小学奥数知识名师点拨 例题精讲 解题思路 等差数列应用题.教师版
小学奥数知识名师点拨 例题精讲 位值原理.教师版
5-7-1.位值原理
教学目标
1.利用位值原理的定义进行拆分
2.巧用方程解位值原理的题
位值原理
当我们把物体同数相联系的过程中，会碰到的数越来越大，如果这种联系过程中，只用我们的手指头，模块一、简单的位值原理拆分
【关键词】华杯赛，初赛，第11题
设小明出生那年是，则
85在a≥8
方法一：可以用大家喜欢的数字谜的方法来解。
列竖式如下：
+-
肯定要向前借1位，即：101
方法一：可以用大家喜欢的数字谜的方法来解。
列竖式如下：
3 。
方法一：可以用大家喜欢的数字谜的方法来解。
列竖式如下：。
小学奥数 等差数列(1) 知识点+例题+练习 (分类全面)
巩固、从2开始的连续100个偶数的和是。
例4、求下列方阵中100个数的和。
0、1、2、3、……8、9；
1、2、3、4、……9、10；
2、3、4、5、……10、11；
……
9、10、11、12、……17、18。
巩固、求下列方阵中所有各数的和：
1、2、3、4、……49、50；
2、3、4、5、……50、51；
例6、若干人围成16圈，一圈套一圈，从外向内圈人数依次少6人，如果共有912人，问最外圈有多少人？最内圈有多少人？
巩固、若干人围成8圈，一圈套一圈，从外向内各圈人数依次少4人，如果共有304人，最外圈有几人？
巩固、一个五层书架共放了600本书，已知下面一层都比上面一层多10本书。最上面一层放多少本书，最下面一层多少放本书？
教学过程
1、数列：按一定顺序排成的一列数叫做数列。数列中的每一个数都叫做项，第一项称
为首项，最后一项称为末项。数列中共有的项的个数叫做项数。
2、等差数列与公差：一个数列，从第二项起，每一项与与它前一项的差都相等，这
样的数列的叫做等差数列，其中相邻两项的差叫做公差。
3、常用公式
等差数列的总和=（首项+末项） 项数 2
3、一些同样粗细的圆木,像如图所示一样均匀地堆放在一起,第一层有3根，下一层比上一层多1根，已知最下面一层有70根。一共有多少根圆木？
4、有60把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多试多少次?
5、一辆公共汽车有66个座位,空车出发后,第一站上一位乘客,第二站上两位乘客,第三站上三位乘客,依次类推,第几站后,车上坐满乘客?
6、在等差数列0、3、6、9、12、……、45是这个数列的第项。
小学奥数知识名师点拨 例题精讲 植树问题(一).教师版
在圆、正方形、长方形、闭合曲线等上面植树，因为头尾两端重合在一起，所以种树的棵数等于分成的段数. 全长、棵数、株距之间的关系就为：棵数 段数 周长 株距.
二、解植树问题的三要素
（1）总路线长（2）间距（棵距）长（3）棵数， 只要知道这三个要素中任意两个要素，就可以求出第三个．
棵 树 的 距 离 是 ： 152 8=1216 （ 米 ）， 汽 车 经 过 1216 米 用 了 4 分 钟 ， 1 分 钟 汽 车 经 过 ： 1216 4=304 （米）,半小时汽车经过： 304 30=9120 （米），即小明的家距离学校 9120 米. 【答案】 9120 米
【巩固】 马路的一边每相隔 9 米栽有一棵柳树.张军乘汽车 5 分钟共看到 501 棵树，问汽车每小时走多少千 米？
【例 13】 小明家的小狗喝水时间很规律，每隔 5 分钟喝一次水，第一次喝水的时间是 8 点整，当小狗第 20 次喝水时，时间是多少？
【考点】直线上的植树问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】第 20 次喝水与第 1 次喝水之间有 20 1 19 (个)间隔，因为小狗每隔 5 分钟喝一次，所以到第 20 次
【考点】直线上的植树问题 【难度】1 星 【题型】解答 【解析】从左往右数茉莉花摆在第 6 ，那么从右往左数茉莉花就是第：10 (6 1) 5 （盆）花，从右往左数，
月季花摆在第 8 ，从左往右数月季花就是第：10 (8 1) 3 （盆）花，一串红花全都摆在了茉莉花
和月季花之间，一串红花一共有：10 5 3 2 （盆）． 【答案】 2 盆
（个）三层的距离，爸爸同时跑了 5 个两层的距离．所以爸爸跑到了 5 2 1 11 （层）． 【答案】 11 层
【例 10】 有一座高楼，小红每上登一层需 1.5 分钟，每下走一层需半分钟，她从上午 8：45 开始不停
小学奥数知识名师点拨 例题精讲 解题思路 环形跑道问题.教师版
【答案】 6 米/秒
【巩固】 在 400 米的环形跑道上，甲、乙两人同时同地起跑，如果同向而行 3 分 20 秒相遇，如果背向而
行 40 秒相遇，已知甲比乙快，求甲、乙的速度各是多少？
【考点】行程问题之环形跑道
【难度】2 星
【题型】解答
【解析】甲乙的速度和为： 400 40 10 (米/秒)，甲乙的速度差为： 400 200 2 (米/秒)，甲的速度为：
⑵3圈
【巩固】 一条环形跑道长 400 米，甲骑自行车每分钟骑 450 米，乙跑步每分钟 250 米，两人同时从同地
同向出发，经过多少分钟两人相遇？
【考点】行程问题之环形跑道
【难度】2 星
【题型】解答
【解析】 400 （450 250） 2 (分钟)．
【答案】 2 分钟
【巩固】 小新和正南在操场上比赛跑步，小新每分钟跑 250 米，正南每分钟跑 210 米，一圈跑道长 800 米，
③晶晶第一次被追上时所跑的路程： 4 100 400 (米)
④冬冬第二次追上晶晶时所跑的圈数：（600 2） 200 6 (圈)
⑤晶晶第 2 次被追上时所跑的圈数：（400 2） 200 4 (圈)
教师寄语：拼一个春夏秋冬，换一生无怨无悔。
2
【答案】 4 圈
