六年级奥数专题第一讲直线型面积知识
六年级数学上册讲义：直线型计算综合(一)
六年级数学上册讲义：直线型计算综合（一）知识点回顾 一、等积变形等底等高的两个三角形面积相等，这就是说两个三角形的形状可以不同，但只要底与高分别相等，它们的面积就相等。
第一类：两个三角形有一个公共顶点，而这个公共顶点所对的边在一条直线上且相等。
第二类：两个三角形有一条公共的底边，而这条底边上的高相等，即这条底边所对的顶点在一条与底边平行的直线上。
二、比例模型两个三角形的高相等，面积比等于它们的底边之比 两个三角形的的底相等，面积之比等于它们的高之比三、鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△图⑴ 图⑵EDCBAEDCB A四、蝴蝶模型任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”或“蝴蝶模型”)： ①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯ ②()()1243::AO OC S S S S =++蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
本讲重点 1. 等积变形2. 三角形内接正方形3. 鸟头模型4. 蝴蝶模型A BC DO ba S 3S 2S 1S 4热身小练习1.如下图，在三角形ABC中，DC=2BD，CE=3AE，阴影部分的面积是20平方厘米，三角形ABC的面积是平方厘米。
2.图中两个正方形的边长分别是5cm和3cm，阴影部分的面积是2cm。
3.下图的三角形ABC中，AD：DC=2：3，AE=EB，则甲乙两个图形面积的比是。
典型例题例1：如图，正方形ABCD的边长为12，P是AB边上任意一点，点M，N，I，H分别是边BC,AD 第2题图第3题图的三等分点，点E，F,G是边CD的四等分点，求图中阴影部分面积。
直线图形面积计算一：利用倍数关系求解面积六年级[暑假一]
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名师堂学校方法讲义之一年级：六年级日期：7月8日直线图形—利用倍数关系求面积【方法与技能】我们已经学过的直线型图形包括三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形等图形，一般称为基本图形或规则图形.我们的面积及周长都有相应的公式直接计算.根据图形之间长与宽、底与高的倍数关系求解图形面积是近年来各类竞赛与考试经常出现的考点。
在这类问题中，我们可以采用等分法求解，也可以用倍比法求解。
即根据等底或等高的平行四边形、三角形，它们的高（或底）的倍数关系就是面积的倍数关系，从而顺利求解。
【典型例题】例1：已知三角形ABC的面积为1，BE=2AB，BC=CD，求三角形BDE的面积？（下页图）例2：如右图，A为△CDE的DE边上中点，3BC=CD，若△ABC（阴影部分）面积为5平方厘米.求△ABD及△ACE的面积.例3：如下页右上图，在正方形ABCD中，三角形ABE的面积是8平方厘例4：如右图，已知：S△ABC=1，例5：如下图，在三角形ABC中，DC=2BD，CE=3AE，三角形ADE的面积是20平方厘米，求三角形ABC的面积。
例6：上右图所示三个小平行四边形的面积是12平方厘米、25平方厘米和42平方厘米。
那么大平行四边形的面积是多少平方厘米？例7：如下左图：已知梯形中两个三角形的面积分别是8平方厘米和12平方厘米，梯形的面积是多少平方厘米？名师课堂——关键教方法名师堂市中心校区地址：顺城街体育场路2号商业很行六楼8661966286741998AB D CE12 4225812D【应用拓展】1、如下图是由四个小长方形拼接而成的大长方形，其中三个小长方形的面积分别是24平方分米、15平方分米和25平方分米。
那么，图中阴影部分的面积是多少平方分米？2、如下左图，由九个小长方形拼接成大长方形，其中三个小长方形的面积分别时15平方米、30平方米和45平方米。
图中阴影部分的面积是多少平方米？3、如上右图，BD 、DE 、EC 的长分别是2、4、2，F 是线段AE 的中点，△ABC 的高为4，△DEF 的面积是（ ）。
小学奥数图形的面积
直线型面积计算（1）对于三角形的面积计算，我们除了熟练运用基本的计算公式，在技巧性很强的奥数题中还要根据相应的性质和结论来解题，下面就是我们小学奥数常用的三条性质：【例 1】 如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积．E BA E BA【分析】 本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用．连接BH 、CH ． ∵AE EB =， ∴S S AEH BEH =V V ．同理，S S BFH CFH =V V ，S =S CGH DGH V V ，∴11S S 562822==⨯=阴影长方形ABCD （平方厘米）．［铺垫］你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴2个面积相等的三角形； ⑵3个面积相等的三角形； ⑶4个面积相等的三角形．［分析］ ⑴如右图，D 、E 、F 分别是对应边上的中点，这样就将三角形分成了2个面积相等的三角形；CBAEA B CFCB A①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；③夹在一组平行线之间的等积变形，如BCD ACD S S ∆∆=； 反之，如果BCD ACD S S ∆∆=，则可知直线AB 平行于CD ．DC BA⑵如右图，D 、E 是BC 的三等分点，F 、G 分别是对应线段的中点；答案不唯一；ED A BC FC BADGDA BC⑶如下图，答案不唯一，以下仅供参考．(5)(4)(3)(2)(1)【例 2】 如图，三角形ABC 的面积为1，其中3AE AB =，2BD BC =，三角形BDE 的面积是多少？EDCB AEDC B A【分析】 连接CE ．∵3AE AB =，∴2BE AB =，2BCE ACB S S ∆∆=．又∵2BD BC =，∴244BDE BCE ABC S S S ∆∆∆===．【例 3】 如图，三角形ABC 中，2DC BD =，3CE AE =，三角形ADE 的面积是20平方厘米，三角形ABC 的面积是多少？ECBA 【分析】 ∵3CE AE =，∴4AC AE =,4ADC ADE S S ∆∆=;又∵2DC BD =,∴32BC DC =,361202ABC ADC ADE S S S ∆∆∆===（平方厘米）．［铺垫］如图，三角形ABC 被分成了甲、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，甲部分面积是乙部分面积的几分之几？乙甲E CBAABCDE［分析］ 连接AD ．∵3BE =,6AE =，∴13BE AB =,13BDE ABD S S ∆∆=．又∵4BD DC ==,∴12ABD ABC S S ∆∆=,∴1136BDE ABD ABC S S S ∆∆∆==,∴15S S =乙甲．［拓展］如图，在三角形ABC 中，8BC =厘米，6AD =厘米，E 、F 分别为AB 和AC 的中点，那么三角形EBF 的面积是多少平方厘米？FE CBAFE CBA［分析］ ∵F 是AC 的中点,∴12ABF ABC S S ∆∆=，同理12BEF ABF S S ∆∆=，∴111866442BEF ABC S S ∆∆==⨯⨯⨯=（平方厘米）．【例 4】 如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；延长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积．F EDCB A AB CDEF【分析】 本题是性质的反复使用（还可以用燕尾定理，但本讲不用这种方法，燕尾定理我们会放到五年级春季再讲）．连接AE 、CD ．∵S 1S 1S 1ABC ABC DBC ==V V V ，， ∴S 1DBC =V ．同理可得其它，最后三角形DEF 的面积18=．［拓展］如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四边形ABCD 的面积．H GFED CB A A B CDEFGH［分析］ 连接BD .设1DCB S S =V ，2DAB S S =V ∵CB BF =，∴2CDF CDB CDB CB BFS S S CB∆∆∆+==,又∵DC CG =,∴12CFG CDF S S S ∆∆==，同理22AEH S S ∆=， ∴2CFG AEH ABCD S S S ∆∆+=连接AC ，同理2HDG BEF ABCD S S S ∆∆+=∴5EFGH CFG AEH HDG BEF ABCD ABCD S S S S S S S ∆∆∆∆=++++=，111355ABCD EFGH S S ==（平方米）．［拓展］如图，已知长方形ADEF 的面积16，三角形ADB 的面积是3，三角形ACF 的面积是4，那么三角形ABC 的面积是多少？F E D CA F ED CA［分析］ 连接对角线AE ．∵ADEF 是长方形∴12ADE AEF ADEF S S S ∆∆==X∴38ADB ADE S DB DE S ∆∆==， 12ACF AEF S FC EF S ∆∆== ∴58BE DE DB DE DE -==，12CE FE CF EF EF -== ∴1515162822BEC S ∆=⨯⨯⨯=∴132ABC ADEF ADB ACF CBE S S S S S ∆∆∆∆=---=X ．［拓展］如图，长方形ABCD 中，:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，三角形DFG 的面积为2平方厘米，求长方形ABCD 的面积．ABCD EF GABCD EF G［分析］ 连接AE ，FE ．因为:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，所以3111()53210DEF ABCD ABCD S S S =⨯⨯=V 长方形长方形．因为12AED ABCD S S =V 长方形，11::5:1210AG GF ==，所以510AGD GDF S S ==V V ，所以12AFD S =V ．因为16AFD ABCD S S =V 长方形，所以长方形ABCD 的面积是72平方厘米．【例 5】 （第八届小数报数学竞赛决赛试题）如下图，E 、F 分别是梯形ABCD 的下底BC 和腰CD 上的点，DF FC =，并且甲、乙、丙3个三角形面积相等．已知梯形ABCD 的面积是32平方厘米．求图中阴影部分的面积．BC【分析】 因为乙、丙两个三角形面积相等，底DF FC =．所以A 到CD 的距离与E 到CD 的距离相等，即AE 与CD 平行，四边形ADCE 是平行四边形，阴影部分的面积=平行四边形ADCE 的面积的12，所以阴影部分的面积=乙的面积2⨯．从而阴影部分的面积23212.85=⨯=（平方厘米）．［拓展］如图，在平行四边形ABCD 中，BE EC =，2CF FD =．求阴影面积与空白面积的比．B［分析］ 因为BE EC =，2CF FD =，所以14ABE ABCD S S =V 四边形，16ADF ABCD S S =V 四边形．因为2AD BE =，所以2AG GE =，所以11312BGE ABE ABCD S S S ==V V 四边形，2136ABG ABE ABCD S S S ==V V 四边形．同理可得，18ADH ABCD S S =V 四边形，124DHF ABCD S S =V 四边形．因为12BCD ABCD S S =V 四边形，所以空白部分的面积111112()21224683ABCD ABCD S S =--++=四边形四边形，所以阴影部分的面积是13ABCD S四边形． 12:1:233=，所以阴影面积与空白面积的比是1:2．【例 6】 如图所示，四边形ABCD 与AEGF 都是平行四边形，请你证明它们的面积相等．GFECB AGFECB A【分析】 本题主要是让学生了解并会运用等底等高的两个平行四边形面积相等和三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．证明：连接BE ．（我们通过ABE V 把这两个看似无关的平行四边形联系在一起．）∵在平行四边形ABCD 中，12ABE S AB AB =⨯⨯V 边上的高，∴1S S 2ABG ABCD =V W （也就是等积变换的重要依据③的特殊情况）．同理，1S S 2ABE AEGF =V Y ，∴平行四边形ABCD 与AEGF 面积相等．［拓展］如图所示，正方形ABCD 的边长为8厘米，长方形EBGF 的长BG 为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？A BGC E F DABGCEF D［分析］ 本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．证明：连接AG .（我们通过ABG V 把这两个长方形和正方形联系在一起）．∵在正方形ABCD 中，G 12AB S AB AB =⨯⨯V 边上的高，∴1S S 2ABG ABCD =V W （三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半）同理，1S S 2ABG EFGB =V ．∴正方形ABCD 与长方形EFGB 面积相等. 长方形的宽8810 6.4=⨯÷=（厘米）．【例 7】 如图，正方形ABCD 和正方形CEFG ，且正方形ABCD 边长为10厘米，求图中三角形BFD 的面积为多少平方厘米？HGFED C BAHG FED C BA【分析】 连接CF ．∵BD ，CF 都是正方形的对角线∴45DBC FCE ∠=∠=︒，BD ∥CF ．∴BFD ∆与BCD ∆同底等高，11010502BFD BCD S S ∆∆==⨯⨯=(平方厘米) ．【例 8】 （03年西城某重点中学小升初分班考题）右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC的面积．AA【分析】 这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件，实际上本题的结果与大正方形的边长没关系．连接AD （见右上图），可以看出，三角形ABD 与三角形ACD 的底都等于小正方形的边长，高都等于大正方形的边长，所以面积相等．因为三角形AGD 是三角形ABD 与三角形ACD 的公共部分，所以去掉这个公共部分，根据差不变性质，剩下的两个部分，即三角形ABG 与三角形GCD 面积仍然相等．根据等量代换，求三角形ABC 的面积等于求三角形BCD 的面积，等于4428⨯÷=．［拓展］（小学数学夏令营五年级组试题）如图，四边形ABCD 和四边形DEFG 都是正方形，已知三角形AFH 的面积为6平方厘米，求三角形CDH 的面积．［分析］ 通常求三角形的面积，都是先求它的底和高．题目中没有一条线段的长度是已知的，所以我们只能通过创造等积的方法来求．直接找三角形HDC 与三角形AFH 的关系还很难，而且也没有利用“四边形ABCD 和四边形DEFG 是正方形”这一条件．我们不妨将它们都补上梯形DEFH 这一块．寻找新得到大三角形CEF 和大直角梯形DEFA 之间的关系．经过验算，可以知道它们的面积是相等的．从而得到三角形HDC 与三角形AFH 面积相等，也是6平方厘米．【例 9】 如右图，在平行四边形ABCD 中，直线CF 交AB 于E ，交DA 延长线于F ，若1ADE S =V ，求BEF V 的面积．AB CDEFABCDEF［分析］ 本题主要是让学生并会运用等底等高的两个三角形面积相等（或夹在一组平行线之间的三角形面积相等）和等量代换的思想.连接AC ．∵AB ∥CD ，∴ADE ACE S S =V V ． 同理AD ∥BC ，∴ACF ABF S S =V V ．又ACF ACE AEF S S S =+V V V ，ABF BEF AEF S S S =+V V V ，∴ ACE BEF S S =V V ，即 1BEF ADE S S ==V V ．【例10】 （小学数学奥林匹克决赛试题）右图中，ABCD 是74⨯的长方形，DEFG 是102⨯的长方形，求三角形BCO 与三角形EFO 的面积之差． 【分析】 直接求出三角形BCO 与三角形EFO 的面积之差，不太容易做到．如果利用差不变性质，将所求面积之差转化为另外两个图形的面积之差，而这两个图形的面积之差容易求出，那么问题就解决了．法1：连结BE （见右图）．三角形BCO 与三角形EFO 都加上三角形BEO ，则原来的问题转OA BCD E F G OA BC D E FG法2：连结CF （见右图）．三角形BCO 与三角形EFO 都加上三角形CFO ，则原来的问题转化为求三角形BCF 与三角形ECF 的面积之差．所求为4(107)22(107)23⨯-÷-⨯-÷=．法3：延长BC 交GF 于H （见右图）．三角形BCO 与三角形EFO 都加上梯形COFH ，则原来的问题转化为求三角形BHF 与矩形CEFH 的面积之差． 所求为(42)(107)22(107)3+⨯-÷-⨯-=．法4：延长AB ，FE 交于H （见右图）．三角形BCO 与三角形EFO 都加上梯形BHEO ，则原来的问题转化为求矩形BHEC 与直角三角形BHF 的面积之差．所求为4(107)(42)(107)23⨯--+⨯-÷=．【例11】 如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是13，35，49．那么图中阴影部分的面积是多少？BE【分析】 三角形ABC 的面积+三角形CDE 的面积(133549)+++=长方形面积+阴影部分面积；又因为三角形ABC 的面积=三角形CDE 的面积12=长方形面积，所以可得：阴影部分面积13354997=++=．1． 如图，在长方形ABCD 中，Y 是BD 的中点，Z 是DY 的中点，如果24AB =厘米，8BC =厘米，求三角形ZCY 的面积．ABC DZ Y【分析】 ∵Y 是BD 的中点，Z 是DY 的中点，∴1122ZY DB =⨯⨯，14ZCY DCB S S =V V ，又∵ABCD 是长方形，∴11124442ZCY DCB ABCD S S S ==⨯=V V Y (平方厘米)．2． 如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？A BCD EA BCDE【分析】 连接BE .