一元一次方程培优讲义
(完整)一元一次方程复习讲义
一元一次方程复习讲义1．方程的有关概念2．等式的基本性质3．解一元一次方程的基本步骤：4.应用一元一次方程解决实际问题的一般步骤（1)审 （2）找 （3）设 （4)列 (5）解 （6）验 （7）答1．下列方程是一元一次方程的有哪些? x+2y=9 x 2－3x=111=x x x 3121=- 2x=1 3x –5 3+7=10 x 2+x=12、解下列方程:⑴ 103.02.017.07.0=--x x ⑵16110312=+-+x x⑶03433221=-+++++x x x ⑷2362132432⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+--x x x x x(5)｜5x 一2｜＝33、8=x 是方程a x x 2433+=- 的解，又是方程 ()[]b x b x x x +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---913131的解，求 b4、小张在解方程1523=-x a （x 为未知数)时，误将 - 2x 看成 2x 得到的解为3=x ，请你求出原来方程的解5、已知关于x 的方程 ()()x n x m 121232+=-+无穷多解，求m 、n1、(本题7分）按要求完成下面题目：323221+-=--x x x解:去分母，得424136+-=+-x x x ……① 即 8213+-=+-x x ……②移项，得 1823-=+-x x ……③合并同类项，得 7=-x ……④∴ 7-=x ……⑤上述解方程的过程中，是否有错误？答：__________；如果有错误，则错在__________步。
如果上述解方程有错误,请你给出正确的解题过程：2、（本题7分）请阅读下列材料:让我们来规定一种运算：bcad dc ba -=，例如：5432=2×5－3×4=10－12=－2. 按照这种运算的规定，若2121x x-=23，试用方程的知识求x 的值。
3、检修一处住宅区的自来水管,甲单独完成需要14天，乙单独完成需18天，丙单独完成需要12天。
一元一次方程培训讲义1
初一数学A 1培训（一元一次方程的解法）一、知识要点1．等式的性质2．一元一次方程的概念：b ax =，其中x 是未知数，a 、b 是常数，且0≠a .3．解一元一次方程的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1.二、典型例题例1．解下列方程：（1）43(20)67(9)x x x x --=--； （2）12123x x x -+-=-；（3）12[123(42)]163x x x ---=-． （4）()()()243563221x x x --=--+（5）0.10.020.10.10.30.0020.05x x -+-= （6）1)21(212121=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡---x x x（7）．2311()323242x x ⎡⎤---=⎢⎥⎣⎦；例2．已知1x =是关于x 的方程11()23m x x --=的解，解关于y 的方程：(3)2(25)m y m y --=-．例3．已知方程4231x m x +=+与方程3261x m x +=+的解相同．（1）求m 的值；（2）求代数式20112010)22()23(-⋅-m m 的值．三、强化练习1．在有理数集合里定义运算“※”，其规则为a ※b ＝2a －b ．试求(x ※3)※2＝1的解．2．当k 取何值时，关于x 的方程450.80.50.20.1x k x k x ----=的解为2x =-？3、y=1是方程12()23m y y --=的解，求关于x 的方程(4)2(3)m x mx +=+的解。
4、方程23(1)0x -+=的解与关于x 的方程3222k x k x +--=的解互为倒数，求k 的值。
初一上数学-一元一次方程-培优讲义
一元一次方程培优方程是中学数学中最重要的内容．最简单的方程是一元一次方程，它是进一步学习代数方程的基础，很多方程都可以通过变形化为一元一次方程来解决．本讲主要介绍一些解一元一次方程的基本方法和技巧．用等号连结两个代数式的式子叫等式．如果给等式中的文字代以任何数值，等式都成立，这种等式叫恒等式．一个等式是否是恒等式是要通过证明来确定的．如果给等式中的文字(未知数)代以某些值，等式成立，而代以其他的值，则等式不成立，这种等式叫作条件等式．条件等式也称为方程．使方程成立的未知数的值叫作方程的解．方程的解的集合，叫作方程的解集．解方程就是求出方程的解集．只含有一个未知数(又称为一元)，且其次数是1的方程叫作一元一次方程．任何一个一元一次方程总可以化为ax=b(a≠0)的形式，这是一元一次方程的标准形式(最简形式)．解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项，化为最简形式ax=b ；(5)方程两边同除以未知数的系数，得出方程的解．一元一次方程ax b =的解由,a b 的取值来确定：（1）若0a ≠，则方程有唯一解b x a=； （2）若0a =，且0b =，方程变为00x ∙=，则方程有无数个解；（3）若0a =，且0b ≠，方程变为00x b ∙=≠，则方程组无解； 【例1】解方程111233[()]264344x x x x ----=+【例2】已知下面两个方程3(2)5x x +=① 43()67()x a x x a x --=-- ② 有相同的解，试求a 的值．【例3】 已知方程2(1)3(1)x x +=-的解为2a +，求方程2[2(3)3()]3x x a a +--=的解．【例4】解关于x 的方程()()0mx n m n -+=【例5】解方程2222()()()()a x b a b x a x b x a b +---=-+-．【例6】已知22(1)(1)80m x m x --++=是关于x 的一元一次方程，求代数式 199()(2)m x x m m +-+的值．【例7】已知关于x 的方程(21)32a x x -=-无解，试求a 的值．【例8】k 为何正数时，方程2225k x k kx k -=-的解是正数？【例9】若1abc =，解方程2221111ax bx cx ab a bc b ca c ++=++++++【例10 】若,,a b c 是正数，解方程3x a b x b c x c a c a b------++=【例11】设n 为自然数，[]x 表示不超过x 的最大整数，解方程：22(1)2[]3[]4[][]2n n x x x x n x ++++++=…【例12】已知关于x 的方程5814225x a x -=+，当a 为某些自然数时，方程的解为自然数，试求自然数a 的最小值．【例13】当a 取什么值时，方程(2)4(2)a a x a -=-：①有唯一解；②无解；③有无数多解；④是正数解；【例14】（1）当k 取什么整数值时，方程(1)2(2)k x k x +=--的解是整数？（2）当k 取什么整数值时，方程(1)6x k -=的解是负整数？【例15】已知方程(2)(1)2a x b x a -=+-无解，问,a b 应满足什么关系？【例16】,a b 取什么值时，方程(32)(23)87x a x b x -+-=-有无数多个解？【课后练习】1、根据方程解的定义，写出下列方程的解：（1）(1)0x +=；（2）29x =；（3）||9x =；（4）||3x =-；（5）3131x x +=-；（6）22x x +=+.2、关于x 的方程2ax x =+无解，那么a ；3、在方程(3)a a x a -=中，当a 取值为 时，有唯一解；当a 时无解；当a 时，有无数多解；当a 时，解是负数。
《一元一次方程》 讲义
《一元一次方程》讲义一、什么是一元一次方程在数学的世界里，一元一次方程是我们解决许多实际问题的有力工具。
那到底什么是一元一次方程呢？一元一次方程指的是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1 的整式方程。
举个简单的例子，像 3x ＋ 5 ＝ 14 就是一个一元一次方程。
在这个方程中，只有一个未知数 x，而且 x 的最高次数是 1。
为了更清楚地理解一元一次方程，我们需要明白几个关键的概念。
首先是“元”，它表示未知数的个数；“次”则表示未知数的最高次数。
所以，“一元”就是一个未知数，“一次”就是未知数的最高次数是 1。
二、一元一次方程的形式一元一次方程的一般形式是：ax ＋ b ＝ 0（其中 a、b 是常数，且 a ≠ 0）。
在这个一般形式中，a 被称为方程的系数，x 是未知数，b 则是常数项。
例如，在方程 2x 7 ＝ 0 中，2 是系数，－7 是常数项。
需要注意的是，当 a ＝ 0 时，方程就不再是一元一次方程了。
比如0x ＋ 5 ＝ 0，因为 0x 等于 0，这个方程实际上就变成了 5 ＝ 0，这显然是不成立的。
三、一元一次方程的解法接下来，我们来学习如何解一元一次方程。
解一元一次方程的基本步骤可以概括为：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1。
（一）去分母如果方程中各项的分母不同，我们需要先找到分母的最小公倍数，然后将方程两边同时乘以这个最小公倍数，把分母去掉。
例如，方程（x ＋ 1) ／ 2 ＋（x 1) ／ 3 ＝ 6 ，分母 2 和 3 的最小公倍数是 6 ，方程两边同时乘以 6 ，得到 3(x ＋ 1) ＋ 2(x 1) ＝ 36 。
（二）去括号如果方程中有括号，我们需要运用乘法分配律把括号去掉。
比如，在方程 3(x ＋ 5) 2(2x 1) ＝ 10 中，去括号得到 3x ＋ 15 4x ＋ 2 ＝ 10 。
（三）移项把含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到方程的另一边。
七年级数学一元一次方程(学生讲义)
例1.已知 是关于 的一元一次方程，求 的值。
例2.若关于 的方程 的解为正整数，求正整数 的值。
例3.解方程
例4.解方程: + +---+ =2005.
