正弦定理1
正弦定理的19种证明
正弦定理的19种证明一、正弦定理正弦定理是一个数学定理，说明每一个三角形的内角与临边之间的关系，为了方便研究，其通常使用三大正弦的另外三个隐函数的缩写形式的等式形式表示，即：sin A/a = sin B/b = sin C/c二、正弦定理的19种证明1、积分技巧。
积分是比较常见的证明正弦定理的方法，它涉及解决三角形的三角函数内角A和B之间关系的非线性微分方程，以及三元正弦定理的性质，例如通过解决变量θ的积分，以获得正弦定理的证明。
2、几何图形对比。
通过对比几何形状来证明正弦定理，即A与C有同样的形状，C与B也有相同的形状。
显然，相应两个角度之间的正弦值不变，因此就有了正弦定理。
3、证明三角形三条边的关系。
正弦定理证明三角形三条边有特定的关系，具体来说，通过三条边之间的一个三角几何关系，基于一对对比几何象限将三条边映射到三个内角，然后进一步推出正弦定理。
4、斜率技巧。
斜率技巧也是证明正弦定理的常用手段。
可以把三个内角中的两个角的Wrangel公式（斜率相等为例）结合起来，然后将此结果用三角函数表示出来，并用它们三个内角之间的正弦值对比实现等式证明。
5、角平分线公式。
角平分线公式也是常用的证明正弦定理的方法，即证明一个给定的三角形的外角等于两个内角的和，并用此结论建立正弦和余弦的三角函数，由此将正弦定理证明出来。
6、椭圆公式。
椭圆公式也是证明正弦定理的手段之一。
它依赖于椭圆的对称性，将椭圆抽象为三角形的形式，从而推进正弦定理的证明。
7、按照等式技术。
这种证明方法最常见，首先用角平分线技术证明一个给定的三角形的外角等于两个内角的和，然后将结论进行三角函数表示，建立正弦和余弦的三角函数，最后用斜率技术将等式推进，从而证明正弦定理的真实性。
8、解三角形的相交技巧。
使用相交技巧作为证明正弦定理的方法，首先从三角形的基本定义出发，将三角形中所有的点都定义一次，三角形中角A、B、C所在直线两边各定义一次，最后证明三角形中角A、B、C所在直线相交，并用此结论来证明正弦定理。
1.1.1正弦定理1
图2 C
D
思考
a b c ＝ 求证: ＝ sin A sin B sin C
＝ ？
2R
（2R为△ABC外接圆直径）
1.1.1正弦定理
在Rt△ABC中,各角与其对边的关系:
b a sin B sin A c c c sin C 1
c
不难得到:
b
A
c
a b c sin A sin B sin C
C
a
B
在非直角三角形ABC中有这样的关系吗?
C
b
A c
a
B
(1)若三角形是锐角三角形, 如图 1, 过点A作AD⊥BC于 D, AD , sin C 此时有 sin B AD c b
应用正弦定理化边为角：
＝
2R
a 2R sin A, b 2R sin B, c 2R sin C
a b c 或化角为边：sin A ,sin B ,sin C 2R 2R 2R
课堂练习：
1.已知ABC的三个内角之比为A : B : C 3: 2 :1,
2：31 ： 那么对应的三边之比a : b : c等于 ____________
B 30 , C 105
0
（三角形中大边对大角）
a sin C 2 6 2 c 3 1 sin A 4 2 2
课堂小结
（1）三角形常用公式： A B C
a b c 正弦定理： sin A sin B sin C
（2）正弦定理应用范围：
① ②
已知两角和任意边，求其他两边和一角 已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角。(注意解的情况)
(2)已知两边和其中一边的对角,求其他边和角.
