2018~2019上海市杨浦区二模数学
2018~2019上海市杨浦区二模数学
2018~2019学年杨浦区九年级二模数学试卷（满分150分，考试时间100分钟）一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1. 如图，已知数轴上的点A 、B 表示实数分别为a 、b ，那么下列等式成立的是（ ）（A ）b a b a -=+； （B ）b a b a --=+； （C ）a b b a -=+；（D ）b a b a +=+．2. 下列关于x 的方程一定有实数解的是（ ）（A ）012=--mx x ；（B ）3=ax ； （C ）046=-⋅-x x ；（D ）111-=-x xx ． 3. 如果0<k ，0>b ，那么一次函数b kx y +=的图像经过（ ）（A ）第一、二、三象限； （B ）第二、三、四象限；（C ）第一、三、四象限；（D ）第一、二、四象限．4. 为了解某校初三学生的体重情况，从中随机抽取了80名初三学生的体重进行统计分析，在此问题中，样本是指（ ） （A ）80；（B ）被抽取的80名初三学生； （C ）被抽取的80名的初三学生体重；（D ）该校初三学生的体重．5. 如图，已知ADE △是ABC △绕点A 逆时针旋转所得，其中点D 在射线AC 上，设旋转角为α，直线BC与直线DE 交于点F ，那么下列结论不正确的是（ ） （A ）α=∠BAC ； （B ）α=∠DAE ；（B ）α=∠CFD ；（D ）α=∠FDC ．6. 在下列条件中，能够判定一个四边形是平行四边形的是（ ）（A ）一组对边平行，另一组对边相等； （B ）一组对边相等，一组对角相等；（C ）一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线； （D ）一组对边相等，一组对角线平分另一条对角线．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 计算：=+522)(y y ．8. 分解因式：=-+-1222b ab a ． 9. 方程x x -=-11的解为： ．10. 如果正比例函数x k y )2(-=的函数值y 随x 的增大而减小，且它的图像与反比例函数xky =的图像没有公共点，那么k 的取值范围是 ． 11. 从5-，310-，6-，1-，0，2，π这七个数中随机抽取一个数，恰好为负整数的概率为 ．12.某校为了了解学生最喜欢的球类运动情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生只写一类最喜欢的球类运动，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．那么，其中喜欢足球的学生数占被调查总人数的百分比为 %．13.甲、乙两名学生练习打字，甲打135个字所用时间与乙打180个字所用时间相同．已知甲平均每分钟比乙少打20个字，如果设甲平均每分钟打字的个数为x，那么符合题意的方程为．14.如图，ABC△中，过重心G的直线平行于BC，且交边AB于点D，交边AC于点E，如果设aAB=，bAC=，用a，b表示GE，那么=GE．15.正八边形的中心角是度．16.如图，点M、N分别在AOB∠的边OA、OB上，将AOB∠沿直线MN翻折，设点O落在点P处，如果当4=OM，3=ON时，点O、P的距离为4，那么折痕MN的长为．17.如果当0≠a，0≠b，且ba≠时，将直线baxy+=和直线abxy+=称为一对“对偶直线”，把它们的公共点称为该“对偶直线”的“对偶点”，那么请写出“对偶点”为)4,1(的一对“对偶直线”：．18.如图，在矩形ABCD中，过点A的圆O交边AB于点E，交边AD于点F，已知5=AD，2=AE，4=AF．如果以点D为圆心，r为半径的圆D与圆O有两个公共点，那么r的取值范围是．第14题图第16题图第18题图三、解答题（本大题共7题，满分78分）19.（本题满分10分）计算：3630cos4)23()21()3(032+︒--+--．类别 A B C D E F类型足球羽毛球乒乓球篮球排球其他人数10 4 6 220. （本题满分10分）已知关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎨⎧+=-=+.3;122ab y b x a by ax 的解为⎩⎨⎧-==.1,1y x ，求a 、b 的值．21. （本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）已知在梯形ABCD 中，BC AD //，BC DC ⊥，且1=AD ，3=DC ，点P 为边AB 上一动点，以P 为圆心，BP 为半径的圆交边BC 于电脑Q ．（1）求AB 的长； （2）当BQ 的长为940时，请通过计算说明圆P 与直线DC 的位置关系．22. （本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题2分，第（3）小题3分）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人间的距离y (米)与甲出发时间x (分)之间的关系如图中折线CD BC AB OA ---所示．（1）求线段AB 的表达式，并写出自变量x 的取值范围； （2）求乙的步行速度；（3）求乙比甲早几分钟到达终点？23. （本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）已知：如图，在AABC △中，BC AB =，︒=∠90ABC ，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，点F 、G 是边AC 的三等分点，DF 、EG 的延长线相交于点H ，联结HA 、HC ．求证：（1）四边形FBGH 是菱形；（2）四边形ABCH 是正方形．24. （本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）已知开口向上的抛物线222+-=ax ax y 与y 轴的交点为A ，顶点为B ，对称轴与x 轴的交点为C ，点A 与点D 关于对称轴对称，直线BD 与x 轴交于点M ，直线AB 与直线OD 交于点N ．（1）求点D 的坐标；（2）求点M 的坐标（用含a 的代数式表示）；（3）当点N 在第一象限，且ONA OMB ∠=∠时，求a 的值．25. （本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）已知圆O 的半径长为2，点A 、B 、C 为圆O 上三点，弦AO BC =，点D 为BC 的中点． （1）如图1，联结AC 、OD ，设OAC α∠=，请用α表示AOD ∠；（2）如图2，当点B 为»AC 的中点时，求点A 、D 之间的距离； （3）如果AD 的延长线与圆O 交于点E ，以O 为圆心，AD 为半径的圆与以BC 为直径的圆相切，求弦AE 的长．图1 图2 图3。
2018届中考数学二模-杨浦-答案
杨浦区初三质量调研数学试卷答案及评分建议 2019.4一、 选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．B ； 2．A ； 3．D ； 4．C ； 5．D ； 6．C 二、 填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7． y ； 8． ()()11a b a b -+--； 9．1x =；10．02k <<； 11．27； 12．24； 13．13518020x x =+； 14．1133a b -+； 15． 45； 16．17．331y x y x =+=+和等； 18．r . 三、 解答题（本大题共7题，满分78分）19．解：原式381=+-- ........................... （7分） 10= ................................................... （3分）20．解：由题意得22130a b a b ab -=⎧⎨+--=⎩............................. （2分） 由1a b -=得1a b =+，将1a b =+代入2230a b ab +--=，整理得：220b b +-=. ...................................... （4分） 解得：122,1b b =-=. ...................................... （2分） 当12b =-时11a =-；当21b =时，22a =所以，12121221a a b b =-=⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩ ................................... （2分） 21．解：（1）作AH ⊥BC 于点H ，∵DC ⊥BC ，∴AH //DC . ∵AD //BC ，∴ADCH 为矩形. ......... （1分） ∴HC =AD =1，AH =DC =3. ∵AB =BC ，∴BH =AB -1.在Rt △ABH 中，222AB AH BH =+，即()2291AB AB =+-， ..... （1分） ∴AB =5. ................................................... （2分） （2）过点P 作PM ⊥BC 于点M ，PN ⊥DC 于点N ，PN 交AH 于点G ，∵点P 为圆心，∴BM =QM ，即12029BM BQ ==................. （1分） ∵4cos 5BH B AB ==，又cos BM B BP =，∴259BP =，即圆P 的半径为259. （1分） ∵PN ⊥DC ， BC ⊥DC ，PM ⊥BC ，∴PMCN 为矩形. ............ （1分） ∴2025599PN MC ==-=................................... （1分） ∴点P 到直线DC 的距离等于圆P 的半径. ...................... （1分） ∴圆P 与直线DC 相切. ..................................... （1分） 22．解：（1）设线段AB 的表达式为y kx b =+， ..................... （1分）∵点A （4,240），点B （16,0），∴2404016k bk b =+⎧⎨=+⎩ ............ （1分）解得：20,320.k b =-⎧⎨=⎩∴线段AB 的表达式为()20320416y x x =-+≤≤. ........... （2分,1分）（2）B （16,0）表示在甲出发16分钟时，乙赶上了甲，∵甲的步行速度为240604=米/分，∴乙赶上甲时乙行走的路程为1660960⨯=米. ∴乙12分中内走了960米. ................................... （1分）∴乙的速度为9608012=米/分.................................. （1分） （3）∵甲的步行速度为60米/分，∴甲步行全程需要24004060=分钟.乙的步行速度为80米/分，∴乙步行全程需要24003080=分钟... （1分） 又∵甲先出法4分钟，∴乙比甲早6分钟到终点. ............... （2分） 23．证明（1）：∵点F 、G 是边AC 的三等分点，∴F 、G 分别是AG 、CF 的中点， ∵点D 是AB 的中点，∴DF //BG ，即FH //BG ． .......... （2分）同理： GH // BF ． .................................... （1分） ∴四边形FBGH 是平行四边形． ......................... （1分） ∵AB =BC ，∴∠BAC =∠ACB .∵点F 、G 是边AC 的三等分点，∴AF =CG .∴△ABF ≌△CBG . ∴BF =BG . ......................... （1分） ∴平行四边形FBGH 是菱形. ........................... （1分）证明（2）联结BH ，交FG 于点O ，∵四边形FBGH 是平行四边形，∴OB =OH ，OF =OG ． ...... （2分） ∵AF =CG ，∴OA =OC ． ................................ （1分） ∴四边形ABCH 是平行四边形． ......................... （1分） ∵∠ABC =90°，∴平行四边形ABCH 是矩形. ............ （1分） ∵AB =BC ，∴矩形ABCH 是正方形. ..................... （1分）24．解：（1）∵开口向下的抛物线222y ax ax =-+与y 轴交于点A ，顶点为B ， ∴0a <，A （0,2），B （1,2-a ），对称轴为直线x =1. ................. （3分） 又∵对称轴交x 轴于点C ，∴C （1,0）.∵点A 与点D 关于对称轴对称，∴D （2,2）. ....................... （1分） （2）作DH ⊥OM 于点H ，∵D （2,2），C （1,0）， B （1,2-a ），∴DH =2，BC =2-a ，CH =1，且BC ⊥OM .∴BC //DH . ................ （1分） ∴DH MH BC MC =.即221MH a MH =-+.∴2MH a=-. ..................... （1分） ∴22OM a =-. ∴22,0M a ⎛⎫- ⎪⎝⎭. ................................. （2分）（3）设直线OD 与对称轴交点为G ， ∵点N 在第一象限，且∠OMB =∠ONA ，又∵D （2,2），∴∠AON =∠DOM =45°，∴△AON ∽△DOM . ........ （1分） ∴AO ON DO OM =.∴11ON a ⎫==-⎪⎭. ....................... （1分） ∵BG //AO ，∴BG NG AO ON =.即1121121a a a ⎫-⎪--⎝⎭=⎫-⎪⎭.∴1a =. （1分） ∵0a <，且直线AB 与直线OD 的交点N 在第一象限 ，∴023a a <⎧⎨-<⎩.∴10a -<<.∴1a =. ........................... （1分）25．解：（1）联结CO ，∵D 为BC 的中点，DO 过圆心，∴OD ⊥BC . ....................... （1分） ∵BC =2，D 为BC 的中点，∴DC =1.∵CO =2, OD ⊥BC ，∴∠COD =30°. ............................. （1分） ∵AO =CO ，∴∠OAC =∠ACO∵∠OAC =α，∴∠AOC =1802α︒-. ............................... （1分） ∴∠AOD =1802301502αα︒--︒=︒-. ............................. （1分） （2）联结AB 、OC 、OD ，由（1）得∠COD =30°. ∴OD =（1分） ∵AB BC =，∴AB =BC . ........................................ （1分） ∵BC =AO ，AO =OC ，∴ABCO 是菱形. ............................. （1分） ∴BC //AO . ∴∠BDO +∠AOD =180°.∵OD ⊥BC ,即∠BDO =90°，∴∠AOD =90°，即OD ⊥AO . .......... （1分）∴AD ===. .............................. （1分）（3）∵圆O 的半径为AD ，圆D 的半径112BC ==，圆心距OD =， 又∵圆O 与圆D 相切，∴1OD AD =+或1OD AD =-1AD =+1AD -，∴1AD =或1AD . .................................... （2分） 作OH ⊥AD 于点H ，则AE =2AH . ................................. （1分）当1AD =时，∵()2222AO AH OD AD AH -=--，即)22431AH AH-=--， ∴AH .∴12AE =. ................................................ （1分）当1AD=时，同上解得AH=.∴12AE=. ................................................ （1分）即弦AE。
上海市杨浦区2018届高考二模数学试题含答案
已知 A {x | y 2 x x 2 } ， B {x | x 1} ，则 A B 等于（ A. [0,1] U (2, )
B.
）
D.
[0,1) U (2, )源自C. [0,1][0, 2]
15. 已知 a12 b12 0 ， a2 2 b2 2 0 ，则“
上海市杨浦区 2018 届高三二模数学试卷
2018.04
一. 填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分） 1. 函数 y lg x 1 的零点是 2. 计算： lim
2n n 4n 1
3. 若 (1 3 x) n 的二项展开式中 x 2 项的系数是 54 ，则 n 4. 掷一颗均匀的骰子，出现奇数点的概率为
2
8. 若双曲线
x 2 16 y 2 2 1 ( p 0) 的左焦点在抛物线 y 2 2 px 的准线上，则 p 3 p
3 ，则 tan 2 y 的值为 5
9. 若 sin( x y )cos x cos( x y )sin x
10. 若 {an } 为等比数列， an 0 ，且 a2018
m , m) ，射线 OM 与 交于点 P，四边形 OAPB 能否为平行四边形？ 3
若能，求此时 l 的斜率；若不能，说明理由．
21. 记函数 f ( x) 的定义域为 D. 如果存在实数 a 、 b 使得 f ( a x) f ( a x) b 对任意满 足 a x D 且 a x D 的 x 恒成立，则称 f ( x) 为 函数. （1）设函数 f ( x)
1 1 ，试判断 f ( x) 是否为 函数，并说明理由； x 1 ，其中常数 t 0 ，证明： g ( x) 是 函数； 2 t
上海市杨浦区2018高三数学二模(含解析)
上海市杨浦区2018届高三二模数学试卷2018.04一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 函数lg 1y x =-的零点是 2. 计算：2lim41n nn →∞=+3. 若(13)n x +的二项展开式中2x 项的系数是54，则n =4. 掷一颗均匀的骰子，出现奇数点的概率为5. 若x 、y 满足020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2f x y =+的最大值为6. 若复数z 满足1z =，则z i -的最大值是7. 若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为3、3、2的三角形， 则该圆锥的体积是8. 若双曲线2221613x y p-=(0)p >的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p = 9. 若3sin()cos cos()sin 5x y x x y x ---=，则tan 2y 的值为10. 若{}n a 为等比数列，0n a >，且20182a =，则2017201912a a +的最小值为 11. 在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，2a =，2sin sin A C =.若B 为钝角，1cos24C =-，则ABC ∆的面积为 12. 已知非零向量OP uu u r 、OQ uuu r 不共线，设111m OM OP OQ m m =+++uuu r uu u r uuur ，定义点集{|}||||FP FM FQ FMA F FP FQ ⋅⋅==uu r uuu r uu u r uuu r uu r uu u r . 若对于任意的3m ≥，当1F ，2F A ∈且不在直线PQ 上时，不等式12||||F F k PQ ≤uuu u r uu u r恒成立，则实数k 的最小值为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 已知函数()sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><的图象如图所示，则ϕ的值为（ ）A. 4πB. 2πC. 2π- D. 3π-14. 设A 、B 是非空集合，定义：{|A B x x A B ⨯=∈U 且}x A B ∉I .已知2{|2}A x y x x ==-，{|1}B x x =>，则A B ⨯等于（ ）A.[0,1](2,)+∞UB. [0,1)(2,)+∞UC.[0,1]D. [0,2]15. 已知22110a b +≠，22220a b +≠，则“11220a b a b =”是“直线1111:0l a x b y c ++=与 2222:0l a x b y c ++=平行”的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分也非必要 16. 已知长方体的表面积为452，棱长的总和为24. 则长方体的体对角线与棱所成角的最大 值为（ ） A. 1arccos 3B. 2arccosC. 3arccosD. 6arccos三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 共享单车给市民出行带来了诸多便利，某公司购买了一批单车投放到某地给市民使用， 据市场分析，每辆单车的营运累计利润y （单位：元）与营运天数x ()x ∈*N 满足函数关系 式21608002y x x =-+-. （1）要使营运累计利润高于800元，求营运天数的取值范围； （2）每辆单车营运多少天时，才能使每天的平均营运利润yx的值最大？18. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱AB 上的动点. （1）求证：11DA ED ⊥；（2）若直线1DA 与平面1CED 所成的角是45o，请你确定点E 的位置，并证明你的结论.19. 已知数列{}n a ，其前n 项和为n S ，满足12a =，1n n n S na a λμ-=+，其中2n ≥，n ∈*N ，λ，μ∈R .（1）若0λ=，4μ=，12n n n b a a +=-（n ∈*N ），求数列{}n b 的前n 项和； （2）若23a =，且32λμ+=，求证：数列{}n a 是等差数列.20. 已知椭圆222:9x y m Ω+=(0)m >，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与Ω有两 个交点A 、B ，线段AB 的中点为M .（1）若3m =，点K 在椭圆Ω上，1F 、2F 分别为椭圆的两个焦点，求12KF KF ⋅u u u r u u u u r的范围；（2）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （3）若l 过点(,)3mm ，射线OM 与Ω交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？ 若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．21. 记函数()f x 的定义域为D . 如果存在实数a 、b 使得()()f a x f a x b -++=对任意满 足a x D -∈且a x D +∈的x 恒成立，则称()f x 为ψ函数.