数字信号处理 答案 第三章
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j [(2π k /10) + (π /10)]
证明: (1)
(− k ) = ∑ x ( n )WN− nk X
n =0
N −1
* (− k ) = [∑ x (k ) ( n )WN− nk ]* = ∑ x ( n )W Nnk = X X
n=0 n=0
N −1
N −1
(n) 为实函数,故由(1)知有 (2)因 x (k ) = X * (−k ) 或 X (−k ) = X * (k ) X (n) 为偶函数,即 x (n) = x (− n) ,所以有 又因 x
∑
n =0
(−k ) = X * (k ) (n)WN− nk = X x
*
3.2
(k ) = X (−k ) 。 (k ) 是共轭对称的,即 X (n) 为实周期序列,证明 x (n) 的傅里叶级数 X (1)设 x (k ) 也是实偶函数。 (n) 为实偶函数时, X (2)证明当 x
(0) = 1 X (2) = X (4) = 0 X 2 = 1− j 3 1 − (1 − j 3) / 2 (3) = 2 = 1 X 1 − e − jπ (1) = X (5) = X 2 = 1+ j 3 1 − (1 + j 3)
(k ) 的图形如图 3.4_1 所示: ( n) 和 X x
− jω N
−j
N ω 2
j
N ω 2
−j
N ω 2
⎛N ⎞ sin ⎜ ω ⎟ N −1 ) ⎝ 2 ⎠ e− j 2 ω = sin
ω
2
⎛N ⎞ sin ⎜ ω ⎟ ⎝ 2 ⎠ , ϕ (ω ) = − N − 1 ω | X (e jω ) |= ω 2 sin 2
图 P3.11_1(2)所示的是频谱幅度 | X (e ) | 的函数曲线。
j 2π k N
)
极点: z0 = 0( N − 1阶) ;零点: z pk = e 图 P3.11_1(1)是极-零点分布图。
, k = 1, 2,..., N − 1
(2) X (e
jω
) = X ( z ) |z =e jω =
1− e (e e −e = 1 1 1 − jω j ω −j ω −j ω 1− e 2 2 e (e − e 2 )
可见, X ( k ) 等于 X (e ) 在 N 个等隔频率点 ω =
jω
3.12 在图 P3.12 中画出了有限长序列 x( n) ,试画出序列 x[(− n)]4 的略图。
解:
3.13 有限长序列的离散傅里叶变换相当与其 Z 变换在单位圆上的取样。 例如 10 点序列 x( n) 的离散傅里叶 变换相当与 X ( z ) 在单位圆 10 个等分点上的取样,如图 P3.13(a)所示。为求出图 P3.13(b)所示 圆周上 X ( z ) 的等间隔取样,即 X ( z ) 在 z = 0.5e
r =−∞
∞
∞
n + rN
an u (n + rN ) = , n = 0,1,..., N − 1 1− aN
3.11 若长为 N 的有限长序列 x( n) 是矩阵序列 x( n) = RN ( n) 。 (1)求 Ζ[ x( n)] ,并画出及其-零点分布图。 (2)求频谱 X (e ) ,并画出幅度 | X (e ) | 的函数曲线。 (3)求 x(n) 的 DFT 的闭式表示,并与 X (e ) 对照。 解: (1)
第三章 离散傅里叶变换及其快速算法习题答案参考
3.1
(k ) 。 (n) 是周期为 4 的周期性序列。请确定其傅里叶级数的系数 X 图 P3.1 所示的序列 x
(n)WNnk = ∑ x (−n)WNnk = 解: X ( k ) = ∑ x
n =0 n =0
N −1
N −1
− ( N −1)
n n =0
N −1
nk N
1 − a NWNNk 1− aN = = , 0 ≤ k ≤ N −1 k 1 − aWNk 1 − aWN
π 2π 2π nm − j nm ⎞ − j nk 2π 1 N−1⎛ j 2N nk +e N ⎟e N X(k) = ∑cos( nmW ) N = ∑⎜e N 2 n=0 ⎝ n=0 ⎠
jω
(3)
X ( k ) = ∑ RN ( n)W
n =0
N −1
nk N
1 − WNNk 1 − e − j 2π k N ,k =0 = = = X (e jω ) 2π = { 0, k =1,2,..., N −1 2π k ω= k k −j 1 − WN N N 1− e
2π (k = 0,1, 2,..., N − 1) 上的取样值。 N
(0) = ∑ x ( n) = 0 X
n =0 N −1
(k )e jk (4)不正确。根据周期序列的移位性质, X
2π 5
