人教课标版高中数学选修4-5：《不等式的基本性质》教案(1)-新版
不等式的基本性质教案
不等式的基本性质教案一、教学目标：1. 让学生理解不等式的概念，掌握不等式的基本性质。
2. 培养学生解决实际问题的能力，提高学生对数学的兴趣。
3. 引导学生通过观察、分析、归纳等方法，自主学习不等式的性质。
二、教学内容：1. 不等式的概念及表达方式。
2. 不等式的基本性质（性质1、性质2、性质3）。
3. 不等式性质在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：不等式的基本性质及其应用。
2. 教学难点：不等式性质的推导和理解。
四、教学方法：1. 采用自主学习、合作探讨的教学方法，让学生在实践中掌握不等式的基本性质。
2. 利用多媒体课件，直观展示不等式的性质，提高学生的学习兴趣。
3. 结合生活实例，让学生感受不等式在实际问题中的应用。
五、教学过程：1. 导入新课：通过简单的例子，引导学生认识不等式，激发学生的学习兴趣。
2. 自主学习：让学生自主探究不等式的基本性质，教师巡回指导。
3. 课堂讲解：讲解不等式的概念、表达方式，详细阐述不等式的性质1、性质2、性质3。
4. 巩固练习：布置相关练习题，让学生巩固所学的不等式性质。
5. 应用拓展：结合实际问题，让学生运用不等式性质解决问题。
6. 课堂小结：总结本节课的主要内容，强调不等式性质的重要性。
7. 作业布置：布置适量作业，巩固所学知识。
8. 课后反思：教师对本节课的教学情况进行反思，为下一节课的教学做好准备。
六、教学评价：1. 通过课堂提问、练习题和课后作业，评估学生对不等式基本性质的理解和掌握程度。
2. 观察学生在解决问题时的思维过程和方法，评价其应用能力和创新意识。
3. 收集学生对教学过程的意见和建议，以促进教学方法的改进和教学质量的提高。
七、教学反馈：1. 课后及时批改学生作业，了解学生对不等式基本性质的掌握情况。
2. 根据学生作业中出现的问题，进行有针对性的辅导和讲解，确保学生理解透彻。
3. 定期与学生交流，了解他们在学习不等式过程中的困惑和问题，及时给予解答和指导。
人教版高中选修4-51.不等式的基本性质课程设计
人教版高中选修4-51.不等式的基本性质课程设计一、教学目标1. 知识与技能•掌握不等式的定义和基本性质；•掌握一次不等式和二次不等式的解法；•能够解决实际问题中的不等式问题。
2. 过程与方法•通过讲解和练习，学生能够熟练掌握不等式及其解题方法；•通过实例分析让学生能够运用所学知识解决实际问题；•通过课堂互动等方式，激发学生的学习兴趣和积极性。
3. 态度与价值观•培养学生的逻辑思维能力和数学思维能力；•让学生认识到数学对实际生活的重要性和应用价值；•培养学生的创新思维和解决问题的能力。
二、教学重点和难点1. 教学重点•不等式的定义和基本性质；•一次不等式和二次不等式的解法；•实际问题中的不等式问题的解决方法。
2. 教学难点•对不等式的理解与掌握；•二次不等式的解法；•实际问题中的不等式问题的应用。
三、教学方法1. 教学内容整合将课堂教学、练习操作、实际应用等内容整合在一起，以便学生能够更好地理解不等式及其应用方法。
2. 提供实例在课堂上提供大量的实例，让学生通过分析解题，理解不等式的基本性质和应用方法。
3. 积极互动通过课堂互动、小组活动等方式，积极引导学生参与课堂，以提高学生对数学知识的兴趣和掌握程度。
4. 制定练习制定一系列练习，以帮助学生更好地巩固和应用所学知识。
四、教学步骤步骤一：不等式的定义和基本性质1.小组讨论，了解学生对不等式的理解；2.讲解不等式的定义及其基本性质；3.通过几个具体实例帮助学生理解。
步骤二：一次不等式及其解法1.讲解一次不等式的解法；2.指导学生通过实例进行练习和掌握。
步骤三：二次不等式及其解法1.讲解二次不等式及其解法；2.指导学生通过实例进行练习和掌握。
步骤四：实际问题中的不等式1.讲解如何将实际问题转化为不等式问题；2.通过实例讲解不等式的应用方法；3.指导学生通过实例进行练习和掌握。
步骤五：查漏补缺，巩固提高1.综合练习和测试；2.帮助学生查漏补缺，巩固提高。
高二数学(人教版)选修4-5教案：第01课时 不等式的基本性质最新修正版
课 题： 第01课时 不等式的基本性质目的要求：重点难点：教学过程：一、引入：不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。
《列子•汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远者小而近者大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。
要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。
而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。
本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等）和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。
人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的。
还可从引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。
生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a 克糖水中含有b 克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么? 分析：起初的糖水浓度为a b ，加入m 克糖 后的糖水浓度为m a m b ++，只要证m a m b ++>a b 即可。
怎么证呢?二、不等式的基本性质：1、实数的运算性质与大小顺序的关系：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：0>-⇔>b a b a0=-⇔=b a b a0<-⇔<b a b a得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。
2、不等式的基本性质：①、如果a>b ，那么b<a ，如果b<a ，那么a>b 。
不等式的基本性质(教案)
不等式的基本性质一、教学目标1. 让学生理解不等式的概念，掌握不等式的基本性质。
2. 培养学生运用不等式解决实际问题的能力。
3. 提高学生对数学逻辑思维的认知。
二、教学内容1. 不等式的定义及表示方法2. 不等式的基本性质1) 不等式的两边加减同一个数，不等号的方向不变。
2) 不等式的两边乘除同一个正数，不等号的方向不变。
3) 不等式的两边乘除同一个负数，不等号的方向改变。
3. 运用不等式的基本性质解决实际问题。
三、教学重点与难点1. 教学重点：不等式的基本性质及其运用。
2. 教学难点：不等式性质3的理解与应用。
四、教学方法1. 采用启发式教学，引导学生发现不等式的基本性质。
2. 通过例题讲解，让学生学会运用不等式解决实际问题。
3. 利用小组讨论，培养学生合作学习的能力。
五、教学过程1. 导入：复习相关知识点，如实数、比较大小等，为学生学习不等式打下基础。
2. 新课讲解：介绍不等式的定义及表示方法，讲解不等式的基本性质，并通过例题展示运用。
3. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固不等式的基本性质。
4. 实际问题解决：引导学生运用不等式解决实际问题，如分配问题、排序问题等。
5. 课堂小结：总结不等式的基本性质及运用方法。
6. 课后作业：布置相关作业，巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对不等式基本性质的理解程度。
2. 练习题解答：检查学生运用不等式解决实际问题的能力。
3. 课后作业：评估学生对课堂所学知识的掌握情况。
七、教学拓展1. 对比等式的性质，引导学生发现等式与不等式的异同。
2. 介绍不等式的其他性质，如不等式的传递性、同向不等式的可加性等。
八、课堂互动1. 小组讨论：让学生分组讨论不等式性质的应用，分享解题心得。
2. 教学游戏：设计有关不等式的游戏，提高学生的学习兴趣。
九、教学策略调整1. 根据学生掌握情况，针对性地讲解不等式的难点知识点。
2. 对于学习困难的学生，提供个别辅导，帮助他们跟上课堂进度。
人教版高中数学选修4-5《1.1 不等式的基本性质》
(a 2a 15) (a 2a 8)
2 2
7 0.
(a 3)(a 5) (a 2)(a 4).
比较两个数(式)的大小的方法: 作差,与零比较大小.
例2.
b m b (b m)a (a m)b 证明: ∵ am a (a m)a ab ma ab bm (a m)a m(a b) (a m)a ∵a、 b 、m 都是正数,且 a b ∴ m 0, m a 0, a 0, a b 0
性质2：如果a>b，b>c，那么a>c.
b c b c 0
(传递性)
证明：根据两个正数之和仍为正数，得 a b a b 0 (a－b)+(b－c)>0 a－c>0 a>c.
这个性质也可以表不等式的传递性。
同向不等式可相加性
性质 推论4 2： ：如果a>b，c>d，则a+c>b+d.
证明：因为a>b，所以a+c>b+c，
又因为c>d，所以b+c>b+d，
根据不等式的传递性得 a+c>b+d. 几个同向不等式的两边分别相加，所 得的不等式与原不等式同向。
性质5：如果a>b，c>0，则ac>bc；如果 a>b，c<0，则ac<bc.
(可乘性)
性质 推论 6： 1：如果a>b>0，c>d>0，则ac>bd.
