平行四边形折叠问题PPT课件
八年级数学下册第18章平行四边形本章整合pptx课件新版新人教版
二
一、四边形中的折叠问题
【例1】 如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8.将矩形ABCD沿CE折
叠后,使点D恰好落在对角线AC上的点F处.
(1)求EF的长;
(2)求梯形ABCE的面积.
解:(1)设EF=x,由折叠可得,DE=EF=x,CF=CD=6.
∵在Rt△ADC中,AC= 62 + 82=10,
(
)
A.2
B.3
C.4
D.5
关闭
B
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
4.如图,在菱形ABCD中,P是对角线AC上一动点,过点P作PE⊥BC于
点E,PF⊥AB于点F.若菱形ABCD的周长为20,面积为24,则PE+PF的
值为(
)
关闭
连接 BP,如图,
24
A.4
B. 5
∵四边形 ABCD 为菱形,
∴∠MEH=∠DAH=∠EAH=45°,
∴EH=AH,∴△MEH≌△DAH(SAS),
∴∠MHE=∠DHA,MH=DH,
∴∠MHD=∠AHE=90°,△DHM是等腰直角三角形,
∴DM= 2HM,故②正确;
当∠DHC=60°时,∠ADH=60°-45°=15°,
∴∠ADM=45°-15°=30°,
1
∵E是线段AD的中点,∴AE=DE,
∵∠AEF=∠DEB,∴△BDE≌△FAE(AAS).
(2)∵△BDE≌△FAE,∴AF=BD.
∵D是线段BC的中点,∴BD=CD,∴AF=CD.
∵AF∥CD,∴四边形ADCF是平行四边形.
人教版初中数学讲义八年级下册第07讲 专题2 平行四边形(特殊的平行四边形)中的折叠问题(解析版)
第07讲专题1平行（特殊）四边形中的折叠问题类型一：平行四边形中的折叠问题类型二：矩形中的折叠问题类型三：菱形中的折叠问题类型四：正方形中的折叠问题类型一：平行四边形中的折叠问题1．如图，在平行四边形ABCD中，将△ABC沿着AC所在的直线折叠得到△AB′C，B′C交AD于点E，连接B′D，若∠B＝60°，∠ACB＝45°，AC＝，则B′D的长是（）A．1B．C．D．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∠ADC＝60°，∴∠CAE＝∠ACB＝45°，∵将△ABC沿AC翻折至△AB′C，∴∠ACB′＝∠ACB＝45°，∠AB′C＝∠B＝60°，∴∠AEC＝180°﹣∠CAE﹣∠ACB′＝90°，∴AE＝CE＝AC＝，∵∠AEC＝90°，∠AB′C＝60°，∠ADC＝60°，∴∠B′AD＝30°，∠DCE＝30°，∴B′E＝DE＝1，∴B′D＝＝．故选：B．2．如图，将▱ABCD折叠，使点D、C分别落在点F、E处（点F、E都在AB所在的直线上），折痕为MN，若∠AMF＝50°，则∠A＝65°．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，根据折叠的性质可得：MN∥AE，∠FMN＝∠DMN，∴AB∥CD∥MN，∴∠DMN＝∠FMN＝∠A，∵∠AMF＝50°，∴∠DMF＝180°﹣∠AMF＝130°，∴∠FMN＝∠DMN＝∠A＝65°，故答案为：65．3．如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1＝∠2＝44°，则∠B为（）A．66°B．104°C．114°D．124°【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC，由折叠的性质得：∠BAC＝∠B′AC，∴∠BAC＝∠ACD＝∠B′AC＝∠1＝22°，∴∠B＝180°﹣∠2﹣∠BAC＝180°﹣44°﹣22°＝114°；故选：C．4．如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F．若∠B＝52°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为36°．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D＝∠B＝52°，由折叠的性质得：∠D′＝∠D＝52°，∠EAD′＝∠DAE＝20°，∴∠AEF＝∠D+∠DAE＝52°+20°＝72°，∠AED′＝180°﹣∠EAD′﹣∠D′＝108°，∴∠FED′＝108°﹣72°＝36°；故答案为：36°．5．如图，P是平行四边形纸片ABCD的BC边上一点，以过点P的直线为折痕折叠纸片，使点C，D落在纸片所在平面上C′，D′处，折痕与AD边交于点M；再以过点P的直线为折痕折叠纸片，使点B恰好落在C′P边上B′处，折痕与AB边交于点N．若∠MPC＝74°，则∠NPB′＝16°．【解答】解：∵点C，D落在纸片所在平面上C′，D′处，折痕与AD边交于点M，∴∠MPC′＝∠MPC＝74°，∴∠BPB′＝180°﹣∠CPC′＝180°﹣2∠PMC＝180°﹣148°＝32°，∵∠BPN＝∠B′PN，∴∠NPB′＝∠BPB′＝16°，故答案为：16．类型二：矩形中的折叠问题6．如图，矩形ABCD沿对角线BD折叠，已知长BC＝8cm，宽AB＝6cm，那么折叠后重合部分的面积是（）A．48cm2B．24cm2C．18.75cm2D．