例5.已知关于x的方程 ax+5= 的解x与字母系数a都是正整数,求a的值.
例6.解方程 .
例7.(2009年贵州安顺)在“五一”期间，小明、小亮等同学随家长一同到某公园游玩，下面是购买门票时，小明与他爸爸的对话（如图），试根据图中的信息，解答下列问题：
第三章一元一次方程
本章知识网络结构图
3.1一元一次方程的概念和性质
【本讲主要内容】
1.等式与方程
表示相等关系的式子叫做等式。含有未知数的等式叫做方程。可见方程必须具备两个条件：一是必须含有未知数，二是必须是一个等式。
2.等式的性质
等式的性质1：等式两边加（减）同一个数（式子）。结果仍相等。
等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
5.思想方法（本单元常用到的数学思想方法小结）
⑴建模思想：通过对实际问题中的数量关系的分析，抽象成数学模型，建立一元一次方程的思想.
⑵方程思想：用方程解决实际问题的思想就是方程思想.
⑶化归思想：解一元一次方程的过程，实质上就是利用去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1等各种同解变形，不断地用新的更简单的方程来代替原来的方程，最后逐步把方程转化为x=a的形式.体现了化“未知”为“已知”的化归思想.
(2)5x= y-15:___________________________________________________;
(3) :______________________________________________________.
一元一次方程培优讲义
练习题：一、选择题：1、下列各式中不是代数式的是（ ）A 、π B 、0 C 、 D 、a +b =b +a2、用代数式表示比y 的2倍少1的数，正确的是（ ） A 、2( y – 1 ) B 、2y + 1 C 、2y – 1 D 、1 – 2y3、随着计算机技术的迅猛发展，电脑价格不断降低，某品牌电脑按原售价降低m 元后，又降价20%，现售价为n 元，那么该电脑的原售价为（ ） A 、 B 、 C 、 D 、4、当时，代数式的值是（ ）A 、 B 、 C 、 D 、5、已知公式，若m=5，n=3，则p 的值是（ ）A 、8 B 、 C 、 D 、6、下列各式中，是同类项的是（ ）A 、B 、C 、D 、二、填空题：7、某商品利润是a 元，利润率是20%，此商品进价是______________。
8、代数式的意义是______________________________。
9、当m=2，n= –5时，的值是__________________。
10、化简__________________________________。
三、解答题： 11、已知当时，代数式的值是3，求代数式的值。
yx +1元)54(m n +元)45(m n +元)5(n m +元)5(m n +61,31==b a2)(b a -1216141361nm p 111+=811588152233xy y x -与yx xy 23-与x x 222与yz xy 55与()cb a 2+n m -22()()=--+2211m m 1,21==y x z x xyz 282+z z +2212、一个塑料三角板，形状和尺寸如图所示，（1）求出阴影部分的面积；（2）当a=5cm ，b=4cm ，r=1cm 时，计算出阴影部分的面积是多少。
13、已知A=x – 2y + 2xy ，B= 3x – 6y + 4xy 求3A – B 。
一元一次方程讲义
一元一次方程一、等式及其性质1、等式用等号表示相等关系的式子叫等式。
如：m+n=n+m,x+2x=3,3×3+1=5×2,3x+1=5y,等等。
注意：等式中一定含有等号。
2、等式的性质等式性质1 等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），结果仍相等。
a=b ，那么a ±c=b ±c等式性质2 等式两边乘以同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
a=b ，那么ac=bc ；如果a=b ，那么a ／c=b ／c （c ≠０）。
注意：①等式两边除以一个数时，这个数必须不为０；②对等式变形必须同时进行，且是同一个数或式。
思考：回答下列问题：（１）从a+b=b+c ，能否能到a=c ，为什么？（2） 从a-b=b-c ，能否能到a=c ，为什么？（3） 从ab=bc ，能否能到a=c ，为什么？（4） 从a/b=c/b ，能否能到a=c ，为什么？（5）从xy=1，能否能到x=1/y ，为什么？二、解一元一次方程的步骤：①去分母； ⇐（没有分母的项不要漏乘；去掉分数线，同时要把分子加上括号） ②去括号； ⇐（当括号外面是负号，去掉括号后，要注意变号）③移项； ⇐（移项要注意变号）④合并同类项； ⇐（如果方程中有同类项，一定要合并同类项）⑤系数化为1； ⇐（记得每一项都要除系数） 例：解一元一次方程3122133---=+x x x三、一元一次方程解的实际应用1、列方程解应用题的步骤（1）审：明确已知什么，求什么及基本关系。
找出能表示题目全部含义的相等关系（2）设：设未知数。
可直接设，也可间接设，要尽量使列出的方程简单。
①直接设未知数：题目求什么就设什么。
②间接设未知数：设的未知数不是题目直接求的量。
③设辅助未知数：所设未知数仅作为题目中量与量之间关系的桥梁，它在解方程的过程中会自然消去（3）列：根据等量关系列方程。
（4）解：解方程（5）验：检验方程的解和解是否符合实际问题。
七年级(上)培优讲义：第13讲 一元一次方程
第13 讲 一元一次方程一、新知建构1. 有关概念 一元一次方程 方程的解 ．2. 解一元一次方程 基本步骤 检验方法 ．3. 列方程解应用题思路：设元→列方程→解方程→检验→回答问题 ． 二、经典例题例1.已知m my m y-=+2（1）m =2是方程m my m y-=+2的解，求y 的解；（2）当y =4时，求m 的解．例2． 解方程： 1．x x x ++=-+3711235 2. 2102.005.004.01.01=--+x x例3． 甲、乙两站的路程为360千米，一列快车从乙站开出，每小时行驶72千米；一列慢车从甲站开出，每小时行驶48千米．(1) 两列火车同时开出，相向而行，经过多少小时相遇？(2) 快车先开25分钟，两车相向而行，慢车行驶了多少小时两车相遇？(3) 若两车同时开出，同向而行，快车在慢车的后面，几小时后快车追上慢车？(4) 若两车同时开出，同向而行，慢车在快车的后面，几小时后快车与慢车相距720千米？例4．一个两位数，十位上的数与个位上的数字之和为11，如果十位上的数字与个位上的数字对调，则所得的新数比原来大63，求原来两位数．例5．为增强市民的节水意识，某市对居民用水实行“阶梯收费”：规定每户每月不超过月用水标准部分的水价为1.5元/吨，超过月用水标准量部分的水价为2.5元/吨．该市小明家5月份用水12吨，交水费20元．请问：该市规定的每户月用水标准量是多少吨？ 三、基础演练1.下列四个式子中，是方程的是（ ）.A .7－4=3B .3x =-C .21m -D .|1|1x x ->- 2．已知当1a =，2b =-时，代数式10ab bc ca ++=，则c 的值为（ ） Ａ．