苏教版数学高二数学苏教版选修4-44.1.2极坐标系
高二数学选修4-44.1.21极坐标系课堂PPT.ppt
（x , y , z）的集合建立一一对应；
授课：XX
1
复习回顾
4.1.1 直角坐标系
数
平面直角
轴
坐标系
空间直角 坐标系
R
（x , y)
（x , y , z)
授课：XX
2
复习回顾
建立坐标系是为了确定点的位置。由此，在所创建的坐标系 中，应满足： 任意一点都存在一个坐标与之对应；反之，依据一个点的坐 标就能确定这个点的位置； 而确定点的位置即为求出此点在设定的坐标系中的坐标。
OM= 3
M
给定ρ,θ在极坐标系中描点的方法：先按极角找到极径所在的 射线，后按极径的正负和数值在这条射线或其反向延长线上描 点。
授课：XX
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5、负极径的实质
从比较来看，负极径比 正极径多了一个操作，将射
M
线OP“反向延长”。
而反向延长也可以看成是旋转 O
，因此，所谓“负极径”实
质是针对方向的。这与数学中
[1]作射线OP，使XOP=
P
[2]在OP的反向延长
线上取一点M，使OM= ;
O
X
如图示：
M
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新课讲解
2、负极径的实例
在极坐标系中画出点:M（－3，/4）的位置
[1]作射线OP，使XOP= /4 [2]在OP的反向延长线上取一
P = /4
点M，使OM= 3;
O
X
如图示： M（－3，/4）
[3]一点的极坐标是否有统一的表达式？
有.（ ，2k ） 或（- ，2k π）
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课堂小结
1、极坐标 （ρ，2kπ+θ） 和（-ρ，2kπ+θ+π）k其Z
2017-2018学年高中数学苏教版选修4-4：4.1 4.1.2 极坐标系
4．1.2极坐标系[对应学生用书P5]1．极坐标系的概念(1)极坐标系：在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．其中，点O称为极点，射线Ox称为极轴．(2)极坐标：设M是平面上任一点，ρ表示OM的长度，θ表示以射线Ox为始边，射线OM为终边所成的角．那么，每一个有序实数对(ρ，θ)确定一个点的位置．其中，ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角，有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．(3)在极坐标系中，如果极径ρ允许取负值，极角θ也可以取任意角，那么M(ρ，θ)的极坐标也可以表示为(ρ，θ＋2kπ)或(－ρ，θ＋(2k＋1)π)(k∈Z)．2．极坐标与直角坐标互化[对应学生用书P5][例1] 写出图中各点的极坐标，其中θ∈[0,2π)．[思路点拨] 分析每一点对应的ρ与θ，写出极坐标．[精解详析] 由点A 在极坐标系中的位置知，它的极径为4，极角为0，所以它的极坐标为A (4,0)，同理，得B ⎝⎛⎭⎫2， π4，C ⎝⎛⎭⎫3，π2，D ⎝⎛⎭⎫1，5π6，E (4，π)，F ⎝⎛⎭⎫6，4π3，G ⎝⎛⎭⎫5，5π3，而极点O 的坐标为(0，θ)，θ∈[0,2π)．1．写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能把顺序颠倒了． 2．点的极坐标是不惟一的，但若限制ρ≥0，θ∈[0,2π)，则除极点外，点的极坐标是惟一确定的．1．试画出满足下列条件的点，并说明它们有何特殊的位置关系： A ⎝⎛⎭⎫5，3π4；B ⎝⎛⎭⎫－5，3π4；C ⎝⎛⎭⎫5，－3π4；D ⎝⎛⎭⎫－5，－3π4. 解：所求各点如图所示．由图可以看出，点B 与点A ，点C 与点D 都关于极点对称；点C 与点A ，点B 与点D 都关于极轴对称；点D 与点A ，点B 与点C 都关于直线θ＝π2(ρ∈R )对称．2．在极坐标系中，如果A ⎝⎛⎭⎫2，π4，B ⎝⎛⎭⎫2，5π4为等边三角形ABC 的两个顶点，求顶点C 的极坐标．解：设C 点的极坐标为(ρ，θ)(0≤θ<2π，ρ>0)，如图． 则ρ＝23，θ＝π4＋π2＝3π4，或θ＝5π4＋π2＝7π4.∴C 点的极坐标为⎝⎛⎭⎫23，7π4或⎝⎛⎭⎫23，3π4.[例2] 在极坐标系中，点A 的极坐标是⎝⎭⎫3，π6，求 (1)点A 关于极轴的对称点的极坐标； (2)点A 关于极点的对称点的极坐标；(3)点A 关于直线θ＝π2的对称点的极坐标．(规定ρ>0，θ∈[0,2π))[思路点拨] 结合极坐标系及对称知识，确定对称点的极坐标． [精解详析] (1)设点A 关于极轴的对称点为A 1(ρ1，θ1)，则ρ1＝OA 1＝OA ＝3，θ1＝2π－π6＝11π6.∴点A 关于极轴的对称点的极坐标为⎝⎛⎭⎫3，11π6. (2)设点A 关于极点的对称点为A 2(ρ2，θ2)，则ρ2＝OA 2＝OA ＝3， θ2＝π＋π6＝7π6.∴点A 关于极点的对称点的极坐标为(3，7π6)．(3)设点A 关于直线θ＝π2的对称点为A 3(ρ3，θ3)，则ρ3＝OA 3＝OA ＝3， θ3＝π－π6＝5π6.∴点A 关于直线θ＝π2的对称点的极坐标为⎝⎛⎭⎫3，5π61．解决极坐标下的对称问题要注意以下三点：(1)利用数形结合思想；(2)在对称的过程中极径的长度始终没有变化，主要在于极角的变化；(3)极径ρ≥0，极角θ是以x 轴正方向为始边，按照逆时针方向旋转得到的．2．记住以下结论：点(ρ，θ)关于极轴的对称点是(ρ，－θ)，或(ρ，2π－θ)；关于极点的对称点是(ρ，π＋θ)；关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点是(ρ，π－θ)．3．在极坐标系中，求点A (2，－π3)关于极轴所在的直线的对称的点的极坐标．解：结合极坐标系知A 关于极轴所在的直线对称点为⎝⎛⎭⎫2，2k π＋π3或⎝⎛⎭⎫－2，(2k ＋1)π＋π3(k ∈Z )．4．求点A ⎝⎛⎭⎫5，3π4关于下列直线对称的点的一个坐标： (1)θ＝π2；(2)θ＝π6.解：(1)点A 关于θ＝π2的对称点的一个坐标为⎝⎛⎭⎫5，π4. (2)点A 关于θ＝π6对称的点的一个坐标为⎝⎛⎭⎫5，－5π12.[例3] (1)把下列各点的极坐标化为直角坐标：A ⎝⎛⎭⎫3，－π4，B ⎝⎛⎭⎫2，－2π3，C ⎝⎛⎭⎫32，－π，D ⎝⎛⎭⎫4，－π2； (2)把下列各点的直角坐标化为极坐标：A ()3，－3，B ⎝⎛⎭⎫0，53，C (－2,23)，其中极径ρ≥0，极角θ∈[0,2π)．[思路点拨] 直接利用直角坐标和极坐标的互化公式进行转化即可． [精解详析] (1)根据x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得各点的直角坐标分别为：A ⎝⎛⎭⎫322，－322，B (－1，－3)，C ⎝⎛⎭⎫－32，0，D (0，－4)． (2)根据ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x得各点的极坐标分别为：A ⎝⎛⎭⎫23，11π6，B ⎝⎛⎭⎫53，π2，C ⎝⎛⎭⎫4，2π3.将极坐标化为直角坐标，只需利用公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，已知点的直角坐标求极坐标时，关键是确定θ的值，此时要注意点在坐标系中的位置及θ的范围．5．把下列极坐标化为直角坐标： (1)A ⎝⎛⎭⎫3，2π3；(2)B ⎝⎛⎭⎫4，－3π4； (3)C ⎝⎛⎭⎫－6，17π3；(4)D ⎝⎛⎭⎫5，π2. 解：(1)x ＝3cos 2π3＝－32，y ＝3sin 2π3＝332，故点A 的直角坐标为A ⎝⎛⎭⎫－32，332.(2)x ＝4cos ⎝⎛⎭⎫－3π4＝－22，y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫－3π4＝－22，故点B 的直角坐标为B (－22，－22)．(3)x ＝－6cos 17π3＝－3，y ＝－6sin 17π3＝33，故点C 的直角坐标为C (－3,33)．(4)x ＝5cos π2＝0，y ＝5sin π2＝5，故点D 的直角坐标为D (0,5)．6．写出下列直角坐标系中的点的一个极坐标：(1)P (3，3)；(2)Q (0，－5)；(3)R (26，－22)；(4)O (0,0)． 解：(1)ρ＝32＋(3)2＝23，tan θ＝33，且点P 在第一象限，故点P 的一个极坐标为⎝⎛⎭⎫23，π6.(2)ρ＝5，θ＝3π2，故点Q 的一个极坐标为⎝⎛⎭⎫5，3π2. (3)ρ＝(26)2＋(－22)2＝42，tan θ＝－33，且点R 在第四象限，故点R 的一个极坐标为⎝⎛⎭⎫42，11π6. (4)ρ＝0，θ可为任意值，故点O 的极坐标为O (0，θ)．1．写出下图中点A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 的一个极坐标．解：A ⎝⎛⎭⎫6，53π，B ⎝⎛⎭⎫8，π6，C ⎝⎛⎭⎫5，π2，D ⎝⎛⎭⎫5，7π6，E ⎝⎛⎭⎫8，4π3，F (8,0)，G ⎝⎛⎭⎫4，11π6. 2．已知点A ，B ，C ，D 的极坐标分别为A ⎝⎛⎭⎫122，5π4，B ⎝⎛⎭⎫42，3π4，C (5,0)，D ⎝⎛⎭⎫52，π2. 求证：直线AB ⊥CD .证明：各点的直角坐标为A (－12，－12)，B (－4,4)，C (5,0)，D ⎝⎛⎭⎫0，52. 由于k AB ＝4＋12－4＋12＝2，k CD ＝52－00－5＝－12，k AB ·k CD ＝－1，故AB ⊥CD .3．求在极坐标系中点M ⎝⎛⎭⎫14，－π6关于θ＝π4的对称点N 的一个极坐标． 解：如图设N (ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)． 则ρ＝OM ，θ－π4＝π4＋π6，即ρ＝14，θ＝2π3.∴N 的一个极坐标为⎝⎛⎭⎫14，2π3.4．已知A ，B 的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫23，5π6，⎝⎛⎭⎫2，π3，求线段AB 的中点的一个极坐标． 解：A ，B 两点的直角坐标分别为(－3，3)，(1，3)． 线段AB 的中点的直角坐标为(－1，3)．[对应学生用书P7]则ρ＝2，tan θ＝－3，0≤θ<π.所以线段AB 的中点的一个极坐标为⎝⎛⎭⎫2，2π3. 5．在极坐标系中，根据下列条件，求△ABC 的面积． (1)A ⎝⎛⎭⎫6，π6，B ⎝⎛⎭⎫4，π3，C ⎝⎛⎭⎫2，11π6； (2)A ⎝⎛⎭⎫6，13π12，B ⎝⎛⎭⎫4，π3，C ⎝⎛⎭⎫2，11π6. 解：(1)S △ABC ＝S △OAB ＋S △OAC －S △OBC ＝12×6×4sin π6＋12×6×2sin π3－12×4×2sin π2＝2＋3 3.(2)S △ABC ＝S △OAB ＋S △OBC ＋S △OCA ＝12×6×4sin 3π4＋12×4×2sin π2＋12×6×2sin 3π4＝4＋9 2.6．已知两点的极坐标A ⎝⎛⎭⎫3，π2，B ⎝⎛⎭⎫3，π6，求线段AB 的长度及直线AB 的倾斜角． 解：根据极坐标的定义可得AO ＝BO ＝3，∠AOB ＝π3，即△AOB 为等边三角形，所以AB ＝AO ＝BO ＝3，∠ACO ＝π6(O 为极点，C 为直线AB 与极轴的交点)，则直线AB 的倾斜角为5π6.7．在极轴上求与点A ⎝⎛⎭⎫42，π4的距离为5的点M 的直角坐标． 解：设M (r,0)，则M 的直角坐标为(r,0)． 因为A ⎝⎛⎭⎫42，π4，则A 的直角坐标为(4,4)， 所以(4－r )2＋16＝5，即r 2－8r ＋7＝0.解得r ＝1或r ＝7. 所以点M 的坐标为(1,0)或(7,0)．8．在极坐标系中，若等边△ABC 的两个顶点的坐标是A ⎝⎛⎭⎫4，π4，B ⎝⎛⎭⎫4，5π4，求顶点C 的坐标．解：如图，由A ，B 两点坐标得A ，B 两点关于极点O 对称，即O 是AB 的中点．因为AB ＝8，△ABC 为正三角形，所以OC ＝43，∠AOC ＝π2，C对应的极角θ＝π4＋π2＝3π4或θ＝2π－π4＝7π4，所以点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎫43，3π4或⎝⎛⎭⎫43，7π4.。
