几何证明题辅助线典型作法

几何证明题辅助线典型作法

补形法的应用

一些几何题的证明或求解，由原图形分析探究，有时显得十分繁难，若通过适当的“补形”来进行，即添置适当的辅助线，将原图形填补成一个完整的、特殊的、简单的新图形，则能使原问题的本质得到充分的显示，通过对新图形的分析，使原问题顺利获解。这种方法，我们称之为补形法，它能培养思维能力和解题技巧。我们学过的三角形、特殊四边形、圆等都可以作为“补形”的对象。现就常见的添补的图形举例如下，以供参考。

一、补成三角形

1.补成三角形

例1.如图1，已知E为梯形ABCD的腰CD的中点；

证明：△ABE的面积等于梯形ABCD面积的一半。

分析：过一顶点和一腰中点作直线，交底的延长线于一点，构造等面积的

三角形。这也是梯形中常用的辅助线添法之一。

略证：

2.补成等腰三角形

例2 如图2.已知∠A＝90°，AB＝AC，∠1＝∠2，CE⊥BD，求证：BD＝2CE

分析：因为角是轴对称图形，角平分线是对称轴，故根据对称性作出辅助

线，不难发现CF＝2CE，再证BD＝CF即可。

略证：

3.补成直角三角形

例3.如图3，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＋∠C＝90°，F、G分别

是AD、BC的中点，若BC＝18，AD＝8，求FG的长。

分析：从∠B、∠C互余，考虑将它们变为直角三角形的角，故延长BA、

CD，要求FG，需求PF、PG。

略解：图3

4.补成等边三角形

例4.图4，△ABC是等边三角形，延长BC至D，延长BA至E，使AE＝BD，连结CE、ED。

证明：EC＝ED

分析：要证明EC＝ED，通常要证∠ECD＝∠EDC，但难以实现。这样可采

用补形法即延长BD到F，使BF＝BE，连结EF。

略证：

二、补成特殊的四边形

1.补成平行四边形

例5.如图5，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，并且E、F、G、H 不在同一条直线上，求证：EF和GH互相平分。

分析：因为平行四边形的对角线互相平分，故要证结论，需考虑四边

形GEHF是平行四边形。

略证：

2.补成矩形

例6.如图6，四边形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝∠D＝90°，AB＝200m，CD＝100m，求AD、BC 的长。

分析：矩形具有许多特殊的性质，巧妙地构造矩形，可使问题转化为解直角三角

形，于是一些四边形中较难的计算题不难获解。

略解：

图6

3.补成菱形

例7.如图7，凸五边形ABCDE 中，∠A=∠B ＝120°，EA ＝AB ＝BC ＝2，CD ＝DE ＝4，求其面积

分析：延长EA 、CB 交于P ，根据题意易证四边形PCDE 为菱形。 略解：

4.补成正方形

例8.如图8，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，∠BAC ＝45°，BD ＝3，DC ＝2。求△ABC 的面积。

分析：本题要想从已知条件直接求出此三角形的面积确实有些困难，如果从题设∠BAC ＝45°，AD ⊥BC 出发，可以捕捉到利用轴对称性质构造一个正方形的信息，那么问题立即可以获解。

略解：

5.补成梯形

例9．如图9，已知： G 是△ABC 中BC 边上的中线的中点，L 是△ABC 外的一条直线，自A 、B 、

C 、G 向L 作垂线，垂足分别为A 1、B 1、C 1、G 1。求证：GG 1＝41

(2AA 1＋BB 1

＋CC 1)。

分析：本题从已知条件可知，中点多、垂线多特点，联想到构造直角梯形来加以解决比较恰当，故过D 作DD 1⊥L 于D 1，则DD 1既是梯形BB 1C 1C 的中位线，又是梯形DD 1A 1A 的一条底边，因而，可想到运用梯形中位线定理突破，使要证的结论明显地显示出来，从而使问题快速获证。

略证：

图7

图8

图9

三、练习1、在△ABC 中，AC=BC ，D 是AC 上一点，且AE 垂直BD 的延长线于E ，又AE=1

2

BD ，求证：BE 平分∠ABC 。

2、如图，已知：在△ABC 内，∠BAC=60°，∠ACB=40°，P 、Q 分别在BC 、CA 上，并且AP 、BQ 分别是∠BAC 、∠ABC 的角平分线，求证：BQ+AQ=AB+BP

3、已知：∠BAC=90°，AB=AC ，AD=DC ，AE ⊥BD ，求证：∠ADB=∠CDE

4、设正三角形ABC 的边长为2，M 是AB 边上的中点，P 是BC 边上的任意一点，PA+PM 的最大值和最小值分别记为S 和，求：S 2

－t 2

的值。

A

B

Q

C

P

A