（1）设函数1()1f x x =-，试判断()f x 是否为ψ函数，并说明理由； （2）设函数1()2x g x t=+，其中常数0t ≠，证明：()g x 是ψ函数；（3）若()h x 是定义在R 上的ψ函数，且函数()h x 的图象关于直线x m =（m 为常数）对称，试判断()h x 是否为周期函数？并证明你的结论.上海市杨浦区2018届高三二模数学试卷2018.04一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 函数lg 1y x =-的零点是 【解析】lg 1010x x -=⇒=2. 计算：2lim41n nn →∞=+【解析】123. 若(13)n x +的二项展开式中2x 项的系数是54，则n =【解析】223544n C n =⇒=4. 掷一颗均匀的骰子，出现奇数点的概率为 【解析】125. 若x 、y 满足020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2f x y =+的最大值为【解析】三个交点为(1,1)、(0,0)、(2,0)，所以最大值为3 6. 若复数z 满足1z =，则z i -的最大值是【解析】结合几何意义，单位圆上的点到(0,1)的距离，最大值为27. 若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为3、3、2的三角形， 则该圆锥的体积是【解析】13V π=⋅⋅=8. 若双曲线2221613x y p-=(0)p >的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p = 【解析】2234164p p p +=⇒= 9. 若3sin()cos cos()sin 5x y x x y x ---=，则tan 2y 的值为 【解析】3sin 5y =-，3tan 4y =±，24tan 27y =±10. 若{}n a 为等比数列，0n a >，且20182a =，则2017201912a a +的最小值为【解析】2019201720182220172019201820182124a a a a a a ++=≥=11. 在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，2a =，2sin sin A C =. 若B 为钝角，1cos24C =-，则ABC ∆的面积为【解析】2a =，4c =，21cos212sin sinC C C =-=-⇒=cos C =sin A =cos A =sin sin()B A C =+=，1242S =⨯⨯=12. 已知非零向量OP uu u r 、OQ uuu r 不共线，设111m OM OP OQ m m =+++uuu r uu u r uuur ，定义点集{|}||||FP FM FQ FMA F FP FQ ⋅⋅==uu r uuu r uu u r uuu r uu r uu u r . 若对于任意的3m ≥，当1F ，2F A ∈且不在直线PQ 上时， 不等式12||||F F k PQ ≤uuu u r uu u r 恒成立，则实数k 的最小值为 【解析】建系，不妨设(1,0)P -，(1,0)Q ，∴1(,0)1m M m -+，3m ≥，11[,1)12m m -∈+， ∴3FP MP FQ MQ =≥，设(,)F x y ，∴2222(1)9(1)x y x y ++≥-+，即2259()416x y -+≤，点F 在此圆内， ∴12max 33||242F F =⨯=uuu u r ，33224k k ≤⇒≥二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 已知函数()sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><的图象如图所示，则ϕ的值为（ ）A. 4πB. 2πC. 2π- D. 3π-【解析】T π=，2ω=，()122f ππϕ=⇒=-，选C14. 设A 、B 是非空集合，定义：{|A B x x A B ⨯=∈U 且}x A B ∉I .已知{|A x y =，{|1}B x x =>，则A B ⨯等于（ ）A.[0,1](2,)+∞UB. [0,1)(2,)+∞UC.[0,1]D. [0,2]【解析】[0,2]A =，[0,)A B =+∞U ，(1,2]A B =I ，选A 15. 已知22110a b +≠，22220a b +≠，则“11220a b a b =”是“直线1111:0l a x b y c ++=与 2222:0l a x b y c ++=平行”的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分也非必要 【解析】11220a b a b =推出直线平行或重合，选B16. 已知长方体的表面积为452，棱长的总和为24. 则长方体的体对角线与棱所成角的最大 值为（ ）A. 1arccos 3B. arccos 3C.D.【解析】设三条棱a b c ≤≤，∴454ab ac bc ++=，6a b c ++=，222272a b c ++=，222224522[(6)]a b c a bc a a a ++≥+=+--，整理得2430a a -+≤，∴12a ≤≤，∴最短棱长为1，体对角线长为2，cos θ==，选D三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 共享单车给市民出行带来了诸多便利，某公司购买了一批单车投放到某地给市民使用， 据市场分析，每辆单车的营运累计利润y （单位：元）与营运天数x ()x ∈*N 满足函数关系 式21608002y x x =-+-. （1）要使营运累计利润高于800元，求营运天数的取值范围； （2）每辆单车营运多少天时，才能使每天的平均营运利润yx的值最大？ 【解析】（1）要使营运累计收入高于800元，令80080060212>-+-x x ， ……2分 解得8040<<x .………………………………………5分 所以营运天数的取值范围为40到80天之间 .………………………………7分（2）6080021+--=x x x y 6020≤-= …………………………………9分 当且仅当18002x x=时等号成立，解得400x = …………………………12分所以每辆单车营运400天时，才能使每天的平均营运利润最大，最大为20元每天 .…14分18. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱AB 上的动点. （1）求证：11DA ED ⊥；（2）若直线1DA 与平面1CED 所成的角是45o，请你确定点E 的位置，并证明你的结论. 【解析】以D 为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则(0,0,0)D ，(1,0,0)A ，(1,1,0)B ， C (0,1,0) ，D 1(0,1,2) ，A 1(1,0,1)，设(1,,0)E m (01)m ≤≤（1）证明：1(1,0,1)DA =u u u u r，1(1,,1)ED m =--u u u u r ………2分111(1)0()110DA ED m ⋅=⨯-+⨯-+⨯=u u u r u u u u r ………4分 所以DA 1⊥ED 1. ……………6分另解：1ADA AE 平面⊥，所以D A AE 1⊥. ……………2分 又11AD D A ⊥，所以AE D D A 11平面⊥. ……………………………4分 所以11DA ED ⊥……………………………6分（2）以A 为原点，AB 为x 轴、AD 为y 轴、AA 1为z 轴建立空间直角坐标系…………7分 所以)1,0,0(1A 、)0,1,0(D 、)0,1,1(C 、)1,1,0(1D ，设t AE =，则)0,0,(t E ………8分设平面CED 1的法向量为),,(z y x =，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅001CD n 可得⎩⎨⎧=--=+-0)1(0y x t z x ， 所以⎩⎨⎧-==xt y xz )1(，因此平面CED 1的一个法向量为)1,1,1(-t ………10分由直线1DA 与平面1CED 所成的角是45o ，可得||||45sin 11n DA =︒ ……11分可得1)1(12|11|222+-+⋅+-=t t ，解得21=t ………13分 由于AB =1，所以直线1DA 与平面1CED 所成的角是45o时，点E 在线段AB 中点处. …14分19. 已知数列{}n a ，其前n 项和为n S ，满足12a =，1n n n S na a λμ-=+，其中2n ≥，n ∈*N ，λ，μ∈R .（1）若0λ=，4μ=，12n n n b a a +=-（n ∈*N ），求数列{}n b 的前n 项和；（2）若23a =，且32λμ+=，求证：数列{}n a 是等差数列. 【解析】（1）14-=n n a S ，所以n n a S 41=+.两式相减得1144-+-=-n n n n a a S S .即1144-+-=n n n a a a………2分所以)2(2211-+-=-n n n n a a a a ，即12-=n n b b ，………3分又8412==a S ，所以6122=-=a S a ，得22121=-=a a b ………4分因此数列{}n b 为以2为首项，2为公比的等比数列.nn b 2=，前n 项和为221-+n …7分（2）当n = 2时，1222a a S μλ+=，所以μλ2623+=+. 又32λμ+=，可以解得12λ=，1μ= ………9分 所以12-+=n n n a a n S ，n n n a a n S ++=++1121，两式相减得111221-++-+-+=n n n n n a a a n a n a 即112221-++-=-n n n a a n a n . 猜想1+=n a n ，下面用数学归纳法证明： ………10分① 当n = 1或2时，1121+==a ，1232+==a ，猜想成立；② 假设当k n ≤（2,*≥∈k N k ）时，1k a k =+ 成立则当1+=k n 时，2))1(22(12)22(1211+=++--=+--=-+k k k k k a a k k a k k k 猜想成立. 由①、②可知，对任意正整数n ，1+=n a n .………13分 所以11=-+n n a a 为常数，所以数列{}n a 是等差数列.………14分另解：若23a =，由12212a a a a +=+λμ，得562=+λμ，又32+=λμ，解得112==，λμ． ………9分 由12a =，23a =，12λ= ，1μ=，代入1n n n S na a λμ-=+得34a =，所以1a ，2a ，3a 成等差数列，由12n n n n S a a -=+，得1112n n n n S a a +++=+，两式相减得：111122n n n n n n na a a a a ++-+=-+-，即11(1)(2)20n n n n a n a a +-----=所以 21(1)20n n n na n a a ++---= ………11分相减得：2112(1)(2)220n n n n n na n a n a a a ++---+--+= 所以2111(2)2(2)0n n n n n n n a a a a a a +++--++-+=所以221111-222(2)(2)(2)(1)n n n n n n n n n a a a a a a a a a n n n +++---+=--+=-+- 1321(2)(2)(1)2n a a a n n --==-+-L L L ，因为12320a a a -+=，所以2120n n n a a a ++-+=，即数列{}n a 是等差数列.………14分20. 已知椭圆222:9x y m Ω+=(0)m >，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与Ω有两 个交点A 、B ，线段AB 的中点为M .（1）若3m =，点K 在椭圆Ω上，1F 、2F 分别为椭圆的两个焦点，求12KF KF ⋅u u u r u u u u r的范围；（2）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （3）若l 过点(,)3mm ，射线OM 与Ω交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？ 若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．【解析】（1）椭圆99:22=+Ωy x ，两个焦点)22,0(1F 、)22,0(2-F ，设),(y x K 所以8)22,()22,(2221-+=---⋅--=⋅y x y x y x KF KF由于9922=+y x ，所以2299x y -=，188)99(22221+-=--+=⋅x x x KF KF …3分由椭圆性质可知11≤≤-x ，所以]1,7[21-∈⋅KF KF……………5分（2）设直线b kx y l +=:（0,0≠≠k b ），),(11y x A ，),(22y x B ，),(00y x M ， 所以21x x 、为方程222)(9m b kx x =++的两根，化简得02)9(2222=-+++m b kbx x k ，所以922210+-=+=k kb x x x ，99922200+=++-=+=k bb k b k b kx y . ……………8分 kx y k OM 900-==，所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积等于9-为定值. …………10分（3）∵直线l 过点(,)3mm ，∴l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >，3k ≠． 设),(p p y x P 设直线m m x k y l +-=)3(:（0,0≠≠k m ），即m mkkx y +-=3.由（2）的结论可知x ky OM 9:-=，代入椭圆方程2229m y x =+得8192222+=k k m x p …12分由（2）的过程得中点)9)3(9,9)3((22+-+--k km m k k mk m M ， ……………14分 若四边形OAPB 为平行四边形，那么M 也是OP 的中点，所以p x x =02，得819)93(4222222+=+-k k m k mk mk ，解得74±=k 所以当l的斜率为44OAPB 为平行四边形． ……………16分21. 记函数()f x 的定义域为D . 如果存在实数a 、b 使得()()f a x f a x b -++=对任意满 足a x D -∈且a x D +∈的x 恒成立，则称()f x 为ψ函数.（1）设函数1()1f x x =-，试判断()f x 是否为ψ函数，并说明理由； （2）设函数1()2x g x t=+，其中常数0t ≠，证明：()g x 是ψ函数；（3）若()h x 是定义在R 上的ψ函数，且函数()h x 的图象关于直线x m =（m 为常数）对称，试判断()h x 是否为周期函数？并证明你的结论. 【解析】（1）1()1f x x=-是ψ函数 . ……1分 理由如下：1()1f x x=-的定义域为{|0}x x ≠， 只需证明存在实数a ，b 使得()()f a x f a x b -++=对任意x a ≠±恒成立.由()()f a x f a x b -++=，得112b a x a x +-=-+，即2()()a x a xb a x a x ++-+=-+. 所以22(2)()2b a x a +-=对任意x a ≠±恒成立. 即2,0.b a =-= 从而存在0,2a b ==-，使()()f a x f a x b -++=对任意x a ≠±恒成立. 所以1()1f x x=-是ψ函数. …………4分 （2）记()g x 的定义域为D ，只需证明存在实数a ，b 使得当a x D -∈且a x D +∈时，()()g a x g a x b -++=恒成立，即1122a xa xb tt-++=++恒成立.所以22(2)(2)a x a x a x a x t t b t t +-+-+++=++， ……5分 化简得，22(1)(22)(2)2a x a x a bt b t t +--+=+-.所以10bt -=,22(2)20a b t t +-=. 因为0t ≠，可得1b t=，2log ||a t =,即存在实数a ，b 满足条件，从而1()2x g x t=+是ψ函数. …………10分（3）函数)(x h 的图象关于直线x m =（m 为常数）对称，所以)()(x m h x m h +=- （1）， ……………12分 又因为b x a h x a h =++-)()( （2）， 所以当a m ≠时，)]2([)22(a m x m h a m x h -++=-+ 由（1） )]([)2()]2([x a a h x a h a m x m h -+=-=-+-= 由（2） )()]([x h b x a a h b -=---= （3）所以)22(]22)22[()44(a m x h b a m a m x h a m x h -+-=-+-+=-+ （取a m x t 22-+=由（3）得）再利用（3）式，)()]([)44(x h x h b b a m x h =--=-+.所以()f x 为周期函数，其一个周期为a m 44-. ……………15分 当a m =时，即)()(x a h x a h +=-，又)()(x a h b x a h +-=-， 所以2)(bx a h =+为常数. 所以函数)(x h 为常数函数， 2)()1(bx h x h ==+，)(x h 是一个周期函数. ……………17分综上，函数)(x h 为周期函数 ……………18分（其他解法参考评分标准，酌情给分）。
2019届杨浦区高三数学二模(2019.4.8)
x 的最小正周期是
．
x = cos2x T = 2 = ．
2
．
x − 3y + 1 = 0, 2．方程组 的增广矩阵为 2x + 5y − 4 = 0
【答案】
1 −3 −1 2 5 4 x − 3y + 1 = 0 x − 3y = −1 1 −3 −1 【解析】 ，∴增广矩阵是 ． 2x + 5y − 4 = 0 2x + 5y = 4 2 5 4
杨浦区 2018 学年第二学期高三年级模拟质量调研
数学学科试卷
1．函数 f ( x ) = 1 − 2sin 2 x 的最小正周期是 ． 2019.4 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1~6 题每题 4 分，第 7~12 题每题 5 分）
x − 3y + 1 = 0, 2．方程组 的增广矩阵为 ． 2x + 5y − 4 = 0 3．若幂函数 f ( x ) = x k 的图像过点 ( 4, 2 ) ，则 f ( 9 ) =
P 的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”．该圆的半径为
．
11．若 △ABC 的内角 A, B, C ，其中 G 为 △ABC 的重心，且 GA GB = 0 ，则 cos C 的最小 值为 ． 12．定义城为集合 1, 2,3, ,12 上的函数 f ( x ) 满足： ① f (1) = 1 ；② f ( x + 1) − f ( x ) = 1( x = 1, 2, 不同函数 f ( x ) 的个数为 ．
k
3．若幂函数 f ( x ) = x 的图像过点 ( 4, 2 ) ，则 f ( 9 ) = 【答案】 3 1 1 【解析】由题意得 4k = 2 k = f ( 9 ) = 9 2 = 3 ． 2 4．若 (1 + 3x ) 的二项展开式中 x 2 项的系数是 54 ，则 n =
2018年杨浦区初三数学二模卷及答案-2018.4(含答案)
2018年杨浦区初三数学二模卷 2018.4(完卷时间 100分钟 满分 150分) 考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、 选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．下列各数中是无理数的是 （A ）cos60°；（B ）1.3；（C ）半径为1cm 的圆周长； （D2．下列运算正确的是（A ）2m m m ⋅=； （B ）236()m m =； （C ）33()mn mn =； （D ）623m m m ÷=． 3．若3x ＞﹣3y ，则下列不等式中一定成立的是（A ）0x y +>；（B ）0x y ->；（C ）0x y +<；（D ）0x y -<．4．某校120名学生某一周用于阅读课外书籍的时间的频率分布直方图如图1所示.其中阅读时间是8-10小时的组频数和组频率分别是 （A ）15和0.125； （B ）15和0.25；（C ）30和0.125；（D ）30和0.25．5．下列图形是中心对称图形的是（A（B ） （C （D ）6． 如图2，半径为1的圆O 1与半径为3的圆O 2相内切，如果半径为2的圆与圆O 1和圆O 2都相切，那么这样的圆的个数是 （A ）1； （B ）2；（C ）3； （D ）4.二、 填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】频率（图1） （图2）7．计算：()()a a b b a b +-+= ▲ . 8．当0,0a b <>= ▲ . 9．函数11y x=+-x 的取值范围是 ▲ .10．如果反比例函数k y x=的图像经过点A （2，y 1）与B （3，y 2），那么12y y 的值等于 ▲ .11．三人中有两人性别相同的概率是 ▲ . 12．25位同学10秒钟跳绳的成绩汇总如下表：那么跳绳次数的中位数是 ▲ .13．李明早上骑自行车上学，中途因道路施工推车步行了一段路，到学校共用时15分钟．如果他骑自行车的平均速度是每分钟250米，推车步行的平均速度是每分钟80米，他家离学校的路程是2900米，设他推车步行的时间为x 分钟，那么可列出的方程是 ▲ . 14．四边形ABCD 中，向量AB BC CD ++= ▲. 15．若正n 边形的内角为140︒，则边数n 为 ▲ .16．如图3，△ABC 中，∠A =80°，∠B =40°，BC 的垂直平分线交AB 于点D ，联结DC .如果AD =2，BD =6，那么△ADC 的周长为 ▲ .17．如图4，正△ABC 的边长为2，点A 、B C 在圆内，将正△ABC绕点A 逆时针旋转，当点C 第一次落在圆上时，旋转角的正切值是 ▲ . 18．当关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0有实数根，且其中一个根为另一个根的2倍时，称之为“倍根方程”. 如果关于x 的一元二次方程x 2+(m -2)x -2m=0是“倍根方程”，那么m 的值为▲ .三、 解答题（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）先化简，再求值：11123213222-+++--÷--x x x x x x x ，12+=x ． 20．（本题满分10分）（图4）（图3）ABCD解方程组：22223;2().x y x y x y ⎧-=⎪⎨-=+⎪⎩21．（本题满分10分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分7分）已知：如图5，在梯形ABCD 中，DC ∥AB ，AD ＝BC ，BD 平分∠ABC ，∠A ＝60°． 求：（1）求∠CDB 的度数；（2）当AD ＝2时，求对角线BD 的长和梯形ABCD 的面积．22．（本题满分10分，第（1）小题2分，第（2）、（3）各小题4分）已知A 、B 、C 三地在同一条路上，A 地在B 地的正南方3千米处，甲、乙两人分别从A 、B 两地向正北方向的目的地C 匀速直行，他们分别和A 地的距离s （千米）与所用的时间t （小时）的函数关系如图6所示． （1）图中的线段l 1是 ▲ （填“甲”或“乙”图像，C 地在B 地的正北方向 ▲ 千米处； （2）谁先到达C 地？