【巩固】 小明和小刚清晨来到学校操场练习跑步，学校操场是 400 米的环形跑道，小刚对小明说：“咱们
11
16 分钟内二人相遇 53 次. 【答案】53 次
【巩固】 在环形跑道上，两人在一处背靠背站好，然后开始跑，每隔 4 分钟相遇一次；如果两人从同处
同向同时跑，每隔 20 分钟相遇一次，已知环形跑道的长度是 1600 米，那么两人的速度分别是
多少？
小学数学5年级培优奥数讲义 第02讲-等差数列(教师版)
第02讲等差数列教学目标掌握等差数列的基本概念,首项、末项、公差等；掌握等差数列的常用公式,并能灵活运用.知识梳理一、数列的概念按一定顺序排成的一列数叫做数列.数列中的每一个数都叫做项,第一项称为首项,最后一项称为末项.数列中共有的项的个数叫做项数.如：2、5、8、11、14、17、20、从第二项起,每一项比前一项大3 ,递增数列100、95、90、85、80、从第二项起,每一项比前一项小5 ,递减数列二、等差数列与公差一个数列,从第二项起,每一项与与它前一项的差都相等,这样的数列的叫做等差数列,其中相邻两项的差叫做公差.三、常用公式等差数列的总和=(首项+末项)⨯项数÷2项数=(末项-首项)÷公差+1末项=首项+公差⨯(项数-1)首项=末项-公差⨯(项数-1)公差=(末项-首项)÷(项数-1)等差数列(奇数个数)的总和=中间项⨯项数中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列,中间一项的值等于所有项的平均数,也等于首项与末项和的一半；或者换句话说,各项和等于中间项乘以项数．典例分析考点一：等差数列的基本认识例1、下面的数列中,哪些是等差数列？若是,请指明公差,若不是,则说明理由.①6,10,14,18,22, (98)②1,2,1,2,3,4,5,6；③1,2,4,8,16,32,64；④9,8,7,6,5,4,3,2；⑤3,3,3,3,3,3,3,3；⑥1,0,1,0,l,0,1,0；【考点】等差数列的基本认识【解析】①是,公差d=4.②不是,因为数列的第3项减去第2项不等于数列的第2项减去第1项.③不是,因为4-2≠2-1.④是,公差d=l.⑤是,公差d=0.⑥不是,因为第1项减去第2项不等于第2项减去第3项.例2、把比100大的奇数从小到大排成一列,其中第21个是多少？【考点】等差数列的基本认识【解析】该数列为等差数列,首项为101,公差为2,第21个数的项数为21.则101+(21-1)×2=141例3、已知一个等差数列第9项等于131,第10项等于137,这个数列的第1项是多少？第19项是多少？【考点】等差数列的基本认识【解析】把数列列出来：83,89,95,101,107,113,119,125,131,137,143,149,155,161,167,173,179,185,191答案：191例4、2、4、6、8、10、12、是个连续偶数列,如果其中五个连续偶数的和是320,求它们中最小的一个．【考点】等差数列公式的简单运用【解析】利用等差数列的“中项定理”,对于奇数个连续自然数,最中间的数是所有这些自然数的平均值,五个连续偶数的中间一个数应为320564÷=,因相邻偶数相差2,故这五个偶数依次是60、62、64、66、68,其中最小的是60．答案：60例5、5、8、11、14、17、20、,这个数列有多少项？它的第201项是多少？65是其中的第几项？【考点】等差数列公式的简单运用【解析】它是一个无限数列,所以项数有无限多项．第n项=首项+公差1（）,所以,第201项n⨯-n=-÷+=（）,即65是第21项．（）,对于数列5,8,11,,65,一共有：6553121=+⨯-=532011605答案：无限多项；第201项是605；65是第21项考点二：等差数列求和例1、一个等差数列2,4,6,8,10,12,14,这个数列各项的和是多少？【考点】等差数列的求和【解析】根据中项定理,这个数列一共有7项,各项的和等于中间项乘以项数,即为：8756⨯=．答案：56例2、15个连续奇数的和是1995,其中最大的奇数是多少？【考点】等差数列的求和【解析】由中项定理,中间的数即第8个数为：199515133÷=,所以这个数列最大的奇数即第15个数是：1332158147（）+⨯-=答案：147例3、小马虎计算1到2006这2006个连续整数的平均数.在求这2006个数的和时,他少算了其中的一个数,但他仍按2006个数计算平均数,结果求出的数比应求得的数小1.小马虎求和时漏掉的数是.【考点】等差数列的求和【解析】少的这个数应该给每一个数都补上1,才能使结果正确,共要补上2006,因此这个漏掉的数是2006.例4、下列数阵中有100个数,它们的和是多少？1112131920121314202113141521222920212228【考点】数阵中的等差数列【解析】方法一：用基本公式算所给数列的和,可以一行行算,或者一列列算,然后把所得的和相加．(比较慢,这里不再写具体过程)方法二：每一行或者每一列的和均构成一个等差数列,利用等差数列和=中间项⨯项数．先看行,因为是偶数行没有中间项,首项1112201120102155=+++=+⨯÷=（）,末项2021292029102245=+++=+⨯÷=（）或者155********=+-⨯=（）．这100个数之和1552451022000=+⨯÷=（）．按列算同上．方法三：从右上到左下的对角线上的数都是20,沿此对角线对折,上下重叠的两数之和都是40,所以这100个数的平均数是20,这100个数之和201002000=⨯=．答案：2000考点三：等差数列的应用 例1、已知数列：2,1,4,3,6,5,8,7,,问2009是这个数列的第多少项？【考点】等差数列的公式运用【解析】偶数项的排列规律是：1、3、5、7,奇数项的排列规律是：2、4、6、8,方法一：可以看出两个数列都是等差数列．