证明：因为a>b，c>0，所以ac>bc，
又因为c>d，b>0，所以bc>bd，
课题不等式的基本性质教案
课题不等式的基本性质教案一、教学目标：1. 让学生理解不等式的概念，掌握不等式的基本性质。
2. 培养学生运用不等式解决实际问题的能力。
3. 培养学生合作交流、归纳总结的能力。
二、教学内容：1. 不等式的概念及表示方法。
2. 不等式的基本性质（性质1、性质2、性质3）。
3. 不等式的应用。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：不等式的概念，不等式的基本性质。
2. 教学难点：不等式的应用，不等式性质的推导。
四、教学方法：1. 采用自主学习、合作交流的教学方法，让学生在探究中掌握不等式的基本性质。
2. 利用多媒体课件辅助教学，提高学生的学习兴趣。
3. 结合生活实例，培养学生运用不等式解决实际问题的能力。
五、教学过程：1. 导入新课：通过复习数轴，引入不等式的概念。
2. 自主学习：学生自主探究不等式的表示方法，了解不等式的基本性质。
3. 合作交流：分组讨论，让学生在实践中归纳总结不等式的基本性质。
4. 课堂讲解：教师讲解不等式的性质1、性质2、性质3，并通过例题演示。
5. 应用拓展：学生运用不等式解决实际问题，培养运用能力。
6. 课堂小结：教师引导学生总结不等式的基本性质及应用。
7. 课后作业：布置相关练习题，巩固所学知识。
8. 教学评价：通过课堂表现、作业完成情况，评价学生对不等式知识的掌握程度。
六、教学设计：1. 教学目标：让学生能够理解并应用不等式的传递性质。
2. 教学内容：不等式的传递性质及其应用。
3. 教学重点与难点：理解不等式的传递性质，并能够运用到具体问题中。
4. 教学方法：采用案例分析法，让学生通过具体例子理解并掌握不等式的传递性质。
5. 教学过程：1) 导入：通过一个具体的例子，引导学生思考不等式传递性质的概念。
2) 自主学习：学生通过自学了解不等式传递性质的定义和证明。
3) 合作交流：分组讨论，让学生通过案例分析来应用不等式的传递性质。
4) 课堂讲解：教师通过讲解进一步巩固学生对不等式传递性质的理解。
人教新课标版数学高二-数学(人教A)选修4-5学案 1.1.1不等式的基本性质
§1.1.1不等式的基本性质☆学习目标：1. 理解并掌握不等式的性质，能灵活运用实数的性质;2. 掌握比较两个实数大小的一般步骤☻知识情景：1. 实数的运算性质与大小顺序的关系：数轴上右边的点表示的数总 左边的点所表示的数，可知：0ba b a -⇔> 0ba b a -⇔= 0b a b a -⇔<结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。
2. 不等式的基本性质：⑴对称性：b a >⇔ ；⑵传递性：⇒>>c b b a , ；⑶同加性：⇒>b a ；推论：同加性：⇒>>d c b a ,； ⑷同乘性：⇒>>0,c b a ，⇒<>0,c b a ；推论1：同乘性：⇒>>>>0,0d c b a ；推论2：乘方性：⇒∈>>+N n b a ,0 ；推论3：开方性：⇒∈>>+N n b a ,0 ； 推论4：可倒性：⇒>>0b a .比较两数大小的一般方法：比差法与比商法(两正数)．☆案例学习：例1已知0,0>>>c b a ，求证：bc a c > ．例2若0a b a >>>-， 0c d <<，则下列命题中能成立的个数是( ) ()1ad bc >；()20a b d c +<；()3a c b d ->-；()4()()a d c b d c ->-.A 1 .B 2 .C 3 .D 4.例3 ()1若0x y <<，试比较()()22x y x y +-与()()22x y x y -+的大小；()2设0a >，0b >，且a b ≠，试比较a b a b 与b a a b 的大小.例4 若2()f x ax c =-满足4-≤(1)f ≤1-，1-≤(2)f ≤5，求(3)f 的取值范围.例5已知0,0a b c d >>>>>。
人教版高中数学选修(4-5)-1.1《基本不等式》教学设计
1.2 课时2 基本不等式(任远)一、教学目标（一）核心素养通过学习重要不等式222a b ab +≥推导出基本不等式，即两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数，进而推广到三个正数的情形。
使学生掌握从旧知到新知，再推广的思想方法．（二）学习目标1.学会推导并掌握均值不等式定理；2.能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式.3．能够简单应用定理证明不等式并解决一些简单的实际问题.（三）学习重点均值不等式定理的证明及应用.（四）学习难点等号成立的条件及解题中的转化技巧.二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第5页至第9页，填空：①22a b + 2ab ，当且仅当 时，等号成立，其中,a b ∈ ；，当且仅当 时，等号成立，其中,a b ∈ ； ③3a b c ++≥ ，当且仅当 时，等号成立，其中,,a b c ∈ ； （2）想一想：（1）中三个结论等号成立条件有什么区别？它们有什么应用？答：①中等号成立时，,a b ∈R ；②③中等号成立时,(0,)a b ∈+∞.应用于求函数的最值.2．预习自测（1）两个正数的算术平均数 它们的几何平均数.A ．大于B ．小于C ．不大于D ．不小于【知识点】基本不等式【解答过程】两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数【思路点拨】掌握基本不等式【答案】D ．（2）若6x y +=，则xy 的最大值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【知识点】基本不等式 【解题过程】由2()2x y xy +≤，得26()2xy ≤，即9xy ≤，当且仅当3x y ==时，等式成立. 【思路点拨】注意使用基本不等式时的条件【答案】D ．（3）函数2sin ,(0,]sin 2y x x x π=+∈的最小值为（ ）A ．B ．3C ．4D ．5【知识点】基本不等式【解题过程】2sin sin y x x =+≥，当且仅当2sin sin x x =即sin x =取等号，不满足sin [0,1]x ∈，当2x π=时，min 3y =.【思路点拨】注意使用基本不等式时的取得条件【答案】B（4）已知三个正数,,a b c 满足27abc =，则24a b c ++的最小值为（ ）A ．21B ．18C ．15D ．12【知识点】三个正数的均值不等式.【解题过程】由243a b c ++≥，2418a b c ++≥=，当且仅当24a b c ==即36,3,2a b c ===取等号. 【思路点拨】【答案】B(二)课堂设计1.知识回顾（1）比较两个实数的大小可用作差比较法.（2）0;0;0a b a b a b a b a b a b >⇔->=⇔-=<⇔-<。
人教版高中数学选修4-5第一讲第一节不等式1不等式的基本性质教案(1)
不等式求最值的对策利用均值不等式求最值是高中数学中常用方法之一，应注意“一正二定三相等”．在解题的过程中，有时往往出现“凑出了‘常数’却取不到‘等号’”的现象，下面给大家讲几种对策，仅供同学们参考．一、平衡系数 实施均拆这是最常用的一种技巧，常有均拆整式、均拆分式、均拆幂指数等．例1 求函数)0(132>+=x x x y 的最小值． 错解：0>x33222231231213=⋅⋅≥++=+=∴xx x x x x x x y 3min 23=∴y剖析：此类错误出现较多，而且错误是不知不觉的，实际是忽视了等号成立的条件，即212x x x ==必须成立，而实际上是不可能的，解决方法可实施均拆法． 正解：(均拆整式)0>x3322182321232331232313=⋅⋅≥++=+=∴x x x x x x x y 上式当且仅当2123x x =，即332=x 时取等号．3m i n 1823=∴y 例2 求函数y ＝x 2＋16x (x ＞0)的最小值． 解：(均拆分式)∵ x ＞0，∴y ＝x 2＋88x x +≥312． 当且仅当x 2＝8x，即x ＝2时，等号成立．故y 的最小值为12．例3 若0＜x ＜31，求函数y ＝x 2(1－3x )的最大值． 解：(均拆幂指数)∵0＜x ＜31，∴ 1－3x ＞0． y ＝x 2(1－3x )＝x •x •(1－3x )＝433(13)922x x x ∙∙- ≤3334132293x x x ⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭＝4243． 当且仅当3132x x =-，即x ＝29时，等号成立，即y 的最小值为4243． 二、单调处理 简捷迅速例4 求函数4522++=x x y )(R x ∈的最小值．错解：042>+x 2241441445min 222222=∴≥+++=+++=++=∴y x x x x x x y剖析：本题似乎无懈可击，其实令41422+=+x x ，则有32-=x ，即无实数解，也就是等号取不到，因而找不到最小值．正解：由41422+++=x x y ，令242≥+=x t易证)2(1)(≥+==t t t t f y 为增函数．25212)2(min =+==∴f y 所以当242=+x ，即0=x 时，25m i n =y ．三、分项拆项 观察等号对于函数]),0(,()(c x R q p xq px x f ∈∈+=+、的最值，当直接使用均值不等式失效时，除用单调性外，还可用“分项拆项法”，再用均值不等式，同时要注意等号．例5 已知]2,0[π∈x ，求函数x x y sin 12sin 1-+-=的最小值． 解：由20π≤≤x ，得1s i n 10,1s i n 0≤-≤≤≤x x ，则min 111sin 1sin 1sin 213(sin 0时取等号)3y x x x x y =-++≥--≥+==∴=四、整体代换 减少放缩环节多次运用均值不等式，往往导致等号取不到．而用整体代换，可避免多次放缩，从而使问题获解．例6 若x ，y 这正整数，满足416x y+＝1，求 x ＋y 的最小值． 错解：∵1＝416x y +≥=∴16．又∵ x ＋y ≥232．故x ＋y 的最小值为 32．剖析：在求解过程中，利用两次放缩，在16中 y ＝4x 时等号成立．而在x ＋y ≥2，x ＝y 时等号成立，但这两次等号不能同时成立，故最小值32取不到．若采用整体代换，即可避免多次放缩，从而使问题获解．正解：x ＋y ＝1•(x ＋y )＝(416x y +)(x ＋y )＝20＋(416y x x y+) ≥20＋236． ∴ x ＋y 的最小值为36，当x ＝12，y ＝24时等号成立．。
人教A版选修4-5 不等式 第1课时 不等式的基本性质 教案
课时：1备课人；二次备课人
课题名称
第一讲不等式的基本性质
三维目标
学习目标
1.理解不等式的性质，能灵活运用实数的性质;Байду номын сангаас
2.掌握比较两个实数大小的一般步骤
重点目标
理解不等式的性质，能灵活运用实数的性质
难点目标
掌握比较两个实数大小的一般步骤
导入示标
目标三导
学做思一：
自学探究
问题 1.如何比较两个实数的大小?
3.课堂体验
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.对于实数 ，判断下列命题的真假：
（1）若 ，则
（2）若 , ，则 。
★3.已知a>b>0，c<d<0,求证： 。
4.已知 ， ， ，试比较 与 的大小.
5.设 ，其中 ，比较 与 的大小
反思总结
1.知识建构
2.能力提高
学做思二
★ 问题 2.不等式的基本性质有哪些？用符号语言表示出这些性质。
学做思三
技能提炼
1.已知 ，求证： ．
2.若 ， ，则下列命题中能成立的个数是( )
； ； ；
1 2 3 4.
