知识点43 曲线的凹凸性和拐点
函数的凹凸性和拐点
函数的凹凸性和拐点
函数的凹凸性和拐点是微积分中的重要概念，用于研究函数图像的形态和性质。
下面
将分别对凹凸性和拐点进行详细介绍。
一、凹凸性
在数学中，一个函数在某一区间上的凹凸性是指函数图像在该区间上是向上凸或向下凸。
几何上，一个曲线在某点处向上凸表明曲线凹向上方，而向下凸则表明曲线凹向下方。
凹凸性的判断方法是通过函数的二阶导数来进行。
如果函数的二阶导数大于零，则函
数在该点处向上凸；反之，如果函数的二阶导数小于零，则函数在该点处向下凸。
函数的图像如果是向上凸的，则可以将其形容为“形如碗状”，反之则形容为“形如
山状”或“钩状”。
在具体的分析中，凹凸性可作为确定函数的最值和极值的重要参考。
二、拐点
拐点是指函数图像上的一点，该点处曲线的凹凸性发生变化。
在拐点之前，函数图像
呈现一种凹凸性，而在拐点之后，则呈现相反的凹凸性。
因此，拐点也被称为凹凸性变化点。
拐点的判断方法是通过函数的二阶导数进行判断。
如果函数在某一点处的二阶导数发
生了从正数变成负数，或从负数变成正数的变化，则该点即为拐点。
在实际分析中，拐点
可用于确定函数的折线形态，以及确定函数的最值和极值。
综上所述，函数的凹凸性和拐点是微积分中的重要概念，用于研究函数图像的性质和
形态。
凹凸性可以帮助我们更好地理解函数的最值和极值，而拐点则可以帮助我们确定函
数的折线形态，以及确定函数的最值和极值。
在实际运用中，我们应该结合具体问题进行
分析，寻找函数的凹凸性和拐点，以便更好地解决问题。
3.4曲线凹凸性
(6, )
11 6
4
(极大)
(拐点)
4) 求渐近线
lim y , x 3为铅直渐近线
x 3
lim y 1, y 1 为水平渐近线 x y 无斜渐近线 lim 0 x x
5) 求特殊点:
36 x y 1 , 2 ( x 3) 36(3 x) y , 3 ( x 3) 72( x 6) y ( x 3) 4
则称直线 y = ax +b为曲线y = f (x)的一条斜渐近线. 并由此可推得
f ( x) a lim , x x
b lim[ f ( x) ax].
x
例5. 求曲线
的渐近线 .
2Leabharlann 1 解: lim ( 2) 2 x x 1
1 y 2 为水平渐近线; 1 lim ( 2) , x 1为铅直渐近线. x1 x 1
在点x0左、右 是拐点;
不是拐点.
如果两侧的符号相同, 则点
例4. 求曲线
的凹、凸区间与拐点.
解 定义域： (, ), 2 5 10 10(1 3 x 2) y ( x 2) 3 x , y . 3 3 9 9 x2 令 y 0, 得x =3, y 不存在的点为x =2,
令 y 0 , 得
3)列表
x y y y
0
(0 ,1)
1
0
(极小)
(1, )
0
(拐点）
4) 曲线无渐近线
5) 特殊点: 曲线与坐标轴的交点为(0, 0), ( 3, 0).
曲线的凹凸性与拐点
一、曲线凹凸的定义
观察：
y y
o
x
o
x
都是上升的曲线，但是上升的方式不一样； 红色曲线上升的速度在增加，蓝色曲线上升速度减少； 呈现出来的不同的弯曲方式。
一、曲线凹凸的定义
观察：
y y
o
凹
x
o
x
弦在曲线上方
凸
弦在曲线下方
一、曲线凹凸的定义
凹
y f ( x1 )
凸
f ( x)
y
f ( x)
f ( x2 )
f ( x1 )
f ( x2 )
x1 x 2 x x 2 2
o
x1 x1 x 2 2
x2 x
o
x1
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) f( ) 2 2
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) f( ) 2 2
一、曲线凹凸的定义
对 I 上任意两点x1 , x2， 定义1：若函数 f ( x)在区间 I上连续，
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) （1）如果恒有 f ( 2 ) 2 那么称 f ( x)在 I 上的图形是凸的。
_
（2）如果恒有 那么称
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) f( ) 2 2
f ( x )的极值点. 拐点：
凹
f ( x) 0
凸
f ( x) 0
f ( x )
f ( x )
拐点可能是二阶导数等于0的点，和二阶导数不存在的 点.
