二次函数与面积问题

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二次函数面积问题(整)

二次函数面积问题(整)1.题型一：割补法1.1 求解析式已知抛物线经过点A（4，）和点B（，2），且对称轴为直线l，顶点为C，求解析式。

由对称性可知，顶点C的横坐标为4/2=2，代入抛物线方程得2b+c=-4，又由于抛物线经过点A和B，代入方程可得2b+c=16和-b+c=2.解方程组得b=-3，c=2，代入方程y=-x^2-3x+2即可得到解析式。

1.2 求面积连接AC、BC、BD，求四边形ADBC的面积。

由于AC和BC在对称轴上，所以它们的长度相等。

设AC=BC=x，由顶点C的坐标可知，AC和BC的纵坐标分别为2和-2，因此四边形ADBC的面积为x*4+1/2*x*(-4)=2x。

2.如图，在直角坐标系中，已知直线y=x+4与y轴交于A 点，与x轴交于B点，C点坐标为（-2，），求解析式和四边形AOBM的面积。

2.1 求解析式由于抛物线经过点A、B、C，所以可以列出三个方程，分别是c=4，a+b+c=0，4a-2b+c=-2.解方程组得a=1，b=-3，c=4，因此抛物线的解析式为y=x^2-3x+4.2.2 求面积设抛物线的顶点为M，连接AM和XXX，求四边形AOBM的面积。

由于抛物线的对称轴与x轴垂直，所以顶点M的横坐标为1.5，代入抛物线方程可得纵坐标为4.25.因此，四边形AOBM的面积为1/2*2*4.25=4.25.3.已知抛物线y=3(x+1)^2-12如图所示3.1 求交点坐标抛物线与y轴的交点为(-3,-3)，因为当x=0时，y=-3.抛物线与x轴的交点为(-3±2√3,0)，因为当y=0时，x=-1±√3.3.2 求面积设顶点D的坐标为(-1,0)，连接AD和BD，求四边形ABCD的面积。

由于AD和BD在对称轴上，所以它们的长度相等。

设AD=BD=x，由顶点D的坐标可知，AD和BD的纵坐标分别为3和-3，因此四边形ABCD的面积为x*6+1/2*x*6=9x。

二次函数中的面积计算问题(包含铅垂高)

(D)二次函数中的面积计算问题【典型例子】例如，如图所示，二次函数2y x bx c =++图像x 在A 和B 两点（A 在B 的左边）与y 轴相交，在C 点与轴相交，顶点为M ，MAB ∆为直角三角形，图像的对称轴是一条直线2-=x ，该点P 是两点之间抛物线上的移动点,A C ，则PAC ∆面积的最大值为（C ）A.274 B. 112C 。

278D.3 二次函数中常见的面积问题类型：1.选择填空的简单应用2.不规则三角形的面积用S=3.使用4.使用相似的三角形5.使用分割法将不规则图形转为规则图形例 1如图 1 所示，已知正方形ABCD 的边长为 1 ， E , F , G , H 为每边的点， AE=BF=CG=DH ，设面积为小s 正方形EFGH 为, AE 为x , 那么about s 的x 函数图大致为 (乙)示例 2.回答以下问题：如图1所示，抛物线的顶点坐标为C 点( 1,4 )，与x 轴相交于A 点( 3 , 0)，与y 轴相交于B 点。

抛物线和直线AB 的解析公式；(2)求△ CA AB 和S △ CAB 的垂直高度CD ；(3)假设点P 是抛物线上（第一象限）上的一个移动点，是否存在点P ，使得S △ PA B = 89S △ CA B ，如果存在，求点P 的坐标；如果不存在，请解释原因。

思想分析这个问题是二次函数中的常见面积问题。

该方法不是唯一的。

可以使用截补法，但是有点麻烦。

如图第10题xyABCOM图1B铅垂高水平宽ha图2A xC Oy ABD 112所示，我们可以画出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 21=∆即三角形的面积等于水平宽度与前导垂直乘积的一半。

掌握了这个公式之后，思路就直截了当，过程也比较简单，计算量也相对少了很多。

答：（1）据已知，抛物线的解析公式可以设为y 1 = a ( x - 1 ) 2+ 4 ( a ≠ 0 ) 。

将A (3, 0)代入解析表达式，得到a = - 1 ，∴抛物线的解析公式为y 1 = - ( x - 1 ) 2+ 4，即y 1 = - x 2+2 x +3。

二次函数面积问题

二次函数与面积专题例1：已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点A(2,0),B(0,-1),D(-1,0)三点，。

(1)求二次函数的解析式。

(2)求S△BCD。

(3)在抛物线上找一点P，使S△ADP=S△BCD，求P坐标？(4)线段CD上有一动点P，过P作PQ//Y轴交抛物线于Q点，求PQ线段的最大值？(5)线段CD下方抛物线有一动点P，求三角形PCD面积的最大值？练习1：如图，抛物线y=（x+1）2+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）（1）求抛物线的对称轴及k的值；（2）抛物线的对称轴上存在一点P，使得PA+PC的值最小，求此时点P的坐标；（3）点M是抛物线上的一动点，且在第三象限。

①当M点运动到何处时，△AMB的面积最大？求出△AMB的最大面积及此时点M的坐标；②当M点运动到何处时，四边形AMCB的面积最大？求出四边形AMCB的最大面积及此时点的坐标．练习2：平面直角坐标系中，口ABOC如图放置，点A、C的坐标分别为（0，3）、（﹣1，0），将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到口A'B'OC'．（1）若抛物线过点C，A，A'，求此抛物线的解析式；（2）口ABOC和口A'B'OC'重叠部分△OC'D的周长；（3）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：点M在何处时△AMA'的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标．例2：已知：m，n是方程x2-6x+5=0的两个实数根，且m＜n，抛物线y=-x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n），如图所示．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C，D的坐标和△BCD的面积；（3）P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC•把△PCH 分成面积之比为2：3的两部分，请求出P点的坐标练习1：（锦江区2021一诊）练习2：（成都2016中考）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线()213=+-与x轴y a x交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C（0，8-），顶点为D，对称轴与x轴3交于点H.过点H的直线l交抛物线于P，Q两点，点Q在y轴右侧.(1)求a的值及点A、B的坐标；(2)当直线l将四边形ABCD分为面积比为3：7的两部分时，求直线l的函数表达式；(3)当点P位于第二象限时，设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否成为菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由．巩固1：（2021青白江一诊）巩固2：如图，己知抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于点A （1，0）和点B ，与y 轴交于点C （0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图（1），己知点H （0，﹣1）．问在抛物线上是否存在点G （点G 在y 轴的左侧），使得S △GHC =S △GHA ？若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图（2），抛物线上点D 在x 轴上的正投影为点E （﹣2，0），F 是OC 的中点，连接DF ，P 为线段BD 上的一点，若∠EPF=∠BDF ，求线段PE 的长．巩固2：在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A （0，2），点C （－1，0），如图所示，抛物线y ＝2ax2＋ax －23经过点B ．（1）求点B 的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）若三角板ABC 从点C 开始以每秒1个单位长度的速度向x 轴正方向平移，求点A 落在抛物线上时所用的时间，并求三角板在平移过程中扫过的面积；（4）在抛物线上是否还存在点P （点B 除外），使△ACP 仍然是以AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．。

二次函数与面积问题

二次函数与面积问题一、引言二次函数是高中数学中的重要内容之一，它在实际生活中有许多应用。

其中之一就是与面积问题相关联。

本文将详细讨论二次函数与面积问题的关系，并分析实际应用。

首先，我们将介绍二次函数的基本概念和公式，然后探讨如何利用二次函数解决面积问题。

二、二次函数基本概念2.1 二次函数的定义二次函数是指具有形如f(x)=ax2+bx+c的函数，其中a、b、c为实数且a≠0。

二次函数的图像通常为一个抛物线。

2.2 二次函数的图像与性质二次函数的图像可分为三种情况：开口向上、开口向下和与x轴相切。

其开口的方向由二次项的系数a决定。

二次函数还具有顶点坐标、对称轴和零点等性质，这些性质对于解决面积问题非常关键。

2.3 二次函数的标准形式和一般形式二次函数可通过变换转化为标准形式或一般形式。

标准形式为f(x)=a(x−ℎ)2+ k，其中(ℎ,k)为顶点坐标。

一般形式为f(x)=ax2+bx+c。

三、二次函数与面积问题3.1 二次函数与矩形面积问题矩形是我们生活中常见的图形之一。

假设一个矩形的长度为x，宽度为y，则它的面积A可以表示为A=xy。

现在，我们希望找到一个长度固定的矩形，使得它的面积最大。

我们可以建立一个二次函数来解决这个问题。

首先，根据矩形的面积公式A=xy，我们可以将y表示为x的函数：y=Ax。

然后，我们将该函数进行变形，得到一个二次函数的标准形式。

将x的取值范围限定为正实数，我们可以排除矩形不存在的情况。

通过对二次函数的顶点坐标求解，我们可以找到使得面积最大的矩形。

3.2 二次函数与三角形面积问题二次函数与三角形面积问题也有密切的联系。

考虑一个等腰三角形，已知其底边长为x，高为y。

我们希望找到一个底边固定的三角形，使得它的面积最大。

根据三角形的面积公式A=12xy，我们可以得到y=2Ax。

类似地，我们将其转化为二次函数的形式，并求解顶点坐标，从而找到最大面积的三角形。

3.3 二次函数与其他面积问题除了矩形和三角形，二次函数还可以应用于其他形状的面积问题，如圆形、梯形等。

二次函数中的面积问题

二次函数——面积问题（一）〖知识要点〗一．求面积常用方法：1. 直接法（一般以坐标轴上线段或以与轴平行的线段为底边）2. 利用相似图形，面积比等于相似比的平方3. 利用同底或同高三角形面积的关系4. 割补后再做差或做和（三边均不在坐标轴上的三角形及不规则多边形需把图形分解）二．常见图形及公式抛物线解析式y=ax2 +bx+c (a≠0)抛物线与x 轴两交点的距离AB=︱x1–x2︱=抛物线顶点坐标（-, ）抛物线与y 轴交点（0，c ）“歪歪三角形中间砍一刀”，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 〖基础习题〗 1、若抛物线y=-x2–x+6与x 轴交于A 、B 两点，则AB= ，此抛物线与y 轴交于点C ，则C 点的坐标为，△ABC 的面积为.2、若抛物线y=x2 + 4x 的顶点是P ，与X 轴的两个交点是C 、D 两点，则△PCD 的面积是_____________.3、已知抛物线与轴交于点A ，与轴的正半轴交于B 、C 两点，且BC=2，S △ABC=3，则=，B C 铅垂高水平宽ha图1 C BA O y x DB A O y x P=．〖典型例题〗● 面积最大问题1、二次函数的图像与轴交于点A （-1,0）、B （3，0），与轴交于点C ，∠ACB=90°.（1）求二次函数的解析式；（2）P 为抛物线X 轴上方一点，若使得△PAB 面积最大，求P 坐标（3）P 为抛物线X 轴上方一点，若使得四边形PABC 面积最大，求P 坐标(4) P 为抛物线上一点，若使得，求P 点坐标。

