俞茂宏 土力学三大实际问题研究(2008东南大学)

t c
Mohr-Coulomb强度理论
（二）土力学的三大实际问题
土体结构强度理论的土压力、地基承载 力和土坡稳定ຫໍສະໝຸດ Baidu分析三个主题也都以莫尔— 库仑强度理论（Mohr-Coulomb强度理论）为 准则。
它们的共同特点是：只考虑了
最大主应力 1 和最小主应力 3 ,
而没有考虑中间主应力 2 的影响。


45 0

1 2

t
（10）
将式（10）代入（7）式，则基础完全光滑的承载力系数
Nc , Nq
可确定。
算例一 有一宽为4m的条形基础，埋深为3m，地基为均质粘性土，容重为19.5kN/m3，
固结不排水抗剪强度指标为c0=20kPa， 0 = 30o。下面分别利用本文公式和太沙
基公式求地基极限承载力并加以比较。假设基底完全粗糙并 m=1 （1）当b=0时，由此得到基底完全粗糙时新土力学的极限承载力为：

e
3
2
t
2
tg t

tg(450
t )
2
（4） （5）
将上试代入（3）可得：
qu
Qu B
Ct Nc
qNq

1 2
BN
其中：
（6）
Nc
tg

cos( t ) cos sin t
e
3 2
t
2
tg
t


max
13

1 2
(
1
3
13

1 2
( 1
3)
根据莫尔一库仑破坏准则，破坏时的极限平衡状态仅与大主应力 1，和小
主应力 3 有关，而与中主应力
剪强度有一定的影响。

2
的大小无关；但试验资料表明，
2
对土的抗
例如，图6-8给出了平面应变试验结果和常规三轴试验结果。两种试验结果
得出的抗剪强度指标 P 有明显的差别，见图6—8。
这种差别就是由 2不同引起的。由于莫尔一库仑理论存在着这种缺点，所
以人们不断地致力于更完善的强度理论的研究与探索。
图 平面应变试验结果和常规三轴试验结果的比较
李广信：高等土力学
马险峰，望月秋利，温玉君, 基于改良型平面应变仪的砂土特性 研究. 岩石力学与工程学报，2006, 25(9):1745-1754.
（8）
从（8）式知：承载力系数均与内摩擦角 有关，被动土压
力系数 k pr 须试算确定：：为了方便, 一般令：
N r 1.8(N q 1)tg t
（9）
(2) 假定基底完全光滑。此时弹性锲体已不再存在而成 为朗肯主动区 ，并整个滑动区域已演变为与普朗特尔完全 相同。朗肯主动区的边界与水平面的夹角为：
统一强度理论的数学公式
F


1


1
b
(b
2


3
)


t,
t c
当

2

1 1
3
(a)
F

1 1
b
(1

b 2 )
3

t,
当

2

1 3 1
(b)
Fig.10 Multi-shear element and twin-shear element For the unified strength theory

qk pq

1 4
Btg
t
k
pr

式中： k pr 为γ项的被动动土压力系数，须通过试算确定。

k
pc


cos t c os
ctg t
e
3
2
t 2
tg

t
(1
sin t
)
1


k pq

c os2 t c os
土力学三大实际问题 教学的研究
俞茂宏、范文、王晓谋
（西安交通大学、长安大学）
（一） 问题的背景 （二）土力学的三大实际问题
（三）《土力学》的改革的理论基础 （四） 实例 （五） 改革的可行性问题
（一）、问题的背景
1925年，在德国来比锡和奥地利维也纳 出版了维也纳工业大学教授 太沙基 的著名的 土力学。这是世界上第一部《土力学》专著 。
qu
Qu B

Ct
Nc

qN q

1 2
BN
3052.04kPa
这就是太沙基公式（11）
（2）当b=0.2时，利用新土力学公式可得到基底完全粗糙时的地基极限承载力为
qu
Qu B

Ct Nc

qN q

1 2
BN
3547.43kPa （12）
（3）当b=0.5时，利用新土力学公式可得到基底完全粗糙时的地基极限承载力为：
1 3 t
1 3 t
（三）《土力学》的改革的理论基础
在20世纪所提出的上百种材料破坏准则中，大 多数为曲线方程，只有①最大正应力准则、②最大 应变准则、③最大剪应力准则、④莫尔一库仑强度 理论、⑤双剪应力准则、⑥广义双剪强度理论，以 及⑦统一强度理论为线性方程。
由于①②③⑤四个线性准则与土体的实际情况 和实验结果不符，因此④⑥⑦三种强度理论有可能 用于土体结构强度理的解析解。
(1 sint ) 1

Nq

cos(


t
)
e

3 2
t
2
tgt
tg(450
cos
t
2
)
Nr

1 2
tg

k
pr
c
cos
os
( c os t
t
)
1
（7）
式（6）是在基底粗糙的条件下得到的，其中弹性锲体边界ab与水平面
的夹角 为未定值。
Btg

1 B2tg
4
式中：Ct

2(1 b)C0 cos0 2 b b sin 0
1 cos t
（3）
B为基础宽度， 为地基土的容重，Pp 为作用于弹性锲体边界面ab上
的被动土压力的合力，即：
Pp Ppc Ppq Ppr
Pp

