勾股数的常用套路

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常见勾股数口诀背诵

常见勾股数口诀背诵常见的勾股数口诀是指勾股定理中的三个数，即满足a² + b² = c²的三个正整数a、b、c。

这个定理是公元前6世纪中国数学家毕达哥拉斯所发现的，因而被称为勾股定理。

勾股定理是数学中的基本定理之一，它在几何学和物理学中都有广泛的应用。

在勾股数口诀中，我们可以通过记忆一些特定的数对来快速计算勾股数。

常见的勾股数口诀有以下几组数对：1. 3、4、5：这是最简单的勾股数口诀，也是最早被发现的。

它满足3² + 4² = 5²，可以记忆为“三四五，直角肯定有”。

2. 5、12、13：这组数对也很常见，满足5² + 12² = 13²，可以记忆为“五十一三，直角保底”。

3. 8、15、17：这组数对满足8² + 15² = 17²，可以记忆为“八十一七，直角在其中”。

4. 7、24、25：这组数对满足7² + 24² = 25²，可以记忆为“七二十五，直角躲不过”。

5. 9、40、41：这组数对满足9² + 40² = 41²，可以记忆为“九四一，直角太帅”。

通过记忆这些常见的勾股数口诀，我们可以在实际问题中快速判断是否存在直角三角形。

例如，在测量地面上两点间的直线距离时，我们可以通过勾股定理判断是否存在直角。

只需要计算三个边长的平方并进行比较，如果符合勾股定理的条件，那么就可以确定存在直角。

除了这些常见的勾股数口诀，还有一些特殊的勾股数。

例如，勾股数中的a、b、c可以按比例缩放，得到新的勾股数。

另外，勾股数也可以通过一些数学方法生成，例如欧拉公式等。

勾股数口诀是数学中的一个重要概念，它帮助我们快速判断是否存在直角三角形，并在实际问题中有着广泛的应用。

通过记忆常见的勾股数口诀，我们可以在解决问题时更加高效和准确。

勾股数顺口溜及常用的套路

勾股数顺口溜及常用的套路摘要：一、引言1.勾股数的概念2.勾股数的顺口溜二、勾股数的常见套路1.3-4-52.5-12-133.7-24-254.9-40-41三、勾股数的应用1.测量直角三角形边长2.构建直角三角形四、勾股数的扩展概念1.勾股定理2.勾股数列正文：一、引言勾股数是指可以构成直角三角形的三个正整数，其中最著名的就是3、4、5。