12 Ｂ．6Ｃ．6-Ｄ．12-3.方程2－2x 4x 7312－－＝－去分母得( )．A .2－2(2x －4)＝－(x －7)B .2－4(2x －4)＝－x －7C .24－4(2x －4)＝－(x －7)D .24－4x ＋4＝－x ＋7 4．若a =1,则方程3x a+=x －a 的解是（ ） A .x =1 B .x =2 C .x =3 D .x =4. 5．规定c a bc ad d b -=，如x 26182-=- 237+x ，则x 的值是（ ）A ．－60B ．4.8C ．24D ．－126．飞机逆风时速度为x 千米/小时，风速为y 千米/小时，则飞机顺风时速度为（ ）千米/小时A ．(x +y )B ．(x －y )C ．(x +2y )D ．(2x +y )7．某件商品连续两次9折降价销售，降价后每件商品售价为a 元，则该商品每件原价为（ ） Ａ．0.92a 元Ｂ．1.12a 元 Ｃ．1.12a元 Ｄ．0.81a 元 8.内径为120mm 的圆柱形玻璃杯，和内径为300mm ,内高为32mm 的圆柱形玻璃盆可以盛同样多的水，则玻璃杯的内高为（ ）A . 150mmB . 200mmC . 250mmD . 300mm9.某商场根据市场信息，对商场中现有的两台不同型号的空调进行调价销售，其中一台空调调价后售出可获利10％（相对于进价），另一台空调调价后售出则亏本10％（相对于进价），而这两台空调调价后的售价恰好相同，那么商场把这两台空调调价后售出（ ）． A .既不获利也不亏本 B .可获利1％ C .要亏本2％ D .要亏本1％10. 如图，为做一个试管架，在acm 长的木条上钻了4个圆孔，每个孔的直径为2cm ，则x 等于（ ） （A ）cm a 58+ （B ）cm a 516-（C ）cm a 54-（D ）cm a 58-11.三个连续的偶数和是18，它们的积是 12.若423x =与()35x a a x +=-有相同的解，那么1a -=_______． 13.甲队有32人， 乙队有28人， 如果要使甲队人数是乙队人数的2倍，应从乙队抽调 人到甲队.14.某储户将25000元人民币存入银行一年，取出时扣除20%的利息税后，本息共得25600元，则该储户所存储蓄种类的年利率为___________.15.在高速公路上，一辆车长4m ，速度为110km /h 的轿车准备超越一辆长12m ，速度为100km /h 的卡车，则轿车从开始追及到超越卡车，需要花费的时间约是 . 16.某市某县城为鼓励居民节约用水，对自来水用户按分段计费方式收取水费：若每月用水不超过7立方米，则按每立方米1元收费；若每月用水超过7立方米，则超过部分按每第10题图立方米2元收费. 如果某居民户今年5月缴纳了17元水费，那么这户居民今年5月的用水量为立方米.17.解方程.（1）3x－7+4x=6x－2 （2）(x+1)－2(x－1)=1－3x(3)12223x xx-+-=-(4)1615312=--+xx(5)0.213223.60.9x xx-+-=(6)341.60.50.2x x-+-=列方程解应用题.18.甲、乙两人练跑步，从同一地点出发，甲每分钟跑250m，乙每分钟跑200m，甲比乙晚出发3分钟，结果两人同时到达终点，求两人所跑的路程．19.雅丽服装厂童装车间有40名工人，缝制一种儿童套装（一件上衣和两条裤子配成一套）．已知1名工人一天可缝制童装上衣3件或裤子4件，问怎样分配工人才能使缝制出来的上衣和裤子恰好配套？20.在学完“有理数的运算”后，实验中学七年级各班各选出5名学生组成一个代表队，在数学方老师的组织下进行一次知识竞赛. 竞赛规则是：每队都分别给出50道题，答对一题得3分，不答或答错一题倒扣1分.⑴如果㈡班代表队最后得分142分，那么㈡班代表队回答对了多少道题？⑵㈠班代表队的最后得分能为145分吗？请简要说明理由.21．某天,一蔬菜经营户用60元钱从蔬菜批发市红柿和豆角这天的批发价与零售价如下表所示.问：他当天卖完这些西红柿和豆角能赚多少钱？22.某儿童公园的门票价格规定如下表：某校七年级甲、乙两班共104人去儿童公园游玩，其中甲班人数比乙班人数要多，经估算，如果两班都以班为单位分别购票，那么一共应付1136元，问：（1）两班各有学生多少人？（2）如果两班联合起来，作为一个团体购票，可以省多少钱？四、直击中考1. （2013山东）某种商品每件的标价是330元，按标价的八折销售时，仍可获利10%，则这种商品每件的进价为（）A．240元B．250元C．280元D．300元2. (2013山东)把方程12x=1变形为x=2，其依据是（）A．等式的性质1 B．等式的性质2 C.分式的基本性质D．不等式的性质13. （2013山东）将正方形图1作如下操作：第1次：分别连结各边中点如图2，得到5个正方形；第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到9个正方形……，以此类推，根据以上操作，若要得到2013个正方形，则需要操作的次数是（）A.502B.503C.504D.5054. （2013湖南）湖园中学学生志愿服务小组在“三月学雷锋”活动中，购买了一批牛奶到敬老院慰问老人.如果送给每位老人2盒牛奶，那么剩下16盒；如果送给每位老人3盒牛奶，则正好送完.设敬老院有x位老人，依题意可列方程为．5. （2013广东）某商场将一款空调按标价的八折出售，仍可获利10%，若该空调的进价为2000元，则标价元．6.我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一道题：今有鸡兔同笼，上有35头，下有94足，问鸡兔各几何？此题的答案是鸡有23只，兔有12只．现在小敏将此题改编为：今有鸡兔同笼，上有33头，下有88足，问鸡兔各几何？则此时的答案是鸡有_______只，兔有______只．7. （2013湖南）今年五月份，由于H7N9禽流感的影响，我市鸡肉的价格下降了10%，设鸡肉原来的价格为a元/千克，则五月份的价格为元/千克．8. （2013四川）购买一本书，打八折比打九折少花2元钱，那么这本书的原价是元．9.（2013江苏）某地为了打造风光带，将一段长为360m的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成，共用时20天，已知甲工程队每天整治24m，乙工程队每天整治16m，求甲、乙两个工程队分别整治了多长的河道.10.（2013福建）把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本则还缺25本．这个班有多少学生？ 五、挑战竞赛1. 解关于x 的方程 a c b x --+b a c x --+cba x --=3 (ab +bc +cd ≠0) ．2.已知关于x 的方程3x －3=2a (x +1)无解．试求a 的值．3. 已知方程ax +3=2x －b 有两个不同的解．试求（a +b ）2007的值． 六、每周一练1. 若x x x =-+-21的根的个数( )．A .0B .1C .3D .4 2.方程133=+-x x 的解是 ．3. 甲、乙两人在一环形场地上从A 点同时同向匀速跑步，甲的速度是乙的速度的2．5倍，4分钟两人首次相遇，此时乙还需要跑300米才跑完第一圈，求甲、乙两人的速度及环形场地的周长．。
一元一次方程培优讲义(精品)
