浅谈中学数学不等式的证明方法

本科生毕业论文

学院数学与计算机科学学院

专业数学与应用数学

届别 2015 届

题目浅谈中学数学不等式的证明方法

学生姓名徐亚娟

学号 201111401138 指导教师吴万勤

教务处制

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日期：年月日

目录

摘要 (4)

引言 (6)

1、预备知识 (6)

1.1不等式的概念 (6)

1.2不等式的性质 (6)

1.3基本不等式 (7)

1.4几个重要不等式 (7)

1.4.1柯西不等式 (7)

1.4.2伯努利不等式 (7)

2、证明不等式的常用方法 (7)

2.1比较法 (8)

2.1.1求差法 (8)

2.1.2求商法 (8)

2.1.3过度比较法 (8)

2.2分析法 (9)

2.3综合法 (9)

2.4缩放法 (10)

2.4.1放缩法的常见技巧 (10)

2.5反推法 (10)

2.6数学归纳法 (11)

2.7反证法 (11)

2.7.1反证法的基本思路 (11)

2.7.2反证法的步骤 (11)

2.8判别式法 (12)

2.9等式法 (12)

2.10中值定理法 (12)

2.11排序法 (12)

2.12分解法 (13)

2.13函数极值法 (13)

3 .利用构造法证明不等式 (13)

3.1构造函数模型 (13)

3.1.1构造一次函数模型 (14)

3.1.2构造二次函数模型 (14)

3.1.3构造单调函数证明不等式 (14)

3.2构造复数模型 (14)

3.3构造方程法 (15)

4.换元法证明不等式 (15)

4.1.三角换元法 (15)

4.2均值换元 (16)

4.3几何换元法 (16)

4.4增量换元法 (17)

5.利用著名不等式证明 (17)

5.1利用均值不等式 (17)

5.2柯西不等式证明法 (18)

5.3利用契比雪夫不等式 (18)

5.4利用绝对值不等式 (18)

5.5利用重要不等式 (19)

总结 (19)

参考文献： (20)

致谢 (21)

浅谈中学数学不等式的证明方法

徐亚娟

云南民族大学数学与计算机科学学院摘要

在中学数学中不等式是十分重要的内容，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用。因此不等式的应用体现了一定的综合性、灵活多样性，对数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用。在解决问题时，要依据题设与结论的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明。而不等式的证明，方法灵活多样，还和很多内容结合，所以具体问题具体分析是证明不等式的精髓。不等式的证明问题也是各种思想方法的集中体现，因此难度较大。解决这个问题的途径在于熟练掌握不等式的性质和一些基本不等式，灵活运用常用的证明方法。在本文中，我总结了一些数学中证明不等式的方法。在初等数学不等式的证明中常用到的方法是：比较法、作商法、分析法、综合法、数学归纳法、反证法、换元法、换缩法、判别式法、函数法、几何法等等。在高等数学不等式的证明中经常利用中值不等式、泰勒公式、拉格朗日函数、以及一些证明不等式，如：均值不等式、柯西不等式、伯努利不等式等，从而使不等式的证明方法更加的完善，有利于我们进一步探讨和研究不等式的证明，通过学习这些方法，可以为我们解决一些实际问题，培养逻辑推理论证能力和抽象思维能力以及养成勤于思考、善于思考的良好学习习惯。【1】

【关键词】中学数学；不等式；证明方法；函数

Abstract

In the middle school inequalities are very important content, penetration in the middle school mathematics branches, has a very wide range of applications. So the inequality reflects the comprehensive application, certain flexibility and diversity, mastery of mathematics knowledge of each part, played a very good role in promoting. In solving the problem, according to the questions set structure characteristics, and conclusion inner relation, selection of the appropriate solution, finally go to solve or proof of inequality. But the inequality proof method, flexible, and a lot of content combination, so the concrete analysis of concrete problems is the essence of the proof of inequality. Embodiment of proving inequalities are also all kinds of method of thinking, so difficult. The way to solve this problem is to master the nature of inequality and some basic inequalities, flexibility in the use of commonly used methods of proof. In this paper, I summarized some mathematical inequality proof methods. Methods in the elementary mathematical proof inequality to the commonly used are: the comparative method, for commercial, analysis, synthesis method, mathematical induction method, reduction to absurdity, change element method, change the shrinkage method, the discriminant method, function method, geometric method and so on .In equality in higher mathematics proof is usually used in the mean value inequality, Taylor formula, Lagrange function, as well as some proof of inequality, such as: mean inequality, Cauchy inequality, Bernoulli inequality, thus making the method to prove inequality more perfect, is favorable for us to further explore and research proof of inequality, through the study of these methods, we can to solve some practical problems, develop logical reasoning ability and abstract thinking ability and develop diligent in thinking, good at thinking of good learning habits.

Keywords: Middle school mathematics；Inequality；The proof method；Function