【成都2021高三零诊】成都市2021届(2018级)高三摸底测试 数学(理)(高清含答案)
成都2021届零诊数学答案
成都2021届零诊数学答案篇一：四川省成都市2021届零诊考试数学(理)试题及答案四川省成都市2021届高三摸底（零诊）数学（理）试题本试卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分，考试时间120分钟．注意事项1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡法规的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用椽皮撵擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．答非选择题时，必须使用0．5毫米黑色签字笔，将答案书写在试卷规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5．考试结束后，只将答题卡交回。
第I卷（选择题，共50分）一、选择题．本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量a=（5，-3），b=（-6，4），则a+b= （A）（1，1）（B）（-1，-1）（C）（1，-1）（D）（-1，1） 2．设全集U={1，2，3，4}，集合S={l，3}，T={4}，则（eUS）（A）{2，4} （B）{4}3．已知命题p：?x∈R，2=5，则?p为（A）?x?R,2=5（C）?x0∈R，2x0xxT等于（D）{1,3,4}（C）?（B）?x?R,2?5 （D）?x0∈R，2（C）log63x0x=5 ≠54．计算21og63 +log64的结果是（A）log62 （B）2（D）3?x?0?5．已知实数x，y满足?y?0，则z=4x+y的最大值为?x?y?2?（A）10 （B）8 （C）2 （D）0 6．已知a，b是两条不同直线，a是一个平面，则下列说法正确的是（A）若a∥b．b??，则a//? （B）若a//?，b??，则a∥b（C）若a⊥?，b⊥?，则a∥b （D）若a⊥b，b⊥?，则a∥?7．PM2.5是指大气中会直径宽度小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可A肺颗粒物，般情况下PM2.5浓度越大，大气环境质量越差右边的则表示茎叶统计图表示的是成都市区甲、乙两个监测站某10日内每天的PM2.5浓度读数（单位：?g/m3）则下列说法正确的是（A）这l0日内甲、乙监测站读数的极差相等（B）这10日内甲、乙监测站读数的中位数中，己的较大（C）这10日内乙监测站读数的众数与中位散相等（D）这10日内甲、乙监测站读数的平均数成正比8．已知函数f（x）?x?cos?x(??0)的图象与直线y= -2的两个相邻公共点之间的距离等于x，则f（x）的无趣递减区间是（A）?k?????6,k??2??,k∈z 3??4??,k∈z ?3?（B）?k?????3,k????6??,k∈z（C）?2k?????3,2k??（D）?2k?????12,2k??5??,k∈z ?12??x2,x?(?1,1)?9．已知定义在R上的偶函数（fx）满足（f4－x）=f（x），且当x∈??1,3?时，（fx）=??1?cosx,x??1,3???2则g（x）=f（x）－|1gx|的零点个数是（A）7 （B）8（C）9（D）10x22x2y210．如图，已知椭圆Cl：+y=1，双曲线C2：2?2=1（a>0，b>0），若以C1的长轴为直径的ab11圆与C2的一条渐近线相交于A，B两点，且C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则C2的离心率为（A）5（C（B（D第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分答案填在答题卡上。
2021届四川省成都市普通高中高三毕业班上学期摸底测试(零诊)数学(理)试题(解析版)
绝密★启用前四川省成都市普通高中2021届高三毕业班上学期摸底测试(零诊)数学(理)试题(解析版)本试卷分选择题和非选择题两部分。
第I 卷（选择题）1至2页,第Ⅱ卷（非选择题）3至4页,共4页,满分150分,考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前,务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时,必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案标号。
3．答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。
5．考试结束后,只将答题卡交回。
第I 卷（选择题,共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．设集合{|02}A x x =<<,{|1}B x x =≥,则A B =C(A)}10|{≤<x x (B)}10|{<<x x(C)}21|{<≤x x (D)}20|{<<x x解：{|12}A B x x =≤<,故选C2．复数i i i z (22-=为虚数单位)在复平面内对应的点位于B (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 解：22(2)24242(2)(2)555i i i i z i i i i +-+====-+--+,其在复平面内对应的点的坐标为24(,)55-,故选B 3．已知函数=)(x f ⎩⎨⎧>≤-.0,ln 0|,1|x x x x ,则1(())f f e =D (A)0 (B)1 (C)1-e (D)2 解：11()ln 1f e e ==-,1(())(1)|2|2f f f e=-=-=,故选D 4．为了加强全民爱眼意识,提高民族健康素质,1996年,卫生部,教育部,团中央等12个部委联合发出通知,将爱眼日活动列为国家节日之一,并确定每年的6月6日为“全国爱眼日”．某校高=(1)班有40名学生,学号为01到40,现采用随机数表法从该班抽取5名学生参加“全国爱眼日’’宣传活动．已知随机数表中第6行至第7行的各数如下：16 22 77 94 39 49 54 43 54 8217 37 93 23 78 87 35 20 96 4384 26 34 91 64 84 42 17 53 3157 24 55 06 88 77 04 74 47 6721 76 33 50 25 83 92 12 06 76若从随机数表第6行第9列的数开始向右读则抽取的第5名学生的学号是C(A)17 (B)23 (C)35 (D)37 解：读取的前5名学生的学号依次是：39,17,37,23,35, 故选C5． ‘‘3=k ”是“直线2+=kx y 与圆122=+y x 相切”的A(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件解：直线2+=kx y 与圆122=+y x 相切时1=,解得k =．故选A6．已知离心率为2的双曲线22221(0x y a a b -=>,)0>b 与椭圆22184x y +=有公共焦点,则双曲线的方程为C。
成都市高2018级零诊数学(高三摸底测试)理科(无答案)
图①
zO。 (本小题满分 12分 )
图②
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中,圆 `+ly2=4纽
f++嫩
叫
;1:γ
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锦唰践
c.
(I)求 曲线 C的 方程 ; (Ⅱ )设 直线 J与 曲线 C相 交于 A,B两 点 ,连 接 BO并 延长与 曲线 C相 交于点 D,且
布直方 图 :
组数
第一组
分组
E25,30)
频数
200
频率 组距 ο⒅
第二组 E30,35) 300
ο" “
ο
第三组 E35,40)
仍
ο∞
)
第四组 E40,45) 150
ο“
ο∞
第五组 E座 5,50)
饣
ο∞
第六组 E50,55彐
50
合计
1000
各年龄段频数分布表
οm o
25 30 35 40 弱 50 55年 龄(岁 )
+南
睢
高三数学(理科)摸 底测试 第 4页 (共 4页 )
符合题 目要求的。
1。 设集合 A=(=|0(ε (2),B=(￡ |ε ≥ 1),则 A∩ B=
(A)(=|O(￡ ≤ 1〉
(B)忆 |0<(￡ (1〉
(C)(ε |1≤≤J<<2〉
(D(J|0<ε (2)
2.复数 z=2~i(i为 虚数单位)在复平面内对应的点位于
(A)第 一象限
(D第 二象限
(C)第 三象限
2021届四川省成都市新都区高三毕业班摸底测试理科数学试题
新都区2021届高三毕业班摸底测试数学试题（理）本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，务必将姓名、考场号、座位号填写在答题卡规定的位置上，并将考生条形码粘贴在规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5．考试结束后，只将答题卡交回。
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题有且只有一个正确选项。
） 1．已知集合2{20}{12}P x x x Q x x =-=<≥，≤，则()R P Q =（ ）.A ．[0,1)B ．(0,2]C ．(1,2)D ．[1,2] 2．设复数z 满足：(1)2i z i +=-，则z 的虚部为（ ）.A ．12iB ．12C ．32i -D ．32-3．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，13581023()36a a a a a ++++=（），则11=S （ ）.A ．33B ．55C ．44D ．66 4．若实数,a b 满足3412a b ==，则11a b+=（ ）. A ．12 B ．15C ．16D ．15. 已知函数2()cos (1)f x x x a x =+-是奇函数，则曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程是（ ）.A. 20x y -=B. 0x y -=C. 20x y +=D. 20x y -=6．已知α是锐角,若1sin()44πα-=，则cos2=α（ ）.A. C.78- D.787．给出下列说法:①回归直线ˆˆˆy bx a =+恒过样本点的中心x y （，），且至少过一个样本点； ②两个变量相关性越强,则相关系数||r 就越接近1；y x O A x y O B x y O C x y OD ③某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差22s <；④在回归直线方程ˆ20.5yx =-中,当解释变量x 增加一个单位时,预报变量ˆy 平均减少0.5个单位.其中说法正确的是（ ）.A.①②④B. ②③④C.①③④D.②④8．已知奇函数()f x 是R 上的减函数，若m n ，满足不等式组()(2)0(1)0()0f m f n f m n f m +-≥⎧⎪--≥⎨⎪≤⎩，则2m n -的最小值为（ ）. A. 4-B. 2-C.0D. 49．已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的右顶点为A ，抛物线2:8C y ax =的焦点为F ．若在E的渐近线上存在点P ，使得AP FP ⊥，则E 的离心率的取值范围是 （ ）. A. (1,2) B. 321,4⎛⎤ ⎥ ⎥⎝⎦ C. 32,4⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎢⎣⎭D. (2,+∞) 10．已知函数12()sin()12xxf x x α-=++x R ∈,则当[0,]απ∈时,函数()f x 的图象不可能是（ ）.11．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，BA BC =，90PBC ∠=︒，2PA =，若三棱锥P ABC -的体积为6，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为（ ）.A ．18πB ．24πC ．36πD ．40π12．已知函数()f x 满足：当0x ≤时，2(2)()f x f x -=，且当(2,0]x ∈-时，()|1|1f x x =+-；当0x >时，()log (0a f x x a =>且1a ≠).若函数()f x 的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则a 的取值范围是（ ）.A ．(9,625)B ．(4,64)C ．(9,64)D ．(625,)+∞二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年四川省成都市新都区高三摸底测试理科数学试题
2021年四川省成都市新都区高三摸底测试理科数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}2|20P x x x =-≥ ，{}|12Q x x =<≤ ，则()R P Q 等于（ ）A ．[)0,1B ．(]0,2C ．()1,2D ．[]1,2 2．设复数z 满足：(1)2i z i +=-，则z 的虚部为（ ）A ．12iB ．12C ．32i - D ．32- 3．已知n s 是等差数列{}n a 的前n 项和，则1358102)3()36a a a a a ++++=（，则11=s （ ）A ．66B ．55C ．44D ．334．若实数a ，b 满足3412a b ==，则11a b +=（ ） A ．12 B ．15 C ．16 D ．15．已知函数2()cos (1)f x x x a x =+-是奇函数，则曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程是（ ）A ．20x y -=B ．0x y -=C ．20x y +=D ．20x y -= 6．已知α是锐角，若1sin()44πα-=，则cos2=αA ．78B ．8C ．78-D ．8- 7．给出下列说法：①回归直线ˆˆˆy bx a =+恒过样本点的中心(),x y ，且至少过一个样本点；②两个变量相关性越强，则相关系数||r 就越接近1；③某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差22s <；④在回归直线方程ˆ20.5yx =-中，当解释变量x 增加一个单位时，预报变量ˆy 平均减少0.5个单位.其中说法正确的是（ ）A ．①②④B ．②③④C ．①③④D ．②④8．已知奇函数()f x 是R 上的减函数，若,m n 满足不等式组()(2)0(1)0()0f m f n f m n f m +-≥⎧⎪--≥⎨⎪≤⎩，则2m n -的最小值为（ ）A ．-4B ．-2C ．0D ．49．已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的右顶点为A ，抛物线2:8C y ax =的焦点为F ，若在E 的渐近线上存在点P ，使得PA FP ⊥，则E 的离心率的取值范围是（ ）．A ．()1,2 B．(1,4 C ．()2,+∞ D．[,)4+∞ 10．已知函数12()sin(),12xx f x x x R α-=+∈+，则当[0,]απ∈时函数()f x 的图象不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．11．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，BA BC =，90PBC ∠=︒，2PA =，若三棱锥P ABC -的体积为6，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为（ ） A ．