应用题,线性规划

应用题最后一卷 三题

一、类型 基本不等式

1、某种商品第一天销售价为42元,以后每天提价2元,且在开始销售的前30天内每天的销售量与上市天数的关系是5100()x g x x

+=(其中x 为天数). (1)写出上市30天内商品销售价格与天数x 的关系式.

(2)求销售30天内,哪一天的销售额最小,并求出最小值.

二、类型 换元成二次函数

2、销售甲、乙两种商品所得利润分别是12,y y 万元，它们与投入资金x

万元的关系分别为

12,y a y bx ==（其中,,m a b 都为常数）

，函数12,y y 对应的曲线12,C C 如图所示． （1）求函数12,y y 的解析式；

（2）若该商场一共投资8万元经销甲、乙两种商品，求该商场所获利润的最大值．

解：（1）由题意0835m a m a +=⎧⎪⎨+=⎪⎩

，解得5

4,54-==a m ，

14,(0)5

y x =≥………………………………………………4分 又由题意588=b 得5

1=b 215

y x =(0)x ≥……………………………………………7分 （2）设销售甲商品投入资金x 万元，则乙投入（8x -）万元

由（1

）得41(8)55

y x =+-，(08)x ≤≤………………………10分

,(13)t t =≤≤，则有

2149555y t t =-++=2113(2)55

t --+，(13)t ≤≤， 当2=t 即3=x 时,y 取最大值135

. 答：该商场所获利润的最大值为135

万元．………………………………16分

线性规划的应用题三题

1、 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨、B 原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是万元．

【解析】设生产甲产品x 吨、乙产品y 吨，

则获得的利润为z ＝5x ＋3y .

由题意得⎩⎪⎨⎪⎧

x ≥0，y ≥0，3x ＋y ≤13，2x ＋3y ≤18，

可行域如图阴影所示．

由图可知当x 、y 在A 点取值时，z 取得最大值，此时x ＝3，y ＝4，z ＝5×3＋3×4＝27(万元)．

2、家具公司制作木质的书桌和椅子，需要木工和漆工两道工序，已知木工平均四个小时做一把椅子，八个小时做一张书桌，该公司每星期木工最多有8000个工作时；漆工平均两小时漆一把椅子、一小时漆一张书桌，该公司每星期漆工最多有1300个工作时，又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是15元和20元，试根据以上条件，问怎样安排生产能获得最大利润?

【解析】设制作x 把椅子，y 张桌子约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧∈∈≤+≤+N

y ,N x 1300y x 28000y 8x 4，

目标函数：z=15x+20y.

如图：目标函数经过A 点时，z 取得最大值

⎩⎨⎧=+=+1300y x 28000y 8x 4 ⎩⎨⎧==⇒900

y 200x 即A(200, 900) ∴ 当x=200, y=900时，z max =15×200+20×900=21000(元)

答：安排生产200把椅子，900张桌子时，利润最大为21000元.

3、某公司计划2010年在甲、乙两个电视台做广告总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？

【解】设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y 分钟，总收益为z元，

由题意得

300 50020090000

0,0

x y

x y

x y

+≤

⎧

⎪

+≤

⎨

⎪≥≥

⎩

，

即

300 52900

0,0

x y

x y

x y

+≤

⎧

⎪

+≤

⎨

⎪≥≥

⎩

，

目标函数为30002000

z x y

=+，

作出二元一次不等式所表示的平面区域，即可

行域．

如图，作直线:300020000

l x y

+=，即320

x y

+=．平移直线l，从图中可

知，当直线l过M点时，目标函数z取得最大值．联立方程

300 52900. x y

x y

+=

⎧

⎨

+=

⎩

，

解得100200

x y

==

，．∴点M的坐标为(100200)

，．

max 30002000700000

z x y

∴=+=（元）．