四、计算凹凸区间与拐点的步骤
1）求函数的定义域； 2）求 f ( x)； 3）求出 f ( x) 0的点，和 f ( x) 不存在的点；
曲线的凹凸性与拐点
曲线的凹凸性与拐点在数学中，曲线的凹凸性以及拐点对于研究曲线的性质和变化具有重要的意义。
凹凸性可以帮助我们理解曲线的弯曲程度以及变化趋势，而拐点则是曲线上的一个特殊点，表示曲线在该处发生方向的变化。
本文将介绍曲线的凹凸性与拐点的概念，以及它们在数学和其他实际应用中的重要性。
一、凹凸性的定义与判断凹凸性是描述曲线在某一区间上的弯曲程度的性质。
我们有以下两个定义来判断曲线的凹凸性：1. 凹曲线：如果曲线上的任意两点连线的下方部分都在曲线上方，则称该曲线为凹曲线。
换句话说，如果对于曲线上的任意两点A和B，A和B连线的下方不与曲线相交，则该曲线为凹曲线。
2. 凸曲线：如果曲线上的任意两点连线的下方部分都在曲线下方，则称该曲线为凸曲线。
换句话说，如果对于曲线上的任意两点A和B，A和B连线的下方不与曲线相交，则该曲线为凸曲线。
凹凸性的判断可以通过曲线的二阶导数来进行。
如果曲线的二阶导数大于0，则曲线为凹曲线；如果二阶导数小于0，则曲线为凸曲线。
而当二阶导数恰好为0时，需要考虑其他方法。
二、拐点的定义与判断拐点是曲线上的一个特殊点，表示曲线在该点处方向发生改变。
我们有以下定义来判断曲线是否存在拐点：1. 拐点：如果曲线在某一点处既没有切线也没有二阶切线（即曲线在该点处没有明确的方向），则称该点为拐点。
判断曲线是否存在拐点可以通过曲线的三阶导数来进行。
如果曲线的三阶导数存在不连续的点，则该点即为拐点。
值得注意的是，如果曲线的三阶导数的符号在该点的左右两侧不同，也可以判断该点为拐点。
三、凹凸性与拐点的应用与意义凹凸性和拐点不仅仅在数学领域中有重要性，还被广泛应用于其他学科和实际问题中，如物理学、经济学等。
在物理学中，凹凸性可以帮助解释某一物体的形状和弯曲程度，例如在光学中，曲率半径越小的曲面会导致光线的弯曲程度越大。
因此，通过研究光线在曲面上的传播可以利用凹凸性来分析光的折射和反射现象。
在经济学中，凹凸性可以用来描述供需曲线的变化趋势。
高等数学3.4 曲线的凹凸性与拐点 函数图形的描绘
x f (x) f (x)
( , 2)
2 0
拐点(2, 3)
(2, + ) +
其中 ， 分别表示曲线凸和凹.
例 4 讨论曲线 y = ln(1 + x2) 的凹凸区间与拐点. 解 定义域为( , ). 因为
y 2x , 1 x2
y
2(1 x 2 ) (1 x 2 )2
O1
x
-1
曲线 y x3 是凹的．
所以，点(0,0) 为曲线 y x3 的拐点．
例 3 讨论曲线 f (x) = x3 - 6x2 + 9x + 1 的凹凸 区间与拐点．
解 定义域为( , ).
因为
f (x) = 3x2 - 12x + 9，
f (x) = 6x - 12 = 6(x - 2 )， 令 f (x) = 0，可得 x = 2.
当 x ( , 2) 时，f (x) < 0， 此区间是凸区间． 当 x (2, + ) 时，f (x) > 0， 此区间是凹区间．
当 x = 2 时， f (x) = 0，因 f (x) 在 x = 2 的两 侧变号，而 f (2) = 3， 所以 (2, 3)是该曲线的拐点.
(2) 用上述各点按照从小到大依次将(a,b) 分成小 区间,再在每个小区间上考察 f (x) 的符号；
(3) 若 f (x) 在某点 xi 两侧近旁异号，则(xi , f (xi )) 是曲线y = f (x)的拐点，否则不是．
例 2 曲线 y x3的定义域为(,)，画其草图．
则称直线
x = x0近线.