● 同高情况下，面积比=底边之比2．已知：如图，直线y=﹣x+3与x 轴、y 轴分别交于B 、C ，抛物线y=﹣x2+bx+c 经过点B 、C ，点A 是抛物线与x 轴的另一个交点．（1）求B 、C 两点的坐标和抛物线的解析式；（2）若点P 在直线BC 上，且，求点P 的坐标．3．已知：m 、n 是方程x2﹣6x+5=0的两个实数根，且m ＜n ，抛物线y=﹣x2+bx+c 的图象经过点A （m ，0）、B （0，n ）．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中抛物线与x 轴的另一交点为C ，抛物线的顶点为D ，试求出点C 、D 的坐标和△BCD 的面积；（注：抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）的顶点坐标为（3）P 是线段OC 上的一点，过点P 作PH ⊥x 轴，与抛物线交于H 点，若直线BC 把△PCH 分成面积之比为2：3的两部分，请求出P 点的坐标． yx B A C O三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半4．阅读材料：如图，过△ABC的三个顶点分别作出水平垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高（h）”．我们可以得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．解答下列问题：如图，抛物线顶点坐标为点C（1，4）交x轴于点A，交y轴于点B（0，3）（1）求抛物线解析式和线段AB的长度；（2）点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连接PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及S△CAB；（3）在第一象限内抛物线上求一点P，使S△PAB=S△CAB．法一：同底情况下，面积相等转化成平行线法二：同底情况下，面积相等转化成铅垂高相等变式一：如图2，点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连结PA，PB，是否存在一点P，使S△PAB=S△CAB？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．变式二：抛物线上是否存在一点P，使S△PAB=S△CAB？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明点动+面积5．如图1，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，如果点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s，连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤4）．解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ∥BC．（2）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在求出此时t的值；若不存在，请说明理由．（3）如图2，把△APQ沿AP翻折，得到四边形AQPQ′．那么是否存在某时刻t使四边形AQPQ′为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由．形动+面积6．如图1，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、点C三点．（1）试求抛物线的解析式；（2）点D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接BC、BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC=∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）如图2，在（2）的条件下，将△BOC沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，记平移后的三角形为△B′O′C′．在平移过程中，△B′O′C′与△BCD重叠的面积记为S，设平移的时间为t秒，试求S与t之间的函数关系式？。

二次函数的应用课件面积问题(共10张PPT)

使销售利润最大？
请同学们完成这个问题的解答
你会解吗？
例6：用6m长的铝合金型材料做一个形状如图所示的矩形窗框。窗框的长、宽各为多少时，它的透光面积最大？最大透光面积是多少？
解：设矩形的宽为x米，矩形的透光面积为y米。由题意得：
y=x· 6-3x 2
(0<x<2)
即：y=- 3 x2+3x
2
配方，得:
的距离）能否通过此隧道？如图，某隧道口的横截面是抛物线形，已知路宽AB为6米，最高点离地面的距离OC为5米．以最高点O为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，1
米为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，
A CB
)
（6）y=- x2-4x+1
值范围；例6：用6m长的铝合金型材料做一个形状如图所示的矩形窗框。
该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润。
O x
（2）有一辆宽2.8米，高3米的 y=x·
(0<x<2)
∴当x=5，y最大值=50
农用货车（货物最高处与地面AB y随着x的增大而减小。
（4）y=100-5x2 将这个函数关系式配方，得：
y=- 3 (x-1)2+ 3
2
2
∴它的顶点坐标是（1，1.5）
∴当x=1，y最大值=1.5
因为x=1时，满足0<x<2,这时
6-3x 2
=1.5
答：当矩形窗框的宽为5m时，长为1.5m时，它的透光
面积最大，最大面积为1.5m2。
1.求下列函数的最大值或最小值：
（1）y=x2-3x+4
（2）y=1-2x-x2
物线的对称轴为y轴，1米为数轴的单位长度，建立平面直角

二次函数的积分与面积

二次函数的积分与面积二次函数是高中数学中常见的函数类型，它的一般形式可以表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。

在本文中，我们将探讨二次函数的积分与面积的相关性质和计算方法。

一、二次函数的积分对于给定的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们希望能求出它的积分表达式。

根据积分的定义，我们可以通过不断拆分函数f(x)，并对每一项求积分来得到最终结果。

首先，我们考虑f(x)中的一次项bx。

根据求积分的基本规则，一次函数的积分结果为1/2 * bx^2。

因此，对于f(x)的一次项bx，其积分结果为1/2 * bx^2。

接下来，我们考虑f(x)中的常数项c。

常数的积分结果为cx。

因此，对于f(x)的常数项c，其积分结果为cx。

最后，我们来处理f(x)中的二次项ax^2。

二次函数的积分结果与二次函数的系数有关。

具体地说，对于二次项ax^2，若a不等于零，其积分结果为a/3 * x^3。

如果a等于零，则二次项ax^2的积分结果为零。

将以上三部分的积分结果相加，我们便得到了二次函数f(x) = ax^2+ bx + c的积分表达式。

二、二次函数的面积除了计算二次函数的积分表达式，我们还可以利用积分来求解二次函数的面积问题。

考虑一个二次函数f(x) = ax^2 + bx + c在区间[a, b]上的图像。

我们希望计算该图像下与x轴之间的面积。

首先，我们将区间[a, b]划分成无限多个微小区间。

对于每个微小区间，我们取其中一点x_i，并计算该点处的函数值f(x_i)。

接下来，我们计算微小区间的宽度，记作Δx_i。

然后，我们计算每个微小区间的面积，即矩形的面积。

矩形的高度为f(x_i)，宽度为Δx_i。

因此，每个微小区间的面积为f(x_i) * Δx_i。

最后，我们将所有微小区间的面积相加，得到整个区间[a, b]上二次函数与x轴之间的面积。

需要注意的是，在计算面积时，我们需要取极限使得Δx_i趋近于零。

二次函数解析式求法及图形面积问题

注：任何求抛物线解析式的问题，都可以使用一般式.
练习1：二次函数的图象经过点（4，3），（3，0），求二次函数的解析式
二次函数解析式特点： +k 2、顶点式：y=a（x-h）²
(a≠0)，这种形式易得顶点坐标和对称轴，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线 x=h .
注：一般情况下，已知抛物线的顶点坐标求其解析式时，选用顶点式比较方便。
中考链接
(2017济南 )如图1，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为(4，0)，(0，6)，直线AD交B C于点D， tan∠OAD＝2，抛物线M1：y＝ax² ＋bx(a≠0)过A， D两点．（1）求点D的坐标和抛物线M1的表达式；
y D C B C E
O 图1
A
xห้องสมุดไป่ตู้
O
二、二次函数中面积问题常见解决方法：一、直接计算法
水平宽铅锤高二、运用 S 2
三、割补法
例1. 如图所示，二次函数y=-x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C．（1）求m的值；（2）求点B的坐标；（3）该二次函数图象上有一点D，使S△ABD =S△ABC，求点D的坐标．
铅垂高法；如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=ah/2，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半一
例2.如图，在平面直角坐标系中，已知点C(0，4），点A、B在x轴上，并且OA=OC=4OB，动点P在过A、B、C三点的抛物线上． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在直线AC上方的抛物线上，是否存在点P，使得Δ PAC的面积最大？若存在，求出P点坐标及Δ PAC面积的最大值；若不存在，请说明理由. (3)在x轴上是否存在点Q，使得Δ ACQ是等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

二次函数与面积问题

( )MExy O P DB 二次函数与面积问题1、（2014年武汉中考）如图，已知直线AB ：y ＝kx ＋2k ＋4与抛物线y ＝21x 2交于A 、B 两点．（1）直线AB 总经过一个定点C ，请直接写出点C 坐标；（2）当k ＝－21时，在直线AB 下方的抛物线上求点P ，使△ABP 的面积等于5；（3）若在抛物线上存在定点D 使∠ADB ＝90°，求点D 到直线AB 的最大距离．2、如图，已知直线24y x =-+与两轴交于A 、B 两点，抛物线2y x bx c =++ 的顶点M 在线段AB 上，与y 轴交于点C ．（1）若2b =-，求C 点的坐标；（2）若△ACM 为等腰三角形时，求抛物线的解析式；（3）如图2，抛物线的顶点M 与B 点重合，P 为x 轴负半轴上一点，过P 点作直线l 交抛物线于D 、E 两点，连接BD 、BE ，试证明：对于x 轴负半轴上任意给定的一点P ，都存在这样的一条直线l ，使得△BPD 的面积等于△BDE 的面积恒成立．3、如图1，已知直线与轴交于点C ，与轴交于点A ，抛物线过点C 、A ，且与轴交于另一点B.（1）求此抛物线的函数解析式；（2）将图1中的直线AC 沿轴向下平移m 个单位长度（m ＞0），平移后的直线与轴交于点D ，与抛物线交于点E （E 点在抛物线对称轴的左边），若四边形ACDE 为平行四边形，求m 的值；（3）如图2，将该抛物线在轴上方的部分沿轴翻折轴的下方，与原抛物线没有变化的部分松成一个新图象，过点B 作直线l 与新图象交于另外的两点M 、N （点M 在点N 的左侧），是否存在这样的直线l ，使得△ABM 的面积被AN 恰好平分？若存在，请求出直线l 的函数解析式；若不存在，请说明理由.4、已知抛物线223y ax ax =-+(a ≠0)，与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，若3OB OA =．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC ，点P 、点Q 是第一象限的抛物线上不同的两点，是否存在这样的P 点，使得BCP BCQ S S ∆∆＞恒成立？若存在，请求P 点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，D 为抛物线的顶点在x 轴上的正投影，M 为线段OC 上一点，过点M 作直线l 交抛物线于E 、F 两点，连接AE 、OE 、BF 、DF ，若△AEO ∽△DFB ，求M 点的坐标.4y x =+y x 212y x bx c =-++x y x x x xNOy xMPCBA5、如图1，抛物线1C ：22y ax bx =++与直线AB ：1122y x =+交于x 轴上的一点A ，和另一点B(3，n)．(1)求抛物线1C 的解析式；(2)点P 是抛物线1C 上的一个动点（点P 在A ，B两点之间，但不包括A ，B 两点），PM ⊥AB 于点M ，PN ∥y 轴交AB 于点N ，在点P 的运动过程中，存在某一位置，使得△PMN 的周长最大，求此时P 点的坐标，并求△PMN 周长的最大值；(3)如图2，将抛物线1C 绕顶点旋转180°后，再作适当平移得到抛物线2C ，已知抛物线2C 的顶点E 在第四象限的抛物线1C 上，且抛物线2C 与抛物线1C 交于点D ，过D 点作x 轴的平行线交抛物线2C 于点F ，过E 点作x 轴的平行线交抛物线1C 于点G ，是否存在这样的抛物线2C ，使得四边形DFEG 为菱形？若存在，请求E 点的横坐标；若不存在请说明理由．6、已知：如图14，抛物线2334y x =-+与x 轴交于点A ，点B ，与直线34y x b =-+相交于点B ，点C ，直线34y x b =-+与y 轴交于点E ．（1）写出直线BC 的解析式．（2）求ABC △的面积．（3）若点M 在线段AB 上以每秒1个单位长度的速度从A 向B 运动（不与A B ，重合），同时，点N 在射线BC 上以每秒2个单位长度的速度从B 向C 运动．设运动时间为t 秒，请写出MNB △的面积S 与t 的函数关系式，并求出点M 运动多少时间时，MNB △的面积最大，最大面积是多少？7、如图，二次函数y=ax2+bx（a≠0）的图象经过点A（1，4），对称轴是直线x=﹣，线段AD平行于x轴，交抛物线于点D．在y轴上取一点C（0，2），直线AC交抛物线于点B，连结OA，OB，OD，BD．（1）求该二次函数的解析式；（2）求点B坐标和坐标平面内使△EOD∽△AOB的点E的坐标；（3）设点F是BD的中点，点P是线段DO上的动点，问PD为何值时，将△BPF沿边PF翻折，使△BPF与△DPF重叠部分的面积是△BDP的面积的四分之一？8、如图1，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，若tan∠ABC＝3，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为﹣6、2；(1) 求二次函数的解析式(2) 直线l绕点A以AB为起始位置顺时针旋转到AC位置停止，l与线段BC交于点D，P是AD的中点；①求点P的运动路程；②如图2，过点D作DE垂直x轴于点E，作DF⊥AC所在直线于点F，连结PE、PF，在l运动过程中，∠EPF的大小是否改变？请说明理由(3) 在(2)的条件下，连结EF，求△PEF周长的最小值。

