41 简谐运动 旋转矢量 简谐运动的能量PPT课件
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《简谐运动的图象》课件
利用弹簧的伸缩产生简谐运动， 可以用于测量时间、频率等物理
量。
振动机械
在机械制造中，可以利用简谐运动 的原理设计振动机械，如振动筛、 振动磨等。
声波产生
声音是由物体的振动产生的，而物 体的振动可以看作是简谐运动，因 此声波的产生也可以用简谐运动来 描述。
02
简谐运动的图象
简谐运动的振动图象
振动图象的概念
实例二
一个复杂的振动信号可以通过傅里叶级数分解为若干个简谐运动的合成，通过 调整各次谐波的幅度和相位，可以实现对复杂振动信号的控制和调制。
THANKS
感谢观看
简谐运动的波形图象
波形图象的概念
波形图象是描述简谐运动中所有质点在同一时刻的位移分布情况 ，即振动过程中某一时刻的波的形状。
波形图象的特点
波形图象是一条正弦曲线，其形状取决于波长和振幅。
波形图象的物理意义
通过波形图象可以直观地了解波的传播方向、波长、振幅和频率等 参数，进而分析波的叠加、干涉和衍射等现象。
《简谐运动的图象》ppt课件
contents
目录
• 简谐运动简介 • 简谐运动的图象 • 简谐运动的周期性 • 简谐运动的能量 • 简谐运动的合成与分解
01
简谐运动简介
简谐运动的定义
简谐运动：物体在跟偏离平衡位置的 位移大小成正比，并且总指向平衡位 置的回复力的作用下的振动，其轨迹 是正弦或余弦函数图象的运动。
振动图象与波形图象的比较
相同点
振动图象和波形图象都是正弦或余弦曲线，其形状取决于振动的周期、振幅和初 相位。
不同点
振动图象是描述质点在不同时刻的位移，而波形图象是描述所有质点在同一时刻 的位移分布情况。此外，振动图象可以分析质点的速度和加速度变化情况，而波 形图象则可以分析波的传播方向、波长、振幅和频率等参数。
量。
振动机械
在机械制造中，可以利用简谐运动 的原理设计振动机械，如振动筛、 振动磨等。
声波产生
声音是由物体的振动产生的，而物 体的振动可以看作是简谐运动，因 此声波的产生也可以用简谐运动来 描述。
02
简谐运动的图象
简谐运动的振动图象
振动图象的概念
实例二
一个复杂的振动信号可以通过傅里叶级数分解为若干个简谐运动的合成，通过 调整各次谐波的幅度和相位，可以实现对复杂振动信号的控制和调制。
THANKS
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简谐运动的波形图象
波形图象的概念
波形图象是描述简谐运动中所有质点在同一时刻的位移分布情况 ，即振动过程中某一时刻的波的形状。
波形图象的特点
波形图象是一条正弦曲线，其形状取决于波长和振幅。
波形图象的物理意义
通过波形图象可以直观地了解波的传播方向、波长、振幅和频率等 参数，进而分析波的叠加、干涉和衍射等现象。
《简谐运动的图象》ppt课件
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目录
• 简谐运动简介 • 简谐运动的图象 • 简谐运动的周期性 • 简谐运动的能量 • 简谐运动的合成与分解
01
简谐运动简介
简谐运动的定义
简谐运动：物体在跟偏离平衡位置的 位移大小成正比，并且总指向平衡位 置的回复力的作用下的振动，其轨迹 是正弦或余弦函数图象的运动。
振动图象与波形图象的比较
相同点
振动图象和波形图象都是正弦或余弦曲线，其形状取决于振动的周期、振幅和初 相位。
不同点
振动图象是描述质点在不同时刻的位移，而波形图象是描述所有质点在同一时刻 的位移分布情况。此外，振动图象可以分析质点的速度和加速度变化情况，而波 形图象则可以分析波的传播方向、波长、振幅和频率等参数。
