第18讲 利用导数研究函数的单调性(原卷版)2021届新课改地区高三数学一轮专题复习

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新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习第四章第二节利用导数研究函数的单调性pptx课件北师大版

新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习第四章第二节利用导数研究函数的单调性pptx课件北师大版
第四章
第二节 利用导数研究函数的单调性




01
强基础 增分策略
02
增素能 精准突破
课标解读
1.结合实例,借助几何直观了
解函数的单调性与导数的关
系.
2.能利用导数研究函数的单
调性,会求函数的单调区间.
3.能够利用导数解决与函数
单调性有关的问题.
衍生考点
核心素养
1.研究不含参函数的
单调性
数学抽象
+1
(2)若-1≤a<0,由于 ≤0,所以

+1
(- )
.
2

+1
,
+∞

+1
0,
.
f'(x)<0,即 f(x)的单调递减区间是(0,+∞).
;
+1
(3)若 a<-1, >0,当 x∈
当 x∈
+1
, +∞

+1
0,
时,f'(x)>0,所以 f(x)的单调递增区间是
且g(-2)=g(2)=2f(2)=0,g(0)=0.因为f(x)>0,所以当x>0时,由g(x)=xf(x)>0得
2.讨论含参函数的单
逻辑推理
调性
数学运算
3.与导数有关的函数
数学建模
单调性的应用
强基础 增分策略
知识梳理
1.函数的单调性与其导数的关系
导数的符号与函数的单调性之间具有如下的关系:
(1)若在某个区间内,函数y=f(x)的导数f'(x)>0,则在这个区间内,函数

【2021新高考数学】利用导数求函数的单调性、极值 、最值

【2021新高考数学】利用导数求函数的单调性、极值 、最值
当求得的单调区间不止一个时,单调区间要用“,”或“和”字等隔开,不要用符号“∪”连接
【举一反三】
1.函数 y=4x2+1的单调增区间为________. x
1,+∞ 【答案】 2
【解析】

y=4x2+1,得 x
y′=8x-x12(x≠0),令
y′>0,即
8x-x12>0,解得
x>1, 2
∴函数
y=4x2+1的单调增区间为
2
.
2
2
当 x (, 2 ) 时,函数为增函数;当 x ( 2 , ) 时,函数也为增函数.
2
2
令 f (x) 6x2 3 0 ,解得 2 x 2 .当 x ( 2 , 2 ) 时,函数为减函数.
2
2
22
故函数 f (x) 2x3 3x 的单调递增区间为 (, 2 ) 和 ( 2 , ) ,单调递减区间为 ( 2 , 2 ) .
当求得的单调区间不止一个时,单调区间要用“,”或“和”字等隔开,不要用符号“∪”连接
【举一反三】 1.函数 y=4x2+1的单调增区间为________.
x 2.函数 f(x)=x·ex-ex+1 的单调增区间是________. 3.已知函数 f(x)=xln x,则 f(x)的单调减区间是________. 4.已知定义在区间(-π,π)上的函数 f(x)=xsin x+cos x,则 f(x)的单调增区间是_______.
2x 2 (1)求 a 的值; (2)求函数 f(x)的极值.
第十四讲 利用导数求函数的单调性、极值 、最值
【套路秘籍】
一.函数的单调性 在某个区间(a,b)内,如果 f′(x)>0,那么函数 y=f(x)在这个区间内单调递增;如果 f′(x)<0,那么函数 y=f(x) 在这个区间内单调递减. 二.函数的极值 (1)一般地,求函数 y=f(x)的极值的方法 解方程 f′(x)=0,当 f′(x0)=0 时:

高考数学复习考点知识专题讲解课件第18讲 导数与不等式 第2课时 利用导数研究恒成立问题

高考数学复习考点知识专题讲解课件第18讲 导数与不等式 第2课时 利用导数研究恒成立问题


1<x≤e时,f'(x)>0,此时f(x)单调递增.∴f(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间
为(1,e],f(x)的极小值为f(1)=1,无极大值.
课堂考点探究
变式题1 已知f(x)=ax-ln
ln
x,x∈(0,e],g(x)= ,x∈(0,e],其中e是自然对数的底数,

a∈R.
1
1
上的最大值为- ,f(x)在 ,2
2
2
上的最小值为ln 2-2.
课堂考点探究
变式题2 [2021·重庆八中模拟] 已知函数f(x)=ln
1 2
x- x .
2
(2)若不等式f(x)>(2-a)x2有解,求实数a的取值范围.
解:原不等式即为ln
1 2
ln
1
ln
1
x- x >(2-a)x2,可化简为2-a< 2 - .记g(x)= 2 - ,则原不等式
用导数研究函数的单调性或求最值,从而证得不等式,而如何根据不等式的结
构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键.
课堂考点探究
(2)可化为不等式恒成立问题的基本类型:
类型1:函数f(x)在区间[a,b]上单调递增,只需f'(x)≥0在[a,b]上恒成立.
类型2:函数f(x)在区间[a,b]上单调递减,只需f'(x)≤0在[a,b]上恒成立.
值的过程中常用的放缩方法有函数放缩法、基本不等式放缩法、叠加不等式
放缩法等.
课堂考点探究
探究点一
恒成立与能成立问题
例1 [2022·南京调研] 设函数f(x)=(x2-a)ex,a∈R,e是自然对数的底数.

第18讲 利用导数研究函数的单调性(解析版)2021届新课改地区高三数学一轮专题复习

第18讲 利用导数研究函数的单调性(解析版)2021届新课改地区高三数学一轮专题复习

3. 已知函数单调性求参数的值或参数的范围
(1)函数 y=f(x)在区间(a,b)上单调递增,可转化为 f′(x)≥0 在(a,b)上恒成立,且在(a,b)的任意子区间上不
恒为_0;也可转化为(a,b)⊆增区间. 函数 y=f(x)在区间(a,b)上单调递减,可转化为 f′(x)≤0 在(a,b)上恒成立,且在(a,b)的任意子区间上不恒 为_0;也可转化为(a,b)⊆减区间. (2)函数 y=f(x)的增区间是(a,b),可转化为(a,b)=增区间,也可转化为 f′(x)>0 的解集是(a,b);
6、函数 f(x)=x3-6x2 的单调递减区间为________.
【答案】(0,4)
【解析】:f′(x)=3x2-12x=3x(x-4),
由 f′(x)<0,得 0<x<4,
∴函数 f(x)的单调递减区间为(0,4).
7、(多填题)已知函数 f(x)=x3+mx2+nx-2 的图象过点(-1,-6),函数 g(x)=f′(x)+6x 的图象关于 y 轴对
∴h(x)在(2,3)递增,h(x)>h(2)=3,
∴实数 a 的取值范围为 a≤3;
②由题意得 g′(x)=x2-ax+2<0 在(-2,-1)上有解,∴a<x+2在(-2,-1)上有解, x
【答案】D
【解析】
函数
f(x)=-2lnx-x-3的定义域为(0,+∞),且 x
f′(x)=-2x-1+x32=-x2+x22x-3,解不等式
f′(x)>0,即 x2+2x-3<0,由于 x>0,解得 0<x<1.因此,函数 y=f(x)的单调递增区间为(0,1).故选 D.
3、函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 的图像如图,则函数 y=ax2+3bx+c的单调递增区间是( ) 23

(浙江版)高考数学一轮复习专题3.3利用导数研究函数的单调性(讲)(2021学年)

(浙江版)高考数学一轮复习专题3.3利用导数研究函数的单调性(讲)(2021学年)

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专题3.3利用导数研究函数的单调性【考纲解读】【知识清单】1.利用导数研究函数的单调性在(,)a b任意子区间内都不恒等于0.f x在(,)f x,'()a b内可导函数()a b上为增函数.≥⇔在(,)f x f x'()0()a b上为减函数.≤⇔在(,)'()0()f x f x对点练习:【2016北京理数】设函数()a x f x xe bx -=+,曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(1)4y e x =-+,(1)求a ,b 的值;(2)求()f x 的单调区间.【答案】(Ⅰ)2a =,b e =;(2))(x f 的单调递增区间为(,)-∞+∞。

所以,当)1,(-∞∈x 时,0)(<'x g ,)(x g 在区间)1,(-∞上单调递减; 当),1(+∞∈x 时,0)(>'x g ,)(x g 在区间),1(+∞上单调递增. 故1)1(=g 是)(x g 在区间),(+∞-∞上的最小值, 从而),(,0)(+∞-∞∈>x x g 。