18π B ．24π C ．36π D ．40π12．已知函数()f x 满足当0x ≤时，2(2)()f x f x -=，且当(2,0]x ∈-时，()|1|1f x x =+-；当0x >时，()log (0=>a f x x a 且1a ≠).若函数()f x 的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则a 的取值范围是（ ）A ．(625,)+∞B ．(4,64)C ．(9,625)D ．(9,64)二、填空题13．已知向量()()3,1,1a b t =-=,，若(2)a a b ⊥-)，则向量a 与向量b 的夹角为___________.14．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD = ________ m.15．已知函数()2sin sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________．16．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若数列{}n a 的各项按如下规律排列：12，13，23，14，24，34，15，25，35，45，1n ，2n ，…，1n n -，…有如下运算和结论：①2438a =；②数列1a ，23a a +，456a a a ++，78910a a a a +++，…是等比数列；③数列1a ，23a a +，456a a a ++，78910a a a a +++，…的前n 项和为24n n n T +=；④若存在正整数k ，使10k S <，110k S +≥，则57k a =.其中正确的结论是_____.（将你认为正确的结论序号都填上）三、解答题 17．在全民抗击新冠肺炎疫情期间，新都区开展了“停课不停学”活动，此活动为学生提供了多种网络课程资源以供选择使用.活动开展一个月后，某学校随机抽取了高三年级的甲､乙两个班级进行网络问卷调查，统计学生每天的学习时间，将样本数据分成[3，4)，[4，5)，[5，6)，[6，7)，[7，8]五组，并整理得到如下频率分布直方图：（1）已知该校高三年级共有600名学生，根据甲班的统计数据，估计该校高三年级每天学习时间达到5小时及以上的学生人数；（2）已知这两个班级各有40名学生，从甲､乙两个班级每天学习时间不足4小时的学生中随机抽取3人，记从甲班抽到的学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望. 18．如图，在三棱柱ABC A B C '''-中，M ､N ､F 分别是A C '､BC ､A C ''的中点.（1）证明：//MN 平面CFB '；（2）底面△A B C '''是边长为2的正三角形，C 在底面上的射影为F ，且=1CF ，当P 是CB '的中点时，求二面角P A C B '''--的大小.19．已知向量2cos ,13sin ,cos 222x x x m n ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设函数()1f x m n =⋅+． （1）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，f （x ）=1，求x 的值； （2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是,,a b c 且满足2cos 2b A c ≤-求()f B 的取值范围．20．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且535S S =，4223a a =-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足*121211,2n n n b b b n N a a a +++=-∈，证明：38n b ≤.21． 在平面直角坐标系xOy 中，圆22:(1)16A x y -+=，圆内一点(1,0)B -，P是圆上任意一点，线段BP 的垂直平分线l 和半径AP 相交于点E ，当P 在圆上运动时， （1）求点E 的轨迹方程；（2）过A 的直线与点E 的轨迹方程交于H G 、两点，若线段HG 的中点为M ，且2MN OM =，求四边形OHNG 面积的最大值.22．已知函数()ln 13x f x a x =--. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个零点1x ､2x ，且12x x >，求证：211111x x a +>.参考答案1．C【分析】先解不等式，化简集合P ，求出R P ，再和Q 求交集，即可得出结果. 【详解】由220x x -≥得2x ≥或0x ≤，则{2P x x =≥或}0x ≤，因此{}02R P x x =<<； 又{}|12Q x x =<≤，则(){}12R P Q x x ⋂=<<. 故选：C.【点睛】本题主要考查集合的交集和补集运算，熟记概念即可，属于基础题型.2．D【分析】根据复数的四则运算，化简复数z ，即可求得其虚部.【详解】因为(1)2i z i +=-，故可得()()()()211311122i i i z i i i i --2-===-++-. 则z 的虚部为：32-. 故选：D.【点睛】 本题考查复数的运算，以及复数虚部的辨识，属基础题.3．D【解析】因为数列是等差数列，所以1358103962)3()661236a a a a a a a a （++++=+==， 故63a =，所以1161133s a ==，故选D.4．D【分析】先将指数式化成对数式，求出,a b ，再利用换底公式的推论log log 1a b b a ⋅=以及对数的运算法则即可求出．【详解】因为3412a b ==，所以34log 12,log 12a b ==，121212341111log 3log 4log 1211212a b log log +=+=+==． 故选D ．【点睛】本题主要考查指数式与对数式的互化、换底公式推论log log 1a b b a ⋅=的应用以及对数的运算法则的应用．5．B【分析】根据奇函数的定义或性质求出a ，然后可求出导函数，得切线斜率，从而得切线方程【详解】∵()f x 是奇函数，∴22()cos()(1)()cos (1)f x x x a x x x a x -=--+--=-+-2cos (1)x x a x =---， ∴2(1)0a x -=，1a =， ()cos f x x x =是奇函数，'()cos sin f x x x x =-，'(0)1f =，(0)0f =，切线方程为y x =，即0x y -=．故选B ．【点睛】本题考查导数的几何意义，考查函数的奇偶性，本题难度一般．6．D【解析】144sin πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，α是锐角，cos 4πα⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭ 则22sin sin cos 4444sin ππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦14=+=23221212648cos sin αα+=-=-⨯=- 故选D7．B【分析】①中，根据回归直线方程的特征，可判定是不正确；②中，根据相关系数的意义，可判定是是正确的；③中，根据方差的计算公式，可判定是正确的；④中，根据回归系数的含义，可判定是正确的.【详解】解:对于①中，回归直线ˆˆˆybx a =+恒过样本点的中心(,)x y ，但不一定过一个样本点，所以不正确；对于②中，根据相关系数的意义，可得两个变量相关性越强，则相关系数||r 就越接近1，所以是正确的； 对于③中，根据平均数的计算公式可得744471x ⨯+==+,根据方差的计算公式()2217244 1.7528s ⎡⎤=⨯+-=<⎣⎦，所以是正确的； 对于④中，根据回归系数的含义，可得在回归直线方程ˆ20.5yx =-中，当解释变量x 增加一个单位时，预报变量ˆy平均减少0.5个单位，所以是正确的. 故选：B【点睛】本题主要考查了统计知识的相关概念及判定，其中解答中熟记回归直线方程的特征，回归系数的含义，相关系数的意义，以及方程的计算方法是解答的关键，属于基础题. 8．B【分析】根据函数的奇偶性和单调性得到可行域，画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案.【详解】奇函数()f x 是R 上的减函数，则()00f =，且2100m n m n m ≤-⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，画出可行域和目标函数，2z m n =-，即2n m z =-，z 表示直线与y 轴截距的相反数，根据平移得到：当直线过点()0,2，即0.2m n ==时，2z m n =-有最小值为2-. 故选：B .【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性，线性规划问题，意在考查学生的综合应用能力，画出图像是解题的关键.9．B【分析】由已知可得以AF 为直径的圆与渐近线有公共点，得出,,a b c 的不等量关系，结合222c a b =+，即可求解.【详解】抛物线2:8C y ax =的焦点为(2,0)F a ， 双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的右顶点为(,0)A a ， 在E 的渐近线上存在点P ，使得PA FP ⊥，不妨设渐近线方程为by x a=， 则以AF 为直径的圆与渐近线有公共点， 即AF 的中点3(,0)2a 到直线0bx ay -=的距离2a d ≤，即33,3,22abab a d b c c ==≤≤ 22222299,89,8c b c c a a ∴≤≤∴≤14e ∴<≤故选：B. 【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，应用直线与圆的位置关系是解题的关键，考查计算求解能力，属于中档题. 10．C 【分析】观察到四个选项均有奇偶性,且1212xxy -=+为奇函数,故分析sin()y x α=+有奇偶性的情况即可. 【详解】由选项知函数图像关于y 轴或关于原点对称,故0α=,2πα=或απ=.①若0α=,则函数12()sin 12x x f x x -=+,因为()1212()sin sin 1212x xx xf x x x -----=-=++为偶函数,故图像关于y 轴对称,当0x +→时,函数()0f x <,此时对应的图像为A.②若2πα=,则函数12()cos 12xxf x x -=+为奇函数,图像关于原点对称,当0x +→时,函数()0f x <,此时对应的图像为D.③若απ=,则函数12()sin 12x xf x x -=-+为偶函数,图像关于y 轴对称. 当0x +→时,函数()0f x >,此时对应的图像为B.故不可能是C.故选：C 【点睛】本题主要考查了函数图像的判定方法与技巧,主要分析函数的奇偶性与函数在0x +→时的正负等.属于中等题型. 11．D 【分析】取PC 的中点O ，由题目分析可知球心位于O 点，根据题目中的几何条件解出底面边长BA ，AC ，然后求解球体的半径，得出外接球表面积.【详解】由PA ⊥平面ABC ，得PA BC ⊥； 又BC PB ⊥，PAPB P =，所以BC ⊥平面PAB ，从而BC AB ⊥， 所以AC 是ABC 外接圆的直径．设PC 的中点为O ，在直角PAC 中，有OA OP OC ==； 在直角PBC 中，有OP OC OB ==， 所以O 是三棱锥P ABC -外接球的球心． 由三棱锥P ABC -的体积为6得：2111112633233ABC S PA AB BC AB BC AB ⨯=⨯⨯⨯=⨯==△， 此时218AB =，236AC =，所以22240PC PB AC =+=，从而三棱锥外接球的半径为=R 2440R ππ=， 故选：D ．【点睛】本题考查与球体结合的相关计算问题，考查椎体的外接球半径计算，难度一般.解答时，要根据题目条件确定出球心位置是解题的关键. 12．C 【分析】先作出函数()f x 在(,0]-∞上的部分图象，再作出()log a f x x =关于原点对称的图象，分类利用图像列出有3个交点时满足的条件，解之即可. 【详解】先作出函数()f x 在(,0]-∞上的部分图象，再作出()log a f x x =关于原点对称的图象， 如图所示，当01a <<时，对称后的图象不可能与()f x 在(,0]-∞的图象有3个交点； 当1a >时，要使函数()f x 关于原点对称后的图象与所作的图象有3个交点，则11log 321log 54a a a ⎧⎪>⎪⎪->-⎨⎪⎪-<-⎪⎩，解得9625a <<.故选：C. 【点睛】本题考查利用函数图象解决函数的交点个数问题，考查学生数形结合的思想、转化与化归的思想，是一道中档题. 13．4π 【分析】由(2)a a b ⊥-，得到(2)0a a b ⋅-=，求得2t =，进而得到()()3,12,1a b =-=,，再结合向量的数量积和夹角公式的坐标运算公式，即可求解. 【详解】由题意，向量()()3,1,1a b t =-=,，则()232,3a b t -=--， 因为(2)a a b ⊥-，所以(2)3(32)(1)(3)1260a a b t t ⋅-=⨯-+-⨯-=-=，解得2t =，所以()()3,12,1a b =-=,，则10,5,32115a b a b ==⋅=⨯-⨯=，由cos ,210a b a b a b⋅===⨯⋅， 又因为,[0,]a b π∈，所以向量a 与向量b 的夹角为4π. 故答案为：4π. 【点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标运算，向量的夹角公式的应用，以及向量垂直的坐标表示及运算，其中解答中熟记向量的数量积和夹角的坐标运算公式，以及向量垂直的坐标运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.14．【解析】试题分析:由题设可知在中,,由此可得,由正弦定理可得,解之得,又因为,所以,应填1006.考点：正弦定理及运用．15．2-【解析】分析：首先对函数进行求导，化简求得()()1'4cos 1cos 2f x x x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，从而确定出函数的单调区间，减区间为()52,233k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦，增区间为()2,233k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，确定出函数的最小值点，从而求得sin 22x x =-=-代入求得函数的最小值. 详解：()()21'2cos 2cos24cos 2cos 24cos 1cos 2f x x x x x x x ⎛⎫=+=+-=+-⎪⎝⎭，所以当1cos 2x <时函数单调减，当1cos 2x >时函数单调增，从而得到函数的减区间为()52,233k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦，函数的增区间为()2,233k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，所以当2,3x k k Z ππ=-∈时，函数()f x 取得最小值，此时sin x x ==，所以()min 2222f x ⎛=⨯--=- ⎝⎭，故答案是. 点睛：该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值. 16．①③④ 【分析】①根据数列规律列出前24项即可判定①正确.②根据数列1a ，23a a +，456a a a ++，78910a a a a +++，…是12，1，64，2，…，22n -，12n -，即可得到等差数列，故②不正确.③利用等差数列的前n 项和公式即可判定③正确.