旋转矢量法简谐运动的动力学能量实例
旋转矢量的长度表示振动的振幅，矢 量的角度表示相位，通过旋转矢量的 旋转速度和方向可以描述简谐运动的 特性。
旋转矢量与简谐运动的关联
旋转矢量与简谐运动的振动方向和速度相关联，通过旋转矢量的几何特性可以推 导出简谐运动的振动方程和能量表达式。
旋转矢量法可以直观地表示简谐运动的振动形式，帮助理解振动的合成与分解， 以及振动在不同方向上的表现。
对未来研究的展望
随着科学技术的不断发展，旋转矢量法在简谐运动研究中 的应用将更加广泛和深入。未来可以进Байду номын сангаас步探索旋转矢量 法在其他领域的应用，如量子力学、光学等。
未来研究可以进一步优化旋转矢量法的计算方法和可视化 效果，提高其精度和直观性，以更好地服务于科学研究和 技术创新。
THANKS
感谢观看
旋转矢量法简介
01
旋转矢量法是一种描述简谐运动 的直观方法，通过引入一个旋转 矢量来表示振动的状态。
02
旋转矢量具有长度和方向，分别 对应振动的振幅和相位，矢量的 旋转速度则与角频率有关。
02
旋转矢量法在简谐运动中的应用
旋转矢量表示
旋转矢量表示是一种用于描述简谐运 动的几何方法，通过引入一个旋转矢 量来表示简谐运动的相位和振幅。
简谐运动的定义
简谐运动
物体在一定力的作用下，以一定的初速度做周期 性往复运动。
描述参数
振幅、角频率、初相角、周期等。
实例
单摆、弹簧振子等。
简谐运动的数学模型
微分方程
$mfrac{d^2x}{dt^2}
+
cfrac{dx}{dt} + kx = F$
旋转矢量法
通过旋转矢量表示简谐运动的相 位和振幅，简化分析过程。
旋转矢量与简谐运动的关联
旋转矢量与简谐运动的振动方向和速度相关联，通过旋转矢量的几何特性可以推 导出简谐运动的振动方程和能量表达式。
旋转矢量法可以直观地表示简谐运动的振动形式，帮助理解振动的合成与分解， 以及振动在不同方向上的表现。
对未来研究的展望
随着科学技术的不断发展，旋转矢量法在简谐运动研究中 的应用将更加广泛和深入。未来可以进Байду номын сангаас步探索旋转矢量 法在其他领域的应用，如量子力学、光学等。
未来研究可以进一步优化旋转矢量法的计算方法和可视化 效果，提高其精度和直观性，以更好地服务于科学研究和 技术创新。
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旋转矢量法简介
01
旋转矢量法是一种描述简谐运动 的直观方法，通过引入一个旋转 矢量来表示振动的状态。
02
旋转矢量具有长度和方向，分别 对应振动的振幅和相位，矢量的 旋转速度则与角频率有关。
02
旋转矢量法在简谐运动中的应用
旋转矢量表示
旋转矢量表示是一种用于描述简谐运 动的几何方法，通过引入一个旋转矢 量来表示简谐运动的相位和振幅。
简谐运动的定义
简谐运动
物体在一定力的作用下，以一定的初速度做周期 性往复运动。
描述参数
振幅、角频率、初相角、周期等。
实例
单摆、弹簧振子等。
简谐运动的数学模型
微分方程
$mfrac{d^2x}{dt^2}
+
cfrac{dx}{dt} + kx = F$
旋转矢量法
通过旋转矢量表示简谐运动的相 位和振幅，简化分析过程。
简谐振动的旋转矢量图示法PPT课件
3
v 0.12 sin( 0.5 ) 0.18 m/s
3 a 0.12 2 cos( 0.5 ) 1.03 m/s2
3
SUCCESS
THANK YOU
2019/7/30
(3) 当x = -0.06m时，该时刻设为t1,得
cos(
t1
5 t 6 5 0.83 s
6
例3、一弹簧振子 k 0.72N/m, m 20g (1)将物体从平衡位置向右拉到 x=0.05m 处释放,求谐振