综上可知,0)(>'x f ,),(+∞-∞∈x ,故)(x f 的单调递增区间为),(+∞-∞。

2023年新高考数学一轮复习4-2 应用导数研究函数的单调性(知识点讲解)含详解

2023年新高考数学一轮复习4-2 应用导数研究函数的单调性(知识点讲解)含详解

专题4.2 应用导数研究函数的单调性(知识点讲解)【知识框架】【核心素养】考查利用导数求函数的单调区间或讨论函数的单调性以及由函数的单调性求参数范围,凸显数学运算、逻辑推理的核心素养.【知识点展示】(一)导数与函数的单调性1.在(,)a b 内可导函数()f x ,'()f x 在(,)a b 任意子区间内都不恒等于0.'()0()f x f x ≥⇔在(,)a b 上为增函数.'()0()f x f x ≤⇔在(,)a b 上为减函数.2.利用导数研究函数的单调性的方法步骤:①确定函数f(x)的定义域;②求导数f ′(x);③由f ′(x)>0(或f ′(x)<0)解出相应的x 的取值范围,当f ′(x)>0时,f(x)在相应区间上是增函数;当f ′(x)<0时,f(x)在相应区间上是减增函数.特别提醒:讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式,求解时,要坚持“定义域优先”原则.(二)常用结论1.在某区间内f ′(x )>0(f ′(x )<0)是函数f (x )在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件.2.可导函数f (x )在(a ,b )上是增(减)函数的充要条件是对∀x ∈(a ,b ),都有f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)且f ′(x )在(a ,b )上的任何子区间内都不恒为零.【常考题型剖析】题型一:判断或证明函数的单调性例1.(2017·山东·高考真题(文))若函数()e xf x (e=2.71828,是自然对数的底数)在()f x 的定义域上单调递增,则称函数()f x 具有M 性质,下列函数中具有M 性质的是( )A .()2xf x -= B .()2f x x = C .()-3xf x = D .()cos f x x =例2.(2021·全国·高考真题(文))设函数22()3ln 1f x a x ax x =+-+,其中0a >. (1)讨论()f x 的单调性;(2)若()y f x =的图象与x 轴没有公共点,求a 的取值范围. 例3.(2021·全国·高考真题(文))已知函数32()1f x x x ax =-++. (1)讨论()f x 的单调性;(2)求曲线()y f x =过坐标原点的切线与曲线()y f x =的公共点的坐标. 【总结提升】1.利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号,易错点是忽视函数的定义域.2.当f (x )含参数时,需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.讨论的标准有以下几种可能:(1)f ′(x )=0是否有根;(2)若f ′(x )=0有根,求出的根是否在定义域内; (3)若在定义域内有两个根,比较两个根的大小. 题型二:求函数的单调区间例4.(2012·辽宁·高考真题(文))函数y=12x 2-㏑x 的单调递减区间为( ) A .(-1,1]B .(0,1]C .[1,+∞)D .(0,+∞)例5.(2016·北京·高考真题(理))设函数()a x f x xe bx -=+,曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(1)4y e x =-+, (1)求a ,b 的值; (2)求()f x 的单调区间. 【总结提升】1.利用导数求函数单调区间的方法(1)当导函数不等式可解时,解不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0求出单调区间.(2)当方程f ′(x )=0可解时,解出方程的实根,按实根把函数的定义域划分区间,确定各区间f ′(x )的符号,从而确定单调区间.(3)若导函数的方程、不等式都不可解,根据f ′(x )结构特征,利用图象与性质确定f ′(x )的符号,从而确定单调区间.温馨提醒:所求函数的单调区间不止一个,这些区间之间不能用并集“∪”及“或”连接,只能用“,”“和”字隔开.2.解决含参数的函数的单调性问题应注意两点(1)研究含参数的函数的单调性,要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)划分函数的单调区间时,要在函数定义域内讨论,还要确定导数为0的点和函数的间断点. 题型三: 利用函数的单调性解不等式例6.(2015·全国·高考真题(理))设函数'()f x 是奇函数()f x (x ∈R )的导函数,(1)0f -=,当0x >时,'()()0xf x f x -<,则使得()0f x >成立的x 的取值范围是( ) A .(,1)(0,1)-∞- B .(1,0)(1,)C .(,1)(1,0)-∞--D .(0,1)(1,)⋃+∞例7.(2017·江苏·高考真题)已知函数()3xx 1f x =x 2x+e -e-,其中e 是自然数对数的底数,若()()2f a-1+f 2a 0≤,则实数a 的取值范围是_________. 【总结提升】比较大小或解不等式的思路方法(1)根据导数计算公式和已知的不等式构造函数,利用不等关系得出函数的单调性,即可确定函数值的大小关系,关键是观察已知条件构造出恰当的函数.(2)含有两个变元的不等式,可以把两个变元看作两个不同的自变量,构造函数后利用单调性确定其不等关系.题型四:利用函数的单调性比较大小 例8.(2022·全国·高考真题(理))已知3111,cos ,4sin 3244a b c ===,则( ) A .c b a >>B .b a c >>C .a b c >>D .a c b >>例9.(2007·陕西·高考真题(理))已知f (x )是定义在(0,+∞) 上的非负可导函数,且满足xf ′(x )+f (x )≤0,对任意的0<a <b ,则必有( ). A .af (b )≤bf (a ) B .bf (a )≤af (b ) C .af (a )≤f (b )D .bf (b )≤f (a )例10.(2013·天津·高考真题(文))设函数()2x f x e x =+-,2()ln 3g x x x =+-若实数,a b 满足()0f a =,()0g b =则( )A .()0()g a f b <<B .()0()f b g a <<C .0()()g a f b <<D .()()0f b g a <<例11.(2022·全国·高考真题)设0.110.1e ,ln 0.99a b c ===-,,则( )A .a b c <<B .c b a <<C .c a b <<D .a c b <<【总结提升】1.在比较()1f x ,()2f x ,,()n f x 的大小时,首先应该根据函数()f x 的奇偶性与周期性将()1f x ,()2f x ,,()n f x 通过等值变形将自变量置于同一个单调区间,然后根据单调性比较大小.2.构造函数解不等式或比较大小一般地,在不等式中若同时含有f (x )与f ′(x ),常需要通过构造含f (x )与另一函数的和、差、积、商的新函数,再借助导数探索新函数的性质,进而求出结果. 常见构造的辅助函数形式有: (1)f (x )>g (x )→F (x )=f (x )-g (x ); (2)xf ′(x )+f (x )→[xf (x )]′; (3)xf ′(x )-f (x )→()[]'f x x; (4)f ′(x )+f (x )→[e x f (x )]′; (5)f ′(x )-f (x )→()[]'x f x e. 题型五:根据函数的单调性求参数范围例12.(2014·全国·高考真题(文))若函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞上单调递增,则实数k 的取值范围是A .(],2-∞-B .(],1-∞-C .[)2,+∞D .[)1,+∞例13.(2019·北京·高考真题(理))设函数f (x )=e x +a e −x (a 为常数).若f (x )为奇函数,则a =________;若f (x )是R 上的增函数,则a 的取值范围是___________.例14.(2014·全国·高考真题(理))若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ内是减函数,则实数a 的取值范围是_______. 【总结提升】由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)可导函数在区间(a ,b )上单调,实际上就是在该区间上f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立,得到关于参数的不等式,从而转化为求函数的最值问题,求出参数的取值范围.(2)可导函数在区间(a ,b )上存在单调区间,实际上就是f ′(x )>0(或f ′(x )<0)在该区间上存在解集,从而转化为不等式问题,求出参数的取值范围.(3)若已知f (x )在区间I 上的单调性,区间I 上含有参数时,可先求出f (x )的单调区间,令I 是其单调区间的子集,从而求出参数的取值范围. 题型六:利用导数研究函数的图象例15.(2021·浙江·高考真题)已知函数21(),()sin 4f x xg x x =+=,则图象为如图的函数可能是( )A .1()()4y f x g x =+-B .1()()4y f x g x =--C .()()y f x g x =D .()()g x y f x =例16.(2018·全国·高考真题(文))函数()2e e x xf x x --=的图像大致为 ( )A .B .C .D .例17.(2017·浙江·高考真题)函数y ()y ()f x f x ==,的导函数的图象如图所示,则函数y ()f x =的图象可能是A .B .C .D .【规律方法】函数图象的辨识主要从以下方面入手:(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置. (2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势; (3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性; (4)从函数的特征点,排除不合要求的图象. 题型七:与函数单调性相关的恒成立问题例18.(2022·广东·执信中学高三阶段练习)已知函数 ()e xf x x =-,则 ()f x 的单调递增区间为________; 若对任意的()0,x ∞∈+, 不等式 ln 2e 1xx ax+-≥恒成立, 则实数 a 的取值范围为________. 例19.(2022·全国·高三专题练习)已知函数()()e ln xf x m x m =+∈R ,若对任意正数12,x x ,当12x x >时,都有()()1212f x f x x x ->-成立,则实数m 的取值范围是______.例20.(2010·全国·高考真题(理))设函数()21x f x e x ax =---.(1)若0a =,求()f x 的单调区间;(2)若当0x ≥时()0f x ≥恒成立,求a 的取值范围. 【规律方法】处理此类问题,往往利用“构造函数法”、“分离参数法”.专题4.2 应用导数研究函数的单调性(知识点讲解)【知识框架】【核心素养】考查利用导数求函数的单调区间或讨论函数的单调性以及由函数的单调性求参数范围,凸显数学运算、逻辑推理的核心素养.【知识点展示】(一)导数与函数的单调性1.在(,)a b 内可导函数()f x ,'()f x 在(,)a b 任意子区间内都不恒等于0.'()0()f x f x ≥⇔在(,)a b 上为增函数.'()0()f x f x ≤⇔在(,)a b 上为减函数.2.利用导数研究函数的单调性的方法步骤:①确定函数f(x)的定义域;②求导数f ′(x);③由f ′(x)>0(或f ′(x)<0)解出相应的x 的取值范围,当f ′(x)>0时,f(x)在相应区间上是增函数;当f ′(x)<0时,f(x)在相应区间上是减增函数.特别提醒:讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式,求解时,要坚持“定义域优先”原则.(二)常用结论1.在某区间内f ′(x )>0(f ′(x )<0)是函数f (x )在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件.2.可导函数f (x )在(a ,b )上是增(减)函数的充要条件是对∀x ∈(a ,b ),都有f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)且f ′(x )在(a ,b )上的任何子区间内都不恒为零.【常考题型剖析】题型一:判断或证明函数的单调性例1.(2017·山东·高考真题(文))若函数()e xf x (e=2.71828,是自然对数的底数)在()f x 的定义域上单调递增,则称函数()f x 具有M 性质,下列函数中具有M 性质的是( )A .()2xf x -= B .()2f x x = C .()-3xf x = D .()cos f x x =【答案】A 【解析】 【详解】对于A,令()e 2x x g x -=⋅,11()e (22ln )e 2(1ln )022x x x x xg x ---'=+=+>,则()g x 在R 上单调递增,故()f x 具有M 性质,故选A.例2.(2021·全国·高考真题(文))设函数22()3ln 1f x a x ax x =+-+,其中0a >. (1)讨论()f x 的单调性;(2)若()y f x =的图象与x 轴没有公共点,求a 的取值范围.【答案】(1)()f x 的减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,增区间为1,+a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭;(2)1a e >.【解析】 【分析】(1)求出函数的导数,讨论其符号后可得函数的单调性.(2)根据()10f >及(1)的单调性性可得()min 0f x >,从而可求a 的取值范围. 【详解】(1)函数的定义域为()0,∞+, 又()23(1)()ax ax f x x+-'=,因为0,0a x >>,故230ax +>, 当10x a<<时,()0f x '<;当1x a >时,()0f x '>;所以()f x 的减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,增区间为1,+a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭.(2)因为()2110f a a =++>且()y f x =的图与x 轴没有公共点,所以()y f x =的图象在x 轴的上方,由(1)中函数的单调性可得()min 1133ln 33ln f x f a a a ⎛⎫==-=+ ⎪⎝⎭,故33ln 0a +>即1a e>.例3.(2021·全国·高考真题(文))已知函数32()1f x x x ax =-++.(1)讨论()f x 的单调性;(2)求曲线()y f x =过坐标原点的切线与曲线()y f x =的公共点的坐标. 【答案】(1)答案见解析;(2) 和()11a ---,. 【解析】 【分析】(1)首先求得导函数的解析式,然后分类讨论导函数的符号即可确定原函数的单调性;(2)首先求得导数过坐标原点的切线方程,然后将原问题转化为方程求解的问题,据此即可求得公共点坐标. 【详解】(1)由函数的解析式可得:()232f x x x a '=-+,导函数的判别式412a ∆=-,当14120,3a a ∆=-≤≥时,()()0,f x f x '≥在R 上单调递增,当时,的解为:12113113,33a ax x --+-==, 当113,3a x ⎛⎫--∈-∞ ⎪ ⎪⎝⎭时,单调递增;当113113,33a a x ⎛⎫--+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭时,单调递减;当113,3a x ⎛⎫+-∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时,单调递增;综上可得:当时,在R 上单调递增,当时,在113,3a ⎛⎫---∞ ⎪ ⎪⎝⎭,113,3a⎛⎫+-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增,在⎣⎦上单调递减. (2)由题意可得:()3200001f x x x ax =-++,()200032f x x x a '=-+,则切线方程为:()()()322000000132y x x ax x x a x x --++=-+-,切线过坐标原点,则:()()()32200000001320x x ax x x a x --++=-+-,整理可得:3200210x x --=,即:()()20001210x x x -++=,解得:,则,()0'()11f x f a '==+切线方程为:()1y a x =+, 与联立得321(1)x x ax a x -++=+,化简得3210x x x --+=,由于切点的横坐标1必然是该方程的一个根,()1x ∴-是321x x x --+的一个因式,∴该方程可以分解因式为()()2110,x x --=解得121,1x x ==-,()11f a -=--,综上,曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和()11a ---,. 【总结提升】1.利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号,易错点是忽视函数的定义域.2.当f (x )含参数时,需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.讨论的标准有以下几种可能:(1)f ′(x )=0是否有根;(2)若f ′(x )=0有根,求出的根是否在定义域内; (3)若在定义域内有两个根,比较两个根的大小. 题型二:求函数的单调区间例4.(2012·辽宁·高考真题(文))函数y=12x 2-㏑x 的单调递减区间为( ) A .(-1,1] B .(0,1] C .[1,+∞) D .(0,+∞)【答案】B 【解析】 【详解】对函数21ln 2y x x =-求导,得211x y x x x='-=-(x>0),令210{0x x x -≤>解得(0,1]x ∈,因此函数21ln 2y x x =-的单调减区间为(0,1],故选B例5.(2016·北京·高考真题(理))设函数()a x f x xe bx -=+,曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(1)4y e x =-+,(1)求a ,b 的值; (2)求()f x 的单调区间.【答案】(Ⅰ)2a =,b e =;(2)()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞. 【解析】 【详解】试题分析:(Ⅰ)根据题意求出,根据(2)22,(2)1f e f e =+=-'求a,b 的值即可;(Ⅱ)由题意判断的符号,即判断1()1x g x x e -=-+的单调性,知g(x)>0,即>0,由此求得f(x)的单调区间.试题解析:(Ⅰ)因为()a x f x xe bx -=+,所以()(1)a x f x x e b -=-+'. 依题设,(2)22,{(2)1,f e f e =+=-'即222222,{1,a a eb e e b e --+=+-+=- 解得2,e a b ==.(Ⅱ)由(Ⅰ)知2()x f x xe ex -=+. 由21()(1)x x f x e x e --=-+'及20x e ->知,与11x x e --+同号.令1()1x g x x e -=-+,则1()1x g x e -=-+'. 所以,当时,,在区间上单调递减; 当时,,在区间上单调递增. 故是在区间上的最小值,从而.综上可知,,.故的单调递增区间为.【总结提升】1.利用导数求函数单调区间的方法(1)当导函数不等式可解时,解不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0求出单调区间.(2)当方程f ′(x )=0可解时,解出方程的实根,按实根把函数的定义域划分区间,确定各区间f ′(x )的符号,从而确定单调区间.(3)若导函数的方程、不等式都不可解,根据f ′(x )结构特征,利用图象与性质确定f ′(x )的符号,从而确定单调区间.温馨提醒:所求函数的单调区间不止一个,这些区间之间不能用并集“∪”及“或”连接,只能用“,”“和”字隔开.2.解决含参数的函数的单调性问题应注意两点(1)研究含参数的函数的单调性,要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)划分函数的单调区间时,要在函数定义域内讨论,还要确定导数为0的点和函数的间断点. 题型三: 利用函数的单调性解不等式例6.(2015·全国·高考真题(理))设函数'()f x 是奇函数()f x (x ∈R )的导函数,(1)0f -=,当0x >时,'()()0xf x f x -<,则使得()0f x >成立的x 的取值范围是( ) A .(,1)(0,1)-∞- B .(1,0)(1,)C .(,1)(1,0)-∞--D .(0,1)(1,)⋃+∞【答案】A 【解析】 【详解】构造新函数()()f xg x x=,()()()2 'xf x f x g x x -=',当0x >时()'0g x <. 所以在()0,∞+上()()f xg x x=单减,又()10f =,即()10g =.所以()()0f x g x x =>可得01x <<,此时()0f x >,又()f x 为奇函数,所以()0f x >在()(),00,-∞⋃+∞上的解集为:()(),10,1-∞-⋃. 故选A.点睛:本题主要考查利用导数研究函数的单调性,需要构造函数,例如()()xf x f x '-,想到构造()()f xg x x=.一般:(1)条件含有()()f x f x '+,就构造()()x g x e f x =,(2)若()()f x f x -',就构造()()xf xg x e =,(3)()()2f x f x +',就构造()()2x g x e f x =,(4)()()2f x f x -'就构造()()2xf xg x e =,等便于给出导数时联想构造函数.例7.(2017·江苏·高考真题)已知函数()3x x 1f x =x 2x+e -e-,其中e 是自然数对数的底数,若()()2f a-1+f 2a 0≤,则实数a 的取值范围是_________.【答案】1[1,]2-【解析】 【详解】因为31()2e ()ex x f x x x f x -=-++-=-,所以函数()f x 是奇函数,因为22()32e e 320x x f 'x x x -=-++≥-+,所以数()f x 在R 上单调递增, 又2(1)(2)0f a f a -+≤,即2(2)(1)f a f a ≤-,所以221a a ≤-,即2210a a +-≤, 解得112a -≤≤,故实数a 的取值范围为1[1,]2-. 【总结提升】比较大小或解不等式的思路方法(1)根据导数计算公式和已知的不等式构造函数,利用不等关系得出函数的单调性,即可确定函数值的大小关系,关键是观察已知条件构造出恰当的函数.(2)含有两个变元的不等式,可以把两个变元看作两个不同的自变量,构造函数后利用单调性确定其不等关系.题型四:利用函数的单调性比较大小 例8.(2022·全国·高考真题(理))已知3111,cos ,4sin 3244a b c ===,则( ) A .c b a >> B .b a c >>C .a b c >>D .a c b >>【答案】A 【解析】 【分析】 由14tan 4c b =结合三角函数的性质可得c b >;构造函数21()cos 1,(0,)2f x x x x =+-∈+∞,利用导数可得b a >,即可得解. 【详解】因为14tan 4c b =,因为当π0,,sin tan 2x x x x ⎛⎫∈<< ⎪⎝⎭ 所以11tan 44>,即1cb >,所以c b >;设21()cos 1,(0,)2f x x x x =+-∈+∞,()sin 0f x x x '=-+>,所以()f x 在(0,)+∞单调递增,则1(0)=04f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭,所以131cos 0432->,所以b a >,所以c b a >>, 故选:A例9.(2007·陕西·高考真题(理))已知f (x )是定义在(0,+∞) 上的非负可导函数,且满足xf ′(x )+f (x )≤0,对任意的0<a <b ,则必有( ). A .af (b )≤bf (a )B .bf (a )≤af (b )C .af (a )≤f (b )D .bf (b )≤f (a )【答案】A 【解析】 【详解】因为xf ′(x )≤-f (x ),f (x )≥0,所以()f x x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦′=2'()()xf x f x x -≤22()f x x -≤0, 则函数()f x x在(0,+∞)上单调递减.由于0<a <b ,则()()f a f b a b≥,即af (b )≤bf (a ) 例10.(2013·天津·高考真题(文))设函数()2x f x e x =+-,2()ln 3g x x x =+-若实数,a b 满足()0f a =,()0g b =则( )A .()0()g a f b <<B .()0()f b g a <<C .0()()g a f b <<D .()()0f b g a <<【答案】A 【解析】 【详解】试题分析:对函数()2x f x e x =+-求导得()=1x f x e '+,函数单调递增,()()010,110f f e =-=+,由()0f a =知01a <<,同理对函数2()ln 3g x x x =+-求导,知在定义域内单调递增,(1)-20g =<,由()0g b =知1b >,所以()0()g a f b <<.例11.(2022·全国·高考真题)设0.110.1e ,ln 0.99a b c ===-,,则( )A .a b c <<B .c b a <<C .c a b <<D .a c b <<【答案】C 【解析】 【分析】构造函数()ln(1)f x x x =+-, 导数判断其单调性,由此确定,,a b c 的大小. 【详解】设()ln(1)(1)f x x x x =+->-,因为1()111x f x x x'=-=-++, 当(1,0)x ∈-时,()0f x '>,当,()0x ∈+∞时()0f x '<,所以函数()ln(1)f x x x =+-在(0,)+∞单调递减,在(1,0)-上单调递增,所以1()(0)09f f <=,所以101ln 099-<,故110ln ln 0.999>=-,即b c >,所以1()(0)010f f -<=,所以91ln +01010<,故1109e 10-<,所以11011e 109<,故a b <,设()e ln(1)(01)xg x x x x =+-<<,则()()21e 11()+1e 11x xx g x x x x -+'=+=--, 令2()e (1)+1x h x x =-,2()e (21)x h x x x '=+-,当01x <<时,()0h x '<,函数2()e (1)+1x h x x =-单调递减,11x <<时,()0h x '>,函数2()e (1)+1x h x x =-单调递增, 又(0)0h =,所以当01x <<时,()0h x <,所以当01x <<时,()0g x '>,函数()e ln(1)x g x x x =+-单调递增, 所以(0.1)(0)0g g >=,即0.10.1e ln 0.9>-,所以a c > 故选:C. 【总结提升】1.在比较()1f x ,()2f x ,,()n f x 的大小时,首先应该根据函数()f x 的奇偶性与周期性将()1f x ,()2f x ,,()n f x 通过等值变形将自变量置于同一个单调区间,然后根据单调性比较大小.2.构造函数解不等式或比较大小一般地,在不等式中若同时含有f (x )与f ′(x ),常需要通过构造含f (x )与另一函数的和、差、积、商的新函数,再借助导数探索新函数的性质,进而求出结果.常见构造的辅助函数形式有:(1)f (x )>g (x )→F (x )=f (x )-g (x ); (2)xf ′(x )+f (x )→[xf (x )]′; (3)xf ′(x )-f (x )→()[]'f x x; (4)f ′(x )+f (x )→[e x f (x )]′; (5)f ′(x )-f (x )→()[]'x f x e. 题型五:根据函数的单调性求参数范围例12.(2014·全国·高考真题(文))若函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞上单调递增,则实数k 的取值范围是A .(],2-∞-B .(],1-∞-C .[)2,+∞D .[)1,+∞【答案】D 【解析】 【详解】 试题分析:,∵函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞单调递增,∴在区间()1,+∞上恒成立.∴,而在区间()1,+∞上单调递减,∴.∴的取值范围是[)1,+∞.故选D .例13.(2019·北京·高考真题(理))设函数f (x )=e x +a e −x (a 为常数).若f (x )为奇函数,则a =________;若f (x )是R 上的增函数,则a 的取值范围是___________. 【答案】 -1; (],0-∞. 【解析】 【分析】首先由奇函数的定义得到关于a 的恒等式,据此可得a 的值,然后利用导函数的解析式可得a 的取值范围. 【详解】若函数()x xf x e ae -=+为奇函数,则()()(),x x x x f x f x e ae e ae ---=-+=-+,()()1 0x x a e e -++=对任意的x 恒成立.若函数()x x f x e ae -=+是R 上的增函数,则()' 0x xf x e ae -=-≥恒成立,2,0x a e a ≤≤.即实数a 的取值范围是(],0-∞例14.(2014·全国·高考真题(理))若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ内是减函数,则实数a 的取值范围是_______. 【答案】2a ≤ 【解析】()()2sin 2cos 4sin cos cos cos 4sin .,62f x x a x x x a x x x a x ππ⎛⎫=-+=-+=-+∈ ⎪⎝'⎭时,()f x 是减函数,又cos 0x >,∴由()0f x '≤得4sin 0,4sin x a a x -+≤∴≤在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立,()min 4sin ,,262a x x a ππ⎛⎫⎛⎫∴≤∈∴≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【总结提升】由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)可导函数在区间(a ,b )上单调,实际上就是在该区间上f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立,得到关于参数的不等式,从而转化为求函数的最值问题,求出参数的取值范围.(2)可导函数在区间(a ,b )上存在单调区间,实际上就是f ′(x )>0(或f ′(x )<0)在该区间上存在解集,从而转化为不等式问题,求出参数的取值范围.(3)若已知f (x )在区间I 上的单调性,区间I 上含有参数时,可先求出f (x )的单调区间,令I 是其单调区间的子集,从而求出参数的取值范围. 题型六:利用导数研究函数的图象例15.(2021·浙江·高考真题)已知函数21(),()sin 4f x xg x x =+=,则图象为如图的函数可能是( )A .1()()4y f x g x =+-B .1()()4y f x g x =--C .()()y f x g x =D .()()g x y f x =【答案】D 【解析】 【分析】由函数的奇偶性可排除A 、B ,结合导数判断函数的单调性可判断C ,即可得解.【详解】对于A ,()()21sin 4y f x g x x x =+-=+,该函数为非奇非偶函数,与函数图象不符,排除A ; 对于B ,()()21sin 4y f x g x x x =--=-,该函数为非奇非偶函数,与函数图象不符,排除B ;对于C ,()()21sin 4y f x g x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭,则212sin cos 4y x x x x ⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭,当4x π=时,2102164y ππ⎛⎫'=+> ⎪⎝⎭,与图象不符,排除C. 故选:D.例16.(2018·全国·高考真题(文))函数()2e e x xf x x --=的图像大致为 ( )A .B .C .D .【答案】B 【解析】 【详解】分析:通过研究函数奇偶性以及单调性,确定函数图像.详解:20,()()()x xe e xf x f x f x x --≠-==-∴为奇函数,舍去A,1(1)0f e e -=->∴舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f x x x ---+---++=='∴>'>, 所以舍去C ;因此选B.例17.(2017·浙江·高考真题)函数y ()y ()f x f x ==,的导函数的图象如图所示,则函数y ()f x =的图象可能是A .B .C .D .【答案】D【解析】 【详解】原函数先减再增,再减再增,且0x =位于增区间内,因此选D .【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系:若导函数图象与x 轴的交点为0x ,且图象在0x 两侧附近连续分布于x 轴上下方,则0x 为原函数单调性的拐点,运用导数知识来讨论函数单调性时,由导函数'()f x 的正负,得出原函数()f x 的单调区间.【规律方法】函数图象的辨识主要从以下方面入手:(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置. (2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势; (3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性; (4)从函数的特征点,排除不合要求的图象. 题型七:与函数单调性相关的恒成立问题例18.(2022·广东·执信中学高三阶段练习)已知函数 ()e xf x x =-,则 ()f x 的单调递增区间为________; 若对任意的()0,x ∞∈+, 不等式 ln 2e 1xx ax+-≥恒成立, 则实数 a 的取值范围为________.【答案】 (0,)+∞(填[)0,∞+亦可) 1(,]2-∞【解析】 【分析】求出函数导数,利用导数求函数单调区间,不等式恒成立可分离参数后求函数()e ln x g x x x x =⋅--的最小值,令ln t x x =+换元后可根据单调性求最值. 【详解】 ()1x f x e =-',令()0f x '>,可得()f x 的单调递增区间(0,)+∞ (或[)0+∞,亦可); ln 2e 1x x ax+-≥可化为2e ln x a x x x ≤⋅--. 令()e ln x g x x x x =⋅--=ln e e ln x x x x ⋅--=ln e (ln )x x x x +-+, 设ln t x x =+,则()e =-t h t t ,由()e xf x x =-在[)0+∞,上单调递增可知, 0()(0)e 01h t h ≥=-=,则21a ≤, 故解得12a ≤. 故答案为:(0,)+∞(填[)0,∞+亦可);12a ≤例19.(2022·全国·高三专题练习)已知函数()()e ln xf x m x m =+∈R ,若对任意正数12,x x ,当12x x >时,都有()()1212f x f x x x ->-成立,则实数m 的取值范围是______. 【答案】[)0,∞+ 【解析】 【分析】令()()g x f x x =-,进而原题等价于()g x 在()0,∞+单调递增,从而转化为()e 10x mg x x'=+-≥,在()0,∞+上恒成立,参变分离即可求出结果.【详解】由()()1212f x f x x x ->-得,()()1122f x x f x x ->- 令()()g x f x x =-,∴()()12g x g x > ∴()g x 在()0,∞+单调递增,又∵()()e ln xg x f x x m x x =-=+-∴()e 10xmg x x'=+-≥,在()0,∞+上恒成立,即()1e x m x ≥- 令()()1e x h x x =-,则()()e 110xh x x '=-++<∴()h x 在()0,∞+单调递减,又因为()()01e 00h =-⨯=,∴0m ≥.故答案为:[)0,∞+.例20.(2010·全国·高考真题(理))设函数()21x f x e x ax =---.(1)若0a =,求()f x 的单调区间;(2)若当0x ≥时()0f x ≥恒成立,求a 的取值范围.【答案】(1) f (x )在(-∞,0)单调减少,在(0,+∞)单调增加;(2) a 的取值范围为(-∞,12].【解析】【分析】(1)a =0时,()1x f x e x =--,()1x f x e '=-.分别令f ′(x )<0,f ′(x )>0可求()f x 的单调区间;(2求导得到)f ′(x )=e x -1-2ax .由(1)知e x ≥1+x ,当且仅当x =0时等号成立.故问题转化为f ′(x )≥x -2ax =(1-2a )x ,从而对1-2a 的符号进行讨论即可得出结果.【详解】(1)a =0时,()1x f x e x =--,()1x f x e '=-.当x ∈(-∞,0)时,f ′(x )<0;当x ∈(0,+∞)时,f ′(x )>0.故f (x )在(-∞,0)单调减少,在(0,+∞)单调增加(2) ()12x f x e ax '-=-.由(1)知1x e x ≥+,当且仅当x =0时等号成立.故f ′(x )≥x -2ax =(1-2a )x ,从而当1-2a ≥0,即a ≤时,f ′(x )≥0(x ≥0),而f (0)=0,于是当x ≥0时,f (x )≥0.由1x e x ≥+ (x ≠0)得1x e x -≥- (x ≠0),从而当a >时,f ′(x )< 1x e -+2a (1x e --)=x e - (1x e -)(x e -2a ),故当x ∈(0,ln2a )时, f ′(x )<0,而f (0)=0,于是当x ∈(0,ln2a )时,f (x )<0,综上可得a 的取值范围为(-∞,].【规律方法】处理此类问题,往往利用“构造函数法”、“分离参数法”.。