B
2 cos2 t
Ct k pc
qu
Qu B
Ct Nc
qNq

1 2
BN
4409.3kPa
（13）
（4）当b=0.8时，利用新土力学公式可得到基底完全粗糙时的地基极限承载力为：
qu

Qu B

Ct Nc

qN q

1 2
BN
5121.118kPa
（14）
（5）当b=1时，利用新土力学公式可得到基底完全粗糙时的地基极限承载力为：
2、后三部分则是土体结构强度理论。
分析一下土力学各章的内容，可以发现，无论是材料强度
理论，材料实验方法，抑或结构强度理论，都是以最大剪应力为 中心。材料强度试验以最大剪应力的极限圆为依据，材料强度理
论以最大剪应力 13 及其面上的正应力 13 为材料破坏的要素（
Mohr-Coulomb强度理论） 。
qu Qu Ct Nc qNq 1 BN 5650.61kPa （15）
6000 5000 4000 3000 2000 1000
0 b=0
b=0.2 b=0.5 b=0.8 b=1.0
《太沙基土力学》
《新土力学》公式的地基极限承载力(基底完全粗糙)
算例二：基底完全光滑时的地基极限承载力m=1
(Nakai and Matsuoka 1982)
(a) loose sand
(b) dense sand
Fig. 8.38a, b Limit loci for Ottawa fine sand: (a loose sand; (b) dense sand (Dakoulas and Sun 1992)
改革公式利用统一强度理论建立了地基极限 承载力的统一解形式。利用此解可以合理地得出 不同材料的相应解，并且能充分发挥材料自身的 承载能力，对实际工程具有重要意义。
通过算例可以知道地基极限承载力随着中间 主应力系数b的增大而显著增加，说明中间主应力 对地基极限承载力有明显影响。
它并不复杂， 只是在《土力学》中增加了二个字。
b=0, Mohr-Coulomb
Fig. 8.32. Limit loci for normally consolidated soil (Shibata and Karube 1965)
日本京都大学
Fig. 8.36. Limit loci in the π-plane of sand (Green and Bishop 1969)
事实上莫尔一库仑的单剪强度理论为所有极限 面的下限，双剪强度理论为所有极限面的上限。
统一强度理论在偏平面的极限线
统一强度理论在平面应力状态下的极限线
图中我们可以看到： 1、它是线性的； 2、它是一系列有序变化的线性方程组 合； 3、它包含了已有的单剪和双剪二个上 下限，可以适应于从下限到上限的众多不 同的材料； 4、它可以比传统的单剪理论更好地发 挥材料的强度潜力； 5、它的工程应用可以更好地发挥土体 结构的强度潜力并取得显著的经济效益。
英国剑桥大学
清华大学张建民教授的研究
b=0, Mohr-Coulomb
Mohr-Coulomb
Mohr-Coulomb
Fig. 8.37. Comparison between experimental limit locus in the πplane for Toyoura sand and the unified strength theory (b=3/4)
（20）
（5）当b=1时，利用新土力学公式可得地基极限承载力为：
qu
Qu B

Ct
Nc

qN q

1 2
BN
4509.36kPa
（21）
5000 4000 3000 2000 1000
0 b=0.0 b=0.2 b=0.5 b=0.8 b=1.0
《太沙基土力学》
《新土力学》公式的地基极限承载力(基底完全光滑)
q/2c 0
2.2 2.0 1.8
1.6 b=0
characteristic line finite element
b=1
1.4 《太沙基土力学》
1.2
1.0 0.0
0.2
0.4
0.6 0.8
b 1.0
《新土力学》公式的地基极限承载力
《 土力学》的地基极限承载力公式，没有考 虑中间主应力的影响，因而与实际结果有误差。
（四）实例：条形地基承载力公式统一解
B
qu a1
a
d1
I
III
II
b
II
c1
图1 粗糙基底
q=rD
d III
45o+ c
B
qu
a1
a
C C
W
Pp
Pp
b
图2 锲体力学模型
D d1
III c1
B
Pp
qu
a1
a
I
II
II
b
III c
q=rD d
45o+
图3 完全粗糙基底 Completely Rough footing of foundation
143.84 200.28
0.00
2.00
4.00
Slip field and limit load factor (171.77) when b=0
205.81 299.83
0.00
2.00
4.00
Slip field and limit load factor (252.38) when b=1
（1）当b=0时，利用新土力学公式可得地基极限承载力为：这就是太沙基公式
qu
Qu B
Ct Nc
qNq

1 2
BN
2379.8kPa
（17）
（2）当b=0.2，m=1时，利用新土力学公式可得地基极限承载力为：
qu
Qu B
Ct Nc
qNq

1 2
BN
2853.15kPa
2,b
为此作如下假定：
（1）假定基础完全粗糙。此时可假定弹性锲体边界ab与水平 面的夹角为Ψ：
t 时，（7）式有：
N c ( N q 1)ctg t
Nq

e ( 3 2
t
) tg t
2 cos2 (450 t )
2
Nr

1 ( k pr
2 c os2 t
1)tg t
D d1
45o+
III c1
B qu
a1 a
I
II
II
b
图4 完全光滑基底
III c
q=rD d
45o+
2．2 由凝聚力和基础两侧土的超载引起的极限承载力的确定
根据上述基本假定由图（2）中的弹性锲体aba1的平衡条件可得整体剪
切破坏时的极限荷载：
Qu 2Pp cos( t )
Ct
现在，《土力学》已成为工程力学和土 木工程领域中的一门重要的学科，也是各国 大学土木、水利等专业的一门必修课程。
土力学的基本内容包括：
土的性质、土中应力和变形、土的抗剪强度,土 的强度理论；
地基承载力、土压力理论和土坡稳定分析。
这些内容可以分为二大部分，
1、前四部分是土的材料性能和材料强度和变形 理论；
（18）
（3）当b=0.5时，利用新土力学公式可得地基极限承载力为：
qu
Qu B
Ct Nc qNq

1 2
BN
3551.747kPa
（4）当b=0.8时，利用新土力学公式可得地基极限承载力为：
（19）
qu
Qu B
Ct Nc
qNq

1 2
BN
4143.33kPa