动方程. (2)求物体第一次经过A/2 处时速度大小。 (3)如果物体在x=0.05m处速度大小为 v 0.30m/s ,且向
§3.2 简谐振动的旋转矢量图示法
旋转矢量:一长度等
于振幅A 的矢量 A 在纸平
Mω
t
面内绕O点沿逆时针方向
A
旋转，其角速度大小与谐
振动的角频率相等，这个
t 0
t=0
矢量称为旋转矢量。
O
0
x
x P
M 点在 x 轴上投影点(P点)的运动规律：
x Acos(t 0 )
说明： 1、旋转矢量的方向: 逆时针方向
一长度等于振幅a的矢量在纸平面内绕o点沿逆时针方向旋转其角速度大小与谐振动的角频率相等这个矢量称为旋转矢量m点在x轴上投影点p点的运动规律振动相位t0逆时针方向的长度振幅a角频率旋转的角速度与参考方向x的夹角说明1旋转矢量的方向2旋转矢量和谐振动的对应关系相位之差为采用旋转矢量表示为3两个谐振动的相位差例1两个同频率的谐振动它们都沿x轴振动且振幅相等当t0时质点1在xa2处向左运动另一质点2在xa2处向右运动试用旋转矢量法求两质点的相位差解oxa例2一
v 0.12 sin( 0.5 ) 0.18 m/s
3 a 0.12 2 cos( 0.5 ) 1.03 m/s2
3
SUCCESS
THANK YOU
2019/7/30
(3) 当x = -0.06m时，该时刻设为t1,得
cos(
t1
5 t 6 5 0.83 s
6
例3、一弹簧振子 k 0.72N/m, m 20g (1)将物体从平衡位置向右拉到 x=0.05m 处释放,求谐振
动方程. (2)求物体第一次经过A/2 处时速度大小。 (3)如果物体在x=0.05m处速度大小为 v 0.30m/s ,且向
§3.2 简谐振动的旋转矢量图示法
旋转矢量:一长度等
于振幅A 的矢量 A 在纸平
Mω
t
面内绕O点沿逆时针方向
A
旋转，其角速度大小与谐
振动的角频率相等，这个
t 0
t=0
矢量称为旋转矢量。
O
0
x
x P
M 点在 x 轴上投影点(P点)的运动规律：
x Acos(t 0 )
说明： 1、旋转矢量的方向: 逆时针方向
一长度等于振幅a的矢量在纸平面内绕o点沿逆时针方向旋转其角速度大小与谐振动的角频率相等这个矢量称为旋转矢量m点在x轴上投影点p点的运动规律振动相位t0逆时针方向的长度振幅a角频率旋转的角速度与参考方向x的夹角说明1旋转矢量的方向2旋转矢量和谐振动的对应关系相位之差为采用旋转矢量表示为3两个谐振动的相位差例1两个同频率的谐振动它们都沿x轴振动且振幅相等当t0时质点1在xa2处向左运动另一质点2在xa2处向右运动试用旋转矢量法求两质点的相位差解oxa例2一
简谐运动及其旋转矢量表示法简谐运动的能量讲课文档
简谐运动及其旋转矢量表示法简谐运动的能量
现在一页，总共十五页。
9.1 简谐振动
一、弹簧振子 1. 受力特点
线性恢复力 F kx
2. 运动方程
据牛顿第二定律得：
若令 ω k m
kx
m
d2 dt
x
2
上式改写为
d2 dt
x
2
2
x
0
解得 x(t) Acos(ω t )
现在二页，总共十五页。
二、简谐振动
x
现在十三页，总共十五页。
2. 同相和反相
x
A1
x1
A2
x2
T
o
- A2
t
-A1
= 2n
两运动步调相同, 称同相
A2
A1
x
A1
x1
A2
T
o
- A2
x2
t
-A1
= (2n+1)
两运动步调相反 ,称反相
A2
O
x
O
x
A1
现在十四页，总共十五页。
例 如图所示，一质点作简谐振动，在一个周期内先后通过距
相位反映了物 体某一时刻的
运动状态
现在三页，总共十五页。
3. 由初始条件求振幅和初相位
熟练掌握
x0 v0
x Acos(ω t ) v ω Asin(ω t )
初位移 x0 Acos 初速度 v0 ω Asin