18cm2【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥CB，∴∠ADB＝∠DBC，∵∠C′BD＝∠DBC∴∠ADB＝∠EBD，∴DE＝BE，∴C′E＝8﹣DE，∵C′D＝AB＝6，∴62+（8﹣DE）2＝DE2，∴DE＝，＝DE×CD÷2＝18.75cm2．∴S△BDE故选：C．7．如图，长方形纸片ABCD，E为CD边上一点，将纸片沿BE折叠，点C落在点C'处，将纸片沿AE折叠，点D落在点D'处，且D'恰好在线段BE上．若∠AEC'＝α，则∠CEB＝（）A．B．C．D．【解答】解：由折叠的性质得：∠AED＝∠AED'，∠CEB＝∠C'EB，∵∠AED'＝180°﹣∠CEB﹣∠AED，∠AED'＝∠AEC'+∠C'EB＝α+∠C'EB，∴∠AED'＝180°﹣∠CEB﹣∠AED'，∴2∠AED'＝180°﹣∠CEB，∴2（α+∠CEB）＝180°﹣∠CEB，∴3∠CEB＝180°﹣2α，∴∠CEB＝60°﹣α，故选：A．8．数学老师要求学生用一张长方形的纸片ABCD折出一个45°的角，甲、乙两人的折法如下，下列说法正确的是（）甲：如图1，将纸片沿折痕AE折叠，使点B落在AD上的点B'处，∠EAD即为所求，乙：如图2，将纸片沿折痕AE，AF折叠，使B，D两点分别落在点B'，D'处，AB'与AD'在同一直线上，∠EAF即为所求，A．只有甲的折法正确B．甲和乙的折法都正确C．只有乙的折法正确D．甲和乙的折法都不正确【解答】解：甲：将纸片沿折痕AE折叠，使B点落在AD上的B'点，得到∠EAB＝∠EAD＝45°；乙：将纸片沿折痕AE，AF折叠，使B，D两点落在AC上的点B'，D'，得到∠EAF＝∠EAB'+∠FAB'＝（∠DAC+∠BAC）＝×90°＝45°；故选：B．9．如图，在矩形ABCD中，M是BC上一点，将△ABM沿AM折叠，使点B落在B'处，若∠AMB＝α，则∠B'AD等于（）A．α﹣90°B．α﹣45°C．90°﹣2αD．90°﹣α【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABC＝90°，AD∥BC，∴∠DAM＝∠AMB＝α，∠BAM＝90°﹣α，根据折叠可知，∠B'AM＝∠BAM＝90°﹣α，∴∠B'AD＝∠B'AM﹣∠DAM＝90°﹣α﹣α＝90°﹣2α，故C正确．故选：C．10．如图，已知长方形纸片ABCD，点E和点F分别在边AD和BC上，且∠EFG＝37°点H和点G分别是边AD和BC上的动点，现将纸片两端分别沿EF，GH折叠至如图所示的位置，若EF∥GH，则∠KHD 的度数为（）A．37°B．74°C．96°D．106°【解答】解：∵EF∥GH，∴∠HGC＝∠EFG＝37°，∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∴∠GHD+∠HGC＝180°，∴∠GHD＝143°，根据折叠的性质可得：∠KHG＝∠DHG＝143°，∴∠KHD＝360°﹣∠KHG﹣∠DHG＝360°﹣143°﹣143°＝74°．故选：B．11．如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A，D分别落在A1，D1的位置，再将△A1EG沿着AB对折，将△GD1N沿着GN对折，使得D1落在直线GH上，则下列说法正确的是（）①GN⊥DC；②GH⊥GD1；③当MN∥EF时，∠AEF＝120°．A．①②B．①③C．②③D．①②③【解答】解：由折叠可知：∠A1GE＝∠EGH，∠D1GN＝∠MGN，∠GMN＝∠D1＝90°，∠A1＝∠EHG＝90°，∠AEF＝∠A1EF，∴EH∥MN，∵∠A1GE+∠EGH+∠D1GN+∠MGN＝180°，∴∠EGN＝90°，∴GN⊥DC；故①正确；∵∠D1GN＝∠MGN不一定为45°，∴GH不一定垂直GD1，故②错误；∵MN∥EF，EH∥MN，∴EH与EF共线，∴∠AEF＝∠A1EF＝2∠GEF，∵∠AEF+∠GEF＝180°，∴∠AEF＝120°，故③正确；故选：B．类型三：菱形中的折叠问题10．如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，点E在BC边上，将菱形纸片ABCD沿DE折叠，点C对应点为点C′，且DC′是AB的垂直平分线，则∠DEC的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．75°【解答】解：连接BD，如图所示：∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD，∵∠A＝60°，∴△ABD为等边三角形，∠ADC＝120°，∠C＝60°，∵DC′是AB的垂直平分线，∴P为AB的中点，∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP＝∠BDP＝30°，∴∠PDC＝90°，∴由折叠的性质得到∠CDE＝∠PDE＝45°，在△DEC中，∠DEC＝180°﹣（∠CDE+∠C）＝75°．故选：D．11．如图，菱形ABCD中，∠A＝120°，E是AD上的点，沿BE折叠△ABE，点A恰好落在BD上的点F，那么∠BFC的度数是75°．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∠A+∠ABC＝180°，BD平分∠ABC，∵∠A＝120°，∴∠ABC＝60°，∴∠FBC＝30°，根据折叠可得AB＝BF，∴FB＝BC，∴∠BFC＝∠BCF＝（180°﹣30°）÷2＝75°，故答案为：75°．