圆锥曲线经典性质总结及证明
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圆锥曲线的经典结论
一、椭 圆
1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.(椭圆的光学性质)
2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径
的圆,除去长轴的两个端点.(中位线)
3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直
径的圆内切.(第二定义)
4. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上,则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y
a b
+=.(求
导)
5. 若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b +=外 ,则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2,则切点
弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y
a b
+=.(结合4)
6. 椭圆22
221x y a b
+= (a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为椭圆上任意一点
12F PF γ∠=,则椭圆的焦点角形的面积为122tan
2
F PF S b γ
∆=.(余弦定理+面积公式+
半角公式)
7. 椭圆22
221x y a b
+=(a >b >0)的焦半径公式:
10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c -,2(,0)F c 00(,)M x y ).(第二定义)
8. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和
AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF
9. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点,A 1P 和A 2Q
交于点M ,A 2P 和A 1Q 交于点N ,则MF ⊥NF. MN 其实就在准线上,下面证明他在准线上
根据第8条,证毕
10. AB 是椭圆22
221x y a b +=的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则
2
2OM AB b k k a ⋅=-,
即0
20
2y a x b K AB -=。(点差法)
11. 若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b
+=内,则被Po 所平分的中点弦的方程是
22
00002222x x y y x y a b a b +=+.(点差法) 12. 若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b
+=内,则过Po 的弦中点的轨迹方程是
22002222x x y y
x y a b a b
+=+.(点差法) 二、双曲线
1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.(同上)
2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为
直径的圆,除去长轴的两个端点.(同上)
3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.(同上)
4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P 在右支;外切:
P 在左支)(同上)
5. 若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b
-=(a >0,b >0)上,则过0P 的双曲线的切线方程
是00221x x y y
a b
-=.(同上) 6. 若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b
-=(a >0,b >0)外 ,则过Po 作双曲线的两条切
线切点为P 1、P 2,则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y
a b
-=.(同上)
7. 双曲线22
221x y a b
-=(a >0,b >o )的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为双曲线上任意
一点12F PF γ∠=,则双曲线的焦点角形的面积为122
t
2
F PF S b co γ
∆=.(同上)
8. 双曲线22
221x y a b
-=(a >0,b >o )的焦半径公式:(1(,0)F c -,2(,0)F c
当00(,)M x y 在右支上时,10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.
当00(,)M x y 在左支上时,10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--(同上) 9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点,A 为双曲线长轴上一个顶点,
连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF.(同上) 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点,
A 1P 和A 2Q 交于点M ,A 2P 和A 1Q 交于点N ,则MF ⊥NF.(同上)
11. AB 是双曲线22
221x y a b
-=(a >0,b >0)的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB
的中点,则0202y a x b K K AB
OM =⋅,即0
20
2y a x b K AB =。
(同上) 12. 若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b
-=(a >0,b >0)内,则被Po 所平分的中点弦的
方程是22
00002222x x y y x y a b a b
-=-.(同上)
13. 若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b
-=(a >0,b >0)内,则过Po 的弦中点的轨迹方
程是22002222x x y y
x y a b a b
-=-.(同上)
椭圆与双曲线的对偶性质--(会推导的经典结论)
椭 圆
1. 椭圆22
221x y a b
+=(a >b >o )的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ,与y 轴平行的直
线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22
221x y a b
-=.
证明
2. 过椭圆
22
22
1x y
a b += (a >0, b >0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点,则直线BC 有定向且20
20
BC b x k a y =(常数).
证明