★ 3.函数 ＝ax2＋bx满足：1≤ ≤2，2≤ ≤4，求 的取值范围．
达标检测
变式反馈
1.若 ，则 是
成立的（ ）
2019-2020学年高中数学人教A版选修4-5教学案：第一讲 一 1.不等式的基本性质
1．不等式的基本性质对应学生用书P11．实数大小的比较(1)数轴上的点与实数一一对应，可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的大小．在数轴上，右边的数总比左边的数大．(2)如果a－b＞0，则a＞b；如果a－b＝0，则a＝b；如果a－b＜0，则a＜b.(3)比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的差a－b的符号；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号．2．不等式的基本性质由两数大小关系的基本事实，可以得到不等式的一些基本性质：(1)如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b.即a＞b⇔b＜a.(2)如果a＞b，b＞c，那么a＞c.即a＞b，b＞c⇒a>c.(3)如果a＞b，那么a＋c>b＋c.(4)如果a＞b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc.(5)如果a>b>0，那么a n>b n(n∈N，n≥2)．(6)如果a>b>0n∈N，n≥2)．3．对上述不等式的理解使用不等式的性质时，一定要清楚它们成立的前提条件，不可强化或弱化它们成立的条件，盲目套用，例如：(1)等式两边同乘以一个数仍为等式，但不等式两边同乘以同一个数c(或代数式)结果有三种：①c＞0时得同向不等式；②c＝0时得等式；③c<0时得异向不等式．(2)a＞b，c＞d⇒a＋c>b＋d，即两个同向不等式可以相加，但不可以相减；而a>b>0，c>d>0⇒ac>bd，即已知的两个不等式同向且两边为正值时，可以相乘，但不可以相除．(3)性质(5)、(6)成立的条件是已知不等式两边均为正值，并且n∈N，n≥2，否则结论不成立．而当n取正奇数时可放宽条件，a>b⇒a n>b n(n＝2k＋1，k∈N)，a>b⇒na>nb(n＝2k＋1，k∈N＋)．(4)在不等式的基本性质中，条件和结论的逻辑关系有两种：“⇒”与“⇔”，即推出关系和等价关系，或者说“不可逆关系”与“可逆关系”．这要求必须熟记与区别不同性质的条件．如a＞b，ab＞0⇒1 a＜1b，而反之不成立．对应学生用书P1[例1] 已知x ，y 均为正数，设m ＝1x ＋1y ，n ＝4x ＋y ，试比较m 和n 的大小．[思路点拨] 两式作差――→变形 转化为因式乘积形式――→与0比较判断正负，得出大小 [解] m －n ＝1x ＋1y －4x ＋y ＝x ＋y xy －4x ＋y ＝错误!＝错误!，∵x ，y 均为正数，∴x >0，y >0，xy >0，x ＋y >0，(x －y )2≥0. ∴m －n ≥0，即m ≥n .(当x ＝y 时，等号成立)．比较两个数(式子)的大不，一般用作差法，其步骤是：作差—变形—判断差的符号—结论，其中“变形”是关键，常用的方法是分解因式、配方等．1．已知a ，b ∈R ，比较a 4＋b 4与a 3b ＋ab 3的大小． 解：因为(a 4＋b 4)－(a 3b ＋ab 3) ＝a 3(a －b )＋b 3(b －a ) ＝(a －b )(a 3－b 3) ＝(a －b )2(a 2＋ab ＋b 2)＝(a －b )2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＋34b2≥0(当且仅当a ＝b 时，取“＝”号) 所以a 4＋b 4≥a 3b ＋ab 3.2．在数轴的正半轴上，A 点对应的实数为6a29＋a4，B 点对应的实数为1，试判别A 点在B 点的左边，还是在B 点的右边？解：因为6a29＋a4－1＝错误!≤0，所以6a29＋a4≤1.当且仅当a ＝±3时取“＝”，所以当a ≠±3时，A 点在B 点左边，当a ＝±3时，A 点与B 点重合．[例2] 已知a >b >0，c <d <0，e <0. 求证：ea －c >eb －d.[思路点拨] 可以作差比较，也可用不等式的性质直接证明． [证明] 法一：ea －c －eb －d ＝错误!＝错误!，∵a >b >0，c <d <0， ∴b －a <0，c －d <0. ∴b －a ＋c －d <0.又∵a >0，c <0，∴a －c >0. 同理b －d >0， ∴(a －c )(b －d )>0.∵e <0，∴错误!>0.即错误!>错误!.法二：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c<d<0⇒－c>－d>0a>b>0⇒⎭⎪⎬⎪⎫a －c>b －d>0⇒1a －c <1b －d e<0⇒e a －c ＞eb －d.进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、记熟不等式性质的基础之上，如果不能直接由不等式的性质得到，可以先分析需要证明的不等式的结构，利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件．3．判断下列命题的真假，并简述理由． (1)若a >b ，c >d ，则ac >bd ； (2)若a >b >0，c >d >0，则a c >bd ；(3)若a >b ，c <d ，则a －c >b －d ； (4)若a >b ，则a n ＞b n ，n a >nb (n ∈N 且n ≥2)．解：(1)取a ＝3，b ＝2，c ＝－2，d ＝－3，即3>2，－2>－3.此时ac ＝bd ＝－6.因此(1)为假命题． (2)因同向不等式不能相除，取a ＝6，b ＝4，c ＝3，d ＝2，此时a c ＝bd ＝2.因此(2)为假命题．(3)∵c <d ，∴－c >－d ，因此(3)为真命题．(4)当a >b >0时，才能成立，取a ＝－2，b ＝－3，当n 为偶数时不成立，因此(4)为假命题． 4．已知a ，b ，x ，y 都是正数，且1a >1b，x >y ，求证：xx ＋a >yy ＋b.证明：因为a ，b ，x ，y 都是正数， 且1a >1b .x >y ，所以x a >y b ， 所以a x <b y .故ax ＋1<by＋1， 即x ＋a x <y ＋b y .所以x x ＋a >y y ＋b .[例3] (1)已知：－π2≤α<β≤π2，求α－β的范围．(2)已知：－1≤a ＋b ≤1,1≤a －2b ≤3，求a ＋3b 的范围． [思路点拨] 求代数式的范围应充分利用不等式的基本性质． [解] (1)∵－π2≤α<β≤π2，∴－π2≤α＜π2，－π2≤－β＜π2.且α＜β.∴－π≤α－β＜π且α－β＜0.∴－π≤α－β<0.即α－β的范围为[－π，0)． (2)设a ＋3b ＝λ1(a ＋b )＋λ2(a －2b ) ＝(λ1＋λ2)a ＋(λ1－2λ2)b . 解得λ1＝53，λ2＝－23.∴－53≤53(a ＋b )≤53，－2≤－23(a －2b )≤－23.∴－113≤a ＋3b ≤1.即a ＋3b 的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－113，1.求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面，严格依据不等式的性质和运算法则进行运算，是解答此类问题的基础，在使用不等式的性质中，如果是由两个变量的范围求其差的范围，一定不能直接作差，而要转化为同向不等式后作和．5．若8＜x ＜10,2＜y ＜4，则xy 的取值范围是________．解析：∵2＜y ＜4， ∴14＜1y ＜12.又8＜x ＜10， ∴2＜x y ＜5.答案：(2,5)6．已知1≤α＋β≤4，－2≤α－β≤－1，求2α－β的取值范围． 解：设2α－β＝m (α＋β)＋n (α－β)，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2，m －n ＝－1.⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝12，n ＝32.又1≤α＋β≤4，－2≤α－β≤－1 ∴错误!⇒－52≤2α－β≤12.∴2α－β的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12对应学生用书P31．已知数轴上两点A ，B 对应的实数分别为x ，y ，若x <y <0，则|x |与|y |对应的点P ，Q 的位置关系是( ) A ．P 在Q 的左边 B ．P 在Q 的右边 C ．P ，Q 两点重合D ．不能确定解析：∵x <y <0，∴|x |>|y |>0.故P 在Q 的右边． 答案：B2．下列命题中不．正确的是( ) A ．若3a >3b ，则a >bB ．若a >b ，c >d ，则a －d >b －cC ．若a >b >0，c >d >0，则a d >b cD ．若a >b >0，ac >bd ，则c >d解析：当c >0，d >0时，才有a >b >0，ac >bd ⇒c >d . 答案：D3．已知a >b >c ，则下列不等式正确的是( ) A ．ac >bcB ．ac 2>bc 2C ．b (a －b )>c (a －b )D ．|ac |>|bc |解析：a >b >c ⇒a －b >0⇒(a －b )b >(a －b )c . 答案：C4．已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，若c a ＋b ＜a b ＋c ＜bc ＋a，则( ) A ．c ＜a ＜b B ．b ＜c ＜a C ．a ＜b ＜cD ．c ＜b ＜a 解析：由ca ＋b ＜ab ＋c ＜bc ＋a ，可得ca ＋b ＋1＜ab ＋c ＋1＜bc ＋a ＋1，即a ＋b ＋ca ＋b ＜a ＋b ＋c b ＋c ＜a ＋b ＋cc ＋a ，又a ，b ，c ∈(0，＋∞)，所以a ＋b ＞b ＋c ＞c ＋a .由a ＋b ＞b ＋c 可得a ＞c ；由b ＋c ＞c ＋a 可得b ＞a ，于是有c ＜a ＜b .答案：A5．已知0＜a ＜1，则a ，1a ，a 2的大小关系是________．解析：∵a －1a ＝错误!＜0，∴a ＜1a.又a －a 2＝a (1－a )＞0， ∴a ＞a 2.∴a 2＜a ＜1a.答案：a 2＜a ＜1a6．给出四个条件：①b >0>a ，②0>a >b ，③a >0>b ，④a >b >0. 能得出1a ＜1b成立的有________．解析：由1a <1b ，得1a －1b <0，b －a ab <0，故①②④可推得1a <1b 成立．答案：①②④7．设x ＝a 2b 2＋5，y ＝2ab －a 2－4a ，若x >y ，则实数a ，b 应满足的条件为________． 解析：∵x >y ，∴x －y ＝a 2b 2＋5－2ab ＋a 2＋4a ＝(ab －1)2＋(a ＋2)2>0. ∴ab －1≠0或a ＋2≠0. 即ab ≠1或a ≠－2. 答案：ab ≠1或a ≠－28．若a >0，b >0，求证：b2a ＋a2b≥a ＋b .证明：∵b2a ＋a2b －a －b ＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫a b －b a＝错误!，(a －b )2≥0恒成立，且已知a ＞0，b ＞0， ∴a ＋b >0，ab >0.∴错误!≥0.∴错误!＋错误!≥a ＋b .9．若f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围． 解：∵f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ， f (－2)＝4a －2b ＝Af (－1)＋Bf (1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ A ＋B ＝4，B －A ＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧A ＝3，B ＝1.∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． ∵2≤f (1)≤4,1≤f (－1)≤2， ∴3≤3f (－1)≤6， ∴5≤f (1)＋3f (－1)≤10， ∴5≤f (－2)≤10. 10．已知a >0，a ≠1. (1)比较下列各组大小．①a 2＋1与a ＋a ；②a 3＋1与a 2＋a ； ③a 5＋1与a 3＋a 2.(2)探讨在m ，n ∈N ＋条件下，a m ＋n ＋1与a m ＋a n 的大小关系，并加以证明． 解：(1)∵a >0，a ≠1， ∴①a 2＋1－(a ＋a )＝a 2＋1－2a ＝(a －1)2>0. ∴a 2＋1>a ＋a . ②a 3＋1－(a 2＋a ) ＝a 2(a －1)－(a －1) ＝(a ＋1)(a －1)2＞0， ∴a 3＋1>a 2＋a ， ③a 5＋1－(a 3＋a 2) ＝a 3(a 2－1)－(a 2－1) ＝(a 2－1)(a 3－1)．当a>1时，a3>1，a2>1，∴(a2－1)(a3－1)>0.当0<a<1时，0<a3<1,0<a2<1，∴(a2－1)(a3－1)>0.即a5＋1>a3＋a2.(2)根据(1)可探讨，得a m＋n＋1＞a m＋a n.(证明如下) a m＋n＋1－(a m＋a n)＝a m(a n－1)＋(1－a n)＝(a m－1)(a n－1)．当a>1时，a m>1，a n>1，∴(a m－1)(a n－1)>0.当0<a<1时，0<a m<1,0<a n<1，∴(a m－1)(a n－1)>0.综上(a m－1)(a n－1)>0，即a m＋n＋1>a m＋a n.。
不等式的基本性质教案
不等式的基本性质教案一、教学目标：1. 让学生理解不等式的概念，掌握不等式的基本性质。
2. 培养学生解决实际问题的能力，提高学生的数学思维能力。
二、教学内容：1. 不等式的概念及其表示方法。
2. 不等式的基本性质：加减乘除同一数或式子，不等号方向不变；乘除相反数，不等号方向改变。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：不等式的概念，不等式的基本性质。
2. 教学难点：不等式性质的灵活运用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生探索不等式的基本性质。
2. 利用实例分析，让学生感受不等式在实际问题中的应用。
五、教学步骤：1. 引入不等式的概念，让学生了解不等式的表示方法。
3. 利用PPT展示不等式的基本性质，让学生直观地感受性质的应用。
4. 进行课堂练习，让学生巩固所学的不等式基本性质。
5. 结合实际问题，让学生运用不等式基本性质解决问题。
7. 布置课后作业，巩固所学知识。
六、教学评价：1. 课后收集学生的课堂练习和课后作业，评价学生对不等式基本性质的掌握程度。
2. 在下一节课开始时，让学生分享自己解决实际问题的经历，评估学生运用不等式基本性质解决实际问题的能力。
七、教学反思：在课后，教师应认真反思本节课的教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高学生对不等式基本性质的理解和运用能力。
八、课后作业：1. 完成练习册上的相关习题。
2. 举出生活中的不等式实例，并与同学分享。
九、教学进度安排：本节课计划用1课时完成。
十、教学资源：1. PPT课件。
2. 练习册。
3. 实际问题案例。
六、教学活动设计：1. 导入新课：通过复习上一节课的内容，引导学生回顾不等式的基本性质。
2. 小组讨论：让学生分组讨论，每组选择一个实际问题，运用不等式的基本性质解决问题，并分享解题过程和答案。
3. 案例分析：教师展示一些典型的问题案例，让学生分析并解释不等式基本性质在解决问题中的作用。
4. 练习巩固：学生完成一些有关不等式基本性质的练习题，教师及时给予指导和反馈。
人教新课标A版选修4-5第一讲1.1.1不等式的基本性质
60
∵60<x<84,∴27<x-y<56,
20
即
11
33
< <3.
