第4章 维纳滤波原理及自适应算法

∴
轾1 骣p ÷ 1 2 2 犏 + sv cos ç ÷ ç ÷ çN 犏2 桫 2 R= 犏 犏 骣p 1 犏cos ç2 ÷ 1 + s 2 v 犏 çN ÷ 2 ç ÷ 桫 2 臌
轾 骣p ÷ 2 犏 - sin ç ÷ p= 0 ç ÷ çN 犏 桫 臌
T
20
由 Rwo = p
?
wo
2sin
23
e(n) 问题：如何设计维纳滤波器，使估计误差 在MMSE意义下最小。
H1 ：产生语音信号的模型 H 2 ：传输信道
24
思路：维纳滤波问题，根据 Rwo = p 求解 解：
轾 0) r (1) r( 犏 R= 犏 , r * (1) r (0) 臌
*
轾 (0) p 犏 p= 犏 p 臌(- 1)
J (w )
是抛物面
对于任何的M, J (w ) 是M维的抛 物面，具有唯一的全局极小值点。
11
4.2.2 维纳-霍夫方程
2 J (w) = s d - pH w - wH p + wH Rw
J (w )
的梯度 ? J (w) 令
? J (w)
¶ 轾 2 * 臌(w) = - 2 p + 2Rw J ¶w - 2 p + 2Rw = 0
{
}
ˆ do (n) 和 eo (n) 也相互正交
几何解释：
ˆ eo (n) = d (n)- do (n)
14
4.2.4 最小均方误差
2 J (w) = s d - pH w - wH p + wH Rw ∵
∴
2 H H J min = J (wo ) = s d - p H wo - wo p + wo Rwo
i= 0
ˆ e(n) :估计误差 e(n) = d (n)- d (n)
4
假设 u (n)由信号 s (n) 与噪声v(n) 组成
u (n) = s (n) + v (n)
⑴ 如果 d (n) = s (n) ，图1的系统称为滤波 （filtering）； ⑵ 如果 d (n) = s (n + n ), n > 0，图1的系统称为预测 （prediction）； ⑶ 如果 d (n) = s (n + n ), n < 0 ，图1的系统称为平滑 （smoothing）。
4.2.6 计算实例2：信道传输信号的估计
考虑如下系统
v1 (n) 和 v2 (n) 分别是零均值，方差为 s 2 和 1
的白噪声过程
s
2 2
H1 : d (n) = b1d (n - 1) + v1 (n) H 2 : x (n) = b2 x (n - 1) + d (n)
u (n) = x (n) + v2 (n)
r (0) = E {u (n)u (n)} = E 轾 n) + v2 (n) 轾 n) + v2 (n) x( x( 臌 臌 = E x (n) + x (n)v (n) + x (n)v2 (n) + v2 (n)
2 = rx (0) + s 2
{
*
}
{
2
* 2
*
2
}
r (1) = E {u (n)u (n - 1)}
T
禳 骣p n 骣 2 镲 骣 镲 ç 2 + j ÷+ v n ÷çsin 骣p (n - m) + j ÷+ v n - m ÷ çsin ÷ ( r (m ) = E 睚 ç )÷ ÷ ( )÷ç ç ç ç ÷ ÷ ÷ç ç ÷ 琪 ÷ç ç ÷ 镲 桫N ç ÷ N 桫 桫 桫 镲 镲 铪 禳 骣p n 骣 镲 2 镲 ç ÷sin ç 2p (n - m) + j ÷ + E {v (n)v (n - m)} ÷ = E睚 ç sin +j÷ ç ÷ ÷ ç ç N ÷ 镲 桫 ç 桫 N 镲 铪 骣p m ÷ 1 2 = cos ç ç ÷+ E {v (n)v (n - m)} ç N ÷ 桫 2
骣p 4 sin 珑 鼢 珑 鼢 珑 鼢 桫 N o w0 = 2 2 骣p 鼢 sin 珑 鼢 4s v2 + 4s v4 珑 鼢 珑 + 桫 N
2 J (w ) = s d - 2 pT w + w T Rw
骣p 骣p 2 2 + 4s v2 sin 桫 桫 N N w1o = 2 2 骣p sin + 4s v2 + 4s v4 桫 N
u (n - M + 1)
T
3
u(n) = 轾 n) u (n - 1) L u( 臌