A
x02
v
2 0
2
tan1( v0 ) x0
注意: 确定 的象限
现在四页，总共十五页。
逆时针旋转 。其端点在
x 轴上的投影
点的运动为 简谐运动， 有：
现在一页，总共十五页。
9.1 简谐振动
一、弹簧振子 1. 受力特点
线性恢复力 F kx
2. 运动方程
据牛顿第二定律得：
若令 ω k m
kx
m
d2 dt
x
2
上式改写为
d2 dt
x
2
2
x
0
解得 x(t) Acos(ω t )
现在二页，总共十五页。
二、简谐振动
x
现在十三页，总共十五页。
2. 同相和反相
x
A1
x1
A2
x2
T
o
- A2
t
-A1
= 2n
两运动步调相同, 称同相
A2
A1
x
A1
x1
A2
T
o
- A2
x2
t
-A1
= (2n+1)
两运动步调相反 ,称反相
A2
O
x
O
x
A1
现在十四页，总共十五页。
例 如图所示，一质点作简谐振动，在一个周期内先后通过距
相位反映了物 体某一时刻的
运动状态
现在三页，总共十五页。
3. 由初始条件求振幅和初相位
熟练掌握
x0 v0
x Acos(ω t ) v ω Asin(ω t )
初位移 x0 Acos 初速度 v0 ω Asin
A
x02
v
2 0
2
tan1( v0 ) x0
注意: 确定 的象限
现在四页，总共十五页。
逆时针旋转 。其端点在
x 轴上的投影
点的运动为 简谐运动， 有：
大学物理旋转矢量PPT课件
x 1 A 1cot s1 )( x 2 A 2co t s2 )(
(t 2 ) (t 1 ) 21
0同步
π反相
超前
为其它
落后
x
x
x
o
to
o
t
t
第9页/共19页
例1 如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹簧的劲度系数
，
k0.7N 2m 物体的质量
.
（1）把物体从平衡位置向右拉到
m2 0g 1 处停下后再释放，求简谐运动方程；
0.2m 6s1（负号表示速度沿 Ox 轴负方向）
第12页/共19页
x0.05m （3）如果物体在
处时速度不等于零，而是具有向右的初速
度
，求其运动方程.
v00.3m 0s1
解 xA co ts ()
6.0s1 A x02v022 0.070m7
o π 4 x A＇
由旋转矢量图可知
π 4
xA co ts ()0.070c7os6.(0tπ) 4 第13页/共19页
0.040.08 coπ st(π) 23
t0.66s7
第17页/共19页
解法二
t 时刻
起始时刻
t
π3 π3
x/m
0.08 0.04 o 0.04 0.08
t π
3
π s 1
2
第18页/共19页
t0.66s7
感谢您的观看！
第19页/共19页
x0.05m
（2）求物体从初位置运动到第一次经过 处时的速度；
A
2
x0.05m （3）如果物体在
处时速度不等于零，而是具有向右的初速
度
，求其运动方程. v00.3m 0s1
第四章振动下
结论： 结论：
振子在振动过程中， （1） 振子在振动过程中，动能和势能分别随时间 变化，但任一时刻总机械能保持不变。 变化，但任一时刻总机械能保持不变。 （2） 动能和势能的变化频率是弹簧振子振动频 率的两倍。 频率一定时， （3）频率一定时，谐振动的总能量与振幅的平方 成正比。（适合于任何谐振系统） 。（适合于任何谐振系统 成正比。（适合于任何谐振系统） 弹性势能
小结：
描述简谐振动的三种方法： 描述简谐振动的三种方法： 运动方程，振动曲线，旋转矢量。 运动方程，振动曲线，旋转矢量。