12．如图，菱形ABCD中，∠D＝120°，点E在边CD上，将菱形沿直线AE翻折，使点D恰好落在对角线AC上，连接BD′，则∠AD′B＝75°．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝DC＝BC＝AB，CD∥AB，∴∠DAC＝∠DCA，∵∠D＝120°，∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣∠D）＝30°．∵CD∥AB，∴∠BAD′＝∠DCA＝30°．∵将菱形沿直线AE翻折，使点D恰好落在对角线AC上，∴AD＝AD′，∴AB＝AD′，∴∠AD′B＝∠ABD′＝（180°﹣∠BAD′）＝75°．故答案为75．13．如图，在菱形ABCD中，∠A＝120°，AB＝2，点E是边AB上一点，以DE为对称轴将△DAE折叠得到△DGE，再折叠BE使BE落在直线EG上，点B的对应点为点H，折痕为EF且交BC于点F．（1）∠DEF＝90°；（2）若点E是AB的中点，则DF的长为．【解答】解：（1）由翻折可得∠AED＝∠DEG，∠BEF＝∠HEF，∴∠DEG+∠HEF＝∠AED+∠BEF，∵∠DEG+∠HEF+∠AED+∠BEF＝180°，∴∠DEG+∠HEF＝90°，即∠DEF＝90°．故答案为：90°．（2）∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，由翻折可得AE＝EG，BE＝EH，∠A＝∠EGD，∠B＝∠EHF，∵点E是AB的中点，∴AE＝BE，∴EG＝EH，即点G与点H重合．∵∠EGD+∠EHF＝∠A+∠B＝180°，∴点D，G，F三点在同一条直线上．过点D作DM⊥BC，交BC的延长线于点M．∵∠A＝120°，AB＝2，∴∠DCM＝60°，CD＝2，∴CM＝CD＝1，DM＝CD＝，由翻折可得BF＝FG，AD＝DG＝2，设BF＝x，则MF＝2﹣x+1＝3﹣x，DF＝2+x，由勾股定理可得，解得x＝，∴DF＝．故答案为：．类型四：正方形中的折叠问题14．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFC＝120°，若将四边形EBCF沿EF 折叠，点B恰好落在AD边上，则∠AEB′为（）A．70°B．65°C．30°D．60°【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠BEF+∠EFC＝180°，∵∠EFC＝120°，∴∠BEF＝180°﹣∠EFC＝60°，∵将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，∴∠BEF＝∠FEB'＝60°，∴∠AEB'＝180°﹣∠BEF﹣∠FEB'＝60°，故选：D．15．如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE．若FN＝3，则正方形纸片的边长为2．【解答】解：设正方形纸片的边长为x，则BF＝AB＝x，BN＝BC＝x，∴Rt△BFN中，NF＝＝x＝3，∴x＝2，故答案为：2．16．如图，在正方形ABCD中，E为边BC上一点，将△ABE沿AE折叠至△AB'E处，BE与AC交于点F，若∠EFC＝69°，则∠CAE的大小为（）A．10°B．12°C．14°D．15°【解答】解：∵∠EFC＝69°，∠ACE＝45°，∴∠BEF＝69+45＝114°，由折叠的性质可知：∠BEA＝∠BEF＝57°，∴∠BAE＝90﹣57＝33°，∴∠EAC＝45﹣33＝12°．故选：B．17．如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE，折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，折痕BF与AE交于点H，点F在AD上，若DE＝5，则AH的长为．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD＝12，∠BAD＝∠D＝90°，由折叠及轴对称的性质可知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，∴BF⊥AE，AH＝GH，∴∠BAH+∠ABH＝90°，又∵∠FAH+∠BAH＝90°，∴∠ABH＝∠FAH，∴△ABF≌△DAE（ASA），∴AF＝DE＝5，在Rt△ABF中，BF＝＝＝13，＝AB•AF＝BF•AH，∵S△ABF∴12×5＝13AH，∴AH＝，故答案为：．18．如图，将正方形纸片ABCD折叠，使点D落在边AB上的D'处，点C落在C'处，若∠AD'M＝50°，则∠MNC'的度数为（）A．100°B．110°C．120°D．130°【解答】解：四边形CDMN与四边形C′D′MN关于MN对称，则∠DMN＝∠D′MN，且∠AMD′＝90°﹣∠AD'M＝40°，∴∠DMN＝∠D′MN＝（180°﹣40°）÷2＝70°由于∠MD′C′＝∠NC′D′＝90°，∴∠MNC'＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°故选：B．。
平行四边形中的翻折问题--课件复习课程
合作探究
例1:在平行四边形ABCD的纸片中，AC⊥AB，AC与 BD相交于O，将△ABC沿对角线AC翻转180°，得 到△AB′C．
（1）判断△AEC的形状并证明.