由于2009是奇 数,所以在偶数项数列中,它的项数是：2009121005+÷=（）,所以在整个数列中,2009的项数是100522010⨯=,所以2009是这个数列的第2010项．方法二：仔细观察能发现,在整个数列中,奇数的项数是该数1+,偶数的项数是该数2÷,所以2009是这个数列的第200912010+=项．答案：2010例2、在11～45这35个数中,所有不被3整除的数的和是多少？ 【考点】等差数列的公式运用【解析】先求被3整除的数的和；11～45中能被3整除的数有12,15,…,45,和为：121542451245122342++++=+⨯÷=（）；于是,满足要求的数的和为：1145342980342638++-=-=（）．答案：638例3、如图2,用火柴棍摆出一系列三角形图案,按这种方式摆下去,当N=5时,按这种方式摆下去,当N=5时,共需要火柴棍根.【考点】找规律计算【解析】找规律3,3+6,3+6+9…,N=5时,需要火柴棍3+6+9+12+15=45答案：45例4、将一些半径相同的小圆按如下所示的规律摆放：第1个图形中有6个小圈,第2个图形中有10个小圈,第3个图形中有16个小圈,第4个图形中有24个小圈,…,依此规律,第6个图形有___________个小圈.【考点】找规律计算2010年,第8届,希望杯,4年级,1试【解析】除周围4个小圆外,中间小圆的规律是1×2,2×3,3×4,……,第6个图有6×7＋4＝46个小圆.答案：46实战演练➢课堂狙击1、在数列3、6、9……,201中,共有多少数？如果继续写下去,第201个数是多少？【解析】(1)因为在这个等差数列中,首项=3,末项=201,公差=3,所以根据公式：项数=(末项-首项)÷公差+1,便可求出.(2)根据公式：末项=首项+公差⨯(项数-1)解：项数=(201-3)÷3+1=67末项=3+3⨯(201-1)=603答：共有67个数,第201个数是6032、全部三位数的和是多少？【解析】所有的三位数就是从100~999共900个数,观察100、101、102、……、998、999这一数列,发现这是一个公差为1的等差数列.要求和可以利用等差数列求和公式来解答.解：(100+999)⨯900÷2=1099⨯900÷2=494550答：全部三位数的和是494550.3、求下列方阵中所有各数的和：1、2、3、4、……49、50；2、3、4、5、……50、51；3、4、5、6、……51、52；……49、50、51、52、……97、98；50、51、52、53、……98、99.【解析】这个方阵的每一横行(或竖行)都各是一个等差数列,可先分别求出每一横行(或竖行)数列之和,再求出这个方阵的和.解：每一横行数列之和：第一行：(1+50)⨯50÷2=1275第二行：(2+51)⨯50÷2=1325第三行：(3+51)⨯50÷2=1375……第四十九行：(49+98)⨯50÷2=3675第五十行：(50+99)⨯50÷2=3725方阵所有数之和：1275+1325+1375+……+3675+3725=(1275+3725)⨯50÷2=1250004、若干人围成16圈,一圈套一圈,从外向内圈人数依次少6人,如果共有912人,问最外圈有多少人？最内圈有多少人？【解析】从已知条件912人围成16圈,一圈套一圈,从外到内各圈依次减少6人,也就是告诉我们这个等差数列的和是912,项数是16,公差是6.题目要求是的等差数列末项a n−a1=d ×(n-1)=6×(16-1)=90(人)解：an +a1=S⨯2÷n=912⨯2÷16=114(人)外圈人数=(90+114)÷2=102(人)内圈人数=(114-90)÷2=12(人)答：最外圈有102人,最内圈有12人.5、有一串数,已知第一个数是6,而后面的每一个数都比它前面的数大4,这串数中第2003个数是 .【解析】6+4⨯(2003-1)=6+4⨯2002 =80146、一个剧院共有25排座位,从第一排起,以后每排都比前一排多2个座位,第25排有70个座位,这个剧院共有 个座位. 【解析】末项=2+(100+1)⨯2=200和=(2+200)⨯1002=101007、一个五层书架共放了600本书,已知下面一层都比上面一层多10本书.最上面一层放 本书,最下面一层放 本书. 【解析】100、140中间一层本数：600÷5=120(本) 最上面一层：12-10⨯2=100(本) 最下面一层：120+1⨯2=140(本8、有10只盒子,54个乒乓球,能不能把54个乒乓球放进盒子中去,使各盒子的乒乓球数不相等？ 【解析】题中要求办不到.9、有一堆粗细均匀的圆木,堆成如下图的形状,最上面一层有7根园木,每面下层增加1根,最下面一层有95根,问：这堆圆木一共有多少根？【解析】 7+95=102(根)95-7+1=89(层) 102⨯89÷2=4539(根) 答：这堆圆木一共有4539根.10、有一个六边形点阵,如下图,它的中心是一个点,算做第一层,第二层每边有两个点,第三层每边有三个点……这个六边形点阵共100层,问,这个点阵共有多少个点？【解析】第100层有点：6+(99-1)⨯6=6+98⨯6÷=6⨯99 =594(个)点阵只有点： 1+(6+594)⨯99÷2 =1+600⨯99÷2 =29701(个) 答：这个点阵共有点29701个.➢ 课堂反击1、观察右面的五个数：19、37、55、a 、91排列的规律,推知a =________ . 【解析】19+18=37,37+18=55,所以a =55+18=73 答案：732、2,5,8,11,14……是按照规律排列的一串数,第21项是多少？ 【考点】等差数列的基本认识【解析】此数列为一个等差数列,将第21项看做末项.末项=2+(21-1)×3=62 答案：623、在等差数列6,13,20,27,…中,从左向右数,第 _______个数是1994． 