的简谐振动， 例1：一物体沿 轴作振 幅为 A 的简谐振动，若初始时该球的 ：一物体沿x轴作振 状态为（ ） ；（2）在平衡位置且向X轴正方向运动 轴正方向运动； 状态为（1）X0＝ -A；（ ）在平衡位置且向 轴正方向运动； ；（ 处向X轴负方向运动；（4） 轴负方向运动；（ （3）在 X0＝1／2 A 处向 轴负方向运动；（ ）在 ） ／ 方向运动。试用旋转矢量法确定相应的初相位。 处向正 方向运动。试用旋转矢量法确定相应的初相位。 3π r ϕ = ϕ =π
k = m
得
X
g b
mg
b, v 0 = 0
g t+π) b
A =b, φ = π
[ 例2] 一谐振动的振动曲线如图所示。 一谐振动的振动曲线如图所示。
ω 以及振动方程。 求： ϕ 0 以及振动方程。
−
π
x
x
A 2
3r
A
1.0
0
解：
t
r A
A
π
2
x
π
3
t=
A x0 = = A cos ϕ 0 2 0时 v 0 = − ω A sin ϕ 0 > 0
简谐振动的旋转矢量图示.ppt
角频率ω
A 与参考方向x 的夹角
振动相位ωt+φ0
3、两个谐振动的相位差
x1 A1 cos(t 1 ) x2 A2 cos(t 2 )
相位差为 (t 2 ) (t 1) 2 1
采用旋转矢量表示为：
A2
2
A1
1
O
x
例1、两个同频率的谐振动，它们都沿x轴振动，且振
幅相等，当t =0时质点1在x=A/2处向左运动,另一质点
F kx m 2x
(0.01kg)(π s1)2 (0.069m) 1.70103 N
2
（2）由起始位置运动到 x 0.04m 处所需要
的最短时间.
v
x/m
0.08 0.04 o 0.04 0.08
解法一 设由起始位置运动到 x 0.04m 处所
需要的最短时间为 t
0.04m (0.08m) cos[(π s1)t π ]
x 0.12cos( 0.5 ) 0.104 m
3
v 0.12 sin( 0.5 ) 0.18 m/s
3 a 0.12 2 cos( 0.5 ) 1.03 m/s2
3
在t =T/4=0.5s时，可得
可得x 0.12cos( 0.5 ) 0.104 m
3
v 0.12 sin( 0.5 ) 0.18 m/s
sin0 0
0
3
简谐振动表达式 x 0.12cos( t ) m
3
因为
（2）由简谐振动的运动方程 x 0.12cos( t ) m
3
可得
v dx 0.12 sin( t ) m/s
dt
3
a dv 0.12 2 cos( t ) m/s2
41 简谐运动 旋转矢量 简谐运动的能量PPT课件
x
2
2
x
0
第四章 机械振动
4 – 1 简谐运动
物理学教程 （第二版）
简谐振动的微分方程和运动方程
km
物体受力： Fkx
X
简谐振动的微分方程：
d2x dt2
2
x
o
0
x
简谐振动的运动方程：x (t)A cots()
简谐振动的速度：vdxAsint 简谐振动的加速度：a ddd t22 xt2Acost
vA si n t 3
A
o A Ax
2
0.2m 6s1（负号表示速度沿 Ox轴负方向）
第四章 机械振动
4 – 1 旋转矢量
物理学教程 （第二版）
（3）如果物体在 x0.05 m处时速度不等于零，
而是具有向右的初速度 v00.30ms，1 求其运动方程.
解 A＇ x02v022 0.070m7
tan＇v0 1 x0
第四章 机械振动
4 – 1 简谐运动
物理学教程 （第二版）
xAcots()
x xt图
A
T 2π 取 0
v A si n t ()
o
A
A v
T
vt图
o
T
t
t
Acost(π) A
2
a at图
a A 2co t s() A2
o
Tt
A 2cots(π)A2
第四章 机械振动
4 – 1 简谐运动
简谐运动的特点 1、从受力角度来看——动力学特征
对给定振动系统，周期由系统本身性质决定， 振幅和初相由初始条件决定.