例1:在平行四边形ABCD的纸片中，AC⊥AB，AC与 BD相交于O，将△ABC沿对角线AC翻转180°，得到 △AB′C． （2）若平行四边形的面积S=10，求△AEC的面积 =.
（图2）
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例2：把一个矩形如图折叠，使顶点B和D重合， 折痕为EF
（1）图中有那些相等的线段
例2：把一个矩形如图折叠，使顶点B和D重合， 折痕为EF （2）若矩形的长为9,宽为3，你能求出哪些线 段的长.
课堂小结
全等性
轴对称
本
质
重过程
ห้องสมุดไป่ตู้
折
折叠问题
对称性
重结果 叠
利用Rt△
精 髓 方程思想
利用勾股定理
思考题 ：在一张长方形ABCD纸片中，AD＝25cm, AB＝20cm．现将这张纸片按如下列图示方式折叠， 分别求折痕的长． (1) 如图1, 折痕为AE; (2) 如图2, 折痕为EF．
平行四边形中的折叠问题课件.
平行四边形中的折叠问题课件.一、教学内容本节课我们将探讨《几何》教材第四章第三节“平行四边形中的折叠问题”。
内容详细涉及平行四边形的性质，尤其是通过折叠操作来探讨平行四边形对角线的性质、对边关系以及角的关系。
二、教学目标1. 理解并掌握平行四边形的基本性质，尤其是通过折叠操作呈现的性质。
2. 学会运用折叠方法解决平行四边形中的相关问题，提高空间想象力和逻辑思维能力。
3. 能够将平行四边形的折叠问题与其他几何知识相结合，形成综合解决问题的能力。
三、教学难点与重点教学难点：通过折叠操作推导出平行四边形对角线的性质以及与角度的关系。
教学重点：平行四边形的基本性质及其在折叠问题中的应用。
四、教具与学具准备教具：多媒体课件、平行四边形模型、剪刀、尺子、量角器。
学具：每组一份平行四边形纸张模型、剪刀、尺子、量角器。
五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）利用多媒体展示生活中常见的平行四边形折叠实例，如包装盒、纸飞机等，引导学生观察并思考折叠后的性质变化。
2. 知识讲解（15分钟）通过课件和模型，讲解平行四边形的基本性质，以及折叠操作对平行四边形的影响。
3. 例题讲解（10分钟）选取一道典型例题，讲解如何运用折叠方法解决平行四边形中的问题。
4. 随堂练习（10分钟）学生独立完成两道练习题，巩固折叠问题的解法。
5. 小组讨论（10分钟）学生分组讨论解题过程中遇到的问题，分享解题心得。
六、板书设计1. 平行四边形的性质2. 折叠操作对平行四边形的影响3. 例题及解题步骤4. 练习题及答案七、作业设计1. 作业题目：（1）已知平行四边形ABCD，对角线AC、BD相等，求证：四边形ABCD是矩形。
（2）将一个平行四边形沿对角线折叠，得到一个三角形，求证：这个三角形的面积等于原平行四边形面积的一半。
2. 答案：（1）根据平行四边形性质，对角线相等，故四边形ABCD是矩形。
（2）设平行四边形ABCD的面积为S，折叠后得到的三角形面积为S'，则S' = 1/2 S。
2020春华师大版八年级数学下册课件：专项训练八 特殊平行四边形的折叠问题 (共15张PPT)