∵13AE EC = ∴13ABE ABC S S ∆∆=.又∵15AD AB =∴11515ADE ABE ABC S S S ∆∆∆==，∴1515ABC ADE S S ∆∆==.3． 两个正方形组成右图所示的组合图形．已知组合图形的周长是52厘米，4DG =厘米，求阴影部分的面积．A【分析】 组合图形的周长并不等于两个正方形的周长之和，因为CG 部分重合了．用组合图形的周长减去DG ，就得到大、小正方形边长之和的三倍，所以两个正方形的边长之和等于(524)316-÷=（厘米）．又由两个正方形的边长之差是4厘米，可求出大正方形边长(164)210=+÷=（厘米），小正方形边长(164)26=-÷=（厘米）．阴影部分面积410266238BDG BFG S S =+=⨯÷+⨯÷=V V （平方厘米）．HO A BCD E FGH OA B CD E FG4． 在右图中，平行四边形ABCD 的边BC 长10厘米，直角三角形ECB 的直角边EC 长8厘米．已知阴影部分的总面积比三角形EFG 的面积大10平方厘米，求平行四边形ABCD 的面积．［分析］ 因为阴影部分比三角形EFG 的面积大10平方厘米，都加上梯形FGCB 后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行ABCD 比直角三角形ECB 的面积大10平方厘米，所以平行四边形ABCD 的面积等于10821050⨯÷+=平方厘米．5． 右图中，4CA AB ==厘米，三角形ABE 比三角形CDE 的面积大2平方厘米，求CD 的长．ABCD E 【分析】 连结CB ．三角形DCB 的面积为44226⨯÷-=平方厘米，6243CD =⨯÷=厘米．直线型面积计算（2）在小学的学习中几何是一个很重要的部分，每一个几何图形都非常美妙，几何图形的美妙不仅来源于它的外形，更重要的是在几何模型上出现的那些美妙的规律，下面我们就一起来看看几个美妙的几何模型：模型一：任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：S 4S 3S 2S 1O DCBA①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯ ②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．模型二：梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：A BCDOba S 3S 2S 1S 4①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =；③S 的对应份数为()2a b +．梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果．模型三：相似三角形性质：GF E ABCDAB CDEF G①AD AE DE AFAB AC BC AG===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具． 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形【例 9】 如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？B【分析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGC S ⨯=⨯V ，那么6BGC S =V ；⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=．【例 10】 (2006年南京智力数学冬令营)如下图，梯形ABCD 的AB ∥CD ，对角线AC ，BD 交于O ，已知AOB V 与BOC V 的面积分别为25 平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD 的面积是________平方厘米．3525OABCD 【分析】 根据梯形蝴蝶定理，2::25:35AOB BOC S S a ab ==V V ，可得:5:7a b =，再根据梯形蝴蝶定理，2222::5:725:49AOB DOC S S a b ===V V ，所以49DOC S =V (平方厘米)．那么梯形ABCD 的面积为25353549144+++=(平方厘米)．［铺垫］梯形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，已知梯形上底为2，且三角形ABO 的面积等于三角形BOC 面积的23，求三角形AOD 与三角形BOC 的面积之比．OA B CD［分析］ 根据梯形蝴蝶定理，2::2:3AOB BOC S S ab b ==V V ，可以求出:2:3a b =，再根据梯形蝴蝶定理，2222::2:34:9AOD BOC S S a b ===V V ．通过利用已有几何模型，我们轻松解决了这个问题，而没有像以前一样，为了某个条件的缺乏而千辛万苦进行构造假设，所以，请同学们一定要牢记几何模型的结论．【例 11】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)．如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍．ABC DOH GA B C D O【分析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种“不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件:1:3ABD BCD S S =V V ，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法．又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个“不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比．再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题． 解法一：∵::1:3ABD BDC AO OC S S ∆∆==， ∴236OC =⨯=， ∴:6:32:1OC OD ==．解法二：作AH BD ⊥于H ，CG BD ⊥于G ．∵13ABD BCD S S ∆∆=，∴13AH CG =，∴13AOD DOC S S ∆∆=，∴13AO CO =，∴236OC =⨯=， ∴:6:32:1OC OD ==．【例 12】 在边长为1的正方形ABCD 中，2BE EC =，2DF FC =．求四边形ABGD 的面积．ABCDE FGABCDE FG【分析】 题目要求四边形ABGD 的面积，可以发现这个四边形是个“不良四边形”，需要对它进行改造．通常在一个四边形中画辅助线，会想到画对角线，又注意到E 、F 都是三等分点，如果连接EF ，因为EF ∥BD ，则可以构造一个梯形，从而应用梯形蝴蝶定理快速求解．因为2BE EC =，2DF FC =，所以:3:1BD EF =．根据梯形蝴蝶定理可以知道，等腰梯形BDFE 四部分面积比为1:3:3:9；而等腰梯形BDFE 的面积为：111141122339⨯⨯-⨯⨯=，所以9113394BDG BDFE S S =⨯=+++V ，得11311244ABGD ADB BDG S S S =+=⨯⨯+=V V ．【例 13】如图，正方形ABCD 面积为1，M 是AD 边上的中点．求图中阴影部分的面积．【分析】 因为M 是AD 边上的中点，所以12AM =，可得34AMCB S =梯形，由于:1:2AM BC =，根据梯形蝴蝶定理可以知道22:::1:12:12:21:2:2:4AMG ABG MCG BCG S S S S =⨯⨯=V V V V （）（），所以阴影部分面积占梯形面积的22412249+=+++，所以341493S =⨯=阴影．【例 14】如图，在长方形ABCD 中，6AB =，2AD =，AE EF FB ==，求阴影部分的面积．DD【分析】 如图，连接DE ，DE 将阴影部分的面积分为两个部分，其中三角形AED 的面积为26322⨯÷÷=．由于:1:3EF DC =，根据梯形蝴蝶定理，:3:1DEO EFO S S =V V ，所以34DEO DEF S S =V V ，而2DEF ADE S S ==V V ，所以32 1.54DEO S =⨯=V ，阴影部分的面积为2 1.5 3.5+=．相似三角形性质【例 7】 在图中的正方形中，A ，B ，C 分别是所在边的中点，CDO V 的面积是ABO V 面积的几倍？ABCDO EFABCO【分析】 连接BC ，易知OA ∥EF ，根据相似三角形性质，可知::OB OD AE AD =，且::1:2OA BE DA DE ==，所以CDO V 的面积等于CBO V 的面积；由1124OA BE AC ==可得3CO OA =，所以3CDO CBO ABO S S S ==V V V ，即CDO V 的面积是ABO V 面积的3倍．【例 8】 如图，线段AB 与BC 垂直，已知4AD EC ==，6BD BE ==，那么图中阴影部分面积是多少？A BCDA BDA BD【分析】 解法一：这个图是个对称图形，且各边长度已经给出，不妨连接这个图形的对称轴看看．作辅助线BO ，则图形关于BO 对称，有ADO CEO S S =V V ，DBO EBO S S =V V ，且:4:62:3ADO DBO S S ==V V ． 设ADO V 的面积为2份，则DBO V 的面积为3份，直角三角形ABE 的面积为8份．因为610230ABE S =⨯÷=V ，而阴影部分的面积为4份，所以阴影部分的面积为308415÷⨯=．解法二：连接DE 、AC ．由于4AD EC ==，6BD BE ==，所以DE ∥AC ，根据相似三角形性质，可知::6:103:5DE AC BD BA ===，根据梯形蝴蝶定理，()()22:::3:35:35:59:15:15:25DOE DOA COE COA S S S S =⨯⨯=V V V V ，所以()():1515:915152515:32ADEC S S =++++=阴影梯形，即1532ADECS S=阴影梯形； 又11101066=3222ADEC S =⨯⨯-⨯⨯梯形，所以151532ADEC S S ==阴影梯形．【例 9】 右图中正方形的面积为1， E 、F 分别为AB 、BD 的中点，13GC FC =．求阴影部分的面积．AB EABE【分析】 题中条件给出的都是比例关系，由此可以初步推断阴影部分的面积要通过比例求解，而图中出现最多的就是三角形，那么首先想到的就是利用相似三角形的性质．阴影部分为三角形，已知底边为正方形边长的一半，只要求出高，便可求出面积． 可以作FH 垂直BC 于H ，GI 垂直BC 于I ．根据相似三角形性质，::1:3CI CH CG CF ==，又因为CH HB =，所以:1:6CI CB =，即():61:65:6BI BC =-=，所以115522624BGE S =⨯⨯=V ．【例10】 如图，长方形ABCD 中，E 为AD 的中点，AF 与BE 、BD 分别交于G 、H ，OE 垂直AD 于E ，交AF 于O ，已知5AH cm =，3HF cm =，求AG ．ABC DEFGHO【分析】 由于AB ∥DF ，利用相似三角形性质可以得到::5:3AB DF AH HF ==，又因为E 为AD 中点，那么有:1:2OE FD =， 所以3:5:10:32AB OE ==，利用相似三角形性质可以得到::10:3AG GO AB OE ==， 而()()1153422AO AF cm ==⨯+=，所以()104041313AG cm =⨯=．【例11】 ABCD 是平行四边形，面积为72平方厘米，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，则图中阴影部分的面积为＿＿＿＿平方厘米．BB【分析】 注意引导学生利用三角形的中位线定理以及平行线的相关性质．设G 、H 分别为AD 、DC 的中点，连接GH 、EF 、BD ．可得1=4AED ABCD S S V 平行四边形，对角线BD 被EF 、AC 、GH 平均分成四段，又OM ∥EF ，所以23::2:344DO ED BD BD ==，()()::32:31:3OE ED ED OD ED =-=-=，所以 11117263434AEO ABCD S S =⨯=⨯⨯=V 平行四边形(平方厘米)，212ADO AEO S S =⨯=V V (平方厘米)．同理可得6CFM S =V 平方厘米，12CDM S =V 平方厘米． 所以 366624ABC AEO CFM S S S --=--=V V V (平方厘米)， 于是，阴影部分的面积为24121248++=(平方厘米)．练习5． (第十届华杯赛)如下图，四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 交于O 点，已知1AO =，并且35ABD CBD =三角形的面积三角形的面积，那么OC 的长是多少？ABCDO【分析】 根据蝴蝶定理，ABD AO CBD CO =三角形的面积三角形的面积，所以35AO CO =，又1AO =，所以53CO =．6． 如图，梯形ABCD 中，AOB ∆、COD ∆的面积分别为1.2和2.7，求梯形ABCD 的面积．ODC BA 【分析】 根据梯形蝴蝶定理，22::4:9AOB ACOD S S a b ==V V ，所以:2:3a b =，2:::3:2AOD AOB S S ab a b a ===V V ，31.2 1.82AOD COB S S ==⨯=V V ，1.2 1.8 1.82.77.5ABCD S =+++=梯形．7． 已知三角形ABC 的面积为a ，:2:1AF FC =，E 是BD 的中点，且EF ∥BC ，交CD 于G ，求阴影部分的面积．【分析】 已知:2:1AF FC =，且EF ∥BC ，利用相似三角形性质可知::2:3EF BC AF AC ==，所以23EF BC =，且:4:9AEF ABC S S =V V ．又因为E 是BD 的中点，所以EG 是三角形DBC 的中位线，那么12EG BC =，12::3:423EG EF ==，所以:1:4GF EF =，可得:1:8CFG AFE S S =V V ，所以:1:18CFG ABC S S =V V ，那么18CFG a S =V ．8． 在下图的正方形ABCD 中，E 是BC 边的中点，AE 与BD 相交于F 点，三角形BEF 的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD 面积是 平方厘米．A BCDEF【分析】 根据相似三角形性质可知::1:2EF AF BE AD ==，所以33ABE BEF S S ==V V (平方厘米)，那么412ABCD ABE S S ==W V (平方厘米)．。
小学数学几何 直线型面积的计算 完整版题型训练+详细答案
直线形面积的计算例题讲解：板块一：基础题型：1．如图，四边形ABCD是直角梯形，其中AD=12（厘米），AB=8（厘米），BC= 15（厘米），且三角形ADE、四边形DEBF、三角形CDF的面积相等，阴影三角形DEF的面积是多少平方厘米？解析：四边形ABCD的面积是（12+15）×8÷2=108（平方厘米），108÷3=36（平方厘米）。
CF=36×2÷8=9(厘米)，FB=15-9=6(厘米)，AE=36×2÷12=6（厘米），EB=8-6=2（厘米）。
阴影三角形DEF的面积是36-2×6÷2=30（平方厘米）2．一块长方形的土地被分割成4个小长方形，其中三块的面积如图所示（单位：平方米），剩下一块的面积应该是多少平方米？解析：40×15÷30=20（平方米）3．如图，在三角形ABC中，BC是DC的3倍，AC是EC的3倍，三角形DEC的面积是3平方厘米．请问：三角形ABC的面积是多少平方厘米？解析：三角形ADC的面积是3×3=9（平方厘米），三角形ABC的面积是3×9=27（平方厘米）4．如图，E是BC上靠近C的三等分点，且ED是AD的2倍，三角形ABC的面积为36平方厘水．三角形BDE的面积是多少平方厘米？解析：三角形BAE的面积是36÷3×2=24（平方厘米），三角形BDE的面积24÷3×2=16（平方厘米）5．如图所示，已知三角形BEC的面积等于20平方厘米，E是AB边上靠近日点的四等分点，三角形AED的面积是多少平方厘米？平行四边形DECF的面积是多少平方厘米？解析：（1）三角形AED的面积是20×3=60（平方厘米）（2）三角形DEC的面积是20+60=80（平方厘米），三角形DEC的面积是平行四边形DECF 的面积的一半，也是平行四边形ABCD的面积的一半，所以平行四边形DECF的面积是80×2=160（平方厘米）6．如图，已知平行四边形ABCD的面积为36，三角形AOD的面积为8．三角形BOC的面积为多少？解析：根据一半模型可知，三角形AOD的面积和三角形BOC的面积是平行四边形ABCD 的面积的一半，所以三角形BOC的面积是36÷2-8=107．如图，长方形ABCD的面积是96平方厘米，E是AD边上靠近D点的三等分点，F是CD上靠近C点的四等分点．阴影部分的面积是多少平方厘米？解析：链接BD ，可知三角形ABD 的面积和三角形BDC 都是96÷2=48（平方厘米），三角形ABE 的面积是48×32=32（平方厘米）。
六年级奥数 几何; 第1讲;直线型面积一; 教师版_1
第一讲 直线型面积（一）1. 熟练运用直线型面积的最基本性质——等积变形；2. 熟练掌握直线型面积的两个模型： （1）等积变形 （2）鸟头模型直线型面积求解是在以三角形、长方形、正方形、梯形等一些规则图形为基础上进行的。
最基本的思想是等积变形。