答案:(27,56)
20
11
,3
<
<
84
28
,
典型例题领会
-21-
学习目标导引
题型一
题型二
题型三
基础知识梳理
核心要点解析
典型例题领会
题型四
反思本题不能直接用x的取值范围去减或除以y的取值范围,应严
格利用不等式的基本性质去求得取值范围.在有些题目中,还要注
(5)如果a>b>0,那么an>bn(n∈N,n≥2).
(6)如果 a>b>0,那么 > (n∈N,n≥2).
3.作差比较法
(1)理论根据:a-b>0⇔a>b;a-b=0⇔a=b;a-b<0⇔a<b.
(2)方法步骤:① 作差;② 变形;③ 判断符号;④ 下结论.
典型例题领会
-5-
学习目标导引
-17-
学习目标导引
题型一
题型二
题型三
基础知识梳理
核心要点解析
典型例题领会
-18-
题型四
用作差法比较大小
【例 2】当 a≠0 时,比较(a2+ 2a+1)(a2- 2a+1)与(a2+a+1)(a2-a+1)
的大小.
分析:比较两个数(式)的大小,将两数(式)作差,若差值为正,则前者
大;若差值为负,则后者大.
1
1
1
教学设计 选修4-5-《不等式的基本性质》教学设计
教学设计选修4-5-《不等式的基本性质》教学设计本教学设计旨在帮助学生掌握不等式的基本性质，理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义。
教学目标包括理解不等式研究的基础，掌握不等式的基本性质，并能加以证明；会用不等式的基本性质判断不等关系和用比较法，分析法证明简单的不等式。
教学重点为应用不等式的基本性质推理判断命题的真假，利用不等式的性质求范围。
教学难点在于灵活应用不等式的基本性质。
引入部分介绍了现实世界中的不等关系，说明了本章知识的地位和作用。
不等式的基本性质部分分为六个小点，包括实数的运算性质与大小顺序的关系，对称性、传递性、可加性、可乘性、乘、开方法和倒数性质。
通过例题演示了“差比法”的应用，引导学生灵活运用不等式的基本性质。
本教学设计的目的是帮助学生全面掌握不等式的基本性质，理解实数大小的比较方法，能够应用不等式的基本性质推理判断命题的真假，利用不等式的性质求范围。
1.差比法和商比法是比较大小的常用方法。
差比法指如果A减去B大于0，则A大于B；如果A减去B等于0，则A 等于B；如果A减去B小于0，则A小于B。
商比法指如果A和B都大于0，则A除以B大于1，则A大于B；如果A 除以B等于1，则A等于B；如果A除以B小于1，则A小于B。
2.在命题判断中，第一题中的命题错误，因为无法确定c 和d的大小关系；第二题中的命题正确，因为如果a除以b大于1，则a大于b；第三题中的命题错误，因为无法确定a和b的大小关系；第四题中的命题错误，因为无法确定c和d的大小关系；第五题中的命题正确，因为如果a小于b小于c，则a小于c。
3.在例3中，已知c大于a大于b大于0，可以通过分析得出证题思路。
因为a除以c大于b除以c，所以a减去b除以c减去b大于0，即(a-b)/(c-b)大于0.又因为c减去a除以c 减去b小于1，即(c-a)/(c-b)小于1.因此，可以得出a小于c乘以b除以a小于b小于c。
4.在例4中，已知-π/2小于等于α小于β小于等于π/2，需要求α加β除以α减去β除以2的范围。
人教新课标版数学高二选修4-5课件 第1课时 不等式的基本性质
3
∴
ad＜ 3
b c.
证明
2.若本例条件不变，求证：aa－cc＜bb－dd . 证明 ∵a＞b＞0，
∴1b＞1a＞0. 又∵c＜d＜0，
∴－c＞－d＞0，
∴－1d＞－1c＞0. ∴1b＋－1d＞1a＋－1c＞0，即db－db＞c－acdd .
解答
(2)若 c＞a＞b＞0，则c－a a＞c－b b； 解 正确. 因为c－a＞0，c－b＞0，且c－a＜c－b， 所以c－1 a＞c－1 b＞0. 又a＞b＞0， 所以c－a a＞c－b b.
解答
(3)若ac＞bd，则 ad＞bc； 解 不正确. 因为ac＞bd，所以ac－bd＞0，
ad－bc 即 cd ＞0， 所以acdd＞－0bc＞0， 或acdd＜－0b，c＜0，
√C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件 解析 ∵q⇒p， ∴p是q的必要条件.但p⇏q， ∴p不是q的充分条件.
12345
解析 答案
3.若a＜0，－1＜b＜0，则有
A.a＞ab＞ab2 C.ab＞a＞ab2
B.ab2＞ab＞a
√D.ab＞ab2＞a
解析 ∵－1＜b＜0， ∴b＜b2＜1. ∵a＜0， ∴ab＞ab2＞a.
本课结束
证明
反思与感悟
进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、记熟不等式性质的 基础之上，如果不能直接由不等式的性质得到，可以先分析需要证 明的不等式的结构，利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的 充分条件.
跟踪训练 3 已知 a＞0，b＞0，c＞0，d＞0，且ab＞dc，求证：ba＋＋dc＞dc . 证明 因为 a＞0，b＞0，c＞0，d＞0 且ab＞dc， 所以ad＞bc， 所以ad＋cd＞bc＋cd，即d(a＋c)＞c(b＋d)， 所以ba＋＋dc＞dc .
高中数学人教A版选修4-5教学案：第一讲一1.不等式的基本性质
1．不等式的基本性质对应学生用书P1 1．实数大小的比较(1)数轴上的点与实数一一对应，可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的大小．在数轴上，右边的数总比左边的数大．(2)如果a－b＞0，则a＞b；如果a－b＝0，则a＝b；如果a－b＜0，则a＜b.(3)比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的差a－b的符号；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号．2．不等式的基本性质由两数大小关系的基本事实，可以得到不等式的一些基本性质：(1)如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b.即a＞b⇔b＜a.(2)如果a＞b，b＞c，那么a＞c.即a＞b，b＞c⇒a>c.(3)如果a＞b，那么a＋c>b＋c.(4)如果a＞b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc.(5)如果a>b>0，那么a n>b n(n∈N，n≥2)．(6)如果a>b>0n∈N，n≥2)．3．对上述不等式的理解使用不等式的性质时，一定要清楚它们成立的前提条件，不可强化或弱化它们成立的条件，盲目套用，例如：(1)等式两边同乘以一个数仍为等式，但不等式两边同乘以同一个数c(或代数式)结果有三种：①c＞0时得同向不等式；②c＝0时得等式；③c<0时得异向不等式．(2)a＞b，c＞d⇒a＋c>b＋d，即两个同向不等式可以相加，但不可以相减；而a>b>0，c>d>0⇒ac>bd，即已知的两个不等式同向且两边为正值时，可以相乘，但不可以相除．(3)性质(5)、(6)成立的条件是已知不等式两边均为正值，并且n∈N，n≥2，否则结论不成立．而当n取正奇数时可放宽条件，a>b⇒a n>b n(n＝2k＋1，k∈N)，a>b⇒na>nb(n＝2k＋1，k∈N＋)．(4)在不等式的基本性质中，条件和结论的逻辑关系有两种：“⇒”与“⇔”，即推出关系和等价关系，或者说“不可逆关系”与“可逆关系”．这要求必须熟记与区别不同性质的条件．如a ＞b ，ab ＞0⇒1a ＜1b，而反之不成立．对应学生用书P1[例1] 已知x ，y 均为正数，设m ＝1x ＋1y ，n ＝4x ＋y，试比较m 和n 的大小．[思路点拨] 两式作差――→变形 转化为因式乘积形式――→与0比较判断正负，得出大小 [解] m －n ＝1x ＋1y －4x ＋y ＝x ＋y xy －4x ＋y ＝(x ＋y )2－4xy xy (x ＋y )＝(x －y )2xy (x ＋y )，∵x ，y 均为正数，∴x >0，y >0，xy >0，x ＋y >0，(x －y )2≥0. ∴m －n ≥0，即m ≥n .(当x ＝y 时，等号成立)．比较两个数(式子)的大不，一般用作差法，其步骤是：作差—变形—判断差的符号—结论，其中“变形”是关键，常用的方法是分解因式、配方等．1．已知a ，b ∈R ，比较a 4＋b 4与a 3b ＋ab 3的大小． 解：因为(a 4＋b 4)－(a 3b ＋ab 3) ＝a 3(a －b )＋b 3(b －a ) ＝(a －b )(a 3－b 3) ＝(a －b )2(a 2＋ab ＋b 2) ＝(a －b )2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＋34b 2≥0 (当且仅当a ＝b 时，取“＝”号) 所以a 4＋b 4≥a 3b ＋ab 3.2．在数轴的正半轴上，A 点对应的实数为6a 29＋a 4，B 点对应的实数为1，试判别A 点在B 点的左边，还是在B 点的右边？解：因为6a 29＋a 4－1＝－(a 2－3)29＋a 4≤0，所以6a 29＋a 4≤1.当且仅当a ＝±3时取“＝”，所以当a ≠±3时，A 点在B 点左边，当a ＝±3时，A 点与B 点重合．[例2] 已知a >b >0，c <d <0，e <0. 求证：e a －c >e b －d. [思路点拨] 可以作差比较，也可用不等式的性质直接证明． [证明] 法一：e a －c －eb －d ＝e (b －d －a ＋c )(a －c )(b －d )＝e (b －a ＋c －d )(a －c )(b －d )，∵a >b >0，c <d <0， ∴b －a <0，c －d <0. ∴b －a ＋c －d <0.又∵a >0，c <0，∴a －c >0. 同理b －d >0， ∴(a －c )(b －d )>0.∵e <0，∴e (b －a ＋c －d )(a －c )(b －d )>0.即e a －c >eb －d.法二：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c <d <0⇒－c >－d >0a >b >0⇒⎭⎪⎬⎪⎫a －c >b －d >0⇒1a －c <1b －d e <0⇒e a －c ＞e b －d .进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、记熟不等式性质的基础之上，如果不能直接由不等式的性质得到，可以先分析需要证明的不等式的结构，利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件．3．判断下列命题的真假，并简述理由． (1)若a >b ，c >d ，则ac >bd ； (2)若a >b >0，c >d >0，则a c >bd ；(3)若a >b ，c <d ，则a －c >b －d ；(4)若a >b ，则a n ＞b n ，n a >nb (n ∈N 且n ≥2)．解：(1)取a ＝3，b ＝2，c ＝－2，d ＝－3，即3>2，－2>－3.此时ac ＝bd ＝－6.因此(1)为假命题．(2)因同向不等式不能相除，取a ＝6，b ＝4，c ＝3，d ＝2，此时a c ＝bd ＝2.因此(2)为假命题．(3)∵c <d ，∴－c >－d ，因此(3)为真命题．(4)当a >b >0时，才能成立，取a ＝－2，b ＝－3，当n 为偶数时不成立，因此(4)为假命题．4．已知a ，b ，x ，y 都是正数，且1a >1b ，x >y ，求证：x x ＋a >y y ＋b. 证明：因为a ，b ，x ，y 都是正数， 且1a >1b .x >y ，所以x a >y b ， 所以a x <b y .故a x ＋1<by ＋1， 即x ＋a x <y ＋b y .所以x x ＋a >y y ＋b.[例3] (1)已知：－π2≤α<β≤π2，求α－β的范围．(2)已知：－1≤a ＋b ≤1,1≤a －2b ≤3，求a ＋3b 的范围． [思路点拨] 求代数式的范围应充分利用不等式的基本性质． [解] (1)∵－π2≤α<β≤π2，∴－π2≤α＜π2，－π2≤－β＜π2.且α＜β.∴－π≤α－β＜π且α－β＜0.∴－π≤α－β<0.即α－β的范围为[－π，0)． (2)设a ＋3b ＝λ1(a ＋b )＋λ2(a －2b ) ＝(λ1＋λ2)a ＋(λ1－2λ2)b . 