浅谈中学数学不等式的证明方法
中学数学不等式证明的常用方法
中学数学不等式证明的常用方法不等式证明是中学数学的一项基本内容，证明不等式的方法多种多样，但常见的几种方法有：放缩法、判别式、换元法、函数法、数学归纳法等]4[.在这里通过学习，总结前人巧妙的证明方法，使中学生可以轻松地理解并掌握进而灵活运用常用的不等式证明方法解决有关不等式的证明问题.下面试图通过一些例子来说明.一、一般思路不等式证明的总体思路是比较不等式两边式子的大小,一般用比较法证明不等式.比较法证明不等式可分为差比法和商比法，它是不等式证明中最基本思路.明确作差、作商比较法证明不等式的依据，理解转化，使问题简化是比较法证明不等式中所蕴含的重要数学思想，掌握作差、作商后对差式、商式变形以及判断符号的重要方法，并在今后学习中继续积累方法．但比较法证明不等式主要运用了综合法和分析法.利用题设和某些证明过的不等式作为基础，再利用不等式的性质推出欲证的不等式，称为综合法.思路是“由果索因”，即从题设条件或已知证明的结论﹑公式出发，逐步推理，得到欲证的不等式，这种方法条理清楚，易表述．分析法是从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件,只要使不等式成立的条件已经具备,就断定不等式成立.思路是“执果索因”, 即从要证明的不等式出发,寻找使这个不等式成立的某一“充分”的条件,为此逐步往前追溯,一直追溯到已知便于探求解题思路.二、典型方法分析(1)放缩法不等式的传递性，若A ＞B ，B ＞C 则A ＞C 告诉我们要证明A ＞C 时就可以先把A 缩小B ，再把B 缩小为C ，从而证明A ＞C ；同样A 放大为B ，再把B 放大为C ，可以证明A ＜C ．例１ 求证：１＋)(213121+∈<+++N n n n ．分析:注意观察不等式左边的形式,显然左边要比右边复杂,所以我们应选择从左到右来证明.先取有限项进行观察,从它们的规律分析进而得证.一般地,如果是分式就考虑放大(缩小)分子(分母).如本题就是利用放大分母 n 1 ＝)1(21222--=-+<n n n n n ,每一项都可由此规律放大分母,从而易得证.但值得注意的是放大或缩小要适当.证明: n 1＝)1(21222--=-+<n n n n n ， ∴21＜2（2－１）， ),23(231-<……),21(211---<-n n n n 1＜2（1--n n ）． 以上各式相加，得１＋21＋…n 1＜2n －１＜2n ．所以原不等式成立． 【评注】利用分数的性质，可适当地增项﹑减项，运用放缩法证明[4]，但要注意放缩法要适度，否则不能同向传递．例2 已知数列{}n a ,n a =)1(433221+++⋅+⋅+⋅n n L 求证：<+2)1(n n n a ＜.2)1(2+n 分析: 注意到左边的式子2)1(+n n 是前ｎ个自然数的和，与n a 比较只须缩小为１﹑2﹑3……n 即可．仿此把各项放大2﹑3﹑……（n+1）所得结论过弱，只能放弃，于是转而联想到关系式2)1()1(+<+n n n n ，右边的不等式证明，由此可证得．证明 由于 n a =)1(433221+++⋅+⋅+⋅n n >2322321n ++++=1+2+3+…+n=2)1(+n n 又由2)1()1(+<+n n n n ＜212+n 有n a ＝)1(433221+++⋅+⋅+⋅n n ＜++++ 272523212+n ＜2)1()]12(7531[212+=++++++n n 综上所述<+2)1(n n n a ＜2)1(2+n ． 【评注】放缩法的基本思路: ,,.a b b c a c >>⇒>[3]技巧与方法:(1) 适当添上或舍去某些项,例:22131()()242a a ++>+;(2) 如果是分式则需放大或缩小分子或分母,如:211111(1)(1)1k k k k k k k<<=-+--放大缩小切记适度. (2) 判别式法有些要证明的不等式，它的已知条件是一些等式，如果这些条件可以转化为一个含参数的一元二次方程式；或者要证明的不等式可以化为一个一元二次不等式，这时往往可以用判别式求证[2]．例 已知z y x ,,是实数，且满足条件222870660x yz x y z yz x ⎧--+=⎪⎨++-+=⎪⎩ 求证：１.9≤≤x证明 由已知等式得：yz =782+-x x(z y +)=-+=662x yz 782+-x x +6x-6=2x -2x+1=(x-1)2于是z y ,是方程t ()1(2+-±t x 782+-x x )=0的两个实根△＝(x-1)2－４（782+-x x ）＞０解得１.9≤≤x【评注】本题可以将原方程组变形得到的表达式和z y yz +,再把x 看作常数写成关于t 的一元二次方程，最后用判别式来求解．用判别式证明不等式，常常把要证明的内容通过韦达定理以及其他代数变形手段，放到某个一元二次方程的系数中去．(3) 换元法有些不等式可以把其中一些元素换成另一种元素，从而使条件之间的数量关系明朗化，便于解决问题[2]．例1 设a ,b ∈R +且a +b =1.求证：22)1()1(b b a a +++≥225. 证明： a +b =1可设：a =θ2sin ,b =θ2cos又222y x +≥22⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x 则 22)1()1(bb a a +++ ≥2)11(21ba b a +++ ＝(21θ2sin ＋θ2cos ＋222)cos 1sin 1θθ+ ＝225)41(21)2sin 41(2122=+≥+θ． 例2 设a ,b >0，求证：33b a +＋3332a b a <-． 证明：设33b a +＝m,n b a =-33,则33n m +=2a于是要证的不等式等价于3)(n m +＜4（33n m +）只要证：4（33n m +）－0333223>---n mn n m m而33m +3n 22333mn n m --=3)(3)(22m n n n m m -+-=3(m-n)(m 2-n 2)=3(m-n)2(m +n )>0∴m n m (4)(3<-)22n - 成立.【评注】本题巧用三角代换,使不等式的证明变得简捷明了.当所给的条件复杂,一个变量不易由另一变量表示时,可考虑三角代换,将两个变量都用一个参数表示. 换元法中最常用的是三角代换,三角代换法多用于条件不等式的证明[3].具体代换方法有:(1)若;(sin ,cos ,122为参数）可设θθθ===+b a b a(2)若为参数）；可设θθθ(sin ,cos ,122r b r a b a ==≤+(3)对于θθθcos 1sin 1cos ,1,12=≤≤≤-x x x 知，可设或由 或θsin =x ;(4)若知由C b A C B A xyz z y x tan tan tan tan tan tan ,=++=++,,tan A x ==y ).(tan ,tan π=++=C B A C z B(4)函数法有些不等式的证明可以借助于函数的一些性质,如单调性,函数的值域等进行证明.