2021版新高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.2利用导数研究函数的单调性课件新人教B版

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第二节ꢀ利用导数研究函数的单调性内容索引【教材·知识梳理】函数的导数与单调性的关系函数y=f(x)在某个区间内可导:单调递增①若f′(x)>0,则f(x)在这个区间内_________;单调递减②若f′(x)<0,则f(x)在这个区间内_________;常数函数③若f′(x)=0,则f(x)在这个区间内是_________.【常用结论】1.利用导数求函数单调区间的方法(1)当导函数不等式可解时,解不等式f′(x) >0或f′(x) <0求出单调区间.(2)当方程f′(x)=0可解时,解出方程的实根,按实根把函数的定义域划分区间,确定各区间f′(x)的符号,从而确定单调区间.(3)若导函数的方程、不等式都不可解,根据f′(x)结构特征,利用图象与性质确定f′(x)的符号,从而确定单调区间.2.两个条件(1)f′(x)>0是函数f(x)为增函数的充分不必要条件.(2)f′(x)<0是函数f(x)为减函数的充分不必要条件.3.确定单调区间端点值的三个依据(1)导函数等于零的点.(2)函数不连续的点.(3)函数不可导的点.4.三点注意(1)在函数定义域内讨论导数的符号.(2)两个或多个增(减)区间之间的连接符号,不用“∪”,可用“,”或用“和”.(3)区间端点可以属于单调区间,也可以不属于单调区间.【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)在(a,b)内f′(x)≤0,且f′(x)=0的根有有限个,则f(x)在(a,b)内是减函数.(ꢀꢀ)(2)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)<0,则函数f(x)在定义域上一定单调递减. (ꢀꢀ)(3)已知函数f(x)在区间[a,b]上单调递增,则f′(x)>0恒成立.(ꢀꢀ)提示:(1)√.(2)×.不一定,如函数y=的导函数y′=-<0恒成立,但是函数y=的图象不是恒下降的.(3)×.不一定,如y=x3在[-1,3]上单调递增,但是y′=3x2在x=0处的值为0.【易错点索引】序号易错警示典题索引1 2忽视定义域优先的原则分类讨论时分类标准出错考点一、T1,2考点二、典例已知单调性求参数的问题时,所列不等式是否取等号出错3考点三、角度3【教材·基础自测】1.(选修2-2P25例3改编)函数f(x)=x-ln x的单调递减区间为(ꢀꢀ)A.(0,1)ꢀꢀꢀꢀB.(0,+∞)C.(1,+∞)D.(-∞,0)∪(1,+∞)【解析】选A.函数的定义域是(0,+∞),且f′(x)=1-,令f′(x)<0,得0<x<1.2.(选修2-2 P26练习AT1改编)已知函数f(x)的导函数f ′(x)=ax2+bx+c的图象如图所示,则f(x)的图象可能是(ꢀꢀ)【解析】选D.由题图可知,当x<0和x>x时,导函数f ′(x)=ax2+bx+c<0,知相应的1时,导函数f ′(x)=ax2+bx+c>0,知相应函数f(x)在该区间上单调递减; 当0<x<x1的函数f(x)在该区间上单调递增.3.(选修2-2 P27练习AT4改编)利用导数讨论指数函数f(x)=a x(a>0,a≠1)的单调性.【解析】指数函数f(x)=a x的定义域为R,因为f′(x)=a x ln a,对于任意x∈R,总有a x>0,所以当0<a<1时,ln a<0,f′(x)<0,函数在R上单调递减,当a>1时,ln a>0,f′(x)>0,函数在R上单调递增.综上,当0<a<1时,函数f(x)=a x单调递减,当a>1时,函数f(x)=a x单调递增.ꢀ考点一ꢀ不含参数的函数的单调性ꢀꢀ【题组练透】1.函数y=xln x的单调递减区间是(ꢀꢀ)A.(-∞,e-1) C.(e,+∞)B.(e-1,+∞) D.(0,e-1)2.函数f(x)=的单调递增区间为________.ꢀ3.(2019·浙江高考改编)函数f(x)=的单调递减区间为________.ꢀ4.(2019·天津高考改编)函数f(x)=e x cos x的单调递增区间为________.世纪金榜导学号ꢀ【解析】1.选D.函数y=xln x的定义域为(0,+∞),因为y=xln x,所以y′=ln x+1,令y′<0得0<x<e-1,所以减区间为(0,e-1).2.因为f(x)=所以f′(x)=解得x<-1-,,由f′(x)>0,所以f(x)的递增区间为(-∞,-1-)和(-1+,+∞).答案:(-∞,-1-)和(-1+,+∞)3.f(x)=-ln x+的定义域为(0,+∞). f′(x)=由x>0知>0,2+1>0,所以由f′(x)<0得-2<0,解得0<x<3,所以函数f(x)的单调递减区间为(0,3).答案:(0,3)4.由已知,有f′(x)=e x(cos x-sin x).因此,当x∈(k∈Z)时,有sin x<cos x,得f′(x)>0,则f(x)单调递增.所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z).答案:(k∈Z)【思维多变】题2中,若将“f(x)=”改为“f(x)=x2e x”,则函数f(x)的单调递减区间是________.ꢀ【解析】因为f(x)=x2e x,所以f′(x)=2xe x+x2e x=(x2+2x)e x.由f′(x)<0,解得-2<x<0,所以函数f(x)=x2e x的单调递减区间是(-2,0).答案:(-2,0)【规律方法】确定函数单调区间的步骤(1)确定函数y=f(x)的定义域.(2)求f ′(x).(3)解不等式f ′(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间.(4)解不等式f ′(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.【秒杀绝招】ꢀ排除法解T1,根据函数的定义域排除A,已知当x∈(1,+∞)时,y=x和y=ln x都是增函数且为正数,所以y=xln x也是增函数,从而排除B,C.考点二ꢀ含参数的函数的单调性ꢀ【典例】已知函数f(x)=ln x+ax2-(2a+1)x.若a>0,试讨论函数f(x)的单调性.【解题导思】序号题目拆解求f(x)的定义域,求f′(x)并(1)求f′(x),解方程进行恰当的因式分解,求出方f′(x)=0程f′(x)=0的根用导数为零的实数分割定义域,(2)由f′(x)的符号确定逐个区间分析导数的符号,确f(x)的单调性定单调性【解析】因为f(x)=ln x+ax2-(2a+1)x,所以f′(x)=由题意知函数f(x)的定义域为(0,+∞),令f′(x)=0得x=1或x=(1)若由f′(x)>0得x>1或0<x<,,(1,+∞)上单调递增,在上由f′(x)<0得<x<1,即函数f(x)在单调递减;(2)若>1,即0<a<, 由f′(x)>0得x>或0<x<1,由f′(x)<0得1<x<, 即函数f(x)在(0,1),上单调递增, 在上单调递减;(3)若=1,即a=,则在(0,+∞)上恒有f′(x)≥0,即函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.综上可得:当0<a<时,函数f(x)在(0,1)上单调递增, 在上单调递减,在上单调递增;当a=时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;上单调递增, 在上单调递减,在(1,+∞)当a>时,函数f(x)在上单调递增.【规律方法】解决含参数的函数的单调性问题应注意两点(1)研究含参数的函数的单调性问题,要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)划分函数的单调区间时,要在函数定义域内讨论,还要确定导数为0的点和函数的间断点.【变式训练】已知函数f(x)=(x-3)e x+a(x-2)2,其中e为自然对数的底数,a∈R.讨论f(x)的单调性.【解析】f′(x)=e x+(x-3)e x+2a(x-2)=(x-2)(e x+2a).(1)当a≥0时,令f′(x)>0,得x>2,令f′(x)<0,得x<2,所以f(x)在(2,+∞)上单调递增,在(-∞,2)上单调递减.(2)当a<0时,由f′(x)=0得x=2或x=l n(-2a),①当l n(-2a)<2,即a>时,当x∈(-∞,l n(-2a))时,f′(x)>0,当x∈(l n(-2a),2)时,f′(x)<0,当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0.所以f(x)在(-∞,ln(-2a))和(2,+∞)上单调递增,在(ln(-2a),2)上单调递减.②当ln(-2a)=2即a=③当ln(-2a)>2即a<时,f′(x)≥0恒成立,f(x)在R上单调递增.时,当x∈(-∞,2)时,f′(x)>0,当x∈(2,l n(-2a))时,f′(x)<0,当x∈(l n(-2a),+∞)时,f′(x)>0.所以f(x)在(-∞,2)和(ln(-2a),+∞)上单调递增,在(2,ln(-2a))上单调递减.考点三ꢀ利用导数解决函数单调性的应用问题ꢀ考什么:(1)考查函数图象的识别、比较大小或解不等式、根据函数的单调性求参数等问题.(2)考查直观想象、数学运算、逻辑推理的核心素养及数形结合、转化与化归的思想方法.怎么考:与基本初等函数、不等式等综合考查函数的图象及函数的单调性的应用等问题.新趋势:以导数法研究函数单调性为基础,综合考查利用单调性比较大小、解不等式及知单调性求参数的范围.命题精解读由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)可导函数在区间D 上单调,实际上就是在该区间上f ′ (x)≥0(或f ′ (x)≤0)恒成立,从而构建不等式, 求出参数的取值范围,要注意“=”是否可以取到.学霸好方法(2)可导函数在区间D 上存在单调区间,实际上就是f ′(x)>0(或f ′(x)<0)在该区间上存在解集,即f ′(x)>0(或f ′(x)<0)max min 在该区间上有解,从而转化为不等式问题,求出参数的取值范围.(3)若已知f (x)在区间D 上的单调性,区间D 上含有参数时,可先求出f(x)的单调区间,令D 是其单调区间的子集,从而求出参数的取值范围.命题角度1函数图象的识别【典例】函数f(x)=x2+xsin x的图象大致为()【解析】选A.因为f(-x)=x2-xsin(-x)=x2+xsin x=f(x),所以f(x)为偶函数,B不符合题意, f(x)=x2+xsin x=x(x+sin x),令g(x)=x+sin x,则g′(x)=1+cos x ≥0恒成立,所以g(x)是单调递增函数,则当x>0时,g(x)>g(0)=0,故x>0时,f(x) =xg(x),f′(x)=g(x)+xg′(x)>0,即f(x)在(0,+∞)上单调递增,故只有A符合题意.【解后反思】辨别函数的图象主要从哪几个角度分析?提示:从函数奇偶性、单调性、最值及函数图象所过的特殊点等角度分析.命题角度2比较大小或解不等式【典例】(2019·兰州模拟)函数f(x)在定义域R内可导,f(x)=f(4-x),且(x-2)f′(x)>0.若a=f(0),b=f,c=f(3),则a,b,c的大小关系是()世纪金榜导学号A.c>b>aB.c>a>bC.a>b>cD.b>a>c【解析】选C.由f(x)=f(4-x)可知,f(x)的图象关于直线x=2对称,根据题意知,当x∈(-∞,2)时,f′(x)<0,f(x)为减函数;当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,f(x)为增函数.所以f(3)=f(1)<f<f(0),即c<b<a.【解后反思】单调性比较大小或解不等式,实际上是自变量的大小与相应函数值的大小关系的互推,比较大小时对自变量的取值范围有什么要求?提示:必须在同一个单调区间内.命题角度3根据函数的单调性求参数【典例】(2019·北京高考)设函数f(x)=e x+ae-x(a为常数).若f(x)为奇函数,则a=________;若f(x)是R上的增函数,则a的取值范围是________.世纪金榜导学号【解析】①显然f(0)有意义,又f(x)为奇函数,所以f(0)=0,得a=-1.②因为f(x)是R上的增函数,所以f′(x)=e x-ae-x=≥0恒成立,即g(x)=(e x)2≥a恒成立,又因为g(x)>0,且当x趋向于-∞时,g(x)趋向于0,所以0≥a,即a的取值范围是(-∞,0].答案:-1(-∞,0]【解后反思】函数f(x)在某区间上是增函数,推出f′(x)>0还是f′(x)≥0?提示:推出f′(x)≥0.【题组通关】【变式巩固·练】1.设函数y=f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则导函数y=f′(x)可能为()【解析】选D.由题意得,当x<0时,函数y=f(x)单调递增,故f′(x)>0;当x>0时,函数y=f(x)先增再减然后再增,故导函数的符号为先正再负然后再正.结合所给选项可得D符合题意.2.已知函数f′(x)是函数f(x)的导函数,f(1)=,对任意实数都有f(x)-f′(x) >0,设F(x)=,则不等式F(x)<的解集为()A.(-∞,1) C.(1,e)B.(1,+∞) D.(e,+∞)【解析】选B.根据题意,F(x)=,其导数F′(x)=又由f(x)-f′(x)>0,则有F′(x) <0,即函数F(x)在R上为减函数,又由f(1)=,则F(1)==,不等式F(x)<等价于F(x)<F(1),则有x>1,则不等式的解集为(1,+∞).3.若f(x)=2x3-3x2-12x+3在区间[m,m+4]上是单调函数,则实数m的取值范围是________.【解析】因为f(x)=2x3-3x2-12x+3,所以f′(x)=6x2-6x-12=6(x+1)(x-2),令f′(x)>0,得x<-1或x>2;令f′(x)<0,得-1<x<2, f(x)在(-∞,-1]和[2,+∞)上单调递增,在(-1,2)上单调递减.若f(x)在区间[m,m+4]上是单调函数,则m+4≤-1或或m≥2.所以m≤-5或m≥2,则m的取值范围是(-∞,-5]∪[2,+∞).答案:(-∞,-5]∪[2,+∞)【综合创新·练】(2020·内江模拟)若函数f(x)=ax2+x l n x-x存在单调递增区间,则a的取值范围是()【解析】选B.因为f(x)=ax2+x l n x-x存在单调递增区间,则f′(x)=ax+l n x ≥0在(0,+∞)上有解,即a≥在(0,+∞)上有解,,x>0,则g′(x)=令g(x)=,当x>e时,g′(x)>0,g(x)单调递增,当0<x<e时,g′(x)<0,g(x)单调递减,又x→0,g(x)→+∞,x→+∞,g(x)<0且g(x)→0,因为g(e)=-,所以a≥-,当a=-时,f′(x)=-x+l n x,令h(x)=-x+l n x,则h′(x)=-,当x>e时,h′(x)<0,函数单调递减,当0<x<e时,h′(x)>0,函数单调递增,h(x)≤h(e)=0,即f′(x)≤0恒成立,此时不满足题意,所以a的取值范围是.解题新思维构造法的应用【结论】构建新函数解答比较大小和不等式问题分析已知条件的特点构造新的函数,对新函数求导确定其单调性,再由单调性进行大小的比较.。