• (2)当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是 否发生变化？并证明你的结论．
(1)证明：由折叠可知，PE＝BE，∴∠EBP＝∠EPB.又∵ ∠EPH＝∠EBC＝90°，∴∠EPH－∠EPB＝∠EBC－∠EBP.即 ∠PBC＝∠BPH.又∵AD∥BC，∴∠APB＝∠PBC.∴∠APB＝∠ BPH. (2)解：△PHD 的周长不变．证明：过点 B 作 BQ⊥PH 交 PH 于点 Q.由(1)，知∠APB＝∠BPQ.在△ABP 和△QBP 中， ∵∠∠AA＝PB∠＝B∠QBPP，Q， ∴△ABP≌△QBP(A.A.S.)，∴AP＝QP，AB＝QB.又∵AB＝
• (1)求证：△AEF≌△CDF；
• (2)若AB＝4，BC＝6，求图中阴影部分的面 积．
(1)证明：∵四边形 ABCD 是矩形，∴AB＝CD，∠B＝∠D＝90°.由翻折可知， ∠ E ＝ ∠ B ， AB ＝ AE ， ∴ AE ＝ CD ， ∠ E ＝ ∠ D. 在 △ AEF 与 △ CDF 中 ， ∵ ∠∠EA＝FE∠＝D∠，CFD， ∴△AEF≌△CDF(A.A.S.)． (2)解：∵AB＝4，BC＝6，∴ AE＝CD， CE＝AD＝6，AE＝CD＝4.由(1)，知△AEF≌△CDF，∴AF＝CF，EF＝DF.在 Rt △CDF 中，由勾股定理，得 DF2＋CD2＝CF2，即 DF2＋42＝(6－DF)2，解得 DF＝53， ∴S△AFC＝S△ACD－S△CDF＝12×4×6－12×4×53＝236，即阴影部分的面积为236.
解：∵四边形 ABCD 是正方形，M、N 分别为 AD、BC 边上的中点，∴四边形
ABNM 是矩形，BN＝12BC＝1.由折叠，得 BP＝BC＝2.在 Rt△BPN 中，PN＝
初二数学(北京版)-特殊平行四边形与折叠-2PPT课件
3 3
8
例 把一个顶点折叠到对角线上.
解：设AB=x. ∵矩形ABCD， x ∴CF=CD=AB=x ， AD=BC=8， ∠B=∠D=90°.
3 3
x x
8
例 把一个顶点折叠到对角线上.
解：设AB=x. ∵矩形ABCD， x ∴CF=CD=AB=x ， AD=BC=8， ∠B=∠D=90°.
例 把一个顶点折叠到对角线上. 如图，矩形纸片ABCD中，BC=8，折
叠纸片使点D落在对角线AC上的点F 处，折痕为CE，若EF=3，求AB的长.
8
例 把一个顶点折叠到对角线上.
如图，矩形纸片ABCD中，BC=8，折
叠纸片使点D落在对角线AC上的点F
3
处，折痕为CE，若EF=3，求AB的长.
8
例 把一个顶点折叠到对角线上. 如图，矩形纸片ABCD中，BC=8，折
DE的长.
例 把一个顶D=9，宽
x
AB=3，将其折叠，使点D与点B重合，求 3 x
DE的长.
解：由折叠，设DE=BE=x.
例 把一个顶点折叠到另一个顶点上.
9
如图，矩形纸片ABCD的长AD=9，宽
9-x x
AB=3，将其折叠，使点D与点B重合，求 3 x
∴AE∥FC. ∴四边形AECF是平行四边形.
解题反思： 轴对称性质2+矩形性质+中位线定理
练习
如 图 ， 正 方 形 纸 片 ABCD 的 边 长 AB=12，E是CD上一点， CE=5，折叠 纸片使点B和点E重合，折痕为FG. 求 FG的长.