苏教版高二数学选修4-4 极坐标系 学案
4.1.2 极坐标系1．极坐标系的概念 (1)极坐标系的建立．如图，在平面内取一个定点O ，叫作极点，从点O 引一条射线Ox ，叫作极轴，选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向)．这样就确定了一个平面极坐标系，简称为极坐标系．(2)点的极坐标的规定．①如图，对于平面内任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长，θ表示以O x 为始边、OM 为终边的角，ρ叫作点M 的极径，θ叫作点M 的极角，有序实数对(ρ，θ)叫作点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)．当点M 在极点时，它的极径ρ＝0，极角θ可以取任意值．②为了研究问题方便，极径ρ也允许取负值．当ρ＜0时，点M (ρ，θ)的位置可以按下列规则确定：作射线OP ，使∠xOP ＝θ，在OP 的反向延长线上取一点M ，使|OM |＝|ρ|，这样点M 的坐标就是(ρ，θ)，如下图：2．点的极坐标与直角坐标的互化 (1)互化的前提条件．如图，建立一个平面直角坐标系，把平面直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，建立极坐标系，并且两种坐标系中取相同的单位长度．(2)互化公式．如上图，设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)．如果限定ρ取正值，θ∈[0,2π)，那么除原点外，平面内点的直角坐标与极坐标之间就是一一对应的．①点M 的极坐标(ρ，θ)化为直角坐标(x ，y )的公式是=cos =sin x y ρθρθ⎧⎪⎨⎪⎩ ②点M 的直角坐标(x ，y )化为极坐标(ρ，θ)的公式是222=tan =(0)x y yx x ρθ⎧+⎪⎨≠⎪⎩预习交流1．建立极坐标系的意义是什么？ 提示：我们已经知道，确定平面内一个点的位置时，有时是依靠水平距离与垂直距离(即“长度”与“长度”，这就是直角坐标系的基本思想)这两个量来刻画，有时却是依靠距离与方位角(即“长度”与“角度”，这就是极坐标系的基本思想)这两个量来刻画．在生活中，如在台风预报、地震预报、测量、航空、航海中，甚至更贴近我们生活的如我们听到的声音，不但有高低之分，还有方向之分，我们能够辨别出声源的相对位置，这些都要用距离和方向来确定一点的位置．有些复杂的曲线，比如说环绕一点做旋转运动的点的轨迹，用直角坐标表示，形式极其复杂，但用极坐标表示，就变得十分简单且便于处理．在应用上有重要价值的等速螺线，它的直角坐标x 与y 之间的关系很难确定，可是它的极坐标ρ与θ却有一个简单的一次函数关系，我们将在后一节的内容中学习极坐标形式下的一些简单曲线方程．总之，使用极坐标是人们生产生活的需要．平面内建立直角坐标系是人们公认的最容易接受并且被经常采用的方法，但它并不是确定点的位置的唯一方法．2．极坐标系下的点与它的极坐标对应情况是怎样的？提示：(1)给定点(ρ，θ)，就可以在极坐标平面内确定唯一的一个点M ；(2)给定平面上一点M ，却有无数个极坐标与之对应．原因在于极角有无数个．一、极坐标系中点的表示已知点M 的极坐标为π5,3⎛⎫⎪⎝⎭，其坐标也可表示为______________或______________． 答案：π5,2π3k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，k ∈Z π5,(21)π3k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，k ∈Z解析：一般地，如果点M 的极坐标是(ρ，θ)，那么(ρ，θ＋2k π)或(－ρ，θ＋(2k ＋1)π)，k ∈Z 都可以作为点M 的极坐标．以下四个点A ⎝⎛⎭⎫3，π6，B ⎝⎛⎭⎫3，－π6，C ⎝⎛⎭⎫3，13π6，D ⎝⎛⎭⎫3，17π6，表示同一个点的是__________．答案：点A ，C在极坐标系中，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z )，(－ρ，θ＋(2k ＋1)π)(k ∈Z )表示同一个点．特别注意，极点O 的坐标为(0，θ)(其中θ可以取任意值)．这与直角坐标系中的点与有序实数对一一对应的关系不同，极坐标平面内的点的极坐标可以有无数多种表示．二、对称性问题在极坐标系中，点A 的极坐标是⎝⎛⎭⎫3，π6，则(1)点A 关于极轴所在直线的对称点是________； (2)点A 关于极点的对称点的极坐标是________；(3)点A 关于直线θ＝π2的对称点的极坐标是________．(规定ρ＞0，θ∈[0,2π))答案：(1)⎝⎛⎭⎫3，11π6 (2)⎝⎛⎭⎫3，7π6 (3)⎝⎛⎭⎫3，5π6 解析：如图所示，在对称的过程中极径的长度始终没有变化，主要在于极角的变化．另外，我们要注意：极角是以x 轴正向为始边，按照逆时针方向得到的．在极坐标系中，与点A ⎝⎛⎭⎫2，－π3关于极轴所在的直线对称的点的极坐标是__________(ρ＞0，θ∈[0,2π))．答案：⎝⎛⎭⎫2，π3 解析：与A ⎝⎛⎭⎫2，－π3关于极轴所在直线对称的点的极坐标可以表示为⎝⎛⎭⎫2，2k π＋π3，k ∈Z ，而ρ＞0，θ∈[0,2π)，∴所求坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3.极坐标系中的点(ρ，θ)关于极轴所在直线的对称点的极坐标为(ρ，2k π－θ)(k ∈Z )．关于直线θ＝π2对称的点的极坐标为(ρ，2k π＋π－θ)(k ∈Z )，关于极点对称的点的极坐标为(ρ，θ＋π＋2k π)(k ∈Z )．三、极坐标和直角坐标互化(1)已知点的极坐标分别为A ⎝⎛⎭⎫3，－π4，B ⎝⎛⎭⎫2，－2π3，C ⎝⎛⎭⎫32，－π，D ⎝⎛⎭⎫4，－π2，求它们的直角坐标；(2)已知点的直角坐标分别为A (3，－3)，B ⎝⎛⎭⎫0，53，C (－2,23)，求它们的极坐标，其中极角θ∈[0,2π)．思路分析：直接利用直角坐标和极坐标的互化公式进行转化即可．解：(1)根据x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得A ⎝⎛⎭⎫322，－322，B (－1，－3)，C ⎝⎛⎭⎫－32，0，D (0，－4)．(2)根据ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x 得A ⎝⎛⎭⎫23，11π6，B ⎝⎛⎭⎫53，π2，C ⎝⎛⎭⎫4，2π3. (1)把点M 的极坐标⎝⎛⎭⎫8，2π3化成直角坐标； (2)把点P 的直角坐标(6，－2)化成极坐标(ρ＞0，0≤θ＜2π)． 解：(1)x ＝8cos 2π3＝－4，y ＝8sin 2π3＝43，因此点M 的直角坐标是(－4,43)． (2)ρ＝(6)2＋(－2)2＝22，tan θ＝－26＝－33，又因为点P 在第四象限，故θ＝11π6.因此点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，11π6.将极坐标化为直角坐标，只需利用公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ.已知点的直角坐标求极坐标时，关键是确定θ的值，此时要注意点在坐标系中的位置及θ的范围．1．在极坐标系中，与点⎝⎛⎭⎫－8，π6关于极点对称的点的一个坐标是__________． 答案：⎝⎛⎭⎫8，π6 解析：点(ρ，θ)关于极点对称的点为(ρ，π＋θ)， 故⎝⎛⎭⎫－8，π6关于极点对称的点的一个坐标为⎝⎛⎭⎫－8，76π，即⎝⎛⎭⎫8，π6. 2．点M 的直角坐标为(－3，－1)，则其极坐标为__________．(ρ＞0,0≤θ＜2π)答案：⎝⎛⎭⎫2，76π 解析：ρ＝(－3)2＋(－1)2＝2，tan θ＝－1－3＝33，∵点在第三象限，∴θ＝76π.故点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，76π. 3．点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，－π4，化为直角坐标为__________． 答案：(22，－22)解析：x ＝ρcos θ＝4cos ⎝⎛⎭⎫－π4＝4×22＝22， y ＝ρsin θ＝4sin ⎝⎛⎭⎫－π4＝4×⎝⎛⎭⎫－22＝－22， ∴M (22，－22)．4．写出与直角坐标系中的点(－2,23)表示同一个点的所有点的极坐标__________．答案：⎝⎛⎭⎫4，2k π＋2π3(k ∈Z ) 解析：ρ＝x 2＋y 2＝(－2)2＋(23)2＝4， tan θ＝y x ＝23－2＝－3，又∵点(－2,23)在第二象限，∴θ＝2π3.∴点(－2,23)用极坐标表示为⎝⎛⎭⎫4，2k π＋2π3(k ∈Z )． 5．将下列各点的直角坐标化为极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)． (1)(3，3)；(2)(－1，－1)．解：(1)ρ＝(3)2＋32＝23，tan θ＝33＝ 3.又因为点(3，3)在第一象限，所以θ＝π3.所以点(3，3)的极坐标为⎝⎛⎭⎫23，π3. (2)ρ＝(－1)2＋(－1)2＝2，tan θ＝1.又因为点(－1，－1)在第三象限，所以θ＝5π4.所以点(－1，－1)的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，5π4.。
高中数学 4.1.2 极坐标系学案 苏教版选修4-4
4.1.2 极坐标系1．了解极坐标系．2．会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置．3．体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别．[基础·初探]1．极坐标系(1)在平面上取一个定点O ，自点O 引一条射线Ox ，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．其中，点O 称为极点，射线Ox 称为极轴．(2)设M 是平面上任一点，ρ表示OM 的长度，θ表示以射线Ox 为始边，射线OM 为终边所成的角．那么，每一个有序实数对(ρ，θ)确定一个点的位置．ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角．有序实数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．约定ρ＝0时，极角θ可取任意角．(3)如果(ρ，θ)是点M 的极坐标，那么(ρ，θ＋2k π)或(－ρ，θ＋(2k ＋1)π)(k ∈Z )都可以看成点M 的极坐标．2．极坐标与直角坐标的互化以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位(如图413所示)，平面内任一点M 的直角坐标(x ，y )与极坐标(ρ，θ)可以互化，公式是：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x图413通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取ρ≥0,0≤θ＜2π.[思考·探究]1．建立极坐标系需要哪几个要素？【提示】 建立极坐标系的要素是：(1)极点；(2)极轴；(3)长度单位；(4)角度单位和它的正方向，四者缺一不可．2．为什么点的极坐标不惟一？