(k )W 对应与周期序列 x (n + 2) ,如图 =X 10
−2 k
2π
(k )e jk 5 不是实偶序列。 P3.3_1 所示,它不是实偶序列。由题 3.2 中的(2)知道, X
解: (1)图 P3.8_1(1)所示的是 x( n) 与 x( n) 的线性卷积结果的图形。 (2)图 P3.8_1(2)所示的 x( n) 与 x( n) 的 4 点循环卷积结果的图形。 (3)图 P3.8_1(3)所示的 x( n) 与 x( n) 的 8 点循环卷积结果的图形。 可以看出, x( n) 与 x( n) 的 8 点循环卷积结果的图形与(1)中 x( n) 与 x( n) 的线性卷积结果 的图形相同。
jω jω jω
X ( z) =
n =−∞
∑
∞
RN (n) z − n = ∑ z − n =
n =0 N −1 −k N
N −1
1− z−N 1 − z −1
N −1 −k N N −1 j 2π k N
=
∏ (z −W ) ∏ (z −W ) ∏ (z − e z N −1 k =0 = = k =1 N −1 = k =1 N −1 N −1 N −1 z ( z − 1) z ( z − 1) z z
nk nk (k ) = ∑ x (n)WN (−n)WN X = ∑x = n =0 n =0 N −1 N −1 − ( N −1)
∑
n =0
− nk (−k ) = X * (k ) (n)WN x =X
3.3
(n) 。利用 DFS 的特性及 3.2 题的结果,不直接计算其傅里叶级 图 P3.3 所示的是一个实数周期信号 x (k ) ,确定以下式子是否正确。 数的系数 X (k ) = X (k + 10) ,对于所有的 k; (1) X (k ) = X (− k ) ,对于所有的 k; (2) X (0) = 0 ; (3) X
( k )e (4) X
jk
2π 5
,对所有的 k 是实函数。
(k ) 也是一个周期为 N=10 的周期序列。 (n) 一个周期为 N=10 的周期序列,故 X 解: (1)正确。因为 x (k ) 是共轭对称的,即应有 (n) 一个实数周期序列,由例 3.2 中的(1)知, X (2)不正确。因为 x (k ) 不一定是实数序列。 (k ) = X * (− k ) ,这里 X X ( n) 在 一 个 周 期 内 正 取 样 值 的 个 数 与 负 取 样 值 的 个 数 相 等 , 所 以 有 (3)正确。因为 x
解: (1) X ( k )
= ∑ δ (n)WNnk = δ (0) = 1, 0 ≤ k ≤ N − 1
n=0
N −1
(2) X ( k ) =
∑ δ [(n − n )]
n =0 0
N −1
N
RN (n)WNnk = WNn0 k , 0 ≤ k ≤ N − 1
(3) (4)
X (k ) = ∑ a W
3.5 计算下列序列的 N 点 DFT: (1) x(n) = δ (n) (2) x(n) = δ [( n − n0 )]N * RN (n), 0 < n0 < N (3) x(n) = a , 0 ≤ n ≤ N − 1
n
(4) Baidu Nhomakorabea(n) = cos(
2π nm), 0 ≤ n ≤ N − 1, o < m < N N
解: x1 ( n) 和 x2 (n) 的图形如图 P3.7_1 所示:
3.8 图 P3.8 表示一个 4 点序列 x( n) 。 (1)绘出 x( n) 与 x( n) 的线性卷积结果的图形。 (2)绘出 x( n) 与 x( n) 的 4 点循环卷积结果的图形。 (3)绘出 x( n) 与 x( n) 的 8 点循环卷积结果的图形,并将结果与(1)比较,说明线性卷积与循环卷 积之间的关系。
N−1 − j 2π (k−m) − j 2π (k+m) ⎞ − − e e 1⎛ 1 1 ⎟ = ⎜ + 2π 2π − j (k+m) ⎟ 2⎜ − j N (k−m) 1−e N ⎝1−e ⎠ N+1 N+1 ⎞ − jπ (k−m) − jπ (k+m) jπ (k−m) jπ (k+m) −j −j (k+m)π (k−m)π − − e e e e 1⎛ N N ⎟ = ⎜ π + π e e π π j (k+m) − j (k+m) ⎟ 2⎜ j N(k−m) − j N(k−m) −e e N −e N ⎝e ⎠ N+1 N+1 sin ⎡ −j (k−m)π −j (k+m)π ⎫ ( k −m) π⎤ ( k +m) π⎤ 1⎧ ⎪ sin ⎡ ⎪ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ N N e e = ⎨ + ⎬ 2⎪ k m N k m N sin π / sin π / − + ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ) ⎦ ) ⎦ ⎪ ⎣( ⎩ ⎣( ⎭