勾股数的顺口溜为“勾三股四弦五”，这简单的五个字却概括了勾股数的精华。

二、勾股数的常见套路1.3-4-53、4、5 是最经典的勾股数，也是最早被发现的勾股数。

它们满足勾股定理，即3^2 + 4^2 = 5^2。

2.5-12-135、12、13 是另一个常见的勾股数，它们同样满足勾股定理，即5^2 + 12^2 = 13^2。

3.7-24-257、24、25 也是勾股数，它们满足勾股定理，即7^2 + 24^2 = 25^2。

4.9-40-419、40、41 是一组勾股数，它们满足勾股定理，即9^2 + 40^2 =41^2。

三、勾股数的应用1.测量直角三角形边长在实际生活中，勾股数可以用来测量直角三角形的边长。

比如，如果我们知道直角边的长度为3 和4，那么可以通过勾股数的关系计算出斜边的长度为5。

2.构建直角三角形勾股数不仅可以用来测量直角三角形的边长，还可以用来构建直角三角形。

比如，我们可以用3、4、5 这组勾股数来构建一个直角三角形。

四、勾股数的扩展概念1.勾股定理勾股定理是勾股数的一个重要概念，它表示为a^2 + b^2 = c^2，其中a、b 为直角三角形的两条直角边，c 为斜边。

2.勾股数列勾股数列是指一组按照一定规律排列的勾股数。

勾股数顺口溜及常用的套路

勾股数顺口溜及常用的套路勾股数，又名毕氏三元数。

勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数。

接下来给大家分享勾股数顺口溜及常用的套路。

勾股数的口诀(一)奇数组口诀：平方后拆成连续两个数5^2=25,25=12+13，于是5，12，13是一组勾股数。

7^2=49,49=24+25，于是7，24，25是一组勾股数。

9^2=81,81=40+41，于是9，40，41是一组勾股数。

(二)偶数组口诀：平方的一半再拆成差2的两个数8^2=64,64/2=32,32=15+17，于是8，15，17是一组勾股数。

10^2=100,100/2=50,50=24+26，于是10，24，26是一组勾股数。

12^2=144,144/2=72,72=35+37，于是12，35，37是一组勾股数。

勾股数顺口溜3，4，5：勾三股四弦五5，12，13：5月12记一生(13)6，8，10：连续的偶数8，15，17：八月十五在一起(17)特殊勾股数：连续的勾股数只有3，4，5连续的偶数勾股数只有6，8，10勾股数常见的套路(1)当a为大于1的奇数2n+1时，b=2n²+2n,c=2n²+2n+1。

实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数，例如：n=1时(a,b,c)=(3,4,5)n=2时(a,b,c)=(5,12,13)(2)当a为大于4的偶数2n时，b=n²-1,c=n²+1，也就是把a的一半的平方分别减1和加1，例如：n=3时(a,b,c)=(6,8,10) n=4时(a,b,c)=(8,15,17)。

探索勾股数的规律

勾股数的规律初中数学讲到直角三角形就离不开它的三边关系的一个重要定理：勾股定理。

如果直角三角形的三边a 、b 、c （a ﹤b ﹤c ），由勾股定理可知：222a b c +=，其中a 为勾，b 为股，c 为弦。

一、当勾为奇数时，探求勾股数的规律 1、列表，观察表中每组勾股数2、归纳规律：（1）每组中a 都是奇数；（2）2a b c =+，212a b -=；（3）c = b+1，212a c +=.由此可得第n 组当a=2n+1时2221(21)12222a n b n n-+-===+,2221(21)122122a n c n n +++===++于是有第n 组勾股数为2n+1、2n 2+2n 、2n 2+2n+1（n 为正整数）。

3、证明：∵22222(21)(22)ab n n n +=+++4232441844n n n n n =+++++ 4232441844n n n n n =+++++22(221)n n =++∴222ab c +=∴2n+1、222n n +、2221n n ++（n为正整数）是一组勾股数。

4、此种形式勾股数的另一种规律表现形式：（1）列表观察（2）归纳规律：略。

当n 为正整数时，勾股数为：22(1)a n n =+-2(1)b n n =+22(1)c n n =++化简后即为：a 、b 、c 分别为2n+1、222nn +、2221n n ++。

（3）证明过程：同前面的证明。

二、当勾为偶数是，探求勾股数的规律 1、列表观察表中每组勾股数 2、归纳规律：（1）、每组中a （勾）是偶数（第一组较特殊：勾比股大）；（2）、2214,22a abc b -=+=⨯（3）、2c b =+242a +=由此可得第n 组中的2(1)a n =+时，则：2224[2(1)]4224a n b n n -+-===+2224[2(1)]42224a n c n n +++===++[或22c=b+2=(n2n)+2=n 2n+2++]，于是有第n 组勾股数为2(1)n +、22n n +、222n n ++（n为正整数）。

勾股数规律

勾股数规律
规律一：在勾股数（3，4，5）、（5，12，13）、（7，24，25）（9，40，41）中，发现：
由（3，4，5）有： 32=9=4+5
由（5，12，13）有： 52=25=12+13
由（7，24，25）有： 72=49=24+25
由（9，40，41）有： 92=81=40+41.
即在一组勾股数中，当最小边为奇数时，它的平方刚好等于另外两个连续的正整数之和。