解得λ1＝53，λ2＝－23.∴－53≤53(a ＋b )≤53，－2≤－23(a －2b )≤－23.∴－113≤a ＋3b ≤1.即a ＋3b 的范围为⎣⎡⎦⎤－113，1.求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面，严格依据不等式的性质和运算法则进行运算，是解答此类问题的基础，在使用不等式的性质中，如果是由两个变量的范围求其差的范围，一定不能直接作差，而要转化为同向不等式后作和．5．若8＜x ＜10,2＜y ＜4，则xy 的取值范围是________．解析：∵2＜y ＜4， ∴14＜1y ＜12.又8＜x ＜10， ∴2＜x y ＜5.答案：(2,5)6．已知1≤α＋β≤4，－2≤α－β≤－1，求2α－β的取值范围． 解：设2α－β＝m (α＋β)＋n (α－β)，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2，m －n ＝－1.⇒⎩⎨⎧m ＝12，n ＝32.又1≤α＋β≤4，－2≤α－β≤－1∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫12≤12(α＋β)≤2，－3≤32(α－β)≤－32，⇒－52≤2α－β≤12.∴2α－β的取值范围为⎣⎡⎦⎤－52，12对应学生用书P31．已知数轴上两点A ，B 对应的实数分别为x ，y ，若x <y <0，则|x |与|y |对应的点P ，Q 的位置关系是( )A ．P 在Q 的左边B ．P 在Q 的右边C ．P ，Q 两点重合D ．不能确定解析：∵x <y <0，∴|x |>|y |>0.故P 在Q 的右边． 答案：B2．下列命题中不．正确的是( ) A ．若3a >3b ，则a >b B ．若a >b ，c >d ，则a －d >b －c C ．若a >b >0，c >d >0，则a d >bcD ．若a >b >0，ac >bd ，则c >d解析：当c >0，d >0时，才有a >b >0，ac >bd ⇒c >d . 答案：D3．已知a >b >c ，则下列不等式正确的是( ) A ．ac >bcB ．ac 2>bc 2C ．b (a －b )>c (a －b )D ．|ac |>|bc |解析：a >b >c ⇒a －b >0⇒(a －b )b >(a －b )c . 答案：C4．已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，若c a ＋b ＜a b ＋c ＜bc ＋a ，则( )A ．c ＜a ＜bB ．b ＜c ＜aC ．a ＜b ＜cD ．c ＜b ＜a解析：由c a ＋b ＜a b ＋c ＜b c ＋a ，可得c a ＋b ＋1＜a b ＋c ＋1＜bc ＋a ＋1，即a ＋b ＋c a ＋b ＜a ＋b ＋c b ＋c ＜a ＋b ＋cc ＋a，又a ，b ，c ∈(0，＋∞)，所以a ＋b ＞b ＋c ＞c ＋a .由a ＋b ＞b ＋c 可得a ＞c ；由b ＋c ＞c ＋a 可得b ＞a ，于是有c ＜a ＜b .答案：A5．已知0＜a ＜1，则a ，1a，a 2的大小关系是________．解析：∵a －1a ＝(a ＋1)(a －1)a ＜0，∴a ＜1a.又a －a 2＝a (1－a )＞0， ∴a ＞a 2.∴a 2＜a ＜1a .答案：a 2＜a ＜1a6．给出四个条件：①b >0>a ，②0>a >b ，③a >0>b ，④a >b >0. 能得出1a ＜1b成立的有________．解析：由1a <1b ，得1a －1b <0，b －a ab <0，故①②④可推得1a <1b 成立．答案：①②④7．设x ＝a 2b 2＋5，y ＝2ab －a 2－4a ，若x >y ，则实数a ，b 应满足的条件为________． 解析：∵x >y ，∴x －y ＝a 2b 2＋5－2ab ＋a 2＋4a ＝(ab －1)2＋(a ＋2)2>0. ∴ab －1≠0或a ＋2≠0. 即ab ≠1或a ≠－2. 答案：ab ≠1或a ≠－28．若a >0，b >0，求证：b 2a ＋a 2b ≥a ＋b .证明：∵b 2a ＋a 2b －a －b ＝(a －b )⎝⎛⎭⎫a b －b a ＝(a －b )2(a ＋b )ab，(a －b )2≥0恒成立，且已知a ＞0，b ＞0， ∴a ＋b >0，ab >0.∴(a －b )2(a ＋b )ab ≥0.∴b 2a ＋a 2b≥a ＋b .9．若f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围． 解：∵f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ， f (－2)＝4a －2b ＝Af (－1)＋Bf (1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ A ＋B ＝4，B －A ＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧A ＝3，B ＝1.∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．∵2≤f(1)≤4,1≤f(－1)≤2，∴3≤3f(－1)≤6，∴5≤f(1)＋3f(－1)≤10，∴5≤f(－2)≤10.10．已知a>0，a≠1.(1)比较下列各组大小．①a2＋1与a＋a；②a3＋1与a2＋a；③a5＋1与a3＋a2.(2)探讨在m，n∈N＋条件下，a m＋n＋1与a m＋a n的大小关系，并加以证明．解：(1)∵a>0，a≠1，∴①a2＋1－(a＋a)＝a2＋1－2a＝(a－1)2>0.∴a2＋1>a＋a.②a3＋1－(a2＋a)＝a2(a－1)－(a－1)＝(a＋1)(a－1)2＞0，∴a3＋1>a2＋a，③a5＋1－(a3＋a2)＝a3(a2－1)－(a2－1)＝(a2－1)(a3－1)．当a>1时，a3>1，a2>1，∴(a2－1)(a3－1)>0.当0<a<1时，0<a3<1,0<a2<1，∴(a2－1)(a3－1)>0.即a5＋1>a3＋a2.(2)根据(1)可探讨，得a m＋n＋1＞a m＋a n.(证明如下)a m＋n＋1－(a m＋a n)＝a m(a n－1)＋(1－a n)＝(a m－1)(a n－1)．当a>1时，a m>1，a n>1，∴(a m－1)(a n－1)>0.当0<a<1时，0<a m<1,0<a n<1，∴(a m－1)(a n－1)>0.综上(a m－1)(a n－1)>0，即a m＋n＋1>a m＋a n.。
不等式的基本性质教案
不等式的基本性质教案一、教学目标：1. 让学生理解不等式的概念，掌握不等式的基本性质。
2. 培养学生解决实际问题的能力，提高学生的数学思维水平。
3. 通过对不等式的学习，培养学生的逻辑推理和运算能力。
二、教学内容：1. 不等式的定义及表示方法。
2. 不等式的基本性质（性质1、性质2、性质3）。
3. 不等式的运算规则。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：不等式的概念、表示方法、基本性质及运算规则。
2. 教学难点：不等式基本性质的理解和应用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生探索不等式的基本性质。
2. 利用实例分析，让学生感受不等式在实际问题中的应用。
3. 运用小组合作学习，培养学生之间的交流与协作能力。
五、教学过程：1. 导入：通过生活实例引入不等式的概念，让学生感知不等式的存在。
2. 新课讲解：讲解不等式的表示方法，阐述不等式的基本性质，引导学生理解和记忆。
3. 例题解析：分析典型例题，让学生运用不等式的基本性质解决问题。
4. 课堂练习：设计相关练习题，巩固学生对不等式基本性质的掌握。
5. 总结与拓展：对本节课内容进行总结，布置课后作业，鼓励学生深入研究不等式的应用。
6. 教学反思：根据学生课堂表现和作业情况，对教学效果进行评估，为下一步教学提供调整依据。
六、教学评价：1. 通过课堂问答、练习题和课后作业，评估学生对不等式基本性质的理解和应用能力。
2. 关注学生在解决问题时的思维过程，考察其逻辑推理和运算能力。
3. 结合学生的小组合作学习和课堂参与度，评价其协作和沟通能力。
七、教学资源：1. 教学PPT：展示不等式的定义、表示方法和基本性质。
2. 练习题库：提供不同难度的练习题，用于巩固所学内容。
3. 实例素材：收集与不等式相关的实际问题，用于课堂讨论和练习。
八、教学进度安排：1. 第1-2课时：介绍不等式的概念和表示方法。
2. 第3-4课时：讲解不等式的基本性质。
3. 第5-6课时：通过例题解析和练习，巩固不等式的基本性质。
人教课标版高中数学选修4-5：《不等式的基本性质》教案-新版
1.1 课时1 不等式的基本性质一、教学目标（一）核心素养在回顾和复习不等式的过程中，对不等式的基本性质进行系统地归纳整理，并对“不等式有哪些基本性质和如何研究这些基本性质”进行讨论，使学生掌握相应的思想方法，以提高学生对不等式基本性质的认识水平.（二）学习目标1.理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究的基础.2.掌握不等式的基本性质，并能加以证明.3.会用不等式的基本性质判断不等关系和用比较法.（三）学习重点应用不等式的基本性质推理判断命题的真假；代数证明.（四）学习难点灵活应用不等式的基本性质.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）读一读：阅读教材第2页至第4页，填空：a b >⇔ a b =⇔ a b <⇔（2）判断：下列说法是否正确？①,a b b c a c >>⇒> ②a c b c a b +>+⇒> ③ac bc a b >⇒>④33a b a b >⇒> ⑤22a b a b >⇒> ⑥,a b c d ac bd >>⇒>2.预习自测（1）当x ∈ ，代数式2(1)x +的值不大于1x +的值.【知识点】作差比较法【解题过程】2(1)(1)x x +-+=2(1)x x x x -=-【思路点拨】熟悉作差比较法【答案】[0,1]（2）若c ∈R ，则22ac bc > a b >A.⇒B.⇔C.⇐D.≠【知识点】不等式的基本性质【解题过程】由22ac bc >，得0c ≠，所以20c >；当,0a b c >=时，22ac bc =.【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】A.（3）当实数,a b 满足怎样条件时，由a b >能推出11a b<? 【知识点】作差比较法 【解题过程】11b a a b ab --=，因为a b >，所以当0ab >时，11a b <. 【思路点拨】掌握作差比较法【答案】当0ab >时，11a b<. (二)课堂设计1.问题探究探究一 结合实例，认识不等式●活动① 归纳提炼概念人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的.【设计意图】从生活实例到数学问题，从特殊到一般，体会概念的提炼、抽象过程. ●活动② 认识作差比较法关于实数,a b 的大小关系，有以下基本事实：如果a b >，那么a b -是正数；如果a b =，那么a b -等于零；如果a b <，那么a b -是负数.反过来也对.这个基本事实可以表示为：0;0;0a b a b a b a b a b a b >⇔->=⇔-=<⇔-<，上面的符号“⇔”表示“等价于”，即可以互相推出.从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与零的大小，这是研究不等式的一个出发点.这种方法称为作差比较法.【设计意图】通过基本事实，加深对不等式的理解，突破重点.●活动③ 了解作差比较法的步骤例1 试比较(3)(7)x x ++和(5)(6)x x ++的大小.