【考点】等差数列公式的简单运用【解析】每个数比前一个数大7,根据求通项1(1)n a a n d =+-的公式得1()1n n a a d =-÷+,列式得：(19946)7284-÷= 2841285+=即第285个数是1994．答案：2854、有20个数,第1个数是9,以后每个数都比前一个数大3．这20个数相加,和是多少？ 【考点】等差数列的求和【解析】末项是：9201366+-⨯=（）,和是：966202750+⨯÷=（） 答案：7505、把210拆成7个自然数的和,使这7个数从小到大排成一行后,相邻两个数的差都是5,那么,第1个数与第6个数分别是多少？【考点】等差数列的求和【解析】由题可知：由210拆成的7个数一定构成等差数列,则中间一个数为210730÷=,所以,这7个数分别是15、20、25、30、35、40、45.即第1个数是15,第6个数是40.答案：406、已知数列2、3、4、6、6、9、8、12、,问:这个数列中第2000个数是多少？第2003个数是多少？【考点】等差数列的公式运用【解析】奇数项的排列规律是：2、4、6、8,偶数项的排列规律是：3、6、9、12,可以看出奇数项与偶数项都成等差数列,先求出要求的两个数各自在等差数列中的项数：第2000个数在偶数项等差数列中是第200021000÷=个数,第2003个数在奇数项等差数列中是第2003121002+÷=（）个数,所以第2000个数是31000133000+-⨯=（）,第2003个数是21002122004+-⨯=（）．答案：20047、把248分成8个连续偶数的和,其中最大的那个数是多少？【考点】等差数列的公式运用【解析】平均数：248÷8=31,第4个数：31-1=30.第1个数：30-6=24,末项：24+(8-1)×2=38.即：最大的数为38.答案：388、观察下列四个算式：201=20,202=10,104=52,528=516.从中找出规律,写出第五个算式：.【考点】找规律计算,2009年,希望杯,第七届,六年级,二试【解析】发现规律,第5个算式为516÷16=5256.答案：52569、若干个硬币排成左下图,每个硬币所在行的硬币数与所在列的硬币数相减得出一个差(大数减小数),如对于a,差为7-5=2,所有差的总和为.【考点】数阵中的等差数列【解析】根据题目要求操作找规律发现第一行第一个圈为0,和为0第二行第一个圈为1,第二个圈为0,和为1第三行第一个圈为2,第二个圈为1,第三个圈为0和为123+=第四行第一个圈为3,第二个圈为2,第三个圈为1,第四个圈为0,和为1+2+3=6……所以这些差有7个1,6个2,5个3,4个4,3个5,2个6,1个7和为71+62+53+44+35+26+17⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=7+12+15+16+15+12+7=84答案：84直击赛场1、从1开始的奇数：1,3,5,7,……其中第100个奇数是_____.【考点】等差数列的基本认识【解析】1992、(2006年,第4届,希望杯,4年级,1试)观察下列算式：2＋4＝6＝2×3,2＋4＋6＝12＝3×42＋4＋6＋8＝20＝4×5……然后计算：2＋4＋6＋……＋100＝.【考点】找规律计算【解析】等式右边第一个乘数等于等式左边加数的个数,100以内的偶数有50个,所以2＋4＋6＋……＋100＝50×51＝2550答案：25503、(2005年,第3届,走美杯,5年级,决赛)从正整数1～N 中去掉一个数,剩下的(N 一1)个数的平均值是15.9,去掉的数是_____.【考点】等差数列的公式运用【解析】因为“剩下的(N -1)个数的平均值是15．9”,所以(N -1)是10的倍数,且N 在15．9×2=31．8左右,推知N =31.去掉的数是(1+2+3+…+31)-15.9×30=496-477=19.答案：19一、等差数列的定义 ⑴定义：从第二项起,每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数),这样的数列我们称它为等差数列．⑵ 首项：一个数列的第一项,通常用1a 表示末项：一个数列的最后一项,通常用n a 表示,它也可表示数列的第n 项.项数：一个数列全部项的个数,通常用n 来表示；公差：等差数列每两项之间固定不变的差,通常用d 来表示；和 ：一个数列的前n 项的和,常用n S 来表示 ．二、等差数列的相关公式(1)三个重要的公式① 通项公式：递增数列：末项=首项+(项数1-)⨯公差,11n a a n d =+-⨯（）递减数列：末项=首项-(项数1-)⨯公差,11n a a n d =--⨯（）② 项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1③ 求和公式：和=(首项+末项)⨯项数÷2(2) 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列,中间一项的值等于所有项的平均数,也等于首项与末项和的一半；或者换句话说,各项和等于中间项乘以项数．重点回顾学霸经验➢本节课我学到➢我需要努力的地方是。
四年级上册奥数知识点专讲第4课《等差数列及其应用》试题附答案
惜你别时依依
你忘，或者不忘
我都在这里，念你、羡你
念你袅娜身姿
羡你悠然书气
人生若只如初见
任你方便时来
随你心性而去
却为何，有人
为一眼而愁肠百转
为一见而不远千里
晨起凭栏眺
但见云卷云舒
风月乍起
春寒已淡忘
如今秋凉甚好
几度眼迷离
感谢喧嚣
把你高高卷起
砸向这一处静逸
惊翻了我的万卷
和其中的一字一句
幸遇只因这一次
被你拥抱过，览了
被你默诵过，懂了
被你翻开又合起
被你动了奶酪和心思
