高一数学试卷奥数

高一数学试题

1．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是

( )

A ．“至少一个白球”与“都是白球”

B ．“至少有一个白球”与“至少有1个红球”

C ．“恰有一个白球”与“恰有二个白球”

D ．“至少有1个白球”与“都是红球”

2．函数)3sin(π-

=x y 的一个单调区间是 （ ） A ．)65,6(π

π- B ．)6,65(ππ- C ．)2,2(ππ- D ．)3

2,3(ππ- 3．对于非零向量a 、b ，下列命题中正确的是 （ ）

A ．00a b a ⋅=⇒=或0b =

B ． a ∥b a ⇒在b 上的正射影的数量为||a

C ． 2()a b a b a b ⊥⇒⋅=⋅

D ． a c b c a b ⋅=⋅⇒=

4．某班5次数学测验中，甲、乙两同学的成绩如下： ( )

甲：90 82 88 96 94； 乙：94 86 88 90 92

A ．甲的平均成绩比乙好

B ．甲的平均成绩比乙差

C ． 甲乙平均分相同,甲的成绩稳定性比乙好

D ．甲乙平均分相同,乙的成绩稳定性比甲好

5．化简2cos ()4πα--2sin ()4π

α-得到 （ ） A ．α2sin B ．α2sin - C ．α2cos D ．α2cos -

6．已知0a b =≠，且a 与b 不共线，则a b +与a b -的关系为（ ）

A ．相等

B ．相交但不垂直

C ．平行

D ．垂直

7．已知21tan =

α，5

2)tan(-=-βα，则=-)2tan(αβ （ ） A ．43- B ．121- C ．89- D ．89 9．已知矩形中ABCD ，3,4AB BC ==,1,AB

e AB =2,AD

e AD =

（1）若12AC xe ye =+,求,x y （2）求AC 与BD 夹角的余弦值．

9．已知32cos cos 2sin 2)(244-++=x x x x f ．

（１）求函数)(x f 的最小正周期．

（２）求函数)(x f 在闭区间]163,16[

ππ

上的最小值并求当)(x f 取最小值时，x 的取值集合．

10．已知二次函数f (x )=x 2+mx+n 对任意x ∈R ，都有f (－x ) = f (2＋x )成立，设向量 →a = ( sinx , 2 ) ，→b = (2sinx , 1

2)，→c = ( cos 2x , 1 )，→d =(1,2)，

（Ⅰ）求函数f (x )的单调区间；

（Ⅱ）当x ∈[0,π]时，求不等式f (→a ·→b )＞f (→c ·→d )的解集.

答案:

DCACD ADBBA C C

13. 二 14. 4945 15.0.8 16.-4 17. 解： (1) ①②位置的数据分别为12、0.3； ……………………………3分 (2) 第三、四、五组参加考核人数分别为3、2、1；……………………6分

(3) 设上述6人为abcdef (其中第四组的两人分别为d ，e )，则从6人中任取2人的所有

情形为：{ab ，ac ，ad ，ae ，af ，bc ，bd ，be ，bf ，cd ，ce ，cf ，de ，df ，ef }

共有15种．……………………………………………………………8分

记“2人中至少有一名是第四组”为事件A ，则事件A 所含的基本事件的种数有9种．……………………………………………………………10分

所以93()155P A =

=，故2人中至少有一名是第四组的概率为35．………12分 18．解：（1）3,4,AB BC ==1234AC AB BC e e ∴=+=+，3,4x y ∴==

（2）设AC 与BD 的夹角为θ，由2143,

BD AD AB e e =+=-5,AC BD == 22122121(34)(43)169cos 5525

e e e e e e AC BD

AC BD θ+⋅--⋅∴===⨯=725 ∴AC 与BD 的夹角的余弦值为

725 19.解 (1)原式=cos sin 1tan 1cos sin 1tan 7

αααααα--==++ 34(2),(0,)sin cos 255παβαα∈∴==又5sin()13αβ+=则[]33cos cos ()65

βαβα=+-=- 20.（1）()cos 41f x x =-， 2T π

=

（2）()f x 的最小值是212--，此时x 的集合是3{}4

π 21．解（1）设f (x )图象上的两点为A(－x ,y 1）、B(2＋x , y 2），因为(－x )＋(2＋x )2

=1 f (－x ) = f (2＋x )，所以y 1= y 2

由x 的任意性得f (x )的图象关于直线x =1对称，

∴f (x )的增区间为[)1,+∞； f (x ) 的减区间为(],1-∞

（2）∵→a ·→b =（sinx ，2）·（2sinx , 12

）=2sin 2x ＋1≥1， →c ·→d =（cos 2x ，1）·(1,2)=cos 2x ＋2≥1，

∵f (x )在是[1，+∞）上为增函数，∴f (→a ·→b )＞f (→c ·→d )⇔f (2sin 2x ＋1)＞ f (cos 2x ＋2)