1.1.1正弦定理
[评析 (1)已知三角形的任意两个角和一边，由三角形 评析] 已知三角形的任意两个角和一边 评析 已知三角形的任意两个角和一边， 内角和定理，可以先求出三角形的另一角， 内角和定理，可以先求出三角形的另一角，并由正弦定理计 算出三角形的另两边． 算出三角形的另两边． (2)运算过程中， 运算过程中， 要注意三角函数公式的应用， 运算过程中 要注意三角函数公式的应用， 此题中对 105°作了“拆角”处理． 作了“ 作了 拆角”处理．
[评析 (1)已知两边及一边对角时，解三角形可用正弦 评析] 已知两边及一边对角时， 评析 已知两边及一边对角时 定理，关键是准确判断解的情况，可能出现一解、 定理，关键是准确判断解的情况，可能出现一解、两解或无 解的情况． 解的情况． (2)在三角形中， 在三角形中， 在三角形中 注意运用大边对大角或大角对大边的性 局限于一个三角形中)． 质(局限于一个三角形中 ． 局限于一个三角形中
4．利用正弦定理解三角形的类型及其解的情况 ． (1)已知两角与一边，用正弦定理，有解时，只有一解． 已知两角与一边 用正弦定理，有解时，只有一解． 已知两角与一 (2)已知两边及其中一边的对角， 已知两边及其中一边的对角， 用正弦定理， 已知两边及其中一边的对角 用正弦定理， 可能有两 一解或无解． 解、一解或无解．在△ABC 中，已知 a，b 和 A 时，解的情 ， 况如下： 况如下：
A 为锐角
A 为钝角或直角
图 形
①a＝ ＝ bsinA< 关系式 bsinA a<b ②a≥b ≥ 两解 解的个数 一解
a< bsinA 无解
a>b 一解
a≤b ≤ 无解
已知两角及一边解三角形 已知三角形的两角和任一边解三角形，基本思路是： 已知三角形的两角和任一边解三角形，基本思路是： (1)若所给边是已知角的对边时， 若所给边是已知角的对边时， 若所给边是已知角的对边时 可由正弦定理求另一角 所对边，再由三角形内角和定理求出第三个角． 所对边，再由三角形内角和定理求出第三个角． (2)若所给边不是已知角的对边时， 若所给边不是已知角的对边时， 若所给边不是已知角的对边时 先由三角形内角和定 理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边． 理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边．
正弦定理1
§1．1．1正弦定理（第一课时）教材：人教A版一、教学目标a、知识与技能1、掌握正弦定理的内容，及推证正弦定理的过程；2、简单运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的基本问题．b、过程与方法1、在已有知识的基础上通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，培养的创新意识和观察与逻辑思维能力；2、通过对实际问题的探索，培养学生数学地观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生的知识的应用能力、协作能力和数学交流能力．c、情感态度价值观1、面向全体学生，创造平等的教学氛围，通过学生自主探索、合作交流，调动学生的主动性和积极性，亲身体验数学规律的发现，培养学生勇于探索、善于发现、不畏艰辛的创新品质，增强学习的成功心理，激发学习数学的兴趣；2、培养合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过平面几何、三角形函数、正弦定理等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一;3、利用几何画板软件演示正弦定理，用观察到的事实说话，从而受到辩证唯物主义观的教育，培养学生的学习数学的兴趣．二、教学重难点教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用．教学难点：正弦定理的探索及猜想提出过程．三、教辅手段板书、运用多媒体辅助教学．四、教学模式采用引导发现模式——教师创设问题情境、启发讲授，引导学生探索学习．五、 教学过程一、创设情境[PPT 展示]问题一：人人都知道，世界上最高的山峰是喜玛拉雅山脉的珠穆朗玛峰，也被称为神女峰，被测得是8848米?科学家们是怎样测出来的呢？设计意图：众所周知兴趣是最好的老师，如果一节课有一个良好的开头，那就意味着成功的一半，因此我设计一个学生比较感兴趣的问题，吸引学生注意力，使其立刻进入到研究者的角色中来！问题二：设A,B 两点在河的两岸, 只给你米尺和量角设备,不过河你可以测出它们之间的距离吗?[师] 我们这一节所学习的内容就是解决这些问题的有力工具．设计意图：我通过从学生日常生活中的实际问题引入，与问题一形成对照，思维既有延续性又产生在强烈的意识冲突，造成学生用已有知识不能解决的问题冲突，激发学生思维，激发了解决问题的迫切愿望，激发学生的求知欲二、发现定理[师] 初中时我们已经学过解直角三角形，那么现在请同学回忆一下直角三角行的边角关系．[生]如图在Rt ABC ∆中有222a b c +=，sin a c A =，sin b c B =，90A B ︒∠+∠=．[师]对！那也就是说利用直角三角形中的这些边角关系对任意的直角三角形A B C cb a的两边或一边一角可以求出这个三角形的其他边和其他角．[师]在直角三角形中，你能用其他的边和角表示斜边吗？[生]能．在Rt ABC ∆中，因为sin a c A =，sin b c B =，所以sin a c A =，sin bc B =．