例:求证:||1||2121n n x x x x x x ++++++≤||1||||1||||1||2211n n x x x x x x ++++++ 分析:要证不等式的每一项结构都是x x +1的形式,于是可以构造函数)(x f =x x +1 证明: 构造函数)(x f =xx +1 )1)(1(11)()(2121221121x x x x x x x x x f x f ++-=+-+=- 当x 021>≥x 时,显然)()(21x f x f <所以函数)(x f 当0≥x 时是增函数||||||||2121n n x x x x x x +++≤+++L L Q ∴||12121n n x x x x x x +++++++ ≤||||||1|||||||112121n n n x x x x x x x ++++++++++ ≤ ||1||||1||||1||2211n n x x x x x x ++++++【评注】本题根据不等式的特点,构造辅助函数，将不等式的证明,转化为利用函数增减性与极值来研究,是一种极好的方法.在构造函数证明不等式时,可用函数的单调性、微积分中值定理、函数的极值和最值等,将不等式问题转化为函数问题,利用函数性质来研究、解决不等式问题,使学生掌握不等式证明的函数思想方法,从而提高学生的分析问题与解决问题的能力.不等式的证明，方法多种多样，它可以和很多内容相结合，证明时不仅用到不等式的性质，不等式的证明技能、技巧，有时还用到其它数学知识，是高中数学的一个难点.不等式证明综合题是每年高考的必备题，只要我们遵循《考试说明》的要求，以不等式的性质、定理为理论依据，借助变量代换、化归转化、分析综合等数学思想方法，就能很好的“把脉”不等式的证明.但这些方法不是孤立的，而是相互渗透的.因此，在证明不等式时要灵活运用这些方法,以使题目更容易解决.解题时只要充分展开想象，打开思路，选择恰当的的证明方法，问题便可迎刃而解.。
不等式证明的常用方法
不等式证明的常用方法不等式是高中数学的重要内容，它几乎涉及整个高中数学的各个部分，因此，通过不等式这条纽带，可把中学数学的各部分内容有机地联系起来．而不等式的证明是高中数学的一个难点，加之题型广泛、方法灵活、涉及面广，常受各类考试命题者的青睐，亦成为历届高考中的热点问题．本节通过一些实例，归纳一下不等式证明的常用方法和技巧． 一、比较法证明不等式的比较法分为作差比较与作商比较两类，基本思想是把难于比较的式子变成其差再与0比较，或其商再与 l 比较．当欲证的不等式两端是乘积形式或幂指数形式时，常采用作商比较法．【例1】若,0,0>>b a 证明：2121212212)()(b a ab b a +≥+证法一 （作差比较） 左边－右边)()()(33b a abb a +-+=abb a ab b ab a b a )())((+-+-+=abb ab a b a )2)((+-+=0))((2≥-+=abb a b a∴原不等式成立证法二 （作商比较）右边左边ba ab b a ++=33)()()())((b a ab b ab a b a ++-+=abb ab a )(+-=12=-≥ababab∴原不等式成立．点评 用比较法证明不等式，一般要经历作差（或作商）、变形、判断三个步骤．变形的主要手段是通分、因式分解或配方；此外，在变形过程中，也可利用基本不等式放缩，如证法二．用作差比较法变形的结果都应是因式之积或完全平方式，这样有利于判断符号． 【例2】已知函数)(1)(2R x x x f ∈+=，证明：|||)()(|b a b f a f -≤- 证法一（作商比较）若||||b a =时，|||)()(|0b a b f a f -≤-=，当且仅当b a =时取等号． 若||||b a ≠时，∵0|)()(|>-b f a f ，0||>-b a∴=-+-+=--|||11||||)()(|22b a b a b a b f a f =-+-+b a b a 2211<+++--)11)((2222b a b a b a ≤++22b a ba 1即|||)()(|b a b f a f -≤-综上两种情况，得|||)()(|b a b f a f -≤-当且仅当b a =时取等号．证法二（作差比较）)2(])1)(1(22[|||11|2222222222b ab a b a b a b a b a +--++-++=--+-+0])()1()1[(2])1)(1()1[(22222≤-++-+=++-+=b a ab ab b a ab 当且仅当b a =时取等号．点评 作商比较通常在两正数之间进行．本题若直接作差，则表达式复杂很难变形．由于不等式两边均非负，所以先平方去掉绝对值符号后再作差．不论是作差比较还是作商比较，“变形整理”都是关键． 二、基本不等式法 常用的基本不等式① 若R b a ∈,，则ab b a 222≥+（当且仅当b a =时取等号）；② 若+∈R b a ,，则ab ba 22≥+（当且仅当b a =时取等号）； ③ 若b a ,同号，则2≥+baa b （当且仅当b a =时取等号）；④ 若R b a ∈,，则≥+222b a 2)2(b a +（当且仅当b a =时取等号）； ⑤ 若+∈R c b a ,,，则abc c b a 3333≥++（当且仅当c b a ==时取等号）；⑥ 若+∈R c b a ,,，则33abc cb a ≥++（当且仅当c b a ==时取等号）；⑦ 均值不等式nn n a a a na a a ⋅⋅≥+++ 2121（其中++∈∈N n R a a a n ,,,,21 ）及它的变式n nn n n a a na a a a ⋅⋅≥+++ 2121，na a a a a a nn n n n +++≤⋅⋅ 2121，nn n na a a a a a )(2121+++≤⋅⋅【 例 3 】 （ 2004 年湖南省高考题）设0,0>>b a ，则以下不等式中不恒成立的是（ ）A.4)11)((≥++b a b a B 2332ab b a ≥+ C.b a b a 22222+≥++ D.b a b a -≥-||解：∵4122)11)((=⋅≥++abab b a b a ∴A 恒成立∵b a b a b a 221122222+≥+++=++ ∴C 恒成立 当b a ≤时，b a b a -≥-||，显然D 成立；当b a >时，b a b a -≥-||⇔a b b a ≥+-||⇔⇔≥+-+-a b b b a b a )(2)(0)(2≥-b b a 也恒成立∴D 恒成立。
高中数学中不等式的证明方法浅析
好家长 / 经验交流高中数学中不等式的证明方法浅析山东省青岛第五十八中学/柏荔升【摘要】不等式是高中数学中较为重要的学习内容，也是学生学习的重难点。
然而，很多学生都不了解应该怎样正确证明不等式，为弥补这一不足，本文将联系实际情况，提出几种有效的证明方法，帮助学生快速解题。
【关键词】高中数学 不等式 证明方法前言尽管不等式一直都是高考重点，但由于不等式形式并不相同，也就没有确确切的证明程序可言，为做好不等式证明，让学生掌握不等式解题技巧，这就需要从多角度对不等式进行讲解与研究。