不舍你的过往
和过往的你
记挂你的现今
和现今的你
遐想你的将来
和将来的你
难了难了
相思可以这一世
---------------------谢谢喜欢--------------------
小学四年级上册数学奥数知识点讲解第4课《等差数列及其应用》试题附答案
其应用习题解答
---------------------赠予---------------------
【幸遇•书屋】
你来，或者不来
我都在这里，等你、盼你
等你婉转而至
盼你邂逅而遇
你想，或者不想
我都在这里，忆你、惜你
小学奥数 等差数列应用题 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)
【例 1】 100以内的自然数中。
所有是3的倍数的数的平均数是 。
【考点】等差数列应用题 【难度】1星 【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，复赛，第3题，5分【解析】 100以内的自然数中是3的倍数的数有0，3,6,9,99共33个，他们的和是()09934179916832+⨯=⨯=，则他们的平均数为1683÷34=49.5。
【答案】49.5【例 2】 一群小猴上山摘野果，第一只小猴摘了一个野果，第二只小猴摘了2个野果，第三只小猴摘了3个野果，依次类推，后面的小猴都比它前面的小猴多摘一个野果。
最后，每只小猴分得8个野果。
这群小猴一共有_________只。
【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，二试，第7题【解析】 平均每只猴分8个野果，所以最后一只猴摘了821=15⨯-只果，共有15只猴.【答案】15只猴子【例 3】 15位同学排成一队报数，从左边报起思思报10．从右边报起学学报12．那么学学和思思中间排着有 位同学．【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】填空【关键词】学而思杯，1年级【解析】因为从左边起思思报10，所以，思思的右边还有15105-=（个）；又因为从右边起学学报12，所以，学学的左边还有15123-=（个），15645--=（个）学学和思思中间排着5位同学．<考点> 排队问题【答案】5位【例 4】 体育课上老师指挥大家排成一排，冬冬站排头，阿奇站排尾，从排头到排尾依次报数。
如果冬冬报17，阿奇报150，每位同学报的数都比前一位多7，那么队伍里一共有多少人？【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 首项=17，末项=150，公差=7，项数=（150-17）÷7+1=20【答案】20【例 5】 一个队列按照每排2，4，6，8人的顺序可以一直排到某一排有100人 ，那么这个队列共有多少人？【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 （方法一）利用等差数列求和公式：通过例1的学习可以知道，这个数列一共有50个数，再将和为102的两个数一一配对，可配成25对．所以2469698100++++++=2+10025=10325=2550⨯⨯（）例题精讲等差数列应用题（方法二）根据12398991005050++++++=，从这个和中减去1357...99+++++的和，就可得出此题的结果，这样从“反面求解”的思想可以给学生灌输一下，为今后的学习作铺垫．【答案】2550【例 6】 有一个很神秘的地方，那里有很多的雕塑，每个雕塑都是由蝴蝶组成的．第一个雕塑有3只蝴蝶，第二个雕塑有5只蝴蝶，第三个雕塑有7只蝴蝶，第四个雕塑有9只蝴蝶，以后的雕塑按照这样的规律一直延伸到很远的地方，学学和思思看不到这排雕塑的尽头在哪里，那么，第102个雕塑是由多少只蝴蝶组成的呢？由999只蝴蝶组成的雕塑是第多少个呢？【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 也就是已知一个数列：3、5、7、9、11、13、15、…… ，求这个数列的第102项是多少？999是第几项？由刚刚推导出的公式——第n 项=首项+公差1n ⨯-（）， 所以，第102项321021205=+⨯=（-）；由“项数=(末项-首项)÷公差1+”，999所处的项数是： 999321996214981499-÷+=÷+=+=（）【答案】499【例 7】 如右图，用同样大小的正三角形，向下逐次拼接出更大的正三角形。
小学奥数知识名师点拨 例题精讲 解题思路 扶梯问题.教师版
是 60+10=70 级，所以，小志攀登静止的电梯分别需要用时 70÷2=35 秒． 【答案】35 秒
3-2-7.扶梯问题.题库
教师版
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【例 6】 小淘气乘正在下降的自动扶梯下楼，如果他一级一级的走下去，从扶梯的上端走到下端需要走
36 级．如果小淘气沿原自动扶梯从下端走到上端(很危险哦，不要效仿!)，需要用下楼时 5 倍的
【题型】解答
【解析】当电梯静止时，无论是由下往上，还是由上往下，两个孩子走的阶数都是电梯的可见阶数．当电
梯运行时，女孩所走的阶数与电梯同时间内所走的阶数之和等于电梯可见阶数，男孩所走的阶数
与电梯同时间内所走的阶数之差也等于电梯可见阶数. 因为男孩的速度是女孩速度的 2 倍，所以男孩走 80 阶到达楼下与女孩走 40 阶到达楼上所用时间
向下走需 24 秒到达楼下（千万别模仿！），那么电动扶梯不动时，小明徒步沿扶梯上楼需多少秒？
【考点】行程问题之扶梯问题
【难度】3 星
【题型】解答
【解析】小明徒步走的速度是 ( 1 1 ) 2 1 ，所以小明徒步上楼需1 1 16 (秒).