[师]我们观察这两个式子可知c 边能用a 边与其所对角的正弦的比值来表示，也可以用b 边与其所对角的正弦的比值来表示，那么c 边能否用c 边与其所对角的正弦的比值来表示呢？[生]能．因为sin sin901C ︒==，所以sin c c C =．[师]那么由上面的三个式子我们就可以得出sin sin sin a b c c A B C ===． 从而在Rt ABC ∆中，有sin sin sin a b c c A B C ===．思考：那么对于任意的三角形，以上的关系式是否仍然成立？设计意图：爱因斯坦说过发现问题比解决问题更重要，这样设计是为了让学生体验了发现的过程，从学生熟悉的直角三角形的的边角关系的知识内容入手，观察发现转化到一般的三角形，然后产生猜想，进而完成一般性证明，培养学生从特殊到一般思想意识，培养学生创造性思维能力．[师]请同学们和老师一起看看用几何画板是怎样演示这一般的三角形的边角关系，看看任意的三角形是否有sin sin sin a b c c A B C ===成立呢？[师]同学们观察到了什么？[生] ,,sin sin sin a b c c c c A B C ≠≠≠，但是sin sin sin a b c A B C==． 设计意图：通过几何画板就可以让学生从直观上进一步猜测正弦定理，并且可以看到在一一般的三角形中ｃ不等于边比对角的正弦值，用观察到的事实说话，从而是学生受到辩证唯物主义观的教育，也明白现代科技的重要性．三、证明定理[师] 我们虽然有了多媒体技术的支持，对任意的三角形，如何用数学的思想方法证明sin sin sin a b c A B C==呢？前面探索过程对我们有没有启发？学生分组讨论． [师]（引导）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图所示，当ABC ∆是锐角三角形时，作AB 上的高是CD,根椐三角形的定义,得到sin sin CD a B b A ==，则sin sin a b A B =， 同理可得sin sin b c B C =，从而sin sin sin a b c A B C ==．类似的可推出，当ABC ∆是钝角三角形时，以上的关系式仍然成立．（证明过程由学生课后自己推导） （法二片段教学中省略）法二：当ABC ∆为钝角三角形时，过A 作单位向量垂直于， +=AB 两边同乘以单位向量，j ⋅ (+)=j ⋅则：⋅+⋅=⋅，∴|j |⋅||cos90 +|j |⋅||cos(90)C -= |j |⋅||cos(90)A - ， ∴A c C a sin sin =， ∴sin sin a c A C =，同理：若过C 作j 垂直于CB 得：sin sin b c B C = ∴sin sin sin a b c A B C ==，当ABC ∆为钝角三角形时， 设90A ∠> ，过A 作单位向量j 垂直于向量，同样可证得：A C B j A C Bjsin sin sin a b c A B C ==．从上面的研究探讨过程，可得以下定理：解三角形:已知三角形的几个元素求其他元素的过程四、及时体验（PPT 展示）例：在ABC ∆中，，解三角形． 解：根据三角形内角和定理，0180()=-+C A B000180(32.081.8)=-+ 066.2=；根据正弦定理，0sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ；根据正弦定理，0sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器．[师]小结：知道三角形的两个内角和任何一边，利用正弦定理可以求出三角形中的其它元素．设计意图：让学生自己解决问题，提高学生学习的热情和动力，使学生体验到成功的愉悦感，变“要我学”为“我要学”，“我要研究”的主动学习，[师]现在我们来回答一下上课前老师提问的问题：设A,B 两点在河的两岸, 只给你米尺和量角设备,不过河你可以测出它们之间的距离吗?[生]可以．如图所示，利用正弦定理可得到 0032.0,81.8,42.9A B a cm ===bsin βAB =sin(α+β)设计意图：利用正弦定理，让学生体会用新的知识，新的定理，可以解决之前不能解决的问题，激发学生不断探索新知识的欲望．五、归纳提升 正弦定理： sin sin sin a b c A B C ==主要应用：知道三角形的两个内角和任何一边，利用正弦定理可以求出三角形中的其它元素．设计意图：让学生在一次对把所学内容进行当堂总结，有利于学生将新知识内化成自己的知识．六、课后探究（1）你还可以用其它方法证明正弦定理吗？（2）知道三角形的两个条边和任何一角，利用正弦定理可以求出三角形中的其它元素吗？（3）sin sin sin a b c kA B C ===那么这个k 值是什么呢?你能用一个和三角形有关的量来表示吗? 设计意图：通过（１）让学生对正弦定理进行再深入的探究，让学生从多角度进行证明定理，展示自己的知识，培养学生解决问题的能力，增强学习的兴趣，爱好，在知识的形成、发展过程中展开思维，培养推理的意识；通过（2）ABC αβb c让学生更深入的研究正弦定理；通过（3）可以让学生将正弦定理和所学的圆的知识联系在一起，培养学生用联系的观点看问题．七、作业设计作业：第10页[习题1．1]A 组第1、2题．提高作业：(1)在ABC ∆中，已知a =b =45A =︒，解三角形．(2)b =b =b =并解三角形，观察解的情况．设计意图：人的发发展不可能整齐划一的，我们必须承认差异、尊重差异，不同的人在数学上得到不同的发展，所以请所有同学完成书面作业，每个学生都需要掌握，提高作业留给学有余力的学生，让学生的此基础上提升自我．。
高三数学必修5课件：正弦定理(1)(2)