一、等积变形①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图12::S S a b =baS 2S 1 DC BA③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =××△△EDCBAEDCB A板块一、等积变形【例 1】 如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积．E BAE BA【解析】本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用．连接BH 、CH ． ∵AE EB =， ∴AEH BEH S S =△△．同理，BFH CFH S S =△△，S =S CGH DGH ++，∴11562822ABCD S S ==×=阴影长方形(平方厘米)．【巩固】图中的E 、F 、G 分别是正方形ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是 ．E D GCB654321HBCG DE【解析】把另外三个三等分点标出之后，正方形的3个边就都被分成了相等的三段．把H 和这些分点以及正方形的顶点相连，把整个正方形分割成了9个形状各不相同的三角形．这9个三角形的底边分别是在正方形的3个边上，它们的长度都是正方形边长的三分之一．阴影部分被分割成了3个三角形，右边三角形的面积和第1第2个三角形相等：中间三角形的面积和第3第4个三角形相等；左边三角形的面积和第5个第6个三角形相等．因此这3个阴影三角形的面积分别是ABH 、BCH 和CDH 的三分之一，因此全部阴影的总面积就等于正方形面积的三分之一．正方形的面积是144，阴影部分的面积就是48．【例 2】 如图，有三个正方形的顶点D 、G 、K 恰好在同一条直线上，其中正方形GFEB 的边长为10厘米，求阴影部分的面积．KO QPH G F EC B AK O QPH GF EC BA【解析】对于这种几个正方形并排放在一起的图形，一般可以连接正方形同方向的对角线，连得的这些对角线互相都是平行的，从而可以利用面积比例模型进行面积的转化．如右图所示，连接FK 、GE 、BD ，则////BD GE FK ，根据几何五大模型中的面积比例模型，可得DGE BGE S S ΔΔ=，KGE FGE S S ΔΔ=，所以阴影部分的面积就等于正方形GFEB 的面积，即为210100=平方厘米．【巩固】右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC 的面积．GABG4AB【解析】这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件，实际上本题的结果与大正方形的边长没关系．连接AD (见右上图)，可以看出，三角形ABD 与三角形ACD 的底都等于小正方形的边长，高都等于大正方形的边长，所以面积相等．因为三角形AGD 是三角形ABD 与三角形ACD 的公共部分，所以去掉这个公共部分，根据差不变性质，剩下的两个部分，即三角形ABG 与三角形GCD 面积仍然相等．根据等量代换，求三角形ABC 的面积等于求三角形BCD 的面积，等于4428×÷=．【巩固】(2008年西城实验考题)如图，ABCD 与AEFG 均为正方形，三角形ABH 的面积为6平方厘米，图中阴影部分的面积为 ．C D E FHEFH【解析】如图，连接AF ，比较ABF Δ与ADF Δ，由于AB AD =，FG FE =，即ABF Δ与ADF Δ的底与高分别相等，所以ABF Δ与ADF Δ的面积相等，那么阴影部分面积与ABH Δ的面积相等，为6平方厘米．【巩固】正方形ABCD 和正方形CEFG ，且正方形ABCD 边长为10厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？D G F HCCH G D【解析】 方法一：三角形BEF 的面积2BE EF =×÷，梯形EFDC 的面积22EF CD CE BE EF =+×÷=×÷=（）三角形BEF 的面积， 而四边形CEFH 是它们的公共部分，所以，三角形DHF 的面积=三角形BCH 的面积， 进而可得，阴影面积=三角形BDF 的面积=三角形BCD 的面积1010250=×÷=(平方厘米)．方法二：连接CF ，那么CF 平行BD ，所以，阴影面积=三角形BDF 的面积=三角形BCD 的面积50=(平方厘米)．【例 3】 长方形ABCD 的面积为362cm ，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？HE【解析】 解法一：寻找可利用的条件，连接BH 、HC ，如下图：H ED可得：12EHB AHB S S ΔΔ=、12FHB CHB S S ΔΔ=、12DHG DHC S S ΔΔ=，而36ABCD AHB CHB CHD S S S S ΔΔΔ=++= 即11()361822EHBBHF DHG AHB CHB CHD S S S S S S ΔΔΔΔΔΔ++=++=×=；而EHB BHF DHG EBF S S S S S ΔΔΔΔ++=+阴影，11111()()36 4.522228EBF S BE BF AB BC Δ=××=××××=×=． 所以阴影部分的面积是：1818 4.513.5EBF S S Δ=−=−=阴影 解法二：特殊点法．找H 的特殊点，把H 点与D 点重合，那么图形就可变成右图：GE (H )这样阴影部分的面积就是DEF Δ的面积，根据鸟头定理，则有：11111113636363613.52222222ABCD AED BEF CFD S S S S S ΔΔΔ=−−−=−××−×××−××=阴影．【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P 点连接,求阴影部分面积．P AA PA【解析】（法1）特殊点法．由于P 是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P 点与A 点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的14和16，所以阴影部分的面积为2116()1546×+=平方厘米．（法2）连接PA 、PC ．由于PAD Δ与PBC Δ的面积之和等于正方形ABCD 面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的14，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的16，所以阴影部分的面积为2116(1546×+=平方厘米．【例 4】 (2007首届全国资优生思维能力测试)ABCD 是边长为12的正方形，如图所示，P 是内部任意一点，4BL DM ==、5BK DN ==，那么阴影部分的面积是 ．PP【解析】 （法1）特殊点法．由于P 是内部任意一点，不妨设P 点与A 点重合(如上中图)，那么阴影部分就是AMN Δ和ALK Δ．而AMN Δ的面积为(125)4214−×÷=，ALK Δ的面积为(124)5220−×÷=，所以阴影部分的面积为142034+=．（法2）寻找可以利用的条件，连接AP 、BP 、CP 、DP 可得右上图所示：则有:211127222PDC PAB ABCD S S S ΔΔ+==×= 同理可得：72PAD PBC S S ΔΔ+=;而::4:121:3PDM PDC S S DM DC ΔΔ===,即13PDM PDC S S ΔΔ=；同理：13PBL PAB S S ΔΔ=,512PND PDA S S ΔΔ=,512PBK PBC S S ΔΔ=;所以：15()()()()312PDM PBL PND PBK PDC PAB PDA PBC S S S S S S S S ΔΔΔΔΔΔΔΔ+++=+++而()()()()PDM PBL PND PBK PNM PLK DNM BLK S S S S S S S S ΔΔΔΔΔΔΔΔ+++=+++阴影面积； 145102DNM BLK S S ΔΔ==××=； 所以阴影部分的面积是：15()()()312PNM PLK PDC PAB PDA PBC DNM BLK S S S S S S S S ΔΔΔΔΔΔΔΔ+=+++−+即为：15727210224302034312×+×−×=+−=．【例 5】 (2008年四中考题)如右图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABCΔ的面积是 平方厘米．DBADA【解析】连接CD ．根据题意可知，DEF Δ的面积为DAC Δ面积的13，DAC Δ的面积为ABC Δ面积的12，所以DEF Δ的面积为ABC Δ面积的111236×=．而DEF Δ的面积为5平方厘米，所以ABC Δ的面积为15306÷=(平方厘米)．【巩固】图中三角形ABC 的面积是180平方厘米，D 是BC 的中点，AD 的长是AE 长的3倍，EF 的长是BF长的3倍．那么三角形AEF 的面积是多少平方厘米？F ECBA【解析】 ABD +，ABC +等高，所以面积的比为底的比，有12ABD ABC S BD S BC ==++, 所以ABD S +=111809022ABC S ×=×=+(平方厘米)．同理有190303ABE ABD AE S S AD =×=×=++(平方厘米)，34AFE ABE FE S S BE=×=++3022.5×= (平方厘米)．即三角形AEF 的面积是22.5平方厘米．【例 6】 如图，大长方形由面积是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方形组合而成．求阴影部分的面积．48cm 224cm 236cm 212cm 2MN B A12cm236cm 224cm 248cm 2【解析】 如图，将大长方形的长的长度设为1，则12112364AB ==+，24124483CD ==+，所以1113412MN =−=，阴影部分面积为211(12243648)5(cm )212+++××=．【例 7】 (2009年第七届”希望杯”二试六年级)如图，在三角形ABC 中，已知三角形ADE 、三角形DCE 、三角形BCD 的面积分别是89，28，26．那么三角形DBE 的面积是 ．DB【解析】 根据题意可知，8928117ADCADE DCE S S S ΔΔΔ=+=+=，所以::26:1172:9BDC ADC BD AD S S ΔΔ===， 那么::2:9DBE ADE S S BD AD ΔΔ==，故222789(901)20199999DBE S Δ=×=−×=−=．【例 8】 O 是长方形ABCD 内一点，已知OBC Δ的面积是25cm ，OAB Δ的面积是22cm ，求OBD Δ的面积是多少？POC【解析】 由于ABCD 是长方形，所以12AOD BOC ABCD S S S ΔΔ+=，而12ABD ABCD S S Δ=，所以AOD BOC ABD S S S ΔΔΔ+=，则BOC OAB OBD S S S ΔΔΔ=+，所以2523cm OBD BOC OAB S S S ΔΔΔ=−=−=．【例 9】 如右图，过平行四边形ABCD 内的一点P 作边的平行线EF 、GH ，若PBD Δ的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF 的面积比平行四边形PGAE 的面积大多少平方分米？CEFGH PCEFH P【解析】根据差不变原理，要求平行四边形PHCF 的面积与平行四边形PGAE 的面积差，相当于求平行四边形BCFE 的面积与平行四边形ABHG 的面积差．如右上图，连接CP 、AP ．由于12BCP ADP ABP BDP ADP ABCD S S S S S S ΔΔΔΔΔ+=++=，所以BCP ABP BDP S S S ΔΔΔ−=． 而12BCP BCFE S S Δ=，12ABP ABHG S S Δ=，所以()2216BCFE ABHG BCP ABP BDP S S S S S ΔΔΔ−=−==(平方分米)．【例 10】 如右图，正方形ABCD 的面积是20，正三角形BPC Δ的面积是15，求阴影BPD Δ的面积．PDBOAB DP【解析】连接AC 交BD 于O 点，并连接PO ．如下图所示， 可得//PO DC ，所以DPO Δ与CPO Δ面积相等(同底等高)，所以有：BPO CPO BPO PDO BPD S S S S S ΔΔΔΔΔ+=+=，因为1120544BOC ABCD S S Δ==×=，所以15510BPD S Δ=−=．【巩固】如右图，正方形ABCD 的面积是12，正三角形BPC Δ的面积是5，求阴影BPD Δ的面积．PBOAB DP【解析】 连接AC 交BD 于O 点，并连接PO ．如右上图所示，可得//PO DC ，所以DPO Δ与CPO Δ面积相等(同底等高)，所以有:BPO CPO BPO PDO BPD S S S S S ΔΔΔΔΔ+=+=，因为134BOC ABCD S S Δ==，所以532BPD S Δ=−=．【例 11】(2008年”华杯赛”决赛)右图中，ABCD 和CGEF 是两个正方形，AG 和CF 相交于H ，已知CH 等于CF 的三分之一，三角形CHG 的面积等于6平方厘米，求五边形ABGEF 的面积．HG F E D C B AHGF ED CB A【解析】 连接AC 、GF ，由于AC 与GF 平行，可知四边形ACGF 构成一个梯形．由于HCG Δ面积为6平方厘米，且CH 等于CF 的三分之一，所以CH 等于FH 的12，根据梯形蝴蝶定理或相似三角形性质，可知FHG Δ的面积为12平方厘米，AHF Δ的面积为6平方厘米，AHC Δ的面积为3平方厘米．那么正方形CGEF 的面积为()612236+×=平方厘米，所以其边长为6厘米．又AFC Δ的面积为639+=平方厘米，所以9263AD =×÷=(厘米)，即正方形ABCD 的边长为3厘米．那么，五边形ABGEF 的面积为：21369349.52++×=(平方厘米)．【例 12】如图，已知长方形ADEF 的面积16，三角形ADB 的面积是3，三角形ACF 的面积是4，那么三角形ABC 的面积是多少？F CAF CAF ED CBA【解析】方法一：连接对角线AE ． ∵ADEF 是长方形∴12ADE AEF ADEF S S S ΔΔ==-∴38ADB ADE S DB DE S ΔΔ==， 12ACF AEF S FC EF S ΔΔ== ∴58BE DE DB DE DE −==，12CE FE CF EF EF −== ∴1515162822BEC S Δ=×××=∴132ABC ADEF ADB ACF CBE S S S S S ΔΔΔΔ=−−−=-．方法二：连接BF ，由图知1628ABF S =÷=△，所以16835BEF S =−−=△，又由4ACF S =△，恰好是AEF △面积的一半，所以C 是EF 的中点，因此52 2.5BCE BCF S S ==÷=△△，所以1634 2.5 6.5ABC S =−−−=△【例 13】 (第七届”小机灵杯”数学竞赛五年级复赛)如图所示，三角形ABC 中，D 是AB 边的中点，E 是AC边上的一点，且3AE EC =，O 为DC 与BE 的交点．若CEO Δ的面积为a 平方厘米，BDO Δ的面积为b 平方厘米．且b a −是2.5平方厘米，那么三角形ABC 的面积是 平方厘米．E baOD CBA【解析】 12ABC BCD BCO S S b S ΔΔΔ==+，14ABC BCE BCO S S a S ΔΔΔ==+，所以112.524ABC ABC S S b a ΔΔ−=−=(平方厘米)．所以 2.5410ABC S Δ=×=(平方厘米)．【例 14】 如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE =，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米？GFE D C【解析】 如下图，连接FC ，DBF +、BFG +的面积相等，设为x 平方厘米;FGC +、DFC +的面积相等，设为y 平方厘米，那么DEF +的面积为13y 平方厘米．xyy x GFE D CBA221BCD S x y =+=+，BDE 111S =x+y=l 333×=+．所以有0.531x y x y +=⎧⎨+=⎩①②．比较②、①式，②式左边比①式左边多2x ，②式右边比①式右边大0.5，有20.5x =，即0.25x =,0.25y =．而阴影部分面积为2550.253312y y +=×=平方厘米．【例 15】 (2008年第一届”学而思杯”综合素质测评六年级2试)如图，45BC =，21AC =，ABC Δ被分成9个面积相等的小三角形，那么DI FK += ．KJIH GFE DC B A【解析】由题意可知，::2:9BAD ABC BD BC S S ΔΔ==，所以2109BD BC ==，35CD BC BD =−=；又::2:5DIF DFC DI DC S S ΔΔ==，所以2145DI DC ==，同样分析可得10FK =，所以141024DI FK +=+=．【巩固】（2009年清华附中入学测试题）如图，在角MON 的两边上分别有A 、C 、E 及B 、D 、F 六个点，并且OAB Δ、ABC Δ、BCD Δ、CDE Δ、DEF Δ的面积都等于1，则DCF Δ的面积等于 ．OBD FN【解析】根据题意可知，::4:1OED DEF OD DF S S ΔΔ==，所以14DF OD =，1133444DCF OCD S S ΔΔ==×=．【例 16】(2009年四中入学测试题)如图，已知5CD =，7DE =，15EF =，6FG =，线段AB 将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG 的面积是 ．GFE DC BAABC DE FG【解析】连接AF ，BD ． 根据题意可知，571527CF =++=；715628DG =++=；所以，1527BE CBF F S S ΔΔ=，1227BE CBF C S S ΔΔ=，2128AEG ADG S S ΔΔ=，728AED ADG S S ΔΔ=， 于是：2115652827ADG CBF S S ΔΔ+=；712382827ADG CBF S S ΔΔ+=；可得40ADG S Δ=．故三角形ADG 的面积是40．【例 17】(2008年走美六年级初赛)如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，8AB =，15AD =，四边形EFGO 的面积为 ．O GECBA【解析】 利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和，以及三角形AOE 和DOG 的面积之和，进而求出四边形EFGO 的面积．由于长方形ABCD 的面积为158120×=，所以三角形BOC 的面积为1120304×=，所以三角形AOE 和DOG 的面积之和为312070204×−=； 又三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和为111203024⎛⎞×−=⎜⎟⎝⎠，所以四边形EFGO 的面积为302010−=．