称点为Q ，求证：当点P 在椭圆C 上运动时，直线PQ 恒过定点，并求出此定点的坐标．

设函数2()(2)ln f x x a x a x =---．

（1）求函数()f x 的单调区间；

（2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数a 的值；

（3）若方程()f x c =有两个不相等的实数根12,x x ，求证：12()02

x x f +'>．