思考：对于一般三角形，上述结论是否成立 思考：对于一般三角形，
在锐角三角形中， 在锐角三角形中，
作CD ⊥ AB于点D
CD = sin A,即CD = b sin A b CD = sin B,即CD = a sin B a
∴ b sin A = a sin B a b a c 即 = 同理： = sin A sin B sin A sin C a b c ∴ = = sin A sin B sin C
Da 同理 ∴
S∆ABC = absin C = bc sin A = ac sin B 2 2 2 abc a b c ∴ = = = 2S∆ABC sin A sin B sin C
1 1 S∆ABC = acsin B = absinC 2 2 1 S∆ABC = bcsin A 2 1 1 1
a b c ∴ = = sin A sin B sin C
由以上三种情况的讨论可得： 由以上三种情况的讨论可得： 正弦定理： 在一个三角形中，各边的长和 正弦定理： 在一个三角形中， 它所对角的正弦的比相等， 它所对角的正弦的比相等，即
a b c = = sin A sin B sin C
思考： 思考：用“向量”的方法如何证明“正弦定理 向量”的方法如何证明“
∆ABC中，b = 3 , B = 60 0 , c = 1, 求a和A, C
C = 30 , A = 90 , a = 2
1.1.1 正弦定理
第二节
思考： 思考：正弦定理可以解哪些类问题 已知两角和任一边， ①已知两角和任一边， 求其他两边及一角。 有唯一解） 求其他两边及一角。 （有唯一解） 已知两边和其中一边对角， ②已知两边和其中一边对角， 求另一边的对角。 求另一边的对角。 何时有一解，二解，无解) （何时有一解，二解，无解
正弦定理定理公式
正弦定理定理公式正弦定理（Sine Law）是三角形中常用的一个定理，它揭示了三角形的边与角之间的关系。
正弦定理可以用来求解未知边长或角度的问题，在实际生活中有着广泛的应用。
正弦定理的表述如下：在任意三角形ABC中，设三边分别为a、b、c，对应的角为A、B、C，则有以下等式成立：a/sinA = b/sinB = c/sinC通过正弦定理我们可以得出以下三个推论：推论1：设三角形ABC的边长分别为a、b、c，对应的角为A、B、C，则有以下等式成立：sinA/a = sinB/b = sinC/c推论2：设三角形ABC的边长分别为a、b、c，对应的角为A、B、C，则有以下等式成立：a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R（其中R为三角形ABC外接圆的半径）推论3：设三角形ABC的边长分别为a、b、c，对应的角为A、B、C，则有以下等式成立：sin(A-B) = sinC正弦定理的应用非常广泛，下面我们来看几个实际问题的例子。
例题1：已知三角形ABC中，角A=60°，角B=45°，边AC=8cm，求边BC的长度。
解：根据正弦定理，我们可以得到以下等式：BC/sinB = AC/sinABC/sin45° = 8cm/sin60°BC/（√2/2） = 8cm/（√3/2）BC = 8cm * (√2/2) * 2/√3BC = 8√2/√3 cm所以边BC的长度约为9.24cm。
例题2：已知三角形ABC中，角A=30°，角B=60°，边AC=10cm，求边BC的长度。
解：同样根据正弦定理，我们可以得到以下等式：BC/sinB = AC/sinABC/sin60° = 10cm/sin30°BC/（√3/2） = 10cm/（1/2）BC = 10cm * (√3/2) * 2BC = 10√3 cm所以边BC的长度约为17.32cm。
正弦定理(1)
2 ;
当当当当当AAAA＝＝A＝＝＝11212101202°20°0时0°时°时°时时,,CC,C＝,,＝CC＝＝1＝181801810°808°－0°－0－°°－44－545°45°4－5°－5－°°－11－21201202°10°＝02°＝＝°0＝1°151＝5°15°,5°,c1c,°＝c5＝,＝c°＝b,bscssbissi＝inbsinnisninsinBinBbCnCsBsCi＝B＝inC＝n＝BC66＝－6－226－2－2262.2－.22. .
1.1.1 正弦定理
思考 1 如图，在 Rt△ABC 中，sina A，sinb B，sinc C分别等于什么？
思考 2 在一般的△ABC 中，sina A＝sinb B＝sinc C还成立吗？
正弦定理证明：
A
A
B Ob C B`
OC B` B b
b sinB =2R
A b OC
B
a＝ b ＝c sinA sinB sinC
∴C＝180°－(A＋B)＝180°－(60°＋30°)＝90°.
∴c＝ b sin
1 B＝1＝2.
2
(3)根据正弦定理，sin A＝asin B＝ 3sin 120°＝3>1.
b
1
2
因为 sin A≤1.所以 A 不存在，即无解．
引申探究 若把本例中的条件“C＝60°”改为“A＝60°”，则角C有 几个值？
＝2R.
梳理 在任意△ABC 中，都有sina A＝sinb B＝sinc C=2R，这就是正弦定理.
特别提醒：正弦定理的特点 (1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立. (2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的 正弦的连等式. (3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关 系，可以实现三角形中边角关系的互化.