例如， 对于曲线 y = ln x 来说， 因为
《高等数学》曲线的凹凸性与拐点
曲线的凹凸性与拐点上一节我们利用导数研究了函数的单调性和极值。
函数的单调性反映在图形上，就是曲线的上升和下降，但曲线在上升或下降的过程中还有一个弯曲方向的问题。
例如，图143--中有两条曲线弧，虽然它们都是上升的，但图形却有显著不同，ACB 是向上凸的曲线弧，而ADB 是向上凹的曲线弧，它们的凹凸性不同，接下来我们就来研究曲线的凹凸性及其拐点。
一、曲线凹凸性的定义从几何上看，在有的曲线弧上，如果任取两点，则联结着两点间的弦总位于这两点间的弧段的上方（图)(243a --），而有的曲线弧，则正好相反（图)(243b --）。
曲线的这种性 图143-- 质就是曲线的凹凸性 。
因此曲线的凹凸性可以用联结曲线弧上任意两点的弦的中点与曲线弧上相应点（即具有相同横坐标的点）的位置关系来描述，下面给出曲线凹凸性的定义。
)(a )(b图243--定义1 设)(x f 在区间I 连续，若对于I 上任意两点1x 和2x ，恒有2)()()2(2121x f x f x x f +<+ 则称)(x f 在I 上的图形是（向上）凹的（或凹弧）；若恒有2)()()2(2121x f x f x x f +>+ 则称)(x f 在I 上的图形是（向上）凸的（或凸弧）。
一般情况下，在函数的整个定义域内，其曲线的凹凸性并不一致。
通常把连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点。
二、曲线凹凸性的判定曲线的凹凸性有明显的几何特征。
当x 逐渐增加时，对于凹曲线，其上每一点的切线斜率是逐渐增加的（如图)(343a --），即导函数)(x f '是单调增加函数；而对于凸曲线，其上每一点的切线斜率是逐渐减少的（如图)(343b --），即导函数)(x f '是单调减少函数。
与此几何特征相对应，有下述判断曲线凹凸性的定理。
)(a )(b图343--定理1 设函数)(x f 在I 内具有一阶和二阶导数，若在I 内 （1）0)(>''x f ，则曲线)(x f 在I 上的图形是凹的； （2）0)(<''x f ，则曲线)(x f 在I 上的图形是凸的。
4.4曲线的凹向与拐点
x2，记 x1
2
x2
x0，并记 x2
x0
x0
x1
h，
则 x1 x0 h, x2 x0 h
由拉格朗日中值公式，得
f ( x0 h) f ( x0 h) 2 f ( x0 )．
[ f ( x 0 1 h ) f ( x 0 2 h ) ] h
(2, )
凹
可见，曲线在区间(,1)和(2, )上是凹的，在区间
(1, 2)上是凸的．拐点是(1, 5)和(2, 20)．
例 4 问曲线 y x4是否有拐点? 解 y 4x3, y 12x2．
显然，只有 x 0是方程 y 0的根，但当 x 0时， 无论 x 0或 x 0都有 y 0，因此点(0,0)不是这曲线的拐点， 曲线 y x4没有拐点，它在(,)内是上凹的．
y 1 2 x 2 3 6 x 2 4 1 2 ( x 1 ) ( x 2 )
解方程 y 0，得 x1 1, x2 2，列表如下
x f ( x)
f (x)
(,1)
凹
表 4-4
1 (1,2)
0
拐点
凸
(1,5)
2 0 拐点 (2, 20)
所以曲线在(,0]内为凸的；当 x 0时， y 0， 所以曲线在[0, )内为凹的．
2．曲线的拐点( concave or convex)
定义 4.3 设 y f ( x)在区间I 上连续， x0是I 内的点，
如果曲线 y f ( x)在经过点( x0 , f ( x0 ))时，曲线的凹向改变了， 那么就称点( x0 , f ( x0 ))为这曲线的拐点．
微积分4.4曲线的凹凸性、拐点与渐近线
动点M沿着曲线无限远离原点 y
y=ƒ(x)
移动时, 若该动点M到某直线L 的距离无限趋近于零 (如右图),
αM˘• Q •
•
L: y=ax+b
则称此直线L是曲线 y = ƒ(x)
o »α
x
的渐近线.
曲线 y = ƒ(x) 的渐近线按其与 x 轴的位置关系, 可分为
以下三种:
18
1.水平渐近线
定义4.4.5 如果曲线 y = ƒ(x)的定义域是无限区间, 且有
x -
x
两边同除以 x 并取极限有
f (x) lim[ a]0 x x-
或 lim[f(x)a]0 x x
即
f(x) lim a x x-
或 lim f(x) a x x
从而得到求 y = ƒ(x) 的斜渐近线 y = ax + b 的公式为:
a
f (x) lim
x x
或
b
lim[
x
f
( x)
lim
1
x x 1
x x1
所 以 y x 1 是 曲 线 的 一 条 斜 渐 近 线 .
25
四*. 函数图形的描绘
借助于一阶导数的符号, 可以确定函数图形在哪个区间 上上升, 在哪个区间上下降, 在什么地方有极值点; 借助于 二阶导数的符号, 可以确定函数图形在哪个区间上为凹, 在哪个区间上为凸, 在什么地方有拐点. 知道了函数图形 的升降、凹凸以及极值点和拐点后, 也就可以掌握函数的 性态, 并把函数的图形画得准确.
ax]
a
f (x) lim
x x
b
lim [
x
f
(x)
ax]
曲线的凹凸性与拐点
o
x
凸：切线的的斜率递减 f (x) 递减，即 f (x) 0
二、曲线凹凸的判定
定理：若函数f (x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一、 二阶导数，则 （1）若果在(a, b)内有 f (x) 0，
那么 f (x)在[a,b]内图像是凸的. （2）若果在(a, b)内有 f (x) 0，
曲线的凹凸性与拐点
一、曲线凹凸的定义
观察：
y
y
o
x
o
x
都是上升的曲线，但是上升的方式不一样； 红色曲线上升的速度在增加，蓝色曲线上升速度减少； 呈现出来的不同的弯曲方式。
一、曲线凹凸的定义
观察：
y
y
o
x
凹
弦在曲线上方
o
x
凸
弦在曲线下方
一、曲线凹凸的定义
凹
y f ( x1)
f (x) f (x2 )
那么 f (x)在[a,b]内图像是凹的.