12 24
16
16
【答案】16 秒
【例 2】 在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯．小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一级
如果他向下走 28 阶，则需时18 秒即可由电扶梯顶到达底部．请问这座电扶梯有几阶？
【考点】行程问题之扶梯问题
【难度】4 星
【题型】解答
【关键词】台湾小学数学竞赛，决赛
【解析】首先从题中可以看出两种情况下小丁的速度是不相同的，否则两次走过的阶数之比为1: 2 ，时间
之比也应该为1: 2 才对．
小学奥数等差数列精讲
第二章等差数列1. 等差数列的认识（★）（1）知识点速记：若从第二项起，每一项和前一项的差是固定的数，那么该数列就是等差数列。
如：1、5、9、14.......数列的第一项叫首项，数列的最后一项叫末项，数列的个数叫项数，数列后一项和前一项的差叫公差。
2. 等差数列公式（★★）（1）知识点速记：若一个数列是等差数列，那么：末项=首项+（项数-1）×公差项数=（末项-首项）÷公差+1总和=（首项+末项）×项数÷2（2）例二：数列4、7、10、13、16、19........求数列第100项是多少？求数列前100项的和是多少？（3）课堂练习：①已知数列6、14、22、30......求数列第50项是多少？求数列前50项的和是多少？②已知数列16、21、26、31.......、101、106求该数列一共有几个数，该数列的总和是多少3.等差数列应用题（★★）（1）例三：丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学会1个，最后一天学会了16个。
丽丽在这些天中共学会了多少个单词？例四：有10个朋友聚会，见面时如果每人都要和其余的人握一次手，那么共握了多少次手?（2）课堂练习:①有一家电影院，共有30排座位，后一排都比前一排多两个位置，已知第一排有28个座位，那么这家电影院共可以容纳多少名观众②一个家具厂生产书桌，从第二个月起，每个月增加10件，一年共生产了1920件，那么这一年的12月份共生产了多少书桌？家庭作业：1、6＋7＋8＋9＋……＋74＋75＝（）2、2＋6＋10＋14＋……＋122＋126＝（）3、已知数列2、5、8、11、14……，47应该是其中的第几项4、有一个数列：6、10、14、18、22……，这个数列前100项的和是多少5、有从小到大排列的一列数，共有100项，末项为2003，公差为3，求这个数列的和。
6、在等差数列6、13、20、27……中，第几个数是1994？7、一个剧场设置了22排座位，第一排有36个座位，往后没排都比前一排多2个座位，这个剧场共有多少个座位？8、省工人体育馆的12区共有20排座位，呈梯形，第1排有10个座位，第2排有11个座位，第3排有12个座位……这个体育馆的12区共有多少个座位？。
小学奥数 等差数列的认识与公式运用 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)
本讲知识点属于计算板块的部分，难度较三年级学到的该内容稍大，最突出一点就是把公式用字母表示。
要求学生熟记等差数列三个公式，并在公式中找出对应的各个量进行计算。
一、等差数列的定义⑴ 先介绍一下一些定义和表示方法定义：从第二项起，每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数)，这样的数列我们称它为等差数列．譬如：2、5、8、11、14、17、20、从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列100、95、90、85、80、从第二项起，每一项比前一项小5 ，递减数列⑵ 首项：一个数列的第一项，通常用1a 表示末项：一个数列的最后一项，通常用n a 表示，它也可表示数列的第n 项。
项数：一个数列全部项的个数，通常用n 来表示；公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用d 来表示； 和 ：一个数列的前n 项的和，常用n S 来表示 ．二、等差数列的相关公式(1)三个重要的公式① 通项公式：递增数列：末项=首项+(项数1-)⨯公差，11n a a n d =+-⨯（） 递减数列：末项=首项-(项数1-)⨯公差，11n a a n d =--⨯（） 回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让学生明白 末项其知识点拨教学目标等差数列的认识与公式运用实就是首项加上(末项与首项的)间隔个公差个数，或者从找规律的情况入手．同时还可延伸出来这样一个有用的公式：n m a a n m d -=-⨯（），n m >（）② 项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1由通项公式可以得到：11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)；11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)． 找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的． 譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、、40、43、46 ，分析：配组：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、、(46、47、48)，注意等差是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有484145-+=项，每组3个数，所以共45315÷=组，原数列有15组． 当然还可以有其他的配组方法．③ 求和公式：和=(首项+末项)⨯项数÷2 对于这个公式的得到可以从两个方面入手： (思路1) 1239899100++++++11002993985051=++++++++共50个101（）（）（）（）101505050=⨯=(思路2)这道题目，还可以这样理解： 23498991001009998973212101101101101101101101+++++++=+++++++=+++++++和=1+和倍和即，和(1001=+⨯÷=⨯=(2) 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数．譬如：① 48123236436922091800+++++=+⨯÷=⨯=（），题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于209⨯； ② 65636153116533233331089++++++=+⨯÷=⨯=（），题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于3333⨯．例题精讲模块一、等差数列基本概念及公式的简单应用等差数列的基本认识【例 1】下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由。
小学奥数1-2-1-2等差数列计算题教师版