2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与面积问题

2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与面积问题1．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴正半轴交于点C，且OC＝2OA，抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E，直线y＝mx+n经过B，C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点F是第一象限内抛物线上一点，当△BCF面积最大时，求此时点F点到直线BC 的距离；（3）连接AC，若点P是抛物线上对称轴右侧一点，点Q是直线BC上一点，试探究是否存在以点E为直角顶点的Rt△PEQ，且满足tan∠EQP＝tan∠OCA．若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，抛物线交x轴于A、B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C，直线y＝﹣x+3经过点C与x轴交于点D，抛物线的顶点坐标为（2，4）．（1）求CD的长及抛物线的函数关系式；（2）若点P是抛物线位于第一象限部分上的一个动点，则当点P运动至何处时，△PCD 的面积最大？（3）若点P是抛物线位于第一象限部分上的一个动点，则当点P运动至何处时，恰好使∠PDC＝45°？请你求出此时的P点坐标．3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线交于x轴上的点B，y轴上的点C，且其对称轴为直线．该抛物线与x轴的另一交点为点A，顶点为M．（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）如图2，长度为的线段DF在线段BC上滑动（点D在点F的左侧），过D，F 分别作y轴的平行线，交抛物线于E，P两点，连接PE．求四边形PFDE面积的最大值及此时点P坐标；（3）在（2）问条件下，当四边形PFDE面积有最大值时，记四边形PFDE为四边形P1F1D1E1．将四边形P1F1D1E1沿直线BC平移，点P1，E1关于直线BC的对称点分别是点P2，E2．在平移过程中，当点P2，E2中有一点落到抛物线上时，请直接写出点P2，E2的坐标．4．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴负半轴于点A，交x轴正半轴于点B，交y轴于点C，且OA＝OC＝3OB．（1）求这个抛物线的解析式；（2）如图1，点P为第三象限抛物线上的点，设点P的横坐标为t，△P AC面积为S，求S与t的函数解析式（直接写出自变量t的取值范围）；（3）如图2，在（2）的条件下，Q为CA延长线上的一点，若P到x轴的距离为d，△PQB的面积为2d，且∠P AQ＝∠AQB，求点P的坐标．5．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+4与x轴，y轴分别交于A，B两点，抛物线y ＝ax2+x+c（a≠0）经过A，B两点与x轴相交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为直线BC上方抛物线上任意一点，当△MBC面积最大时，求出点M的坐标；（3）若点P在抛物线上，连接PB，当∠PBC+∠OBA＝45°时，请直接写出点P的坐标．6．如图，已知抛物线y＝ax2+c过点（﹣2，2），（4，5），过定点F（0，2）的直线l：y ＝kx+2与抛物线交于A、B两点，点B在点A的右侧，过点B作x轴的垂线，垂足为C．（1）求抛物线的解析式；（2）当点B在抛物线上运动时，判断线段BF与BC的数量关系（＞、＜、＝），并证明你的判断；（3）若k＝1，在直线l下方的抛物线上是否存在点Q，使得△QBF的面积最大？若存在，求出点Q的坐标及△QBF的最大面积；若不存在，请说明理由．7．如图，对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）图象与x轴交于点A、B （点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其中点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，4）．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图1，若点P为抛物线上第二象限内的一个动点，点M为线段CO上一动点，当△APC的面积最大时，求△APM周长的最小值；（3）如图2，将原抛物线绕点A旋转180°，得新抛物线y'，在新抛物线y'的对称轴上是否存在点Q使得△ACQ为等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．8．已知抛物线与x轴交于A，B两点，且经过点C（0，﹣2），顶点坐标为（，）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，连接BD，记△BDE的面积为S1，△ABE的面积为S2，当最大时，求D点坐标；（3）如图2，连接AC，BC，过点O作直线l∥BC，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点．试探究：在y轴右侧是否存在这样的点P，Q，使以点A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，定义：直线l：y＝mx+n（m＜0，n＞0）与x轴、y轴分别相交于A，B两点，将△AOB绕着点O逆时针旋转90°得到△COD，过点A，B，D的抛物线叫做直线l的“纠缠抛物线”，反之，直线叫做抛物线的“纠缠直线”，两线“互为纠缠线”．（1）若l：y＝﹣2x+2，则求它的纠缠抛物线的函数解析式；（2）判断并说明y＝﹣2x+2k与y＝﹣x2﹣x+2k是否“互为纠缠线”；（3）在（1）中，P是l的纠缠抛物线在第二象限上的一个动点，求△PCD的最大面积．10．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣3，0）和点C（0，﹣3）．解答下列问题．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的顶点为D，对称轴与x轴的交点为E，求线段BD的长；（3）点F在抛物线上运动，是否存在点F使△F AB的面积等于6？如果存在，求出点F 的坐标；如果不存在，说明理由．11．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣2），点P在直线BC下方的抛物线上，过点P作PD ⊥x轴于点D，交直线BC于点E，并连接AC、CP．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BP，设四边形ABPC的面积为S，当S最大时，求点P的坐标及最大值；（3）如图②，过点P作PF⊥BC于点F，当以C、P、F为顶点的三角形与△AOC相似时，求点P的坐标．12．如图，直线y＝﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+x+c经过B、C两点，且与x轴的另一个交点为A．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E 的坐标和△BEC面积的最大值？（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．13．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+x﹣2与x轴交于A、B两点（点A 在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求点A的坐标；（2）如图1，连接AC，点D为线段AC下方抛物线上一动点，过点D作DE∥y轴交线段AC于E点，连接EO，记△ADC的面积为S1，△AEO的面积为S2，求S1﹣S2的最大值及此时点D的坐标；（3）如图2，将抛物线沿射线CB方向平移个单位长度得到新抛物线，动点N在原抛物线的对称轴上，点M为新抛物线与y轴的交点，当△AMN为以AM为腰的等腰三角形时，请直接写出点N的坐标．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C，点D为BC的中点．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求△BDP面积的最大值；（3）M是抛物线的对称轴上一点，N是抛物线上一点，直接写出所有使得以点A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点N的坐标，并把求其中一个点N的坐标的过程写出来．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x与x轴正半轴交于点A，点B在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且在对称轴右侧，点C是平面内一点，四边形OBCD 是平行四边形．（1）求点A的坐标及抛物线的对称轴；（2）若点B的纵坐标是﹣3，点D的横坐标是，则S▱OBCD＝；（3）若点C在抛物线上，且▱OBCD的面积是12，请直接写出点C的坐标．16．已知直线y＝﹣x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．经过A，B两点的抛物线y ＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，与x轴的另一个交点为D（D在A的左侧），点P为y轴右侧抛物线上的一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）若Q为OA的中点，当PQ∥y轴时，求点P的坐标；（3）当点P位于直线AB上方的抛物线上时，求四边形P ADB面积的最大值．17．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣2，0），直线BC的解析式为y＝x﹣4．（1）求抛物线的解析式．（2）如图1，过点A作AD∥BC交抛物线于点D（异于点A），P是直线BC下方抛物线上一点，过点P作PQ∥y轴，交AD于点Q，过点Q作QR⊥BC于点R，连接PR．求△PQR面积的最大值及此时点P的坐标．（3）如图2，点C关于x轴的对称点为点C′，将抛物线沿射线C′A的方向平移2个单位长度得到新的抛物线y′，新抛物线y′与原抛物线交于点M，原抛物线的对称轴上有一动点N，平面直角坐标系内是否存在一点K，使得以D，M，N，K为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．18．若直线y＝﹣2x+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，二次函数y＝ax2+3x+c的图象经过点A，交x轴于C、D两点，且抛物线的对称轴为直线x＝．