第四章 机械振动
4 – 1 简谐运动
物理学教程 （第二版）
简谐运动的物理矢量描述课件高中物理竞赛
振动周期。设水的密度为。
解：船静浮时，浮力与
重力平衡
OP
P
y
hSg mg
y
m hS
第五章 机械振动
§5－3 几种常见的简谐振动 设向下为坐标正方向，水面处为坐标原点，船 的位置取静浮时水面P点来代表，则船在任一位置y 时，船受合力为
f (h y)Sg mg (h y)Sg hSg Sgy
A
t
M0
c
O x P Ax
端点M的运动轨 迹称为参考圆
第五章 机械振动
§5－2 简谐振动的旋转矢量描述
振动曲线
mm m
设驱动力有如下的形式：
t=0时， 与 轴夹角 0。 端点M的运动轨迹称为参考圆
oA x
的位置取静浮时水面P点来代表，则船在任一位置y时，船受合力为
x = A0 (伸长量) 0 可绕固定轴 O摆动的刚体，也称物理摆。
x A cos(t ) M
xN A cos(t )
x M
x
P
N Q
A cos
A cos
O
o
t
t
t
第五章 机械振动
§5－2 简谐振动的旋转矢量描述
两个同振幅同频率，不同周相的简谐振动的位移时间曲线
x A cost M
x x M
o
O
N
xN A cos(t )
t
第五章 机械振动
小号发出的声波足以使酒杯破碎
第五章 机械振动
§5-6 阻尼振动 –受迫振动-共振
发生共振时由于振幅过大可能损坏机器、设 备或建筑。
1940年华盛顿的塔科曼 大桥在大风中产生振动
第五章 机械振动
随后在大风中因产 生共振而断塌
解：船静浮时，浮力与
重力平衡
OP
P
y
hSg mg
y
m hS
第五章 机械振动
§5－3 几种常见的简谐振动 设向下为坐标正方向，水面处为坐标原点，船 的位置取静浮时水面P点来代表，则船在任一位置y 时，船受合力为
f (h y)Sg mg (h y)Sg hSg Sgy
A
t
M0
c
O x P Ax
端点M的运动轨 迹称为参考圆
第五章 机械振动
§5－2 简谐振动的旋转矢量描述
振动曲线
mm m
设驱动力有如下的形式：
t=0时， 与 轴夹角 0。 端点M的运动轨迹称为参考圆
oA x
的位置取静浮时水面P点来代表，则船在任一位置y时，船受合力为
x = A0 (伸长量) 0 可绕固定轴 O摆动的刚体，也称物理摆。
x A cos(t ) M
xN A cos(t )
x M
x
P
N Q
A cos
A cos
O
o
t
t
t
第五章 机械振动
§5－2 简谐振动的旋转矢量描述
两个同振幅同频率，不同周相的简谐振动的位移时间曲线
x A cost M
x x M
o
O
N
xN A cos(t )
t
第五章 机械振动
小号发出的声波足以使酒杯破碎
第五章 机械振动
§5-6 阻尼振动 –受迫振动-共振
发生共振时由于振幅过大可能损坏机器、设 备或建筑。
1940年华盛顿的塔科曼 大桥在大风中产生振动
第五章 机械振动
随后在大风中因产 生共振而断塌
简谐运动ppt课件
解：方法1
31.4
15.7
设振动方程为
0
x Acos(t 0 ) 15.7
31.4
1
t(s)
v0 A sin0 15.7cms 1 a0 2 Acos0 0
A vm 31.4cms 1
sin 0
v0
A
15.7 31.4
1 2
0
6
或
5 6
a0
0,则cos0
0
0
6
t 1 v 15.7cms 1 sin( 1 ) v v 1
两振动步调相反,称反相
0
2 超前于1 或 1滞后于 2
相位差反映了两个振动不同程度的参差错落
谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系
x Acos( t 0 )
v
A
sin(
t
0
)
vm
cos(
t
0
2
)
a A 2 cos( t 0 ) am cos( t 0 )
x.v.a. x
衡位置的运动。
• 平衡位置：质点在某位置所受的力（或沿 运动方向受的力）等于0，则此位置称为平 衡位置。
•线性回复力：若作用于质点的力总与质点相对于平 衡位置的位移（线位移或角位移）成正比，且指向 平衡位置，则称此作用力为线性回复力。
若以平衡位置为原点，以X表示质点相对于平衡
位置的位移，则
f kx
3
a 0.12 2 cos( 0.5 ) 0.103
3
(3) 当x = -0.06m时，该时刻设为t1,得 cos(t ) 1
13
2
t 2 , 4
133 3
因该时刻速度为负，应舍去
大学物理(工科) 4—1 简谐运动、旋转矢量简谐运动的合成
2
tan1( v0 ) 注意: 确定 的象限 x0
二、简谐运动的描述
x Acos(t )
1.解析法(由振动表达式)
A, T, , x, v, a
2.曲线法(由振动曲线)
x
x Acos(t )
A
►确定振幅A；
o
►确定周期T，ω；
►确定φ
-A
T
t
•根据图像判断速度的正负用斜率 •利用初始条件确定几个φ，再利用速度正负判断保留φ
3、掌握描述简谐波的各物理量及各量间的关系；
4、理解机械波产生的条件. 掌握由已知质点的简谐 运动方程得出平面简谐波的波函数的方法. 理解波函 数的物理意义. 了解波的能量传播特征及能流、能流密 度概念.