另解：从整体上来看，四边形EFGO 的面积=三角形AFC 面积+三角形BFD 面积−白色部分的面积，而三角形AFC 面积+三角形BFD 面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即1207050−=，所以四边形的面积为605010−=．【巩固】(2008年”华杯赛”初赛)如图所示，矩形ABCD 的面积为24平方厘米．三角形ADM 与三角形BCN的面积之和为7.8平方厘米，则四边形PMON 的面积是 平方厘米．NOMPDCBA【解析】 因为三角形ADO 与三角形BCO 的面积之和是矩形ABCD 的面积的一半，即12平方厘米，又三角形ADM 与三角形BCN 的面积之和为7.8平方厘米，则三角形AMO 与三角形BNO 的面积之和是4.2平方厘米，则四边形PMON 的面积=三角形ABP 面积−三角形AMO 与三角形BNO 的面积之和−三角形ABO 面积12 4.26 1.8=−−=(平方厘米)．【例 18】 (清华附中分班考试题)如图，如果长方形ABCD 的面积是56平方厘米，那么四边形MNPQ 的面积是多少平方厘米？23D 3353D【解析】 如图，过M 、N 、P 、Q 分别作长方形ABCD 的各边的平行线．易知交成中间的阴影正方形的边长为3厘米，面积等于9平方厘米．设MQD Δ、NAM Δ、PBN Δ、QCP Δ的面积之和为S ，四边形MNPQ的面积等于x ，则569x S x S +=⎧⎨−=⎩，解得32.5x =(平方厘米)．板块二 鸟头模型【例 19】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCB A【解析】 连接BE ，::2:5(24):(54)ADEABE S S AD AB ===××△△，::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===××△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =××△△，设8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ．【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E CBAA BCE甲乙【解析】 连接AD ．∵3BE =，6AE =∴3AB BE =，3ABD BDE S S =++ 又∵4BD DC ==，∴2ABC ABD S S =++，∴6ABC BDE S S =++，5S S =乙甲．【例 20】 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBA EDCBA【解析】 连接BE ，::2:5(23):(53)ADEABE S S AD AB ===××△△[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=×+×△△，所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =××+=△△，设6ADE S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例 21】 如图，三角形ABC 的面积为3平方厘米，其中:2:5AB BE =，:3:2BC CD =，三角形BDE 的面积是多少？CEB A【解析】由于180ABC DBE °∠+∠=，所以可以用共角定理，设2AB =份，3BC =份，则5BE =份， 325BD =+=份，由共角定理:():()(23):(55)6:25ABC BDE S S AB BC BE BD =××=××=△△，设6ABC S =△份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是250.512.5×=平方厘米，三角形BDE 的面积是12.5平方厘米【例 22】 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．FED CBA【解析】 :():()(11):(23)1:6BDE ABC S S BD BE BA BC =××=××=△△，:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA =××=××=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =××=××=△△设24ABC S =△份，则4BDE S =△份，4ADF S =△份，9CEF S =△份，244497DEF S =−−−=△份，恰好是7平方厘米，所以24ABC S =△平方厘米【例 23】 如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；延长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积．F EDCB AABCDEF【解析】(法1)本题是性质的反复使用． 连接AE 、CD ． ∵11ABC DBC S S =++，1ABC S =+， ∴S 1DBC =+．同理可得其它，最后三角形DEF 的面积18=．(法2)用共角定理∵在ABC +和CFE +中，ACB ∠与FCE ∠互补， ∴111428ABC FCE S AC BC S FC CE ⋅×===⋅×++． 又1ABC S =+，所以8FCE S =+． 同理可得6ADF S =+，3BDE S =+．所以186318DEF ABC FCE ADF BDE S S S S S =+++=+++=+++++．【例 24】 如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．HGAB CD EFHGA B CD EF【解析】连接AC 、BD ．根据共角定理 ∵在ABC △和BFE △中，ABC ∠与FBE ∠互补， ∴111133ABC FBE S AB BC S BE BF ⋅×===⋅×△△． 又1ABC S =△，所以3FBE S =△．同理可得8GCF S =△，15DHG S =△，8AEH S =△．所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△．所以213618ABCD EFGH S S ==．【例 25】如图，将四边形ABCD 的四条边AB 、CB 、CD 、AD 分别延长两倍至点E 、F 、G 、H ，若四边形ABCD 的面积为5，则四边形EFGH 的面积是 ．A B CD EF GHA B CD EF GH【解析】 连接AC 、BD ．由于2BE AB =，2BF BC =，于是4BEF ABC S S ΔΔ=，同理4HDG ADC S S ΔΔ=． 于是444BEF HDG ABC ADC ABCD S S S S S ΔΔΔΔ+=+=．再由于3AE AB =，3AH AD =，于是9AEH ABD S S ΔΔ=，同理9CFG CBD S S ΔΔ=． 于是999AEH CFG ABD CBD ABCD S S S S S ΔΔΔΔ+=+=．那么491260EFGH BEF HDG AEH CFG ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD S S S S S S S S S S ΔΔΔΔ=+++−=+−==．【例 26】 如图，1ABC S =△，5BC BD =，4AC EC =，DG GS SE ==，AF FG =．求FGS S +．SGF E DCBA【解析】本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的3种情况．最后求得FGS S △的面积为4321115432210FGS S =××××=△．练习1. (第三届“华杯赛”初赛试题）一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的15%，黄色三角形面积是221cm ．问：长方形的面积是多少平方厘米？红绿黄红【解析】 黄色三角形与绿色三角形的底相等都等于长方形的长，高相加为长方形的宽，所以黄色三角形与绿色三角形的面积和为长方形面积的50%，而绿色三角形面积占长方形面积的15%，所以黄色三角形面积占长方形面积的50%15%35%−=．已知黄色三角形面积是221cm ，所以长方形面积等于2135%60÷=（2cm ）．练习2. 如图，在平行四边形ABCD 中，EF 平行AC ，连结BE 、AE 、CF 、BF 那么与+BEC 等积的三角形一共有哪几个三角形？F DECBA【解析】 +AEC 、+AFC 、+ABF ．练习3. (97迎春杯决赛)如图，长方形ABCD 的面积是1，M 是AD 边的中点，N 在AB 边上，且2AN BN =.那么，阴影部分的面积是多少？【解析】 连接BM ，因为M 是中点所以ABM △的面积为14又因为2AN BN =，所以BDC △的面积为1114312×=，又因为BDC △面积为12，所以阴影部分的面积为：115112212−−=.练习4. 如图，三角形ABC 的面积是24，D 、E 和F 分别是BC 、AC 和AD 的中点．求三角形DEF 的面积．FE DC BA【解析】 三角形ADC 的面积是三角形ABC 面积的一半24212÷=，三角形ADE 又是三角形ADC 面积的一半1226÷=．三角形FED 的面积是三角形ADE 面积的一半，所以三角形FED 的面积623=÷=．练习5. 如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？EDCBA ABCDE【解析】 连接BE ．∵3EC AE = ∴3ABC ABE S S =++ 又∵5AB AD =∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷+++，∴1515ABC ADE S S ==++．练习6. 如图，在ABC △中，延长AB 至D ，使BD AB =，延长BC 至E ，使12CE BC =，F 是AC 的中点，若ABC △的面积是2，则DEF △的面积是多少？A BCDEF【解析】 ∵在ABC △和CFE △中，ACB ∠与FCE ∠互补，∴224111ABC FCE S AC BC S FC CE ⋅×===⋅×△△． 又2ABC S =+，所以0.5FCE S =+． 同理可得2ADF S =△，3BDE S =△．所以20.532 3.5DEF ABC CEF DEB ADF S S S S S =++−=++−=△△△△△。
直线型面积(一)
等积变形模块一：等积变形【例1】如下图所示，三角形ABC的面积是180平方厘米，D是BC的中点，AD是AE的3倍。
请问：三角形ABE的面积是多少平方厘米？【例2】如下图，已知AB=3AE，AC=2AD，三角形ABC的面积是36，求三角形AED的面积．【巩固】下图中,三角形ABC的面积是30平方厘米,D是BC的中点,AE的长是ED的长的2倍,那么三角形CDE的面积是多少平方厘米？【巩固】如右上图，在三角形ABC中，BC是DC的3倍，AC是EC的3倍．三角形DEC的面积是3平方厘米．请问：三角形ABC的面积是多少平方厘米？【巩固】如图，三角形ABC中，DC＝2BD，CE＝3AE，三角形ADE的面积是20平方厘米，三角形ABC的面积是多少？【例3】如下图，四边形ABCD是直角梯形。
其中AD=12，AB=8，BC=15，并且三角形ADE、四边形DEBF、三角形CDF的面积相等，请问阴影三角形DEF的面积是多少？△【巩固】如右图，D、E、F分别是BC、AD、BE的三等分点，已知S△ABC=27平方厘米，求S DEF【例4】计算下图中阴影部分的面积占长方形总面积的几分之几？【例5】如图，阴影部分的面积是总面积的（）【巩固】点P是长方形内任意一点，阴影部分的总面积与空白部分总面积比较（）A．S阴＞S白B．S阴＜S白C．S阴=S白【巩固】如下图，长方形AFEB和长方形FDCE拼成了长方形ABCD，长方形ABCD的长是20，宽是12，则它内部阴影部分的面积是______。
【巩固】如图，正方形ABCD的边长为6，AE＝1.5，CF＝2。
长方形EFGH的面积为____。
【巩固】如下图，E、F分别是梯形ABCD的下底BC和腰CD上的点，DF＝FC，并且甲、乙、丙3个三角形面积相等。
已知梯形ABCD的面积是32平方厘米。
求图中阴影部分的面积。
【例6】如图是由两个正方形拼起来的，边长分别是7厘米和11厘米．则阴影部分（三角形ABC）的面积是________平方厘米．【例7】如图，在长方形ABCD中，Y是BD的中点，Z是DY的中点，如果AB=24米，BC=8米，求三角形ZCY 的面积【巩固】如图：阴影三角形的面积是________．【巩固】如图：三角形ABC的面积是24平方厘米，是平行四边形BDEF面积的2倍．求阴影部分的面积．【例8】一块长方形的土地被分割成4个小长方形，其中三块的面积如下图所示（单位：平方米），请问：剩下一块的面积应该是多少平方米？【例9】如下图，有9个小长方形，其中的5个小长方形的面积分别为4,8,12,16,20平方米。
小学奥数平面直线型几何知识汇总
平面直线型几何专题吴哲孙雪艳2016年3月目录第1讲等积变形第2讲一半模型第3讲等高(等底)模型第4讲鸟头模型第5讲风筝模型第6讲蝴蝶模型第7讲沙漏模型和金字塔模型第8讲燕尾模型第1讲 等积变形【知识点分析】1、定义：图形形状发生变化，面积保持不变。
比如：对称、平移、旋转等都是保持图形面积。
2、常见类型：（1）同底等高—— 两平行线间的等积变形（平行线间距离处处相等） 平行线“拉点“法（A 1可以在L 1上随便拉到任何地方）112ABC A BC L //L S =S △△若，则技巧：平行线的来源A 、平行四边形(包括长方形和正方形)和梯形B 、已知平行C 、并排摆放的正方形的同方向对角线 （2）等底同高ABD ACD D BC S =S △△若为中点，则A 1CBAL 2L 1BC（3）等高等底12ABC EFG BC=FG h h S =S △△若、=，则3、本质：将三角形的面积关系转化成三角形底和高等对应的线段长度关系【典型例题】例1：将任意一的三角形分割为四个面积相等的小三角形，可以怎么分？你能想到多少种？【解题点拨】图中的点为中点、三等分点或四等分点ABFG例2：如图，在梯形A B C D 中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？【解题点拨】考察平行线间的等积变形，梯形上下两个底平行 以MP 为底：△MPN =△MPO 以NO 为底：△N OM=△NOP等量减等量，差相等：△MNQ =△POQ例3：正方形A B C D 和正方形C E F G ，且正方形A B C D 边长为20厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？【解题点拨】考察平行线间的等积变形，并排摆放的正方形的同方向对角线平行。
如图，连接CF ，则BD//CF,以CF 为底，△CFD 与△CFB 面积相等，同时减去△CFH，得到△BCH 与△DFH 面积相等，所以阴影部分面积就等于△BCD 的面积，等于20×20÷2=200平方厘米FCAFCA本题直接求阴影面积比较麻烦，利用等积变形巧妙转化方便解题。
小学六年级奥数系列讲座几何综合(含答案解析)
几何综合（一）几何图形的设计与构造．涉及比例与整数分解，需要添加辅助线、寻找规律或利用对称性解的较为复杂的直线形和圆的周长与面积计算问题．1．今有9盆花要在平地上摆成9行，其中每盆花都有3行通过，而且每行都通过3盆花．请你给出一种设计方案，画图时用点表示花，用直线表示行.【分析与解】如下图所示，我们给出四种不同的排法．2．已知如图12-1，一个六边形的6个内角都是120°，其连续四边的长依次是1、9、9、5厘米．求这个六边形的周长．【分析与解】如下图所示，将六边形的六条边分别延长，相交至三点，并将其标上字母，因为∠BAF=120°，而么∠IAF=180°-∠BAF=60°．又∠EFA=120°，而∠IFA=180°-∠EFA：60°，则△IAF为等边三角形．同理△BCG、△EHD、△IGH均为等边三角形．在△IAF中，有IA=IF=AF=9(厘米)，在△BGC中，有BG=GC=BC=1(厘米)，有IA+AB+BG=IG=9+9+1=19，即为大正三角形的边长，所以有IG=IH=GH=19(厘米)．则EH=IH-IF-FE=19-9-5=5(厘米)，在△EDH中，DH=EH=5(厘米)，所以CD=GH-GC-DH=19-1-5=13(厘米)．于是，原图中六边形的周长为1+9+9+5+5+13=42(厘米)．3．图12-2中共有16条线段，每两条相邻的线段都是互相垂直的．为了计算出这个图形的周长，最少要量出多少条线段的长度?【分析与解】如下图所示，我们想像某只昆虫绕图形爬行一周，回到原出发点，那么往右的路程等于往左的路程，往上的路程等于往下的路程．于是只用量出往右的路程，往下的路程，再将它们的和乘以2即为所求的周长．所以，最少的量出下列6段即可．4．将图12-3中的三角形纸片沿虚线折叠得到图12-4，其中的粗实线图形面积与原三角形面积之比为2：3．已知图12-4中3个画阴影的三角形面积之和为1，那么重叠部分的面积为多少?【分析与解】设重叠部分的面积为x，则原三角形面积为1+2x，粗实线的面棚为1+x.因此(1+2x)：(1+x)=3：2，解得x=1，即重叠部分面积为1．5．如图12-5，涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米．问：大正六角星形的面积是多少平方厘米?【分析与解】 如下图所示，在正六边形ABCDEF 中,与面积相等，12个组成小正六角星形，那么由6个及12个组成的正六边形的面积为16÷12×(12+6)=24(平方厘米)．而通过下图，我们知道，正六边形ABCDEF 可以分成6个小正三角形，并且它们面积相等，且与六个角的面积相等，所以大正六角星形的积为24÷6×12=48(平方厘米)．6．如图12-6所示，在三角形ABC 中，DC=3BD ，DE=EA ．若三角形ABC 的面积是1．则阴影部分的面积是多少?【分析与解】 △ABC 、△ADC 同高，所以底的比等于面积比，那么有33.44ADC ABC ABC DC S S S BC ∆∆∆=⨯=⨯=而E 为AD 中点，所以13.28DEC ADC S S ∆∆== 连接FD ，△DFE 、△FAE 面积相等，设,FEA S x ∆=则．FDE S ∆的面积也为x ，11.44ABD ABC S S ∆∆==12,4BDF ABD FEA FDE S S S S x ∆∆∆∆=--=-而3.8FDC FDE DEC S S S x ∆∆∆=+=+ 13:(2);()1:348BDF FDC S S x x ∆∆=-+=，解得356x =.