因此，我们把它推广到一般，从而可得出以下公式：
∵（2n+1）2=4n2+4n+1=（2n2+2n）+（2n2+2n+1）
∴（2n+1）2+（2n2+2n）2=（2n2+2n+1）2（n为正整数）
勾股数公式一：（2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1）（n为正整数）
规律二：在勾股数（6，8，10）、（8，15，17）、（10，24，26）中，发现：
由（6，8，10）有： 62=36=2×（8+10）
由（8，15，17）有： 82=64=2×（15+17）
由（10，24，26）有： 102=100=2×（24+26）
即在一组勾股数中，当最小边为偶数时，它的平方刚好等于两个连续整数之和的二倍，推广到一般，从而可得出另一公式：
∵（2n）2=4n2=2[（n2-1）+（n2+1）]
∴（2n）2+（n2-1）2=（n2+1）2（n≥2且n为正整数）
勾股数公式二：（2n，n2-1，n2+1）（n≥2且n为正整数）
利用以上两个公式，我们可以快速写出各组勾股数。

初中数学-与勾股定理相关的计算技巧

与勾股定理相关的计算技巧一、知识回顾（1）勾股定理：直角三角形两直角边（即“勾”，“股”）边长平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方也就是说，设直角三角形两直角边为a 和b ，斜边为c ，那么a 2＋b 2＝c 2.（2）勾股数：凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数.常见的勾股数有3、4、5；5、12、13；6、8、10；7、24、25；8、15、17；9、12、15；9、40、41.注：等腰直角三角形三边比例1：1：2；含30°直角三角形三边比例：1：3：2.二、典题精练【直角使用勾股定理，利用勾股数和比例计算】1、在△ABC 中，∠C ＝90°，若AC ＝1，BC ＝3，则AB ＝__________.2、在△ABC 中，∠C ＝90°，若AC ＝4，BC ＝16，则AB ＝__________.3、在△ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝15，BC ＝12，则AC ＝__________.【方程思想】 1、如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，AD 为平分∠BAC ，交BC 于D ，则线段BD 的长为__________.2、如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝7，BC ＝8，则△ABC 的面积为__________.【面积法求高，避免方程】 1、在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，AD ⊥BC 于D ，则AD 、CD 的长分别为__________、__________.D CB ACB AD CB A2、在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，BD ⊥AC 于D ，则BD 的长为__________.【解三角形，利用特殊角作高构建直角三角形】 1、（锐角＋两边）已知∠A ＝60°，AB ＝6，AC ＝9，求BC 的长．2、（钝角＋两边）已知∠A ＝120°，AB ＝3，AC ＝4，求BC 的长．3、（两特殊角＋一边）已知∠B ＝45°，∠C ＝30°，BC ＝1，求AB 、AC ．4、（隐藏两特殊角＋一边）如图，△ABC 中，∠A ＝75°，∠C ＝45°，且AC ＝26，则BC 的长为__________.DCB ACB ACB ACB ACB A【网格画图】1、如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．（1）画一个格点ABCAB=，BC=，CA（在图中画出）；∆：使5（2）求出（1）中ABC∆的面积．2、图①、图②均是66⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点叫做格点，每个小正方形的边长均为1．（1）在图①中，以格点为端点，画线段MN=．（2）在图②中，以格点为顶点，画正方形ABCD，使它的面积为10．3、（三个顶点都在格点上的三角形称为格点三角形（每个小正方形的边长为1)，请在如图所示的正方形网格中：①②直接写出三角形的面积．③．。

勾股数规律

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勾股定理技巧

勾股定理技巧
嘿，咱今儿就来说说这勾股定理的技巧！你可别小瞧了这勾股定理，它在数学里那可是相当重要啊！
啥是勾股定理呢？简单说就是直角三角形两条直角边的平方和等于
斜边的平方。

就好像一个小团队，两条直角边是两个小伙伴，斜边就
是他们的老大，这老大的能力大小得看这俩小伙伴的表现嘞！
那有啥技巧呢？比如说，遇到一个直角三角形，咱得先找到那两条
直角边呀，然后快速计算它们的平方，加起来一瞅，是不是等于斜边
的平方，这得多方便呀！这就好像找宝藏，得先知道宝藏在哪个方向，才能更容易找到嘛！
再比如说，给你一些边长，让你判断是不是能组成直角三角形。

嘿，这时候勾股定理就派上用场啦！你把较短的两条边的平方加起来，看
看和最长边的平方是不是一样，不就清楚啦！就像你要判断一个人是
不是好人，得从他的言行举止等方面去观察呀。

