六年级奥数专题第一讲直线型面积知识

知识提要

模型一：任意四边形中的比例关系 (“蝴蝶定理”)

①S1：S2=S4：S3或者S1×S3＝S2×S4

② A0：OC=(S1+S2)：(S4+S3)

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．构造模型，一方面我们可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，我们也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．

模型二：梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)

①Sl：S3=a2：b2

②S1：S3：S2：S4=a2：b2：ab：ab；

③S的对应份数为(a+b)2．

梯形蝴蝶定理，给我们提供了解决梯形面积与上下底之间关系互相转换的渠道，构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果．

模型三：燕尾定理：

S△ABG：S△AGC=S△BGE：S△EGC =BE：EC

S△BGA：S△BGC=S△AGF：S△FGC =AF：FC

S△AGC：S△BCG=S△ADG：S△DGB =AD：DB

燕尾定理因为图形类似燕尾而得名，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之

中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径．通过一道例题证明一下燕尾定理：

模型四：相似三角形性质

①AD

AB

=

AE

AC

=

DE

BC

=

AF

AG

② S△ADE：S△ABC =AF2：AG2

所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变他们都相似)，与相似三角形相关，常用的性质及定理如下：

(1) 相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；

(2) 相似三角形面积的比等于它们相似比的平方；

(3) 连接三角形两边中点的线段我们叫做三角形的中位线；

三角形中位线定理：三角形的中位线长等于他所对应的底边长的一半。

这四个模型，再加上我们在秋季学习的三角形面积与底、高成比例的模型共同构成几何的五大模型，这五大模型在以后的学习中会经常用到，希望同学们能认真学习．

模型一：“蝴蝶定理”主要抓住两种状态

1.任意四边形对角线划分面积的性质：这里最关键的就是“任意”二字，这个定理对四边形的形状没有要求，解决一些所谓“不良四边形”时，如果知道其中三块的面积，就能知道剩下一块，从而能求出整个四边形的面积。

2.矩形十字分割面积性质：

功能同上，主要是运用到矩形当中，由“十字架”分割而不是对角线分割的时候计算面积。

模型二：梯形蝴蝶定理（也叫“蝴蝶的翅膀”）

这个模型作为模型一的特殊情况，梯形中对角线形成的“蝴蝶翅膀”部分面积相等。值得注意的是，梯形被分割基本份的面积也满足模型一的推论。这个定理常与“沙漏”模型套考。

例题：已知梯形的上底与下底之比为a:b 梯形的面积为S 求题中红、蓝、绿三部分面积各是多少？

由“沙漏”模型+蝴蝶的翅膀可知，红:蓝:绿=ab：b2：a2

（注意不是具体值，而是比例关系），那么每部分的面积就可以分别求出根据四部分之和（用a:b的关系去推得），是不是

对梯形总面积所对应的份数有个交代了？

四部分的面积分别是 a2+ab+ab+b2,

梯形总面积＝a2+2ab+b2=(a+b)2 .

这个结论，对于已知某一部分的面积，要求总

体面积的类型时，用它解法就非常简明。