数学公式知识：正弦定理及其应用
数学公式知识：正弦定理及其应用正弦定理是三角函数的基本知识之一，也是高中数学中的常见知识点。
正弦定理的应用范围非常广泛，通过正弦定理可以求解各种三角形的不同长度，并且可以通过正弦定理推导出其他的三角形定理。
本文将深入讲解正弦定理及其应用。
一、正弦定理的基本概念正弦定理是用于求解三角形任意一边或角的定理。
在任意三角形ABC中，三角形ABC的三边分别为a、b、c（如图1所示），则正弦定理的表述如下：c/sin C = b/sin B = a/sin A其中，sin A、sin B、sin C分别为三角形ABC中的角A、B、C的正弦值，a、b、c分别为三角形ABC的对应边长。
这个公式可以通过对三角形ABC的边和角的关系进行推导得到。
二、正弦定理的应用1.解决三角形长度知道任意两个角和对应的一个边长，我们可以通过正弦定理计算出另外两个边长。
例如，我们知道三角形ABC中∠A=45°, ∠C=30°，已知c=10，则可以利用正弦定理得到：a/sin A = c/sin C，即a/sin 45°=10/sin 30°通过简单的计算可以得到a的值为：a=10(sin 45°/sin 30°)=10(√2/1/2)=10√2同样地，我们可以通过正弦定理计算出b的值为：b/sin B = c/sin C，即b/sin 180°-A-B = 10/sin 30°通过简单的计算可以得到b的值为：b=10(sin 150°/sin 30°)=10(√3/2/1/2)=5√32.求解三角形的角度知道三角形的两条边和对应的夹角，同样可以通过正弦定理计算出第三条边的长度。
例如，我们知道三角形ABC中已知a=5, b=8，且∠A=60°，则可以利用正弦定理计算c的长度为：c/sin C = a/sin A，即c/sin 180°-A-B = 5/sin 60°通过简单的计算可以得到c的值为：c=5(sin 120°/sin 60°)=5(√3/2/3/2)=5√3知道三个边的长度，我们还可以用反正弦函数求解三角形各角的大小。
正弦定理余弦定理
03
正弦定理与余弦定理的关 联
正弦定理与余弦定理的相似之处
01
两者都是关于三角形边角关系的定理，是三角学中 的基本定理之一。
02
它们都可以用来解决与三角形相关的问题，如求角 度、边长等。
03
正弦定理和余弦定理在形式上具有一定的对称性， 反映了三角形的内在规律。
正弦定理与余弦定理的不同之处
01
02
03
正弦定理主要应用于求解三角形 的角度，特别是当已知两边及其 夹角时；而余弦定理则更常用于 求解三角形的边长，特别是当已 知两角及一边时。
正弦定理中的角度是通过正弦函 数来表达的，而余弦定理中的角 度则是通过余弦函数来表达的。
正弦定理和余弦定理在应用上有 一定的互补性，可以根据具体问 题选择使用。
总结词
余弦定理是三角形中一个重要的定理，它描述了三角形各边与其对应角余弦值之间的关系。
详细描述
余弦定理是三角学的基本定理之一，它指出在任意三角形ABC中，任意一边的平方等于其他两边的平 方和减去两倍的另一边的长度与相邻两边的乘积。数学公式表示为：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos(A) 。
交流电
交流电的电压和电流是时间的正 弦函数，这使得正弦定理在电力 系统中有着广泛的应用。
声学
声音的传播和反射可以用正弦和 余弦函数来描述，这使得余弦定 理在声学中有重要应用。
三角函数在工程中的应用
1 2
结构设计
在建筑和机械设计中，正弦和余弦定理常被用来 计算角度、长度等参数，以确保结构的稳定性和 安全性。
余弦定理的应用
总结词
余弦定理在解决三角形问题中具有广泛 的应用，包括求解角度、判断三角形的 形状以及解决实际问题等。
正弦定理和余弦定理-PPT课件
22
类型一
正弦定理和余弦定理的应用
解题准备:
1.正弦定理和余弦定理揭示的都是三角形的边角关系,根据题 目的实际情况,我们可以选择其中一种使用,也可以综合起 来运用.
2.在求角时,能用余弦定理的尽量用余弦定理,因为用正弦定 理虽然运算量较小,但容易产生增解或漏解.
23
3.综合运用正､余弦定理解三角形问题时,要注意以下关系式
32
∵0<A<π,0<B<π,∴sin2A=sin2B
∴2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B= .
2
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.
33
解法二:同解法一可得2a2cosAsinB=2b2cosBsinA,
由正、余弦定理得
a2b•
b2
c2
a
2
=b2a•
a2 c2 b2
2bc
2ac
1 2 3 2 1 3.
2
2
(2)当|BC|=4时,S△=
1 2
|AB|·|BC|·sinB
1 2 3 4 1 2 3.
2
2
∴△ABC的面积为 2 3 或 3.
27
[反思感悟]本题主要考查正弦定理､三角形面积公式及分类 讨论的数学思想,同时也考查了三角函数的运算能力及推 理能力.
28
40
设云高CM x m,则CE x h,
DE x h, AE x h .
tan
又AE x h , x h x h
tan tan tan
解得x tan tan gh hgsin( ) m.
tan tan
sin( )
41
[反思感悟]在测量高度时,要理解仰角､俯角的概念.仰角和俯 角都是在同一铅垂面内,视线与水平线的夹角,当视线在水 平线之上时,称为仰角;当视线在水平线之下时,称为俯角.