匀速直线运动
直线运动
匀变速直线运动
学
变速直线运动
过 的
变加速直线运动
运
动 形
平抛运动
式
抛体运动
例4.2: 已知一简谐振动的曲线如图所示，写出振动方程。
x （cm）5
6
2
3
p
O 1
t（s）
解: 已知振动方程表达式为：x Acos(t )，v Asin(t )
► 定振幅: A=0.06m
►定初相
x0 0.06cos 0.03
cos 0.5
利用斜率判断0时刻速度方向 0 0
晶格点阵
§4—1 简谐运动、旋转矢量、简谐运动的能量
一、简谐运动动力学 1.模型
2.定义 ►受力：F=-kx
►动力学微分方程：
d2 dt
x
2
2
x
0
令 2 k
m
►运动方程： x(t)=Acos( t + )
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x
2
2
x
0
第四章 机械振动
4 – 1 简谐运动
物理学教程 （第二版）
简谐振动的微分方程和运动方程
km
物体受力： Fkx
X
简谐振动的微分方程：
d2x dt2
2
x
o
0
x
简谐振动的运动方程：x (t)A cots()
简谐振动的速度：vdxAsint 简谐振动的加速度：a ddd t22 xt2Acost
第四章 机械振动
4 – 1 简谐运动
物理学教程 （第二版）
xAcots()
x xt图
A
T 2π 取 0
v A si n t ()
o
A
A v
T
vt图
o
T
t
t
Acost(π) A
2
a at图
a A 2co t s() A2
o
Tt
A 2cots(π)A2
第四章 机械振动
4 – 1 简谐运动
简谐运动的特点 1、从受力角度来看——动力学特征
例如一切发声体、心脏、海浪起伏、地震以及晶体 中原子的振动等.
周期和非周期振动
简谐运动 最简单、最基本的振动.
简谐运动
合成 分解
复杂振动
第四章 机械振动
4 – 1 简谐运动
简谐振动
物理学教程 （第二版）
在振动过程中，物理量随时间做余弦式（或正 弦式）变化的振动称为简谐振动（谐振动）
简谐运动的微分方程和运动方程 简谐运动的旋转矢量表示法 简谐运动的能量 简谐运动的合成
练 如图，把物体从平衡位置向右拉长0.10m释放，
习 求简谐振动方程；已知 m0.40kg k1.6N 0/m
解：要求物体的简谐运
动方程，就要确定角频
率、振幅、初相三个物 ，理量
o 0.10m x
k 1.602.0s1
m 0.40
arctgv0 0
A
x02
v02
2
0.10m
x0
x A co t s 0 .1 c0 2 . o 0 t s
第四章 机械振动
4 – 1 简谐运动
例1 如图所示系统（细线 的质量和伸长可忽略不计）， 细线静止地处于铅直位置，重
物位于O 点时为平衡位置.
若把重物从平衡位置O 略
微移开后放手, 重物就在平衡 位置附近往复的运动．这一振 动系统叫做单摆. 求单摆小角 度振动时的周期．
第四章 机械振动
物理学教程 （第二版）
2π
T
当 t 0时
以 o为
A 原点旋转矢
o
x0
x0Acos
量A的端点
x 在 x轴上的 投影点的运
动为简谐运
动.