并求出甲乙两人到达C 地的时间差；（3）如果速度慢的人在两人相遇后立刻提速，并且比先到 者晚1小时到达C 地，求他提速后的速度.23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）已知：如图7，在□ABCD 中，点G 为对角线AC 的中点，过点G 的直线EF 分别交边AB 、CD 于点E 、F ，过点G 的直线MN 分别交边AD 、BC 于点M 、N ，且∠AGE =∠CGN. （1）求证：四边形ENFM 为平行四边形； （2）当四边形ENFM 为矩形时，求证：BE=BN .24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）t （小时） （图6）（图5） （图7）A CD GE FM如图8，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，直线y =x +4经过点A 、C ，点P 为抛物线上位于直线AC 上方的一个动点. （1）求抛物线的表达式； （2）如图（1），当CP //AO 时，求∠P AC 的正切值；（3）当以AP 、AO 为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上时，求出此时点P 的坐标.25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4 分）如图9，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB =DC =5，AD =1，BC =9，点P 为边BC 上一动点，作PH ⊥DC ，垂足H 在边DC 上，以点P 为圆心PH 为半径画圆，交射线PB 于点E . （1） 当圆P 过点A 时，求圆P 的半径；（2） 分别联结EH 和EA ，当△ABE ∽△CEH 时，以点B 为圆心，r 为半径的圆B 与圆P相交，试求圆B 的半径r 的取值范围； （3） 将劣弧EH 沿直线EH 翻折交BC 于点F ，试通过计算说明线段EH 和EF 的比值为定值，并求出此定值.AB C DPHECABDP HE（图9）（图8）PA BC（备用图）O ABCP （图（1））O2018年杨浦区初三数学二模卷 2018.4四、 选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1． C ； 2． B ； 3． A ； 4． D ； 5． B ； 6． C 五、 填空题（本大题共12题，每题47．22a b -； 8． -； 9． 2x ≥-且1x ≠；10．32； 11． 1； 12． 20； 13． 80250(15)2900x x +-=； 14． AD ； 15． 9；16． 14； 17； 18． -1或-4. 六、 解答题（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）解:原式=11)1)(3()1()1)(1(32-++-+⋅-+-x x x x x x x ………………………………………（6分）=1111-+-x x =12-x …………………………………………………（2分） 当12+=x 时， 原式=222= ………………………………（2分） 20．（本题满分10分）解：由（2）得，0=+y x ，2=-y x ；…………………………………………（3分）则原方程组转化为223,0.x y x y ⎧-=⎨+=⎩（Ⅰ）或223,2.x y x y ⎧-=⎨-=⎩ （Ⅱ） …………………（2分）解（Ⅰ）得21123,1,21;3.2x x y y ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=-⎩⎪=⎪⎩… （2分）解（Ⅱ）得43341,1,21;5.2x x y y ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=-⎩⎪=-⎪⎩ … （2分） ∴原方程组的解是21123,1,21;3.2x x y y ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=-⎩⎪=⎪⎩341,25.2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ……………………………（1分） 21．（本题满分10分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分7分）解：(1) ∵在梯形ABCD 中，DC ∥AB ，AD ＝BC ，∠A ＝60°，∴∠CBA =∠A =60º. （1分）∵BD 平分∠ABC ，∴∠CDB =∠ABD =21∠CBA=30º，………………………（2分）（2）在△ACD 中，∵∠ADB =180º–∠A –∠ABD=90º．………………………………（1分）∴BD=AD tan ⋅A =2tan60º=23. .…………………………………………………（1分） 过点D 作DH ⊥AB ，垂足为H ， …………………………………………………（1分） ∴AH =AD sin ⋅A =2sin60º=3. .…………………………………………………（1分）∵∠CDB =∠CBD =21∠CBD =30º，∴DC =BC =AD =2. ………………………………（1分）∵AB =2AD =4, …………………………………………………………………………（1分）∴11()(422ABCD S AB CD DH =+⋅=+梯形……………………………（1分） 22． （本题满分10分，第（1）小题2分，第（2）、（3）各小题4分） 解：（1）乙；3. ……………………………………………………………………………（2分） （2）甲先到达. ……………………………………………………………………………（1分） 设甲的函数解析式为s =kt ，则有4=t ，即s =4t . 当s =6时，t =32.……………………………………………………………………………（1分） 设乙的函数解析式为s =nt +3，则有4=n +3，即n =1.所以乙的函数解析式为s =t +3.当s =6时，t =3. ……………………………………………………………………………（1分） 所以到达目的地的时间差为32小时. ………………………………………………………（1分）（3）设提速后的速度为v 千米/小时，因为相遇处距离A 地4千米，所以相遇后行2千米. ……………………………………（1分） 又因为原相遇后行2小时，所以提速后2千米应行1.5小时. …………………………（1分） 即322v =，所以43v =.…………………………………………………………………（1分）答：速度慢的人提速后的速度为43千米/小时. ……………………………………………（1分）23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）（1）证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB //CD . ………………………………（1分）∴∠EAG =∠FCG . …………………………………………………………（1分） ∵点G 为对角线AC 的中点，∴AG =GC .∵∠AGE =∠FGC ，∴△EAG ≌△FCG . ……………………………………（1分） ∴EG =FG . ………………………………………………………………………（1分） 同理MG =NG . …………………………………………………………………（1分） ∴四边形ENFM 为平行四边形. ………………………………………………（1分）（2）证明：∵四边形ENFM 为矩形， ∴EF =MN ，且EG =12EF ,GN =12MN . ∴EG =NG . ……………（1分） ∴∠1=∠2.∵∠1+∠2+∠3=180°，∠AGE +∠CGN +∠3=180°，∠AGE =∠CGN ， ∴2∠1=2∠AGE ，即∠1=∠AGE .∴EN //AC . …………………………………（1分）∵EG =NG ，又∵AG =CG ，∠AGE =∠CGN.∴△EAG ≌△NCG . ………………………（1分） AB C DG EF M 1 23∴∠BAC =∠ACB ，AE =CN . …………（1分） ∴AB =BC . …………………………………（1分） ∴BE=BN . …………………………………（1分） 24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分） 解：（1）∵直线y =x +4经过点A 、C ，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上 ∴A 点坐标是（﹣4，0），点C 坐标是（0，4），…………………………………………（1分）又∵抛物线过A ，C 两点，∴21(4)40,24.b c c -⨯--+==⎧⎪⎨⎪⎩.………………………………（1分）解得14b c =-⎧⎨=⎩.∴抛物线的表达式为2142y x x =--+.…………………………………（2分）（2）作PH ⊥AC 于H ， ∵2142y x x =--+对称轴为直线1x =-， 又∵点C 、P 在抛物线上，CP //AO ， C （0，4），∴P （-2,4）. ∴PC =2. ………………（1分） ∵AC PH PC CO ⋅=⋅，∴PH（1分） ∵A （﹣4，0），C （0，4），∴∠CAO =45°. ∵CP //AO , ∴∠ACP =∠CAO =45°. ………………………………………………………（1分） ∵PH ⊥AC , ∴CH =PH∴AH ==.∴1tan 3PHPAC AH ∠==.…………………………………………………………………（1分）（3）∵2142y x x =--+对称轴为直线1x =-，∵以AP ，AO 为邻边的平行四边形的第四个顶点Q 恰好也在抛物线上，∴PQ ∥AO ，且PQ =AO =4．………………………………………………………………（1分） ∵P ，Q 都在抛物线上，∴P ，Q 关于直线x =﹣1对称， ………………………………（1分） ∴P 点的横坐标是﹣3， …………………………………………………………………（1分）∵当x =﹣3时，215(3)(3)422y =-⋅---+=，∴P 点的坐标是5(3,)2-.……………………………………………………………………（1分）25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4 分） 解：（1）作AM ⊥BC 于M ，联结AP ， 由题意可求得AM =3，BM =4，tan B = tan C =34.……………………………………………（1分）∵PH ⊥DC ，∴设PH =3k ，HC =4k ，CP =5k .∵BC =9，∴MP =5-5k . ∴22229(55)AP AM MP k =+=+-. ∵圆P 过点A ，且圆P 的半径= PH =3k ，∴AP =PH .∴229(55)9k k +-=，即21650340k k -+=.…………………………………………（1分） 解得12171,8k k ==. 当2178k =时，CP =1705916k =>,∴2178k =舍，∴1k =.……………………………（1分） ∴圆P 的半径长为3. …………………………………………………………………（1分）（2）∵PH ⊥DC ，∴设PH =3k ，HC =4k ，CP =5k . ∵点E 在圆P 上，∴PE=3k ，CE=8k. ∴BE=9-8k ∵△ABE ∽△CEH ，∠B =∠C ，∴AB CH BE CE =或AB CEBE CH=.……………………………（2分）即54988k k k =-或58984k k k =-. 解得18k =-（舍）或1316k =.…………………（1分）∴3916PH =.即圆P 的半径为3916. …………………………………………………（1分）∵圆B 与圆P 相交，又BE=9-8k=52，∴55928r <<. ………………………………（2分）（3）在圆P 上取点F 关于EH 对称的点G ，联结EG ，作PQ ⊥EG 于G ，HN ⊥BC 于N ，则EG =EF ，∠1=∠3. ∴∠GEP =2∠1∵PE =PH ，∴∠1=∠2. ∴∠4=2∠1. ∴∠GEP =∠4.∴△EPQ ≌△PHN . ∴EQ =PN. ………………………………………………………………（1分）∵P 为圆心，PQ ⊥EG ，∴EQ =QG ，∴EF =EG =2EQ . ∵PH =3k ，HC =4k ，tan C =34， ∴416455k NC k =⋅=，312455k NH k =⋅=. ∴169555k PN k k =-=. ∴18225EF EG EQ PN k ====.………………………………………………………（1分）EH ====.……（1分）∴55EH EF k == .………………………………………………………………（1分） 即线段EH 和EF 的比值为定值.。
2018年上海市杨浦区中考二模数学试题及答案 精品
2018年杨浦区初三模拟测试数学试卷（满分150分，考试时间100分钟）2018.5考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】1．下列实数中，无理数是（）(C)2π； (D) 2.020020002．2．下列运算正确的是（）(A) 1393=； (B) 1393=±； (C)1293=； (D)1293=±．3．关于x的方程210x mx--=根的情况是（）(A)有两个不相等的实数根； (B)有两个相等的实数根；(C)没有实数根； (D)不能确定的．4．下列关于向量的等式中，正确的是（ ）(A) AB BA =； (B) AB BC CA +=； (C) a b b a +=+； (D) ()0a a +-=．5．顺次联结等腰梯形各边中点所得到的四边形一定是（ ）(A)菱形； (B)矩形； (C)正方形； (D) 等腰梯形．6．已知半径分别是3和5的两个圆没有公共点，那么这两个圆的圆心距d 的取值范围是（ ） (A) 8d >； (B) 2d >； (C) 02d ≤<； (D) 8d >或02d ≤<．二、 填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 三、 【请将结果直接填入答题纸的相应位置】 7= ．8．计算：62a a ÷= ．9．如果关于x 的二次三项式26x x m -+在实数范围内不能分解因式，那么m 的取值范围是 ．10．不等式组23022x x ->⎧⎨-+<⎩的解集是 ．11．函数y =的定义域是 ．12．当2k >时，一次函数1y kx k =+-的图像经过 象限．13．超市为了制定某个时间段收银台开放方案，统计了这个时间段本超市收银台排队付款的等待时间，并绘制成如图所示的频数分布直方图（图中等待时间0分钟到1分钟表示大于或等于0分钟而小于1分钟，其他类同）.这个时间段内顾客等待时间不少于6分钟的人数为 ．14．下列图形：四边形，三角形，正方形，梯形，平行四边形，圆，从中任取一个图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为 ．15．如果一个正多边形的内角和等于1440°，那么这个正多边形的内角是 度． 16．如图，一人乘雪橇沿坡比1：的斜坡笔直滑下72米，那么他下降的高度为米．17．如图，矩形ABCD 中，AB =2，BC =4，点A 、B 分别在y 轴、x 轴的正半轴上，点C 在第一象限，如果∠OAB =30°，那么点C 的坐标是 ．18．如图，将矩形纸片ABC D 折叠，B 、C 两点恰好重合落在AD 边上点P 处，已知∠MPN =90°，PM =3，PN =4，那么矩第13题图等待时间/min884形纸片ABCD 的面积为 ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）化简:1021(1)(2)32x x x x -+-+--+ ，并求当1x =时的值．20．（本题满分10分）解方程：33201x x x x+--=+21．(本题满分10分)如图，⊙O 的两条弦AB 、CD 互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=2，ED=6，求⊙O的半径长。
上海市杨浦区2019年高三高考二模数学试题及答案解析(PDF版)
7 ． I 为 △ABC 内部的一点， 8
且 aIA + bIB + cIC = 0 ， 若 AI = xAB + yAC ， 则 x + y 的最大值为…………………… （ ） 5 1 5 4 （A） （B） （C） （D） 4 2 6 5 三、解答题： （本大题共有 5 题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区 域内写出必要的步骤． 17． （本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分） 已知函数 f (x) = (1 + tan x) sin 2x ． （1）求 f (x) 的定义域； （2）求函数 F(x) = f (x) − 2 在区间 (0, ) 内的零点．
， Sn 是前 n 次挖去的所有三角形的面积之和， A2 是第 2 次挖去的三个小三角形面积之和） 则 lim Sn = ………………………………………………………………………………… （
n →
）
（A）
3 4
（B）
3 3
（C）
3 2
（D）
1 2
16． 已知 △ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ， 且 cos A =
arcsin x 2x 的值域是 −1 1
−1
( x ) ，则 f ( −1) =
．
8．哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如 8 = 3 + 5 ．在不超过 13 的素数中，随机选取两个不同的数，其和为偶数的概率是 ． 9．若定义域为 ( −,0 )
( 0, + ) 的函数 f ( x ) =
18． （本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分） 上海地铁四通八达，给市民出行带来便利．已知某条线路运行时，地铁的发车时间间隔 t （单位：分钟）满足： 2 ≤ t ≤ 20 ， t N ．经测算，地铁载客量 p(t) 与发车时间间隔 t 满
杨浦区二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
杨浦区二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 若函数f （x ）的定义域为R ，则“函数f （x ）是奇函数”是“f （0）=0”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2． 在△ABC 中，C=60°，AB=，AB 边上的高为，则AC+BC 等于（ ）A ．B ．5C ．3D ．3． 两个随机变量x ，y 的取值表为若x ，y 具有线性相关关系，且y ^＝bx ＋2.6，则下列四个结论错误的是（ ）A ．x 与y 是正相关B ．当y 的估计值为8.3时，x ＝6C ．随机误差e 的均值为0D ．样本点（3，4.8）的残差为0.654． 函数2-21y x x =-，[0,3]x ∈的值域为（ ） A. B. C. D.5． A 是圆上固定的一定点，在圆上其他位置任取一点B ，连接A 、B 两点，它是一条弦，它的长度大于等于半径长度的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．6． 抛物线E ：y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，点A （0，2），若线段AF 的中点B 在抛物线上，则|BF|=（ ）A ．B ．C ．D ．7． 若，，且，则λ与μ的值分别为（ ）A ．B ．5，2C ．D ．﹣5，﹣28． 已知全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={0，1，3，5，8}，集合B={2，4，5，6，8}，则（∁U A ）∩（∁U B ）=（ ） A ．{5，8}B ．{7，9}C ．{0，1，3}D ．{2，4，6}9． 已知函数f （x ）的定义域为[a ，b]，函数y=f （x ）的图象如下图所示，则函数f （|x|）的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．10．“”是“一元二次方程x 2+x+m=0有实数解”的（ ）A ．充分非必要条件B ．充分必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件11．极坐标系中，点P ，Q 分别是曲线C 1：ρ=1与曲线C 2：ρ=2上任意两点，则|PQ|的最小值为（ ）A ．1B ．C ．D ．212．已知全集为R ，且集合}2)1(log |{2<+=x x A ，}012|{≥--=x x x B ，则)(B C A R 等于（ ） A ．)1,1(- B ．]1,1(- C ．)2,1[ D ．]2,1[【命题意图】本题考查集合的交集、补集运算，同时也考查了简单对数不等式、分式不等式的解法及数形结合的思想方法，属于容易题.二、填空题13．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是．14．设函数 则______；若，，则的大小关系是______．15．若非零向量，满足|+|=|﹣|，则与所成角的大小为 ．16．方程22x ﹣1=的解x= ．17．若在圆C ：x 2+（y ﹣a ）2=4上有且仅有两个点到原点O 距离为1，则实数a 的取值范围是 ．18．已知点A 的坐标为（﹣1，0），点B 是圆心为C 的圆（x ﹣1）2+y 2=16上一动点，线段AB 的垂直平分线交BC 与点M ，则动点M 的轨迹方程为 ．三、解答题19．（本小题满分13分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，//AB DC ，2ABC π∠=，AD =33AB DC ==．（Ⅰ）在棱PB 上确定一点E ，使得//CE 平面PAD ；（Ⅱ）若PA PD ==PB PC =，求直线PA 与平面PBC 所成角的大小．20．已知椭圆的离心率，且点在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）直线与椭圆交于、两点，且线段的垂直平分线经过点．求（为坐标原点)面积的最大值．ABCDP21．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}，B={1，3，5，7}．（1）求A∪B；（2）求（∁U A）∩B；（3）求∁U（A∩B）．22．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示；（1）求ω，φ；（2）将y=f（x）的图象向左平移θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g（x）的图象，若y=g（x）图象的一个对称点为（，0），求θ的最小值．（3）对任意的x∈[，]时，方程f（x）=m有两个不等根，求m的取值范围．23．19．已知函数f（x）=ln．24．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲1111]CP=. 如图，点C为圆O上一点，CP为圆的切线，CE为圆的直径，3（1）若PE交圆O于点F，16EF=，求CE的长；5⊥于D，求CD的长. （2）若连接OP并延长交圆O于,A B两点，CD OP杨浦区二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1． 【答案】A【解析】解：由奇函数的定义可知：若f （x ）为奇函数， 则任意x 都有f （﹣x ）=﹣f （x ），取x=0，可得f （0）=0；而仅由f （0）=0不能推得f （x ）为奇函数，比如f （x ）=x 2，显然满足f （0）=0，但f （x ）为偶函数．由充要条件的定义可得：“函数f （x ）是奇函数”是“f （0）=0””的充分不必要条件． 故选：A ．2． 【答案】D【解析】解：由题意可知三角形的面积为S===AC •BCsin60°，∴AC •BC=．由余弦定理AB 2=AC 2+BC 2﹣2AC •BCcos60°=（AC+BC ）2﹣3AC •BC ，∴（AC+BC ）2﹣3AC •BC=3，∴（AC+BC ）2=11．∴AC+BC=故选：D【点评】本题考查解三角形，三角形的面积与余弦定理的应用，整体法是解决问题的关键，属中档题．3． 【答案】【解析】选D.由数据表知A 是正确的，其样本中心为（2，4.5），代入y ^＝bx ＋2.6得b ＝0.95，即y ^＝0.95x ＋2.6，当y ^＝8.3时，则有8.3＝0.95x ＋2.6，∴x ＝6，∴B 正确．根据性质，随机误差e 的均值为0，∴C 正确．样本点（3，4.8）的残差e ^＝4.8－（0.95×3＋2.6）＝－0.65，∴D 错误，故选D. 4． 【答案】A 【解析】试题分析：函数()222112y x x x =--=--在区间[]0,1上递减，在区间[]1,3上递增，所以当x=1时，()()min 12f x f ==-，当x=3时，()()max 32f x f ==，所以值域为[]2,2-。