高考数学一轮复习-用导数研究函数的单调性ppt课件

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恒成立,即 ≥
恒成立,又 =
在 , +∞ 上单调递减,故
< ,所以
+
+
+
≥ ,当 = 时,导数不恒为0.故选D.
02
研考点 题型突破
题型一 不含参数的函数的单调性
典例1 函数y = xln x(
D )
A.是严格增函数
B.在
1
0,
e
上是严格增函数,在
1
, +∞
e
上是严格减函数
为 , .故选A.
(2)函数f x
[解析] 函数
或 =
2
x2
0,
= x 的增区间为________.
ln 2
2

⋅ − ⋅ ⋅
= ,则′ =



,当



.
.令′ = ,解得 =
∈ −∞, 时,′ < ,函数 单调递减,当 ∈ ,
(2)已知函数f x = ex − e−x − 2x + 1,则不等式f 2x − 3 >
3
, +∞
1的解集为_________.
2
[解析] = − − − + ,其定义域为,
∴ ′ = + − − ≥ ⋅ − − = ,当且仅当 = 时取“=”,∴ 在
在 a, b 上单调递减,则当x ∈ a, b 时,f′ x ≤ 0恒成立.
2.若函数f x 在 a, b 上存在增区间,则当x ∈ a, b 时,f′ x > 0有解;若函数f x
在 a, b 上存在减区间,则当x ∈ a, b 时,f′ x < 0有解.

(浙江版)高考数学一轮复习专题3.3利用导数研究函数的单调性(测)(2021学年)

(浙江版)高考数学一轮复习专题3.3利用导数研究函数的单调性(测)(2021学年)

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专题3。

3 利用导数研究函数的单调性一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选择中,只有一个是符合题目要求的。

)1.若方程330x x m -+=在[0,2]上有解,则实数m 的取值范围是( )A .[2,2]- B.[0,2] C.[2,0]- D.(,2)-∞-∪(2,)+∞ 【答案】A2。

定义在()0,+∞上的可导函数()f x 满足()'f x ()x f x ⋅<,且()20f =,则()0f x x>的解集为( ) A .()0,2 B .()()0,22,+∞C.()2,+∞D.()()0,33,+∞【答案】A 【解析】因为()'f x ()x f x ⋅<,所以()'f x ()0x f x ⋅-<()()()20f x f x x f x x x ''-⎡⎤=<⎢⎥⎣⎦,令()()f x g x x =,则()g x 为()0,+∞上的减函数,又因为()20f =,所以()20g =,所以()0g x >的解为()0,2即()0f x x >的解集为()0,2,故选A。

3.已知函数),0(ln )(2R b a x bx ax x f ∈>-+=,若对任意0>x ,)1()(f x f ≥,则( ) A .b a 2ln -< B. b a 2ln -≤ C 。

2021新高考数学新课程一轮复习课件-利用导数研究函数的单调性

2021新高考数学新课程一轮复习课件-利用导数研究函数的单调性

2.小题热身 (1)设 f′(x)是函数 f(x)的导函数,y=f′(x)的图象如图所示,则 y=f(x) 的图象最有可能是( )
答案 C
解析 由 y=f′(x)的图象易得,当 x<0 或 x>2 时,f′(x)>0;当 0<x<2 时,f′(x)<0.所以函数 y=f(x)在(-∞,0)和(2,+∞)上单调递增,在(0,2) 上单调递减,故选 C.
解 f(x)的定义域为(0,+∞),
a-1
2ax2+a-1
f′(x)= x +2ax= x .
①当 a≥1 时,f′(x)>0,故 f(x)在(0,+∞)上单调递增;
②当 a≤0 时,f′(x)<0,故 f(x)在(0,+∞)上单调递减;
③当 0<a<1 时,令 f′(x)=0,解得 x=
则当 x∈0,
3.已知函数 f(x)=4x+ax-ln x-32,其中 a∈R,且曲线 y=f(x)在点(1, f(1))处的切线垂直于直线 y=12x.
(1)求 a 的值; 解 (1)对 f(x)求导得 f′(x)=14-xa2-1x, 由 f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线 y=12x, 知 f′(1)=-34-a=-2,解得 a=54.
已知函数 f(x)=(x-1)ex-x2,g(x)=aex-2ax+a2-10(a∈R). (1)求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
解 (1)由题意,得 f′(x)=xex-2x,则 f′(1)=e-2. 又 f(1)=-1, 故所求切线方程为 y-(-1)=(e-2)(x-1), 即 y=(e-2)x+1-e.
确定不含参数的函数单调区间的步骤 (1)确定函数 f(x)的定义域. (2)求 f′(x). (3)解不等式 f′(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间. (4)解不等式 f′(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.

利用导数研究函数的单调性-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题(新高考地区专用)(原卷版)

利用导数研究函数的单调性-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题(新高考地区专用)(原卷版)