举一反三：【变式】解方程：
（四）运用拆项法解方程
在解有分母的一元一次方程时，可以不直接去分母，而是逆用分数加减法法则，拆项后
再合并，有时可以使运算简便。
例12、解方程：
思路点拨：注意到，这样逆用分数加减法法则，可使计算简便。
6、如果，那么下列等式中不一定成立的是（ ）
A. 11 —3—3 C. D.
7、运用等式性质进行的变形,正确的是( )。
A.如果,那么; B.如果 ,那么;
C.如果,那么 D.如果 ,那么3
知识点四：解一元一次方程的一般步骤：
例8、（用常规方法）解方程：
（非常规方法解方程）（一）巧凑整数解方程
例9、解方程：
（五）巧去分母解方程
当方程的分母含有小数，而小数之间又没有特殊的倍数关系时，若直接去分母则会出现
比较繁琐的运算。为了避免这样的运算。应把分母化成整数。化整数时，利用分数的基
本性质将各个分子、分母同时扩大相同的倍数即可。
例13、解方程： ＝1
（六）巧组合解方程
例14、解方程：
思路点拨：按常规解法将方程两边同乘 化去分母，但运算较复杂，注意到左边
解一元一次方程的一般步骤、注意点、基本思路。
一般步骤
注意点
（1）去分母
方程的每一项都要乘以最简公分母
（2）去括号
去掉括号，括号内的每项符号都要同时变或不变
（3）移项
移项要变号
（4）合并同类项
只要把系数合并，字母和它的指数不变。
（5）方程两边同除以未知数的系数
相除时系数不等于0。若为0，则方程可能无解或有无穷多解。
一元一次方程复习讲义
第三章一元一次方程复习讲义知识点1．等式：用“=”号连接而成的式子叫等式.2．等式的性质：等式性质1：等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式性质2：等式两边都乘以(或除以)同一个不为零的数，所得结果仍是等式.例1(1)怎样从等式x-5=y-5得到等式x=y?(2)怎样从等式3+x=1得到等式x=-2?(3)怎样从等式4x=12得到等式x=3?例2利用等式的性质解下列方程：(1)x+7=26(2)-5x=203．方程：只含有一个未知数，未知数的次数是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程.4．方程的解：使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解；注意：“方程的解就能代入”！5．移项：改变符号后，把方程的项从一边移到另一边叫移项.移项的依据是等式性质1. 6．一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程.7.一元一次方程的标准形式：ax+b=0(x是未知数，a、匕是已知数，且aW0).8．一元一次方程解法的一般步骤：化简方程分数基本性质去分母同乘(不漏乘)最简公分母去括号先去小括号,再去中括号,最后去大括号.依据是去括号法则和乘法分配律，注意符号变化移项把含有未知数的项移到一边,常数项移到另一边.“过桥变号”，依据是等式性质一合并同类项将未知数的系数相加，常数项相加.依据是乘法分配律合并后注意符号系数化为1在方程的两边除以未知数的系数.依据是等式性质二.例1解下列方程[1]用合并同类项的方法解一元一次方程(1)2x-£%=6-8;(2)7x—2.5x+3x-1.5x=-15x4—6x3.[2]用移项的方法解一元一次方程(1)7-2x=3-4x(2)4x+10=6x[3]利用去括号解一元一次方程去括号法则：去掉“+()”，括号内各项的符号不变.去掉“-()”，括号内各项的符号改变.用三个字母a、b、c表示去括号前后的变化规律：a+(b+c)=a+b+ca-(b+c)=a—b—c(1)2x-(x+10)=5x+2(x—1)(2)3x—7(x—1)=3—2(x+3)[4]利用去分母解一元一次方程(总结：像上面这样的方程中有些系数是分数，如果能化去分母，把系数化为整数，则可以使解方程中的计算更方便些.)2x+2x+7x+x=33(2)3x+x-1=3-2x-1(1)^要点归纳1.去分母时，应在方程的左右两边乘以分母的最小公倍数；2.去分母的依据是等式性质2，去分母时不能漏乘没有分母的项；3.去分母与去括号这两步分开写，不要跳步，防止忘记变号.10．列一元一次方程解应用题：(1)读题分析法:多用于“和，差，倍，分问题”仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套”，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出 未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.（2）画图分析法:…………多用于“行程问题”利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得列方程的依据，最后利用量与量之间的关系（可把未知数看做已知量），填入有关的代数式是获得方程的基础.11.列方程（组）的应用题的一般步骤：审：审清题意，分清题中的已知量、未知量．设：设未知数，设其中某个未知量为x.列：根据题意寻找等量关系列方程．解：解方程．验：检验方程的解是否符合题意．答：写出答案（包括单位）．［注意］审题是基础，找等量关系是关键.11．解实际应用题：知识点1:市场经，^、打折销售问题（1）商品利润=商品售价一商品成本价（3）商品销售额=商品销售价X 商品销售量（4）商品的销售利润=（销售价一成本价）X 销售量例1一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏?变式1.某琴行同时卖出两台钢琴，每台售价为960元.其中一台盈利20%，另一台亏损20%.这次琴行是盈利还是亏损，或是不盈不亏？例2一件服装先将进价提高25%出售，后进行促销活动，又按标价的8折出售,此时售价为60元.请问商家是盈是亏，还是不盈不亏？例3.某商品的进价是1000元，售价是1500元，由于销售情况不好，商店决定降价出 售，但又要保证利润率不低于5%,那么商店最多可打几折出售此商品？（2） 商品利润率= 商品利润 商品成本价X 100%例4.某商场国庆节搞促销活动，购物不超过200元不给优惠，超过200元但不超过500元的优惠10%，超过500元，其中500元按9折优惠，超过的部分按8折优惠。
一元一次方程解法培优讲义
第2课时 一元一次方程解法考点·方法·破译1．熟练掌握一元一次方程的解法步骤，并会灵活运用．2．会用一元一次方程解决实际问题经典·考题·赏析【例1】解方程： 11－2(x ＋1)＝3x ＋4(2x －3)【解法指导】 此题中含有括号，应先按去括号法则去掉括号，去括号时，要注意符号，括号前是“＋”号不变号；括号前是“－”，各项均要变号，有数字因数使用乘法分配律时，不要漏乘括号里的项，再通过移项、合并系数化为1，从而求出方程的解．解： 去括号，得 11－2x －2＝3x ＋8x －12移项，得 －2x －3x －8x ＝－12－11＋2 合并同类项，得 －13x ＝－21系数化为1，得 1321=x 【变式题组】01．（广州）下列运算正确的是（ ）A ． －3（x －1）＝－3x －1B ． －3(x －1)＝－3x ＋1C ． －3(x －1)＝－3x －3D ． －3(x －1)＝－3x ＋302．(黄冈)解方程：－2(x －1)－4(x －2)＝1去括号结果，正确的是（ ）A ． －2x ＋2－4x －8＝1B ． －2x ＋1－4x ＋2＝1C ． －2x －2－4x －8＝1D ． －2x ＋2－4x ＋8＝103．（广州）方程2x ＋1＝3(x －1)的解是（ ）A ．x ＝3B ．x ＝4C ．x ＝－3D ．x ＝－404．解下列方程：⑴7(2x －1)－3(4x －1)＝5(3x ＋2)－1 (2)3(100－2x )＝400＋15x【例2】解方程：14126110312-+=+--x x x 【解法指导】方程中含有字母，去分母是首先要考虑的，去掉分母后可能出现括号，去分母时，方程两边同乘以各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项解： 去分母时，得 4(2x －1)－2(10x ＋1)＝3(2x ＋1)－12去括号，得 8x －4－20x ＝6x ＋3－12移项，得 8x －20x －6x ＝3－12＋4＋2合并，得 －18x ＝－3 系数化为1，得 61=x 回顾小结：我们已经学习了解一元一次方程的基本方法步骤：（1）去分母；⑵去括号；⑶移项；⑷合并；⑸系数化为1．这五个步骤要注意灵活运用．【变式题组】01．解方程：2121364+=--x x02．（大连）若方程12151221-=--+x x x 与方程x a x a x 23262-=-+的解相同，求aa a 22-的值．【例3】解方程：35.0102.02.01.0=+--x x 【解法指导】原方程的分子、分母有小数，可先利用分数的性质把小数化成整数，再按解方程步骤来解，注意：分数的性质是一个分数的分子、分母而言，而等式的性质是对一个等式的左边、右边而言，要注意区别防止出错．