(完整版)2019年杨浦区高三二模数学答案.doc
杨浦区 2018 学年度第二学期高三年级模拟质量调研数学学科试卷评分标准2019.4.考生注意： 1. 答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号，并将核对后的条形码贴在指定位置上.2. 本试卷共有 21 道题，满分 150 分，考试时间 120 分钟 ．一、填空题（本大题共有12 题，满分54 分，第 ～ 6 题每题 4 分，第 ～ 12 题每题 5 分）1 7考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.13121.2.543. 34.4 5. 56.27. [1,2]8. 29. 110. 2a11.412. 155|12|2 2235二、选择题（本题共有 4 题，满分 20 分，每题5 分）每题有且只有一个正确选项，考生应 在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.C14.A15.A16.D三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤 .17 （本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）.解：（ 1）因为函数 ytan x 的定义域为 { x | x k, k Z} 2 分2所以函数 fx 的定义域为 { x | x k, k Z}6 分2（2 ） f ( x)(1 sin x ) 2sin x cosxcos x2 sin x cos x 2 sin 2 xsin 2x 1 cos 2x12 sin(2x) ，10 分4令 f (x)2，即 sin(2x)24 2由 x (0,) 得， 2x4(, 7 ) ，12 分4 4故 2x或 3 ，即 x或（舍） .14 分424 44118.（本题满分14 分，第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 7 分）解：（ 1）p(5) 1200 10 25 950 ， 3 分p(5) 的实际意义是：当地铁的发车时间隔为 5 分钟时，地铁载客量为950；7 分（2）当2 t 10时，Q 7200 60(10 t )2 3360 36060(t 36) 840 ，t t-60 12 840 120等号成立当且仅当 t 6 ；10 分当 10 t 20 时，Q 6 1200 3360 360 3840 360t t3840- 360 2410等号成立当且仅当 t 10 13 分故当发车时间间隔为 6 分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大净收益为120 元.14 分19.（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第2 小题满分8 分）解：（1）由已知，该“堑堵”的底面是等腰直角三角形，且斜边长为2，相应的高为 1棱柱的侧棱长为 2 4 分故该堑堵的体积为 1 2 1 2 2 ； 6 分2（2）V B AAC C 2V B AA C 2V A2 1 AC BC AA1 ABC1 1 1 1 3 21(AC2 BC2) 1 AB2 43 3 3等号成立的充要条件是AC BC 2 ；8 分以 C 为原点，CB, CA, CC1为坐标轴建系，则 B( 2,0,0),C1 (0,0,2), A1 (0, 2,2) ，则CB ( 2 ,0,0), CA1(0, 2,2) ，设面A1BC的法向量为n1(a,b, c) ，22a0, 令 c 1，得 n 1(0, 2,1)，故2c 0, 2b同理可得，面 A 1 BC 1 的法向量为 n 2( 2,0,1)，12 分故 n 1 与n 2 的夹角 满足： cos1 ，31由图可知，所求二面角为锐角，故所求为arccos14 分32016 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满分 7 分） .（本题满分 解：（ 1）解法一：不妨假设 C 在第一象限，令C( 2 cos , 3 sin )( 0) ，2则 S 2 2 cos 2 3sin 4 3 sin( 2 ) ，2 分 由 2(0， )，得 S(0,4 3 ] ；4 分解法二：不妨假设C x 0 , y 0 在第一象限，则x 02 y 02 11 分43有 12x 02y 02所以 x 0 y 033 分4 3S 4 x 0 y 0 4 3得 S (0,4 3 ] ； 4 分（2）解法一：直线 l 的方程为 y m k(x1) ，代入 3x 2 4 y 212 0 ，( 4k 2 3) x 2 8k (m k ) x 4(m k) 2 12 0 ，6 分64k 2 ( m k) 2 4( 4k 2 3)[ 4(m k) 2 12] 48[4k 2 ( m k) 2 3] 0 ，即 4k 2 (m k ) 2 3 0 ，7 分 又 M 为中点，故4k( m k)1 ，得 m30 ，4k 23 ， k8 分4k代入 42(m k ) 2 3 0得， (2k 1)(2k 1)(4k 23) 0 ，k而 (2k 1)(4k 2 3) 0 ，故 2k 1 0 ，即 k19 分2解法二：设 P x 1 , y 1 , Q x 2 , y 2 ，x 12y 12 1 ,x 22 y 22y 1 y 23 x 1 x 2则，341 两式相减整理得x 1 x 24 y 1y 24333 x 1 x 2即 k4 y 1y 2由题意得x 1x 2 1 , y 1 y 2 m ,2 2于是 k36 分4m中点 M12 m 21 解得 0 m3 （要说明理由， 否则扣 2 分）1, m 在椭圆内部， 则324故 k19 分2（3）当 x 00 时， EF 1 RF 2 EF 2 RF 1 ，所以，存在实数满足条件， 则1 ；10 分直线 ER 的方程为 y 0( x x 0 ) x 0 ( y y 0 ) 0 ，则 R(x 03 4,0) ，12 分4222(x 0 1) 22(11x 0 )2|EF 1 | |RF 2 |y 0414 分故| EF 2 |2| RF 1 |2(x 0 1) 2y 0212(1 x 0 )4(x 0 1)23 3x 02 (4 x 0 ) 2 (4 x 0 ) 2 (4 x 0 ) 214( x 0 1)23 2 (4 x 0 ) 2 (4 x 0 ) 2 (4 x 0 )23x 04所以，1。
杨浦区高中2018-2019学年高二下学期第二次月考试卷数学
杨浦区高中2018-2019学年高二下学期第二次月考试卷数学一、选择题1． 已知函数22()32f x x ax a =+-，其中(0,3]a ∈，()0f x ≤对任意的[]1,1x ∈-都成立，在1 和两数间插入2015个数，使之与1，构成等比数列，设插入的这2015个数的成绩为T ，则T =（ ） A ．20152B ．20153C ．201523D ．2015222．已知双曲线﹣=1的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（ ）A． B． C ．3D ．53． cos80cos130sin100sin130︒︒-︒︒等于（ ） AB ．12C ．12- D．4． △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且c=2a ，则cosB=（ ） A．B．C．D．5． 已知集合A={x|x 是平行四边形}，B={x|x 是矩形}，C={x|x 是正方形}，D={x|x 是菱形}，则（ ） A ．A ⊆B B ．C ⊆B C ．D ⊆C D ．A ⊆D 6． 在复平面内，复数1zi+所对应的点为(2,1)-，i 是虚数单位，则z =（ ） A ．3i --B ．3i -+C ．3i -D ．3i +7． 复数2(2)i z i-=（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为（ ）A ．43i -+B ．43i +C ．34i +D ．34i -【命题意图】本题考查复数的运算和复数的概念等基础知识，意在考查基本运算能力． 8． 数列1，，，，，，，，，，…的前100项的和等于（ ） A．B．C．D．9．已知双曲线的方程为﹣=1，则双曲线的离心率为（ ） A．B．C．或D．或10．已知菱形ABCD 的边长为3，∠B=60°，沿对角线AC 折成一个四面体，使得平面ACD ⊥平面ABC ，则经过这个四面体所有顶点的球的表面积为（ ） A ．15π B．C．πD ．6π11．直线l ⊂平面α，直线m ⊄平面α，命题p ：“若直线m ⊥α，则m ⊥l ”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为（ ）班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________A ．0B ．1C ．2D ．312．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个）．经过2个小时，这种细菌由1个可繁殖成（ ）A ．512个B ．256个C ．128个D ．64个二、填空题13．某种产品的加工需要 A ，B ，C ，D ，E 五道工艺，其中 A 必须在D 的前面完成（不一定相邻），其它工艺的顺序可以改变，但不能同时进行，为了节省加工时间，B 与C 必须相邻，那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有 种．（用数字作答） 14．已知正整数m 的3次幂有如下分解规律：113=；5323+=；119733++=；1917151343+++=；… 若)(3+∈N m m 的分解中最小的数为91，则m 的值为 .【命题意图】本题考查了归纳、数列等知识，问题的给出比较新颖，对逻辑推理及化归能力有较高要求，难度中等.15．函数y=a x +1（a ＞0且a ≠1）的图象必经过点 （填点的坐标）16．= ．17．函数y=lgx 的定义域为 ．18．已知向量(1,),(1,1),a x b x ==-若(2)a b a -⊥，则|2|a b -=（ ）A ．2B ．3C ．2D 【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算、数量积与模等基础知识，意在考查转化思想、方程思想、逻辑思维能力与计算能力．三、解答题19．如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形．平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，AB=3，BC=5．（Ⅰ）求证：AA 1⊥平面ABC ；（Ⅱ）求证二面角A 1﹣BC 1﹣B 1的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，并求的值．20．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知椭圆C 的极坐标方程为222123cos 4sin ρθθ=+，点12,F F为其左、右焦点，直线的参数方程为222x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（为参数，t R ∈）. （1）求直线和曲线C 的普通方程；（2）求点12,F F 到直线的距离之和.21．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=10，a 2为整数，且S n ≤S 4。
2018年上海市杨浦区中考数学二模试卷含答案
2018年上海市杨浦区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）下列各数中是无理数的是（）A ．cos60°B ．1.C ．半径为1cm 的圆周长D ．2．（4分）下列运算正确的是（）A ．m?m ＝2mB ．（m 2）3＝m 6C ．（mn ）3＝mn3D ．m 6÷m 2＝m33．（4分）若3x ＞﹣3y ，则下列不等式中一定成立的是（）A ．x+y ＞0B ．x ﹣y ＞0C ．x+y ＜0D ．x ﹣y ＜04．（4分）某校120名学生某一周用于阅读课外书籍的时间的频数分布直方图如图所示．其中阅读时间是8﹣10小时的组频数和组频率分别是（）A ．15和0.125B ．15和0.25C ．30和0.125D ．30和0.255．（4分）下列图形是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．6．（4分）如图，半径为1的圆O 1与半径为3的圆O 2相内切，如果半径为2的圆与圆O 1和圆O 2都相切，那么这样的圆的个数是（）A．1B．2C．3D．4二、填空题（本大题共12小题，每题4分，满分48分）7．（4分）a（a+b）﹣b（a+b）＝．8．（4分）当a＜0，b＞0时．化简：．9．（4分）函数y中，自变量x的取值范围是．10．（4分）如果反比例函数的图象经过点A（2，y1）与B（3，y2），那么的值等于．11．（4分）3人中有两人性别相同的概率为．12．（4分）25位同学10秒钟跳绳的成绩汇总如下表：人数1234510次数158********那么跳绳次数的中位数是．13．（4分）李明早上骑自行车上学，中途因道路施工推车步行了一段路，到学校共用时15分钟．如果他骑自行车的平均速度是每分钟250米，推车步行的平均速度是每分钟80米，他家离学校的路程是2900米，设他推车步行的时间为x分钟，那么可列出的方程是．14．（4分）四边形ABCD中，向量15．（4分）若正n边形的内角为140°，边数n为．16．（4分）如图，△ABC中，∠A＝80°，∠B＝40°，BC的垂直平分线交AB于点D，联结DC．如果AD＝2，BD＝6，那么△ADC的周长为．17．（4分）如图，正△ABC的边长为2，点A、B在半径为的圆上，点C在圆内，将正△ABC 绕点A逆时针旋转，当点C第一次落在圆上时，旋转角的正切值为．18．（4分）当关于x的一元二次方程ax 2+bx+c＝0有实数根，且其中一个根为另一个根的2倍时，称之为“倍根方程”．如果关于x的一元二次方程x2+（m﹣2）x﹣2m＝0是“倍根方程”，那么m的值为．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）先化简，再求值：，x1．20．（10分）解方程组：．21．（10分）已知：如图，在梯形ABCD中，DC∥B，AD＝BC，BD平分∠ABC，∠A＝60°．求：（1）求∠CDB的度数；（2）当AD＝2时，求对角线BD的长和梯形ABCD的面积．22．（10分）已知A、B、C三地在同一条路上，A地在B地的正南方3千米处，甲、乙两人分别从A、B两地向正北方向的目的地C匀速直行，他们分别和A地的距离s（千米）与所用的时间t（小时）的函数关系如图所示．（1）图中的线段l1是（填“甲”或“乙”）的函数图象，C地在B地的正北方向千米处；（2）谁先到达C地？并求出甲乙两人到达C地的时间差；（3）如果速度慢的人在两人相遇后立刻提速，并且比先到者晚1小时到达C地，求他提速后的速度．23．（12分）已知：如图，在?ABCD中，点G为对角线AC的中点，过点G的直线EF分别交边AB、CD于点E、F，过点G的直线MN分别交边AD、BC于点M、N，且∠AGE＝∠CGN．（1）求证：四边形ENFM为平行四边形；（2）当四边形ENFM为矩形时，求证：BE＝BN．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y x 2+bx+c 与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，直线y ＝x+4经过点A 、C ，点P 为抛物线上位于直线AC 上方的一个动点．（1）求抛物线的表达式；（2）如图（1），当CP ∥AO 时，求∠PAC 的正切值；（3）∠当以AP 、AO 为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上时，求出此时点P 的坐标．25．（14分）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ＝5，AD ＝1，BC ＝9，点P 为边BC 上一动点，作PH ⊥DC ，垂足H 在边DC 上，以点P 为圆心PH 为半径画圆，交射线PB 于点E ．（1）当圆P 过点A 时，求圆P 的半径；（2）分别联结EH 和EA ，当△ABE ∽△CEH 时，以点B 为圆心，r 为半径的圆B 与圆P 相交，试求圆B 的半径r 的取值范围；（3）当劣弧沿直线EH 翻折交BC 于点F ，试通过计算说明线段EH 和EF 的比值为定值，并求出此定值．2018年上海市杨浦区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）下列各数中是无理数的是（）A ．cos60°B ．1.C ．半径为1cm 的圆周长D ．【解答】解：A 、cos60°是有理数，错误；B 、．是有理数，错误；C 、半径为1cm 的圆周长是2π，是无理数，正确；D 、2是有理数，错误；故选：C ．2．（4分）下列运算正确的是（）A ．m?m ＝2mB ．（m 2）3＝m6C ．（mn ）3＝mn3D ．m 6÷m 2＝m3【解答】解：A 、m?m ＝m 2，故此选项错误；B 、（m 2）3＝m 6，正确；C 、（mn ）3＝m 3n 3，故此选项错误；D 、m 6÷m 2＝m 4，故此选项错误；故选：B ．3．（4分）若3x ＞﹣3y ，则下列不等式中一定成立的是（）A ．x+y ＞0B ．x ﹣y ＞0C ．x+y ＜0D ．x ﹣y ＜0【解答】解：两边都除以3，得x ＞﹣y ，两边都加y ，得x+y ＞0，故选：A ．4．（4分）某校120名学生某一周用于阅读课外书籍的时间的频数分布直方图如图所示．其中阅读时间是8﹣10小时的组频数和组频率分别是（）A．15和0.125B．15和0.25C．30和0.125D．30和0.25【解答】解：由频数分布直方图可知，阅读时间是8﹣10小时的频率＝0.125×2＝0.25，频数为120×0.25＝30，故选：D．5．（4分）下列图形是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、不是中心对称图形；B、是中心对称图形；C、不是中心对称图形；D、不是中心对称图形．故选：B．6．（4分）如图，半径为1的圆O1与半径为3的圆O2相内切，如果半径为2的圆与圆O1和圆O2都相切，那么这样的圆的个数是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：观察图象可知，满足条件的圆有三个，故选：C．二、填空题（本大题共12小题，每题4分，满分48分）7．（4分）a（a+b）﹣b（a+b）＝（a+b）（a﹣b）．【解答】解：a（a+b）﹣b（a+b）＝（a+b）（a﹣b）．8．（4分）当a＜0，b＞0时．化简：﹣a．【解答】解：∵a＜0，b＞0，∴a．故答案为：﹣a．9．（4分）函数y中，自变量x的取值范围是x≥﹣2且x≠1．【解答】解：由题意得，1﹣x≠0，x+2≥0，解得，x≥﹣2且x≠1，故答案为：x≥﹣2且x≠1．10．（4分）如果反比例函数的图象经过点A（2，y1）与B（3，y2），那么的值等于．【解答】解：∵反比例函数的图象经过点A（2，y1）与B（3，y2），∴2y1＝k，3y2＝k，∴2y1＝3y2，∴，故答案为：．11．（4分）3人中有两人性别相同的概率为1．【解答】解：性别情况有两种，3人中有两人性别必然有相同的；故其是必然事件，其概率为1．12．（4分）25位同学10秒钟跳绳的成绩汇总如下表：人数1234510次数158********那么跳绳次数的中位数是20．【解答】解：∵共有25位同学跳绳，把这些数从小到大排列，最中间的数是第13个数，∴跳绳次数的中位数是20次；故答案为：20．13．（4分）李明早上骑自行车上学，中途因道路施工推车步行了一段路，到学校共用时15分钟．如果他骑自行车的平均速度是每分钟250米，推车步行的平均速度是每分钟80米，他家离学校的路程是2900米，设他推车步行的时间为x分钟，那么可列出的方程是250（15﹣x）+80x＝2900．【解答】解：设他推车步行的时间为x分钟，则骑自行车的时间为：（15﹣x）分钟，根据题意得出：250（15﹣x）+80x＝2900．故答案为：250（15﹣x）+80x＝2900．14．（4分）四边形ABCD中，向量【解答】解：如图连接AC．∵，，∴故答案为15．（4分）若正n边形的内角为140°，边数n为9．【解答】解：∵正n边形的每个内角都是140°，∴正n边形的每个外角的度数＝180°﹣140°＝40°，∴n＝360÷40＝9．故答案为9．16．（4分）如图，△ABC中，∠A＝80°，∠B＝40°，BC的垂直平分线交AB于点D，联结DC．如果AD＝2，BD＝6，那么△ADC的周长为14．【解答】解：∵BC的垂直平分线交AB于点D，∴CD＝BD＝6，∴∠DCB＝∠B＝40°，∴∠ADC＝∠B+∠BCD＝80°，∴∠ADC＝∠A＝80°，∴AC＝CD＝6，∴△ADC的周长为：AD+DC+AC＝2+6+6＝14．故答案为：14．17．（4分）如图，正△ABC的边长为2，点A、B在半径为的圆上，点C在圆内，将正△ABC 绕点A逆时针旋转，当点C第一次落在圆上时，旋转角的正切值为．【解答】解：如图，分别连接OA、OB、OD；∵OA＝OB，AB＝2，∴△OAB是等腰直角三角形，∴∠OAB＝45°；同理可证：∠OAD＝45°，∴∠DAB＝90°；∵∠CAB＝60°，∴∠DAC＝90°﹣60°＝30°，∴旋转角的正切值是，故答案为：．18．（4分）当关于x的一元二次方程ax 2+bx+c＝0有实数根，且其中一个根为另一个根的2倍时，称之为“倍根方程”．如果关于x的一元二次方程x2+（m﹣2）x﹣2m＝0是“倍根方程”，那么m的值为﹣4或﹣1．【解答】解：∵x2+（m﹣2）x﹣2m＝0，∴（x+m）（x﹣2）＝0，∴x1＝﹣m，x2＝2，由题意﹣m＝2×2或2＝2（﹣m），∴m＝﹣4或﹣1，故答案为﹣4或﹣1．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）先化简，再求值：，x1．【解答】解：原式?当x1时，原式20．（10分）解方程组：．【解答】解：，由得：（x+y）（x﹣y）﹣2（x+y）＝0，（x+y）（x﹣y﹣2）＝0，x+y＝0或x﹣y﹣2＝0，则或，解得：，，．∴方程组的解为：，，．21．（10分）已知：如图，在梯形ABCD中，DC∥B，AD＝BC，BD平分∠ABC，∠A＝60°．求：（1）求∠CDB的度数；（2）当AD＝2时，求对角线BD的长和梯形ABCD的面积．【解答】解：（1）∵在梯形ABCD中，DC∥AB，AD＝BC，∠A＝60°，∴∠CBA＝∠A＝60°．∵BD平分∠ABC，∴∠CDB＝∠ABD∠CBA＝30°，（2）在△ABD中，∵∠ADB＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝90°．