人教课标版高中数学选修4-5：《不等式的基本性质》教案(1)-新版

1.1 课时1 不等式的基本性质

一、教学目标

（一）核心素养

在回顾和复习不等式的过程中，对不等式的基本性质进行系统地归纳整理，并对“不等式有哪些基本性质和如何研究这些基本性质”进行讨论，使学生掌握相应的思想方法，以提高学生对不等式基本性质的认识水平.

（二）学习目标

1.理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究的基础.

2.掌握不等式的基本性质，并能加以证明.

3.会用不等式的基本性质判断不等关系和用比较法.

（三）学习重点

应用不等式的基本性质推理判断命题的真假；代数证明.

（四）学习难点

灵活应用不等式的基本性质.

二、教学设计

（一）课前设计

1.预习任务

（1）读一读：阅读教材第2页至第4页，填空：

a b >⇔ a b =⇔ a b <⇔

（2）判断：下列说法是否正确？

①,a b b c a c >>⇒> ②a c b c a b +>+⇒> ③ac bc a b >⇒>

④33a b a b >⇒> ⑤22a b a b >⇒> ⑥,a b c d ac bd >>⇒>

2.预习自测

（1）当x ∈ ，代数式2(1)x +的值不大于1x +的值.

【知识点】作差比较法

【解题过程】2(1)(1)x x +-+=2(1)x x x x -=-

【思路点拨】熟悉作差比较法

【答案】[0,1]

（2）若c ∈R ，则22ac bc > a b >

A.⇒

B.⇔

C.⇐

D.≠

【知识点】不等式的基本性质

【解题过程】由22ac bc >，得0c ≠，所以20c >；当,0a b c >=时，22ac bc =.

【思路点拨】掌握不等式的基本性质

【答案】A.

（3）当实数,a b 满足怎样条件时，由a b >能推出

11a b

，所以当0ab >时，11a b <. 【思路点拨】掌握作差比较法

【答案】当0ab >时，

11a b

<. (二)课堂设计

1.问题探究

探究一 结合实例，认识不等式

●活动① 归纳提炼概念

人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的.

【设计意图】从生活实例到数学问题，从特殊到一般，体会概念的提炼、抽象过程. ●活动② 认识作差比较法

关于实数,a b 的大小关系，有以下基本事实：

如果a b >，那么a b -是正数；如果a b =，那么a b -等于零；如果a b <，那么a b -是负数.反过来也对.

这个基本事实可以表示为：0;0;0a b a b a b a b a b a b >⇔->=⇔-=<⇔-<，上面的符号“⇔”表示“等价于”，即可以互相推出.

从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与零的大小，这是研究不等式的一个出发点.这种方法称为作差比较法.

【设计意图】通过基本事实，加深对不等式的理解，突破重点.

●活动③ 了解作差比较法的步骤

例1 试比较(3)(7)x x ++和(5)(6)x x ++的大小.

【知识点】作差比较法

【数学思想】分类讨论思想

【解题过程】

第一步：作差 (3)(7)(5)(6)x x x x ++-++

第二步：变形 22(3)(7)(5)(6)(1021)(1130)9x x x x x x x x x ++-++=++-++=--

第三步：定号 当90x -->时，9x <-；当90x --=时，=9x -；当90x --<时，9x >- 第四步：结论

当9x <-时，(3)(7)(5)(6)x x x x ++>++；

当9x =-时，(3)(7)=(5)(6)x x x x ++++；

当9x >-时，(3)(7)(5)(6)x x x x ++<++；

【思路点拨】熟悉作差比较法比较大小的步骤

【答案】

当9x <-时，(3)(7)(5)(6)x x x x ++>++；

当9x =-时，(3)(7)=(5)(6)x x x x ++++；

当9x >-时，(3)(7)(5)(6)x x x x ++<++；

思考：作差比较法的步骤中，哪一步最为关键？

第二步变形最重要，变形要变到可以判断代数式的正负为止，变形的方法通常有分解因式，配方，平方，有理化等.

同类训练 比较(1)(2)x x ++与(3)(6)x x -+的大小.

【知识点】作差比较法

【数学思想】分类讨论思想

【解题过程】 因为 22(1)(2)(3)(6)(32)(318)200x x x x x x x x ++--+=++-+-=>， 所以(1)(2)(3)(6)x x x x ++>-+

【思路点拨】熟悉作差比较法比较大小的步骤

【答案】(1)(2)(3)(6)x x x x ++>-+

【设计意图】通过对作差比较法的步骤分析，更加深刻理解不等式.

探究二 探究不等式的基本性质

●活动① 认识不等式的基本性质

我们知道，等式的基本性质是从数的运算的角度提出的.同样的，由于不等式也研究实数之间的关系，所以联系实数的运算（加、减、乘、除、乘方、开方等）来思考不等式的基本性质是非常自然的.例如，不等式两边加（或乘）同一个数，不等式是否仍然成立？等等.

由两个实数大小关系的基本事实，可以得出不等式的一些基本性质.

（1）如果a b >，那么b a <；如果b a <，那么a b >.即a b b a >⇔<.

（2）如果,a b b c >>，那么a c >.即,a b b c a c >>⇒>.

（3）如果a b >，那么a c b c +>+.

（4）如果,0a b c >>，那么ac bc >；如果,0a b c ><，那么ac bc <.

（5）如果0a b >>，那么(,2)n n a b n n >∈≥N .

（6）如果0a b >>,2)n n >∈≥N .

通过语言叙述可以加深理解上述基本性质.例如，性质（4）可以表述为：不等式两边同乘一个正数，不等号同向；不等式两边同乘一个负数，不等号反向.

对于以上的基本性质，可采用作差比较法来证明，如性质（4）：

证明：()ac bc c a b -=-，

如果,0a b c >>，则0,0a b c ->>，所以()0ac bc c a b -=->，即ac bc >，同理如果,0a b c ><，那么ac bc <.

思考：通过不等式的基本性质，在研究不等式时，需要特别注意什么问题？

事实上，从上述基本性质可以发现，在研究不等式时，需要特别注意“符号问题”，即在作乘（除）法运算时，乘（除）数的符号会影响不等号的方向.

【设计意图】通过对不等式的性质的认识，为后面的运用做好铺垫.

●活动② 巩固理解，拓展延伸

上述关于不等式的基本事实和基本性质是解决不等式问题的基本依据，研究不等式时，经常以它们作为出发点.例如，利用不等式的基本性质可以得到下列结论：