2020年3月6日四川省成都市高2020届高2017级高三成都七中二诊模拟理科数学试题及参考答案

（Ⅱ）设 bn
a
1
2 n1
1
(n
N*) ，设数列
bn
的前 n 项和 Tn ，证明： Tn
1． 4
18．2019 年 6 月，国内的 5G 运营牌照开始发放.从 2G 到 5G ，我们国家的移动通信业务用了不到 20 年
的时间，完成了技术上的飞跃，跻身世界先进水平.为了解高校学生对 5G 的消费意愿，2019 年 8 月，
我们将大学生升级 5G 时间的早晚与大学生愿意为 5G 套餐支付更多的费用作比较，可得出下图的关系 （例如早期体验用户中愿意为 5G 套餐多支付 5 元的人数占所有早期体验用户的 40% ）.
（Ⅰ）从该地高校大学生中随机抽取 1 人，估计该学生愿意在 2021 年或 2021 年之前升级到 5G 的概率；
0.02 .……10
分
回答一：事件 D 虽然发生概率小，但是发生可能性为 0.02，所以认为早期体验用户没有发生变化.
回答二：事件 D 发生概率小，所以可以认为早期体验用户人数增加. ……12 分
19．(Ⅰ)证明：（第一问 6 分，证明了 BC AD 给 4 分）
CBA
CBD
2
BC
面ABD
AB AE
1（ a b 0 ）经过点 (0,1) ，离心率为
3 ， A 、 B 、 C 为椭圆上不同的三点， 2
且满足 OA OB OC 0 ， O 为坐标原点．
（Ⅰ）若直线 AB 、 OC 的斜率都存在，求证： k AB kOC 为定值；
来自百度文库
（Ⅱ）求 AB 的取值范围．
21．设函数 f (x) e x 1 x 2 ax ， a R ． 2
19．如图示，在三棱锥 A BCD 中， AB BC BD 2 ， AD 2 3 ， CBA CBD ， 2
点 E 为 AD 的中点．
（Ⅰ）求证：平面 ACD ⊥平面 BCE ；
（Ⅱ）若点 F 为 BD 的中点，求平面 BCE 与平面 ACF
所成锐二面角的余弦值．
20．已知椭圆 x2 y 2 a2 b2
B． 2,3
C． 2,
D． ,3
9．设函数
f
(x)
x 2 sin x x2 1
，则
y
f
(x) ， x , 的大致图象大致是的（
）
A
B
C
D
10．在 ABC 中，角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，若 a 1， c 2
3
， b sin
A
a
sin
3
B
，
则 sin C （ ）
质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是空气
质量合格，下面四种说法不．正．确．的是( )
A．1 月至 8 月空气质量合格天数超过 20 天的月份有 5 个
B．第二季度与第一季度相比，空气质量合格天数的比重下降了
C．8 月是空气质量最好的一个月
D．6 月的空气质量最差
分
(Ⅱ)因为 bn
1
a2 n1
1
1
4nn 1
1 4
1 n
n11 ………8
分
所以 Tn
1 4
1
1 1 2 2
1 ... 1 3 n
n
1
1
…10 分
Tn
1 4
1
n
1
1
1 4
1
4n 1
1 4
……12
分
18．解：（Ⅰ）由题意可知，从高校大学生中随机抽取 1 人，该学生在 2021 年或 2021 年之前升级到 5G 的 概率估计为样本中早期体验用户和中期跟随用户的频率，即 270 530 0.8 .……2 分
解集为__________．
15．若对任意 x R ，不等式 e x kx 0 恒成立，则实数 k 的取值范围是
．
16．已知椭圆
C
:
x2 a2
y2 b2
1(a b 0) 的左右焦点分别为 F1， F2 ，上顶点为 A ，延长 AF2
交椭圆 C 于点 B ，若△ ABF1 为等腰三角形，则椭圆的离心率 e ______．
3
t 2
，（
t
为参数）.以坐标原点
O
为极点，
x
轴的
y
3t 2
正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2 4 cos 3 0 .
（Ⅰ）求 l 的普通方程及 C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）求曲线 C 上的点 P 到 l 距离的取值范围．
23．已知 f (x) x 1 x a ， a R ．
BD ED
AD
面ABD
BC AD
BE AD
BC BD E
AD
面BCE
面BCE
面ACD
AD 面ACD
(Ⅱ)解：以点 B 为坐标原点,直线 BC,BD 分别为 x 轴,y 轴,过点 B 且与平面 BCD 垂直的直线为 z 轴,
建立空间直角坐标系，则 BC
2,0,0
n2 , n2 n2 n2
5 31 .……11 分 31
5 31 故平面 BCE 与平面 ACF 所成锐二面角的余弦值为 31 .……12 分
b 1
20.（Ⅰ）证明：依题有
c a
3 2
a 2 b 2
4 1
， 所以椭圆方程为 x 2 y 2 1 ．…2 分 4
a 2 b2 c 2
设 Ax1, y1 ， Bx1, y1 ， Cx1, y1 ， 由 O 为 ABC 的重心 x1 x2 x3, y1 y2 y3;
（Ⅰ）讨论 f (x) 的单调性； （Ⅱ） a 1时，若 x1 x2 ， f (x1) f (x2 ) 2 ，求证： x1 x2 0 ．
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．在直角坐标系
xOy
中，直线 l
的参数方程为
x
成都七中高 2020 届高三二诊数学模拟考试（理科）
（满分 150 分，用时 120 分钟） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1．设集合 A x x2 5x 6 0 ， B x x 2 0 ，则 A B （ ）
(Ⅰ) 若 a 1，求不等式 f (x) 4 的解集；
（Ⅱ） m (0,1) ， x0
R ，不等式 1 m
4 1 m
f (x0 ) 成立，求实数 a 的取值范围．
成都七中高 2020 届高三二诊模拟考试 数学 理科参考解答
一、选择题
12
34
56
7
8
DC
DA
DD A
C
二、填空题
13．2
14． 3,0 (3, )
所以 P(X 0) P(AB) (1 0.6)(1 0.55) 0.18，
P(X 1) P(AB AB) P(AB) P(AB) P(A)(1 P(B)) (1 P(A)P(B)
0.6 (1 0.55) (1 0.6) 0.55 0.49 ， P( X 2) P( AB) 0.6 0.55 0.33 ，
A ． x 3 x 2 B．x 2 x 2 C．x 6 x 2
D． x 1 x 2
2．设 (1 i) z 1 i ，则复数 z 的模等于（ ）
A． 2
B． 2
C．1
D． 3
3．已知 是第二象限的角， tan( ) 3 ，则 sin 2 （ ）
4
A ． 12 25
B ． 12 25
（Ⅱ）从样本的早期体验用户和中期跟随用户中各随机抽取 1 人，以 X 表示这 2 人中愿意为升级 5G 多支付 10 元或 10 元以上的人数，求 X 的分布列和数学期望；
（Ⅲ）2019 年底，从这 1000 人的样本中随机抽取 3 人，这三位学生都已签约 5G 套餐，能否认为样本中 早期体验用户的人数有变化？说明理由.