【知识点】作差比较法【数学思想】分类讨论思想【解题过程】第一步：作差 (3)(7)(5)(6)x x x x ++-++第二步：变形 22(3)(7)(5)(6)(1021)(1130)9x x x x x x x x x ++-++=++-++=--第三步：定号 当90x -->时，9x <-；当90x --=时，=9x -；当90x --<时，9x >- 第四步：结论当9x <-时，(3)(7)(5)(6)x x x x ++>++；当9x =-时，(3)(7)=(5)(6)x x x x ++++；当9x >-时，(3)(7)(5)(6)x x x x ++<++；【思路点拨】熟悉作差比较法比较大小的步骤【答案】当9x <-时，(3)(7)(5)(6)x x x x ++>++；当9x =-时，(3)(7)=(5)(6)x x x x ++++；当9x >-时，(3)(7)(5)(6)x x x x ++<++；思考：作差比较法的步骤中，哪一步最为关键？第二步变形最重要，变形要变到可以判断代数式的正负为止，变形的方法通常有分解因式，配方，平方，有理化等.同类训练 比较(1)(2)x x ++与(3)(6)x x -+的大小.【知识点】作差比较法【数学思想】分类讨论思想【解题过程】 因为 22(1)(2)(3)(6)(32)(318)200x x x x x x x x ++--+=++-+-=>， 所以(1)(2)(3)(6)x x x x ++>-+【思路点拨】熟悉作差比较法比较大小的步骤【答案】(1)(2)(3)(6)x x x x ++>-+【设计意图】通过对作差比较法的步骤分析，更加深刻理解不等式.探究二 探究不等式的基本性质●活动① 认识不等式的基本性质我们知道，等式的基本性质是从数的运算的角度提出的.同样的，由于不等式也研究实数之间的关系，所以联系实数的运算（加、减、乘、除、乘方、开方等）来思考不等式的基本性质是非常自然的.例如，不等式两边加（或乘）同一个数，不等式是否仍然成立？等等.由两个实数大小关系的基本事实，可以得出不等式的一些基本性质.（1）如果a b >，那么b a <；如果b a <，那么a b >.即a b b a >⇔<.（2）如果,a b b c >>，那么a c >.即,a b b c a c >>⇒>.（3）如果a b >，那么a c b c +>+.（4）如果,0a b c >>，那么ac bc >；如果,0a b c ><，那么ac bc <.（5）如果0a b >>，那么(,2)n n a b n n >∈≥N .（6）如果0a b >>,2)n n >∈≥N .通过语言叙述可以加深理解上述基本性质.例如，性质（4）可以表述为：不等式两边同乘一个正数，不等号同向；不等式两边同乘一个负数，不等号反向.对于以上的基本性质，可采用作差比较法来证明，如性质（4）：证明：()ac bc c a b -=-，如果,0a b c >>，则0,0a b c ->>，所以()0ac bc c a b -=->，即ac bc >，同理如果,0a b c ><，那么ac bc <.思考：通过不等式的基本性质，在研究不等式时，需要特别注意什么问题？事实上，从上述基本性质可以发现，在研究不等式时，需要特别注意“符号问题”，即在作乘（除）法运算时，乘（除）数的符号会影响不等号的方向.【设计意图】通过对不等式的性质的认识，为后面的运用做好铺垫.●活动② 巩固理解，拓展延伸上述关于不等式的基本事实和基本性质是解决不等式问题的基本依据，研究不等式时，经常以它们作为出发点.例如，利用不等式的基本性质可以得到下列结论：（1）如果,a b c d >>，那么a c b d +>+；（2）如果0,0a b c d >>>>，那么ac bd >；（3）如果0,ab a b >>，那么11a b<. 对于上述（2），可由如下方法证明：()()()()0ac bd ac bc bc bd c a b b c d -=-+-=-+->，所以ac bd >.【设计意图】从给出的基本性质到延伸性质，加深对不等式的认识.探究三 不等式性质的应用●活动① 利用性质证明不等式例2 已知0,0a b c d >>>>>. 【知识点】不等式的基本性质【解题过程】证明：因为0,0a b c d >>>>，所以110,0a b d c >>>>.所以a b d c >>. 【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】见解析同类训练 求证：如果0,0a b c d >><<，那么ac bd <.【知识点】不等式的基本性质【解题过程】证明：因为0c d <<，所以0c d ->->，又因为0a b >>，所以两式可相乘，得ac bd ->-，所以ac bd <.【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】见解析【设计意图】通过对例题的讲解，使学生掌握利用不等式的性质证明不等式.●活动② 互动交流、判断正误例3 若011<<ba ，以下结论中正确的有 ①ab b a <+； ②||||b a >； ③b a <； ④02<-ab a【知识点】不等式的基本性质；特殊值法【数学思想】特殊与一般思想【解题过程】法1：由011<<ba ，得0<<ab ，所以ab b a <<+0，①正确，②③错误； 0)(2<-=-b a a ab a ，④正确法2：取2,1-=-=b a ，可算出各式的值，得出答案.【思路点拨】熟悉不等式的基本性质，掌握特殊值法.【答案】①④同类训练 判断下列各命题的真假，并说明理由：（1）如果b a >，那么bc ac >；（2）如果b a >，那么22bc ac >；（3）如果b a >，那么)(*N n b a n n ∈>)(R ∈>n b a n n ；（4）如果d c b a <>,，那么d b c a ->-.【知识点】不等式的基本性质【解题过程】（1）是假命题，因为不知c 的正负；（2）是假命题，因为当0=c 时不成立；（3）是假命题，因为不知b a ,的正负；（4）是真命题，因为d c b a ->->,，由同向不等式的可加性知,d b c a ->-.【思路点拨】熟悉不等式的基本性质【答案】见解析【设计意图】通过分析不等式的结论是否正确，掌握利用不等式的性质判断及特殊值判断.2.课堂总结知识梳理（1）0;0;0a b a b a b a b a b a b >⇔->=⇔-=<⇔-<.（2）作差比较法的步骤：作差、变形、定号、结论.（3）不等式的基本性质.重难点归纳（1）应用不等式的基本性质推理判断命题的真假.（2）灵活应用不等式的基本性质.（三）课后作业基础型 自主突破1.设,a b ∈R , 则 “2()0a b a -<”是“a b <”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【知识点】不等式的性质；充分必要条件【数学思想】分类讨论思想【解题过程】若2()0a b a -<，则a b <；若a b <，则2()0a b a -≤，所以“2()0a b a -<”是“a b <”的充分而不必要条件.【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】A2.对于任意实数,,,a b c d ，下列五个命题中:①若,0a b c >≠，则ac bc >；②若a b >，则22ac bc >；③若22ac bc >，则a b >； ④若,a b >则11a b<； ⑤若0,a b c d >>>，则ac bd >.其中真命题的个数是（ ）A.1B.2C.3D.4【知识点】不等式的性质【解题过程】,0a b c >≠，当0c <时，ac bc >不成立，①是假命题；a b >，当20,0c c ==时，22ac bc >不成立，②是假命题；因为22ac bc >，所以，20c >，a b >，③是真命题；,a b >当,a b 同号时，11a b <成立，而,a b 异号时，11a b <不成立，④是假命题；0,a b c d >>>时，ac bd >不一定成立，只有当0,0a b c d >>>>时，ac bd >成立，⑤是假命题.【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】A3.如果0a b <<, 那么（ ）A.0a b ->B. ac bc <C.22a b <D.11a b> 【知识点】不等式的性质【解题过程】利用不等式的性质: 1100a b b a <<⇒<< 【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】D4.不等式22lg lg x x <的解集是（ ） A.1(,1)100 B.(100,)+∞ C.1(,1)100(100,)+∞ D.(0,1)(100,)+∞【知识点】不等式性质及对数运算. 【解题过程】：由22lg lg x x < 22lg lg x x ⇒< lg 2x ⇒>或lg 0x < 100x ⇒>或01x <<【思路点拨】掌握不等式的基本性质及对数运算，注意真数大于0.【答案】D5.设11a b >>>-,则下列不等式中恒成立的是（ ）A.2a b >B.11a b >C.11a b< D.22a b > 【知识点】不等式的性质及应用【解题过程】由11b -<< 201b ⇒<<, 又1a >, 2a b ∴>.【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】A6.若0<<b a ，则下列不等式一定成立的是（ ） A. b b a 11>- B.ab a <2 C.a a b a > D.1||1||||++<a b a b 【知识点】不等式的性质.【数学思想】特殊与一般思想【解题过程】当012<-=<-=b a 时，b b a 11=-，141=<=a a b a ，∴选项A 、C 都不成立， 又0<<b a ，ab a >∴2，∴选项B 不成立，又0)1|(|||)1|(|||||||1||1||||<++-=+-=++-a a a b a a a b a b a b ，即1||1||||++<a b a b 成立. 【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】D能力型 师生共研7.已知命题2:[1,2],0p x x a ∀∈-≥，命题2:,220q x x ax a ∃∈++-=R ，若命题p q ∧是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A.2a ≤-或1a =B.2a ≤-或12a ≤≤C.2a ≥D.21a -≤≤【知识点】命题及不等式【数学思想】化归与转化思想【解题过程】命题p 为真命题时，要使2[1,2],0x x a ∀∈-≥，只需2min ()a x ≤，因为[1,2]x ∈，所以214x ≤≤，所以2min ()1x =，所以1a ≤①；命题q 为真命题时，2,220x x ax a ∃∈++-=R ，即2220x ax a ++-=有实数根，所以2(2)4(2)0a a ∆=--≥，解得21a a ≤-≥或②.因为p q ∧是真命题，所以,p q 均为真命题.①②取交集得2a ≤-或1a =.【思路点拨】掌握分离参数法解含参问题【答案】A8.已知,,a b c ∈R ，给出下列命题：①若a b >，则22ac bc >；②若0ab ≠，则2a b b a+≥；③若0,a b n *>>∈N ，则n n a b >； ④若log 0(0,1)a b a a <>≠，则,a b 中至少有一个大于1.其中真命题的个数为（ ）A.2B.3C.4D.1【知识点】不等式及不等关系，不等式的性质，对数的性质.【解题过程】当0c =时，220ac bc ==，所以①为假命题；当a 与b 异号时，0a b <，0b a <，所以②为假命题；因为0,a b n *>>∈N ，所以n n a b >，③为真命题. ④若log 0(0,1)a b a a <>≠，则有可能1,01a b ><<或1,01b a ><<，即,a b 中至少有一个大于1.是真命题.【思路点拨】掌握不等式的基本性质及对数的性质【答案】A探究型 多维突破9.集合()*{,,S x y z x y z =∈N 、、，且x y z <<、y z x <<、z x y <<恰有一个成立}，若(),,x y z S ∈且(),,z w x S ∈,则下列选项正确的是（ ）A.(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∉B.(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈C.(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈D.