wi* :滤波器的权系数 w :滤波器权向量
w = [w0
w 1
L
wM - 1 ]
T
d (n) :期望响应 ˆ d (n) :对期望响应的估计
ˆ d (n ) =
å
M- 1
wi*u (n - i ) = w H u (n) = uT (n) w *
0 0
0
0
5
4.1.2自适应横向滤波器的学习过程和工作过程
实际的滤波器系统
通过控制开关K1和K2，使系统进入不同的工作模式
6
• 开关K1打向A1，K2打向A2，进入学习过程， 求得最优权向量 • 开关K1打向B1，K2打向B2 ，进入工作过程， 对输入信号进行滤波处理 • 求出滤波器权值的学习过程是最优滤波问题的 关键
轾0 wo 犏 臌
w
o T 1
骣 骣 骣 1 2 珑 + s v2 鼢 0 + w12 ) + cos 2p w0 w1 + 2w1 sin 2p + 2 =珑 鼢 (w 鼢 珑 桫 桫 桫 2 N N
J min
骣p 鼢 骣 2 珑 鼢 4s v2 sin 2 2p 2sin 珑 鼢 + 珑 桫 桫 N N 2 T = s d - p wo = 2 骣p 2 sin 2 ç ÷+ 4s v2 + 4s v4 ç ÷ çN ÷ 桫
u( 解：定义滤波器输入信号向量 u(n) = 轾 n) u (n - 1) 臌
T
轾(0) r (1) r R = E {u(n)u (n)} = 犏 犏- 1) r (0) r( 臌
H
p = E {u(n)d (n)}= 轾(0) p (- 1) p 臌
T
18
u(n) = 轾 n) u (n - 1) u( 臌
其中 a1 = - (b1 + b2 )， a2 = b1b2 差分方程：
*
= E 轾 n) + v2 (n) 轾 n - 1) + v2 (n - 1) x( x( 臌 臌
{
*
}= r (1)
x
25
p (0) = E {u (n) d * (n)} = E 轾 n) + v2 (n) 轾 n) - b2 x (n - 1) x( x( 臌 臌 = rx (0) - b2 rx (1) p (- 1) = E {u (n - 1) d * (n)} = E 轾 n - 1) + v2 (n - 1) 轾 n) - b2 x (n - 1) x( x( 臌 臌 = rx (1) - b2 rx (0)
J (w ) ：误差性能面或均方误差
9
对实系统，若M=1
2 2 J (w) = J (w0 ) = s d - p (0) w0 - p (0)w0 + r (0)w0 2 2 = s d - 2 p (0) w0 + r (0) w0
是开口向上的抛物线可选择权值w使 J (w )最小
10
若M=2,
26
{ {
*
}
*
}
令
H (z ) = H1 (z ) H 2 (z )
H1 ( z ) = 1 1 - b1 z - 1
1 H 2 (z) = 1 - b2 z - 1
∴
H (z) =
1 1 = 1 - (b1 + b2 ) z - 1 + b1b2 z - 2 1 + a1 z - 1 + a2 z - 2
第4章 维纳滤波原理及自适应算法
1
本章将介绍以下内容： 1. 维纳滤波器的基本理论 2. 维纳滤波的递推求解方法——最陡下降法 3. 随机梯度算法——LMS算法
2
4.1 自适应横向滤波器及其学习过程
4.1.1自适应横向滤波器结构 M个权系数（抽头）的横向滤波器
定义：
u (n)
u(n)
：输入信号 ：输入向量
---维纳-霍夫方程
∴ ∵ ∴
Rwo Hale Waihona Puke Baidu p
R是非奇异的
wo = R- 1 p ---最优权向量
最小均方误差（MMSE，Minimum Mean Square Error）准则 ---使误差的平均功率最小
12
4.2.3 正交原理
已知维纳-霍夫方程 Rwo = p Rwo - p = 0 改写成
Rwo - p = E {u (n) u H (n)}wo - E {u (n) d * (n)} = E {u (n) 轾H (n) wo - d * (n) } u 犏 臌 = 0
2
21
2 sv = 0 ?