【提示】 根据我们学过的任意角的概念：一是终边相同的角有无数个，它们相差2π的整数倍，所以点(ρ，θ)还可以写成(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z )；二是终边在一条直线上且互为反向延长线的两角的关系，所以点(ρ，θ)的坐标还可以写成(－ρ，θ＋2k π＋π)(k ∈Z )．3．将直角坐标化为极坐标时如何确定ρ和θ的值？【提示】 由ρ2＝x 2＋y 2求ρ时，ρ不取负值；由tan θ＝yx(x ≠0)确定θ时，根据点(x ，y )所在的象限取得最小正角．当x ≠0时，θ角才能由tan θ＝y x按上述方法确定．当x ＝0时，tan θ没有意义，这时又分三种情况：(1)当x ＝0，y ＝0时，θ可取任何值；(2)当 x ＝0，y ＞0时，可取θ＝π2；(3)当x ＝0，y ＜0时，可取θ＝3π2.[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问2：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问3：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________写出图414中A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 各点的极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)．图414【自主解答】 对每个点我们先看它的极径的长，再确定它的极角，因此这些点的极坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫7，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，3π4，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，7π6，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，7π4，E ()9，0，F (3，π)，G ⎝⎛⎭⎪⎫9，3π2.[再练一题]1．已知边长为a 的正六边形ABCDEF ，建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标．【导学号：98990003】【解】 以正六边形中心O 为极点，OC 所在直线为极轴建立如图所示的极坐标系．由正六边形性质得：C (a,0)，D (a ，π3)，E (a ，2π3)，F (a ，π)，A (a ，43π)，B (a ，53π) 或C (a,0)，D (a ，π3)，E (a ，2π3)，F (a ，π)，A (a ，－2π3)，B (a ，－π3).在极坐标系中，求与点M (3，－3)关于极轴所在的直线对称的点的极坐标．【自主解答】 极坐标系中点M (ρ，θ)关于极轴对称的点的极坐标为M ′(ρ，2k π－θ)(k ∈Z )，利用这个规律可得对称点的坐标为(3,2k π＋π3)(k ∈Z )．[再练一题]2．在极坐标系中，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3，π6(限定ρ＞0，0≤θ＜2π)．(1)点A 关于极轴对称的点的极坐标是________； (2)点A 关于极点对称的点的极坐标是________． (3)点A 关于直线θ＝π2对称的点的极坐标是________．【解析】 通过作图如图可求解为【答案】 (1)(3，11π6) (2)(3，7π6) (3)(3，5π6)(1)把点M 的极坐标⎝⎛⎭⎪⎫8，3化成直角坐标；(2)把点P 的直角坐标(6，－2)化成极坐标(ρ＞0，0≤θ＜2π)．【自主解答】 (1)x ＝8cos 2π3＝－4，y ＝8sin 2π3＝43，因此，点M 的直角坐标是(－4,43)．(2)ρ＝62＋－22＝22，tan θ＝－26＝－33，又因为点P 在第四象限且0≤θ≤2π，得θ＝11π6.因此，点P 的极坐标为(22，11π6)．[再练一题]3．(1)把点A 的极坐标(2，7π6)化成直角坐标； (2)把点P 的直角坐标(1，－3)化成极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)． 【解】 (1)x ＝2cos 7π6＝－3，y ＝2sin7π6＝－1， 故点A 的直角坐标为(－3，－1)． (2)ρ＝12＋－32＝2，tan θ＝－31＝－ 3.又因为点P 在第四象限且0≤θ＜2π，得θ＝5π3.因此点P 的极坐标是(2，5π3)．在极坐标系中，已知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，3，求A 、B 两点之间的距离． 【思路探究】 将点的极坐标化为直角坐标，在用两点间距离公式求解． 【自主解答】 对于A (3，－π3)，x ＝3cos(－π3)＝32；y ＝3sin(－π3)＝－332， ∴A (32，－332)．对于B (1，2π3)，x ＝1×cos 2π3＝－12，y ＝1×sin 2π3＝32，∴B (－12，32)．∵AB ＝32＋122＋－332－322＝4＋12＝4，∴A 、B 两点之间的距离为4.有些问题在用极坐标表示时没有现成的解法，但在直角坐标系中却是一个常见的问题．因此，换一个坐标系，把极坐标系中的元素换成直角坐标系中的元素，问题就可以迎刃而解了．如果题目要求用极坐标作答，那么解完再用极坐标表示就行了．[再练一题]4．在极坐标系中，已知三点：A (4,0)、B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，3π2、C ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ，π6.(1)求直线AB 与极轴所成的角；(2)若A 、B 、C 三点在一条直线上，求ρ的值．【解】 (1)点A 的直角坐标为(4,0)，点B 的直角坐标为(0，－4)，直线AB 在直角坐标系中的方程为x －y ＝4.故直线AB 与x 轴所成角为π4.(2)点C 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32ρ，12ρ，代入直线方程得32ρ－12ρ＝4， 解得ρ＝83－1＝4(3＋1)．[真题链接赏析](教材第17页习题4.1第6题)将下列各点的极坐标化为直角坐标：⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫6，－π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，11π6，(5，π)，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－3π2， ⎝ ⎛⎭⎪⎫－42，3π4.已知下列各点的直角坐标，求它们的极坐标．(1)A (3，3)；(2)B (－2，－23)； (3)C (0，－2)；(4)D (3,0)．【命题意图】 本题主要考查极坐标与直角坐标的互化，属基础题． 【解】 (1)由题意可知：ρ＝32＋32＝23，tan θ＝33，所以θ＝π6， 所以点A 的极坐标为(23，π6)． (2)ρ＝－2＋－232＝4，tan θ＝－23－2＝3，又由于θ为第三象限角，故θ＝43π，所以B 点的极坐标为(4，43π)．(3)ρ＝02＋－2＝2.θ为32π，θ在y 轴负半轴上，所以点C 的极坐标为(2，32π)．(4)ρ＝32＋02＝3，tan θ＝03＝0，故θ＝0.所以D 点的极坐标为(3,0)．1．点P (－2,2)的极坐标(θ∈[0,2π))为________． 【解析】 由ρ＝x 2＋y 2＝－2＋22＝22，tan θ＝2－2＝－1，∵P 点在第二象限内，∴θ＝3π4，∴ρ的极坐标为(22，3π4)．【答案】 (22，3π4) 2．在极坐标系中，与(ρ，θ)关于极轴对称的点是________．【导学号：98990004】【解析】 极径为ρ，极角为θ，θ关于极轴对称的角为负角－θ，故所求的点为(ρ，－θ)．【答案】 (ρ，－θ)3．将极坐标⎝⎛⎭⎪⎫2，3π2化为直角坐标为________．【解析】 x ＝ρcos θ＝2cos 32π＝0，y ＝ρsin θ＝2sin 32π＝－2，故直角坐标为(0，－2)． 【答案】 (0，－2)4．已知A ，B 的极坐标分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π4和⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，π12，则A 和B 之间的距离等于________． 【解析】 由余弦定理得AB＝ρ12＋ρ22－2ρ1ρ2θ1－θ2＝32＋－2－－π4－π12＝9＋9＋93＝18＋9 3 ＝36＋322. 【答案】36＋322我还有这些不足：(1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________。
苏教版高中数学选修4-4 4.1.2极坐标系_学案设计1(无答案)
极坐标系【学习目标】掌握极坐标与直角坐标的互化以及有关圆的极坐标问题。
【学习过程】一、基础梳理1．极坐标系的概念2．直角坐标与极坐标的互化3．几个特殊位置的直线的极坐标方程（1）直线过极点：（2）直线过点M (a ，0)且垂直于极轴：（3）直线过M ⎝⎛⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴： 4．几个特殊位置的圆的极坐标方程（1）当圆心位于极点，半径为r ：（2）当圆心位于M (a ，0)，半径为a ：（3）当圆心位于M ⎝⎛⎭⎪⎫a ，π2，半径为a ： 二、基础练习1．点P 的直角坐标为(－2，2)，那么它的极坐标可表示为________。
2．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________。
3．在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin θ＝3，则点⎝⎛⎭⎪⎫2，π6到直线l 的距离为________。
4．在极坐标系中，直线ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________。
5．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为________。
三、典例训练例1．设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π6，直线l 过点A 且与极轴所成的角为π3，求直线l 的极坐标方程。
例2．在极坐标系中，若过点(1，0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cos θ于A ．B 两点，则|AB |＝________。
例3．在圆心的极坐标为A (4，0)，半径为4的圆中，求过极点O 的弦的中点的轨迹。
四、巩固练习1．点P 的直角坐标为(1，－3)。
则点P 的极坐标可以是________。
2．在极坐标系中，P ，Q 是曲线C ：ρ＝4sin θ上任意两点，则线段PQ 长度的最大值为________。
3．从极点O 作直线与另一直线ρcos θ＝4相交于点M ，在OM 上取一点P ，使|OM |·|OP |＝12，求点P 的轨迹方程。
苏教版高二数学选修4-4 4.1.1 直角坐标系课件(35张)
[精解详析] 证明：取 BC 的中点 O 为坐标 原点，OA 所在直线为 y 轴，建立如图所示的平 面直角坐标系，设 A，B 的坐标分别为(0，b)， (－a,0)，则 C 点的坐标为(a,0)，从而 AB2＝a2＋b2.
3．点关于直线的对称：求已知点 A(m，n)关于已知直线： l：y＝kx＋b 的对称点 A′(x0，y0)的坐标的一般方法是依据 l 是 线段 AA′的垂直平分线，列出关于 x0、y0 的方程组，由“垂直” 得一方程，由“平分”得一方程，即ky0·x＋y200－－n＝mn k＝·x－0＋21，m＋b.