还有啊，在实际生活中勾股定理也大有用处呢！盖房子的时候，工
人师傅得保证墙角是直角吧，那怎么判断呢？不就得用勾股定理嘛！
这就像你做饭得掌握火候一样，火候对了，饭菜才香呢！
你想想，要是没有勾股定理，那得多麻烦呀！就像你走路没有方向感，那不得瞎转悠嘛！而且啊，学会了这些技巧，解数学题那也是杠
杠的！遇到难题也不怕，咱有勾股定理这个法宝呀！
你说勾股定理是不是很神奇？它就像一把钥匙，能打开好多数学难题的大门呢！咱可得好好掌握这些技巧，让勾股定理为咱所用呀！别小看这一个小小的定理，它里面蕴含的智慧可多着呢！咱得慢慢去体会，去发现。

所以呀，同学们，一定要把勾股定理的技巧学好喽！这可是咱数学学习路上的好帮手呀！以后再遇到和直角三角形相关的问题，咱就可以轻松搞定啦！你说是不是呀？。

勾股数顺口溜及常用的套路

勾股数顺口溜及常用的套路
当然，以下是一个常见的勾股数顺口溜：
勾股数真高兴，算出来更神奇。

三边长相乘积，有斜边平方的定理。

这个顺口溜简明地描述了勾股定理，即直角三角形的两个直角边长的平方和等于斜边长的平方。

关于常用的套路，以下是一些常见的方法和技巧来寻找勾股数：
1. 3-4-5套路：直角三角形的边长可以是3、4和5的整数倍，例如3-4-5、6-8-10、9-12-15等。

2. 辗转相除法：通过辗转相除法可以找到较小的整数勾股数。

将两个整数a 和b的平方和c的平方加起来，然后找到a和b的最大公约数，将a和b同时除以最大公约数，得到a'和b'，则a'^2 + b'^2 = (a^2 + b^2) / (最大公约数)^2。