④通过列出数列中的项和计算57.510T =<，610.50T =>即可判定④正确.【详解】①前24项构成的数列是：12，13，23，14，24，34，15，25，35，45，16，26，36，46，56，17，27，37，47，57，67，18，28，38， 所以2438a =，故①正确. ②数列1a ，23a a +，456a a a ++，78910a a a a +++，… 是12，1，64，2，…，22n -，12n -， 由等差数列定义121222n n ---=（常数） 所以数列1a ，23a a +，456a a a ++，78910a a a a +++，…是等差数列， 故②不正确.③因为数列1a ，23a a +，456a a a ++，78910a a a a +++，…是等差数列，所以由等差数列前n 项和公式可知：21(1)12224n n n n nT n -+=+⨯=， 故③正确.④由③知：1a ，23a a +，456a a a ++，78910a a a a +++，1112131415a a a a a ++++，161718192021a a a a a a +++++，是12，1，64，2，52，12345615677777777+++++=+. 因为57.510T =<，610.50T =>所以存在20k =，使2010S <，2110S ≥，且205=7a . 故④正确. 故答案为：①③④. 【点睛】本题主要考查探究数列的规律，同时考查了等差数列的性质和数列的证明，属于难题. 17．（1）480；（2）分布列答案见解析，数学期望为：1. 【分析】（1）根据频率即可计算出；（2）可知X 可取的值为0,1,2，分别计算出概率，即可得出分布列，进而求出数学期望.【详解】（1）根据甲班的统计数据，该校高三年级每天学习时间达到5小时及以上的学生人数约为()6000.5000.2500.050480⨯++=；（2）甲班每天学习时间不足4小时的学生人数为400.0502⨯= 乙班每天学习时间不足4小时的学生人数为400.1004⨯=， 从甲班抽到的学生人数X 可取的值为0,1,2，则()032436105C C P X C ===，()122436315C C P X C ===，()212436125C C P X C ===， 所以的分布列为：则X 的数学期望为：()0121555E X =⨯+⨯+⨯=.【点睛】本题考查频率分布直方图的理解，考查离散型随机变量的分布列和数学期望，属于基础题. 18．（1）证明见解析；（2）30. 【分析】（1）连接A B '，则//MN A B '，连接BC ' ，交B C '于G ，连接FG ，则//FG A B '，故//MN FG ，再由线面平行的判定定理即可得证；（2）由题知，CF ⊥平面A B C '''，可得CF A C ''⊥，又B F A C '''⊥，可证A C ''⊥面CFB '，A C FP ''⊥，故PFB '∠即为所求二面角的泡沫胶；在Rt CFB '中，即可求得PFB '∠的值，进而求出结果． 【详解】（1）证明：连接A B '，M ､N 分别是A C '､BC 的中点，//MN A B '∴，连接BC '，交B C '于G ，连接FG ，由F 为A C ''的中点，G 为C B '的中点，可得//FG A B '， 则//MN FG ，FG ⊂平面CFB '，MN ⊄平面CFB '，//MN ∴平面CFB '；.C 在底面的投影为F ，CF ∴⊥平面A B C '''，CF A C ''∴⊥，因为A B C '''是边长为2的正三角形，∴B F A C '''⊥，B F CF F '=，∴A C CFB '''⊥面，A C FP ''⊥，PFB '∴∠是平面PA C ''与平面A B C '''所成角的平面角，FB '1CF =，=2CB '，∴1PF =，60CFP ∴∠=，30PFB '∴∠=即二面角P A C B '''--的大小为30.【点睛】本题考查空间中线与面的位置关系、二面角的求法，熟练掌握线面平行或垂直的判定定理与性质定理，以及理解二面角的定义是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 19．（1）3π；（2）10,2⎛⎤⎥⎝⎦. 【分析】（1）由题意结合平面向量的数量积运算、三角恒等变换可得1()sin 62f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，利用三角函数的性质即可得解；（2）由题意结合正弦定理、三角恒等变换可得cos B ≥，进而可得0,6B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，利用三角函数的图象与性质即可得解. 【详解】（1）由题意21cos ()13cos cos 1122222x x x xf x m n x +=⋅+=⋅-+=-+111cos sin 22262x x x π⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭， 因为()1f x =，所以sin 612x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 又0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以,663x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 所以66x ππ-=即3x π=；（2）由2cos 2b A c ≤可得2sin cos 2sin B A C A ≤，因为()C A B π=-+，所以sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，所以2sin cos 2(sin cos cos sin )B A A B A B A ≤+2sin cos A A B ≤，由(0,)A π∈可得sin 0A >，所以cos B ≥，所以0,6B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以,066B ππ⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦，1sin ,062B π⎛⎫⎛⎤-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，所以11()sin 0,622f B B π⎛⎫⎛⎤=-+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦.【点睛】本题考查了三角恒等变换、三角函数的图象与性质及正弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于中档题.20．（1）23n a n =-+；（2）证明见解析. 【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，根据535S S =，4223a a =-，列出方程组，求得1,a d 的值，即可得到数列{}n a 的通项公式. （2）由312123112n n n b b b b a a a a +++⋯+=-，得到当2n ≥时，311211231112n n n b b b b a a a a ---+++⋯+=-， 两式相减求得12n nn b a =-，进而求得数列{}n b 的通项公式，结合数列的单调性，即可求解. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为535S S =，4223a a =-，可得()()1111510533323a d a d a d a d ⎧+=+⎪⎨+=+-⎪⎩，解得11a =，2d =-， 所以1(1)(2)23n a n n =+-⨯-=-+， 即数列{}n a 的通项公式23n a n =-+.（2）因为*12312311,2n n n b b b b n a a a a +++⋯+=-∈N ， 当2n ≥时，*12311123111,2n n n b b b b n a a a a ---+++⋯+=-∈N ， 两式相减可得：111111222n n n n n b a -⎛⎫=---=- ⎪⎝⎭， 所以11(23)22n n n n b a n -⨯=⨯= 又由1n =时，1111122b a =-=-，所以111122b a =-=-，也符合上式，所以1(23)2n nb n =-⨯， 又因为1111125(21)(23)222n n n n n n b b n n +⋅⋅-+-=-⨯--⨯=， 可得当2n ≤时，10n n b b +->；当3n ≥时，10n n b b --<，所以数列{}n b 先单调递增再递减，可得338n b b =的最大值为，所以38n b ≤. 【点睛】 本题主要考查了等差数列的通项公式求解，利用数列的递推公式求解数列的通项公式，以及数列的单调性的判定及应用，其中解答中熟练化简数列的递推公式，得出数列的通项公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.21．（1）22143x y +=；（2）92. 【分析】（1）利用椭圆的定义即可求解.（2）直线HG 斜率不为0，设为1x ty =+，将直线与椭圆方程联立，消x 整理出关于y 的一元二次方程，利用韦达定理可得1212OHG S OA y y =-=△2MN OM =，2GHN OHG S S =△△，根据3OHG GHN OHG S S S S +==△△△，利用基本不等式即可求解.【详解】（1）由题意知EB ED =， 所以42EB EA PE EA PA AB +=+==>=，所以E 轨迹是焦点为A ､B ，长轴为4的椭圆的， 设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则24a =，22c =， 所以24a =，2b 3=， 所以椭圆方程为22143x y += 即点E 的轨迹的方程为22143x y +=； （2）因为直线HG 斜率不为0，设为1x ty =+，设()11,G x y ，()22,H x y ，联立221,143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得()2234690t y ty ++-=， 所以222=3636(34)144(1)0t t t ∆++=+>，122634t y y t -+=+，122934y y t -=+所以1212OHGS OA y y =-=△ ∵2MN OM =，∴2GHN OHG S S =△△，设四边形OHNG 的面积为S ，则218181831OHG GHN OHG S S S S =+==== (1)m m ≥，再令13y m m=+， 则13y m m=+在[)1,+∞单调递增，所以1m =时，min 4y =， 此时0t =，取得最小值4，所以max 92S =. 【点睛】本题考查了椭圆的定义求标准方程、直线与椭圆的位置关系，此题对计算能力要求较高，属于难题.22．（1）答案见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）求得()f x '，对参数a 进行分类讨论，即可利用导数求得函数单调性； （2）根据零点定理，用12,x x 表示a ，通过换元法，求目标不等式转化为()()()()111ln 1311u g u u u u -=->+的值域问题，利用导数即可得证.【详解】 （1）()f x 的定义域为()0,∞+，()1333a x a f x x x-'=-= 当0a ≤时，()0f x '>，则()f x 在()0,+∞上是增函数当0a >时，()03f x x a '>⇔>；()003f x x a '>⇔<<，所以()f x 在()0,3a 上是减函数，在()3,a +∞上是增函数综上，当0a ≤时，()f x 在()0,∞+上是增函数；当0a >时，()f x 在()0,3a 上是减函数，在()3,a +∞上是增函数（2）若函数()f x 有两个零，点1x ，2x ，根据（1），可得0a >.不妨设210x x <<，由()()120f x f x ==，得11223ln 30,3ln 30,x a x x a x --=⎧⎨--=⎩ 两式相减，得11223ln x x x a x -=，解得12123ln x x a x x -=， 要证明211111x x a +>，即证()12211211113ln x x x x x x -+> 即证()()12122111ln 311x x x x x x ->+， 设()121x u u x =>，则()()111ln 311u u u ->+ 则()()()()111ln 1311u g u u u u -=->+，则()()()()2221114401111u g u u u u u -'=-=≥++， 所以()g u 在()1,+∞上为增函数，从而()()10g u g >=，即()()111ln 311u u u ->+成立， 因此，()21110x a x -+>成立.即211111x x a +>【点睛】本题考查利用导数研究含参函数的单调性，以及用导数证明不等式恒成立问题，涉及构造函数法，属综合中档题.。
2021年高三数学上学期零诊考试试题 理
2021年高三数学上学期零诊考试试题 理时间:120分钟 满分:150分第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．1．已知均不为0，则的值组成的集合的元素个数为（ ）A.1B.2C.3D.42．设集合，集合，则（ ）A. B. C. D.3．已知集合，，且A ∪(∁R B )＝R ，则实数的取值范围是( )A ．a ≤1B ．a ≥2C ．a < 1D ．a > 24.若命题，则对命题的否定是( )A ．B ．C ．()()2000,33,,210x x x ∃∈-∞-+∞++≤D ．5.设a ＝，b ＝，c ＝，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c ＜a ＜bB ．c ＜b ＜aC ．b ＜a ＜cD．a ＜c ＜b6.命题函数在上的值域为；命题.下列命题中，真命题的是( )A． B． C． D．7．设偶函数f(x)满足f(x)＝x3－8(x≥0)，则{x|f(x－2)>0}＝( )A．{x|x<－2或x>4} B．{x|x<0或x>4} C．{x|x<0或x>6} D．{x|x<-2或x>5}8．已知命题p：14≤2x≤12，命题q：x＋1x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，－2，则下列说法正确的是( )A．p是q的充分不必要条件 B．p是q的充要条件C．p是q的必要不充分条件 D．p是q的既不充分也不必要条件9.若函数在上既是奇函数又是增函数，则函数的图象是（）10.已知函数是上的奇函数，且的图像关于直线对称。
当时，，则( )A. B. C. D.11. 已知函数若, 且则的取值范围是( )A. B. C. D.12．关于的方程，给出下列四个命题：①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根.其中假命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．答案填在答题卡上．13.幂函数的图象过点，则．14. 设，若，则实数15.已知函数f(x)的值域为[0,4](x∈[－2，2])，函数g(x)＝ax－1，，，，使得g(x)＝f(x1)成立，则实数a的取值范围是________．16.已知函数当时，，则实数的取值范围是________ .三、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（本小题满12分）设的定义域为，的定义域为.（1）求；（2）若，p是q充分不必要条件，求实数的取值范围。
四川省成都市新都区2021届高三数学诊断测试试题 理(含解析).doc