3.9 x( n) 是一个长度为 N 的序列,试证明 x[(− n)]N = x[( N − n)]N 。 证明:因为 x[( − n)]N 是由 x( n) 周期性重复得到的周期序列,故可表示为 x[(− n)]N = x[( − n + rN )]N 取 r=1,上式即为 x[(− n)]N = x[( N − n)]N 。 3.10 已 知 序 列 x( n) = a u ( n), 0 < a < 1 。 现 在 对 其 Z 变 换 在 单 位 圆 上 进 行 N 等 分 取 样 , 取 值 为
( n) = 3.4 设 x(n) = R3 (n) , x
r =−∞
(k ) ,并作图表示 x (k ) 。 ( n) 和 X ∑ x(n + 6r ) ,求 X
∞
解:
5 2 N −1 1 − W63k 1 − e − jπ k 1 − (−1) k nk nk nk (n)WN = ∑ x (n)W6 = ∑ W6 = = = X (k ) = ∑ x π π −j k −j k 1 − W6k n=0 n =0 n =0 3 1− e 1− e 3
n
X (k ) = X ( z ) |z =W − k ,求有限长序列的 IDFT。
N
解:在 z 平面的单位圆上的 N 个等角点上,对 z 变换进行取样,将导致相应时间序列的周期延拓,延 拓周期为 N,即所求有限长序列的 IDFT 为
x p ( n) =
r =−∞
∑ x(n + rN ) = ∑ a
1 (n) 和 x 2 (n) ,两者的周期都为 6,计算这两个序列的周期卷积 3.5 在图 P3.5 中表示了两个周期序列 x 3 (n) ,并图表示。 x
3 (n) 的过程, 3 (n) 是 x 1 (n) 延时 1 的结果, 可以看出,x 解: 图 P3.5_1 所示的是计算这两个序列的周期卷积 x 3 (n) = x 1 (n − 1) 。 即x
={
3.7
N ,k=m或 k=−m 2 0,其 他
图 P3.7 表示的是一个有限长序列 x( n) ,画出 x1 ( n) 和 x2 (n) 的图形。 (1) x1 ( n) = x ⎡ ⎣( n − 2 ) ⎤ ⎦ 4 R4 (n)
(2) x2 ( n) = x ⎡ ⎣( 2 − n ) ⎤ ⎦ 4 R4 (n)
证明: (1)
(− k ) = ∑ x ( n )WN− nk X
n =0
N −1
* (− k ) = [∑ x (k ) ( n )WN− nk ]* = ∑ x ( n )W Nnk = X X
n=0 n=0
N −1
N −1
(n) 为实函数,故由(1)知有 (2)因 x (k ) = X * (−k ) 或 X (−k ) = X * (k ) X (n) 为偶函数,即 x (n) = x (− n) ,所以有 又因 x
∑
n =0
(−k ) = X * (k ) (n)WN− nk = X x
*
3.2
(k ) = X (−k ) 。 (k ) 是共轭对称的,即 X (n) 为实周期序列,证明 x (n) 的傅里叶级数 X (1)设 x (k ) 也是实偶函数。 (n) 为实偶函数时, X (2)证明当 x
(0) = 1 X (2) = X (4) = 0 X 2 = 1− j 3 1 − (1 − j 3) / 2 (3) = 2 = 1 X 1 − e − jπ (1) = X (5) = X 2 = 1+ j 3 1 − (1 + j 3)
(k ) 的图形如图 3.4_1 所示: ( n) 和 X x
− jω N
−j
N ω 2
j
N ω 2
−j
N ω 2
⎛N ⎞ sin ⎜ ω ⎟ N −1 ) ⎝ 2 ⎠ e− j 2 ω = sin
ω
2
⎛N ⎞ sin ⎜ ω ⎟ ⎝ 2 ⎠ , ϕ (ω ) = − N − 1 ω | X (e jω ) |= ω 2 sin 2
图 P3.11_1(2)所示的是频谱幅度 | X (e ) | 的函数曲线。
j 2π k N
)
极点: z0 = 0( N − 1阶) ;零点: z pk = e 图 P3.11_1(1)是极-零点分布图。
, k = 1, 2,..., N − 1
(2) X (e
jω
) = X ( z ) |z =e jω =
1− e (e e −e = 1 1 1 − jω j ω −j ω −j ω 1− e 2 2 e (e − e 2 )
可见, X ( k ) 等于 X (e ) 在 N 个等隔频率点 ω =
jω
3.12 在图 P3.12 中画出了有限长序列 x( n) ,试画出序列 x[(− n)]4 的略图。