wo
轾 骣p 骣p 2 鼢 2 犏 珑 鼢 - 2csc 2cot 珑 鼢 犏 珑 桫 N N 臌 桫
T
J min = 0
N=4 误差性能面
2 sv = 0
wo = [0 - 2]
T
2 s v = 0.5 wo = 轾2 7 - 6 2 7 犏 臌
T
J min = 1
22
最小均方误差 与最佳权向量 示意图
16
4.2.5 计算实例1：噪声中的单频信号估计
观测信号
骣p n 2 u (n) = s (n) + v(n) = sin ç + j ÷+ v (n) ÷ ç ÷ ç N 桫
u(n)是白噪声中的正弦信号,
j
是在 [0, 2p )
上均匀分布的随机初始相位，噪声 s v2 = E{v2 (n)} 信号与噪声互不相关。
= s - p wo
2 H = s d - wo Rwo
2 d
H
= s - w E {u (n) u (n)}wo
2 d 2 d H o H
= s - E 轾o u (n) 轾o u (n) wH wH 犏 犏 臌 臌
{
*
}
15
∴
J min
ˆ = s - E d (n)
2 d
{
2
}
2 2 = s d - s dˆ
* eo (n) = d * (n)- uH (n) wo
E{u(n)e (n)}= 0
* o
13
∴
* E{u (n - i)eo (n)}= 0,
i = 0,1,L , M - 1
即 eo (n) 和 u (n - i ) 相互正交
* H * ˆ E d o (n)eo (n) = wo E {u (n )eo (n )} = 0 而
=E 轾(n) - w H u(n) 轾(n) - uT (n) w* d d 犏 犏 臌 臌
2 H H * H H
8
定义： d (n) 的平均功率
s = E d (n)
2 d
{
2
}
互相关向量
p = E {u(n)d * (n)}
u(n) 的自相关矩阵 R = E {u(n)uH (n)}
∴
2 J (w) = s d - pH w - wH p + wH Rw
∴
ì1 骣 ï ï cos ç2p ×0 ÷+ s v2 = 0.5 + s v2 , ï ç ÷ ç N ÷ ï2 桫 ï r (m) = í ï1 ï cos 骣p ÷, ç2 ÷ ï ç ÷ ï2 çN 桫 ï î m= 0 m= 1
19
类似地
禳 骣p (n - m) 骣 镲 镲 ç2 ÷+ v (n - m)÷2cos 骣p n + j ÷ çsin ç ç2 ÷ ÷ ç p (- m) = E 睚 ç ÷ ÷ ç ÷ ç ÷ ç N ÷ ÷ 镲 ç 桫 ç 桫 N 桫 镲 镲 铪 禳 骣p (2n - m) 镲 ç2 ÷+ sin 骣 2p m ÷ 镲 ç ç= E睚 ç sin + 2j ÷ ç ÷ ÷ ç N ÷ ÷ 镲 ç 桫 桫 N 镲 铪 禳 镲 镲(n - m)cos 骣p n + j ÷ ç2 + 2 E睚 v ÷ ç ÷ ç N 镲 桫 镲 铪 骣p m ÷ ç 2 ÷, = - sin ç ç N ÷ 桫 m = 0, 1
7
4.2 维纳滤波原理
4.2.1 均方误差准则及误差性能面 已知估计误差
ˆ e(n) = d (n)- d (n) = d (n)- wH u(n) = d (n)- uT (n)w*
定义e(n)的平均功率为
J (w ) = E e (n)
{
2
}
= E {e (n)e* (n)}
*
{ } = E { d (n) }- E {d (n)u (n)}w - w E {u(n)d (n)}+ w E {u(n)u (n)}w
骣p n ç2 + j ÷ 设期望信号为： (n) = - 2s(n - N / 4) = 2cos ç d ÷ ÷ ç N 桫
2 s d = E {d 2 (n)}= 2
17
问题：设计一个二维的维纳滤波器，使滤波器输 出在最小均方误差意义下，逼近期望响应。 思路：求出R和p，根据 Rwo = p ，可求出w