练习
如 图 ， 正 方 形 纸 片 ABCD 的 边 长
2024年平行四边形中的折叠问题课件
2024年平行四边形中的折叠问题课件.一、教学内容本节课我们将探讨教材第十二章“几何变换”中的折叠问题，特别是平行四边形的折叠。
详细内容包括：理解平行四边形的基本性质，掌握折叠过程中的对称性和不变量，运用这些性质解决折叠问题。
二、教学目标1. 理解平行四边形的性质，并能运用性质解决折叠问题。
2. 通过折叠活动，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3. 提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
三、教学难点与重点教学难点：理解折叠过程中平行四边形的对称性和不变量。
教学重点：平行四边形性质的应用，折叠问题的解决方法。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件，平行四边形的模型。
2. 学具：剪刀，彩纸，尺子，圆规。
五、教学过程1. 实践情景引入：展示生活中的折叠实例，如纸飞机、纸盒等，让学生感受折叠在生活中的应用。
2. 知识讲解：（1）回顾平行四边形的性质。
（2）介绍折叠过程中平行四边形的对称性和不变量。
3. 例题讲解：（1）给出一个平行四边形折叠问题，引导学生分析问题，找出关键信息。
（2）示范解题过程，强调平行四边形性质的应用。
4. 随堂练习：让学生独立解决一个类似的折叠问题，巩固所学知识。
5. 小组讨论：学生分组讨论解决折叠问题的方法，分享解题心得。
六、板书设计1. 平行四边形的性质2. 折叠过程中的对称性和不变量3. 折叠问题的解题步骤七、作业设计答案：折叠后的形状为一个三角形。
2. 作业题目：已知平行四边形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，沿对角线AC折叠，求折叠后的形状。
答案：折叠后的形状为一个三角形。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课通过实践情景引入，让学生感受到了折叠的趣味性。
在讲解过程中，注重引导学生运用平行四边形的性质解决问题。
2. 拓展延伸：鼓励学生探究其他多边形的折叠问题，培养学生的探究意识和创新精神。
重点和难点解析1. 实践情景引入的选择与设计。
2. 知识讲解中对平行四边形性质的回顾与强调。
小专题(九) 特殊平行四边形中的折叠与最值问题
第5题图
5.如图，在矩形纸片 中， ， ，点 为 边上的动点（点 不与点 ， 重合）.将纸片沿 折叠，则 的最小值为___．
8
第6题图
6.如图，正方形纸片 的边长为4， ， ， 分别是边 ， ， 上的一点，将纸片沿 折叠，使点 恰好落在 边的中点 处，点 的对应点为点 ，则折痕 的长为_____.
解：作点 关于直线 的对称点 （易知点 在 上），连接 ，交 于点 ，连接 ,则 , .
.此时点 即为所求的使 最小的点.∵正方形 的边长为4， ， 为 的中点， ， . .
过点 作 于点 ,则 .∵四边形 是正方形， .∴四边形 是矩形. ， . .∴在 中， . 的最小值为 .
第3题图
3.如图，在矩形纸片 中， ，将 向内翻折，点 落在 上，记为 ，折痕为 .若将 沿 向内翻折，点 恰好落在 上，记为 ，则下列结论不正确的是( )
D
A. B. C. D.
第4题图
4.（2022·雅安）如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠.若 ， ，那么阴影部分的面积为_ __.B来自A. B. C. D.
第2题图
2.（2021·遵义）如图，将矩形纸片 的两个直角进行折叠，使 ， 恰好落在对角线 上， ， 分别是 ， 的对应点，折痕分别为 ， ．若 ， ，则线段 的长是( )
D
A. B. C. D.
【例2】（2022·河南改编）（教材P64“数学活动”变式）如图，对折矩形纸片 ，使 与 重合，得到折痕 ，把纸片展平；再次折叠纸片，使点 落在
上，并使折痕经过点 ，得到折痕 ，同时得到线段 ， .请你猜想 的度数是多少，并证明你的结论.
解：猜想： .证明：连接 .∵直线 是 的垂直平分线，点 在 上，
《平行四边形的折叠问题》课件PPT
【小热身】
2. 将矩形纸片ABCD折叠，让AB落在对角AB=3
① 直接说出与下列线段长度相同的线段：
AF= AB , EF= EB A
D
②AC的长度为多少？ ③你会求BE的长度吗？
F
X
2
B X E 4-X C
【合作探究一】
问题：将平行四边形纸片沿∠BAD的角平
O
B
FC
【巩固练习一】
如图，折叠长方形的一边AD，点D落在BC边的 点F处，已知AB=8cm，AD=10cm，求EC的长.
A
10
D
8
E
8-x x
B
6 F 4C
【巩固练习二】
将矩形ABCD折叠使A、C重合，折痕交BC于E,
交AD于F,交AC于O.
(1)求证：四边形AECF为菱形；
(2)若AB=4，BC=8，
（2）求BE的长. （3）求 BEF的面积.
A
E
D
B (D')
F
C
C'
【课堂小结】
折叠问题
1、本质：轴对称（全等性，对称性）
2、关键：翻折
全等
相等的边 相等的角
3、方法：构建直角三角形，利用 勾股定理建立方程
分线AE折叠，你能找到点B的对应点B′吗？
四边形ABEB′是什么四边形？
A
B' D
B
EC
【合作探究一】
▪ 变式1：平行四边形ABCD，AC⊥AB，若 将平行四边形沿AC进行折叠，点B的对 应点为B′,四边形ACDB′是什么四边形？ B'
A
D
B
C
变式2：给平行四边形ABCD添个什么条件，能使
最新人教版数学八年级下册第十八章《平行四边形-数学活：平行四边形中的翻折变换》优质教学课件
∴∠ABC=90°.