一、在不等式证明中常用思想不等式证明是高中数学教学重点，要做好不等式证明，就要结合一定的思想，为正确解题奠定基础。
首先，分类思想。
这一思想是按照研究对象属性确定的，运用分类思想可以让学生更透彻的理解数学知识，帮助学生形成良好的获取知识的能力，让学生有更为完善的认知结构，进而形成良好知识网络。
其次，数形结合思想。
利用该思想可以将复杂问题简单化，抽象问题具体化，这对学生尽快掌握不等式证明知识具有重要作用。
最后，函数方程思想，利用这种思想可以帮助学生更全面掌握数学知识，将不等式证明看做函数方程，有助于学生理解。
二、不等式证明方法1.比较法。
对于比较法来说，就是利用两个实数之间的差或商比较它们的大小，确定两者关系。
具体来讲可以分为作差法与作商法。
如在已知a,b大于0的情况下，证明(a+b)/2不小于就可以运用比较法，由于(a+b)/2不小于意味着(a+b)/2大于或等于，即(a+b)/2≧，进一步证明得知，(a+b)/2-=(a+b-)/2≧0，最终求得(a+b)/2≧。
同样，这种方法也适用于求商中。
2.分析法。
分析法也是高中数学不等式证明中一种常用的解题方法，在利用分析法的过程中就是先分析不等式的成立条件，同时将用于证明不等式的问题变为这些条件是否具有问题，若可以肯定这些条件，则意味着不等式成立，这就是分析法。
3.均值法。
均值法是不等式证明中一种较为常见的方法，对于均值不等式来说，需要保证两端次数相同，且带有一定的对称性与排比性，利用均值法证明不等式，只要保证具有以上特点即可。
中学数学不等式证明的方法
８ ７
证明 ：因为 ａ ｂ ｃ ＝ １ 且ａ ， ｂ ， Ｃ 为互不相容的正数 ，
所以 ＋ Ｉ＋ － ｂ ｃ ＋ ａ ｃ ＋ ａ ｂ ＝ 丁 ｂ ｃ ＋ ａ ｃ＋
一
个范 围，所以不等式 的证 明是 非常有趣 和富有挑战的。文章例谈 了初等数学 中不等式 的一些证 明方法 ， 关键词 ：不等式 ；中学 数学 ；方 法
通过学习这些证 明方法 ，可以帮助我们培养逻辑推理论证能力和抽象思维 的能力。
不等式作为一个重要的分析工具和分析手段 ，在数学 中具有举足轻重 的作用和地位 ，不等式 的证明可分为推理性 问题和探索性问题 ，推理性问题是指在特定条件下 ，阐释证明过程 ，解释内 在规律 ，基本方法有 比较法、分析法 、综合法 ； 探索性问题大多是与 自 然数有关的证明问题 ，常 采用观察一归纳一猜想—证 明的方法思路 ，以数学归纳法完成证 明。
第２ ３ 卷第 ２ 期
２ ０ １ ３ 年 ６月
临沧师范高等专科学校学报
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｌ ｉ ｎ ｃ ａ ｎ ｇＴ ｅ ａ ｃ ｈ ｅ ｒ ｓ ’Ｃ ｏ Ｕ ｅ ｇ ｅ
Ｖ０ １ ． ２ ３ Ｎｏ ． ２
Ｊ ｕ ｎ ｅ ． ２ ０１ ３
中学数学不等式证明的方法
２ 综合法
综合法是由题设条件出发 ，根据不等式的性质 ，推导 出要证的不等式 。综合法利用 已知事实 作为基础 ，借助不等式 的性质和有关定理 ，经过逐步 的逻辑推理 ，最后推出所要证明的不等式 ， 其特点和思路是 “ 由因导果” ，从 “ 已知”看 “ 需知” ，逐步推出 “ 结论” 。 例２ ａ ， ｂ ， ｃ 为互不相容的正数 ，且 ａ ｂ ｃ ＝ ｌ ，
中学数学中不等式的证明
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数列求和：利用不等式证明数 列求和公式
数列极限：利用不等式证明数 列极限的存在性
数列收敛：利用不等式证明数 列的收敛性
在实际生活中的应用
工资计算：根据工作时间和工 资标准计算工资
商品定价：根据成本和利润率 确定商品价格
投资决策：根据投资回报率和 风险评估进行投资决策
资源分配：根据需求和资源限 制进行资源分配
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中学数学中不等式的证明
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目录
01.
不等式证明 的基本概念
02.
不等式的 性质和基 本定理
03.
不等式的证 明技巧
04.
常见不等式 的证明
05.
不等式证明 的实践应用
不等式证明的基本概念
伯努利不等式
伯努利不等式：a^2 + b^2 ≥ 2ab
应用范围：解决不等式问题，如 求最大值、最小值等
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证明方法：利用数学归纳法
添加标题
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推广：推广到多元情况，如a^2 + b^2 + c^2 ≥ 2(ab + bc + ca)
不等式证明的实践应用
05
在几何中的应用
证明线段相等：利用边角关 系证明线段相等
应用：在证明不等式时，反 证法是一种常用的证明技巧
注意事项：在使用反证法时， 需要注意假设的合理性和推
导的严密性
综合法与分析法
综合法：从已知 条件出发，逐步 推导出结论
数学论文【不等式的证明方法】(汉)
黔南民族师范学院（贵定分院）毕业论文题目：不等式的证明姓名：丁成义班级：12级数学（2）班学号：2012052206专业：数学教育指导教师：张大书日期：2015年2月26日2不等式的证明方法不等式的证明方是中学数学的难点和重点，证明不等式的途径是利用不等式的性质进行代数变形，经常用到的证明不等式的主要方法有基本法 如：比较法，综合法，分析法。
其他方法：如反证法，放缩法，数学归纳法，涣元法，构造法和判别式法等。
1．证明不等式的基本方法1．1比较法比较法是证明不等式的方法之一，比较法除了比差法之外，还有比商法，它们的解题依据及步具步骤如下：比差法。
主要依据是实数的运算性质与大小顺序关系。
即 ，0,0,0a b a b a b a b a b a b ->⇔>-<⇔<-=⇔=基本解题步骤是：作差——变形——判断符号。
（1）作商比较法。
当欲证的不等式两端是乘积形式幂指数式可采用作商比较法。
当0b > 欲证a b >只需证1ab > 欲证a b <只需证1ab< 基本解题步骤是：作商——变形——判断。
（与1的大小）例1．求证： 222(2)5a b a b +≥--322224254250a b a b a b a b +≥--=>+-++≥22(44)(21)0a a b b -++++≥ 2,1a b ==-时等号成立。
所以222(2)5a b a b +≥--成立。
例2．已知,a b R +∈求证a b b a a b a b ≥证： ,a b R +∈又()a b a b b a a b aa b b -=∴()1a b b a a b a a b a b b-≥⇔≥ （1）当a b >时，1a b >，0a b ->所以()1a b ab -> （2）当a b <时01,a a b o b <<-<所以()1a b ab-> （3）当a b =时不等式取等号。