取最小值
2 2 a.
(2)由题图可知，当 P 在 AB 上运动时，P 到坐标平面 xOz，yOz
的距离相等，所以可设 P(t，t，a－t)，t∈[0，a]．
又 Q 在 CD 上运动，所以可设 Q(0，a，z0)，z0∈[0，a]．
所以 PQ＝ t－02＋t－a2＋a－t－z02
＝ 2t2－2at＋a2＋a－t－z02
解：(1)B(0,0，a)，A(a，a,0)，当 P 为 AB 的中点时，Pa2，a2，a2. 又 Q 在 CD 上运动，设 Q(0，a，t)，其中 t∈[0，a]，则
PQ＝
a2－02＋a2－a2＋a2－t2
＝
t－a22＋a22，
故当
t＝a2时，PQ
令 M 的坐标为(x,0)， 则 AM2＋BM·MC ＝x2＋b2＋(a＋x)(a－x) ＝x2＋b2＋a2－x2＝a2＋b2， ∴AB2＝AM2＋BM·MC.
利用解析法可解决平面几何中的证明问题、轨迹方程的求 法问题等，其关键是建立恰当坐标系，运用距离公式或建立方 程得以解决问题．
苏教版高二数学选修4-4 4.1.2 极坐标系 学案
4.1.2 极坐标系1．了解极坐标系．2．会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置．3．体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别．[基础·初探]1．极坐标系(1)在平面上取一个定点O ，自点O 引一条射线Ox ，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．其中，点O 称为极点，射线Ox 称为极轴．(2)设M 是平面上任一点，ρ表示OM 的长度，θ表示以射线Ox 为始边，射线OM 为终边所成的角．那么，每一个有序实数对(ρ，θ)确定一个点的位置．ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角．有序实数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．约定ρ＝0时，极角θ可取任意角．(3)如果(ρ，θ)是点M 的极坐标，那么(ρ，θ＋2k π)或(－ρ，θ＋(2k ＋1)π)(k ∈Z )都可以看成点M 的极坐标．2．极坐标与直角坐标的互化以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位(如图4-1-3所示)，平面内任一点M 的直角坐标(x ，y )与极坐标(ρ，θ)可以互化，公式是：⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0).图4-1-3通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取ρ≥0,0≤θ＜2π.[思考·探究]1．建立极坐标系需要哪几个要素？【提示】 建立极坐标系的要素是：(1)极点；(2)极轴；(3)长度单位；(4)角度单位和它的正方向，四者缺一不可．2．为什么点的极坐标不惟一？【提示】 根据我们学过的任意角的概念：一是终边相同的角有无数个，它们相差2π的整数倍，所以点(ρ，θ)还可以写成(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z )；二是终边在一条直线上且互为反向延长线的两角的关系，所以点(ρ，θ)的坐标还可以写成(－ρ，θ＋2k π＋π)(k ∈Z )．3．将直角坐标化为极坐标时如何确定ρ和θ的值？【提示】 由ρ2＝x 2＋y 2求ρ时，ρ不取负值；由tan θ＝yx (x ≠0)确定θ时，根据点(x ，y )所在的象限取得最小正角．当x ≠0时，θ角才能由tan θ＝yx 按上述方法确定．当x ＝0时，tan θ没有意义，这时又分三种情况：(1)当x ＝0，y ＝0时，θ可取任何值；(2)当 x ＝0，y ＞0时，可取θ＝π2；(3)当x ＝0，y ＜0时，可取θ＝3π2.[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问2：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问3：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________0,0≤θ＜2π)．图4-1-4【自主解答】 对每个点我们先看它的极径的长，再确定它的极角，因此这些点的极坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫7，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，3π4，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，7π6，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，7π4，E ()9，0，F (3，π)，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫9，3π2. [再练一题]1．已知边长为a 的正六边形ABCDEF ，建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标．【导学号：98990003】【解】 以正六边形中心O 为极点，OC 所在直线为极轴建立如图所示的极坐标系．由正六边形性质得：C (a,0)，D (a ，π3)，E (a ，2π3)，F (a ，π)，A (a ，43π)，B (a ，53π) 或C (a,0)，D (a ，π3)，E (a ，2π3)，F (a ，π)，A (a ，－2π3)，B (a ，－π3).在极坐标系中，求与点M (3，－π3)关于极轴所在的直线对称的点的极坐标．【自主解答】 极坐标系中点M (ρ，θ)关于极轴对称的点的极坐标为M ′(ρ，2k π－θ)(k ∈Z )，利用这个规律可得对称点的坐标为(3,2k π＋π3)(k ∈Z )．[再练一题]2．在极坐标系中，点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6(限定ρ＞0，0≤θ＜2π)．(1)点A 关于极轴对称的点的极坐标是________； (2)点A 关于极点对称的点的极坐标是________． (3)点A 关于直线θ＝π2对称的点的极坐标是________． 【解析】 通过作图如图可求解为【答案】 (1)(3，11π6) (2)(3，7π6) (3)(3，5π6)(1)把点M 的极坐标⎝ ⎭⎪⎫8，2π3化成直角坐标；(2)把点P 的直角坐标(6，－2)化成极坐标(ρ＞0，0≤θ＜2π)．【自主解答】 (1)x ＝8cos 2π3＝－4，y ＝8sin 2π3＝43，因此，点M 的直角坐标是(－4,43)．(2)ρ＝(6)2＋(－2)2＝22， tan θ＝－26＝－33， 又因为点P 在第四象限且0≤θ≤2π，得θ＝11π6.因此，点P 的极坐标为(22，11π6)．[再练一题]3．(1)把点A 的极坐标(2，7π6)化成直角坐标；(2)把点P 的直角坐标(1，－3)化成极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)． 【解】 (1)x ＝2cos 7π6＝－3， y ＝2sin 7π6＝－1，故点A 的直角坐标为(－3，－1)．(2)ρ＝12＋(－3)2＝2，tan θ＝－31＝－ 3.又因为点P 在第四象限且0≤θ＜2π，得θ＝5π3. 因此点P 的极坐标是(2，5π3)．在极坐标系中，已知A ⎝ ⎭⎪⎫3，－π3，B ⎝ ⎭⎪⎫1，2π3，求A 、B 两点之间的距离．【思路探究】 将点的极坐标化为直角坐标，在用两点间距离公式求解． 【自主解答】 对于A (3，－π3)， x ＝3cos(－π3)＝32；y ＝3sin(－π3)＝－332， ∴A (32，－332)．对于B (1，2π3)，x ＝1×cos 2π3＝－12，y ＝1×sin 2π3＝32，∴B (－12，32)． ∵AB ＝(32＋12)2＋(－332－32)2＝4＋12＝4，∴A 、B 两点之间的距离为4.有些问题在用极坐标表示时没有现成的解法，但在直角坐标系中却是一个常见的问题．因此，换一个坐标系，把极坐标系中的元素换成直角坐标系中的元素，问题就可以迎刃而解了．如果题目要求用极坐标作答，那么解完再用极坐标表示就行了．[再练一题]4．在极坐标系中，已知三点：A (4,0)、B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，3π2、C ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ，π6.(1)求直线AB 与极轴所成的角；(2)若A 、B 、C 三点在一条直线上，求ρ的值．【解】 (1)点A 的直角坐标为(4,0)，点B 的直角坐标为(0，－4)，直线AB 在直角坐标系中的方程为x －y ＝4.故直线AB 与x 轴所成角为π4.(2)点C 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32ρ，12ρ，代入直线方程得 32ρ－12ρ＝4，解得ρ＝83－1＝4(3＋1)．[真题链接赏析](教材第17页习题4.1第6题)将下列各点的极坐标化为直角坐标：⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫6，－π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，11π6，(5，π)，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－3π2， ⎝ ⎛⎭⎪⎫－42，3π4.已知下列各点的直角坐标，求它们的极坐标．(1)A (3，3)；(2)B (－2，－23)； (3)C (0，－2)；(4)D (3,0)．【命题意图】 本题主要考查极坐标与直角坐标的互化，属基础题． 【解】 (1)由题意可知：ρ＝32＋(3)2＝23，tan θ＝33，所以θ＝π6，所以点A 的极坐标为(23，π6)． (2)ρ＝(－2)2＋(－23)2＝4，tan θ＝－23－2＝3，又由于θ为第三象限角，故θ＝43π，所以B 点的极坐标为(4，43π)．(3)ρ＝02＋(－2)2＝2.θ为32π，θ在y 轴负半轴上，所以点C 的极坐标为(2，32π)．(4)ρ＝32＋02＝3，tan θ＝03＝0，故θ＝0.所以D 点的极坐标为(3,0)．1．点P (－2,2)的极坐标(θ∈[0,2π))为________． 【解析】 由ρ＝x 2＋y 2＝(－2)2＋22＝22， tan θ＝2－2＝－1， ∵P 点在第二象限内， ∴θ＝3π4，∴ρ的极坐标为(22，3π4)． 【答案】 (22，3π4)2．在极坐标系中，与(ρ，θ)关于极轴对称的点是________．【导学号：98990004】【解析】 极径为ρ，极角为θ，θ关于极轴对称的角为负角－θ，故所求的点为(ρ，－θ)．【答案】 (ρ，－θ)3．将极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π2化为直角坐标为________．【解析】 x ＝ρcos θ＝2cos 32π＝0，y ＝ρsin θ＝2sin 32π＝－2， 故直角坐标为(0，－2)． 【答案】 (0，－2)4．已知A ，B 的极坐标分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π4和⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，π12，则A 和B 之间的距离等于________．【解析】 由余弦定理得 AB ＝ρ12＋ρ22－2ρ1ρ2·cos (θ1－θ2) ＝32＋(－3)2－2×3×(－3)cos (π4－π12)＝9＋9＋93＝18＋9 3 ＝36＋322. 【答案】 36＋322我还有这些不足：(1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修4-4 4.1.2 极坐标系》7
《极坐标系》教学设计江苏省海州高级中学高静一、教材分析本节课是选修4-4的内容，由于生活中的许多问题都是用方位角和距离来确定点的位置，再用直角坐标表示不太方便，这时就需要建立以角度和距离为依据的坐标系，从而建立极坐标系。
教材通过从实际问题中抽象出数学问题的过程，让学生体会数学在生活中的应用。
二、学情分析笔者所带的班级是高二年级理科班，学生具备了较好的分析问题的能力，对新知识的学习也有很浓厚的兴趣，能积极思考发言。
学生已经学习了三角函数、平面上两点间距离公式，以及解斜三角形的等本节课所需的预备知识，同时能熟练利用平面直角坐标系来刻画点的位置。
三、教学目标（1）认识极坐标系；（2）使学生能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置：（3）体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别；（4）能进行极坐标和直角坐标的互化。
四、重点、难点重点：能用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标与直角坐标的互化难点：极坐标系的建立，认识点与极坐标之间的对应关系五、教学过程（一）情境引入电脑播放精彩的足球经典进球视频，引导学生关注给射门的运动员传球的运动员，没有这个巧妙的传球，就没有这个轻松的进球。
问题1：在运动员传球之前，他是如何确定队友的位置？（学生讨论，教师提炼关键词：距离，角度）【设计意图】这个问题的目的是让学生体会在生活中，我们经常会以当前所在位置，利用角度和距离来描述另一个点的位置。
【反思】可能是因为学生没有领会问题的含义，学生首先回答“用眼睛看”，教师进一步将问题细化为：“他是如何确定传球的线路的？”（二） 知识初建构问题2：你能建立一个合理的坐标系，描述上述的问题吗？（学生回答，教师总结）【设计意图】通过学生自己的思考和尝试，体会用距离和角度来刻画点的位置需要的参照物是什么？这里学生要自己找到极点，极轴，规定单位长度和角度的正方向。
教师总结（M O M ||OM M ρOx OM xOM M θρθM （ρ，θ）。
苏教版4-44.1.2(2)极坐标与直角坐标的互化
M ( , )
一般地, 在平面上取一个定点 O,自点O引一条射线Ox, 同时确定一个 单位长度和计算角度的 正方向(通常取逆时针方向为正 方向), 这样就建立 了一个极坐标系.其中, 点O称为极点, 射线Ox称为极轴(如图). 设M是平面上任一点 , 表示OM的长度,表示以射线Ox为始边, 射线 OM为终边所成的角 .那么, 每一个有序实数对 ( , )确定一个点的位置 .其 中, 称为极径,称为极角 .有序实数对( , )称为点M的极坐标. 为了研究方便 , 在极坐标系中 , 有时极径允许取负值, 极角也可以取 任意的正角或负角 . 当 0时, 点M ( , )位于极角终边的反向延 长线上, 且OM .