(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∉【知识点】不等关系.【数学思想】分类讨论思想【解题过程】从集合S 的定义，(),,x y z S ∈可三个不等式，(),,z w x S ∈也可得三个不等式，组合之后可知,,,x y z w 满足不等关系x y z <<且x z w <<，或x y z <<且w x y <<，或y z x <<且z w x <<，或z x y <<且z w x <<，这样可能有y z w <<或w y z <<或y z w <<或w x y <<，于是(),,x y w S ∉不一定成立，(),,y z w S ∉也不一定成立.【思路点拨】分类讨论注意不重不漏【答案】B10.已知0a b >>，则下列不等式中总成立的是（ ） A.11a b b a +>+ B.11a b a b +>+ C.11b b a a +>+ D.11b a b a->- 【知识点】不等式的性质 【解题过程】11110,0,a b a b b a b a >>∴>>∴+>+. 【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】A自助餐11.如果a b c 、、满足c b a <<，且0ac <，那么下列选项不恒成立的是（ ）A.ab ac >B.22cb ab <C.()0c b a ->D.()0ac a c -<【知识点】不等式的性质.【解题过程】c a <且0ac <，故0,0c a <>，由不等式的性质知A ，C ，D 都恒成立.【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】B12.已知,a b ∈R 且b a >，则下列不等式中成立的是（ ） A.1>ba B.22b a > C.()ln 0a b -> D.21a b -> 【知识点】不等式的性质.【解题过程】只有当0a b >>时，选项A ，B 正确；要使()ln 0a b ->，必须1a b ->，所以选项C 错误；当b a >时，00,221a b a b -->∴>=.【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】D13.设,,a b c ∈R 且a b >，则（ ）A.ac bc >B.11a b< C.22a b > D.33a b > 【知识点】不等式的性质.【解题过程】选项A 中若0c 时,结果错,故A 不正确;选项B 中若0a b >>时,结果错,故B 不正确;选项C 中若0a b >>时,结果错,故C 不正确;在选项D 中由不等式性质可知是正确的.【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】D14.当01x <<时，下列大小关系正确的是（ ）A.333log x x x <<B.33log 3x x x <<C.333log x x x <<D.33log 3x x x <<【知识点】利用中间值法比较大小【解题过程】当01x <<时，33log log 10x <=，33011x <<=，0113333x =<<=，所以33log 3x x x <<.【思路点拨】利用中间值法比较大小时，注意找准“中值”【答案】B15.设()23ln ,3,2234.1===c b a ,则,,a b c 的大小关系是（ ） A.a b c >> B.b c a >> C.c a b >> D.b a c >>【知识点】比较大小.【解题过程】 1.41a =>，3231b =>，3ln 12c =<，所以c 最小，而2 1.42a =，23327b ==， 所以22a b <，即a b <，所以综上得：c a b <<.【思路点拨】比较对数或指数大小时，可先确定其大致范围，然后再比较【答案】D16.若53,42≤<<≤b a ，则b a -3的取值范围为 ，bb a +2的取值范围为 . 【知识点】不等式的性质【解题过程】因为53,42≤<<≤b a ，所以35,1236-<-≤-<≤b a ，所以 931<-≤b a ；31151,824<≤<≤b a ，所以38254<≤b a ，所以3111259<+≤b a ，即311259<+≤b b a . 【思路点拨】应用不等式的可加或可乘性求范围时，注意使用条件.【答案】)9,1[；)311,59[。
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1.1 课时1 不等式的基本性质一、教学目标（一）核心素养在回顾和复习不等式的过程中，对不等式的基本性质进行系统地归纳整理，并对“不等式有哪些基本性质和如何研究这些基本性质”进行讨论，使学生掌握相应的思想方法，以提高学生对不等式基本性质的认识水平.（二）学习目标1.理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究的基础.2.掌握不等式的基本性质，并能加以证明.3.会用不等式的基本性质判断不等关系和用比较法.（三）学习重点应用不等式的基本性质推理判断命题的真假；代数证明.（四）学习难点灵活应用不等式的基本性质.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）读一读：阅读教材第2页至第4页，填空：a b >⇔ a b =⇔ a b <⇔（2）判断：下列说法是否正确？①,a b b c a c >>⇒> ②a c b c a b +>+⇒> ③ac bc a b >⇒>④33a b a b >⇒> ⑤22a b a b >⇒> ⑥,a b c d ac bd >>⇒>2.预习自测（1）当x ∈ ，代数式2(1)x +的值不大于1x +的值.【知识点】作差比较法【解题过程】2(1)(1)x x +-+=2(1)x x x x -=-【思路点拨】熟悉作差比较法【答案】[0,1]（2）若c ∈R ，则22ac bc > a b >A.⇒B.⇔C.⇐D.≠【知识点】不等式的基本性质【解题过程】由22ac bc >，得0c ≠，所以20c >；当,0a b c >=时，22ac bc =.【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】A.（3）当实数,a b 满足怎样条件时，由a b >能推出11a b<? 【知识点】作差比较法 【解题过程】11b a a b ab --=，因为a b >，所以当0ab >时，11a b <. 【思路点拨】掌握作差比较法【答案】当0ab >时，11a b<. (二)课堂设计1.问题探究探究一 结合实例，认识不等式●活动① 归纳提炼概念人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的.【设计意图】从生活实例到数学问题，从特殊到一般，体会概念的提炼、抽象过程. ●活动② 认识作差比较法关于实数,a b 的大小关系，有以下基本事实：如果a b >，那么a b -是正数；如果a b =，那么a b -等于零；如果a b <，那么a b -是负数.反过来也对.这个基本事实可以表示为：0;0;0a b a b a b a b a b a b >⇔->=⇔-=<⇔-<，上面的符号“⇔”表示“等价于”，即可以互相推出.从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与零的大小，这是研究不等式的一个出发点.这种方法称为作差比较法.【设计意图】通过基本事实，加深对不等式的理解，突破重点.●活动③ 了解作差比较法的步骤例1 试比较(3)(7)x x ++和(5)(6)x x ++的大小.【知识点】作差比较法【数学思想】分类讨论思想【解题过程】第一步：作差 (3)(7)(5)(6)x x x x ++-++第二步：变形 22(3)(7)(5)(6)(1021)(1130)9x x x x x x x x x ++-++=++-++=--第三步：定号 当90x -->时，9x <-；当90x --=时，=9x -；当90x --<时，9x >- 第四步：结论当9x <-时，(3)(7)(5)(6)x x x x ++>++；当9x =-时，(3)(7)=(5)(6)x x x x ++++；当9x >-时，(3)(7)(5)(6)x x x x ++<++；【思路点拨】熟悉作差比较法比较大小的步骤【答案】当9x <-时，(3)(7)(5)(6)x x x x ++>++；当9x =-时，(3)(7)=(5)(6)x x x x ++++；当9x >-时，(3)(7)(5)(6)x x x x ++<++；思考：作差比较法的步骤中，哪一步最为关键？第二步变形最重要，变形要变到可以判断代数式的正负为止，变形的方法通常有分解因式，配方，平方，有理化等.同类训练 比较(1)(2)x x ++与(3)(6)x x -+的大小.【知识点】作差比较法【数学思想】分类讨论思想【解题过程】 因为 22(1)(2)(3)(6)(32)(318)200x x x x x x x x ++--+=++-+-=>， 所以(1)(2)(3)(6)x x x x ++>-+【思路点拨】熟悉作差比较法比较大小的步骤【答案】(1)(2)(3)(6)x x x x ++>-+【设计意图】通过对作差比较法的步骤分析，更加深刻理解不等式.探究二 探究不等式的基本性质●活动① 认识不等式的基本性质我们知道，等式的基本性质是从数的运算的角度提出的.同样的，由于不等式也研究实数之间的关系，所以联系实数的运算（加、减、乘、除、乘方、开方等）来思考不等式的基本性质是非常自然的.例如，不等式两边加（或乘）同一个数，不等式是否仍然成立？等等.由两个实数大小关系的基本事实，可以得出不等式的一些基本性质.（1）如果a b >，那么b a <；如果b a <，那么a b >.即a b b a >⇔<.（2）如果,a b b c >>，那么a c >.即,a b b c a c >>⇒>.（3）如果a b >，那么a c b c +>+.（4）如果,0a b c >>，那么ac bc >；如果,0a b c ><，那么ac bc <.（5）如果0a b >>，那么(,2)n n a b n n >∈≥N .（6）如果0a b >>,2)n n >∈≥N .通过语言叙述可以加深理解上述基本性质.例如，性质（4）可以表述为：不等式两边同乘一个正数，不等号同向；不等式两边同乘一个负数，不等号反向.对于以上的基本性质，可采用作差比较法来证明，如性质（4）：证明：()ac bc c a b -=-，如果,0a b c >>，则0,0a b c ->>，所以()0ac bc c a b -=->，即ac bc >，同理如果,0a b c ><，那么ac bc <.思考：通过不等式的基本性质，在研究不等式时，需要特别注意什么问题？事实上，从上述基本性质可以发现，在研究不等式时，需要特别注意“符号问题”，即在作乘（除）法运算时，乘（除）数的符号会影响不等号的方向.【设计意图】通过对不等式的性质的认识，为后面的运用做好铺垫.●活动② 巩固理解，拓展延伸上述关于不等式的基本事实和基本性质是解决不等式问题的基本依据，研究不等式时，经常以它们作为出发点.例如，利用不等式的基本性质可以得到下列结论：（1）如果,a b c d >>，那么a c b d +>+；（2）如果0,0a b c d >>>>，那么ac bd >；（3）如果0,ab a b >>，那么11a b<. 对于上述（2），可由如下方法证明：()()()()0ac bd ac bc bc bd c a b b c d -=-+-=-+->，所以ac bd >.【设计意图】从给出的基本性质到延伸性质，加深对不等式的认识.探究三 不等式性质的应用●活动① 利用性质证明不等式例2 已知0,0a b c d >>>>>. 【知识点】不等式的基本性质【解题过程】证明：因为0,0a b c d >>>>，所以110,0a b d c >>>>.所以a b d c >>. 【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】见解析同类训练 求证：如果0,0a b c d >><<，那么ac bd <.【知识点】不等式的基本性质【解题过程】证明：因为0c d <<，所以0c d ->->，又因为0a b >>，所以两式可相乘，得ac bd ->-，所以ac bd <.