∴BD＝AD?tanA＝2tan60°＝2，过点D作DH⊥AB，垂足为H，∴DH＝AD?sinA＝2sin60°．∵∠CDB＝∠CBD∠CBD＝30°，∴DC＝BC＝AD＝2．∵AB＝2AD＝4，∴S梯形ABCD（AB+CD）DH（4+2）3．22．（10分）已知A、B、C三地在同一条路上，A地在B地的正南方3千米处，甲、乙两人分别从A、B两地向正北方向的目的地C匀速直行，他们分别和A地的距离s（千米）与所用的时间t（小时）的函数关系如图所示．（1）图中的线段l1是乙（填“甲”或“乙”）的函数图象，C地在B地的正北方向3千米处；（2）谁先到达C地？并求出甲乙两人到达C地的时间差；（3）如果速度慢的人在两人相遇后立刻提速，并且比先到者晚1小时到达C地，求他提速后的速度．【解答】解：（1）由题意可得，图中的线段l1是乙的函数图象，C地在B地的正北方向6﹣3＝3千米处，故答案为：乙、3；（2）由图象可得，甲先到达C地，甲到达C地的时间为：6÷（4÷1）＝1.5小时，乙到达C地的时间为：（6﹣3）÷[（4﹣3）÷1]＝3小时，∵3﹣1.5＝1.5，∴甲乙两人到达C地的时间差是 1.5小时；（3）由题意可得，他提速后的速度是：（6﹣4）÷（1.5+1﹣1）千米/时，答：他提速后的速度是千米/时．23．（12分）已知：如图，在?ABCD中，点G为对角线AC的中点，过点G的直线EF分别交边AB、CD于点E、F，过点G的直线MN分别交边AD、BC于点M、N，且∠AGE＝∠CGN．（1）求证：四边形ENFM为平行四边形；（2）当四边形ENFM为矩形时，求证：BE＝BN．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠MAG＝∠NCG，∵AG＝CG，∠AGM＝∠CGN，∴△AGM≌△CGN，∴GM ＝GN ，同法可证GE ＝FG ，∴四边形ENFM 是平行四边形；（2）∵四边形ENFM 是矩形，∴GE ＝GM ，∠MEN ＝90°，∵∠AGE ＝∠CGN ＝∠AGM ，∴AG ⊥EM ，AG 平分EM ，∴AE ＝AM ，∠GAE ＝∠GAM ＝∠GCN ，∴AB ＝BC ，∴∠BAC ＝∠BCA ，∵EM ⊥EN ，∴EN ∥AC ，∴∠BEN ＝∠BAC ，∠BNE ＝∠BCA ，∴∠BEN ＝∠BNE ，∴BE ＝BN ．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y x 2+bx+c 与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，直线y ＝x+4经过点A 、C ，点P 为抛物线上位于直线AC 上方的一个动点．（1）求抛物线的表达式；（2）如图（1），当CP ∥AO 时，求∠PAC 的正切值；（3）∠当以AP 、AO 为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上时，求出此时点P 的坐标．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝x+4＝4，则C（0，4），当y＝0时，x+4＝0，解得x＝﹣4，则A（﹣4，0），把A（﹣4，0），C（0，4）代入y x2+bx+c得，解得，∴抛物线解析式为y x2﹣x+4；（2）抛物线的对称轴为直线x1，而PC∥OA，∴点P与点C关于直线x＝﹣1对称，∴P（﹣2，4），PC＝2，作PH⊥AC于H，如图1，∵OA＝OC＝4，∴△OAC为等腰直角三角形，∴∠OAC＝45°，AC＝4，∵PC∥OA，∴∠PCA＝∠OAC＝45°，∴△PCH为等腰直角三角形，∴PH＝CH2，∴AH＝AC﹣CH＝43，在Rt△P AH中，tan∠P AH，即∠PAC的正切值为；（3）以AP、AO为邻边的平行四边形第四个顶点为点Q，如图2，∵四边形APQO为平行四边形，∴PQ∥OA，PQ＝OA＝4，设P（t，t2﹣t+4），则Q（t+4，t2﹣t+4），把（t+4，t2﹣t+4）代入y x2﹣x+4得（t+4）2﹣（t+4）+4t2﹣t+4，解得t＝﹣3，∴此时P点坐标为（﹣3，）．25．（14分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝5，AD＝1，BC＝9，点P为边BC上一动点，作PH⊥DC，垂足H在边DC上，以点P为圆心PH为半径画圆，交射线PB于点E．（1）当圆P过点A时，求圆P的半径；（2）分别联结EH和EA，当△ABE∽△CEH时，以点B为圆心，r为半径的圆B与圆P相交，试求圆B的半径r的取值范围；（3）当劣弧沿直线EH翻折交BC于点F，试通过计算说明线段EH和EF的比值为定值，并求出此定值．【解答】解：（1）作AM⊥BC于点M，连接AP，∵梯形ABCD中，AD∥BC，且AB＝DC＝5、AD＝1、BC＝9，∴BM＝4、AM＝3，∴tanB＝tanC，∵PH⊥DC，∴设PH＝3k，则CH＝4k、PC＝5k，∵BC＝9，∴PM＝BC﹣BM﹣PC＝5﹣5k，∴AP2＝AM2+PM2＝9+（5﹣5k）2，∵PA＝PH，∴9+（5﹣5k）2＝9k2，解得：k＝1或k，当k时，CP＝5k＞9，舍去；∴k＝1，则圆P的半径为3．（2）如图2，由（1）知，PH＝PE＝3k、CH＝4k、PC＝5k，∵BC＝9，∴BE＝BC﹣PE﹣PC＝9﹣8k，∵四边形ABCD是梯形，且AB＝DC，∴∠ABC＝∠DCB，∵△ABE∽△CEH，∴∠BAE＝∠ECH，∠ABE＝∠CEH，∴∠ECH＝∠CEH，∴HC＝HE＝4k，又，即，解得：k（k＝0舍去），则PH，即圆P的半径为，∵圆B与圆P相交，且BE＝9﹣8k，∴＜r＜；（3）在圆P上取点F关于EH的对称点G，连接EG，作PQ⊥EG于G，HN⊥BC于N，则EG＝EF、∠1＝∠3、EQ＝QG、EF＝EG＝2EQ，∴∠GEP＝2∠1，∵PE＝PH，∴∠1＝∠2，∴∠4＝∠1+∠2＝2∠1，∴∠GEP＝∠4，∴△EPQ≌△PHN，∴EQ＝PN，由（1）知PH＝3k、HC＝4k、PC＝5k，∴sin C、cosC，∴NC k、HN k，∴PN＝PC﹣NC k，∴EF＝EG＝2EQ＝2PN k，EH k，∴，故线段EH和EF的比值为定值．。
杨浦区二中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析
杨浦区二中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 已知集合A ，B ，C 中，A ⊆B ，A ⊆C ，若B={0，1，2，3}，C={0，2，4}，则A 的子集最多有（ ） A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．8个2． 已知点A （0，1），B （3，2），C （2，0），若AD →＝2DB →，则|CD →|为（ ）A ．1 B.43C.53D ．2 3． 已知函数211,[0,)22()13,[,1]2x x f x x x ⎧+∈⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩，若存在常数使得方程()f x t =有两个不等的实根12,x x（12x x <），那么12()x f x ∙的取值范围为（ ）A ．3[,1)4 B．1[,86 C ．31[,)162 D ．3[,3)84． P是双曲线=1（a ＞0，b ＞0）右支上一点，F 1、F 2分别是左、右焦点，且焦距为2c ，则△PF 1F 2的内切圆圆心的横坐标为（ ）A ．aB ．bC ．cD ．a+b ﹣c5． 已知圆C ：x 2+y 2=4，若点P （x 0，y 0）在圆C 外，则直线l ：x 0x+y 0y=4与圆C 的位置关系为（ ） A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．不能确定6． 已知双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1作直线l ⊥x 轴交双曲线C的渐近线于点A ，B 若以AB 为直径的圆恰过点F 2，则该双曲线的离心率为（ ）A． B． C ．2 D．7． 设曲线2()1f x x =+在点(,())x f x 处的切线的斜率为()g x ，则函数()cos y g x x =的部分图象 可以为（ ）A ．B ． C. D ． 8． 抛物线x=﹣4y 2的准线方程为（ ）A ．y=1B ．y=C ．x=1D ．x=9． 在数列{}n a 中，115a =，*1332()n n a a n N +=-∈，则该数列中相邻两项的乘积为负数的项是（ ）A ．21a 和22aB ．22a 和23aC ．23a 和24aD ．24a 和25a 10．把“二进制”数101101（2）化为“八进制”数是（ ） A ．40（8）B ．45（8）C ．50（8）D ．55（8）11．已知某市两次数学测试的成绩ξ1和ξ2分别服从正态分布ξ1：N 1（90，86）和ξ2：N 2（93，79），则以下结论正确的是（ ）A ．第一次测试的平均分比第二次测试的平均分要高，也比第二次成绩稳定B ．第一次测试的平均分比第二次测试的平均分要高，但不如第二次成绩稳定C ．第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，也比第一次成绩稳定D ．第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，但不如第一次成绩稳定12．设函数f （x ）=，则f （1）=（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题13．函数y=lgx 的定义域为 ．14．定义：[x]（x ∈R ）表示不超过x 的最大整数．例如[1.5]=1，[﹣0.5]=﹣1．给出下列结论： ①函数y=[sinx]是奇函数；②函数y=[sinx]是周期为2π的周期函数； ③函数y=[sinx]﹣cosx 不存在零点；④函数y=[sinx]+[cosx]的值域是{﹣2，﹣1，0，1}． 其中正确的是 ．（填上所有正确命题的编号）15．如图所示，在三棱锥C ﹣ABD 中，E 、F 分别是AC 和BD 的中点，若CD=2AB=4，EF ⊥AB ，则EF 与CD 所成的角是 ．16．若函数()ln f x a x x =-在区间(1,2)上单调递增，则实数的取值范围是__________.17．已知各项都不相等的等差数列{}n a ，满足223n n a a =-，且26121a a a =∙，则数列12n n S -⎧⎫⎨⎬⎩⎭项中 的最大值为_________.18．已知椭圆+=1（a ＞b ＞0）上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其左焦点，若AF ⊥BF ，设∠ABF=θ，且θ∈[，]，则该椭圆离心率e 的取值范围为 ．三、解答题19．（本小题满分12分）已知函数1()ln (42)()f x m x m x m x=+-+∈R ． （1）当2m >时，求函数()f x 的单调区间； （2）设[],1,3t s ∈，不等式|()()|(ln3)(2)2ln3f t f s a m -<+--对任意的()4,6m ∈恒成立，求实数a 的取值范围．【命题意图】本题考查函数单调性与导数的关系、不等式的性质与解法等基础知识，意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、分析与解决问题的能力、运算求解能力．20．（1）直线l 的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a ∈R ）．若l 在两坐标轴上的截距相等，求a 的值； （2）已知A （﹣2，4），B （4，0），且AB 是圆C 的直径，求圆C 的标准方程．21．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲1111]如图，点C 为圆O 上一点，CP 为圆的切线，CE 为圆的直径，3CP =.（1）若PE 交圆O 于点F ，165EF =，求CE 的长； （2）若连接OP 并延长交圆O 于,A B 两点，CD OP ⊥于D ，求CD 的长.22．已知函数()()xf x x k e =-（k R ∈）． （1）求()f x 的单调区间和极值； （2）求()f x 在[]1,2x ∈上的最小值．（3）设()()'()g x f x f x =+，若对35,22k ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦及[]0,1x ∀∈有()g x λ≥恒成立，求实数λ的取值范围．23．【徐州市第三中学2017～2018学年度高三第一学期月考】为了制作广告牌，需在如图所示的铁片上切割出一个直角梯形，已知铁片由两部分组成，半径为1的半圆O 及等腰直角三角形EFH ，其中FE FH ⊥，为裁剪出面积尽可能大的梯形铁片ABCD （不计损耗），将点,A B 放在弧EF 上，点,C D 放在斜边EH 上，且////AD BC HF ，设AOE θ∠=.（1）求梯形铁片ABCD 的面积S 关于θ的函数关系式；（2）试确定θ的值，使得梯形铁片ABCD 的面积S 最大，并求出最大值.24．如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为4的正方形，EF ∥AD ， 平面ADEF ⊥平面ABCD ，且BC=2EF ，AE=AF ，点G 是EF 的中点． （Ⅰ）证明：AG ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若直线BF 与平面ACE 所成角的正弦值为，求AG 的长．杨浦区二中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题1． 【答案】B【解析】解：因为B={0，1，2，3}，C={0，2，4}，且A ⊆B ，A ⊆C ； ∴A ⊆B ∩C={0，2}∴集合A 可能为{0，2}，即最多有2个元素， 故最多有4个子集． 故选：B ．2． 【答案】【解析】解析：选C.设D 点的坐标为D （x ，y ）， ∵A （0，1），B （3，2），AD →＝2DB →，∴（x ，y －1）＝2（3－x ，2－y ）＝（6－2x ，4－2y ），∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6－2x ，y －1＝4－2y 即x ＝2，y ＝53，∴CD →＝（2，53）－（2，0）＝（0，53），∴|CD →|＝02＋（53）2＝53，故选C.3． 【答案】C 【解析】试题分析：由图可知存在常数，使得方程()f x t =有两上不等的实根，则314t <<，由1324x +=，可得14x =，由213x =，可得x =（负舍），即有12111,422x x ≤<≤≤221143x ≤≤，则()212123133,162x f x x x ⎡⎫=⋅∈⎪⎢⎣⎭.故本题答案选C.考点：数形结合．【规律点睛】本题主要考查函数的图象与性质,及数形结合的数学思想方法.方程解的个数问题一般转化为两个常见的函数图象的交点个数问题来解决.要能熟练掌握几种基本函数图象,如二次函数,反比例函数,指数函数,对数函数,幂函数等.掌握平移变换,伸缩变换,对称变换,翻折变换,周期变换等常用的方法技巧来快速处理图象.4．【答案】A【解析】解：如图设切点分别为M，N，Q，则△PF1F2的内切圆的圆心的横坐标与Q横坐标相同．由双曲线的定义，PF1﹣PF2=2a．由圆的切线性质PF1﹣PF2=F I M﹣F2N=F1Q﹣F2Q=2a，∵F1Q+F2Q=F1F2=2c，∴F2Q=c﹣a，OQ=a，Q横坐标为a．故选A．【点评】本题巧妙地借助于圆的切线的性质，强调了双曲线的定义．5．【答案】C【解析】解：由点P（x0，y0）在圆C：x2+y2=4外，可得x02+y02 ＞4，求得圆心C （0，0）到直线l ：x 0x+y 0y=4的距离d=＜=2，故直线和圆C 相交， 故选：C ．【点评】本题主要考查点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．6． 【答案】D【解析】解：设F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），则l 的方程为x=﹣c ，双曲线的渐近线方程为y=±x ，所以A （﹣c ， c ）B （﹣c ，﹣ c ） ∵AB 为直径的圆恰过点F 2 ∴F 1是这个圆的圆心 ∴AF 1=F 1F 2=2c ∴c=2c ，解得b=2a∴离心率为==故选D ．【点评】本题考查了双曲线的性质，如焦点坐标、离心率公式．7． 【答案】A 【解析】试题分析：()()()()()2,cos 2cos ,,cos cos g x x g x x x x g x g x x x ==-=--=，()cos y g x x ∴=为奇函数，排除B ，D ，令0.1x =时0y >，故选A. 1 考点：1、函数的图象及性质；2、选择题“特殊值”法. 8． 【答案】D【解析】解：抛物线x=﹣4y 2即为y 2=﹣x ，可得准线方程为x=．故选：D ．9． 【答案】C 【解析】考点：等差数列的通项公式．10．【答案】D【解析】解：∵101101（2）=1×25+0+1×23+1×22+0+1×20=45（10）．再利用“除8取余法”可得：45（10）=55（8）．故答案选D．11．【答案】C【解析】解：∵某市两次数学测试的成绩ξ1和ξ2分别服从正态分布ξ1：N1（90，86）和ξ2：N2（93，79），∴μ1=90，▱1=86，μ2=93，▱2=79，∴第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，也比第一次成绩稳定，故选：C．【点评】本题考查正态分布曲线的特点，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．12．【答案】D【解析】解：∵f（x）=，f（1）=f[f（7）]=f（5）=3．故选：D．二、填空题13．【答案】{x|x＞0}．【解析】解：对数函数y=lgx的定义域为：{x|x＞0}．故答案为：{x|x＞0}．【点评】本题考查基本函数的定义域的求法．14．【答案】 ②③④【解析】解：①函数y=[sinx]是非奇非偶函数；②函数y=[sinx]的周期与y=sinx 的周期相同，故是周期为2π的周期函数； ③函数y=[sinx]的取值是﹣1，0，1，故y=[sinx]﹣cosx 不存在零点；④函数数y=[sinx]、y=[cosx]的取值是﹣1，0，1，故y=[sinx]+[cosx]的值域是{﹣2，﹣1，0，1}． 故答案为：②③④．【点评】本题考查命题的真假判断，考查新定义，正确理解新定义是关键．15．【答案】 30° ．【解析】解：取AD 的中点G ，连接EG ，GF 则EG DC=2，GFAB=1，故∠GEF 即为EF 与CD 所成的角． 又∵FE ⊥AB ∴FE ⊥GF ∴在Rt △EFG 中EG=2，GF=1故∠GEF=30°．故答案为：30°【点评】此题的关键是作出AD 的中点然后利用题中的条件在特殊三角形中求解，如果一味的想利用余弦定理求解就出力不讨好了．16．【答案】2a ≥ 【解析】试题分析：因为()ln f x a x x =-在区间(1,2)上单调递增，所以(1,2)x ∈时，()'10af x x=-≥恒成立，即a x ≥恒成立，可得2a ≥，故答案为2a ≥.1考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式恒成立问题. 17．【答案】 【解析】考点：1.等差数列的通项公式；2.等差数列的前项和．【方法点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和前项和公式.等差数列的通项公式及前项和公式,共涉及1,,,,n na a d n S五个量,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题.数列的通项公式和前项和公式在解题中起到变量代换作用,而1,a d是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法.18．【答案】[，﹣1]．【解析】解：设点A（acosα，bsinα），则B（﹣acosα，﹣bsinα）（0≤α≤）；F（﹣c，0）；∵AF⊥BF，∴=0，即（﹣c﹣acosα，﹣bsinα）（﹣c+acosα，bsinα）=0，故c2﹣a2cos2α﹣b2sin2α=0，cos2α==2﹣，故cosα=，而|AF|=，|AB|==2c，而sinθ===，∵θ∈[，]，∴sin θ∈[，]，∴≤≤，∴≤+≤，∴，即，解得，≤e ≤﹣1；故答案为：[，﹣1]．【点评】本题考查了圆锥曲线与直线的位置关系的应用及平面向量的应用，同时考查了三角函数的应用．三、解答题19．【答案】【解析】（1）函数定义域为(0,)+∞令()0f x '=，得112x =2分 当4m =时，()0f x '≤单调递减； …………3分当24m <<时，由()0f x '>，得所以函数()f x 当4m >时，由()0f x '>，得所以函数()f x综上所述，4m =时，()f x；当4m >时，函数()f x 2m -2请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分． 20．【答案】【解析】解：（1）当a=﹣1时，直线化为y+3=0，不符合条件，应舍去；当a ≠﹣1时，分别令x=0，y=0，解得与坐标轴的交点（0，a ﹣2），（，0）．∵直线l 在两坐标轴上的截距相等，∴a ﹣2=，解得a=2或a=0；（2）∵A （﹣2，4），B （4，0）， ∴线段AB 的中点C 坐标为（1，2）．又∵|AB|=，∴所求圆的半径r=|AB|=．因此，以线段AB 为直径的圆C 的标准方程为（x ﹣1）2+（y ﹣2）2=13．21．【答案】（1）4CE =；（2）13CD =.【解析】试题分析：（1）由切线的性质可知ECP ∆∽EFC ∆，由相似三角形性质知::EF CE CE EP =,可得4CE =；（2）由切割线定理可得2(4)CP BP BP =+，求出,BP OP ,再由CD OP OC CP ⋅=⋅,求出CD 的值. 1 试题解析：（1）因为CP 是圆O 的切线，CE 是圆O 的直径，所以CP CE ⊥，090CFE ∠=，所以ECP ∆∽EFC ∆,设CE x =，EP =ECP ∆∽EFC ∆，所以::EF CE CE EP =，所以2x =，解得4x =.考点：1.圆的切线的性质；2.切割线定理；3.相似三角形性质.22．【答案】（1）()f x 的单调递增区间为(1,)k -+∞，单调递减区间为(,1)k -∞-，1()(1)k f x f k e -=-=-极小值，无极大值；（2）2k ≤时()(1)(1)f x f k e ==-最小值，23k <<时1()(1)k f x f k e -=-=-最小值，3k ≥时，2()(2)(2)f x f k e ==-最小值；（3）2e λ≤-.【解析】（2）当11k -≤，即2k ≤时，()f x 在[]1,2上递增，∴()(1)(1)f x f k e ==-最小值；当12k -≥，即3k ≥时，()f x 在[]1,2上递减，∴2()(2)(2)f x f k e ==-最小值； 当112k <-<，即23k <<时，()f x 在[]1,1k -上递减，在[]1,2k -上递增， ∴1()(1)k f x f k e -=-=-最小值．（3）()(221)xg x x k e =-+，∴'()(223)xg x x k e =-+，由'()0g x =，得32x k =-， 当32x k <-时，'()0g x <； 当32x k >-时，'()0g x >，∴()g x 在3(,)2k -∞-上递减，在3(,)2k -+∞递增，故323()()22k g x g k e -=-=-最小值，又∵35,22k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴[]30,12k -∈，∴当[]0,1x ∈时，323()()22k g x g k e -=-=-最小值，∴()g x λ≥对[]0,1x ∀∈恒成立等价于32()2k g x e λ-=-≥最小值；又32()2k g x e λ-=-≥最小值对35,22k ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦恒成立．