所以，阴影部分面积为333.8567DEC FEA S S ∆∆+=+=7．如图12-7，P 是三角形ABC 内一点，DE 平行于AB ，FG 平行于BC ，HI 平行于CA ，四边形AIPD 的面积是12，四边形PGCH 的面积是15，四边形BEPF 的面积是20．那么三角形ABC 的面积是多少?【分析与解】 有平行四边形AIPD 与平行四边形PGCH 的面积比为IP 与PH 的比，即为12：15=4：5．同理有FP:PG=20:15=4:3， DP:PE=12:20=3:5．如图12-7(a)，连接PC 、HD ，有△PHC 的面积为152△DPH 与△PHC 同底PH ，同高，所以面积相等，即152DPH S ∆=，而△DPH 与△EP H 的高相等，所以底的比即为面积的比，有::3:5DPH EPH S S DP PE ∆∆==，所以551525.3322EPH DPH S S ∆∆=⨯=⨯⨯如图12-7(b)所示，连接FH 、BP ，4108;5IFP EPH FBP IP IP S S S PH PH ∆∆∆===⨯=如图12-7(c)所示，连接FD 、AP ，396.42DPG DFP APD PG PG S S S FP FP ∆∆∆===⨯=有925122015872.22ABC AIPD BEPFCGPHIFP DGP EHP S SSSS S S ∆∆∆∆=+++++=+++++=8．如图12-8，长方形的面积是小于100的整数，它的内部有三个边长是整数的正方形，①号正方形的边长是长方形长的512，②号正方形的边长是长方形宽的18．那么，图中阴影部分的面积是多少?【分析与解】 有①号正方形的边长为长方形长的512，则图中未标号的正方形的边长为长方形长的712. 而②号正方形的边长为宽的18，所以未标号的正方形的边长为长方形宽的78. 所以在长方形中有：712长=78宽，则长：宽=12：8，不妨设长的为12k ，宽为8k ，则①号正方形的边长为5k ，又是整数，所以k 为整数，有长方形的面积为962k ,不大于100．所以k 只能为1，即长方形的长为12，宽为8．于是，图中①号正方形的边长为5，②号正方形的边长为1，则未标号的正方形的边长为7，所以剩余的阴影部分的面积为： 22212851721.⨯---=9．如图12-9，三个一样大小的正方形放在一个长方形的盒内，A和B是两个正方形重叠部分，C，D，E是空出的部分，这些部分都是长方形，它们的面积比是A：B：C：D：E=1：2：3：4：5．那么这个长方形的长与宽之比是多少?【分析与解】以下用E横表示E部分横向的长度，E坚竖表示E部分竖向的长度，其他下标意义类似．有E横：D横=5：4，A横：B横=l：2．而E横+A横=D横+B横，所以有E横：D横：A横：B横=5：4：1：2．而A横+B横+C横=E横+A横对应为5+1=6，那么C横对应为3．而A面积：B面积：C面积=1：2：3，所以A坚=B坚=C坚．有A坚+C坚竖对应为6，所以A坚=C坚对应为3．那么长方形的竖边为6+C坚对应为9，长方形横边为E横+6+D横对应为5+6+4=15．所以长方形的长与宽的比为15：9=5：3．10．如图12-10，红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个正方形盒内，它们之间互相叠合．已知露在外面的部分中，红色的面积是20，黄色的面积是14，绿色的面积是lO．那么，正方形盒子的底面积是多少?【分析与解】如下图所示，我们将黄色的正方形纸片向左推向纸盒的过缘，有露在外面的部分，黄色减少的面积等于绿色增加的面积，也就是说黄色、绿色部分露在外面部分的面积和不变．并且有变化后，黄色露出面积+红色部分面积，绿色露出面积+红色部分面积，都是小正方形纸片边长乘以大正方形盒子边长的积．所以，黄色露出面积+红色部分面积=绿色露出面积+红色部分面积，于是．黄色露出面积=绿色露出面积，而它们的和为14+10=24，即黄色露出面积=绿色露出面积=12．有黄：空白=红：绿，12：空白=20：12，解得空白=7.2，所以整个正方形纸盒的底面积为12+7.2+20+12=51.2．11．如图12-11，在长260厘米，宽150厘米的台球桌上，有6个球袋A，B，C，D，E，F，其中AB=EF=130厘米．现在从4处沿45°方向打出一球，碰到桌边后又沿45°方向弹出，当再碰到桌边时，仍沿45°方向弹出，如此继续下去．假如球可以一直运动，直至落入某个球袋中为止，那么它将落人哪个袋中?【分析与解】将每个点的位置用一组数来表示，前一个数是这个点到FA的距离，后一个数是点到FD的距离，于是A的位置为(0，150)，球经过的路线为：(0,150)→(150,0) →(260,110) →(220，150) →(70，0) →(0，70) →(80，150) →(230,0) →(260，30) →(140，150) →(0，10) →(10，0) →(160，150) →(260，50) →(210,0) →(60，150) →(0，90) →(90，0) →(240，150) →(260，130) →(130，0)．因此，该球最后落入E袋．12．长方形ABCD是一个弹子盘，四角有洞．弹子从A出发，路线与边成45度角，撞到边界即反弹，并一直按此规律运动，直到落人一个洞内为止．如图12-12．当AB=4，AD=3时，弹子最后落入B洞．问：若AB=1995，AD=1994时，弹子最后落入哪个洞?在落入洞之前，撞击BC边多少次?【分析与解】撞击AD边的点，每次由A向D移动2；撞击BC边的点，每次由C向B移动2．因为第一次撞击BC边的点距C点1，第一次撞击AB边的点距A点为2，1994÷2=997．所以最后落人D洞，在此之前撞击BC边997次．13．10个一样大的圆摆成如图12-13所示的形状．过图中所示两个圆心A，B作直线，那么直线右上方圆内图形面积总和与直线左下圆内图形面积总和的比是多少?【分析与解】直线AB的右上方的有2个完整的圆，2个半圆，1个1个而1个1个正好组成一个完整的圆，即共有4个完整的圆．那么直线AB的左下方有10-4=6个完整的圆，每个圆的面积相等，所以直线右上方圆内图形面积总和与直线左下圆内图形面积总和的比是4：6=2：3．14．在图12-14中，一个圆的圆心是0，半径r=9厘米，∠1=∠2=15°.那么阴影部分的面积是多少平方厘米?( 取3.14)【分析与解】有AO=OB，所以△A OB 为等腰三角形，AO=OC，所以△A OC为等腰三角形.∠ABO=∠1=15°，∠AOB=180°-∠1-∠ABO=150°. ∠ACO=∠2=15°,∠AOC=180°-∠2-∠ACO=150°. 所以 ∠BOC=360°-∠AOB-∠AOC=60°，所以扇形BOC 的面积为260942.39360π⨯⨯≈(平方厘米)．15．图12-15是由正方形和半圆形组成的图形．其中P 点为半圆周的中点，Q 点为正方形一边的中点．已知正方形的边长为10，那么阴影部分的面积是多少?(π取3.14)【分析与解】 过P 做AD 平行线，交AB 于O 点，P 为半圆周的中点，所以0为AB 中点．有2ABCD DPC 101S 1010100S 12.522ππ=⨯==⨯⨯=半圆，（）. AOP OPQB 101101S 510+37.5S 105550.2222∆⎡⎤⎛⎫=⨯⨯==++⨯⨯= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦梯形（）， 阴影部分面积为ABCD AOP DPC OPQB S S S S 10012.537.55012.512.551.75.ππ∆+-=+--=+≈半圆梯形-几何综合(二)内容概述勾股定理，多边形的内角和，两直线平行的判别准则，由平行线形成的相似三角形中对应线段和面积所满足的比例关系．与上述知识相关的几何计算问题．各种具有相当难度的几何综合题．典型问题2．如图30-2，已知四边形ABCD 和CEFG 都是正方形，且正方形ABCD 的边长为10厘米，那么图中阴影三角形BFD 的面积为多少平方厘米?【分析与解】 方法一：因为CEFG 的边长题中未给出，显然阴影部分的面积与其有关．设正方形CEFG 的边长为x ，有：=1010=100,ABCD S ⨯正方形2=x ,S 正方形CEFG 21110x-x =DG GF=(10-x)x=,222DGF S ∆⨯又1=1010=50,2ABD S ∆⨯⨯2110x+x =(10+x)x=.22BEF S ∆ 阴影部分的面积为:DGF ABD BEF ABCD CEFG S S S S S ∆∆∆++--正方形正方形2221010100505022x x x x x -+=++--=(平方厘米).方法二：连接FC ，有FC 平行与DB ，则四边形BCFD 为梯形．有△DFB 、△DBC 共底DB ，等高，所以这两个三角形的面积相等，显然,△DBC 的面积11010502⨯⨯=(平方厘米)．阴影部分△DFB的面积为50平方厘米．4.如图30-4，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I等于多少度?【分析与解】为了方便所述，如下图所示，标上数字，有∠I=1800-(∠1+∠2),而∠1=1800-∠3,∠2=1800-∠4,有∠I=∠3+∠4-1800同理,∠H=∠4+∠5-1800,∠G=∠5+∠6-1800,∠F=∠6+∠7-1800,∠E=∠7+∠8-1800, ∠D=∠8+∠9-1800,∠C=∠9+∠10-1800,∠B=∠10+∠11-1800,∠A=∠11+∠3-1800则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I=2×(∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8+∠9+∠10+∠11)-9×1800而∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8+∠9+∠10+∠11正是9边形的内角和为(9-2)×1800=12600．所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I=2×12600-9×1800=90006．长边和短边的比例是2：1的长方形称为基本长方形．考虑用短边互不相同的基本长方形拼图，要求任意两个基本长方形之间既没有重叠，也没有空隙.现在要用短边互不相同且最小短边长为1的5个基本长方形拼接成一个更大的长方形．例如，短边长分别是1，2，5，6，12的基本长方形能拼接成大长方形，具体案如图30-6所示．请给出这5个基本长方形所有可能的选择方式.设a1=1<a2<a3<a4<a5分别为5条短边的长度,则我们将这种选择方式记为(a1,a2,a3,a4,a5),这里无需考虑5个基本长方形的拼图方案是否惟一．【分析与解】我们以几个不同的基本长方形作为分类依据，并按边长递增的方式一一列出．第一类情况：以为特征的有7组：第二类情况：以为特征的有6组：第三类情况有如下三组：共有16组解，它们是：(1，2，2.5，5，7.25)，(1，2，2．5，5，14.5)．(1，2，2.25，2.5，3.625)，(1，2，2.25，2.5，7.25)．(1，2，5，5.5，6)，(1，2，5，6，11)，(1，2，2.5，4.5，7)，(1，2，2.5，4.5，14)，(1，2，5，12，14.5)，(1，2，5，12，29)，(1，2，2.25，2.5，4.5)，(1，2，5，6，12). 1020251,,2,,,999⎛⎫ ⎪⎝⎭(1,2,2.4,4.8,5), 131025147813101,,,,,1,,,,636333313⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.8.如图30-8，ABCD 是平行四边形，面积为72平方厘米，E ，F 分别为边AB,BC 的中点．则图形中阴影部分的面积为多少平方厘米?【分析与解】 如下图所示，连接EC ，并在某些点处标上字母，因为AE 平行于DC ，所以四边形AECD 为梯形，有AE:DC=1:2，所以:1:4AEG DCG S S ∆∆=, AGD ECG AEG DCG S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯,且有AGD ECG S S ∆∆=,所以:1:2AEG ADG S S ∆∆=,而这两个三角形高相同，面积比为底的比，即EG ：GD=1:2，同理FH ：HD=1:2．有AED AEG AGD S S S ∆∆∆=+,而111822AED ABCD S S ∆=⨯⨯=(平方厘米) 有EG:GD=:AEG AGB S S ∆∆,所以1612AEG AED S S ∆∆=⨯=+(平方厘米) 21212AGD AED S S ∆∆=⨯=+(平方厘米) 同理可得6HFC S ∆=(平方厘米), 12DCH S ∆=(平方厘米),44624DCG AEG S S ∆∆==⨯=(平方厘米)又GHD DCG DCH S S S ∆∆∆=-=24-12=12(平方厘米)所以原题平行四边形中空白部分的面积为6+6+12=24(平方厘米)，所以剩下的阴影部分面积为72-24=48(平方厘米)．10．图30-10是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米．问：阴影部分的面积是多少平方厘米?【分析与解】 如下图所示，为了方便所叙，将某些点标上字母，并连接BG ．设△AEG 的面积为x ，显然△EBG 、△BFG 、△FCG 的面积均为x ，则△ABF 的面积为3x ，120101002ABF S ∆=⨯⨯=即1003x =，那么正方形内空白部分的面积为40043x =. 所以原题中阴影部分面积为400800202033⨯-= (平方厘米)．12．如图30-12，若图中的圆和半圆都两两相切，两个小圆和三个半圆的半径长都是1．求阴影部分的面积．【分析与解】 如下图所示，左图中的3个阴影部分面积相等，右图中的3个阴影部分的面积也相等．我们把左下图中的每一部分阴影称为A ，右下图中的每一部分阴影称为B ．大半圆的面积为13332A B ++小圆的面积219322ππ=⨯⨯=而小圆的面积为π，则9133223A B πππ⎛⎫+=-÷= ⎪⎝⎭， 原题图中的阴影部分面积为小半圆面积与阴影A 、B 的面积和，即为5236πππ+=14.如图30-14，将长方形ABCD 绕顶点C 顺时针旋转90度，若AB=4，BC=3，AC=5，求AD 边扫过部分的面积．(π取3.14)【分析与解】 如下图所示，如下图所示，端点A 扫过的轨迹为AA A '''，端点D 扫过轨迹为DD D '''，而AD 之间的点，扫过的轨迹在以A 、D 轨迹，AD ，A D ''所形成的封闭图形内，且这个封闭图形的每一点都有线段AD 上某点扫过，所以AD 边扫过的图形为阴影部分．显然有阴影部分面积为A D C ACA ACD S S S S ''''∆∆+--直角扇形直角扇形CD D ,而直角三角形A D C ''、ACD 面积相等．所以=A D C ACA ACD ACA S S S S S S ''''''∆∆+---直角扇形直角扇形CD D 扇形扇形CD D222290909=(54)7.065()36036044AC CD ππππ-=-==平方厘米即AD 边扫过部分的面积为7．065平方厘米．。
小学奥数平面直线型几何知识汇总
平面直线型几何专题吴哲孙雪艳2016年3月目录第1讲等积变形第2讲一半模型第3讲等高(等底)模型第4讲鸟头模型第5讲风筝模型第6讲蝴蝶模型第7讲沙漏模型和金字塔模型第8讲燕尾模型第1讲 等积变形【知识点分析】1、定义：图形形状发生变化，面积保持不变。
比如：对称、平移、旋转等都是保持图形面积。
2、常见类型：（1）同底等高—— 两平行线间的等积变形（平行线间距离处处相等） 平行线“拉点“法（A 1可以在L 1上随便拉到任何地方）112ABC A BC L //L S =S △△若，则技巧：平行线的来源A 、平行四边形(包括长方形和正方形)和梯形B 、已知平行C 、并排摆放的正方形的同方向对角线 （2）等底同高ABD ACD D BC S =S △△若为中点，则A 1CBAL 2L 1BC（3）等高等底12ABC EFG BC=FG h h S =S △△若、=，则3、本质：将三角形的面积关系转化成三角形底和高等对应的线段长度关系【典型例题】例1：将任意一的三角形分割为四个面积相等的小三角形，可以怎么分？你能想到多少种？【解题点拨】图中的点为中点、三等分点或四等分点ABFG例2：如图，在梯形A B C D 中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？【解题点拨】考察平行线间的等积变形，梯形上下两个底平行 以MP 为底：△MPN =△MPO 以NO 为底：△N OM=△NOP等量减等量，差相等：△MNQ =△POQ例3：正方形A B C D 和正方形C E F G ，且正方形A B C D 边长为20厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？【解题点拨】考察平行线间的等积变形，并排摆放的正方形的同方向对角线平行。
如图，连接CF ，则BD//CF,以CF 为底，△CFD 与△CFB 面积相等，同时减去△CFH，得到△BCH 与△DFH 面积相等，所以阴影部分面积就等于△BCD 的面积，等于20×20÷2=200平方厘米FCAFCA本题直接求阴影面积比较麻烦，利用等积变形巧妙转化方便解题。
思维数学-基本直线型面积公式
基本直线型面积公式知识精讲在几何中，所谓直线形就是指由线段构成的图形。
在日常生活中，我们最常见的直线形有以下几种：正方形、长方形、平行四边形、三角形、梯形.在有关直线形的计算中，计算周长和计算而积是最常见的两类。
我们已经学过了如何计算直线形的周长，接下来我们将学习如何计算直线型的面积。
正方形的面积和长方形的面积公式是我们所熟悉的，如图1 ：试一试正方形的边长是6厘米，面积是平方厘米。
长方形的长是8厘米，宽为4厘米，面积是平方厘米。
正方形面积是121平方厘米。
它的边长是厘米。
长方形的面积是48平方厘米，宽为4厘米，长为厘米。
例题1如图，有一块长方形田地被分成了五小块，分别栽种了茄子、黄瓜、豆角、莴笋和苦瓜，其中茄子地的面积是16平方米，黄瓜地的面积是28平方米，豆角地的面积是32平方米，莴笋地的面积是72平方米，而且左上角茄子地恰好是一个正方形。
请问：剩下的苦瓜地的面积是多少？「分析」左上角是面积为16的正方形，那么它的边长是多少？你还能求出哪些线段的长度呢？练习1如图，有一块长方形田地被分成了四小块，分别栽种了冬瓜、西瓜、南瓜、黄瓜，其中冬瓜地的面积是24平方米，西瓜地的面积是36平方米，南瓜地的面积是18平方米，而且左下角西瓜地恰好是一个正方形.请问：剩下的黄瓜地的面积是多少？如图，平行四边形的两组对边平行且相等，我们把两组对边用不同颜色标出来为了计算平行四边形的面积，我们可以把平行四边形切成两块，然后拼成一个长方形。