6 2
6 2
点A的直角坐标为 (
9 9 3 , y B 9 sin . 3 2 3 2 9 9 3 点B的直角坐标为 ( , ). 2 2 9－9 3 9 3－9 故, AB中点M的直角坐标为 ( , ). 4 4 x B 9 cos
9 3 9 , ). 2 2
（
2 我们知道, 一个点的极坐标可以有 多种表达形式 , 如点M 8, 也可以 3 5 表示为 8, .此时,由 .对于 0时, 上面的公式也适用 3
5 5 8 cos 4及 8 sin 4 3, 3 3
同样, 可得到点M的直角坐标是 ( 4,4 3 ).
参考答案:
故, 点A的直角坐标是 ( 2 2 ,2 2 ).
17 17 ( 2) x 6 cos( ) 3, y 6 sin( ) 3 3, 3 3
( 3) x 5 cos
故, 点B的直角坐标是 ( 3,3 3 ).
苏教版数学高二数学苏教版选修4-4知识必备4.1.1直角坐标系
4.1 坐标系4.1.1 直角坐标系自主整理1.坐标系是一个______________，它是实现_____________与___________互相转化的基础. 答案:1.参照系几何图形代数形式2.建立坐标系是为了______________，在所创建的坐标系中，应满足：任意一点都有______________与它对应；反之，依据一个点的坐标就能______________.答案:2.确定点的位置确定的坐标确定这个点的位置3.在数轴上，直线上所有点的集合与全体实数的集合建立______________；在平面直角坐标系中，平面上所有点的集合与______________的集合建立一一对应；在空间直角坐标系中，空间所有点的集合与___________________________的集合建立一一对应.确定点的位置就是_______________________.答案:3.一一对应全体有序实数对（x,y）全体由三个实数组成的有序实数组（x,y,z）求出这个点在设定的坐标系中的坐标高手笔记1.坐标系是解析几何的基础.在坐标系中，可以用有序实数对（组）确定点的位置，进而用方程刻画几何图形.为便于用代数的方法刻画几何图形或描述自然现象，需要建立不同的坐标系.2.平面和空间中点的位置都可以用有序数对（组），也就是坐标来刻画，在不同坐标系中，这些数所体现的几何含义不同.同一几何图形在不同坐标系中具有不同的形式.3.坐标系包括直角坐标系、极坐标系、柱坐标系、球坐标系等.对于不同类型的几何图形，选用相应的坐标系可以使建立的方程更加简单.如要确定体育馆内一个位置，建立柱坐标系就比较适合，通过柱坐标我们可以比较精确地找到这个位置的所在地.4.坐标法是在坐标系的基础上，把几何问题转化成代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的方法.它是解析几何中最基本的研究方法.例如在平面直角坐标系中，根据确定直线位置的几何要素，我们可以探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系.在空间坐标系中，通过高次方程的计算，使人们对一些星体的轨迹运动和变化规律有所了解和掌握.5.坐标法解决几何问题的“三步曲”：第一步：建立适当的坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.6.坐标法在生活中的应用很广泛，如研究台风、寒流、沙暴中心的运动规律，可以帮助人们预防自然灾害的发生等等.名师解惑1.建立坐标系可以解决哪些问题，它是如何体现数学思想的？剖析：坐标系是现代数学中的重要内容，它在数学发展的历史上，起过划时代的作用.坐标系的创建，在代数和几何之间架起了一座桥梁.利用坐标系，我们可以方便地用代数的方法确定平面内一个点的位置，也可以方便地确定空间内一个点的位置.它使几何概念得以用代数的方法来描述，几何图形可以通过代数形式来表达，这样便可将抽象的代数方程用形象的几何图形表示出来，又可将先进的代数方法应用于几何学的研究.建立直角坐标系，数形结合，我们可以解决许多数学问题，如函数问题就常常需要借助直角坐标系来解决.而在其他领域，坐标系与物理、化学等相关学科交织在一起，在日常生活中有着广泛的应用.如飞机航行、炮弹发射问题等等.我们生活中有这样一个例子：教室的墙壁上挂着一块黑板，它的上、下边缘分别在学生的水平视线上方a 米和b 米，那么学生距墙壁多远时看黑板最清楚（即所张的视角最大）？我们就可以建立一个平面直角坐标系,运用三角的知识加以解决.平面直角坐标系是进一步学习函数、三角及其他坐标系的必备基础知识.我们画函数的图象、定义任意角的三角函数等许多知识都是与坐标系的建立紧密联系的，这就需要我们对各方面的知识扎实掌握，从而能得心应手地解决问题.2.建立直角坐标系的一般规律有哪些？剖析：一般情况下我们有这样一个建立直角坐标系的规律：（1）当题目中有两条互相垂直的直线时,以这两条直线为坐标轴;（2）当题目中有对称图形时，以对称图形的对称轴为坐标轴;（3）当题目中有已知长度的线段时,以线段所在直线为坐标轴，以线段端点或中点为原点.3.利用坐标法解决问题应注意什么？剖析：坐标系建立完后，需仔细分析曲线的特征，注意揭示隐含条件，抓住曲线上任意点有关的等量关系、所满足的几何条件，列出方程.在将几何条件转化为代数方程的过程中，要注意圆锥曲线定义和初中平面几何知识的应用，还会用到一些基本公式，如两点间的距离公式、点到直线的距离公式、直线斜率公式等.另外，在化简过程中，我们要注意运算和变形的合理性与准确性，避免“失解”和“增解”. 讲练互动【例题1】如图，在长方体OABC —D 1A 1B 1C 1中，｜OA ｜=4，｜OC ｜=3，｜OD 1｜=2，AC 与OB 相交于P 点，OB 1与BD 1相交于点M ，建立适当的坐标系，分别写出点P 、M 的坐标.思路分析：以长方体的一个顶点为坐标原点，过此点的三条棱所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，进而写出点的坐标.解：如右图，以O 为原点，OA 为x 轴，OC 为y 轴，OD 1为z 轴建立空间直角坐标系.∴O （0，0，0），B （4，3，0）.∵P 为OB 中点,∴P 为（240+,230+,200+），即P （2，23，0）. 又∵D 1（0，0，2），M 为BD 1中点， ∴M 为（240+，230+，220+），即M （2，23，1）. 绿色通道建立坐标系应注意图形的特点，恰当建立往往给解决问题带来很大方便.变式训练1.如图，在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB 1、D 1B 1的中点，建立适当的坐标系，并求点E 、F 的坐标.思路分析：建立空间直角坐标系，先作出E 、F 分别在xOy 平面内的射影，由射影确定E 、F 的横、纵坐标，由垂线段的长确定竖坐标.解：建立如下图所示的空间直角坐标系，则E 点在xOy 面上的射影为B （1，1，0），且E点的竖坐标为21，所以E （1，1，21）.F 点在xOy 面上的射影为BD 的中点G ，F 点的竖坐标为1，所以F （21，21，1）. 【例题2】如图，圆O 1与圆O 2的半径都是1，｜O 1O 2｜=4，过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM 、PN （M 、N 分别为切点），使得PM=2PN ，试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程.思路分析：本题是解析几何中求轨迹方程问题，由题意建立坐标系，写出相关点的坐标，由几何关系式：PM=2PN ，即PN 2=2PN 2，结合图形由勾股定理转化为P 21-1=2(P 22-1），设P （x,y ），由距离公式写出代数关系式，化简整理可得.解：如图，以直线O 1O 2为x 轴，线段O 1O 2的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则两圆心的坐标分别为O 1（-2，0），O 2（2，0）.设P （x,y ），则PM 2=PO 21-MO 21=（x+2）2+y 2-1.同理，PN 2=（x-2）2+y 2-1.∵PM=2PN ，即PM 2=2PN 2，∴（x+2）2+y 2-1=2［（x-2）2+y 2-1］，即x 2-12x+y 2+3=0，即（x-6）2+y 2=33.这就是动点P 的轨迹方程.绿色通道本题考查解析几何中求点的轨迹方程的方法应用，考查建立坐标系、数形结合思想、勾股定理、两点间距离公式等相关知识点及分析推理、计算化简技能、技巧等，是一道很综合的题目.变式训练2.如图，某城市中的高空观览车的高度是100m,在离观览车约150m 处有一建筑物，某人在离建筑物100m 的地方刚好可以看到观览车，你能根据上述数据求出该建筑物的高度吗？（人的高度不计，眼睛和高空观览车的最低点在同一水平线上，精确到0.01m ）思路分析：由已知条件可知，视线与观览车所在圆是相切关系，可以求得视线所在的直线方程，进而求得建筑物的高度.解：首先，以高空观览车的最低点为坐标原点，原点与高空观览车的中心的连线所在直线为y 轴，建立直角坐标系（如图）.由此可得圆C 的方程为x 2+（y-50）2=502.设看到观览车的视线方程为y=k （x-250）.因为直线BT 与圆C 相切，所以501|25050|2=++k k .解得k=0（舍去）或k=125-.所以直线BT 的方程是y=125-（x-250）.当x=150时，y≈41.67 m.即建筑物的高度约为41.67 m.。
2019学年高中数学 4.1.2 极坐标系学案 苏教版选修4-4
4.1.2 极坐标系1．了解极坐标系．2．会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置．3．体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别．[基础·初探]1．极坐标系(1)在平面上取一个定点O ，自点O 引一条射线Ox ，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．其中，点O 称为极点，射线Ox 称为极轴．(2)设M 是平面上任一点，ρ表示OM 的长度，θ表示以射线Ox 为始边，射线OM 为终边所成的角．那么，每一个有序实数对(ρ，θ)确定一个点的位置．ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角．有序实数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．约定ρ＝0时，极角θ可取任意角．(3)如果(ρ，θ)是点M 的极坐标，那么(ρ，θ＋2k π)或(－ρ，θ＋(2k ＋1)π)(k ∈Z )都可以看成点M 的极坐标．2．极坐标与直角坐标的互化以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位(如图413所示)，平面内任一点M 的直角坐标(x ，y )与极坐标(ρ，θ)可以互化，公式是：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x图413通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取ρ≥0,0≤θ＜2π.[思考·探究]1．建立极坐标系需要哪几个要素？【提示】 建立极坐标系的要素是：(1)极点；(2)极轴；(3)长度单位；(4)角度单位和它的正方向，四者缺一不可．