四川省成都市新都区2021届高三数学诊断测试试题 理（含解析）注意事项：1．答题前，务必将姓名、考场号、座位号填写在答题卡规定的位置上，并将考生条形码粘贴在规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答非选择题时，必须使用0．5毫米黑色墨迹签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，只将答题卡交回．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题有且只有一个正确选项．） 1.已知全集U ＝R ，集合{}202,{0}A x x B x x x =≤≤=->，则图中的阴影部分表示的集合为( )A. (1](2,)-∞⋃+∞，B. (0)(12)-∞⋃，，C. [1)2，D. (12]， 【答案】A 【解析】B={x|x 2﹣x ＞0}={x|x ＞1或x ＜0}，由题意可知阴影部分对应的集合为∁U （A∩B ）∩（A∪B）， ∴A∩B={x|1＜x≤2}，A∪B=R， 即∁U （A∩B）={x|x≤1或x ＞2}，∴∁U （A∩B）∩（A∪B）={x|x≤1或x ＞2}， 即（﹣∞，1]U （2，+∞） 故选：A2.设121iz i i-=++，则z z +=—（ ） A. 1i -- B. 1i +C. 1i -D. 1i -+【答案】B【解析】 【分析】对复数z 进行运算得zi ，从而求得||1z z i +=+.【详解】因21(1)22221(1)(1)2i i i z i i i i i i i ---=+=+=+=++-，所以||1z =，所以||1z z i +=+. 故选：B.【点睛】本题考查复数的四则运算、共轭复数和模的概念，考查基本运算求解能力. 3.已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，5632a a a +=+，则72S =（ ） A. 2 B. 7C. 14D. 28【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列通项公式，将等式5632a a a +=+化成42a =，再由等差数列的前n 项和公式得742S 2728a =⋅=.【详解】因为5632a a a +=+，所以111142452322a d a d a d a d a ++=+++⇒+=⇒=， 所以742S 2728a =⋅=. 故选：D.【点睛】本题考查等差数列通项公式、前n 项和公式，考查基本运算求解能力.4.已知sin cos 3αα+=，则sin 2α=（ ） A. 79-B. 29-C.29D.79【答案】A 【解析】 【分析】直接对等式两边平方，利用倍角公式得sin 2α的值.【详解】因为sin cos αα+=，所以2227(sin cos )12sin cos 99sin 2ααααα+=⇒+=-=⇒. 故选：A.【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系、倍角公式，考查基本运算求解能力. 5.已知函数()f x 满足：①对任意1x 、()20,x ∈+∞且12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-；②对定义域内的任意x ，都有()()0f x f x --=，则符合上述条件的函数是（ ） A. ()21f x x x =++B. x1()2f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭C. ()ln 1f x x =+D. ()cos f x x =【答案】B 【解析】 【分析】由题设条件判断增减性和奇偶性，再结合所给具体函数判断即可【详解】由题可知，()f x 为定义域在()0,+∞的减函数，且函数具有偶函数特征； 对A ，当()0,x ∈+∞，()21f x x x =++，()f x 的对称轴为12x =-，在()0,+∞为增函数，与题不符，排除；对B ，x 1()2f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当()0,x ∈+∞，1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，为减函数， 又()-xx11()22f x f x ⎛⎫⎛⎫-=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 符合； 对C ，()ln 1f x x =+，函数显然不具备偶函数特征，排除； 对D ，函数为周期函数，在()0,x ∈+∞不是减函数，排除； 故选：B【点睛】本题考查函数解析式的辨析，函数增减性与奇偶性的应用，属于基础题6.已知定义在R 上的函数()f x 满足(3)(3)f x f x -=+，且函数()f x 在()0,3上为单调递减函数，若3ln422,log 3,a b c e -===，则下面结论正确的是（ ） A. ()()()f a f b f c << B. ()()()f c f a f b << C. ()()()f c f b f a << D. ()()()f a f c f b <<【答案】C 【解析】 【分析】由题判断函数对称轴为3x =，结合()f x 在()0,3上为单调递减可知，判断函数值大小关系，即判断对应数值与3的绝对值的大小关系，可画出拟合图形加以求解【详解】由(3)(3)f x f x -=+得3x =，又()f x 在()0,3上为单调递减，画出拟合图形，如图：()()3ln 4220,1,log 31,2,4a b c e -=∈=∈==，在图上的对应关系如图所示：，显然()()()f c f b f a << 故选：C【点睛】本题考查根据函数的对称性比较函数值大小，解题关键在于确定对称轴和函数与对称轴的关系，属于基础题 7.已知0,0a b >>，若不等式313n a b a b+≥+恒成立，则n 的最大值为（ ） A. 9B. 12C. 16D. 20【答案】C 【解析】 【分析】可左右同乘3a b +，再结合基本不等式求解即可 【详解】0,0a b >>，()313133n a b n a b a b a b ⎛⎫+≥⇔++≥ ⎪+⎝⎭，()31333339110216b a b a a b a b a b a b ⎛⎫++=+++≥+⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当1a b ==时，等号成立，故16n ≤ 故选：C【点睛】本题考查基本不等式求最值，属于基础题 8.函数3cos xy x e =-的图象可能是（ ）A. B. C. D.【答案】B 【解析】 【分析】考查该函数的奇偶性，在0x =处的取值以及该函数在()0,∞+上的单调性可辨别出图象。
2021届成都市2018级高中毕业班摸底测试数学理科(解析版)(1)
成都市2018级高中毕业班摸底测试数学（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分。
第Ⅰ卷（选择题，第Ⅱ卷（非选择题），满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5．考试结束后，只将答题卡交回。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．设集合{}02A x x =<<，{}1B x x =≥，则AB =（ ）A ．{}01x x <≤B ．{}01x x <<C ．{}12x x ≤<D ．{}02x x << 【命题意图】本题考查集合的运算，属于简单题. 【答案】C【解析】由题意知{}12A B x x =≤<，故选C 项.2．复数2i2iz =-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【命题意图】本题考查复数的运算和复平面的概念，属于简单题. 【答案】B【解析】由题意知()()()2i 2i 24i2i 2i 5z +-+==-+，所以在复平面内对应的点位于第二象限，故选B 项. 3．已知函数1,0()ln ,0x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，则1e f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A ．0B ．1C ．e 1-D ．2 【命题意图】本题考查分段函数的求值，属于简单题. 【答案】D【解析】由题意知11ln1e ef ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以()112e f f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D 项.4．为了加强全民爱眼意识，提高民族健康素质，1996年，卫生部，教育部，团中央等12个部委联合发出通知，将爱眼日活动列为国家节日之一，并确定每年的6月6日为“全国爱眼日”.某校高二（1）班有40名学生，学号为01到40，现采用随机数表法从该班抽取5名学生参加“全国爱眼日”宣传活动.已知随机数表中第6行至第7行的各数如下：16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 若从随机数表第6行第9列的数开始向右读，则抽取的第5名学生的学号是（ ）A ．17B ．23C ．35D ．37 【命题意图】本题考查简单随机抽样，属于简单题. 【答案】C【解析】根据随机数表从第6行第9列开始依次抽出号码分别是：39、49、54、43、54、共5个号码，由于49、54、43、54四个号码不在总体编号范围内，应排除在外.再补充四个号码：17、37、23、35，由此产生5个样本的学号为：39、17、37、23、35，所以第5名学生的学号为35，故选C 项.5．“k =2y kx =+与圆221x y +=相切”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【命题意图】本题考查充要条件和直线与圆的位置关系，属于简单题. 【答案】A【解析】当直线2y kx =+与圆221x y +=1=，所以k =所以“k =2y kx =+与圆221x y +=相切”的充分不必要条件，故选A 项.6．已知离心率为2的双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>与椭圆22+184x y =有公共焦点，则双曲线的方程为（ ）A ．221412x y -= B ．221124x y -= C ．2213y x -= D ．2213x y -= 【命题意图】本题考查双曲线方程和双曲线与椭圆的性质，属于简单题.【答案】C【解析】由题意知22213b e a =-=，椭圆22+184x y =的焦点为()2,0±，所以224a b +=，所以21a =，23b =，所以双曲线的方程为2213y x -=，故选C 项.7．执行如图所示的程序框图，则输出的结果S 为（ ）A ．1-B ．2 C ．0 D ．12-- 【命题意图】本题考查程序框图和数列求和，属于中档题.【答案】B【解析】由程序框图知10coscos cos cos4444S π2π3ππ=++++. 因为()()()()()81828388coscos cos cos4444k k k k k +π+π+π+π++++=∈Z ，所以10910coscos cos coscos cos cos cos 444444422S π2π3ππππππ=++++=+=+=，故选B 项. 8．设函数()f x 的导函数是()f x '.若()()2cos f x f x x '=π-，则6f π⎛⎫'=⎪⎝⎭（ ）A ．12-B ．12CD ．【命题意图】本题考查导数的计算，属于中档题.【答案】B【解析】由题意得()()2sin f x f x x ''=π+，所以()()2sin f f ''π=ππ+π，所以()0f 'π=，所以()sin f x x '=，所以162f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭，故选B 项.9．如图是某几何体的三视图.若三视图中的圆的半径均为2，则该几何体的表面积为（ ）A ．14πB ．16πC ．18πD ．20π【命题意图】本题考查简单几何体的三视图，属于中档题. 【答案】C【解析】由三视图知该几何体为球去掉后下左18球和前上右18球，所以该几何体的表面积为3316421844π⨯+π⨯⨯=π，故选C 项. 10．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l :()1y k x =+与曲线C ：1sin 2,sin cos x y θθθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）在第一象限恰有两个不同的交点，则实数k 的取值范围为（ ）A ．()0,1B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,13⎫⎪⎪⎣⎭D ．132⎫⎪⎪⎣⎭【命题意图】本题考查参数方程和直线曲线交点问题，本题容易忽略x 或y 的取值范围，从而得错误答案B ，属于中档题.【答案】D【解析】由题意知直线l 过定点()1,0-，曲线C 的普通方程为()202y x x =≤≤，所以曲线C 在第一象限的解析式为)02y x =≤≤，所以y '=易求直线l 与曲线C 在第一象限相切时的方程为()112y x =+，切点为()1,1.当直线l 与曲线C 在第一象限恰有两个不同的交点时，由图象可得132k ≤<，故选D 项. 11．已知函数()ln xf x x=.若()ln 2a f =，()ln 3b f =-，()e c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b c a >> B ．b a c >> C ．a b c >> D ．a c b >>【命题意图】本题考查函数的性质和利用导数研究函数的单调性，此题容易忽略函数的定义域，属于中档题.【答案】A【解析】由题意知()f x 为偶函数，所以()ln 3b f =.当0x >时，()ln xf x x=，所以当01x <<时，()0f x <；当1x >时，()0f x >.易求()()2ln 1ln x f x x -'=，所以()f x 在()0,1上递减，在()1,e 上递减，在()e,+∞上递增.因为0ln 2l ln3e <<<<，所以()ln 20f <，()()ln 3e 0f f >>，所以b c a >>，故选A 项. 12．设,k b ∈R ，若关于x 的不等式()ln 1x x kx b -+≤+在()1,+∞上恒成立，则11b k --的最小值是（ ） A ．2e - B ．1e 1-+ C ．21e- D ．e 1-- 【命题意图】本题主要考查利用导数求函数的最值解决不等式恒成立问题，属于难题.【答案】D【解析】设()()()()ln 111f x x k x b x =---->，则()0f x ≤恒成立.若1k ≤时，则当x →+∞时，()f x →+∞，所以()0f x ≤不恒成立，所以1k >. 因为()()()11=111k k x f x k x x --'--=--，所以()f x 在1,1k k ⎛⎫ ⎪-⎝⎭上递增，在,1k k ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭上递减， 所以()max 1ln 011k f x f k b k k ⎛⎫==--≤⎪--⎝⎭，所以()ln 1b k k ≥---，所以()ln 11111k k b k k -++-≥---. 设()ln 2x x g x x ++=，则()2ln 1x g x x +'=-，所以()g x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递减，所以()max 1e 1e g x g ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭.所以()ln 11e 11k k k -++≤+-，所以()ln 111e 111k k b k k -++-≥-≥----，所以11b k --的最小值为e 1--，故选D 项. 