3. 通过勾股数的倍数：如果已经知道一个勾股数，可以通过将其乘以任意整数来获得更大的勾股数。

例如，如果已知3-4-5是一个勾股数组合，那么可以通过将每个数字乘以2得到6-8-10，乘以3得到9-12-15等。

4. 利用平方数：可以利用平方数的性质来求勾股数。

例如，如果遇到一个数字是平方数并且存在勾股数的可能，可以尝试将其分解成两个平方数的和。

这些是一些常用的套路和方法！。

勾股数顺口溜100句

勾股数顺口溜如下：1. 勾股定理要记牢，3，4，5是诀窍。

2. 根号下开出2来，6，8，10来寻找。

3. 根号下开出3来，9，12，15来寻找。

4. 根号下开出5来，15，20，25来寻找。

5. 根号下开出6来，24，30，36来寻找。

6. 勾股数在图形中，三角形里他最灵。

7. 勾股定理真奇妙，三边关系它指导。

8. 直角三角形边勾股，斜边直角紧相邻。

9. 勾股定理是定理，作图验证最明现。

10. 验证之后最明了，三边关系都明了。

11. 勾股定理有前提，必须直角三边形里。

12. 直角三角形三边长，勾股定理最能帮。

13. 已知直角三角形边长，求另两边长用勾股。

14. 已知直角三角形边长，求角度也用它。

15. 已知直角三角形角度，求边长也用它。

16. 勾股定理作用大，计算长度都靠它。

17. 勾股定理有妙用，数形结合是宝招。

18. 已知两边求第三边，勾股定理最方便。

19. 已知三边求角度，余弦定理不可少。

20. 已知角度求两边，正弦定理少不了。

21. 勾股定理是基础，三边关系紧相连。

22. 直角三角形常出现，勾股定理最方便。

23. 已知三边求角度，余弦定理不可少。

24. 已知角度求边长，正弦定理少不了。

25. 勾股定理在图形，直角三角形最明现。

26. 勾股定理是基石，三角函数是依靠。

27. 勾股定理在计算，长度角度最方便。

28. 勾股定理是宝招，数形结合不可少。

29. 勾股定理作用大，数学计算都靠它。

30. 勾股定理真奇妙，数学世界离不了。

31. 勾股定理很简单，理解概念是关键。

32. 勾股定理要记牢，应用广泛不可少。

33. 勾股定理是基石，数学计算都靠它。

34. 勾股定理是妙招，解决问题离不了。

35. 勾股定理用途广，数形结合最妙招。

36. 勾股定理很神奇，生活实际都靠它。

37. 直角三角形三边长，勾股定理最妙用。

38. 勾股定理有妙用，生活处处离不了。

39. 勾股定理作用大，数学世界都靠它。

40. 勾股定理是宝招，数学计算离不了。

勾股数顺口溜及常用的套路

勾股数顺口溜及常用的套路【实用版】目录1.引言：勾股数的概念及重要性2.勾股数的顺口溜3.勾股数的常用套路4.结论：学习勾股数的意义和方法正文1.引言勾股数，是指满足勾股定理的三个正整数，即 a + b = c。

在我国古代，勾股数被称为“勾股玄机”，它不仅在几何学、物理学等领域有着重要应用，同时还是数学竞赛和智力题的常客。

为了帮助大家更好地掌握和应用勾股数，本文将为大家介绍勾股数的顺口溜及常用的套路。

2.勾股数的顺口溜勾股数的顺口溜是一种便于记忆和快速查找的方法，它将常见的勾股数按照一定规律排列，并以简洁明了的诗句形式呈现出来。

以下是一个典型的勾股数顺口溜：“三三径一，四四径二，五五径三，六六径四，七七径五，八八径六，九九径七，十一径八，十二径十，十三径十一，十四径十二，十五径十三，十六径十四，十七径十五，十八径十六，十九径十七，二十径十八。

”这句顺口溜包含了从 3 到 20 的所有勾股数，每个数字代表一个勾股数，例如“三三径一”表示勾股数 3、4、5，其中 3 的平方加 4 的平方等于 5 的平方。

3.勾股数的常用套路虽然勾股数有无数个，但在解决实际问题时，有一些常用的勾股数套路值得我们掌握。

以下是几种常见的勾股数套路：（1）勾股数三元组：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41。

这些三元组在解决勾股数相关问题时经常用到。

（2）勾股数倍数关系：若 a、b、c 是一组勾股数，则 a 的倍数、b 的倍数和 c 的倍数也是一组勾股数。

例如，6、8、10 是一组勾股数，则12、16、20 也是一组勾股数。

（3）勾股数和差关系：若 a、b、c 是一组勾股数，则 a+b、a-b 和c 也是一组勾股数。

例如，5、12、13 是一组勾股数，则 17、7 和 15 也是一组勾股数。

4.结论掌握勾股数的顺口溜和常用套路，对于解决勾股数相关的数学问题有着极大的帮助。

同时，学习勾股数还能提高我们的逻辑思维能力和数学素养。

勾股定理常用的解题方法策略

勾股定理本章常用知识点：1、勾股定理:直角三角形两直角边的等于斜边的。

如果用字母a,b，c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么勾股定理可以表示为：.勾股逆定理：如果直角三角形三边长a、b、c满足 ,那么这个三角形是三角形。

(且∠ =90°）2、勾股数:满足a2+b2=c2的三个，称为勾股数。

常见的勾股数组有：3、4、5； 5、12、13； 8、15、17； 7、24、25; 20、21、29； 9、40、41;…这些勾股数组的整数倍仍然是勾股数组.（记忆 11~30二十个数的平方值）3、最短距离：将立体图形展开，利用直角三角形的勾股定理求出最短距离（斜边长）。

一、分类讨论思想1．在△ABC中，AB=6，BC=10。

要使这个三角形是直角三角形，则AC的长是多少?2.已知Rt△ABC中，其中两边的长分别是3，5,求第三边长的平方。

3.已知在△ABC中,AB=17，AC=10，BC边上的高等于8，求△ABC的周长为_________二、方程思想1.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边沿直线AD折叠，使点C 落在斜边AB上的点E,求CD的长.BA E2。

如图，铁路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄，DA ⊥AB 于A,CB ⊥AB 于B,已知DA=15km,CB=10km,现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E,使得C,D 两村到 E 站的距离相等,则E 站应建在离A 站多少km 处？3、已知：如图，△ABC 中,∠C ＝90º，AD 是角平分线，CD ＝15，BD ＝25．求AC 的长．三、数形结合思想1。