解：原方程变形为： 35.010)1(1002.0100)2.01.0(100=⨯--⨯-x x 即 50（0.1x －0.2）－2(x ＋1)＝3 去括号，得 5x －50－2x －2＝3移项，得 5x －2x ＝3＋10＋2 合并，得 3x ＝15系数化为1，得 x ＝5【变式题组】01．对方程7.02.01.023.01+=-+x x x 变形正确的是（ ） A ．72231+=-+x x x B ．722031+=-+x x x C ． 7223110+=-+x x x D ．72231010+=-+x x x 02．（郑州）解方程：2.15.023.01=+--x x【例4】解方程：14981522097211012-+-=-+-x x x x 【解法指导】对于解一元一次方程五步骤应灵活运用，有取有舍，灵活运用，此题如果直接去分母，计算量较大，观察分母的数字特征分类通分，可以减少计算量．解：移项得20971521498211012---=---x x x x 两边分别通分得： 602535427x -= 即 125761x -= 解得 x ＝1 【变式题组】01．(大连)解方程7)3045(54=-x ，较简便的是（ ） A ．先去分母 B ．先去括号 C ． 先两边都除以54D ． 先两边都乘以54 02．解方程：18]6)432(51[7191=⎭⎬⎫⎩⎨⎧++++x03．解方程 ：6422012621=++++x x x x x【例5】有一些分别标有6，12，18，24，…的卡片，后一张卡片上的数比前一张卡片上的数大6，小明拿到了相邻的三张卡片，且这些卡片的数之和为342．1.小明拿到了哪3张卡片？ 2.你能拿到相邻3张卡片，使得这些卡片上的数之为是86吗？【解法指导】⑴先用含字母的式式表示出这三张卡片的数字，然后用一元一次方程求解．⑵属于开放式问题，要注意体会这类问题的思维方式，掌握解题技巧及策略．解：设小明拿到的三张卡上的数字为x ,x ＋6,x ＋12（1） 依题意得： x ＋x ＋6＋x ＋12＝342 合并，得 3x ＋18＝342移项，得 3x ＝324 系数化为1，得x ＝108答：这三个数为108，114，120（2） 不能使这三张卡片上的数字和为86，理由是假设 x ＋x ＋6＋x ＋12＝86 合并，得 3x ＋18＝86移项，得 3x ＝324 系数化为1，得 368=x 因为这些卡片上的数字都是6的倍数，故不可能为368． 【变式题组】01．下图是按一定规律排列的数构成的一个数表：…⑴用一方框按上图框的样子，任意框住9个数，若这9个数的和是549，求方框中最后一个数； ⑵若按如图所示的斜框任意框住9个数，且这9个数的和是360，则斜框中的第一个数是什么？× × ×演练巩固·反馈提高01．（苏州）某商品现在售价为34元，比原售价降低了15%，则原价是（ ）A ． 40元B ．35元C ． 28.9元D ． 5.1元02．（新疆）汽车以72千米/时的速度在公路上行驶，开向寂静的山谷，驾驶员按一下喇叭，4秒后听到回响，这时汽车离山谷多远？已知空气中声音的传播速度约为340米/秒，汽车离山谷x 米，根据题意，列出方程为（ ）A ． 2x ＋4×20＝4×340B ．2x －4×20＝4×340C ． 2x ＋4×72＝4×340D ． 2x －4×20＝4×34003．(陕西)一件标价为600元的上衣，按8折销售仍可获利20元，设这件上衣的成本为x 元，根据题意，下面所列的方程正确的是（ ）A ．600×0.8－x －20B .600×0.8＝x －20C ．600×8－x ＝20D ．600×8＝x －2004．(长沙)一轮船往返于A 、B 两港之间，逆水航行需3小时，顺水航行需2小时，水流速度是3千米/时，则轮船在静水中速度是（ ）A ． 18千米/时B ． 15千米/时C ． 12千米/时D ． 20千米/时05．（武汉）已知关于x 的方程4x －3m ＝2的解是x ＝m ，则m 的值是（ ）A ．2B ．－2C ． 72D ．72- 06．（陕西）中国人民银行宣布，从2007年6月5日起，上调人民币存款利率，一年定期存款利率上调到3.06%．某人于2007提6月5日存入定期为1年的人民币5000元（到期后银行将扣除20%的利息税），设到期后银行向储户支付现金为x 元，则所列方程正确的是（ ）A ． x －5000＝5000×30.6%B ．x ＋5000×20%＝5000(1＋3.06%)C ． x ＋5000×3.06%×20%＝5000(1＋3.06%)D ．x ＋5000×3.06%×20%＝5000×30.6%08．若x ＝2不是方程2x ＋b ＝3x 的解，则b 不等于（ ）A ．21-B ．21 C ．2 D ．－2 09．（天津）若3223=+-k kx k是关于x 的一元一次方程，则这个方程的解为x ＝_______10．(广东)若2x －1＝3,3y ＋2＝8，则2x ＋3y ＝_________ 11．(南京)x 为何值时，式子32-x 与式子13+-x 满足下列条件 ⑴相等 ⑵互为相反数 ⑶式子32-x 比式子13+-x 的值小113．(北京)国外营养学家做了一项研究，甲组同学每天正常进餐，乙组同学每天除正常进餐外，每人还增加六百亳升牛奶．一年后发现，乙组同学平均身高的增长值比甲组同学平均身高的增长值多 2.01cm ，甲组同学平均身高的增长值比乙组同学平均增长值的43少0.34cm ，求甲、乙两组同学平均身高的增长值．15．某车间有60名工人，生产一种螺栓和螺帽，平均每人每小时生产螺栓15个或螺帽10个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？（每个螺栓配两个螺帽）。
七年级上册第三章一元一次方程培优辅导：深刻理解等式与方程课件
D．右盘上加5克砝码
【答案】A.
【解析】第一次：2饼干=3糖果，即1饼干=1.5糖果；第二次：1饼干+1糖果=10克砝码，把1饼干
=1.5糖果代入，得1.5糖果+1糖果=10克砝码，即1糖果=4克砝码，1饼干=1.5糖果=6克砝码；
所以第三次：1饼干-1糖果=6克砝码-4克砝码=2克砝；
（2）根据题意得：3x+1−(−2)×(x−1)＝9，
整理得：5x＝10，解得：x＝2，
故答案为：2；
（3）∵等式（−3，2x−1）（k，x＋k）＝3＋2k的x是整数，
∴（2x−1）k−（−3）（x＋k）＝3＋2k，∴（2k＋3）x＝3，
3
∴ = 2+3，
∵k是整数，∴2k＋3＝±1或±3，
∴k＝0，−1，−2，−3．
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培优专用
典例解析
例 15.关于x的方程 − 2 = −3 + 4与2 − = 的解互为相反数．
（1）求m的值；
（2）求这两个方程的解．
【解析】解：（1）由x﹣2m=﹣3x+4得：x= m+1，
依题意有： m+1+2﹣m=0，解得：m=6；
（2）由m=6，
方程x﹣2m=﹣3x+4的解为x=4，
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培优专用
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典例解析
例 9. （202X•内蒙古海勃湾•初一期末）已知关于x的方程 − 5 |−4| + 18 = 0是一元一次方程
，则 m=______
【答案】3.
由题意得： − 4 = 1, − 5 ≠ 0,
《一元一次方程》 讲义
《一元一次方程》讲义一、什么是一元一次方程在数学的世界里，一元一次方程就像是一座基础的桥梁，连接着各种数学知识和实际问题。
那到底什么是一元一次方程呢？一元一次方程，简单来说，就是含有一个未知数，并且这个未知数的最高次数是 1 的等式。
比如，“3x ＋ 5 ＝14”就是一个典型的一元一次方程，其中“x”是未知数，只有一个，而且“x”的次数是 1。
这个定义虽然听起来简单，但它却有着非常重要的作用。
它能够帮助我们解决很多生活中的实际问题，比如计算购物时的折扣、计算行程中的速度和时间等等。
二、一元一次方程的形式一元一次方程一般可以写成“ax ＋ b ＝0”的形式，其中“a”和“b”是常数，“a”不能为 0 ，“x”是未知数。
当“a ＝1”，“b ＝－5”时，方程就是“x 5 ＝0”；当“a ＝2”，“b ＝3”时，方程就是“2x ＋ 3 ＝0”。
这种形式可以让我们更清楚地看到方程中各项的系数和常数，方便我们进行计算和分析。
三、一元一次方程的解既然有方程，那就必然有解。
那么，什么是一元一次方程的解呢？一元一次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值。
比如说，对于方程“2x ＋ 3 ＝7”，我们通过计算可以得出“x ＝2”，把“x ＝2”代入方程中，左边等于“2×2 ＋ 3 ＝7”，右边也是 7，方程左右两边相等，所以“x ＝2”就是这个方程的解。
那怎么求解一元一次方程呢？四、求解一元一次方程的步骤求解一元一次方程一般有以下几个步骤：1、去分母如果方程中存在分数，我们可以通过在等式两边同乘各分母的最小公倍数来去掉分母。
比如方程“（x ＋ 1)／2 ＋（x 1)／3 ＝6”，分母 2 和 3 的最小公倍数是 6，所以在等式两边同乘 6，得到“3(x ＋ 1) ＋ 2(x1) ＝36”。
2、去括号运用乘法分配律去掉括号。
