导数压轴题之隐零点问题专辑含答案纯

导数压轴题之隐零点问题

导数压轴题之隐零点问题(共13题)

1．已知函数f（x）=（ae x﹣a﹣x）e x（a≥0，e=2.718…，e为自然对数的底数），若f（x）≥0对于x∈R恒成立．

（1）求实数a的值；

（2）证明：f（x）存在唯一极大值点x0，且．

【解答】（1）解：f（x）=e x（ae x﹣a﹣x）≥0，因为e x＞0，所以ae x﹣a﹣x≥0恒成立，

即a（e x﹣1）≥x恒成立，

x=0时，显然成立，

x＞0时，e x﹣1＞0，

故只需a≥在（0，+∞）恒成立，

令h（x）=，（x＞0），

h′（x）=＜0，

故h（x）在（0，+∞）递减，

而==1，

故a≥1，

x＜0时，e x﹣1＜0，

故只需a≤在（﹣∞，0）恒成立，

令g（x）=，（x＜0），

g′（x）=＞0，

故h（x）在（﹣∞，0）递增，

而==1，

故a≤1，

综上：a=1；

（2）证明：由（1）f（x）=e x（e x﹣x﹣1），

故f'（x）=e x（2e x﹣x﹣2），令h（x）=2e x﹣x﹣2，h'（x）=2e x﹣1，

所以h（x）在（﹣∞，ln）单调递减，在（ln，+∞）单调递增，

h（0）=0，h（ln）=2eln﹣ln﹣2=ln2﹣1＜0，h（﹣2）=2e﹣2﹣（﹣2）﹣2=＞0，

∵h（﹣2）h（ln）＜0由零点存在定理及h（x）的单调性知，

方程h（x）=0在（﹣2，ln）有唯一根，

设为x0且2e x0﹣x0﹣2=0，从而h（x）有两个零点x0和0，

所以f（x）在（﹣∞，x0）单调递增，在（x0，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增，

从而f（x）存在唯一的极大值点x0即证，

由2e x0﹣x0﹣2=0得e x0=，x0≠﹣1，

∴f（x0）=e x0（e x0﹣x0﹣1）=（﹣x0﹣1）=（﹣x0）（2+x0）≤（）2=，

取等不成立，所以f（x0）＜得证，

又∵﹣2＜x0＜ln，f（x）在（﹣∞，x0）单调递增

所以f（x0）＞f（﹣2）=e﹣2[e﹣2﹣（﹣2）﹣1]=e﹣4+e﹣2＞e﹣2＞0得证，

从而0＜f（x0）＜成立．

2．已知函数f（x）=ax+xlnx（a∈R）

（1）若函数f（x）在区间[e，+∞）上为增函数，求a的取值范围；

（2）当a=1且k∈Z时，不等式k（x﹣1）＜f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，求k的最大值．

【解答】解：（1）∵函数f（x）在区间[e，+∞）上为增函数，

∴f′（x）=a+lnx+1≥0在区间[e，+∞）上恒成立，∴a≥（﹣lnx﹣1）max=﹣2．∴a≥﹣2．

∴a的取值范围是[﹣2，+∞）．

（2）a=1时，f（x）=x+lnx，k∈Z时，不等式k（x﹣1）＜f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，

∴k＜，

令g（x）=，则g′（x）=，

令h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1）．

则h′（x）=1﹣=＞0，∴h（x）在（1，+∞）上单增，

∵h（3）=1﹣ln3＜0，h（4）=2﹣2ln2＞0，

存在x0∈（3，4），使h（x0）=0．

即当1＜x＜x0时h（x）＜0 即g′（x）＜0

x＞x0时h（x）＞0 即g′（x）＞0

g（x）在（1，x0）上单减，在（x0+∞）上单增．

令h（x0）=x0﹣lnx0﹣2=0，即lnx0=x0﹣2，

g（x）min=g（x0）===x0∈（3，4）．

k＜g（x）min=x0∈（3，4），且k∈Z，

∴k max=3．

3．函数f（x）=alnx﹣x2+x，g（x）=（x﹣2）e x﹣x2+m（其中e=2.71828…）．（1）当a≤0时，讨论函数f（x）的单调性；

（2）当a=﹣1，x∈（0，1]时，f（x）＞g（x）恒成立，求正整数m的最大值．【解答】解：（1）函数f（x）定义域是（0，+∞），

，

（i）当时，1+8a≤0，当x∈（0，+∞）时f'（x）≤0，

函数f（x）的单调递减区间是（0，+∞）；

（ⅱ）当，﹣2x2+x+a=0的两根分别是：

，，

当x∈（0，x1）时f'（x）＜0．函数f（x）的单调递减．

当x∈（x1，x2）时f'（x）＞0，函数f（x）的单调速递增，

当x∈（x2，+∞）时f'（x）＜0，函数f（x）的单调递减；

综上所述，（i）当时f（x）的单调递减区间是（0，+∞），

（ⅱ）当时，f（x）的单调递增区间是，单调递减区间是和

（2）当a=﹣1，x∈（0，1]时，f（x）＞g（x），即m＜（﹣x+2）e x﹣lnx+x，设h（x）=（﹣x+2）e x﹣lnx+x，x∈（0，1]，∴，

∴当0＜x≤1时，1﹣x≥0，

设，则，∴u（x）在（0，1）递增，

又∵u（x）在区间（0，1]上的图象是一条不间断的曲线，

且，

∴使得u（x0）=0，即，

当x∈（0，x0）时，u（x）＜0，h'（x）＜0；

当x∈（x0，1）时，u（x）＞0，h'（x）＞0；

∴函数h（x）在（0，x0]单调递减，在[x0，1）单调递增，

∴=，∵在x∈（0，1）递减，

∵，∴，

∴当m≤3时，不等式m＜（﹣x+2）e x﹣lnx+x对任意x∈（0，1]恒成立，∴正整数m的最大值是3．

4．已知函数f（x）=e x+a﹣lnx（其中e=2.71828…，是自然对数的底数）．（Ⅰ）当a=0时，求函数a=0的图象在（1，f（1））处的切线方程；

（Ⅱ）求证：当时，f（x）＞e+1．

【解答】（Ⅰ）解：∵a=0时，∴，

∴f（1）=e，f′（1）=e﹣1，