2．为什么点的极坐标不惟一？【提示】 根据我们学过的任意角的概念：一是终边相同的角有无数个，它们相差2π的整数倍，所以点(ρ，θ)还可以写成(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z )；二是终边在一条直线上且互为反向延长线的两角的关系，所以点(ρ，θ)的坐标还可以写成(－ρ，θ＋2k π＋π)(k ∈Z )．3．将直角坐标化为极坐标时如何确定ρ和θ的值？【提示】 由ρ2＝x 2＋y 2求ρ时，ρ不取负值；由tan θ＝y x(x ≠0)确定θ时，根据点(x ，y )所在的象限取得最小正角．当x ≠0时，θ角才能由tan θ＝y x按上述方法确定．当x ＝0时，tan θ没有意义，这时又分三种情况：(1)当x ＝0，y ＝0时，θ可取任何值；(2)当 x ＝0，y ＞0时，可取θ＝π2；(3)当x ＝0，y ＜0时，可取θ＝3π2.[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问2：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问3：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________写出图图414【自主解答】 对每个点我们先看它的极径的长，再确定它的极角，因此这些点的极坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫7，π6，B ⎝⎛⎭⎪⎫4，3π4，C ⎝⎛⎭⎪⎫5，7π6，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，7π4，E ()9，0，F (3，π)，G ⎝⎛⎭⎪⎫9，3π2. [再练一题]1．已知边长为a 的正六边形ABCDEF ，建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标．【导学号：98990003】【解】 以正六边形中心O 为极点，OC 所在直线为极轴建立如图所示的极坐标系．由正六边形性质得：C (a,0)，D (a ，π3)，E (a ，2π3)，F (a ，π)，A (a ，43π)，B (a ，53π) 或C (a,0)，D (a ，π3)，E (a ，2π3)，F (a ，π)，A (a ，－2π3)，B (a ，－π3).在极坐标系中，求与点M (3，－3)关于极轴所在的直线对称的点的极坐标．【自主解答】 极坐标系中点M (ρ，θ)关于极轴对称的点的极坐标为M ′(ρ，2k π－θ)(k ∈Z )，利用这个规律可得对称点的坐标为(3,2k π＋π3)(k ∈Z )．[再练一题]2．在极坐标系中，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3，π6(限定ρ＞0，0≤θ＜2π)．(1)点A 关于极轴对称的点的极坐标是________； (2)点A 关于极点对称的点的极坐标是________． (3)点A 关于直线θ＝π2对称的点的极坐标是________．【解析】 通过作图如图可求解为【答案】 (1)(3，11π6) (2)(3，7π6) (3)(3，5π6)(1)把点M 的极坐标⎝⎛⎭⎪⎫8，3化成直角坐标；【自主解答】 (1)x ＝8cos 2π3＝－4，y ＝8sin 2π3＝43，因此，点M 的直角坐标是(－4,43)． (2)ρ＝62＋－22＝22，tan θ＝－26＝－33，又因为点P 在第四象限且0≤θ≤2π，得θ＝11π6.因此，点P 的极坐标为(22，11π6)．[再练一题]3．(1)把点A 的极坐标(2，7π6)化成直角坐标； (2)把点P 的直角坐标(1，－3)化成极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)． 【解】 (1)x ＝2cos 7π6＝－3，y ＝2sin7π6＝－1， 故点A 的直角坐标为(－3，－1)． (2)ρ＝12＋－32＝2，tan θ＝－31＝－ 3.又因为点P 在第四象限且0≤θ＜2π，得θ＝5π3.因此点P 的极坐标是(2，5π3)．在极坐标系中，已知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，3，求A 、B 两点之间的距离． 【思路探究】 将点的极坐标化为直角坐标，在用两点间距离公式求解． 【自主解答】 对于A (3，－π3)，x ＝3cos(－π3)＝32；y ＝3sin(－π3)＝－332， ∴A (32，－332)．对于B (1，2π3)，x ＝1×cos 2π3＝－12，y ＝1×sin 2π3＝32，∴B (－12，32)．∵AB ＝32＋122＋－332－322＝4＋12＝4，∴A 、B 两点之间的距离为4.有些问题在用极坐标表示时没有现成的解法，但在直角坐标系中却是一个常见的问题．因此，换一个坐标系，把极坐标系中的元素换成直角坐标系中的元素，问题就可以迎刃而解了．如果题目要求用极坐标作答，那么解完再用极坐标表示就行了．[再练一题]4．在极坐标系中，已知三点：A (4,0)、B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，3π2、C ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ，π6.(1)求直线AB 与极轴所成的角；(2)若A 、B 、C 三点在一条直线上，求ρ的值．【解】 (1)点A 的直角坐标为(4,0)，点B 的直角坐标为(0，－4)，直线AB 在直角坐标系中的方程为x －y ＝4.故直线AB 与x 轴所成角为π4.(2)点C 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32ρ，12ρ，代入直线方程得 32ρ－12ρ＝4， 解得ρ＝83－1＝4(3＋1)．[真题链接赏析](教材第17页习题4.1第6题)将下列各点的极坐标化为直角坐标：⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫6，－π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，11π6，(5，π)，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－3π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫－42，3π4.已知下列各点的直角坐标，求它们的极坐标．(1)A (3，3)；(2)B (－2，－23)； (3)C (0，－2)；(4)D (3,0)．【命题意图】 本题主要考查极坐标与直角坐标的互化，属基础题． 【解】 (1)由题意可知：ρ＝32＋32＝23，tan θ＝33，所以θ＝π6， 所以点A 的极坐标为(23，π6)． (2)ρ＝－2＋－232＝4，tan θ＝－23－2＝3，又由于θ为第三象限角，故θ＝43π，所以B 点的极坐标为(4，43π)．(3)ρ＝02＋－2＝2.θ为32π，θ在y 轴负半轴上，所以点C 的极坐标为(2，32π)．(4)ρ＝32＋02＝3，tan θ＝03＝0，故θ＝0.所以D 点的极坐标为(3,0)．1．点P (－2,2)的极坐标(θ∈[0,2π))为________． 【解析】 由ρ＝x 2＋y 2＝－2＋22＝22，tan θ＝2－2＝－1，∵P 点在第二象限内， ∴θ＝3π4，∴ρ的极坐标为(22，3π4)．【答案】 (22，3π4) 2．在极坐标系中，与(ρ，θ)关于极轴对称的点是________．【导学号：98990004】【解析】 极径为ρ，极角为θ，θ关于极轴对称的角为负角－θ，故所求的点为(ρ，－θ)． 【答案】 (ρ，－θ)3．将极坐标⎝⎛⎭⎪⎫2，3π2化为直角坐标为________．【解析】 x ＝ρcos θ＝2cos 32π＝0，y ＝ρsin θ＝2sin 32π＝－2，故直角坐标为(0，－2)． 【答案】 (0，－2)4．已知A ，B 的极坐标分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π4和⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，π12，则A 和B 之间的距离等于________．【解析】 由余弦定理得AB＝ρ12＋ρ22－2ρ1ρ2θ1－θ2＝32＋－2－－π4－π12＝9＋9＋93＝18＋9 3【答案】36＋322我还有这些不足：(1)_____________________________________________________(2)_____________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_____________________________________________________(2)_____________________________________________________。
高中数学新苏教版精品教案《4.1.2 极坐标系》2
以问题引领过程让概念自主建构——《极坐标》（第一课时）的教学设计南京市江宁高级中学陈立军一、教材分析所用教材为《普通高中课程标准实验教科书•数学（选修4—4）》（苏教版），的“极坐标系”是第一章坐标系中的第二节内容。
第一节内容为“直角坐标系”，第三节内容为“球坐标系与柱坐标系”。
由此可见，本节内容承上启下，是对先前学习内容的延伸、拓展，也为学生后续选择性学习提供了一种范式。
二、学情分析学生已系统学习了“直角坐标系”的内容，了解了“直角坐标系”产生的背景和在解决问题中的广泛应用，具备了一定的类比探究的能力。
三、教学目标1．从具体问题情景中了解极坐标的实际背景，感受研究极坐标的必要；2．理解极坐标的概念，会用极坐标表示平面上的一点；3．经历类比“直角坐标系”确定“极坐标系”研究内容、方法的过程，领会研究问题的一般性策略，落实核心素养。
四、教学重、难点1．理解极坐标的意义并能够在极坐标系中用极坐标确定点位置；2．类比“直角坐标系”，获得研究坐标系的一般性方法，为后续拓展性学习提供支撑。
五、教学方法与手段讨论法、合作交流。
六、教学过程实录（一）问题引入：问题1：如何表示教室中每位同学的座位？问题2：如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。
（1）他向东偏60°方向走12021到达什么位置？该位置惟一确定吗？（2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？追问1：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎样的坐标系呢？追问2：如何刻画这些点的位置？（二）学生活动与数学建构：问题3：关于“直角坐标系”，我们研究了哪些内容？小组讨论：受此启发，新的坐标系，我们要研究哪些内容，如何研究？设计意图：通过讨论，理清直角坐标系的研究内容和广泛应用，明晰直角坐标系中“建系、点的刻画、点的位置与关系、曲线与方程、曲线的位置与关系”的研究“线路图”，从而确定研究极坐标的“线路图”。
（三）数学理论：1．极坐标系的建立：极点：极轴：2．极坐标系内一点的极坐标的规定：（四）数学运用例1．写出图中各点的极坐标：解答过程略。
高中数学新苏教版精品教案《4.1.2 极坐标系》
