线性代数1-4 行列式的性质

性质2 互换行列式的两行(列) 行列式的值变号 推论 如果行列式中有两行(列)的对应元素相同 则此行 列式的值为零 这是因为 将行列式D中具有相同元素的两行互换后所得 的行列式仍为D 但由性质2可知其结果应为D 因此DD 所以D0
性质2 互换行列式的两行(列) 行列式的值变号
推论 如果行列式中有两行(列)的对应元素相同 则此行 列式的值为零
(1)N( j1 js jt jn)b1j1 bsjs btjt bnjn (1)N( j1 js jt jn)a1j1 atjs asjt anjn (1)N( j1 js jt jn)a1j1 asjt atjs anjn
(1)N( j1 jt js jn)a1j1 asjt atjs anjn 它与D的一般项相差一个负号 所以D1D
(1)N( j1 j2 jn) N(12n)a j11a j2 2 a jnn 这也是D的一般项 所以DDT
性质2 互换行列式的两行(列) 行列式的值变号 证 记D|aij| 交换D的第s行与第t(st)行得到的行列式为 D1|bij| 则bsjatj btjasj(j1 2 n) D1的一般项为
a11 a12 a1n
a11 a21 an1
D
a21
a22
a2n
则 DT
a12 Hale Waihona Puke Baidu
a22
an2
an1 an2 ann
a1n a2n ann
显然 若D|aij| DT|bij| 则bijaji(i j1 2 n)
行列式的转置 将行列式D的行与列互换后得到的行列式称为D的转置
性质3 用数k乘以行列式的某一行(列) 等于以数k乘此行 列式 即如果设D|aij| 则
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
D1 kai1 kai2 kain k ai1 ai2 ain kD
an1 an2 ann
an1 an2 ann
这是因为D1的一般项为 (1)N( j1 j2 jn)a1j1 (k aiji ) anjn k[(1)N( j1 j2 jn)a1j1 aiji anjn ] 上面等号右端方括号内是D的一般项 所以D1kD
因为由推论1 可将行列式中这两行(列)的比例系数提到 行列式外面 则余下的行列式有两行(列)对应元素相同 由性 质2可知此行列式的值等于零 所以原行列式的值等于零
性质4 如果行列式中的某一行(列)的每一个元素都是两 个数的和 则此行列式可以写成两个行列式的和 例如
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n a11 a12 a1n
§1.4 行列式的性质
n阶行列式共有n!项 因此定义计算n阶行列式是较 为困难的 只有少数行列式用定义计算比较方便
我们已经知道三角行列式的值就是主对角线上各元 素的乘积 因此我们想到能否把一般的行列式化成三角 行列式来计算 这就需要研究行列式的性质
行列式的转置
将行列式D的行与列互换后得到的行列式称为D的转置 行列式 记为DT或D 即如果
a12 a1n
ai1 ai2 ain ai1 kas1 ai2 kas2 ain kasn
as1 as2 asn
as1
as2 asn
an1 an2 ann
an1
an2 ann
a11 a12 a1n a11 a12 a1n
ai1 ai2 ain kas1 kas2 kasn 这是因为 右边
行列式 记为DT或D 性质1 将行列式转置 行列式的值不变 即DDT 证 记D|aij| DT|bij| 则bijaji (i j1 2 n) 按定义及定
理13 DT的一般项为
(1)N( j1 j2 jn)b1j1b2 j2 bnjn (1)N( j1 j2 jn)a j11a j22 a jnn
0 a12 a13 a1n a12 0 a23 a2n a13 a23 0 a3n
an1 an2 ann
an1 an2 ann an1 an2 ann
推论 如果将行列式某一行(列)的每个元素都写成m个数
的和 则此行列式可以写成m个行列式的和
性质5 将行列式的某一行(列)的所有元素同乘以数k后加 到另一行(列)对应位置的元素上 行列式的值不变 例如
a11 a12 a1n
a11
性质4 如果行列式中的某一行(列)的每一个元素都是两 个数的和 则此行列式可以写成两个行列式的和 例如
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n a11 a12 a1n
ai1bi1 ai2 bi2 ain bin ai1 ai2 ain bi1 bi2 bin
as1 as2 asn as1 as2 asn
an1 an2 ann an1 an2 ann
2 4 1 例 1 计算行列式 D 3 6 3
5 10 4
解 因为第一行与第二行对应元素成比例 根据性质3的
推论2 得
2 4 1 D 3 6 3 0
5 10 4
反对称行列式
反对称行列式为下列形式的行列式
性质2 互换行列式的两行(列) 行列式的值变号
推论 如果行列式中有两行(列)的对应元素相同 则此行 列式的值为零
性质3 用数k乘以行列式的某一行(列) 等于以数k乘此行 列式
推论1 如果行列式某行(列)的所有元素有公因子 则公因 子可以提到行列式外面
推论2 如果行列式有两行(列)的对应元素成比例 则此行 列式的值为零
ai1bi1 ai2 bi2 ain bin ai1 ai2 ain bi1 bi2 bin
an1 an2 ann
an1 an2 ann an1 an2 ann
这是因为
(1)N( j1 j2 a jn) 1j1 (aiji biji )anjn (1)N( j1 j2 jn)[a1j1 aiji anjn a1j1 biji anjn ] (1)N( j1 j2 jn)a1j1 aiji anjn (1)N( j1 j2 jn)a1j1 biji anjn