（1）求二次函数的解析式；（2）过点C作直线CE∥AB交y轴于点E，点P是直线CE上一动点，点Q是第一象限抛物线上一动点，求四边形APBQ面积的最大值与此时点Q的坐标；（3）在（2）的结论下，点E是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点G，直线EQ交x 轴于点F，在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得∠MFQ+∠CAO＝45°，求点M 的坐标．19．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（4，0），C（﹣1，0）两点，与y轴交于点B，P 为第一象限抛物线上的动点，连接AB，BC，P A，PC，PC与AB相交于点Q．（1）求抛物线的解析式；（2）设△APQ的面积为S1，△BCQ的面积为S2，当S1﹣S2＝5时，求点P的坐标；（3）是否存在点P，使△P AQ为直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．20．如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F，点D、E 的坐标分别为（0，6），（4，0），连接PD、PE、DE．（1）求出抛物线的解析式；（2）小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值，进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值，请你判断该猜想是否正确，请说明理由；（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数．并求出△PDE周长最小时“好点”的坐标．参考答案与试题解析1．【解答】解：（1）∵A（﹣2，0），∴OA＝2，∵OC＝2OA，∴CO＝4，∴C（0，4），将点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4）代入y＝ax2+bx+c，得，∴，∴y＝﹣x2+x+4；（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴y＝﹣x+4，过点F作FH⊥x轴交BC于点G，F点到直线BC的距离为h，设F（t，﹣t2+t+4），则G（t，﹣t+4），∴FG＝﹣t2+t+4+t﹣4＝﹣t2+2t，∴S△BCF＝×4×（﹣t2+2t）＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+4，∴当t＝2时，△BCF的面积有最大值4，∵B（4，0），C（0，4），∴BC＝4，∴4＝×BC×h，∴h＝，∴点F点到直线BC的距离为；（3）存在以点E为直角顶点的Rt△PEQ，且满足tan∠EQP＝tan∠OCA，理由如下：∵A（﹣2，0），C（0，4），∴OA＝2，OC＝4，∴tan∠OCA＝，∵tan∠EQP＝tan∠OCA，∴tan∠EQP＝，∵y＝﹣x2+x+4＝﹣（x﹣1）2+5，∴D（1，5），E（1，0），当P点在Q点左侧时，如图2，过点P作PM⊥DE交于M，过点Q作QN⊥DE交于N，∵∠PEQ＝90°，∴∠MEP+∠NEQ＝90°，∵∠MEP+∠MPE＝90°，∴∠NEQ＝∠MPE，∴△MEP∽△NQE，∴＝＝，∵＝，∴＝＝，设P（m，﹣m2+m+4），∴PM＝m﹣1，EM＝﹣m2+m+4，∴EN＝2m﹣2，NQ＝﹣m2+2m+8，∴Q（﹣m2+2m+9，2﹣2m），∴2﹣2m＝﹣（﹣m2+2m+9）+4，解得m＝，∵点P是抛物线上对称轴右侧，∴m＝，∴P（，+）；当点P在点Q的右侧时，同理可得P（，﹣）；综上所述：P点坐标为（，+）或（，﹣）．2．【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+3经过点C与x轴交于点D，∴C（0，3），D（4，0），∴CD＝，∵抛物线的顶点坐标为（2，4），∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+4，将C（0，3）代入，得3＝a（0﹣2）2+4，得a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+4＝﹣x2+x+3，（2）过点P作一条关于CD的平行线，当该直线与抛物线只有一个交点时，该交点即为P，此时△PCD的面积最大，∵直线CD的解析式为y＝﹣x+3，∴设过P点且与直线CD平行的直线解析式为y＝，∵直线y＝与抛物线y＝﹣x2+x+3，有且只有一个交点，∴当﹣x+b＝﹣x2+x+3时，△＝0，解得b＝，∴该直线的解析式为y＝﹣x+，∴﹣x+＝﹣+x+3，解得x＝，∴﹣×+＝，∴P（，）时，有△PCD的面积最大值，（3）如图，以CD为底，向上作等腰直角三角形CDE，则ED与抛物线的交点即为点P，过点E作EM⊥y轴于点M，过点D作DN⊥ME的延长线于N，∵△ECD为等腰直角三角形，∴EC＝ED，∠CED＝90°，∴∠MEC+∠DEN＝180°﹣90°＝90°，∵△EMC中，∠EMC＝90°，∴∠MEC+∠MCE＝90°，∴∠MCE＝∠NED，在△MCE和△NED中，，∴△MCE≌△NED（AAS），∴MC＝EN，ME＝ND，设MC＝EN＝x，ME＝ND＝y，则x+y表示D点和C点横坐标的差的绝对值，y﹣x表示D点和C点纵坐标的差的绝对值，∴x+y＝4，y﹣x＝3解得x＝，y＝，∴E点是由C向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到，∴E（，），∴设DE解析式为y＝mx+n，得，解得，∴DE的解析式为y＝﹣7x+28，∴﹣7x+28＝﹣x2+x+3，解得x＝16±2，此时取x＝16﹣2，∴﹣7x+28＝14﹣84，∴当∠PDC＝45°时，P点的坐标为（16﹣2.14﹣84）．3．【解答】解：（1）对，当x＝0时，y＝2，当y＝0时，x＝4，∴点B（4，0），点C（0，2），将点B和点C的坐标代入y＝ax2+bx+c，得，化简得：，∵对称轴为直线x＝，∴﹣＝，即有b＝﹣3a，∴﹣4a﹣＝﹣3a，∴a＝﹣，b＝，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+，∴顶点M的坐标（，）．（2）如图2，过点F作FQ⊥PF于点Q，过点P作PN⊥DE于点N，∵PF⊥x轴，ED⊥x轴，∴∠DQF＝∠BOC＝90°，∠QDF＝∠OBC，DQ＝PN，∴△DQF∽△BOC，∵B（4，0），C（0，2），∴OB＝4，OC＝2，∴BC＝2，∵DF＝，∴，即，∴DQ＝PN＝2，FQ＝1，设点D的坐标为（x，﹣x+2），则点E（x，﹣x2+x+2），F（x+2，﹣x+1），P （x+2，﹣x2﹣x+3），∴ED＝﹣x2+2x，PF＝﹣x2+2，∴S四边形PFDE＝S△DPF+S△PDE＝＝PF+ED＝﹣x2+2﹣x2+2x＝﹣x2+2x+2＝﹣（x﹣1）2+3，∴当x＝1时，四边形PFDE面积的最大值为3，此时，点E的坐标为（1，3），点P坐标为（3，2）．（3）由（2）得到点P1（3，2），E1（1，3），D1（1，），F1（3，），∴E1D1＝，P1F1＝，∴E1D1＝P1F1，∵E1D1∥P1F1，∴四边形E1D1F1P1是平行四边形，∴直线P1E1与直线BC平行，∴直线P2E2与直线BC平行，如图3，记直线P1E1和直线P2E2与y轴的交点分别为G、H，则CG＝CH，设直线P1E1的解析式为y＝﹣x+m，则﹣×1+m＝3，解得：m＝，∴直线P1E1的解析式为y＝﹣x+，∴点G（0，），∴CG＝CH＝，∴点H（0，），∴直线P2E2的解析式为y＝﹣x+，由，解得：或，当点P2落在抛物线上时，点P2（2﹣，﹣），E2（﹣，+）或点P2（2+，﹣﹣），E2（，﹣+）；当点E2落在抛物线上时，点E2（2﹣，﹣），P2（4﹣，﹣）或点E2（2+，﹣﹣），P2（4+，﹣﹣）；综上所述：点P2（2﹣，﹣），E2（﹣，+）或点P2（2+，﹣﹣），E2（，﹣+）或P2（4﹣，﹣），点E2（2﹣，﹣）或P2（4+，﹣﹣），点E2（2+，﹣﹣）．4．【解答】解：（1）对y＝ax2+bx+3，当x＝0时，y＝3，∴点C（0，3），∴OA＝OC＝3，∴A（﹣3，0），OB＝1，∴B（1，0），设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），代入点C（0，3）得，﹣3a＝3，∴a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3；（2）如图1，过P作PM⊥x轴交直线AC于点M，设直线CA的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线AC的解析式为y＝x+3，设点P的坐标为（t，﹣t2﹣2t+3），则M的坐标为（t，3+t），∴PM＝t+3﹣（﹣t2﹣2t+3）＝t2+3t，∴S△P AC＝S△PMC﹣S△PMA＝PM•（x C﹣x P）﹣PM•（x A﹣x P）＝PM•（x C﹣x A）＝PM，∴S＝（t2+3t）＝t2+t（t＜﹣3）．（3）如图2，过A作AE⊥PB于点E，过Q作QF⊥PB于点F，则QF∥AE，∵AB＝4，点P到x轴的距离为d，∴S△APB＝AB•d＝2d，∴S△P AB＝S△PBQ，又∵S△P AB＝PB•AE，S△PBQ＝PB•QF，∴AE＝QF，∵AE∥QF，∴四边形AEFQ为平行四边形，∴AQ∥PB，设直线PB的解析式为y＝x+b，则1+b＝0，∴b＝﹣1，∴直线PB的解析式为y＝x﹣1，∵点P在抛物线y＝﹣x2﹣2x+3上，∴x﹣1＝﹣x2﹣2x+3，解得：x＝﹣4或x＝1（舍去），∴P的坐标为（﹣4，﹣5）．5．【解答】解：（1）直线y＝2x+4，当x＝0时，y＝4；当y＝0时，则2x+4＝0，解得x＝﹣2，∴A（﹣2，0），B（0，4），∵抛物线y＝ax2+x+c点B（0，4），∴c＝4，把A（﹣2，0）代入y＝ax2+x+4，得4a﹣2+4＝0，解得a＝﹣，∴抛物线的解析式的解析式为y＝﹣x2+x+4．（2）如图1，作MG⊥x轴于点G，交BC于点F，抛物线y＝﹣x2+x+4，当y＝0时，则﹣x2+x+4＝0，解得x1＝﹣2，x2＝4，∴C（4，0），OC＝4，设直线BC的解析式为y＝kx+4，把C（4，0）代入y＝kx+4，得4k+4＝0，解得k＝﹣1，∴y＝﹣x+4，设M（m，﹣m2+m+4），则F（m，﹣m+4），∴MF＝（﹣m2+m+4）﹣（﹣m+4）＝﹣m2+2m，∵S△MBC＝OG•MF+CG•MF＝OC•MF，∴S△MBC＝×4（﹣m2+2m）＝﹣m2+4m＝﹣（m﹣2）2+4，∴当m＝2时，S△MBC最大＝4，∴点M标为（2，4）．（3）如图2，在x轴上取点D（2，0），作射线BD交抛物线于另一点P，∵OB＝OC＝4，∠BOC＝90°，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∵OB⊥AD，OA＝OD＝2，∴AB＝DB，CD＝OC﹣OD＝4﹣2＝2，∴∠OBA＝∠OBP，∴∠PBC+∠OBA＝∠PBC+∠OBP＝∠OBC＝45°，设直线BP的解析式为y＝nx+4，则2n+4＝0，解得n＝﹣2，∴y＝﹣2x+4，由得，，∴P（6，﹣8）；如图2，作CE⊥x轴，使CE＝CD＝2，连接BE交抛物线于另一点P′，则E（4，2），∵∠OCE＝90°，∠OCB＝45°，∴∠BCE＝∠BCD＝45°，∵BC＝BC，∴△BCE≌△BCD（SAS），∴∠P′BC＝∠PBC，∴∠P′BC+∠OAB＝∠PBC+∠OBA＝45°，设直线BP′的解析式为y＝rx+4，则4r+4＝2，解得r＝﹣，∴y＝﹣x+4，由得，，∴P′（3，），综上所述，点P的坐标为（6，﹣8）或（3，）．