三、拐点
拐点：连续曲线凹弧与凸弧的分界点称为拐点。 拐点
凸凹
凸
f (x) 0 f (x) 0 f (x) 0
三、拐点
拐点
凸
f (x) 0
凹
f (x) 0
凸
f (x) 0
f (x)
f (x)
f (x)
拐点：f (x)的极值点.
拐点可能是二阶导数等于0的点，和二阶导数不存在的 点.
凸
y
f (x)
f ( x1)
f (x2 )
o x1 x1 x2 2
x2 x
f ( x1 x2 ) f (x1) f (x2 )
2
2
o x1
x1 x2
3-4 曲线的凹凸性与拐点
• 3-1 微分中值定理 • 3-2 洛必达法则 • 3-3 函数的单调性与极值 • 3-4 曲线的凹凸性与拐点
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3-4 曲线的凹凸性与拐点
3.4.1
曲线的凹凸性
3.4.2
3.4.3
曲线的拐点
函数曲线绘图
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3-4 曲线的凹凸性与拐点
3.4.1 曲线的凹凸性 问题引入
3x 2 5 例 : 求曲线 y 2 的水平渐近线 x x 1
1 e 例: 求曲线 y 2
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x2 2
的水平渐近线
练： 求曲线 y arctan x 的水平渐近线
3-4 曲线的凹凸性与拐点
（2）铅直渐近线（或垂直渐近线）
如果，xlim f ( x) , (或x x0 ( x0 ))，那么称 x=x0 直线为曲线 x
的垂直渐近线.
x3 例: 求曲线 y x 2 2 x 3 的垂直渐近线
0
x 2 3x 4 练： 求曲线 y 2 的水平渐近线 x 2x 3
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3-4 曲线的凹凸性与拐点
（3）斜渐近线
f ( x) k , lim[ f ( x) kx] b ，那么称直线 y kx b 如果 lim x x x 为曲线 y f (x)的斜渐近线 .
需要说明的是：也可讨论当 x 及 x 时的情形.
x3 5 例: 求曲线 y 2 的渐近线 x x 2
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3 2
练： 讨论曲线
y xx
5 3 的凹凸性
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3-4 曲线的凹凸性与拐点
3.4.2 曲线的拐点
曲线的凹凸与拐点
当x 时，y 0,
三、曲率
1.弧微分 在曲线上取定点 M0(x0, y0) 作为度量弧长的起点，并且规定 x 增大的方向作为曲线弧的正方向，M(x, y) 为曲线上任一点， 如右图所示， 记有向弧 AM 的长度 为 s。 当 AM 的方向与曲线的正向一
2
x2
(3) 列表讨论y, y的符号，确定函数的单调
区间和极值，凹凸区间和拐点：
2 2
2 ,) 2
2 (2x 1), 由 y 0, 得 x ; 2
x y y
y
0
1
0
(0,
2 ) 2
0
拐点
2 2 ( ,e ) 2
1
(
曲线 极大值
所以y 0为该曲线的渐近线。 根据列表先作出[0, +∞)上的图象， 再利用偶函数的图象
例1 判定曲线 y arctanx 的凹凸性。
)， 解： y arctanx 的定义域为(，
1 y , 2 1 x 2x y (1 x 2 ) 2
令 y 0，
解得 x 0
当 x (,0) 时，y 0, 曲线是凹的； 当 x (0,) 时，y 0, 曲线是凸的；
(2) y 12 x 3 12 x 2 ,
(3) 令 y 0, 得x1 0, x2 ; 3 (4) 列表考察 y 的符号：
2 y 36 x 2 24 x 36 x( x ); 3 2
x
y
(,0) 0
2 (0, ) 3
0
拐点 (0,1)
2 3
x 0 0
曲线的凹凸与拐点概述课件
对于凹函数，其图像在任何一点处切线的斜率都大于0；对于凸函数，其图像在任何一点 处切线的斜率都小于0。
应用
在经济学、生物学、工程学等领域中，凹函数和凸函数都有广泛的应用。例如，在经济学 中，凹函数可以描述成本、收益等经济变量的变化规律；在生物学中，凸函数可以描述种 群数量、资源分配等生物变量的变化规律。
凸
对于给定曲线y = f(x)，如果在区间(a,b)内，对于任意 x1<x2<x3，都有f(x2) > f(x1) + (x2 - x1) * (x3 - x2) / (x3 x1)，则称f(x)在区间(a,b)内是凸函数。
拐点的定义
• 拐点：对于给定曲线y = f(x)，如果存在点x0，使得f'(x0) = 0，且在x0的左侧和右侧，f'(x)的符号相反，则称x0为拐点。
二次函数
在极值点处有拐点，因为极值点 处函数的单调性发生改变。
三角函数
在正弦函数和余弦函数的周期性 变化过程中，每一个周期内都有
两个拐点。
拐点的应用
经济预测
利用拐点预测经济周期的转换点。
科学计算
在求解函数的极值点和最值点时，拐点是一个重 要的参考指标。
工程设计
在机械工程中，拐点被用来确定机构的临界状态 和设计参数。
04 曲线凹凸与拐点的实际意义
CHAPTER
经济中的应用
股价走势分析
通过分析股票价格的拐点，可以 判断股票价格的未来趋势，为投 资者提供参考。
经济学模型
拐点在经济学模型中可以用于描 述经济变量的转折点或变化趋势 的转折点。
自然科学中的应用
生态学
拐点可以描述生态系统中的转折点， 如气候变化对生物多样性的影响等。
知识点43 曲线的凹凸性和拐点
f x x
1 ，则 ( ).