如图，一次“台风”过后,一根旗杆被台风从离地面8.2米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部6.9米处,那么这根旗杆被吹断裂前至少有多高？勾股定理与梯子问题如图，一个梯子AB 长2。

5米，顶端A 靠在墙上,这时梯子下端B 与墙角C 距离为1。

勾股数顺口溜及常用的套路

勾股数顺口溜及常用的套路一、勾股数顺口溜勾股定理是数学中最基础、最重要的定理之一，通过这个定理可以找到一类特殊的数，它们满足勾股定理的条件，被称为勾股数。

下面给大家介绍一首顺口溜，简单易记，帮助大家记住勾股数的特点：三四五，五十二，七五二，十九年。

找勾股数，此公式，一加一，乘积除以二。

这首顺口溜通过数字和押韵的方式，将勾股数的特点表达清晰明了。

接下来，我们将进一步探讨勾股数的常用套路。

二、勾股数的常用套路1. 寻找勾股数的基本思路勾股数是满足勾股定理的整数解，即满足a^2 + b^2 = c^2的三个整数（a、b、c），其中a、b为直角边的长度，c为斜边的长度。

寻找勾股数的常用套路是通过遍历整数，检验是否满足勾股定理条件。

2. 遍历法遍历法是最简单直观的寻找勾股数的方法，通过遍历a、b的所有可能取值，计算c的值，并判断是否满足勾股定理。

常用的遍历区间是1到n，n根据具体情况而定。

3. 欧拉公式欧拉公式是一种利用辗转相除法寻找勾股数的方法。

欧拉公式表达式为：m = k * (m^2 – n^2)，n = 2 * k * m，c = k * (m^2 + n^2)，其中m、n、c分别表示勾股数的三个整数解。

4. 边界条件的判断在寻找勾股数的过程中，需要注意边界条件的判断。

例如，a、b、c必须为正整数，且a < b < c，同时满足a、b、c的最大公约数为1，以确保找到的是最简勾股数。

三、总结勾股数的顺口溜和常用套路，是帮助我们记忆和寻找勾股数的有效方法。

通过这样的方式，我们能更好地掌握勾股定理和勾股数的特点，为数学和实际问题的解决提供了便利。

以上就是关于勾股数顺口溜及常用的套路的介绍。

希望通过这篇文章的阅读，可以帮助大家更好地理解勾股数的概念和应用，提升数学问题的解决能力。

100以内的勾股数规律整理

×2
8²-1=63 (n=8) 1=63 +1=65 8²+1=65
9²=40+41
互质
派9²-1=80 (n=9) 1=80 +1=82 9²+1=82 10² 10²-1=99 (n=10) 10² 10²+1=101
a=18,b=80,c=82 a=18,b=80,c=82 18,b=80,c= a=20,b=99,c=101 a=20,b=99,c=101 m 偶 n 奇 a=11,b=60,c=61 20,b=99,c= a=11 b=60,c=61 11, 60,c=
1
的平方，较短直角边 a 的平方，拆成另一直角边把 a 的一半的平方分成减 1 和加 1，
通式 m²-n²,2mn, m²+n² m²
的和。（即 b 和斜边 c 的和。即 a²= b + c 且 a 为（奇数））奇数）
a c= n²+1= ²+1 n²+1= 2
a=2n, 即 a=2n,
100 以内的勾股数
a²+b²=c² +b²=c²
的平方，的一半的平方分成减较短直角边 a 的平方，拆成另一直角边把 a 的一半的平方分成减 1 和加 1， m² 通式 m²-n²,2mn, m²+n² 的和。 b 和斜边 c 的和。 a a=2n, n² 即 a=2n, b= n²-1= ²-1, (m、均是正整数， (m、n 均是正整数，m>n) 为奇数）（即 a²= b + c 且 a 为奇数） 2 =(m+n)(mm²-n²=(m+n)(m-n) 为奇数 =(m+n)² m²+n²=(m+n)²- 2mn 为奇数 a n²+1= c= n²+1= ²+1 为直角边， m²-n²、2mn 为直角边， 2 m²+n²为斜边 m偶n奇 3²=4+5 a=3，b=4， a=3,b=4,c=5 a=3,b=4, 互质 a=3，b=4，c=5 a 为偶数 m=2,n=1