6．【解答】解：（1）把点（﹣2，2），（4，5）代入y＝ax2+c得，解得，所以抛物线解析式为y＝x2+1；（2）BF＝BC．理由如下：设B（x，x2+1），而F（0，2），∴BF2＝x2+（x2+1﹣2）2＝x2+（x2﹣1）2＝（x2+1）2，∴BF＝x2+1，∵BC⊥x轴，∴BC＝x2+1，∴BF＝BC；（3）作QE∥y轴交AB于E，如图，当k＝1时，一次函数解析式为y＝x+2，解方程组得或，∴B（2+2，4+2），设Q（t，t2+1），则E（t，t+2），∴EQ＝t+2﹣（t2+1）＝﹣t2+t+1，∴S△QBF＝S△EQF+S△EQB＝•（2+2）•EQ＝（+1）（﹣t2+t+1）＝﹣（t ﹣2）2+2+2，当t＝2时，S△QBF的最大值为2+2，此时Q点坐标为（2，2）．7．【解答】解：（1）∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，∴x＝h＝﹣1，∵抛物线过点B（2，0），点C（0，4），∴，解得，∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）2+．（2）由（1）知函数解析式为：y＝﹣（x+1）2+．∴A（﹣4，0），∴直线AC：y＝x+4，过点P作PN∥AC，设直线PN的解析式为：y＝x+m，当△APC的面积最大时，直线PN与抛物线有且仅有一个交点，令x+m＝﹣（x+1）2+，整理得x2+4x+2m﹣8＝0，∴Δ＝42﹣4（2m﹣8）＝0，解得m＝6，∴x2+4x+4＝0，∴x＝﹣2，即P（﹣2，4）；作点A关于y轴的对称点A′，连接A′P交y轴于点M，如图1，此时△APM的周长最小，∵A（﹣4，0），∴A′（4，0），∴A′P＝＝2，AP＝＝2，∴△APM周长的最小值为：2+2．（3）由（1）知原抛物线的顶点坐标D（﹣1，），绕点A旋转后的顶点D′（﹣7，﹣），∴y′的对称轴为直线x＝﹣7；设点Q的坐标为（﹣7，t），若△ACQ是等腰三角形，则需要分类讨论：①当AC＝AQ时，如图2；∴（﹣4﹣0）2+（0﹣4）2＝（﹣4+7）2+（0﹣t）2，解得t＝±；∴Q（﹣7，）或（﹣7，﹣）；②当CA＝CQ时；∴（﹣4﹣0）2+（0﹣4）2＝（0+7）2+（4﹣t）2，无解；③当QA＝QC时，如图3，∴（﹣4+7）2+（0﹣t）2＝（0+7）2+（4﹣t）2，解得t＝7，∴Q（﹣7，7）．综上可知，存在，点Q的坐标为（﹣7，）或（﹣7，﹣）或（﹣7，7）．8．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣）2﹣，∵将C（0，﹣2）代入得：4a＝2，解得a＝，∴抛物线的解析式为y＝（x﹣）2﹣，即y＝x2﹣x﹣2；（2）过点D作DG⊥x轴于点G，交BC于点F，过点A作AK⊥x轴交BC的延长线于点K，∴AK∥DG，∴△AKE∽△DFE，∴，∴＝＝＝，设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴直线BC的解析式为y＝x﹣2，∵A（﹣1，0），∴y＝﹣﹣2＝﹣，∴AK＝，设D（m，m2﹣m﹣2），则F（m，m﹣2），∴DF＝m﹣2﹣（m2﹣m﹣2）＝﹣m2+2m．∴＝＝＝．∴当m＝2时，有最大值，最大值是，此时D（2，﹣3）；（3）存在．理由如下：∵l∥BC，∴直线l的解析式为y＝x，设P（n，n），∵P，Q在y轴右侧，∴n＞0①当AB为边时，则PQ∥AB，PQ＝AB＝5，若点Q在点P左侧时，∴点Q（n﹣5，n），∴n＝（n﹣5）2﹣（n﹣5）﹣2，∴n＝+7或﹣+7，∴点P（+7，）或（﹣+7，）若点Q在点P右侧时，∴点Q（n+5，n），∴n＝（n+5）2﹣（5+n）﹣2，∴n＝﹣﹣3（舍去）或﹣+3∴点P（﹣+3，），②当AB为对角线时，∵AB与PQ互相平分，∴点Q（3﹣n，﹣n）∴﹣n＝（3﹣n）2﹣（3﹣n）﹣2，∴n＝+1或﹣+1（舍去），∴点P（+1，），此时点P的坐标为（+1，）或（﹣1，）综上所述，点P的坐标为（+1，）或（﹣+3，）或（+7，）或（﹣+7，）9．【解答】解：（1）在y＝﹣2x+2中，令y＝0得x＝2，令x＝0得y＝2，∴A（1，0），B（0，2），∵将△AOB绕着点O逆时针旋转90°得到△COD，∴OD＝OB，∴D（﹣2，0），∵直线y＝﹣2x+2的纠缠抛物线过A（1，0），D（﹣2，0），设纠缠抛物线函数解析式为y＝a（x+2）（x﹣1），把B（0，2）代入得：2＝﹣2a，∴a＝﹣1，∴纠缠抛物线函数解析式为y＝﹣（x+2）（x﹣1）＝﹣x2﹣x+2，答：直线y＝﹣2x+2的纠缠抛物线的函数解析式是y＝﹣x2﹣x+2；（2）y＝﹣2x+2k与y＝﹣x2﹣x+2k是“互为纠缠线”，理由如下：在y＝﹣2x+2k中，令x＝0得y＝2k，令y＝0得x＝k，∴A（k，0），B（0，2k），∵将△AOB绕着点O逆时针旋转90°得到△COD，∴D（﹣2k，0），∵直线y＝﹣2x+2k的纠缠抛物线过A（k，0），D（﹣2k，0），设纠缠抛物线函数解析式为y＝a（x﹣k）（x+2k），将B（0，2k）代入得：2k＝﹣2k2a，解得a＝﹣，∴纠缠抛物线函数解析式为y＝﹣（x﹣k）（x+2k）＝﹣x2﹣x+2k，∴y＝﹣2x+2k与y＝﹣x2﹣x+2k是“互为纠缠线”；（3）过点P作y轴的平行线交DC于E，如图：由（1）知A（1，0），B（0，2），D（﹣2，0），∵将△AOB绕着点O逆时针旋转90°得到△COD，∴OC＝OA＝1，∴C（0，1），设直线CD为y＝tx+1，将D（﹣2，0）代入得：0＝﹣2t+1，解得t＝，∴直线CD为y＝x+1，设P（x，﹣x2﹣x+2），则E（x，x+1），∴PE＝﹣x2﹣x+2﹣（x+1）＝﹣x2﹣x+1，∴△PCD的面积＝PE•|x C﹣x D|＝×（﹣x2﹣x+1）×2＝﹣x2﹣x+1＝﹣（x+）2+，∵﹣1＜0，∴x＝﹣时，△PCD的面积最大为，答：△PCD的最大面积是．10．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣3，0），C（0，﹣3），∴9﹣3b+c＝0，0+0+c＝﹣3，即得b＝2，c＝﹣3，∴抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3；（2）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4；∴函数的对称轴为直线x＝﹣1，顶点D（﹣1，﹣4），∵A（﹣3，0），∴B（1，0），∴BD＝＝2；（3）存在，理由：△BF A的面积＝×BA×|y F|＝2|y F|＝6，解得：y F＝±3，故：x2+2x﹣3＝±3，解得：x＝0或﹣2或﹣1±，故点F的坐标为：（0，﹣3）或（2，﹣3）或（﹣1﹣，3）或（﹣1+，3）．11．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4）．∵将C（0，﹣2）代入得：﹣4a＝﹣2，解得a＝，∴抛物线的解析式为y＝（x+1）（x﹣4），即y＝x2﹣x﹣2；（2）设P（m，m2﹣m﹣2），∵A（﹣1，0）、B（4，0），C（0，﹣2），点P在直线BC下方的抛物线上，∴S四边形ABPC＝S△OAC+S△OPB+S△OPC＝×2×1+×4（﹣m2+m+2）+×2m＝﹣m2+4m+5＝﹣（m﹣2）2+9，∴当m＝2时，S最大是9，∴点P的坐标为（2，﹣3）；（3）设P（x，x2﹣x﹣2），∵A（﹣1，0）、B（4，0），C（0，﹣2），∴BC＝＝2，PC＝，AC＝，∵S△PCB＝S四边形ABPC﹣S△ABC＝﹣x2+4x+5﹣×5×2＝﹣x2+4x＝BC•PF＝PF，∴PF＝，∵PF⊥BC于点F，∴∠PFC＝∠AOC＝90°，①△PCF∽△CAO时，∴，∴，解得：x1＝0（与点C重合，舍去），x2＝，∴点P的坐标为（，﹣）；②△PCF∽△ACO时，∴，∴，解得：x1＝（不合题意，舍去），x2＝3，∴点P的坐标为（3，﹣2）；综上，点P的坐标为（，﹣）或（3，﹣2）．12．【解答】解：（1）令y＝0，则x＝4，∴C（4，0），令x＝0，则y＝3，∴B（0，3），将点B、点C代入y＝ax2+x+c，∴，∴，∴y＝﹣x2+x+3；（2）令x＝0，则y＝3，∴B（0，3），令y＝0，则x＝4，∴C（4，0），令y＝0，则﹣x2+x+3＝0，∴x＝4或x＝﹣2，∴A（﹣2，0），如图：过点E作EF⊥x轴交BC于点F，设E（t，﹣t2+t+3），则F（t，﹣t+3），∴EF＝﹣t2+t，∴S△BCE＝×4×（﹣t2+t）＝﹣（t﹣2）2+3，∴当t＝2时，△BCE面积的最大值为3，此时E（2，3）；（3）存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：∵E（2，3），∴M（2，），设Q（1，n），P（m，﹣m2+m+3），①当AM为平行四边形的对角线时，1+m＝0，∴m＝﹣1，∴P（﹣1，）；②当AQ为平行四边形的对角线时，2+m＝﹣1，∴m＝﹣3，∴P（﹣3，﹣）；③当AP为平行四边形的对角线时，1+2＝﹣2+m，∴m＝5，∴P（5，﹣）；综上所述：P点坐标为（﹣1，）或（﹣3，﹣）或（5，﹣）．13．【解答】解：（1）∵抛物线，与x轴交于A、B两点，令y＝0，得，解得x1＝﹣3，x2＝1，∵点A在点B的左侧，∴点A的坐标为（﹣3，0）；（2）如图1，延长DE交x轴于点K，∵抛物线与y轴交于点C，∴C（0，﹣2），设直线AC的函数表达式为y＝kx+n（k≠0），∵A（﹣3，0），C（0，﹣2），∴，解得，∴直线AC的函数表达式为，设，其中﹣3＜t＜0，∴，K（t，0），∴DE＝﹣t2﹣2t，∵＝（﹣t2﹣2t）＝﹣t2﹣3t，＝（t+2）＝t+3，∴S1﹣S2＝﹣t2﹣3t﹣t﹣3＝﹣t2﹣4t﹣3＝﹣（t+2）2+1，∴当t＝﹣2时，S1﹣S2取得最大值，最大值为1，此时点D的坐标为（﹣2，﹣2）；（3）∵C（0，﹣2），B（1，0），∴＝，∵抛物线沿射线CB方向平移个单位长度，∴抛物线向右平移个单位长度，向上平移3个单位长度，∴平移后的抛物线解析式为y＝（x+1﹣）2﹣+3＝（x﹣）2+，当x＝0时，y＝，∴M（0，），∵原抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，设N（﹣1，n），①当AM＝AN时，9+＝4+n2，∴n＝±，∴N（﹣1，）或N（﹣1，﹣）；②当AM＝MN时，9+＝1+（﹣n）2，∴n＝或n＝，∴N（﹣1，）或N（﹣1，）；综上所述：N点坐标为（﹣1，）或（﹣1，﹣）或（﹣1，）或（﹣1，）．14．【解答】解：（1）将A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣4得：∴，解得，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣4；（2）在y＝x2﹣x﹣4中，当x＝0时，y＝﹣4，∴C（0，﹣4），设直线BC为y＝kx﹣4，将B（4，0）代入得：0＝4k﹣4，解得k＝1，∴直线BC为y＝x﹣4，∵B（4，0），C（0，﹣4），D是BC中点，∴D（2，﹣2），过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q，如图：设P（t，t2﹣t﹣4），（0＜t＜4），则Q（t，t﹣4），∴PQ＝t2﹣t﹣4﹣（t﹣4）＝﹣t2+2t，∴S△BDP＝PQ•|x B﹣x D|＝×（﹣t2+2t）×（4﹣2）＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣2）2+2，∵﹣＜0，0＜t＜4，∴t＝2时，S△PBD有最大值为2；答：△BDP面积的最大值是2；（3）由y＝x2﹣x﹣4得抛物线对称轴是直线x＝1，设M（1，m），N（n，n2﹣n﹣4），而A（﹣2，0），D（2，﹣2），①当MN、AD为对角线时，MN的中点即是AD中点，∴，解得n＝﹣1，∴N（﹣1，﹣），②当MA、ND为对角线时，MA的中点即是ND中点，∴，解得n＝﹣3，∴N（﹣3，），③当MD、AN为对角线时，MD的中点即是AN中点，∴，解得n＝5，∴N（5，），综上所述，N的坐标为（﹣1，﹣）或（﹣3，）或（5，）．15．【解答】解：（1）在y＝﹣x2+2x中，令y＝0，得：﹣x2+2x＝0，解得：x1＝0，x2＝2，∴A（2，0）；∵x＝﹣＝1，抛物线的对称轴为直线x＝1；（2）如图1，连接BD，∵点B在抛物线的对称轴上，且点B的纵坐标是﹣3，∴B（1，﹣3），∵点D在抛物线上，且点D的横坐标是，∴D（，），设直线OD的解析式为y＝kx，则：＝k，解得：k＝﹣，∴直线OD的解析式为y＝x，设抛物线的对称轴交OD于点H，∴H（1，），∴BH＝﹣﹣（﹣3）＝，∴S▱OBCD＝2S△OBD＝2××BH×|x D﹣x O|＝2×××＝，故答案为：；（3）如图2，设B（1，b），C（c，﹣c2+2c），设抛物线的对称轴交x轴于点G，交OD于点H，过点D作DK∥x轴，过点C作CK∥y 轴，连接BD，则∠CKD＝∠BGO＝90°，∵四边形OBCD是平行四边形，∴OB∥CD，OB＝CD，∵BG∥CK，且∠OBG与∠DCK均为锐角，∴∠OBG＝∠DCK，∴△BOG≌△CDK（AAS），∴DK＝OG＝1，CK＝BG＝﹣b，∴D（c﹣1，﹣c2+4c﹣3），设直线OD的解析式为y＝ax，则：﹣c2+4c﹣3＝a（c﹣1），∴a＝3﹣c，∴直线OD的解析式为y＝（3﹣c）x，∴H（1，3﹣c），∴BH＝3﹣c﹣b，∵▱OBCD的面积是12，∴S△OBD＝6，∴×（3﹣c﹣b）×（c﹣1）＝6，即（3﹣c﹣b）（c﹣1）＝12①，∵CK＝BG＝﹣b，∴﹣c2+4c﹣3﹣（﹣c2+2c）＝﹣b，即b+2c﹣3＝0②，由①②组成方程组，解得：（舍去），，∴点C的坐标为C（4，﹣8）．16．【解答】解：（1）对于y＝﹣x+3，令y＝0，即0＝﹣x+3，解得x＝3；令x＝0，得y ＝3；∴A（3，0），B（0，3），∵抛物线y＝ax²+bx+c经过A（3，0），B（0，3）两点，且对称轴为直线x＝1，∴，解得，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x²+2x+3；（2）∵A（3，0），∴OA＝3，∵Q为OA的中点，∴OQ＝OA＝×3＝，∴Q（，0），∵PQ∥y轴，∴点P的横坐标为，当x＝时，y＝﹣x²+2x+3＝﹣+2×+3＝，∴点P的坐标为（，）；（3）过点P作PN∥y轴交直线AB于N，如图：对于y＝﹣x²+2x+3，令y＝0，即0＝﹣x²+2x+3，解得x1＝3，x2＝﹣1，∴A（3，0），D（﹣1，0），∴AD＝3﹣（﹣1）＝4，∵B（0，3），∴OB＝3，∴S△ADB＝AD•OB＝×4×3＝6，设P（m，﹣m²+2m+3），则N（m，﹣m+3），∴PN＝﹣m²+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m²+3m，∴S△P AB＝S△PNB+S△PNA＝PN•m+PN•（3﹣m）＝PN＝（﹣m²+3m），∴S四边形P ADB＝S△P AB+S△ABD＝（﹣m²+3m）+6＝﹣+，∵﹣＜0，∴当m＝时，S四边形P ADB有最大值，最大值为，∴四边形P ADB面积的最大值为．17．【解答】解：（1）∵B点在x轴上，且B点在y＝x﹣4上，∴B（8，0），∵A（﹣2，0），B（8，0），都在抛物线y＝ax2+bx﹣4上，∴x＝﹣2，x＝8是方程ax2+bx﹣4＝0的两个根，∴﹣16＝﹣，＝6，∴a＝，b＝﹣，∴y＝x2﹣x﹣4；（2）∵AD∥BC，直线BC的解析式为y＝x﹣4，∴直线AD的解析式为y＝x+1，过点B作BG⊥AD交点G，∵QR⊥BC，∴QR＝BG，在Rt△ABG中，AB＝10，tan∠BAG＝，∴BG＝2，设P（m，m2﹣m﹣4），R（n，n﹣4），则Q（m，m+1），∵QR＝2，∴20＝（m﹣n）2+，∴n﹣m＝2，∴R（m+2，m﹣3），S△PQR＝×（m+1﹣m2+m+4）×2＝﹣m2+2m+5＝﹣（m﹣4）2+9，∴当m＝4时，S△PQR有最大值9，∴P（4，﹣6）；（3）∵点C关于x轴的对称点为点C′，∴C'（0，﹣4），∴直线AC的解析式为y＝2x+4，∵抛物线沿射线C′A的方向平移2个单位长度，∴抛物线沿着x轴负方向平移2个单位长度，沿着y轴负方向平移4个单位长度，∵y＝x2﹣x﹣4＝（x﹣3）2﹣，∴y'＝（x﹣1）2﹣，联立（x﹣3）2﹣＝（x﹣1）2﹣，解得x＝6，∴M（6，﹣4），联立x+1＝x2﹣x﹣4，解得x＝10或x＝﹣2，∵D异于点A，∴D（10，6），∵y＝x2﹣x﹣4的对称轴为直线x＝3，设N（3，t），K（x，y），①当DM与KN为矩形对角线时，DM的中点与KN的中点重合，∴8＝，1＝，∴x＝13，t＝2﹣y，∵DM＝KN，∴16+100＝（3﹣x）2+（t﹣y）2，∴y＝﹣1或y＝3，∴K（13，﹣1）或K（13，3）；②当DN与MK为矩形对角线时，DN的中点与MK的中点重合，∴＝，＝，∴x＝7，t＝y﹣10，∵DN＝MK，∴49+（6﹣t）2＝（6﹣x）2+（y+4）2，∴y＝，∴K（7，）；③当KD与MN为矩形对角线时，KD的中点与MN的中点重合∴＝，＝，∴x＝﹣1，t＝10+y，∵KD＝MN，∴（x﹣10）2+（6﹣y）2＝9+（t+4）2，∴y＝﹣，∴K（﹣1，﹣）；综上所述：以D，M，N，K为顶点的四边形是矩形时，K点坐标为（﹣1，﹣）或（7，）或（13，﹣1）或（13，3）．18．【解答】解：（1）由直线y＝﹣2x+4与y轴交于点A，得A（0，4），又抛物线经过点A且对称轴为直线x＝，则c＝4，由﹣＝，得a＝﹣1，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+3x+4．（2）如图1，作QH⊥AB于点H，QN∥y轴交直线AB于点N．设点Q（x，﹣x2+3x+4），则F（x，﹣2x+4）；当y＝0时，由﹣x2+3x+4＝0得，x1＝﹣1，x2＝4，∴C（﹣1，0），D（4，0）；由﹣2x+4＝0，得x＝2，∴B（2，0），∴AB＝．∵∠HNQ＝∠OAB，∴，∴HQ＝QN＝（﹣x2+3x+4+2x﹣4）＝（﹣x2+5x），由CE∥AB，可得，∴S四边形APBQ＝S△ABQ+S△ABP＝（﹣x2+5x）+6＝﹣x2+5x+6＝﹣（x﹣）2+，∴当x＝时，四边形APBQ的面积最大，四边形APBQ的最大面积为，此时Q（，）．（3）存在．如图2，由y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣）2+，得E（，），又Q（，），设直线EF的解析式为y＝kx+b，则，解得，∴F（，0），GF＝＝＝GE，∴△EGF是等腰直角三角形．若点M在直线EF下方，当时，则∠GFM＝∠CAO，∴∠MFQ+∠CAO＝45°，此时MG＝×＝，∴M（，）．若点M在直线EF上方，作点M关于直线EF的对称点J，连接EJ，则△MEJ是等腰直角三角形，∴EJ∥x轴．∵EJ＝EM＝，∴J（，）．设直线FJ的解析式为y＝mx+n，则，解得，∴y＝﹣4x+31，当x＝时，y＝﹣4×+31＝25，此时，M（，25）．综上所述，点M的坐标为（，）或（，25）19．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（4，0），C（﹣1，0）两点，∴．解得．∴抛物线的解析式是y＝﹣x2+3x+4；（2）设P（x，y），对于抛物线y＝﹣x2+3x+4．令x＝0，则y＝4，∴B（0，4）．∵S1﹣S2＝5，∴S1＝S2+5．∴S1+S△AQC＝S2+S△AQC+5，即S△APC＝S△ABC+5．∴＝+5．∴y＝6．∴﹣x2+3x+4＝6．解得x1＝1，x2＝2．∴点P的坐标是（1，6）或（2，6）．（3）存在，点P的坐标是（3，4）或（，1）．理由：若∠AQP＝90°时，即AB⊥CP．由A（4，0），B（0，4）知，OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝45°．∴∠PCA＝45°．∴设直线PC解析式为：y＝x+t．把C（﹣1，0）代入，得﹣1+t＝0．解得t＝1．故直线PC的解析式为y＝x+1．联立，解得（舍去）或．∴P（3，4）；若∠APQ＝90°时，△APC是直角三角形，设P（m，n），则n＝﹣m2+3m+4．则由AP2+CP2＝AC2，即（m+1）2+n2+（m﹣4）2+n2＝（4+1）2．整理，得m2﹣3m﹣4+n2＝0．∴﹣n+n2＝0．解得n1＝0，n2＝1．当n＝0时，﹣m2+3m+4＝0，即（m﹣4）（m+1）＝0．解得m1＝﹣1，m2＝4．当n＝1时，﹣m2+3m+4＝1，即m2﹣3m﹣3＝0，解得m1＝，m2＝（舍去）．此时点P的坐标分别是（﹣1，0）（舍去），（4，0）（舍去），（，1）．若∠QAP＝90°时，该种情况不存在．综上所述，符合条件的点P的坐标是（3，4）或（，1）．20．【解答】解：（1）∵边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，∴C（0，8），A（8，0），设抛物线解析式为：y＝ax2+c，则，解得：．故抛物线的解析式为：y＝﹣x2+8；（2）正确，理由如下：设P（a，﹣a2+8），则F（a，8），∵D（0，6），∴PD＝＝＝a2+2，PF＝8﹣（a2+8）＝a2，∴PD﹣PF＝2；（3）在点P运动时，DE大小不变，则PE与PD的和最小时，△PDE的周长最小，∵PD﹣PF＝2，∴PD＝PF+2，∴PE+PD＝PE+PF+2，∴当P、E、F三点共线时，PE+PF最小，此时点P，E的横坐标都为4，将x＝4代入y＝﹣x2+8，得y＝6，∴P（4，6），此时△PDE的周长最小，且△PDE的面积为12，点P恰为“好点，∴△PDE的周长最小时”好点“的坐标为：（4，6），由（2）得：P（a，﹣a2+8），∵点D、E的坐标分别为（0，6），（4，0），①当0≤a≤4时，S△PDE＝×（a+4）×（﹣a2+8）﹣×4×6﹣a（﹣a2+8﹣6）＝﹣a2+3a+4；∴4＜S△PDE≤12，②当4＜a≤8时，S△PDE＝a（﹣a2+8﹣6）﹣×（a﹣4）×（﹣a2+8）﹣×4×6+＝﹣a2+3a+4；∴4＜S△PDE≤12，∴12≤S△PDE≤13，∴△PDE的面积可以等于4到13所有整数，在面积为12时，a的值有两个，所以面积为整数时好点有11个，经过验证周长最小的好点包含这11个之内，所以好点共11个，综上所述：11个好点，P（4，6）．。

二次函数中面积问题

二次函数中面积问题在数学中，二次函数是一种定义域和值域都是实数的函数。

它的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数，且a ≠ 0。

二次函数在数学中有着广泛的应用，而与其相关的面积问题也是数学教学中常见的一个重要内容。

二次函数的图像是一个抛物线，它可以是开口向上的，也可以是开口向下的。

对于二次函数而言，面积问题主要涉及到两个方面：一是求解图形所围成的面积，二是求解函数与坐标轴所围成的图形面积。

下面将从这两个方面结合实际问题进行详细说明。

首先，我们来看第一个问题：求解图形所围成的面积。

对于给定的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们可以通过计算抛物线与坐标轴交点的横纵坐标，来确定被图形所围成的区域。

一般情况下，图形围成的区域可以是一个三角形、一个梯形或一个扇形。

以一个具体例子来说明：假设有一个二次函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1，我们希望求出图形所围成的面积。

首先，要确定函数与坐标轴交点的横纵坐标。

当f(x) = 0时，即3x^2 - 2x + 1 = 0，则可以使用求根公式得到x的值。

求根公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。

带入a = 3，b = -2，c = 1，则x的值为(-(-2) ± √((-2)^2 - 4*3*1)) / (2*3)，化简得到x = 1/3 和 x = 1然后，我们计算函数在两个交点处的纵坐标。

带入x=1/3和x=1，可以得到对应的y值。

令x=1/3，则f(1/3)=3*(1/3)^2-2*(1/3)+1，计算得到f(1/3)=10/9；令x=1，则f(1)=3*1^2-2*1+1，计算得到f(1)=2接下来，我们要确定图形所围成的区域。

由于二次函数是一个抛物线，且a为正值，所以图形是开口向上的。

因此，图形所围成的区域为一个梯形。

梯形上底为x=1/3，下底为x=1，高为f(1/3)和f(1)之间的差值。

二次函数综合(一)——面积问题

二次函数综合（一） ——面积问题
一、解决函数综合题中面积问题的常用方法：
1. 割补法
当所求图形的面积没有办法直接求出时，我们采取间接（分割或补全图形再分割）的方法来表示所求图形的面积，如图1：
4. 相似法
利用相似三角形面积比等于相似比的平方进行转化.
二、基本题型
1.如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点O为原点，已知点A（3,6），B（5,2），求△AOB的面积.
2.已知二次函数的图像y=－x2+3x+4与x轴交于A、B两点（点A在点B的左端），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D。

求△ACD的面积。

3已知二次函数的图像y=－x2+3x+4与x轴交于A、B两点（点A在点B的左端），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D。

求△BCD的面积。

二次函数图像与面积问题

xy O A BCxC Oy ABD 1 1专题一：二次函数综合面积问题回顾：常见求面积的方法一、面积相等问题例1、如图，抛物线顶点坐标为点C （1，4），交x 轴于点A （3，0），交y 轴于点B ．（1）求抛物线和直线AB 的解析式；（2）求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S △；（3）设点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P ，使S △PAB =S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由（4）设点Q 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点Q ，使S △QAB =89S △CAB ，若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．做题要点：怎么读题？求面积有几种方法？方法之间有什么区别？例2．如图，已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A （-1，0）、B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，3）．（1）求抛物线的解析式及顶点M 坐标；（2）在抛物线的对称轴上找到点P ，使得△P AC 的周长最小，并求出点P 的坐标；（3）若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、C 重合）．过点D 作DE ∥PC 交x 轴于点E ．设CD 的长为m ，问当m 取何值时，S △PDE =19S 四边形ABMC ．例3.如图，在平面直角坐标系中，已知点坐标为（2，4），直线与轴相交于点，连结，抛物线从点沿方向平移，与直线交于点，顶点到点时停止移动．（1）求线段所在直线的函数解析式；（2）设抛物线顶点的横坐标为,①用的代数式表示点的坐标； ②当为何值时，线段最短；（3）当线段最短时，相应的抛物线上是否存在点，使△的面积与△的面积相等，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．二、面积最值问题 1、用解析式解析式求最值例1、.如图①，已知抛物线32-+=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A(1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ． (1) 求抛物线的解析式；(2) 如图②，若点E 为第三象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标.2-2-4-551015yxCNAB512-2-4yxCAB图①图②A CxyBOyxBD O AEC例2、已知：抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴为1x =-，与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于点C ，其中()30A -，、()02C -，．（1）求这条抛物线的函数表达式．（2）已知在对称轴上存在一点P ，使得PBC △的周长最小．请求出点P 的坐标．（3）若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、点C 重合）．过点D 作DE PC ∥交x 轴于点E ．连接PD 、PE ．设CD 的长为m ，PDE △的面积为S ．求S 与m 之间的函数关系式．试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．例3. 已知：抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．其中点A 在x 轴的负半轴上，点C 在y 轴的负半轴上，线段OA 、OC 的长（OA <OC ）是方程2540x x -+=的两个根，且抛物线的对称轴是直线1x =．（1）求A 、B 、C 三点的坐标；（2）求此抛物线的解析式；（3）若点D 是线段AB 上的一个动点（与点A 、B 不重合），过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E ，连结CD ，设BD 的长为m ，△CDE 的面积为S ，求S 与m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围．S 是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时D 点坐标；若不存在，请说明理由．xyBFO ACPx =12、用几何方法求最值例1、如图11，在平面直角坐标系中，二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），与y 轴交于C （0，-3）点，点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点. （1）求这个二次函数的表达式．（2）当点P 运动到什么位置时，四边形 ABPC 的面积最大并求出此时P 点的坐标和四边形ABPC 的最大面积.例 2. 如图，在平面直角坐标系中，点A C 、的坐标分别为(10)(03)--，、，，点B 在x 轴上．已知某二次函数的图象经过A 、B 、C 三点，且它的对称轴为直线1x =，点P 为直线BC 下方的二次函数图象上的一个动点（点P 与B 、C 不重合），过点P 作y 轴的平行线交BC 于点F ．（1）求该二次函数的解析式；（2）若设点P 的横坐标为m ，用含m 的代数式表示线段PF 的长．（3）求PBC △面积的最大值，并求此时点P 的坐标．三、练习1．将直角边长为6的等腰Rt △AOC 放在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点C 、A 分别在x 、y 轴的正半轴上，一条抛物线经过点A 、C 及点B (–3，0)． (1)求该抛物线的解析式；(2)若点P 是线段BC 上一动点，过点P 作AB 的平行线交AC 于点E ，连接AP ，当 △APE 的面积最大时，求点P 的坐标；(3)在第一象限内的该抛物线上是否存在点G ，使△AGC 的面积与（2）中△APE 的面积最大面积相等?若存在，请求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．（4）在第一象限内的该抛物线上是否存在点M ，使△AMC 的面积最大?若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．。

专题03 二次函数与面积有关问题(学生版)

专题03二次函数与面积有关问题（专项训练）1．（2022•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx﹣3（k≠0）与抛物线y＝﹣x2相交于A，B两点（点A在点B的左侧），点B关于y轴的对称点为B'．（1）当k＝2时，求A，B两点的坐标；（2）连接OA，OB，AB'，BB'，若△B'AB的面积与△OAB的面积相等，求k的值；2．（2021•枣庄）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y ＝x2+bx+c经过坐标原点和点A，顶点为点M．（1）求抛物线的关系式及点M的坐标；（2）点E是直线AB下方的抛物线上一动点，连接EB，EA，当△EAB的面积等于时，求E点的坐标；3．（2021•柳州）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接OD，过点B作BE⊥OD，垂足为E，若BE＝2OE，求点D 的坐标；（3）如图2，点M为第四象限抛物线上一动点，连接AM，交BC于点N，连接BM，记△BMN的面积为S1，△ABN的面积为S2，求的最大值．4．（2020•宿迁）二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，顶点为E．（1）求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标；（2）如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标；（3）如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，取OP中点Q，连接QC，QE，CE，当△CEQ的面积为12时，求点P的坐标．5．（2020•淄博）如图，在直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，经过A（﹣2，0），B，C三点的抛物线y＝ax2+bx+（a＜0）与x轴的另一个交点为D，其顶点为M，对称轴与x轴交于点E．（1）求这条抛物线对应的函数表达式；（2）已知R是抛物线上的点，使得△ADR的面积是▱OABC的面积的，求点R的坐标；6．（2020•天水）如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为A（﹣2，0），点C的坐标为C（0，6），对称轴为直线x＝1．点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（1＜m＜4），连接AC，BC，DC，DB．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当△BCD的面积等于△AOC的面积的时，求m的值；7．（2021•沈阳）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B坐标是（3，0）．抛物线与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线的顶点，连接PC．（1）求抛物线的函数表达式并直接写出顶点P的坐标．（2）直线BC与抛物线对称轴交于点D，点Q为直线BC上一动点．当△QAB的面积等于△PCD面积的2倍时，求点Q的坐标；8．（2021•辽宁）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点C（﹣1，0），与y轴交于点B（0，3），连接AB，BC，点P是抛物线第一象限上的一动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交AB于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，作PF⊥PD于点P，使PF＝OA，以PE，PF为邻边作矩形PEGF．当矩形PEGF的面积是△BOC 面积的3倍时，求点P的坐标；9．（2022•南宁一模）如图1所示抛物线与x轴交于O，A两点，OA＝6，其顶点与x轴的距离是6．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，过点P的直线y＝x+m与抛物线的对称轴交于点Q．当△POQ与△PAQ的面积之比为1：3时，求m的值；10.（2022•本溪二模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（3，0），C（﹣1，0）两点，与y轴交于点B．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点M是线段AB上方抛物线上一动点，以AB为边作平行四边形ABMD，连接OM，若OM将平行四边形ABMD的面积分成为1：7的两部分，求点M的横坐标；11．（2022•新抚区模拟）如图，直线y＝mx+n与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A（﹣2，0），B（2，2）两点，直线AB与y轴交于点C．（1）求抛物线与直线AB的解析式；（2）点P在抛物线上，直线PC交x轴于Q，连接PB，当△PBC的面积是△ACQ面积的2倍时，求点P的坐标；12．（2022•福建）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．（1）求抛物线的解析式；（2）若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；13．（2022•苏州二模）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，OA＝OC＝3．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P为直线AC下方抛物线上一点，连接BP并交AC于点Q，若AC分∠△ABP的面积为1：2两部分，请求出点P的坐标；。