（A） f (0) 为 f ( x) 的极大值点 （C） (0, f (0)) 为 y f ( x) 的拐点
（B） f (0) 为 f ( x) 的极小值点
（D） x 0 不是 f ( x) 的极值点， (0, f (0)) 也不是 y f ( x) 的拐点 解析：已知 lim
（A） S1 S2 S3 （C） S3 S1 S2
（B） S2 S1 S3 （D） S2 S3 S1
解析：由题设知， f ( x) 在 [a, b] 上递减且是凹的，由 S1 , S2 , S3 几何意义知，
S 2 S1 S3 （矩形面积 曲边梯形面积 梯形面积），故选（B）.
f ( x) 0, f ( x) 0 ，故选（D）.
解：选（D）.
例43.2(难度系数0.2) 设在区间 [a, b] 上 f ( x) 0, f ( x) 0, f ( x) 0 . 令
b 1 S1 f ( x)dx ， S 2 f (b)(b a ) ， S3 [ f (a ) f (b)](b a ) ，则（ ）. a 2
x 0
f x x
1 ，对其两边平方，得 lim
x 0
[ f x ]2 x2
1 ，可知
lim f x f 0 0 ，
x 0
再由 lim
x 0
f x f 0 x0
lim
x 0
f x x
1 ，得 f 0 1 ，故 f x 在 x 0 处连续，因此
2
解析：根据题意利用二阶导数来确定拐点，再按照曲线的拐点处的法线通过 原点的要求进行讨论，从而确定 k 的值. 解：据题意有 y 4kx x 2 3， y 12k x 2 1，令 y 0 ，得 x 1 或 x 1 ，则拐 点为 1, 4k 及 1, 4k . (1)在拐点 1, 4k 处切线斜率为 y 1 8k ，则法线方程为 y 4k 法线过原点，所以 k
曲线的凹凸性与拐点
曲线的凹凸性与拐点为了进一步研究函数的特性并正确地作出函数的图形，需要研究曲线的弯曲方向.在几何上，曲线的弯曲方向是用曲线的“凹凸性”来描述的.一、 曲线的凹凸性 从图3-12（a ），（b ）可以观察到.定义1 如果在某区间内的连续且光滑曲线弧总是位于其任一点切线的上方，则称此曲线弧在该区间内是凹的；如果在某区间内的曲线弧总是位于其任一点切线的下方，则称此曲线弧在该区间内是凸的，相应的区间分别称为凹区间与凸区间.从图3-12还可以看到如下事实：对于凹的曲线弧，其切线的斜率()f x '随着x 的增大而增大，即()f x '单调增加；对于凸的曲线弧，其切线的斜率()f x '随着x 的增大而减少，即()f x '单调减少.而函数()f x '的单调性又可用它的导数，即()f x 的二阶导数()f x ''的符号来判定，故曲线()y f x =的凹凸性与()f x ''的符号有关.定理1 设函数()f x 在区间(,)a b 上具有二阶导数.（1）如果在区间(,)a b 上，有()f x ''>0，那么曲线在(,)a b 上是凹的； （2）如果在区间(,)a b 上，有()f x ''<0，那么曲线在(,)a b 上是凸的. 例1 判定曲线ln y x =的凹凸性. 解 函数的定义域为(0,)+∞，而 211,y y x x'''==- 因此曲线ln y x =在(0,)+∞内是凸的. 例2 讨论曲线3y x =的凹凸区间.解 函数的定义域为(,)-∞+∞， 23,6y x y x '''==显然，当0x >时，0y ''<；当0x <时，0y ''>.因此(,0)-∞为曲线的凸区间，(0,)+∞为曲线的凹区间.二、 曲线的拐点在例2 中，点(0,0)为凸的曲线弧与凹的曲线弧的连接点，对这种点有如下定义. 定义2 在连续曲线上，凹凸曲线弧的分界点，称为曲线的拐点. 下面来讨论曲线()y f x =拐点的求法.由于拐点是曲线凹凸弧的连接点，如果()f x ''存在且连续，则在拐点的左右近旁()f x ''必然异号，因此曲线拐点的横坐标0x ，是可能使()f x ''=0的点，从而可知求拐点的步骤为：（1） 求()f x ''；（2） 令()f x ''=0，解出方程()f x ''=0在某区间内的实根0x ；（3） 对每一个实根0x ，考察()f x ''在0x 的左右近旁的符号，若()f x ''在0x 的左右近旁的符号相反，则点00(,())x f x 是拐点，若()f x ''在0x 的左右近旁的符号相同，则点00(,())x f x 不是拐点.例3求曲线453151x x y -=的凹凸区间与拐点. 解 函数的定义域为(,)-∞+∞ 3434x x y -='，)1(444223-=-=''x x x x y 令 0y ''=，得 1,0==x x .由于0=x 的左右近旁y ''不改变符号，（0，0）不是拐点.当1<x 时，0<''y ；当 1>x 时，0>''y . 所以曲线在)1,(-∞内是凸的，在+∞,1(）内是凹的；（)152,1-为拐点. 注意：使()f x ''不存在而()f x 连续的点，也可能成为曲线的拐点. 例4 求曲线53y x =的拐点.解 定义域为(,)-∞+∞， 2353y x '=，1310,(0)9y x x -''=≠ 因为令0y ''=时，方程 131009x -=无解.而当0x <时，0y ''<；当0x >时，0y ''>， 即曲线在区间(,0)-∞内是凸的，在区间(0,)+∞内是凹的，又曲线在点0x =处是连续的，所以点（0，0）是曲线的拐点.三、 函数绘图 1、渐近线定义3 如果一动点沿某曲线变动，其横坐标或纵坐标趋于无穷远时，它与某一固定 直线的距离趋向与零，则称此直线为曲线的渐近线.例如直线 0,0x y x ya b a b -=+=为双曲线12222=-by a x 的渐近线.但并不是所有的曲线都有渐近线，下面只对两种情况的渐近线予以讨论.（1）水平渐近线如果当自变量x →∞时，函数()f x 以常量C 为极限，即lim ()x f x C →∞=，则称直线y C =为曲线()y f x =的水平渐近线.（2）铅直渐近线（或垂直渐近线）如果当自变量0x x →时，函数()f x 为无穷大量，即0lim ()x x f x →=∞，则称直线0x x =为曲线()y f x =的铅直渐近线.说明：对x →∞时，有时也可能仅当x →+∞或x →-∞；对0x x →，有时也可能仅当0x x +→或0x x -→.例5 求下列曲线的水平或垂直渐近线.（1）3223x y x x =+- （2）22x y -=.解 （1）因为323lim 23x x x x →-=∞+-， 321lim 23x x x x →=∞+- 所以直线 3,1x x =-=是两条铅直渐近线.（2） 因为220x x -=，所以直线0y =为其水平渐近线.2、函数图形的描绘利用导数描绘函数图形的一般步骤为：（1） 确定函数的定义域，考察函数的奇偶性、周期性； （2） 确定函数的单调区间、极值点、凹凸区间以及拐点； （3） 考察渐近线；（4） 作一些辅助点；（5） 由上面的讨论，画出函数的图形例6 作函数32()31fx xx =-+的图形.解 （1）函数定义域为(,)-∞+∞；（2）2()36f x x x '=-， 令()0f x '= 得 120,2x x ==；f ''”表示上升且为凸的，”表示上升且为凹的.（3（4）取辅助点（1,3)--、（3，1）；（6） 画图（如图3-13）例7作函数1)2(12---=x x y 的图形.解 定义域为),2()2,(+∞⋃-∞ 342)2()2()2)(1(2)2(--=-----='x xx x x x y 令0='y ，得0=x ； 4623)2()1(2)2()2(3)2(-+=-----=''x x x x x x y ， 令0=''y ，得1-=x ；列表：渐近线：因为∞=---+→]1)2(1[lim 22x x x ，所以2=x 是铅直渐近线；又因为1]1)2(1[lim 2-=---∞→x x x ，所以1-=y 是水平渐近线. 作辅助点：（)1,1-、)0,255(-、)45,0(-. 作图：（如图3-14）习题1、判定下列曲线的凹凸性： （1）)0(2≠++=a cbx ax y ； （2）x x y arctan =.2、求下列曲线的拐点及凹凸区间：（1）53523-+-=x x x y ； （2）321--=x y .3、求下列曲线的水平或垂直渐近线：（1）1232-+-=x x x y ； （2）x e y 1=；（3）)1ln(xey +=； （4）11+-=x e y x . 4、作函数的图形：（1）1612823++-=x x x y ； （2）2x e y -=； （3）3443x x y -=； （4）xxe y -=.。
简明微积分曲线凹凸与拐点
凸的.
例1 判定曲线弧y=xarctan x的凹凸性. 解 所给曲线在 (,)内为连续曲线弧.由于
yHale Waihona Puke rctxa1nxx2, y 1 1 x2 (1 (1 x 2)x 2) x 2 2 x(1 2 x2)2 0 ,
(3)y3 1 3x2 3,y3 9 2x5 3.y3 在 x0处不 . 存在
1
当 x0时 ， y3 0 ， 曲线 y3x3 弧 为凹 . 的
1
当 x0时y3 ， 0 ， 曲线 y3x3 弧 为凸 . 的
1
从而知点(0,0)为曲线弧 y3 x 3 的拐点.
例5 讨论曲线 y(x1)3 x2的凹凸性，并求其拐点.
解 所给函数 在(,)内为连续函数.