1000 （Ⅱ）由题意 X 的所有可能值为 0,1, 2 ，……3 分
记事件 A 为“从早期体验用户中随机抽取 1 人，该学生愿意为升级 5G 多支付 10 元或 10 元以上”， 事件 B 为“从中期跟随用户中随机抽取 1 人，该学生愿意为升级 5G 多支付 10 元或 10 元以上”， 由题意可知，事件 A ， B 相互独立，且 P( A) 1 40% 0.6 ， P(B) 1 45% 0.55 ，
则 2x 3y （ ） A ．2
B． 5 3
C． 4 3
D． 3 2
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．在 (x a)6 的展开式中的 x3 系数为160 ，则 a _______．
14．已知函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，且 x 0 时， f (x) x2 2x ，则不等式 f (x) x 的
15． 0, e
三、填空题
17．解：(Ⅰ)设 an 的公差为 d ,由题意有
9 10 11 12 B BA B
1 6． 3 3
aa122
1 a1
a5
aa111d 2
a1
(a1
且d 4d )
0
a1 d
1 2
………………4
分
所以 an 1 2n 1 2n 1
Sn
na1
2
an
n2
…………6
从某地在校大学生中随机抽取了 1000 人进行调查，样本中各类用户分布情况如下：
用户分类
预计升级到 5G 的时段
人数
早期体验用户 中期跟随用户 后期用户
2019 年 8 月至 2019 年 12 月 2020 年 1 月至 2021 年 12 月 2022 年 1 月及以后
270 人 530 人 200 人
……6 分
所以 X 的分布列为
X
0
1
2
P
0.18
0.49
0.33
故 X 的数学期望 E(X ) 0 0.18 1 0.49 2 0.33 1.15 .……8 分
（Ⅲ）设事件 D 为“从这 1000 人的样本中随机抽取 3 人，这三位学生都已签约 5G 套餐”，
则 P(D)
C3 270
C3 1000
,
BE
0,
1 2
,
3 2
,
CF
2,1,0
,
BF
0,2,
3
设面 BCE 的一个法向量 n1
x1, y1, z1
， n1
n1
BC BE
2
x1
0
1 2
y1
3 2
z1
0
令z11 n1
0,
3,1 …9 分
同理可得平面 ACF 的一个法向量 n2
3 , 2
3,2 …10 分
cos n2 , n2
又因为 x12 4 y12 4, x22 4 y22 4 x1 x2 x1 x2 4 y1 y2 y1 y2 0 ，……4 分
kAB
y1 y2 x1 x2
4
x1 x2 y1 y2
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题，每个试题
考生都必须作答．第 22、23 为选考题，考生仅选一个作答．
17．设数列 an 是公差不为零的等差数列，其前 n 项和为 S n ， a1 1，若 a1 ， a2 ， a5 成等比数列．
（Ⅰ）求 an 及 S n ；
墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的 2 ， 3
并且球的表面积也是圆柱表面积的 2 ”这一完美的结论．已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积 3
为 24 ，则该圆柱的内切球体积为（ ）
A． 4 3
B．16
C． 16 3
D． 32 3
6．随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，下图是某城市 1 月至 8 月的空气
C ． 24 25
D ． 24 25
4．设 a log3 0.5 ， b log0.2 0.3 ， c 20.3 ，则 a, b, c 的大小关系是（ ）
A． a b c
B． a c b
C ．c a b
D． c b a
5．阿基米德（公元前 287 年—公元前 212 年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的
7．设等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ， 则“ a1 a3 2a2 ”是“ S2n1 0 ”的（ ）
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分也不必要
2x y 4 8．设 x ， y 满足 x y 1 ，则 z x y 的取值范围是（ ）
x 2 y 2
A ． 5,3
A． 3 7
B． 21 7
C． 21 12
D． 57 19
11．如图示，三棱椎 P ABC 的底面 ABC 是等腰直角三角形， ACB 90 ，且 PA PB AB 2 ，
PC 3 ，则 PC 与面 PAB 所成角的正弦值等于（ ）
A． 1 3
C． 3 3
B． 6 3
D． 2 3
12．在 ABC中， AB 2 ， AC 3，A 60 ，O 为 ABC的外心，若 AO x AB y AC ， x, y R ，