∴32min (2)k ek --≥，故2e λ≤-．1考点：1、利用导数研究函数的单调性进而求函数的最值；2、不等式恒成立问题及分类讨论思想的应用. 【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性进而求函数的最值、不等式恒成立问题及分类讨论思想的应用.属于难题. 数学中常见的思想方法有：函数与方程的思想、分类讨论思想、转化与划归思想、数形结合思想、建模思想等等，分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.本题（2）就是根据这种思想讨论函数单调区间的.23．【答案】（1）()21sin cos S θθ=+，其中02πθ<<.（2）6πθ=时，max S =【解析】试题分析：（1）求梯形铁片ABCD 的面积S 关键是用θ表示上下底及高，先由图形得AOE BOF θ∠=∠=，这样可得高2cos AB θ=，再根据等腰直角三角形性质得()1cos sin AD θθ=-+，()1cos sin BC θθ=++最后根据梯形面积公式得()2AD BC ABS +⋅=()21sin cos θθ=+，交代定义域02πθ<<．（2）利用导数求函数最值：先求导数()'f θ()()22sin 1sin 1θθ=--+，再求导函数零点6πθ=，列表分析函数单调性变化规律，确定函数最值试题解析：（1）连接OB ，根据对称性可得AOE BOF θ∠=∠=且1OA OB ==， 所以1cos sin AD θθ=-+，1cos sin BC θθ=++，2cos AB θ=， 所以()2AD BC ABS +⋅=()21sin cos θθ=+，其中02πθ<<．考点：利用导数求函数最值【方法点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用f′（x ）＞0或f′（x ）＜0求单调区间；第二步：解f′（x ）＝0得两个根x 1、x 2；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小． 24．【答案】【解析】（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：因为AE=AF ，点G 是EF 的中点， 所以AG ⊥EF ．又因为EF ∥AD ，所以AG ⊥AD ．…因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF ∩平面ABCD=AD ， AG ⊂平面ADEF ， 所以AG ⊥平面ABCD ．…（Ⅱ）解：因为AG ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，所以AG 、AD 、AB 两两垂直． 以A 为原点，以AB ，AD ，AG 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系则A（0，0，0），B（4，0，0），C（4，4，0），设AG=t（t＞0），则E（0，1，t），F（0，﹣1，t），所以=（﹣4，﹣1，t），=（4，4，0），=（0，1，t）．…设平面ACE的法向量为=（x，y，z），由=0，=0，得，令z=1，得=（t，﹣t，1）．因为BF与平面ACE所成角的正弦值为，所以|cos＜＞|==，…即=，解得t2=1或．所以AG=1或AG=．…【点评】本题考查线面垂直的证明，考查满足条件的线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．。
2019年杨浦区高三二模数学答案
杨浦区2018学年度第二学期高三年级模拟质量调研数学学科试卷评分标准 2019.4.考生注意： 1. 答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号，并将核对后的条形码贴在指定位置上.2. 本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1.π 2.⎪⎪⎭⎫⎝⎛--452131 3. 3 4. 4 5. 5 6. 2- 7. ]22,221[ππ+-8. 32 9. 1- 10. |1|22λλ-a 11. 5412. 155 二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.C 14.A 15.A 16.D三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 解：（1）因为函数tan y x =的定义域为},2|{Z k k x x ∈+≠ππ ……2分所以函数()f x 的定义域为},2|{Z k k x x ∈+≠ππ ……6分（2）x x xxx f cos sin 2)cos sin 1()(⋅+= x x x 2sin 2cos sin 2+= x x 2cos 12sin -+= )42sin(21π-+=x ， ……10分令2)(=x f ，即22)42sin(=-πx 由),0(π∈x 得，)47,4(42πππ-∈-x ， ……12分 故442ππ=-x 或π43，即4π=x 或2π（舍）. ……14分18.（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）解：（1）95025101200)5(=⨯-=p ， ……3分)5(p 的实际意义是：当地铁的发车时间隔为5分钟时，地铁载客量为950； ……7分（2）当102<≤t 时，840)36(603603360)10(6072002++-=----=tt t t Q ，1208401260=+⨯≤-等号成立当且仅当6=t ； ……10分 当2010≤≤t 时，3603840360336012006-=--⨯=tt Q24360103840=≤- 等号成立当且仅当10=t ……13分 故当发车时间间隔为6分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大净收益为120元. ……14分19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 解：（1）由已知，该“堑堵”的底面是等腰直角三角形，且斜边长为2，相应的高为1 棱柱的侧棱长为2 ……4分 故该堑堵的体积为221221=⨯⨯⨯； ……6分（2）12132221111AA BC AC V V V ABC A C AA B C C AA B ⨯⨯⨯===--- 3431)(31222==+≤AB BC AC等号成立的充要条件是2==BC AC ； ……8分以C 为原点，1,,CC CA CB 为坐标轴建系， 则)2,2,0(),2,0,0(),0,0,2(11A C B ， 则)2,2,0(),0,0,2(1==CA CB ，设面BC A 1的法向量为),,(1c b a n =，故⎪⎩⎪⎨⎧=+=,022,02c b a 令1=c ，得)1,2,0(1-=n ， 同理可得，面11BC A 的法向量为)1,0,2(2=n ， ……12分 故1n 与2n 的夹角θ满足：31cos =θ， 由图可知，所求二面角为锐角，故所求为31arccos ……14分20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分） 解：（1）解法一：不妨假设C 在第一象限，令)20)(sin 3,cos 2(πααα<<C ，则)2sin(34sin 32cos 22απααπ=⋅⋅=S ，……2分 由)0(2πα，∈，得]34,0(π∈S ； ……4分解法二：不妨假设()00,C x y 在第一象限，则2200143x y += ……1分有1≥ 所以00x y ≤3分004S x y π=≤ 得]34,0(π∈S ； ……4分（2）解法一：直线l 的方程为)1(-=-x k m y ，代入0124322=-+y x ，012)(4)(8)34(222=--+-++k m x k m k x k ，……6分 0]3)(4[48]12)(4)[34(4)(64222222>+--=--+--=∆k m k k m k k m k ，即03)(422>+--k m k ， ……7分 又M 为中点，故134)(42=+--k k m k ，得km 43-=，0<k ， ……8分代入03)(422>+--k m k 得，0)34)(12)(12(2>++-k k k ， 而0)34)(12(2<+-k k ，故012<+k ，即21-<k ……9分 解法二：设()()1122,,,P x y Q x y ，则，222211221,14343x y x y +=+=两式相减整理得1212121234y y x x x x y y -+=--+即121234x x k y y +=-+由题意得121,2x x +=12,2y y m += 于是34k m=- ……6分 中点()1,M m 在椭圆内部，则221143m +< 解得302m <<（要说明理由，否则扣2分） 故12k <-……9分 （3）当00x =时， 1221EF RF EF RF ⋅=⋅，所以，存在实数满足条件，则1λ=； ……10分 直线ER 的方程为0)(4)(30000=---y y xx x y ， 则)0,4(x R ， ……12分 故20202020*********2212)411()411()1()1(||||||||x x y x y x RF EF RF EF +-⨯+-++=⋅⋅=λ ……14分 1)4()4()4()4()4()4(43)1(433)1(2020202020202020220=+-⨯-+=+-⨯-+--++=x x x x x x x x x x 所以，1=λ。
2018年上海市杨浦区初三数学第二次模拟试卷（解析版）
上海市杨浦区2018届中考二模数学试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1. 下列各数中是无理数的是（）A. cos60°B.C. 半径为1cm的圆周长D.【答案】C【解析】分析：根据“无理数”的定义进行判断即可.详解：A选项中，因为，所以A选项中的数是有理数，不能选A；B选项中，因为是无限循环小数，属于有理数，所以不能选B；C选项中，因为半径为1cm的圆的周长是cm，是个无理数，所以可以选C；D选项中，因为，2是有理数，所以不能选D.故选.C.点睛：正确理解无理数的定义：“无限不循环小数叫做无理数”是解答本题的关键.2. 下列运算正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据“同底数幂的乘法和除法法则、幂的乘方的运算法则和积的乘方的运算法则”进行计算判断即可.详解：A选项中，因为，所以A中计算错误；B选项中，因为，所以B中计算正确；C选项中，因为，所以C中计算错误；D选项中，因为，所以D中计算错误.故选B.点睛：本题考查的是整数指数幂的相关运算性质，熟记相关运算性质并能正确用于计算是解答本题的关键.3. 若3x＞﹣3y，则下列不等式中一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】两边都除以3，得x＞﹣y，两边都加y，得：x+y＞0，故选A．4. 某校120名学生某一周用于阅读课外书籍的时间的频率分布直方图如图所示.其中阅读时间是8-10小时的组频数和组频率分别是（）A. 15和0.125B. 15和0.25C. 30和0.125D. 30和0.25【答案】D【解析】分析：根据频率分布直方图中的数据信息和被调查学生总数为120进行计算即可作出判断.详解：由频率分布直方图可知：一周内用于阅读的时间在8-10小时这组的：频率：组距=0.125，而组距为2，∴一周内用于阅读的时间在8-10小时这组的频率=0.125×2=0.25，又∵被调查学生总数为120人，∴一周内用于阅读的时间在8-10小时这组的频数=120×0.25=30.综上所述，选项D中数据正确.故选D.点睛：本题解题的关键有两点：（1）要看清，纵轴上的数据是“频率：组距”的值，而不是频率；（2）要弄清各自的频数、频率和总数之间的关系.5. 下列图形是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据中心对称图形的定义进行判断即可.详解：A选项中的图形不是中心对称图形，所以不能选A；B选项中的图形是中心对称图形，所以可以选B；C选项中的图形不是中心对称图形，所以不能选C；D选项中的图形不是中心对称图形，所以不能选D.故选B.点睛：本题解题的关键是正确理解中心对称图形的定义：“把一个图形绕某个点旋转180°后，能够与自身完全重合，则这个图形叫做中心对称图形”.6. 如图，半径为1的圆O1与半径为3的圆O2相内切，如果半径为2的圆与圆O1和圆O2都相切，那么这样的圆的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】分析：过O1、O2作直线，以O1O2上一点为圆心作一半径为2的圆，将这个圆从左侧与圆O1、圆O2同时外切的位置（即圆O3）开始向右平移，观察图形，并结合三个圆的半径进行分析即可得到符合要求的圆的个数. 详解：如下图，（1）当半径为2的圆同时和圆O1、圆O2外切时，该圆在圆O3的位置；（2）当半径为2的圆和圆O1、圆O2都内切时，该圆在圆O4的位置；（3）当半径为2的圆和圆O1外切，而和圆O2内切时，该圆在圆O5的位置；综上所述，符合要求的半径为2的圆共有3个.故选C.点睛：保持圆O1、圆O2的位置不动，以直线O1O2上一个点为圆心作一个半径为2的圆，观察其从左至右平移过程中与圆O1、圆O2的位置关系，结合三个圆的半径大小即可得到本题所求答案.二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7. 计算：=_____________.【答案】【解析】分析：按单项式乘以多项式的法则将括号去掉，在合并同类项即可.详解：原式=.故答案为：.点睛：熟记整式乘法和加减法的相关运算法则是正确解答这类题的关键.8. 当时，化简：=____________.【答案】【解析】分析：按照二次根式的相关运算法则和性质进行计算即可.详解：∵，∴.故答案为：.学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...9. 函数中，自变量x的取值范围是____________.【答案】且【解析】分析：根据使分式和二次根式有意义的要求列出关于x的不等式组，解不等式组即可求得x的取值范围.详解：∵有意义，∴，解得：且.故答案为：且.点睛：本题解题的关键是需注意：要使函数有意义，的取值需同时满足两个条件：和，二者缺一不可.10. 如果反比例函数的图象经过点A（2，y1）与B（3，y2），那么的值等于_____________.【答案】【解析】分析：由已知条件易得2y1=k，3y2=k，由此可得2y1=3y2，变形即可求得的值.详解：∵反比例函数的图象经过点A（2，y1）与B（3，y2），∴2y1=k，3y2=k，∴2y1=3y2，∴.故答案为：.点睛：明白：若点A和点B在同一个反比例函数的图象上，则是解决本题的关键. 11. 三人中有两人性别相同的概率是_____________.【答案】1【解析】分析：由题意和生活实际可知：“三个人中，至少有两个人的性别是相同的”即可得到所求概率为1.详解：∵三人的性别存在以下可能：（1）三人都是“男性”；（2）三人都是“女性”；（3）三人的性别是“2男1女”；（4）三人的性别是“2女1男”，∴三人中至少有两个人的性别是相同的，∴P（三人中有二人性别相同）=1.点睛：列出本题中所有的等可能结果是解题的关键.12. 25位同学10秒钟跳绳的成绩汇总如下表：那么跳绳次数的中位数是_____________.【答案】20【解析】分析：根据中位数的定义进行计算即可得到这组数据的中位数.详解：由中位数的定义可知，这次跳绳次数的中位数是将这25位同学的跳绳次数按从小到大排列后的第12个和13个数据的平均数，∵由表格中的数据分析可知，这组数据按从小到大排列后的第12个和第13个数据都是20，∴这组跳绳次数的中位数是20.故答案为：20.点睛：本题考查的是怎样确定一组数据的中位数，解题的关键是弄清“中位数”的定义：“把一组数据按从小到大的顺序排列后，若数据组中共有奇数个数据，则最中间一个数据是该组数据的中位数；若数据组中数据的个数为偶数个，则最中间两个数据的平均数是这组数据的中位数”.【答案】【解析】分析：根据题意把李明步行和骑车各自所走路程表达出来，再结合步行和骑车所走总里程为2900米，列出方程即可.详解：设他推车步行的时间为x分钟，根据题意可得：80x+250(15-x)=2900.故答案为：80x+250(15-x)=2900.点睛：弄清本题中的等量关系：李明推车步行的路程+李明骑车行驶的路程=2900是解题的关键.14. 四边形ABCD中，向量_____________.【答案】【解析】分析：根据“向量运算”的三角形法则进行计算即可.详解：如下图所示，由向量运算的三角形法则可得：==.故答案为：.点睛：理解向量运算的三角形法则是正确解答本题的关键.15. 若正n边形的内角为，则边数n为_____________.【答案】9【解析】分析：根据正多边形的性质：正多边形的每个内角都相等，结合多边形内角和定理列出方程进行解答即可.详解：由题意可得：140n=180(n-2)，解得：n=9.故答案为：9.点睛：本题解题的关键是要明白以下两点：（1）正多边形的每个内角相等；（2）n边形的内角和=180(n-2).16. 如图，△ABC中，∠A=80°，∠B=40°，BC的垂直平分线交AB于点D，联结DC如果AD=2，BD=6，那么△ADC的周长为_____________.【答案】14【解析】试题分析：由BC的垂直平分线交AB于点D，可得CD=BD=6，又由等边对等角，可求得∠BCD 的度数，继而求得∠ADC的度数，则可判定△ACD是等腰三角形，继而求得答案．试题解析：∵BC的垂直平分线交AB于点D，∴CD=BD=6，∴∠DCB=∠B=40°，∴∠ADC=∠B+∠BCD=80°，∴∠ADC=∠A=80°，∴AC=CD=6，∴△ADC的周长为：AD+DC+AC=2+6+6=14．考点：1.线段垂直平分线的性质；2.等腰三角形的判定与性质．17. 如图，正△ABC的边长为2，点A、B在半径为的圆上，点C在圆内，将正△ABC绕点A逆时针旋转，当点C第一次落在圆上时，旋转角的正切值是_______________.【答案】【解析】分析：如下图，连接OA、OB、OC′，由已知条件易证△AOB和△AOC′都是等腰直角三角形，从而可得∠BAC′=90°，结合∠BAC=60°可得∠CAC′=30°，由此可得旋转角为30°，从而可得旋转角的正切值为. 详解：如下图，连接OA、OB、OC′，由题意可得：OA=OB=OC′=，AB=AC′=2，∵，∴△AOB和△AOC′都是等腰直角三角形，∴∠OAB=∠OAC′=45°，∴∠BAC′=90°，又∵∠BAC=60°，∴旋转角∠CAC′=30°，∴tan∠CAC′=.故答案为.点睛：根据题意画出符合要求的图形，连接OA、OB、OC′，通过勾股定理逆定理证明△AOB和△AOC′都是等腰直角三角形，从而得到∠BAC′=90°是本题解题的关键.18. 当关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有实数根，且其中一个根为另一个根的2倍时，称之为“倍根方程”.如果关于x的一元二次方程x2+(m-2)x-2m=0是“倍根方程”，那么m的值为_____________.【答案】-1或-4【解析】分析：设“倍根方程”的一个根为，则另一根为，由一元二次方程根与系数的关系可得，由此可列出关于m的方程，解方程即可求得m的值.详解：由题意设“倍根方程”的一个根为，另一根为，则由一元二次方程根与系数的关系可得：，∴，∴，化简整理得：，解得.故答案为：-1或-4.点睛：本题解题的关键是熟悉一元二次方程根与系数的关系：若一元二次方程的两根分别为，则.三、解答题（本大题共7题，满分78分）19. 先化简，再求值：，．【答案】，.【解析】分析：先按分式的相关运算法则将原式化简，再代值并按二次根式的相关运算法则进行计算即可.原式===当时，原式= .点睛：本题考查的是分式的化简求值问题，熟悉分式和二次根式的相关运算法则是正确解题的关键.20. 解方程组：.【答案】；；.【解析】分析：把原方程组中的第二个方程通过分解因式降次，转化为两个一次方程，再分别和第一方程组合成两个新的方程组，分别解这两个新的方程组即可求得原方程组的解.详解：由方程可得，，；则原方程组转化为（Ⅰ）或（Ⅱ），解方程组（Ⅰ）得，解方程组（Ⅱ）得，∴原方程组的解是 .点睛：本题考查的是二元二次方程组的解法，解题的要点有两点：（1）把原方程组中的第2个方程通过分解因式降次转化为两个二元一次方程，并分别和第1个方程组合成两个新的方程组；（2）将两个新的方程组消去y，即可得到关于x的一元二次方程.21. 已知：如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，AD＝BC，BD平分∠ABC，∠A＝60°．求：（1）求∠CDB的度数；（2）当AD＝2时，求对角线BD的长和梯形ABCD的面积．【答案】：(1) 30º；（2）．【解析】分析：（1）由已知条件易得∠ABC=∠A=60°，结合BD平分∠ABC和CD∥AB即可求得∠CDB=30°；（2）过点D作DH⊥AB于点H，则∠AHD=30°，由（1）可知∠BDA=∠DBC=30°，结合∠A=60°可得∠ADB=90°，∠ADH=30°，DC=BC=AD=2，由此可得AB=2AD=4，AH=，这样即可由梯形的面积公式求出梯形ABCD的面积了.详解：(1) ∵在梯形ABCD中，DC∥AB，AD＝BC，∠A＝60°，∴∠CBA=∠A=60º，∵BD平分∠ABC，∴∠CDB=∠ABD=∠CBA=30º，（2）在△ACD中，∵∠ADB=180º–∠A–∠ABD=90º．∴BD=AD A=2tan60º=2.过点D作DH⊥AB，垂足为H，∴AH=AD A=2sin60º=.∵∠CDB=∠CBD=∠CBD=30º，∴DC=BC=AD=2∵AB=2AD=4∴．点睛：本题是一道应用等腰梯形的性质求解的题，熟悉等腰梯形的性质和直角三角形中30°的角所对直角边是斜边的一半及等腰三角形的判定，是正确解答本题的关键.22. 已知A、B、C三地在同一条路上，A地在B地的正南方3千米处，甲、乙两人分别从A、B两地向正北方向的目的地C匀速直行，他们分别和A地的距离s（千米）与所用的时间t（小时）的函数关系如图所示．（1）图中的线段l1是（填“甲”或“乙”）的函数图象，C地在B地的正北方向千米处；（2）谁先到达C地？并求出甲乙两人到达C地的时间差；（3）如果速度慢的人在两人相遇后立刻提速，并且比先到者晚1小时到达C地，求他提速后的速度.【答案】（1）乙；3；（2）甲先到达，到达目的地的时间差为小时；（3）速度慢的人提速后的速度为千米/小时.【解析】分析：（1）根据题意结合所给函数图象进行判断即可；（2）由所给函数图象中的信息先求出二人所对应的函数解析式，再由解析式结合图中信息求出二人到达C 地的时间并进行比较、判断即可得到本问答案；（3）根据图象中的信息结合（2）中的结论进行解答即可.详解：（1）由题意结合图象中的信息可知：图中线段l1是乙的图象；C地在B地的正北方6-3=3（千米）处. （2）甲先到达.设甲的函数解析式为s=kt，则有4=t，∴s=4t.∴当s=6时，t=.设乙的函数解析式为s=nt+3，则有4=n+3，即n=1.∴乙的函数解析式为s=t+3.∴当s=6时，t=3.∴甲、乙到达目的地的时间差为：（小时）.（3）设提速后乙的速度为v千米/小时，∵相遇处距离A地4千米，而C地距A地6千米，∴相遇后需行2千米.又∵原来相遇后乙行2小时才到达C地，∴乙提速后2千米应用时1.5小时.即，解得：，答：速度慢的人提速后的速度为千米/小时.点睛：本题考查的是由函数图象中获取相关信息来解决问题的能力，解题的关键是结合题意弄清以下两点：（1）函数图象上点的横坐标和纵坐标各自所表示是实际意义；（2）图象中各关键点（起点、终点、交点和转折点）的实际意义.23. 已知：如图，在□ABCD中，点G为对角线AC的中点，过点G的直线EF分别交边AB、CD于点E、F，过点G的直线MN分别交边AD、BC于点M、N，且∠AGE=∠CGN.