解:
3.13 有限长序列的离散傅里叶变换相当与其 Z 变换在单位圆上的取样。 例如 10 点序列 x( n) 的离散傅里叶 变换相当与 X ( z ) 在单位圆 10 个等分点上的取样,如图 P3.13(a)所示。为求出图 P3.13(b)所示 圆周上 X ( z ) 的等间隔取样,即 X ( z ) 在 z = 0.5e
r =−∞
∞
∞
n + rN
an u (n + rN ) = , n = 0,1,..., N − 1 1− aN
3.11 若长为 N 的有限长序列 x( n) 是矩阵序列 x( n) = RN ( n) 。 (1)求 Ζ[ x( n)] ,并画出及其-零点分布图。 (2)求频谱 X (e ) ,并画出幅度 | X (e ) | 的函数曲线。 (3)求 x(n) 的 DFT 的闭式表示,并与 X (e ) 对照。 解: (1)
第三章 离散傅里叶变换及其快速算法习题答案参考
3.1
(k ) 。 (n) 是周期为 4 的周期性序列。请确定其傅里叶级数的系数 X 图 P3.1 所示的序列 x
(n)WNnk = ∑ x (−n)WNnk = 解: X ( k ) = ∑ x
n =0 n =0
N −1
N −1
− ( N −1)
n n =0
N −1
nk N
1 − a NWNNk 1− aN = = , 0 ≤ k ≤ N −1 k 1 − aWNk 1 − aWN
π 2π 2π nm − j nm ⎞ − j nk 2π 1 N−1⎛ j 2N nk +e N ⎟e N X(k) = ∑cos( nmW ) N = ∑⎜e N 2 n=0 ⎝ n=0 ⎠
jω
(3)
X ( k ) = ∑ RN ( n)W
n =0
N −1
nk N
1 − WNNk 1 − e − j 2π k N ,k =0 = = = X (e jω ) 2π = { 0, k =1,2,..., N −1 2π k ω= k k −j 1 − WN N N 1− e
2π (k = 0,1, 2,..., N − 1) 上的取样值。 N
(0) = ∑ x ( n) = 0 X
n =0 N −1
(k )e jk (4)不正确。根据周期序列的移位性质, X
2π 5
(k )W 对应与周期序列 x (n + 2) ,如图 =X 10
−2 k
2π
(k )e jk 5 不是实偶序列。 P3.3_1 所示,它不是实偶序列。由题 3.2 中的(2)知道, X
解: (1)图 P3.8_1(1)所示的是 x( n) 与 x( n) 的线性卷积结果的图形。 (2)图 P3.8_1(2)所示的 x( n) 与 x( n) 的 4 点循环卷积结果的图形。 (3)图 P3.8_1(3)所示的 x( n) 与 x( n) 的 8 点循环卷积结果的图形。 可以看出, x( n) 与 x( n) 的 8 点循环卷积结果的图形与(1)中 x( n) 与 x( n) 的线性卷积结果 的图形相同。
jω jω jω
X ( z) =
n =−∞
∑
∞
RN (n) z − n = ∑ z − n =
n =0 N −1 −k N
N −1
1− z−N 1 − z −1
N −1 −k N N −1 j 2π k N
=
∏ (z −W ) ∏ (z −W ) ∏ (z − e z N −1 k =0 = = k =1 N −1 = k =1 N −1 N −1 N −1 z ( z − 1) z ( z − 1) z z
nk nk (k ) = ∑ x (n)WN (−n)WN X = ∑x = n =0 n =0 N −1 N −1 − ( N −1)
∑
n =0
− nk (−k ) = X * (k ) (n)WN x =X
3.3
(n) 。利用 DFS 的特性及 3.2 题的结果,不直接计算其傅里叶级 图 P3.3 所示的是一个实数周期信号 x (k ) ,确定以下式子是否正确。 数的系数 X (k ) = X (k + 10) ,对于所有的 k; (1) X (k ) = X (− k ) ,对于所有的 k; (2) X (0) = 0 ; (3) X
( k )e (4) X
jk
2π 5
,对所有的 k 是实函数。
(k ) 也是一个周期为 N=10 的周期序列。 (n) 一个周期为 N=10 的周期序列,故 X 解: (1)正确。因为 x (k ) 是共轭对称的,即应有 (n) 一个实数周期序列,由例 3.2 中的(1)知, X (2)不正确。因为 x (k ) 不一定是实数序列。 (k ) = X * (− k ) ,这里 X X ( n) 在 一 个 周 期 内 正 取 样 值 的 个 数 与 负 取 样 值 的 个 数 相 等 , 所 以 有 (3)正确。因为 x