【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】见解析【设计意图】通过对例题的讲解，使学生掌握利用不等式的性质证明不等式.●活动② 互动交流、判断正误例3 若011<<ba ，以下结论中正确的有 ①ab b a <+； ②||||b a >； ③b a <； ④02<-ab a【知识点】不等式的基本性质；特殊值法【数学思想】特殊与一般思想【解题过程】法1：由011<<ba ，得0<<ab ，所以ab b a <<+0，①正确，②③错误； 0)(2<-=-b a a ab a ，④正确法2：取2,1-=-=b a ，可算出各式的值，得出答案.【思路点拨】熟悉不等式的基本性质，掌握特殊值法.【答案】①④同类训练 判断下列各命题的真假，并说明理由：（1）如果b a >，那么bc ac >；（2）如果b a >，那么22bc ac >；（3）如果b a >，那么)(*N n b a n n ∈>)(R ∈>n b a n n ；（4）如果d c b a <>,，那么d b c a ->-.【知识点】不等式的基本性质【解题过程】（1）是假命题，因为不知c 的正负；（2）是假命题，因为当0=c 时不成立；（3）是假命题，因为不知b a ,的正负；（4）是真命题，因为d c b a ->->,，由同向不等式的可加性知,d b c a ->-.【思路点拨】熟悉不等式的基本性质【答案】见解析【设计意图】通过分析不等式的结论是否正确，掌握利用不等式的性质判断及特殊值判断.2.课堂总结知识梳理（1）0;0;0a b a b a b a b a b a b >⇔->=⇔-=<⇔-<.（2）作差比较法的步骤：作差、变形、定号、结论.（3）不等式的基本性质.重难点归纳（1）应用不等式的基本性质推理判断命题的真假.（2）灵活应用不等式的基本性质.（三）课后作业基础型 自主突破1.设,a b ∈R , 则 “2()0a b a -<”是“a b <”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【知识点】不等式的性质；充分必要条件【数学思想】分类讨论思想【解题过程】若2()0a b a -<，则a b <；若a b <，则2()0a b a -≤，所以“2()0a b a -<”是“a b <”的充分而不必要条件.【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】A2.对于任意实数,,,a b c d ，下列五个命题中:①若,0a b c >≠，则ac bc >；②若a b >，则22ac bc >；③若22ac bc >，则a b >； ④若,a b >则11a b<； ⑤若0,a b c d >>>，则ac bd >.其中真命题的个数是（ ）A.1B.2C.3D.4【知识点】不等式的性质【解题过程】,0a b c >≠，当0c <时，ac bc >不成立，①是假命题；a b >，当20,0c c ==时，22ac bc >不成立，②是假命题；因为22ac bc >，所以，20c >，a b >，③是真命题；,a b >当,a b 同号时，11a b <成立，而,a b 异号时，11a b <不成立，④是假命题；0,a b c d >>>时，ac bd >不一定成立，只有当0,0a b c d >>>>时，ac bd >成立，⑤是假命题.【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】A3.如果0a b <<, 那么（ ）A.0a b ->B. ac bc <C.22a b <D.11a b> 【知识点】不等式的性质【解题过程】利用不等式的性质: 1100a b b a <<⇒<< 【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】D4.不等式22lg lg x x <的解集是（ ） A.1(,1)100 B.(100,)+∞ C.1(,1)100(100,)+∞ D.(0,1)(100,)+∞【知识点】不等式性质及对数运算. 【解题过程】：由22lg lg x x < 22lg lg x x ⇒< lg 2x ⇒>或lg 0x < 100x ⇒>或01x <<【思路点拨】掌握不等式的基本性质及对数运算，注意真数大于0.【答案】D5.设11a b >>>-,则下列不等式中恒成立的是（ ）A.2a b >B.11a b >C.11a b< D.22a b > 【知识点】不等式的性质及应用【解题过程】由11b -<< 201b ⇒<<, 又1a >, 2a b ∴>.【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】A6.若0<<b a ，则下列不等式一定成立的是（ ） A. b b a 11>- B.ab a <2 C.a a b a > D.1||1||||++<a b a b 【知识点】不等式的性质.【数学思想】特殊与一般思想【解题过程】当012<-=<-=b a 时，b b a 11=-，141=<=a a b a ，∴选项A 、C 都不成立， 又0<<b a ，ab a >∴2，∴选项B 不成立，又0)1|(|||)1|(|||||||1||1||||<++-=+-=++-a a a b a a a b a b a b ，即1||1||||++<a b a b 成立. 【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】D能力型 师生共研7.已知命题2:[1,2],0p x x a ∀∈-≥，命题2:,220q x x ax a ∃∈++-=R ，若命题p q ∧是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A.2a ≤-或1a =B.2a ≤-或12a ≤≤C.2a ≥D.21a -≤≤【知识点】命题及不等式【数学思想】化归与转化思想【解题过程】命题p 为真命题时，要使2[1,2],0x x a ∀∈-≥，只需2min ()a x ≤，因为[1,2]x ∈，所以214x ≤≤，所以2min ()1x =，所以1a ≤①；命题q 为真命题时，2,220x x ax a ∃∈++-=R ，即2220x ax a ++-=有实数根，所以2(2)4(2)0a a ∆=--≥，解得21a a ≤-≥或②.因为p q ∧是真命题，所以,p q 均为真命题.①②取交集得2a ≤-或1a =.【思路点拨】掌握分离参数法解含参问题【答案】A8.已知,,a b c ∈R ，给出下列命题：①若a b >，则22ac bc >；②若0ab ≠，则2a b b a+≥；③若0,a b n *>>∈N ，则n n a b >； ④若log 0(0,1)a b a a <>≠，则,a b 中至少有一个大于1.其中真命题的个数为（ ）A.2B.3C.4D.1【知识点】不等式及不等关系，不等式的性质，对数的性质.【解题过程】当0c =时，220ac bc ==，所以①为假命题；当a 与b 异号时，0a b <，0b a <，所以②为假命题；因为0,a b n *>>∈N ，所以n n a b >，③为真命题. ④若log 0(0,1)a b a a <>≠，则有可能1,01a b ><<或1,01b a ><<，即,a b 中至少有一个大于1.是真命题.【思路点拨】掌握不等式的基本性质及对数的性质【答案】A探究型 多维突破9.集合()*{,,S x y z x y z =∈N 、、，且x y z <<、y z x <<、z x y <<恰有一个成立}，若(),,x y z S ∈且(),,z w x S ∈,则下列选项正确的是（ ）A.(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∉B.(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈C.(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈D.(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∉【知识点】不等关系.【数学思想】分类讨论思想【解题过程】从集合S 的定义，(),,x y z S ∈可三个不等式，(),,z w x S ∈也可得三个不等式，组合之后可知,,,x y z w 满足不等关系x y z <<且x z w <<，或x y z <<且w x y <<，或y z x <<且z w x <<，或z x y <<且z w x <<，这样可能有y z w <<或w y z <<或y z w <<或w x y <<，于是(),,x y w S ∉不一定成立，(),,y z w S ∉也不一定成立.【思路点拨】分类讨论注意不重不漏【答案】B10.已知0a b >>，则下列不等式中总成立的是（ ） A.11a b b a +>+ B.11a b a b +>+ C.11b b a a +>+ D.11b a b a->- 【知识点】不等式的性质 【解题过程】11110,0,a b a b b a b a >>∴>>∴+>+. 【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】A自助餐11.如果a b c 、、满足c b a <<，且0ac <，那么下列选项不恒成立的是（ ）A.ab ac >B.22cb ab <C.()0c b a ->D.()0ac a c -<【知识点】不等式的性质.【解题过程】c a <且0ac <，故0,0c a <>，由不等式的性质知A ，C ，D 都恒成立.【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】B12.已知,a b ∈R 且b a >，则下列不等式中成立的是（ ） A.1>ba B.22b a > C.()ln 0a b -> D.21a b -> 【知识点】不等式的性质.【解题过程】只有当0a b >>时，选项A ，B 正确；要使()ln 0a b ->，必须1a b ->，所以选项C 错误；当b a >时，00,221a b a b -->∴>=.【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】D13.设,,a b c ∈R 且a b >，则（ ）A.ac bc >B.11a b< C.22a b > D.33a b > 【知识点】不等式的性质.【解题过程】选项A 中若0c …时,结果错,故A 不正确;选项B 中若0a b >>时,结果错,故B 不正确;选项C 中若0a b >>时,结果错,故C 不正确;在选项D 中由不等式性质可知是正确的.【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】D14.当01x <<时，下列大小关系正确的是（ ）A.333log x x x <<B.33log 3x x x <<C.333log x x x <<D.33log 3x x x <<【知识点】利用中间值法比较大小【解题过程】当01x <<时，33log log 10x <=，33011x <<=，0113333x =<<=，所以33log 3x x x <<.【思路点拨】利用中间值法比较大小时，注意找准“中值”【答案】B15.设()23ln ,3,2234.1===c b a ,则,,a b c 的大小关系是（ ） A.a b c >> B.b c a >> C.c a b >> D.b a c >>【知识点】比较大小.【解题过程】 1.41a =>，3231b =>，3ln 12c =<，所以c 最小，而2 1.42a =，23327b ==， 所以22a b <，即a b <，所以综上得：c a b <<.【思路点拨】比较对数或指数大小时，可先确定其大致范围，然后再比较【答案】D16.若53,42≤<<≤b a ，则b a -3的取值范围为 ，bb a +2的取值范围为 . 【知识点】不等式的性质【解题过程】因为53,42≤<<≤b a ，所以35,1236-<-≤-<≤b a ，所以 931<-≤b a ；31151,824<≤<≤b a ，所以38254<≤b a ，所以3111259<+≤b a ，即311259<+≤b b a . 【思路点拨】应用不等式的可加或可乘性求范围时，注意使用条件.【答案】)9,1[；)311,59[。