对于上面得到的方程“3(x ＋ 1) ＋ 2(x 1) ＝36”，去括号后变为“3x ＋ 3 ＋ 2x 2 ＝36”。
七年级上册数学培优讲义(一元一次方程的概念及解法)第六讲
一元一次方程的概念及解法板块一等式与方程的概念☞等式的概念：用等号“＝”来表示相等关系的式子.叫做等式．在等式中.等号左、右两边的式子.分别叫做这个等式的左边、右边．等式可以是数字算式.可以是公式、方程.也可以是用式子表示的运算律、运算法则．☞等式有如下几种类型(仅做了解)．恒等式：无论用什么数值代替等式中的字母.等式总能成立．如：数字算式123+=．条件等式：只能用某些数值代替等式中的字母.等式才能成立．方程56x=才成立．x+=需要1矛盾等式：无论用什么数值代替等式中的字母.等式都不能成立．如125+=-．+=.11x x等式由代数式构成.但不是代数式．代数式没有等号．【例1】下列各式中.哪些是等式⑴31x-⑵523x+=⑸()x+<⑷53-=⑶212x y+=-=-⑹1x y z xz yz【解题思路】等式的概念【题目答案】⑵⑷⑸⑹☞方程和它的解方程：含有未知数的等式叫方程.如21x+=.它有两层含义：①方程必须是等式；②等式中必须含有未知数方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值；只含有一个未知数的方程的解.也叫方程的根.☞关于方程中的未知数和已知数：未知数：是指要求的数.未知数通常用x 、y 、z 等字母表示．如：关于x 、y 的方程2ax by c -=中.a 、2b -、c 是已知数.x 、y 是未知数．【例2】 下列各式中哪些是方程⑴7887⨯=⨯ ⑵2345x x ++ ⑶312y y -= ⑷60x =⑸31x > ⑹111x =+ ⑺26x y -= ⑻2430y y -+=【解题思路】方程的概念【题目答案】⑶⑷⑹⑺⑻【巩固练习】判断下列各式是不是方程.如果是.指出已知数和未知数；如果不是.说明理由⑴373x x -=-+ ⑵223y -= ⑶2351x x -+⑷112--=- ⑸42x x -=- ⑹152x y -= 【解题思路】判断一个式子是不是方程.一要看是否为等式.二要看是否含未知数．【题目答案】⑴是方程；⑵是方程；⑶不是方程；⑷不是方程；⑸是方程；⑹是方程【例3】 检验下列各数是不是方程315x x -=+的解⑴3x =； ⑵1x =-【解题思路】方程的解（注意严格要求学生的书写格式.不能直接将数值代入方程.如3(1)15(1)⨯--=+-.这样写不对的原因在于未检验之前.并不知道1x =-是否是方程的解）【题目答案】⑴把3x =分别代入原方程的左边和右边.得左边3318=⨯-=.右边538=+= ∴左边=右边∴3x =是方程315x x -=+的解 ⑵把1x =-分别代入原方程的左边和右边.得 左边3(1)14=⨯--=-.右边514=-= ∵左边≠右边∴1x =-不是方程315x x -=+的解【巩固练习】检验下列各数是不是方程213x y x y ++=--的解⑴23x y =⎧⎨=-⎩ ⑵10x y =⎧⎨=⎩⑶02x y =⎧⎨=-⎩【解题思路】方程的解【题目答案】⑴把23x y =⎧⎨=-⎩分别代入原方程的左边和右边.得左边22(3)12=⨯+-+=.右边2(3)32=---= ∴左边=右边∴23x y =⎧⎨=-⎩是方程213x y x y ++=--的解⑵把1x =⎧⎨分别代入原方程的左边和右边.得左边21013=⨯++=.右边1032=--=- ∵左边≠右边∴10x y =⎧⎨=⎩不是方程213x y x y ++=--的解⑶把02x y =⎧⎨=-⎩分别代入原方程的左边和右边.得左边20(2)11=⨯+-+=-.右边0(2)31=---=- ∴左边=右边∴02x y =⎧⎨=-⎩是方程213x y x y ++=--的解【例4】 若2-为关于x 的一元一次方程.713mx +=的解.则m 的值是 【解题思路】将2x =-代入原方程中.即可求解【题目答案】3m =-【巩固练习】关于x 的方程320x a +=的根是2.则a 等于 【解题思路】略 【题目答案】3-板块二 等式的性质☞等式的性质：等式性质1：等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式.所得结果仍是等式．若a b =.则a m b m ±=±；等式性质2：等式两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能是0)或同一个整式.所得结果仍是等式．若a b =.则am bm =.a bm m=(0)m ≠☞注意：⑴在对等式变形过程中.等式两边必须同时进行．即：同时加或同时减.同时乘以或同时除以.不能漏掉某一边⑵等式变形过程中.两边同加或同减.同乘或同除以的数或整式必须相同． ⑶在等式变形中.以下两个性质也经常用到： 对称性.即：如果a b =.那么b a =．传递性.即：如果a b =.b c =.那么a c =．又称为等量代换考点难点：等号左右互换的时候忘记变符号【例5】 根据等式的性质填空：(1)4a b =-.则______a b =+； (2)359x -=.则39x =+ ；(3)683x y =+.则x =_________； (4)122x y =+.则x =__________．【解题思路】(1)4a b =+.在等式两端同时加上b ；(2)395x =+.在等式两端同时加上5；(3)836y +.在等式的两端同时乘以16；(4)24y +.在等式的两端同时乘以2．【题目答案】(1)4a b =+ (2)395x =+ (3)836y + ；(4)24y +【巩固练习】下列变形中.不正确的是( )A ．若25x x =.则5x =B ．若77,x -=则1x =-C ．若10.2x x -=.则1012x x -=D ．若x ya a=.则ax ay =【解题思路】根据等式的性质二.除数不能为0【题目答案】A【巩固练习】用适当数或等式填空.使所得结果仍是等式.并说明根据的是哪一条等式性质及怎样变形的．⑴如果23x =+.那么x =____________；根据 ⑵如果6x y -=.那么6x =+_________；根据⑶如果324x y -=.那么34x y -=______；根据⑷如果34x =.那么x =_____________；根据 【解题思路】略【题目答案】⑴1-.等式的性质1；⑵y .等式的性质1；⑶8.等式的性质2；⑷43.等式的性质2板块三 一元一次方程的概念☞一元一次方程的概念：只含有一个未知数.并且未知数的最高次数是1.系数不等于0的方程叫做一元一次方程.这里的“元”是指未知数.“次”是指含未知数的项的最高次数．☞一元一次方程的形式：最简形式：方程ax b =(0a ≠.a .b 为已知数)叫一元一次方程的最简形式． 标准形式：方程0ax b +=(其中0a ≠.a .b 是已知数)叫一元一次方程的标准形式．☞注意：⑴任何一元一次方程都可以转化为最简形式或标准形式.所以判断一个方程是不是一元一次方程.可以通过变形（必须为恒等变换）为最简形式或标准形式来验证．如方程22216x x x ++=-是一元一次方程．如果不变形.直接判断就出会现错误．⑵方程ax b =与方程()0ax b a =≠是不同的.方程ax b =的解需要分类讨论完成 【例6】 下列各式中：⑴3x +；⑵2534+=+；⑶44x x +=+；⑷12x=；⑸213x x ++=；⑹44x x -=-；⑺23x =；⑻2(2)3x x x x +=++．哪些是一元一次方程？【解题思路】方程、等式的概念【题目答案】(6)、(8)是一元一次方程．其他均不是A ．2237x x x +=+ B ．3435322x x -+=+C ． 22(2)3y y y y +=--D ．3813x y -= 【解题思路】略【题目答案】B【巩固练习】在初中数学中.我们学习了各种各样的方程．以下给出了6个方程.请你把属于一元方程的序号填入圆圈⑴中.属于一次方程的序号填入圆圈⑵中.既属于一元方程又属于一次方程的序号填入两个圆圈的公共部分．①359x +=：②2440x x ++=；③235x y +=：④20x y +=；⑤8x y z -+=：⑥1xy =-．（2）（1）⑤③①②（2）（1）【解题思路】一元一次方程的定义 【题目答案】如图【例7】 若131m x -=是一元一次方程.那么m = 【解题思路】一元一次方程的定义【题目答案】2m =【巩固练习】若关于x 的方程1(2)50k k x k --+=是一元一次方程.则k = 【解题思路】1120k k ⎧-=⎪⎨-≠⎪⎩【题目答案】2k =-【巩固练习】若关于x 的方程2223x x ax a x a -=-+是一元一次方程.则a = .方程的解是 【解题思路】一元一次方程的定义【题目答案】原方程化为一般形式得222(1)(3)0a x a x a a ---++=.则10a -=.∴1a =.1x =-【巩固练习】已知关于x 的方程(21)50nm x --=是一元一次方程.则m 、n 需要满足的条件为 【解题思路】一元一次方程的定义 【题目答案】210m -≠且1n =.即12m ≠且1n =±板块四 一元一次方程的解法☞解一元一次方程的一般步骤：1．