高中数学中不等式的证明方法总结
江苏省天一中学高三八班渊圆员源园园园冤 孙逸科 荫
摘 要院本文对高中数学中不等式证明方法进行总结袁针对不同类型题目采取有效的解题方法援
关键词院高中数学曰不等式曰证明方法
中图分类号院郧远猿圆
文献标识码院月
文章编号院员园园愿 原 园猿猿猿渊圆园员苑冤园猿 原 园园圆怨 原 园员
沂渊园袁仔冤 袁所以 云忆渊 曾冤 约 园袁所以 云 渊 曾冤 越 泽蚤灶曾 原 曾 在区间
渊园袁仔冤 上是单调递减的袁并且 云渊园冤 越 园援 所以 云渊 曾冤 越 泽蚤灶曾
原 曾 约 云渊园冤 越 园援 因此当 曾沂渊园袁仔冤 时袁泽蚤灶曾 约 曾 成立援
通过导数求出函数的最值也是解决不等式问题的重
不等式问 题 是 高 中 数 学 中 的 重 难 点袁 并 且 解 决 方 法
有很多种援 在学习这部分知识时应不断积累袁做好总结袁
熟练掌握不等式的证明方法援
一尧采用分析法证明不等式
在学习不等 式 的 证 明 方 法 时袁 应 在 学 习 过 程 中 反 思
有哪些证明方法袁以及每种方法的具体应用和特点援 在应
二尧通过常数变易法证明不等式
常数变易法也是解决不等式问题的常用方法援 一般
是用来证明数 值 不 等 式袁 这 种 类 型 的 需 要 作 辅 助 函 数 来
进行证明援 基本的证明步骤是院一将不等式中的某个常数
变易为 曾袁二对不等式进行移项袁通过移项使得不等式一
端为 园袁另一端令其为 云渊 曾冤袁三求 云忆渊 曾冤 或者 云忆忆渊 曾冤袁然
约
葬 遭
垣 垣
员员援
解析
想要证明
葬 遭
约
葬 遭
垣 垣
不等式证明方法
不等式证明方法不等式在数学中占有重要的地位，它是描述数之间大小关系的一种数学工具。
不等式证明方法是数学中的重要内容之一，本文将介绍不等式证明的几种常见方法，希望能够帮助读者更好地理解和掌握不等式的证明技巧。
一、数学归纳法。
数学归纳法是一种重要的数学证明方法，它通常用于证明某个命题对于一切自然数成立。
在不等式证明中，我们可以利用数学归纳法证明不等式的成立。
具体来说，我们首先证明不等式对于n=1时成立，然后假设不等式对于n=k时成立，再证明不等式对于n=k+1时也成立。
通过数学归纳法，我们可以比较简单地证明一些不等式的成立。
二、换元法。
换元法是不等式证明中常用的一种方法。
当我们遇到复杂的不等式时，可以通过适当的换元将不等式化简为更简单的形式，从而更容易进行证明。
换元法的关键在于选择合适的变量替换原不等式中的变量，使得不等式的结构更加清晰，证明过程更加简单明了。
三、分析法。
分析法是一种直接从不等式的定义出发，通过分析不等式的性质和特点来进行证明的方法。
在不等式证明中，我们可以通过分析不等式两边的大小关系，利用数学运算性质和数学规律，推导出不等式成立的条件，从而完成不等式的证明。
四、综合利用不等式性质。
不等式有许多性质，如传递性、对称性、反对称性等，我们可以通过综合利用这些性质来进行不等式的证明。
具体来说，我们可以利用不等式的传递性将复杂的不等式化简为简单的形式，再利用对称性和反对称性来推导不等式的成立条件，从而完成不等式的证明。
五、几何法。
在不等式证明中，几何法也是一种常用的证明方法。
通过几何图形的分析，我们可以直观地理解不等式的性质和特点，从而更容易进行证明。
在利用几何法进行不等式证明时，我们可以通过构造合适的几何图形，利用几何关系和几何性质来推导不等式的成立条件，完成不等式的证明。
六、数学推理法。
数学推理法是不等式证明中常用的一种方法，通过逻辑推理和数学推理来证明不等式的成立。
在利用数学推理法进行不等式证明时，我们可以通过分析不等式的性质和特点，运用数学推理规律和数学推理方法，推导出不等式成立的条件，完成不等式的证明。
不等式证明方法大全
不等式证明方法大全1.推导法：推导法是指通过逻辑推理从已知不等式得出要证明的不等式。
常用的推导法有数学归纳法、递推法、代入法等。
其中，数学归纳法是一种常见的证明不等式的方法，它基于以下两个基本原理：基准步和归纳假设。
（1）基准步：证明当一些特定的变量取一些特定的值时，不等式成立。
（2）归纳假设：假设当一些特定的变量取小于等于一些特定值时，不等式成立。
通过利用以上两个原则，可以通过递推关系不断推导得出要证明的不等式。
2.数学运算法：数学运算法是指通过对不等式进行各种数学运算来得到要证明的不等式。
常用的数学运算包括加法、减法、乘法、除法等。
在进行这些运算时，需要注意运算规则和要证明的不等式所满足的条件，避免运算过程中引入新的限制条件。
3.几何法：几何法是指通过将不等式转化为几何问题进行证明。
几何法常用于证明平面图形的不等式定理，如三角形的不等式定理、平行四边形的不等式定理等。
通过将要证明的不等式几何化，可以通过几何性质和定理进行证明。
4.广义的带参数的方法：广义的带参数的方法是指将要证明的不等式引入参数，通过参数的取值范围来证明不等式的成立。
这种方法常用于证明含有多个变量的复杂不等式，通过引入参数使得不等式简化或者更易处理。
5.分情况讨论法：分情况讨论法是指将要证明的不等式拆分为几个不同的情况进行讨论，分别证明每个情况下不等式的成立。
通过逐个讨论每种情况，可以得出要证明的不等式的证明。
6.反证法：反证法是指假设要证明的不等式不成立，通过推理推出与已知条件矛盾的结论，从而证明不等式的成立。
反证法常用于证明不等式的唯一性和存在性。
7.递推法：递推法是指通过依次推导出不等式的前一项和后一项之间的关系，逐步逼近要证明的不等式。
通过不断进行递推，可以逐步证明不等式的成立。
以上是一些常见的不等式证明方法，它们可以单独使用，也可以结合使用。
在进行不等式证明时，需要注意逻辑严谨、计算准确和推导合理，同时还需要根据具体的题目和要求选择合适的证明方法。
从高考看高中不等式的性质证明及其解法
1 ab2
＜
1 a2b
.
证明：因为
1 ab2
-
1 a2b
=
a-b a2b2
，a＜b，a-b＜０
则
a-b a2b2
＜０，即
1 ab2
＜
1 a2b
.
（2）作比法：a＞b，（b＞０）圳 a ＞1. b
例 2：已知 a＞b缀 R+，求证：aabb≥abba.
证明：
aabb abba
=aa-bbb-a =（a ）a-b b
比较法分作差比较与作商比较。 作差比较为 Ａ＞Ｂ圳
Ａ-Ｂ＞０，作商比较为 Ａ＞Ｂ圳 Ａ ＞1（Ｂ＞０） Ｂ
作差比较的关键是判断差的符号， 操作步骤为作差、
变形、判断差的符号；而作商比较的关键是判断商是否大
于 1，操作步骤为作商、变形、判断商与 1 的大小关系。
（1）作差法：a＞b圳a-b＞０
例 1：设 a，b 是非零实数，若 a＜b，证明：
因为 a＞b＞０，所以 a ＞1 且 a-b＞０ b
于是（a ）a-b＞（a ）0=1
b
b
即（a ）a-b＞1 所以 aabb＞abba. b
2.三角换元法
三角换元法是解决不等式问题的常用方法，主要在于
换元，将某些复杂的不等式证明简单直观化，多数可将原
不等式转化成简单不等式，使得问题变得直观化、简单化。
5.如果 a＞b 那么 n姨 a ＞n姨 b （n缀N 且 n＞1））。