小学奥数1-2-1-2等差数列计算题教师版等差数列计算题知识点拨等差数列的相关公式(1)三个重要的公式①通项公式：递增数列：末项首项(项数)公差，递减数列：末项首项(项数)公差，回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让学生明白末项其实就是首项加上(末项与首项的)间隔个公差个数，或者从找规律的情况入手．同时还可延伸出来这样一个有用的公式：，②项数公式：项数(末项首项)公差+1由通项公式可以得到：(若)；(若)．找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的．譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、、40、43、46，分析：配组：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、、(46、47、48)，注意等差是3，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有项，每组3个数，所以共组，原数列有15组．当然还可以有其他的配组方法．③求和公式：和=(首项末项)项数÷2对于这个公式的得到可以从两个方面入手：(思路1) (思路2)这道题目，还可以这样理解：即，和(2)中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数．譬如：①，题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于；②，题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于．例题精讲【例1】用等差数列的求和公式会计算下面各题吗？⑴⑵⑶【考点】等差数列计算题【难度】2星【题型】计算【解析】⑴根据例1的结果知：算式中的等差数列一共有76项，所以：⑵算式中的等差数列一共有50项，所以：⑶算式中的等差数列一共有15项，所以：【答案】⑴⑵⑶【巩固】1+2+……+8+9+10+9+8+……+2+1=_____。
【考点】等差数列计算题【难度】2星【题型】计算【关键词】希望杯，四年级，二试【解析】1+2+3+…+n+…+3+2+1=n×n，所以原式=10×10=100【答案】【巩固】1966、1976、1986、1996、2022这五个数的总和是多少?【考点】等差数列计算题【难度】1星【题型】计算【关键词】华杯赛，初赛【解析】1986是这五个数的平均数，所以和＝1986×5＝9930。
四年级奥数第五讲-等差数列(二)-教师版
第五讲等差数列（二）解题方法某些问题以转化为求若干个数的和解决这些问题时先要判断这些数是否成为等差数列，如果是等差数列才可以运用它的一些公式。
在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。
例题1小王看一本书第一天看了20页，以后每天都比前一天多看2页，第30天看了78页正好看完。
这本书共有多少页？提示根据条件“以后每天比前一天多看2页”可以知道他每天看的页数都是按照一定规律排列的数，即20、22、24、…、76、78。
要求这本书共有多少页也就是求出这列数的和。
解：由题意可知，这列数是一个等差数列，首项=20，末项=78，项数=30，所以这本书共有（20+78）×30÷2=1470（页）答：这本书共有1470页。
引申1、文丽学英语单词,第一天学会了3个，以后每天都比前一天多学会1个，最后一天学会了21个。
文丽在这些天中共学会了多少个英语单词？解：文丽每天学会的单词个数是一个等差数列，即3、4、5、6、…、21。
首项=3，末项=21，项数=（21-3）÷2+1=10。
所以，文丽在这些天中共学会了（3+21）×10÷2=120(个)答：文丽在这些天中共学会了120个英语单词。
2、李师傅做一批零件，第一天做了25 个，以后每天都比前一天多做2个，第20天做了63个正好做完。
这批零件共有多少个？答:（25+63）×20÷2=880（个）3、小李读一本短篇小说，她第一天读了20页这个等差数列共有多少项?答：这个等差数列共有29项。
例题2 建筑工地上堆着一些钢管(如图所示),求这堆钢管一共有多少根。
提示：根据图可以知道，这是一个以3为首项，以1为公差的等差数列，求钢管一共有多少根其实是求这列数的和。
解：求钢管一共有多少根,其实就是求3+4+5+…+9+10的和。
项数=(10-3)÷1+1=8,根据公式求和为:3+4+5+…+9+10=(3+10)×8÷2=13×8÷ 2=52(根)。
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等差数列应用题例题精讲【例 1】100以内的自然数中。
所有是3的倍数的数的平均数是 。
【考点】等差数列应用题 【难度】1星 【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，复赛，第3题，5分【解析】100以内的自然数中是3的倍数的数有0，共33个，他们的和是3,6,9,99 ，则他们的平均数为1683÷34=49.5。
()09934179916832+⨯=⨯=【答案】49.5【例 2】一群小猴上山摘野果，第一只小猴摘了一个野果，第二只小猴摘了2个野果，第三只小猴摘了3个野果，依次类推，后面的小猴都比它前面的小猴多摘一个野果。
最后，每只小猴分得8个野果。
这群小猴一共有_________只。
【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，二试，第7题【解析】平均每只猴分8个野果，所以最后一只猴摘了只果，共有15只猴.821=15⨯-【答案】只猴子15【例 3】15位同学排成一队报数，从左边报起思思报10．从右边报起学学报12．那么学学和思思中间排着有 位同学．【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】填空【关键词】学而思杯，1年级【解析】因为从左边起思思报10，所以，思思的右边还有（个）；又因为从右边起学学报12，15105-=所以，学学的左边还有（个），（个）学学和思思中间排着5位同学．15123-=15645--=<考点> 排队问题【答案】位5【例 4】体育课上老师指挥大家排成一排，冬冬站排头，阿奇站排尾，从排头到排尾依次报数。
如果冬冬报17，阿奇报150，每位同学报的数都比前一位多7，那么队伍里一共有多少人？【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答【解析】【解析】首项=17，末项=150，公差=7，项数=（150-17）÷7+1=20【答案】20【例 5】一个队列按照每排2，4，6，8人的顺序可以一直排到某一排有100人 ，那么这个队列共有多少人？【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答【解析】（方法一）利用等差数列求和公式：通过例1的学习可以知道，这个数列一共有50个数，再将和为102的两个数一一配对，可配成25对．所以2469698100++++++ =2+10025=10325=2550⨯⨯（）（方法二）根据，从这个和中减去的和，就12398991005050++++++= 1357...99+++++可得出此题的结果，这样从“反面求解”的思想可以给学生灌输一下，为今后的学习作铺垫．【答案】2550【例 6】有一个很神秘的地方，那里有很多的雕塑，每个雕塑都是由蝴蝶组成的．第一个雕塑有3只蝴蝶，第二个雕塑有5只蝴蝶，第三个雕塑有7只蝴蝶，第四个雕塑有9只蝴蝶，以后的雕塑按照这样的规律一直延伸到很远的地方，学学和思思看不到这排雕塑的尽头在哪里，那么，第102个雕塑是由多少只蝴蝶组成的呢？由999只蝴蝶组成的雕塑是第多少个呢？【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答【解析】【解析】也就是已知一个数列：3、5、7、9、11、13、15、…… ，求这个数列的第102项是多少？999是第几项？由刚刚推导出的公式——第项首项公差，n =+1n ⨯-（）所以，第102项；由“项数(末项首项)公差”，999所处的项数是：321021205=+⨯=（-）=-÷1+ 999321996214981499-÷+=÷+=+=（）【答案】499【例 7】如右图，用同样大小的正三角形，向下逐次拼接出更大的正三角形。