（1）求证：四边形ENFM为平行四边形；（2）当四边形ENFM为矩形时，求证：BE=BN.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】分析：（1）由已知条件易得∠EAG=∠FCG，AG=GC结合∠AGE=∠FGC可得△EAG≌△FCG，从而可得△EAG≌△FCG，由此可得EG=FG，同理可得MG=NG，由此即可得到四边形ENFM是平行四边形；（2）如下图，由四边形ENFM为矩形可得EG=NG，结合AG=CG，∠AGE=∠CGN可得△EAG≌△NCG，则∠BAC=∠ACB ，AE=CN，从而可得AB=CB，由此可得BE=BN.详解：（1）∵四边形ABCD为平行四四边形边形，∴AB//CD.∴∠EAG=∠FCG.∵点G为对角线AC的中点，∴AG=GC.∵∠AGE=∠FGC，∴△EAG≌△FCG.∴EG=FG.同理MG=NG.∴四边形ENFM为平行四边形.（2）∵四边形ENFM为矩形，∴EF=MN，且EG=,GN=，∴EG=NG，又∵AG=CG，∠AGE=∠CGN，∴△EAG≌△NCG，∴∠BAC=∠ACB ，AE=CN，∴AB=BC，∴AB-AE=CB-CN，∴BE=BN.点睛：本题是一道考查平行四边形的判定和性质及矩形性质的题目，熟练掌握相关图形的性质和判定是顺利解题的关键.24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，直线y=x+4经过点A、C，点P为抛物线上位于直线AC上方的一个动点.（1）求抛物线的表达式；（2）如图，当CP//AO时，求∠PAC的正切值；（3）当以AP、AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上时，求出此时点P的坐标.【答案】（1）抛物线的表达式为；（2）；（3）P点的坐标是.【解析】分析：（1）由题意易得点A、C的坐标分别为（-4，0），（0，4），将这两点坐标代入抛物线列出方程组，解得b、c的值即可求得抛物线的解析式；（2）如下图，作PH⊥AC于H，连接OP，由已知条件先求得PC=2，AC=，结合S△ABC=S△OPC，可求得PH=，再由OA=OC得到∠CAO=45°，结合CP∥OA可得∠PCA=45°，即可得到CH=PH=，由此可得AH=，这样在Rt△APH中由tan∠PAC=即可求得所求答案了；（3）如图，当四边形AOPQ为符合要求的平行四边形时，则此时PQ=AO=4，且点P、Q关于抛物线的对称轴x=-1对称，由此可得点P的横坐标为-3，代入抛物线解析即可求得此时的点P的坐标.详解：（1）∵直线y=x+4经过点A、C，点A在x轴上，点C在y轴上∴A点坐标是（﹣4，0），点C坐标是（0，4），又∵抛物线过A，C两点，∴解得，∴抛物线的表达式为；（2）作PH⊥AC于H，∵点C、P在抛物线上，CP//AO，C（0，4），A（-4，0）∴P（-2,4），AC=，S△ABC=S△OPC，∴PC=2，，∴PH=，∵A（﹣4，0），C（0，4），∴∠CAO=45°.∵CP//AO，∴∠ACP=∠CAO=45°，∵PH⊥AC，∴CH=PH=，∴.∴；（3）∵，∴抛物线的对称轴为直线，∵以AP，AO为邻边的平行四边形的第四个顶点Q恰好也在抛物线上，∴PQ∥AO，且PQ=AO=4．∵P，Q都在抛物线上，∴P，Q关于直线对称，∴P点的横坐标是﹣3，∵当x=﹣3时，，∴P点的坐标是.点睛：（1）解第2小题的关键是：作出如图所示的辅助线，构造出Rt△APH，并结合题中的已知条件求出PH和AH的长；（2）解第3小题的关键是：根据题意画出符合要求的示意图，并由PQ∥AO，PQ=AO及P、Q 关于抛物线的对称轴对称得到点P的横坐标.25. 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC=5，AD=1，BC=9，点P为边BC上一动点，作PH⊥DC，垂足H在边DC上，以点P为圆心PH为半径画圆，交射线PB于点E.（1）当圆P过点A时，求圆P的半径；（2）分别联结EH和EA，当△ABE∽△CEH时，以点B为圆心，r为半径的圆B与圆P相交，试求圆B的半径r的取值范围；（3）将劣弧沿直线EH翻折交BC于点F，试通过计算说明线段EH和EF的比值为定值，并求出此定值.【答案】（1）圆P的半径长为3；（2）；（3）说明见解析，.【解析】分析：（1）如下图，作AM⊥BC于M，联结AP，由题意易得AM=3，BM=4，tanB=tanC=，设PH=3k，则可得HC=4k，CP=5k，MP=5-5k，在Rt△APM中，由勾股定理可得，结合AP=PH 即可列出关于k的方程，解方程即可求得k的值，再结合CP<BC检验即可得到所求答案；（2）由（1）可知，若设PH=3k，则HC=4k，CP=5k，由点E在圆P上可得PE=3k，CE=8k，BE=9-8k，由△ABE∽△CEH可得，由此可得：，解得k的值即可求得圆P的半径和BE的长，结合圆B和圆P的位置关系是相交，即可求得圆B的半径r的取值范围；（3）在圆P上取点F关于EH对称的点G，联结EG，作PQ⊥EG于G，HN⊥BC于N，则EG=EF，∠1=∠3，EQ=QG，EF=EG=2EQ. 结合已知条件先证△EPQ≌△PHN可得EQ=PN，从而可得EF=EG=2PN，由（1）可知，在Rt△PHC中，若设PH=3k，则HC=4k，PC=5k，由此可得sinC=，cosC=，在Rt△CHN中由此可把HN、NC用含k的式子表达出来，进一步可把PN、EN用含k的式子表达出来，这样就可把EH和EF用含k的代数式表达出来，由此即可求得EH和EF的比值，得到相应的结论.详解：（1）作AM⊥BC于M，联结AP，∵梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC=5，AD=1，BC=9，∴BM=(BC-AD)÷2=4，AM=，∴tanB= tanC=，∵PH⊥DC，∴若设PH=3k，则HC=4k，CP=5k.∵BC=9，∴MP=5-5k.∴，∵AP=PH，∴，即，解得：，当时，CP=，∴（舍去），∴，∴圆P的半径长为3；（2）由（1）可知，若设PH=3k，则HC=4k，CP=5k.∵点E在圆P上，∴BE=9-8k，∵△ABE∽△CEH，∴，即，解得：，∴，即圆P的半径为，∵圆B与圆P相交，又BE=9-8k=，∴；（3）在圆P上取点F关于EH对称的点G，联结EG，作PQ⊥EG于G，HN⊥BC于N，则EG=EF，∠1=∠3，EQ=QG，EF=EG=2EQ.∴∠GEP=2∠1，∵PE=PH，∴∠1=∠2 ，∴∠4=∠1+∠2=2∠1，∴∠GEP=∠4，∴△EPQ≌△PHN，∴EQ=PN，由（1）可知，若设PH=3k，则HC=4k，PC=5k，∴sinC=，cosC=，∴NC=，NH=，∴EF=EG=2EQ=2PN=，EH=，∴，即线段EH和EF的比值为定值.点睛：本题是一道涉及圆、全等三角形、勾股定理、相似三角形和锐角三角形函数的综合性几何题，解题难度较大，解题的关键是作出如图所示的辅助线，熟悉相关图形的性质和判定.。
杨浦区高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
杨浦区高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 已知命题p ：“∀x ∈R ，e x ＞0”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 0﹣2＞x 02”，则（ ）A ．命题p ∨q 是假命题B ．命题p ∧q 是真命题C ．命题p ∧（￢q ）是真命题D ．命题p ∨（￢q ）是假命题2． 若数列{a n }的通项公式a n =5（）2n ﹣2﹣4（）n ﹣1（n ∈N *），{a n }的最大项为第p 项，最小项为第q 项，则q ﹣p 等于（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43． 设函数()''y f x =是()'y f x =的导数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数()()320f x ax bx cx d a =+++≠都有对称中心()()00,x f x ，其中0x 满足()0''0f x =.已知函数()3211533212f x x x x =-+-，则1232016...2017201720172017f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ） A ．2013 B ．2014 C ．2015 D ．20161111]4． 已知函数f （x ）=Asin （ωx ﹣）（A ＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，△EFG 是边长为2 的等边三角形，为了得到g （x ）=Asin ωx 的图象，只需将f （x ）的图象（ ）A ．向左平移个长度单位B ．向右平移个长度单位C ．向左平移个长度单位D ．向右平移个长度单位5． 直线的倾斜角是（ ）A ．B ．C ．D ．6． 拋物线E ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点与双曲线C ：x 2－y 2＝2的焦点重合，C 的渐近线与拋物线E 交于非原点的P 点，则点P 到E 的准线的距离为（ ） A ．4 B ．6 C ．8D ．107． 平面α与平面β平行的条件可以是（ ）A ．α内有无穷多条直线与β平行B ．直线a ∥α，a ∥βC ．直线a ⊂α，直线b ⊂β，且a ∥β，b ∥αD ．α内的任何直线都与β平行8． 将函数()sin 2y x ϕ=+（0ϕ>）的图象沿x 轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的最小值为（ ） （A ）43π （ B ） 83π （C ） 4π （D ） 8π9． 459和357的最大公约数（ ） A ．3B ．9C ．17D ．5110．()()22f x a x a =-+ 在区间[]0,1上恒正，则的取值范围为（ ）A ．0a >B ．0a <<C ．02a <<D ．以上都不对11．二项式（x 2﹣）6的展开式中不含x 3项的系数之和为（ ） A ．20 B ．24C ．30D ．3612．已知函数，，若，则（ ）A1 B2 C3 D-1 二、填空题13在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为 升．14．已知圆C 的方程为22230x y y +--=，过点()1,2P -的直线与圆C 交于,A B 两点，若使AB最小则直线的方程是 ．15．把函数y=sin2x 的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得函数图象的解析式为 ．16．在平面直角坐标系中，(1,1)=-a ，(1,2)=b ，记{}(,)|M O M λμλμΩ==+a b ，其中O 为坐标原点，给出结论如下：①若(1,4)(,)λμ-∈Ω，则1λμ==；②对平面任意一点M ，都存在,λμ使得(,)M λμ∈Ω； ③若1λ=，则(,)λμΩ表示一条直线； ④{}(1,)(,2)(1,5)μλΩΩ=；⑤若0λ≥，0μ≥，且2λμ+=，则(,)λμΩ表示的一条线段且长度为 其中所有正确结论的序号是 ．17．（sinx+1）dx 的值为 ．18．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3=a 1+3a 2，则公比q= ．三、解答题19．已知f （x ）=x 3+3ax 2+3bx+c 在x=2处有极值，其图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行． （1）求函数的单调区间；（2）若x ∈[1，3]时，f （x ）＞1﹣4c 2恒成立，求实数c 的取值范围．20．本小题满分10分选修45-：不等式选讲 已知函数2()log (12)f x x x m =++--． Ⅰ当7=m 时，求函数)(x f 的定义域；Ⅱ若关于x 的不等式2)(≥x f 的解集是R ，求m 的取值范围．21．（本题满分12分）设向量))cos (sin 23,(sin x x x -=，)cos sin ,(cos x x x +=，R x ∈，记函数 x f ⋅=)(.（1）求函数)(x f 的单调递增区间；（2）在锐角ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,.若21)(=A f ，2=a ，求ABC ∆面积的最大值.22．已知f （x ）=lg （x+1）（1）若0＜f （1﹣2x ）﹣f （x ）＜1，求x 的取值范围；（2）若g （x ）是以2为周期的偶函数，且当0≤x ≤1时，g （x ）=f （x ），求函数y=g （x ）（x ∈[1，2]）的反函数．23．如图，四棱锥P ABC -中，,//,3,PA BC 4PA ABCD AD BC AB AD AC ⊥=====，M 为线段AD 上一点，2,AM MD N =为PC 的中点．MN平面PAB；（1）证明：//（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值；24．2008年奥运会在中国举行，某商场预计2008年从1日起前x个月，顾客对某种奥运商品的需求总量p（x）件与月份x的近似关系是且x≤12），该商品的进价q（x）元与月份x的近似关系是q（x）=150+2x，（x∈N*且x≤12）．（1）写出今年第x月的需求量f（x）件与月份x的函数关系式；（2）该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，则此商场今年销售该商品的月利润预计最大是多少元？杨浦区高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1． 【答案】 C【解析】解：命题p ：“∀x ∈R ，e x＞0”，是真命题，命题q ：“∃x 0∈R ，x 0﹣2＞x 02”，即﹣x 0+2＜0，即： +＜0，显然是假命题，∴p ∨q 真，p ∧q 假，p ∧（￢q ）真，p ∨（￢q ）假，故选：C ．【点评】本题考查了指数函数的性质，解不等式问题，考查复合命题的判断，是一道基础题．2． 【答案】A【解析】解：设=t ∈（0，1]，a n =5（）2n ﹣2﹣4（）n ﹣1（n ∈N *），∴a n =5t 2﹣4t=﹣，∴a n ∈，当且仅当n=1时，t=1，此时a n 取得最大值；同理n=2时，a n 取得最小值．∴q ﹣p=2﹣1=1， 故选：A ． 【点评】本题考查了二次函数的单调性、指数函数的单调性、数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3． 【答案】D 【解析】1120142201520161...2201720172017201720172017f f f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()12201620162=⨯⨯=，故选D. 1 考点：1、转化与划归思想及导数的运算；2、函数对称的性质及求和问题.【方法点睛】本题通过 “三次函数()()320f x ax bx cx d a =+++≠都有对称中心()()00,x f x ”这一探索性结论考查转化与划归思想及导数的运算、函数对称的性质及求和问题，属于难题.遇到探索性结论问题，应耐心读题，分析新结论的特点，弄清新结论的性质，按新结论的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题的解答就是根据新结论性质求出()311533212f x x x x =-+-的对称中心后再利用对称性和的.第Ⅱ卷（非选择题共90分）4． 【答案】 A【解析】解：∵△EFG 是边长为2的正三角形，∴三角形的高为，即A=，函数的周期T=2FG=4，即T==4，解得ω==，即f （x ）=Asin ωx=sin （x ﹣），g （x ）=sinx ，由于f （x ）=sin （x ﹣）=sin[（x ﹣）]，故为了得到g （x ）=Asin ωx 的图象，只需将f （x ）的图象向左平移个长度单位． 故选：A ．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用函数的图象确定函数的解析式是解决本题的关键，属于中档题．5． 【答案】A【解析】解：设倾斜角为α，∵直线的斜率为，∴tan α=，∵0°＜α＜180°， ∴α=30° 故选A ．【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系，属于基础题，应当掌握．6． 【答案】【解析】解析：选D.双曲线C 的方程为x 22－y 22＝1，其焦点为（±2，0），由题意得p2＝2，∴p ＝4，即拋物线方程为y 2＝8x ， 双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x y ＝±x ，解得 x ＝0（舍去）或x ＝8，则P 到E 的准线的距离为8＋2＝10，故选D.7． 【答案】D【解析】解：当α内有无穷多条直线与β平行时，a 与β可能平行，也可能相交，故不选A ．当直线a ∥α，a ∥β时，a 与β可能平行，也可能相交，故不选 B ．当直线a ⊂α，直线b ⊂β，且a ∥β 时，直线a 和直线 b 可能平行，也可能是异面直线，故不选 C ．当α内的任何直线都与β 平行时，由两个平面平行的定义可得，这两个平面平行， 故选 D ．【点评】本题考查两个平面平行的判定和性质得应用，注意考虑特殊情况．8． 【答案】B【解析】将函数()()sin 20y x ϕϕ=+>的图象沿x 轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数sin 2sin 284[()]()y x x ππϕϕ=++=++的图象，可得42ππϕ+=，求得ϕ的最小值为 4π，故选B ．9． 【答案】D【解析】解：∵459÷357=1…102， 357÷102=3…51， 102÷51=2，∴459和357的最大公约数是51， 故选：D ．【点评】本题考查辗转相除法，这是一个算法案例，还有一个求最大公约数的方法是更相减损法，这种题目出现的比较少，但是要掌握题目的解法．本题也可以验证得到结果．10．【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，根据一次函数的单调性可知，函数()()22f x a x a =-+在区间[]0,1上恒正，则(0)0(1)0f f >⎧⎨>⎩，即2020a a a >⎧⎨-+>⎩，解得02a <<，故选C. 考点：函数的单调性的应用. 11．【答案】A【解析】解：二项式的展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r •x 12﹣3r ，令12﹣3r=3，求得r=3，故展开式中含x 3项的系数为•（﹣1）3=﹣20，而所有系数和为0，不含x 3项的系数之和为20，故选：A ．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．12．【答案】A【解析】g （1）=a ﹣1， 若f[g （1）]=1， 则f （a ﹣1）=1， 即5|a ﹣1|=1，则|a ﹣1|=0， 解得a=1二、填空题13．【答案】 8 升．【解析】解：由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，所以该车每100千米平均耗油量48÷6=8． 故答案是：8．14．【答案】30x y -+= 【解析】试题分析：由圆C 的方程为22230x y y +--=，表示圆心在(0,1)C ，半径为的圆，点()1,2P -到圆心的距()1,2P -在圆内，所以当AB CP ⊥时，AB 最小，此时11,1CP k k =-=，由点斜式方程可得，直线的方程为21y x -=+，即30x y -+=.考点：直线与圆的位置关系的应用. 15．【答案】 y=cosx ．【解析】解：把函数y=sin2x 的图象向左平移个单位长度，得，即y=cos2x 的图象，把y=cos2x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=cosx 的图象；故答案为：y=cosx ．16．【答案】②③④【解析】解析：本题考查平面向量基本定理、坐标运算以及综合应用知识解决问题的能力． 由(1,4)λμ+=-a b 得124λμλμ-+=-⎧⎨+=⎩，∴21λμ=⎧⎨=⎩，①错误；a 与b 不共线，由平面向量基本定理可得，②正确；记OA =a ，由OM μ=+a b 得AM μ=b ，∴点M 在过A 点与b 平行的直线上，③正确；由2μλ+=+a b a b 得，(1)(2)λμ-+-=0a b ，∵a 与b 不共线，∴12λμ=⎧⎨=⎩，∴2(1,5)μλ+=+=a b a b ，∴④正确；设(,)M x y ，则有2x y λμλμ=-+⎧⎨=+⎩，∴21331133x y x yλμ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，∴200x y x y -≤⎧⎨+≥⎩且260x y -+=，∴(,)λμΩ表示的一条线段且线段的两个端点分别为(2,4)、(2,2)-，其长度为17．【答案】 2 ．【解析】解：所求的值为（x ﹣cosx ）|﹣11=（1﹣cos1）﹣（﹣1﹣cos （﹣1）） =2﹣cos1+cos1 =2．故答案为：2．18．【答案】 2 ．【解析】解：设等比数列的公比为q ， 由S 3=a 1+3a 2，当q=1时，上式显然不成立； 当q ≠1时，得，即q 2﹣3q+2=0，解得：q=2．故答案为：2．【点评】本题考查了等比数列的前n 项和，考查了等比数列的通项公式，是基础的计算题．三、解答题19．【答案】【解析】解：（1）由题意：f ′（x ）=3x 2+6ax+3b 直线6x+2y+5=0的斜率为﹣3； 由已知所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）所以由f ′（x ）=3x 2﹣6x ＞0得心x ＜0或x ＞2； 所以当x ∈（0，2）时，函数单调递减；当x ∈（﹣∞，0），（2，+∞）时，函数单调递增．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分） （2）由（1）知，函数在x ∈（1，2）时单调递减，在x ∈（2，3）时单调递增； 所以函数在区间[1，3]有最小值f （2）=c ﹣4要使x ∈[1，3]，f （x ）＞1﹣4c 2恒成立 只需1﹣4c 2＜c ﹣4恒成立，所以c ＜或c ＞1．故c 的取值范围是{c|c或c ＞1}﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【点评】本题主要考查函数在某点取得极值的条件和导数的几何意义，以及利用导数解决函数在闭区间上的最值问题和函数恒成立问题，综合性较强，属于中档题．20．【答案】【解析】Ⅰ当7m =时，函数)(x f 的定义域即为不等式1270x x ++-->的解集.[来 由于1(1)(2)70x x x ≤-⎧⎨-+--->⎩，或12(1)(2)70x x x -<<⎧⎨+--->⎩， 或2(1)(2)70x x x ≥⎧⎨++-->⎩. 所以3x <-，无解，或4x >.综上，函数)(x f 的定义域为(,3)(4,)-∞-+∞Ⅱ若使2)(≥x f 的解集是R ，则只需min (124)m x x ≤++--恒成立. 由于124(1)(2)41x x x x ++--≥+---=- 所以m 的取值范围是(,1]-∞-.21．【答案】【解析】【命题意图】本题考查了向量的内积运算，三角函数的化简及性质的探讨，并与解三角形知识相互交汇，对基本运算能力、逻辑推理能力有一定要求，难度为中等.22．【答案】【解析】解：（1）f（1﹣2x）﹣f（x）=lg（1﹣2x+1）﹣lg（x+1）=lg（2﹣2x）﹣lg（x+1），要使函数有意义，则由解得：﹣1＜x＜1．由0＜lg（2﹣2x）﹣lg（x+1）=lg＜1得：1＜＜10，∵x+1＞0，∴x+1＜2﹣2x＜10x+10，∴．由，得：．（2）当x∈[1，2]时，2﹣x∈[0，1]，∴y=g（x）=g（x﹣2）=g（2﹣x）=f（2﹣x）=lg（3﹣x），由单调性可知y∈[0，lg2]，又∵x=3﹣10y，∴所求反函数是y=3﹣10x，x∈[0，lg2]．.23．【答案】（1）证明见解析；（2）25【解析】试题解析：（2）在三角形AMC 中，由22,3,cos 3AM AC MAC ==∠=，得 2222cos 5CM AC AM AC AN MAC =+-∠=， 222AM MC AC +=，则AM MC ⊥， ∵PA ⊥底面,ABCD PA ⊂平面PAD ，∴平面ABCD ⊥平面PAD ，且平面ABCD平面PAD AD =，∴CM ⊥平面PAD ，则平面PNM ⊥平面PAD ，在平面PAD 内，过A 作AF PM ⊥，交PM 于F ，连结NF ，则ANF ∠为直线AN 与平面PMN 所成角。