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共5小题,每小题5分，共25分.请将答案填在题后横线上. 13．已知呈线性相关的变量x ，y 之间的关系如下表：由表中数据得到的回归直线方程为ˆˆ1.6yx a =+.则当8x =时，ˆy 的值为 . 【命题意图】本题考查线性回归方程，属于简单题.【答案】12.3【解析】根据表格中的数据可得 2.5x =， 3.5y =，所以回归方程过ˆˆ1.6y x a =+过点()2.5,3.5，所以ˆ0.5a=-，所以回归直线方程为ˆ 1.60.5y x =-，所以当8x =时，ˆ12.3y =. 14．函数()22e3xf x -=-+的图象在0x =处的切线方程为 .【命题意图】本题考查导数几何意义，属于简单题. 【答案】410x y -+=【解析】由题意知()01f =，()24e xf x -'=，所以()04f '=，所以()f x 在()()0,0f 处的切线方程为410x y -+=.15．已知甲，乙，丙三个人中，只有一个人会中国象棋.甲说：“我会”；乙说：“我不会”；丙说：“甲不会”.如果这三句话只有一句是真的，那么甲，乙，丙三个人中会中国象棋的是 . 【命题意图】本题考查逻辑推理问题，属于中档题. 【答案】乙【解析】若甲说的话为真的，则甲会中国象棋，则乙说的话也为真的，矛盾；若乙说的话为真的，则甲的话为假话，所以甲不会中国象棋，丙的话为假话，所以甲会会中国象棋，矛盾；故丙的话为真话，甲和乙的话为假话，所以会中国象棋是乙.16．已知点P 在椭圆2222+1(0)x y a b a b=>>上，1F 是椭圆的左焦点，线段1PF 的中点在圆2222x y a b+=-上.记直线1PF 的斜率为k ，若1k ≥，则椭圆离心率的最小值为 .【命题意图】本题考查椭圆的性质，借助平面几何与圆锥曲线的常用二级结论可以快速得处答案，属于难题.1【解析】设椭圆的右焦点为2F ，则12F F 为圆2222x y a b +=-的直径，所以线段1PF 的中垂线过2F ，所以122F F PF =.在焦三角形12PF F 中，设1212PF F F PF θ∠=∠=，由1k ≥得42θππ≤<.所以离心率()sin 11sin sin 212cos e θθθθ==≥=+π-+.三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.+ 17．（本小题满分12分）2019年12月，《生活垃圾分类标志》新标准发布并正式实施.为进一步普及生活垃圾分类知识，了解居民生活垃圾分类情况，某社区开展了一次关于垃圾分类的问卷调查活动，并对随机抽取的1000人的年齡进行了统计，得到如下的各年龄段频数分布表和各年龄段人数频率分布直方图：（Ⅰ）请补全各年龄段人数频率分布直方图，并求出各年龄段频数分布表中m ，n 的值；（Ⅱ）现从年龄在[)30,40段中采用分层抽样的方法选取5名代表参加垃圾分类知识交流活动.应社区要求，从被选中的这5名代表中任意选2名作交流发言，求选取的2名发言者中恰有1名年龄在[)35,40段中的概率.【命题意图】本题考查频率分布直方图和古典概型，属于中档题. 【答案】（Ⅰ）图略，200m =，100n =；（Ⅱ）35. 【详解】（Ⅰ）因为第三组的频率为()10.040.060.030.020.0150.2-++++⨯=， 所以第三组直方图的高为0.20.045=.补全频率分布直方图如下图：由频率分布直方图知0.21000200m =⨯=，0.025*******n =⨯⨯=.（Ⅱ）由（Ⅰ）知年龄在[)30,35段中的人数与年龄在[)35,40段中的人数的比值为30032002=，所以采用分层抽样法抽取5名，年龄在[)30,35段中的有3名，年龄在[)35,40段中的有2名.不妨设年龄在[)30,35段中的3名为A 1，A 2，A 3，年龄在[)35,40段中的2名为B 1，B 2由于从5名代表中任选2名作交流发言的所有可能情况有：{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 2，A 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{B 1，B 2}共10种.其中选取的2名发言者中恰有1名年龄在[)35,40段情况有：{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}共6种. 故所求概率为63105P ==. 18．（本小题满分12分）已知函数()3221f x x ax bx a =+++-在1x =-处取得极值0，其中a ，b ∈R . （Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）当[]1,1x ∈-时，求()f x 的最大值.【命题意图】本题主要考查利用导数研究函数的极值和求函数的最值，属于中档题. 【答案】（Ⅰ）1a =，1b =；（Ⅱ）4. 【详解】（Ⅰ）因为()234f x x ax b '=++，且函数()f x 在1x =-处有极值0，所以()()1010f f '-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，即3401210a b a b a -+=⎧⎨-+-+-=⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩.又当1a =，1b =时，()()()2341131f x x x x x '=++=++.当(),1x ∈-∞-时，()0f x '>，此时()f x 单调递增；当11,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，此时()f x单调递减；当1,3x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，此时()f x 单调递增.故()f x 在1x =-处取得极大值. 综上，1a =，1b =.（Ⅱ）由（Ⅰ）知()322f x x x x =++，()()()131f x x x '=++，()f x 在11,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上递减，在1,13⎛⎤- ⎥⎝⎦上递增.又()10f -=，()14f =，所以当[]1,1x ∈-时，()f x 取得最大值4. 19．（本小题满分12分）如图①，在菱形ABCD 中，60A ∠=且2AB =，E 为AD 的中点.将ABE △沿BE 折起使AD =得到如图②所示的四棱锥A BCDE -.（Ⅰ）求证：平面ABE ⊥平面ABC ；（Ⅱ）若P 为AC 的中点，求二面角P BD C --的余弦值.【命题意图】本题主要考查垂直关系的证明和求二面角，属于中档题.【答案】（Ⅰ）略；（Ⅱ）7. 【详解】（Ⅰ）证明：在图①中，连接BD .∵ 四边形ABCD 为菱形，60A ∠=，∴ ABD △是等边三角形. ∵ E 为AD 的中点，∴ BE ⊥AE ，BE ⊥DE . 又2AD AB ==，∴1AE DE ==.在图②中，AD =222AE ED AD +=.∴ AE ⊥ED .∴ BC ∥DE ，∴ BC ⊥BE ，BC ⊥AE .又BE AE E =，AE ，BE ⊂平面ABE ，∴ BC ⊥平面ABE . ∵ BC ⊂平面ABC ，∴ 平面ABE ⊥平面ABC . （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知AE ⊥DE ，AE ⊥BE . ∵ BE DE E =，BE ，DE ⊂平面BCDE . ∴ AE ⊥平面BCDE .以E 为坐标原点，EB ，ED ，EA 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Exyz .则()0,0,0E ，()0,0,1A，)B，)C，()0,1,0D .∵ P 为AC 的中点，∴1,1,22P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.∴ 311,22PB⎛⎫=--⎪ ⎪⎝⎭，1,0,22PD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭. 设平面PBD 的一个法向量为(),,x y z =m .由00PB PD⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，得10,2210.2x y z x z--=⎪⎨⎪-=⎪⎩令z =，得(=-m .又平面BCD 的一个法向量为()0,0,1EA =.设二面角P BD C --的大小为θ，由题意知该二面角为锐角，则cos 7EA EA θ⋅===m m. ∴ 二面角P BD C --的余弦值为7. 20．（本小题满分12分）在同平面直角坐标系xOy 中，圆224x y +=经过伸缩变换ϕ：12x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩后，得到曲线C .（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，连接BO 并延长与曲线C 相交于点D ，且2AD =.求ABD △面积的最大值.【命题意图】本题主要考查伸缩变换和直线与椭圆的位置关系，属于中档题.【答案】（Ⅰ）2214x y +=；（Ⅱ）2. 【详解】（Ⅰ）设圆224x y +=上任意一点(),M x y 经过伸缩ϕ：12x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩得到对应点(),M x y '''.将x x '=,2y y '=代入224x y +=，得()2224x y ''+=，化简得2214x y ''+=. 所以曲线C 的方程为2214x y +=. （Ⅱ）解法一：由题知当直线AD 的斜率不存在时，由2AD =，则A ，B 两点重合，不满足题意. 当直线AD 的斜率存在时，不妨设直线AD ：y kx m =+，()11,A x y ，()22,D x y . 因为点B ，D 关于原点对称，所以2ABD AOD S S =△△.由22,14y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，化简得()222148440k x kmx m +++-=. 所以()2216410k m ∆=-+>，即22410k m -+>.……（*）所以122814kmx x k +=-+，21224414m x x k -=+.由2AD =，得122AD x =-==，22231441k m k +=⋅+. 设点O 到直线AD 的距高为d，则d =又 12||222ABD AOD S D d S A d =⨯⋅==△△，所以ABDS ==△(1)t t =≥，则 ()22114k t =-.所以2ABD t S t==≤+△，当且仅t =. 此时212k =，232m =且满足（*）式. 所以ABD △面积的最大值为2.解法二：由题知直线l 的斜率不为零，设l ：x my n =+，()11,A x y ，()22,B x y ，则()22,D x y --.由22,14x n y x my ⎧⎪⎨+==+⎪⎩消去x ，化简得()2224240m y mny n +++-=. 所以()221640m n ∆=+->，即2214n m <+. 所以12224mny y m +=-+，212244n y y m -=+.所以()12122824nx x m y y n m +=++=+.由2AD =，得()()2212124x x y y +++=，所以()()2222222644444nm nmm+=++，化简得()2222416m n m +=+，所以22222412141616n m m m m +==-+++. 又20m ≥，所以221144n m ≤<+. 因为点B ，D 关于原点对称，所以2ABD AOB S S =△△. 又1212||||22ABD AOB S S y y n n ⨯==-=△△2===≤. 故当22142n m =+时，ABD △的面积最大，最大值为2. 21．（本小题满分12分）已知函数()e xf x x ax =+，a ∈R .（Ⅰ）设()f x 的导函数为()f x '，试讨论()f x '的零点个数；（Ⅱ）设()ln ln (1)ag x ax x a x a x =++-.当()1,x ∈+∞时，若()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围.【命题意图】本题主要考查利用导数研究函数的零点和处理含参不等式恒成立问题，属于难题. 【答案】（Ⅰ）见详解；（Ⅱ）(],e -∞. 【详解】（Ⅰ）解法一：因为()()1e xf x x a '=++，所以()f x '的零点个数等价于方程()1e xa x -=+的根的个数.设()(1)e xF x x =+，则考虑直线y a =-与曲线()y F x =的公共点个数. 因为()(2)e xF x x '=+，令()(2)e 0xF x x '=+=，解得2x =-.所以当(),2x ∈-∞-时，()0F x '<，此时()F x 在(),2-∞-上单调递减；当()2,x ∈-+∞时，()0F x '>，此时()F x 在()2,-+∞上单调递增. 所以()F x 的最小值为21(2)eF -=-. 又(1)0F -=，当1x <-时，()0F x <；当1x >-时，()0F x >. 当x →-∞时，()0F x →；当x →+∞时，()F x →+∞. 由其函数图象性质，可得：①当0a -≥或21e a -=-，即 0a ≤或21ea =时，直线y a =-与曲线()y F x =有 1 个公共点； ②当210e a -<-<，即210ea <<时，直线y a =-与曲线()y F x =有 2 个公共点；③当21e a -<-，即21ea >时，直线y a =-与曲线()y F x =无公共点.综上所述，当 0a ≤或21e a =时，()f x '有且只有 1 个零点；当210e a <<时，()f x '有2零点；当21ea >时，()f x '无零点. 解法二：因为()()1e xf x x a '=++，所以()()2e xf x x ''=+，所以当2x <-时，()0f x ''<；当2x >-时，()0f x ''>.所以()f x '在(),2-∞-上单调递减，在()2,-+∞上单递递增，所以()()2min 12e f x f a ''=-=-. （1）当21e a >时，则()2min10e f x a '=->，所以()f x '无零点. （2）当21e a =时，则()2min 10e f x a '=-=，所以()f x '有且只有 1 个零点.（3）当21e a <时，则()2min 10ef x a '=-=.又当x →-∞时，()f x a '→；当x →+∞时，()f x '→+∞，所以若201ea <<时，则()f x '有2零点；若0a ≤时，则()f x '有且只有 1 个零点. 综上所述，当 0a ≤或21e a =时，()f x '有且只有 1 个零点；当210e a <<时，()f x '有2零点；当21e a >时，()f x '无零点. （Ⅱ）解法一：当()1,x ∈+∞时，若()()f x g x ≥成立，即e ln ln (1)x ax ax ax x a x a x +≥++-对()1,x ∈+∞恒成立，亦即()ln e ln eln xa xx x a x a x +≥+对()1,x ∈+∞恒成立.设函数()e xh x x x =+，所以()()ln h x h a x ≥对()1,x ∈+∞恒成立.又()()1e 1xh x x '=++，设()()()1e 1xx h x x ϕ'==++，则()(2)e xx x ϕ'=+.所以当(),2x ∈-∞-时，()0x ϕ'<，此时()h x '在(),2-∞-上单调递减；当()2,x ∈-+∞时，()0x ϕ'>，此时()h x '在()2,-+∞上单调递增. 所以()()21210eh x h ''≥-=->，()h x 在R 上单调递增. 