解: (1) X ( k )
= ∑ δ (n)WNnk = δ (0) = 1, 0 ≤ k ≤ N − 1
n=0
N −1
(2) X ( k ) =
∑ δ [(n − n )]
n =0 0
N −1
N
RN (n)WNnk = WNn0 k , 0 ≤ k ≤ N − 1
(3) (4)
X (k ) = ∑ a W
3.5 计算下列序列的 N 点 DFT: (1) x(n) = δ (n) (2) x(n) = δ [( n − n0 )]N * RN (n), 0 < n0 < N (3) x(n) = a , 0 ≤ n ≤ N − 1
n
(4) Baidu Nhomakorabea(n) = cos(
2π nm), 0 ≤ n ≤ N − 1, o < m < N N
解: x1 ( n) 和 x2 (n) 的图形如图 P3.7_1 所示:
3.8 图 P3.8 表示一个 4 点序列 x( n) 。 (1)绘出 x( n) 与 x( n) 的线性卷积结果的图形。 (2)绘出 x( n) 与 x( n) 的 4 点循环卷积结果的图形。 (3)绘出 x( n) 与 x( n) 的 8 点循环卷积结果的图形,并将结果与(1)比较,说明线性卷积与循环卷 积之间的关系。
N−1 − j 2π (k−m) − j 2π (k+m) ⎞ − − e e 1⎛ 1 1 ⎟ = ⎜ + 2π 2π − j (k+m) ⎟ 2⎜ − j N (k−m) 1−e N ⎝1−e ⎠ N+1 N+1 ⎞ − jπ (k−m) − jπ (k+m) jπ (k−m) jπ (k+m) −j −j (k+m)π (k−m)π − − e e e e 1⎛ N N ⎟ = ⎜ π + π e e π π j (k+m) − j (k+m) ⎟ 2⎜ j N(k−m) − j N(k−m) −e e N −e N ⎝e ⎠ N+1 N+1 sin ⎡ −j (k−m)π −j (k+m)π ⎫ ( k −m) π⎤ ( k +m) π⎤ 1⎧ ⎪ sin ⎡ ⎪ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ N N e e = ⎨ + ⎬ 2⎪ k m N k m N sin π / sin π / − + ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ) ⎦ ) ⎦ ⎪ ⎣( ⎩ ⎣( ⎭
3.9 x( n) 是一个长度为 N 的序列,试证明 x[(− n)]N = x[( N − n)]N 。 证明:因为 x[( − n)]N 是由 x( n) 周期性重复得到的周期序列,故可表示为 x[(− n)]N = x[( − n + rN )]N 取 r=1,上式即为 x[(− n)]N = x[( N − n)]N 。 3.10 已 知 序 列 x( n) = a u ( n), 0 < a < 1 。 现 在 对 其 Z 变 换 在 单 位 圆 上 进 行 N 等 分 取 样 , 取 值 为
( n) = 3.4 设 x(n) = R3 (n) , x
r =−∞
(k ) ,并作图表示 x (k ) 。 ( n) 和 X ∑ x(n + 6r ) ,求 X
∞
解:
5 2 N −1 1 − W63k 1 − e − jπ k 1 − (−1) k nk nk nk (n)WN = ∑ x (n)W6 = ∑ W6 = = = X (k ) = ∑ x π π −j k −j k 1 − W6k n=0 n =0 n =0 3 1− e 1− e 3
n
X (k ) = X ( z ) |z =W − k ,求有限长序列的 IDFT。
N
解:在 z 平面的单位圆上的 N 个等角点上,对 z 变换进行取样,将导致相应时间序列的周期延拓,延 拓周期为 N,即所求有限长序列的 IDFT 为
x p ( n) =
r =−∞
∑ x(n + rN ) = ∑ a
1 (n) 和 x 2 (n) ,两者的周期都为 6,计算这两个序列的周期卷积 3.5 在图 P3.5 中表示了两个周期序列 x 3 (n) ,并图表示。 x
3 (n) 的过程, 3 (n) 是 x 1 (n) 延时 1 的结果, 可以看出,x 解: 图 P3.5_1 所示的是计算这两个序列的周期卷积 x 3 (n) = x 1 (n − 1) 。 即x
={
3.7
N ,k=m或 k=−m 2 0,其 他
图 P3.7 表示的是一个有限长序列 x( n) ,画出 x1 ( n) 和 x2 (n) 的图形。 (1) x1 ( n) = x ⎡ ⎣( n − 2 ) ⎤ ⎦ 4 R4 (n)
(2) x2 ( n) = x ⎡ ⎣( 2 − n ) ⎤ ⎦ 4 R4 (n)