数学金融学之连续时间金融市场课件(复旦大学-雍炯敏

和100种股票的市场，则很难想象用前面章节中的方法能 得到深刻而简洁的结果。另一方面，不难想象，将离散的 问题“连续化”，比如，允许交易时刻是任何实数，交易 量也允许是任何实数，则许多诸如微积分、随机分析等强 有力的数学工具就能够在处理金融市场问题中发挥作用。 事实上，这种“连续化”的近似使得原来非常复杂的问题 变得相对容易了，我们将建立这种连续化市场模型下若干 数学金融问题的一般推论。 定义1.1 称市场M为无摩擦的，如果 （1）资产的交易时间和额度是连续的；（2）不存在交易费 和税收；（3）对资产的交易没有约束（比如，可以卖空 等）；（4）存借款利率相同。
bd (•))T , (•) ( ij (•))nd ,由上面(1.1)和(1.2)可知，当r(•), b(•)和 (•)给定时，债券和股票的价格过程就完全确定 了。因此，当r(•),b(•)和 (•)给定时，人们就认为一个（连 续时间的）证券市场给定了。我们将用M (r,b, )来记这个 市场以强调市场对r(•),b(•)和 (•)的依赖。
无摩擦市场是一种理想化的市场。研究这样的市场的目的 是揭示市场的许多内蕴性质。以后，在无特殊声明的情况 下，我们总假定市场M是无摩擦的。上面所说的市场比较 抽象，现在，让我们来给出一个具体的市场模型，即给出
市场中债券和股票的价格过程。记债券的价格过程为P0 (•) 假定它满足如下常微分方程：
dP0 (t) P0 (t)r(t)dt, P0 (0) 1 (1.1)
测的有界随机过程。
(M 2)(r,b, ) :[0,T ] R Rn Rnd为有界可测函数。
(M 3)
r,
bi
,
为常数。
ij
在上述条件中，(M1)最弱，(M 2)其次，(M 3)最强，以后我们
总假定市场M (r,b, )至少满足(M1)。容易知道，在(M1)条
件下，常微分方程(1.1)存在唯一解：
为了研究(1.1)和(1.2)，让我们引入一些空间，它们将在后 面的讨论中反复用到。
LFp (0,T ; Rm ) { :[0,T ] Rm (•)是{Ft}t0
T
适应的，E (s) p ds },1 p
0
LF (0,T ; Rm ) { :[0,T ] Rm (•)是{Ft}t0
是LF (0,T ; R)。
t
以后，我们称 (•)
1
r ( s)ds e 0
(1.8)
P0 (•)
为贴现因子过程，并且对任何{Ft }t0 适应过程~f (•) (•)
d[ln
Pi
(t
)]
[bi
(t
)
1 2
d
ij (t)2 ]dt
j 1
d
ij (t)d j (t)
j 1
(1.5)
所以，(1.2)的强解为
t
[bi
0
(s)1 2
d
ij
(
s
)
2
]ds
t
j1
0
d
ij (t )d
j1
j
(s)
P (t) p e ,0 t T ,1 i n i
i
(1.6)
其中r(t)称为时刻t的短期利率。我们记股票的价格过程为 Pi (•),i 1,2,, n。它们在时间区间[0,T ]内满足如下的随机 微分方程：
dPi
(t )
Pi
(t )bi
(t)dt
Pi
(t)
d j 1
ij
(t )di
(t),
1i n
Pi (0) pi
(1.2)
在方程（1.2）中，(•) (1(•)，，d (•))为带域流的概率
t
r (s)ds P0 (t) e0 ,t [0,T ]
(1.4)
由随机微分方程的一般理论，我们知道在(M1)条件下，(1.2)
存在唯一的强解。
为了得到该强解的表达式，我们对随机过程t ln Pi (t)运
用Ito公式：(注意，由于pi 0,我们可以证明Pi (t) 0,从而
ln Pi (t)有意义。)
第8章，连续时间证券市场 知识储备： 1，初步的随机分析知识；2，控制理论方面的知识。
说明：在随机分析中，人们遇到的等式或不等式往往是以
概率1成立的（未必是对所有的 均成立），在一般的
文献中，常常用记号a.s.来表示（英文almost surely的缩写） 为了记号简便起见，我们约定一般不用a.s（. 除非有特别的 强调），但是所有遇到的等式或不等式均理解为“以概率 1成立”。
从上面(1.6)可见，当pi 0时，必有Pi (t) 0。进一步，我
们不难证明：
Pi
(•),
P0 Pi
(•), P0 (•)1 LF (•)1 LF0 (0,T
(0,T ; R),
;
R) 1
i
n
(1.7)
需要注意的是，一般而言，对1 i n，Pi (•)和Pi (•)1未必
是有界的，所以，(1.7)第二式中出现的是LF0 (0,T ; R)而不
适应的，有界的}
Lp0 F
(0,T
;
R
m
)
LqF (0,T ; Rm ),1 p
q p
L0 F
(0,T
;
Rm
)
LqF (0,T ; Rm )
1q
(1.3)
现在，我们对市场M (r,b, )引入三种可能的假定：
(M1)(r, b, ) :[0,T ] R Rn Rnd为{Ft}t0 循序可
空间(, F,{Ft}t0 , P)上的一个d维标准Brown运动，其中
{Ft}t0为Brown运动(•)生成的自然 域流；bi (•)称为第i 种股票的平均回报率， ij (•)称为股票价格的波动系数（它 表示第j种不定因素 j (•)对第i种股票价格过程的影响），
pi 0为第i种股票的初始价格。我们记b(•) (b1(•)，，
Baidu Nhomakorabea
8.1证券市场的描述 假定在一个金融市场（记作M）中有n 1种资产：1种是所谓 的无风险资产（即其市场价值始终是上升的），我们称之 为债券或投资者的银行账户；另外n种是所谓的风险资产 （它们的市场价值未必总是上升的），为了方便起见，通 常这些风险资产可以认为就是普通的股票。我们知道，在 真实的金融市场中，所有涉及的量都是离散的。利用前面 章节中的结果，原则上我们可以解决血多问题（未定权益 定价、最优投资问题，等等）。但是，如果我们面临的是 一个具有1000个状态（它们可以代表1000个有影响的投资 机构或个人独立的参与投资所带来的不确定因素）、1000 个时段（如果每10秒采一次样，则3小时就有1080个时段）