极坐标系一、教材分析极坐标系是苏教版高中教材选修4-4第一章坐标系中第二节的内容，是在学生已经学习过平面直角坐标系的背景下，通过生活实例、类比直角坐标系的研究方法让学生针对建立极坐标系的合理性，便捷性进行探究，自主完成极坐标系的建立，并在极坐标系下表示点的坐标，进行极坐标与直角坐标的互化，为后面学习简单曲线的极坐标方程及参数方程奠定根底二、学情分析1有利因素学生通过对?坐标系?第一节直角坐标系的学习对平面直角坐标系中点与有序数对的对应关系有了更加深刻的理解；学生通过平时的高中数学学习，已具备了一定的观察、归纳、分析和概括能力，另外极坐标系的思想已经普遍存在于日常生活中，对于极坐标系的学习应该很容易接受，这些为本节课的学习打下了良好的根底2不利因素由于学生对极坐标系还不熟悉，加之负极径的理解能力要求较高，因此，本节学生学习起来有一定难度三、教学目标分析1知识与技能理解极坐标系的有关概念；掌握极坐标平面内点的极坐标的表示：会在极坐标系内描出极坐标的点；会写出极坐标平面内点的极坐标；掌握平面内一点极坐标与平面直角坐标的互化2过程与方法通过自主探究体会数形结合、类比的数学思想方法；通过探究活动培养学生观察、分析、比拟和归纳能力3情感态度与价值观通过生活中的具体事例引入极坐标系使学生认识极坐标的作用及应用极坐标来描述实际问题的方便性及实用性，体验数学的实际应用价值通过对问题的探究使学生享受到成功的喜悦四、教学重难点教学重点：认识极坐标系的重要性，能利用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标与直角坐标的互化教学难点：理解用极坐标刻画点的位置的根本思想，认识点与极坐标之间的对应关系五、教学方法问题探究法六、教学过程一问题引入1苏州市气象台2021年09月15日7:30发布台风警报：今年第14号台风"莫兰蒂"台风级今天7点钟中心位于苏州南偏西方向大约760公里的福建省泉州市安溪县境内，也就是北纬度、东经度探讨：报道中是如何刻画台风中心的位置？2一个路人在苏州乐园门口问路，去高新区美罗商城的路怎么走？探讨：如何指路能够让路人快速地找到美罗商城？设计意图：通过探讨两个现实问题的共同点是什么？了解建立极坐标系的必要性和便捷性二建构新知1极坐标系的定义在平面内取一个定点O，自点O引一条射线OX，再选定一个长度单位和计算角度的正方向通常取逆时针方向，这样就建立了一个极坐标系其中点O称为极点，射线OX称为极径2极坐标系内一点极坐标的规定用ρ表示线段OM的长度,θ表示从OX到OM的角度，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对〔ρ，θ〕就叫做点M的极坐标一般地，规定ρ≥0，θ三例题示范例1：说出以下图中各点的极坐标：变题：在图上描出以下各点：，，小结：由极坐标描点的一般步骤1先按极角找到点所在射线； 2在此射线上按极径描点四深化概念探究一：在极坐标系中描出以下各点，你发现了什么？，，，问题1这些极坐标之间有何异同？极径相同，极角不同问题2这些极角有何关系？极角的始边相同，终边也相同，即：它们是终边相同的角问题3这些极坐标所表示的点有什么关系它们表示同一个点探究二：在极坐标系下，点与它的极坐标的对应情况如何？问题4极坐标系内的点与有序数对是一一对应吗？结论：[1]给定〔ρ,θ〕,就可以在极坐标平面内确定唯一的一点M；[2]给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应极坐标系内的点与有序数对要建立一一对应关系，应附加什么条件？结论：如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了探究三：关于负极径的认识问题5向量中，如果一个向量前加负号，表示原向量的相反向量，它与原向量的关系模相等、方向相反在极坐标系中，极径通常取正值，但在有些情况下也允许取负值当ρ<0时如何规定ρ, θ对应的点的位置？结论：当ρ<0时，点Mρ, θ的位置规定，点M在角θ终边的反向延长线上，且|OM|=|ρ|请大家试着描出极坐标是的点？师生共同得出负极径的定义及描点的步骤例2：在极坐标系中描出以下各点，，，问题6极坐标系中根据极坐标描点的步骤是什么？〔注意分正、负极径〕给定ρ，θ在极坐标系中描点的方法：先按极角找到极径所在的射线，后按极径的正负和数值在这条射线或其反向延长线上描点问题7极坐标系中极坐标有哪些统一表达式？，探究四：极坐标与直角坐标在刻画点的位置时的区别探究五：极坐标与直角坐标如何互化例3：把以下点的极坐标化成直角坐标：，,变题：把以下点的直角坐标化成极坐标：，,说明：直角坐标转化为极坐标时，注意极角确实定五拓展阅读edean ira〕，亦称“〞当一点P沿动射线OP以等速率运动的同时，这射线又以等绕点O旋转，点P的轨迹称为“阿基米德螺线〞，其首次由阿基米德在著作??中给出了定义六课后作业课本第16页练习第1，2，4，5，6，7题七反思回忆今天你学到了哪些数学知识和数学思想方法？〔学生独立思考后答复，教师补充完善〕。
苏教版数学高二- 选修4-4试题 4.1.2极坐标系
4.1.2 极坐标系 1．在极坐标系中，作出下列各点： A ⎝⎛⎭⎫2，π6，B ⎝⎛⎭⎫6，－2π3，C ⎝⎛⎭⎫1，π3，D ⎝⎛⎭⎫4，－3π4，E(4，0)，F(2.5，π)． 【解】 各点描点如下图．2．极坐标系中，点A 的极坐标是(3，π6)，求点A 关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标．【解】 极坐标系中的点(ρ，θ)关于过极点且垂直于极轴的直线对称的点的极坐标为(ρ，(2k ＋1)π－θ)(k ∈Z)，利用此，即可写出其中一个为(3，5π6)． 3．已知点M 的极坐标为(－2，－5π6)，若限定ρ＞0,0≤θ＜2π，求点M 的极坐标． 【解】 ∵(－ρ，θ)与(ρ，θ＋π)表示同一点，∴(－2，－5π6)与(2，π6)为同一点的极坐标，故点M 的极坐标为(2，π6)． 4．在极坐标中，若等边△ABC 的两个顶点是A ⎝⎛⎭⎫2，π4、B(2，5π4)，那么顶点C 的坐标是多少？【解】 如右图，由题设可知A 、B 两点关于极点O 对称，即O 是AB 的中点．又AB ＝4，△ABC 为正三角形，OC ＝23，∠AOC ＝π2，C 对应的极角θ＝π4＋π2＝3π4或θ＝π4－π2 ＝－π4，即C 点极坐标为⎝⎛⎭⎫23，3π4或⎝⎛⎭⎫23，－π4. 5．设有一颗彗星，围绕地球沿一抛物线轨道运行，地球恰好位于该抛物线轨道的焦点处，当此彗星离地球为30(万千米)时，经过地球和彗星的直线与抛物线的轴的夹角为π6，试建立适当的极坐标系，写出彗星此时的极坐标．【解】 如图所示，建立极坐标系，使极点O 位于抛物线的焦点处，极轴Ox 过抛物线的对称轴，由题设可得下列四种情形：(1)当θ＝π6时，ρ＝30(万千米)；(2)当θ＝5π6时，ρ＝30(万千米)；(3)当θ＝7π6时，ρ＝30(万千米)；(4)当θ＝11π6时，ρ ＝30(万千米)．彗星此时的极坐标有四种情形：(30，π6)，(30，5π6)，(30，7π6)，(30，11π6)． 6．已知A 、B 两点的极坐标分别是(2，π3)、(4，5π6)，求A 、B 两点间的距离和△AOB 的面积．【解】 求两点间的距离可用如下公式：AB ＝4＋16－2×2×4×cos 5π6－π3＝20＝2 5.S △AOB ＝12|ρ1ρ2sin(θ1－θ2)| ＝12|2×4×sin(5π6－π3)|＝12×2×4＝4. 7．已知定点P(4，π3)． (1)将极点移至O′(23，π6)处极轴方向不变，求P 点的新坐标； (2)极点不变，将极轴顺时针转动π6角，求P 点的新坐标．【解】 (1)设P 点新坐标为(ρ，θ)，如图所示，由题意可知OO′＝23，OP ＝4，∠POx＝π3，∠O′Ox ＝π6， ∴∠POO′＝π6. 在△POO′中，ρ2＝42＋(23)2－2·4·23·cos π6＝16＋12－24＝4，∴ρ＝2. 又∵sin ∠OPO′23＝sin ∠POO′2， ∴sin ∠OPO′＝sin π62·23＝32， ∴∠OPO′＝π3. ∴∠OP′P ＝π－π3－π3＝π3，∴∠PP′x ＝2π3. ∴∠PO′x′＝2π3. ∴P 点的新坐标为(2，2π3)． (2)如图，设P 点新坐标为(ρ，θ)，则ρ＝4，θ＝π3＋π6＝π2. ∴P 点的新坐标为(4，π2)． 教师备选8．已知△ABC 三个顶点的极坐标分别是A(5，π6)，B(5，π2)，C(－43，π3)，试判断△ABC 的形状，并求出它的面积．【解】 ∵C(43，4π3)，∠AOB ＝π2－π6＝π3， 且AO ＝BO ，所以△AOB 是等边三角形，AB ＝5，BC＝52＋432－2×5×43×cos 4π3－π2＝133，AC＝52＋432－2×5×43cos 2π3＋π6＝133，∵AC＝BC，∴△ABC为等腰三角形，AB边上的高为43＋5×32＝1332，∴S△ABC＝12×5×1332＝6534.。
苏教版数学高二数学苏教版选修4-4同步测控4.1.2极坐标系
同步测控我夯基，我达标1.点P 的直角坐标为（-2，2），那么它的极坐标可表示为（ ） A.（2，4π） B.（2，43π） C.（2，45π） D.（2，47π）解析：方法一：因为点P （-2，2）在第二象限，与原点的距离为2，且OP 的倾斜角为43π,故选B.方法二：代入坐标互化公式直接求解. 答案：B2.极坐标系中，与点（3，3π-）关于极轴所在直线对称的点的极坐标是（ ） A.（3，32π） B.（3，3π） C.（3，34π） D.（3，65π）解析：关于极轴对称的点，极径ρ不变，极角互为相反数（或再相差2kπ,k ∈Z ）.答案：B3.将点P 的极坐标（2，34π）化为直角坐标是_______________. 解析：因为x=2cos 34π=-1,y=2sin 34π=-3,所以直角坐标为（-1，-3）.答案：（-1，-3）4.极坐标系中，点A 的极坐标是（3，6π），则 （1）点A 关于极轴对称的点的极坐标是；_______________ （2）点A 关于极点对称的点的极坐标是；_______________ （3）点A 关于直线θ=2π的对称点的极坐标是_______________.（规定ρ＞0，θ∈［0，2π)） 解析：如图所示，在对称的过程中极径的长度始终没有变化，主要在于极角的变化.另外，我们要注意：极角是以x 轴正向为始边，按照逆时针方向得到的.关于极轴对称 关于极点对称关于θ=2π对称 答案：（1）（3，611π）（2）（3，67π）（3）（3，65π）5.已知两点的极坐标A （3，2π）、B （3，6π），则｜AB ｜=_____________，AB 与极轴正方向所夹的角为_____________.解析：如图所示，根据极坐标的定义结合等边三角形性质，可得｜AO ｜=｜BO ｜=3，∠AOB=3π，即△AOB 为正三角形.所以直线AB 与x 轴的夹角为6π,则AB 与极轴的正方向所夹的角为2π+3π=65π.答案：365π 6.如图，在极坐标系中，写出点A ，B ，C 的极坐标，并标出点D （2，6π），E （4，43π），F （3.5，35π）所在的位置.思路分析：关键是确定点的极径ρ和极角θ.解：由图可得点A ，B ，C 的极坐标分别为（1，0），（4，2π），（5，34π）.点D ，E ，F 的位置如上图所示.7.中央气象台在2004年7月15日10:30发布的一则台风消息：今年第9号热带风暴“圆规”的中心今天上午八点钟已经移到了广东省汕尾市东南方大约440千米的南海东北部海面上，中心附近最大风力有9级.