考向15 利用导数研究函数的单调性【2022年新高考全国Ⅰ卷】设0.110.1e ,ln 0.99a b c ===-,,则( )A .a b c <<B .c b a <<C .c a b <<D .a c b <<【2022年新高考全国II 卷】已知3111,cos ,4sin 3244a b c ===,则( ) A .c b a >> B .b a c >>C .a b c >>D .a c b >>1.求可导函数单调区间的一般步骤 (1)确定函数()f x 的定义域;(2)求()f x ',令()0f x '=,解此方程,求出它在定义域内的一切实数;(3)把函数()f x 的间断点(即()f x 的无定义点)的横坐标和()0f x '=的各实根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数()f x 的定义域分成若干个小区间;(4)确定()f x '在各小区间内的符号,根据()f x '的符号判断函数()f x 在每个相应小区间内的增减性.注①使()0f x '=的离散点不影响函数的单调性,即当()f x '在某个区间内离散点处为零,在其余点处均为正(或负)时,()f x 在这个区间上仍旧是单调递增(或递减)的.例如,在(,)-∞+∞上,3()f x x =,当0x =时,()0f x '=;当0x ≠时,()0f x '>,而显然3()f x x =在(,)-∞+∞上是单调递增函数.②若函数()y f x =在区间(,)a b 上单调递增,则()0f x '≥(()f x '不恒为0),反之不成立.因为()0f x '≥,即()0f x '>或()0f x '=,当()0f x '>时,函数()y f x =在区间(,)a b 上单调递增.当()0f x '=时,()f x 在这个区间为常值函数;同理,若函数()y f x =在区间(,)a b 上单调递减,则()0f x '≤(()f x '不恒为0),反之不成立.这说明在一个区间上函数的导数大于零,是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件.于是有如下结论:()0f x '>⇒()f x 单调递增;()f x 单调递增()0f x '⇒≥;()0f x '<⇒()f x 单调递减;()f x 单调递减()0f x '⇒≤.1.利用导数比较大小或解不等式的常用技巧利用题目条件,构造辅助函数,把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题,再由单调性比较大小或解不等式.2.利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路①由函数在区间[],a b 上单调递增(减)可知()0f x '≥ (()0f x '≤)在区间[],a b 上恒成立列出不等式;②利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题;③对等号单独检验,检验参数的取值能否使()f x '在整个区间恒等于0,若()f x '恒等于0,则参数的这个值应舍去;若只有在个别点处有()0f x '=,则参数可取这个值.【提醒】()f x 为增函数的充要条件是对任意的,()x a b ∈都有()0f x '≥且在(),a b 内的任意一个非空子区间上()0f x '≠.应注意此时式子中的等号不能省略,否则漏解.一:单调性基础问题 1.函数的单调性函数单调性的判定方法:设函数()y f x =在某个区间内可导,如果()0f x '>,则()y f x =为增函数;如果()0f x '<,则()y f x =为减函数.2.已知函数的单调性问题①若()f x 在某个区间上单调递增,则在该区间上有()0f x '≥恒成立(但不恒等于0);反之,要满足()0f x '>,才能得出()f x 在某个区间上单调递增;②若()f x 在某个区间上单调递减,则在该区间上有()0f x '≤恒成立(但不恒等于0);反之,要满足()0f x '<,才能得出()f x 在某个区间上单调递减.二:讨论单调区间问题 类型一:不含参数单调性讨论(1)求导化简定义域(化简应先通分,尽可能因式分解;定义域需要注意是否是连续的区间);(2)变号保留定号去(变号部分:导函数中未知正负,需要单独讨论的部分.定号部分:已知恒正或恒负,无需单独讨论的部分);(3)求根做图得结论(如能直接求出导函数等于0的根,并能做出导函数与x 轴位置关系图,则导函数正负区间段已知,可直接得出结论);(4)未得结论断正负(若不能通过第三步直接得出结论,则先观察导函数整体的正负); (5)正负未知看零点(若导函数正负难判断,则观察导函数零点);(6)一阶复杂求二阶(找到零点后仍难确定正负区间段,或一阶导函数无法观察出零点,则求二阶导);求二阶导往往需要构造新函数,令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数,对新函数再求导.(7)借助二阶定区间(通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性,进而判断一阶导函数正负区间段);类型二:含参数单调性讨论(1)求导化简定义域(化简应先通分,然后能因式分解要进行因式分解,定义域需要注意是否是一个连续的区间);(2)变号保留定号去(变号部分:导函数中未知正负,需要单独讨论的部分.定号部分:已知恒正或恒负,无需单独讨论的部分);(3)恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负);然后再求有效根; (4)根的分布来定参(此处需要从两方面考虑:根是否在定义域内和多根之间的大小关系);(5)导数图像定区间;1.(2022·全国·高三专题练习(理))已知0.02e a =, 1.02b =,ln2.02c =,则( ) A .c a b >> B .a b c >> C .a c b >>D .b a c >>2.(2022·全国·高三专题练习)已知函数()()321032a f x x x x a =--≥在区间()0,1上不是单调函数,则实数a 的取值范围是( )A .()02,B .[)0,1C .()0,∞+D .()2,+∞3.(2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测(文))已知函数()3ln 2f x x x =--,则不等式()()2325f xf x ->-的解集为( )A .()4,2-B .()2,2-C .()(),22,∞∞--⋃+D .()(),42,-∞-+∞4.(2022·湖北·房县第一中学模拟预测)已知函数()221e e 1x x f x -=+,不等式()()22f x f x >+的解集为( ) A .()(),12,-∞-+∞ B .()1,2- C .()(),21,-∞-+∞D .()2,1-5.(2022·吉林吉林·模拟预测(文))若函数()321f x x x ax =++-在(),-∞+∞上单调递增,则实数a 的取值范围( ) A .13a ≥ B .13a ≤C .13a >D .13a <1.(2022·青海·模拟预测(理))若01a b <<<,则( ) A .e e ln ln b a b a -<- B .e e ln ln b a b a -≥- C .e e a b b a ≤D .e e a b b a >2.(2022·河南·通许县第一高级中学模拟预测(文))定义:设函数()f x 的定义域为D ,如果[],m n D ⊆,使得()f x 在[],m n 上的值域为[],m n ,则称函数()f x 在[],m n 上为“等域函数”,若定义域为21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的函数()xg x a =(0a >,1a ≠)在定义域的某个闭区间上为“等域函数”,则a 的取值范围为( ) A .221,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B .22e 1,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C .221e e e ,e ⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭D .221e ee ,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦3.(2022·江苏无锡·模拟预测)已知1333,e ,(93ln 3)e a b c --===-,则a ,b ,c 的大小为( ) A .a b c <<B .a c b <<C .c a b <<D .b c a <<4.(2022·河南·开封市东信学校模拟预测(理))已知函数()()()2|| 1.00125()e ,log 3,log 8,2x f x x a f b f c f ===-=-,则a ,b ,c 的大小关系为( )A .a c b >>B .a b c >>C .c b a >>D .c a b >>5.(2022·青海玉树·高三阶段练习(文))定义在R 上的可导函数()f x 满足()2f x '<,若()()1262f m f m m --≥-,则m 的取值范围是( )A .(],1-∞-B .1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C .[)1,-+∞D .1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭6.(2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习(理))已知奇函数()f x 的导函数为()f x ',且()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上恒有()()sin cos f x f x x x '<成立,则下列不等式成立的( ) A ππ264f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B .ππ336f ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ππ3243⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D 2ππ334f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7.(2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测)已知1,1a b >>,且1(1)e e (e a b b a a ++=+为自然对数),则下列结论一定正确的是 ( ) A .ln()1a b +> B .ln()0-<a b C .122a b +<D .3222a b +<8.(2022·江西·上饶市第一中学模拟预测(理))已知函数()sin 2cos f x a x x =+在ππ,34x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦上单调递增,则a 的取值范围为( ) A .0a ≥ B .22a -≤≤ C .2a ≥- D .0a ≥或2a ≤-9.(多选题)(2022·全国·模拟预测)已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x +'>,则下列式子成立的是( ) A .()()20212022f ef < B .()()20212022f ef > C .()f x 是R 上的增函数D .0t ∀>,则()()t f x e f x t <+10.(2022·山东泰安·模拟预测)已知函数32()f x x ax =-+,写出一个同时满足下列两个条件的()f x :___________.①在[1,)+∞上单调递减;②曲线()(1)y f x x =≥存在斜率为1-的切线.11.(2022·青海·海东市第一中学模拟预测(理))已知函数()()()1e x f x a x a =--∈R ,()ln e k x x =-,e 为自然对数的底数.(1)讨论()f x 的单调性;(2)当1x >时,不等式()()f x k x ≤恒成立,求a 的取值范围.12.(2022·上海·位育中学模拟预测)已知函数 ()221f x ax x a =-+- ( a 为实常数).(1)设 ()f x 在区间 []1,2 上的最小值为 ()g a , 求 ()g a 的表达式; (2)设 ()()f x h x x=, 若函数 ()h x 在区间[]1,2上是增函数, 求实数a 的取值范围.13.(2022·全国·模拟预测)已知函数()2ln f x x x =-.(1)求曲线()y f x =在e x =处的切线方程; (2)若()()()e xg x f x ax -=+⋅在区间()01,内是单调函数,求实数a 的取值范围.14.(2022·全国·模拟预测)已知函数()()ln 13f x a x x =+-. (1)讨论函数()f x 的单调性;(2)证明:当1a =时,方程()sin 3f x x x =-在,2π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上有且仅有一个实数解.15.(2022·天津·二模)已知函数221()2ln ()2f x a x x ax a R =-++∈. (1)当1a =时,求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程; (2)求函数()f x 的单调区间;(3)当0a <时,求函数()f x 在区间[1,e] 上的最小值.16.(2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测(理))已知函数()()()21R 2f x x a a =-∈. (1)设()()e xg x f x =,讨论函数()()e x g x f x =的单调性; (2)当0x ≤时,()()211g x x a x ≤--+,求实数a 的取值范围.17.(2022·北京八十中模拟预测)已知函数e ()axf x x=. (1)当1a =时,求函数()f x 在(1,(1))f 处的切线方程; (2)求函数()f x 的单调区间; (3)若对任意[)1,x ∈+∞,都有1()ef x >成立,求实数a 的取值范围.18.(2022·陕西·宝鸡中学模拟预测(文))已知函数()()()21212ln R 2f x ax a x x a =-++∈(1)当1a =-时,求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程; (2)当0a >时,求函数()f x 的单调递增区间.1.(2022·全国·高考真题)设0.110.1e ,ln 0.99a b c ===-,,则( )A .a b c <<B .c b a <<C .c a b <<D .a c b <<2.(2022·全国·高考真题(理))已知3111,cos ,4sin 3244a b c ===,则( ) A .c b a >>B .b a c >>C .a b c >>D .a c b >>3.(2022·北京·高考真题)已知函数()e ln(1)x f x x =+. (1)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程; (2)设()()g x f x '=,讨论函数()g x 在[0,)+∞上的单调性; (3)证明:对任意的,(0,)s t ∈+∞,有()()()f s t f s f t +>+.4.(2022·全国·高考真题)已知函数()e e ax x f x x =-.(1)当1a =时,讨论()f x 的单调性; (2)当0x >时,()1f x <-,求a 的取值范围; (3)设n *∈N 2221ln(1)1122n n n+++>++++.5.(2021·全国·高考真题(文))设函数22()3ln 1f x a x ax x =+-+,其中0a >. (1)讨论()f x 的单调性;(2)若()y f x =的图象与x 轴没有公共点,求a 的取值范围.6.(2021·全国·高考真题)已知函数()()1ln f x x x =-. (1)讨论()f x 的单调性;(2)设a ,b 为两个不相等的正数,且ln ln b a a b a b -=-,证明:112e a b<+<.7.(2021·北京·高考真题)已知函数()232xf x x a-=+. (1)若0a =,求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程;(2)若()f x 在1x =-处取得极值,求()f x 的单调区间,以及其最大值与最小值.8.(2021·全国·高考真题)已知函数2()(1)x f x x e ax b =--+. (1)讨论()f x 的单调性;(2)从下面两个条件中选一个,证明:()f x 只有一个零点 ①21,222e a b a <≤>; ②10,22a b a <<≤.9.(2020·全国·高考真题(文))已知函数()(2)x f x e a x =-+. (1)当1a =时,讨论()f x 的单调性; (2)若()f x 有两个零点,求a 的取值范围.10.(2020·全国·高考真题(文))已知函数f (x )=2ln x +1. (1)若f (x )≤2x +c ,求c 的取值范围; (2)设a >0时,讨论函数g (x )=()()f x f a x a--的单调性.11.(2021·全国·高考真题(理))已知0a >且1a ≠,函数()(0)a x x f x x a=>.(1)当2a =时,求()f x 的单调区间;(2)若曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点,求a 的取值范围.。

利用导数讨论函数的单调性

利用导数讨论函数的单调性

利用导数讨论函数的单调性广西南宁市第二十六中学(530201)许莉[摘要]导数是研究函数性质的一个重要工具,利用求导研究含参函数的单调性是高考的热点,也是学生感到棘手的一个问题.文章结合实例,分类讨论研究导数与函数的单调性之间的关系.[关键词]导数;函数;单调性[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]1674-6058(2021)14-0030-02一、利用导数求函数的单调区间利用导数研究函数单调性的依据:若函数y=f(x)在某个区间内可导:若f′(x)>0,则f(x)在这个区间内单调递增;若f′(x)<0,则f(x)在这个区间内单调递减;若f′(x)=0,则f(x)在这个区间内是常数函数[1].[例1](2013年高考天津卷节选)已知函数f(x)=x2ln x.求函数f(x)的单调区间.分析:在对f(x)进行求导之前,应先考虑函数的定义域(因为单调区间必须是在定义域的限定范围内,而这个也是学生容易忽略的问题),再进行求导判断符号.解:函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=2x ln x+x=x()2ln x+1,令f'(x)>0,得x>1e;令f'(x)<0,得0<x<1e,所以函数f(x)的单调递减区间是()0,1e,单调递增区间是()1e,+∞.小结:利用导数判断函数单调性的一般步骤:第一步,求函数的定义域;第二步,求导数f′(x),其中求导后若有分母就考虑通分,若能因式分解就要因式分解,不能因式分解再考虑求根公式或者其他化简;第三步,在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0;第四步,写出函数f(x)的单调区间.二、利用导数讨论含参数函数的单调性[例2](2015年高考新课标卷2节选)已知函数f(x)=ln x+a(1-x),讨论函数f(x)的单调性.分析:在对f(x)进行求导后,发现求导后的函数不能直接判断符号,而是当a不为0时分子为一个含参的一次函数,这类问题就转化为求解含参的一次函数问题.解:f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1x-a=1-axx,若a≤0,则f′(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)单调递增.若a>0,则当x∈()0,1a时,f′(x)>0;当x∈()1a,+∞时,f′(x)<0.所以f(x)在()0,1a单调递增,在()1a,+∞单调递减.小结:求导后导函数为含参的一次函数,求解不等式ax+b>0(<0)的步骤:(1)将不等式化为ax>-b;(2)a=0时,不等式不是一元一次不等式,单独讨论;(3)若a>0,则x>-ba;若a<0,则x<-ba,还要注意单调区间必须包含在定义域内.[例3](2016年高考四川卷节选)已知函数f(x)=ax2-a-ln x,其中a∈R,讨论f(x)的单调性.分析:在对f(x)进行求导后,发现求导后的函数不能直接判断符号,而当a不为0时分子为一个含参的二次函数,这类问题就转化为求解含参的二次函数问题.对于含参的二次函数,首先考虑的是二次函数图像的开口方向,其次是是否有根,是否能直接求零点,而这也正是分类讨论的标准.对于学生来说,不重不漏地进行分类是答题的关键点.解:定义域{x|x>}0,f′()x=2ax-1x=2ax2-1x,x>0,当a≤0时,2ax2-1≤0,f′()x≤0,f()x在(0,+∞)上单调递减.当a>0时,令f'(x)=0,得x=当x∈(时,f'(x)<0;当x∈)∞时,f′(x)>0.故f(x)在(上单调递减,在)+∞上单调递增.小结:求导后导函数为含参的二次函数,求解不等式ax2+bx+c>0(<0)的步骤:(1)讨论二次项系数;(2)判断是否有零点;(3)根据对应一元二次方程数学·解题研究根的情况,得到一元二次不等式的解集,从而得到函数的单调性.[例4](2019年高考全国卷Ⅲ理20节选)已知函数f (x )=2x 3-ax 2+b .讨论f (x )的单调性.分析:在对f (x )进行求导后,发现求导后可以因式分解,从而得到二次含参函数的零点,这时二次函数的开口方向已经确定,只需要对得到的两个两点进行分类讨论即可.解:(1)f '(x )=6x 2-2ax =2x (3x -a ),令f ′(x )=0,得x =0或x =a3.若a >0,则当x ∈()-∞,0∪()a3,+∞时,f '(x )>0;当x ∈()0,a3时,f '(x )<0.故f (x )在()-∞,0和()a3,+∞上单调递增,在()0,a3上单调递减;若a =0,f (x )在(-∞,+∞)上单调递增;若a <0,则当x ∈()-∞,a3∪()0,+∞时,f ′(x )>0;当x ∈()a3,0时,f ′(x )<0;故f (x )在()-∞,a3∪()0,+∞上单调递增,在()a3,0上单调递减.综上所述,若a =0,f (x )在()-∞,+∞上单调递增;若a <0,f (x )在()-∞,a3和()0,+∞上单调递增,在()a3,0上单调递减.若a >0时,f (x )在()-∞,0和()a3,+∞上单调递增,在()0,a3上单调递减.小结:求导后导函数为含参的二次函数,但是可以直接求出导函数的零点,只需要判断两根的大小,再根据“大于取两边,小于取中间”,得到f ′(x )>0,则f (x )在这个区间内单调递增;若f ′(x )<0,则f (x )在这个区间内单调递减即可.[例5](2018年高考全国卷Ⅰ节选)已知函数f (x )=1x -x +a ln x .讨论f (x )的单调性.分析:在对f (x )进行求导后,发现求导后的二次函数的开口方向已经确定,但是是否有零点还不能判断,因此分类的标准应该是对判别式进行讨论,进而再对可能存在的零点进行讨论,做到不重不漏.解:f (x )的定义域为()0,+∞,f '(x )=-1x2-1+a x =-x 2-ax +1x 2.(1)若a ≤2,则f '(x )≤0,所以f (x )在()0,+∞单调递减.(2)若a >2,令f '(x )=0,得x =a -a 2-42或x =a +a 2-42.当x ∈()0,a -a 2-42∪()a +a 2-42,+∞时,f '(x )<0;当x ∈()0,a -a 2-42,a +a 2-42时,f ′(x )<0.所以f (x )在()0,a -a 2-42,()a +a 2-42,+∞单调递减,在()0,a -a 2-42,a +a 2-42单调递增.小结:求导后导函数为含参的二次函数,但是不能判断导函数是否有零点,则需要根据判别式的正负从而得到“存在零点”和“不存在零点”的分类标准,当判别式大于零时,还要判断是否可以比较两零点的大小,以及零点与定义域的关系,做到分类有序、不重不漏[2].通过以上例题发现,利用导数研究函数的单调性是一个有效的工具.利用导数求含参函数单调性的分类标准为:(1)求导后若导函数为含参数的一次函数,可以根据含参数的一次函数进行分类讨论.(2)求导后若导函数为含参数的二次函数,若求导后不能判断开口方向的,分类的标准是先讨论二次函数的开口方向,再讨论是否存在零点;若求导后导函数可以直接因式分解得到零点,则分类标准是直接对零点进行分类讨论;若求导后导函数确定了开口方向,但是不能判断是否有零点,则分类标准是直接对判别式进行分类讨论[3].而在分类时要做到不重不漏.[参考文献][1]祝敏芝.利用导数研究函数的单调性问题[J ].中学数学教学参考,2020(Z1):130-133.[2]王历权,范美卿,金雷.利用导数研究函数的单调性问题[J ].中学数学教学参考,2019(7):36-39.[3]陈达辉.利用导数研究函数单调性的几种类型[J ].数学学习与研究,2019(8):97.(责任编辑陈昕)数学·解题研究。