正弦定理1
B
练习
ABC中， （1）已知c＝√3，A＝45°，B＝75°，
2 ， 则a＝√ ____ （2）已知c＝2，A＝120°，a＝2√3，
则B＝____ ， 30°
（3）已知c＝2，A＝45°，a＝ 2√6 ，则 3 B＝_____________. 75°或15°
小结
1. 正弦定理 a b c ＝ ＝ ＝2R sinA sinB sinC
a sin C c sin A
同理，若过C作
a c sin A sin C
j
垂直于
CB
c b 得： sin C sin B
a b c sin A sin B sin C
； / 上海墙体彩绘 ；
天,都毁掉几道武道经脉,慢慢の摧毁.呐个畜生,就是变态！渣滓！能够想象,陆晓月,就是想要自杀,都没有任何の历气.呐个魏冷,就是想亲眼看着,陆晓月在挣扎之中,渐渐の死去.鞠言若是再晚来几天,甚至是晚来壹天,陆晓月可能就撑不住死去了.就是呐个畜生,对陆晓月下呐样の 毒手.此事此刻,鞠言心中の冷意,仿佛能将燃烧の烈焰瞬间冻结.他の嘴角,浮现出壹抹,诡异の笑容出来.“呐位前辈！”鞠言,看向年兰,淡淡の语气开口.“能求你壹件事吗?”鞠言,平缓の问.年兰,微微壹愣申.随后,她の双眉,微微皱了壹下看着鞠言.虽然说,她也非常の愤怒,憎恨 魏家の声呐种行为.但是,如果鞠言是要她帮忙斩杀魏冷,拿她恐怕是不能答应の.壹来,她年家虽然与魏家关系不睦,但是还远不到撕破脸皮の地步.二来,就算她想动手杀呐个魏冷畜生,也肯定是无法达成.魏家の族长长老等等声物,不可能眼睁睁看着魏家第壹天才魏冷被她斩杀.“请 前辈,帮俺照顾晓月.”鞠言,接着说出呐样の壹句话来.他请年兰帮忙,就是要对方照顾陆晓月.接下来,他打算要让魏家,付出血の代
正弦定理(1)
§2.1正弦定理（1）（曹怡 西工大附中 710062）【教材版本】北师大版必修五第二章第一节【教材分析】1.知识内容与结构分析（1）知识内容分析本节所要学习的正弦定理是表示三角形中边角关系的一个定理。
在初中学生学习过勾股定理及关于任意三角形中大边对大角、小边对小角的边角关系，本节内容是这一关系由定性到定量的转化，定量的处理三角形边角之间的这一关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系有着密切的联系。
让学生从已有的几何知识出发，提出探究问题“在任意三角形中有大边对大角、小边对小角的边角关系，我们是否能得到这个关系的准确量化表示呢？”，用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构。
由于涉及边角之间的数量关系，就比较自然地引导到三角函数上去，通过三角函数及所学过的有关知识进行对这一关系量化表示。
（2）结构分析本节课的主要任务是发现并证明正弦定理，在课型上属于定理探究课。
一般概念教学课及定理探究课的教学模式是：发现―证明―剖析―应用。
本节内容从直角三角形的特征到探讨一般三角形的特征，再到应用，是一个典型的定理公式教学课型。
本节传统处理方式是先推证B ca A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆。
各式除以abc 21而得到正弦定理。
而现在则以向量方法进行定理推证，并贯穿始终，利用平面向量的数量积把三角形的边长与内角的三角函数联系起来。
（3）正弦定理的地位和作用本节课是对三角形边角关系的又一延拓，同时，又是余弦定理的一个引子，可谓起到了承上启下的作用。
它结合三角函数定量地表示了三角形中大边对大角、小边对小角的边角关系，为解三角形提供了一个重要途径。
在解斜三角形中正弦定理主要解决两类题：①已知三角形的两角和任一边，求三角形的其它边与角；②已知三角形的两边和其中一边的对角，求三角形的其它边和角。
1.1.1正弦定理(1)
；
根据正弦定理，
；
根据ห้องสมุดไป่ตู้弦定理，
评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。
巡视指导
归纳：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。
相互交流，给出答案
边AB的长度随着其对角 C的大小的增大而增大。能否
浏览目标
自主学习
完成任务
明确疑问
合作学习
展示讲解推导过程
课时计划
课题
1．1．1正弦定理
课型
新授课
班别
1.5
1.6
时间
教学目标
1、通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
2、让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
教学过程
教学内容
及流程
教师活动
学生活动
备注
1、创设情境
如图1．1-1，固定 ABC的边CB及 B，使边AC绕着顶点C转动。
思考： C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？
2、目标任务
1、理解正弦定理
2、能够应用正弦定理解决简单问题
3、个体自学
任务：
1、阅读教材p2——4。
2、明确正弦定理及其推理过程。
3、知道什么是解三角形。
四、互动交流
明确答案
交流疑问
五、展示汇报
如图1．1-3，当 ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，
有CD= ,则 ，
正弦定理 1
2sin A sin B （3）在ABC中，a : b : c 1: 3: 5, ______ . sin C
4 在ABC中，若
A．等腰三角形 C．直角三角形
a cos A 2
b cos B 2
c cos C 2
，则ABC是 D
正弦定理
（1）直角三角形中的边角关系： A c B a b C
（2）锐角三角形中的边角关系：
（3）钝角三角形中的边角关系：
正弦定理
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦 的比相等，即
a b c 2R sin A sin B sin C
一般地，把三角形的三个角A, B, C和它们的对边a, b, c 叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的 过程叫做解三角形。
B．等腰直角三角形 D．等边三角形
例3. 已知在ABC中c 10, A 45, C 30，解三角形。
类型1：已知两边角及一边，解三角形。
例4.已知在ABC中，b 3, B 60, c 1，解三角形。
类型2：已知两边及其中一边的对角，解三角形。
通过本节学习,我们一起研究 了正弦定理的证明方法,同时了解了 向量的工具性作用,并且明确了利用 正弦定理所能解决的两类有关三角 形问题:已知两角一边;已知两边和 其中一边的对角.
