泊松分布及其应用研究

泊松分布及其应用研究 Prepared on 22 November 2020

湖南科技大学

信息与电气工程学院

《课程论文》

题目：泊松分布及其应用研究

专业：通信工程

班级： 13级3班

姓名：黄夏妮

学号：

目录

一、摘要 (1)

二、泊松分布的概念 (2)

三、计数过程为广义的泊松过程 (4)

四、泊松分布及泊松分布增量 (5)

五、泊松分布的特征 (5)

六、泊松分布的应用 (6)

七、基于MATLAB的泊松过程仿真 (8)

八、参考文献 (12)

摘要

作为一种常见的离散型随机变量的分布,泊松分布日益显示其重要性,成为概率论中最重要的几个分布之一。服从泊松分布的随机变量是常见的,它常与时间单位的计数过程相联系。

在现实生活中应用更为广泛,如数学建模、管理科学、运筹学及自然科学、概率论等等。并且在某些函数关系起着一种重要作用。例如线性的、指数的、三角函数的等等。同样, 在为观察现象构造确定性模型时, 某些概率分布也经常出现。泊松分布作为大量试验中稀有事件出现的频数的概率分布的数学模型, 它具有很多性质。为此本文讲述了泊松分布的一些性质, 并讨论了这些性质在实际生活中的重要作用。

二、泊松分布的概念：

定义1 设随机变量X 的可能取值为,,2,1,0 且

{}0,,2,1,0,!

>===-λλ

k e k x k X P k 为常数。

则称X 服从参数为λ的泊松分布,记作X ～ D(λ) 。

定义2 设ε是任意一个随机变量,称 )t (- e t)(it +∞<<∞=Φε是ε的特征函数。

主要结论：

定理1 如果X 是一个具有以λ为参数的泊松分布,则E( X) = λ且D ( X) =λ。

证明 设X 是一随机变量,若 ] X) E( - X [ E{2}存在,则称它为X 的方差,记作D( X) ,即 ] X) E( - X [ E{ X) D(2}=。设X 服从泊松分布D ( X) ,即有: 则()()λλλλλλλλ

λ=⋅=-==-

∞

=--∞

=-∑∑

e e k e

k e k X E k k k k

11

0!1!

从而()()

()

λλλλλλλ

λ

+=-+-==-∞

=-∞

=--∞

=∑

∑

∑2122

2

2

!1!2!

e k e k e

k k

X

E k k

k k k k

故λλλλ - X) E( - ) X E( X) D(2222=+==

定理2 设随机变量) , ,2 1 n ( x n =服从二项分布,其分布律为

{}n k p p C k x P k n n k

n k n n ,,2,1,0,)1( =-==-。

又设0>=λn np 是常数,则{}λλ-∞

→==e k k x P k

n n !

lim

。

证明 由λ=n np 得:

显然,当k = 0 时,故λ-n e k} x P{→=。当k ≥1 且k → ∞时,有

从而{}λ

λ-→

=e k k x P k

n 1

，故{}λλ-∞

→=

=e k k x P k

n n !

lim 。

定理3 设λp 是服从参数为λ的泊松分布的随机向量,则:

证明 已知ελ的特征函数为()()1

-=Φit e e t λλ,故()λλεληλ-=的特征函

数为:

对任意的t ,有()∞→⎪⎭

⎫

⎝⎛+-+=λλολλλ

1!212t it

e

it

。

于是()∞→-→⎪⎭⎫

⎝⎛⋅+-=-⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛-λλολλλλ

212122t t t i e it

。 从而对任意的点列∞→n λ,有()2

2

lim t e t g n

n

-

∞

→=λλ。

但是2

2t e

-

是N (0 ,1) 分布的特征函数,由于分布函数列(){}x F n 弱收敛

于分布函数F( x)的充要条件是相应的特征函数列{Φn ( t) } 收敛

于F( x) 的特征函数Φ( t)。所以dt

e

x P x

t n n n n ⎰

∞

--

∞→-=⎪⎭

⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<-2

2

21lim πλλελλ成立;又因为n λ是可以任意选取的,这就意味着

dt e

x p P x

t ⎰∞

--

∞

→=⎭

⎬⎫⎩⎨⎧<-2

2

21

lim π

λλλλ成立。

三、计数过程为广义的泊松过程 1.计数过程

设为)} 0, [ T t , t)( {N X T ∞=∈=一随机过程, 如果 t)( N 是取非负整数值的随机变量,且满足s < t 时, t)( s) ( N ≤,则称)} 0, [ T t , t)( {N X T ∞=∈=为计数过程。

将增量 t t 0 , t), t ( N ) t ( N - t)( N 000<≤∆=,它表示时间间隔 t), t [ 0内出现的质点数。“在 t), t [ 0内出现k 个质点”,即k} t), t ( {N 0=是一随机事件,其概率记为 2 0,1, k , k} t), t ( P{N t), t ( P 00K ===总之,对某种随机事件的来到数都可以得到一个计数过程,而同一时刻只能至多发生一个来到的就是简单计数过程。 2.泊松过程

计数过程0} t , t)( {N ∈称为强度为λ的泊松过程,如果满足条件: