二次函数与面积问题
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教学目标：
一、使学生经历探索实际问题中两个变量之间的 函数关系的过程 二、使学生理解用函数知识解决问题的思路。 三、使学生体验数学建模思想，培养学生解决实 际问题的能力。 四、使学生体会数学知识的现实价值，提高学生 的学习兴趣。
靠墙问题
例1:用一段长40m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园， 墙长为24m，求矩形面积与矩形一边长的函数关系式， 并求出自变量取值范围。当这个矩形的长、宽各为多少 时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ 18m
在实际问题中,自变量往往是有一定 取值范围的.因此,根据二次函数的 顶点坐标, 取得的最大值(或最小 值),要根据实际问题要求检验自变 量的这一取值是否在取值范围内,才 能得到最后的结论.
二次函数在几何图形中的应用， 实际上是数形结合的思想的运用， 融代数与几何为一体，把代数问 题与几何问题进行互相转化，本 节课充分运用所学知识求出解析 式，从而求出矩形的最大面积。
S=x（40-2x）=-2x2+40x
=-2（x-10）2+200 ∴当x=10时，S最大为200
墙 菜园
∴40-2x=40-20=20＜24 ∴当矩形长为20m，宽为10m时，菜园 面积最大为200m2.
在一面靠墙（足够长）的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔 有两道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。 (1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ (3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。
用一段长38m的篱笆围成一个如图所示的矩形菜园，墙 长为18m，门宽2m，当这个矩形的长、宽各为多少时， 菜园的面积最大，最大面积是多少？
解：设垂直于墙的边长为xm,矩形面积为s，根据 题意得：
S=x（38-2x+4)
S=x（38-3x+6)
直角边两动点问题
在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 cm，BC＝24 cm，动点P从点A开始沿边AB向B以2 cm/s的速度 移动(不与点B重合)，动点Q从点B开始沿边BC向 C以4 cm/s的速度移动(不与点C重合)．如果P、Q 分别从A、B同时出发，设运动的时间为x s，四边 形APQC的面积为y cm2.(1)求y与x之间的函数关系 式；(2)四边形APQC的面积能否等于172 cm2.若能 ，求出运动的时间； 若不能，说明理由．
解： (1) ∵ AB为x米、篱笆长为24米
∴ BC为（24－4x）米
∴ S＝x（24－4x） ＝－4x2＋24 x （0<x<6）
A B
D C
4ac b 2 b (2)当x＝ 2a 3 时，S最大值＝ 4a ＝36（平方米）
(3) ∵墙的可用长度为8米
∴ 0<24－4x ≤8 4≤x<6 ∴当x＝4cm时，S最大值＝32 平方米
（2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不 会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时 剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由；
（3）如果把矩形硬纸板的四周分别剪去2个同 样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的矩 形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，是否 有侧面积最大的情况；如果有，请你求出最大 值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请 你说明理由．
“二次函数应用” 的思 路
本节“最大面积”解决问题的过程，你能总结一 下解决此类问题的基本思路吗？与同伴交流. 1.理解问题; 2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系; 3.用数学的方式表示出它们之间的关系; 4.做数学求解;
5.检验结果的合理性,拓展等.
（1）列出二次函数的解析式，并根 据自变量的实际意义，确定自变量的 取值范围； （2）在自变量的取值范围内，运用 公式法或通过配方求出二次函数的最 大值或最小值。也可以利用图象判断。
墙
解：设垂直于墙的边长为xm,矩形 面积为s，根据题意得：
菜园
S=x（40-2x）=-2x2+40x
靠墙围矩形问题
例1:用一段长40m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园， 墙长为24m，求矩形面积与矩形一边长的函数关系式， 并求出自变量取值范围。当这个矩形的长、宽各为多少 18m 时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
∵0＜AP＜AB，0＜BQ＜BC， ∴0<x<6.
(2)不能．理由： 当y＝172时，4x2－24x＋144＝172. 解之得：x1＝7，x2＝－1. 又∵0<x<6， ∴四边形APQC的面积不能等于172 cm2.
矩形折叠问题
如图，把一张长10cm，宽8cm的矩形硬纸板的四 周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个 无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）． （1）要使长方体盒子的底面积为48cm2，那么剪 去的正方形的边长为多少？
用一段长38m的篱笆围成一个如图所示的矩形菜园，墙 长为18m，门宽2m，当这个矩形的长、宽各为多少时， 菜园的面积最大，最大面积是多少？ 墙
解：设垂直于墙的边长为xm,矩形 面积为s，根据题意得：
S=x（38-2x+2） =-2x2+40x=-2（x-10）2+200
∴当x=11时，S有最大值，S=-2+200=198 38-2x+2=40-22=18 即：矩形的长为18m，宽为11m时面积最大为198m2
·北师大版
谢谢同学们的积极参与
考点Baidu Nhomakorabea合
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一、使学生经历探索实际问题中两个变量之间的 函数关系的过程 二、使学生理解用函数知识解决问题的思路。 三、使学生体验数学建模思想，培养学生解决实 际问题的能力。 四、使学生体会数学知识的现实价值，提高学生 的学习兴趣。
靠墙问题
例1:用一段长40m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园， 墙长为24m，求矩形面积与矩形一边长的函数关系式， 并求出自变量取值范围。当这个矩形的长、宽各为多少 时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ 18m
在实际问题中,自变量往往是有一定 取值范围的.因此,根据二次函数的 顶点坐标, 取得的最大值(或最小 值),要根据实际问题要求检验自变 量的这一取值是否在取值范围内,才 能得到最后的结论.
二次函数在几何图形中的应用， 实际上是数形结合的思想的运用， 融代数与几何为一体，把代数问 题与几何问题进行互相转化，本 节课充分运用所学知识求出解析 式，从而求出矩形的最大面积。
S=x（40-2x）=-2x2+40x
=-2（x-10）2+200 ∴当x=10时，S最大为200
墙 菜园
∴40-2x=40-20=20＜24 ∴当矩形长为20m，宽为10m时，菜园 面积最大为200m2.
在一面靠墙（足够长）的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔 有两道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。 (1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ (3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。
用一段长38m的篱笆围成一个如图所示的矩形菜园，墙 长为18m，门宽2m，当这个矩形的长、宽各为多少时， 菜园的面积最大，最大面积是多少？
解：设垂直于墙的边长为xm,矩形面积为s，根据 题意得：
S=x（38-2x+4)
S=x（38-3x+6)
直角边两动点问题
在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 cm，BC＝24 cm，动点P从点A开始沿边AB向B以2 cm/s的速度 移动(不与点B重合)，动点Q从点B开始沿边BC向 C以4 cm/s的速度移动(不与点C重合)．如果P、Q 分别从A、B同时出发，设运动的时间为x s，四边 形APQC的面积为y cm2.(1)求y与x之间的函数关系 式；(2)四边形APQC的面积能否等于172 cm2.若能 ，求出运动的时间； 若不能，说明理由．
解： (1) ∵ AB为x米、篱笆长为24米
∴ BC为（24－4x）米
∴ S＝x（24－4x） ＝－4x2＋24 x （0<x<6）
A B
D C
4ac b 2 b (2)当x＝ 2a 3 时，S最大值＝ 4a ＝36（平方米）
(3) ∵墙的可用长度为8米
∴ 0<24－4x ≤8 4≤x<6 ∴当x＝4cm时，S最大值＝32 平方米
（2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不 会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时 剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由；
（3）如果把矩形硬纸板的四周分别剪去2个同 样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的矩 形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，是否 有侧面积最大的情况；如果有，请你求出最大 值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请 你说明理由．
“二次函数应用” 的思 路
本节“最大面积”解决问题的过程，你能总结一 下解决此类问题的基本思路吗？与同伴交流. 1.理解问题; 2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系; 3.用数学的方式表示出它们之间的关系; 4.做数学求解;
5.检验结果的合理性,拓展等.
（1）列出二次函数的解析式，并根 据自变量的实际意义，确定自变量的 取值范围； （2）在自变量的取值范围内，运用 公式法或通过配方求出二次函数的最 大值或最小值。也可以利用图象判断。
墙
解：设垂直于墙的边长为xm,矩形 面积为s，根据题意得：
菜园
S=x（40-2x）=-2x2+40x
靠墙围矩形问题
例1:用一段长40m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园， 墙长为24m，求矩形面积与矩形一边长的函数关系式， 并求出自变量取值范围。当这个矩形的长、宽各为多少 18m 时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
∵0＜AP＜AB，0＜BQ＜BC， ∴0<x<6.
(2)不能．理由： 当y＝172时，4x2－24x＋144＝172. 解之得：x1＝7，x2＝－1. 又∵0<x<6， ∴四边形APQC的面积不能等于172 cm2.
矩形折叠问题
如图，把一张长10cm，宽8cm的矩形硬纸板的四 周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个 无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）． （1）要使长方体盒子的底面积为48cm2，那么剪 去的正方形的边长为多少？
用一段长38m的篱笆围成一个如图所示的矩形菜园，墙 长为18m，门宽2m，当这个矩形的长、宽各为多少时， 菜园的面积最大，最大面积是多少？ 墙
解：设垂直于墙的边长为xm,矩形 面积为s，根据题意得：
S=x（38-2x+2） =-2x2+40x=-2（x-10）2+200
∴当x=11时，S有最大值，S=-2+200=198 38-2x+2=40-22=18 即：矩形的长为18m，宽为11m时面积最大为198m2
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