又()()ln h x h a x ≥，所以ln x a x ≥在()1,+∞上恒成立. 方法一：因为1x >，所以ln xa x≤在()1,+∞上恒成立. 设()()1ln xt x x x=>，则()min a t x ≤ 因为()()2ln 1ln x t x x -'=，所以当1e x <<时，()0t x '<；当e x >时，()0t x '>.所以()t x 在()1,e 上单调递减，在()e,+∞上单调递增. 所以()()min e e t x t ==，所以e a ≤. 故a 的取值范围是(],e -∞.方法二：令()ln m x x a x =-，则()1a x a m x x x-'=-=. ①当1a ≤时，()0m x '>在()1,+∞上恒成立，所以()(1)10m x m >=>，此时满足已知条件. ②当1a >时，由()0m x '=，解得x a =.当()1,x a ∈时，()0m x '<，此吋()m x 在()1,a 上单调递减；当(),x a ∈+∞时，()0m x '>，此吋()m x 在(),a +∞上单调递增.所以()m x 的最小值()ln 0m a a a a =-≥，解得1e a <≤.综上，a 的取值范围是(],e -∞. 解法二：由题意知()()()()e 11ln 0x af xg x x a x x ≥⇔+-+≥. 设()()()()e 11ln 1x a x a x h x x x =+-+>，则()0h x ≥恒成立.（1）当0a ≤时，则当1x >时，()e 10x x +>，ln 0x >，10ax +>，所以()0h x >，此时满足已知条件.（2）当0a >时，因为()0h x ≥恒成立，所以()()()e e e e 1e 10a h a =+-+≥.设()()()()e e e 1e 10a a a a ϕ=+-+>，则()()e e 10a a a a ϕ'=-++<，所以()a ϕ在()0,+∞上单调递减. 又()e 0ϕ=，()()()e e e e 1e 10a h a =+-+≥，所以0e a <≤.将函数()h x 看成关于a 的函数()a ω，则()()ln 11ln 0a a a x x x ω'⎡⎤=-++<⎣⎦，所以()a ω在()0,+∞上单调递减.所以当0e a <≤时，()()()()e e 1e 1e ln x x x x a ωω+-+≥=，所以()()()e e 1e 1ln x h x x x x +-+≥. 设()ln e x s x x =-，则()11ee e x s x x x-'=-=，所以当0e x <<时，()0s x '<；当e x >时，()0s x '>. 所以()s x 在()0,e 上单调递减，在()e,+∞上单调递增，所以()()min e 0s x s ==. 所以ln exx ≥，当e x =时等号成立. 所以()()()()()e ee e 1e 1ln e 1e 1e ex x x x x x x x xx x +-+≥+=⋅--+，当e x =时等号成立. 设()()e 1e x x r x x =>，则()()e 1e 1e e e e e x xx xx x r x ----'==，所以当1e x <<时，()0r x '>；当e x >时，()0r x '<.所以()r x 在()1,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，所以()()max e 1r x r ==.所以ee x x ≥，当e x =时等号成立.所以()()()e e e 1e 1ln e 0x x x x x x x -++≥≥-，当e x =时等号成立.所以()()()e e 1e 1ln 0x h x x x x -+≥+≥，所以当0e a <≤时，()0h x ≥恒成立. 综上，a 的取值范围是(],e -∞.22．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1,22x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为6cos ρθ=.（Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）已知点()1,0P .若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求2211PAPB+的值.【命题意图】本题主要考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程互化和直线标准参数方程t 的几何意义，属于中档题.【答案】（Ⅰ）10x y --=，()2239x y -+=；（Ⅱ）1825. 【详解】（Ⅰ）由直线l 的参数方程，消去参数t ，得直线l 的普通方程为10x y --=. 由22x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=得曲线C 的直角坐标方程为()2239x y -+=.（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，并整理得250t --=.……（*）设点A ，B 所对应的参数分别为1t ，2t ，则1t ，2t 是方程（*）的两个实数根，则有12t t +=125t t =-.所以()()(()()2212122222221212252111118255t t t t t t t t PA PB -⨯-+-+=+===-.。
2021年四川成都新都区高三零模理科数学试卷-学生用卷
2021年四川成都新都区高三零模理科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2021年四川成都新都区高三零模理科第1题5分2021年四川成都新都区高三零模文科第1题5分2020~2021学年浙江绍兴诸暨市浙江省诸暨中学高一上学期期中（平行班）第1题4分2015年高考真题浙江卷2016~2017学年浙江温州瓯海区浙江省温州中学高一上学期期中已知集合P={x|x2−2x⩾0}，Q={x|1<x⩽2}，则(C R P)∩Q=（）A. [0,1)B. (0,2]C. (1,2)D. [1,2]2、【来源】 2021年四川成都新都区高三零模理科第2题5分设复数z满足：(1+i)z=2−i，则z的虚部为（）．A. 12iB. 12C. −32iD. −323、【来源】 2021年四川成都新都区高三零模理科第3题5分已知S n是等差数列{a n}的前n项和，2(a1+a3+a5)+3(a8+a10)=36，则S11=（）．A. 33B. 55C. 44D. 664、【来源】 2021年四川成都新都区高三零模理科第4题5分2021年四川成都新都区高三零模文科第4题5分2017~2018学年江西九江浔阳区江西省九江第一中学高一上学期期中若实数a，b满足3a=4b=12，则1a +1b=()A. 12B. 15C. 16D. 15、【来源】 2021年四川成都新都区高三零模理科第5题5分 2018~2019学年安徽六安高二下学期期末文科2020~2021学年北京东城区北京市第一七一中学高二下学期期中第6题4分 2021年四川成都新都区高三零模文科第5题5分已知函数f (x )=xcosx +(a −1)x 2是奇函数，则曲线y =f (x )在点(0,f(0))处的切线方程是( ) A. 2x −y =0B. x −y =0C. 2x +y =0D. x −2y =06、【来源】 2021年四川成都新都区高三零模理科第6题5分 已知α是锐角，若sin(α−π4)=14，则cos2α=（ ）． A. −√158B. √158 C. −78 D. 787、【来源】 2021年四川成都新都区高三零模理科第7题5分 给出下列说法：①回归直线 y ^=b ^x +a ^恒过样本点的中心(x,y)，且至少过一个样本点；②两个变量相关性越强，则相关系数|r|就越接近1；③某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差s 2<2；④在回归直线方程y ^=2−0.5x 中，当解释变量x 增加一个单位时，预报变量y ^平均减少0.5个单位． 其中说法正确的是（ ）． A. ①②④B. ②③④C. ①③④D. ②④8、【来源】 2021年四川成都新都区高三零模理科第8题5分已知奇函数f(x)是R 上的减函数，若m ，n 满足不等式组{f(m)+f(n −2)⩾0f(m −n −1)⩾0f(m)⩽0，则2m −n 的最小值为（ ）． A. −4B. −2C. 0D. 49、【来源】 2021年四川成都新都区高三零模理科第9题5分2017~2018学年黑龙江佳木斯向阳区佳木斯市第一中学高二上学期期中文科 已知双曲线E:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右顶点为A ，抛物线C:y 2=8ax 的焦点为F ．若在E 的渐近线上存在点P ，使得AP →⊥FP →，则E 的离心率的取值范围是( ) A. (1,2) B. (1,3√24] C. [3√24,+∞) D. (2,+∞)10、【来源】 2021年四川成都新都区高三零模理科第10题5分 2020年湖南邵阳高三一模文科第7题5分2020~2021学年广东广州天河区华南师范大学附属中学高一上学期周测[ 校本作业5专题（1）] 第4题已知函数f(x)=1−2x1+2xsin(x +α)，x ∈R ．则当α∈[0,π]时函数f (x )的图象不可能是（ ）．A.B.C.D.11、【来源】 2021年四川成都新都区高三零模理科第11题5分在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，BA=BC，∠PBC=90°，PA=2，若三棱锥P−ABC 的体积为6，则三棱锥P−ABC外接球的表面积为（）．A. 18πB. 24πC. 36πD. 40π12、【来源】 2021年四川成都新都区高三零模理科第12题5分已知函数f(x)满足：当x⩽0时，2f(x−2)=f(x)，且当x∈(−2,0]时，f(x)=|x+1|−1；当x>0时，f(x)=log ax（a>0且a≠1），若函数f(x)的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则a的取值范围是（）．A. (9,625)B. (4,64)C. (9,64)D. (625,+∞)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2021年四川成都新都区高三零模理科第13题5分已知向量a →=(3,−1)，b →=(t,1)，若a →⊥(a →−2b →)，则向量a →与向量b →的夹角为 ．14、【来源】 2021年四川成都新都区高三零模理科第14题5分2017~2018学年福建泉州洛江区泉州市马甲中学高二上学期期中第14题5分2020~2021学年3月山东济南市中区山东省实验中学(主校区)高一下学期月考第16题5分 2020~2021学年山东临沂高一下学期期中模拟（2）第14题2020~2021学年4月山东烟台芝罘区山东省烟台第二中学高一下学期月考第20题如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD = m ．15、【来源】 2021年四川成都新都区高三零模理科第15题5分2017~2018学年北京海淀区北京市八一学校高二下学期期末理科第13题4分 2018年高考真题全国卷I 理科第16题5分2020~2021学年12月广东广州荔湾区广东广雅中学高三上学期月考第16题5分 2020~2021学年江西南昌东湖区南昌市第二中学高二上学期期末理科第16题5分 已知函数f(x)=2sinx +sin2x ，则f(x)的最小值是 ．16、【来源】 2021年四川成都新都区高三零模理科第16题5分 2021年四川成都新都区高三零模文科第16题5分2019~2020学年3月北京海淀区北京一零一中学高三下学期月考第16题2018~2019学年上海闵行区上海市七宝中学高一下学期期末第14题3分数列{a n}的前n项和为S n，若数列{a n}的各项按如下规律排列：12，13，23，14，24，34，15，25，35，45⋯，1 n ，2n，⋯，n−1n，⋯有如下运算和结论：①a24=38；②数列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…是等比数列；③数列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…的前n项和为T n=n2+n4；④若存在正整数k，使S k<10，S k+1⩾10，则a k=57．其中正确的结论是（将你认为正确的结论序号都填上）．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17、【来源】 2021年四川成都新都区高三零模理科第17题10分在全民抗击新冠肺炎疫情期间，新都区开展了“停课不停学”活动，此活动为学生提供了多种网络课程资源以供选择使用．活动开展一个月后，某学校随机抽取了高三年级的甲、乙两个班级进行网络问卷调查，统计学生每天的学习时间，将样本数据分成[3,4)，[4,5)，[5,6)，[6,7)，[7,8]五组，并整理得到如下频率分布直方图：(1) 已知该校高三年级共有600名学生，根据甲班的统计数据，估计该校高三年级每天学习时间达到5小时及以上的学生人数．(2) 已知这两个班级各有40名学生，从甲、乙两个班级每天学习时间不足4小时的学生中随机抽取3人，记从甲班抽到的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．18、【来源】 2021年四川成都新都区高三零模理科第18题12分如图，在三棱柱ABC −A ′B ′C ′中，M 、N 、F 分别是A ′C 、BC 、A ′C ′的中点．(1) 证明：MN//平面CFB ′．(2) 底面△A ′B ′C ′是边长为2的正三角形，C 在底面上的射影为F ，且CF =1，当P 是CB ′的中点时，求二面角P −A ′C ′−B ′的大小．19、【来源】 2021年四川成都新都区高三零模理科第19题12分已知向量m →=(cosx 2,−1)，n →=(√3sinx 2,cos 2x 2)，设函数f (x )=m →⋅n →+1． (1) 若x ∈[0,π2]，f (x )=1，求x 的值．(2) 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足2bcosA ⩽2c −√3a ，求f (B )的取值范围．20、【来源】 2021年四川成都新都区高三零模理科第20题12分 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 5=5S 3，a 4=2a 2−3． (1) 求数列{a n }的通项公式．(2) 若数列{b n }满足b 1a 1+b 2a 2+⋯+b n a n=12n −1，n ∈N ∗，证明：b n ⩽38．21、【来源】 2021年四川成都新都区高三零模理科第21题12分在平面直角坐标系xOy 中，圆A:(x −1)2+y 2=16，圆内一点B(−1,0)，P 是圆上任意一点，线段BP 的垂直平分线l 和半径AP 相交于点E ，当P 在圆上运动时， (1) 求点E 的轨迹方程．(2) 过A的直线与点E的轨迹方程交于H、G两点，若线段HG的中点为M，且MN→=2OM→，求四边形OHNG面积的最大值．22、【来源】 2021年四川成都新都区高三零模理科第22题12分已知函数f(x)=x3−alnx−1．(1) 讨论函数f(x)的单调性．(2) 若函数f(x)有两个零点x1、x2，且x1>x2，求证：11x2+x1>11a．1 、【答案】 C;2 、【答案】 D;3 、【答案】 A;4 、【答案】 D;5 、【答案】 B;6 、【答案】 A;7 、【答案】 B;8 、【答案】 B;9 、【答案】 B;10 、【答案】 C;11 、【答案】 D;12 、【答案】 A;13 、【答案】π4;14 、【答案】100√6;15 、【答案】−3√32;16 、【答案】①③④;17 、【答案】 (1) 480人．;(2) X的分布列为：数学期望为：E(X)=1．;18 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 30°．;19 、【答案】 (1) π3．;(2) f(B)∈(0,12]．;20 、【答案】 (1) a n=−2n+3．;(2) 证明见解析．;21 、【答案】 (1) x24+y23=1．;(2) S max=92．;22 、【答案】 (1) 当a⩽0时，f(x)在(0,+∞)上是增函数；当a>0时，f(x)在(0,3a)上是减函数，在(3a,+∞)上是增函数．;(2) 证明见解析．;。