∴∠3=90°-60°=30°，
∴∠1=∠2=∠3=30°
在图中，你能找出所有30°的角吗？60°的角呢？还有其他度数的角吗？
G
还有120 ° 和150 °的角
利用折纸得到60°、30°、15°的角
【综合与实践】在线上教学中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技能．例如教材八年级下册的数学活动--折纸，就引起了许多同学的兴趣．在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验．实践发现：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，把纸片展平，连接AN，如图①．
八年级 下册
第18章 平行四边形
——数学活动：平行四边形中的翻折变换
学习目标： 1．能折出60°，30°，15°的角，学会应用。 2．通过折叠活动，加深对轴对称、全等三角形、特 殊的三角形、四边形等知识的认识； 3．经历折叠、观察、推理、交流、反思等数学活动 过程，积累数学活动经验．学习重点： 折纸做60°，30°，15°的角，学会应用．
D
6.矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC上的点F处，若AD=10，CD=6，则BE=____。
平行四边形的折叠问题
A E
DC
G
小萍的思路：分别以AB、AC为折痕，画出 ABD 和 ACD 折叠后的图形，点D的对应点分别落在点F,点E处，延长FB、 EC相交于点G.证明四边形AFGE是正方形。
1.已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，
将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，
（1）BE与BF相等吗？
分线AE折叠，你能找到点B的对应点B′吗？
四边形ABEB′是什么四边形？
A
B' D
B
EC
【合作探究一】
▪ 变式1：平行四边形ABCD，AC⊥AB，若 将平行四边形沿AC进行折叠，点B的对 应点为B′,四边形ACDB′是什么四边形？ B'
A
D
B
C
变式2：给平行四边形ABCD添个什么条件，能使
矩形ACDB′成为正方形？
【小热身】
2. 将矩形纸片ABCD折叠，让AB落在对角线AC上.
若矩形ABCD中, AD=4, AB=3
① 直接说出与下列线段长度相同的线段：
AF= AB , EF= EB A
D
②AC的长度为多少？ ③你会求BE的长度吗？
F
X
2
B X E 4-X C
【合作探究一】
问题：将平行四边形纸片沿∠BAD的角平
（2）求BE的长. （3）求 BEF的面积.
A
E
D
B (D')
F
C
C'
【课堂小结】
折叠问题
1、本质：轴对称（全等性，对称性）
2、关键：翻折
全等
相等的边 相等的角
3、方法：构建直角三角形，利用 勾股定理建立方程
①求菱形AECF的边长；
浙教版初中数学中考复习-折叠问题 (共46张PPT)
解析：
• 【分析】由△ABE沿AE折叠到△AEF，得出∠BAE＝∠FAE，由∠AEB＝55°，∠ABE＝ 90°，
•
求出∠BAE.
• 【解析】∵△ABE沿AE折叠到△AEF，∴∠BAE＝∠FAE.
•
∵∠AEB＝55°，∠ABE＝90°，
•
∴∠BAE＝90°－55°＝35°，
•
∴∠DAF＝∠BAD－∠BAE－∠FAE＝90°－35°－35°＝20°
42
浙教版初中数学中考复习-：折折叠叠问问题题 ((共共4466张张PPPTT))
解析：
浙教版初中数学中考复习-：折折叠叠问问题题 ((共共4466张张PPPTT))
43
浙教版初中数学中考复习-：折折叠叠问问题题 ((共共4466张张PPPTT))
考向六：折叠综合问题
浙教版初中数学中考复习-：折折叠叠问问题题 ((共共4466张张PPPTT))
45?解决折叠问题时一是要对图形折叠有准确定位抓住图形之间最本质的位置关系从点线面三个方面入手发现其中变化的量和不变的量发现图形中的数量关系
折叠问题
考情分析：
• 折叠操作就是将图形的一部分沿着一条直线翻折180°，使它与另一部分图形在 这条直线的同旁与其重叠或不重叠，其中“折”是过程，“叠”是结果．折叠的问题的实 质是图形的轴对称变换，折叠更突出了轴对称知识的应用． • 折叠(或翻折)在三大图形变换中是比较重要的，考查的较多，无论是选择题、填 空题，还是解答题都有以折叠为背景的试题．常常把矩形、正方形的纸片放置于直 角坐标系中，与函数、直角三角形、相似形等知识结合，贯穿其他几何、代数知识 来设题．
边AD交于点F，D′F与BE交于点G.设AB＝t，那么△EFG的周长为
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1.图形的全等性：重合部分是全等图形，对应边角相等.