6.如果 a，b 是正数，那么
a+b 2
≥ 姨ab （当且仅当 a=b
时取“=”号）。
不等式的基本性质是不等式证明的理论基础，只要能
合理掌握并运用好不等式的性质，才能更加合理地解决不
浅谈高中数学不等式的证明方法
浅谈高中数学不等式的证明方法姜堰市罗塘高级中学 李鑫摘要：不等式是中学数学的重要知识，本文介绍了几种不等式的证明方法，并举例进一步加强对各种不等式的理解。
关键字：比较法，分析法，综合法，反证法，放缩法，数学归纳法，换元法，均值不等式，柯西不等式，导数法不等式在中学数学中占有重要地位，因此在历年高考中颇为重视。
由于不等式的形式各异, 所以证明没有固定的程序可循，技巧多样，方法灵活，因此有关不等式的证明是中学数学的难点之一。
本文从不等式的各个方面进行讲解和研究。
一．比较法所谓比较法，就是通过两个实数a 与b 的差或商的符号（范围）确定a 与b 大小关系的方法，即通过“0a b ->，0a b -=，0a b -<；或1a b >，1a b =，1a b <”来确定a ，b 大小关系的方法，前者为作差法，后者为作商法。
例1 已知：0>a ，0>b ，求证：ab b a ≥+2. 分析：两个多项式的大小比较可用作差法证明 02)(2222≥-=-+=-+b a ab b a ab b a ， 故得 ab b a ≥+2. 例2 设0>>b a ，求证：a b b a b a b a >.分析：对于含有幂指数类的用作商法证明 因为 0>>b a ，所以 1>ba ，0>-b a . 而 1>⎪⎭⎫ ⎝⎛=-b a a b b a b a b a b a ，故 a b b a b a b a >二．分析法从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立，这种方法叫做分析法。
例3：求证3<证明：960+>> 5456<成立运用分析法时，需积累一些解题经验，总结一些常规思路，这样可以克服无目的的乱碰，从而加强针对性，较快地探明解题途。
初中数学不等式证明方法总结
初中数学不等式证明方法总结通常不等式中的数是实数，字母也代表实数。
初中数学不等式证明方法总结，希望可以帮助到大家，我们来看看。
初中数学不等式证明方法总结1知识要点：不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变。
(÷或×1个负数的时候要变号)。
不等式的证明1、比较法包括比差和比商两种方法。
2、综合法证明不等式时，从命题的已知条件出发，利用公理、定理、法则等，逐步推导出要证明的命题的方法称为综合法，综合法又叫顺推证法或因导果法。
3、分析法证明不等式时，从待证命题出发，分析使其成立的充分条件，利用已知的一些基本原理，逐步探索，最后将命题成立的条件归结为一个已经证明过的定理、简单事实或题设的条件，这种证明的方法称为分析法，它是执果索因的方法。
4、放缩法证明不等式时，有时根据需要把需证明的不等式的值适当放大或缩小，使其化繁为简，化难为易，达到证明的目的，这种方法称为放缩法。
5、数学归纳法用数学归纳法证明不等式，要注意两步一结论。
在证明第二步时，一般多用到比较法、放缩法和分析法。
6、反证法证明不等式时，首先假设要证明的命题的反面成立，把它作为条件和其他条件结合在一起，利用已知定义、定理、公理等基本原理逐步推证出一个与命题的条件或已证明的定理或公认的简单事实相矛盾的结论，以此说明原假设的结论不成立，从而肯定原命题的结论成立的方法称为反证法。
知识要领总结：证明不等式要注意不等式两边都乘以或除以一个负数，要改变不等号的方向。
初中数学知识点总结：平面直角坐标系下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。
平面直角坐标系平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。
水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合三个规定：①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。
高中数学不等式问题的思路、方法、技巧
证明：由变形公式③， a2 b 2+b 2 c2+c2 a 2≥ ab·bc+bc · ca+ca· ab=abc（b+c+a），当且仅
当 a=b=c 时等号成立。
3. 分析法
2
分 析 法 也 是 证 明 不 等 式 的 一 种 基 本 方 法 ， 模 式 为 ： 欲 证 A B， 若 已 知
B C1 C2 …… I ，（ I 为一个真命题，可以是 A，也可以是另一已知成立的真命题） ， 则命题得证。 分析法的证题思路和综合法正好相反， 是一步步寻找结论成立的条件。 它的优
证明：∵（ 2x 4+1）- x 2（ 2x+1 ） =2x4+1-2x 3-x 2=2x 3 （x-1 ）- （ x2 –1）=（ x-1） [2x 3 –x-1]
=（ x-1 ）[2x 3 –2x+x-1]=
（
x-1
）
[2x
（
2
x
–1）
+
（
x-1
）
]
=
（
x-1
） 2（ 2x
2
+2x+1
）
=（ x-1 ） 2[x 2 +（ x+1 ）2 ] ≥ 0.
证明：∵（
a2+b2）
-[2
（
2a-b）-5]=
a
22
+b
-4a+2b+5
= a2-4a +4+b 2+2b+1= （ a-2）2 +（ b+1） 2≥ 0.
∴命题成立 .（当且仅当 a = 2， b= -1 时等号成立）
专题四 不等式证明的五大方法
2π -A)] 3
=2R(sin A+ c=2Rsin
3 1 π cos A+ sin A)=2 3 Rsin (A+ )≤2 3 R, 2 6 2
π = 3 R,所以 a+b≤2c. 3
数学
(2)已知a2+b2=1,x2+y2=4,求证:|ax+by|≤2. 思路点拨:(2)三角换元后,利用三角函数的有界性放缩.
数学
方法总结 使用不等式的性质放缩不等式中项,使之能够产生裂项相 消的部分是证明与正整数的和式有关的不等式的基本思考途径.
数学
方法四
反证法
1 【例 6】 已知 a,b,c∈(0,1).求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 不能同时大于 . 4 1 思路点拨:不能同时大于 ,是以否定形式给出的命题,采取反证法. 4 1 1 1 1 证明:假设三式同时大于 ,即(1-a)b> ,(1-b)c> ,(1-c)a> , 4 4 4 4
三式同向相乘,得(1-a)a(1-b)b(1-c)c> 又(1-a)a≤(
1 .① 64
1 a a 2 1 1 1 ) = ,同理(1-b)b≤ ,(1-c)c≤ . 2 4 4 4
所以(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤
1 ,与①式矛盾,即假设不成立,故结论正确. 64
数学
方法总结 反证法对已知条件较少、结论情况较多,或者结论是否定 形式给出、结论是唯一性等命题的证明非常有效.