（1）在 ABC 中，一定成立的等式是（ C ）
A. a sin A b sin B C . a sin B b sin A B . a cos A b cos B D. a cos B b cos A
sin 3B (2)在ABC中，C 2 B, 则 等于( B ) sin B
(1)正弦定理和余弦定理 知识梳理
正弦定理和余弦定理 知识梳理一、正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R （其中R 是三角形外接圆的半径） 应用：①已知两角和任意一边，求其他边和角；②已知两边和其中一边的对角，求其他边和角.例1：（1）已知在B b a C A c ABC 和求中，,,30,45,1000===∆.（2）在ABC ∆中，已知a =16，b =，A=30°，解三角形.由正弦定理可以变形：（1）a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；（2）a sin A ＝ b sin B ＝ c sin C = a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C（3）a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；（4）sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R等形式，解决不同的三角形问题． 例2.（1）在△ABC 中，a=5，b=3，则sin :sin A B 的值是___________.（2）已知△ABC 中，A ∶B ∶C ＝1∶1∶4，则a ∶b ∶c 等于___________.（3）在△ABC 中，若A ＝60°，a ＝3，则a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝________. 二、余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ．余弦定理可以变形：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab. 应用：①已知两边及夹角就可以求出第三边；②知三角形的三条边就可以求出三个角．例3.（1）在△ABC 中，已知a =b =，450=∠c ，求c .（2）已知三角形的三边长分别为a =3、b =5、c =7，求最大角.三、应用（1）三角形面积：S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B. （2）判断角的情况：大角对大边，小角对小边，在△ABC 中，若222a b c +=，则角C 是直角；若222a b c +<，则角C 是钝角；若222a b c +>，则角C 是锐角．（3）判断三角形的形状，主要有两种途径： ①化边为角:a ＝2R sin A ， b ＝2R sin B ， c ＝2R sin C ；②化角为边:sin A ＝a 2R ， sin B ＝b 2R ， sin C ＝c 2R， cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ， cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ， cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.例4.(1).2,30,O ABC AB BC B ABC ∆===∆在中，求的面积.（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2s i n (2)s i n (2)s i n a A b c B c b C =-+-，①求角A 的大小；②若sin sin B C +=ABC 的形状.。
§1 1.1 正弦定理
已破损.现测得如下数据：BC=2.57cm，CE=3.57cm，
BD=4.38cm, C 120 , B 45 .为了复原,请计算原 玉佩两边的长（结果精确到0.01cm）. 分析：将BD,CE分别延长相交于一点A，在
D
A
△ABC中，已知BC的长及角B与C，可以通过
正弦定理求AB，AC的长.
1 中， AB ( x, y), AC (u, v) .求证 ABC 的面积为
1 | xv yu | . 2 1 证明： S | AB | | AC | sin A 2 S
1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 | AB | | AC | sin 2 A 2 2 | AB | | AC | (1 cos 2 A) 2 2 | AB | | AC | (| AB | | AC | cos A) 2 2 2 (| AB | | AC |) ( AB AC )
在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的
a b c sin A sin B sin C
变式:
a b b c c a ; ; 1 sin A sin B sin B sin C sin C sin A
2 sin A :sin B :sin C a : b : c
例1 某地出土一块类似三角形刀状的古代玉佩，其一角
t 2 t1 8.6 2.0 6.6(h)
答：约 2h 后将要遭受台风影响，持续约 6.6h.
问题1 由例2我们发现，已知两边和其中一边的对角，解三角形 时会出现两解的情况.还会出现其他情况吗？你能从代数或 几何角度给出解释吗？
问题2 如图，在Rt △ABC中，斜边AB是△ABC外接圆的直径（设 Ｒt△ABC外接圆的半径为R），因此
1.1.1正弦定理1
1.1.1 正弦定理
复习三角形中的边角关系
（一）任意三角形中的边角关系 A B C 180 1、角的关系2、边的关系 3、角关系abc, ab c
大角对大边
（二）直角三角形中的边角关系 （角C为直角）
1、角的关系
2、边的关系 3、边角关系
A B 90
2 2
a b c
2
直角三角形中:
a b , sin B , sin C 1 sin A c c
A
即c
a b c ,c ,c sin A sin B sin C
b
c
\
a b c sin A sin B sin C
B a 探索：直角三角形的边角关系式对任意三角形是否成立？
变式:
a b b c c a (1) ; ; sin A sin B sin B sin C sin C sin A
(2)sin A : sin B : sin C a : b : c
概念：解三角形
一般的，把三角形的三个角A,B,C和它们的对边 a,b,c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元 素求其他元素的过程叫做解三角形。 思考：利用正弦定理可以解决一些怎样的 解三角形问题呢？
C
如图:
C C
1
B a c A C1 O C
c c 2R 1 sin C sin C
b
b a 2 R， 2R 同理： sin B sin A
a b c 2 R(R为外接圆半径) 即得： sin A sin B sin C
在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等, 即 a b c 2 R(R为外接圆半径 ) sin A sin B sin C
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ABC中 已知a=2cm a=2cm， 例3、 在△ABC中，已知a=2cm， c= 6 cm，A=45°，解三角形. cm，A=45° 解三角形.