勾股数的规律总结

勾股数的规律总结归纳
勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数。

接下来给大家分享勾股数的规律，供参考。

勾股数的规律
1.在一组勾股数中，当最小边是奇数是，它的平方刚好是另外两个连续正整数的和。

2.在一组勾股数中，当最小边是偶数时，它的平方刚好等于两个连续奇数，或者两个连续偶数的和的2倍。

3.在一组勾股数中，若第一个数是奇数，则另外两个数，一个数是它的平方减1的一半，一个数是它的平方加1的一半。

勾股数规律公式
1.当a为大于1的奇数2n+1时，b=2n²+2n,c=2n²+2n+1。

实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数，例如：
n=1时(a,b,c)=(3,4,5)
n=2时(a,b,c)=(5,12,13)
n=3时(a,b,c)=(7,24,25)
2.当a为大于4的偶数2n时，b=n²-1,c=n²+1，也就是把a的一半的平方分别减1和加1，例如：
n=3时(a,b,c)=(6,8,10)
n=4时(a,b,c)=(8,15,17)
n=5时(a,b,c)=(10,24,26)
什么是勾股数
勾股数，又名毕氏三元数。

勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数。

勾股定理：直角三角形两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方(a²+b²=c²)。

又由于，任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个正整数n得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数，所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股数组。

勾股数的3条规律总结

勾股数的3条规律总结1、第一组勾股数3，4，55，12，137，24，259，40，4111，60，6113，84，8515，112，113首先发现其最小值为奇数，而另外两数是连续正整数。

我们用乘方进行尝试。

先给暂时没看出关系的最小值进行乘方。

3²=9，5²=25，7²=49大家有没有发现，在第一列数据中，每组数的较大两数之和正好等于这组数最小值的平方。

即：3²=9=4+5，5²=25=12+13，7²=49=24+25我们再试几组进行验证。

9²=81=40+41，11²=121=60+61目前看来这个规律是正确的。

我们再次注意到开始时发现的规律：第一列中每组数较大两数差为一。

那么总结这两点就可初步发现以下规律：一个正奇数(除1外)与两个和等于此正奇数平方的连续正整数是一组勾股数。

设n为一正奇数(n≠1)，那么以n为最小值的一组勾股数可以是:n，(n²-1)/2，(n²+1)/2。

2、第二组勾股数6，8，108，15，1710，24，2612，35，3714，48，5016，63，6518，80，82我们如法炮制，首先发现第二组数据均以偶数为最小数，而另外两数是差为2的正整数。

似乎也只能看出这么多，那我们继续用最小数乘方对比另外两数之和进行尝试。

6²=36，10+8=188²=64，15+17=3210²=100，24+26=50这次好像是后两数之和的二倍等于最小数平方？我们进行更多尝试。

12²=144=2(35+37)，14²=196=2(48+50)初步看来规律正确，那我们还是用代数式验证一下普遍性吧：设m为一正偶数(m≠0,m≠2,m≠4)，那么以m为最小值的一组勾股数可以是：m，(m²/4)-1，(m²/4)+1验证：[(m²/4)+1]²-[(m²/4)-1]²=[(m²/4)²+m²/2+1]-[(m²/4)²-m²/2+1]=(m²/4)²+m²/2+1-(m²/4)²+m²/2-1=m²验证成功，可总结为以下规律：当一个正偶数为最小值时，它(除0,2和4)与两个和之二倍等于此正偶数平方的差为一的正整数是一组勾股数。

勾股数注解版

(1)2222,,22m n m n a mn b c -+===，m>n.以下是常见的两种套路。

(2)a=2n+1, b=2n 2+2n,c=2n 2+2n+1(3)a= n 2－1,b=2n ，c=n 2+1勾股数都满足公式（1），由公式（1），通过对m,n 代入各种不同的数，或再乘以某个倍数可以得出所有的勾股数。