a c sin A sin B = , b sin A sin C
求证:a+b≤2c; 思路点拨:(1)使用正弦定理把求证目标化为三角函数的不等式; π a 2 b2 c 2 1 2 2 2 证明:(1)化简得 a +b -ab=c ,所以 cos C= = ,C= . 2 3 2ab
中学数学证明不等式的方法
中学数学证明不等式常见的九种证明方法许071114 数学与应用数学不等式作为工具，被广泛地应用到数学的各个领域。
不等式的证明是高考和数学竞赛中的热门话题。
不等式的形式多种多样，证明手法也是灵活多变，它常常和许多内容相结合，所以具体问题具体分析是证明不等式的精髓。
不等式的证明问题也是各种思想方法的集中体现，因此难度较大。
解决这个问题的途径在于熟练掌握不等式的性质和一些基本不等式，灵活运用常用的证明方法。
下面就结合不等式教学实际谈谈如何让学生通过不等式的证明这个知识点进行横向扩散和纵向扩散。
1、比较法：比较两个式子的大小,求差、求商或过渡比较法都是最基本最常用的方法。
1.1求差法：要证不等式a>b,只需证明a-b>0即可，其步骤为：做差a-b →变形(常用变形方法有:通分，因式分解，配方等)→判断符号。
例1 求证：x2+3＞3x证明：：∵(x2+3)-3x=x2-3x+(32)2-(32)2+3= +≥ >0 ∴x2+3＞3x例2 已知a,b ∈R+，并且a ≠b ，求证 a5+b5＞a3b2+a2b3证明：(a5+b5)-(a3b2+a2b3)=(a5-a3b2)-(a2b3-b5)= a3(a2-b2)-b3(a2-b2)=(a2-b2)(a3-b3)=(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)∵a,b ∈R+ ∴a+b ＞0, a2+ab+b2＞0又因为a ≠b,所以（a-b ）2＞0∴(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)＞0 即(a5+b5)-(a3b2+a2b3)＞0∴a5+b5＞a3b2+a2b31.2求商法：当欲证的不等式两端是乘积形式或幂指数式可采用作商比较法。
若b>0,欲证a>b,只需证明b a >1;欲证:a<b,只需证明: 1<b a 。
其步骤为：作商→变形→判断结果与1的大小关系。
例 3 已知a>0,b>0,求证:aabb ≥(ab)2ba +.分析：因两边都是乘积的幂指数运算形式，而a>0,b>0,故可作商与1比大小.证明： 2222)()(b a a b b a ba ba b a b a ab b a -=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∙=∙1）若a>b>0,则02,1>->b a b a ,故2ba b a -⎪⎭⎫ ⎝⎛>1。
关于不等式的证明及推广
百度文库- 让每个人平等地提升自我I关于不等式的证明及推广摘要在初等代数和高等代数中，不等式的证明都占有举足轻重的位置。
初等代数中介绍了许多具体的但相当有灵活性和技巧性的证明方法，例如换元法、放缩法等研究方法；而高等数学中，可以利用的方法更加灵活技巧。
我们可以利用典型的柯西不等式的结论来证明类似的不等式；除此还可以利用导数，微分中值定理，泰勒公式，积分中值定理等有关的知识来证明不等式；结合凸函数的性质，凸函数法也可以证明一类不等式；在正定的情况下，也可以用判别式法；掌握了定积分化为重积分的内容之后，对于某类不等式，也可以将定积分化为重积分，再证明所求的不等式。
由此我们可以看到，不等式的的求解证明方法并不唯一，但是初等数学里的不等式，都可以用高等数学的知识来解决，解答更为简洁。
所以，高等数学对初等数学的教学和学习具有重要的指导意义。
本文归纳和总结了一些求解证明不等式的方法与技巧，突出了不等式的基本思想和基本方法，便于更好地了解各部分的内在联系，从总体上把握不等式的思想方法；注重对一些著名不等式的论证、推广及应用的介绍。
本篇论文一共分为三章，其中第三章和第四章为正文部分。
第三章分两小节，第一节介绍了23种初等代数中不等式的证明方法。
而第二节则介绍了6种高等代数中不等式的证明方法。
第四章介绍了一些著名不等式的证明、推广和应用。
关键词：不等式证明方法百度文库- 让每个人平等地提升自我IIAbstractIn elementary algebra and advanced algebra,The inequality proof all holds the pivotalposition. In the elementary algebra introduced many concrete but has quite had mystical powers activeness and skill the proof method,For example the structure proof method, the comparison test, puts item by item shrinks research technique and so on the law; But in higher mathematics,We may a use method more nimble skill. We may use the model west the tan oak the inequality conclusion to prove the similar inequality; Eliminates this also to be possible to use the derivative, Differential theorem of mean, Taylor formula; integra intermediate value theorem And so on the related knowledge proves the inequality;Union convex function nature,The convex function law also may prove a kind of inequality; In is deciding in situation,Also may use the discriminant law; After grasped the definite integral to change into the multiple integral the content, Regarding some kind of inequality,Also may change into the definite integral the multiple integral, Again proved asks inequality. May see from this us to, Inequality solution proof method not only, But in elementary mathematics inequality, All may use the higher mathematics the knowledge to solve, answer is ,The higher mathematics has the important guiding sense to the elementary mathematics teaching and the study, Not only must grasp in the elementary mathematics each inequality proof method,Must grasp in the higher mathematics the inequality proof method, This article induced and summarized some solution proof inequalities methods and the skill,Has highlighted the inequality basic thought and the essential method, Is advantageous for understands each part of inner links well, Grasps the inequality from the overall the thinking method; Attention to some famous inequalities proofs.This paper altogether divides into three chapters, third chapter and fourth chapter is the main chapter minutes two sections, First section introduceds in 23 kind of elementary algebras the inequality proof method. But second then introduced in 6 kind of advanced algebras the inequality proof chapter introduced some famous inequalities proofs, the promotion and the application.Key word: Inequality proof method百度文库- 让每个人平等地提升自我III 目录摘要 (Ⅰ)Abstract (Ⅱ)第一章引言（绪论） (1)第二章文献综述 ·······················································································第三章不等式的证明方法 ·······································································初等代数中不等式的证明 ·····································································3.1.1比较法····················································································3.1.2分析法 ·······························································································3.1.3反证法·······························································································3.1.4数学归纳法 ························································································3.1.5换元法 ·······························································································3.1.6放缩法 ·······························································································3.1.7调整法 ·······························································································3.1.8构造法 ·······························································································3.1.9利用已知的不等式证明 ·······································································3.1.10利用一元二次方程的判别式证明 ·······················································3.1.11用几何特性或区域讨论 ·····································································3.1.12利用坐标和解析性证明 ·····································································3.1.13利用复数证明 ···················································································3.1.14参数法 ·····························································································3.1.15利用概率证明 ···················································································3.1.16利用向量证明 ···················································································3.1.17面积法 ·····························································································3.1.18化整法 ·····························································································百度文库- 让每个人平等地提升自我IV 3.1.19步差法 ·····························································································3.1.20通项公式法 ······················································································3.1.21转化成数列法 ···················································································3.1.22增量法 ·····························································································3.1.23裂项法 ·····························································································高等代数中不等式的证明 ·······································································3.2.1由函数的上、下限证明·····································································3.2.2由柯西不等式证明 ···········································································3.2.3由Taylor公式及余项证明·································································3.2.4由积分的性质证明 ···········································································3.2.5由中值定理证明···············································································3.2.6利用求函数的最值证明·····································································第四章几个著名不等式的证明、推广及其应用···································关于绝对值不等式 ·················································································4.1.1三角形不等式 ··················································································4.1.2三角形不等式的推广 ········································································4.1.3三角形不等式的应用 ········································································平均值不等式··························································································4.2.1算术平均数与几何平均数 ·································································4.2.2几个平均数的关系 ···········································································4.2.3平均值不等式的应用 ········································································贝努利不等式··························································································排序不等式······························································································柯西不等式······························································································4.5.1柯西不等式的定理和初等证明 ··························································4.5.2柯西不等式的推广 ···········································································百度文库- 让每个人平等地提升自我V 闵可夫斯基不等式 ·················································································赫尔德不等式··························································································契比雪夫不等式 ·····················································································琴生不等式······························································································艾尔多斯—莫迪尔不等式 ·····································································结论··············································································································致谢··············································································································参考文献······································································································附件··············································································································。
初中数学重点梳理：不等式的证明和应用
不等式的证明和应用知识定位不等式是数学竞赛的热点之一。
由于不等式的证明难度大，灵活性强，要求很高的技巧，常常使它成为各类数学竞赛中的“高档”试题。
而且，不论是几何、数论、函数或组合数学中的许多问题，都可能与不等式有关，这就使得不等式的问题（特别是有关不等式的证明）在数学竞赛中显得尤为重要。
证明不等式同大多数高难度的数学竞赛问题一样，没有固定的模式，证法因题而异，灵活多变，技巧性强。
但它也有一些基本的常用方法，要熟练掌握不等式的证明技巧，必须从学习这些基本的常用方法开始。
知识梳理1. 不等式三个基本性质：① 不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。
② 不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。
③ 不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。
2. 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集。
设a>b,不等式组⎩⎨⎧>>b x ax 的解集是x>a ⎩⎨⎧<<b x ax 的解集是x<b ⎩⎨⎧<>ax bx 的解集是 b<x<a ⎩⎨⎧<>bx ax 的解集是空集 3.不等式证明的基本方法：（1）比较法比较法可分为差值比较法和商值比较法。
差值比较法：原理 A － B ＞0A ＞B ．商值比较法：原理 若>1，且B>0，则A>B 。
3.不等式的应用：（1）几何中证明线段或角的不等关系常用以下定理①三角形任意边两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和。
③在一个三角形中，大边对大角，大角对大边。
直角三角形中，斜边大于任一直角边。
④有两组边对应相等的两个三角形中如果这两边的夹角大，那么第三边也大；如果第三边大，那么它所对的角也大。
⑤任意多边形的每一边都小于其他各边的和（2）不等式(组)的应用主要表现在：作差或作商比较数的大小；求代数式的取值范围；求代数式的最值，列不等式(组)解应用题．其中，不等式(组)解应用题与列方程解应用题的步骤相仿，一般步骤是：（1）弄清题意和题中的数量关系，用字母表示未知数；（2）找出能够表示题目全部含义的一个或几个不等关系；（3）列出不等式(组)；（4）解这个不等式(组)，求出解集并作答．例题精讲【试题来源】【题目】已知x＜0，-1＜y＜0，将x，xy，xy2按由小到大的顺序排列．【答案】x＜xy2＜xy．【解析】分析用作差法比较大小，即若a-b＞0，则a＞b；若a-b＜0，则a＜b．解因为x-xy=x(1-y)，并且x＜0，-1＜y＜0，所以x(1-y)＜0，则x＜xy．因为xy2-xy=xy(y-1)＜0，所以xy2＜xy．因为x-xy2=x(1+y)(1-y)＜0，所以x＜xy2．综上有x＜xy2＜xy．【知识点】不等式的证明和应用【适用场合】当堂例题【难度系数】2【试题来源】【题目】若试比较A，B的大小．【答案】A＞B【解析】显然，2x＞y，y＞0，所以2x-y＞0，所以A-B＞0，A＞B．【知识点】不等式的证明和应用【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】【题目】若正数a，b，c满足不等式组试确定a，b，c的大小关系．【答案】b＜c＜a【解析】解①+c得②+a得③+b得由④，⑤得所以c＜a．同理，由④，⑥得b＜c．所以a，b，c的大小关系为b＜c＜a．【知识点】不等式的证明和应用【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】当k取何值时，关于x的方程3(x+1)=5-kx分别有(1)正数解；(2)负数解；(3)不大于1的解．【答案】k≥-1或k＜-3．【解析】解将原方程变形为(3+k)x=2．(1)当 3+k＞0，即k＞-3时，方程有正数解．(2)当3+k＜0，即k＜-3时，方程有负数解．(3)当方程解不大于1时，有所以1+k，3+k应同号，即得解为k≥-1或k＜-3．注意由于不等式是大于或等于零，所以分子1+k可以等于零，而分母是不能等于零的。
高中数学证明不等式的九种常用方法
ab-a-b+1≥a+b-3 即ab≥a+b+(a+b-4) ∵a≥2，b≥2 ∴a+b-4≥0 ∴ab≥a+b 当且仅当a=b=2时等号成立 证毕
6 Math Part
构造法
6 Math Part 构造法
构造法：通过构造函数、图形、方程、数列、 向量等来证明不等式的方法。
本题我们使用构造函数和几何图形两种方法 来说明构造法的使用。
=a(b-1)-(b-1)-1
∴ab-a-b≥0
=(a-1)(b-1)-1
即ab≥a+b
∵a≥2，b≥2
证毕
2 Math Part
综合法
2 Math Part 综合法
综合法：综合法是从命题的已知条件出发， 利用公理、已知定义及定理，逐步推导，从 而最后推导出要证明的命题。
2 Math Part 综合法
4 Math Part 反证法
例题：已知a≥2，b≥2，求证：ab≥a+b
证明： 假设ab<a+b ab-a-b =a(b-1)-b =a(b-1)-(b-1)-1 =(a-1)(b-1)-1 ∵ab<a+b
∴(a-1)(b-1)<1
①
∵a≥2，b≥2
∴a-1≥1，b-1≥1
∴(a-1)(b-1)≥1
与①式矛盾
所以原命题成立
证毕
5 Math Part
公式法
5 Math Part 公式法
伯公努式利法不：等利式用：已有的不等式的定理、公式等 (1证+x明1)不(1等+x式2)…的(一1+种xn方) ≥法1。+x高1+中x2常…+见xn的公式有： 对基 栖于本 西任不不意等等1≤式式i,、、j≤绝加n都对权有值平x不均i>-等不1且式 等所、 式有均 、x值 切i与不 比x等雪j同式夫号、不
浅谈中学数学不等式的证明方法