去分母：在方程的两边都乘以各分母的 最小公倍数 ．温馨提示：不要漏乘不含分母的项.分子是个整体.含有多项式时应加上括号．2．去括号：一般地.先去 小括号.再去 中括号.最后去 大括号． 温馨提示：不要漏乘括号里的项.不要弄错符号．3．移项：把含有 未知数 的项都移到方程的一边. 不含未知数的项 移到方程的另一边． 温馨提示：⑴移项要变号；⑵不要丢项． 4．合并同类项：把方程化成ax b =的形式． 温馨提示：字母和其指数不变．5．系数化为1：在方程的两边都除以未知数的系数a (0a ≠ ).得到方程的解 b x a=． 温馨提示：不要把分子、分母搞颠倒． 【例10】 下列等式中变形正确的是（ ）A.若31422x x -+=.则3144x x -=-B. 若31422x x -+=.则3182x x -+=C. 若31422x x -+=.则3180x -+=D. 若31422x x -+=.则3184x x -+=【解题思路】考查去分母解方程第一步骤.学生很容易出现漏乘等问题造成失分 【题目答案】D【例11】 122233x x x -+-=-【解题思路】按照去分母.去括号.移项.合并同类项.系数化1的步骤解答【题目答案】35x =-．【巩固练习】解方程：⑴6(1)5(2)2(23)x x x ---=+ ⑵12225y y y -+-=-【解题思路】略【题目答案】⑴23x =；⑵117y =【巩固练习】解方程：(1)3(3)52(25)x x -=--；(2)()()()243563221x x x --=--+；(3)135(3)3(2)36524x x ---= 【解题思路】略【题目答案】(1)107x =-；(2)38x =；(3)12x =．☞先变形、再解方程本类型题：需要先利用等式的基本性质.将小数化为整数.然后再进行解方程计算【例12】 解方程：7110.2510.0240.0180.012x x x --+=-． 解：原方程可化为7110.251432x x x --+=-去分母.得 ．根据等式的性质( )移项.得 ．根据等式的性质( ) 合并同类项.得 ．系数化为1.得 ．根据等式的性质( )【解题思路】注意解方程的基本步骤与等式的性质【题目答案】去分母.得3(71)4(10.2)6(51)x x x -=--+．根据等式的性质1去括号.得21340.8306x x x -=---．移项.得210.830346x x x ++=+-．根据等式的性质1合并同类项.得51.81x =．系数化为1.得5259x =．根据等式的性质2【例13】 0.130.41200.20.5x x +--=【解题思路】略【题目答案】原方程可变形为304102025x x +--=去分母得5(30)2(410)200x x +--=去括号得5150820200x x +-+= 移项、合并得330x -= ∴10x =-【巩固练习】解下列方程：⑴2 1.210.70.3x x --=； ⑵0.40.90.10.50.030.020.50.20.03x x x +-+-=； ⑶1(0.170.2)10.70.03x x --= ⑷0.10.020.10.10.30.0020.05x x -+-=⑸42230%50%x x -+-= ⑹1(4)335190.50.125x x x +++=+⑺0.20.450.0150.010.5 2.50.250.015x x x ++-=-⑻0.10.90.210.030.7x x --= 【解题思路】解这类方程通常先应用分数的基本性质.将系数化为整数⑴原方程可化为201210173x x --=.而后解得2126x =； ⑵原方程可化为49532523x x x+-+-=去分母6(49)15(5)10(32)x x x +--=+解得9x =； ⑶原方程可化为1017201x x --=.解得14x =．⑷原方程可化为1002010100.325x x -+-=.则4812.3x =.解得41160x =． ⑸原方程可化为10401020235x x -+-=.解得13110x =． ⑹解得7x =-． ⑺解得9x =．⑻解得48127619x ==．【题目答案】略☞逐层去括号含有多重括号时.去括号的顺序可以从内向外.也可以从外向内. 【例14】 解方程：111[16]20343x ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭【解题思路】原方程可变形为11(1)66043x --+= 整理得1103x -=解得3x =【题目答案】3x =【巩固练习】解方程：()11111[1]3261224x ------=-．【解题思路】11111[(1)]3261224x ------=-. 11111[(1)]3261224x -+-=-. 111(1)268x +=-.1112x =-． 【题目答案】1112x =-【例15】 解方程：11110721()3(2)33623x x x x x +-⎡⎤⎡⎤--=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦【解题思路】注意一定去括号的顺序.解得12x =．【题目答案】12x =【巩固练习】解方程：1112(1)(1)223x x x x ⎡⎤---=-⎢⎥⎣⎦【解题思路】略 【题目答案】117x =-【巩固练习】解下列方程：(1)[]{}234(51)82071x ----=(2)11111071233223x x x x x +-⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解题思路】(1)略；(2)原方程可化为：11110713926x x x x x +--+=-+. 186229183021x x x x x -++=-+-.513x =．【题目答案】（1）1x = （2）513x =☞整体思想注意观察方程中.完全一样的整式【例16】 解方程：1123(23)(32)11191313x x x -+-+=【解题思路】原方程可变为：111(23)(23)(23)0111913x x x ---+-=.即111()(23)0111319x +--=.又1110111319+-≠.所以230x -=.即32x =． 【题目答案】32x =【巩固练习】方程113(1)(1)2(1)(1)32x x x x +--=--+【解题思路】按常规去括号整理后再解.显然较繁.应用整体思想求解()()()()1131121123x x x x +++=-+-.()()771123x x +=-.括号.移项.可解得5x =-． 【题目答案】5x =-【巩固练习】解方程：11311377325235x x ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解题思路】这一方程在变换过程中.宜将375x ⎛⎫- ⎪⎝⎭作为一个整体．方程两边同乘以6.得3323(7)32(7)55x x --=--.333(7)2(7)3255x x --+-=-.333(7)2(7)155x x ----=.3345(7)1,53x x --==． 【题目答案】343x =343x =课堂检测1.下列各式不是方程的是：( )A ． 24y y -=B ． 2m n =C ． 222p pq q -+D ． 0x = 【解题思路】略【题目答案】C ．2.解方程⑴ 11(4)(3)34y y -=+ ⑵ 3126x x x +-=-⑶253164x x ---=⑷42132[()]3324x x x --= 【解题思路】略【题目答案】⑴ 1y =．⑵ 4x =．⑶13x =．⑷127x =-．3.解方程：10.50.210.30.30.30.02x x x---=【解题思路】原方程可化为10521030332x x x ---=.解得513x =． 【题目答案】513x =1. 解方程 ：⑴12225y y y -+-=-⑵122233x x x -+-=-【解题思路】⑴105(1)202(2)y y y --=-+.10552024y y y -+=--.117y =． ⑵按照去分母.去括号.移项.合并同类项.系数化1的步骤解答可得：35x =-．【题目答案】⑴117y =．⑵35x =-2. 解方程：111233{[]}234324x x x x ⎛⎫----=+ ⎪⎝⎭【解题思路】略 【题目答案】解得229x =-3. 解方程：0.10.40.2111.20.3x x -+-=课后练习【解题思路】原方程可化为42101123x x -+-=.解得8x =-． 【题目答案】8x =-．4. 求方程31333(()()447167x x x x ⎡⎤---=-⎢⎥⎣⎦的解． 【解题思路】原方程可化为：33333()()4167167x x x x -+-=-.注意在运算过程中把37x ⎛⎫- ⎪⎝⎭视为一个整体.解得0x =．【题目答案】0x =.。
一元一次方程培优讲义
12①2x — 5= 1;②8- 7= 1;③x + y ;④ x — y = x 2;⑤3x + y = 6;2⑥5x + 3y + 4z = 0;⑦1— 1= 8;⑧x = 0。
其中方程的个数是（）m nA 5B 、6C 7D 8举一反三：方程的解的概念:使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。