2021届新课改高三数学复习:利用导数研究函数的单调性(教师版)

2021届新课改高三数学复习:利用导数研究函数的单调性(教师版)

增;如果 f′(x)≤0 且在(a,b)的任意子区间上不恒为 0,那么函数 y=f(x)在这个区间内单调递减. 2. 判定函数单调性的一般步骤
(1)确定函数 y=f(x)的定义域; (2)求导数 f′(x);
(3)在函数 f(x)的定义域内解不等式 f′(x)>0 或 f′(x)<0;
(4)根据(3)的结果确定函数的单调区间. 3. 已知函数单调性求参数的值或参数的范围
3 是 f (x) 的极小值,故选项 A 正确;
由图可知,当 x (3, ) 时, f (x) 0 , f (x) 的递增区间为 (3, ) ,故选项 C 正确;
由图可知,当 x (, 3) 时, f (x) 0 , f (x) 的递减区间为 (, 3) ,故选项 D 正确;
又 f (x) 在 x 2 和 x 1 两侧同号,2 , 1 不是 f (x) 的极值点,故选项 B 错误; 6、函数 f(x)=x3-6x2 的单调递减区间为________. 【答案】(0,4) 【解析】:f′(x)=3x2-12x=3x(x-4), 由 f′(x)<0,得 0<x<4, ∴函数 f(x)的单调递减区间为(0,4). 7、(多填题)已知函数 f(x)=x3+mx2+nx-2 的图象过点(-1,-6),函数 g(x)=f′(x)+6x 的图象关于 y 轴对 称.则 m=________,f(x)的单调递减区间为________.
3
9
9
9
=0,f′(3)=0,∴12-4b+c=0,27+6b+c=0,∴b=-2,c=-18. ∴y=x2-4x-6,y′=2x-4. 当 x>8时,
9
9
y′>0,∴y=x2-4x-6 的单调递增区间为[8,+∞). 故选 D.

高考第18课利用导数研究函数的单调性.docx

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第18课 利用导数研究函数的单调性【自主学习】第18课 利用导数研究函数的单调性(本课时对应学生用书第 页)自主学习 回归教材1.(选修2-2P28例1改编)函数f (x )=x 3-15x 2-33x+6的单调减区间为 . 【答案】(-1,11)【解析】f'(x )=3x 2-30x-33=3(x-11)(x+1),由(x-11)(x+1)<0,得单调减区间为(-1,11).亦可填写闭区间或半开半闭区间. 2.(选修2-2P29练习4(1)改编)函数y=x ln x 的单调减区间为 .【答案】10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,【解析】y'=ln x+1,令y'<0,即ln x+1<0,解得0<x<1e ,故所求的单调减区间为10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,.3.(选修1-1P74练习2改编)若函数f (x )=x 3+ax-2在区间(-∞,+∞)上是增函数,则实数a 的取值范围是 . 【答案】[0,+∞) 【解析】f'(x )=3x 2+a ,因为f (x )在(-∞,+∞)上是增函数, 所以f'(x )≥0恒成立,所以a ≥0.4.(选修1-1P87练习3改编)若函数f(x)=e x-ax在区间(1,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是.【答案】(-∞,e]【解析】由f'(x)=e x-a>0,得a<e x.若函数在(1,+∞)上单调递增,则a<e x在区间(1,+∞)上恒成立,所以a≤e.5.(选修2-2P29例2改编)方程13x3-3x2+1=0在区间(0,2)上恰好有个根. 【答案】1【解析】设f(x)=13x3-3x2+1,则f'(x)=x2-6x=x(x-6),当x∈(0,2)时,f'(x)<0,f(x)在(0,2)上为减函数,又f(0)f(2)=1×8-1213⎛⎫+⎪⎝⎭<0,所以f(x)=0在区间(0,2)上恰好有1个根.1.用导数研究函数的单调性在某个区间(a,b)内,如果f'(x)≥0且不恒为0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增;如果f'(x)≤0且不恒为0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减.2.判定函数单调性的一般步骤(1)确定函数y=f(x)的定义域;(2)求导数f'(x);(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f'(x)>0或f'(x)<0;(4)根据(3)的结果确定函数的单调区间.【要点导学】要点导学各个击破求函数的单调区间例1 求下列函数的单调区间.(1)y=x 3-12x 2-2x+5;(2)y=2x 2-ln x.【思维引导】直接解f'(x )>0和f'(x )<0即可.【解答】(1)因为y'=3x 2-x-2=(3x+2)(x-1),定义域为R ,所以当y'>0时,x ∈2--3∞⎛⎫ ⎪⎝⎭,∪(1,+∞); 当y'<0时,x ∈2-13⎛⎫⎪⎝⎭,. 所以函数的单调增区间为2--3∞⎛⎫ ⎪⎝⎭,,(1,+∞),单调减区间为2-13⎛⎫⎪⎝⎭,. (2)因为y'=4x-1x =24-1x x ,定义域为(0,+∞), 令y'<0,得x ∈102⎛⎫ ⎪⎝⎭,;令y'>0,得x ∈12∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭,. 所以函数的单调增区间为12∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭,,单调减区间为102⎛⎫⎪⎝⎭,. 【精要点评】利用导数求函数f (x )的单调区间的一般步骤为:(1)确定函数f (x )的定义域;(2)求导函数f'(x );(3)在函数f (x )的定义城内解不等式f'(x )>0和f'(x )<0;(4)根据(3)的结果确定函数f (x )的单调区间.变式 已知函数f (x )=mx 3+nx 2(m ,n ∈R ,m ≠0),且函数y=f (x )的图象在点(2,f (2))处的切线与x 轴平行.(1)用含有m 的代数式表示n ; (2)求函数f (x )的单调增区间.【解答】(1)由已知得f'(x )=3mx 2+2nx ,又f'(2)=0,所以3m+n=0,故n=-3m. (2)由(1)知n=-3m , 所以f (x )=mx 3-3mx 2, 所以f'(x )=3mx 2-6mx. 令f'(x )>0,即3mx 2-6mx>0. 当m>0时,解得x<0或x>2,则函数f (x )的单调增区间为(-∞,0)和(2,+∞); 当m<0时,解得0<x<2,则函数f (x )的单调增区间为(0,2).综上,当m>0时,函数f (x )的单调增区间为(-∞,0)和(2,+∞);当m<0时,函数f (x )的单调增区间为(0,2).【精要点评】通过解不等式f'(x )>0(或f'(x )<0来确定函数的单调增(或减)区间,要注意对参数进行讨论;反之,若函数f (x )在某区间上单调递增(或减),则由f'(x )≥0(或f'(x )≤0)在这个区间上恒成立求出参数的取值范围.含参函数单调性的讨论例2 (2014·江苏模拟改编)已知函数f (x )=x 2-(2+b )x+b ln x (x>0,b 为实常数),讨论函数f (x )的单调性.【思维引导】先确定函数的定义域为(0,+∞),然后求解函数f (x )的导数,最后利用导数的符号判断函数的单调性.【解答】f'(x )=2x-(2+b )+b x =(2-)(-1)x b x x . 令f'(x )=0,得x 1=2b,x 2=1.①当2b≤0,即b ≤0时,函数f (x )的单调减区间为(0,1),单调增区间为(1,+∞);②当0<2b<1,即0<b<2时,列表如下:x b 02⎛⎫ ⎪⎝⎭, b 12⎛⎫ ⎪⎝⎭, (1,+∞)f'(x ) +-+f (x )↗↘↗所以函数f (x )的单调增区间为02⎛⎫ ⎪⎝⎭,,(1,+∞),单调减区间为12b ⎛⎫⎪⎝⎭,; ③当2b=1,即b=2时,函数f (x )的单调增区间为(0,+∞); ④当2b>1,即b>2时,列表如下:x (0,1)b 12⎛⎫ ⎪⎝⎭, b 2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭,f'(x ) +-+f (x )↗↘↗所以函数f (x )的单调增区间为(0,1),2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭,,单调减区间为12b ⎛⎫⎪⎝⎭,. 综上,当b ≤0时,函数f (x )的单调减区间为(0,1),单调增区间为(1,+∞);当0<b<2时,函数f (x )的单调增区间为02b ⎛⎫ ⎪⎝⎭,,(1,+∞),单调减区间为12b ⎛⎫ ⎪⎝⎭,;当b=2时,函数f (x )的单调增区间为(0,+∞);当b>2时,函数f (x )的单调增区间为(0,1),2b ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭,,单调减区间为12b ⎛⎫ ⎪⎝⎭,. 【精要点评】当导函数中含有字母参数时,要注意对字母参数进行讨论后再确定导数符号.其本质是利用分类讨论思想求解含参数不等式.变式 已知函数f (x )=12x 2-m ln x+(m-1)x ,当m ≤0时,试讨论函数f (x )的单调性.【解答】函数的定义域为(0,+∞),f'(x)=x-mx +(m-1)=2(-1)-x m x mx+=(-1)()x x mx+.①当-1<m≤0时,令f'(x)>0,得0<x<-m或x>1;令f'(x)<0,得-m<x<1,所以当-1<m≤0时,函数f(x)的单调增区间为(0,-m)和(1,+∞),单调减区间为(-m,1);②当m=-1时,f'(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,所以当m=-1时,函数f(x)的单调增区间为(0,+∞).③当m<-1时,同理可得,函数f(x)的单调增区间为(0,1)和(-m,+∞),单调减区间为(1,-m).根据函数的单调性求参数例3已知函数f(x)=13x3+mx2-3m2x+1,m∈R.(1)当m=1时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(2)若f(x)在区间(-2,3)上是减函数,求实数m的取值范围.【思维引导】(1)利用导数的几何意义求解;(2)利用f'(x)≤0对x∈(-2,3)恒成立来处理,即(-2,3)⊆f(x)的单调减区间.【解答】(1)当m=1时,f(x)=13x3+x2-3x+1,则f'(x)=x2+2x-3,所以f'(2)=5.又因为f(2)=5 3,所以所求切线方程为y-53=5(x-2),即15x-3y-25=0.(2)因为f'(x)=x2+2mx-3m2,令f'(x)=0,得x=-3m或m.当m=0时,f'(x)=x2≥0恒成立,不符合题意;当m>0时,f(x)的单调减区间是(-3m,m),若f(x)在区间(-2,3)上是减函数,则-3-23mm≤⎧⎨≥⎩,,解得m≥3;当m<0时,f(x)的单调减区间是(m,-3m),若f(x)在区间(-2,3)上是减函数,则-2-33mm≤⎧⎨≥⎩,,解得m≤-2.综上,实数m的取值范围是(-∞,-2]∪[3,+∞).【精要点评】由函数的单调性求参数的取值范围,这类问题一般已知f(x)在区间I上单调递增(递减),等价于不等式f'(x)≥0(f'(x)≤0)在区间I上恒成立,然后可借助分离参数等方法求出参数的取值范围.变式(2015·湖北重点中学联考)已知定义在R上的函数f(x)满足f(1)=2,且f(x)的导函数f'(x)在R上恒有f'(x)<1,则不等式f(x)<x+1的解集为.【答案】(1,+∞)【解析】令g(x)=f(x)-x-1,因为f'(x)<1(x∈R),所以g'(x)=f'(x)-1<0,所以g(x)=f(x)-x-1为减函数.又因为f(1)=2,所以g(1)=f(1)-1-1=0,所以不等式f(x)<x+1的解集为g(x)=f(x)-x-1<0=g(1)的解集,即g(x)<g(1),又g(x)=f(x)-x-1为减函数,所以x>1,即x∈(1,+∞).1.(2015·南昌模考)函数f(x)=ln x+x2-3x的单调减区间为.【答案】11 2⎛⎫ ⎪⎝⎭,【解析】f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x )=1x +2x-3=212-3x x x +,当12<x<1时,f'(x )<0, 所以f (x )的单调减区间为112⎛⎫ ⎪⎝⎭,.2.(2014·全国卷)若函数f (x )=kx-ln x 在区间(1,+∞)上单调递增,则实数k 的取值范围是 . 【答案】[1,+∞)【解析】f'(x )=k-1x =-1kx x ,且x>0,令f'(x )≥0,得kx-1≥0,所以x ≥1k 且k>0.因为函数f (x )在区间(1,+∞)上单调递增,所以1k ≤1,解得k ≥1.3.(2015·浙江重点中学联考)若函数y=f (x )在(0,+∞)上的导函数为f'(x ),且不等式xf'(x )>f (x )恒成立,又常数a ,b 满足a>b>0,给出下列不等式:①bf (a )>af (b );②af (a )>bf (b );③bf (a )<af (b );④af (a )<bf (b ).其中一定成立的是 .(填序号) 【答案】①【解析】令g (x )=()f x x (x>0),则g'(x )=2'()-()xf x f x x (x>0).又因为xf'(x )>f (x ),所以g'(x )>0, 所以函数g (x )在(0,+∞)上是增函数. 又因为a>b>0,所以g (a )>g (b ),即()f a a >()f b b ,所以bf (a )>af (b ).4.(2014·南通期末)已知a为实常数,y=f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,且当x<0时,f(x)=2x-3 2 a x+1.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若f(x)≥a-1对一切x>0恒成立,求a的取值范围.【解答】(1)由奇函数的对称性可知,我们只要讨论f(x)在区间(-∞,0)上的单调性即可.f'(x)=2+332ax,令f'(x)=0,得x=-a.①若a≤0,则f'(x)>0,故f(x)在区间(-∞,0)上单调递增.②若a>0,则当x∈(-∞,-a)时,f'(x)>0,所以f(x)在区间(-∞,-a)上单调递增;当x∈(-a,0)时,f'(x)<0,所以f(x)在区间(-a,0)上单调递减.综上所述,当a≤0时,f(x)的单调增区间为(-∞,0),(0,+∞);当a>0时,f(x)的单调增区间为(-∞,-a),(a,+∞),单调减区间为(-a,0),(0,a).(2)因为f(x)为奇函数,所以当x>0时,f(x)=-f(-x)=-3221axx⎛⎫--+⎪⎝⎭=2x+32ax-1.①当a<0时,要使f(x)≥a-1对一切x>0恒成立,即2x+32ax≥a对一切x>0恒成立.而当x=-2a>0时,有-a+4a≥a,所以a≥0,与a<0矛盾,所以a<0不成立.②当a=0时,f(x)=2x-1>-1=a-1对一切x>0恒成立,故a=0满足题设要求.③当a>0时,由(1)可知f(x)在(0,a)上是减函数,在(a,+∞)上是增函数.所以f(x)min=f(a)=3a-1>a-1,所以a>0时也满足题设要求.综上,a的取值范围是[0,+∞).趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第35~36页.【检测与评估】第18课利用导数研究函数的单调性一、填空题1.当x>0时,函数f(x)=x+4x的单调减区间是.2.若函数f(x)=x-ln x,则f(x)的单调增区间为.3.已知f(x)=x3-ax在[1,+∞)上是单调增函数,则实数a的最大值是.4.已知函数f(x)=kx3-3(k+1)x2-k2+1(k>0),且f(x)的单调减区间为(0,4),那么实数k的值为.5.若函数f(x)=-12(x-2)2+b ln x在(1,+∞)上是减函数,则实数b的取值范围为.6.(2015·唐山一中模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足:f(x)+f '(x)>1,f(0)=4,则不等式e x f(x)>e x+3(其中e为自然对数的底数)的解集为.7.已知函数f(x)=ln x+2x,若f(x2+2)<f(3x),则实数x的取值范围是.8.已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则实数a的取值范围是.二、解答题9.已知函数f(x)=x3+ax2+bx(a,b∈R)的图象过点P(1,2),且在点P处的切线的斜率为8.(1)求a,b的值;(2)求函数f(x)的单调区间.10.已知函数f(x)=(ax2+x)e x,其中e为自然对数的底数,a∈R.(1)当a<0时,解不等式f(x)>0;(2)若f(x)在区间[-1,1]上是单调函数,求实数a的取值范围.11.(2014·山东卷)已知函数f (x )=a ln x +-11x x ,其中a 为常数. (1)若a =0,求曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程; (2)讨论函数f (x )的单调性.三、 选做题(不要求解题过程,直接给出最终结果) 12.已知函数f (x )=e x -ax -1. (1)求函数f (x )的单调增区间.(2)若f (x )在定义域R 内单调递增,求实数a 的取值范围.(3)是否存在实数a ,使得函数f (x )在区间(-∞,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增?若存在,求出a 的值;若不存在,请说明理由.【检测与评估答案】第18课 利用导数研究函数的单调性1.(0,2) 【解析】f'(x )=1-24x (x>0),令f'(x )<0,解得0<x<2,所以f (x )的单调减区间为(0,2).2. (1,+∞) 【解析】令f'(x )=1-1x =0,解得x=1.当x ∈(0,1)时,f'(x )<0;当x ∈(1,+∞)时,f'(x )>0,所以f (x )的单调增区间为(1,+∞).3. 3 【解析】由题意知f'(x )=3x 2-a ≥0在[1,+∞)上恒成立,即a ≤3x 2在[1,+∞)上恒成立,而(3x 2)min =3×12=3,所以a ≤3,故a max =3.4. 1 【解析】由f'(x )=3kx 2-6(k+1)x<0的解集为(0,4),得k=1.5. (-∞,-1] 【解析】由f (x )=-12(x-2)2+b ln x ,得f'(x )=-(x-2)+bx (x>0),由题意知f'(x )≤0,即-(x-2)+bx ≤0在(1,+∞)上恒成立,所以b ≤[x (x-2)]min ,当x ∈(1,+∞)时[x (x-2)]∈(-1,+∞),所以b ≤-1.6. (0,+∞) 【解析】设g (x )=e x f (x )-e x ,则g '(x )=e x f (x )+e x f'(x )-e x ,因为f (x )+f '(x )>1,所以f (x )+f '(x )-1>0,所以g '(x )>0,所以y=g (x )在定义域R 上单调递增.因为e x f(x)>e x+3,所以g(x)>3,又因为g(0)=e0f(0)-e0=3,所以g(x)>g(0),所以x>0,即x∈(0,+∞).7. (1,2)【解析】由f(x)=ln x+2x,得f'(x)=1x+2x ln 2>0,x∈(0,+∞),所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.又由f(x2+2)<f(3x),得0<x2+2<3x,所以x∈(1,2).8.(-∞,-2)【解析】①当a=0时,显然f(x)有两个零点,不符合题意.②当a≠0时,f'(x)=3ax2-6x,令f'(x)=0,解得x1=0,x2=2a.当a>0时,2a>0,所以函数f(x)=ax3-3x2+1在(-∞,0)和2a∞⎛⎫+⎪⎝⎭,上为增函数,在2a⎛⎫⎪⎝⎭,上为减函数,因为f(x)存在唯一零点x0,且x0>0,则f(0)<0,即1<0,不成立.当a<0时,2a<0,所以函数f(x)=ax3-3x2+1在2-a∞⎛⎫⎪⎝⎭,和(0,+∞)上为减函数,在2a⎛⎫⎪⎝⎭,上为增函数,因为f(x)存在唯一零点x0,且x0>0,则f2a⎛⎫⎪⎝⎭>0,即a·38a-3·24a+1>0,解得a>2或a<-2,又因为a<0,故实数a的取值范围为(-∞,-2).9. (1) 由函数f(x)的图象过点P(1,2),得f(1)=2,所以a+b=1. 因为函数图象在点P处的切线的斜率为8,所以f'(1)=8.又f'(x)=3x2+2ax+b,所以2a+b=5.因此,a=4,b=-3.(2) 由(1)得f'(x)=3x2+8x-3.令f'(x)>0,得x<-3或x>1 3;令f'(x)<0,得-3<x<1 3.故函数f(x)的单调增区间为(-∞,-3),13∞⎛⎫+⎪⎝⎭,;单调减区间为1-33⎛⎫⎪⎝⎭,.10. (1) 因为e x>0,所以不等式f(x)>0即为ax2+x>0.又a<0,所以不等式可化为x 1x a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭<0,所以当a<0时,不等式f (x )>0的解集为10-a ⎛⎫⎪⎝⎭,.(2) f'(x )=(2ax+1)e x +(ax 2+x )e x =[ax 2+(2a+1)x+1]e x .①当a=0时,f'(x )=(x+1)e x ,f'(x )≥0在[-1,1]上恒成立,当且仅当x=-1时取等号,故a=0符合要求.②当a ≠0时,令g (x )=ax 2+(2a+1)x+1,因为Δ=(2a+1)2-4a=4a 2+1>0,所以g (x )=0有两个不相等的实数根x 1,x 2,不妨设x 1>x 2,因此f (x )有极大值又有极小值.若a>0,因为g (-1)·g (0)=-a<0,所以f (x )在(-1,1)内有极值点,故f (x )在[-1,1]上不单调;若a<0,可知x 1>0>x 2,因为g (x )的图象开口向下,所以要使f (x )在[-1,1]上单调,因为g (0)=1>0,必须满足(1)0(-1)0g g ≥⎧⎨≥⎩,,即320-0a a +≥⎧⎨≥⎩,, 所以-23≤a<0.综上可知,实数a 的取值范围是2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 11.(1)由题意知当a=0时,f (x )=-11x x +,x ∈(0,+∞).此时f'(x )=22(1)x +,所以f'(1)=12.又f (1)=0,所以曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为x-2y-1=0. (2)函数f (x )的定义域为(0,+∞),f'(x )=ax +22(1)x +=22(22)(1)ax a x a x x ++++.当a ≥0时,f'(x )>0,所以函数f (x )在(0,+∞)上单调递增. 当a<0时,令g (x )=ax 2+(2a+2)x+a , 则Δ=(2a+2)2-4a 2=4(2a+1).①当a ≤-12时,Δ≤0,f'(x )≤0在(0,+∞)上恒成立,所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.②当-12<a<0时,Δ>0.设x1,x2(x1<x2)是函数g(x)的两个零点,则x1=,x 2=-(aa+.因为x2>x1=-aa+=>0,因此,当x∈(0,x1)时,g(x)<0,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x∈(x1,x2)时,g(x)>0,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(x2,+∞)时,g(x)<0,f'(x)<0,f(x)单调递减.综上,当a≥0时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a≤-12时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减;当-12<a<0时,函数f(x)在⎛⎝⎭,⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减,在⎝⎭上单调递增.12. (1) 易知f'(x)=e x-a.若a≤0,则f'(x)=e x-a>0恒成立,即f(x)在R上单调递增;若a>0,令e x-a>0,得e x>a,即x>ln a,此时f(x)的单调增区间为(ln a,+∞).(2) 要使f(x)在R内单调递增,只要f'(x)≥0在R上恒成立,即e x-a≥0⇒a≤e x在R 上恒成立,即a≤(e x)min.又因为e x>0,所以a≤0,即实数a的取值范围是(-∞,0].(3) 假设存在a满足条件.方法一:由题意知e x-a≤0在(-∞,0]上恒成立,所以a≥e x在(-∞,0]上恒成立. 因为e x在(-∞,0]上为增函数,所以a≥1.同理可知e x-a≥0在[0,+∞)上恒成立,所以a≤e x在[0,+∞)上恒成立,所以a≤1. 综上,a=1.方法二:由题意知,x=0为f(x)的极小值点,所以f'(0)=0,即e0-a=0,所以a=1.经验证,符合题意.。