如图这个平行四边形的面积和拼成长方形的面积相同，都等于长方形的长×宽。
长方形的长和宽在平行四边形中都可以找到对应线段，在平行四边形中，这两条线段分别叫做底和高。
于是：平行四边形面积=底×高如图所示，同学们可以画出这条底对应的若干条高，并且这些高是相等的，都等于上下两条平行线间的距离当然我们可以用另一种方式把上面的平行四边形剪拼成一个长方形，如图1所示。
同样得到相对于这条底的若干条高，如图2所示，这些高也是相等的，都等于左右两条平行线间的距离。
奥数几何问题求直线型面积解题方法
奥数几何问题求直线型面积解题方法奥数几何问题求直线型面积解题方法常见解题方法1、代数法将图形按形状、大小分类，并设合适的未知数，通过建立方程或方程组来解出阴影部分面积的方法，或者通过未知数建立等量关系，不一定要求出未知数！例、一个大长方形若能分割成若干个大小不同的小正方形，则称为完美长方形。
下面一个长方形是由9个小正方形组成的完美长方形。
图中正方形A和B的边长分别是7厘米和4厘米，那么这个完美长方形的面积是多少平方厘米？(六年级7月4日天天练)2、和差法有一些图形结构复杂，通过观察，分析出不规则图形的面积是由哪些规则图形组合而成的，再利用这些规则图形的面积的和或差来求，从而达到化繁为简的目的。
例、小两个正方形组成下图所示的组合图形。
已知组合图形的周长是52厘米，DG=4厘米，求阴影部分的面积。
(7月5日天天练) 例、小两个正方形组成下图所示的组合图形。
已知组合图形的周长是52厘米，DG=4厘米，求阴影部分的面积。
(四年级7月5日天天练)3、转化法此法就是通过等积变换（重点将在几何五大模型中介绍）、平移、旋转、对称等方法将不规则的图形转化成面积相等的`规则图形，再利用规则图形的面积公式，计算出所求的不规则图形的面积。
4、割补拼接法将不规则图形割补拼接成规则图形，利用规则图形的面积公式求出原不规则图形的面积。
5、差不变原理一个量可以用它的等量来代替；被减数和减数都增加（或减少）同一个数，它们的差不变。
前者是等量公理，后者是减法的差不变性质。
这两个性质在解几何题时有很重要的作用，它能将求一个图形的面积转化为求另一个图形的面积，或将两个图形的面积差转化为另两个图形的面积差，从而使隐蔽的关系明朗化，找到解题思路。
6、容斥原理就是把所求阴影部分的面积问题转化为可求面积的规则图形的重叠部分的方法。
这类题阴影一般是由几个图形叠加而成。
要准确认清其结构，理顺图形间的大小关系。
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直线图形面积计算一：利用倍数关系求解面积六年级[暑假一]
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名师堂学校方法讲义之一年级：六年级日期：7月8日直线图形—利用倍数关系求面积【方法与技能】我们已经学过的直线型图形包括三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形等图形，一般称为基本图形或规则图形.我们的面积及周长都有相应的公式直接计算.根据图形之间长与宽、底与高的倍数关系求解图形面积是近年来各类竞赛与考试经常出现的考点。
在这类问题中，我们可以采用等分法求解，也可以用倍比法求解。
即根据等底或等高的平行四边形、三角形，它们的高（或底）的倍数关系就是面积的倍数关系，从而顺利求解。
【典型例题】例1：已知三角形ABC的面积为1，BE=2AB，BC=CD，求三角形BDE的面积？（下页图）例2：如右图，A为△CDE的DE边上中点，3BC=CD，若△ABC（阴影部分）面积为5平方厘米.求△ABD及△ACE的面积.例3：如下页右上图，在正方形ABCD中，三角形ABE的面积是8平方厘例4：如右图，已知：S△ABC=1，例5：如下图，在三角形ABC中，DC=2BD，CE=3AE，三角形ADE的面积是20平方厘米，求三角形ABC的面积。
例6：上右图所示三个小平行四边形的面积是12平方厘米、25平方厘米和42平方厘米。
那么大平行四边形的面积是多少平方厘米？例7：如下左图：已知梯形中两个三角形的面积分别是8平方厘米和12平方厘米，梯形的面积是多少平方厘米？名师课堂——关键教方法名师堂市中心校区地址：顺城街体育场路2号商业很行六楼8661966286741998AB CE12 4225812D【应用拓展】1、如下图是由四个小长方形拼接而成的大长方形，其中三个小长方形的面积分别是24平方分米、15平方分米和25平方分米。
那么，图中阴影部分的面积是多少平方分米？2、如下左图，由九个小长方形拼接成大长方形，其中三个小长方形的面积分别时15平方米、30平方米和45平方米。
图中阴影部分的面积是多少平方米？3、如上右图，BD 、DE 、EC 的长分别是2、4、2，F 是线段AE 的中点，△ABC 的高为4，△DEF 的面积是（ ）。
小学奥数-直线型面积讲义图文版
1. 熟练运用直线型面积的最基本性质——等积变形；2. 熟练掌握直线型面积的两个模型： （1）等积变形 （2）鸟头模型直线型面积求解是在以三角形、长方形、正方形、梯形等一些规则图形为基础上进行的。
最基本的思想是等积变形。
一、等积变形①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图12::S S a b =baS 2S 1 DC BA③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△EDCBAEDA知识精讲教学目标第一讲 直线型面积（一）板块一、等积变形【例 1】 如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积．FE CBAFE C【解析】 本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用．连接BH 、CH ． ∵AE EB =，∴AEH BEH S S =△△．同理，BFH CFH S S =△△，S =S CGH DGH ，∴11562822ABCD S S ==⨯=阴影长方形(平方厘米)．【巩固】图中的E 、F 、G 分别是正方形ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是 ．E GCB654321HBCG E【例 2】 如图，有三个正方形的顶点D 、G 、K 恰好在同一条直线上，其中正方形GFEB 的边长为10厘米，求阴影部分的面积．KO QH G F EB A K O QH GF EBA【解析】 对于这种几个正方形并排放在一起的图形，一般可以连接正方形同方向的对角线，连得的这些对角线互相都是平行的，从而可以利用面积比例模型进行面积的转化．如右图所示，连接FK 、GE 、BD ，则////BD GE FK ，根据几何五大模型中的面积比例模型，可得DGE BGE S S ∆∆=，KGE FGE S S ∆∆=，所以阴影部分的面积就等于正方形GFEB 的面积，即为210100=平方厘米．【巩固】右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC 的面积．GAB CDGAB CDF【巩固】(2008年西城实验考题)如图，ABCD 与AEFG 均为正方形，三角形ABH 的面积为6平方厘米，图中阴影部分的面积为 ．BE FHBCEFH【巩固】正方形ABCD 和正方形CEFG ，且正方形ABCD 边长为10厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？D G HE CCEHG D【例 3】 长方形ABCD 的面积为362cm ，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？HGE【解析】 解法一：寻找可利用的条件，连接BH 、HC ，如下图：H E可得：12EHB AHB S S ∆∆=、12FHB CHB S S ∆∆=、12DHG DHC S S ∆∆=，而36ABCD AHB CHB CHD S S S S ∆∆∆=++= 即11()361822EHB BHF DHG AHB CHB CHD S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++=⨯=；而EHB BHF DHG EBF S S S S S ∆∆∆∆++=+阴影，11111()()36 4.522228EBF S BE BF AB BC ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯=．所以阴影部分的面积是：1818 4.513.5EBF S S ∆=-=-=阴影 解法二：特殊点法．找H 的特殊点，把H 点与D 点重合，那么图形就可变成右图：GE (H )这样阴影部分的面积就是DEF ∆的面积，根据鸟头定理，则有：11111113636363613.52222222ABCD AED BEF CFD S S S S S ∆∆∆=---=-⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯=阴影．【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P 点连接,求阴影部分面积．P CAA CPCA【例 4】 (2007首届全国资优生思维能力测试)ABCD 是边长为12的正方形，如图所示，P 是内部任意一点，4BL DM ==、5BK DN ==，那么阴影部分的面积是 ．PKK P【解析】 （法1）特殊点法．由于P 是内部任意一点，不妨设P 点与A 点重合(如上中图)，那么阴影部分就是AMN ∆和ALK ∆．而AMN ∆的面积为(125)4214-⨯÷=，ALK ∆的面积为(124)5220-⨯÷=，所以阴影部分的面积为142034+=．（法2）寻找可以利用的条件，连接AP 、BP 、CP 、DP 可得右上图所示：则有:211127222PDC PAB ABCD S S S ∆∆+==⨯=同理可得：72PAD PBC S S ∆∆+=;而::4:121:3PDM PDC S S DM DC ∆∆===,即13PDM PDC S S ∆∆=；同理：13PBL PAB S S ∆∆=,512PND PDA S S ∆∆=,512PBK PBC S S ∆∆=;所以：15()()()()312PDM PBL PND PBK PDC PAB PDA PBC S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆+++=+++而()()()()PDM PBL PND PBK PNM PLK DNM BLK S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆+++=+++阴影面积；145102DNM BLK S S ∆∆==⨯⨯=；所以阴影部分的面积是：15()()()312PNM PLK PDC PAB PDA PBC DNM BLK S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆+=+++-+即为：15727210224302034312⨯+⨯-⨯=+-=．【例 5】 (2008年四中考题)如右图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC∆的面积是 平方厘米．DADA【解析】 连接CD ．根据题意可知，DEF ∆的面积为DAC ∆面积的13，DAC ∆的面积为ABC ∆面积的12，所以DEF ∆的面积为ABC ∆面积的111236⨯=．而DEF ∆的面积为5平方厘米，所以ABC ∆的面积为15306÷=(平方厘米)．【巩固】图中三角形ABC 的面积是180平方厘米，D 是BC 的中点，AD 的长是AE 长的3倍，EF 的长是BF长的3倍．那么三角形AEF 的面积是多少平方厘米？F ECBA【例 6】 如图，大长方形由面积是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方形组合而成．求阴影部分的面积．48cm 224cm 236cm 212cm 2MNB A12cm 236cm 224cm 248cm 2【解析】 如图，将大长方形的长的长度设为1，则12112364AB ==+，24124483CD ==+，所以1113412MN =-=，阴影部分面积为211(12243648)5(cm )212+++⨯⨯=．【例 7】 (2009年第七届”希望杯”二试六年级)如图，在三角形ABC 中，已知三角形ADE 、三角形DCE 、三角形BCD 的面积分别是89，28，26．那么三角形DBE 的面积是 ．D【解析】 根据题意可知，8928117ADCADE DCE S S S ∆∆∆=+=+=，所以::26:1172:9BDC ADC BD AD S S ∆∆===， 那么::2:9DBE ADE S S BD AD ∆∆==，故222789(901)2019S =⨯=-⨯=-=．【例 8】 O 是长方形ABCD 内一点，已知OBC ∆的面积是25cm ，OAB ∆的面积是22cm ，求OBD ∆的面积是多少？POD C B【解析】 由于ABCD 是长方形，所以12AOD BOC ABCD S S S ∆∆+=，而12ABD ABCD S S ∆=，所以AOD BOC ABD S S S ∆∆∆+=，则BOC OAB OBD S S S ∆∆∆=+，所以2523cm OBD BOC OAB S S S ∆∆∆=-=-=．【例 9】 如右图，过平行四边形ABCD 内的一点P 作边的平行线EF 、GH ，若PBD ∆的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF 的面积比平行四边形PGAE 的面积大多少平方分米？CEFHPCEFH P【解析】 根据差不变原理，要求平行四边形PHCF 的面积与平行四边形PGAE 的面积差，相当于求平行四边形BCFE 的面积与平行四边形ABHG 的面积差． 如右上图，连接CP 、AP ．由于12BCP ADP ABP BDP ADP ABCD S S S S S S ∆∆∆∆∆+=++=，所以BCP ABP BDP S S S ∆∆∆-=．而12BCP BCFE S S ∆=，12ABP ABHG S S ∆=，所以()2216BCFE ABHG BCP ABP BDP S S S S S ∆∆∆-=-==(平方分米)．【例 10】 如右图，正方形ABCD 的面积是20，正三角形BPC ∆的面积是15，求阴影BPD ∆的面积．PBAOAB P【解析】 连接AC 交BD 于O 点，并连接PO ．如下图所示，可得//PO DC ，所以DPO ∆与CPO ∆面积相等(同底等高)，所以有：BPO CPO BPO PDO BPD S S S S S ∆∆∆∆∆+=+=，因为1120544BOC ABCD S S ∆==⨯=，所以15510BPD S ∆=-=．【巩固】如右图，正方形ABCD 的面积是12，正三角形BPC ∆的面积是5，求阴影BPD ∆的面积．PBAOAB DP【例 11】 (2008年”华杯赛”决赛)右图中，ABCD 和CGEF 是两个正方形，AG 和CF 相交于H ，已知CH等于CF 的三分之一，三角形CHG 的面积等于6平方厘米，求五边形ABGEF 的面积．HG F E D C B AHGF ED CB A【解析】 连接AC 、GF ，由于AC 与GF 平行，可知四边形ACGF 构成一个梯形．由于HCG ∆面积为6平方厘米，且CH 等于CF 的三分之一，所以CH 等于FH 的12，根据梯形蝴蝶定理或相似三角形性质，可知FHG ∆的面积为12平方厘米，AHF ∆的面积为6平方厘米，AHC ∆的面积为3平方厘米．那么正方形CGEF 的面积为()612236+⨯=平方厘米，所以其边长为6厘米．又AFC ∆的面积为639+=平方厘米，所以9263AD =⨯÷=(厘米)，即正方形ABCD 的边长为3厘米．那么，五边形ABGEF 的面积为：21369349.52++⨯=(平方厘米)．【例 12】 如图，已知长方形ADEF 的面积16，三角形ADB 的面积是3，三角形ACF 的面积是4，那么三角形ABC 的面积是多少？F ED CB AF ED CB A F ED CB A【解析】 方法一：连接对角线AE ． ∵ADEF 是长方形∴12ADE AEF ADEF S S S ∆∆==∴38ADB ADE S DB DE S ∆∆==， 12ACF AEF S FC EF S ∆∆== 5BE DE DB -1CE FE CF -∴1515162822BEC S ∆=⨯⨯⨯=∴132ABC ADEFADB ACF CBE S SS S S ∆∆∆∆=---=． 方法二：连接BF ，由图知1628ABF S =÷=△，所以16835BEF S =--=△，又由4ACF S =△，恰好是AEF △面积的一半，所以C 是EF 的中点，因此52 2.5BCE BCF S S ==÷=△△，所以1634 2.5 6.5ABC S =---=△【例 13】 (第七届”小机灵杯”数学竞赛五年级复赛)如图所示，三角形ABC 中，D 是AB 边的中点，E 是AC边上的一点，且3AE EC =，O 为DC 与BE 的交点．若CEO ∆的面积为a 平方厘米，BDO ∆的面积为b 平方厘米．且b a -是2.5平方厘米，那么三角形ABC 的面积是 平方厘米．E baOD CBA【解析】 12ABC BCD BCO S S b S ∆∆∆==+，14ABC BCE BCO S S a S ∆∆∆==+，所以112.524ABC ABC S S b a ∆∆-=-=(平方厘米)．所以 2.5410ABC S ∆=⨯=(平方厘米)．【例 14】 如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE =，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米？G FD C【解析】 如下图，连接FC ，DBF 、BFG 的面积相等，设为x 平方厘米;FGC 、DFC 的面积相等，设为y 平方厘米，那么DEF 的面积为13y 平方厘米．xyy x GFE DCBA221BCD S x y =+=，BDE 111S =x+y=l 333⨯=．所以有0.531x y x y +=⎧⎨+=⎩①②．比较②、①式，②式左边比①式左边多2x ，②式右边比①式右边大0.5，有20.5x =，即0.25x =,0.25y =．