2024届四川省成都市高三零诊模拟考试数学(理)试题【含答案】
高2024届零诊模拟考试数学试题(理科)一、单选题：共12道小题，每题5分，共60分.1.设1i2i 1i z -=++，则z 的虚部为（）A.iB.3iC.1D.32.若直线1:10l x ay ++=与直线2:10l ax y ++=平行，则=a （）A.0B.1- C.1D.1±3.一组数据包括47、48、51、54、55，则这组数据的标准差为（） A.10 B.52C.10D.504.已知函数()f x 在其定义域R 上的导函数为()f x '，当x ∈R 时，“()0f x '>”是“()f x 单调递增”的（）A 充要条件 B.既不充分也不必要条件C.必要不充分条件D.充分不必要条件5.如图所示的算法框图思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该算法框图，若输入的a 、b 分别为36、96，则输出的=a （）A.0B.8C.12D.246.直线2x =与抛物线()2:20C y px p =>交于D 、E 两点，若0OD OE ⋅=，其中O 为坐标原点，则C 的准线方程为（）A.14x =-B.12x =-C.=1x -D.2x =-7.函数lg y x =的图象经过变换10:2x xy y ϕ''=⎧⎨=+⎩后得到函数()y f x ''=的图象，则()f x =（）A.1lg x-+ B.1lg x+ C.3lg x-+ D.3lg x+8.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或是丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖了．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖歌手是（）A.甲B.乙C.丙D.丁9.设曲线C 的参数方程为1cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数，且π,2π2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦)，曲线C 上动点P 到直线:143x y l +=的最短距离为（）A.0B.15C.25D.110.关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请100名同学每人随机写下一个x ，y 都小于1的正实数对(),x y ；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(),x y 的个数m ；最后再根据统计数m 估计π的值，假如某次统计结果是28m =，那么本次实验可以估计π的值为（）．A.227B.4715C.7825D.531711.点,A B 在以PC 为直径的球O 的表面上，且AB BC ⊥，2AB BC ==，已知球O 的表面积是12π，设直线PB 和AC 所成角的大小为α，直线PB 和平面PAC 所成角的大小为β，四面体PABC 内切球半径为r ，下列说法中正确的个数是（）①BC ⊥平面PAB ；②平面PAC ⊥平面ABC ；③sin cos αβ=；④12r >A.1B.2C.3D.412.函数()e 1sin(11)x f x x =--在[0,)+∞上的零点个数为（）A.1B.2C.3D.4二、填空题:共4道小题，每题5分，共20分.13.命题“0x ∀>，tan x x >”的否定为________．14.函数()cos xf x x=的图象在πx =处的切线方程为________．15.某区为了解全区12000名高二学生的体能素质情况，在全区高二学生中随机抽取了1000名学生进行体能测试，并将这1000名的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图．根据此频率分布直方图，这1000名学生平均成绩的估计值为________．16.双曲线2222:1(,0)x y H a b a b-=>其左、右焦点分别为12,F F ，倾斜角为π3的直线2PF 与双曲线H 在第一象限交于点P ，设12F PF △内切圆半径为r ，若223PF r ≥，则双曲线H 的离心率的取值范围为______.三、解答题：共5道大题，共70分.17.设函数321(1)()2(1)34f f x x x x f '-=-+-，（1）求(1)f ¢-、(1)f 的值；（2）求()f x 在[0,2]上的最值．18.信创产业即信息技术应用创新产业，是一条规模庞大、体系完整的产业链，是数字经济的重要抓手之一．在政府、企业等多方面的共同努力下，中国信创产业市场规模不断扩大，市场释放出前所未有的活力．下表为2018—2022年中国信创产业规模（单位：千亿元），其中2018—2022年对应的代码依次为1~5．年份代码x12345中国信创产业规模y /千亿元8.19.611.513.816.7（1）从2018—2022年中国信创产业规模中任取2个数据，求这2个数据都大于10的概率．（2）由上表数据可知，可用指数型函数模型x y a b =⋅拟合y 与x 的关系，请建立y 关于x 的回归方程（a ，b 的值精确到0.01），并预测2023年中国信创产业规模能否超过20千亿元．参考数据：v51i ii x v=∑ 1.919e 0.177e 61.192.4538.52 6.81119 2.84其中ln i i v y =，5115i i v v ==∑．参考公式：对于一组数据()11,u w ，()22,u w ，…，(),n n u w ，其回归直线 wu αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 1221ni ii ni i u w nuwu nuβ==-=-∑∑， w u αβ=+．19.如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 为矩形，AB AC ⊥且2,AB AC D ==为11B C 的中点，1122AA B C ==．（1）证明：1AC //平面1A BD ；（2）求平面1AB C 与平面1AA D 的夹角的余弦值．20.椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上顶点为B ，左焦点为F ，中心为O .已知T 为x 轴上动点，直线BT 与椭圆C 交于另一点D ；而P 为定点，坐标为(2,3)-，直线PT 与y 轴交于点Q .当T 与F 重合时，有||||PB PT =，且2BT BP BQ =+.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设T 的横坐标为t ，当(0,2)t ∈时，求DTQ △面积的最大值.21.设函数()e xf x ax =-，其中a ∈R .（1）讨论函数()f x 在[1,)+∞上的极值；（2）若函数f (x )有两零点()1212,x x x x <，且满足1211x x λλ+>+，求正实数λ的取值范围.22.在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 和直线l 的极坐标方程分别为2sin 2cos a ρθθ=+和：πsin 24x ρ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．且二者交于M ，N 两个不同点．（1）写出曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）若点P 的极坐标为(2,π)，||||52PM PN +=，求a 的值．一、单选题：共12道小题，每题5分，共60分.1.C2.B3.A4.D5.C6.B7.B8.C9.B 10.C 11.C 12.B二、填空题:共4道小题，每题5分，共20分.13.命题“0x ∀>，tan x x >”的否定为________．00x ∃>，00tan x x ≤14.函数()cos xf x x=的图象在πx =处的切线方程为________．0x y +=15.某区为了解全区12000名高二学生的体能素质情况，在全区高二学生中随机抽取了1000名学生进行体能测试，并将这1000名的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图．根据此频率分布直方图，这1000名学生平均成绩的估计值为________．80.516.双曲线2222:1(,0)x y H a b a b-=>其左、右焦点分别为12,F F ，倾斜角为π3的直线2PF 与双曲线H 在第一象限交于点P ，设12F PF △内切圆半径为r ，若223PF r ≥，则双曲线H 的离心率的取值范围为______.5,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭三、解答题：共5道大题，共70分.17.设函数321(1)()2(1)34f f x x x x f '-=-+-，（1）求(1)f ¢-、(1)f 的值；（2）求()f x 在[0,2]上的最值．（1）(1)6f '-=，5(1)12f =（2）max 5()12=f x ，min 5()12=-f x 【分析】（1）求出函数的导函数，令=1x -求出(1)f ¢-，再令1x =求出()1f ；（2）由（1）可得32135()23212f x x x x =-+-，利用导数求出函数的单调性，即可求出函数的极值，再由区间端点的函数值，即可得解.【小问1详解】因为321(1)()2(1)34f f x x x x f '-=-+-，所以2(1)()22f f x x x '-'=-+，取=1x -，则有(1)(1)32f f '-'-=+，即(1)6f '-=；所以3213()2(1)32f x x x x f =-+-，取1x =，则有5(1)(1)6f f =-，即5(1)12f =．故(1)6f '-=，5(1)12f =．【小问2详解】由（1）知32135()23212f x x x x =-+-，[]0,2x ∈，则2()32(1)(2)f x x x x x '=-+=--，所以x 、()f x '与()f x ，[]0,2x ∈的关系如下表：x(0,1)1(1,2)2()f x '+-()f x 512-单调递增极大值512单调递减14故max 5()(1)12f x f ==，min 5()(0)12f x f ==-．18.信创产业即信息技术应用创新产业，是一条规模庞大、体系完整的产业链，是数字经济的重要抓手之一．在政府、企业等多方面的共同努力下，中国信创产业市场规模不断扩大，市场释放出前所未有的活力．下表为2018—2022年中国信创产业规模（单位：千亿元），其中2018—2022年对应的代码依次为1~5．年份代码x12345中国信创产业规模y /千亿元8.19.611.513.816.7（1）从2018—2022年中国信创产业规模中任取2个数据，求这2个数据都大于10的概率．（2）由上表数据可知，可用指数型函数模型x y a b =⋅拟合y 与x 的关系，请建立y 关于x 的回归方程（a ，b 的值精确到0.01），并预测2023年中国信创产业规模能否超过20千亿元．参考数据：v51i ii x v=∑ 1.919e 0.177e 61.192.4538.526.811.192.84其中ln i i v y =，5115i i v v ==∑．参考公式：对于一组数据()11,u w ，()22,u w ，…，(),n n u w ，其回归直线 wu αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 1221ni ii ni i u w nuwu nuβ==-=-∑∑， w u αβ=+．（1）310（2） 6.811.19x y =⨯，不会超过20千亿元．【分析】（1）根据古典概型概率计算公式，利用列举法可得2个数据都大于10的概率为310；（2）将指数型函数模型x y a b =⋅两边取对数可得ln ln ln y a x b =+，即ln ln v a x b =+，再利用参考数据可得回归方程为 6.811.19x y =⨯，将2023年的年份代码6代入可得19.3420y ≈<$，即可得出结论.【小问1详解】从2018—2022年中国信创产业规模中任取2个数据有()8.1,9.6，()8.1,11.5，()8.1,13.8，()8.1,16.7，()9.6,11.5，()9.6,13.8，()9.6,16.7，()11.5,13.8，()11.5,16.7，()13.8,16.7，共10种情况．其中这2个数据都大于10的有()11.5,13.8，()11.5,16.7，()13.8,16.7，共3种情况，所以2个数据都大于10的概率310P =．【小问2详解】x y a b =⋅两边同时取自然对数，得()ln ln ln ln xy a ba xb =⋅=+，则ln ln v a x b =+．因为3x =， 2.45v =，52155ii x==∑，所以5152221538.5253 2.45ln 0.17755535i i i ii x v xvb xx==--⨯⨯===-⨯-∑∑，ln ln 2.450.1773 1.919a v x b =-⋅=-⨯=，所以 1.9190.177vx =+ ，即 ln 1.9190.177y x =+，所以 1.9190.177e 6.81 1.19x x y +==⨯$，即y 关于x 的回归方程为 6.811.19x y =⨯．2023年的年份代码为6，把6x =代入 6.811.19x y =⨯，得 66.811.19 6.81 2.8419.3420y =⨯=⨯≈<，所以预测2023年中国信创产业规模不会超过20千亿元．19.如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 为矩形，AB AC ⊥且2,AB AC D ==为11B C 的中点，1122AA B C ==．（1）证明：1AC //平面1A BD ；（2）求平面1AB C 与平面1AA D 的夹角的余弦值．（1）证明见解析（2）33【分析】（1）连接1AB 与1A B 交于点O ，连接OD ，则1//AC OD ，利用线面平行的判定定理即可证明；（2）由已知条件得CA ⊥面11ABB A ，则1CA AB ⊥，由22211ABAB BB +=得1AB AB ⊥.以A 为坐标原点，1,,AB AB AC 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，由AB ⊥面1AB C 得平面1AB C 的一个法向量为()11,0,0n =u r ，设平面1AA D 的法向量为()2,,n x y z =u u r ，由12120AA n A D n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩求得()21,1,1n =- ，然后利用向量夹角公式求解即可.【小问1详解】连接1AB 与1A B 交于点O ，连接OD111ABC A B C - 为三棱柱，11ABB A ∴为平行四边形，点O 为1AB 的中点又D 为11B C 的中点，则1//AC OD ，又OD ⊂ 平面11,A BD AC ⊄平面1A BD ，1AC ∴//平面1A BD ．