高考数学一轮复习利用导数研究函数的单调性课件

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【常用结论】 1.利用导数求函数单调区间的方法 (1)当导函数不等式可解时,解不等式f′(x) >0或f′(x) <0求出单调区间. (2)当方程f′(x)=0可解时,解出方程的实根,按实根把函数的定义域划分区间, 确定各区间f′(x)的符号,从而确定单调区间. (3)若导函数的方程、不等式都不可解,根据f′(x)结构特征,利用图象与性质 确定f′(x)的符号,从而确定单调区间.
解题新思维 构造法的应用 【结论】构建新函数解答比较大小和不等式问题 分析已知条件的特点构造新的函数,对新函数求导确定其单调性,再由单调性进 行大小的比较.
【典例】(2020·凉山模拟)若0<x1<x2<a都有x2ln x1-x1ln x2<x1-x2成立,则a的 最大值为 ( )
A. 1
B.1
提示:(1)√.
(2)×.不一定,如函数y= 的1 导函数y′=- <0恒1 成立,但是函数y= 的图1象
x
x2
x
不是恒下降的.
(3)×.不一定,如y=x3在[-1,3]上单调递增,但是y′=3x2在x=0处的值为0.
【易错点索引】
序号 1 2
3
易错警示 忽视定义域优先的原则 分类讨论时分类标准出错
【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)在(a,b)内f′(x)≤0,且f′(x)=0的根有有限个,则f(x)在(a,b)内是减函数.
() (2)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)<0,则函数f(x)在定义域上一定单调递减. () (3)已知函数f(x)在区间[a,b]上单调递增,则f′(x)>0恒成立. ( )
第二节 利用导数研 究函数的单调性
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4.利用导数研究函数的单调性-2021届高三数学(新高考)一轮复习ppt完美课件(26页)

4.利用导数研究函数的单调性-2021届高三数学(新高考)一轮复习ppt完美课件(26页)
4.2.1利用导数研究函数的单调性-202 1届高 三数学 (新高 考)一 轮复习 课件(共 26张PP T)
4.2.1利用导数研究函数的单调性-202 1届高 三数学 (新高 考)一 轮复习 课件(共 26张PP T)
类题通法 在讨论含有参数的函数单调性时,若 f′(x)中的参数不容易判断 其正负时,需要对参数进行分类,分类的标准:(1)按导函数是否有零 点分大类;(2)在小类中再按导函数零点的大小分小类;(3)在小类中再 按零点是否在定义域中分类.
4.已知定义在区间(-π,π)上的函数 f(x)=xsin x+cos x,则 f(x) 的单调递增区间是________.
答案:-π,-π2和0,π2 解析:f′(x)=sin x+xcos x-sin x=xcos x.令 f′(x)=xcos x>0, 则其在区间(-π,π)上的解集为-π,-π2∪0,π2,即 f(x)的单调递增 区间为-π,-2π和0,π2.
4.2.1利用导数研究函数的单调性-202 1届高 三数学 (新高 考)一 轮复习 课件(共 26张PP T)
题型二 含参数的函数单调性[师生共研] [例 1] 已知函数 f(x)=12ax2-(a+1)x+ln x,a>0,试讨论函数 y =f(x)的单调性.
4.2.1利用导数研究函数的单调性-202 1届高 三数学 (新高 考)一 轮复习 课件(共 26张PP T)
第1课时 利用导数研究函数的单调性
题型一 不含参数的单调性[自主练透]
1.函数 f(x)=x2-2ln x 的单调递减区间是( )
A.(0,1)
B.(1,+∞)
C.(-∞,1) D.(-1,1)
答案:A 解析:∵f′(x)=2x-2x=2x+1xx-1(x>0),∴当 x∈(0,1)时, f′(x)<0,f(x)为减函数;当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)为增函数.

第3节 利用导数研究函数单调性--2025高中数学一轮复习课件基础版(新高考新教材)

第3节  利用导数研究函数单调性--2025高中数学一轮复习课件基础版(新高考新教材)