本科生毕业论文学院数学与计算机科学学院专业数学与应用数学届别 2015 届题目浅谈中学数学不等式的证明方法学生姓名徐亚娟学号 2指导教师吴万勤教务处制云南民族大学毕业论文(设计)原创性声明本人郑重声明：所呈交的毕业论文(设计)，是本人在指导教师的指导下进行研究工作所取得的成果。
除论文中已经注明引用的内容外，本论文没有抄袭、剽窃他人已经发表的研究成果。
本声明的法律结果由本人承担。
毕业论文(设计)作者签名：日期：年月日……………………………………………………………………………关于毕业论文(设计)使用授权的说明本人完全了解云南民族大学有关保留、使用毕业论文(设计)的规定，即：学校有权保留、送交论文的复印件，允许论文被查阅，学校可以公布论文(设计)的全部或部分内容，可以采用影印或其他复制手段保存论文(设计)。
（保密论文在解密后应遵守）指导教师签名：论文(设计)作者签名：日期：年月日目录摘要 (4)引言 (6)1、预备知识 (6)1.1不等式的概念 (6)1.2不等式的性质 (6)1.3基本不等式 (7)1.4几个重要不等式 (7)1.4.1柯西不等式 (7)1.4.2伯努利不等式 (7)2、证明不等式的常用方法 (7)2.1比较法 (8)2.1.1求差法 (8)2.1.2求商法 (8)2.1.3过度比较法 (8)2.2分析法 (9)2.3综合法 (9)2.4缩放法 (10)2.4.1放缩法的常见技巧 (10)2.5反推法 (10)2.6数学归纳法 (11)2.7反证法 (11)2.7.1反证法的基本思路 (11)2.7.2反证法的步骤 (11)2.8判别式法 (12)2.9等式法 (12)2.10中值定理法 (12)2.11排序法 (12)2.12分解法 (13)2.13函数极值法 (13)3 .利用构造法证明不等式 (13)3.1构造函数模型 (13)3.1.1构造一次函数模型 (14)3.1.2构造二次函数模型 (14)3.1.3构造单调函数证明不等式 (14)3.2构造复数模型 (14)3.3构造方程法 (15)4.换元法证明不等式 (15)4.1.三角换元法 (15)4.2均值换元 (16)4.3几何换元法 (16)4.4增量换元法 (17)5.利用著名不等式证明 (17)5.1利用均值不等式 (17)5.2柯西不等式证明法 (18)5.3利用契比雪夫不等式 (18)5.4利用绝对值不等式 (18)5.5利用重要不等式 (19)总结 (19)参考文献： (20)致谢 (21)浅谈中学数学不等式的证明方法徐亚娟云南民族大学数学与计算机科学学院摘要在中学数学中不等式是十分重要的内容，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用。
浅谈不等式证明题的常用方法与技巧
课程篇”肉谈不等式证朗题的常用方出与技巧李阳刚(贵卅省长顺县民族高级中学，贵州长顺)摘要：一般来说，不等关系以及相等关系是数学中最为基本的数量关系。
不等式的内容在高中数学的教学内容中占据着重要的比重，它是高中数学非常重要的知识点，在日常生活、学习中不等式的证明方法以及相关的应用都会得到相应的体现。
在高中不等式的教学过程中，不等式的证明方法是丰富多样的。
主要介绍了一些能够有效证明常见不等式的解题思路和技巧，希望对学生解决不等式问题有一些帮助。
关键词：不等式证明；方法与技巧；教学策略不等关系是在客观世界中广泛存在的一种基本关系，其中，：各种类型的不等式在现代数学的各个领域中都应用得较为广泛。
］不等式.即利用不等号或者是“#”)来表示不等式关系的1式子。
在高中数学不等式的证明过程中，其证明方法都有相对应:的技巧和模式，利用绝对值来求解不等式、结合分段讨论的方法:求解不等式法、综合法、放缩法、比较法、换元法等都是证明和求：解不等式的简便方法。
因此，在数学的学习过程中,教师要引导学;生结合不等式题型的特点，合理地选用不等式证明方法和技巧，1通过简便的途径来有效地解决问题，提高解题效率。
以下我们就:来实际列举一些不等式证明的常见方法与技巧。
一、利用绝对值解不等式在高中数学的不等式解题过程中，处理绝对值样式的不等式的解题思路在于将绝对值不等式转化为非绝对值的不等式。
绝对:值本质上表示数轴上的点位于原点之间的距离，所以教师只有帮1助学生清晰地认知绝对值的含义，才能够帮助学生在理解的基础1上，透彻地掌握绝对值解不等式的解题思路，有效地证明不等式。
1例如，在证明“不等式|乂-3|-|乂+5卜2成立”的过程中，|x-3|:可以表示为数轴上的点到3的距离，那么相应的b+5|就表示为数轴上的点到点-5之间的距离。
那么，不等式b-3|-h+5卜2的■解则会体现在数轴中.所以，教师就可以引导学生：数轴上的点距［离3的长度与点到-5的长度之差能够大于2的所有点都满足这［个不等式的解，则有了以下证明。
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本科生毕业论文学院数学与计算机科学学院专业数学与应用数学届别 2015 届题目浅谈中学数学不等式的证明方法学生姓名徐亚娟学号 201111401138 指导教师吴万勤教务处制云南民族大学毕业论文(设计)原创性声明本人郑重声明：所呈交的毕业论文(设计)，是本人在指导教师的指导下进行研究工作所取得的成果。
除论文中已经注明引用的内容外，本论文没有抄袭、剽窃他人已经发表的研究成果。
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因此不等式的应用体现了一定的综合性、灵活多样性，对数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用。
在解决问题时，要依据题设与结论的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明。
而不等式的证明，方法灵活多样，还和很多内容结合，所以具体问题具体分析是证明不等式的精髓。
不等式的证明问题也是各种思想方法的集中体现，因此难度较大。
解决这个问题的途径在于熟练掌握不等式的性质和一些基本不等式，灵活运用常用的证明方法。
在本文中，我总结了一些数学中证明不等式的方法。
在初等数学不等式的证明中常用到的方法是：比较法、作商法、分析法、综合法、数学归纳法、反证法、换元法、换缩法、判别式法、函数法、几何法等等。
在高等数学不等式的证明中经常利用中值不等式、泰勒公式、拉格朗日函数、以及一些证明不等式，如：均值不等式、柯西不等式、伯努利不等式等，从而使不等式的证明方法更加的完善，有利于我们进一步探讨和研究不等式的证明，通过学习这些方法，可以为我们解决一些实际问题，培养逻辑推理论证能力和抽象思维能力以及养成勤于思考、善于思考的良好学习习惯。
【1】【关键词】中学数学；不等式；证明方法；函数AbstractIn the middle school inequalities are very important content, penetration in the middle school mathematics branches, has a very wide range of applications. So the inequality reflects the comprehensive application, certain flexibility and diversity, mastery of mathematics knowledge of each part, played a very good role in promoting. In solving the problem, according to the questions set structure characteristics, and conclusion inner relation, selection of the appropriate solution, finally go to solve or proof of inequality. But the inequality proof method, flexible, and a lot of content combination, so the concrete analysis of concrete problems is the essence of the proof of inequality. Embodiment of proving inequalities are also all kinds of method of thinking, so difficult. The way to solve this problem is to master the nature of inequality and some basic inequalities, flexibility in the use of commonly used methods of proof. In this paper, I summarized some mathematical inequality proof methods. Methods in the elementary mathematical proof inequality to the commonly used are: the comparative method, for commercial, analysis, synthesis method, mathematical induction method, reduction to absurdity, change element method, change the shrinkage method, the discriminant method, function method, geometric method and so on .In equality in higher mathematics proof is usually used in the mean value inequality, Taylor formula, Lagrange function, as well as some proof of inequality, such as: mean inequality, Cauchy inequality, Bernoulli inequality, thus making the method to prove inequality more perfect, is favorable for us to further explore and research proof of inequality, through the study of these methods, we can to solve some practical problems, develop logical reasoning ability and abstract thinking ability and develop diligent in thinking, good at thinking of good learning habits.Keywords: Middle school mathematics；Inequality；The proof method；Function引言众所周知，在自然界中存在着大量的不等量关系，不等关系是基本的数学关系，在数学研究和数学应用中起着重要的作用。
因此，研究不等式的证明方法显得尤为重要，许多前辈在此领域取得了非常好的成绩，得出了许多证明不等式的方法，在他们的成绩基础上，本文对各种方法进行了归纳与总结。
证明不等式的方法灵活多样，内容丰富、技巧性较强。
所以我们在证明不等式时要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点。
通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式得到证明；反之亦可从明显的、熟知的不等式入手，经过一系列的运算而导出待证的不等式，前者是“执果索因”，后者是“由因导果”，两者为沟通、联系的途径，证明时往往联合使用分析综合法，两面夹击，相辅相成，达到欲证的目的。
【2】通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，使数学知识间相互融合，得到全面透彻的理解，从而提高分析问题解决问题的能力。
在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生数学素质及创新意。
1、预备知识1.1不等式的概念用不等号(如“≥ ”、“≤ ”、“＞”、“＜”等)连接两个代数式而成的式子叫做不等式.其中用“＞”或“＜”连接的式子叫严格不等式；用“≤ ”或“≥ ”连接的不等式叫做非严格不等式。
[3]1.2不等式的性质性质1:如果a>b,b>c,那么a>c.(不等式的传递性).性质2：如果x>y,那么y<x;如果y<x,那么x>y;性质3:如果a>b,而c为任意实数或整数，那么a+c>b+c(不等式的可加性).性质4:如果a>b,c>0,那么ac>bc;性质5：如果a>b,c>d,那么a+c>b+d.性质6:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.性质7:如果a>b>0,n∈N,n>1,那么a n>b n.性质8：倒数原则)性质9：含绝对值不等式的性质：(1)∣a∣+∣b∣≥∣a+b∣(2)∣a∣-∣b∣≤∣a+b∣(3) ∣a∣-∣b∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣1.3基本不等式(1)若a,b∈R,a2+b2 ≥ 2ab,且a=b等号成立.推广到n个正数x1,x2,x3,x4,…x n,(x1+x2+x3+...+x n )/n当且仅当 x1=x2=x3=x4…=x n时，等号成立。