2019上海数学初三二模杨浦
杨浦区2018学年度第二学期初三质量调研数 学 试 卷(完卷时间 100分钟 满分 150分) 考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、 选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．如图，已知数轴上的点A 、B 表示的实数分别为a 、b ，那么下列等式成立的是 （A ）a b a b +=-；（B ）a b a b +=--；（C ）a b b a +=-； （D ）a b a b +=+． 2．下列关于x 的方程一定有实数解的是 （A ）210x mx --=；（B ）3ax =； （C0；（D ）111xx x =--． 3．如果00k b <>，，那么一次函数y kx b =+的图像经过 （A ）第一、二、三象限； （B ）第二、三、四象限； （C ）第一、三、四象限； （D ）第一、二、四象限．4．为了解某校初三学生的体重情况，从中随机抽取了80名初三学生的体重进行统计分析. 在此问题中，样本是指 （A ）80； （B ）被抽取的80名初三学生； （C ）被抽取的80名初三学生的体重；（D ）该校初三学生的体重． 5．如图，已知△ADE 是△ABC 绕点A 逆时针旋转所得，其中点D 在射线AC 上，设旋转角为a ，直线BC 与直线DE 交于点F ，那么下列结论不正确的是（A ）∠BAC =a ； （B ）∠DAE =a ；（C ）∠CFD =a ； （D ）∠FDC =a . 6．在下列条件中，能够判定一个四边形是平行四边形的是 （A ）一组对边平行，另一组对边相等； （B ）一组对边相等，一组对角相等； （C ）一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线；（D ）一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线. 二、 填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．计算：325()y y ÷= ▲ .（第5题图）0 AB（第1题图）8．分解因式：2221a ab b -+-= ▲ . 9．方程1x -=的解为： ▲ .10．如果正比例函数(2)y k x =-的函数值y 随x 的增大而减小，且它的图像与反比例函数ky x =的图像没有公共点，那么k 的取值范围是 ▲ . 11．从105,,1,0,2,3π---这七个数中随机抽取一个数，恰好为负整数的概率为▲ .12．某校为了解学生最喜欢的球类运动情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学那么，其中最喜欢足球的学生数占被调查总人数的百分比为 ▲ %.13．甲、乙两名学生练习打字，甲打135个字所用时间与乙打180个字所用时间相同．已知甲平均每分钟比乙少打20个字，如果设甲平均每分钟打字的个数为x ，那么符合题意的方程为： ▲ .14．如图，△ABC 中，过重心G 的直线平行于BC ，且交边AB 于点D ，交边AC 于点E ，如果设AB a uu u r r =，AC b uuu r r =，用a r ，b r 表示GE uu u r ，那么GE uu u r= ▲ . 15．正八边形的中心角是 ▲ 度.16．如图，点M 、N 分别在∠AOB 的边OA 、OB 上，将∠AOB 沿直线MN 翻折，设点O 落在点P处，如果当4OM =，3ON =时，点O 、P 的距离为4，那么折痕MN 的长为 ▲ . 17．如果当0a ≠，0b ≠，且a b ≠时，将直线y ax b =+和直线y bx a =+称为一对“对偶直线”，把它们的公共点称为该对“对偶直线”的“对偶点”，那么请写出“对偶点”为（1,4）的一对“对偶直线”： ▲ .18．如图，在矩形ABCD 中，过点A 的圆O 交边AB 于点E ，交边AD 于点F ，已知AD =5，AE =2，AF =4.如果以点D 为圆心，r 为半径的圆D 与圆O 有两个公共点，那么r 的取值范围是▲ .三、 解答题（本大题共7题，满分78分）（第18题图）AONBM（第16题图）B（第14题图）D19．（本题满分10分）301()4cos302---︒+.20．（本题满分10分）已知关于x ，y 的二元一次方程组2213ax by a x b y ab +=⎧⎨-=+⎩，的解为11.x y =⎧⎨=-⎩，求a 、b 的值.21．（本题满分10分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分） 已知在梯形ABCD 中，AD （1）求AB 的长；（2）当BQ 的长为409时，请通过计算说明圆P 与直线DC 的位置关系.22．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题2分，第（3）小题3分）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人间的距离y （米）与A B C D Q .P （第21题图）甲出发的时间x （分）之间的关系如图中折线OA -AB -BC -CD 所示. （1）求线段AB 的表达式，并写出自变量x 的取值范围； （2）求乙的步行速度； （3）求乙比甲早几分钟到达终点23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）已知：如图，在△ABC 中，AB =BC ，∠ABC =90°，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，点F 、G 是边AC 的三等分点，DF 、EG 的延长线相交于点H ，联结HA 、HC .求证：（1）四边形FBGH 是菱形；（2）四边形ABCH 是正方形．24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）已知开口向下的抛物线222y ax ax =-+与y 轴的交点为A ，顶点为B ，对称轴与x 轴的交点为C ，点A 与点D 关于对称轴对称，直线BD 与x 轴交于点M ，直线AB 与直线OD交于（第23题图）D（第22题图） O（分）点N.（1）求点D的坐标；（2）求点M的坐标（用含a的代数式表示）；（3）当点N在第一象限，且∠OMB=∠ONA时，求a的值.25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）已知圆O的半径长为2，点A、B、C为圆O上三点，弦BC=AO，点D为BC的中点.（1）如图1，联结AC 、OD ，设∠OAC =α，请用α表示∠AOD ；（2）如图2，当点B 为»AC 的中点时，求点A 、D 之间的距离； （3）如果AD 的延长线与圆O 交于点E ，以O 为圆心，AD 为半径的圆与以BC 为直径的圆相切，求弦AE 的长.杨浦区初三质量调研数学试卷答案及评分建议四、 选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）（第25题图）O A （图1） B CD AOBCD. （图2） A O（备用图）1．B ； 2．A ； 3．D ； 4．C ； 5．D ； 6．C 五、 填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7． y ； 8． (1)(1)a b a b -+--； 9． 1x =；10． 02k <<； 11． 27； 12．24； 13． 13518020x x =+； 14． 1133a b r r -+； 15． 45； 16．17． 3y x =+和31y x =+等； 18．r <六、 解答题（本大题共7题，满分78分）19．解：原式81=+--3 ........................... （7分） 10= .................................................. （3分） 20．解：由题意得22130.a b a b ab -=⎧⎨+--=⎩， ............................. （2分）由1a b -=得1a b =+，将1a b =+代入22+30a b ab --=，整理得：220b b +-=. ...................................... （4分） 解得：122,1b b =-=. ........................................ （2分） 当12b =-时11a =-；当21b =时，22a =所以，1112a b =-⎧⎨=-⎩，；2221.a b =⎧⎨=⎩， ..................................... （2分） 21．解：（1）作AH ⊥BC 于点H ，∵DC ⊥BC ，∴AH ∵AD ......................................... （1分）∴HC =AD =1，AH =DC =3. ∵AB =BC ，∴BH =AB -1.在Rt △ABH 中，222AB AH BH =+，即229(1)AB AB =+-， .... （1分） ∴AB =5. .................................................... （2分） （2）过点P 作PM ⊥BC 于点M ，PN ⊥DC 于点N ，PN 交AH 于点G ，∵点P 为圆心，∴BM =QM ，即12029BM BQ ==. ................. （1分） ∵4cos 5BH B AB ==，又cos BM B BP =，∴259BP =，即圆P 的半径为259. （1分） ∵PN ⊥DC ， BC ⊥DC ，PM ⊥BC ，∴PMCN 为矩形. ................. （1分）∴2025599PN MC ==-=................................... （1分） ∴点P 到直线DC 的距离等于圆P 的半径. ....................... （1分） ∴圆P 与直线DC 相切. ...................................... （1分） 22．解：（1）设线段AB 的表达式为y kx b =+， .................... （1分）∵点A （4,240），点B （16,0），∴2404,016.k b k b =+⎧⎨=+⎩ ............ （1分）解得：20,320.k b =-⎧⎨=⎩∴线段AB 的表达式为20320y x =-+(416)x＃........... （2分,1分） （2）B （16,0）表示在甲出发16分钟时，乙赶上了甲，∵甲的步行速度为240=604米/分，∴乙赶上甲时乙行走的路程为1660=960´米. ∴乙12分中内走了960米. ................................... （1分）∴乙的速度为960=8012米/分.................................. （1分） （3）∵甲的步行速度为60米/分，∴甲步行全程需要2400=4060分钟.乙的步行速度为80米/分，∴乙步行全程需要2400=3080分钟. .. （1分）又∵甲先出法4分钟，∴乙比甲早6分钟到终点. ............... （2分） 23．证明（1）：∵点F 、G 是边AC 的三等分点，∴F 、G 分别是AG 、CF 的中点，∵点D 是AB 的中点，∴DF ∵点F 、G 是边AC 的三等分点，∴AF =CG . ∴△ABF ≌△CBG . ∴BF =BG. ............................ （1分） ∴平行四边形FBGH 是菱形. ............................ （1分）证明（2）联结BH ，交FG 于点O ，∵四边形FBGH 是平行四边形，∴OB =OH ，OF =OG ． .......... （2分） ∵AF =CG ，∴OA =OC ． ................................... （1分） ∴四边形ABCH 是平行四边形． .......................... （1分） ∵∠ABC =90°，∴平行四边形ABCH 是矩形. .............. （1分） ∵AB =BC ，∴矩形ABCH 是正方形. ....................... （1分）24．解：（1）∵开口向下的抛物线222y ax ax =-+与y 轴交于点A ，顶点为B ， ∴0a <，A （0,2），B （1,2-a ），对称轴为直线x =1. ................. （3分）又∵对称轴交x 轴于点C ，∴C （1,0）. ∵点A 与点D 关于对称轴对称，∴D （2,2）. ........................ （1分） （2）作DH ⊥OM 于点H ， ∵D （2,2），C （1,0）， B （1,2-a ），∴DH =2，BC =2-a ，CH =1，且BC ⊥OM .∴BC ........................... （1分）∴DH MH BC MC =.即221MH a MH =-+.∴2MH a=-. ..................... （1分） ∴22OM a =-. ∴2(2,0)M a-. .................................. （2分）（3）设直线OD 与对称轴交点为G ，∵点N 在第一象限，且∠OMB =∠ONA ， 又∵D （2,2），∴∠AON =∠DOM=45°，∴△AON ∽△DOM . .............. （1分） ∴AO ONDO OM=.∴1)ON a ==-. ........................ （1分） ∵BG BG NG AO ON=1)2112)a a a---=-.∴1a =.............. （1分） ∵0a <，且直线AB 与直线OD 的交点N 在第一象限 ，∴0,23a a <⎧⎨-<⎩.∴10a -<<.∴1a =........................... （1分）25．解：（1）联结CO ，∵D 为BC 的中点，DO 过圆心，∴OD ⊥BC . .......................... （1分） ∵BC =2，D 为BC 的中点，∴DC =1. ∵CO =2, OD ⊥BC ，∴∠COD =30°. ................................. （1分） ∵AO =CO ，∴∠OAC =∠ACO∵∠OAC =α，∴∠AOC =1802α︒-. ................................. （1分） ∴∠AOD =1802301502αα︒--︒=︒-. .............................. （1分） （2）联结AB 、OC 、OD ，由（1）得∠COD =30°.∴OD =（1分）∵»»=AB BC ，∴AB =BC . .......................................... （1分）∵BC =AO ，AO =OC ，∴ABCO 是菱形. ................................ （1分）∴BC ∴∠BDO +∠AOD =180°.∵OD ⊥BC ,即∠BDO =90°，∴∠AOD =90°，即OD ⊥AO . ............... （1分）∴AD ==................................ （1分）（3）∵圆O 的半径为AD ，圆D 的半径112BC ==，圆心距OD =， 又∵圆O 与圆D 相切，∴1OD AD =+或1OD AD =-1AD =+1AD =-，∴1AD或AD =..................................... （2分） 作OH ⊥AD 于点H ，则AE =2AH . .................................... （1分）当1AD 时，∵2222()AO AH OD AD AH -=--，即22431)AH AH -=--，∴AH =.∴AE. ................................................ （1分）AD时，同上解得AH=.当1∴AE=................................................ （1分）即弦AE.。
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2018~2019学年杨浦区九年级二模
数学试卷
（满分150分，考试时间100分钟）
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1. 如图，已知数轴上的点A 、B 表示实数分别为a 、b ，那么下列等式成立的是（ ）
（A ）b a b a -=+； （B ）b a b a --=+； （C ）a b b a -=+；
（D ）b a b a +=+．
2. 下列关于x 的方程一定有实数解的是（ ）
（A ）012=--mx x ；
（B ）3=ax ； （C ）046=-⋅-x x ；
（D ）
1
11-=
-x x
x ． 3. 如果0<k ，0>b ，那么一次函数b kx y +=的图像经过（ ）
（A ）第一、二、三象限； （B ）第二、三、四象限；
（C ）第一、三、四象限；
（D ）第一、二、四象限．
4. 为了解某校初三学生的体重情况，从中随机抽取了80名初三学生的体重进行统计分析，在此问题中，
样本是指（ ） （A ）80；
（B ）被抽取的80名初三学生； （C ）被抽取的80名的初三学生体重；
（D ）该校初三学生的体重．
5. 如图，已知ADE △是ABC △绕点A 逆时针旋转所得，其中点D 在射线AC 上，设旋转角为α，直线BC
与直线DE 交于点F ，那么下列结论不正确的是（ ） （A ）α=∠BAC ； （B ）α=∠DAE ；
（B ）α=∠CFD ；
（D ）α=∠FDC ．
6. 在下列条件中，能够判定一个四边形是平行四边形的是（ ）
（A ）一组对边平行，另一组对边相等； （B ）一组对边相等，一组对角相等；
（C ）一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线； （D ）一组对边相等，一组对角线平分另一条对角线．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 计算：=+522)(y y ．
8. 分解因式：=-+-1222b ab a ． 9. 方程x x -=-11的解为： ．
10. 如果正比例函数x k y )2(-=的函数值y 随x 的增大而减小，且它的图像与反比例函数x
k
y =
的图像没有公共点，那么k 的取值范围是 ． 11. 从5-，3
10
-
，6-，1-，0，2，π这七个数中随机抽取一个数，恰好为负整数的概率为 ．
12. 某校为了了解学生最喜欢的球类运动情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生只写一类
最喜欢的球类运动，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．
那么，其中喜欢足球的学生数占被调查总人数的百分比为 %．
13. 甲、乙两名学生练习打字，甲打135个字所用时间与乙打180个字所用时间相同．已知甲平均每分钟
比乙少打20个字，如果设甲平均每分钟打字的个数为x ，那么符合题意的方程为 ． 14. 如图，ABC △中，过重心G 的直线平行于BC ，且交边AB 于点D ，交边AC 于点E ，如果设a AB =，
b AC =，用a ，b 表示GE ，那么=GE ．
15. 正八边形的中心角是 度．
16. 如图，点M 、N 分别在AOB ∠的边OA 、OB 上，将AOB ∠沿直线MN 翻折，设点O 落在点P 处，如
果当4=OM ，3=ON 时，点O 、P 的距离为4，那么折痕MN 的长为 ．
17. 如果当0≠a ，0≠b ，且b a ≠时，将直线b ax y +=和直线a bx y +=称为一对“对偶直线”，把它们的
公共点称为该“对偶直线”的“对偶点”，那么请写出“对偶点”为)4,1(的一对“对偶直线”： ． 18. 如图，在矩形ABCD 中，过点A 的圆O 交边AB 于点E ，交边AD 于点F ，已知5=AD ，2=AE ，
4=AF ．如果以点D 为圆心，r 为半径的圆D 与圆O 有两个公共点，那么r 的取值范围是 ．
第14题图
第16题图
第18题图
三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. （本题满分10分）
计算：3
630cos 4)23()21()3(032+︒--+--．
类别 A B C D E F 类型 足球 羽毛球 乒乓球
篮球 排球 其他 人数
10
4
6
2
20. （本题满分10分）
已知关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎨⎧+=-=+.
3;12
2ab y b x a by ax 的解为⎩⎨⎧-==.1,
1y x ，求a 、b 的值．
21. （本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）
已知在梯形ABCD 中，BC AD //，BC DC ⊥，且1=AD ，3=DC ，点P 为边AB 上一动点，以P 为圆心，BP 为半径的圆交边BC 于电脑Q ．
（1）求AB 的长； （2）当BQ 的长为
9
40
时，请通过计算说明圆P 与直线DC 的位置关系．
甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人间的距离y (米)与甲出发时间x (分)之间的关系如图中折线CD BC AB OA ---所示．
（1）求线段AB 的表达式，并写出自变量x 的取值范围； （2）求乙的步行速度；
（3）求乙比甲早几分钟到达终点？
23. （本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）
已知：如图，在AABC △中，BC AB =，︒=∠90ABC ，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，点F 、
G 是边AC 的三等分点，DF 、EG 的延长线相交于点H ，联结HA 、HC ．
求证：（1）四边形FBGH 是菱形；
（2）四边形ABCH 是正方形．
已知开口向上的抛物线222+-=ax ax y 与y 轴的交点为A ，顶点为B ，对称轴与x 轴的交点为C ，点
A 与点D 关于对称轴对称，直线BD 与x 轴交于点M ，直线A
B 与直线OD 交于点N ．
（1）求点D 的坐标；
（2）求点M 的坐标（用含a 的代数式表示）；
（3）当点N 在第一象限，且ONA OMB ∠=∠时，求a 的值．
已知圆O 的半径长为2，点A 、B 、C 为圆O 上三点，弦AO BC =，点D 为BC 的中点． （1）如图1，联结AC 、OD ，设OAC α∠=，请用α表示AOD ∠； （2）如图2，当点B 为AC 的中点时，求点A 、D 之间的距离；
（3）如果AD 的延长线与圆O 交于点E ，以O 为圆心，AD 为半径的圆与以BC 为直径的圆相切，求 弦AE 的长．
图1 图2 图3。