请建立适当的坐标系，用坐标表示出该台风中心的位置(ρ≥0,0≤θ＜2π).思路分析：首先确定极点和极轴,即确定极坐标系，然后标出点的位置表示出坐标.解：以广东省汕尾市所在地为极点，正东方向为极轴（单位长度为1千米）建立极坐标系，则台风中心所在位置的极坐标为A （440，47π）. 我综合，我发展8.已知点A （ρ1，θ1）、B （ρ2，θ2）的极坐标满足条件ρ1+ρ2=0且θ1+θ2=π，则A 、B 的位置关系是_____________.解析：可以数形结合，由极坐标的意义得出结论；也可以化为直角坐标得出结论.设B(x 2,y 2),则x 2=ρ2cosθ2=-ρ1cos(π-θ1)=ρ1cosθ1,y 2=ρ2sinθ2=-ρ1sin(π-θ1)=-ρ1sinθ1,∴A 、B 关于x 轴对称，即在极坐标系内，A 、B 关于极轴对称. 答案：关于极轴对称9.在极坐标系中，已知两点A （3，3π-），B （1，32π），求A 、B 两点间的距离. 思路分析：数形结合，根据A ，O ，B 位置关系直接求解. 解：∵∠AOB=32π-（3π-）=π，∴A ，O ，B 三点共线. ∴A 、B 两点间的距离为｜AB ｜=3+1=4. 10.已知A 、B 两点的极坐标分别为（1，3π）、（2，32π），求A 、B 两点间的距离.思路分析：数形结合，由余弦定理求AB 的长. 解：∵｜OA ｜=1，｜OB ｜=2，∠AOB=32π-3π=3π， ∴由余弦定理得 ｜AB ｜2=12+22-2×1×2cos 3π=3. ∴｜AB ｜=3，即A 、B 两点间的距离为3. 11.在极轴上求与点A （24，4π）距离为5的点M 的坐标. 思路分析：题目要求的点M 在极轴上，可设点M （r,0），由于极坐标中有一个量是关于角的，A 、M 两点之间的距离为5，所以可以根据余弦定理求出点M 的坐标来. 解：设M （r,0）, ∵A(24,4π)， ∴｜AM ｜=4cos28)24(22πr r -+=5,即r2-8r+7=0.解得r=1或r=7.∴M点的坐标为（1，0）或（7，0）.12.如图是某校园的平面示意图.假设某同学在教学楼处，试以此点为极点建立极坐标系，并分别说出教学楼、体育馆、图书馆、实验楼、办公楼的极坐标来.解：如下图所示，以AB所在直线为极轴，点A为极点建立极坐标系.则教学楼A（0，0），体育馆B（60，0），图书馆C（120，3π），实验楼D（603，2π），办公楼E（50，43π）.我创新，我超越13.在直角坐标系中，以点（x0,y0）为极点，以x轴正向为极轴方向建立极坐标系，如图，写出平面上点的直角坐标和极坐标的变换公式（假定长度单位不变）.思路分析：把直角坐标系内的平移公式转化为极坐标得出结论.解：由直角坐标的平移公式⎩⎨⎧-='-=',,yyyxxx得⎩⎨⎧=-=-,sin,cosθρθρyyxx即⎩⎨⎧+=+=;sin,cosθρθρyyxx⎪⎩⎪⎨⎧--=-+-=.tan,)()(222xxyyyyxxθρ14.如图,求A（ρ1，θ1）、B（ρ2，θ2）、C（ρ3，θ3）围成的△ABC的面积.思路分析：根据已知条件知OA 、OB 、OC 的长及它们的夹角关系，所以可用割补法及面积公式S=21absinθ间按求S △ABC . 解：S △ABC =S △ABO +S △BCO -S △ACO=21ρ1ρ2sin(θ2-θ1)+21ρ2ρ3s in(θ3-θ2)-21ρ1ρ3sin(θ3-θ1)=21［ρ1ρ2sin(θ2-θ1)+ρ2ρ3sin(θ3-θ2)-ρ1ρ3sin(θ3-θ1)］.。
高中数学4.1坐标系4.1.2极坐标系同步测控苏教版选修4-4(2021学年)
高中数学４.1 坐标系４．1.２极坐标系同步测控苏教版选修4-4 编辑整理：尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望（高中数学 4.1 坐标系４.1.2 极坐标系同步测控苏教版选修４－４）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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４.1。
2 极坐标系同步测控我夯基,我达标1。
点P 的直角坐标为（-2,2)，那么它的极坐标可表示为( )Ａ.(2,4π) B.（2,43π) C ．(2,45π） D.(2,47π）解析:方法一：因为点P(-2,2）在第二象限，与原点的距离为2，且O Ｐ的倾斜角为43π，故选Ｂ．方法二:代入坐标互化公式直接求解. 答案：B2．极坐标系中,与点(3，3π-)关于极轴所在直线对称的点的极坐标是( )A.(３，32π) Ｂ.(３,3π) Ｃ.(３,34π） D 。
(３，65π） 解析:关于极轴对称的点，极径ρ不变，极角互为相反数(或再相差2kπ,ｋ∈Z ). 答案：B３。
将点P 的极坐标（2，34π）化为直角坐标是＿___＿_＿＿____＿__. 解析：因为ｘ=2cos 34π=-1,ｙ=2s ｉn 34π=—3,所以直角坐标为（—1,-3）.答案:(-1,－3)4。
极坐标系中,点A 的极坐标是(３,6π),则 (1）点Ａ关于极轴对称的点的极坐标是;____＿＿__＿_____＿ （2）点A 关于极点对称的点的极坐标是;__＿_＿_＿__＿____＿ (3)点A 关于直线θ=2π的对称点的极坐标是___＿_____＿＿____.（规定ρ>0,θ∈［０，２π))解析:如图所示，在对称的过程中极径的长度始终没有变化,主要在于极角的变化。
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极坐标系练习
1．点M的极坐标为
2
5,π
3
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，化成直角坐标形式是__________．
2．点A的极坐标为
π
2,
3
⎛⎫
--
⎪
⎝⎭
，化成直角坐标形式是__________．
3．点P的直角坐标为)，化成极径是正值，极角在0到2π之间的极坐标为__________．
4．已知两点的极坐标
π
3,
2
A
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，
π
3,
6
B
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，则|AB|＝________，直线AB的倾斜角为
________．
5．直线l过点
π
7,
3
A
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，
π
7,
6
B
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，则直线l与极轴所在直线的夹角等于________．
6．在极坐标系中，若
π
3,
3
A
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，
7π
4,
6
B
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，则△ABO的面积为__________．
7．点
π
5,
3
A
⎛⎫
⎪
⎝⎭
在条件：
(1)ρ＞0，θ∈(－2π，0)下的极坐标是__________；
(2)ρ＜0，θ∈(2π，4π)下的极坐标是__________．
8．已知极点在点(2，－2)处，极轴方向与x轴正方向相同的极坐标系中，点M的极坐
标为
π
4,
6
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，求点M在直角坐标系中的坐标．
9．在极坐标系中，(1)求
7π
5,
36
A
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，
43π
12,
36
B
⎛⎫
⎪
⎝⎭
两点间的距离；
(2)已知点P的极坐标为(ρ，θ)，其中ρ＝1，θ∈R，求满足上述条件的点P的位置．10．将下列极坐标化成直角坐标．
(1)π
4
⎫
⎪
⎭
；(2)
π
6,
3
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
；(3)(5，π)．
参考答案
1. 答案：5,22⎛- ⎝⎭
解析：255cos
π32
x ==-，25sin π32y ==，
所以点M 的直角坐标为5,22⎛- ⎝⎭
.
2. 答案：(－1)
解析：因为点A 的极坐标又可以写成2π2,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 所以2π1cos 2cos 2132x ρθ⎛⎫===⨯-=- ⎪⎝⎭
，
2π
sin 2sin 23y ρθ====.
所以点A 的直角坐标为(－1)．
3. 答案：⎛ ⎝
解析：ρ==tan θ==， 又点P 在第一象限，得π6
θ=，
因此点P 的极坐标是π6⎛⎫ ⎪⎝
⎭. 4. 答案：3 5π6 解析：根据极坐标的定义可得
|AO |＝|BO |＝3，∠AOB ＝π3
， 即△AOB 为等边三角形，
所以|AB |＝|AO |＝|BO |＝3，
5π6
ACx ∠=
(O 为极点，C 为直线AB 与极轴的交点)． 5. 答案：π4 解析：如图所示，先在图形中找到直线l 与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点A ，B 的位置分析夹角大小．
因为|AO |＝|BO |＝7，πππ366AOB ∠=-=， 所以π
π5π6.212
OAB -
∠== 所以π5πππ3124ACO ∠=--=. 6. 答案：3
解析：由题意可知，在△AOB 中，|OA |＝3，|OB |＝4，7ππ5π636
AOB ∠=
-=， 所以△ABO 的面积为 12
|OA |·|OB |·sin ∠AOB 15π34sin 261134322
⨯⨯⨯⨯⨯⨯＝＝＝ 3. 7. 答案：(1) 55,π3⎛⎫- ⎪⎝⎭ (2)105,π3⎛⎫- ⎪⎝
⎭ 解析：(1)当ρ＞0时，点A 的极坐标形式为⎝
⎛⎭⎫5，2k π＋π3(k ∈Z )， ∵θ∈(－2π，0)，令k ＝－1，点A 的极坐标为55,π3⎛⎫-
⎪⎝⎭
，符合题意． (2)当ρ＜0时，π5,3⎛⎫ ⎪⎝⎭的极坐标的一般形式是π5,(21)π3k ⎛⎫-++ ⎪⎝
⎭(k ∈Z )． ∵θ∈(2π，4π)，当k ＝1时，点A 的极坐标为105,π3⎛⎫- ⎪⎝
⎭，符合题意． 8. 解：设M (x ，y )
，则π2cos 4cos 6
x ρθ-===
∴2x ＝＋y －(－2)＝ρsin θ＝π4sin 6＝2. ∴y ＝2－2＝0.
∴点M 的直角坐标为
(2＋0)．
9. 解：(1)A ，B 在过极点且与极轴夹角为7π36
的直线上，它们位于极点的两侧，∴|AB |＝5＋12＝17.
(2)由于点P 的极径恒为ρ＝1，且θ∈R ，因此，点P 在以1为半径，极点为圆心的圆上．
10. 解：(1)πcos 14x ==，πsin 14y ==， 所以点π4⎫⎪⎭
，的直角坐标为(1,1)． (2)π6cos 33x ⎛⎫=⋅-
= ⎪⎝⎭
， π
6sin 3y ⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭
所以点π6,3⎛⎫- ⎪⎝⎭的直角坐标为(3，-． (3)x ＝5·cos π＝－5，y ＝5·sin π＝0，
所以点(5，π)的直角坐标为(－5,0)．。