高考总复习2025第3节 利用导数研究函数单调性课标解读1.结合实例,借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性;对于多项式函数,能求不超过三次的多项式函数的单调区间.3.能够利用导数解决与函数单调性有关的问题.强基础 固本增分知识梳理函数的单调性与其导数的关系条件导数的符号函数的单调性函数f (x )在区间(a ,b )上可导f '(x )>0f (x )在(a ,b )内____________f '(x )<0f (x )在(a ,b )内____________不等式中不带“=” 不等式中不带“=”微思考“函数f (x )在区间(a ,b )内的导数大(小)于0”是“f (x )在区间(a ,b )内单调递增(减)”的什么条件?单调递增单调递减 提示 充分不必要条件.若函数f (x )在区间(a ,b )内的导数大(小)于0,则必有f (x )在区间(a ,b )内单调递增(减),但反之不一定,例如f (x )=x 3在R 上单调递增,但f'(x )=3x 2≥0.微点拨利用导数求函数单调区间的步骤(1)求函数的定义域;(2)求f(x)的导数f'(x);(3)在定义域内解不等式f'(x)>0的解集即为单调递增区间,f'(x)<0的解集即为单调递减区间.常用结论1.若函数f(x)在区间(a,b)内单调递增(减),则在(a,b)内f'(x)≥0(≤0)恒成立.2.若函数f(x)在区间(a,b)内存在单调递增(减)区间,则在(a,b)内f'(x)>0(<0)有解.3.如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么这个函数在这个范围内变化得较快,其图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,图象就比较“平缓”.自主诊断题组一 思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.若函数f (x )在其定义域上有f '(x )<0,则f (x )在定义域上单调递减.( )2.若函数f (x )在(a ,b )内恒有f '(x )≥0,且f '(x )=0的根为有限个,则f (x )在(a ,b )内单调递增.( )3.如果一个函数在某一范围内变化得越快,则其导数就越大.( )4.若函数f (x )=x 3+ax 2+bx 在R 上单调递增,则a 2-3b <0.( )× √× ×题组二回源教材5.(人教B版选择性必修第三册6.2.1练习A第2题改编)已知函数f(x)的定义域为R,且f'(x)=2x-1,则f(x)的单调递增区间是__________.6.(人教A版选择性必修第二册5.3.1例1(2)改编)函数f(x)=s i n x-x在(0,π)内的(0,π)单调递减区间是__________.解析由于f(x)=sin x-x,所以f'(x)=cos x-1,因为x∈(0,π),所以f'(x)<0,因此f(x)在(0,π)内单调递减,即函数的单调递减区间是(0,π).题组三 连线高考7.(2023·新高考Ⅱ,6)已知函数f (x )=a e x -l n x 在区间(1,2)内单调递增,则a 的最小值为( )A .e 2B .eC .e -1D .e -2C8.(2023·全国乙,理16)设a∈(0,1),若函数f(x)=a x+(1+a)x在(0,+∞)单调递增,则a的取值范围是__________.研考点 精准突破考点一 求不含参数函数的单调区间例1(1)(2024·陕西西安模拟)函数f (x )=x -2l n x 的单调递减区间是( )A .(-∞,2)B .(2,+∞)C .(0,2)D .(-∞,0)和(0,2)C (2)(2024·河南濮阳模拟)设f (x )=2x 2-x 3,则f (x )的单调递减区间是_________.(3)(2024·山东潍坊模拟)函数f(x)=e-x·c o s x,x∈(0,π)的单调递增区间为__________.(1,+∞)解析函数定义域为(0,+∞),令f'(x)=0得x-1=0或e x-x=0.令g(x)=e x-x,则g'(x)=e x-1>0,所以g(x)>g(0)=1>0,所以f'(x)=0只有一个实根x=1,当x>1时,f'(x)>0,f(x)单调递增,故单调递增区间是(1,+∞).规律方法求不含参数函数单调区间的步骤与注意点(1)步骤:①求函数的定义域;②求f(x)的导数f'(x);③在定义域内解不等式,f'(x)>0的解集即为单调递增区间,f'(x)<0的解集即为单调递减区间. (2)注意:①不能忽视函数定义域;②当函数有多个单调递增区间(或递减区间)时,不能用“∪”连接;③当不等式f'(x)>0(或f'(x)<0)不可解时,可通过二次求导,分析f'(x)的零点情况,借助图象等得到其解集,进而得到单调区间.考点二 讨论含参函数的单调性令f'(x)=0,解得x=a或x=-2a.若a<0,则当0<x<-2a时,f'(x)<0,当x>-2a时,f'(x)>0,所以f(x)在(0,-2a)内为减函数,在(-2a,+∞)内为增函数;若a>0,则当0<x<a时,f'(x)<0,当x>a时,f'(x)>0,所以f(x)在(0,a)内为减函数,在(a,+∞)内为增函数;若a=0,则f'(x)>0恒成立,因此f(x)在(0,+∞)内是增函数.综上可得,当a<0时,f(x)在(0,-2a)内为减函数,在(-2a,+∞)内为增函数;当a>0时,f(x)在(0,a)内为减函数,在(a,+∞)内为增函数;当a=0时,f(x)在(0,+∞)内是增函数.规律方法分类讨论思想解决含参数函数单调性问题利用导数求含参数函数的单调区间时,基本策略是分类讨论,注意以下几点:(1)注意确定函数的定义域,在定义域的限制条件下研究单调区间;(2)注意观察f'(x)的表达式(或其中的某一部分、某个因式等)的取值是否恒为正(或恒为负),这往往是分类讨论的出发点;(3)注意结合解含参数不等式中分类讨论的一些常用方法,例如:对二次项系数正负的讨论,对判别式Δ 的讨论,对根的大小比较的讨论等;(4)分类讨论要做到不重不漏,同时还要注意对结果进行综述..[对点训练1](2024·辽宁沈阳模拟)已知函数f(x)=2x3+3(1+m)x2+6mx(x∈R),试讨论函数f(x)的单调性.解因为f(x)=2x3+3(1+m)x2+6mx,所以f'(x)=6x2+6(1+m)x+6m=6(x+1)(x+m).(1)若m=1,则f'(x)=6(x+1)2≥0在x∈R上恒成立,所以f(x)在R上单调递增;(2)若-m<-1,此时m>1,当x∈(-∞,-m)∪(-1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)在(-∞,-m)和(-1,+∞)内单调递增;当x∈(-m,-1)时,f'(x)<0,f(x)在(-m,-1)内单调递减.(3)若-m>-1,此时m<1,当x∈(-∞,-1)∪(-m,+∞)时,f'(x)>0,f(x)在(-∞,-1)和(-m,+∞)内单调递增,当x∈(-1,-m)时,f'(x)<0,f(x)在(-1,-m)内单调递减.综上可知,当m=1时,f(x)在R上单调递增;当m>1时,f(x)在(-∞,-m)和(-1,+∞)内单调递增,在(-m,-1)内单调递减;当m<1时,f(x)在(-∞,-1)和(-m,+∞)内单调递考点三 与导数有关的函数单调性的应用(多考向探究预测)考向1 辨析图象问题例3(1)(2024·广东东莞联考)已知定义在(0,3]上的函数f(x)的图象如图,则不B等式f'(x)<0的解集为( )解析观察图象可知f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,2)内单调递减,在(2,3]上单调递增,所以当x∈(1,2)时,f'(x)<0,即不等式f'(x)<0的解集为(1,2),故选B.(2)(多选题)(2024·山东济南模拟)设f'(x)是函数f(x)的导函数,将y=f(x)和ABCy=f'(x)的图象画在同一直角坐标系中,可能正确的是( )解析对选项A,若图中的直线为f'(x)的图象,曲线为f(x)的图象,因为f'(x)的图象先负后正,f(x)的图象先减后增,故A可能正确;对选项B,若图中上面的曲线为f(x)的图象,下面曲线为f'(x)的图象,因为f'(x)的图象在x=0左右先负后正,f(x)的图象在x=0处先减后增,故B可能正确;对选项C,若图中上面的曲线为f'(x)的图象,下面的曲线为f(x)的图象,因为f'(x)>0恒成立,f(x)的图象为增函数,故C可能正确;对选项D,若图中上面的曲线为f'(x)的图象,下面的曲线为f(x)的图象,因为f'(x)的图象先负后正,但f(x)的图象为增函数,不符合,若图中上面的曲线为f(x)的图象,下面的曲线为f'(x)的图象,因为f'(x)<0恒成立,但f(x)的图象为增函数,不符合,故D错误,故选ABC.规律方法利用单调性辨析函数图象的策略辨析函数与其导函数的图象关系时,要抓住各自的关键要素,对于原函数,要重点考察其图象在哪个区间内上升或下降,而对于导函数,则应考察其函数值在哪个区间内大于零、小于零,并考察这些区间与原函数的单调区间是否一致.考向2 解不等式或比较大小问题例4(1)(2024·福建南平模拟)已知函数f (x ),g(x )在R 上的导函数存在,且f '(x )<g'(x ),记a =log 52,b =log 83,则( )A .f (a )>g(a )B .f (a )<g(a )C .f (a )+g(b )>g(a )+f (b )D .f (a)+g(b )<g(a )+f (b )CC规律方法利用导数比较大小或解不等式方法点拨(1)当比较大小时,若要比较的是解析式已知的函数值,可通过函数导数的正负确定函数的单调性,然后根据自变量的大小得到函数值的大小关系,如果自变量的值不在同一个单调区间,要先利用函数的奇偶性、对称性等化到同一个区间上再比较.(2)当比较大小时,若只给出了要比较的函数值,则需要根据所给函数值的特征构造函数,将所给函数值视为相应的函数值,再借助导数确定所构造函数的单调性,从而比较大小.(3)当解不等式时,一方面要借助导数确定单调性,另一方面还要巧妙地将常数转化为函数值,同时注意函数定义域对变量的限制.CA.a>c>bB.c>b>aC.c>a>bD.a>b>c考向3 根据单调性求参数的值或范围问题例5(2024·陕西西安模拟)若函数f (x )=x 2-ax +l n x 在区间(1,e)内单调递增,则a的取值范围是( )A .[3,+∞)B.(-∞,3]C .[3,e 2+1]D .[3,e 2-1]B变式探究1在本例中,若改为“若函数f(x)=x2-ax+l n x的单调递减区间是( ,1)”,则实数a 的值等于__________.3变式探究2在本例中,若改为“若函数f(x)=x2-ax+l n x在区间(1,e)内存在单调递增区间”,则a的取值范围是__________.变式探究3在本例中,若改为“若函数f(x)=x2-ax+l n x在区间(1,e)内不单调”,则实数a的取值范围是__________.规律方法根据函数单调性求参数取值范围的类型及解法1已知函数f(x)在区间I上单调递增(或单调递减),f(x)中含参数转化为f'(x)≥0(或f'(x)≤0)在I上恒成立,要注意“=”能否取到2已知函数f(x)在区间I上单调递增(或单调递减),I中含参数先求出f(x)的单调区间,再令I是其单调区间的子集,建立不等式组求解3已知函数f(x)在区间I上存在单调递增(或单调递减)区间转化为f'(x)>0(或f'(x)<0)在I上有解求解4已知函数f(x)在区间I上不单调方法1:转化为f'(x)=0在I上有解求解,注意验证;方法2:运用补集思想,先求f(x)在区间I 上单调时参数的取值范围,再取其补集[对点训练3](2024·福建福州模拟)设函数f (x )= x 2-9l n x 在区间[a -1,a +1]上单调递减,则实数a 的取值范围是( )A.(1,2]B .[4,+∞)C .(-∞,2]D .(0,3]A。

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(5)对于不等式 xf′(x)+f(x)>0(或<0),构造函数 F(x)=xf(x); (6)对于不等式 xf′(x)-f(x)>0(或<0),构造函数 F(x)=f x (x≠0).
x
变式 1、(1)设函数 f(x)在 R 上的导函数为 f′(x),且 2f(x)+xf′(x)>x2,则下列不等式在 R 上恒成立的是( )
D.(-1,0)∪(0,1)
变式
2 、( 2019
秋 • 滨 州 期 末 ) 已 知 定 义 在 [0, )
上的函数
f (x)
的导函数为
f (x)
,且
f (0) 0

2
f (x) cos x f (x)sin x 0 ,则下列判断中正确的是 ( )
6/9
A.
f
(
)
6
f
(
)
6 24
C.
f
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的取值范围是( )
A.(-∞,-1)∪(0,1)
B.(-1,0)∪(1,+∞)
C.(-∞,-1)∪(-1,0)
D.(0,1)∪(1,+∞)
(2)设 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时,f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,且 g(-3)=0,则不
32 (1)求 b,c 的值; (2)设函数 g(x)=f(x)+2x,且 g(x)在区间(-2,-1)内存在单调递减区间,求实数 a 的取值范围.
考点三、函数单调区间的讨论 例 3 已知函数 f(x)=lnx+a(1-x),a∈R. (1)当 a=1 时,求 f(x)的单调性; (2)讨论 f(x)的单调性.

2、【2017 年高考浙江】函数 y=f(x)的导函数 y f (x) 的图象如图所示,则函数 y=f(x)的图象可能是
3、【2018 年高考全国Ⅱ卷理数】函数
f
x
ex
ex x2
的图像大致为
4、【2018 年高考全国Ⅲ卷理数】函数 y x4 x2 2 的图像大致为
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方法总结 1. 对含参函数的合理分类,关键是找到引起分类讨论的原因. 2. 会对函数进行准确求导,求导以后进行整理并因式分解,其中能否因式分解、每个因式系数的正负、根 的大小等都是引起分类讨论的原因. 变式 1、已知函数 f(x)=a(x-1)2-x+ln x(a>0).讨论 f(x)的单调性.
2
考点四 构造函数研究单调性 例 4、(1)设 f′(x)是奇函数 f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当 x>0 时,xf′(x)-f(x)<0,则使得 f(x)>0 成立的 x
A.f(x)>0
B.f(x)<0
C.f(x)>x
D.f(x)<x
(2)已知定义域为{x|x≠0}的偶函数 f(x),其导函数为 f′(x),对任意正实数 x 满足 xf′(x)>-2f(x),若 g(x)=x2f(x),
则不等式 g(x)<g(1)的解集是( )
A.(-∞,1)
B.(-1,1)
C.(-∞,0)∪(0,1)
ex (1)求实数 k 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间.
考点二、给定区间求参数的范围 例 2、已知函数 f (x) 1 x3 x2 ax 1 . (Ⅰ)若曲线 y f ( x) 在点(0,1) 处切线的斜率为3 ,求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若函数 f ( x) 在区间[2, a ] 上单调递增,求 a 的取值范围. 【点评】 1.明晰导数概念及其几何意义在解题中的应用,强化方程的思想,培养基本运算能力. 2. 辨析区间上单调和区间上存在单调区间的本质区别和处理策略的不同,提升参变分离和构造函数等解决 问题的方法和技巧,感悟数学解题背后的思维和内涵. 变式 1、设函数 f(x)=1x3-ax2+bx+c,曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为 y=1.
5、【2019 年高考北京理数】设函数 f x ex aex (a 为常数).若 f(x)为奇函数,则 a=________;
若 f(x)是 R 上的增函数,则 a 的取值范围是___________.
6、【2017
年高考江苏】已知函数
f
(x)
x3
2x
Байду номын сангаас ex
1 ex
,其中
e
是自然对数的底数.若
() 6
2
f
() 3
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B.
f
(ln
3
)
0
D.
f
( 4
)
2f( )
3
五、优化提升与真题演练
1、【2018 年高考天津理数】已知函数 f (x) ax , g(x) loga x ,其中 a>1.
则函数 h(x) f (x) x ln a 的单调区间
32 (1)求 b,c 的值; (2)设函数 g(x)=f(x)+2x. ①若 g(x)在区间(2,3)上单调递增,求实数 a 的取值范围; ②若 g(x)在区间(-2,-1)内存在单调递减的区间,求实数 a 的取值范围.
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2021 届新课改地区高三数学一轮专题复习 变式 2、设函数 f(x)=1x3-ax2+bx+c,曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为 y=1.
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7、(多填题)已知函数 f(x)=x3+mx2+nx-2 的图象过点(-1,-6),函数 g(x)=f′(x)+6x 的图象关于 y 轴对 称.则 m=________,f(x)的单调递减区间为________.
四、例题选讲 考点一、求函数的单调区间 例 1 求下列函数的单调区间: (1)f(x)=x3-1x2-2x+3;
等式 f(x)g(x)<0 的解集是________________.
方法总结:(1)对于不等式 f′(x)+g′(x)>0(或<0),构造函数 F(x)=f(x)+g(x); (2)对于不等式 f′(x)-g′(x)>0(或<0),构造函数 F(x)=f(x)-g(x); 特别地,对于不等式 f′(x)>k(或<k)(k≠0),构造函数 F(x)=f(x)-kx. (3)对于不等式 f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0(或<0),构造函数 F(x)=f(x)g(x); (4)对于不等式 f′(x)g(x)-f(x)g′(x)>0(或<0),构造函数 F(x)=错误!(g(x)≠0);
23
A. (-∞,-2]
1,+∞ B. 2
第 3 题图
C. [-2,3)
9,+∞ D. 8
4、已知
f(x)=aln
x+1x2(a>0),若对任意两个不相等的正实数 2
x1,x2,都有f(x1)-f(x2)>2 x1-x2
恒成立,则 a 的取值范围为( )
A.(0,1]
B.(1,+∞)
C.(0,1)
D.[1,+∞)
2 (2)g(x)=x2-2lnx.
方法总结:1. 利用导数求函数 f(x)的单调区间的一般步骤为:(1)确定函数 f(x)的定义域;(2)求导函数 f′(x);
(3)在函数 f(x)的定义域内解不等式 f′(x)>0 和 f′(x)<0;(4)根据(3)的结果确定函数 f(x)的单调区间.
2. 利用导数求函数单调性,在对函数求导以后要对导函数进行整理并因式分解,方便后面求根和判断导函
数的符号.
变式 1、已知函数 f(x)=x+a-ln x-3,其中 a∈R,且曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线 y=1x.
4x
2
2
(1)求 a 的值;
(2)求函数 f(x)的单调区间.
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2021 届新课改地区高三数学一轮专题复习 变式 2、已知函数 f(x)=ln x+k(k 为常数),曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与 x 轴平行.
三、自主热身、归纳总结
1、若函数 y=f(x)的图像如下图所示,则函数 y=f′(x)的图像有可能是(
)
第 1 题图
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A
B
C
D
2、函数 f(x)=-2lnx-x-3的单调递增区间是( ) x
A. (0,+∞) B. (-3,1) C. (1,+∞) D. (0,1) 3、函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 的图像如图,则函数 y=ax2+3bx+c的单调递增区间是( )
5、定义在 R 上的可导函数 y f (x) 的导函数的图象如图所示,以下结论正确的是 ( )
A. 3 是 f (x) 的一个极小值点 B. 2 和 1 都是 f (x) 的极大值点 C. f (x) 的单调递增区间是 (3, ) D. f (x) 的单调递减区间是 (, 3) 6、函数 f(x)=x3-6x2 的单调递减区间为________.
② f (x) 3x
③ f (x) x3
④ f (x) x2 2
8、【2019 年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数 f (x) 2x3 ax2 b . (1)讨论 f (x) 的单调性;
9、【2018 年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数 f (x) 1 x a ln x . x
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第 18 讲:利用导数研究函数的单调性
一、课程标准 1、结合实例,借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系; 2、能利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间.
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