2.点的对称性：对称点连线被对称轴（折痕）垂直平分.
全等性
轴对称
对称性
质本
重过程
重结果
折
折叠问题
叠
利用Rt△
髓精 方程思想
利用∽
折叠问题
1、两手都要抓：重视“折”，关注“叠” 2、本质：轴对称（全等性，对称性） 3、关键：根据折叠实现等量转化
4、基本方法：（1）找出直角三角形构造方程 （2）根据勾股定理列方程。
折叠压平，设折痕为EF。
（1）连结CF，四边形AECF是什么特殊的四边形？
为什么？
（2）若AB＝4cm，AD＝8cm，你能求出线段BE
及折痕EF的长吗？
G
A
FD
B
C
精选
E
练习：如图，矩形纸片ABCD中，AD=9， AB=3，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为 EF，那么折痕EF的长为________．
A
E
D
B
C
F
C’
（08湖北荆门）
例2．如图，矩形纸片ABCD中，AD=9， AB=3，将其折叠，使点D与点B重合，折痕 为EF，那么折痕EF的长为___10_____．
A
E
D
H
B
GF
C
C’
☞透过现象看本质:
A
A
D 折
E叠
实质
轴 对 称F
D
B
FC
E
轴对称性质：
由折叠可得： 1.△AFE≌△ADE
2.AE是DF的垂直 平分线
精选
例5：如图6，已知正方形纸片ABCD，M、N分别是 AD、BC的中点，把BC边向上翻折，使点C恰好落在 MN上的P点处，BQ为折痕，则∠PBQ=_____度。
精选
在一张长方形ABCD纸片中， AD＝25cm, AB＝20cm．现 将这张纸片按如图示方式折叠， 求折痕的长．
过F作BC的垂线FH
20
x 25-x
？ H
在一张长方形ABCD纸片中， AD＝25cm, AB＝20cm．现 将这张纸片按如图示方式折叠， 求折痕的长．
分析：连结BD，交EF于点
则，BD⊥OEF,且BO1 = 5 41 BD= 2 2
长为（ ）
4
A．4cm B．5cm
E
C．6cm D．7cm
D
C
F
A
B
精选
3.如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D落在 边BC上的F点处，如果∠BAF=60°，AD= 4 ， 则∠DAE=___1_5°__，EF=_8_-4____3_．
思考探究题目：
如图，矩形纸片ABCD中，现将A、C重合，使纸片
平行四边形中的折叠问题
• 几何定义：研究图形的形状、大小、位置关系； • 涉及几何知识（章节为主）： •
A
B
精选
D E
FC
1．如图，将一平行四边形纸片沿AE折叠， 再沿EF折叠，使点E,C`,B`在同一直线上，
则 AEF
例题： 如图，折叠矩形ABCD的一边AD，点D落在 BC边的点F处，已知AB=8cm，AD=10cm， 求EC的长。
在Rt△BEO中可求得EO=2 41
可证得EF=2EO=4 41
20
x 25-x O
例3 ：如图3，把矩形纸条ABCD沿EF，GH同时折 叠，B，C两点恰好落在AD边的P点处，若∠FPH＝ 90°，PF＝8，PH＝6，则矩形ABCD的边BC长 为（ ）
精选
例4：将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中， O为原点，C在x轴上，OA=6，OC=10。如图7， 在OA上取一点E，将△EOC沿EC折叠，使O点 落在AB边上的D点，求E点的坐标；
巩固BE折叠，使
点C落在AD边上的F点
处，如果ABF=60º， 则CBE等于（ ）。
A
(A)15º (B)30º
(C )45º (D)60º
精选
C E
FD
2、如图，矩形纸片ABCD中，AB=8cm，把
矩形纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，
AE交DC于点F，若 AF 25 cm ，则AD的
A
10
D 方法：先标等量，再构造方程。
折叠问题中构造方程的方法：
8
B
10 6
8-x
E
x
把条件集中到一个Rt△中，根 据勾股定理得方程。
F 4C
解 设EC=x，则DE=8-x，由轴对称可知：EF=DE=8-x，AF=AD=10，
又因AB=8，故BF=6，故FC=BC-BF=4。在RtFCE中，42+x2=(8-x)2，解 之得x=3
4.在一张长方形ABCD纸片中， AD＝25cm, AB＝20cm．现将 这张纸片按如图所示方式折叠，P， Q分别为AB，CD的中点，折痕 为AE，求折痕AE的长。
在一张长方形ABCD纸片中，AD＝25cm, AB＝20cm． 现将这张纸片按如下列图示方式折叠，分别求折痕的长． (1) 如图1, 折痕为AE; (2) 如图2, P，Q分别为AB，CD的中点，折痕为AE; (3) 如图3, 折痕为EF．