对于公式（1），用n+1代m ，就得到勾股数n 2+1, 2n+1/2, 2n 2+2n+1/2。

再翻两倍就是公式（2）的中的勾股数。

对于公式（1），令n=1,就得到勾股数m ,m 2－1/2, m 2+1/2，翻2倍再换元，就是公式（3）中的勾股数。

公式（1）的证明：证明的思路是这样的：由a 2+b 2=c 2,变形为，a 2=c 2-b 2=(c+b)*(c-b)=X*Y 。

其中X=c+b ，Y=c-b 。

下面就是看看的a 2因数分解规律。

而对于整数a 2来说，a 2只能分解成m 2k * kn 2这样的形式（其中m ，n ，k 为大于或等于1的正整数）。

其中X ，Y 必定是m 2k ,kn 2这样的形式。

再由X=m 2k= c+b ，Y= kn 2=c-b 。

求出b= 22()2k n m +,c= 22()2k n m -。

而a 2= m 2k 2 n 2，所以a=kmn 因为a,b ,c 都含有k 或k/2这个公因数，完全可以看是某组勾股数的倍数。

以此所有的勾股数都可以2222,,22m n m na mnb c-+===，通过对m,n等代值，翻倍得到。

4，3，5； 6，8，10； 8，15，17；①观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…发现这些勾股数都是奇数，且从3起就没有间断过。

计算0.5（9-1），0.5（9+1）与0.5（25-1），0.5（25+1），并根据你发现的规律写出分别能表示7，24，25的股和弦的算式。

②根据①的规律，用n的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想他们之间的两种相等关系，并对其中一种猜想加以说明。

勾股数的记忆口诀

勾股数的记忆口诀嘿，大家好，今天咱们聊聊一个有趣的话题，那就是“勾股数”的记忆口诀。

哎，提到勾股数，你们是不是都想起了那个古老的定理，那个什么a²+b²=c²的公式？哈哈，别担心，咱们今天不讨论公式，咱们来点轻松的，看看怎么记住这些神奇的数字。

勾股数就是一组三个数字，听上去没什么特别，但其实它们的关系可有意思了。

就像咱们身边的小伙伴，总有那么几个搭档，互相帮衬着，碰到啥难题都能一起解决。

这些数字也是，像个三人组合，缺一不可。

比如说，3、4、5就是一个经典的组合，嗯，想想看，谁还记得小学时候那道题，画个直角三角形，哎哟，那时候总觉得挺神奇的。

把3和4当成两条短边，5就是那个霸气外露的斜边，嘿，真是“众星捧月”的感觉。

然后，咱们再说说记忆口诀吧。

记住这些勾股数其实就像记歌词，轻松又好玩。

比如说“3、4、5，勾股数里最活泼。

”你看，这样一说，不就记住了吗？而且这组合也经常在生活中出现，比如你要搬个箱子，上下楼的，嘿，没准就用上了3、4、5的关系呢，真是贴心的小伙伴。

记得7、24、25吗？这个组合听上去有点陌生，但它也是个勾股数。

想象一下，七点钟的晚上，24小时的马路上，25个小伙伴一起聚会，嘿，简直热闹得不得了。

记住了这个组合，以后看到这些数字就能联想到那晚的欢乐时光，感觉是不是特别美好呢？咱们说说大名鼎鼎的5、12、13。

听说过吗？有个老话叫“打铁还需自身硬”，这个组合就像是锻造出来的，经过无数次的磨练，才闪闪发光。

生活中总有些朋友，感觉有点迷糊，但一旦关键时刻，他们就能给你来个“神转折”，就像这个组合一样，关键时刻让你瞬间豁然开朗。

你可能会问，哎，除了这些，还有啥记忆口诀呢？别急，像8、15、17这种组合也很有趣。

想象一下，8月的盛夏，15颗星星在天上闪烁，17个人在草地上野餐，真是一个完美的夏日场景。

说不定，你的记忆就和这个场景挂钩，等你再看到8、15、17的时候，脑海中就浮现出那种欢快的气氛，嘿，这才是真正的“一举两得”嘛！咱们也不能忘了12、35、37，这组合听上去有点复杂，但别怕。

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