其中最小的三角形顶点的个数(重合的顶点只计一次)依次为：3，6，10，15，21，…问：这列数中的第9个是多少？【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】填空【关键词】华杯赛，初赛，第6题【解析】这列数第一项为3，第二项比第一项多3，以后每项比前项多项数加1，所以第9项为3＋3＋4＋5＋6＋…＋10＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋…＋10＝55。
【答案】55【例 8】有一堆粗细均匀的圆木，堆成梯形，最上面的一层有5根圆木，每向下一层增加一根，一共堆了28层．问最下面一层有多少根?【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答【解析】将每层圆木根数写出来，依次是：5，6，7，8，9，10，…可以看出，这是一个等差数列，它的首项是5，公差是1，项数是28．求的是第28项．我们可以用通项公式直接计算．解： 1(1)n a a n d=+-⨯5(281)1=+-⨯(根)32=故最下面的一层有32根．【答案】32【巩固】建筑工地有一批砖，码成如右图形状，最上层两块砖，第2层6块砖，第3层10块砖…，依次每层都比其上面一层多4块砖，已知最下层2106块砖，问中间一层多少块砖？这堆砖共有多少块？【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答【解析】【解析】项数=（2106-2）÷4+1=527，因此，层数为奇数，中间项为（2+2106）÷2=1054，数列和=中间项×项数=1054×527=555458，所以中间一层有1054块砖，这堆砖共有555458块。
【答案】555458【例 9】一个建筑工地旁，堆着一些钢管（如图），聪明的小朋友，你能算出这堆钢管一共有多少根吗？【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 (方法一）不难发现，这堆钢管每一层都比上一层多1根，也就是从上到下每层钢管的数量构成了一个等差数列，而且首项为3，末项为10，项数为8．由等差数列求和公式可以求出这堆钢管的总数量：（根）3108252+⨯÷=（）（方法二）我们可以这样假想：通过对几何图形进行旋转，从而达到配对的目的是解决问题的关键（如图）这个槽内的钢管共有8层，每层都有（根），所以槽内钢管的总数为： 31013+=3108104+⨯=（）（根）．取它的一半，可知例题图中的钢管总数为：（根）104252÷=【答案】52【巩固】某剧院有20排座位，后一排都比前一排多2个座位，最后一排有70个座位，这个剧院一共有多少个座位？【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答【解析】【解析】第一排座位数：（个），一共有座位：（个）．702(201)32-⨯-=(3270)2021020+⨯÷=【答案】1020【巩固】一个大剧院，座位排列成的形状像是一个梯形，而且第一排有10个座位，第二排有12个座位，第三排有14个座位，……最后一排他们数了一下，一共有210个座位，思考一下，剧院中间一排有多少个座位呢？这个剧院一共有多少个座位呢?【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答【解析】如果我们把每排的座位数依次记下来，10、12、14、16、… 容易知道，是一个等差数列．210是第排，中间一排就是第排，那么中间一排有：2101021101n =-÷+=（）1011251+÷=（）（个）座位．根据刚刚学过的中项定理，这个剧场一共有：105112110+-⨯=（）11010111110⨯=（块）．【答案】11110【例 10】有码放整齐的一堆球，从上往下看如右图，这堆球共有多少个？【考点】等差数列应用题 【难度】5星 【题型】填空【关键词】华杯赛，初赛，第10题【解析】从图中可以看出，除去最上层1个球外，第二层（次上层）有（1＋2＋3＋4＋5）＝15个球，以后每层比上一层多6、7、8、9、10个球，共7层.15＋6＝21，21＋7＝28，28＋8＝36，36＋9＝45，45＋10＝55，1＋15＋21＋28＋36＋45＋55＝201。
答：共有201个球。
【答案】个球201【例 11】某年4月所有星期六的日期数之和是54，这年4月的第一个星期六的日期数是。
【考点】 等差数列应用题 【难度】2星 【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，二试，第14题【解析】4x +(+7) +(+14) +(+21)=54，x =3【答案】3【例 12】一辆双层公共汽车有66个座位，空车出发，第一站上一位乘客，第二站上两位乘客，第三站上三位乘客，依此类推，第几站后，车上坐满乘客？【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答【解析】通过尝试可得：，即第11站后，车上坐满乘客．记住自然1231111111266++++=+⨯÷= （）数的和对于解一些应用题很有帮助，需要尝试求解时能够较快找到大概的数．1~10【答案】11【例 13】时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟敲一下．问：时钟一昼夜打多少下？【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答【解析】【解析】时钟每个白天敲打的次数是每个整点敲打次数的和加上12个半点敲打的一下，即：（下），1231212112)12212781290+++++=+⨯÷+=+= （）（所以一昼夜时钟一共敲打：（下）．902180⨯=【答案】180【例 14】已知：，，则、两个数中，较大的数比13599101a =+++++ 24698100b =+++++ a b 较小的数大多少？【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答【解析】（方法一）计算：，，所以比大，大11015122601a =+⨯÷=（）21005022550b =+⨯÷=（）a b ．2601255051-= （方法二）通过观察，中的加数从第二个数起依次比中的加数大1，所以比大，a b a b 13254999810110051a b -=+-+-++-+-= （）（）（）（）【答案】51【例 15】小明进行加法珠算练习，用，当加到某个数时，和是1000．在验算时发现重复1234++++ 加了一个数，这个数是多少？【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答【关键词】迎春杯【解析】【解析】通过尝试可以得到．于是，重复计算的数是12344144442990++++=+⨯÷= （）100099010-=．【答案】10【例 16】编号为的9个盒子里共放有351粒糖，已知每个盒子都比前一个盒子里多同样数量的1~9糖．如果1号盒子里放11粒糖，那么后面的盒子比它前一个盒子里多放几粒糖？【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答【解析】【解析】根据题意，灵活运用有关等差数列的求和公式进行分析与解答．由等差数列求和公式“和首项末项项数”，可得：末项和项数首项．=（+⨯）2÷=2⨯÷-则第9个盒子中糖果的粒数为：（粒）351291167⨯÷-=题目所求即公差（粒），则后面盒子比前一个盒子多放7粒糖．6711915687=-÷-=÷=（）（）【答案】7【巩固】例题中已知如果改为3号盒子里放了23粒糖呢？【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答【解析】等差数列有个规律：首项末项第2项倒数第2项第3项倒数第3项，所以我们可+=+=+= 以得到等差数列求和公式的一个变形，假设等差数列有n 项，则和第项第项=（a +1n a -+n⨯），则倒数第3个盒子即第个盒子中糖果的粒数为：（粒）2÷931-+（）351292355⨯÷-=题目所求即公差（粒），则后面盒子比前一个盒子多放8粒糖．5523733248=-÷-=÷=（）（）【答案】8【例 17】小王和小高同时开始工作。