而阴影部分面积为2550.253312y y +=⨯=平方厘米．【例 15】 (2008年第一届”学而思杯”综合素质测评六年级2试)如图，45BC =，21AC =，ABC ∆被分成9个面积相等的小三角形，那么DI FK += ．KJIH GFE DC B A【解析】 由题意可知，::2:9BAD ABC BD BC S S ∆∆==，所以2109BD BC ==，35CD BC BD =-=；又::2:5DIF DFC DI DC S S ∆∆==，所以2145DI DC ==，同样分析可得10FK =，所以141024DI FK +=+=．【巩固】（2009年清华附中入学测试题）如图，在角MON 的两边上分别有A 、C 、E 及B 、D 、F 六个点，并且OAB ∆、ABC ∆、BCD ∆、CDE ∆、DEF ∆的面积都等于1，则DCF ∆的面积等于 ．OBD FN【例 16】 (2009年四中入学测试题)如图，已知5CD =，7DE =，15EF =，6FG =，线段AB 将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG 的面积是 ．GFE DC BAABC DE FG【解析】 连接AF ，BD ．根据题意可知，571527CF =++=；715628DG =++=；所以，1527BE CBF F S S ∆∆=，1227BE CBF C S S ∆∆=，2128AEG ADG S S ∆∆=，728AED ADG S S ∆∆=，于是：2115652827ADG CBF S S ∆∆+=；712382827ADG CBF S S ∆∆+=；可得40ADG S ∆=．故三角形ADG 的面积是40．【例 17】 (2008年走美六年级初赛)如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，8AB =，15AD =，四边形EFGO 的面积为 ．O GFEDBA【解析】 利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和，以及三角形AOE 和DOG 的面积之和，进而求出四边形EFGO 的面积．由于长方形ABCD 的面积为158120⨯=，所以三角形BOC 的面积为1120304⨯=，所以三角形AOE 和DOG 的面积之和为312070204⨯-=；又三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和为111203024⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，所以四边形EFGO 的面积为302010-=． 另解：从整体上来看，四边形EFGO 的面积=三角形AFC 面积+三角形BFD 面积-白色部分的面积，而三角形AFC 面积+三角形BFD 面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即1207050-=，所以四边形的面积为605010-=．【巩固】(2008年”华杯赛”初赛)如图所示，矩形ABCD 的面积为24平方厘米．三角形ADM 与三角形BCN的面积之和为7.8平方厘米，则四边形PMON 的面积是 平方厘米．NOMPDCBA【例 18】 (清华附中分班考试题)如图，如果长方形ABCD 的面积是56平方厘米，那么四边形MNPQ 的面积是多少平方厘米？3PD C B333D CB【解析】 如图，过M 、N 、P 、Q 分别作长方形ABCD 的各边的平行线．易知交成中间的阴影正方形的边长为3厘米，面积等于9平方厘米．设MQD ∆、NAM ∆、PBN ∆、QCP ∆的面积之和为S ，四边形MNPQ的面积等于x ，则569x S x S +=⎧⎨-=⎩，解得32.5x =(平方厘米)．板块二 鸟头模型【例 19】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCBA【解析】 连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△，::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =⨯⨯△△，设8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ．【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E DCBAA BCDE甲乙【解析】 连接AD ．∵3BE =，6AE =∴3AB BE =，3ABD BDE S S = 又∵4BD DC ==，∴2ABC ABD S S =，∴6ABC BDE S S =，5S S =乙甲．【例 20】 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBA EDCBA【解析】 连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=⨯+⨯△△，所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =⨯⨯+=△△，设6ADE S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例 21】 如图，三角形ABC 的面积为3平方厘米，其中:2:5AB BE =，:3:2BC CD =，三角形BDE 的面积是多少？AB EC DDC EB A【解析】 由于180ABC DBE ︒∠+∠=，所以可以用共角定理，设2AB =份，3BC =份，则5BE =份，325BD =+=份，由共角定理:():()(23):(55)6:25ABC BDE S S AB BC BE BD =⨯⨯=⨯⨯=△△，设6ABC S =△份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是250.512.5⨯=平方厘米，三角形BDE 的面积是12.5平方厘米【例 22】 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．FED CBA【解析】 :():()(11):(23)1:6BDE ABC S S BD BE BA BC =⨯⨯=⨯⨯=△△，:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA =⨯⨯=⨯⨯=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△设24ABC S =△份，则4BDE S =△份，4ADF S =△份，9CEF S =△份，244497DEF S =---=△份，恰好是7平方厘米，所以24ABC S =△平方厘米【例 23】 如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；延长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积．F EDCB AABCDEF【解析】 (法1)本题是性质的反复使用．连接AE 、CD ． ∵11ABC DBC S S =，1ABC S =， ∴S 1DBC =．同理可得其它，最后三角形DEF 的面积18=．(法2)用共角定理∵在ABC 和CFE 中，ACB ∠与FCE ∠互补， ∴111428ABC FCE S AC BC S FC CE ⋅⨯===⋅⨯． 又1ABCS=，所以8FCES=．同理可得6ADFS =，3BDES=．所以186318DEFABCFCEADFBDESS SS S=+++=+++=．【例 24】 如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．HGAB CD EFHGA B CD EF【解析】 连接AC 、BD ．根据共角定理∵在ABC △和BFE △中，ABC ∠与FBE ∠互补，∴111133ABC FBE S AB BC S BE BF ⋅⨯===⋅⨯△△． 又1ABC S =△，所以3FBE S =△．同理可得8GCF S =△，15DHG S =△，8AEH S =△．所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△．所以213618ABCD EFGH S S ==．【例 25】 如图，将四边形ABCD 的四条边AB 、CB 、CD 、AD 分别延长两倍至点E 、F 、G 、H ，若四边形ABCD 的面积为5，则四边形EFGH 的面积是 ．A B CD E F GHA B CD EF GH【解析】 连接AC 、BD ．由于2BE AB =，2BF BC =，于是4BEF ABC S S ∆∆=，同理4HDG ADC S S ∆∆=．于是444BEF HDG ABC ADC ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=．再由于3AE AB =，3AH AD =，于是9AEH ABD S S ∆∆=，同理9CFG CBD S S ∆∆=． 于是999AEH CFG ABD CBD ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=．那么491260EFGH BEF HDG AEH CFG ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD S S S S S S S S S S ∆∆∆∆=+++-=+-==．【例 26】 如图，1ABC S =△，5BC BD =，4AC EC =，DG GS SE ==，AF FG =．求FGSS．SGF E DCBA【解析】 本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的3种情况．最后求得FGS S △的面积为4321115432210FGS S =⨯⨯⨯⨯=△．练习1. (第三届“华杯赛”初赛试题）一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的15%，黄色三角形面积是221cm ．问：长方形的面积是多少平方厘米？红绿黄红练习2. 如图，在平行四边形ABCD 中，EF 平行AC ，连结BE 、AE 、CF 、BF 那么与BEC 等积的三角形一共有哪几个三角形？F DECBA练习3. (97迎春杯决赛)如图，长方形ABCD 的面积是1，M 是AD 边的中点，N 在AB 边上，且2AN BN =.那么，阴影部分的面积是多少？课后练习练习4. 如图，三角形ABC 的面积是24，D 、E 和F 分别是BC 、AC 和AD 的中点．求三角形DEF 的面积．FE DCBA练习5. 如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？E D CBA AB CD E练习6. 如图，在ABC △中，延长AB 至D ，使BD AB =，延长BC 至E ，使12CE BC =，F 是AC 的中点，若ABC △的面积是2，则DEF △的面积是多少？A BCDEF。
小升初奥数几何问题之巧求直线型面积大全
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一、知识点
我们已经学习过的直线型几何图形有：三角形、正方形、长方形、平行四边形、梯形等基本规则图形的面积计算，图形及计算公式如下：更多详情请点击>>长沙小升初奥数几何问题之巧求直线型面积知识点
二、解题方法
1、代数法
将图形按形状、大小分类，并设合适的未知数，通过建立方程或方程组来解出*影部分面积的方法，或者通过未知数建立等量关系，不一定要求出未知数！
例、一个大长方形若能分割成若干个大小不同的小正方形，则称为完美长方形。
下面一个长方形是由9个小正方形组成的完美长方形。
图中正方形a和b的边长分别是7厘米和4厘米，那么这个完美长方形的面积是多少平方厘米？
三、经典例题
例1、三个面积都是12的正方形放在一个长方形的盒子里面，如图所示，盒中空白部分的面积已经标出，求图中大长方形的面积。
四、巩固练习
1、边长为4的正方形abcd和边长为6的正方形befg并排放在一起，o1和o2分别是两个正方形的中心(正方形对角线的交点)，则*影部分的面积是多少？。
六年级奥数 几何---第1讲; 直线型面积一; 教师版1
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；
⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．
二、鸟头定理
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．
的面积是
平方厘米．
B
B
D
D
A
E
F
C
A
E
F
C
【解析】连接 CD ．根据题意可知， ΔDEF 的面积为 ΔDAC 面积的 1 ， ΔDAC 的面积为 ΔABC 面积的 1 ，所
3
2
以 ΔDEF 的面积为 ΔABC 面积的 1 × 1 = 1 ．而 ΔDEF 的面积为 5 平方厘米，所以 ΔABC 的面积为 23 6
SΔPNM
+ SΔPLK
=
1 3
(SΔPDC
+
SΔPAB
)
+
5 12
(SΔPDA
+ SΔPBC ) − (SΔDNM
+ SΔBLK )
即为： 1 × 72 + 5 × 72 −10 × 2 = 24 + 30 − 20 = 34 ．
3
12
【例 5】 (2008 年四中考题)如右图， AD = DB ， AE = EF = FC ，已知阴影部分面积为 5 平方厘米，ΔABC
所以 S+ ABD
=
1 2
×
S+
ABC
积的
1
，所以阴影部分的面积为
62
×
1 (
六年级奥数-直线形面积的计算B解答
六年级奥数－直线形面积的计算B 解答1 将任一个三角形分成面积相等的六个三角形，用四种不同的方法应怎么分？ 解答：2 大小两个正方形组成下图所示的组合图形。
已知组合图形的周长是52厘米，DG=4厘米，求阴影部分的面积。
解答：组合图形的周长并不等于两个正方形的周长之和，因为CG 部分重合了。
用组合图形的周长减去DG ，就得到大、小正方形边长之和的三倍，所以两个正方形的边长之和等于（52-4）÷3=16（厘米）。
又由两个正方形的边长之差是4厘米，可求出大正方形边长=（16+4）÷2=10（厘米），小正方形边长=（16-4）÷2=6（厘米）。
两个正方形的面积之和减去三角形ABD 与三角形BEF 的面积，就得到阴影部分的面积。
102+62-（10×10÷2）-（10+6）×6÷2=38（厘米2）。
3 在图中，平行四边形ABCD 的边BC 长10厘米，直角三角形ECB 的直角边EC 长8厘米。
已知阴影部分的总面积比三角形EFG 的面积大10厘米2，求平行四边形ABCD 的面积。
解答：因为阴影部分比三角形EFG 的面积大10厘米2，都加上梯形FGCB后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行ABCD 比直角三角形ECB 的面积大10厘米2，所以平行四边形ABCD 的面积等于 10×8÷2+10=50（厘米2）。
4 下面左图中，矩形ABCD 的边AB 为4厘米，BC 为6厘米，三角形ABF 比三角形EDF 的面积大9厘米2，求ED 的长。
解答：（4×6-9）÷6×2=1（厘米）5 右上图中，CA=AB=4厘米，三角形ABE 比三角形CDE的面积大2厘米2，求CD 的长。
解答：连结CB 。
三角形DCB 的面积为4×4÷2-2=6（厘米2）， CD=6÷4×2=3（厘米）。
奥数_六年级竞赛_几何直线形面积_燕尾定理.教师版word
1. 理解燕尾定理，灵活运用定理解题．2. 用份数思想求面积之间的关系．本讲是在秋季所学四大模型的基础上，讲解运用燕尾定理求解面积问题．至此五大模型已讲解完毕．体会五大模型解决问题的优势．燕尾定理： S △ABG :S △AGC =S △BGE :S △EGC =BE :EC ； S △BGA :S △BGC =S △AGF :S △FGC =AF :FC ； S △AGC :S △BCG =S △ADG :S △DGB =AD :DB ；问：为什么称之为燕尾定理？ 答：我们看看燕子的尾巴然后再看看右图的阴影部分，看看阴影部分是不是很像燕子的尾巴，A 是尾巴与身体的连接点，AG 是燕子尾巴的中分线，左右两个阴影三角形构成燕子尾巴的两侧翼.同学们也可以自己动手，试试以三角形的另外两个顶点作为尾巴与身体的连接点能不能画出燕子的尾巴.燕尾定理因为图形类似燕尾而得名，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.通过一道例题证明一下燕尾定理：第4讲直线型面积—燕尾定理G F E D C B A举例：如右图，D 是BC 上任意一点，请你说明 S 1:S 4=S 2:S 3=BD :DC【分析】 三角形BED 与三角形CED 同高，分别以BD 、DC 为底，所以有S 1:S 4 =BD :DC ；三角形ABE 与三角形EBD 同高，S 1:S 2=ED :EA 三角形ACE 与三角形CED 同高，S 4:S 3=:ED EA ，所以S 1:S 4 =S 2:S 3；综上可得S 1:S 4=S 2:S 3=BD :DC .【例 1】 如图，已知BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，求阴影部分面积.B【分析】 题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以初步判断这道题不应该通过面积公式求面积. 又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线，(法一)连接CF ，因为BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，所以1103ABE ABC S S ==△△，1152ABD ABC S S ==△△．根据燕尾定理，12ABF CBF S AE S EC ==△△，1ABF ACF S BDS CD==△△,所以17.54ABF ABC S S ==△△，157.57.5BFD S =-=△，所以阴影部分面积是30107.512.5--=．(法二)连接DE ，由题目条件可得到1103ABE ABC S S ==△△，11210223BDE BEC ABC S S S ==⨯=△△△，所以11ABE BDE S AF FD S ==△△， 1111112.5223232DEF DEA ADC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△，用燕尾定理求面积S 3S 1S 4S 2EDCBA而211032CDE ABC S S =⨯⨯=△△．