二次函数与面积计算问题ppt课件

y
x＝m y＝x
抛物线的解析式为y＝x 2－2x－4
B
N
MN＝MP＋PN＝－m 2＋3m＋4
OP A
x
当m＝1.5时，S有最大值。
M
精选ppt课件
13
（西湖区2011学年第一学期期末测试）
如图，二次函数 yx2 b图x象c与轴x交于A,B两点
(A在B的左边)，与 y轴交于点C，顶点为M ，MAB为
(1,4)
P
4
(0,3) C 3
2
1
(-1,0)
A O
(3,0)
B
2
S△ PCB=_______
(1,4) D E4E P (0,3) C
3
2
S△ ACP=_______ 1
(-1,0)
A
FF
O
(3,0)
B
2
在平面直角坐标系中，有两点A（-1，0），
B（3，0），如图，小敏发现所有过A，B两点
的抛物线如果与y轴负半轴交于点C，M为抛物
请说明理由；
Py
P Q
C
(1)抛物线解析式为
y x2 -2x 3
Q(1,2)
B
A
O
x
P( 3 ,15) 24
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11
（3）在（1）中的抛物线上的第二象限内是否存在一点P，使△PBC的面积最大？
若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若不存在，请说明理由．
y
P Q
C
B
A
O
练习1．如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(－2，0)，连结OA，
将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB．

二次函数与面积问题

(1)如果所围成的花圃的面积为45平方米，试求宽 AB的长； (2)按题目的设计要求，能围成面积比45平方米更大的花圃吗?如果能，请求出最大面积，并说明围法，如果不能请说明理由．
例1在ΔABC中，AB=8cm，BC=6cm，∠B＝90°，点P从点A开始沿AB边向点B以2厘米／秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以1厘米／秒的速度 A
解（2）设过B（2，0） M（的解析式为：ｙ＝ｋｘ＋ｂ 3 则ｋ＝ｂ＝－３ 2 ∴直线ＢＭ的解析式为：
1 9 ，－） 2 4
y 5 4 3 2
1 Q B 3 A ｙ＝ｘ－３ 2 -3 -2 -1 O 1 2 3 ∵QＮ=t ∴把ｙ＝ｔ代入直线 -1 N ＭＢ的解析式， 2 -2Ｃ M 得ｘ＝２－ｔ -3 3 1 1 2 ∴S＝ ×２×１＋（２＋ｔ）（2－ t） 2 2 3
A
（0<t<4）
P
=-t2 +4t (2)s=-t2 +4t
=-（t2 -4t +4 -4） = -（t - 2）2 + 4 t=2,s有最大值4
最大面积是 4 cm2
C
Q
B
所以，当P、Q同时运动2秒后Δ PBQ的面积最大
练习２．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点C的坐标为(4,0)，∠AOC=60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线l 与菱形OABC的两边分别交于点M、N(点M在点N的上方).
移动，如果P,Q分别从A,B同时出发，
1)△PBQ的面积S随出发时间t如何变化?写出函数关系式及t的取值范围. (2)当t为何值时,s的值最大? 最大值为多少?
C Q

二次函数和面积问题专题

专题：二次函数和面积问题问题一：在抛物线y=-x 2+2x+3上是否存在一点D (在直线BC 上方)，使S △BCD =S △BCP ?问题二：在抛物线y =-x 2+2x+3上是否存在一点D ，使S △BCD =S △BCP ?问题三：若D 是抛物线y =-x 2+2x+3上(在直线BC 上方)一个动点，△BCD 是否有最大面积？问题四：如图，若D 是抛物线y =-x 2 +2x+3上一点，BC 和DP 相交于点E,满足S △CDE =S △BEP,你知道点D 的坐标吗？问题五：如图，直线DE:y=-0.5x+k 与抛物线y =-x 2+2x+3交于点D,E （点A 在点B 左边），与y轴交于点F.（1）若=5,求k.（2）若S △CEF : S △CDF =8:3,求k.y 2与x 轴交于A,B 两点（点A 在点B 左边），与y 轴交于点C ，抛物线上一点D （1，n ）,若S △BCD =3，求m 的值。

（你能先尝试画出大致图像吗？）问题七：抛物线y =-x 2+(m-1)x+m(m>1)与x 轴交于A,B 两点（点A 在点B 左边），与y 轴交于点C ，顶点为点P ，直线：y=x+ 24m 与抛物线交于M,N 两点，S △PMN 是定值吗？FCPEA BD练习：1.如图，一小球从斜坡O 点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x2+4x 刻画，斜坡可以用一次函数y=x 刻画．（1）请用配方法求二次函数图象的最高点P 的坐标；（2）小球的落点是A ，求点A 的坐标；（3）连接抛物线的最高点P 与点O 、A 得△POA，求△POA 的面积；（4）在OA 上方的抛物线上存在一点M （M 与P 不重合），△MOA 的面积等于△POA 的面积．请直接写出点M 的坐标．2.已知抛物线与x 轴相交于不同的两点,（1）求的取值范围（2）证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点，并求出点的坐标；（3）当时，由（2）求出的点和点构成的的面积是否有最值，若有，求出最值及相对应的值；若没有，请说明理由.3.一次函数y=x 的图象如图所示，它与二次函数y=ax 2﹣4ax+c 的图象交于A 、B 两点（其中点A 在点B 的左侧），与这个二次函数图象的对称轴交于点C ．（1）求点C 的坐标；（2）设二次函数图象的顶点为D ．①若点D 与点C 关于x 轴对称，且△ACD 的面积等于3，求此二次函数的关系式； ②若CD=AC ，且△ACD 的面积等于10，求此二次函数的关系式．4.在平面直角坐标系中，O 为原点，直线y=﹣2x ﹣1与y 轴交于点A ，与直线y=﹣x 交于点B ，点B 关于原点的对称点为点C ．（1）求过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式；（2）P 为抛物线上一点，它关于原点的对称点为Q ．若点P 的横坐标为t （﹣1＜t ＜1），当t 为何值时，四边形PBQC 面积最大？并说明理由．。

二次函数与面积问题

二次函数与面积问题二次函数是中学数学中一个重要的概念，其应用不仅仅限于代数学习中的求解，还包括了实际生活中的丰富应用。

其中，面积问题是二次函数应用的一个重要方面。

在本文中，我们将重点探讨二次函数与面积问题的应用。

一、二次函数基本概念1. 二次函数的定义二次函数是指函数 $y=ax^2+bx+c$，其中 $a,b,c$ 是已知常数，一个非零实数。

2. 二次函数图像特征二次函数的图像通常是一个开口向上或者向下的抛物线，其对称轴在 $x$ 轴上的直线，称为二次函数的轴，其方程为 $x=-\frac{b}{2a}$。

如果 $a>0$，则抛物线开口向上，如果 $a<0$，则抛物线开口向下。

当 $a\neq0$ 时，函数值的范围为 $(-\infty,\frac{4ac-b^2}{4a})$ 或者 $(\frac{4ac-b^2}{4a},\infty)$。

3. 二次函数的变形二次函数除了基本形式 $y=ax^2+bx+c$，还有一些基于基本形式的变形，如 $y=a(x-h)^2+k$，其中 $h,k$ 是常数。

变形后的形式可以更方便地求解问题，但需要熟练运用基本变形公式。

二、二次函数与面积问题1. 抛物线下面积抛物线下面积的计算通常可以通过解析式的积分得出，但是如果需要精确解往往较为困难，尤其是在没有高深数学知识支持的情况下。

在使用二次函数计算抛物线下面积时，可以先求出对应的定积分，即：$$\int_{x_1}^{x_2}ax^2+bx+c\mathrm{d}x=\frac{a} {3}(x_2^3-x_1^3)+\frac{b}{2}(x_2^2-x_1^2)+c(x_2-x_1)$$该式是利用积分的基本公式计算得出的，它可以方便地求解出抛物线在一个给定区间内的面积。

2. 平面图形面积二次函数还可用于计算平面图形的面积。

例如，一个半径为 $r$ 的圆的面积可以表示为 $A=\pi r^2$。

专题二次函数与面积有关的问题(知识解读)-中考数学(全国通用)

专题03 二次函数与面积有关的问题（知识解读）【专题说明】二次函数是初中数学的一个重点，一个难点，也是中考数学必考的一个知识点。

特别是在压轴题中，二次函数和几何综合出现的题型，才是最大的区分度。

与面积有关的问题，更是常见。

本节介绍二次函数考试题型种，与面积问题的常用解法。

同学们，只要熟练运用解法，炉火纯青，在考试答题的时候，能够轻松答题。

【知识点梳理】类型一：面积等量关系类型二：面积平分方法一：利用割补将图形割（补）成三角形或梯形面积的和差，其中需使三角形的底边在坐标轴上或平行于坐标轴；（例如以下4、5两图中，连结BD解法不简便。

）方法二：铅锤法铅锤高水平宽⨯=21S方法三：其他面积方法如图1，同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等．如图2，同底三角形的面积比等于高的比．如图3，同高三角形的面积比等于底的比．如图1 如图2 如图3【典例分析】【类型一：面积等量关系】【典例21】（2022•盘锦）如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B （4，0）两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C （0，﹣4）．点P 在抛物线上，连接BC ，BP ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P 在第四象限，点D 在线段BC 上，连接PD 并延长交x 轴于点E ，连接CE，记△DCE的面积为S1，△DBP的面积为S2，当S1＝S2时，求点P的坐标；【变式1】（2022•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+x+c经过A （﹣2，0），B（0，4）两点，直线x＝3与x轴交于点C．（1）求a，c的值；（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x＝3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式；（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x＝3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【类型二：面积平分】【典例2】（2022•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点B（6，0）和点D（4，﹣3），与x轴的另一个交点为A，与y轴交于点C，作直线AD．（1）①求抛物线的函数表达式；②直接写出直线AD的函数表达式；（2）点E是直线AD下方的抛物线上一点，连接BE交AD于点F，连接BD，DE，△BDF的面积记为S1，△DEF的面积记为S2，当S1＝2S2时，求点E的坐标；【变式2】（2022•内江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．（1）求这条抛物线所对应的函数的表达式；（2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，求点D到直线AC的距离的最大值及此时点D的坐标；（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBP A的面积分为1：5两部分，求点P的坐标．【典例3】（深圳）如图抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），点C（0，3），且OB ＝OC．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBP A的面积分为3：5两部分，求点P的坐标．【变式3】（2021秋•合川区）如图，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（6，0），与y轴交于点C，点P为第一象限内抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点D，交x轴于点E，连接PB．（1）求该抛物线的解析式；（2）当△PBD与△BDE的面积之比为1：2时，求点P的坐标；专题03 二次函数与面积有关的问题（知识解读）【专题说明】二次函数是初中数学的一个重点，一个难点，也是中考数学必考的一个知识点。

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