52
y[x (1)3x2][x3x3]
2
5x3
2
1
x 3,
33
1 4
4
y1x0 32x31x0 3(x1).
99 9
5
当x0时， y为连续. 函数
当x0时 ,y不存. 在 令 y0，可 x得 1.
(2) 若对于任意的x0(a,b)，曲线弧y=f(x)过点(x0,f(x0)) 的切线总位于曲线弧y=f(x)的上方，则称曲线弧 y=f(x)在[a,b]上为凸的.
如果y=f(x)在(a,b)内二阶可导，则可以利用二阶 导数的符号来判定曲线的凹凸性. 定理(曲线凹凸的判定法) 设函数y=f(x)在[a,b]上连续， 在(a,b)内二阶可导. (1) 若在(a,b)内 f(x)0，则曲线弧y=f(x)在[a,b]上为
(2)y2 5 3x2 3,y2 1 9x 01 3,y2 在 x0处不 . 存在
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从而 1 x 0 时, f ( x) 为凹； 0 x 1 时, f ( x) 为凸, 于是 (0, 0) 为拐点.又
f (0) 0 , x 0 时, f ( x) 0 , 从而 x 0 为极小值点.所以 x 0 是极值点,
(0, 0) 是曲线 y f ( x) 的拐点, 故选（C）.
f ( x) 的符号.
x(1 x), 1 x 0 , f ( x) 0 x 1 x(1 x), 1 2 x , 1 x 0 f ( x) , 0 x 1 1 2 x , 2, 1 x 0 f ( x) , 0 x 1 2,
x 0
f x x
1 ，对其两边平方，得 lim
x 0
[ f x ]2 x2
1 ，可知
lim f x f 0 0 ，
x 0
再由 lim
x 0
f x f 0 x0
lim
x 0
f x x
1 ，得 f 0 1 ，故 f x 在 x 0 处连续，因此
解：选（C）.
例43.5(难度系数0.4) 设 0 ， f ( x) 在 [ , ] 上三阶连续可导，且
f (0) f (0) 0 ， lim
则以下正确的是（ ）. （A） f (0) 为 f ( x) 的极大值点 （C） (0, f (0)) 为 y f ( x) 的拐点
学科：高等数学
第三章 微分中值定理及导数的应用
知识点43
相关概念、公式定理或结论
● ● ●
曲线的凹凸性和拐点
定义 ** 定理 ** 结论 **
考频：4
知识点43 配套习题
例43.1(难度系数0.2) 设 f ( x) 在 (, ) 存在二阶导数，且 f ( x) f ( x) ，当
例43.10(难度系数0.6) 设 y f ( x) 有三阶连续导数，且 f ( x0 ) f ( x0 ) 0 ，
f ( x0 ) 0 ，问 x0 是否极值点？ ( x0 , f ( x0 )) 是否拐点？证明你的结论.
解析：本题涉及高阶导数的问题，通常用泰勒公式，再结合拉格朗日中值定 理. 本题结论可以推广： 设 y f ( x) 有 n 阶连续导数，且 f ( x0 ) f ( x0 ) f ( n 1) ( x0 ) 0 ， f ( n ) ( x0 ) 0 ， 则 ⑴当 n 为奇数时， x0 不是极值点， x0 是拐点； ⑵当 n 为偶数时， x0 是极值点， x0 不是拐点. 证明：由泰勒公式知，
f ( x0 ) f ( ) ( x x0 ) 2 ( x x0 )3 ， 2! 3! f ( ) ( x x0 )3 ，其中 在 x0 与 x 之间， 又 f ( x0 ) f ( x0 ) 0 ，故 f ( x) f ( x0 ) 3! f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
f ( x) 2， x 0 1 cos(1 e x )
（B） f (0) 为 f ( x) 的极小值点
（D） x 0 不是 f ( x) 的极值点， (0, f (0)) 也不是 y f ( x) 的拐点 解析：由 lim
f ( x) 2 ，据极限的保号性可知，在0的某邻域内 x 0 1 cos(1 e x )
0
f ( x) xf ( x) 3[ f ( x)]2 6 xf ( x) f ( x) e x ；
又因为
f ( x) 3[ f ( x)]2 e x0 e x ； x
整理得
f ( x)
(1 x)e x e x0 ； x 2 [1 6 f ( x)]
y
y
令 y 0 ， x 0 或 x 3 ；令 y 0 ， x 0 或 x 3 .且 x 1 时， y , y 不存在. 列表分析如下：
(,0)
0
(0,1)
1
(1,3)
3 0
(3, )
y y
0
y
增加、 凸
拐 点
（C） x 0 是 f ( x) 的极值点, 且 (0, 0) 是曲线 y f ( x) 的拐点. （D） x 0 不是 f ( x) 的极值点, (0, 0) 也不是曲线 y f ( x) 的拐点. 解析：求分段函数的极值点与拐点，按要求只需讨论 x 0 两侧的 f ( x) ,
增加、 凹
不存 在 不存 在 无定 义
减少、 凹
极小 值
增加、 凹
27 ，凸区 4
故函数的单调增区间为 (,1) ， (3, ) ，单调减区间 (1,3) ，极小值 y (3) 间为 (,0) ，凹区间为 (0,1) ， (1, ) ，拐点 (0,0) .