所以阴影部分的面积为12.5．［铺垫］ 右图的大三角形被分成5个小三角形，其中4个的面积已经标在图中，那么，阴影三角形的面积是 ．【分析】 方法一：整个题目读完，我们没有发现任何与边长相关的条件，也没有任何与高或者垂直有关系的字眼，由此，我们可以推断，这道题不能依靠三角形面积公式求解.我们发现右图三角形中存在一个比例关系： ()2:13:4S =+阴影，解得2S =阴影.方法二：回顾下燕尾定理，有2:41:3S +=阴影（），解得2S =阴影.【例 2】 如右图，三角形ABC 中，BD :DC =4:9，CE :EA =4:3，求AF :FB . 【分析】 燕子尾巴非常明显.根据燕尾定理，49ABO ACO S BD S DC ==△△， 34ABO CBO S AE S EC ==△△， 所以44279316ACO BCO S S =÷=△△， 所以:27:16AF FB =.【例 3】 如图在ABC △中，12DC EA FB DB EC FA ===,求GHI ABC △的面积△的面积的值． IHG FEDCBAIHG FEDCB A【分析】 连接BG ,设BGC S △=1份，根据燕尾定理O F ED CBA::2:1AGC BGC S S AF FB ==△△,::2:1ABG AGC S S BD DC ==△△,得2AGC S =△(份)，4ABG S =△(份),则7ABC S =△(份)，因此27AGC ABC S S =△△,同理连接AI 、CH 得27ABH ABC S S =△△,27BIC ABC S S =△△, 所以7222177GHI ABC S S ---==△△［拓展］ 如右图，三角形ABC 中，AF :FB =BD :DC =CE :AE =3:2，且三角形GHI 的面积是1，求三角形ABC 的面积．IH G FEDCBAIH G FEDCBA［分析］ 连接BG ，BGC S △=4份根据燕尾定理，::3:2AGC BGC S S AF FB ==△△，::3:2ABG AGC S S BD DC ==△△ 得6AGC S =△(份)，9ABG S =△(份)，则19ABC S =△(份)，因此619AGC ABC S S =△△, 同理连接AI 、CH 得619ABH ABC S S =△△,619BIC ABC S S =△△, 所以1966611919GHI ABC S S ---==△△ 三角形GHI 的面积是1，所以三角形ABC 的面积是19【例 4】 如图，三角形ABC 被分成6个三角形，己知其中4个三角形的面积，问三角形ABC 的面积是多少? 【分析】 设AOE S x =△，BOF S y =△，根据燕尾定理,得::ABO ACO BDO CDO S S S S =△△△△,::ABO BOC AOE COE S S S S =△△△△即 (84):(35)4:3y x ++=，(84):(4030):35y x ++=，即3(84)4(35)35(84)70y x y x +=+⎧⎨+=⎩，解得7056x y =⎧⎨=⎩， 所以三角形ABC 的面积是844030355670315+++++=35304084O FEDCBA【例 5】 三角形ABC 的面积为15平方厘米，D 为AB 中点，E 为AC 中点，F 为BC 中点，求阴影部分的面积．F CBAF CB【分析】 令BE 与CD 的交点为M ，CD 与EF 的交点为N ，连接AM ，BN ．在ABC △中，根据燕尾定理，::1:1ABM BCM S S AE CE ==△△,::1:1ACM BCM S S AD BD ==△△,所以13ABM ACM BCN ABC S S S S ===△△△△由于1122AEM AMC ABM S S S ==△△△S ，所以:2:1BM ME =在EBC △中，根据燕尾定理，::1:1BEN CEN S S BF CF ==△△::1:2CEN CBN S S ME MB ==△△ 设1CEN S =△(份)，则1BEN S =△(份)，2BCN S =△(份)，4BCE S =△(份)，所以1124BCN BCE ABC S S S ==△△△,1148BNE BCE ABC S S S ==△△△，因为:2:1BM ME =,F 为BC 中点,所以221133812BMN BNE ABC ABC S S S S ==⨯=△△△△,11112248BFN BNC ABC S S S ==⨯=△△△,所以115515 3.1251282424ABC ABC S S S ⎛⎫=+==⨯= ⎪⎝⎭△△阴影(平方厘米)【例 6】 如右图，ABC △中，G 是AC 的中点，D 、E 、F 是BC 边上的四等分点，AD 与BG 交于M ，AF 与BG 交于N ，已知ABM △的面积比四边形FCGN 的面积大7.2平方厘米，则ABC △的面积是多少平方厘米？N M GA BCD EFNMGA BCD EF【分析】 连接CM 、CN ．根据燕尾定理，::1:1ABM CBM S S AG GC ==△△，::1:3ABM ACM S S BD CD ==△△，所以15ABM ABC S S =△△；再根据燕尾定理，::1:1ABN CBN S S AG GC ==△△，所以::4:3ABN FBN CBN FBN S S S S ==△△△△，所以:4:3AN NF =，那么1422437ANG AFC S S =⨯=+△△，所以2515177428FCGN AFC ABC ABC S S S S ⎛⎫=-=⨯= ⎪⎝⎭△△△．根据题意，有157.2528ABC ABC S S -=△△，可得336ABC S =△(平方厘米)［拓展］ 如右图，三角形ABC 的面积是1，BD =DE =EC ，CF =FG =GA ，三角形ABC 被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少?GFE D CBAN MQPGF EDCBA［分析］ 设BG 与AD 交于点P ，BG 与AE 交于点Q ，BF 与AD 交于点M ，BF 与AE 交于点N ．连接CP ，CQ ，CM ，CN ．根据燕尾定理，::1:2ABP CBP S S AG GC ==△△，::1:2ABP ACP S S BD CD ==△△，设1ABP S =△(份)，则1225ABC S =++=△(份)，所以15ABP S =△ 同理可得，27ABQ S =△,12ABN S =△,而13ABG S =△，所以2137535APQ S =-=△，1213721AQG S =-=△． 同理，335BPM S =△121BDM S =△,所以1239273570PQMN S =--=四边形，139********MNED S =--=四边形,1151321426NFCE S =--=四边形,1115321642GFNQ S =--=四边形【例 7】 已知四边形ABCD ，CHFG 为正方形，:1:8S S =乙甲，a 与b 是两个正方形的边长，求:?a b =baHFEDA baNMHFED A【分析】 观察图形，感觉阴影部分像蝴蝶定理，但是细细分析发现用蝴蝶定理无法继续往下走，注意到题目条件中给出了两个正方形的边长，有边长就可以利用比例，再发现在连接辅助线后可以利用燕尾，那么我们就用燕尾定理来求解 连接EO 、AF ，根据燕尾定理：::AOE AOF S S a b =△△，::AOF EOF S S a b =△△ 所以 22::AOE EOF S S a b =△△，作OM ⊥AE 、ON ⊥EF ， ∵AE =EF∴22::OM ON a b = ∴33::1:8S S a b ==乙甲 ∴:1:2a b =【例 8】 如图，在平行四边形ABCD 中，BE EC =，2CF FD =．求阴影面积与空白面积的比．求面积方法的综合运用B【分析】 方法一：因为BE EC =，2CF FD =，所以14ABE ABCD S S =△四边形，16ADF ABCD S S =△四边形．因为2AD BE =，所以2AG GE =，所以11312BGE ABE ABCD S S S ==△△四边形，2136ABG ABE ABCD S S S ==△△四边形．同理可得，18ADH ABCD S S =△四边形，124DHF ABCD S S =△四边形．因为12BCD ABCD S S =△四边形，所以空白部分的面积111112()21224683ABCD ABCD S S =--++=四边形四边形，所以阴影部分的面积是13ABCD S 四边形．12:1:233=，所以阴影面积与空白面积的比是1:2．C方法二：连接CG 、CH 、AC ,AC 交BD 于O ，有AO OC =在ABC △中，根据燕尾定理可以得到::1:1ABG ACG S S BE CE ==△△,::1:1ABG CBG S S AO OC ==△△,所以1136BCG ACG ABC ABCDS S S S===△△△,所以112BGE AGO ABCDS S S ==△△,同理在ACD △中，根据燕尾定理可以得到1124AHC ACD ABCDS S S==△△,1148DCH ACD ABCDS S S==△△,所以1128AHO AHC ABCD S S S==△△,11324DFH DCHABCDS S S ==△△所以11111()12128243BEG AGO AHO DHF ABCDABCDS S S S S SS =+++=+++=△△△△阴影所以阴影面积与空白面积的比12:1:233=【例 9】 如图，在一个梯形内有两个面积分别为10与12的三角形，已知梯形的上底长是下底长的23，那么余下的阴影部分的面积是______．【分析】 设上底为2a ,则下底为3a ,梯形的高为2102121823a a a⨯⨯+=，梯形的面积为118(23)2a a a⨯+⨯=45, 所以阴影部分面积为45101223--=1.如图所示，在ABC △中，:3:1BE EC =，D 是AE 的中点，那么:AF FC = ．FE D C BAFE DCB A【分析】 连接CD ．由于:1:1ABD BED S S =△△，:3:4BED BCD S S =△△，所以:3:4ABD BCD S S =△△， 根据燕尾定理，::3:4ABD BCD AF FC S S ==△△． 2.三角形ABC 中，C 是直角，已知2AC =，2CD =，3CB =，AM BM =，那么三角形AMN (阴影部分)的面积为多少？A［分析］ 连接BN ．ABC △的面积为3223⨯÷=根据燕尾定理，::2:1ACN ABN CD BD ==△△； 同理::1:1CBN CAN BM AM ==△△设AMN △面积为1份，则MNB △的面积也是1份，所以ANB △的面积是112+=份，而ACN △的面积就是224⨯=份，CBN △也是4份，这样ABC △的面积为441110+++=份，所以AMN △的面积为31010.3÷⨯=． 3.三角形ABC 的面积是1平方厘米，且BE =2EC ，F 是CD 的中点．那么阴影部分的面积是 平方厘米．CACA【分析】 连接BF ，根据燕尾定理::1:2ACF ABF S S CE BE ==△△,又因为F 是CD 的中点，所以ACF ADF S S =△△，所以ADF BDF S S =△△,即D 是AB 的中点，设1ECF S =△(份)，则2BEF S =△(份),3BDF S =△(份),5S =阴影(份)，2(123)12ABC S =⨯++=△(份)，所以551212ABC S S ==△阴影(平方厘米) 4.如图，线段AB 与BC 垂直，已知AD =EC =4，DB =BE =6，那么图中阴影部分面积是多少？ECBAECBA【分析】 这个图是个对称图形，且各边长度已经给出，我们不妨连接这个图形的对称轴看看.作辅助线BO ，则图形关于BO 对称，设△ADO 的面积为2份，则△DBO 的面积为3份，直角三角形ABE 的面积为8份. 因为610230ABE S =⨯÷=△，而阴影部分的面积为4份， 所以阴影部分的面积为 308415÷⨯=115.如图，ABC △中14AE AB =，AD 14AC =，ED 与BC 平行，EOD △的面积是1平方厘米．那么AED △的面积是 平方厘米．【分析】 因为14AE AB =，14AD AC =，ED 与BC 平行， 所以:1:4ED BC =,:1:4EO OC =，44EOB EOD S S ==△△， 则415CDE S =+=△，又因为::1:3AED CDE S S AD DC ==△△,所以15533AED S =⨯=△(平方厘米)．CBODEA12 ｜五年级第四讲提高班｜富乌鸦树上落了一只嘴里衔着一大块东西的乌鸦。
直线图形面积计算一：利用倍数关系求解面积六年级[暑假一]
名师堂学校方法讲义之一年级：六年级日期：7月8日直线图形—利用倍数关系求面积【方法与技能】我们已经学过的直线型图形包括三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形等图形，一般称为基本图形或规则图形.我们的面积及周长都有相应的公式直接计算.根据图形之间长与宽、底与高的倍数关系求解图形面积是近年来各类竞赛与考试经常出现的考点。
在这类问题中，我们可以采用等分法求解，也可以用倍比法求解。
即根据等底或等高的平行四边形、三角形，它们的高（或底）的倍数关系就是面积的倍数关系，从而顺利求解。
【典型例题】例1：已知三角形ABC的面积为1，BE=2AB，BC=CD，求三角形BDE的面积？（下页图）例2：如右图，A为△CDE的DE边上中点，3BC=CD，若△ABC（阴影部分）面积为5平方厘米.求△ABD及△ACE的面积.例3：如下页右上图，在正方形ABCD中，三角形ABE的面积是8平方厘例4：如右图，已知：S△ABC=1，例5：如下图，在三角形ABC中，DC=2BD，CE=3AE，三角形ADE的面积是20平方厘米，求三角形ABC的面积。
例6：上右图所示三个小平行四边形的面积是12平方厘米、25平方厘米和42平方厘米。
那么大平行四边形的面积是多少平方厘米？例7：如下左图：已知梯形中两个三角形的面积分别是8平方厘米和12平方厘米，梯形的面积是多少平方厘米？名师课堂——关键教方法名师堂市中心校区地址：顺城街体育场路2号商业很行六楼8661966286741998AB D CE12 4225812D【应用拓展】1、如下图是由四个小长方形拼接而成的大长方形，其中三个小长方形的面积分别是24平方分米、15平方分米和25平方分米。
那么，图中阴影部分的面积是多少平方分米？2、如下左图，由九个小长方形拼接成大长方形，其中三个小长方形的面积分别时15平方米、30平方米和45平方米。
图中阴影部分的面积是多少平方米？3、如上右图，BD 、DE 、EC 的长分别是2、4、2，F 是线段AE 的中点，△ABC 的高为4，△DEF 的面积是（ ）。
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知识提要
模型一：任意四边形中的比例关系 (“蝴蝶定理”)
①S1：S2=S4：S3或者S1×S3＝S2×S4
② A0：OC=(S1+S2)：(S4+S3)
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．构造模型，一方面我们可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，我们也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．
模型二：梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)
①Sl：S3=a2：b2
②S1：S3：S2：S4=a2：b2：ab：ab；
③S的对应份数为(a+b)2．
梯形蝴蝶定理，给我们提供了解决梯形面积与上下底之间关系互相转换的渠道，构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果．
模型三：燕尾定理：
S△ABG：S△AGC=S△BGE：S△EGC =BE：EC
S△BGA：S△BGC=S△AGF：S△FGC =AF：FC
S△AGC：S△BCG=S△ADG：S△DGB =AD：DB
燕尾定理因为图形类似燕尾而得名，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之
中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径．通过一道例题证明一下燕尾定理：
模型四：相似三角形性质
①AD
AB
=
AE
AC
=
DE
BC
=
AF
AG
② S△ADE：S△ABC =AF2：AG2
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变他们都相似)，与相似三角形相关，常用的性质及定理如下：
(1) 相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；
(2) 相似三角形面积的比等于它们相似比的平方；
(3) 连接三角形两边中点的线段我们叫做三角形的中位线；
三角形中位线定理：三角形的中位线长等于他所对应的底边长的一半。
这四个模型，再加上我们在秋季学习的三角形面积与底、高成比例的模型共同构成几何的五大模型，这五大模型在以后的学习中会经常用到，希望同学们能认真学习．
模型一：“蝴蝶定理”主要抓住两种状态
1.任意四边形对角线划分面积的性质：这里最关键的就是“任意”二字，这个定理对四边形的形状没有要求，解决一些所谓“不良四边形”时，如果知道其中三块的面积，就能知道剩下一块，从而能求出整个四边形的面积。
2.矩形十字分割面积性质：
功能同上，主要是运用到矩形当中，由“十字架”分割而不是对角线分割的时候计算面积。
模型二：梯形蝴蝶定理（也叫“蝴蝶的翅膀”）
这个模型作为模型一的特殊情况，梯形中对角线形成的“蝴蝶翅膀”部分面积相等。
值得注意的是，梯形被分割基本份的面积也满足模型一的推论。
这个定理常与“沙漏”模型套考。
例题：已知梯形的上底与下底之比为a:b 梯形的面积为S 求题中红、蓝、绿三部分面积各是多少？
由“沙漏”模型+蝴蝶的翅膀可知，红:蓝:绿=ab：b2：a2
（注意不是具体值，而是比例关系），那么每部分的面积就可以分别求出根据四部分之和（用a:b的关系去推得），是不是
对梯形总面积所对应的份数有个交代了？
四部分的面积分别是 a2+ab+ab+b2,
梯形总面积＝a2+2ab+b2=(a+b)2 .
这个结论，对于已知某一部分的面积，要求总
体面积的类型时，用它解法就非常简明。