微积分下册期末试卷及答案剖析

1、已知22

(,)y

f x y x y x +=-,则=),(y x f _____________.

2、已知,则=

⎰∞

+--dx e x x

0 21

___________.

π

=⎰

∞

+∞

--dx e x 2

3、函数

22

(,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值.

4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=')0,1(x f ________.

5、以x

e x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是

____________________.

二、选择题(每小题3分,共15分

)

6 知dx e x p ⎰∞

+- 0 )1(与⎰-e p x

x dx 1 1ln 均收敛,

则常数p 的取值范围是( ).

(A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p >

7 数⎪⎩

⎪⎨

⎧=+≠++=0 ,0 0 ,4),(222

22

2y x y x y x x y x f 在原点间断,

是因为该函数( ).

(A) 在原点无定义

(B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义

(D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值

8、若

2

211

x y I +≤=

⎰⎰

,22212

x y I ≤+≤=⎰⎰,

22324

x y I ≤+≤=

⎰⎰

,则下列关系式成立的是( ).

(A) 123I I I >> (B) 213I I I

>>

(C) 123I I I << (D) 213I I I

<<

9、方程x

e x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( ).

(A) b ax y += (B) x e b ax y 3)(+=

(C) x e bx ax y 32)(+= (D) x

e bx ax y 323)(+=

10、设∑∞

=12n n

a

收敛，则∑∞

=-1)

1(n n

n

a ( ).

(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定

三、计算题(每小题6分,共60分)

11、求由2

3x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.

13、),(y x z z =由

xy e z z

=+确定，求y x z

∂∂∂2.

14、用拉格朗日乘数法求22

1z x y =++在条件1=+y x 下的极值.

15、计算

⎰

⎰1 2

1

2dx

e dy y

y

y

x .

16、计算二重积分2

2()D x

y dxdy

+⎰⎰，其中D 是由y 轴及圆周

221x y +=所围成的在第一象限内的区域.

17、解微分方程x y y +'

=''.

18、判别级数)

11(

133∑∞

=--+n n n 的敛散性.

19、将函数x -31

展开成x 的幂级数,并求展开式成立的区间.

.根据统计资料,销售收入R (万元)与电台广告费用1x (万元)的及报纸广告费用2x (万元)之间的关系有如下的经验公式:

2

2

2121211028321415x x x x x x R ---++=， 求最优广告策略.

四、证明题(每小题5分,共10分)

21、设113

3

ln()z x y =+，证明：

13z z x

y x y ∂∂+=

∂∂.

22、若∑

=1

2

n

n

u

与

∑∞

=1

2

n

n

v

都收敛,则

∑∞

=

+

1

2

)

(

n

n

n

v

u

收敛.

答案

一、填空题(每小题3分,共15分)

1、

2(1)

1

x y

y

-

+. 23、

)

3

2

,

3

1

(-

. 4、1. 5、"6'0

y y y

-+=.

二、选择题(每小题3分,共15分)

6、(C ).

7、(B).

8、(A ) .

9、(D). 10、(D).

三、计算题(每小题6分,共60分)

11、求由2

3x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积. 解：32

y x =的反函数为23

,0x y y =>。且4=x 时，8=y 。于是

)6()

3(分分

2

488

22

33

8

37

730

(4)16(80)33

128128(80)

775127V y dy y dy

y ππππππππ=-=--⎡⎤=-⋅=-⋅-⎢⎥⎣⎦=⎰⎰

12、求二重极限

1

1lim

22220

0-+++→→y x y x y x .

解：原式

11)11)((lim 2222220

0-++++++=→→y x y x y x y x (3分)

2

)11(lim 220

=+++=→→y x y x (6分)

13、),(y x z z =由

xy e z z

=+确定，求y x z

∂∂∂2. 解：设

(,,)z

F x y z z e xy =+-，则 x F y

=-， y F x =- ，1z

z F e =+

11x z z z z F y y x F e e ∂-=-=-=∂++， 11y z z z F z x x

y F e e ∂-=-=-=∂++ (3分)

222

111(1)1(1)z z z z z z z z e y e z y e xy y

x y y e e e e ∂+-⋅⋅

∂∂∂⎛⎫===- ⎪∂∂∂++++⎝⎭ (6分)

14、用拉格朗日乘数法求

22

1z x y =++在条件1=+y x 下的极值. 解：

222

(1)1222z x x x x =+-+=-+