苏教版数学高二数学苏教版选修4-44.1.2极坐标系
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极坐标系练习
1．点M的极坐标为
2
5,π
3
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，化成直角坐标形式是__________．
2．点A的极坐标为
π
2,
3
⎛⎫
--
⎪
⎝⎭
，化成直角坐标形式是__________．
3．点P的直角坐标为)，化成极径是正值，极角在0到2π之间的极坐标为__________．
4．已知两点的极坐标
π
3,
2
A
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，
π
3,
6
B
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，则|AB|＝________，直线AB的倾斜角为
________．
5．直线l过点
π
7,
3
A
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，
π
7,
6
B
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，则直线l与极轴所在直线的夹角等于________．
6．在极坐标系中，若
π
3,
3
A
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，
7π
4,
6
B
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，则△ABO的面积为__________．
7．点
π
5,
3
A
⎛⎫
⎪
⎝⎭
在条件：
(1)ρ＞0，θ∈(－2π，0)下的极坐标是__________；
(2)ρ＜0，θ∈(2π，4π)下的极坐标是__________．
8．已知极点在点(2，－2)处，极轴方向与x轴正方向相同的极坐标系中，点M的极坐
标为
π
4,
6
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，求点M在直角坐标系中的坐标．
9．在极坐标系中，(1)求
7π
5,
36
A
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，
43π
12,
36
B
⎛⎫
⎪
⎝⎭
两点间的距离；
(2)已知点P的极坐标为(ρ，θ)，其中ρ＝1，θ∈R，求满足上述条件的点P的位置．10．将下列极坐标化成直角坐标．
(1)π
4
⎫
⎪
⎭
；(2)
π
6,
3
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
；(3)(5，π)．
参考答案
1. 答案：5,22⎛- ⎝⎭
解析：255cos
π32
x ==-，25sin π32y ==，
所以点M 的直角坐标为5,22⎛- ⎝⎭
.
2. 答案：(－1)
解析：因为点A 的极坐标又可以写成2π2,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 所以2π1cos 2cos 2132x ρθ⎛⎫===⨯-=- ⎪⎝⎭
，
2π
sin 2sin 23y ρθ====.
所以点A 的直角坐标为(－1)．
3. 答案：⎛ ⎝
解析：ρ==tan θ==， 又点P 在第一象限，得π6
θ=，
因此点P 的极坐标是π6⎛⎫ ⎪⎝
⎭. 4. 答案：3 5π6 解析：根据极坐标的定义可得
|AO |＝|BO |＝3，∠AOB ＝π3
， 即△AOB 为等边三角形，
所以|AB |＝|AO |＝|BO |＝3，
5π6
ACx ∠=
(O 为极点，C 为直线AB 与极轴的交点)． 5. 答案：π4 解析：如图所示，先在图形中找到直线l 与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点A ，B 的位置分析夹角大小．
因为|AO |＝|BO |＝7，πππ366AOB ∠=-=， 所以π
π5π6.212
OAB -
∠== 所以π5πππ3124ACO ∠=--=. 6. 答案：3
解析：由题意可知，在△AOB 中，|OA |＝3，|OB |＝4，7ππ5π636
AOB ∠=
-=， 所以△ABO 的面积为 12
|OA |·|OB |·sin ∠AOB 15π34sin 261134322
⨯⨯⨯⨯⨯⨯＝＝＝ 3. 7. 答案：(1) 55,π3⎛⎫- ⎪⎝⎭ (2)105,π3⎛⎫- ⎪⎝
⎭ 解析：(1)当ρ＞0时，点A 的极坐标形式为⎝
⎛⎭⎫5，2k π＋π3(k ∈Z )， ∵θ∈(－2π，0)，令k ＝－1，点A 的极坐标为55,π3⎛⎫-
⎪⎝⎭
，符合题意． (2)当ρ＜0时，π5,3⎛⎫ ⎪⎝⎭的极坐标的一般形式是π5,(21)π3k ⎛⎫-++ ⎪⎝
⎭(k ∈Z )． ∵θ∈(2π，4π)，当k ＝1时，点A 的极坐标为105,π3⎛⎫- ⎪⎝
⎭，符合题意． 8. 解：设M (x ，y )
，则π2cos 4cos 6
x ρθ-===
∴2x ＝＋y －(－2)＝ρsin θ＝π4sin 6＝2. ∴y ＝2－2＝0.
∴点M 的直角坐标为
(2＋0)．
9. 解：(1)A ，B 在过极点且与极轴夹角为7π36
的直线上，它们位于极点的两侧，∴|AB |＝5＋12＝17.
(2)由于点P 的极径恒为ρ＝1，且θ∈R ，因此，点P 在以1为半径，极点为圆心的圆上．