例43.4(难度系数0.2，2004年考研数学二真题）设 f ( x) x(1 x) , 则（ ）. （A） x 0 是 f ( x) 的极值点, 但 (0, 0) 不是曲线 y f ( x) 的拐点. （B） x 0 不是 f ( x) 的极值点, 但 (0, 0) 是曲线 y f ( x) 的拐点.
2 . 8
1 x 1 8k 1 x 1 ，因 8k
(2)在拐点 1, 4k 处切线斜率为 y 1 8k ，则法线方程为 y 4k ，因法线过原点，所以 k 故k
2 . 8
2 时，曲线的拐点处的法线通过原点. 8
例43.7(难度系数0.4) 设 f ( x) 有二阶连续导数，且 f 0 0 ， lim
选（C）. 解：（C）. 例43.9(难度系数0.4) 已知函数 y f ( x) 满足 xf ( x) 3x[ f ( x)]2 e x e x
0
，上式对一切非零 x 都成立，且 f ( x0 ) 0( x0 0) ，则（ ）. （A） f ( x0 ) 是 f ( x) 的极大值 （B） f ( x0 ) 是 f ( x) 的极小值
f ( x) 0 ，又据 1 cos(1 e x ) 0 显然成立，因此 f ( x) 0 ， f ( x) 单调增 1 cos(1 e x )
，再据 f (0) 0 ，最终得 (0, f (0)) 为 y f ( x) 的拐点.
解：（C）. 例43.6(难度系数0.4) 试确定 y k x 2 3 中的 k 的值，使曲线的拐点处的法线通过原点.
x 0
f x x
1 ，则 ( ).
（A） f (0) 为 f ( x) 的极大值点 （C） (0, f (0)) 为 y f ( x) 的拐点
（B） f (0) 为 f ( x) 的极小值点
（D） x 0 不是 f ( x) 的极值点， (0, f (0)) 也不是 y f ( x) 的拐点 解析：已知 lim
（A） S1 S2 S3 （C） S3 S1 S2
（B） S2 S1 S3 （D） S2 S3 S1
解析：由题设知， f ( x) 在 [a, b] 上递减且是凹的，由 S1 , S2 , S3 几何意义知，
S 2 S1 S3 （矩形面积 曲边梯形面积 梯形面积），故选（B）.
2 3 4 2 3 4
二、三、四重根分别为 1, 2,3, 4 ，故由导数与原函数之间的关系可知， y (1) 0 ，
y (2) 0 ， y (2) y (3) y (4) 0 ， y (3) y (4) 0 ， y (3) 0, y (4) 0 ，则仅（3,0）是拐点，故
（C） ( x 0 , f ( x0 )) 是曲线 y f ( x) 的拐点 （D） f ( x0 ) 是 f ( x) 的极值，但 ( x 0 , f ( x0 )) 不是曲线 y f ( x) 的拐点 解析：先求 f ( x) ，对 xf ( x) 3x[ f ( x)]2 e x e x 左右两边同时求导得
(0, f (0)) 为 y f ( x) 的拐点，故选（C）.
解：选（C）.
例43.8(难度系数0.4，2011年考研数学 真题)曲线
y x 1x 2 x 3 x 4 的
2 3 4
拐点为（ ）. （A）（1，0） （B）（2，0） （C）（3，0） （D）（4，0） 解析：本题考查对拐点的判断，直接利用二阶导数判断拐点即可. 由 y x 1x 2 x 3 x 4 可知， x 1x 2 x 3 x 4 0 的一、
x 0 时有 f ( x) 0, f ( x) 0 ，则当 x 0 时有（ ）.
（A） f ( x) 0, f ( x) 0 （C） f ( x) 0, f ( x) 0
（B） f ( x) 0, f ( x) 0 （D） f ( x) 0, f ( x) 0
例43.2(难度系数0.2) 设在区间 [a, b] 上 f ( x) 0, f ( x) 0, f ( x) 0 . 令
b 1 S1 f ( x)dx ， S 2 f (b)(b a ) ， S3 [ f (a ) f (b)](b a ) ，则（ ）. a 2
解：选（B）. 例43.3(难度系数0.4，跨知识点39,40 ) 求y
x3 的增减区间、极值、凹凸区间及拐点. ( x 1) 2
解析：本题通过一阶导数求解单调区间和极值，通过二阶导数求解凹凸区间 和拐点. 解： y
x3 的定义域为 x x 1. ( x 1) 2 3 x 2 ( x 1) 2 x 3 2( x 1) x 3 3 x 2 x 2 ( x 3) ， ( x 1) 4 ( x 1)3 ( x 1)3 (3 x 2 6 x)( x 3)3 ( x 3 3 x 2 ) 3( x 1) 2 6 x 2 18 x 6 x(3 x) ， ( x 1)6 ( x 1) 4 ( x 1) 4