第四章 机械振动
4 – 1 旋转矢量
物理学教程 （第二版）
2π
T
t t 时
o
A
以 o为
原点旋转矢
t
量A的端点
x x x 0
在 x轴上的
投影点的运
xAcots()
动为简谐运
动.
第四章 机械振动
4 – 1 简谐运动
物理学教程 （第二版）
引言
振动是物质的一种很普遍的运动形式，物体在一定位置附
近作的周期性往复运动叫做机械振动，振动在空间的传播过程 叫做波动。由机械振动形成的波动称为机械波。波动也是常见 的物质运动形式。这两种运动形式有内在关联性。例如，声带 的振动通过气流的疏密变化促成声音的传播。自然界中除了机 械振动和机械波之外，还有诸如电磁振荡及由此引起的电磁波 等。本章从最简单的机械振动、机械波入手研究振动与波的基 本规律，使其成为研究更复杂运动的基础。
A
l
m
o
5
4 – 1 简谐运动
物理学教程 （第二版）
解 5时 ,sin
转动
M msg i n l mgl A 正向
mgl J d2
dt2
d2
dt 2
g
l
令 2 g l
d2
dt 2
2
mcots()
T2π l g
l
FT m
o
PJ m2l第源自章 机械振动4 – 1 旋转矢量
物理学教程 （第二版）
3）初相位 (t0) 描述质点初始时刻的运动状态.
( 取 [ π π或][0 2 π)]
第四章 机械振动
4 – 1 简谐运动
五 常数 A和 的确定
xAcots()
v A si n t ()
物理学教程 （第二版）
初始条件 t0xx0 vv0 A
x0 Acos
x02
v02
2
v0Asin
tan v0 x0
F－kx
2、从加速度角度来看——运动学特征
a2x
物理学教程 （第二版）
3、从运动方程来看——运动学特征
xA cost ()
说明：
•要证明一个物体是否作简谐运动，只要证明上面三个式子中的
一个即可，且由其中的一个可以推出另外两个；
•要证明一个物体是否作简谐运动最简单的方法就是受力方析，
得到物体所受的合外力满足回复力的关系。
4 – 1 旋转矢量
第四章 机械振动
4 – 1 简谐运动
物理学教程 （第二版）
二 振幅
A xmax
三 周期、频率
xAcots()
x xt图
A
o
Tt
T
A
2
A co (ts [T)]
周期 T 2π
频率 1
弹簧振子周期
注意
T 2π m
k
T 2π
圆频率 2π 2π
周期和频率仅与振动系 统本身的物理性质有关
T
第四章 机械振动
本章主要内容有，机械振动中的简谐运动及合成，阻尼运
动中的受迫振动和共振；机械波中的平面简谐波的波函数、波 的能量、波的叠加原理，以及干涉、衍射现象和多普勒效应。
第四章 机械振动
4 – 1 简谐运动
物理学教程 （第二版）
任一物理量在某一定值附近往复变化均称为振动. 机械振动 物体围绕一固定位置往复运动.
第四章 机械振动
4 – 1 简谐运动
一 简谐运动 弹簧振子的振动
l0 k
A
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x0 F0
m
x
oA
第四章 机械振动
4 – 1 简谐运动
F
o
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m
x
x
Fk xmaxA co ts ()
令 2 k m
积分常数，根据初始条件确定
a2x
a 与 x 方向相反
d2 dt
4 – 1 简谐运动
物理学教程 （第二版）
x 简谐运动中， x和 v
间不存在一一对应的关系. A
xAcots () o
v A si n t () A
v v
T 2
xt图
v T t
四 相位 t
1） t (x ,v )存在一一对应的关系;
2）相位在 0~2π内变化，质点无相同的运动状态；
相差 2nπ(n为整数)质点运动状态全同.（周期性）
对给定振动系统，周期由系统本身性质决定， 振幅和初相由初始条件决定.
第四章 机械振动
4 – 1 简谐运动
物理学教程 （第二版）
讨论 已知 t0,x0,v0求
0Acos
π
2
v0A sin0
sin 0取 π
A
x
2
xAcos(tπ)
2
o
A
v
x
o
Tt
T 2
第四章 机械振动
4 – 1 简谐运动
物理学教程 （第二版）