(1) 解方程的概念：求方程的解或判定方程无解的过程叫做解方程。
(2) 判断一个未知数的值是不是方程的解：将未知数的值代入方程，看左右两边的 值是否相等，能使方程左右两边相等的味之素的值就是方程的解。
否则就不是方程 的解。
元一次方程的解法解一元一次方程的一般步骤、注意点、基本思路 重点题 型总结 及应用 知识点 一：一元 一次方 程的概 念例1、已 知下列 各式：【变式1】判断下列哪些方程是一元一次方程：______________________举一反三:例7、下列等式变形正确的是（）举一反三:3、运用等式性质进行的变形，正确的是（4、下列等式变形错误的是（）A.由 a=b 得 a+5=b+5B.由 a=b 得-^=卫C.由 x+2=y+2 得 x=yD.由-3x=-3y-9 -9得 x=-y 5、运用等式性质进行的变形，正确的是（） A.如果a=b,那么a+c=b-c; B. 如果-,那么a=b; c c C.如果a=b,那么旦=b；D. 如果a 2=3a,那么a=3c c&如果ma=m ，那么下列等式中不一定成立的是（）1 1 A. ma+1=mb+1 B.ma — 3=mb-3 C. a=b D.- ma mb 2 27、运用等式性质进行的变形，正确的是（）A.若 x =y,贝 U x_5=y 5B.D.1、若ax=ay,下列变形不 定正确的是A. ax 5 = by 5B. ax - 3 = by - 3C.1 , ax ay D.332、 F 列等式变形错误的是 A.由 a=b 得 a+5=b+5 B.由 a=b 得 6a=6b C. 由 x+2=y+2 得 x=y D.A.如果 a=b 那么 a+c=b-c;B. 如果6+ a=b-6 那么a=b;C.如果 a=b 那么 ax3=b -3 ;D.如果a2=3a 那么a=3A.如果a=b,那么a+c=b-c;B. 如果上=P ,那么a=b; c cC.如果a=b,那么a=bD. 如果aS 3a ,那么a=3c c知识点四：解一元一次方程的一般步骤： 例8 （用常规方法）解方程：1 _ x "=2 一2x 123（非常规方法解方程）（一）巧凑整数解方程11 9 2 5例9、解方程：百+ 7 x =9 — 7 x思路点拨：仔细观察发现，含未知数的项的系数和为 ________________________ 常数项和为 ，故直接移项凑成 比先去分母简单举一反三:（二）巧用观察法解方程11 1例 10、解方程：—(y +1)+-(y + 2)=3— -(y +3)2 3 4（三）巧去括号法解方程 含多层括号的一元一次方程，要根据方程中各系数的特点，选择适当的去括号的法，以避免繁杂的计算过程。
七年级下培优讲义1 解一元一次方程
七年级下培优讲义（1） 解一元一次方程（一）求方程的解例1、121x=512222(12)x a x ax a x ++=+=-已知是方程的解，试求关于x 的方程的解。
【对应练习】1， 42=322m x x m x m --=若关于的方程和有相同的解，求的值，并求这个解。
2，20133kx x 1x +x=k x 21-2k x+2013=0k -=-⎛⎫ ⎪⎝⎭若是关于的方程的解，求关于的方程的解。
（二）灵活安排求解步骤巧解一元一次方程例2、()()112x-x 1=x-1323⎡⎤-⎢⎥⎣⎦解方程：【对应练习】1，0.01+0.03x x-3+0.5=0.022解方程：2，()()()()1111345644567x x x x -+-+-+-=-解方程：（三）解绝对值的一元一次方程例3、5665x x +=-解方程：【对应练习】：1，21975x -+=解方程：2，2100102x x -=--解方程： 19-（四）解含字母系数的一元一次方程例4、21x ax b x +=+解关于的方程【对应练习】：1，x mx+n=m+x 解关于的方程2，()11(2)34x m x n x m -=+解关于的方程（五）一元一次方程的实际应用例5、有含盐20%的盐水60千克，（1）要使盐水中含盐25%，需蒸发多少水？（2）要使盐水中含盐25%，需加盐多少？（3）要使盐水含盐15%，需加水多少？【对应练习】1，如图所示的长方形被分成6个正方形，现知中间的一个正方形的边长为1．（1）求该长方形的面积；（2）图中阴影部分正方形的面积是多少？。
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使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。
(1) 解方程的概念：求方程的解或判定方程无解的过程叫做解方程。
(2) 判断一个未知数的值是不是方程的解：将未知数的值代入方程，看左右两边的 值是否相等，能使方程左右两边相等的味之素的值就是方程的解。
否则就不是方程 的解。
元一次方程的解法
解一元一次方程的一般步骤、注意点、基本思路
①2x — 5= 1;②8-7= 1;③x + y ;④ 1 x — y = x 2;⑤3x + y = 6;
2
1 1
⑥5x + 3y + 4z = 0;⑦ -------- =8;⑧x = 0。
其中方程的个数是（
）
m n
举一反三:
重点题 型总结 及应用 知识点 一：一元 一次方 程的概 念
例1、已 知下列 各式：
A 、5
B 、6
C 、7
有变化,
这要与“去分母”区别开。
例7、下列等式变形正确的是
A.若x y,则x 5 y 5
C.若 a b,则2a 3b e e
举一反三:
1、若ax ay,下列变形不
A. ax 5 by 5
B.
2
、
F列等式变形错误的是A.由a=b 得a+5=b+5 B.
B.
D.
定正确的是
ax 3 by
b,则ac
y,则-
m
be
_
y
m
C.
1
ax
3
1 ay D.
3
由a=b 得6a=6b C. 由x+2=y+2得x=y D. 由x十3=3
3、运用等式性质进行的变形，正确的是（
A.如果a=b 那么a+e=b-e;
B.
C.如果a=b 那么a x 3=b- 3 ;
D.
4、下列等式变形错误的是（）
A.由a=b得a+5=b+5
B.由a=b得a9
得x=-y
5、运用等式性质进行的变形，正确的是（
A.如果a=b,那么a+e=b-e;
B.
C.如果a=b,那么a b
e e D.
如果6+ a=b-6 那么a=b;
如果a2=3a那么a=3
b C.由x+2=y+2 得x=y D.
9
如果—b,那么a=b;
e e
如果a2=3a,那么a=3
6、如果ma=mb那么下列等式中不一定成立的是（
）
由-3x=-3y
7、运用等式性质进行的变形，正确的是（
知识点四：解一元一次方程的一般步骤:
（非常规方法解方程）（一）巧凑整数解方程 11 9 2 5
例9、解方程：—+ yX = 9 — 7 X
思路点拨：仔细观察发现，含未知数的项的系数和为
举一反三:
【变式】解方程：0
.取+ 0.9
—
0.04+0.3x
二2x — 5
0.05
（二）巧用观察法解方程
1
i
i
例 1°、解方程：2（y +1）+ 3（y +2尸3— 4（
y +3）
（三）巧去括号法解方程 含多层括号的一元一次方程，要根据方程中各系数的特点，选择适当的去括号的方 法，以避免繁杂的计算过程。
例 11、解方程：1 3 3X T 5 + 4 —6 =1
3 4
2
思路点拨：因为题目中分数的分子和分母具有倍数关系，所以从 _________________ 向 _______ 去 括号可以使计算简单。
A. ma+ 仁 mb+1
B.ma — 3=mb- 3
C.a=b
D.
1
ma 1mb
2 2
A.如果 a=b,那么 a+c=b-c;
B.
如果a
c
b
,那么a=b; c
C.如果a=b,那么a b c c
D.
如果a 2
3a ,那么a=3
例8、（用常规方法）解方程：1
=2
2x 1 3
常数项和为
，故直接移项凑成 比先去分母简单。
0.02
1 1 1
举一反三：【变式】解方程：2 2 2X—2- 2一2-2=
2
（四）运用拆项法解方程
在解有分母的一元一次方程时，可以不直接去分母，而是逆用分数加减法法则，拆项后再合并，有时可以使运算简便。
x+3 2—3x 5
例12、解万程：一4- - —8—=2
思路点拨：注意到___________________________ ，这样逆用分数加减法法则，可使计算简
便。
（五）巧去分母解方程
当方程的分母含有小数，而小数之间又没有特殊的倍数关系时，若直接去分母则会出现
比较繁琐的运算。
为了避免这样的运算。
应把分母化成整数。
化整数时，利用分数的基本性质将各个分子、分母同时扩大相同的倍数即可
例13、解方程：° o?-1 ^0 72=1
（六）巧组合解方程
x—5 x+5 x—3 2x43
------ 11
3 8
4 9
思路点拨：按常规解法将方程两边同乘 ______________ 化去分母，但运算较复杂，注意到
左边
的第一项和右边的第___________ 项中的分母有公约数___________ ，左边的第___________ 项
和右
边的第一项的分母有公约数____________ ，移项局部通分化简，可简化解题过程
例14、解方程:。