题型二 已知两边及其中一边的对角， 求其它元素. 练习3.在△ABC中，已知 在 中 已知a=2cm， ， c= 2 3cm，A=30°，解三角形 ， ° 解三角形.
例4：若a=2,b=4,A=120 °，解三角形 题型二 已知两边及其中一边的对角， 求其它元素. 练习4：a=2,b=6,A=30 °,解三角形
已知边a,b和角Ａ，求其他边和角． 已知边 和角Ａ，求其他边和角． 和角Ａ，求其他边和角
Ａ为锐角
Ｃ b Ａ a<bsinA 无解 Ｃ b Ａ a>b 一解 a Ａ b Ｃ a Ｂ b Ｃ a b Ｃ a Ｂ
ο
°
sin A
C
sin B
sinC
b
A
a c
B
注：R为⊿ABC 的外接圆半径
知识探究 在锐角三角形中是否成立？
a b c = = = 2R sin A sin B sinC
C b A a
2R 2R
c
B
知识探 究
在钝角三角形中是否成立？
a b c = = = 2R sin A sin B sinC
D
C a b A c B
Ａ Ｂ２ Ｂ１ Ａ a=bsinA bsinA<a<b a≥b 两解 一解 一解 Ｃ a b Ａ Ｂ a≤b 无解
Ａ为直角或钝角
a
练习： 练习：
1、判断满足下列的三角形的个数: 判断满足下列的三角形的个数: (1)b=11, a=20, B=30 ° 两解 (2)c=54, b=39, C=120 °一解 (3)b=26, c=15, C=30 ° 两解 (4)a=2,b=6,A=30 ° 无解
E
β
形成结论
在任意三角形中均有： a b c = = = 2R sin A sin B sinC 在一个三角形中， 在一个三角形中，各边和它所对 角的正弦之比相等. 角的正弦之比相等. 我们称之为正弦定理 我们称之为正弦定理
形成结论
三角形的三个角和它们的三条对边 叫做三角形的元素. 已知三角形的几个元素求其它元素 的过程叫做解三角形.
a c = sin A sinC
每个等式都表示三角形的两个角 和它们的对边的关系.利用正弦定理可以解决两类解三角形的 3.利用正弦定理可以解决两类解三角形的 问题： 问题： 已知两角和一边解三角形； （1）已知两角和一边解三角形； 已知两边和其中一边的对角解三角形. （2）已知两边和其中一边的对角解三角形. 对于第二类问题，要注意确定解的个数. 对于第二类问题，要注意确定解的个数.
高一数学必修五第一章
解三角形
1.1 正弦定理和余弦定理 正弦定理（ 1.1.1 正弦定理（1）
知识探究
在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a， Rt△ABC中 90° BC＝ AC＝ AB＝ sinA，sinB， AC＝b，AB＝c，则sinA，sinB，sinC 分别等于什么？ 分别等于什么？ a b c = 2R = =
已知边a,b和角Ａ，求其他边和角． 已知边 和角Ａ，求其他边和角． 和角Ａ，求其他边和角
布置作业
1、阅读课本8-9页《探究与发现》， 并记忆解的个数的结论。
2.在∆ABC中，a = 2, b = 2, A = 45 , 求B
ο
3.已知三角形的两角分别是45 , 60 ， 它们夹边的长是1，求最小边长。
课堂小结
1.三角形的三个内角及其对边叫做 1.三角形的三个内角及其对边叫做 三角形的元素， 三角形的元素，已知三角形的几个 元素求其他元素的过程叫做解三角 形.
课堂小结
2.正弦定理的外在形式是公式， 2.正弦定理的外在形式是公式， 正弦定理的外在形式是公式 它由三个等式组成即
a b b c = = sin sinC， sin A sin B ， B
定理应用
a b c = = = 2R sin A sin B sinC
用正弦定理解三角形适用于两种情形： ① 已知任意两角及一边； ② 已知任意两边与其中一边的对角.
典例分析
例1、在△ABC中，已知A=45°，B=60°， ABC中 已知A=45° B=60° A=45 a=2cm，解三角形. a=2cm，解三角形. 题型一 已知两角一边，求其它元素. 练习1.课本第4页 第1题
典例分析
例2
在△ABC中，已知b= 3 cm， ABC中 已知b= cm， c=1cm，B=60°，解三角形. c=1cm，B=60° 解三角形.
题型二 已知两边及其中一边的对角， 求其它元素.
中 已知b= ， 练习2. 在△ABC中，已知 2 cm， c=4cm，B=30°，解三角形 ， °
典例分析