【小问2详解】解法1：11,,CA AB CA AA AB AA A ⊥⊥⋂= ，CA ∴⊥面11ABB A 1AB ⊂ 面11ABB A ，1CA AB ∴⊥222211(22)22AB CB AC ∴=-=-=112,2,22AB AB BB === ，22211AB AB BB ∴+=，即1AB AB ⊥以A 为坐标原点，1,,AB AB AC 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，()()()()()()1110,0,0,2,2,0,2,0,0,0,2,0,2,2,2,1,2,1A A B B C D ---()()112,2,0,1,0,1AA A D ∴=-=11,,AB AB AB AC AB AC A⊥⊥⋂= AB ∴⊥面1AB C ，则平面1AB C 的一个法向量为()11,0,0n =u r设平面1AA D 的法向量为()2,,n x y z =u u r ，则12120AA n A D n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2200x y x z -+=⎧⎨+=⎩令()21,1,1,1,1,1x y z n ===-∴=-设平面1AB C 与平面1AA D 的夹角为θ，()1221211010113cos 33111(1)n n n n θ⋅⨯+⨯+⨯-∴====⨯++-∴平面1AB C 与平面1AA D 的夹角的余弦值是33．解法2：设点E 为BC 的中点，点F 为AC 的中点，连接DE 交1BC 于点Q ，连接,,AE AQ EF ，设点P 为AQ 的中点，连接,EP FP点E 为BC 的中点，点D 为11B C 的中点1//EQ BB ∴且1122EQ BB ==，点Q 为1B C 的中点11ACC A 为矩形，1AC AA ∴⊥又1,,AC AB AB AA A AC ⊥⋂=∴⊥ 平面11ABB A ，1AC AB ∴⊥∴在1ACB 中，11,2,22AC AB AC B C ⊥==，可得12AB =1AB C ∴ 为等腰直角三角形，其中112,22AC AB B C ===而点Q 为1B C 的中点，1AQ B C ∴⊥且2AQ =点P 为AQ 的中点，点F 为AC 的中点1//FP B C ∴且1112242FP CQ B C ===，FP AQ∴⊥又 在Rt ABC 中，2AB AC ==，点E 为BC 的中点，2AE ∴=∴在AEQ △中，2AE EQ AQ ===，且点P 为AQ 的中点EP AQ ∴⊥且62EP =EPF ∠∴即为平面1AB C 与平面1AA D 的夹角∴在EFP △中，1261,,222EF AB FP EP ====2223cos 23EP FP EF EPF EP FP ∠+-∴==⋅．∴平面1AB C 与平面1AA D 的夹角的余弦值是33．20.椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上顶点为B ，左焦点为F ，中心为O .已知T 为x 轴上动点，直线BT 与椭圆C 交于另一点D ；而P 为定点，坐标为(2,3)-，直线PT 与y 轴交于点Q .当T 与F 重合时，有||||PB PT =，且2BT BP BQ =+.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设T 的横坐标为t ，当(0,2)t ∈时，求DTQ △面积的最大值.（1）22143x y +=（2）632-【分析】（1）由2BT BP BQ =+代入可求出1c =，再由||||PB PT =，用两点间的距离公式可求出3b =，再由22a b c =+，即可得出答案.（2）设直线BT 的方程为(3)3tx y =--，与22143x y +=联立，由韦达定理可求出22434D t y t -=+，设直线PT 的方程为22(3)3t x y ++=--，令0x =，可求出32Q ty t =+，表示出DTQPTB S S ，即可求出22234DTQt t S t -=⋅+△，结合基本不等式即可得出答案.【小问1详解】设(),0F c -，因为当T 与F 重合时，有||||PB PT = ，且2BT BP BQ =+，所以()()()0,,,0,(2,3),,0,Q B b T c P Q y --，()()(),,2,3,0,Q BT c b BP b BQ y b =--=--=-，由2BT BP BQ =+，知()()()2,2,30,Q c b b y b --=--+-所以()220c -=-+，即1c =，()()()2,3,2,31,3PB b PT c =-=-+-=，由||||PB PT =知22||PB PT = ，所以22222(3)1(3)b +-=+，即3b =，则222a b c =+=，故椭圆C 的标准方程为22143x y+=.【小问2详解】设直线BT 的方程为(3)3tx y =--，与22143x y +=联立，可得()22224233120t y t y t +-+-=且0∆>，有2231234D t y t -⋅=+，即22434D ty t -=⋅+，设直线PT 的方程为22(3)3t x y ++=--，令0x =，可得32Q ty t =+，由()sin ,sin 333DTQ Q D Q D DTQ PTB PTBS y y y y QT DT DTQ QT DT S S S PT BT BTP PT BT ⋅-⋅⋅∠⋅====-⋅⋅∠⋅⋅ ，由题意知：=3PTB S ，则22234DTQt t S t -=⋅+△，(0,2)t ∈，而22222(2)21=1121844424(2)42t t t t t t t -+-=-≤⋅-++-++-+，当222t +=，即222t =-时取等，且()0,2t ∈，故DTQ △面积的最大值为632-.21.设函数()e xf x ax =-，其中a ∈R .（1）讨论函数()f x 在[1,)+∞上的极值；（2）若函数f (x )有两零点()1212,x x x x <，且满足1211x x λλ+>+，求正实数λ的取值范围.（1）答案见解析（2）[1,)+∞【分析】（1）求出()e xf x a '=-，分e a ≤、e a >讨论，可得答案；（2）由零点存在定理可知120ln x a x <<<，而题设1212e e 0x x ax ax -=-=，消去a 可得221121e e e x x x x x x -==，令211x t x =>，且21ln t x x =-，求出2x ，1x ，将其代入1211x x λλ+>+得(1)(1)()ln 01t F t t t λλ+-=->+，再利用导数分1λ≥、01λ<<讨论可得答案..【小问1详解】由()e x f x ax =-知()e xf x a '=-，1）当e a ≤时，且有[1,)x ∈+∞，()0f x '≥，()f x 单调递增，故无极值；2）当e a >时，有(1,ln )x a ∈，()0f x '<，()f x 单调递减，而(ln ,)x a ∈+∞，()0f x '>，()f x 单增，故()(ln )ln f x f a a a a ==-极小值，()f x 无极大值.综上，当e a ≤时，()f x 无极值；当e a >时，()f x 极小值为ln a a -，()f x 无极大值；【小问2详解】由（1）可知当e a >时，(ln )(1ln )0f a a a =-<，1(00f =>），且x f x →+∞→+∞，（），由零点存在定理可知120ln x a x <<<，而题设可知1212e e 0x xax ax -=-=，消去a 可得221121e e e x x x x x x -==，令211x t x =>，且21ln t x x =-，即2ln 1t t x t =-，1ln 1t x t =-，将其代入1211x x λλ+>+，整理可令得(1)(1)()ln 01t F t t t λλ+-=->+，而()()22221(1)1(1)(1)(1)t t F t t t t t λλλλ--+'=-=++，1)当1λ≥时，且(1,)t ∈+∞，有()22(1)0(1)t F t t t λ-'≥>+，()F t 单调递增，()(1)0F t F >=，满足题设；2)当01λ<<时，且211,t λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，有()0F t '<，()F t 单调递减，()(1)0F t F <=，不满足题设；综上，λ的取值范围为[1,)+∞.关键点点睛：第二问解题关键点是1212e e 0x x ax ax -=-=消去a 可得221121e e e x x xx x x -==，令211x t x =>得2x 、1x ，将其代入1211x x λλ+>+构造函数(1)(1)()ln 01t F t t t λλ+-=->+，本题还考查了学生思维能力、运算能力.22.在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 和直线l 的极坐标方程分别为2sin 2cos a ρθθ=+和：πsin 24x ρ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．且二者交于M ，N 两个不同点．（1）写出曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）若点P 的极坐标为(2,π)，||||52PM PN +=，求a 的值．（1）()()2221+1-+-=x a y a ，2y x =+（2）2或4-【分析】（1）利用极坐标与平面直角坐标方程互化公式进行求解；（2）先判断出P 的直角坐标为(2,0)-，在直线l 上，写出直线l 的标准参数方程，代入曲线的普通方程中，得到1a ≠，分1a >-且1a ≠，1a ≤-两种情况，列出方程，求出答案.【小问1详解】由2sin 2cos a ρθθ=+，得22sin 2cos a ρρθρθ=+，故曲线C 的直角坐标方程为2222x y y ax +=+，即222()(1)1x a y a -+-=+；由πsin 24ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得sin cos 2ρθρθ-=，故直线l 的直角坐标方程为2y x =+．【小问2详解】因为π2,2sin π02cos =-=，所以点P 的直角坐标为(2,0)-，在直线l 上，而直线l 的标准参数方程为22222x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），将其代入2222x y y ax +=+，整理可得2(322)440t a t a -+++=．由题设知222(3)4(44)2(1)0a a a ∆=+-+=->，解得1a ≠．又12322t t a +=+，1244t t a =+．当1a >-，且1a ≠时，有1t ，20t >，则1212||||2(3)52PM PN t t t t a +=+=+=+=，解得2a =，满足要求；当1a ≤-时，有120t t ≤，则()()212122121||||21524PM PN t t t t t t t a t +=+==--+-==，解得4a =-，满足要求．故a 的值为2或4-．。
2021届四川省成都市高三理数零诊考试试卷及答案
高三理数零诊考试试卷一、单项选择题1.设全集，集合，那么〔〕A.B.C.D.2.函数那么〔〕3.某校为增强学生垃圾分类的意识，举行了一场垃圾分类知识问答测试，总分值为100分.如以下列图的茎叶图为某班20名同学的测试成绩(单茎位：分).那么这组数据的极差和众数分别是〔〕A.20，88B.30，88C.20，82D.30，914.假设实数，满足约束条件，那么的最大值为〔〕5.双曲线的一个焦点到其中一条渐近线的距离为，那么该双曲线的渐近线方程为〔〕A.B.C.D.6.记函数的导函数为.假设，那么〔〕7. 为圆上一动点，那么点到直线的距离的最大值是〔〕A.B.C.D.8.直线，.那么“ 〞是“ 〞的〔〕如以下列图的程序框图，那么输出的的值是〔〕A.B.C.D.10.在三棱锥中，平面，，，假设该三棱锥的顶点都在同一个球面上，那么该球的外表积为〔〕A.B.C.D.11.函数，.假设对任意，且，都有，那么实数的取值范围是〔〕A.B.C.D.12.设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为，设，与相交于点.假设，且的面积为，那么点到准线的距离是〔〕A.B.C.D.二、填空题13.设复数( 为虚数单位)，那么________.14.一个路口的红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，看见不是红灯亮的概率为________．15.关于，的一组数据：1 3 4 5根据表中这五组数据得到的线性回归直线方程为，那么的值为________.16. 是定义在上的奇函数，当时，有以下结论：①函数在上单调递增；②函数的图象与直线有且仅有2个不同的交点；③假设关于的方程恰有4个不相等的实数根，那么这4个实数根之和为8；④记函数在上的最大值为，那么数列的前项和为.其中所有正确结论的编号是________.三、解答题17.函数，其中.假设函数的图象在点处的切线与直线平行.〔1〕求的值；〔2〕求函数的极值.18.“2021年全国城市节约用水宣传周〞已于5月9日至15日举行.成都市围绕“贯彻新开展理念，建设节水型城市〞这一主题，开展了形式多样，内容丰富的活动，进一步增强全民保护水资源，防治水污染，节约用水的意识.为了解活动开展成效，某街道办事处工作人员赴一小区调查住户的节约用水情况，随机抽取了300名业主进行节约用水调查评分，将得到的分数分成6组：，，，，，，得到如以下列图的频率分布直方图.〔1〕求的值，并估计这300名业主评分的中位数；〔2〕假设先用分层抽样的方法从评分在和的业主中抽取5人，然后再从抽出的这5位业主中任意选取2人作进一步访谈，求这2人中至少有1人的评分在的概率.19.如图，在四棱锥中，，，为棱的中点，，.〔1〕求证：平面；〔2〕假设平面平面，是线段上的点，且，求二面角的余弦值.20.椭圆的左，右焦点分别为，，点在椭圆上，，，且椭圆的离心率为.〔1〕求椭圆的方程；〔2〕设直线与椭圆相交于，两点，为坐标原点.求面积的最大值.21.函数，其中.〔1〕讨论函数的单调性；〔2〕当时，假设满足，证明：.22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为( 为参数)，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，〔1〕求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；〔2〕在曲线上任取一点，保持纵坐标不变，将横坐标伸长为原来的倍得到曲线.设直线与曲线相交于，两点，点，求的值.答案解析局部一、单项选择题1.【解析】【解答】因为，，所以．故答案为：B．【分析】根据补集的概念即可求出答案。
2021-2022成都市高三理科数学零诊摸底试卷及答案
２００,
２ 分
∴ 当 x＝－１ 时,
x)取得极大值 ２;当 x＝２ 时,
x)取得极小值 －
f(
f(
０．
２００
３ 分
∴a＝
＝０．
０４０．
５
又第一组的频率为 ０．
０２５×５＝０．
１２５,第二Hale Waihona Puke 的频率为 ０．０３５×５＝０．
１７５,
第三组的频率为 ０．
２００．
４ 分
∵ 前三组的频率之和为 ０．
10. 在三棱锥P -ABC中，已知PA_l_平面 ABC,PA=AB = BC=2 , AC =2屈．若该三棱
锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为
(B)lOrr
CA) 4 穴
11. 已知函数f(x) =
g( 竺 ）
X1
CD) 48rr
CC)12 六
a
, g(x) = lnx. 若对任意x口 Xz E (0,2] , 且 X1 =/=
o. 020•....· •····.. •······•··
主中任意选取2人作进一步访谈，求这2人中至少有1
人的评分在[95,100]的概率 ．
如图， 在四棱锥P -ABCD中， DC IIAB,
70 75 80 85 90 95 100 分数
p
19. (本小题满分12分）
。
[95,100]的业主中抽取5人 ，然后再从抽出的 这5 位业
f
x
′(
x)
f
x)
f(
(－∞ ,－１)
－１
(－１,
２)
单调递增↗
极大值 ２
单调递减↘
＋